A Subestruturacao Na Modelacao Estrutural Estatica

UNIVERSIDADE DO PORTO

FACULDADE DE ENGENHARIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL

A SUBESTRUTURAO NA MODELAO ESTRUTURAL

ESTTICA

Rui Carneiro de Barros

Prof. Associado Agregado do DEC da FEUP (Agregao; Ph.D.; M.Sc.; Eng Civil)

Texto de Apoio Cientfico, Tcnico e Pedaggico unidade curricular

Teoria de Estruturas 2

(45 pginas)

Porto e FEUP, 3-21 de Fevereiro de 2014

Teoria de Estruturas 2 - A Subestruturao na Modelao Estrutural Esttica

2014 - Prof. Rui Carneiro de Barros

A SUBESTRUTURAO NA MODELAO ESTRUTURAL ESTTICA

Rui Carneiro de Barros

Neste captulo aplica-se a condensao esttica de graus de liberdade e a subestruturao, atravs de um exemplo demonstrativo da sub-modelao estrutural em super-elementos, com interesse imediato na abordagem e consolidao de conceitos na UC do 3 ano Teoria de Estruturas 2 (TE 2). Tambm se aplicam outras tcnicas de subestruturao, usadas frequentemente em anlises estruturais estticas pelo mtodo dos elementos finitos, nomeadamente a das foras internas na fronteira ou interface entre as componentes estruturais (super-elementos) e a dos deslocamentos impostos na interface entre componentes estruturais.

Introduo De um modo geral, a ideia e o conceito de subestruturao e de submodelao to antigo como a histria da civilizao. conhecido o paradigma de Dividir para Reinar ou a verso alternativa de Dividir e Conquistar afirmado e promovido pelo conquistador e tirano Jlio Cesar (que no seria o nico, nem infelizmente seria o ltimo; h-os todos os dias ...). Mas a primeira aplicao matemtica de subestruturao ou submodelao foi concretizada por H. Schwarz em 1890 ao provar a existncia e unicidade da soluo da equao de Laplace para um domnio complexo irregular mais geral. Tambm em trabalhos posteriores do matemtico Courant em 1943, foi usada a ideia de subdiviso ao utilizar aproximaes de Ritz por elementos. De certo modo tal constituu o incio implcito dos elementos finitos, porque poucos anos depois em 1956 um artigo tcnico de anlise estrutural de uma aplicao aeronutica (hoje em dia, um artigo clssico histrico) --- M.J. Turner, R.W. Clough, H.C. Martin, and L.C. Topp: "Stiffness and deflection analysis of complex structures", Journal of the Aeronautical Sciences, Vol. 23, No. 9 (September), pp. 805-823, 1956 --- foi proposta (e utilizada desde ento) a designao de elementos finitos [6]. O mesmo R.W. Clough consolidou a designao e estruturou a sua aplicao sistemtica anlise estrutural atravs do seu artigo tcnico tambm histrico: Clough, R.W., The Finite Element Method in Plane Stress Analysis, Proc. 2nd ASCE Conf. on Electronic Computation, Pittsburg, Pa., pp. 345-378, September 1960 [6].



Na restante dcada de 1960's a ideia de dividir o modelo de elementos finitos em subestruturas foi proposto para reduzir a complexidade de modelos estruturais. Tambm para tornar mais eficiente e acelerar a determinao da soluo de grandes sistemas de equaes algbricas (anlise do equilbrio estrutural sob aces por equaes do tipo F=K D ou Faplicado-F0=K D; ou anlise equivalente de aplicaes do contnuo para outros temas de interesse: trmica, escoamento de fluidos, percolao atravs de meios permeveis, etc), na dcada de 1980's o domnio completo complexo sob anlise foi subdividido em sub-domnios (subestruturas) para partilhar a anlise entre diferentes unidades de clculo (ie, entre diferentes computadores com diferentes CPU's). Tal facto corresponde ao incio da designada decomposio em domnios (domain decomposition) ou alternativamente da Subestruturao ou Sub-modelao em elementos ou componentes estruturais sob anlise.

De um modo geral a tcnica de sub-modelagem ou sub-modelao em elementos finitos aplicada localmente, numa anlise estrutural pelo mtodo dos elementos finitos, para analisar as partes componentes que pertencem a uma estrutura completa (mais complexa) ou para obter uma anlise detalhada das tenses numa zona local dessa estrutura completa.

Esta tarefa pode ser realizada automaticamente pela tcnica de subestruturao (em super-elementos) baseada na condensao esttica. Hoje em dia os cdigos de software de simulao de anlises estruturais (nomeadamente o Robot-Millennium utilizado nas prcticas de TE 2), pelo mtodo dos elementos finitos, tm melhorado as capacidades dos elementos de malhas de geometria complexa, atravs da gerao mais automtica das malhas e com melhores ndices de forma dos elementos finitos.

De facto a maioria dos cdigos tm ferramentas de gerao de malhas adaptativas, baseadas em estimadores do erro cometido para obter resultados convergentes. Outros dados necessrios para construir um modelo de elementos finitos so os dados dos materiais constituintes, que normalmente pode ser directamente extrada de manuais de caractersticas materiais.

Para completar a definio dos elementos finitos, as condies de fronteira (ou de contorno) devem ser aplicadas subestrutura componente em estudo. As tarefas de introduo das restries ou condies de fronteira da estrutura sob anlise, e a caracterizao das suas aces (no caso esttico, nomeadamente: foras generalizadas, trmica uniforme e diferencial, assentamentos e erros de fabrico/montagem) so questes principais e no triviais.



Se essa componente estrutural tem uma interface simples, as condies de fronteira so estabelecidas normalmente pelo bom juzo de engenharia, e a sua definio correcta fundamental para obter resultados adequados.

Quando a componente estrutural a ser analisada tem mltiplas interfaces com outras componentes estruturais (da estrutura geral completa mais complexa), pode ser complicado definir as condies de fronteira adequadamente, especialmente quando a rigidez das partes subjacentes de interface so diferentes.

A dificuldade da subestruturao consiste em aplicar as condies de fronteira adequadas nas interfaces (foras generalizadas e restries de deslocamentos generalizados, i.e., condies-fronteira estticas e cinemticas), para simular correctamente o comportamento da componente local que est a ser analisada.

Assim Subestruturao ou Sub-modelao uma tcnica de elementos finitos utilizada para obter resultados com maior preciso numa determinada regio do modelo estrutural sob anlise. Em anlises por elementos finitos frequente a malha de discretizaes iniciais, em determinada zona cujo pormenor interessa detalhar, ser demasiado grosseira; nessa zona, a malha grosseira incapaz de permitir obter resultados satisfatrios para a zona em anlise, embora suficientemente longe dessa zona os resultados possam ser adequados ou bastante mais satisfatrios. Esta afirmao e confirmao prctica baseada no princpio de Saint-Venant (princpio de S.V.): "em pontos de um corpo suficientemente afastados dos pontos de aplicao de cargas concentradas, estas comportam-se como uniformemente distribudas".

Para alm de exemplos de subestruturao ou sub-modelao no domnio da engenharia civil estrutural j apresentados em diferentes discretizaes em anterior trabalho [8], apresenta-se aqui outro exemplo com a sub-modelao de um cubo da polia com trs raios de determinado motor ou engrenagem.



Para o estudo da designada concentrao de tenses na zona dos filetes deste cubo da polia, a malha grosseira da esq (na figura abaixo) inadequada; mas j longe dos filetes, os resultados podero ser aceitveis (princpio de S.V.).

Para melhorar a preciso, nessa zona dos filetes, poder-se-: realizar uma nova anlise (re-anlise) do modelo completo complexo, agora com uma malha mais fina com mais elementos para todo o modelo; ou: realizar uma nova anlise mas apenas com uma nova malha independente mais fina na zona de interesse dos filetes (figura da dir). A primeira soluo mais demorada e de maiores custos, dependentes do tamanho do modelo completo; a segunda soluo a essncia da tcnica de sub-modelao por subestruturao da zona sob anlise detalhada.

Malhas de elementos finitos: grosseira ( esq); submodelo com malha mais fina sobreposta malha grosseira ( dir) na zona de transio dos filetes

Mas de um modo perfeitamente geral a subestruturao e/ou sub-modelao tanto pode ser aplicada anlise dum modelo de elementos finitos do contnuo, como pode ser aplicado anlise dum modelo estrutural 2D/3D de barras prismticas ou at misto de barras e elementos 2D/3D (paredes, placas, cascas e elementos slidos).

Portanto Sub-modelao pode (e deve) tambm ser interpretado como anlise estrutural por subestruturao ou com super-elementos; isto , com outras partes ou componentes estruturais que, por sua vez, so formadas por outros elementos finitos ou outras componentes estruturais.



Na prctica so utilizadas trs tcnicas alternativas para realizar uma anlise estrutural esttica linear recorrendo a sub-modelao e/ou subestruturao: (1) condensao esttica de subestruturas (exacta); (2) aplicao de foras internas na fronteira de interface (aproximada); (3) imposio de deslocamentos na fronteira de interface (aproximada).

A subestruturao aplicada anlise esttica linear e utilizando a tcnica da condensao esttica, conduz aos mesmos resultados que os obtidos a partir da anlise da estrutura completa. As outras 2 tcnicas conduzem a erros, dependentes dos valores arbitrados.

Para a anlise dinmica linear a tcnica da subestruturao apenas uma aproximao de todo o comportamento da estrutura; os mtodos com maior eficincia so os baseados na tcnica da sntese modal (modal synthesis techniques [1, 2, 3] ) j utilizados pelo autor em 1975 na tese de mestrado [5].

Note-se que a tcnica de anlise estrutural por subestruturao ou com super-elementos tambm pode ser utilizada noutras situaes estruturais diferentes: (a) anlise da encurvadura local de barras ou elementos (placas, painis,

paredes) de estruturas mais gerais; (b) anlise da instabilidade global de estruturas; (c) anlise de estruturas com no-linearidades locais (situao onde se verifica

grande aumento de eficincia de anlises, especialmente em termos de tempos de anlise --- CPU runtime);

(d) anlise para reduo do tempo de clculo total de uma estrutura, em iteraes locais de projecto estrutural assistido por computador;

(e) estrutura completa complexa com componentes (para anlise e montagem) --- super-elementos --- partilhadas estrategicamente entre vrias empresas (casos de: avies na engenharia aeronutica, estruturas espaciais na engenharia aeroespacial, e navios de grande porte na engenharia naval).

Condensao esttica e mtodos de reduo ou eliminao Considere-se uma estrutura (ou um modelo de elementos finitos duma estrutura) devidamente ligada ao exterior e sob aces. De um modo geral o n total de graus de liberdade (g.l. ou d.o.f.) possveis normalmente: 6 x "n de ns" do modelo ou estrutura tridimensional (3D), ou 3 x "n de ns" do modelo ou estrutura bidimensional (2D).



Estes g.l. nominais podem ser subdivididos em: g.l. com restries, constries ou imposies das ligaes da estrutura ao exterior (normalmente no so g.l. efectivos, na acesso da palavra) --- designados de g.l. "r" (restrained) ou "c" (constrained) porque associados s restries de movimento de alguns ns;

g.l. livres (sem restries ou sem constries, no ligados ao exterior) ou efectivos, que podem ser internos (na estrutura ou no modelo de elementos finitos), podem ocorrer em fronteiras ou contornos livres (do modelo ou estrutura) ou at nas interface com outras estruturas ou subestruturas --- designados de g.l. "f" (free).

Aps aplicao das condies fronteira da estrutura, ou do modelo estrutural em elementos finitos, o sistema de equaes matriciais de equilbrio do tipo:

{ } { }ff f fK D F = (1) Este vector das aces nodais efectivas { }fF deve ser interpretado como a diferena entre o vector das aces nodais directamente aplicadas em correspondncia com os graus de liberdade e o vector das foras de fixao avaliado tambm segundo os graus de liberdade (isto : da equao matricial de equilbrio correspondente anlise de uma estrutura pelo mtodo dos deslocamentos F = F0 + K D, resultar K D = Ff = F - F0).

Conforme j referido anteriormente, no captulo da condensao esttica de graus de liberdade, os graus de liberdade livres (ou efectivos) ou free podem ser subdivididos em master d.o.f. (g.l. principais ou prioritrios ou comandantes) e slave d.o.f. (g.l. secundrios ou sacrificados/sacrificiais ou escravos). Os master d.o.f. so os considerados ou retidos para determinao explcita no processo de reduo estrutural, enquanto os slave d.o.f. so reduzidos sacrificados ou implicitamente eliminados por condensao esttica [8] obtendo-se uma estrutura equivalente (com a mesma soluo).

Na figura anexa representa-se um domnio contnuo para determinada anlise estrutural esttica linear, j suposto discretizado em elementos finitos ou em barras/componentes constituintes, em que se destacam genericamente os ns dos g.l. principais (master d.o.f. "m") que se encontram maioritariamente solicitados por aces generalizadas Fm, contendo o domnio restante os g.l. secundrios (slave d.o.f. "s") solicitados ou no por aces generalizadas Fs.



Esta subdiviso dos g.l. em master dof Dm e slave dof Ds permite escrever a anterior equao matricial de equilbrio sob a forma:

mm ms m m

sm ss s s

K K D FK K D F

=

(2)

O equilbrio de foras segundo os graus de liberdade master "m" e slave "s", equivale a:

[ ] { } [ ] { } { }[ ] { } [ ] { } { }

mm m ms s m

sm m ss s s

K D K D F

K D K D F

+ =

+ = (3)

Resolvendo a 2 equao anterior para { }sD , obtm-se a expresso seguinte:

{ } [ ] { } [ ] { }( )1s ss s sm mD K F K D= (4) Esta expresso pode ser utilizada para determinar os slave dof { }sD , quando os master dof { }mD forem j conhecidos. Substituindo esta expresso na equao de equilbrio de foras segundo os master dof, organizando os termos semelhantes e reescrevendo a equao de equilbrio sob uma forma mais compacta, obtm-se:

[ ] [ ][ ] [ ]( ) { } { } [ ][ ] { }1 1mm ms ss sm m m ms ss sK K K K D F K K F = (5)

{ } { }* *s smm m mK D F = (6)



sendo

[ ] [ ][ ] [ ]{ } { } [ ][ ] { }

1*

1*

matriz reduzida de rigidez

vector reduzido de aces

s

mm mm ms ss sm

s

m m ms ss s

K K K K K

F F K K F

=

=

(7)

O sistema de equaes (6) representa as equaes matriciais de equilbrio na sua forma reduzida equivalente explicitamente apenas segundo os master d.o.f. { }mD . Resolvendo este sistema de equaes (6) obtm-se os deslocamentos principais master dof { }mD , e atravs da expresso (4) obtm-se os deslocamentos secundrios sacrificados slave dof { }sD . O sobre-ndice s, que pode ser omitido, significa que essas quantidades matriciais reduzidas (matriz reduzida de rigidez e vector reduzido de aces) foram obtidas por eliminao dos graus de liberdade "s".

A condensao esttica aplicada anlise estrutural linear permite determinar a soluo exacta explcita dos { }mD e posteriormente a dos{ }sD , igual soluo global directa da anlise da estrutura completa atravs do sistema de equaes matriciais de equilbrio global (2) ou (5)-(6) [4, 7, 8].

Note-se que as expresses (7), para obteno da matriz reduzida de rigidez e do vector reduzido de aces, so similares s operaes matriciais associadas resoluo de um sistema de equaes algbricas lineares (de matriz dos coeficientes simtrica) pelo mtodo de eliminao de Gauss (M.G. simples MG-1, M.G. com pivotagem parcial MG-2, M.G. com pivotagem total MG-3) ou s operaes matriciais para inverso de uma matriz simtrica (ou no).

Estas referidas trs verses do mtodo de eliminao de Gauss (MG-1, MG-2 e MG-3) so assim pessoalmente codificadas pelo autor na FEUP desde 1985/86 (quando foi o regente da disciplina Mtodos Numricos no 1 Mestrado em Hidrulica do DEC da FEUP) e tambm na Universidade Portucalense Infante D. Henrique de 1986/87 a 1991/92 (onde foi o regente da disciplina Mtodos Numricos e Programao da licenciatura em Informtica, vertente ou opo de Matemticas Aplicadas). Para alm do mtodo de Gauss, nessas disciplinas desses cursos tambm foram lecionados e programados em Fortran outros mtodos para a resoluo de sistemas de equaes algbricas lineares (SEAL) de matriz no-simtrica (caso geral) ou simtrica (caso frequente na engenharia estrutural com a matriz de rigidez, mas tambm presente em muitos outros casos tcnicos) dos coeficientes do SEAL:



mtodo de factorizao de Crout (com triangularizao LU, sendo uii=1); mtodo de factorizao de Doolitle (com triangularizao equivalente LU,

sendo lii=1); mtodo de factorizao de Cholesky (para matriz simtrica dos coeficientes

do SEAL, com triangularizao LU=L . LT); mtodo iterativo de Gauss-Seidel (e sua variante com parmetro -- over-

relaxation factor -- de acelerao de convergncia para a soluo). Em qualquer dos casos, as sucessivas eliminaes de Gauss (sem ou com pivotagens) ou qualquer dos trs mtodos de factorizao (Crout, Doolitle, Cholesky) conduzem a um sistema de equaes equivalente (i.e., com a mesma soluo algbrica) com uma matriz triangular equivalente dos coeficientes das incgnitas (obtida no processo designado de reduo frontal ou forward reduction), que se resolve por substituio rectroactiva desde a ltima incgnita na ltima equao para a primeira (processo designado por substituio retroactiva ou backward substitution). O 2 termo subtractivo na 1 expresso (7) similar s redues das eliminaes do M.G., apesar de ser constitudo por um triplo produto matricial envolvendo a matriz inversa da matriz de rigidez associada aos graus de liberdade secundrios ou sacrificiais (slave dof).

Pela sua importncia e simplicidade faculta-se uma subrotina escrita em FORTRAN, para obteno da matriz inversa de uma matriz quadrada qualquer (simtrica ou no), pelo designado mtodo de Gauss-Jordan (programao simples sem pivotagens). Tambm se facultam (em grau de complexidade crescente) outras subrotinas mais elaboradas escritas em FORTRAN 90 (avanado e com formato livre ou free format --- atravs de "", isto , sem necessidade de declaraes no executveis de formatos de input/output I/O), sobre a factorizao de matrizes e ainda outra incorporando o mtodo de Gauss (com pivotagens) para resoluo de sistemas de equaes algbricas lineares (SEAL); qualquer delas com detalhes e tcnicas de programao semelhantes s utilizadas e desenvolvidas pelo autor em [5] e posteriormente em displinas e dissertao do seu doutoramento nos E.U.A. .

As operaes j referidas de reduo frontal so evidentes atravs da compreenso da programao eficaz. No caso da resoluo de um sistema de equaes SEAL pelo mtodo de Gauss, a algoritmia de reduo frontal para obteno do vector reduzido de aces similar apresentada na condensao esttica; a resoluo do sistema equivalente aps reduo frontal criando uma matriz de coeficientes triangular, realizada por uma algoritmia muito semelhante que assegura a substituio retroactiva.



Subrotina de Inverso Simples (i.e., sem pivotagens) de Matrizes

Obs: Habitualmente as declaraes de execuo (executable statements) de uma programao em FORTRAN comeam na 7 coluna, pelo que poder ser necessrio (em alguns compiladores) realizar a translao da programao efectiva a partir da coluna 7, mantendo as linhas de comentrios iniciadas por "!" ou "C" na 1 coluna.

Subrotina de Factorizao de Matrizes (neste caso, simtricas e no necessariamente positivamente definidas) pelo mtodo de Crout

e de posterior resoluo de um SEAL

!******************************************************************* ! SOLUTION OF SIMULTANEOUS EQUATIONS BY CROUT FACTORISATION ! A = U TRANSPOSE * D * U ! A IS ASSUMED TO BE SYMMETRIC BUT NEED NOT BE POSITIVE DEFINITE !******************************************************************* PROGRAM CROUT !******VARIABLE DECLARATION*********************************** IMPLICIT NONE REAL:: SUM,FACTOR INTEGER:: I,J,JM1,IM1,IP1,K,N,NM1 REAL,ALLOCATABLE:: A(:,:),U(:,:), F(:),X(:),Y(:) !*******FILE MANAGEMENT***************************************** CHARACTER(LEN=40)::FILEIN, FILEOUT PRINT*,NAME OF INPUT FILE READ*,FILEIN PRINT*,NAME OF OUTPUT FILE READ*,FILEOUT OPEN(UNIT=1, FILE =FILEIN,STATUS='OLD',ACTION='READ')



OPEN(UNIT=2, FILE =FILEOUT,STATUS='REPLACE',ACTION='WRITE') !******INPUT DATA************************************************ READ(1,*) N NM1 = N-1 ALLOCATE(A(N,N),U(N,N),F(N),X(N),Y(N)) !******INPUT MATRIX TO BE FACTORISED AND LOAD VECTOR****** READ(1,*) ((A(I,J), J=I,N),I=1,N) READ(1,*)(F(I),I=1,N) !*******PRINT THE INPUT MATRIX******************************** WRITE(2,*)' MATRIX TO BE FACTORISED' DO I = 1,N WRITE(2,'(6(4X,F10.4))')(A(I,J), J = I,N) END DO !*******PRINT LOAD VECTOR************************************ WRITE(2,'(6(4X,F10.4))')(F(I), I = 1,N) !*******SINCE DIAGONAL ELEMENTS OF U ARE ALL EQUAL TO UNITY, !*******ELEMENT D(I,I) IS STORED IN U(I,I)*************************** !*******CALCULATE THE UPPER TRIANGULAR MATRIX U************* !*******CALCULATE THE FIRST ROW OF U*************************** U(1,1) = A(1,1) FACTOR=1/U(1,1) DO J=2,N U(1,J)=A(1,J)*FACTOR END DO !*******CALCULATE THE ELEMENTS OF ROWS 2 TO N********** DO I = 2,N IP1=I+1 !*******CALCULATE THE DIAGONAL ELEMENT D(I,I) ************* !*******AND STORE IT IN U(I,I)*********************************** IM1=I-1 SUM=0 DO K= 1,IM1 !*******REMEMBER THAT ELEMENT D(K,K) IS STORED IN U(K,K)****** SUM = SUM + U(K,I)*U(K,I)*U(K,K) END DO U(I,I)= A(I,I)-SUM IF(I==N)EXIT !*******CALCULATE THE OFF DIAGONAL ELEMENTS************** !*******REMEMBER THAT ELEMENT D(I,I) IS STORED IN U(I,I)********* FACTOR=1.0/U(I,I) DO J= IP1,N SUM = 0 DO K = 1,IM1 SUM = SUM + U(K,I)*U(K,J)*U(K,K) END DO U(I,J)=(A(I,J)-SUM)*FACTOR END DO END DO !*******PRINT U MATRIX******************************************* WRITE(2,*) 'U MATRIX' WRITE(2,*) 'NOTE DIAGONAL ELEMENTS OF U ARE UNITY BUT AS



PRINTED' WRITE(2,*)'THEY ARE THE ELEMETS OF D' DO I = 1,N WRITE(2,*)(U(I,J), J=I,N) END DO !*******USE FORWARD SUBSTITUTION TO SOLVE U TRANSFORM Y = F** Y(1)=F(1) DO I= 2,N SUM = 0 IM1=I-1 DO J= 1,IM1 SUM = SUM + U(J,I)*Y(J) END DO Y(I)=F(I)-SUM END DO !*******CALCULATE D INVERSE Y ******************************** !*******DIAGONALS OF D IN DIAGONALS OF U MATRIX ************ DO I = 1,N Y(I)=Y(I)/U(I,I) END DO !*******USE BACK SUBSTITUTION TO SOLVE U X = D INVERSE Y****** X(N)=Y(N) NM1=N-1 DO I = NM1,1,-1 SUM = 0 IP1=I+1 DO J = N,IP1,-1 SUM = SUM +U(I,J)*X(J) END DO X(I)=Y(I)-SUM END DO !*******PRINT DISPLACEMENTS********************************** WRITE(2,*)'DISPLACEMENTS' WRITE(2,'(6(4X,F10.4))')(X(I),I=1,N) END PROGRAM CROUT

Subrotina de Factorizao de Matrizes (simtricas, e positivamente definidas) pelo mtodo de Cholesky e de posterior resoluo de um SEAL

!******************************************************** !SOLUTION OF SIMULTANEOUS EQUATIONS BY CHOLESKY FACTORISATION ! MATRIX IS ASSUMED TO BE SYMMETRIC AND POSITIVE DEFINITE !******************************************************************** PROGRAM CHOLESKY !*******VARIABLE DECLARATION************************************ IMPLICIT NONE REAL:: SUM,FACTOR INTEGER:: I,J,IM1,IP1,K,N,NM1 REAL,ALLOCATABLE:: A(:,:),U(:,:), F(:),Y(:),X(:) !*******FILE MANAGEMENT***************************************** CHARACTER(LEN=40)::FILEIN, FILEOUT



PRINT*,NAME OF INPUT FILE READ*,FILEIN PRINT*,NAME OF OUTPUT FILE READ*,FILEOUT OPEN(UNIT=1, FILE =FILEIN,STATUS='OLD',ACTION='READ') OPEN(UNIT=2, FILE =FILEOUT,STATUS='REPLACE',ACTION='WRITE') !*******INPUT DATA'*********************************************** READ(1,*) N ALLOCATE(A(N,N),U(N,N),F(N),Y(N),X(N)) !*******INPUT MATRIX TO BE FACTORISED. INPUT THE DATA BY ROWS READ(1,*) ((A(I,J),J=I,N),I=1,N) !*******INPUT THE LOAD VECTOR*********************************** READ(1,*)(F(I),I=1,N) !*******PRINT THE INPUT MATRIX********************************* WRITE(2,*)' MATRIX TO BE FACTORISED' DO I = 1,N WRITE(2,'(6(4X,F10.4))')(A(I,J), J = I,N) END DO !*******PRINT THE LOAD VECTOR********************************** WRITE(2,*)' LOAD VECTOR' WRITE(2,'(6(4X,F10.4))')(F(I), I = 1,N) !*******CALCULATE THE UPPER TRIANGULAR MATRIX U************* !*******CALCULATE THE FIRST ROW OF U*************************** U(1,1) = SQRT(A(1,1)) FACTOR=1/U(1,1) DO J=2,N U(1,J)=A(1,J)*FACTOR END DO !*******CALCULATE THE ELEMENTS OF ROWS 2 TO N*************** DO I = 2,N IP1=I+1 !*******CALCULATE THE DIAGONAL ELEMENT********************** IM1=I-1 SUM=0 DO K= 1,IM1 SUM = SUM + U(K,I)*U(K,I) END DO U(I,I)=SQRT(A(I,I)-SUM) IF(I==N)EXIT !*******CALCULATE THE OFF DIAGONAL ELEMENTS****************** FACTOR=1.0/U(I,I) DO J= IP1,N SUM = 0 DO K = 1,IM1 SUM = SUM + U(K,I)*U(K,J) END DO U(I,J)=(A(I,J)-SUM)*FACTOR END DO END DO !*******PRINT U MATRIX******************************************* WRITE(2,*) 'U MATRIX'



DO I = 1,N WRITE(2,*)(U(I,J), J=I,N) END DO !*******USE FORWARD SUBSTITUTION TO SOLVE FOR Y************* Y(1)=F(1)/U(1,1) DO I = 2,N SUM = 0 IM1=I-1 DO J= 1,IM1 SUM = SUM + U(J,I)*Y(J) END DO Y(I)= (F(I)-SUM)/U(I,I) END DO !*******USE BACK SUBSTITUTION TO SOLVE FOR X****************** X(N)=Y(N)/U(N,N) NM1=N-1 DO I= NM1,1,-1 SUM = 0 IP1=I+1 DO J= N,IP1,-1 SUM=SUM + U(I,J)*X(J) END DO X(I)=(Y(I)-SUM)/U(I,I) END DO !*******PRINT DISPLACEMENTS************************************* WRITE(2,*)'DISPLACEMENTS' WRITE(2,'(6(4X,F10.4))')(X(I), I = 1,N) END PROGRAM CHOLESKY

Subrotina para resoluo de um SEAL pelo mtodo de Gaus (sem pivotagem)

!******************************************************************* !*****THIS PROGRAM SOLVES SIMULTANEOUS EQUATIONS BY GAUSSIAN ! ELIMINATION METHOD !******************************************************************* PROGRAM GAUSS !*****VARIABLE DECLARATION IMPLICIT NONE INTEGER::I,J,K,N,NM1,KP1,IP1 REAL::FACTOR, SUM,DETERMINANT REAL,ALLOCATABLE::A(:,:),F(:),X(:) !*******FILE MANAGEMENT***************************************** CHARACTER(LEN=40)::FILEIN, FILEOUT PRINT*,NAME OF INPUT FILE READ*,FILEIN PRINT*,NAME OF OUTPUT FILE READ*,FILEOUT OPEN(UNIT=1, FILE =FILEIN,STATUS='OLD',ACTION='READ') OPEN(UNIT=2, FILE =FILEOUT,STATUS='REPLACE',ACTION='WRITE')



!*******INPUT THE NUMBER OF UNKNOWNS*********************** READ(1,*)N ALLOCATE(A(N,N),F(N),X(N)) !*****INPUT THE MATRIX ROW BY ROW AND THE LOAD VECTOR*** READ(1,*)((A(I,J),J=1,N),I=1,N) READ(1,*)(F(I),I=1,N) !*******ECHO THE INPUT***************************************** WRITE(2,'(/,A)')'INPUT MATRIX' DO I = 1,N WRITE(2,'(6(F10.4,4X))')(A(I,J),J=1,N) END DO WRITE(2,'(/,A)')'INPUT LOAD VECTOR' DO I = 1,N WRITE(2,'(F10.4)')F(I) END DO !*******GAUSSIAN REDUCTION PHASE***************************** NM1=N-1 !***CHOOSE THE EQUATION WITH WHICH TO ELIMINATE ******** !******* THE VARIABLES******************************************* DO K=1,NM1 KP1 = K+1 DO I =KP1,N FACTOR = A(I,K)/A(K,K) F(I)=F(I)-F(K)*FACTOR DO J = KP1,N A(I,J) = A(I,J) - A(K,J)*FACTOR END DO END DO END DO !*******BACK SUBSTITUTION PHASE******************************** X(N) = F(N)/A(N,N) DO I = NM1,1,-1 IP1=I+1 SUM = 0 DO J = IP1,N SUM = SUM + A(I,J)*X(J) END DO X(I)=(F(I)-SUM)/A(I,I) END DO !******CALCULATE THE DETERMINANT************************* DETERMINANT = 1 DO I = 1,N DETERMINANT = DETERMINANT*A(I,I) END DO !*******PRINT OUT THE RESULTS******************************** WRITE(2,'(/,A,E14.6)')'DETERMINANT = ',DETERMINANT WRITE(2,'(/,A)')' VARIABLE NO. VALUE' DO I = 1,N WRITE(2,'(I5,4X,F10.4)')I,X(I) END DO END PROGRAM GAUSS



Subestruturao por condensao esttica

Considere-se uma estrutura (ou um modelo de elementos finitos) que subdividido em duas partes componentes constituintes ou duas subestruturas A e B.

Os g.l. (d.o.f.) desta estrutura (ou deste modelo de elementos finitos) podem ser subdivididos nos seguintes conjuntos de g.l.: "a", designando os g.l. internos da subestrutura A; "b", designando os g.l. internos da subestrutura B; "i", designando os g.l. da interface (ou da fronteira comum) entre as subestruturas A and B.

As matrizes de rigidez de cada subestrutura so representadas pelas expresses

aa aiA A

ia ii

K KK

K K

=

Bii ib

Bbi bb

K KK

K K

=

(8)

com o significado implcito de cada uma das 4 submatrizes constituintes, similar ao j descrito no captulo da condensao esttica de graus de liberdade (kee, kde, ked, kdd ; kmm, ksm, kms, kss) [8].



A assemblagem estrutural (por espalhamento e sobreposio) das matrizes de rigidez de cada subestrutura permite formar o sistema de equaes matriciais de equilbrio esttico global da estrutura completa, sob a forma:

0

0

aa ai a a

ia ii ib i i

bi bb b b

K K D FK K K D F

K K D F

=

(9)

A Bii ii iiK K K= + (10)

Considerando agora os g.l. "b" da subestrutura B como slave dof, ser necessrio realizar condensao esttica desses g.l. "b" para reduzir ou sacrificar de modo equivalente (i.e., com a mesma soluo) a sua contribuio explcita; de igual modo, os g.l. "a+i", respectivamente da subestrutura A e da interface i, sero os master dof. A matriz de rigidez global e o vector de aces globais generalizadas sero fraccionados de modo equivalente ao j exposto:



0

0

aa aimm ms

ia ii ibsm ss

bi bb

K KK K

K K KK K

K K

=

a

m

is

b

FF

FF

F

=

(11)

Aplicando s parties ou fraccionamentos da equao (11), as expresses (7) da matriz de rigidez reduzida e do vector de aces reduzidas dadas por:

[ ] [ ][ ] [ ]{ } { } [ ][ ] { }

1*

1*

s

mm mm ms ss sm

s

m m ms ss s

K K K K K

F F K K F

=

=

obtm-se os seguintes matriz e vector reduzidos por eliminao dos g.l. "b":

[ ] [ ]

{ } [ ] { }

1*( ) 1

1*( ) 1

00

0

aa ai aa aiba i bb bi

ia ii ib ia ii ib bb bi

a aba i bb b

i ib i ib bb b

K K K KK K K

K K K K K K K K

F FF K F

F K F K K F

+

+

= =

= =

(12)

Como A Bii ii iiK K K= + , pode decompor-se e identificar-se cada uma das quantidades matriciais (matriz e vector reduzidos) em duas parcelas: (a) uma primeira parcela envolvendo as efectivas contribuies "a+i" dos master dof da subestrutura A; (b) uma segunda parcela envolvendo as contribuies da subestrutura B (sacrificada) atravs dos g.l. na interface "i".

{ }

* *

( ) 1

* *

( ) 1

0 00

00 0

aa aib ba i A iiA B

ia ii ii ib bb bi

a ab ba i i

i ib bb b

K KK K K

K K K K K K

F FF F

F K K F

+

+

= + = +

= + = +

(13)

Assim o sistema de equaes de equilbrio reduzido nos master dof "a+i" considerados :



( )* *0a ab bA ii iiD F

K K FD

+ = +

ou { }* *( ) ( )ab ba i a i

i

DK F

D+ +

=

(14)

Reala-se mais uma vez que a matriz de rigidez reduzida *( )ba iK + composta

pela matriz de rigidez AK da subestrutura A, e pela matriz de rigidez reduzida da subestrutura B aos g.l. da interface "i" embora expandindo-a (com zeros) ao tamanho (a+i).

De igual modo o vector de aces reduzido { }*( )ba iF + composto pelo vector de aces aplicadas nos g.l internos "a" da subestrutura A, e pelo vector de aces reduzidas da subestrutura B aos g.l. da interface "i" embora tambm expandindo-o (com zeros) ao tamanho (a+i).

Assim, para realizar uma anlise estrutural esttica duma subestrutura principal (ou master) duma estrutura completa mais geral (ou duma modelao mais geral por elementos finitos) pela tcnica da condensao esttica, os passos fundamentais dessa anlise so: Discretizao em partes constituintes da subestrutura principal master (ou

modelo por elementos finitos), isto , da subestrutura A. Determinao do efeito reduzido da subestrutura B na subestrutura A, nos

g.l. da interface "i", atravs de: matriz de rigidez reduzida da subestrutura B nos g.l. "i" da interface; vector de aces reduzido da subestrutura B nos g.l. "i" da interface.

[ ][ ] [ ]{ } { } [ ][ ] { }

1*

1*

b Bii ii ib bb bi

bi i ib bb b

K K K K K

F F K K F

=

=

Figura 1: Subestruturao por condensao esttica



A principal caracterstica do mtodo de sub-modelao ou subestruturao por condensao esttica que as condies fronteira na interface so constitudas pelo modelo reduzido da subestrutura B; isto , s depende da rigidez da subestrutura B e como tal totalmente independente da rigidez da subestrutura A. Assim, qualquer modificao da subestrutura A (para qualquer parametrizao necessria com as caractersticas da subestrutura A) ser abordada exactamente, e os resultados sero os mesmos que os associados a um modelo total da estrutura completa.

Subestruturao por aplicao de foras internas na interface Outro processo de realizar a anlise estrutural local da subestrutura A consider-la isoladamente, e aplicar aces internas da subestrutura B sobre a subestrutura A na interface de g.l. "i". O sistema de equaes que traduz esta tcnica de subestruturao pode ser deduzido das expresses (13)-(14) por reorganizao dos termos constituintes. De facto:

{ }( ) { }

* *

( ) ( )

* *

( )1

*

1

0 0.

0

0 0 =

0 0

ab ba i a i

i

a aa ai ab bA ii a iA B

i ia ii ii ib bb bi i

aa abi

i ib bb b i ib

DK F

D

D K K DK K F

D K K K K K K D

FF FF

F K K F F K K

+ +

+

=

+ = + =

+ = + = +

1

bb bF

Assim, das expresses anteriores resulta

( )1 10

0

aa ai a aA B

ia ii i i ii ib bb bi i ib bb b

aa ai a aA

ia ii i i BA

K K D FK K D F K K K K D K K F

K K D FK K D F F

= +

= +

(15)

em que FBA representa a fora interna da subestrutura B sobre a subestrutura A.



Esta fora interna atravs da interface "i", soma de duas parcelas matriciais no 2 vector do 2 membro da 1 das expresses (15), interpretada como a soma dos dois termos seguintes BA BA BAF F F = + sendo:

BAF : Foras actuando atravs da interface quando a subestrutura B restringida (com deslocamento zero) nos g.l. "i" da interface --- i.e., quando subestrutura B se encontra apoiada nos g.l. "i" da interface como fronteira de apoio --- e sujeita s suas aces aplicadas Fb ;

0'

BBAii ib

b bbi bb

FK KD FK K

=

A 2 equao expressa por . 'bb b bK D F= de que resulta 1

'b bb bD K F

=

A 1 equao expressa por . 'ib b BAK D F = de que resulta:

1. 'BA ib b ib bb bF K D K K F

= = (16)

Note-se que esta fora BAF s depende das caractersticas da subestrutura B (a condensar reduzir ou sacrificar: slave dof), quer sob a forma de distribuio de rigidez da subestrutura B atravs dos termos ibK e bbK (e seus significados) quer atravs das aces explcitas na subestrutura B ( bF ).

BAF : Foras actuando atravs da interface quando na subestrutura B so impostos ou prescritos deslocamentos Di ;

'' 0

Bi BAii ib

bbi bb

D FK KDK K

=

A 2 equao expressa por . . '' 0bi i bb bK D K D+ = de que resulta 1

'' .b bb bi iD K K D

= .

A 1 equao expressa por . . ''Bii i ib b BAK D K D F + = de que resulta:

( )1. . '' . .B BBA ii i ib b ii ib bb bi iF K D K D K K K K D = = (17)



Note-se que esta fora BAF depende dos deslocamentos da interface "i" (e portanto indirectamente depende tambm da rigidez da subestrutura A, de master dof "a+i") e depende explicitamente da distribuio de rigidez da subestrutura B. Assim, qualquer modificao da rigidez da subestrutura A (master dof) implicar variaes dos deslocamentos iD da interface "i" e portanto modificao do valor da fora interna FBA da subestrutura B sobre a subestrutura A.

Logo ocorrero erros (com maior ou menor impreciso) na anlise da subestrutura A (de master dof) atravs deste mtodo de aplicao de foras internas na fronteira de interface "i", quando se realizem alteraes de rigidez (simulaes para parametrizao) na subestrutura A (de master dof).

Neste mtodo de aplicao de foras internas, possvel que a subestrutura A no tenha restries suficientes para impedir movimentos de corpo rgido ou desenvolvimento de mecanismos locais. Neste caso sero necessrias restries ou impedimentos adicionais para eliminar estas singularidades da matriz de rigidez, embora as correspondentes reaces sejam nulas.

No caso da subestrutura A no ter ligaes externas, dever ser aplicado um conjunto isosttico de restries cujas reaces sejam nulas (ou quase nulas) porque as foras FBA Fa e Fi devem estar em equilbro.

Figure 2: Subestruturao por aplicao de foras internas na interface

( )1 1BBA ii ib bb bi i ib bb bF K K K K D K K F = Foras internas aplicadas na interface



Subestruturao por imposio de deslocamentos na interface Uma outra tcnica de submodelao ou subestruturao para analizar localmente uma subestrutura A (principal ou master) baseia-se em impr deslocamentos Di nos g.l. i da interface (com outras estruturas ou super-elementos, secundrios sacrificiais ou slave), mas tambm considerando as foras aplicadas Fa nos g.l. internos ou livres a da subestrutura A (master). Isto :

=

i

a

i

a

Aiiia

aiaa

RF

DD

KKKK

(18)

Da 1 equao deste sistema de equaes de equilbrio, obtm-se a soluo esttica da subestrutura A (master dof):

( )iaiaaaa DKFDK = (19) O termo das aces exteriors efectivas na subestrutura A, na expresso (18), depende dos deslocamentos Di da interface (g.l. i) e na distribuio de rigidez dessa subestrutura A (atravs da submatriz Kai e do seu significado estrutural).

Assim, qualquer alterao de rigidez da subestrutura A (master), implicar alterao desta fora efectiva; com consequncias e concluses similares ao j enunciado anteriormente: ocorrero erros (com maior ou menor impreciso) na anlise da subestrutura A (de master dof) atravs deste mtodo de imposio de deslocamentos na interface "i", quando se realizem alteraes de rigidez (simulaes para parametrizao) na subestrutura A (de master dof).

Figure 3: Subestruturao por imposio de deslocamentos na interface

Deslocamentos Di impostos na interface i



Condensao esttica de uma subestrutura isostaticamente ligada a uma estrutura hiperesttica Considere-se agora uma estrutura espacial geral composta por duas subestruturas C e E, em que a subestrutura C est isostaticamente ligada ou apoiada (no espao) subestrutura E e no possui quaisquer ligaes externas. Assim, o conjunto total de graus de liberdade "i" na interface de ligao entre as duas subestruturas (C e E) um conjunto de ligaes segundo 6 direces que impede os 6 movimentos de corpo rgido da subestrutura C (3 translaes e 3 rotaes espaciais). A subestrutura E ser portanto a efectiva estrutura hiperesttica mais geral (estrutura apoiante da isostaticamente apoiada). A fora de interaco na interface entre C e E, FCE , pode ser obtida directamente por equilbrio tridimensional da subestrutura C, e no depende da rigidez de qualquer das subestruturas C ou E porque a subestrutura C isosttica.

Neste caso particular, a anlise esttica da subestrutura isosttica C pode ser realizada bastando para tal considerar (como se fossem) nulos os g.l. na interface (que representam apoios da subestrutura isosttica), atravs de:

0C CEii icc cci cc

FK KD FK K

=

(20)



Da 2 equao resulta .cc c c

K D F= , e portanto 1.c cc c

D K F= . Da 1 equao resulta icK . cD = CEF , e portanto as foras internas FCE atravs da interface "i", independentes da rigidez da subestrutura C, so calculadas por:

1.CE ic c ic cc c ic cF K D K K F F= = = (21)

O significado da matriz 1. ( )Tic ic cc ciK K = = ser justificado a seguir, mas j se indica que

ci a matriz que quantifica os modos de corpo rgido [3].

Suponha-se agora que se pretende impr movimentos de corpo rgido (3 translaes espaciais e 3 rotaes espaciais, comuns a todos os pontos ou partes constituintes) subestrutura isosttica C, quando no actuada por foras explcitamente (isto , quando 0

cF = ).

O valor desses seis movimentos de corpo rgido impostos, tanto pode ser considerado unitrio na direco correspondente (o mais habitual) como pode assumir um valor universal distinto da unidade (escalando-o nessas direces).

1 0 0 0 0 00 1 0 0 0 00 0 1 0 0 0

, , , , ,

0 0 0 1 0 00 0 0 0 1 00 0 0 0 0 1

Em termos matriciais esses seis movimentos de corpo rgido (portanto 6 casos de vectores de deslocamentos impostos) podem ser simulados atravs da matriz identidade I aplicada aos 6 graus de liberdade da interface "i" segundo os quais a subestrutura C est isostaticamente apoiada na subestrutura E (atravs da interface "i"). Assim essa matriz identidade designada de iiI , ou alternativamente essa mesma matriz identidade iiI multiplicada por um qualquer valor escalador.

Isto :

( ( ) 6)( ( 6 6) 6) 0

Cii iiii ic

cici cc c ic i

I TK KK K

+ + +

=

(22)



sendo ci o vector de deslocamentos nos g.l. internos da subestrutura C, no

directamente solicitada e isostaticamente apoiada no apoiante mais geral subestrutura E.

Da 2 equao, do sistema de equaes (22), resulta que . . 0ci ii cc ciK I K + = , ou

. 0ci cc ciK K + = , e portanto:

1.

ci cc ciK K = (23)

representa os deslocamentos dos graus de liberdade livres da subestrutura C (isostaticamente apoiada na subestrutura apoiante E, atravs dos g.l. da interface "i") quando sujeita a seis movimentos de corpo rgido nos g.l. da interface "i": logo

ci a matriz (c 6) dos modos de corpo rgido [3] da subestrutura apoiada C.

Tambm sabe-se que as foras elsticas generalizadas necessrias para induzir movimentos de corpo rgido so nulas. Assim da 1 equao do sistema de equaes (22) resulta, de acordo com (23) e com as equaes (5)-(6)-(7), a seguinte matriz de rigidez reduzida da subestrutura apoiada C:

[ ]1 *. . 0C C cii ii ii ic ci ii ic cc ci iiT K I K K K K K K = + = = = (24)

Portanto, a matriz de rigidez reduzida da subestrutura C (reduzindo as contribuies dos g.l. livres "c" aos g.l. da interface "i"), isostaticamente apoiada (em alguns g.l. da interface "i") noutra subestrutura E, identicamente nula.

Assim, neste caso em que a subestrutura C est isostaticamente apoiada (ou ligada) na interface "i" (com a subestrutura apoiante E), a anlise estrutural local com alteraes de rigidez (modificaes de rigidez por simulaes para alguma parametrizao) na subestrutura E (de master dof) realizada exactamente (sem erros introduzidos) pelos dois mtodos de subestruturao por condensao esttica ou pela introduo de foras internas na interface.

De acordo com as expresses associadas aos respectivos mtodos de subestruturao, tal identidade ou equivalncia de resultados (sem erros associados) deve-se ao facto de ser nula a acima referida matriz de rigidez reduzida.



1 Exemplo didctico (dados fixos, sem estudo paramtrico) Para realar a aplicao de tcnicas de subestruturao (ou com super-elementos), apresenta-se o seguinte exemplo do modelo plano de um pequeno centro comercial de duas alas, com altura H de interpisos.

Ao nvel do rs-do-cho existem 2 prticos independentes, a que correspondero duas utilizaes distintas dessas alas comerciais: esquerdo, com colunas de rigidezes k1 e k2; direito, com colunas de rigidezes k3 e k4.

Ao nvel do 1 andar existem 2 sub-prticos (partes do prtico do 1 andar) no-independentes, porque solidarizados com uma viga composta de grande rigidez que vence o vo da galeria comercial: sub-prtico esquerdo, com colunas de rigidez flexional k5 e de rigidez axial (EA/L)esq; sub-prtico direito, com colunas de rigidez flexional k6 e de rigidez axial (EA/L)dir.

Os paramentos exteriores dos sub-prticos do 1 andar so constitudos por painis envidraados entre pilares de rigidez flexional desprezvel e que apenas funcionam axialmente. Sobre a viga composta do 1 piso, apoiada nos 4 pilares dos 2 sub-prticos (ou partes do prtico), assenta uma cobertura leve parcialmente transparente na zona central sobre a galeria do centro comercial.

Porque este hipottico centro comercial est localizado numa zona de risco ssmico elevado, em terreno fraco, optou-se por apoiar os prticos do rs-do-cho num ensoleiramento geral rgido apoiado no solo atravs de mltiplos isoladores de base (base isolators b.i.) de rigidez kbi a deslocamentos laterais.



Rubber block Laminated rubber bearing (LRB)

Comparison of compressive and horizontal shear features

Nos exemplos e aplicaes anteriores visualiza-se a tcnica de amortecimento das vibraes (induzidas por sismos) por deformao em corte de apoios HDRB (high damping rubber bearings) com borracha altamente deformvel; algumas dessas figuras tambm exemplificam a sua aplicao real.

A figura seguinte demonstra outro tipo de princpio e de aplicao de isolamento de base, alternativo ao anterior, em que a energia de vibrao induzida por um sismo parcialmente convertida em energia potencial de posio subindo todo o edifcio determinados valores em diferentes prumadas de localizao deste apoios esfricos movendo-se sobre superfcies esfricas rgidas (e quase sem atrito) de geometria conhecida.

Hoje em dia o desenvolvimento industrial deste tipo de apoios j permite o refinamento da ocorrncia de deslizamento sobre superfcies esfricas de vrias curvaturas gradativas.



A estrutura didctica completa constituda por duas subestruturas: A (prtico superior do 1 piso) e B (prticos inferiores esq e dir do rs-do-cho). A subestrutura A (prtico superior) a que se pretende estudar localmente (master d.o.f. ou graus de liberdade principais, de controlo ou chefe) --- por exemplo: para determinadas parametrizaes da cobertura, ou das rigidezes do piso superior, ou das aces neste piso superior --- por "sacrifcio estrutural" ou condensao esttica equivalente da contribuio da subestrutura B (slave d.o.f. ou graus de liberdade secundrios, sacrificiais ou escravos).

Subestrutura A (prtico superior) Master d.o.f.

Subestrutura B (prticos inferiores) Slave d.o.f.

Atravs de uma primeira abordagem, poder-se-ia analisar esta estrutura elementar apenas sob aces laterais (esttica e quase-esttica) nas duas situaes seguintes: (a) foras laterais (supostas conhecidas) devidas ao vento (esttico), segundo os graus de liberdade D2 D3 e D4; (b) fora lateral (suposta conhecida) na base do prtico direito, devido a uma mquina que opere a muito baixa frequncia (aco quase-esttica) segundo a direco do g.l. D1.



Neste caso o deslocamento do solo D0 ser identicamente nulo, e a matriz de rigidez (4 x 4) correspondente aos 4 graus de liberdade (D1, D2, D3 e D4) ser obtida a partir das consideraes seguintes: as rigidezes translacionais k1, k4, k5 e k6, so do tipo 12(EI)j/(H^3); as rigidezes translacionais k2 e k3, so do tipo 3(EI)j/(H^3); os pilares biarticulados de rigidez axial (EA/L) no contribuem para a rigidez translacional da mobilidade lateral.

O aluno dever demonstrar por deduo directa, para cada configurao de deslocamento unitrio no grau de liberdade correspondente, a seguinte matriz de rigidez da estrutura deste exemplo conceptual.

1 2 3 4 1 2 3 4

1 2 1 2 5 5

3 4 3 4 6 6

5 6 5 6

4 ( ) ( ) ( ) ( ) 0( ) ( ) (0 ) 0( ) 0 ( ) ( 0)

0

bik k k k k k k k kk k k k k kk k k k k k

k k k k

+ + + + + +

+ + + + + + + +

+

Para extenses futuras deste exemplo conceptual ao domnio da dinmica estrutural, a ser utilizado como exemplo na unidade curricular Dinmica de Estruturas e Engenharia Ssmica, numa primeira anlise poder-se- admitir que a massa m1 do ensoleiramento geral desprezvel face s massas m2 m3 e m4 dos tecto/piso dos prticos esquerdo-direito e da viga+cobertura superior; nesse caso a matriz de massa seria (3 x 3), e a anterior matriz de rigidez (4 x 4) teria que ser reduzida por condensao esttica (de soluo equivalente) das contribuies segundo o grau de liberdade D1.

Numa segunda anlise comparativa, esse ensoleiramento rgido ter massa m1 no desprezvel. Porque se trata de uma estrutura conceptual com massas (inrcias) concentradas em cada grau de liberdade (sem massa distribuda ao longo da altura) e de inrcia de rotao desprezvel, a matriz de massa (4 x 4) ser neste caso diagonal:

1

2

3

4

0 0 00 0 00 0 00 0 0

m

m

m

m



A excitao dinmica horizontal ser tambm possvel, por exemplo segundo os dois cenrios distintos independentes: (c) fora lateral na base do prtico direito, devido a uma mquina que opere a determinada frequncia excitadora (induzindo uma aco dinmica, no quase-esttica) segundo a direco do grau de liberdade D1; (d) movimento ssmico segundo a direco horizontal ao nvel do solo (segundo direco D0).

Assim, este exemplo ser de interesse imediato para a UC do 5 ano Dinmica de Estruturas e Engenharia Ssmica, e para outra(s) UC's do 5 ano (opo condicionada de Estruturas) de futuro plano de estudos racional e devidamente estruturado com vises de especificidade institucional e de futuro afirmativo que envolvam temticas de Anlise e Projecto Estrutural de Edifcios e Construes (actualmente ainda inexistente, desde que foram eliminadas as opes livres --- nomeadamente as UC's Edifcios Altos e Estruturas de Edifcios --- de anterior plano de estudos pr-Bolonha).

Com o propsito exclusivo de demonstrar a aplicao da tcnica de subestruturao por super-elementos, e para evitar clculos de complexidade desnecessria neste exemplo didtico conceptual a ser utilizado nas aulas da actual unidade curricular Teoria de Estruturas 2, admitem-se os seguintes valores simples (em unidades consistentes) para as rigidezes envolvidas neste exemplo: bik = 2.5, 1k = 10, 2k = 5, 3k = 6, 4k = 12, 5k = 6k = 12.

A matriz de rigidez ser:

10 15 18 15 18 0 43 15 18 015 15 12 0 12 15 27 0 1218 0 18 12 12 18 0 30 120 12 12 12 12 0 12 12 24

+ +

+ = +

+

Nas hipteses (a) e (b) de aces estticas atrs enunciadas, as aces nodais consideradas (em unidades consistentes) so as seguintes: (a) F1=0, F2=F3=10 e F4=30; (b) F1=10, F2=F3=F4=0. A anlise estrutural global inicialmente realizada para a estrutura completa de trs componentes (prticos inferiores esq e dir no rs-do-cho, e prtico superior do 1 piso), s quais correspondem as duas subestruturas: A (prtico superior do 1 piso) e B (prticos inferiores esq e dir).



A estrutura completa sujeita s aces da solicitao de caso (a), cujo equilbrio traduzido pelo sistema de equaes de equilbrio seguinte, tem os deslocamentos laterais calculados indicados:

1 1

2 2

3 3

4 4 ( )

43 15 18 0 0 515 27 0 12 10 6,60256418 0 30 12 10 6,4423080 12 12 24 30 7,772436

a

D DD DD DD D

= =

A estrutura completa sujeita s aces da solicitao de caso (b), cujo equilbrio traduzido pelo sistema de equaes de equilbrio seguinte, tem os deslocamentos laterais calculados indicados:

1 1

2 2

3 3

4 4 ( )

43 15 18 0 10 115 27 0 12 0 118 0 30 12 0 10 12 12 24 0 1b

D DD DD DD D

= =

Obs.: Estes resultados (e os seguintes) foram obtidos por inverso e multiplicao de matrizes em Excel.

Subestruturao por Condensao Esttica (exacta) Realizando a condensao esttica da subestrutura B, para a estrutura completa sujeita ao caso de solicitao (a):

43 15 18 ( . . 1)15 15 0 ( . . 2)18 0 18 ( . . 3)

bb biB B

ib ii

g lK K

K g lK K

g l

= =

[ ][ ] [ ]{ } { } [ ][ ] { }

1*

1*

b Bii ii ib bb bi

bi i ib bb b

K K K K K

F F K K F

=

=



[ ]* 15 0 15 9,76744 6,27907 ( . . 2)1 15 180 18 18 6,27907 10,46512 ( . . 3)43b

ii

g lK

g l

= =

{ } { }* 10 15 10 ( . . 2)1 010 18 10 ( . . 3)43big l

Fg l

= =

Agora para a anlise local da subestrutura A, a partir da condensao esttica j realizada para a subestrutura B, obtm-se o sistema de equaes matriciais de equilbrio envolvendo as incgnitas deslocamentos DA da subestrutura A (os da interface Di e os livres Da; isto : D2 e D3, e D4, respectivamente):

* *000 0 0

A B Biii ia ii i

a Aai aa

DK K K FD FK K

+ = +

Desenvolvendo numricamente esse sistema de equaes e resolvendo, obtm-se:

2

3

4

2

3

4 ( )

12 0 12 9,76744 6,27907 0 0 10 100 12 12 6,27907 10,46512 0 0 10 1012 12 24 0 0 0 30 0 30

6,602564 6,442306

7,a

DDD

DDD

+ = + =

= 772435

Como se verifica, os deslocamentos DA da subestrutura A --- obtidos aps realizar a condensao esttica das contribuies da subestrutura B --- so practicamente os mesmos que os j obtidos por anlise da estrutura global completa; as diferenas so apenas de arredondamentos de clculos realizados (em Excel) a partir de determinadas casas decimais. De igual modo se procederia para resolver a estrutura considerada sujeita s aces do caso de solicitao (b), pelas duas formulaes: directa por anlise da estrutura completa, e indirecta por condensao esttica de determinada subestrutura.



Subestruturao por Aplicao de Foras Internas na Interface (aprox)

* *00

A b biii ia ii i i

a aai aa

DK K K D FD FK K

+= +

2 2* *

3 3

4

00

30 0

b bAii iii ia

ai aa

D DK FK K

D DK K

D

+

= +

Se no 2 membro da equao anterior introduzir os valores exactos de D2 e D3, obtidos atravs do mtodo da condensao esttica (e iguais aos da anlise da estrutura completa sem subestruturao), obtem-se:

* *9,76744 6,27907 6,602564 10 14,038466,27907 10,46512 6,442306 10 15,96154

b bii i iK D F

+ = + =

Assim, com os valores assumidos dos Di, o equilbrio da subestrutura A expresso por:

2

3

4

12 0 12 14,038460 12 12 15,9615412 12 24 30

DDD

=

Mas independentemente dos valores Di dos deslocamentos assumidos (exactos ou valores aproximados), a matriz de rigidez da subestrutura A (com "i+a" g.l.) singular porque a subestrutura ainda no est constricta ou restringida ou ligada ao exterior e o sistema de equaes anterior no pode ser resolvido com soluo nica determinada (porque efectivamente de soluo indeterminada).

Para se obter uma soluo (aproximada ou real exacta), tem que se introduzir uma restrio levantando a indeterminaao: isto , facultar um valor de deslocamento na interface.



Assim se facultar ou arbitrar 2 6,602564D = (ou D3) exacto, conforme obtido anteriormente por condensao esttica (ou por anlise da estrutura completa), obtm-se os restantes deslocamentos (tambm exactos) a partir de:

3 2

24

15,96154 (0)12 12 15,9615430 ( 12)12 24 109,23077

D DDD

= =

e portanto

23

3 exacto porcond esttica4

4

6,602564 6,6025646,442307

6,442307 6,4423067,772436

7,772436 7,772435aproxaprox

DD

D DD

D

= = = =

Mas se por exemplo admitir ou arbitrar como 'valor inicial' deslocamentos nulos na interface "i" --- porque na realidade ao aplicar-se este mtodo distinto (e alternativo) do mtodo de subestruturao por condensao esttica, no se conhecem os valores exactos desses deslocamentos reais da interface --- obter-se-ia por este mtodo uma soluo aproximada, a partir dos seguintes valores:

* *9,76744 6,27907 0 10 106,27907 10,46512 0 10 10

b bii i iK D F

+ = + =

2

3

4

12 0 12 100 12 12 de matriz singular1012 12 24 30

DDD

=

Com 2 0D = ser 3 2

24

10 (0)12 12 1030 ( 12)12 24 30

D DDD

= =

e portanto

23


4

0 6,6025644,16667

4,16667 6,4423063,33333

3,33333 7,772435aproxaprox

DD

D DD

D

= = =



Admitindo agora como 'valor inicial' deslocamentos aproximados (por ex, com cerca de 50% de erro; de valor 3 nos ns da interface) comparativamente aos valores exactos desses deslocamentos reais da interface --- obtidos com o mtodo de subestruturao por condensao esttica ou por anlise da estrutura completa --- obter-se-ia outra soluo aproximada, a partir de:

* *9,76744 6,27907 3 10 10,46511 10 0,465116,27907 10,46512 3 10 12,55815 10 2,55815

b bii i iK D F

+ + = + = =

+

2

3

4

12 0 12 0,465110 12 12 de matriz singular2,5581512 12 24 30

DDD

=

Com 2 3D = ser 3 2

24

2,55815 (0)12 12 2,5581530 ( 12)12 24 66

D DDD

= =

e

portanto

23


4

3 6,6025645,073642

5,073642 6,4423065,286821

5,286821 7,772435aproxaprox

DD

D DD

D

= = =

Arbitrando agora como 'valor inicial' deslocamentos aproximados (por ex, cerca de 80% dos valores reais exactos, portanto com erro at 20%; de valor 5 nos ns da interface) comparativamente aos valores exactos desses deslocamentos reais da interface --- obtidos com o mtodo de subestruturao por condensao esttica ou analisando a estrutura completa --- obter-se-ia outra soluo aproximada a partir de:

* *9,76744 6,27907 5 10 17,4419 10 7,44196,27907 10,46512 5 10 20,9303 10 10,9303

b bii i iK D F

+ + = + = =

+

2

3

4

12 0 12 7,44190 12 12 de matriz singular10,930312 12 24 30

DDD

=



Com 2 5D = ser 3 2

24

10,9303 (0)12 12 10,930330 ( 12)12 24 90

D DDD

= =

logo

23


4

5 6,6025645,073642

5,678292 6,4423065,286821

6,589146 7,772435aproxaprox

DD

D DD

D

= = =

Assim, conforme j enunciado anteriormente, este mtodo de subestruturao por aplicao de foras na interface pode introduzir erros na formulao, quer quando de incio os graus de liberdade da interface so solicitados (como neste exemplo didctico proposto para anlise comparativa) quer quando os graus de liberdade da interface no so directamente solicitados. Quanto mais afastados ou distintos do valor real exacto forem os valores dos deslocamentos 'iniciais' assumidos ou arbitrados, mais diferentes dos valores reais sero os deslocamentos generalizados da estrutura completa (pior ser o erro cometido) obtidos atravs desta tcnica de subestruturao por aplicao de foras na interface.

Subestruturao por Imposio de Deslocamentos na Interface (aprox)

( )aa a a ai iK D F K D = [ ] 24

3

24 30 12 12D

DD

=

Portanto, se nesta equao matricial introduzir os deslocamentos exactos da interface (i.e., os valores practicamente iguais obtidos ou por anlise da estrutura completa ou por condensao esttica equivalente da subestrutura B de slave dof), obtm-se:

2 34

30 12*( ) 30 12*(6,602564 6,442308) 7,77243524 24

D DD + + + += = =

que tambm o valor (exacto) obtido anteriormente pelos referidos mtodos. Mas como num caso real os deslocamentos generalizados na fronteira de interface no so em geral conhecidos, qualquer diferena entre os valores de deslocamentos assumidos e impostos na interface e os valores exactos traduzir-se- em erros inevitveis associados a esta tcnica de subestruturao por imposio de deslocamentos na interface.



2 Exemplo didctico (consequncias de alteraes de rigidez e de aces na subestrutura A, para determinado estudo paramtrico) Usa-se o mesmo exemplo anterior para abordar alteraes de rigidez nos prticos superiores da subestrutura A (master dof), associada a determinada parametrizao para redefinio de funes (e solues) variantes do edificado.

Suponha-se que na subestrutura A os anteriores dados simplificados de rigidez (e foras aplicadas) sofrem alteraes para os seguintes valores de re-anlise, neste caso de hiptese de carga (e): 5k =10 , 6k = 15 ; e F4=40 (mantendo-se os restantes valores da hiptese de carga (a) ). Realizando uma nova anlise global da estrutura completa, para as novas rigidezes e foras aplicadas, obtem-se:

10 15 18 15 18 0 43 15 18 015 15 10 0 10 15 25 0 1018 0 18 15 15 18 0 33 150 10 15 10 15 0 10 15 25

+ +

+ = +

+

1 1

2 2

3 3

4 4

43 15 18 0 0 615 25 0 10 10 7,76923118 0 33 15 10 7,8589740 10 15 25 40 9,423077

D DD DD DD D

= =

Subestruturao por Condensao Esttica (exacta) Como a subestrutura B (slave dof) no tem qualquer rigidez ou aces alteradas, relativamente ao 1 exemplo didctico, a matriz reduzida de rigidez e o vector reduzido de aces permanecem inalterados. So as seguintes quantidades matriciais:

[ ]* 15 0 15 9,76744 6,27907 ( . . 2)1 15 180 18 18 6,27907 10,46512 ( . . 3)43b

ii

g lK

g l

= =



{ } { }* 10 15 10 ( . . 2)1 010 18 10 ( . . 3)43big l

Fg l

= =

Agora uma anlise local da subestrutura A (master dof), a partir da condensao esttica da subestrutura B, realiza-se sob a forma e com o sistema de equaes seguinte:

* *000 0 0

A B Biii ia ii i

a Aai aa

DK K K FD FK K

+ = +

Desenvolvendo algebricamente esse sistema de equaes e resolvendo, obtm-se:

2

3

4

10 0 10 9,76744 6,27907 0 0 10 100 15 15 6,27907 10,46512 0 0 10 1010 15 25 0 0 0 40 0 40

19,76744 6,27907 106,27907 25,46512 15

10 15 25

DDD

+ = + =

2 2

3 3

4 4 ( )

10 7,769230 10 7,858972

40 9,423075e

D DD DD D

= =

Os deslocamentos obtidos por este mtodo exacto de subestruturao por condensao esttica, so practicamente iguais aos j obtidos por anlise estrutural com resoluo directa da estrutura completa.

Subestruturao por Aplicao de Foras Internas na Interface (aprox)

2* ** *

3

00

00

0

b bA b bi ii iii ia ii i i

a aai aaa

DD K FK K K D F

DD FK K

F

+ +

= + = +

Se no 2 membro da equao anterior introduzir os valores exactos de D2 e D3, obtidos atravs do mtodo da condensao esttica (e iguais aos da anlise da estrutura completa sem subestruturao), obtem-se:



* *9,76744 6,27907 7,769231 10 16,53846,27907 10,46512 7,858974 10 23,4616

b bii i iK D F

+ = + =

Assim, com os valores atrs assumidos (mas exactos) dos Di, o equilbrio da subestrutura A expresso por:

2

3

4

10 0 10 0 16,5384 16,53840 15 15 0 23,4616 23,461610 15 25 40 400

DDD

= + =

de matriz de rigidez singular e portanto com soluo indeterminada.

Para se obter uma soluo (aproximada ou real exacta), tem que se introduzir uma restrio levantando a indeterminaao: isto , facultar ou arbitrar um valor de deslocamento na interface.

Arbitrando 2 7,769231D = (que um valor exacto)

3 2

24

23,4616 (0)15 15 23,461640 ( 10)15 25 117,69231

D DDD

= =

logo

23


4

7,769231 7,7692317,858964

7,858964 7,8589749,423071

9,423071 9,423077aproxaprox

DD

D DD

D

= = = =

que a soluo exacta.

Mas na realidade ao aplicar-se este mtodo, distinto (e alternativo) do mtodo (exacto) de subestruturao por condensao esttica, no se conhecem os valores exactos desses deslocamentos reais da interface.

Assim, genericamente, a soluo aproximada da nova subestrutura A (master dof) para valores de deslocamentos arbitrados 2D e 3D ser obtida a partir de:

22 * *

3 3

4

10 0 10 00 15 15 010 15 25 40 0

b bii i

DDK F

D DD

+

= +



22

3 3

4

10 0 10 9,76744 6,27907 100 15 15 de matriz singular6,27907 10,46512 1010 15 25 40

DDD DD

+

=

Arbitrando 2 3 6D D= =

* *9,76744 6,27907 6 10 17,4419 10 7,44196,27907 10,46512 6 10 20,9303 10 10,9303

b bii i iK D F

+ + = + = =

+

2

3

4

10 0 10 7, 44190 15 15 de matriz singular10,930310 15 25 40

DDD

=

Com 2 6 D = 3 2

24

10,9303 (0)15 15 10,930340 ( 10)15 25 100

D DDD

= =

logo

23


4

6 7,7692318,178283

8,178283 7,8589748,90697

8,90697 9,423077aproxaprox

DD

D DD

D

= = =

mostrando que a soluo aproximada, obtida por este mtodo de subestruturao por imposio de foras internas na interface, notoriamente diferente da soluo exacta e depende fortemente dos valores arbitrados.

Subestruturao por Imposio de Deslocamentos na Interface (aprox)

( )aa a a ai iK D F K D =

[ ]4 46 40 ( 10*6 15*6) 19025 40 10 15 7,66 25 25D D

= = = =

Este valor aproximado 4 7,6 9,423077 (exacto)D = , notoriamente diferente do valor exacto; foi determinado, para os valores de deslocamentos impostos na fronteira de interface, com erro relativo de -19% que no tecnicamente aceitvel.



Sntese Foram revistas trs tcnicas de Subestruturao: uma exacta, baseada na condensao esttica "equivalente" de graus de liberdade secundrios ou sacrificiais (slave dof); as outras duas aproximadas, obtidas por manipulaes matriciais, mas responsveis pela introduo de erros (de aproximaes arbitradas) na anlise de estruturas divididas em subestruturas, em super-elementos ou em elementos finitos. Estas tcnicas so utilizadas em estudos de parametrizao de anlises de subestruturas principais (master dof) por modificao parcial das suas caractersticas (dimenses geomtricas seccionais, espessuras, rigidezes, propriedades materiais, reforos locais, etc). Conforme j referido, a tcnica de subestruturao por condensao esttica conduz a resultados exactos e portanto adequada a sua utilizao mesmo em estudos de parametrizao. Mas as tcnicas aproximadas de subestruturao --- por aplicao de foras internas na interface e por imposio de deslocamentos na interface --- introduzem erros na anlise da subestrutura principal e como tal no adequada a sua utilizao em estudos de parametrizao; de facto, os erros cometidos sero tanto maiores quanto mais diferentes dos valores exactos forem os valores arbitrados.

Agradecimentos

Agradeo ao meu filho Rui Miguel ter elaborado, durante a sua semana de frias aps 1 semestre 2013/14 na UBI, as figuras associadas aos trs esquemas ou tcnicas de subestruturao, antes da incluso dos exemplos didcticos apresentados.



Referncias (cronolgicas) utilizadas: [1] J.S. Przemieniecki : Matrix Structural Analysis of Substructures, AIAA

Journal, Vol. 1, pp. 138-147, 1963.

[2] W.C. Hurty : Dynamic Analysis of Structural Systems using Component Modes, AIAA Journal, Vol. 3, No. 4, 1965.

[3] J.S. Przemieniecki : Theory of Matrix Structural Analysis. McGraw-Hill Book Company, New York, 1968.

[4] R.W. Clough, J. Penzien : Dynamics of Structures. McGraw-Hill Book Company, 1st edition, 1975.

[5] Rui Carneiro de Barros : Parametric Study of the Dynamic Response of a Concrete Gravity Offshore Structure, with particular reference to Soil-Structure Interaction, Tese de Mestrado, University College London, Dezembro 1975.

[6] R.W. Clough and E.L. Wilson : Early Finite Element Research at Berkeley. Fifth U.S. National Congress on Computational Mechanics, Boulder, Colorado, Aug. 4-6, 1999.

http://www.ce.memphis.edu/7111/notes/class_notes/papers/fe-history.pdf http://www.edwilson.org/History/fe-history.pdf

[7] A. Ghali, A.M. Neville, T.G. Brown : Structural Analysis - A Unified Classical and Matrix Approach. Spon Press, 6th edition, London, 2009.

[8] Rui Carneiro de Barros : Condensao Esttica de Graus de Liberdade e Tcnica das Subestruturas, FEUP DEC, verses de 2005 e 2011.

Obs final: Ainda se consultou a internet e a wikipedia sobre os tpicos de cubo da polia de trs raios e sobre isolamento de base, para obter parte das figuras aqui apresentadas (como exemplos do texto de insero respectivo).

A Subestruturacao Na Modelacao Estrutural Estatica

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