7. INTEGRAÇÃO NUMÉRICA Parte 3 7.1 Métodos de Newton-Cotes (Rugiero) 7.2 Método de Romberg...
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7. INTEGRAÇÃO NUMÉRICAParte 3
7.1 Métodos de Newton-Cotes (Rugiero)
7.2 Método de Romberg (Burden-Faires)
7.3 Quadratura Gaussiana (Burden-Faires)
7.4 Integração Dupla (Burden-Faires)
7.5 Método de Monte Carlo (Burian)
hoje
INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7. Introdução
Na primeira aula de integração vimos as fórmulas de Newton-Cotes, ou seja, Método do Trapézio, Método de Simpson..
Thomas Simpson (1710-1761). Na segunda aula vimos o Metodo de Romberg
(1957) que é o Método do Trapézio com Extrapolação de Richardson (1927).
L.F. Richardson (1881-1953) W. Romberg (1909-2003) Hoje veremos o Método da Quadratura
Gaussiana (1814). Carl F. Gauss (1777-1855)
INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.3 Quadratura Gaussiana
Veremos nesta aula a Regra ou Fórmula da Quadratura de Gauss.
As fórmulas de Newton-Cotes integram polinômios interpoladores e os erros envolvem a (n+1)-ésima ou (n+2)-ésima derivadas. Assim, elas são exatas para polinômios de grau < n+1 ou <n+2, respectivamente.
A Fórmula da Quadratura de Gauss integra exatamente polinômios de grau<2n+2
INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.3 Quadratura Gaussiana
Como nos Métodos de Newton-Cotes escrevemos uma integral como
onde os coeficientes e os pontos parai=0,1,2,..,n devem ser determinados de modo a obter a melhor precisão possível.
Característica: Partição não-regular
nn
b
axfAxfAxfAdxxfI ....)( 1100
iA ix
INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.3 Quadratura Gaussiana
Note que o Método da Quadratura Gaussiana envolve a determinação de 2n+2 coeficientes e , para i=0,..,n. Como temos 2n+2 parâmetros a
ajustar, podemos esperar que este método ajuste exatamente polinômios de graus inferiores a 2n+1.
iA ix
INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.3 Quadratura Gaussiana
Comecemos o desenvolvimento para dois pontos:
Por simplicidade tomemos o intervalo [-1,1]. Note que sempre é possível passar do intervalo [a,b] --> [-1,1] através da transformação:
dtabdttxdx
tabtabtx
)(2
1)(
1,1 para )(2
1)(
2
1)(
1100)( xfAxfAdxxfIb
a
INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.3 Quadratura Gaussiana
Segue
onde os parâmetros devem ser determinados de modo a integral ser exata para polinômios de graus inferiores a 3.
1100
1
1
1
1
1
1
)(
)(2
1)(
2
1)(
2
1)( onde
)()())(()(
tFAtFAdttFI
abtabfabtF
dttFdttxtxfdxxfIb
a
1010 ,,, ttAA
INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.3 Quadratura Gaussiana
SejamNote que qualquer polinômio de grau 3
é combinação das funções acima. Assim, impomos que a fórmula da quadratura Gaussiana seja exata para estes polinô-mios, segue:
33
2210 )(,)(,)(,1)( ttFttFttFtF
)()()()()( 33221103 tFatFatFatFatP o
INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.3 Quadratura Gaussiana
como esperado, a fórmula é exata para este polinômios:
)()(
)()()()(
)()()()(
)()(
)()()(
131030
13103031210202
11101011010000
1
133
1
122
1
111
1
1003
1
1
tPAtPA
tFAtFAatFAtFAa
tFAtFAatFAtFAa
dttFadttFa
dttFadttFadttP
1100
1
1)( tFAtFAdttFI
INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.3 Quadratura Gaussiana
Considerando
podemos determinar as incógnitas
através de
Que gera um sistema linear 4X4. Vejamos
3,2,1,0 para 1100
1
1 ktAtAdttI kkk
33
2210 )(,)(,)(,1)( ttFttFttFtF
1010 ,,, ttAA
INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.3 Quadratura Gaussiana
Obtemos o sistema
03
3/22
01
20
311
300
311
300
1
1
3
201
200
201
200
1
1
2
11001
111
00
1
1
1
100
110
00
1
1
0
tAtAtAtAdttk
tAtAtAtAdttk
tAtAtAtAdttk
AAtAtAdttk
INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.3 Quadratura Gaussiana
Resolvendo o sistema, obtemos
de modo que podemos escrever a Fórmu-la de Quadratura Gaussiana, que é exata para polinômios de graus inferiores a 3, como
3/3e1 1010 ttAA
3
3
3
3)(
1
1FFdttFIGauss
INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.3 Quadratura Gaussiana
Para 3 pontos, a fórmula da quadratura gaussiana é exata para polinômios de graus inferiores e iguais a 5. Então,
Analogamente, qualquer polinômio de grau 5 pode ser escrito em termos de
221100
1
1)( tFAtFAtFAdttFI
55
44
33
2210 )(,)(,)(,)(,)(,1)( ttFttFttFttFttFtF
INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.3 Quadratura Gaussiana
Agora podemos determinar as incógni- tas através do siste-ma
linear 6X6 abaixo:
Escrevendo explicitamente o sistema,
5,4,3,2,1,0 para 221100
1
1 ktAtAtAdttI kkkk
210210 ,,,,, tttAAA
INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.3 Quadratura Gaussiana
05
5/24
03
3/22
01
20
522
511
500
522
511
500
1
1
5
421
411
400
422
411
400
1
1
4
322
311
300
322
311
300
1
1
3
221
211
200
222
211
200
1
1
2
2211001
221
111
00
1
1
1
2100
220
110
00
1
1
0
tAtAtAtAtAtAdttk
tAtAtAtAtAtAdttk
tAtAtAtAtAtAdttk
tAtAtAtAtAtAdttk
tAtAtAtAtAtAdttk
AAAtAtAtAdttk
INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.3 Quadratura Gaussiana
Resolvendo o sistema, obtemos
de modo que podemos escrever a Fórmu-la de Quadratura Gaussiana, que é exata para polinômios de graus inferiores a 5, como
0e5
3,
9
8e
9
5120120 tttAAA
5
3
9
50
9
8
5
3
9
5)(
1
1FFFdttFIGauss
INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.3 Quadratura Gaussiana
Exemplo 1: Calcule utilizando quadratura gaussiana para 2 e 3 pontos.
Solução: Temos no intervalo [1,3].Fazendo a mudança de variáveis
dxeI x33
1
xexf 3)(
2t3eF(t) e1)(
1,1 temos3,1 para
2)(2
1)(
2
1)(
dtdttxdx
tx
tabtabtx
INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.3 Quadratura Gaussiana
Então, seguem os valores exato e apro-ximados para n=2 e n=3 pontos
1004.529
53
9
83
9
53
5
3
9
50
9
8
5
3
9
5)(3:3n
9309.5133
3
3
3
3)(3:2n
1018.523 :Exato
253
225
3
1
1
3
1
23
32
3
3
1
1
3
1
3
1
eee
FFFdttFIdxe
ee
FFdttFIdxe
dxeI
Gaussx
Gaussx
x
INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.3 Quadratura Gaussiana
A tabela abaixo compara o Método da Quadratura Gaussiana com o Método de Simpson 1/3 para
Exato Gauss n=2
Gauss n=3
Simpsonn=3
Simpsonn=5
Simpsonn=7
Valor 52.1018 51.9309 52.1004 52.3601 52.1194 52.1053
Erro 0.1709 0.0014 0.2583 0.0176 0.0035
dxeI x33
1
INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.3 Quadratura Gaussiana
Exemplo 2: Calcule utilizando quadratura gaussiana para 2 pontos.
Solução: Temos no intervalo [0,10].Fazendo a mudança de variáveis
dxeI x10
0
xexf )(
5-5t-eF(t) e5)(
1,1 temos10,0 para
55)(2
1)(
2
1)(
dtdttxdx
tx
tabtabtx
INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.3 Quadratura Gaussiana
Então, seguem os valores exato e aproximado para n=2 são:
O erro verdadeiro:
O Método do Trapézio necessitaria de n=16 pontos para atingir este erro. Através de Simpson 1/3 seriam necessários n=9 pontos.
606102.055
3
35
3
35)(5:2n
999955.0 :Exato
53
355
3
35
1
1
10
0
10
0
ee
FFdttFIdxe
dxeI
Gaussx
x
393853.0606102.0999955.0Erro
INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.3 Quadratura Gaussiana
Conclusão 1: As fórmulas da quadratura gaussiana produzem melhores resultados que aquelas dos métodos de Newton-Cotes com partição regulares (trapézio, Simpson,...)
Conclusão 2: Quando aumentamos o número de pontos todos métodos melhoram a precisão.
Conclusão 3: Se o intervalo for grande, com no caso Trapézio e Simpson Repetidas, podemos criar subintervalos e aplicar quadratura gaussiana em cada intervalo
Problema: Se não tivermos f(x) e sim uma tabela de dados experimentais, então o método da quadratura gaussiana não é aplicável.
INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.3 Quadratura Gaussiana
:= r e( ) x2
d
0
1
e( ) x2
x 0.7468241328
d
0
1
e( ) x2
x 0.74682413281242702540
d
0
1
e( ) x2
x 0.74682413281242702540
> r := exp(-x^2);
> Int(r, x = 0..1) = evalf(Int(r, x=0..1));
> Int(r, x = 0..1) = evalf(Int(r, x=0..1, digits=20, method=_Dexp));
> Int(r, x = 0..1) = evalf(Int(r, x=0..1, digits=20, method=_Gquad));
M
A
P
L
E
INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.3 Quadratura Gaussiana
Exercício: Considere a integral
a) Estime I por Trapézio quando h=1/4.b) Estime I por Simpson 1/3 quando h=1/4.c) Estime I por Romberg quando h=1/4.d) Estime I por Gauss quando n=2 e n=3.
Dado:
dxeI x21
0
74682.021
0 dxeI x