A9. Calculo Diferencial Das Funcoes Reais de Variavel Real

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Matemtica 1AnatolieSochirca ACM DEETCISEL 1 Clculo diferencial das funes reais de varivel real. Acrscimo do argumento e acrscimo da funo. Seja) (x f y =uma funoreal de varivel real definida no domnio fDe seja fD x 0. Passamos para outro valorfD x .Definio1.Chama-seacrscimodoargumento(ouincrementodoargumento)no ponto fD x 0adiferena 0x x edenota-seporx (ouporh ),isto, 0 0, x x h x x x = = . Definio2.Chama-seacrscimodafuno(ouincrementodafuno)noponto fD x 0,correspondenteaoacrscimox ,adiferena) ( ) (0x f x f edenota-sepor ) (0x f ou pory , isto,. ) ( ) ( ), ( ) ( ) (, ) ( ) ( ), ( ) ( ) (, ) ( ) ( ), ( ) ( ) (0 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0x f h x f y x f h x f x fx f x x f y x f x x f x fx f x f y x f x f x f + = + = + = + = = = . Oacrscimodoargumentoeoacrscimodafunopodemtomarvalores positivos e negativos.Nota.Na base da definio da funo continua e da definio do infinitsimo resulta a veridicidade da afirmao: a funo) (x f y = continua no ponto fD x 0 se e s se ( ) 0 ) ( ) (0 00 0= + = x f x x f yim l im lx x. Matemtica 1AnatolieSochirca ACM DEETCISEL 2 Definio da derivadada funo. Seja) (x f y = umafunorealdevarivelrealdefinidanointervaloI eseja I x 0. Definio3.Chama-sederivadadafuno) (x f y = nopontoI x 0,edenota-se por) (0x f |||

\|=0x xx df dou ,olimiteemR darazo(razoincremental)entreo acrscimo da funo e o acrscimodo argumento no pontoI x 0 quando 0x x x = tende para 0, isto , |||

\| += xx f x x fxx fim l im lx x) ( ) ( ) (0 0000. Portanto||

\| +=|||

\| +== hx f h x fxx f x x fxx fx fim l im l im lh x x) ( ) ( ) ( ) ( ) () (0 000 00000. ||

\| +=|||

\| +== =hx f h x fxx f x x fxx fx df dim l im l im lh x x x x) ( ) ( ) ( ) ( ) (0 000 00 0000. Levando em conta que0 00 0 x x x x x , temos: |||

\|== 0000000) ( ) ( ) () (x xx f x fxx fx fim l im lx x x. A operao de clculo da derivada de uma funo diz-se derivao. Portantoparacalcularaderivadadeumafunonumponto fD x 0necessriode efectuar os seguintes passos. 1)Passardoponto 0x paraoutropontox x x + =0( h x x + =0)comum acrscimo x ( ouh ) arbitrrio. 2)Calcular acrscimo correspondente da funo: ) ( ) ( ) (0 0 0x f x x f x f + = . 3)Formar a razo incremental xx f ) (0. 4)Calcularolimitedarazoincremental xx f ) (0quando0 x (ou0 h ), isto ,||

\| +|||

\| + hx f h x fouxx f x x fim l im lh x) ( ) ( ) ( ) (0 000 00. Exemplo 1. a)Calculemos a derivada da funo3) ( x x f =no ponto20 = x . 1) Passamosdoponto20 = x paraoutropontoh x + = 2 comum acrscimo harbitrrio. 2)Calculamos o acrscimo da funo: Matemtica 1AnatolieSochirca ACM DEETCISEL 3 2 3 3 2 2 3 3 36 12 2 2 3 2 3 2 2 ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( h h h h h h f h f f + = + + + = + = + = . 3)Formamos a razo incremental hh hhf26 12 ) 2 ( +=. 4)Calculamosolimitedarazoincremental hh hhf26 12 ) 2 ( += quando0 h , isto ,( ) . 12 0 6 12 6 12) 6 12 (00 6 120 020= + = + =||

\| + =||

\|=|||

\| + hhh hinao eterm indhh him l im l im lh h h Portanto a derivada da funo3) ( x x f =no ponto20 = x igual 12. b)Calculemos a derivada da funo ) 2 ( ) ( x sen x x f =no ponto 40= x . 1)Passamosdoponto 40= x paraoutropontoh x + =4comum acrscimo harbitrrio. 2)Calculamos o acrscimo da funo: = ||

\| ((

||

\|+ ||

\|+ = ||

\| ||

\|+ = ||

\|424 424 4 4 4 sen h sen h f h f f = ||

\|+ ||

\|+ = ||

\| ||

\|+ ||

\|+ =422 4 2 422 4 h sen h sen h sen h( ) ( ) ( ) ( ) [ ] = + ||

\|+ = ((

||

\|+ ||

\| ||

\|+ =42 0 2 cos 14 4222 cos2 4 h sen h h h sen os c h sen h ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). 2 cos 1 2 cos4 42 cos 2 cos4 42 cos4h h h h h h h h + = + = ||

\|+ = 3)Formamos a razo incremental( ) ( ) ( )hh h hhf2 cos 1 2 cos44 + =||

\|. 4)Calculamos o limite da razo incrementalquando0 h , isto , ( ) ( ) ( )= ||

\|=|||||

\| + 002 cos 1 2 cos40inao eterm indhh h him lh Matemtica 1AnatolieSochirca ACM DEETCISEL 4 ( ) ( )( )( )( ) =|||||

\|+ =|||||

\|+ = hhh sen h h sen hhh hhhim l im lh h2 coscos cos42 cos1 2 cos42 2 2 20 0 ( ) ( ) =|||||

\|+ =|||||

\|+ = h h senhh senhhh senim l im lh h2 cos22 cos2020 ( ) ( ) ( ) . 1 1 0 120 0 122 cos20 0 0= + = + = + ||

\| = os c sen h h senhh senim l im l im lh h h Portanto a derivada da funo ) 2 ( ) ( x sen x x f =no ponto 40= x igual 1. c)Calculemos a derivada da funo x n l x x f + =2) (no ponto20 = x . 1) Passamosdoponto20 = x paraoutropontoh x + = 2 comum acrscimo harbitrrio. 2)Calculamos o acrscimo da funo: 2 ) 2 ( 4 2 2 ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 (2 2 2n l h n l h h n l h n l h f h f f + + + = + + + = + = . 3)Formamos a razo incremental hn l h n l h hhf 2 ) 2 ( 4 ) 2 (2 + + +=. 4)Calculamos o limite da razo incrementalquando0 h , isto , =||

\|=|||

\| + + +00 2 ) 2 ( 420inao eterm indhn l h n l h him lh =|||||

\|||

\|++ + =|||||

\|||

\| +++=|||||

\|||

\| ++ += hhn lhhhn lhh hhhn l h him l im l im lh h h214224 22402020 ( ) ( ) .291210 42212140 0 0= + + =|||||

\|||

\|+ + + = hhn lhim l im l im lh h h Portanto a derivada da funo x n l x x f + =2) (no ponto20 = x igual 29. Matemtica 1AnatolieSochirca ACM DEETCISEL 5 Interpretao geomtricada derivadada funo . Veremosqualosignificadogeomtricodaderivadadafuno) (x f y = num ponto 0x .Consideramosumacrscimoarbitrriodoargumento,x ,calculamos) (0x f y = ,) (0x x f y + =e o acrscimo da funo ) ( ) (0 0x f x x f y + = . Representandograficamenteosvaloresobtidosnumsistemadecoordenadas cartesianasy xO (figura1),onde( ) ) ( ,0 0x f x A = e( ) ) ( ,0 0x x f x x B + + = . observamos que tgxy=, onde onguloentrearectasecante, ec sr ,eoeixox O .Supomosquenoponto ( ) ) ( ,0 0x f x possveltraararectatangente, an tr .Quando0 x opontoB do grficodafunodesloca-sesobreogrficoaproximando-sedopontoAearecta secante fazendo uma rotao com o centro em A aproxima-se da recta tangentee ) (00 0x f tg tgxyim l im lx x = = = . Portanto o valor da derivada da funo calculada no ponto com abcissa 0x igual ao declive da recta tangente traada ao grfico da funo no ponto com abcissa 0x . Na base disso conclumos que a equao da recta tangente traada ao grfico da funo numponto( ) ) ( ,0 0x f x A = ) ( ) ( ) (0 0 0x x x f x f y + = . Realmente, como a equao de uma recta no plano b x k y + =e o declive da rectatangentenopontocomabcissa 0x ) (0x f k = obtemosb x x f y + = ) (0. Porque( ) ) ( ,0 0x f x A = um ponto da recta tangentetemos 0 0 0 0 0 0) ( ) ( ) ( ) ( x x f x f b b x x f x f = + =e portanto Matemtica 1AnatolieSochirca ACM DEETCISEL 6 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (0 0 0 0 0 0 0x x x f x f x x f x f x x f yt + = + = . Analogamenteconclumos que a equao darecta normal traadaaogrfico da funo numponto( ) ) ( ,0 0x f x A =0 ) ( , ) () (1) (0 000 = x f x xx fx f yn. Derivadas lateraisda funo. Porque a derivada de uma funo um limite de um modo naturaldefinem-seas derivadas laterais. Definio4.Chama-sederivadalateralesquerdadafuno) (x f y = noponto I x 0,edenota-sepor) (0 x f ( ) ) (0x f oue ,olimiteemR darazo(razo incremental)entreoacrscimodafunoeoacrscimodoargumentonoponto I x 0quando 0x x, isto ,=|||

\|== 000000) ( ) ( ) () (x xx f x fxx fx fim l im lx x x xe .) ( ) ( ) ( ) (0 000 00||

\| +=|||

\| += hx f h x fxx f x x fim l im lh x Definio 5.Chama-se derivada lateral direitada funo ) (x f y =no pontoI x 0, edenota-sepor) (0+ x f ( ) ) (0x f oud ,olimiteemR darazo(razoincremental) entreoacrscimodafunoeoacrscimodoargumentonopontoI x 0quando +0x x, isto ,=|||

\|== ++000000) ( ) ( ) () (x xx f x fxx fx fim l im lx x x xd ||

\| += ||

\| +++ hx f h x f x f x x fim l im lh x) ( ) ( ) ( ) (0 000 0 00. Notamosquedadefiniodaderivadaedasdefiniesdasderivadaslaterais num pontoI x 0 resulta veridicidade da afirmao: A funo) (x f y =definida numa vizinhana do ponto 0x , ) (0x V, tem derivada neste ponto se e s se tem derivadas lateraisiguais,) ( ) (0 0x f x fd e = . Se a funo definida num segmento[ ] b a, , ento ( ) ||

\| +=|||

\|= hx f h x fx xx f x fx f b a xim l im lh x x) ( ) ( ) ( ) () ( ,0 00 0000 0, ||

\| += ||

\|= ++ha f h a fa xa f x fa fim l im lh a x) ( ) ( ) ( ) () (0,Matemtica 1AnatolieSochirca ACM DEETCISEL 7 ||

\| += ||

\|= hb f h b fb xb f x fb fim l im lh b x) ( ) ( ) ( ) () (0. Exemplo 2. Calculemosaderivadadafuno +< + =, 1 , 1, 1 , 2 ) 2 () (x se xx se x x n lx f no ponto com abcissa10 = x . Neste caso o ponto10 = x ponto da mudana da expresso analtica da funo. Calculemos em10 = xa derivada lateral direita aplicando a definio. 1)Passamosdoponto10 = x paraoutropontoh x + =1 comum acrscimo 0 > h arbitrrio. 2)Nestecasonospontos10 = x eh x + =1 afunotemmesma expressoanaltica1 ) ( + = x x f .Calculamosoacrscimoda funo: 2 2 1 1 1 1 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( + = + + + = + = h h f h f f . 3)Formamos a razo incremental hhhf 2 2 ) 1 ( +=. 4)Calculamosolimitedarazoincremental hhhf 2 2 ) 1 ( += quando +0 h , isto , ( )( )( ) ( )=+ + +=+ ++ + += ++++ 2 22 22 22 2 2 2 2 20 0 00h hhh hh hhhim l im l im lh h x ( ) 2 212 2 012 212 20 0=+ +=+ +=+ +=+++h h hhim l im lh h. Portanto a derivada lateral direita da funo no ponto10 = x igual 2 21. Calculemos em10 = xa derivada lateral esquerda aplicando a definio. 1)Passamosdoponto10 = x paraoutropontoh x + =1 comum acrscimo 0 < h arbitrrio. 2)Neste caso nos pontos10 = xeh x + =1as expressesanalticas da funosodiferentes.Em10 = x tem-se1 ) ( + = x x f eemh x + =1 tem-sex x n l x f 2 ) 2 ( ) ( + = .Calculamosoacrscimo da funo: h h n l h h n l f h f f + = + + + = + = 2 ) 1 ( 1 1 ) 1 ( 2 ) 1 2 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( . 3)Formamos a razo incremental Matemtica 1AnatolieSochirca ACM DEETCISEL 8 2 ) 1 ( 2 ) 1 (