6. Medidas de associação entre variáveis categóricas em

tabelas de dupla entrada

Quiquadrado de Pearson: mede a associação de tabelas de

dupla entrada, sendo definida por:

ij

c2

ijijn

Xe

)e(2

,

em que é o número de linhas e c o número de colunas da

tabela.

O termo ij

n na expressão representa as frequências

observadas da tabela e ij

e as frequências esperadas na condição

de independência entre as categorias.

Exemplo 1: A tabela abaixo representa um levantamento a

respeito do tipo de lesão sofrido na cabeça, por motociclistas, em

relação do uso do capacete.

a) Encontre as porcentagens do tipo de lesão em função do uso

do capacete.

b) Você diria que existe associação entre o uso do capacete e a

gravidade da lesão na cabeça de motociclistas?

Tabela 6.1: Uso do capacete x Tipo de lesão.

Tipo de lesão Uso do capacete Marginal das

linhas Sim Não

Grave 15 22 37

Leve 45 18 63

Marginal das

colunas 60 40 100

Tabela 6.2: Uso do capacete x Tipo de lesão, perfil coluna.

Tipo de lesão Uso do capacete Uso do capacete %

Sim Não Sim Não

Grave 15 22 25.0 55.0

Leve 45 18 75.0 45.0

Total 60 40 100.0 100.0

Figura 6.1: Perfil coluna, representação gráfica.

Notas:

i) A tabela para Uso do Capacete x Tipo de lesão é do tipo 2x2,

logo = 2 colunas e c = 2 linhas;

ii) As frequências observadas em cada casela (cruzamento das

linhas e colunas) são:

11

n = 15; 12

n = 22; 21

n = 45 e 22

n = 18.

O total geral é, então: n = 100

iii) As frequências esperadas na situação de independência são

calculadas pelo produto das distribuições marginais das linhas

e colunas, dividido pelo total geral n. Desta forma:

2.22100

3760e

11

8.14

100

3740e

12

8.37100

6360e

21

2.25

100

6340e

22

iv) Tabela com os valores esperados (as marginais das linhas e

das colunas não sofrem alteração):

Tabela 6.3: Uso do capacete x Tipo de lesão, valores esperados na

condição de independência.

Tipo de lesão Uso do capacete Marginal das

linhas Sim Não

Grave 22,2 14,8 37

Leve 37,8 25,2 63

Marginal das

colunas 60 40 100

O cálculo do 2X de Pearson é dado por:

27.9

06.237.150.334.2

2.25

)182.25(

8.37

)458.37(

8.14

)228.14(

2.22

)152.22(

2

2

22222

X

X

X

O 2X de Pearson deve ser comparado com um valor tabelado,

que depende do número de linhas e colunas da tabela (que é o

número de graus de liberdade).

O número de graus de liberdade se uma tabela é dado pelo

número de linhas menos um multiplicado pelo número de colunas

menos um, isto é: )1()1( cgl

Para uma tabela 2x2, o número de graus de liberdade é igual a

1)12()12( gl .

Para uma tabela 2x2, o número de graus de liberdade é 1 e o

valor de comparação* é igual a 3.84.

Portanto, o valor de 9.27, obtido pelo cálculo do 2X de

Pearson, é maior do que o valor de comparação 3.84, indicando

que há uma relação entre o uso do capacete e a gravidade da lesão

na cabeça.

O 2X de Pearson varia de 0 a n, sendo n o número total de

casos da tabela de contingência. O valor n indica a associação

perfeita e o valor 0 a falta total de associação, ou seja, de

independência.

Portanto, valores altos de 2X indicam associação entre as

categorias da tabela e, quanto maior o valor de 2X , mais forte

será essa associação.

Entretanto, como 2X depende do valor de n, e também do

número de linhas e colunas da tabela, essa dependência pode

afetar a interpretação. Nesse sentido outras medidas são propostas

na literatura.

* O valor de comparação para tabelas de dupla entrada depende de elementos da teoria das probabilidades e da inferência

estatística e não serão abordados aqui. O valor de comparação, quando necessário, será fornecido juntamente com o problema.

Assim sendo, serão introduzidas as medidas a seguir, que

quantificam do grau da associação.

9.1. Medidas do grau da associação baseadas no X 2

a) Coeficiente :

n

X 2

.

O coeficiente varia de 0 a 1, sendo que o valor 0

corresponde a ausência de associação e o valor 1 representa

associação completa.

Se todos os valores observados forem iguais a todos os

valores esperados o 2X será zero e, portanto, também será zero.

Já o limite superior 1 só é atingido para configurações†

específicas de tabelas 22.

Portanto, este coeficiente só será aplicado para tabelas 22.

b) Coeficiente V de Cramér : forma corrigida de , dividindo o

coeficiente por )1( t

)1(

2

tn

XV , t = min(l , c).

V também varia de 0 a 1, tendo a mesma interpretação de ;

O coeficiente V de Cramér tem a vantagem de poder ser

usado em tabelas de dimensão maior do que 22.

Para tabelas 22, e V são iguais.

† O único caso em que se pode dar uma interpretação para é para tabelas 2x2 o que faz com que, em geral, esta

medida só seja utilizada neste caso: http://www.ime.unicamp.br/~lramos/dachs/capitulo2-4.htm

c) Coeficiente de Contingência:

nX

XC

2

2

.

O coeficiente C não alcança o valor 1, sendo usualmente

apresentado na sua forma ajustada para que possa alcançar o

máximo 1.

))(1(1*

2

2

nXt

Xt

t

tCC

, t = min(l , c).

Critérios de classificação para os coeficientes e C (ou C*)

não são muito comuns de serem encontrados. As maiorias dos

autores citam apenas que valores próximos de 0 representam

associação fraca ou nenhuma e quanto mais próximo de 1, mais

forte é a associação, porém, a escala desses coeficientes não é

linear, interferindo na interpretação. A seguir são apresentadas

diversas classificações para os coeficientes acima:

i) Barbetta (2001), pag 261, apresenta a seguinte classificação

para o coeficiente de contingência ajustado.

C* 0 associação fraca

C* 0.5 associação moderada

C* 1 associação forte

ii) Witte & Witte, pag. 375, indicam uma classificação 2V .

2V 0.01 (V 0.1) associação fraca

2V 0.09 (V 0.3) associação moderada

2V 0.25 (V 0.5) associação forte

Na internet, diversos sites também indicam classificações

diferentes para tais o coeficiente de contingência.

a) De http://www.acastat.com/Statbook/chisqassoc.htm

0 a 0.1 associação fraca ou nenhuma

0.1 a 0.3 associação baixa

0.3 a 0.5 associação moderada

0.5 associação forte

b) De http://www.statisticssolutions.com/resources/directory-of-

statistical-analyses/nominal-variable-association ‡

0.1 associação fraca

0.1 a 0.3 associação moderada

0.3 associação forte

Apesar da dificuldade em se encontrar uma classificação mais

objetiva, podemos notar que praticamente todas as classificações

acima indicam o valor 0.3 para associação moderada.

Desta forma, tomando esse valor como referência, vamos

adotar a classificação do site:

www.acastat.com/Statbook/chisqassoc.htm

por ser o que mais discrimina.

‡ segundo o site, essa classificação é dada como regra geral para a interpretação de todas as medidas de associação.

Exemplo 1: Com os dados do uso do capacete, temos

t = min( 2 , 2 ) = 2, logo

2913.00848.0)10027.9(

27.9

C

412.022913.0)12(

2*

CC

O valor 412.0*C indica uma associação moderada.

Ainda:

Coeficiente : 304.0100

27.9 ,

Coeficiente V de Cramér:

304.0100)12(

27.9

V associação moderada.

Exemplo 2: Dados de grau de instrução por região de procedência

de funcionários de uma empresa (livro Bussab & Morettin).

Tabela 6.4: Grau de Instrução x Região de procedência

Procedência Grau de instrução Totais

Linhas 1º. grau 2º. grau superior

Capital 6 7 2 15

Interior 3 7 2 12

Outro estado 3 4 2 9

Totais Colunas 12 18 6 36

Figura 6.2: Perfil coluna, grau de instrução por procedência.

Frequências esperadas na condição de independência:

0.536

1512e11

5.7

36

1518e12

5.2

36

156e13

0.436

1212e21

0.6

36

1218e22

0.2

36

126e23

0.336

912e31

5.4

36

918e32

5.1

36

96e33

Tabela 6.5: Grau de Instrução x Região de procedência, valores esperados

Procedência Grau de instrução Totais

Linhas 1º. grau 2º. grau superior

Capital 5.0 7.5 2.5 15

Interior 4.0 6.0 2.0 12

Outro estado 3.0 4.5 1.5 9

Totais Colunas 12 18 6 36

Cálculo do 2X de Pearson:

5.1

)25.1(

5.4

)45.4(

0.3

)30.3(

0.2

)20.2(

0.6

)70.6(

0.4

)30.4(

5.2

)25.2(

5.7

)75.7(

0.5

)60.5(

222

222

2222

X

0.1670.056000.167

0.2500.1000.033 0.2002

X

0.9722 X

Número de graus de liberdade para uma tabela 3x3:

4)13()13( gl .

Com 4 graus de liberdade o valor de comparação é 9.49.

Como o 2X de Pearson, igual a 0.972, é muito pequeno em

relação ao valor de comparação, não havendo evidência de

associação entre o grau de instrução e a região de procedência

dos empregados, isto é, o grau de instrução independe da região

de procedência (e vice-e-versa).

Neste caso, não é necessário calcular o coeficiente de

contingência, porém, vamos realizar os cálculos apenas como

curiosidade:

t = min( 3 , 3 ) = 3

162.00263.0)36972.0(

972.0

C

199.05.1162.0)13(

3*

CC

O valor 199.0*C indica uma associação fraca.

Ainda:

Coeficiente V de Cramér:

116.0362

972.0

V associação fraca.

No R:

# vcd: pacote para calcular as medidas de associação

require(vcd)

tab <- matrix(c(6,7,2,3,7,2,3,4,2),3,3, byrow=T)

dimnames(tab)[[2]] <- c("1º.grau","2º.grau","Superior")

dimnames(tab)[[1]] <- c("Capital","Interior","Outro Estado")

tab

1º.grau 2º.grau Superior

Capital 6 7 2

Interior 3 7 2

Outro Estado 3 4 2

assocstats(tab)

X^2 df P(> X^2)

Likelihood Ratio 0.96987 4 0.91433

Pearson 0.97222 4 0.91398

Phi-Coefficient : 0.164

Contingency Coeff.: 0.162

Cramer's V : 0.116

Exemplo 3: No tratamento para dor abdominal um grupo de 63

paciente foi tratado com brometo de pinavério, 2 vezes ao dia.

Um segundo grupo de 91 pacientes (grupo controle) recebeu

placebo no lugar do medicamento. O resultado do tratamento é

apresentado na tabela abaixo.

Tabela 6.6: Tratamento com brometo de pinavério Eliminação da dor

Eliminação da dor Grupo

Total Tratamento Controle

Sim 57 61 118

Não 6 30 36

Total 63 91 154

Tabela 6.7: Perfil coluna Tratamento Eliminação da dor

Eliminação da dor Grupo

Total Tratamento Controle

Sim 90.5 67.0 76.6

Não 9.5 33.0 23.4

Total 100 100 100

Figura 6.3: Tratamento com brometo de pinavério eliminação da dor.

Valores esperados na condição de independência:

3.48154

11863e11

7.69

154

11819e12

7.14154

3663e21

3.21

154

3691e22

Valor X 2 de Pearson:

21.3

30)-(21.3

14.7

6)-(14.7

69.7

61)-(69.7

48.3

57)-(48.3 22222 X

36.1155.315.509.157.12 X

O X 2 de Pearson é grande indicando que pode haver uma

associação entre as categorias.

Número de graus de liberdade: gl = (2 – 1)×(2 – 1) = 1

Com 1 grau de liberdade o valor de comparação é: 3.84.

11.36 > 3.84 há evidências de que existe associação

entre o uso do medicamento e a

eliminação da dor abdominal.

a) Coeficiente de contingência:

t = min( 2 , 2 ) = 2

262.00687.0)15436.11(

36.11

C

371.02262.0)12(

2*

CC

associação fraca a moderada.

b) Coeficiente : 272.0154

36.11

Coeficiente V de Cramér:

272.0)12(154

36.11

V

associação moderada.

No R:

# vcd: pacote para calcular as medidas de associação

####################################################

require(vcd)

tab <- matrix(c(57,61,6,30),2,2, byrow=T)

dimnames(tab)[[2]] <- c("Tratamento","Controle")

dimnames(tab)[[1]] <- c("Sim","Não")

tab

Tratamento Controle

Sim 57 61

Não 6 30

assocstats(tab)

X^2 df P(> X^2)

Likelihood Ratio 12.482 1 0.00041079

Pearson 11.422 1 0.00072569

Phi-Coefficient : 0.272

Contingency Coeff.: 0.263

Cramer's V : 0.272

Tabela com valores de comparação

2

em função dos graus de liberdade.

gl Valor de comparação

1 3.84

2 5.99

3 7.81

4 9.49

5 11.07

6 12.59

7 14.07

8 15.51

9 16.92

10 18.31

11 19.68

12 21.03

13 22.36 * tabela

2 parcial, considerando um nível de

significância de 5%.