AA MatemFinanHP12C

Prof. Dr. Alberto de Barros Aguirre

Centro de Ciências Humanas e Sociais

Matemática Financeira com uso da HP12C

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INTRODUÇÃO Durante muito tempo, não só a Matemática foi considerada como um bicho de sete cabeças pela maioria dos mortais, mas principalmente a Financeira, com as suas infindáveis tabelas e formulas. No entanto, essa conotação maquiavélica de inferno não condiz com a realidade. Primeiramente porque a Matemática é lógica e faz parte do nosso dia a dia. Em segundo lugar, porque não é complicada, ou tão complicada como inicialmente possa parecer (na realidade os nossos professores de matemática não eram tão bons assim). Em terceiro, porque basicamente temos o aspecto emocional negativo a tudo que envolve contas. Veremos que a matemática Financeira, através da utilização de calculadora eletrônica, facilita enormemente a nossa vida, eliminando as tabelas financeiras e tábuas de logaritmos. Vamos dar um tratamento prático e objetivo, visando utilizar um mínimo da parte conceitual. Todos os conceitos serão mostrados com exemplos ajustados à nossa realidade. A rapidez proporcionada pelo cálculo eletrônico vai permitir empregar mais tempo na análise da questão e das possíveis alternativas de solução. Então, vamos aprender a utilizarmos dessa poderosa ferramenta, a calculadora HP 12C. PRINCÍPIO DE FUNCIONAMENTO DA HP 12-C A linguagem utilizada nesta máquina é a RPN (Notação Polonesa Reversa), que permite efetuar cálculos complexos sem o emprego de parênteses, por armazenar os resultados intermediários automaticamente, através da Pilha Automática de Memória RPN. Essa pilha de memória consiste de quatro posições de armazenamento chamados registradores, que são empilhados um sobre os outros, formando a área de trabalho:

T = número mais antigo Z = número antes do anterior Y = número anterior X = número apresentado no visor (atual)

Esses registradores são controlados pelas funções:

<enter> : permite a entrada e separação de dados na pilha <R↓↓↓↓> : permite visualizar todo o conteúdo da pilha trazendo ao visor de baixo para cima, um registrador por vez <X >< Y> : inverte o conteúdo dos registradores X e Y, sem afetar o resto da pilha. <CHS> : troca o sinal + ou – do valor do registrador X

Funcionamento da Pilha Operacional:

1 ↵ 2 ↵ 3 ↵ 4 R↓ R↓ X<>y CHS

T 1 1 4 3 3 3

Z 1 1 2 2 1 4 4 4

Y 1 1 2 2 3 3 2 1 2 2 X 1 1 2 2 3 3 4 3 2 1 -1

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TESTES PRELIMINARES Antes de utilizar a calculadora pela primeira vez, e depois, periodicamente, devemos testar, para nos certificarmos que está, e se mantém em perfeitas condições, realizando: Teste do circuito interno e do visor:

Com a calculadora desligada, pressione <x>; Mantendo <x> pressionada, pressione <on>; Solte <on>; Solte <x>. Se em alguns segundos o visor apresentar “ running ” e depois mostrar:

-8,8,8,8,8,8,8,8,8,8,8,8, USER f g BEGIN GRAD D.MY C PROGRAM

então a máquina está em perfeitas condições de funcionamento. Porém se apresentar no visor:

error 9 , apagar ou não mostrar o resultado acima, necessita de manutenção.

Teste do teclado e do visor:

Com a calculadora desligada, pressione <÷÷÷÷>; Mantendo <÷÷÷÷> pressionada, pressione <on>; Solte <on>; Solte <÷÷÷÷>. Pressione todas as teclas em ordem, da esquerda para a direita ao longo de cada linha, da superior para a inferior. À medida que cada tecla é acionada, todos os elementos do visor serão mostrados isoladamente. A tecla enter deve ser pressionada tanta na terceira como na quarta linha. Se a calculadora estiver perfeita, após pressionar a última tecla ( <+> ), o visor estará indicando:

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Se outro resultado como Error 9, apagar, ou apresentar qualquer outro dizer, você não pressionou corretamente as teclas, ou a máquina apresenta defeito.

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CONHECENDO A HP 12C Vamos conhecer o teclado e algumas funções básicas da HP 12C. A calculadora se apresenta com um visor de cristal líquido e 39 teclas dispostas em 4 linhas e 10 colunas. As teclas possuem até três funções diferentes, selecionadas através:

Função primária (branca) identificada na face superior, aciona-se pressionando a tecla; Função alternativa amarela : identificada na parte superior à tecla, aciona-se pressionando primeiramente a tecla < f >, em seguida, a tecla desejada; Função alternativa azul : identificada na face lateral inferior, aciona-se pressionando primeiramente a tecla < g >, em seguida, a tecla desejada;

Ligar e Desligar: A calculadora é ligada ou desligada pressionando-se a tecla <on>. A calculadora desliga-se automaticamente entre 7 e 8 minutos, se não for desligada manualmente. Bateria – Indicador: A calculadora vai apresentar o asterisco (*) piscando no canto inferior esquerdo do visor quando a bateria estiver fraca. Fixação das casas decimais: Pressionar <f> (amarela) e em seguida o número desejado das casas decimais. No visor poderão aparecer até nove casas, porém internamente os cálculos sempre serão efetuados com 16 casas. Exemplo: divida 10 por 3

10 <↵> 3 <÷> = 3,33 no visor <f> 3 = 3,333 no visor <f> 5 = 3,33333 no visor

Pressionando <f> e depois <↵↵↵↵>, teremos a visualização de todas (ou quase todas) as casas decimais, por alguns segundos. Trocar ponto por vírgula: Desligue a calculadora, mantendo <.> pressionada ligue-a. Para voltar, repita a operação Mudança de sinal: Para mudar o sinal de um número, tanto de positivo para negativo, como o inverso, pressionar a tecla <chs>. Limpeza da calculadora:

<CLX> : limpa somente o visor (registrador X); <f> <REG> : limpa todos os registradores, exceto a memória de programação; <f> <FIN> : limpa todos registradores financeiros; <f> <PRGM> : limpa toda a programação; <f> <∑∑∑∑> : limpa todos os registradores estatísticos <f> <PREFIX> : cancela o prefixo azul ou o amarelo

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Memória: Para guardar e operar as 20 memórias secundárias, pressionar <STO> e cada memória, indexadas de 0 a 9 e .0 a .9 Somente as memórias de 0 a 4 aceitam fazer operações matemáticas com seu conteúdo, substituindo os números originais pelos resultados obtidos. Para chamar os valores armazenados, pressionar <RCL>, em seguida a localização: 0 a 9 ou .0 a .9. Exemplos: Armazene na memória os números:

5 no registro 0 25 no registro 4 255 no registro .6

multiplique o conteúdo do registro 4 por 8 8 <STO> x 4 8 no visor <RCL> 4 200 no visor

Recupere os registros: 0 no visor:............ 4 no visor:............ .6 no visor:............

Principais funções matemáticas: Potenciação: <y x>

Calcular: 54 e (5 + 6)2 ÷ (7 + 8)3

Resolução: <f> <REG> 5 <↵> 4 <yx> = 625,00 no visor <CLX> 5 <↵> 6 <+> 2 <yx> 7 <↵> 8 <+> 3 <yx> <÷> = 0,04 no visor

Inverso de um número: <1/x>

Calcular: 1/5 e (1,25)-1/5 Resolução: <f> <REG> 5 <1/x> = 0,20 no visor <CLX> 1.25 <↵> 5 <CHS> <1/x> <yx> = 0,96 no visor

Porcentagem: <%> Quanto é 5% de R$ 123,00 ? <f> <REG> 123 <↵> 5 <%> = 6,15 no visor

Porcentagem do total: <%T>

Permite encontrar quanto um número representa percentualmente, em relação a outro número. Quanto 42 representa percentualmente, em relação a 120? <f> <REG> 120 <↵> 42 <%T> = 35,00 no visor, ou seja 35% de 120

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Variação percentual entre números: < ∆∆∆∆%> Atenção: atentar para a ordem dos números. Um produto custava R$ 250,00 e agora está custando R$ 262,00. Quanto variou percentualmente? Atenção: a ordem das informações é fundamental. <f> <REG> 250 <↵> 262 <∆%> = 4,80 no visor, ou seja variou 4,80%.

Funções de calendário: A calculadora opera com datas entre 15 de outubro de 1582 até 25 de novembro de 4046, podendo ser utilizado duas formatações:

Mês dia e ano (calendário americano) pressionando <g> <M.DY> Dia mês e ano (calendário nacional), pressionando <g> <D.MY> O dia da semana é apresentado no último digito à direita. (1 para Segunda a 7, para o Domingo)

Datas futuras ou passadas: Exemplo: você comprou hoje, e vai pagar daqui a 45 dias. Qual vai ser essa data? <f> <REG> <g> <D.MY> dd.mmaaaa <↵> 45 <g> <DATE> =................................. obs.: se a data for no passado, o número de dias deve ser negativo.

Número de dias entre datas:

Digite a data mais antiga e pressione <↵> Digite a data mais recente e pressione <g> <∆DYS> Exemplo: comprei uma lâmpada em 01 de março de 2001, que se queimou em 19 de junho do mesmo ano. Quanto tempo durou, em dias? <f> <REG> 01.032001 <↵> 19.062001 <g> <∆DYS> = 110 dias.

Funções financeiras: As teclas das funções financeiras são encontradas na primeira linha, compondo-se:

<n>: prazo ou períodos : taxa de juros (anotados na forma percentual) <PV>: capital, principal ou valor presente <PMT>: pagamentos ou prestações <FV>: montante ou valor futuro <STO> <EEX>: convenção linear: períodos fracionários são calculados com juros simples. convenção exponencial: todos os cálculos com juros compostos “C” no visor.

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Noções de Fluxo de Caixa: Fazendo uma aplicação: + - Fazendo um empréstimo: + - OPERAÇÕES ALGÉBRICAS Por utilizar a notação RPN, o modo de inserir os números para os cálculo é diferente das demais calculadoras (algébricas), uma vez que o separador será sempre o “enter” (<↵>). Exemplos: Expressão seqüência das teclas resultado 43 + 27 - 15 43 <↵> 27 <+> 15 <-> .................. 2 x (5 + 7 - 6) 2 <↵> 5 <↵> 7 <+> 6 <-> <x> .................. 47 - 19 47 <↵> 19 <-> 4 <÷> .................. 4 32 + 16 32 <↵> 16 <↵> 4 <÷> <+> .................. 4 (6+4)x(5+8)÷(3 + 9) 6<↵>4<+>5<↵>8<+><x>3<↵>9<+><÷> .................. 1 42 <1/x> .................. 42 Potenciação 23 2 <↵> 3 <yx> .................. 10,325 4 10.325 <↵> 4 <yx> .................. Radiciação √81 + 4 81 <g> <√x> 4 <+> .................. 625 1/4 625 <↵> 4 <1/x> <yx> .................. Mista: (53)1/2 5 <↵> 3 <yx> 2 <1/x> <yx> ................. 15,000 15<↵>1.03<↵>28<↵>30<÷> <yx> <÷> ................. 1,03 28/30

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PORCENTAGEM Para podermos comparar o incomparável, só nos resta utilizar um dos mais fantásticos recursos da Matemática, a Porcentagem Com ela podemos comparar as partes com o todo, e partes diferentes com outros todos. Quando dizemos, por exemplo, 20 por cento de uma grandeza, significa que, de 100 partes iguais em que a grandeza foi dividida, foram consideradas 20 dessas partes. Portanto, estamos falando de 20 partes em 100. Daí, a nomenclatura 20 por cento Apresentações da porcentagem:

Em porcentagem: 20% Algebricamente: 20 = 0,20 100

Aplicações: Um fornecedor (A) aumentou um de seus produtos de R$ 10,00 para R$ 11,00 o quilo. Outro (B), majorou um determinado corte de R$ 30,00 para R$ 32,00 o quilo. Quem aumentou mais? Variação absoluta: A ..R$.................. B ..R$.................. Variação relativa: A .....................% B .....................% Outros recursos que esta ferramenta ela nos permite, são: Porcentagem de um número. Utilize a tecla <%>:

15% de 600 0,3% de 5.000 20,53% de 350 230% de 120

Variação ou Delta (∆) percentual permite determinar o acréscimo ou decréscimo em relação a um dado ou origem. Utilize a tecla<∆%>:

20 para 25 480 para 450 10 para11 11 para 10

Porcentagem do total, é quanto a parte representa em relação ao todo. Utilize a tecla<%T>:

25 de 312,5 62,4 de 520 6,5 de 25 4 de 60

Exercícios: Calcule o número inteiro: Calcule quantos por cento:

13% é 9,62 100 é maior que 80 25% é 1125 325 é maior que 250 0,74% é 658,6 38 é maior que 20

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REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO Conceitos:

Juro: é a remuneração dada ao capital Capital: o valor inicial expresso em unidades monetárias, disponível para aplicação. Taxa de juro: valor do juro, expresso em percentual, numa unidade de tempo. Montante: é o valor do capital acrescido dos juros.

Tipos de capitalização: simples e composta. CAPITALIZAÇÃO SIMPLES No sistema de capitalização simples, os juros incidem somente sobre o capital inicial. Representação: Juros J = PV x i x n Capitalização: FV = PV x (1 + i x n)

J: valor dos juros PV: Capital, Principal, Valor Presente ou Present Value FV: Montante, Valor Futuro ou Future Value i: taxa de juros n: prazo

ATENÇÃO: A TAXA E O PRAZO OBRIGATORIAMENTE ESTARÃO NA MESMA UNIDADE

Exemplo: Qual o valor dos juros num empréstimo de R$ 1.500,00, por um prazo de 18 meses à taxa de 3% ao mês?

j: ? PV: 1.500,00 i: 3 % ao mês ou 0,03 (notação algébrica ou aritmética) n: 18 meses Algebricamente:

j = 1.500,00 x 0,03 x 18 j = 810,00

Resolvendo na HP 12C:

<f> <REG> 1500 <↵> 3 <%> 18 <x> = 810,00 no visor

A HP12C não foi projetada para a resolução de cálculos de capitalização simples. Mas pode ser utilizada se, e somente se:

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O prazo mencionado em dias A taxa de juros mencionada ao ano (aa) O Capital mencionado com valor negativo Exemplo: Calcule o valor dos juros e o Montante da seguinte operação:

PV: 1.000,00 n: 120 dias i: 54%aa Execução: 1000 <CHS> <PV>, 120 <n>, 54 <f> <INT> o visor apresenta 180, que corresponde ao valor dos juros <+> o visor apresenta 1.180,00 que corresponde ao Montante Obs.: a função juros (INT) calcula os juros considerando o ano comercial (360 dias). Se quiser calcular considerando o ano com 365 dias, pressionar após a apresentação do valor dos juros as teclas: <R > <x>

<> <f> <INT> o visor apresenta 180 <R > <x>

<> o visor apresenta 177,53 que corresponde ao valor dos juros em 365 dias <+> o visor apresenta 1.173,53 que corresponde ao Montante em 365 dias

Juros Exatos, Comerciais e Bancários: Juros exatos são obtidos considerando o número real de dias de cada mês, e para o cálculo da taxa diária o ano com 365 dias (ano civil) Juros comerciais são obtidos considerando como 30 o número de dias de cada mês, e para o cálculo da taxa diária o ano com 360 dias (ano comercial) Juros bancários são obtidos considerando o número real de dias de cada mês, e para o cálculo da taxa diária o ano com 360 dias (ano comercial) DESCONTOS Um título possui um valor nominal, ou de face, a ele declarado, que corresponde ao seu valor no dia do vencimento. Porem, antes do seu vencimento esse título pode ser negociado por um valor menor que o nominal, sendo esse valor denominado de atual ou presente. O abatimento a ele aplicado é denominado Desconto. As operações de Desconto são muito utilizadas no mercado, e existem inúmeros truques e artifícios que envolvem essas operações, exigindo muita cautela e atenção. Desconto:

D = FV x id x n Exemplo: empresa desconta duplicata no valor de R$ 5.000,00, por um prazo de 30 dias, à taxa de 5% ao mês. Qual o valor do desconto e qual o valor líquido recebido?

D = 5.000,00 x 0,05 x 1 D = 250,00 PV = FV - D PV = 5.000,00 - 250,00 PV + 4.750,00

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Taxa efetiva de desconto: te = FV - PV x 100 te = id x 100 PV 1 - id Te = 5.000 - 4.750 x 100 te = 0,05 x 100 4750 1 - 0,05 te = 5,2632% te = 5,2632 para 30 dias

sendo: D = valor do desconto do título FV = valor nominal ou futuro PV = valor presente ou líquido liberado te = taxa efetiva de desconto id = taxa nominal de desconto. Exemplo: PV: R$10.000,00 n: 2 m ou...... id: 10%am, ou........ 10000 <CHS> <PV> 60 <n> 120 <f> <INT>: visor apresenta 2.000 (desconto por fora) <-> visor apresenta 8.000 (valor atual por fora)

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CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA No sistema de capitalização composta, os juros incidem sobre o montante (capital mais juros) do período anterior. Representação: Juros: J = PV x (1 + i) n Capitalização: FV = PV x ( 1 + i ) n

Exemplo: Apliquei R$ 1.500,00 a uma taxa de juros 1,55% ao mês, por 4 meses. Quanto vou resgatar?

FV: ? PV: 1.500,00 i: 1,55% ao mês n: 4 meses

Algebricamente: FV = 1.500,00 x ( 1 + 0,0155 )4 FV = 1.500,00 x ( 1,0155)4 FV = 1.500,00 x 1,0635 FV = 1.595,18 É o que vou resgatar

Pela calculadora; <f> <REG> 1500 <PV> 1.55 4 <n> <FV> 1.595,18 no visor

Qual a taxa de juros de uma aplicação de R$ 4.500,00, que produz um montante de R$ 4.850,17 ao final de 5 meses?

FV: 4.850,17 PV: 4.500,00 i: ? ao mês n: 5 meses

Algebricamente: 4.850,17 = 4.500,00 x ( 1 + i )5 (1 + i )5 = 4.850,17 ÷ 4.500,00 (1 + i )5 = 1,0778 1 + i = ( 1,0778 )1/5 1 + i = 1,0151 i = 1,0151 – 1 i = 0,0151 ou 1,51% ao mês

Pela calculadora; <f> <REG> 4850,17 <FV> 4500 <CHS> <PV> 5 <n> 1.51 no visor

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TAXAS DE JUROS Taxas equivalentes: são a juros compostos, as que aplicadas a um mesmo capital durante o mesmo prazo, resultam em um mesmo montante. Exemplo: aplicando um capital de R$ 100.000,00 por dois anos à taxa de 9% am ou 181,2664782% aa, chegaremos ao mesmo montante?

PV: 100.000,00 i: 9% am n: 24 m FV: ? <f> <REG> 100000 <PV> 9 24 <n> <FV> = 791108,32 <f> <REG> 100000 <PV> 181,2664782 2 <n> <FV> = 791108,32 então estas duas taxas são equivalentes.

Fórmula: ie = [ ( 1 + i t )

nq/nt - 1 ] x 100 onde: ie = taxa que equivalente

it = taxa que tenho nq = período que quero nt = período que tenho Taxa nominal e taxa efetiva: Taxa nominal é aquela cujo período de capitalização não coincide com o período na qual a taxa é fornecida. Taxa efetiva é aquela cujo período de capitalização coincide com o período na qual a taxa é fornecida. Exemplo: uma taxa nominal de 56% aa é capitalizada semestralmente. Qual a taxa efetiva?

iq = % as

it = 56%aa <f> <REG> 1 <↵> 0,56 <+> 2<1/x> <yx> 1 <-> 100 <x> = 24,9% as

ou, numa operação de Desconto: taxa nominal é aquela que o banco diz que cobra; taxa efetiva ou real, é aquela que de fato nós pagamos, incluídas as taxas e tarifas cobradas, direta ou indiretamente.

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RENDAS, SÉRIE DE PAGAMENTOS OU ANUIDADES São os pagamentos ou recebimentos de parcelas iguais ou não, sujeitas a uma taxa de juros, efetuadas a intervalos de tempos iguais, durante um período. Podem ser antecipados, quando o vencimento ocorre no início de cada período, ou postecipados, quando no fim dos períodos. Pagamentos iguais Exemplo: qual o montante e valor atual de uma série de pagamentos de R$ 800,00 mensais, durante 36 meses a 1,25% am.

PMT:800,00 n: 36 i: 1.25% am <f> <REG> 800 <CHS> <PMT> 1,25 36 <n> <FV> = 36.092,40 <f> <REG> 800 <CHS> <PMT> 1,25 36 <n> <PV> = 23.077,81

Loja vende aparelho em 6 prestações mensais iguais e sucessivas de R$ 132,45, vencendo a primeira 30dias após a compra. Se a taxa de juros é de 5% am, qual será o valor total a ser pago?

PMT: 132,45 i: 5% am n: 6m FV: ? <f> <REG> 132,45 <CHS> <PMT> 5 6 <n> <FV> = 900,91

E se fosse paga a primeira no ato da compra? <g> <BEG> <f> <REG> 132,45 <CHS> <PMT> 5 6 <n> <FV> = 945.96

Pagamentos variáveis: Utilizam-se as seguintes teclas:

<Cfo>: fluxo de caixa no período zero <CFj>: valor do fluxo no período <Nj>: número de vezes que o valor do fluxo se repete <NPV>: valor presente líquido

Um empréstimo foi liquidado em quatro prestações mensais sucessivas de R$ 450,00, R$ 250,00, R$500,00 e R$ 700,00, e sabendo-se que a taxa de juros cobrada foi de 2,5% am, qual foi o valor do empréstimo?

<f> <REG> 450 <g> <CFj> 250 <g> <CFj> 500 <g> <CFj> 700 <g> <CFj> 2,5 <f> <NPV> = 1.775,44

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TÍTULOS DE RENDA FIXA Emitidos pelas instituições financeiras, esses títulos de aplicações são denominados de CDB e RDB, respectivamente Certificado e Recibo de Depósito Bancário, podendo ser a sua remuneração pré ou pós-fixada. Taxa pré-fixada Incorpora a estimativa da correção monetária e o juro real da operação. O imposto de renda vai incidir sobre o juro bruto, deduzindo a correção monetária do período. Exemplo: Um investidor aplicou R$ 9.000,00 num CDB pré fixado por um mês. Sendo a remuneração de 40% aa, e uma inflação de 1,2% no mês, calcule: Dados: PV = 9.000,00 i nominal = 40%aa n= 1 mês IR = 30% Inflação = 1,2%am

Resolvendo pela HP 12C: <f> REG 40 <↵> 100 <÷> 1 <+> 12 <1/x> <yx> <STO> 1 no visor: 1,0284 = 1 + taxa nominal bruta mensal 1 <-> 100 <x> no visor: 2,8436 = taxa nominal mensal % 9000 <CHS> <PV> 1 <n> <FV> no visor : 9.225,9254 = montante bruto 9000<STO> 2 <RCL> <FV> <-> <CHS> no visor: 255,9254 = valor do juro bruto <RCL> 2 1,012 <x> <RCL> <FV> <-> <CHS> 30 <%> no visor: 44,3776 = valor do imposto de renda <RCL> <FV> <-> <CHS> <STO> 3 no visor: 9.211,5478 = valor líquido do resgate <RCL> 2 <-> no visor: 211,5478 = juro líquido da operação <RCL>3 <RCL>2 <÷> <STO>4 no visor: 1.0235 = 1 + taxa nominal líquida mensal 1,012<÷> 1 <-> 100 <x> no visor: 1,1369 = taxa mensal real líquida % <RCL> 4 1<-> 100 <x> no visor: 2,3505 = taxa nominal líquida mensal % <RCL> 1 1,012 <÷> 1 <-> 100 <x> no visor: 1,6241 = taxa mensal real bruta %

Taxa pós-fixada A remuneração compõe-se da taxa real de juros e da correção monetária posterior, apurada no período da aplicação. Exemplo; Aplicação de R$ 7.000,00 a 120 dias a uma taxa de 36% aa mais a correção monetária de 1.65% no período.

Resolvendo pela HP 12C: <f> <REG> 1 <↵> 0,36 + 4 <↵>12 <÷> <yx> no visor: 1,1079 = 1 + taxa real de juros para 4 m. 1 <-> 100<x> no visor: 10,7932 = taxa real de juros % 100 <÷> 7000 <x> 1,65 <↵> 100 <÷> 1 <+> no visor: 1,0165 = 1 + taxa da correção monetária <x> <STO> 1 no visor: 767,9877 = valor do juro bruto 30 <%> no visor: 230,3963 = valor do imposto de renda <RCL> 1 70 <%> <STO> 2 no visor: 537,5914 = juro líquido da aplicação 7000 <↵> 1,0165 <x> <RCL> 2 <+> no visor: 7.653,0914 = valor líquido do resgate

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Taxa interna de retorno (IRR): É a taxa de juros embutida numa operação. Qual o juro cobrado num empréstimo de R$ 1.500,00 a ser liquidado em quatro parcelas mensais de R$350,00, R$ 500,00, R$ 400,00 e R$ 650,00.

<f> <REG> 1500<CHS> <g> <Cfo> 350 <g> <CFj> 500 <g> <CFj> 400 <g> <CFj> 650 <g> <CFj> <f> <IRR> = 9,31% am.

VALOR PRESENTE LÍQUIDO Valor na data zero de futuras entradas líquidas de caixa propiciadas pelo investimento, com base numa taxa mínima de atratividade, que subtraído do valor atual da aplicação resulta no Valor Presente Líquido (NPV). Se o NPV é positivo, o retorno do investimento é superior à taxa de atratividade, portanto aprovado. Se não, será rejeitado. Exemplo: Projeto investirá R$ 10.000,00, propiciará entradas líquidas de caixa nos próximos cinco anos de R$2.000, R$3.000, R$4.000, R$4.000 3 R$3.000, respectivamente. Se a taxa de atratividade for de 15%aa, o projeto será ou não aprovado? Pela HP12C

<f> <REG> 10000 <CHS> <g> <CF0> visor = -10000 2000 <g> <CFj>, 3000 <g> <CFj>, 4000 <g> <CFj> 2 <g> <Nj>, 3000 <g> <CFj>, 15 <f> <NPV> visor = 416,17 Como o NPV é positivo, o projeto deve ser aprovado. Para conhecer a taxa interna de retorno, pressionar <f> <IRR>, visor = 16,60


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AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS Um sistema de amortização é um plano de pagamento de uma dívida contraída. Podem assumir várias formas, e são baseados fundamentalmente nos modelos de rendas. Cada pagamento inclui:

Os juros do período calculados sobre o salda da dívida, e A amortização do principal.

Fórmulas gerais: So: capital inicial a amortizar Ct: conjunto das amortizações Jt: conjunto dos juros Pt: conjunto das prestações n: número de prestações/amortizações i: taxa de juros da operação SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO São os mais utilizados:

SAF - Sistema de Amortização Francês ou Tabela Price SAC - Sistema de Amortização Constante SAM - Sistema de Amortização Misto SAV - Sistema de Amortizações Variáveis (SAV), SAA - Sistema de Amortização Americano (SAA),

Sistema de Amortização Francês (SAF) ou Tabela Pric e Caracteriza-se por apresentar prestações periódicas iguais. Primeiramente se calcula o valor das prestações (PMT) Calcula-se os juros, depois a amortização e por último o saldo devedor Exemplo: empréstimo de R$ 40.000,00, taxa de 15%ap e 7 períodos


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Sistema de Amortização Constante (SAC) O SAC caracteriza-se por utilizar parcelas de amortização iguais, e o s juros são obtidos sobre o saldo devedor. Geralmente se divide o valor do empréstimo pelo número das prestações, o que torna o valor dos pagamentos decrescentes.

Sistema de Amortização Misto Neste sistema os valores das amortizações e dos juros são obtidos pelo cálculo da média entre o SAC e o SAF. Depois de obtidos esse números, tem-se o saldo devedor.

Sistema de Amortizações Variáveis (SAV) Neste sistema as amortizações são estabelecidas em função das disponibilidades financeiras do tomador do empréstimo, também chamados de devedor ou mutuário, e os juros calculados sobre o saldo devedor. Exemplo: empréstimo de R$ 1.500,00, taxa de 2%am e amortizações mensais consecutivas de R$ 400, R$ 600 e R$ 500. Quadro de amortizações

MÊS SALDO DEVEDOR AMORTIZAÇÃO JUROS PRESTAÇÃO 0 1.500 0 1 1500 – 400 = 1.100 400 1500 * 0,02 = 30 400 +30 = 430 2 1100 – 600 = 500 600 1100 * 0,02 = 22 600 +22 = 622 3 500 – 500 = 0 500 500 * 0,02 = 10 500 +10 = 510

TOTAL 0 1.500 62 1562

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Comparação entre os sistemas de amortização:

Qual deles é o melhor? Para quem? Uso da HP 12C: Exemplo: financiamento de R$ 30.000 em 60 meses a uma taxa de 2%am, Tabela Price. Calcule os juros e a amortização acumulados e o saldo devedor após a 11 e a 45 parcelas.

<f> <REG> 30000 <CHS> <PV> 60 <n> 2 <PMT> = 863,04 no visor: prestação Nº do período <f> <AMORT> = juros acumulados <x<>y> = amortização acumulada <RCL> <PV> = saldo devedor


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EXERCÍCIOS Capitalização Simples 1). Quanto se pagará de juros por uma operação de R$ 5.000,00 à taxa de 18% ao ano, por 9 meses?

J: ? PV: i: n:

2). Aplicação de R$19.000,00 por 120 dias obteve um rendimento de R$1.825,00. Qual a taxa anual?

i: ? PV: n: j:

3). Obteve-se juros no valor de R$546,00 com uma aplicação de R$6.500,00, à uma taxa de 1,2% am. Qual foi o prazo?

n: ? j : i: PV:

4). Calcular juros de um empréstimo de R$ 74.000,00, à taxa de 26,8242% aa, por um prazo de 10 m.

j: ? PV: i: n:

Desconto 5). Duplicata no valor nominal de R$ 6.000,00 foi descontada 25 dias antes do vencimento à taxa de 4,2%am. Qual o valor líquido recebido se é cobrada tarifa de 0,5% sobre o valor do título?

FV: n: id: D: PV: ?

6). Título no valor de R$ 4.000,00 será descontado 2 meses antes do vencimento, à taxa de 3%am. Qual o valor do desconto e o valor recebido?

FV: n: id: D: PV: ?


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Capitalização Composta 7). Qual o resgate de aplicação R$1.200,00, por 9 meses à taxa de 1,1% am? 8). Qual a taxa am de uma aplicação de R$40.000,00 que produziu um montante de R$4.862,02 em 8 meses e 18 dias? 9). Investimento de R$20.000,00, à taxa de 1,5% am, resultou no montante de R$ 38.974,74. Qual o prazo? 10). Quero comprar um carro de R$18.000,00. Quanto aplicar para em 2 anos para ter tal valor, à taxa de 40% aa? Taxas equivalentes 11). 12% aa para % am 12). 1% am para % aa 13). 5% as para % am 14). 35% em 30m para % am


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Série de Pagamentos 15). Loja vende produto em 6 suaves prestações mensais de R$ 132,44, com a primeira a 30dd, a taxa é de 3% am. Qual o valor à vista desse produto? 16). Banco emprestou R$100.000,00 à taxa de 3,5% am para ser amortizado em 4 prestações mensais iguais, vencendo a primeira em 30 dias. Qual o valor de cada parcela? 17). Depositando mensalmente R$ 557,17 num banco, obtive um montante de R$9.500,00 na data do último depósito, através de uma taxa de 1,9% am. Quantos foram os depósitos? 18). Calcular o valor atual de uma série de pagamentos mensais consecutivos de $17.000, $30.000, $12.500, $23.000 e $35.500, a uma taxa de 3,2%am. (R: $106.618,42) 19). Calcular o valor presente do fluxo de caixa com a seguinte movimentação $10.000, $15.000, -$10.000 e $15.000 mensais consecutivos a partir do final do 1º mês, a uma taxa de 1%am. (R: $29.314,23) Pagamentos variáveis 20). Liquidei empréstimo em 4 pagamentos anuais sucessivos de R$45.000,00, R$ 25.000,00, R$50.000,00 e R$70.000,00. Sendo a taxa de juros de 40% aa, qual o valor do empréstimo?


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21). Empréstimo foi pago em quatro prestações anuais e sucessivas de $45.000, $25.000, $50.000 e $70.000. Se foi aplicada uma taxa de juros de 40%aa, qual o valor do empréstimo? (R: $81.341,11) 22). Empréstimo foi liquidado em 7 prestações mensais, sendo as 3 primeiras no valor de $15.000, as 2 seguintes de $20.000, a sexta de $30.000 e a sétima de $35.000. Sabendo-se que foram cobrados juros à taxa de 3,5%am, qual o valor emprestado? E o montante ao final do 7º mês? (R: $128.207,57 e $163.115,83) Valor Presente Líquido 23). Qual o valor presente de um fluxo de caixa com 4 prestações mensais, sucessivas e crescentes, em progressão aritmética de razão igual a 20.000. o valor da primeira prestação é de $100.000, e a taxa de juros de 22%am. (R: $311.913,52) 24). Adquiri aparelho Blu-ray pelo crediário, para pagar em 6 prestações mensais, iguais e sucessivas de $84,75, a uma taxa de 2,8%am, com três meses de carência. Qual foi o valor financiado? (R: $425,42) 25). Veículo é vendido por $95.000 à vista, ou em 4 pagamentos mensais, iguais e sucessivos no valor de $20.450,20, vencendo o primeiro 3 meses após a compra. Qual o valor da entrada admitindo uma taxa de juros de 1,2%am? (R: $18.386,84) 26). Imóvel é vendido por $9500 a vista ou em 3 anos, com entrada de $3.500, 12 prestações de $1.500, mais 12 de $1.800 e 12 de $2.000 no terceiro ano. Se pode aplicar seus recursos em título de renda fixa a uma taxa de 20%am, 25%am e 30%am, qual seria sua decisão em cada um dos casos? (R: à vista, indiferente a prazo).


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Taxa interna de retorno 27). Equipamento de R$100.000,00 foi financiado em 9 parcelas mensais, sendo as 3 primeiras de R$25.000,00, 2 de R$40.000,00, 3 de R$45.000,00 e a última de R$50.000,00. Qual a TIR? 28). Financiamento de $100.000 será pago em 3 prestações anuais e sucessivas de $30.000, $50.000 e $75.000. Se a taxa de juros embutida é de 15%aa, calcular o VPL. (R: $13.207,86) 29). Na questão anterior, com uma taxa de 20%aa, o financiamento será aceito? (sim) 30). Calcule a TIR referente a um empréstimo de $150.000 a ser liquidado em 4 pagamentos mensais de $35.000, $50.000, $40.000 e $65.000. (R: $9,31) 31). Equipamento no valor de $100.000 é financiado em 9 parcelas anuais, sendo as 3 primeiras de $25.000, as 2 seguintes de $40.000, as 3 seguintes de $45.000, e a nona de $50.000. Qual a TIR? (R: 28,98%) Amortizações 32). Qual o valor da prestação de financiamento de R$ 10.000 pela Tabela Price, a ser pago em 12 parcelas mensais sucessivas postecipadas e iguais, à taxa de 12%aa? 33). Empréstimo de R$ 20.000, será amortizado pela Tabela Price em 36 meses com juros nominais de 24%aa. Calcule o valor das prestações, saldos devedores, juros e amortizações acumuladas após o pagamento da 12ª e 30ª parcelas.

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