AULA 7- FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS · Função Exponencial É qualquer função na qual...

CURSO DE BIOMEDICINACENTRO DE CIÊNCIAS DA SAÚDE

UNIVERSIDADE CATÓLICA DE PETRÓPOLIS

MATEMÁTICA

AULA 7- FUNÇÕES

EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICASVERSÃO 1 - MAIO DE 2018

Professor: Luís Rodrigo

E-mail: [email protected]

Site: http://www.lncc.br/~lrodrigo

mailto:[email protected]

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Conteúdo Programático

Função Exponencial1

Função Exponencial1.1

Definições

5

Função Exponencial

✓ É qualquer função na qual a variável independente,

geralmente 𝐱, é o expoente da função.

✓ Uma função exponencial básica tem a forma:

𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥, 𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 0

✓ O domínio de uma função exponencial básica são

todos os números reais.

6


Propriedades

✓ Considerando que a, b > 0 então, para todos os

𝑥 𝑒 𝑦 (reais), temos:

➢ 𝑎𝑥𝑎𝑦 = 𝑎𝑥+𝑦

➢ 𝑎𝑏 𝑥 = 𝑎𝑥𝑏𝑥

➢ 𝑎𝑥 𝑦 = 𝑎𝑥𝑦

➢

𝑎𝑥

𝑎𝑦= 𝑎𝑥−𝑦

➢

𝑎

𝑏

𝑥=

𝑎𝑥

𝑏𝑥

7


O número e

✓ O número 𝑒, denominado de base exponencial

natural, pode ser definido como:

lim𝑛→∞

1 +1

𝑛

𝑛

✓ Ele é um numero irracional cujo valor aproximado é:

2,718281828459045...


Exemplos de Uso

9

Função Exponencial: Exemplos de Uso

✓ Juros Composto:

✓ Se um valor de P reais é investido a uma taxa annual

de juros r, e os juros são creditados n vezes ao ano, o

montante 𝑨(𝒕) gerado em um período de tempo t é

dado por:

𝑨 𝒕 = 𝑷 𝟏 +𝒓

𝒏

𝒏𝒕

10


✓ Juros Composto Contínuo:

✓ Se um valor de P reais é investido a uma taxa anual de

juros r, e os juros são creditados continuamente, o

montante 𝑨 𝒕 , em qualquer instante t posterior, é

dado por:

𝑨 𝒕 = 𝑷𝒆𝒓𝒕

11


✓ Crescimento Populacional Ilimitado:

✓ Se uma população, constituída inicialmente de N0

indivíduos, pode ser modelada como crescente e sem

limites. Podemos obter a população N(𝑡), em qualquer

instante 𝑡 utilizando:

𝑵(𝒕) = 𝑵𝟎𝒆𝒌𝒕

✓ Onde k é uma constante a ser determinada

12


✓ Crescimento Populacional Logístico:

✓ Se uma população, constituída inicialmente de 𝑁0indivíduos, pode ser modelada como crescente e

limitada devido aos recursos disponíveis. Podemos

obter a população 𝑁(𝑡), em qualquer instante 𝑡

utilizando:

N(t) =N0P

𝑁0+ 𝑃−𝑁0 𝑒−𝑘𝑡


13


✓ Decaimento Radioativo:

✓ Se uma quantidade 𝑄0 de uma substância radioativa

está presente no instante 𝑡 = 0, então para

determinar a quantidade Q(𝑡) presente no instante 𝑡

podemos utilizar:

Q(t) = Q0e−𝑘𝑡



Exercícios

15

Função Exponencial: Exercícios

1) Analise e esboce o gráfico de função exponencial

básica na forma 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥, 𝑎 > 1

✓ Dicas:

a) Analise o comportamento quando 𝑥1 < 𝑥2

b) Verifique o que ocorre quando x → ∞ e quando x → −∞

16


2) Analise e esboce o gráfico de função exponencial

básica na forma 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥, 𝑎 < 1

✓ Dicas:

a) Analise o comportamento quando 𝑥1 < 𝑥2

b) Verifique o que ocorre quando x → ∞ e quando x → −∞

17


3) Esboce o gráfico das funções, abaixo, no intervalo

− 4 < 𝑥 < 4

a) f x = 2𝑥

b) f x = 2−𝑥

18


4) Calcule a quantidade de dinheiro se R$ 1.000,00 são investidos à 5% de juros a cada 7 anos.

❖ Capitalizados:

a) anualmente

b) Trimestralmente

c) Mensalmente

d) Diariamente

e) Continuamente

19


5) Demonstre o calculo da base exponencial natural (𝑒)

❖ Dica:

a) calcule 1 +1

𝑛

𝑛

b) Quando “n” assume: 1, 10, 102, 103, 104, 105, 106

20


6) Simplifique as expressões

a)𝑒𝑥+𝑒−𝑥

2

2

−𝑒𝑥−𝑒−𝑥

2

2

b)(𝑒𝑥+𝑒−𝑥) 𝑒𝑥+𝑒−𝑥 −(𝑒𝑥−𝑒−𝑥)(𝑒𝑥−𝑒−𝑥)

𝑒𝑥+𝑒−𝑥 2

21


7) Encontre os zeros da função:

𝑓 𝑥 = 𝑥𝑒−𝑥 − 𝑒−𝑥

22


8) Inicialmente o número da bactérias em uma cultura é de 400. Sabendo-se que: o valor dobraa cada 3 horas, e que o número de indivíduos pode ser expresso por:

𝑵 𝒕 = 𝟒𝟎𝟎 𝟐𝒕𝟑

a) Determine o número de bactérias presente nesta cultura depois de 24 horas

23


9) Populações humanas podem ser modeladas sobre curtos períodos de tempo utilizando a função de crescimento exponencial ilimitado. Se um país tem uma população de 22 milhões em 2000 e mantem uma taxa de crescimento de 1%, ao ano, então sua população pode ser modelada por:

N t = 22𝑒0,01𝑡

a) Estime a população em 2010, 2020 e 2030

24


9) Um rebanho de 500 cervos são introduzidos em uma ilha e estima-se que a população máxima será de 2.000. Supondo que o tamanho da população pode ser dado pela função de crescimento logístico:

𝑁 𝑡 =2000

1+3𝑒−0.05𝑡

Estime a população após:

a) 1 ano

b) 20 anos

c) 50 anos

Funções Logarítmicas2

Funções Logarítmicas2.1

Definições

27

Função Logarítmica:

✓ Uma função logarítmica:

f (x) = 𝒍𝒐𝒈𝒂 𝒙 , 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏

✓ é a inversa de uma função exponencial:

f (x) = 𝒂𝒙

✓ Assim se: 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥

✓ Então: 𝑥 = 𝑎𝑦

28


✓ A sentença 𝟏𝟎𝟑=1000 pode ser escrita em termos

de logaritmos na base 10.

✓ Como 3 é o expoente ao qual 10 deve ser elevado

para obter 1000.

✓ Logo: log10 1000 = 3

29


Relação entre Logaritmo e Exponencial

✓ Seja:

✓ log𝑎 𝑎𝑥 = 𝑥

✓ 𝑎log𝑎 𝑥 = 𝑥

30


Relação entre Logaritmo e Exponencial

✓ Seja:

✓ log𝑎 𝑎𝑥 = 𝑥 → log10 10

3 = 3

✓ 𝑎log𝑎 𝑥 = 𝑥 → 10log10 3 = 3

31


Propriedades

✓ Sejam M e N números reais positivos:

✓ log𝑎 1 = 0

✓ log𝑎 𝑎 = 1

✓ log𝑎 𝑀𝑁 = log𝑎𝑀 + log𝑎 𝑁

✓ log𝑎𝑀

𝑛= log𝑎𝑀 − log𝑎 𝑁

✓ log𝑎 𝑀𝑝 = 𝑝 log𝑎𝑀

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Funções Especiais

✓ Sejam:

✓ log10𝑥 é abreviada como:

✓ log𝑒𝑥 é abreviada como:

33


Funções Especiais

✓ Sejam:

✓ log10𝑥 é abreviada como: log 𝑥 (logaritmo)

✓ log𝑒𝑥 é abreviada como: ln 𝑥 (logaritmo natural)

Funções Logarítmicas2.2

Exercícios

35


1) Reescreva as função, utilizando a forma exponencial

a) log2 8 = 3

b) log5 25 =1

2

c) log101

100= −2

d) log81

4= −

2

3

e) log𝑏 𝑐 = 𝑑

f) log𝑒 𝑥2 + 5𝑥 − 6 = 𝑦 − 𝐶

36


2) Reescreva as função, utilizando a forma logarítmica

a) 35 = 243

b) 6−3 =1

216

c) 2563

4 = 64

d)1

2

−5= 32

e) u𝑚 = 𝑝

f) e𝑎𝑡+𝑏 = 𝑦 − 𝐶

37


3) Calcule os seguintes logaritmos

a) log7 49

b) log4 256

c) log10 0,000001

d) log271

9

e) log15

125

38


4) Determine o domínio e a imagem da função

logarítmica na base a (log𝑎).

5) Calcule log5−25 e determine seu domínio e sua

imagem

39


6) Utilizando o mesmo plano cartesiano, esboce o

gráfico de:

a) 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 , 𝑎 > 1

b) 𝑓−1(𝑥) = log𝑎 𝑥

c) 𝑓(𝑥) = 𝑥

40


7) Esboce o gráfico de 𝑓(𝑥) = log5 𝑥 para 1

5≥ 𝑥 ≥ 25

8) Esboce o gráfico de 𝑓(𝑥) = log14

𝑥 para 1

4≥ 𝑎 ≥ 16

41


9) Calcule utilizando as relações entre funções

logarítmicas e exponencial:

a) log3 35

b) log2 256

c) log𝑎3𝑎2

d) log 0, 00001

e) 5log5 3

f) 𝑒ln 𝜋

g) 𝑎log𝑎(𝑥2−5𝑥+6)

h) 36log6 7

Equações Exponenciais e Logarítmicas3

Equações Exponenciais e Logarítmicas3.1

Exponenciais

44

Equações Exponencial e Logarítmica:

Exponenciais

✓ São equações que envolvem uma variável em um

expoente

✓ Para resolver este tipo de equação, geralmente

tentamos determinar o logaritmo de ambos os

lados, geralmente na base 10 ou 𝑒

45


Exponenciais

✓ Exemplo: 𝑒𝑥 = 2

✓ ln 𝑒𝑥 = ln 2

✓ 𝑥 = ln 2


Logarítmicas

47


Logarítmicas

✓ São equações que envolvem o logaritmo de uma

variável ou uma expressão variável

✓ Para determinar o resultado, geralmente

reescrevemos a expressão em forma de

exponencial.

✓ Se ocorre mais de uma expressão logarítmica, elas

podem ser combinadas utilizando as propriedades

de logaritmo.

48

Equações Exponencial e Logarítmica:Logarítmica

✓ Exemplo: log2(𝑥 − 3) = 4

✓ 2log2(𝑥−3) = 24

✓ 𝑥 − 3 = 24

✓ 𝑥 = 24 + 3

✓ 𝑥 = 19


Mudança da Base

50


Logarítmicas – Mudança de Base

✓ As expressões logarítmicas podem ser reescritas em

termos de outras bases:

log𝑎 𝑥 =log𝑏 𝑥

log𝑏 𝑎

51


Logarítmicas – Mudança de Base

✓ Encontre uma expressão, em termos de logaritmos

na base 𝑒 para log5 10

log5 10 =ln 10

ln 5≅ 1,43


Escalas Logarítmicas

53

Equações Exponencial e Logarítmica:Escala Logarítmicas

✓ Trabalhar com números que variam em escalas

muito grandes nem sempre é simples:

✓ Por exemplo:

De 0,000.000.000.001 à 10.000.000.000

✓ Podemos tomar o trabalho mais eficiente se

utilizarmos números logarítmicos, que neste caso

variam de :

De -12 à +10

54

Equações Exponencial e Logarítmica:Escala Logarítmicas – Exemplos:

Intensidade de Som:

✓ A Escala Decibel, que realiza a medição de

intensidade sonora é dada por:

𝐷 = 10 log𝐼

𝐼0

✓ Sendo que:

✓ D: é a magnitude Decibel

✓ I: é a intensidade de som (watts p/metro ao quadrado)

✓ 𝑰𝟎 : é a intensidade do menor som audível

55

Equações Exponencial e Logarítmica:Escala Logarítmicas – Exemplos:

Intensidade Sísmica:

✓ A Escala Richter, que determina a energia liberada

por um Terremoto (medida em Joules):

𝑅 =2

3log

𝐸

𝐸0

✓ Sendo que:

✓ R: é a magnitude do terremoto

✓ E: é a energia liberada

✓ 𝑬𝟎 : é a energia liberada em um terremoto muito fraco.


Exercícios

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