9.1 - NÚMEROS RACIONAIS E REAISaulas.verbojuridico3.com/Analista_MPU/Claudio_Kidrick_25-D-M.pdf ·...

Raciocínio Lógico-Matemático Prof. Cláudio da Cunha Kidricki

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9. RACIOCÍNIO MATEMÁTICO

9.1 - NÚMEROS RACIONAIS E REAIS A) NÚMEROS NATURAIS N = { 0, 1, 2, 3, ..., } B) NÚMEROS INTEIROS Z = { ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ..., } C) NÚMEROS RACIONAIS

Q= { a/b |||| a∈∈∈∈Z e b∈∈∈∈Z* }

∗∗ De acordo com a definição dada acima, um número racional é um número inteiro ou um número fracionário. D) NÚMEROS IRRACIONAIS

I = { x |||| x∈∈∈∈R e x∉∉∉∉Q } = R – Q

E) NÚMEROS REAIS

R = { xx∈∈∈∈Q ou x ∈∈∈∈I } = Q ∪∪∪∪ I

N Z Q R


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EXERCÍCIOS

►PROBLEMAS ENVOLVENDO NÚMEROS RACIONAIS E REAIS “Dica” para os testes : 01 e 02

01) Em uma divisão com números naturais em que o resto é 7 e o divisor tem apenas um algarismo, os divisores possíveis são a) 1, 2, 3, 4, 5, 6 b) 4, 5, 6 c) 7 d) 7, 8, 9 e) 8, 9 Resp.: e 02) (UFMG) Considerem-se todas as divisões de números inteiros positivos por 17, cujo resto é igual ao quadrado do quociente. A soma dos quocientes dessas divisões é? Resp.: 10 03) (FCC) Em um dado momento em que Ari e Iná atendiam ao público nos guichês de dois caixas de uma Agência do Banco do Brasil, foi observado que a fila de pessoas à frente do guichê ocupado por Ari tinha 4 pessoas a mais que aquela formada frente ao guichê que Iná ocupava. Sabendo que, nesse momento, se 8 pessoas da fila de Ari passassem para a fila de Iná, esta última ficaria com o dobro do número de pessoas da de Ari, então, o total de pessoas das duas filas era: a) 24 b) 26 c) 30 d) 32 e) 36 Resp.: e 04)(FCC) A expressão N / 0,0125 é equivalente ao produto de N por

a) 1,25 b) 12,5 c) 1/80 d) 80 e) 125/100

Resp.: d

05) (FCC) O valor da expressão ,32

AB BA

BA

+−

para A=2 e B=-1, é um número compreendido

entre a) -2 e 1 b) 1 e 4 c) 4 e 7 d) 7 e 9 e) 9 e 10 Resp.: b

Algoritmo de Euclides Sendo q o quociente e r o resto na divisão entre os inteiros positivos a e b, tem-se sempre 0 ≤≤≤≤ r <<<< b.


97

06) (FCC) Para percorrer um mesmo trajeto de 72.900 metros, dois veículos gastaram: um, 54 minutos, e o outro, 36 minutos. A diferença positiva entre as velocidades médias desses veículos, nesse percurso, em quilômetros por hora, era a) 11,475 b) 39,25 c) 40,5 d) 42,375 e) 45,5 Resp.: c 07) Há 19 anos, uma pessoa tinha 1/4 da idade que terá daqui a 14 anos. A idade da pessoa, em anos está hoje entre a) 22 e 26 b) 27 e 31 c) 32 e 36 d) 37 e 41 e) 42 e 46 Resp.: b 08) (FCC) Certo dia um técnico judiciário foi incumbido de digitar um certo número de páginas de um texto. Ele executou essa tarefa em 45minutos, adotando o seguinte procedimento: - nos primeiros 15 minutos, digitou a metade do total das páginas e mais meia página; - nos 15 minutos seguintes, a metade do número de páginas restantes e mais meia página; Nos últimos 15 minutos, a metade do número de páginas restantes e mais meia página. Se dessa forma, ele completou a tarefa, o total de páginas do texto era um número compreendido entre a) 5 e 8 b) 8 e 11 c) 11 e 14 d) 14 e 17 e) 17 e 20 Resp.: a 09) (ESAF) A idade atual de Carlos é a diferença entre a metade da idade que ele terá daqui a 20 anos e a terça parte da que teve 5 anos atrás. Qual é a idade atual de Carlos? Resp.: 14 anos 10) (ESAF) Que horas são, se 4/11 do que resta do dia é igual ao tempo decorrido? Resp.: 6h24min 11) (FCC) Num mesmo instante, dois automóveis começam a rodar em uma estrada, um em direção ao outro, quando a distância entre eles é de 480 km. Se a velocidade de um deles é de 105 km/h e a do outro é de 95 km/h, após quanto tempo da partida eles se cruzarão nessa estrada? a) 1 hora e 40 minutos b) 1 hora e 55 minutos c) 2 horas d) 2 horas e 20 minutos e) 2 horas e 24 minutos Solução: d1= distância percorrida pelo 1º automóvel até o ponto de encontro; d2= distância percorrida pelo 2º automóvel até o ponto de encontro. Supondo que o tempo para se cruzarem seja t horas, teremos: d1= 105t e d2= 95t.


98

Como d1 + d2 = 480, vem que 105t + 95t = 480 e daí t= 5

12h ou 2h24min.

Resp.: e

12) (ESAF) Em um laboratório, duas velas que têm a mesma forma e a mesma altura são acesas simultaneamente. Suponha que: - as chamas das duas velas ficam acesas, até que seja consumidas totalmente; - ambas as velas queimam em velocidades constantes; - uma delas é totalmente consumida em 5 horas, enquanto a outra o é em 4 horas. Nessas condições, após quanto tempo do instante em que foram acesas, a altura de uma vela será o dobro da altura da outra? a) 2 horas e minutos b) 2 horas e 30 minutos c) 3 horas e 10 minutos d) 3 horas e 20 minutos e) 3 horas e 30 minutos Solução: Seja t o tempo pedido (em horas) e H a altura inicial das velas. Para simplificar, tomemos H= 1 (uma unidade qualquer de comprimento). Então: 1) Após 1 h: 1ª vela: queimou 1/5 de H= 1/5 e sua altura será 4/5; 2ª vela: queimou 1/4 de H= 1/4 e sua altura será 3/4. 2) Após t horas:

1ª vela queimou t/5 de H= t/5 e sua altura será 1 – t/5 = 5

5 t−;

2ª vela queimou t/4 de h = t/4 e sua altura será 1 – t/4 = 4

4 t−.

Fazendo-se

−=

−4

42

5

5 ttobteremos t =

3

10h, ou seja, t = 3h20min.

13) (ESAF) Um avião XIS decola às 13:00 horas e voa a uma velocidade constante de x quilômetros por hora. Um avião YPS decola às 13:30 horas e voa na mesma rota de XIS, mas a uma velocidade constante de y quilômetros por hora. Sabendo que y > x, o tempo, em horas, que o avião YPS , após sua decolagem, levará para alcançar o avião XIS é igual a

a) 2 / (x+y) horas b) x / (y-x) horas c) 1 / 2x horas d) 1 / 2y horas e) x / 2(y-x) horas

Solução: Os dois aviões percorrerão a mesma distância até se encontrarem. O avião YPS levará t horas e o avião XIS levará t+1/2 horas até o encontro (pois XIS decolou meia hora antes de YPS). Como a distância percorrida por YPS em t horas é igual à distância percorrida por XIS em

t+1/2 horas, teremos: y t = x (t + 2

1) ⇒ y t = x t +

2

x⇒


99

⇒ (y-x)t = 2

x ⇒ t =

)(2 xy

x

−horas.

Resp. : e

►RAZÕES E PROPORÇÕES 01) Num jogo de basquete, André fez 60 arremessos, obtendo 50 pontos e Paulo, em 30 arremessos, obteve 20 pontos. Quem tem a maior razão de pontos por arremessos? Resp.: André 02) Se a razão entre o valor bruto e o valor líquido de certo salário é de 6/5, que fração do salário líquido foi descontada? E que fração do salário bruto? Resp.: 1/5 e 1/6 03) Numa razão, o consequente excede o antecedente em 3 unidades. Adicionando-se 11 unidades ao consequente, a razão fica igual a 3/4. A razão original é a) 54/57 b) 30/33 c) 33/36 d) 42/45 e) 18/21 Resp.: d 04) (FCC) As cidades R e S são ligadas por uma rodovia. Num mesmo instante partem dois veículos dessas cidades, um de R para S e outro de S para R. Sem paradas, eles mantêm velocidades constantes e cruzam-se em um ponto localizado a 3/7 do percurso de R para S. Se a velocidade do que saiu de R era de 60 km/h, a velocidade do outro era de a) 85 km/h b) 80 km/h c) 75 km/h d) 70 km/h e) 65 km/h Resp.: b 05) (FCC) Álvaro e José são seguranças de uma empresa e recebem a mesma quantia por hora-extra de trabalho. Certo dia, em que Álvaro cumpriu 2 horas-extras e José cumpriu 1 hora e 20 minutos, Álvaro recebeu R$ 11,40 a mais do que José. Logo, as quantias que os dois receberam, pelas horas-extras cumpridas nesse dia, totalizavam a) R$ 60,00 b) R$ 57,00 c) R$ 55,00 d) R$ 54,50 e) R$ 53,80 Resp.: b 06) (FCC) Os salários de dois funcionários A e B, nessa ordem, estão entre si assim como 3 está para 4. Se o triplo do salário de A somado com o dobro do salário de B é igual a R$ 6 800,00, qual é a diferença positiva entre os salários dos dois?


100

a) R$ 200,00 b) R$ 250,00 c) R$ 300,00 d) R$ 350,00 e) R$ 400,00 Solução: resolvendo o sistema de equações abaixo

=+

=

6800234

3

BA

B

A

obteremos A= 1200, B=1600 e daí 1600-1200= 400.

Resp.: e

07) (FCC) Uma certa mistura contém álcool e gasolina na razão de 1 para 5, respectivamente. Quantos centímetros cúbicos de gasolina há em 162 litros dessa mistura?

a) 135 000 b) 32 400 c) 1 350 d) 324 e)135 Solução: Supondo-se uma mistura com 6 litros(1 l de álcool + 5 l de gasolina, a razão entre

álcool e gasolina é 5

1 e a razão entre a gasolina e o total da mistura é .

6

5 Assim, podemos

escrever a proporção: 1626

5 x= , donde tiramos x = 135 l = 135 dm3 = 135.000 cm3.

Obs.: Essa questão também pode ser resolvida pelo método mostrado na questão 19.

08) (FCC) Um peso de papel, feito de madeira maciça, tem a forma de um cubo cuja aresta mede 0,8 dm. Considerando que a densidade da madeira é 0,93 g/cm3, quantos gramas de madeira foram usados na confecção desse peso de papel ?

a) 494,18 b) 476,16 c) 458,18 d) 49,418 e) 47,616

Solução:

1) O volume do cubo com aresta = 0,8 dm = 8 cm é V = 83 = 512 cm3 ;

2) 5121

93,0 x= ⇒ x = 476,16 g.

Resp.: b

09) (FCC) Para estabelecer uma relação entre os números de funcionários de uma unidade do TRT, que participaram de um curso, foi usada a expressão:

,

3

13

13

13

−−

−=m

h em que h=nº de homens e m=nº de mulheres. Sabendo que o total de

participantes do curso era um número entre 100 e 200, é correto afirmar que : a) h+m=158 b) h-m=68 c) 70<h<100 d) 50<m<70 e) m.h<4000 Resp.: b


101

►DIVISÃO PROPORCIONAL 01) Calcule a, b, c e d supondo que as sucessões (2,a,6,c,10) e (1,2,b,4,d) são sucessões de números a) diretamente proporcionais; b) inversamente proporcionais. Solução: a) Os números serão diretamente proporcionais se

A partir daí, obtemos a=4, b=3, c=8, d=5. b) Os números serão inversamente proporcionais se

A partir daí, obtemos a=1, b=1/3, c=1/2, d=1/5. 02) Decomponha 92 em partes diretamente proporcionais a 9,8 e 6. Solução: 1) x = 9k, y = 8k, z = 6k. 2) Substituindo em x + y + z = 92, obtemos k = 4. Daí, x = 9.4=36, y= 8.4=32 e z=6.4=24. Resp.: 36, 32 e 24. 03) Decomponha o número 169 em partes inversamente proporcionais a 2, 3 e 4. Solução:

1) x = 2

k, y =

3

k, z =

4

k;

2) Substituindo em x + y + z = 169, obtemos k = 156. Daí, x=78, y= 52 e z=39. Resp.: 78, 52 e 39 04) (ESAF) Três números são proporcionais a 3, 4 e 6. Determine o maior deles, sabendo que a diferença entre triplo do menor e o número do meio é 60. Solução: substituíndo

=

=

=

kz

ky

kx

6

4

3

em 3x – y = 60, obtemos k = 12. Daí, z = 6.12 = 72.

Resp.: 72 05) Os ângulos internos de um quadrilátero são proporcionais aos números 2, 3, 4 e 6. Calcule esse ângulos, sabendo que a sua soma é igual a 360°. Resp.: 48°, 72°, 96° e 144°.

kd

c

b

a=====

10

4

6

21

2 ( no caso, k=2).

2.1 = a.2 = 6.b = c.4 = 10.d = k (no caso, k=2).


102

06) (FCC) Três técnicos judiciários – Alberico, Benivaldo e Corifeu – devem arquivar 340 processos e, para executar essa tarefa, decidiram dividir o total entre si, em partes diretamente proporcionais às suas respectivas idades. Sabe-se que: -Alberico tem 36 anos; -Benivaldo é o mais velho dos três e sua idade excede a de Corifeu, o mais jovem em 12 anos; -caberá a Corifeu arquivar 90 processos. Nessas condições, é correto afirmar que a) as idades dos três somam 105 anos. b) Benivaldo deverá arquivar 110 processos. c) Corifeu tem 28 anos. d) Alberico deverá arquivar 120 processos. e) Benivaldo tem 35 anos. Resp.: d 07) (FCC) Sejam x, y e z três números inteiros e positivos, tais que x<y<z. Sabe-se que o maior é a soma dos outros dois, e que o menor é um sexto do maior. Nessas condições, x, y e z são, nesta ordem, diretamente proporcionais a a) 1, 3 e 6. b) 1, 4 e 6. c) 1, 5 e 6. d) 1, 6 e 7. e) 1, 7 e 8. Resp.: c 08) (FCC) Certo dia, Amaro, Belisário, Celina e Jasmin foram incubidos de digitar 150 páginas de um texto. Para executar essa tarefa, o total de páginas foi dividido entre eles, de acordo com o seguinte critério: - Amaro e Jasmin dividiram 3/5 do total de páginas entre si, na razão direta de suas respectivas idades: 36 e 24 anos; - Belisário e Celina dividiram entre si as páginas restantes, na razão inversa de suas respectivas idades: 28 e 32 anos. Nessas condições, aquele que digitaram a maior e a menor quantidade de páginas foram, respectivamente, a) Amaro e Celina b) Belisário e Celina c) Amaro e Belisário d) Celina e Jasmin e) Jasmin e Belisário Resp.: a

09) (FAURGS) Duas pessoas formaram uma sociedade, tendo uma delas participado com R$ 11.000,00 e trabalhado 2 dias por semana e a outra participado com R$ 9.000,00 e trabalhado 3 dias por semana. Após algum tempo, obtiveram R$ 9.800,00 de lucro que foi dividido entre elas proporcionalmente ao capital e ao tempo de trabalho de cada uma. Dos valores abaixo, o que representa o lucro do sócio que entrou com o maior capital é

“Dica” : Se x é um número 1) diretamente proporcional a a e b, ao mesmo tempo, escrevemos x = ab.k ;

2) inversamente proporcional a a e b, ao mesmo tempo, escrevemos x = ab

k;

3) diretamente proporcional a a e inversamente proporcional a b, ao mesmo tempo, escrevemos

x =b

ak.


103

a) R$ 2.200,00 b) R$ 4.400,00 c) R$ 5.400,00 d) R$ 6.600,00 e) R$ 7.400,00 Solução:

==

==

kky

kkx

00027.3.9000

00022.2.11000

Substituíndo em x + y = 9 800 obteremos k =5

1 e daí, x = 22 000.

5

1= 4.400,00.

10) Dividir 360 em partes que sejam, ao mesmo tempo, diretamente proporcionais a 5, 8 e 10 e inversamente proporcionais a 6,3 e 4.

Solução: x = 4

10,

3

8,

6

5 kz

ky

k== =

2

5k. Substituindo em x + y + z = 360, obtemos k = 60.

A partir daí, vem que x= 50, y= 160 e z= 150. Resp.: 50,160 e 150. 11) (FCC) Considere que a carência de um seguro-saúde é inversamente proporcional ao valor da franquia e diretamente proporcional à idade do segurado. Se o tempo de carência para um segurado de 20 anos, com uma franquia de R$ 1.000,00 é 2 meses, o tempo de carência para um segurado de 60 anos com uma franquia de R$ 1.500,00 é a) 4 meses b) 4 meses e meio c) 5 meses d) 5 meses e meio e) 6 meses Resp.: a 12) (FCC) No quadro abaixo, têm-se as idades e os tempos de serviço de dois técnicos judiciários do Tribunal Regional Federal de uma certa circunscrição judiciária.

Idade(em anos) Tempo de serviço(em anos) João 36 8

Maria 30 12 Esses funcionários foram incumbidos de digitar as laudas de um processo. Dividiram o total de laudas entre si, na razão direta de suas idades e inversa de seus tempos de serviço no tribunal. Se João digitou 27 laudas, o total de laudas do processo era a) 40 b) 41 c) 42 d) 43 e) 44 Resp.: c 13) (FCC) Dois funcionários de uma Repartição Pública foram incumbidos de arquivar 164 processos e dividiram esse total na razão direta de suas respectivas idades e inversa de seus respectivos tempos de serviço público. Se um deles tem 27 anos e 3 anos de tempo de serviço e o outro 42 anos e está há 9 anos no serviço público, então a diferença positiva entre os números de processos que cada um arquivou é a) 48 b) 50 c) 52 d) 54 e) 56 Resp.: c


104

►REGRAS DE TRÊS São usadas para resolver problemas que envolvem grandezas proporcionais.

Exemplos: 1) As grandezas A e B abaixo são diretamente proporcionais. Determine x e y:

Resp.: x = 8

Resp.: x=2, y=3,5 2) As grandezas A e B abaixo são inversamente proporcionais.

Determine x:

Resp.:x=12

Resp.: x=5

REGRA DE TRÊS Simples Direta: envolve duas GDP

Inversa: envolve duas GIP

Composta: envolve mais de duas grandezas

Exemplos

1) Paguei $ 600 por 5m de um tecido. Quanto pagaria por 8m desse tecido?

5m 600

8m x

Temos aqui duas GDP (veja o sentido das setas). Logo:

9605

8.600x

x

600

8

5==⇒=

Resp.: $ 960

2) Um carro, com a velocidade de 80km/h, percorre um trajeto em 4h. Em quanto tempo esse mesmo trajeto seria percorrido se a velocidade do carro fosse de 64km/h?

80km/h 4h

64km/h x

Agora temos duas GIP (veja o sentido das setas). Logo:

Duas grandezas são direta ou inversamente proporcionais (GDP ou GIP) quando os valores numéricos assumidos por elas são, respectivamente, números direta ou inversamente proporcionais.

A 20 30 40 B 4 6 x

A 10 8 14 B 2,5 x y

A 6 12 B 24 x

A 8 x B 10 16


105

564

80.4x

4

x

64

80==⇒=

Resp.: 5 horas

3) Numa indústria, quatro máquinas trabalhando 8 dias produzem 600 peças. Em quantos dias duas máquinas produziriam 900 peças?

GIP GDP

4 máquinas 8 dias 600 peças

2 máquinas x dias 900 peças

Relacionamos a grandeza que contém a incógnita, isoladamente, com cada uma das outras. Vemos que “tempo” e “máquinas” são GIP e “tempo” e “peças” são GDP. Assim, temos:

24x900

600

4

2

x

8=⇒⋅=

Resp.: 24 dias

4. Um operário levou 10 dias de 8 horas para fazer 1000m de fazenda. Quantos dias de 6 horas levaria para fazer 2000m de outra fazenda que apresenta uma dificuldade igual aos 3/4 da primeira?

8h 1000 m dif. 4 10d

xd 6h 2000 m dif. 3

20x3

4

2000

1000

8

6

x

10=⇒⋅⋅=

Resp.: 20 dias

EXERCÍCIOS 01. Com 100 kg de trigo pode-se fazer 85 kg de farinha. Qual a quantidade de farinha que se obtém com 480 kg de trigo?

Resp.: 408 kg

02. A sombra de uma chaminé mede 4,5 m e a de uma vara vertical, no mesmo instante, é 0,9 m. Calcule a altura da chaminé sabendo-se que a vara tem 2 m de comprimento.

Resp.: 10m


106

03. Um parafuso avança 33 mm em cada 6 voltas. Qual o número de voltas para avançar 77 mm?

Resp.: 14

04. Uma torneira despeja em meia hora 600 litros de água. Quantos litros são escoados em 8 minutos?

Resp.: 160

05.(FDRH) Em cada 3m2 de uma fazenda são plantadas 15 sementes. O número de hectares necessários para se plantar 200 mil sementes é...

Resp.: 4

06. (CESGRANRIO) O faxineiro A limpa certo salão em 4 horas. O faxineiro B faz o mesmo serviço em 3 horas. Se A e B trabalharem juntos, em quanto tempo, aproximadamente, espera-se que o serviço seja feito?

a)2h7min b)2h5min c)1h57min d)1h43min e)1h36min

Solução:

1) Em 1h, A e B limpam juntos: 12

7

3

1

4

1=+ do salão.

2)

1............12

7..........1

x

h

Como as grandezas são diretamente proporcionais (GDP) teremos x =7

12

12/7

1.1= h, ou seja,

x= 1h43min aproximadamente.

Resp.: d

07. (FCC) Trabalhando individualmente, o funcionário A é capaz de cumprir certa tarefa em 8 horas, o funcionário B em 6 horas e o funcionário C em 5 horas. Nessas condições, se trabalharem juntos na execução dessa tarefa, o esperado é que ela seja cumprida em, aproximadamente, a) 1 hora e 40 minutos b) 2 horas, 2 minutos e 2 segundos c) 2 horas e 20 minutos d) 2 horas, 22 minutos e 30 segundos e) 2 horas e 54 minutos Resp.: b 08. (ESAF) Existem duas torneiras para encher um tanque vazio. Se apenas a primeira torneira for aberta, ao máximo, o tanque encherá em 24 horas. Se apenas a segunda torneira for aberta, ao máximo, o tanque encherá em 48 horas. Se as duas torneiras forem abertas ao mesmo tempo, ao máximo, em quanto tempo o tanque encherá? a) 12 horas b) 30 horas c) 20 horas d) 24 horas e) 16 horas


107

Resp.: e 09. (FCC) Pretendendo fazer uma viagem à Europa, Mazza foi certo dia a uma agência do Banco do Brasil comprar euros e dólares. Sabe-se que ela usou R$ 6 132,00 para comprar € 2 800,00 e que, com R$ 4 200,00 comprou US$ 2 500, 00. Com base nessas duas transações, é correto afirmar que, nesse dia, a cotação do euro em relação ao dólar, era de 1 para a) 1,3036 b) 1,3606 c) 1,3844 d) 1,4028 e) 1,4204 Resp.: a 10. (FAURGS) Uma comunicação veiculada na televisão dura 9 segundos. O número de horas correspondente a esse tempo é a) 0,25.10-3 b) 2,5.10-3 c) 25.10-3 d) 2,5.10-1 e) 0,25.10 Resp.: b 11 .(FCC) Certa máquina gasta 20 segundos para cortar uma folha de papelão de formato retangular em 6 pedaços iguais. Assim sendo, quantos segundos essa mesma máquina gastaria para cortar em 10 pedaços iguais outra folha igual à primeira se, em ambas as folhas, todos os cortes devem ter o mesmo comprimento? a) 36 b) 35,5 c) 34 d) 33,3 e) 32 Resp.: a 12. Uma roda com 50 dentes engrena com outra de 40. Qual o número de voltas da primeira, quando a segunda dá 600 voltas por minuto?

Solução:

xdentes

vdentes

..........50

min/600.........40

Como as grandezas são inversamentes proporcionais (GIP), escrevemos 60050

40 x= e daí

obtemos x = 480 v/min.

Resp.: 480

13. (CESGRANRIO) Uma pessoa x pode realizar uma certa tarefa em 12 horas. Outra pessoa y, é 50% mais eficiente que x. Nessas condições, o número de horas necessárias para que y realize essa tarefa é

a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8


108

Resp.: e

14. (UFRGS) A quantidade de água que deve ser evaporada de 300g de uma solução salina(água e sal) a 2%(sal) para se obter uma solução salina a 3%(sal) é

a) 90g b) 94g c) 97g d) 98g e) 100g

Resp.: e 15. Um livro tem 300 páginas com 25 linhas em cada uma. Para reimprimí-lo, empregando os mesmos caracteres, quantas páginas de 30 linhas são necessárias? Resp.: 250 16. Para transportar certo volume de areia para uma construção, foram necessários 20 caminhões de 4m3 de areia cada um. Se cada caminhão pudesse conter 5m3 de areia, quantos caminhões seriam necessários para fazer o mesmo serviço? Resp.: 16 17.(ESAF) Floriano e Peixoto são funcionários do Ministério Público da União e, certo dia, cada um deles recebeu um lote de processos para arquivar. Sabe-se que :

- os dois lotes tinham a mesma quantidade de processos;

- ambos iniciaram suas tarefas quando eram decorridos 96

37 do dia e trabalharam juntos

ininterruptamente até concluí-la; - Floriano gastou 1hora e 45 minutos para arquivar todos os processos de seu lote; - Nas execuções das respectivas tarefas, a capacidade operacional de Peixoto foi 60% da

de Floriano. Nessas condições, Peixoto completou a sua tarefa às a) 11 horas e 15 minutos. b) 11 horas e 20 minutos. c) 11 horas e 50 minutos. d) 12 horas e 10 minutos. e) 12 horas e 25 minutos.

Solução:

1º) Início das tarefas: h4

3724

96

37=× = 9h15min ( ou 555 min );

2º) Tempo gasto por Peixoto para realizar sua tarefa: Cap.Operacional 100 (Floriano).........105 min Cap.Operacional 60 (Peixoto)............x min Como as grandezas são inversamente proporcionais ( GIP), escrevemos

10560

100 x= ⇒ x = 175 min ( ou 2h 55min );

3º) 9h 15min + 2h 55min = 12h 10 min (ou 555min + 175 min= 730 min= 12h10min).

Resp.: d


109

18. Vinte homens podem arar um campo em 6 dias, trabalhando 9 horas por dia. Quanto tempo levarão para arar o mesmo campo 12 homens trabalhando 5 horas por dia?

Resp.: 18 dias

19. (CESGRANRIO) Em 3 dias, 72.000 bombons são embalados, usando-se 2 máquinas embaladoras funcionando 8 horas por dia. Se a fábrica usar 3 máquinas iguais às primeiras, funcionando 6 horas por dia, em quantos dias serão embalados 108.000 bombons?

a) 3 b) 3,5 c) 4 d) 4,5 e)5

Resp.: c

20. (ESAF) Com 50 trabalhadores, com a mesma produtividade, trabalhando 8 horas por dia, uma obra ficaria pronta em 24 dias. Com 40 trabalhadores, trabalhando 10 horas por dia, com uma produtividade 20% menor que os primeiros, em quantos dias a mesma obra ficaria pronta? a) 24 b) 16 c) 30 d) 15 e) 20 Resp.: c

21. Um ciclista percorreu 150 km em 2 dias, pedalando 3 horas por dia. Em quantos dia faria uma viagem a 400 km pedalando 4 horas por dia?

Resp.: 4

22. Se 3

2 de uma obra foi realizada em 5 dias por 8 operários, trabalhando 6 horas por dia, o

restante da obra será feito, agora com 6 operários, trabalhando 10 horas por dia em...

Resp.: 2 dias

23. Um livro tem 300 páginas, cada página 40 linhas e cada linha 54 letras. Utilizando-se os mesmos caracteres na reimpressão do livro, quantas páginas ele terá com 45 linhas por página e 50 letras por linha?

Resp.: 288 24. Para construir um canal de 104m de comprimento por 5m de profundidade e 7m de largura, 100 operários, trabalhando 7 horas por dia levaram 2 meses e meio. Aumentando de 400 o número de operários e fazendo-os trabalhar 10 horas por dia, em quanto tempo os operários construiriam um outro canal com o mesmo comprimento, porém de profundidade e largura dupla do primeiro?

Resp.: 42 dias

25. Quinze operários, com capacidade 5, abriram uma vala de 300 metros de comprimento, trabalhando 10 horas por dia, num terreno de dificuldade 3. Vinte operários, com capacidade 4, trabalhando 12 horas por dia, num terreno de dificuldade 2, abririam uma vala de quantos metros de comprimento?

Resp.: 576m

26. Uma firma construtora preparou 20 km de leito da estrada contratada em 200 dias e 8 horas de jornada de trabalho, utilizando 9 máquinas e empre gando 45 homens. Em quantos dias de trabalho concluirá a preparação de outros 24 km, da mesma estrada, se utilizar na obra 10 máquinas e 48 homens em jornada diária de 9 horas, sabendo-se que a dificuldade deste trecho é

5

4 da do trecho concluído?

Resp.: 144 dias


110

28. Um gato e meio come uma sardinha e meia em um minuto e meio. Em quanto tempo 9 gatos comerão uma dúzia e meia de sardinhas? Solução: 1,5 gatos...........1,5 sardinhas.........1,5 min 9 gatos..............18 sardinhas.......... x min

18

5,1.

5,1

95,1=

x e daí, obtemos x = 3.

Resp.: 3 minutos 29. Se 100 raposas comem 100 galinhas em 100 minutos, uma raposa come uma galinha em quantos minutos? a) 20 b) 40 c) 60 d) 80 e) 100 Resp.: e ►PORCENTAGEM Uma porcentagem é uma razão na qual o consequente é 100. Simbologia: % Exemplos:

==

==

==

47,1100

147%147)3

27,0100

27%27)2

05,0100

5%5)1

a) Aumento (acréscimo)

=

=

=

aumentodetaxai

finalvalorVf

inicialvalorVo

⇒ Vf = Vo (1 + i) , onde 1 + i = fator de aumento.

Exemplo:

Vo = $ 50 i = 35% (aumento) Vf = ? ⇒ Vf = 50 x 1,35 = 67,50 b) Diminuição (desconto)

=

=

=

descontodetaxai

finalvalorVf

inicialvalorVo

⇒ Vf= Vo (1 - i) , onde 1 - i = fator de desconto.


111

Exemplo: Vo = $ 120 i = 10% (desconto) Vf= ? ⇒ Vf = 120 x 0,90 = 108 c) Aumentos sucessivos Vf = Vo (1 + i1) (1 + i2)... (1 + in) Exemplo: Uma mercadoria de valor $ 100 sofre dois aumentos sucessivos de 10%. Qual o valor final da mercadoria? Vf= 100 x 1,10 x 1,10 = 100 x 1,21 = $ 121 d) Descontos sucessivos Vf = Vo (1 - i1) (1 - i2)... (1 - in)

Exemplo: Sobre uma fatura de valor igual a $ 200 incidiram os descontos sucessivos de 30% e 5%. Qual o valor líquido da fatura? Vf = 200 x 0,70 x 0,95 = $ 133

EXERCICIOS 01) (ESAF) De todos os empregados de uma grande empresa, 30% optaram por realizar um curso de especialização. Esta empresa tem sua matriz localizada na capital. Possui também duas filiais, uma em Ouro Preto e outra em Montes Claros. Na matriz trabalham 45% dos empregados e na filial de Ouro Preto trabalham 20% dos empregados. Sabendo-se que 20% dos empregados da capital optaram pela realização do curso e que 35% dos empregados da filial de Ouro Preto também o fizeram, então a percentagem dos empregados da filial de Montes Claros que não optaram pelo curso é igual a ? Resp.: 60 % 02) (PUCRS)- Se x% de y é igual a 20, então y% de x é igual a a) 2 b) 5 c) 20 d) 40 e) 80 Resp.: c 03) Um banco ia emprestar a 15 clientes. Na última hora chegaram mais 5. De quantos por cento variou o empréstimo a cada um, se todos receberam por igual? a) 5% b) 10% c) 15% d) 20% e) 25% Resp. : e 04) (FCC) Um técnico judiciário arquivou 20% do total de processos de um lote. Se 35% do número restante corresponde a 42 processos, então o total existente inicialmente no lote era a) 110 b) 120 c) 140 d) 150 e) 180 Resp.: d 05) (FCC) Na venda de um certo produto, um vendedor consegue um lucro de 20% sobre o preço de custo. Portanto, a fração equivalente à razão entre o preço de custo e o preço de venda é a) 1/5 b) 2/5 c) 2/3 d) 3/4 e) 5/6


112

Solução: supondo Preço de Custo C= 100 teremos Preço de Venda V = 120. Daí:

6

5

120

100==

V

C

Resp.: e 06) (FAURGS) Uma mistura contém apenas duas substâncias, x e y, que apresentam, entre si, a razão de 7 para 9 respectivamente. A porcentagem de y nessa mistura é a) 43,75% b) 47,55% c) 56,25% d) 65,25% e) 87,53% Resp.: c 07) (CESGRANRIO) Em uma agência bancária trabalham 40 homens e 25 mulheres. Se, do total de homens, 80% não são fumantes e, do total de mulheres, 12% são fumantes, então o número de funcionários dessa agência que são homens ou fumantes é a) 42 b) 43 c) 45 d) 48 e) 49 Resp.: b 08) (ESAF) Em uma repartição, 3/5 do total dos funcionários são concursados, 1/3 do total dos funcionários são mulheres e as mulheres concursadas correspondem a 1/4 do total do total dos funcionários dessa repartição. Assim, qual entre as opções abaixo, é o valor mais próximo da porcentagem do total dos funcionários dessa repartição que são homens não concursados? a) 21% b) 19% c) 42% d) 56% e) 32% Resp.: e 09) (FCC) Dos funcionários concursados lotados em certa repartição pública, sabe-se que a razão entre o número de homens e o de mulheres, nesta ordem, é 1,20. Se 88% dos funcionários dessa repartição são concursados, então, relativamente ao total de funcionários, a porcentagem de funcionários concursados do sexo a) feminino é maior que 42%. b) masculino está compreendida entra 45% e 52%. c) feminino é menor que 35%. d) masculino é maior que 50%. e) masculino excede a dos funcionários do sexo feminino em 6%. Resp.: b 10) (FCC) Paulo digitou 1/5 das X páginas de um texto e Fábio digitou 1/4 do número de páginas restantes. A porcentagem de X que deixaram de ser digitadas é a) 20% b) 25% c) 45% d) 50% e) 60% Resp.: e


113

11) (ESAF) Em uma universidade, 56% dos alunos estudam em cursos da área de ciências humanas e os outros 44% estudam em cursos da área de ciências exatas, que incluem matemática e física. Dado que 5% dos alunos da universidade estudam matemática e 6% dos alunos da universidade estudam física e que não é possível estudar em mais de um curso na universidade, qual a proporção dos alunos que estudam matemática ou física entre os alunos que estudam em cursos de ciências exatas? a) 20,00% b) 21,67% c) 25,00% d) 11,00% e) 33,33% Resp.: c 12) (ESAF) Em um determinado curso de pós-graduação, 1/4 dos participantes são graduados em matemática, 2/5 dos participantes são graduados em geologia, 1/3 dos participantes são graduados em economia, 1/4 dos participantes são graduados em biologia e 1/3 dos participantes são graduados em química. Sabe-se que não há participantes do curso com outras graduações além dessas, e que não há participantes com três ou mais graduações. Assim, qual é o número mais próximo da porcentagem de participantes com duas graduações? a) 40% b) 33% c) 57% d) 50% e) 25% Resp.: c 13) A produção de trigo num dado ano foi de 80 t e no ano seguinte aumentou 5%. A nova produção de trigo foi de? Solução: Vf = Vo(1+i) ⇒ Vf = 80(1,05) =84 t 14) Numa competição,um nadador cujo tempo era de 50s, diminui em 10% o seu tempo. O seu novo tempo é de? Solução: Vf = Vo(1-i)⇒ Vf = 50 (0,9) = 45 s 15) Ao pagar a conta de um restaurante, paguei $ 165,00 já incluindo 10% de gorjeta para o garçom. O valor da conta, sem a gorjeta, foi de? Solução:

Vf=Vo(1+i)⇒ 165 = Vo(1,1) ⇒ Vo = 1501,1

165=

Resp.: $ 150,00 16) (FCC) Considere que, do custo de produção de determinado produto, uma empresa gasta 25% com mão de obra e 75% com matéria-prima. Se o gasto com a mão de obra subir 10% e o de matéria-prima baixar 6%, o custo do produto a) baixará de 2%. b) aumentará de 3,2%. c) baixará de 1,8%. d) aumentará de 1,2%. e) permanecerá inalterado. Resp.: a


114

17) (FAURGS) João vendeu dois terrenos por $ 12.000,00 cada um. Um deles deu 20% de lucro em relação ao custo. O outro, 20% de prejuízo em relação ao custo. Na venda de ambos, João a) ganhou $1.000,00 b) perdeu $ 1.000,00 c) não perdeu nem ganhou d) perdeu $ 400,00 e) ganhou $ 400,00 Resp.: b 18) No 1º dia de um certo mês ,uma ação estava cotada a $20,00. Do dia 1º até o dia 15 do mesmo mês, ela sofreu um aumento de 15%. Do dia 15 até o dia 25, sofreu uma queda de 7%. Qual a cotação da ação no dia 25 ? Solução: Vf = 20 x 1,15 x 0,93 = $21,39. 19) (UFRGS) Num semestre a inflação foi de 32% e, ao final dele, um trabalhador teve reposição salarial de 20%. Para que o poder de compra desse trabalhador fosse mantido no mesmo patamar do início do semestre, o salário já reajustado em 20 % deveria, ainda, sofrer um reajuste de a) 10% b) 12% c) 16% d) 20% e) 32%

Solução: (1,20)(1+i) = 1,32 ⇒ 1+i = 1,120,1

32,1= ⇒ i = 0,1 ou 10%.

20) (FCC) Duas lojas têm o mesmo preço de tabela para um mesmo artigo e ambas oferecem dois descontos sucessivos ao comprador: uma, de 20% e 20%; e a outra, de 30% e 10%. Na escolha da melhor opção, um comprador obterá, sobre o preço de tabela, um ganho de a) 34% b) 36% c) 37% d) 39% e) 40% Resp.: c 21) (FCC) Certo mês, um comerciante promoveu uma liquidação em que todos os artigos de sua loja tiveram os preços rebaixados em 20%. Se, ao encerrar a liquidação o comerciante pretende voltar a vender os artigos pelos preços anteriores aos dela, então os preços oferecidos na liquidação devem, ser aumentados em a) 18,5% b) 20% c) 22,5% d) 25% e) 27,5% Resp.: d 22) (FAURGS) Certa empresa projeta um aumento anual de 50% em sua produção. Se, em determinado ano, ela produz 1.000 unidades de determinado produto, então, 3 anos após, o número de unidades desse produto produzido pela empresa é estimado em a) 50%(1000)3 b) 3(0,5)1000 c) 1,5(1000.3) d) 1000(1,5)3 e) 1000(0,50)3 Solução: Vf = 1000(1,5)(1,5)(1,5) = 1000(1,5)3 Resp.: d


115

23) (FCC) Em dezembro de 2007, um investidor comprou um lote de ações de uma empresa por R$ 8.000,00. Sabe-se que: em 2008 as ações dessa empresa sofreram uma valorização de 20%; em 2009, sofreram uma desvalorização de 20% em relação ao seu valor no ano anterior; em 2010, se valorizaram em 20% em relação ao seu valor em 2009. De acordo com essas informações, é verdade que, nesses três anos, o rendimento percentual do investimento foi de: a) 20% b) 18,4% c) 18% d) 15,2% e) 15% Resp.: d 24) (ESAF) Uma estranha clínica veterinária atende apenas cães e gatos. Dos cães hospedados, 90% agem como cães e 10% agem como gatos. Do mesmo modo, dos gatos hospedados 90% agem como gatos e 10% agem como cães. Observou-se que 20% de todos os animais hospedados nessa estranha clínica agem como gatos e que os 80% restantes agem como cães. Sabendo-se que na clínica veterinária estão hospedados 10 gatos, o número de cães hospedados nessa estranha clínica é a) 10 b) 20 c) 40 d) 50 e) 70

Solução:

+=

==

=

10

10º

º

canimaisdetotal

gatosdeng

cãesdenc

1º) 90% de c = c10

9 agem como cães e 10% de c = c

10

1agem como gatos

2º) 90% de g = 9 agem como gatos e 10% de g = 1 age como cão; 3º) Como 20% de todos os animais da clínica agem como gatos, temos:

910

1)10(

100

20+=+ cc e a partir daí, obtemos c = 70.

Resp.: e


116

10. RACIOCÍNIO SEQUENCIAL 01. Determine os valores de x e y nas seqüências a seguir:

a) 3, 6, 10, 15, 21, 28, x b) 0, 4, 16, 36, 64, 100, 144, x c) 1, 8, 27, 64, x, y Resp.: a)36 b)196 c)125 e 216 02. Determine o valor de x nas seqüências a seguir:

a) 16, 15, 13, 12, 10, 9, x,... b) 3, 8, 5, 10, 7, x,... c) 10, 8, 16, 13, 39, 35, x,... d) 30, 15, 45, 15, 60, x,... e) 4, 7, 9, 11, 14, 15, 19, x,... f ) 0, 3, 8, 15, x,... Resp.: a)7 b)12 c)140 d)15 e)19 f)24

03. Determine o 7o termo de cada uma das sequências abaixo : a)1/2, 3/4, 1, 5/4, 3/2, 7/4,... b)7/8, 1/2, 1, 5/8, 9/8, 3/4,.. Resp.: a)2 b)5/4

04.Determine o próximo termo da seqüência (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...) Resp.: 34

05.(FCC) Considere que os termos da sucessão (0, 1, 3, 4, 12, 13,...) obedecem a uma lei de formação. Somando o oitavo e o décimo termos dessa sucessão obtém-se um número compreendido entre a) 70 e 90 b) 90 e 110 c) 110 e 130 d) 130 e 150 e) 150 e 170

Solução: A lei de formação da sequência é composta por duas leis aplicadas alternadamente, que são “mais um” e “vezes três”. De fato, observe: 1º termo: 0 2º termo: 0+1=1 3º termo: 1×3=3 4º termo: 3+1=4 5º termo: 4×3=12, e assim por diante. Escrevendo os dez primeiros termos da sequência, teremos: 0, 1, 3, 4, 12, 13, 39, 40, 120, 121,... e a soma do oitavo com o décimo termos é 40 + 121 = 161. Resp.: e

06.(FCC) Considere que os termos da seqüência seguinte foram sucessivamente obtidos

segundo determinado padrão: (3, 7, 15, 31, 63, 127, 255, ...) O décimo termo dessa sequência é a) 1537 b) 1929 c) 1945 d) 2047 e) 2319


117

Resp.: d 07) (FCC) Considere que os termos da sequência seguinte foram obtidos segundo determinado critério:

(1

1,

4

5,

3

3,

12

15,

11

13,

44

65,

43

63, ... )

Se y

x é o nono termo dessa sequência, obtido de acordo com essa critério, então a soma x +

y é um número a) maior que 500 b) menor que 400 c) múltiplo de 7 d) ímpar e) quadrado perfeito Resp.: e

08. (CESGRANRIO)

−=

=

=

−− 21

2

1

3

2

nnn aaa

a

a

Qual é o 70º termo da sequência de números (an) definida acima? a) 2 b) 1 c) -1 d) -2 e) -3 Resp.: d

09.(BACEN) ...

...,

49

64,

36

25,

9

16,

4

1

a) 90

82 b)

100

81 c)

72

100 d)

72

99 e)

81

100

Resp. : b

10. Determine o próximo termo da sequência C3, 6G, M10, ... Resp.: 15S

11. (FUNRIO) O N-ésimo termo da sucessão (1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, ...) é representado por

AN, sendo N um número inteiro maior do que zero. O valor de (A50 - A48) é: a) 4804 b) 5101 c) 5000 d) 4901 e) 5225 Resp.: d

12. O próximo termo da seqüência 2, 10, 12, 16, 17, 18, 19, ... é

a) 20 b) 24 c) 32 d) 120 e) 200 Solução: todos os números da seqüência dada começam com a letra “D”. O próximo número seria “Duzentos”. Resp.: e


118

{

M 1 + in

17.500 1+0,50×3

{

}

11. MATEMÁTICA FINANCEIRA

1. JUROS SIMPLES Simbologia: C = capital inicial (principal); i =taxa unitária de juros; n = nº de períodos (prazo); J = total de juros em n períodos; M = montante no final de n períodos = C + J

No regime de Juros Simples, a taxa incide sempre sobre o capital inicial C, originando um juro igual a Ci, em todos os períodos. Assim, o total de juros no final de n períodos é: J = Ci + Ci +... +Ci = Cin n parcelas Logo, J = Cin e M = C + J ou M = C(1 + in) Observação: Nas fórmulas acima, a taxa (i) e o prazo (n) devem usar a mesma unidade de tempo. Exemplos: 1) Calcule os juros simples obtidos nos seguintes casos:

Capital Taxa Prazo a) $ 2.000 1% a.m. 5 meses b) $15.000 18% a.a. 8 meses c) $18.000 0,2% a.d. 3 meses e 10 dias

a) J = 2.000 × 0,01 × 5 = $ 100 b) J = 15.000 u.m. × 0,18 × 8/12 = $ 1.800 c) J = 18.000 × 0,002 × 100 = $ 3.600 . 2) Qual o capital que produz o montante de $ 17.500, em um ano e meio, à taxa de 50% a.s.? C = ? M = $17.500,00 n = 1 ano e meio = 3 semestres i = 0,50 a.s.

M = C(1 + in) ⇒ C = = = 7.000. Logo, C= $7.000,00.


119

TAXAS EQUIVALENTES EM JUROS SIMPLES De um modo geral, dizemos que duas taxas de juros (simples ou compostos) são Equivalentes, quando, aplicadas ao mesmo capital, durante o mesmo tempo, produzem juros iguais. Seja i = taxa de juros simples no período inteiro, k = nº de períodos nos quais subdividiu-se o período inteiro e ik = taxa em cada um dos k subperíodos. Tomemos um capital C qualquer e o prazo n = 1. Para que i e ik sejam taxas equivalentes, devemos ter C · i · 1 = C · ik · k ⇒⇒⇒⇒ i = k · ik ou ik = . k que é a fórmula das taxas equivalentes em Juros Simples.

Nota: Quando i é a taxa anual (i = ia), os valores mais usuais de k são:

k = 2 ⇒ taxa semestral = is

k = 3 ⇒ taxa quadrimestral = iq

k = 4 ⇒ taxa trimestral = it

k = 6 ⇒ taxa bimestral = ib

k = 12 ⇒ taxa mensal = im

k = 360 ⇒ taxa diária = id Para estes valores de k, a fórmula acima desdobra-se em:

ia = 2is = 3iq = 4it = 6ib = 12im = 360id

CAPITAIS EQUIVALENTES (CONCEITO GERAL) O conceito geral de capitais equivalentes, aplicável tanto ao regime de juros simples quanto ao regime de juros compostos é o seguinte:

Exemplo: O capital de $ 980,00 daqui a 4 meses equivale ao capital de $ 700,00 hoje(data zero), considerada a taxa de juros simples de 10% a.m.

De fato, na data focal 0, o capital de $ 980,00 valerá 4.10,01

980

+= $ 700,00.

Obs.: trabalharemos detalhadamente o conceito de equivalência de capitais nos exercícios.

Vemos que no Juros Simples, as Taxas Equivalentes são Taxas Proporcionais.

“Dois capitais são ditos equivalentes, a uma determinada taxa de juros, quando os seus valores atuais (ou futuros), calculados numa mesma data (data focal), à mesma taxa de juros, são iguais”.

i


120

EXERCÍCIOS

01. Um banco cobra a taxa (nominal) de 10% a.m. nas suas operações de empréstimo pessoal para pagamento em 30 dias, mas cobra os juros antecipadamente, na data da assinatura do contrato. Qual a taxa efetiva cobrada na operação?

02.(CESGRANRIO)- Uma pessoa pretende fazer um empréstimo a juros simples de 3% a.m. No final de 4 meses, ela poderá pagar, no máximo, $1.400,00. Nessas condições, essa pessoa poderá tomar emprestado, por 4 meses, o valor máximo de a) $1.200,00 d) $1.250,00 b) $1.225,00 e) $1.274,00 c) $1.232.00 03.(CESGRANRIO)- A que taxa anual de juros simples deve-se aplicar um capital para que, ao final de 20 meses, o seu valor seja triplicado?

a) 10% b) 60% c) 100% d) 120% e) 150%

04.(CESGRANRIO)- Um capital de $15.000,00 foi aplicado a juros simples à taxa bimestral de 3%. Para que seja obtido um montante de $19.050,00, o prazo dessa aplicação deverá ser de a) 1 ano e 10 meses b) 1 ano e 9 meses c) 1 ano e 8 meses d) 1 ano e 6 meses e) 1 ano e 4 meses 05. (FCC) Um capital foi aplicado a juros simples, à taxa anual de 36%. Para que seja possível resgatar-se o quádruplo da quantia aplicada, esse capital deverá ficar aplicado por um período mínimo de : a) 7anos, 6 meses e 8 dias b) 8 anos e 4 meses c) 8 anos, 10 meses e 3 dias d) 11 anos e 8 meses e) 11 anos, 1 mês e 10 dias Resp.: b 06. (CESGRANRIO)- Uma geladeira é vendida à vista por R$ 1.000,00 ou em duas parcelas, sendo a primeira como uma entrada de R$ 200,00 e a segunda, dois meses após, no valor de R$ 880,00. Qual a taxa mensal de juros simples utilizada? a) 6% b) 5% c) 4% d) 3% e) 2% 07. (FCC) Na compra de um par de sapatos, Lucimara pode optar por duas formas de pagamento: - à vista, por R$ 225,00; - R$ 125,00 no ato da compra mais uma parcela de R$ 125,00, um mês após a compra.

A taxa efetiva de juros numa operação financeira qualquer, é a taxa que efetivamente é paga (ou recebida) na operação e, é obtida considerando-se o valor líquido recebido (ou pago) .


121

Se Lucimara optar por fazer o pagamento parcelado, a taxa mensal de juros simples cobrada nesse financiamento é de a) 30% b) 27% c) 25% d) 20% e) 10% Resp.: c 08.(ESAF) Indique nas opções abaixo, qual a taxa anual unitária equivalente à taxa de juros simples de 5% ao mês. a) 60,0 b) 1,0 c) 12,0 d) 0,6 e) 5, 0 09.(CESGRANRIO)- Qual o tempo necessário para que o montante produzido pela aplicação de R$ 1.050,00, à taxa de juros simples de 8% a.m., se iguale ao montante produzido pela aplicação de R$ 1.470,00 à taxa de juros simples de 5% a.m., considerando que ambos os capitais foram aplicados na mesma data? a) 40 meses b) 36 meses c) 28 meses d) 44 meses e) 41 meses 10.(FDRH) Um indivíduo aplica 3/5 de seu capital à taxa de juros simples de 24% ao ano, e o restante a juros simples de 12% ao trimestre. Decorridos 10 meses, da aplicação, ele ganha R$ 5.600,00 de juros. Qual o valor do seu capital inicial? a) R$ 10.752,00 b) R$ 15.680,66 c) R$ 18.000,00 d) R$ 20.000,00 e) R$ 23.333,33 11.(FDRH) Um investidor aplicou, a juros simples, um certo capital. Após 8 meses de aplicação, ele faz uma consulta a seu saldo e verifica que já existe o montante de R$ 7.500,00. Finda a aplicação, quatro meses após essa consulta, ele encontra um saldo de R$ 8.200,00. Qual foi o valor da taxa de juros utilizada, sabendo que a mesma ficou inalterada ao longo de todo o período de aplicação? a) 3,28% b) 2,86% c) 2,34% d) 2,08% e) 1,82% 12. (CESGRANRIO)- Um capital foi aplicado a juros simples e, ao completar um período de 1 ano e 4 meses, produziu um montante equivalente a 7/5 de seu valor. A taxa mensal dessa aplicação foi de a) 2% b) 2,2% c) 2,5% d) 2,6% e) 2,8% 13. Uma pessoa possui um financiamento a taxa de juros simples de 10% a.m.. O valor total dos pagamentos a serem efetuados é de $1.400,00. As condições contratuais prevêem que o pagamento deste financiamento será efetuado em duas parcelas. A primeira parcela, no valor de setenta por cento do total dos pagamentos, será paga ao final do quarto mês, e a segunda parcela, no valor de trinta por cento do total dos pagamentos, será paga ao final do décimo primeiro mês. 0 valor que mais se aproxima do valor financiado é:


122

a) $ 816,55 b) $ 900,00 c) $ 945,00 d) $ 970,00 e) $ 985,00 14. (ESAF) Uma conta no valor de R$ 2.000,00 deve ser paga em um banco na segunda-feira, dia 8. O não pagamento no dia do vencimento implica uma multa fixa de 2% sobre o valor da conta mais o pagamento de uma taxa de permanência de 0,2% por dia útil de atraso, calculada como juros simples, sobre o valor da conta. Calcule o valor do pagamento devido no dia 22 do mesmo mês, considerando que não há nenhum feriado bancário no período. a) R$ 2.080,00 b) R$ 2.084,00 c) R$ 2.088,00 d) R$ 2.096,00 e) R$ 2.100,00 15. (FCC) Um capital de R$ 750,00 esteve aplicado a juros simples, produzindo, ao fim de um trimestre, o montante de R$ 851,25. A taxa anual de juro dessa aplicação foi a) 48% b) 50% c) 54% d) 56% e) 63%

16. (FCC) Uma pessoa tem R$ 2 000,00 para investir. Se aplicar 4

3dessa quantia a juro simples,

à taxa mensal de 5%, então, para obter um rendimento mensal de R$ 90,00, deverá investir o restante à taxa mensal de a) 1% b) 2% c) 3% d) 4% e) 5% 17. (FCC) Um capital foi aplicado a juros simples da seguinte maneira: metade à taxa de 1% ao

mês por um bimestre, 5

1 à taxa de 2% ao mês por um trimestre e o restante à taxa de 3% ao mês

durante um quadrimestre. O juro total arrecadado foi de R$ 580,00. O capital inicial era a) R$ 5 800,00 b) R$ 8 300,00 c) R$ 10 000,00 d) R$ 10 200,00 e) R$ 10 800,00

GABARITO - JUROS SIMPLES

01. 11,11% 07. c 13. b 02. d 08. d 14. a 03. d 09. a 15. c 04. d 10. d 16. c 05. b 11. b 17. c 06. b 12. c


123

{

2. JUROS COMPOSTOS

No regime de Juros Compostos os juros de cada período são calculados da seguinte maneira:

J1 = Ci

J2 = (C + J1)i = M1 · i

J3 = (C + J1 + J2)i = M2 · i

etc.

Jn = (C + J1 + J2 + + Jn-1)i = Mn-1 · i

Ou seja: no fim de cada período, o juro é somado ao capital que o produziu (capitalização dos juros), sendo esse montante parcial, o capital inicial para o período seguinte. Sendo J = J1 + J2 + ... + Jn (total dos juros) e M = Montante no fim de n períodos, temos: M = C( 1 + i )n e J = M - C

(1 + i)n é o fator de capitalização = (1 + i )-n é o fator de descapitalização (ou de desconto).

Exemplo: Coloquei $ 2.000,00 em um banco, a juros compostos de 6% a.a., capitalizados anualmente. Quanto receberei no fim de 8 anos?

M = C(1 + i)n

M = 2.000 (1 + 0,06)8

M = 2.000 × 1,593849 = 3.187,69

Resp.: $ 3.187,69

1

(1 + i)n


124

{

{

{

TAXAS EQUIVALENTES EM JUROS COMPOSTOS Seja

i = taxa de juros compostos no período inteiro k = nº de capitalizações no período inteiro ik = taxa de juros compostos em cada um dos k subperíodos

i e ik serão taxas equivalentes se e somente se tivermos

C(1 +i)1 = C(1 + ik)k ⇒⇒⇒⇒ 1 + i = (1 + i)k

Exemplos: a) Qual a taxa semestral equivalente a 6% a.a.?

k = 2 1 + 0,06 = (1 + is)

2

i = ia = 0,06 a.a. (1 + is)2 = 1,06 ⇒ 1 + is =

is = ? is = – 1 = 0,0295 a.s. Resp.: 0,0295 a.s. (ou 2,95% a.s.) b) Qual a taxa anual equivalente a 4% a.m.? k = 12 1 + ia = (1+ 0,04)12

ia = ? ia = (1,04)12 - 1 = 0,60103 a.a.

im = 0,04 a. m. Logo, ia = 60,103% a.a.

TAXAS EFETIVA E NOMINAL Taxa Efetiva: quando o período de capitalização é o mesmo ao qual se refere a taxa. Taxa Nominal: quando o período de capitalização é diferente do período ao qual se refere a taxa. Exemplos: 80% a.a. capitalizados trimestralmente; 135% a.a. capitalizados mensalmente; 10% a.m. capitalizados diariamente


125

CÁLCULO DA TAXA EFETIVA Sendo i = Taxa Efetiva no período inteiro; iN = Taxa Nominal correspondente a i; k = nº de capitalizações no período inteiro, proceder assim:

Exemplo: Qual a taxa anual efetiva correspondente à taxa nominal de 8% a.a., capitalizados trimestralmente? iN = 0,08 a.a., k = 4 1º) it = = 0,02 a.t. ia = ? 2º) 1 + ia = (1 + it)

4 ⇒ ia = (1 + it)4 - 1 =

= (1 + 0,02)4–1= 0,08243 a.a. ou 8,243% a.a.

TABELAS A tabela dada a seguir tem por objetivo mostrar o tipo de tabela financeira que geralmente é dado em provas. Ela poderá ser útil em algumas questões de juros compostos propostas adiante. Para valores que não constem na tabela, sugerimos que o estudante utilize uma calculadora científica (ou financeira).

Tabela do fator de capitalização para pagamento único (1 + i )n

Taxas de juros Prazos 0,5% 1,0% 2,0% 3,0% 4,0% 5,0%

1 1,0050 1,0100 1,0200 1,0300 1,0400 1,0500 2 1,0100 1,0201 1,0404 1,0609 1,0816 1,1025 3 1,0151 1,0303 1,0612 1,0927 1,1249 1,1576 4 1,0202 1,0406 1,0824 1,1255 1,1699 1.2155 5 1,0253 1,0510 1,1041 1,1593 1,2167 1,2763 6 1,0304 1,0615 1,1262 1,1941 1,2653 1,3401 7 1,0355 1,0721 1,1487 1,2299 1,3159 1,4071 8 1,0407 1,0829 1,1717 1,2668 1,3686 1,4775 9 1,0459 1,0937 1,1951 1,3048 1,4233 1,5513

10 1,0511 1,1046 1,2190 1,3439 1,4802 1,6289 11 1,0564 1,1157 1,2434 1,3842 1,5395 1,7103 12 1,0617 1,1268 1,2682 1,4258 1,6010 1,7959

(*) Resultados do cálculo do coeficiente arredondados para uma precisão de quatro casas decimais.

1º) Calcular a taxa efetiva por período: ik = iN / k (Taxa Proporcional) 2º) Usar a fórmula 1 + i = (1 + ik)

k para obter i = (1 + ik)k – 1 que é a taxa efetiva

correspondente a iN.

{

{ 0,08

4


126

EXERCÍCIOS 01.(FAURGS) O valor dos juros que será obtido na aplicação de um capital de R$ 15.000,00 no período de 9 (nove) meses, à taxa de juros composta de 4% a.m., desprezando os centavos na identificação da resposta, equivale a a) R$ 6.349. (Dado: (1,04)9= 1,4233 ) b) R$ 5.400. c) R$ 6.320. d) R$ 5.796. e) R$ 16.850. 02.(CESPE) Um cliente tomou R$ 20.000,00 emprestados de um banco que pratica juros compostos mensais, e, após 12 meses, pagou R$ 27.220,00.

Nesse caso, considerando 1,026 como valor aproximado para 1,361 12

1

, é correto afirmar que a taxa de juros nominal anual, praticada pelo banco foi igual a a) 30,2% b) 31,2% c) 32,2% d) 33,3% e) 34,2% Resp.: b 03. (ESAF) No sistema de juros compostos um capital PV aplicado durante um ano à taxa de 10% ao ano com capitalização semestral resulta no valor final FV. Por outro lado, o mesmo capital PV, aplicado durante um trimestre à taxa de it

% ao trimestre resultará no mesmo valor final FV, se a taxa de aplicação trimestral for igual a a) 26,25% b) 40% c) 13,12% d) 10,25% e) 20% 04. (FCC) Um capital é aplicado, durante 8 meses, a uma taxa de juros simples de 15% ao ano, apresentando um montante igual a R$ 13.200,00 no final do prazo. Se este mesmo capital tivesse sido aplicado, durante 2 anos, a uma taxa de juros compostos de 15% ao ano, então o montante no final deste prazo seria igual a a) R$ 17.853,75 b) R$ 17.192,50 c) R$ 16.531,25 d) R$ 15.870,00 e) R$ 15.606,00 05. Qual a taxa de juros efetiva anual que equivale à taxa de juros composta de 4% a.m., se o resultado, em termos percentuais, for dado com duas casas decimais? (Dado: (1,04)12 = 1,6010 ) a) 60,10% b) 48,00% c) 51,80% d) 59,60% e) 53,00%


127

06.(FDRH) Indique qual a taxa de juros anual equivalente à taxa de juros nominal de 8% ao ano com capitalização semestral (Dado: (1,04)2 = 1,0816 ). a) 8, 20 % b) 8,16% c) 8,10% d) 8,05% e) 8,00% 07.(CESGRANRIO) Qual a taxa efetiva semestral, no sistema de juros compostos, equivalente a uma taxa nominal de 40% ao quadrimestre, capitalizada bimestralmente? a) 75,0% b) 72,8% c) 67,5% d) 64,4% e) 60,0% 08.(FAURGS) Uma instituição financeira paga juros compostos de 18% ao ano, capitalizados quadrimestralmente. Qual a taxa efetiva dos juros pagos pela referida financeira? a) 18,00% b) 18,60% c) 19,10% d) 19,60% e) 19,80% 09. Quanto uma pessoa deve aplicar hoje à taxa de juros compostos de 36% ao ano com capitalização mensal para obter o montante de R$ 2.500,00 após 10 meses? a) R$ 1.573,00 (Dado: (1;03)10 = 1.3439) b) R$ 1.630,12 c) R$ 1.750,00 d) R$ 1.860,26 e) R$ 1.923,08 10. (FUNDATEC) A taxa de juros compostos sobre o crédito do cheque especial de um banco é de 30% ao mês com capitalização diária. Um cliente que utilizar um crédito de R$ 120,00 pagará de juros após10 dias, o total de a) R$ 2,55 (Dado: (1,01)10 = 1,1046) b) R$ 12,55 c) R$ 52,55 d) R$ 92,55 e) R$ 132,55 11. (FAURGS) Um empresário contraiu um empréstimo de R$ 50.000,00, por 6 anos, com juros compostos de 24% ao ano, capitalizados trimestralmente. Passados 4 anos ele decide resgatar a dívida, e o desconto concedido é de 24% ao ano, capitalizados semestralmente. Qual o valor do resgate? a) R$ 128.659,04 (Dados: (1,06)24= 4,0489 e (1,12)4= 1,5735 ). b) R$ 129.341,82 c) R$ 129.930,28 d) R$ 130.720,25 e) R$ 131.001,10 12. (CESGRANRIO) Um aplicador aplica R$ 10.000,00 em um CDB do Banco do Brasil, de 30 dias de prazo e uma taxa prefixada de 3% a.m.. Considerando o Imposto de Renda de 20% no resgate, o valor líquido a ser resgatado pelo aplicador, em reais, e a taxa de rentabilidade efetiva da aplicação são, respectivamente: a) 10.200,00 e 2,35% b) 10.240,00 e 2,35% c) 10.240,00 e 2,40% d) 10.240,00 e 2,45% e) 10.300,00 e 2,40%


128

13. Os fluxos de caixa abaixo são equivalentes a taxa de juros compostos de 5% ao período.

O valor de x é, aproximadamente, de a) $ 60,00 b) $ 72,00 c) $ 77,18 d) $ 84,18 e) $ 144,00 14. (CESPE) Carlos deve a uma instituição financeira um título com valor de resgate de R$ 6.000,00 para vencimento daqui a 5 meses e outro, com valor de resgate de R$ 8.000,00, para vencimento daqui a 10 meses. Nessa situação, se a instituição financeira emprestou as quantias a Carlos à taxa de juros compostos de 2% ao mês, e se Carlos desejar resgatar esses dois títulos no dia de hoje, então ele terá que pagar um valor que, em reais, pode ser expresso por

10

5

02,1

000.602.1000.8 +×.

15. (FDRH) Uma loja oferece duas opções na compra de um produto: • à vista com 10% de desconto; • dois pagamentos mensais iguais, sem desconto, o 1º no ato da compra. Calcular a taxa de juros compostos cobrada na compra a prazo. 16. (FDRH)- A loja infor-key oferece duas opções para a compra de um computador: à vista, com desconto, ou a prazo, sem desconto, em dois pagamentos mensais e iguais, vencendo o primeiro um mês após a data da compra. Sendo de 6% ao mês a taxa de juros compostos cobrada na venda a prazo, o valor do desconto na compra à vista será, aproximadamente, de a) 9,22% b) 8,92% c) 8,33% d) 8,00% e) 7,98% 17. Para uma taxa de 5% a.m., juros compostos, qual a melhor opção na compra de um computador: a) à vista, com 20% de desconto; b) dois pagamentos mensais e iguais, sem desconto, vencendo o 1º um mês após a compra; c) três pagamentos mensais e iguais, sem desconto, vencendo o 1º no ato da compra. 18. (FDRH) Um eletrodoméstico custa R$ 1.000,00 para pagamento a vista em uma loja de varejo. Como não possuía essa quantia, um comprador decidiu parcelar o valor do produto, nas seguintes condições: 40% de entrada mais uma parcela única para 60 dias, com capitalização mensal. Sabendo-se que essa parcela foi de R$ 864,00 qual é a taxa de juros compostos mensal do parcelamento?


129

a) 4% a.m. b) 14% a.m. c) 20% a.m. d) 22% a.m. e) 25% a.m. 19. (CESGRANRIO) Um trator pode ser comprado à vista por um preço v, ou pago em 3 parcelas anuais de $ 36.000,00, a primeira dada no ato da compra. Nesse caso, incidem juros compostos de 20% a.a. sobre o saldo devedor. Nessas condições, o preço v é ? a) R$ 75.000,00 b) R$ 88.000,00 c) R$ 91.000,00 d) R$ 95.000,00 e) R$ 97.000,00

20. (CESPE) Um empréstimo de R$ 20.000,00 foi concedido à taxa de juros compostos de 6% ao mês. Dois meses após concedido o empréstimo, o devedor pagou R$ 12.000,00 e, no final do terceiro mês, liquidou a dívida. Nessa situação, tomando-se 1,2 como valor aproximado de 1,063, conclui-se que esse último pagamento foi superior a R$ 11.000,00. 21. (CESPE) O capital de R$ 20.000,00 pode ser aplicado à taxa de 72% por um período de 3 anos ou à taxa de juros compostos de 20% ao ano, também por 3 anos. Nesse caso, para o investidor, a primeira forma de aplicação é financeiramente mais vantajosa que a segunda. 22. (CESPE) Antônio fez os dois investimentos seguintes, em que ambos pagam juros compostos de 3% ao mês. I. Três depósitos mensais, consecutivos e iguais a R$ 2.000,00; o primeiro feito no dia 1º/3/2009. II Dois depósitos mensais, consecutivos e iguais a R$ 3.000,00; o primeiro feito no dia 1º/3/2009. Considerando que M1 e M2 sejam, respectivamente, os montantes das aplicações I e II na data do terceiro depósito correspondente ao investimento I, assinale a opção correta. a) M2-M1= R$ 90,90 b) M2-M1= R$ 45,45 c) M2=M1 d) M1-M2= R$ 45,45 e) M1-M2= R$ 90,90

Gabarito – Juros Compostos

01. a 07. b 13. c 19. c 02. b 08. c 14. Errado 20. Certo 03. d 09. d 15. 25% 21. Errado 04. d 10. b 16. c 22. a 05. a 11. a 17. a 06. b 12. c 18. c


130

3. DESCONTO BANCÁRIO SIMPLES Desconto é o abatimento que é dado quando uma dívida é paga antes do vencimento.

Simbologia:

N = valor nominal (valor de face) do título A = valor atual (valor descontado) do título n = número de períodos antes do vencimento do título d = taxa de desconto D = desconto (total) em n períodos

Em qualquer desconto, temos, por definição:

D = N - A ou A = N - D

Períodos0 n

A

N

DESCONTO BANCÁRIO SIMPLES ( Desconto Comercial ou “por fora” )

O Desconto Bancário Simples (D) é igual ao juro simples calculado sobre o valor nominal do título, ou seja:

O valor atual do título será, neste caso, A = N-D= N-Ndn, ou seja,

TAXA EFETIVA DE JUROS NO DESCONTO BANCÁRIO SIMPLES É a taxa de juros simples ou composto (i), que aplicada sobre o valor descontado, gera um montante igual ao valor nominal do título, no período considerado.

D = Ndn

A = N( 1-dn)


131

Para obter i, conhecendo-se a taxa de desconto bancário d, proceder da seguinte maneira:

Exemplo:

Um título sofreu um desconto bancário simples à taxa de 6% a.a. faltando 90 dias para o seu vencimento. Calcular a taxa efetiva de juros simples obtida pelo banqueiro na operação. 1º) Supondo N = $ 100,00, teremos:

A = N (1 - dn) = 100 (1 - 0,06 × 360

90) = 98,5

2º) N = A (1 + in) ⇒ 100 = 98,5 (1 + 0,25i) ⇒ i = 0,0609 a.a. ou 6,09% a.a. EQUIVALÊNCIA DE TÍTULOS NO DESCONTO BANCÁRIO SIMPLES

Para que um título único, de valor atual A (na data zero) seja equivalente a um conjunto de títulos de valores atuais A1, A2, ..., Am (na data zero), devemos ter A = A1 + A2 + ... + Am Exemplo:

Calcular o valor de uma letra única com vencimento para 40 dias, que deverá substituir três outras: de $ 8.000, para 30 dias; $ 6.000, para 40 dias; e $ 4.000 para 60 dias. Considere o desconto bancário simples e a taxa de 9% a.a.

São dados, d = 0,09/360 a.d. e AC = N (1 - dn) Como A = A1 + A2 + A3, teremos:

N

×− 40360

09,01 = 8.000

×− 30

360

09,01 + 6.000

×− 40

360

09,01 + 4.000

×− 60

360

09,01

N(0,99) = 7.940 + 5.940 + 3.940 ⇒ 0,99 N = 17.820 ⇒ N = 17.820 / 0,99 = $18.000,00.

1º) Calcular AC: AC = N (1 - dn) 2º) Obter i a partir de N = AC(1 + in) ( ou J=Cin) se for juro simples e a partir de N = AC (1 + i)n se for juro composto.

Dois títulos sujeitos ao desconto bancário simples são Equivalentes se os atuais na seus valores DATA ZERO (Data Focal ou Data de Referência) são iguais.


132

EXERCÍCIOS 01. Um título de valor nominal igual a $9.000,00 sofre um desconto bancário simples à taxa de 5% a.m., 60 dias antes de seu vencimento. Calcule o valor atual. 02. A taxa mensal de juros simples equivalente à taxa de desconto comercial simples de 20% a.m. para um título negociado um mês antes do vencimento é? 03. Refaça o exercício anterior, admitindo que seja cobrada uma taxa de serviço de 2% sobre o valor nominal do título. 04.(FDRH)- Um banco cobra, nas suas operações de desconto de títulos, a taxa de desconto comercial simples de 24% ao ano mais uma taxa de serviço de 1% sobre o valor nominal do título. Para uma duplicata descontada 3 meses antes de seu vencimento, a taxa mensal efetiva de juros simples, cobrada na operação, é igual a a) 2,91 % d) 2,35 % b) 2,51 % e) 2,13% c) 2,47% 05.(CESPE) Se uma nota promissória com valor de R$ 1.000,00 na data de vencimento, em 2 anos, é descontada 2 anos antes do vencimento, em um banco que pratica uma taxa de desconto bancário simples de 18% a.a., então a taxa anual de juros compostos que está sendo paga pelo cliente é a) 20% b) 24% c) 25% d) 28% e) 30% 06. No desconto comercial simples de um título, 90 dias antes de seu vencimento, a taxa efetiva de juros compostos foi de 7,1% a.m..Qual foi a taxa de desconto correspondente? 07. (ESAF) Marcos descontou um título 45 dias antes de seu vencimento e recebeu R$ 370.000,00. A taxa de desconto comercial simples foi de 60% ao ano. Assim, o valor nominal do título e o valor mais próximo da taxa efetiva da operação são, respectivamente, iguais a: a) R$ 550.000,00 e 3,4% ao mês b) R$ 400.000,00 e 5,4 % ao mês c) R$ 450.000,00 e 64,8 % ao ano d) R$ 400.000,00 e 60 % ao ano e) R$ 570.000,00 e 5,4 % ao mês 08.(CESPE) Se, ao descontar uma promissória com valor de face de R$ 5.000,00, seu detentor receber o valor de R$ 4.200,00, e se o prazo dessa operação for de 2 meses, então a taxa mensal de desconto simples por fora será igual a a) 5% b) 6% c) 7% d) 8% e) 9%

GABARITO-DESCONTO BANCÁRIO SIMPLES

01. $ 8.100 02 25% 03 28,20% 04 b 05 C 06 6,2% 07 b 08 d


133

4. RENDAS UNIFORMES(SÉRIES UNIFORMES, ANUIDADES) CONCEITOS BÁSICOS Uma renda uniforme é uma série de dois ou mais pagamentos iguais feitos em intervalos de tempo iguais. Quanto ao vencimento dos termos, uma renda uniforme pode ser classificada em imediata ou diferida (ou com carência). Imediata: quando o 1º pagamento é feito já no 1º período. Se os pagamentos são feitos no final de cada período, a renda é dita postecipada. Se são feitos no início de cada período, a renda é dita antecipada. Diferida (ou com carência): quando durante m períodos não é feito pagamento algum e o 1º pagamento ocorre no período m+1 (no início ou no final). Nesse caso, dizemos que há um diferimento ou uma carência de m períodos. Exemplos: 1) Renda Postecipada:

2) Renda Antecipada:

3) Renda Diferida (com carência):

(carência = 2 meses) Simbologia Adotaremos nas rendas uniformes a seguinte notação: R = valor de cada pagamento (prestação, parcela ou termo); n = número de pagamentos (número de prestações, parcelas ou termos); i = taxa de juros compostos; C = valor atual (valor presente) da renda na data zero; M = montante (valor futuro) da renda na data n.


134

FÓRMULAS

Nas fórmulas dadas a seguir, M é o montante acumulado pela renda uniforme no final de n períodos e C é o valor atual da renda uniforme na data zero.

A) RENDAS UNIFORMES POSTECIPADAS

1) M = RxFAC(i,n) , onde FAC(i,n) = i

i n 1)1( −+ é o FATOR DE

ACUMULAÇÃO DE CAPITAL ( relativo a n pagamentos à taxa de juros compostos i), que nas provas é geralmente dado em tabelas financeiras.

2) C = RxFVA(i,n) , onde FVA(i,n) = n

n

n ii

i

i

niFAC

)1(

1)1(

)1(

),(

+−+

=+

é o FATOR DE

VALOR ATUAL ( relativo a n pagamentos à taxa de juros compostos i), que nas provas é dado geralmente em tabelas financeiras. Observação

Outra fórmula utilizada para o FVA(i,n) é FVA(i,n) = i

i n−+− )1(1

(Deduzida a partir da fórmula do FVA(i,n) dada anteriormente). B) RENDAS UNIFORMES ANTECIPADAS 1) M = R x FAC(i,n) x (1+i) 2) C = R x FVA(i,n) x (1+i) Exemplos 1) Uma renda uniforme e postecipada é formada por 4 parcelas mensais de $50,00 cada uma, sendo de 10% a.m. a taxa de juros compostos. Dados: FAC(10%,4) = 4,6410 e FVA(10%,4) = 3,1699, calcule: A) O montante acumulado pela renda após o pagamento da última parcela; B) O valor atual da renda. Solução:

A) M = 50xFAC(10%,4)= 50x4,6410 = $ 232,05

B) C = 50xFVA(10%,4)= 50x3,1699 = $ 158,49 .

2) Um empréstimo no valor de $ 1.400,00 é pago em 12 prestações mensais e iguais. Sendo de 3% a.m. a taxa de juros compostos cobrada e FVA(3%,12) = 9,954, determine o valor das prestações.

Solução: a partir de C = RxFVA(i,n), obtemos R = $ 140,65.


135

3) Calcule o valor atual de uma renda antecipada com 25 termos, no valor de $ 4.000,00 cada, sendo de 5% a taxa de juros (Dado: FVA(5%,25)=14,0939). Solução: Utilizando a fórmula C = R×FVA(i,n)× (1+i) teremos: C = 4 000×FVA(5%,25)×1,05= 4 000×14,0939×1,05 = $ 59 194,00.

EXERCÍCIOS 01. Aplicou-se $ 2.000 no final de cada mês em um fundo de investimentos que remunera à taxa de juros compostos de 1,1% a.m. Qual o montante após a sétima aplicação mensal? (Dado FAC(1,1%,7) = 7,235282). 02. Um investidor aplica $1.000 no final de cada ano, em um fundo de investimento que paga 6% a.a., durante 20 anos. Qual o montante 10 anos após o último depósito? (Dado FAC(6%,20)= 36,7850 ; 1,0610 =1,790848). 03. (CESGRANRIO) Um investimento consiste na realização de 12 depósitos mensais de R$ 100,00, sendo o primeiro deles feito um mês após o início da transação. O montante será resgatado um mês depois do último depósito. Se a taxa de remuneração do investimento é de 2% ao mês, no regime de juros compostos, o valor do resgate, em reais, será a) 1200,00 b) 1224,00 c) 1241,21 d) 1368,03 e) 2128,81 (Dado (FAC(2%,12) = 13,4121) 04.(FDRH)- Para amortizar um empréstimo no valor de $ 2.100,00, contratado à taxa de juros compostos de 9% ao mês, João paga uma entrada, mais 17 prestações mensais e postecipadas iguais a $ 200,00, cada uma. O valor da entrada é, aproximadamente, de a) $ 111,76 d) $ 391,28 b) $ 123,52 e) $ 397,96 c) $211,11 (Dado: FVA(9%,17) = 8,5436). 05. Uma compra no valor de R$ 10.000,00 deve ser paga com 20% de entrada e o saldo devedor financiado em doze prestações mensais iguais, vencendo a primeira prestação ao fim de um mês, a uma taxa de 4% ao mês. Considerando que este sistema de amortização corresponde a uma anuidade ou renda certa, em que o valor atual da anuidade corresponde ao saldo devedor e que os termos da anuidade correspondem às prestações, calcule a prestação mensal, desprezando os centavos. a) R$ 900,00 d) R$ 852,00 b) R$ 986,00 e) R$ 1.065,00 c) R$ 923,00 (Dado: FVA(4%,12) = 9,3851). 06. Quanto uma pessoa deve aplicar no final de cada mês, à taxa de juros compostos de 36% ao ano com capitalização mensal, para obter o montante de R$ 21.322,72 após 10 meses?


136

a) R$ 1.573,00 b) R$ 1.630,12 c) R$ 1.750,00 d) R$ 1.860,25 e) R$ 1.923,08 (Dado FAC(3%,10)=11,4639). 07. (FDRH) A loja Infor-Kamus vende um computador cujo preço à vista é de $ 2.000,00 de acordo com o seguinte plano a prazo: uma entrada mais 4 prestações mensais e postecipadas de $ 200,00 cada uma. Sendo de 120% a.a. capitalizados mensalmente a taxa de juros compostos cobrada pela loja, o valor da entrada é a) $ 3.170,00 d) $ 634,00 b) $ 1.366,00 e) $ 600,00 c) $ 1.200,00 (Dado: FVA(10%,4) = 3,1700). 08. (FUNDATEC) Uma empresa deseja financiar um equipamento pagando uma entrada de 50% e o restante em 10 prestações mensais de R$ 200,00, vencendo a primeira 30 dias após a compra. Se for utilizada a taxa de juros compostos de 5% ao mês, qual deve ser o valor da entrada? a) R$ 1.544,34 b) R$ 1.904,80 c) R$ 2.000,00 d) R$ 2.100,00 e) R$ 2.515,58 (Dado FVA(5%,10)=7,7217) 09.(FAURGS)- Um automóvel é vendido a prazo, através de oito prestações mensais de R$ 5.000,00, sendo que o primeiro pagamento só irá ocorrer após três meses da compra. Qual é o preço à vista do automóvel se a taxa fixada em juros compostos é de 5% ao mês? a) R$ 28.514,34 d) R$ 31.330,86 b) R$ 29.311,56 e) R$ 31.940,72 c) R$ 30.991,84 (Dados: FVA(5%,8)= 6,4632; 1,052 = 1,1025 ) 10.(CESGRANRIO)- Carlos comprou um computador a prazo, em cinco parcelas iguais e sucessivas, cada uma delas de valor X, a serem pagas de 30 em 30 dias, vencendo a primeira 30 dias após a compra. No dia subseqüente ao fechamento do negócio, Carlos decidiu negociar a dívida, propondo saldá-la com um único pagamento (Y) no dia do vencimento da terceira parcela do plano original. Se a taxa de juros envolvida nessa negociação for de 8% para cada período de 30 dias, para que as duas propostas de pagamento do computador sejam equivalentes, o quociente Y/X deverá ser igual a

a) 2

5

)08,1(08,0

1)08,1( − d)

2

5

)08,1(

08,0]1)08,1[( −

b) 1)08,1(

)08,1(85

2

− e)

08,1

])08,1(1[)08,0( 23 −−

c) 2

5

)09,1(08,0

)08,1(1 −−


137

11. Um financiamento deve ser pago em 60 parcelas mensais e postecipadas de $ 150,00 cada uma, à taxa de juros compostos de 1% ao mês. Qual será o saldo devedor imediatamente após o pagamento da 52ª prestação, desprezando os centavos na resposta? (Dado FVA(1%,8)=7,6517) 12. Deposita-se anualmente, no início de cada ano, o valor de $ 100 , à taxa de 5% a.a., durante 10 anos. Qual o valor do fundo formado? (Dado: FAC(5%,10)=12,577893) 13. Calcule o valor atual de uma renda antecipada com 25 termos, no valor de $ 4.000 , cada, sendo de 5% a taxa de juros (Dado: FVA(5%,25)=14,093945). 14. Uma dívida é paga em seis prestações mensais antecipadas de $ 100 com juros de 1,5% a.m. Qual o valor financiado? (Dado: FVA(1,5%,6)=5,697187). 15. Um financiamento de $10.000 é amortizado em 12 prestações trimestrais antecipadas, com juros de 5% a.t. Qual o valor da prestação trimestral? (Dado: FVA(5%,12)=8,863252).

GABARITO- RENDAS UNIFORMES 01. $ 14.470,56 05. d 09. b 13. $ 59.194 02. $ 65.877,39 06. d 10. a 14. $ 578,26 03. d 07. b 11. $ 1.147 15. $ 1.074,53 04. d 08. a 12. $ 1.320,68 5. AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS E FINANCIAMENTOS

(SEM CORREÇÃO MONETÁRIA)

Veremos a seguir, os principais sistemas utilizados em amortizações de empréstimos e financiamentos.

A) PAGAMENTO ÚNICO Neste sistema, o empréstimo é amortizado por um único pagamento feito no final do prazo, sendo este pagamento de valor igual ao montante acumulado pelo capital emprestado, considerada uma taxa i de juros compostos.

B) PAGAMENTO PERIÓDICO DOS JUROS (SISTEMA AMERICANO =SA ) Neste sistema, os juros são pagos periodicamente e o principal é pago numa única parcela no final do prazo contratado. Nota: O devedor pode constituir (ou não) um fundo de amortização do empréstimo ( sinking fund ), no qual ele depositaria periodicamente as quotas de amortização. A taxa de juros para os depósitos deve ser tal que, no final do prazo, os depósitos acumulem um montante igual ao valor a ser pago no financiamento.

Exemplo: um empréstimo no valor de $ 200.000,00 deve ser amortizado em 3 anos, taxa de juros = 10% a.a., pelo Sistema Americano ( SA ), sem abertura de um fundo de amortização do empréstimo. Faça a planilha de amortização.


138

C) SISTEMA FRANCÊS ( SF, SPC OU SISTEMA PRICE )

Neste sistema, o empréstimo é amortizado por uma renda uniforme e postecipada, com n termos. Cada termo (R) da renda contém duas parcelas:

a) Juros : calculados sempre sobre o saldo devedor no início do período;

a) Amortização : parcela da prestação que efetivamente amortiza a dívida, ou seja, valor da prestação menos os juros.

No que segue, adotaremos a seguinte simbologia:

R = valor da prestação (ou pagamento ou parcela) constante; Jt = valor da parcela de juros contida na prestação de ordem t; (t =1, 2, 3, ... ,n)

At = valor da parcela de amortização contida na prestação de ordem t;

C0 = C = valor financiado;

Ct = saldo devedor após o pagamento da prestação de ordem t;

i = taxa de juros compostos.

Usando a notação acima, podemos escrever: R = Jt + At , para t = 1,2,3,...,n.

Ou seja; R = J1 + A1 = J2 + A2 = ... = Jn + An . Exemplos:

1) Um empréstimo de $ 200.000,00 é amortizado em 4 prestações mensais, à taxa de 10% a.m. pelo Sistema Francês. Faça a planilha do financiamento ( Dado FVA(10%,4)= 3,169865 ).

t Jt R At Ct

0 - - - 200.000,00

1 20.000,00 63.094,16 43.094,16 156.905,84

2 15.690,58 63.094,16 47.403,58 109.502,26

3 10.950,00 63.094,16 52.143,93 57.358,33

4 5.735,83 63.094,16 57.358,33 -

t Juros(Jt ) Amortização(At) Prestação(Rt) Saldo devedor(Ct)

0 - - - $200.000

1 $20.000 - 20.000 $200.000

2 $20.000 - 20.000 $200.000

3 $20.000 $200.000 $220.000 -

IMPORTANTE: observe na tabela acima que as parcelas de amortização crescem em progressão geométrica de razão igual a 1 + i = 1,1.


139

2) Com os mesmos dados do exemplo anterior, considere agora uma carência de 2 meses e os juros pagos na carência.

t Jt R At Ct

0 - - 200.000,00

1 20.000,00 20.000,00 - 200.000,00

2 20.000,00 20.000,00 - 200.000,00

3 20.000,00 63.094,16 43.094,16 156.905,84

4 15.690,58 63.094,16 47.403,58 109.502,26

5 63.094,16

6 63.094,16

3)Ainda com os mesmos dados do exemplo 2, considere agora que, no período de carência, os juros são capitalizados e incorporados ao principal.

t Jt R At Ct

0 - - - 200.000,00

1 20.000,00 - - 220.000,00

2 22.000,00 - - 242.000,00

3 24.200,00 76.343,95 52.143,95 189.856,05

4 18.985,61 76.343,95 57.358,34 132.497,71

5 76.343,95

6 76.343,95

4)Calcule o valor da prestação mensal para amortizar um empréstimo de $ 100.000,00 em 2

anos, com juros de 12% a.a. pela Tabela Price. (Dado: FVA (1%, 24) = 21,243387)

Resp.: $ 4.707,35 FÓRMULAS As fórmulas dadas a seguir, permitem o cálculo de qualquer elemento da planilha do financiamento, sem termos que desenvolver a planilha. 1. Valor da prestação constante

2. Parcela de juros

, onde t =1,2,3,...n.

Ou seja: J1 = ixC0, J2 = ixC1, J3 = ixC2, ....

R=n)FVA(i,

C

Jt = i x Ct-1


140

3. Parcela de amortização

, onde t = 2,3,4,…n.

Por exemplo: A2 = A1(1+i)1, A3 = A1(1+i)2,...., A9 = A1(1+i)8 , ..., etc. Obs.: Para obter A1 , usar a definição A1 = R - J1 4. Saldo devedor

, onde t =1,2,3,..., n e n-t indica o número de prestações

que ainda não foram pagas.

Exemplo:

Um financiamento de $ 85.300,00 foi amortizada em 10 prestações mensais, à taxa de 120% a.a. pela TABELA PRICE. Considerando FVA(10%,10)= 6,144567, FVA(10%,4)= 3,169865, (1,1)3=1,331 e (1,1)4=1,4641 (dados de tabela), determine:

a) o valor da prestação constante;

b) a 1ª parcela de juros;

c) a 1ª parcela de amortização;

d) o saldo devedor após o pagamento da 6ª prestação;

e) a parcela de juros na 4ª prestação;

f) a 5ª quota de amortização;

Solução:

a) R = 85.300 / FVA(10%, 10) = 85.300 / 6,144567 = $ 13.882,18

b) J1 = 0,10 x 85.300 = $ 8.530,00

c) A1 = R - J1 = $ 5.352,18

d) C6 = 13.882,18 x FVA (10%, 4) = 13.882 x 3,169865 = $ 44.004,64

e) J4 = R – A4 = 13.882,18 – 5.352,18(1,1)3 = $ 6.759,43

f) A5 = A1(1 + i)4 = 5.352,18(1,1)4 = $ 7.836,12

Obs.: é mais fácil fazer a planilha até t = 6 .

At = A1 (1+i)t-1

Ct = R x FVA( i, n-t )

Obs.: veja que essa fórmula, nada mais é que o cálculo do valor atual de uma renda postecipada, com n-t prestações.


141

EXERCÍCIOS

01. Um empréstimo de $ 240 foi contraído à taxa de 10% a.a., capitalizados semestralmente, para ser amortizado em 10 anos, com prestações semestrais iguais a $19,26 , Sistema Francês. Qual o valor da 1ª quota de amortização? Resp.: $ 7,26

02. Na amortização de um empréstimo pela tabela Price, à taxa de 5% a.m., o valor da prestação mensal é de $ 16,048 e a 1ª quota de amortização é $ 6,048. Calcule o valor das parcelas de juros e amortização na 10ª prestação.

(Dado: (1,05)9 = 1,551328) Resp.: A10= $9,3824 e J10 = $6,6656

03. Considerando um financiamento contraído através do Sistema Price, com prazo de resgate

de 60 meses, à taxa de juros capitalizados mensalmente de 1% e com valor da parcela igual a R$ 150,00, qual o valor do saldo devedor do respectivo financiamento no momento imediatamente após o pagamento da 52ª prestação mensal, desconsiderando os centavos na identificação da resposta?

(Dado FVA(1%,8) = 7,651678) a)R$ 1.100 b) R$ 1.237 c) R$ 1.563 d) R$ 1.147 e) R$ 1.200 Resp.: d 04. (CESGRANRIO) Na tabela a seguir, que apresenta algumas células sem valores

numéricos, os dados referem-se a um empréstimo bancário de R$ 10.000,00, entregues no ato e sem prazo de carência, à taxa de juros de 12% ao ano, para pagamento em 6 meses pela tabela Price. Com relação a essa situação, julgue os itens abaixo.

I - O valor da quinta prestação será superior a R$ 1.700,00.

II - Imediatamente após ser paga a segunda prestação, o saldo devedor será inferior a R$ 7.000,00.

III - O valor correspondente aos juros pagos na sexta prestação será inferior a R$ 20,00.

Assinale a opção correta:

a) Apenas o item I está certo.

b) Apenas o item II está certo.

c) Apenas os itens I e III estão certos.

d) Apenas os itens II e III estão certos.

e) Todos os itens estão certos.

Resp.: e

Meses Saldo devedor Amortização Juros Prestações

0 10.000,00 0 0 0

1 8.374,52

2 83,75

3 5.074,64 1.658,15 67,33

4 3.399,91 1.674,73 50,75

5

6 0


142

05. Um empréstimo de R$ 200.000,00 será pago em 3 prestações mensais iguais a R$ 73.443,00 cada uma pela Tabela Price. Se a taxa de juros nominal for de 60% ao ano, com capitalização mensal, a parcela correspondente aos juros na última prestação terá, em reais, um valor: a) inferior a 3.500,00 b) entre 3.500,00 e 3.600,00 c) entre 3.600,00 e 3.700,00 d) entre 3.700,00 e 3.800,00 e) superior a 3.800,00 Resp.: a

06. Um financiamento de R$ 10.000,00 será amortizado pelo Sistema Francês (ou Price) em 12 prestações mensais de R$ 1.004,62 cada uma, vencendo a primeira 30 dias após a assinatura do contrato.Se a taxa efetiva utilizada é de 3% ao mês, então o valor da cota de amortização da primeira prestação será de

a) R$ 171, 67

b) R$ 300,00

c) R$ 502,50

d) R$ 705,00

e) R$ 833,33

Resp.: d

D) SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC)

Neste sistema, a quota da amortização é mantida constante em todas as prestações. Como conseqüência, as prestações são decrescentes, já que a parcela de juros decresce em função do saldo devedor. Ou seja,

A1 = A2 = A3 = ... = An = A, donde se conclui que C0 = nA e

Exemplo: Um empréstimo de $ 200.000,00 é amortizado em 4 prestações mensais pelo SAC, à taxa de 10% a.m. Fazer a planilha do financiamento.

t Jt A Rt Ct

0 - - - 200.000

1 20.000 50.000 70.000 150.000

2 15.000 50.000 65.000 100.000

3 10.000 50.000 60.000 50.000

4 5.000 50.000 55.000 -

Observe que as prestações (Rt) e os juros (Jt) são progressões aritméticas (P.A.) decrescentes de razão igual a – Ai = – 50.000 x 0,10 = – 5.000

A = n

C0


143

FÓRMULAS 1) Amortização 2) Juros

3) Saldo Devedor

, onde n-t é o número de prestações ainda não pagas.

Exemplo:

Um financiamento de $ 100.000 é amortizado pelo sistema SAC em 10 prestações mensais, à taxa de 10% a.m.. Calcule:

a) a quota constante de amortização;

b) a 1ª parcela de juros;

c) a 1ª prestação;

d) o saldo devedor após o pagamento da 8ª prestação;

e) a 7ª prestação;

f) a 5ª parcela de juros;

Solução: a) A = 100.000/10 = $ 10.000,00

b) J1 = 0,10 x 100.000 = $ 10.000,00

c) R1 = A + J1 = $ 20.000,00

d) C8 = 2 x 10.000 = $ 20.000,00

e) R7 = A + J7 = ?

J7 = i x C6 = i x 4A = 0,1 x 4 x 10.000= 4.000,00.

Logo, R7 = 10.000 + 4.000 = $ 14.000,00.

f) J5 = i x C4 = 0,10 x 6 x 10.000 = $ 6.000,00

Obs.: é mais fácil fazer a planilha .

Observação: Comparando o total de juros pagos no sistema SAC com o total de juros pagos no sistema PRICE , para os mesmos dados, concluímos que J(PRICE) > J(SAC) (confira).

A = n

C0

Ct = (n- t) . A

Jt = i x Ct-1


144

GRÁFICO IR$

P

0 n

GRÁFICO IIR$

Juros

A

0 n

EXERCÍCIOS

A questão de número 01 deve ser respondida com base nos gráficos apresentados a seguir:

LEGENDA:

P = Principal

S = Montante

A = Amortização 01. Qual dos gráficos representados acima corresponde ao sistema SAC (Sistema de

Amortizações Constantes)?

a) Gráfico I

b) Gráfico II

c) Gráfico III

d) Gráfico IV

e) Gráfico V

Resp.: c

GRÁFICO IIIR$

Juros

A

0 n

GRÁFICO IVR$

P

S

0 n

GRÁFICO VR$

P

S

0 n


145

02. Ana financiou $ 5.000,00 para serem pagos em 10 prestações mensais, à taxa de 5% a.m., sistema SAC. Calcule:

a) a parcela de amortização (constante);

b) a parcela de juros paga na 7ª prestação. Resp.: a) $ 500,00 b) $ 100,00.

03. Uma sociedade de crédito imobiliário concede um empréstimo de 2.700 UPC, cobrando a taxa de 1% a.m. Sendo de 42 UPC o valor da 1ª prestação e o sistema de amortização o “SAC”, determine o número de prestações mensais. Resp.: 180

04.(FDRH) Um financiamento de R$ 200 000,00 junto a um banco de Desenvolvimento foi realizado pelo Sistema de Amortizações Constantes – SAC, em 10 prestações mensais, a primeira vencendo no final do primeiro mês, à taxa de juros de 1% ao mês. O valor da prestação a ser paga no final do terceiro mês é

a) R$ 20 000,00 b) R$ 21 120,00 c) R$ 21 600,00 d) R$ 22 000,00 e) R$ 22 092,00 Resp.: C

05. (CESGRANRIO) O valor da terceira prestação deverá ser:

a) R$ 60 000,00 b) R$ 65 000,00 c) R$ 68 000,00 d) R$ 70 000,00 e) R$ 75 000,00 Resp.: a

06. (CESGRANRIO) Os juros pagos por esse empréstimo deverão totalizar a quantia de: a) R$ 40.000,00 b) R$ 45.000,00 c) R$ 50.000,00 d) R$ 55.000,00 e) R$ 60.000,00 Resp.: c

07. (CESGRANRIO) Um empréstimo de R$ 200.000,00, contratado a juros efetivos de 10% ao mês, será pago em 3 prestações mensais com carência de 3 meses. Considerando que o credor deseja que o valor das 3 amortizações do principal seja constante, o valor da amortização será

Instruções: Para responder às questões de números 05 e 06 considere o enunciado abaixo. Um industrial, pretendendo ampliar as instalações de sua empresa, solicita R$ 200.000,00 emprestados a um banco, que entrega a quantia no ato. Sabe-se que os juros são pagos anualmente, à taxa de 10% a.a., e que o capital será amortizado em 4 parcelas anuais, pelo Sistema de Amortização Constante (SAC).


146

a) 80.666,67 b) 82.622,44 c) 84.333,67 d) 86.066,67 e) 88.733,33

Resp.: e 08. Calcule o valor da última prestação no exercício anterior. Resp.: $ 97.606,67 09. (CESGRANRIO) Um empréstimo de R$ 200,00 será pago em 4 prestações mensais, sendo a primeira delas paga 30 dias após o empréstimo, com juros de 10% ao mês, pelo Sistema de Amortização Constante (SAC). O valor, em reais, da terceira prestação será

a) 50,00 b) 55,00 c) 60,00 d) 65,00 e) 70,00 Resp.; c

10. (CESGRANRIO) Um empréstimo de R$ 300,00 será pago em 6 prestações mensais, sendo a primeira delas paga 30 dias após o empréstimo,com juros de 4% ao mês sobre o saldo devedor, pelo Sistema de Amortização Constante (SAC). O valor, em reais, da quarta prestação será a) 58,00 b) 56,00 c) 54,00 d) 52,00 e) 50,00

Resp.: b

11. (CESPE) Considerando que uma dívida no valor de R$ 12.000,00, contraída pelo sistema de amortização constante (SAC), tenha sido paga em 6 prestações mensais e que o valor dos juros pagos na 5ª prestação tenha sido igual a R$ 80,00, assinale a opção correta. a) O valor dos juros pagos na 3ª prestação foi de R$ 200,00. b) A soma das 3ª e 6ª prestações foi igual a R$ 4.000,00. c) A taxa de juros cobrada nessa transação foi de 2% ao mês. d) Todas as prestações foram de mesmo valor. e) Após a 5ª amortização, o valor da dívida era de R$ 4.000,00.

Resp.: c

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