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02-01-2015

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FUNÇÕES

Nuno Marreiros

7º ANO

Funções de proporcionalidade direta

Antes de começar

Preço total = 7,50 número de bilhetes

A tabela representa uma função de proporcionalidade direta de constante 7,50.

A constante indica o custo de cada bilhete para o teatro.

Representando por y o preço total a pagar e por x o número de bilhetes comprados,

obtém-se a expressão:

y = 7,50 x

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GRANDEZAS DIRECTAMENTE PROPORCIONAIS

Exemplo 3

A tabela seguinte relaciona o número de iogurtes com o respectivo custo.

Número de iogurtes 1 2 3 4 ...

Preço (em €) 0,50 1 1,50 2 ...

Observa a variação destas duas grandezas. Verificas que quanto maior é o número de

iogurtes comprados, maior é o seu custo; correspondendo ao dobro do número de iogurtes o dobro

do custo, ao triplo do número de iogurtes o triplo do custo, etc.


Custo (em €) 0,50 1 1,50 2 ...

Diz-se por isso, que o custo é directamente proporcional ao número de iogurtes.

3

2

3

2

Grandezas diretamente proporcionais

A tabela seguinte relaciona o número de iogurtes com o respetivo custo.

GRANDEZAS DIRECTAMENTE PROPORCIONAIS

Exemplo 3

A tabela seguinte relaciona o número de iogurtes com o respectivo custo.


Preço (em €) 0,50 1 1,50 2 ...

Observa a variação destas duas grandezas. Verificas que quanto maior é o número de

iogurtes comprados, maior é o seu custo; correspondendo ao dobro do número de iogurtes o dobro

do custo, ao triplo do número de iogurtes o triplo do custo, etc.


Custo (em €) 0,50 1 1,50 2 ...

Diz-se por isso, que o custo é directamente proporcional ao número de iogurtes.

3

2

3

2

Observa a variação destas duas grandezas. Verifica-se que quanto maior for o número de iogurtes comprados, maior será o seu custo.

O dobro do número de iogurtes comprados corresponde ao dobro do custo. O triplo do número de iogurtes comprados corresponde ao triplo do custo. (…)

Diz-se por isso que o custo é diretamente proporcional ao número de iogurtes comprados.

POTÊNCIAS E RAÍZES Generalizando …

Dadas duas grandezas X e Y,

Y é diretamente proporcional a X,

se quando X aumenta (ou diminui),

Y aumenta (ou diminui) na mesma razão.

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PROPORCIONALIDADE DIRECTA E TABELAS. CONSTANTE DE PROPORCIONALIDADE


Custo (em €) 0,50 1 1,50 2 ...

Na prática, como reconhecer se uma tabela traduz uma situação de proporcionalidade

directa?

Observa a tabela e completa:

0,5

1 ;

1

2 ;

1,5

3 ;

2

4 ; ...

Logo,

0,5 1 1,5 2...

1 2 3 4

Custo

Número de iogurtes =

ou seja,

o quociente entre o custo e o número de iogurtes é constante, pois é sempre igual a .



Custo (em €) 0,50 1 1,50 2 ...


directa?


0,5

1 ;

1

2 ;

1,5

3 ;

2

4 ; ...

Logo,

0,5 1 1,5 2...

1 2 3 4

Custo


ou seja,




Custo (em €) 0,50 1 1,50 2 ...


directa?


0,5

1 ;

1

2 ;

1,5

3 ;

2

4 ; ...

Logo,

0,5 1 1,5 2...

1 2 3 4

Custo


ou seja,




Custo (em €) 0,50 1 1,50 2 ...


directa?


0,5

1 ;

1

2 ;

1,5

3 ;

2

4 ; ...

Logo,

0,5 1 1,5 2...

1 2 3 4

Custo


ou seja,


0,5 0,5

0,5

0,5

0,5

0,5

Proporcionalidade direta e tabelas. Constante de proporcionalidade

A tabela seguinte relaciona o número de iogurtes com o respetivo custo.

Na prática como reconhecer que uma tabela traduz uma situação de proporcionalidade direta?


Logo,

Ou seja, o quociente entre o custo e o número de iogurtes é constante, pois é sempre igual a

• O custo é diretamente proporcional ao número de iogurtes. • O número 0,5 é a constante de proporcionalidade direta e corresponde ao preço unitário do iogurte, isto é, ao preço de cada iogurte.

Resumindo …

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Função de proporcionalidade direta

O pai do Timóteo decidiu propor ao seu filho uma ocupação nas férias, que consistia em ajudá-lo na horta, pagando-lhe uma quantia de 2 euros por hora.

Tendo em conta o enunciado do problema, completa a tabela:

Tempo (horas) x 0 1 2 3

Quantia recebida (euros) y

1ª questão: A quantia recebida é diretamente proporcional ao tempo de trabalho. Porquê?

O quociente entre as duas variáveis é sempre constante.

2 4 62

1 2 3

y

x

Sim, porque as duas grandezas aumentam na mesma proporção, isto é se uma duplica a outra também duplica, se uma triplica a outra também triplica, se uma se reduz a metade a outra também,… . Assim estamos perante uma situação de proporcionalidade direta.

0 2 4 6

2ª questão: Qual é a constante de proporcionalidade direta? O que significa?

2k A constante de proporcionalidade é 2.

Significa o preço de uma hora de trabalho.

2 4 62

1 2 3

y

x

Sim, porque a cada objeto (tempo gasto) corresponde uma única imagem (dinheiro ganho) – correspondência unívoca.

3ª questão: Será que a correspondência estabelecida representa uma função?


O pai do Timóteo decidiu propor ao seu filho uma ocupação nas férias, que consistia em ajudá-lo na horta, pagando-lhe uma quantia de 2 euros por hora.

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Antes de continuar … recorda …

Representemos dois pontos no plano: Quantas retas não coincidentes passam por esses dois

pontos?

Resposta: Por esses dois pontos passa uma e uma só reta.

Assim sendo, bastam dois pontos não coincidentes para definir uma reta.

A

B


Quantia recebida (euros) y 0 2 4 6

4ª questão: Representa graficamente esta função.

Através do gráfico da função, é possível observar qual a quantia (ou um valor aproximado) que receberia o Timóteo, dependendo do número de horas de trabalho.

Por exemplo: Se o Timóteo trabalhasse 1,5 horas quanto ganharia?

3 €


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5ª questão: Qual a expressão algébrica desta função?

2y x

Como esta função traduz uma situação de proporcionalidade direta, diz-se uma função de proporcionalidade direta.


Quantia recebida (euros) y 0 2 4 6

A constante de proporcionalidade é 2.


Construir um gráfico … usando uma expressão algébrica

Como já vimos, a representação gráfica de uma função de proporcionalidade direta, ou seja, de uma função linear, é uma ____________ que passa na ______________________________.

Para representar uma reta basta marcar ___ pontos.

Considera a função f de expressão algébrica:

3y x

De modo a construir o gráfico representativo da função, necessitamos de determinar, pelo menos dois pontos pois trata-se de uma reta. No entanto, recomenda-se sempre a determinação de um terceiro ponto para termos a certeza de que os pontos estão bem marcados / determinados.

Usemos, para isso, uma tabela …

reta origem do referencial

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Construir um gráfico … usando uma expressão algébrica

A expressão algébrica y = 3 x da função f , permite determinar os valores de y a partir dos valores que atribuirmos a x. Observa …

x 0 1 1

y 3 0 = 0 3 1 = 3 3 (1) = 3

Ponto (x, y) (0, 0) (1, 3) (1, 3)

3y x

x y = 3 x

0

1

1

0

3

3

3 0 0y

3 1 3y

3 1 3y

0,0

1,3

1, 3

Equivalentemente e normalmente usa-se uma tabela na vertical …

C.A. (Cálculos Auxiliares)

y =3 x A cada par ordenado

determinado, corresponde um e um só ponto sobre a reta.

Será que o par ordenado (2,4) pertence ao gráfico da função?

0,0

1,3

1, 3

NÃO.

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Páginas Exercícios

119 29. 30. 31.

126 a 128 7. a 15.

Manual: Páginas 133 a 137 – Exercícios 6 a 17

Ficha 10

Trabalho de Reforço Individual (TRI):

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