1  

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE FEIRA DE SANTANA

DEXA - DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS

PROF. JOSÉ ASSUNÇÃO ROSA RIBEIRO

EXA 134 – MATEMÁTICA APLICADA ÀS CIÊNCIAS SOCIAIS I

FUNÇÃO EXPONENCIAL

A função exponencial é uma função f de R em R definida por f (x) = ax, onde a > 0 e a ≠ 1.

Demontra-se que:

1. Para qualquer valor real atribuído a x, f(x) = ax será sempre uma potência positiva, pois sua base é

positiva por definição.

2. Se a > 1, a função exponencial será crescente.

3. Se a 0 < x < 1, a função exponencial será decrescente.

4. O gráfico da função exponencial intercepta o eixo y no ponto A = (0, 1).

x = 0 ⇒ y = f(0) = a0 = 1.

5. O domínio é R e a imagem é o conjunto If = R+*

6. O gráfico não intercetpa o eixo x. Não há raízes. Não existe valores de x para os quais y = 0.

7. Não há máximo, nem mínimo.

8. O eixo x é uma assíntota da curva.

Exemplos:

1. Esboçar o gráfico da função f(x) = 2x

solução:

0 1 2 3-1-2-3

1/41/2

1

2

3

4

x

y

y = 2 x

y = f(x) = 2x x y -3 1/8 -2 1/4 -1 1/2 0 1 1 2 2 4 3 8   FIG.  39  

  2  

No gráfico de f(x) = 2x observa-se algumas propriedades, Fig. 39:

a) ∀x ∈ R, tem-se que 2x > 0;

b) A função é crescente, pois se x1 < x2, então 2x1 < 2x2;

c) Se x → + ∞ então 2x → + ∞;

d) Se x → - ∞ então 2x → 0.

2. Esboçar o gráfico da função f(x) = (1/2)x

No gráfico de f(x) = (1/2)x observa-se algumas propriedades, Fig. 40:

a) ∀x ∈ R, tem-se que (1/2)x > 0;

b) A função é decrescente, pois se x1 < x2, então 2x1 > 2x2;

c) Se x → + ∞ então (1/2)x → 0;

d) Se x → - ∞ então (1/2)x → + ∞.

Funções Exponenciais do tipo f(x) = k . ax, onde k é um coeficiente numérico real diferente de zero, pode

apresentar as seguintes modificações no gráfico a depender do valor de k, Fig. 41.

O gráfico da Fig. 41 (a) é representativo de uma função y = 3. 2x, e o da Fig. 41 (b) é representativo de

uma função y = 3. (1/2)x.

y = f(x) = (1/2)x x y -3 8 -2 4 -1 2 0 1 1 1/2 2 1/4 3 1/8   FIG.  40  

0 1 2 3-1-2-3

1/41/2

1

2

3

4

x

y

y = (1/2) x

x

y

y = k ax

0 < a < 1 k > 0

k

00 x

y

y = k ax

k

a > 1

k > 0

FIG.  41   (b)  (a)  

  3  

Quando o valor de k é negativo o gráfico poderá apresentar as seguintes modificações, Fig. 42.

O gráfico da Fig. 42 (a) pode ser representativo de uma função do tipo y = -3. 2x, e o da Fig. 42 (b) pode

ser de uma função do tipo y = -3. (1/2)x.

Aplicações de Funções Exponenciais

Crescimento populacional

Determinada cidade no ano 2000 tinha a população de 12.000 habitantes. Anualmente essa população

crescia a taxa de 2,5%. Qual era a população em 2005?

Solução:

População inicial: P2000 = 12.000

Taxa de crescimento anual: 2,5%

A partir da população inicial calcula-se ano a ano a população conforme tabela abaixo:

Taxa = 2,5% ao ano Ano população 2000 12.000 2001 12.300 2002 12.607,5 2003 12.922,7 2004 13.245,8 2005 13.576,9

A população em 2001

P2001= 12.000 × 2,5% + 12.000 = 12.000 × 0,025 + 12.000 = 12.000 × (0,025 + 1) = 12.000 × 1,025 =

12.300.

Para calcular a população de cada ano basta multiplicar a população anterior pelo fator 1,025. Assim,

poderíamos obter a população de 2005 da seguinte forma:

P2005 = P2000 × 1,025 × 1,025 × 1,025 × 1,025 × 1,025 = P2000 × 1,0255 = 12.000 × 1,0255 = 13. 576,9.

Para calcular a população após n anos poderíamos escrever

x

y

y = k ax

0 < a < 1 k < 0

k

00 x

y

y = k ax k

a > 1

k < 0

FIG.  42  

(b)  (a)  

  4  

Pano = Po × 1,025n = 12.000 × 1,025n, cuja expressão representa uma função exponencial do tipo f(x)=kax,

onde f(x) = Pano; k = P0 = 12.000; a base a é a taxa de crescimento mais 1.

Em geral se a população inicial fosse P0 e a taxa de crescimento fosse i o modelo matemático para a

função exponencial de crescimento populacional seria P = P0 (1 + i)n. Havendo situação contrária,

redução de população, a função seria igual a P = P0 (1 - i)n.

Exemplos:

1. Determinada cidade tinha em 2008, 10.000 habitantes. Após 2 anos, sua população era de 10.609

habitantes. Supondo que a taxa de crescimento foi a mesma em cada ano, determinar:

a) a taxa de crescimento anual;

b) a função que descreve o crescimento desta população;

c) a população da cidade após 10 anos.

Solução:

a) A função procurada é do tipo P = P0 (1 + i)n , em que P0 = 10.000, P = 10.609, n = 2 e i =?

(1+ 𝑖) =10.60910.000 = 1,03 →  𝑖   = 0,03   =  3%  𝑎𝑜  𝑎𝑛𝑜

b) A função que descreve o crescimento desta população é P = 10.00 (1 + 0,03)n

P = 10.000 (1,03)n

c) A população após 10 anos é P = 10.000 (1,03)10 = 13.439,2

2. O número de analfabetos de determinado país no ano 2000 era de 2.000.000. Dez anos depois esse

número caiu para 1.300.000. Qual foi a taxa anual de decréscimo, supondo que a mesma foi igual em

todos os anos?

Solução:

A função representativa do número de analfabetos após n anos é P = P0 (1 - i)n. Onde: P = 1.300.000; P0

= 2.000.000, n = 10; i = ?

(1− 𝑖)!" = !.!"".!!!!.!!!.!!!

= 0,65

1− 𝑖 = 0,65!" = 0,65!!"   = 0,65!,! = 0,9578

−𝑖   =  0,9578− 1 = −0,0422 ⇒ i = 0,0422 = 4,22% ao ano.

Juros Compostos

  5  

A função representativa do crescimento de um capital a juros compostos é semelhante a função de

crescimento populacional, ou seja M = C (1 + i )n, onde: M é o montante (capital acrescido dos juros); C é

o capital inicial; i a taxa de juros por período e n o número de períodos de aplicação.

Exemplo:

1. Uma pessoa aplicou R$ 1.000,00, a 0,6% ao mês, durante um ano. Qual foi o montante obtido?

Solução:

C = 1.000,00; i = 0,6% a. m.; n = 1 ano = 12 meses

M = C (1 + i )n ⇒ M = 1.000 (1 + 0,006 )12 = 1.074,42 ⇒ M = R$ 1.074,42.

  6  

EXERCÍCIOS

1. A população de uma cidade que hoje é de 10.250 habitantes cresce a uma taxa de 2,5% ao ano.

Determinar:

a) A população daqui a 5 anos?

b) Ao final de 12 anos, qual é o percentual acumulado de crescimento?

2. Um país teve, em certo ano, o PIB (Produto Interno Bruto) de US$ 500 bilhões, crescendo

exponencialmente nos anos seguintes. Se depois de 5 anos o PIB foi de US$ 610, qual foi a taxa de

crescimento anual nesse período?

3. Em certa região de um país registrou a morte de 1.600 crianças de até 1 ano de idade, no ano em que a

pesquisa foi realizada. A mortalidade infantil cresceu 2% ao ano nos 3 anos seguintes, quando teve início

uma ação preventiva do Ministério da Saúde. A partir desta data, a mortalidade infantil caiu em 5% ao

ano. Determinar:

a) Quantas mortes foram registradas no décimo ano, após a ação preventiva do governo?

b) Qual foi a variação percentual acumulada do decaimento de mortes nesses 10 anos?

4. Um aplicador investe R$ 10.00,00 e, após 10 meses, o montante desse investimento é R$ 10.775,83.

Determinar:

a) A taxa de juros mensal dessa aplicação.

b) A função que define o montante M após n períodos de aplicação.

5. Certo capital aplicado a taxa de juros de 1,2% ao mês durante 15 meses, resultou no montante de

R$2.989,84. Qual foi o capital inicial investido?

  7  

  8  

Bibliografia Consultada

1. THE SAYLOR FOUNDATION. Mathematics – MA005: Calculus I (pdf). Disponível em www.

Saylor.org/couses/ma005/. Acesso em 15/02/2013.

2. LAPA, Nilton. Matemática Aplicada: uma abordagem introdutória. São Paulo: Saraiva, 2012.

3. TAN, S. T. Matemática Aplicada à Administração e Economia. Tradução Edson Faria – 5a ed.

americana. São Paulo: Pioneira Thomson Learning. 2003.

4. WEBER, Jean E. Matemática para Economia e Administração. Tradução Seiji Hariki – 2a Ed. São

Paulo: Harbra. 1986.

5. LEITHOLD, Louis. Matemática para Economia e Administração. Tradução Cyro Carvalho Patarra.

São Paulo: Ed. Harbra Ltda. 1988.

6. JANOS, Michel. O Cálculo É Belo. São Paulo: Scortecci, 2010.

7. FLEMMING, Diva Marília. Cálculo A: funções, limite, derivação, integração. São Paulo: Pearson

Prentice Hall, 2006.