MPU 2013 - T CNICO.doc) -...

Raciocínio Lógico Prof. Cláudio da Cunha Kidricki

1

MPU 2013 – TÉCNICO

RACIOCÍNIO LÓGICO

SUMÁRIO

1. Estruturas Lógicas e Lógica Sentencial, 2 2. Lógica de Argumentação e Lógica de 1ª Ordem, 10

3. Diagramas Lógicos, 18 4. Problemas PMS, 22


2

1. ESTRUTURAS LÓGICAS E LÓGICA SENTENCIAL

A lógica matemática, também chamada de lógica simbólica ou lógica formal, é baseada em dois princípios:

PROPOSIÇÃO E SENTENÇA ABERTA De acordo com os princípios dados, podemos dizer que uma proposição em lógica, é uma afirmação que admite um único valor lógico definido: verdadeiro(V) ou falso(F).

Exemplos: a) Porto Alegre é uma cidade brasileira (V) . b) A maçã é uma fruta (V) . c) 2+1= 5 (F) .

Não são consideradas proposições, por não ter um valor lógico definido, por exemplo: a) Que horror ! b) Será que chove hoje? c) Ele é um ator. d) x é um número primo.

Sentenças que apresentam um sujeito indeterminado ou uma variável, como os exemplos c e d acima, são chamadas de sentenças abertas, funções proposicionais ou predicados, com uma variável. Ao atribuirmos um valor para a variável, transformamos a sentença aberta em uma proposição (que seria uma “sentença fechada”). Outra maneira de “fechar” uma sentença aberta é utilizar os quantificadores, como veremos adiante. Notação: Nos concursos públicos, as proposições são representadas por letras minúsculas p, q, r, s,... ou por letras maiúsculas P, Q, R, S, ..., dependendo da banca examinadora. As sentenças abertas com uma variável são representadas por p(x), q(x), r(x),... ou por P(x), Q(x), R(x), ..., etc. CONETIVOS Os conetivos são palavras que ligam proposições simples, originando proposições compostas. Utilizaremos os cinco conetivos dados a seguir:

1º) Princípio da Não-Contradição “Uma proposição não pode ser simultaneamente verdadeira e falsa”. 2º) Princípio de Terceiro Excluído “Toda proposição ou é verdadeira ou é falsa, não havendo uma terceira possibilidade”.

e ( ∧∧∧∧ ) : conjunção; ou ( ∨∨∨∨ ) : disjunção não exclusiva ; ou...ou (∨∨∨∨ ) : disjunção exclusiva ; se...então ( →→→→ ) : condicional ; se e somente se ( ↔↔↔↔ ) : bicondicional.


3

Exemplos

1) Maçã é uma fruta e 1+2=4 2) 2>1 ou 3<4 3) Ou 2 é par ou 2 é ímpar 4) Se 2+2=5, então 3 = 9 5) Paris é capital da França se e somente se Bagé é um estado. Observe que o conetivo “ou” pode ter dois significados: não exclusivo e exclusivo. No exemplo (b) temos o “ou” com significado não exclusivo (ou vale p, ou vale q, ou valem ambos) e no exemplo (c), com significado exclusivo (ou vale p, ou vale q, mas não ambos). No português, o significado do “ou” é dado, em geral, pelo contexto. A partir do significado de cada conetivo, estabelecemos as regras dadas a seguir, que determinam o valor lógico de proposições compostas. Essas regras são a base para a construção das estruturas lógicas e, o seu uso, nos assegura uma linguagem mais precisa para nos expressarmos.

Resumimos essas regras no quadro ( tabela-verdade ) abaixo

p q p ∧∧∧∧ q p ∨∨∨∨ q p ∨∨∨∨ q p →→→→ q p ↔↔↔↔ q

V V V V F V V V F F V V F F F V F V V V F F F F F F V V

Além dos conetivos temos o “modificador”, indicado pelo símbolo ~ (ou ¬ ). O modificador é usado para negar uma proposição, trocando o seu valor lógico. Ou seja: se p é verdadeira, ~p é falsa ; se p é falsa, ~p é verdadeira. Exemplos 1) 2 é um número par e 2 é primo é uma conjunção V; 2) 3+1=5 ou 1+7=17 é uma disjunção F; 3) ou 4 > 0 ou 4 < 0 é uma disjunção exclusiva V; 4) se 1 > 2, então 3 < 4 é um condicional V; 5) se 6 > 8, então 9 < 8 também é um condicional V; 6) 1+1=3 se e somente se 2+2=5 é um bicondicional V.

“A proposição p ∧∧∧∧ q só é verdadeira se as proposições p e q forem ambas verdadeiras”. “A proposição p ∨∨∨∨ q só é falsa se as proposições p e q forem ambas falsas”. “A proposição p ∨∨∨∨ q só é verdadeira quando uma e somente uma das proposições p e q for verdadeira”. “A proposição p →→→→ q só é falsa quando p é verdadeira e q é falsa”. “A proposição p ↔↔↔↔ q só é verdadeira quando p e q têm valores lógicos iguais”.


4

EXERCÍCIOS

1) (CESPE) Na lista de frases apresentadas a seguir, há exatamente três proposições. “A frase dentro destas aspas é uma mentira”. A expressão X+Y é positiva.

O valor de 4 + 3 = 7 . Pelé marcou dez gols para a seleção brasileira. ( ) Certo ( ) Errado 02. (CESPE) Há duas proposições no seguinte conjunto de sentenças: (I) O BB foi criado em 1980. (II) Faça seu trabalho corretamente. (III) Manuela tem mais de 40 anos. ( ) Certo ( ) Errado

OBSERVAÇÕES 1ª) Número de linhas de uma tabela-verdade:

Por exemplo: 1) Uma proposição ⇒ Tabela com 21 = 2 linhas 2) Duas proposições ⇒ Tabela com 22 = 4 linhas 3) Três proposições ⇒ Tabela com 23 = 8 linhas, etc. 2ª) O condicional p → q corresponde, na linguagem de conjuntos, a A ⊂ B (A está contido em B) . De fato, quando A ⊂ B, para todo x, o condicional x∈A → x∈B é verdadeiro. 3ª) O bicondicional p ↔ q significa p → q e q → p (Temos um condicional “de ida” e um “condicional de volta”). A partir daí, é fácil entender a regra do bicondicional. De fato, de acordo com a regra do “e”, p ↔ q será V quando os condicionais de ida e de volta forem ambos V, o que ocorre somente quando p e q têm o mesmo valor lógico: V e V ou F e F. 4ª) Outras maneiras de ler um condicional e um bicondicional: • No condicional p → q , a proposição p é chamada de antecedente, hipótese, premissa ou ainda condição suficiente (CS) para q . A proposição q é chamada de conseqüente, tese, conclusão ou ainda condição necessária (CN) para p . • No bicondicional p ↔ q dizemos que “p é condição necessária e suficiente (CNS) para q” ou também “q é condição necessária e suficiente (CNS) para p”.

O número de linhas de uma tabela-verdade com n proposições é igual a 2n.

A B


5

5ª) Implicação e Equivalência :

EXERCÍCIOS 03. Considerando as proposições p: 1+1=2 e q: 3+4=5, determine o valor lógico das proposições seguintes: a) p ∧ q b) p ∨ q c) p∨∨∨∨q d) p→ q e) p ↔ q f) ~(p ∧ q) g) ~(p ∨ q) h) ~(p→ q) i) ~(p ↔ q) j) ~p ∧ ~q→ p l) p ∨ ~q→ ~q 04. Em que casos a proposição ~(p e ~q) é falsa? 05. Complete: a) p →→→→ q é F; q é... b) p →→→→ q é F; q →→→→ p é... c) p →→→→ q é V; q →→→→ p é... d) p ↔↔↔↔ q é V; p →→→→ q é... e q →→→→ p é... 06. Dadas as proposições p: 5>>>>2 , q: 3+4=6, r: 3>>>>4 e s, qual o valor lógico da proposição (p ou ∼∼∼∼q) e r →→→→ s ? 07. (VUNESP) Se você se esforçar, então irá vencer. Assim sendo: a) seu esforço é condição suficiente para vencer; b) seu esforço é condição necessária para vencer; c) se você não se esforçar, então não irá vencer; d) você vencerá só se se esforçar; e) mesmo que se esforce, você não vencerá. 08. (ESAF) Sabe-se que João estar feliz é condição necessária para Maria sorrir e condição suficiente para Daniela abraçar Paulo. Sabe-se também, que Daniela abraçar Paulo é condição necessária e suficiente para Sandra abraçar Sérgio. Assim, quando Sandra não abraça Sérgio, a) João está feliz, e Maria não sorri, e Daniela abraça Paulo. b) João não está feliz, e Maria sorri, e Daniela não abraça Paulo. c) João está feliz, e Maria não sorri, e Daniela abraça João está feliz, e Maria sorri, e Daniela não abraça Paulo. d) João não está feliz, e Maria não sorri, e Daniela não abraça Paulo. e) João não está feliz, e Maria sorri, e Daniela abraça Paulo.

1) Quando o condicional p → q é sempre verdadeiro, para quaisquer valores lógicos de p e q , dizemos que p implica q e escrevemos p ⇒ q.

2) Quando o bicondicional p ↔ q é sempre verdadeiro, para quaisquer valores lógicos de p e q, dizemos que p equivale a q e escrevemos p ⇔ q.


6

Solução: Para abreviar, façamos: J: João está feliz; M: Maria sorri; D: Daniela abraça Paulo; S: Sandra abraça Sérgio. Temos aqui os condicionais M→ J, J → D e o bicondicional D ↔ S, que de acordo com o enunciado, são todos verdadeiros.

87687648476 VVV

SDeDJeJM ↔→→ Quando S é falso (como é dito na questão), D também é falso (pois o bicondicional D ↔ S é verdadeiro). Como D é falso, J também é falso (pois o condicional J → D é verdadeiro ). Como J é falso, M também é falso (pois o condicional M→ J é verdadeiro). Logo, a alternativa correta é (d). 09. (ESAF) Sabe-se que a ocorrência de B é condição necessária para a ocorrência de C e condição suficiente para a ocorrência de D. Sabe-se, também, que a ocorrência de D é condição necessária e suficiente para a ocorrência de A. Assim, quando C ocorre, a) D ocorre e B não ocorre b) D não ocorre ou A não ocorre c) B e A ocorrem d) nem B nem D ocorrem e) B não ocorre ou A não ocorre 10. Mostre, usando tabelas-verdade, que são válidas as regras de negação dadas a seguir: a) Negação da conjunção e da disjunção (Leis de DE MORGAN) ~(p e q) ⇔⇔⇔⇔ ~p ou ~q ~(p ou q) ⇔⇔⇔⇔ ~p e ~q b) Negação do condicional ~(p→→→→ q) ⇔⇔⇔⇔ p e ~q c) Negação do bicondicional ~(p ↔↔↔↔ q) ⇔⇔⇔⇔ ou p ou q

Solução Faremos apenas o item b para ilustrar.

p q ~q p→ q ~(p → q) p e ~q V V F V F F V F V F V V F V F V F F F F V V F F

Como as tabelas de ~(p → q) e p e ~q são iguais, essas proposições são equivalentes .


7

11. (VUNESP) Se Rodrigo mentiu, então ele é culpado. Logo: a) se Rodrigo não é culpado, então ele não mentiu; b) Rodrigo é culpado; C c) se Rodrigo não mentiu, então ele não é culpado; d) Rodrigo mentiu; M e) se Rodrigo é culpado, então ele mentiu.

Solução No desenho acima, estamos representando por M o conjunto dos mentirosos e por C o conjunto dos culpados. Basta olhar atentamente o desenho para ver que x∉C → x∉M, pois M está contido em C. A alternativa (a) é a correta ( É a propriedade contrapositiva). 12. Mostre, novamente usando tabelas-verdade, que é válida a propriedade contrapositiva

p →→→→ q ⇔⇔⇔⇔ ~q →→→→ ~p

13. (FCC) Um economista deu a seguinte declaração em uma entrevista “ Se os juros bancários são altos, então a inflação é baixa “. Uma proposição logicamente equivalente à do economista é: a) se a inflação não é baixa, então os juros bancários não são altos. b) se a inflação é alta, então os juros bancários são altos. c) se os juros bancários não são altos, então a inflação não é baixa. d) os juros bancários são baixos e a inflação é baixa. e) ou os juros bancários são baixos, ou a inflação é baixa. 14. (ESAF) X e Y são números tais que: se X ≤ 4, então Y >>>> 7. Sendo assim: a) Se Y ≤ 7, então X > 4.

b) Se Y > 7, então X ≥ 4.

c) Se X ≥ 4, então Y< 7.

d) Se Y < 7, então X ≥ 4.

e) Se X < 4, então Y ≥ 7.

15. (ESAF) Considere a seguinte proposição: “Se chove ou neva, então o chão fica molhado”. Sendo assim, pode-se afirmar que: a) Se o chão está molhado, então choveu ou nevou. b) Se o chão está molhado, então choveu e nevou. c) Se o chão está seco, então choveu ou nevou. d) Se o chão está seco, então não choveu ou não nevou. e) Se o chão está seco, então não choveu e não nevou.

16. (CESPE) A proposição simbólica (P ∧∧∧∧ Q) ∨∨∨∨ R possui, no máximo, 4 avaliações V.

Solução: Basta fazer a tabela-verdade de (P ∧ Q) ∨ R.


8

P Q R P ∧ Q (P ∧ Q) ∨ R V V V V V V V F V V V F V F V F V V F V V F F F F F V F F F F F V F V F F F F F

Vemos na tabela-verdade, que a proposição dada tem 5 avaliações V. Logo, a afirmação feita está Errada.

17. (CESPE) Uma expressão da forma ~(A ∧∧∧∧ ~B) é uma proposição que tem exatamente as mesmas valorações V ou F da proposição A → B.

Solução

Fazendo as tabelas-verdade das proposições ~(A ∧ ~B) e A → B verificamos que elas são iguais.

A B ~B A ∧ ~B ~(A ∧ ~B) A → B V V F F V V V F V V F F F V F F V V F F V F V V

Logo, a afirmação está Certa. 18. (CESPE) A proposição simbolizada por (A →→→→ B) →→→→ (B →→→→ A) possui uma única valoração F. Solução: Vamos construir a tabela-verdade de (A → B) → (B → A) :

A B A → B B → A (A → B) → (B → A) V V V V V V F F V V F V V F F F F V V V

De fato, a proposição dada possui uma única valoração F, como mostra a tabela acima. A resposta é Certo . 19. (ESAF) A negação da afirmação condicional “se estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva” é: a) se não estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva b) não está chovendo e eu levo o guarda-chuva c) não está chovendo e eu não levo o guarda-chuva d) se estiver chovendo, eu não levo o guarda-chuva e) está chovendo e eu não levo o guarda-chuva


9

20. (ESAF) A negação de “Ana ou Pedro vão ao cinema e Maria fica em casa “é: a) Ana e Pedro vão ao cinema ou Maria fica em casa. b) Ana e Pedro não vão ao cinema ou Maria não fica em casa. c) Ana ou Pedro vão ao cinema ou Maria não fica em casa. d) Ana ou Pedro não vão ao cinema e Maria não fica em casa. e) Ana e Pedro não vão ao cinema e Maria fica em casa.

(CESPE)

A partir das informações do texto acima, julgue o item subsequente. 21. O número de tabelas de valorações distintas que podem ser obtidas para as proposições com exatamente duas variáveis proposicionais é igual a 24.

Considerando as proposições A e B acima, julgue os itens subsequentes, com respeito ao Código de Ética Profissional do Servidor Público Civil do Poder Executivo Federal e às regras inerentes ao raciocínio lógico. 22. Sabe-se que uma proposição na forma “Ou A ou B” tem valor lógico falso quando A e B são ambos falsos; nos demais casos, a proposição é verdadeira. Portanto, a proposição composta “Ou A ou B”, em que A e B são as proposições referidas acima, é verdadeira. 23. A proposição composta “Se A então B” é necessariamente verdadeira. 24. Represente-se por ¬ A a proposição composta que é a negação da proposição A, isto é, ¬ A é falso quando A é verdadeiro e ¬ A é verdadeiro quando A é falso. Desse modo, as proposições “Se ¬ A então ¬ B” e “Se A então B” têm valores lógicos iguais.

Sejam P e Q variáveis proposicionais que podem ter valorações , ou serem julgadas verdadeiras (V) ou Falsas (F). A partir... . Uma tabela de valorações para uma dada proposição é um conjunto de possibilidades V ou F associadas a essa proposição.

(CESPE) Proposições são sentenças que podem ser julgadas como verdadeiras ou falsas, mas não admitem ambos os julgamentos. A esse respeito, considere que A represente a proposição simples “É dever do servidor apresentar-se ao trabalho com vestimentas adequadas ao exercício da função”, e que B represente a proposição simples “É permitido ao servidor que presta atendimento ao público solicitar dos que o procuram ajuda financeira para realizar o cumprimento de sua missão”.


10

GABARITO- ESTRUTURAS LÓGICAS E LÓGICA SENTENCIAL

2. LÓGICA DE ARGUMENTAÇÃO E LÓGICA DE 1ª ORDEM

Um argumento lógico é uma sequência de proposições onde a última é chamada CONCLUSÃO e as anteriores PREMISSAS. Representação: p1, p2, p3, ... pn ├ c Premissas: p1, p2, p3, ... pn . Conclusão: c O símbolo ├ lê-se “logo” ou “portanto” .

VALIDADE DE UM ARGUMENTO

Observe que, de acordo com a definição dada acima, na análise da validade de um argumento, temos que verificar apenas, se a validade das premissas tem como consequência (ou acarreta) a validade da conclusão. Ou seja, não pode ocorrer premissas verdadeiras e conclusão falsa. Com base nisso, veja a “dica” dada a seguir:

Obs.: o argumento do qual estamos falando, é o argumento utilizado no raciocínio lógico dedutivo. Existe também o argumento utilizado no raciocínio lógico indutivo, para o qual não se aplica o conceito de validade dado acima e não será estudado aqui.

01. Errado 02. Certo 03. a) F b) V c) V d) F e) F f ) V g) F h) V I) V j) V l) V 04. Quando p é V e q é F 05. a) F b) V c) V ou F d) V e V 06. V 07. a 09. c 13. a 14. a 15. e 19. e 20. b 21. Certo 22. Certo 23. Errado 24. Errado

Um argumento é considerado válido quando, sendo verdadeiras todas as premissas, a conclusão também é verdadeira, ou seja, quando a validade das premissas implica a validade da conclusão. Se as premissas supostas verdadeiras nos levarem a uma conclusão falsa, teremos um argumento não válido (também chamado de sofisma ou falácia).

Para verificar se um argumento é válido, basta supor que todas as premissas são verdadeiras e verificar se, como consequência, a conclusão é também verdadeira.


11

Exemplo Considere o seguinte argumento: “Todo careca é gordo. Nenhum gordo é alto. Logo, nenhum careca é alto”. Premissas: p1: todo careca é gordo; p2: nenhum gordo é alto; Conclusão: c: nenhum careca é alto. Escrevendo em linguagem simbólica, teremos: p1 , p2 ├ c Supondo as premissas p1 e p2 verdadeiras, teremos, como consequência, a conclusão c também verdadeira. O argumento é válido.

SILOGISMO É um argumento com apenas duas premissas . Exemplos de Silogismos a) Se penso, então existo. Penso. Logo, existo . Premissas: p1: Se penso, então existo, p2: Penso. Conclusão: c: Existo. Em linguagem simbólica, o argumento fica: p1, p2 ├ c. Supondo as premissas p1 e p2 verdadeiras, concluímos que c também é verdadeira. Argumento válido. b) x < 5, x > 0. Logo, x < 5. Premissas: p1 : x < 5, p2 : x > 0. Conclusão: c: x < 5 ( que coincide com a premissa p1). Em linguagem simbólica o argumento fica p1, p2 ├ c . Supondo as premissas p1 e p2 verdadeiras concluímos que c é verdadeira. Argumento válido. c) x > 1, x < 5. Logo, x = 2. Premissas: p1: x > 1, p2: x < 5. Conclusão: c : x = 2. Em linguagem simbólica temos p1, p2 ├ c . Supondo as premissas p1 e p2 verdadeiras não podemos concluir que c é verdadeira. Argumento não válido. INFERÊNCIAS E ANALOGIAS Uma inferência é uma conclusão obtida a partir de um argumento válido .

Regras de Inferência Indicamos a seguir alguns argumentos válidos que aparecem com muita frequência na lógica. A partir deles, podemos “inferir” a validade de outros argumentos. Por isso eles são conhecidos como “regras de inferência”. 1) Simplificação: p e q ├ p p e q ├ q


12

2) Adição: p ├ p ou q q ├ p ou q 3) Modus Ponens: p → q, p ├ q 4) Modus Tollens: p → q, ~q ├ ~p 5) Silogismo Hipotético: p → q, q → r ├ p → r Uma analogia é uma conclusão obtida por uma comparação entre duas situações lógicas que tem algumas propriedades semelhantes. Para fixar idéias, digamos que dois objetos A e B tenham 3 propriedades semelhantes a, b e c. Se concluirmos que, como A tem uma quarta propriedade d, B também deve ter a propriedade d, estamos fazendo uma analogia . É óbvio que uma analogia nem sempre é verdadeira . Exemplo: Pedro e Ana, um casal de matemáticos, têm um filho Tales, que gosta de matemática. Então, Tiago e Luciana, um casal de advogados, têm um filho Cassiano, que deve gostar de direito . Observe que a conclusão, tirada por analogia, não é necessariamente verdadeira. Pode ser ou não.

EXERCÍCIOS 01.(ESAF) Se o jardim não é florido, então o gato mia. Se o jardim é florido, então o passarinho não canta. Ora, o passarinho canta. Logo: a) o jardim é florido e o gato mia b) o jardim é florido e o gato não mia c) o jardim não é florido e o gato mia d) o jardim não é florido e o gato não mia e) se o passarinho canta, então o gato não mia

02.(ESAF) Há três suspeitos de um crime: o cozinheiro, a governanta e o mordomo. Sabe-se que o crime foi efetivamente cometido por um ou por mais de um deles, já que podem ter agido individualmente ou não. Sabe-se, ainda, que : A) se o cozinheiro é inocente, então a governanta é culpada; B) ou o mordomo é culpado ou a governanta é culpada, mas não os dois; C) o mordomo não é inocente. Logo: a) a governanta e o mordomo são os culpados; b) o cozinheiro e o mordomo são os culpados; c) somente a governanta é culpada; d) somente o cozinheiro é inocente; e) somente o mordomo é culpado. 03. (ESAF) Maria é magra ou Bernardo é barrigudo. Se Lúcia é linda, então César não é careca. Se Bernardo é barrigudo, então César é careca. Ora, Lúcia é linda. Logo:


13

a) Maria é magra e Bernardo não é barrigudo b) Bernardo é barrigudo ou César é careca c) César é careca Maria é magra d) Maria não é magra e Bernardo é barrigudo e) Lúcia é linda e César é careca.

04. (ESAF) José quer ir ao cinema assistir ao filme ”Fogo contra fogo”, mas não tem certeza se o mesmo está sendo exibido. Seus amigos, Maria , Luís e Júlio têm opiniões discordantes sobre se o filme está ou não em cartaz. Se Maria estiver certa, então Júlio está enganado. Se Júlio estiver enganado, então Luís está enganado. Se Luís está enganado, então o filme não está sendo exibido. Ora, ou o filme “Fogo contra fogo” está sendo exibido, ou José não irá ao cinema. Verificou-se que Maria está certa. Logo: a) o filme “Fogo contra fogo” está sendo exibido b) Luís e Júlio não estão enganados c) Júlio está enganado, mas não Luís d) Luís está enganado, mas não Júlio e) José não irá ao cinema.

05. (ESAF) Se Carlos é mais velho do que Pedro, então Maria e Júlia têm a mesma idade. Se Maria e Júlia têm a mesma idade, então João é mais moço do que Pedro. Se João é mais moço do que Pedro, então Carlos é mais velho o que Maria. Ora, Carlos não é mais velho do que Maria. Então: a) Carlos não é mais velho do que Júlia e João é mais moço do que Pedro b) Carlos é mais velho do que Pedro e Maria e Júlia têm a mesma idade c) Carlos e João são mais moços do que Pedro d) Carlos é mais velho do que Pedro e João e mais moço do que Pedro e) Carlos não é mais velho do que Pedro e Maria e Júlia não têm a mesma idade.

06. (ESAF) Se Beto briga com Glória, então Glória vai ao cinema. Se Glória vai ao cinema, então Carla fica em casa. Se Carla fica em casa, então Raul briga com Carla. Ora, Raul não briga com Carla. Logo: a) Carla não fica em casa e Beto não briga com Glória. b) Carla fica em casa e Glória vai ao cinema. c) Carla não fica em casa e Glória vai ao cinema. d) Glória vai ao cinema e Beto briga com Glória. e) Glória não vai ao cinema e Beto briga com Glória.

07. (ESAF) Se Fulano é culpado, então Beltrano é culpado. Se Fulano é inocente, então ou Beltrano é culpado ou Sicrano é culpado, ou ambos são culpados. Se Sicrano é inocente, então Beltrano é inocente. Se Sicrano é culpado, então Fulano é culpado. Logo, a) Fulano é inocente, Beltrano é inocente e Sicrano é inocente. b) Fulano é culpado, Beltrano é culpado e Sicrano é culpado. c) Fulano é culpado, Beltrano é inocente e Sicrano é inocente. d) Fulano é culpado, Beltrano é culpado e Sicrano é inocente. e) Fulano é inocente, Beltrano é culpado e Sicrano é culpado. 08. (ESAF) Ana é artista ou Carlos é carioca. Se Jorge é juiz, então Breno não é bonito. Se Carlos é carioca, então Breno é bonito. Ora, Jorge é juiz. Logo:


14

a) Jorge é juiz e Breno é bonito b) Carlos é carioca ou Breno é bonito c) Breno é bonito e Ana é artista d) Ana não é artista e Carlos é carioca e) Ana é artista e Carlos não é carioca 09. (ESAF) Entre os membros de uma família existe o seguinte arranjo: Se Márcio vai ao shopping, Marta fica em casa. Se Marta fica em casa, Martinho vai ao shopping. Se Martinho vai ao shopping, Mário fica em casa. Dessa maneira, se Mário foi ao shopping, pode-se afirmar que: a) Marta ficou em casa. b) Martinho foi ao shopping. c) Márcio não foi ao shopping e Marta não ficou em casa. d) Márcio e Martinho foram ao shopping. e) Márcio não foi ao shopping e Martinho foi ao shopping.

(CESPE)- Julgue os itens subsequentes (Certo ou Errado).

10. É correto o raciocínio lógico dado pela seqüência de proposições seguintes: Se Antônio for bonito ou Maria for alta, então José será aprovado no concurso. Maria é alta. Portanto, José será aprovado no concurso .

11. É correto o raciocínio lógico dado pela seqüência de proposições seguintes: Se Célia tiver um bom currículo, então ela conseguirá um bom emprego. Ela conseguiu um bom emprego. Portanto, Célia tem um bom currículo.

12. (CESPE) Considere que as afirmativas “Se Mara acertou na loteria então ela ficou rica” e “Mara não acertou na loteria” sejam ambas proposições verdadeiras. Simbolizando adequadamente essas proposições pode-se garantir que a proposição “Ela não ficou rica” é também verdadeira.

13. (CESPE) Considere que a proposição “Sílvia ama Joaquim ou Sílvia ama Tadeu” seja verdadeira. Então pode-se garantir que a proposição “Sílvia ama Tadeu” é verdadeira .

14. Examinar a validade dos seguintes argumentos: a) ~p → ~q , p ├ q b) p, p→ q ├ q

15. Considerando as proposições p e q, decidir se os argumentos a seguir são válidos ou não: a) p, q ├ p b) (p ∨ q) ∧ ~p ├ q c) (p ∨ q) ∧ p ├ q d) p→ q, ~q ├ ~p 16. Examine a validade dos seguintes argumentos:


15

a) Se estudo, passo no concurso . Não passei no concurso. Logo, não estudei. b) Se x não é par, então y não é primo. Mas x é par. Logo, y é primo. c) Se a é menor que b, então a não é par. Mas a não é menor que b. Logo, a é par. d) Se a é um número primo, então a não divide b. Mas a divide b. Logo, a não é um número primo. e) Se Porto Alegre está na Itália, então Florianópolis não está no Brasil. Mas Florianópolis está no Brasil. Logo, Porto Alegre não está na Itália.

QUANTIFICADORES Os quantificadores são elementos lógicos utilizados para indicar se uma propriedade qualquer é válida para todos ou para apenas alguns elementos de um determinado conjunto.Temos 2 quantificadores :

-Universal: símbolo ∀ . Significa: “para qualquer que seja”, “para todo” , “para cada” , ou simplesmente , “todo” . -Existencial: símbolo ∃ . Significa: “existe pelo menos um” , “para algum” , ou simplesmente “algum”.

Exemplo: consideremos a sentença aberta p(x): “x é um número par”, com x∈N.

1) Para x=4, p(x) é uma proposição verdadeira; para x=3, é uma proposição falsa;

2) Quantificando a variável com o quantificador universal, teremos:

“Para qualquer que seja x∈∈∈∈N, x é um número par” (ou: “ todo número natural x é par”) , que é uma proposição falsa; 3) Quantificando a variável com o quantificador existencial, teremos :

“Existe pelo menos um x∈∈∈∈N, tal que x é um número par” (ou: “algum número natural x é par” ), que é uma proposição verdadeira.

NEGAÇÃO DE PROPOSIÇÕES QUANTIFICADAS Exemplo 1) Todo número natural é primo. Negação: Nem todo número natural é primo, ou seja, algum número natural não é primo. Exemplo 2) Algum gato é preto. Negação: Nenhum gato é preto, ou seja, todo o gato não é preto. Analisando com atenção os exemplos acima, podemos estabelecer a seguinte

Para transformar uma sentença aberta p(x), com x∈A, em uma proposição, temos duas maneiras: 1) Atribuir um valor qualquer a x; 2) Quantificar a variável x.

Regra prática: para negar uma proposição quantificada pelos quantificadores universal e existencial, troca-se o quantificador e nega-se a sentença aberta.


16

Resumo:

EXERCÍCIOS 17. Considerando como conjunto universo o conjunto A={1,2,3,4,5} e x um elemento de A, determine o valor lógico das proposições seguintes: a) Existe pelo menos um x tal que x+3=9 b) Para qualquer que seja x, x+3< 9 c) Para algum x, x+3 < 5 d) Para todo x, x+3 < 6

(CESPE)- Julgue os itens seguintes.

18. A proposição funcional “Para qualquer x, tem-se que x2 > x” é verdadeira para todos os valores de x que estão no conjunto

{ 5,2

5, 3,

2

3, 2,

2

1}.

19. A proposição funcional “Existem números que são divisíveis por 2 e por 3 “ é verdadeira para elementos do conjunto {2,3,9,10,15,16}. 20. A negação da sentença “Nenhum pescador é mentiroso” é a) Algum pescador é mentiroso b) Nenhum mentiroso é pescador c) Todo pescador não é mentiroso d) Algum mentiroso não é pescador e) Algum pescador não é mentiroso 21. Dê a negação das seguintes proposições: a) Todos os homens são sérios; b) Nenhuma mulher é fiel ; c) Alguns homens são infiéis. 22. Considere as proposições : 1-toda mulher é boa motorista 2-nenhum homem é bom motorista 3-todos os homens são maus motoristas 4-pelo menos um homem é mau motorista 5-todos os homens são bons motoristas . Qual das alternativas abaixo reúne o par de proposições em que uma é negação da outra? a) 2 e 5 b) 1 e 3 c) 3 e 5 d) 2 e 4 e) 4 e 5

23. (ESAF) Dizer que a afirmação “todos os economistas são médicos” é falsa, do ponto de vista lógico, equivale a dizer que a seguinte afirmação é verdadeira:

1)Todo A é B ⇒ Negação: Nem todo A é B, ou seja, Algum A não é B 2) Algum A é B ⇒ Negação: Nenhum A é B, ou seja,Todo A não é B.


17

a) pelo menos um economista não é médico; b) nenhum economista é médico; c) nenhum médico é economista; d) pelo menos um médico não é economista; e) todos os não-médicos são não-economistas.

A partir das definições acima, julgue os itens a seguir. 24. Se U for o conjunto de todos os funcionários públicos e P(x) for a propriedade “x é funcionário do INSS”, então é falsa a sentença ∀ xP(x). 25. Considere-se que U seja o conjunto dos funcionários do INSS, P(x) seja a propriedade “x é funcionário do INSS” e Q(x) seja a propriedade “x tem mais de 35 anos de idade”. Desse modo, é correto afirmar que duas das formas apresentadas na lista abaixo simbolizam a proposição “Todos os funcionários do INSS têm mais de 35 anos de idade”. (i) ∀ x (se Q(x) então P(x)) (ii) ∀ x (P(x) ou Q(x)) (iii) ∀ x (se P(x) então Q(x))

GABARITO – LÓGICA DE ARGUMENTAÇÃO E LÓGICA DE 1ª ORDEM

(CESPE) Algumas sentenças são chamadas abertas porque são passíveis de interpretação para que possam ser julgadas como verdadeiras (V) ou falsas (F). Se a sentença aberta for uma expressão da forma ∀ xP(x), lida como “para todo x, P(x)”, em que x é um elemento qualquer de um conjunto U, e P(x) é uma propriedade a respeito dos elementos de U, então é preciso explicitar U e P para que seja possível fazer o julgamento como V ou F.

01. c 02. b 03. a 04. e 05. e 06. a 07. b 08. e 09. c 10. Certo 11. Errado 12. Errado 13. Errado 14. a) nv b) v 15. a) v b) v c) nv d) v 16. a) v b) nv c) nv d) v e) v 17. a) F b) V c) V d) F 18. Errado 19. Errado 20. a 21. a) Alguns homens não são sérios; b) Algumas mulheres são fiéis; c) Todos os homens são fiéis. 22. e 23. a 24. Certo 25. Errado


18

3. DIAGRAMAS LÓGICOS

São inúmeros os argumentos que envolvem quantificadores. Esses argumentos, na maioria das vezes silogismos (duas premissas), são facilmente identificados pelas expressões : “Todo A é B”, “Algum A é B” e “Nenhum A é B” . A maneira mais simples de resolver problemas com esses argumentos, é usar os chamados diagramas lógicos , que nada mais são, do que os Diagramas de Venn, da Teoria dos Conjuntos. Por exemplo, o argumento: “Todo careca é gordo. Nenhum gordo é alto. Logo, nenhum careca é alto”, pode ser representado por diagramas lógicos da seguinte maneira: C: careca G: gordo A: alto G A C Vemos facilmente pelos diagramas, que o argumento é válido. Observe bem as “dicas” dadas a seguir, para usá-las nos exercícios:

Exemplos 1) Nenhum estudante é ansioso. João é um músico. Todos os músicos são ansiosos. Logo, João não é um estudante. A = conjunto dos ansiosos E= conjunto dos estudantes M= conjunto dos músicos.

“Todo A é B” : desenhe Algum A é B”: desenhe

“Nenhum A é B”: desenhe

A B

M A E

A B

B A

C


19

Solução

Vemos , analisando os diagramas acima vemos , que a conclusão “João não é um estudante” é correta e o argumento é válido.

2) Alguns E são P. Todos os H são P. Logo, alguns E são H.

Solução Vemos pelo diagrama que a conclusão “Alguns E são H” não é necessariamente correta. Pode ser ou não. Assim, o argumento não é válido.

EXERCÍCIOS

01.(IBGE) Suponha que todos os professores sejam poliglotas e todos os poliglotas sejam religiosos. Pode-se concluir que, se : a) Cláudio não é religioso, Cláudio não é poliglota. b) Antônio não é professor, Antônio não é religioso. c) Joaquim é religioso, Joaquim é professor. d) Pedro é poliglota, Pedro é professor. e) João é religioso, João é poliglota.

Solução:

Basta analisar o desenho acima para ver que a alternativa (a) é a correta.

02. Se toda mulher feia é eficiente, então a) existem mulheres eficientes b) existem mulheres feias c) toda mulher bonita é eficiente E F d) toda mulher ineficiente não é feia e) toda mulher eficiente é feia Solução Basta analisar o diagrama ao lado, para ver que ~E → ~F é um condicional verdadeiro (Propriedade contrapositiva novamente). Resposta.: d

H

P

E

Prof

Poli

Rel


20

03. (VUNESP) Todo A é B, e todo C não é B, portanto: a) algum A é C; b) nenhum A é C; c) nenhum A é B; d) algum B é C; e) nenhum B é A. Solução É fácil ver pelo diagrama que a alternativa correta é (b). 04. (ESAF) Todos os jornalistas defendem a liberdade de expressão. Cristina não é jornalista. Logo, a) nem todos os jornalistas defendem a liberdade de expressão. b) não existe jornalista que não defenda a liberdade de expressão. c) existe jornalista que não defende a liberdade de expressão. d) Cristina não defende a liberdade de expressão. e) Cristina defende a liberdade de expressão. 05. Nenhum fanático é inteligente. Tiago é colorado.Todos os colorados são inteligentes. Logo: a) Tiago é fanático b) Tiago não é fanático c) Tiago não é inteligente d) Tiago não é colorado e) Nada se pode concluir 06. (IBGE) Se todo Y é Z e existem X que são Y, pode-se concluir que: a) todo Z é Y b) todo Y é X c) todo X é Y d) existem X que são Z e) todo X é Z

Solução Z Y X

Vemos pelo diagrama, que a alternativa correta é (d).

07. Sabe-se que existe pelo menos um A que é B. Sabe-se , também, que todo B é C. Segue-se, portanto, necessariamente que

a) todo C é B b) todo C é A c) algum A é C

d) nada que não seja C é A e) nenhum A não é C

A

B

C


21

08. (CESPE) A forma de uma argumentação lógica consiste de uma seqüência finita de premissas seguida por uma conclusão. Há formas de argumentação lógica consideradas válidas e há formas consideradas inválidas. No quadro abaixo, são apresentadas duas formas de argumentação lógica, uma de cada tipo citada, em que ~é o símbolo de negação.

Forma de argumentação Válida Inválida

Premissa 1: ∀x, se p(x), então q(x) Premissa 1: ∀x, se p(x), então q(x) Premissa 2: p(c), para algum c Premissa 2: ~p(c), para algum c

Conclusão: q(c) Conclusão: ~q(c)

A respeito dessa classificação, julgue os itens seguintes. a) A seguinte argumentação é inválida. Premissa 1:Todo funcionário que sabe lidar com orçamento conhece contabilidade. Premissa 2: João é funcionário e não conhece contabilidade. Conclusão: João não sabe lidar com orçamento. b) A seguinte argumentação é válida. Premissa 1: Toda pessoa honesta paga os impostos devidos. Premissa 2: Carlos paga os impostos devidos. Conclusão: Carlos é uma pessoa honesta. 09. Dadas as premissas :”Todos os gremistas são fanáticos”, ”Existem fanáticos inteligentes”, pode-se concluir que: a)”existem gremistas inteligentes” b)”todo gremista é inteligente” c)”nenhum gremista é inteligente” d)”todo inteligente é gremista” e)”nada se pode concluir” 10. Examine a validade do argumento : “Algumas mulheres bonitas são competentes. Todas as mulheres competentes são gordas. Maria é bonita. Logo, Maria é gorda”.

Verifique a validade dos seguintes silogismos: 11. Toda pessoa persistente acaba vencendo. Ora, você certamente vencerá. Logo, você é persistente. 12. Para vencer no concurso basta ser estudioso. Ora, todos os alunos do Curso Alfa são estudiosos. Logo, todos os alunos do referido curso vencerão no concurso. 13. Todo alemão é inteligente. Ora, Fritz é alemão. Logo, ele é inteligente. 14. Todo macaco é animal. Ora, homem é animal. Logo, homem é macaco. 15. Todo retângulo é paralelogramo. Todo quadrado é retângulo. Logo, todo quadrado é paralelogramo.


22

16. Todos os alunos são impacientes. Alguns alunos são heróis. Logo, alguns heróis são impacientes. 17. Nenhuma criança é má. Todas as borboletas são más. Logo, nenhuma borboleta é criança. 18. Algum triângulo isósceles é triângulo retângulo. Nenhum triângulo retângulo é triângulo obtusângulo. Logo, nenhum triângulo isósceles é triângulo obtusângulo.

GABARITO – DIAGRAMAS LÓGICOS

4. PMS (Para Momentos de Solidão)

01. (ESAF) Três amigas, Tânia, Janete e Angélica, estão sentadas lado a lado em um teatro.Tânia sempre fala a verdade; Janete às vezes fala a verdade e Angélica nunca fala a verdade. A que está sentada à esquerda diz: ”Tânia é quem está sentada no meio”. A que está sentada no meio diz: “Eu sou Janete”. Finalmente, a que está sentada à direita diz: “Angélica é quem está sentada no meio”. A que está sentada à esquerda, a que está sentada no meio e a que está sentada à direita, são, respectivamente, a) Janete,Tânia e Angélica b) Janete,Angélica e Tânia c) Angélica, Janete e Tânia d) Angélica,Tânia e Janete e) Tânia,Angélica e Janete Resposta.: b 13.(ESAF) Três amigos –Luís, Marcos e Nestor- são casados com Teresa, Regina e Sandra(não necessariamente nesta ordem) . Perguntados sobre os nomes das respectivas esposas, os três fizeram as seguintes declarações: Nestor: “Marcos é casado com Teresa” Luís: “Nestor está mentindo, pois a esposa de Marcos é Regina” Marcos: “Nestor e Luís mentiram, pois a minha esposa é Sandra” Sabendo-se que o marido de Sandra mentiu e que o marido de Teresa disse a verdade, segue-se que as esposas de Luís, Marcos e Nestor são, respectivamente: a)Sandra, Tereza, Regina b)Sandra, Regina, Teresa c)Regina, Sandra, Teresa d)Teresa, Regina, Sandra e)Teresa, Sandra, Regina Resposta.: d

04. b 05. b 07. c 08. a)Errado; b) Errado 09. e 10. nv 11. nv 12. v 13. v 14. nv 15. v 16. v 17. v 18. nv


23

03. (CESPE) Um crime foi cometido por uma e apenas uma pessoa de um grupo de cinco suspeitos: Armando, Celso, Edu, Juarez e Tarso. Perguntados sobre quem era o culpado, cada um deles respondeu: Armando: “Sou inocente” Celso: “Edu é o culpado” Edu: “Tarso é o culpado” Juarez: “Armando disse a verdade” Tarso: “Celso mentiu” Sabendo-se que apenas um dos suspeitos mentiu e que todos os outros disseram a verdade, pode-se concluir que o culpado é : a)Armando b)Celso c)Edu d)Juarez e)Tarso Resposta.: e 04. (ESAF) Três meninos, Zezé, Zozó e Zuzu, todos vizinhos, moram na mesma rua em três casas contíguas. Todos os três meninos possuem animais de estimação de raças diferentes e cores também diferentes. Sabe-se que o cão mora em uma casa contígua à casa de Zozó; a calopsita é amarela; Zezé tem um animal de duas cores: branco e laranja; a cobra vive na casa do meio. Assim, os animais de estimação de Zezé, Zozó e Zuzu são, respectivamente: a) cão, cobra, calopsita. b) cão, calopsita , cobra. c) calopsita, cão, cobra. d) calopsita, cobra, cão. e) cobra, cão, calopsita. Resposta.: a 05. (ESAF)- Maria tem três carros: um Gol, um Corsa e um Fiesta. Um dos carros é branco, o outro é preto , e o outro é azul. Sabe-se que : 1)ou o Gol é branco, ou o Fiesta é branco; 2)ou o Gol é preto, ou o Corsa é azul; 3)ou o Fiesta é azul, ou o Corsa é azul; 4)ou o Corsa é preto, ou o Fiesta é preto. Portanto, as cores do Gol, do Corsa e do Fiesta são, respectivamente, a) branco, preto, azul b) preto, azul, branco c) azul, branco, preto d) preto, branco, azul e) branco, azul, preto Resposta.: e 06. (ESAF) Ana encontra-se à frente de três salas cujas portas estão pintadas de verde, azul e rosa. Em cada uma das três salas encontra-se uma e somente uma pessoa. Em uma delas encontra-se Luís; em outra, encontra-se Carla; em outra, encontra-se Diana. Na porta de cada uma das salas existe uma inscrição, a saber: Sala verde: “Luís está na sala de porta rosa” Sala azul: “Carla está na sala de porta verde” Sala rosa: “Luís está aqui”.


24

Ana sabe que a inscrição na porta da sala onde Luís se encontra pode ser verdadeira ou falsa. Sabe, ainda, que a inscrição na porta da sala onde Carla se encontra é falsa, e que a inscrição na porta da sala em que Diana se encontra é verdadeira. Com tais informações, Ana conclui corretamente que nas salas de portas verde, azul e rosa encontram-se, respectivamente, a) Diana, Luís, Carla b) Luís, Diana, Carla c) Diana, Carla, Luís d) Carla, Diana, Luís e) Luís, Carla, Diana Resposta.: c 07. Um matemático aprisionado por canibais na floresta, recebeu destes a seguinte proposta: se você disser uma mentira, será queimado. Se disser uma verdade, será afogado. De que maneira você prefere morrer? A resposta do matemático foi tal, que os canibais foram obrigados a libertá-lo. Qual foi a resposta do matemático? a) Jamais morrerei. b) Morrerei afogado. c) Morrerei queimado. d) Morrerei enforcado. e) Vocês são mesmo uns canibais ! Resposta.: c

MPU 2013 - T CNICO.doc) -...

Documents

Transcript of MPU 2013 - T CNICO.doc) -...