abordagem das funções exponencial e logarítmica numa ...

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS

Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Matemática

ABORDAGEM DAS FUNÇÕES EXPONENCIAL E

LOGARÍTMICA NUMA PERSPECTIVA CONCEITUAL E

GRÁFICA NO ENSINO MÉDIO

José Geraldo de Araújo Pereira

Belo Horizonte

2010


ABORDAGEM DAS FUNÇÕES EXPONENCIAL E LOGARÍTMICA

NUMA PERSPECTIVA CONCEITUAL E GRÁFICA NO ENSINO MÉDIO

Dissertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Matemática da Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais, como requisito parcial para obtenção do título de Mestre em Ensino de Ciências e Matemática. Orientador: Prof. Dr. João Bosco Laudares

Belo Horizonte

2010


Abordagem das funções exponencial e logarítmica numa perspectiva

conceitual e gráfica no ensino médio

Dissertação apresentada ao Mestrado em Ensino de Ciências e Matemática da Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais, como requisito parcial para a obtenção do título de Mestre em Ensino de Ciências e Matemática.

___________________________________________________________________ Prof. Dr. João Bosco Laudares: Orientador (PUC-MINAS)

___________________________________________________________________ Prof. Dr. Dimas Felipe de Miranda (PUC-MINAS)

___________________________________________________________________Prof. Dr. Luiz Carlos Picorelli de Araújo (CEFET-MG)

Belo Horizonte, 15 de Junho de 2010

AGRADECIMENTOS

Para a realização deste trabalho, tive apoio de muitas pessoas e, por isso,

agradeço a Deus por tê-las colocado em meu caminho, tornando possível esta

pesquisa.

Agradeço a minha esposa Vanda e aos meus filhos Henrique e Gabriel, “in

memorian”, pelo apoio, carinho e paciência durante a realização do mestrado.

Ao meu orientador, Prof. Dr. João Bosco Laudares, pelos atendimentos e

pelas observações realizadas em todo este trabalho.

Aos professores Doutores Dimas Felipe de Miranda e Luiz Carlos Picorelli de

Araújo, que aceitaram fazer parte da banca examinadora desta pesquisa.

Ao corpo docente do mestrado pelos valorosos ensinamentos.

À professora Alcione Gonçalves pela colaboração na revisão do texto.

Aos amigos, José Carlos Oliveira e Gisele Teixeira Dias, pela motivação dada

a esta caminhada, mostrando-me que eu era capaz.

A todos os colegas do Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas

Gerais – CEFET / MG pelo apoio e pelo incentivo recebido.

A todas as pessoas que, de alguma forma, contribuíram para a realização

desta pesquisa.

RESUMO

Esta dissertação tem como finalidade estudar uma abordagem metodológica

das Funções Exponencial e Logarítmica numa perspectiva conceitual e gráfica no

ensino médio. Foram elaboradas atividades referenciadas em Polya(1995), quanto à

resolução de problemas, Friendlander (1995), quanto à interpretação geométrica e,

gráfica, e, em Miranda e Laudares (2007), quanto à focalização na compreensão

conceitual. Foram elaboradas atividades dentro de uma sequência didática que

contemplou problemas das Ciências Biológicas e da Matemática Financeira, com a

abordagem do conceito das Funções Exponenciais e Logarítmicas. Para

interpretação gráfica, foi utilizado traçado de gráfico, privilegiando a variação de

parâmetros das funções, bem como a relação de simetria das duas funções, levando

o estudante a entender a inversão das mesmas. Foi utilizado o Software Winplot, no

tratamento das translações horizontais e verticais das Funções Exponenciais e

Logarítmicas. Para validação das atividades, as mesmas foram aplicadas em turmas

do ensino médio-técnico, cujos resultados sinalizaram uma melhor compreensão

conceitual com a interpretação dos problemas e do comportamento das funções na

análise gráfica.

Palavras-chave: Educação Matemática. Funções Exponencial e Logarítmica em abordagem conceitual. Interpretação gráfica das Funções Exponencial e Logarítmica.

ABSTRACT

This thesis aims to study a methodological approach of Exponential Functions and

Logarithmic perspective and conceptual graphics in high school. Were prepared

activities referenced in Polya(1995) regarding the resolution of problems,

Frienlander(1995) regarding the interpretation and geometric, graphic, and Laudares

and Miranda(2007), as the focus on conceptual understanding. Activities were

developed within a sequence that included didactic problems of Life Sciences and

Financial Mathematics, with the approach of the concept of exponential and

logarithmic functions. For graphic interpretation was used track chart, focusing on the

variation of parameters of functions and the symmetry relation of the two functions,

leading the student to understand the inversion of the same. Winplot Software was

used in the treatment of horizontal and vertical translations of exponential and

logarithmic functions. To validate the activities, they were applied to classes of high

school coach, whose results showed a better conceptual understanding of the

problems with interpretation and behavior of functions in the graphical analysis.

Key-words: Mathematics Education. Exponential and Logarithmic Functions in

conceptual approach. graphical Interpretation of the Exponential and Logarithmic

Functions.

LISTA DE GRÁFICOS

GRÁFICO 1 1ª Atividade........................................................................................33

GRÁFICO 2 Funções: ................................................... 41

GRÁFICO 3 Função Exponencial: ................................... 41

GRÁFICO 4 Função Exponencial e Logarítmica: .. 42

GRÁFICO 5 Função Logarítmica: ......................................44 GRÁFICO 6 Funções: ..........................................48

GRÁFICO 7 Função Exponencial: ..............................48

GRÁFICO 8 Funções do tipo: ..................50

GRÁFICO 9 Função do tipo: ..............................................60

GRÁFICO 10 Função do tipo: .......................................60 GRÁFICO 11 Função do tipo: ......................60 GRÁFICO 12 Função do tipo: ....................61

GRÁFICO 13 Função do tipo: .............................................62 GRÁFICO 14 Função do tipo: ......................................62

GRÁFICO 15 Função do tipo: .........................................63 GRÁFICO 16 Função do tipo: ......................................63

GRÁFICO 17 Atividade: 3, 3.1. ................................................................................78

GRÁFICO 18 Função do tipo ..............................................94

GRÁFICO 19 Função do tipo .......................................95

GRÁFICO 20 Função do tipo ..........................96 GRÁFICO 21 Função do tipo ........................97

GRÁFICO 22 Função do tipo ............................................. 98

GRÁFICO 23 Função do tipo .......................................99 GRÁFICO 24 Função do tipo ....................100 GRÁFICO 25 Função do tipo ...................100

LISTA DE QUADROS

QUADRO 1 1ª Atividade ............................................................................................ 30




QUADRO 5 Síntese das Funções Exponencial e Logarítmica .................................. 50



QUADRO 8 Atividade 1.b,c,d. ................................................................................... 66

QUADRO 9 Atividade 1.f ........................................................................................... 68

QUADRO 10 atividade 1.f ......................................................................................... 69

QUADRO 11 Atividade 1.m ....................................................................................... 70

QUADRO 12 Atividade 1:g, h, i ................................................................................. 70

QUADRO 13 Atividade 1:j .............................................................................. ...........70

QUADRO 14 Atividade 1:a,...,h. ................................................................................ 73

QUADRO 15 Atividade 2.n ........................................................................................ 74

QUADRO 16 Atividade 2:k ........................................................................................ 75

QUADRO 17 Atividade 2:u,v. .................................................................................... 77

QUADRO 18 Atividade 3, 3.1. ................................................................................... 79

QUADRO 19 Atividade 3.4. ....................................................................................... 79



QUADRO 22 Atividade 3.1.4: e, f, g. e 3.1.6:e, f, g. .................................................. 82

QUADRO 23 Atividade 3.4.j. ..................................................................................... 83

QUADRO 24 Atividade 4. .......................................................................................... 84


QUADRO 26 Atividade 4.1.2 ..................................................................................... 85

QUADRO 27 Analise final da atividade 3. ................................................................. 86

QUADRO 28 Analise final da atividade 4. ................................................................. 87

QUADRO 29 Atividade:5.1. ....................................................................................... 88

QUADRO 30 Atividade:5.2. ....................................................................................... 89

QUADRO 31 Identificação das funções da atividade 5. ............................................ 89



QUADRO 34 Analise das Funções. .......................................................................... 92

LISTA DE TABELA

TABELA 1 1ª Atividade............................................................................................. 31

LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS CEFET/MG- Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais

ed. edição

MG- Minas Gerais

PCN’s- Parâmetros Curriculares Nacionais

PUC MG - Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais

v. Volume

SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO ....................................................................................................... 14 1.1 Questão Principal .............................................................................................. 16 1.2 Questões Complementares .............................................................................. 16 2 ABORDAGEM DA FUNÇÃO EXPONENCIAL E LOGARÍTMICA EM LIVROS DIDÁTICOS E NOS PCN’S....................................................................................... 21 2.1 Livros Didáticos ................................................................................................ 21 2.1.1 Matemática para o 2º Grau - Nelson Gentil et al. (1992) .................................. 21 2.1.2 Matemática: Uma nova Abordagem - Giovanni e Bonjorno (1992) .................. 22 2.1.3 Matemática, Conceitos, Linguagem e Aplicações - Manoel Paiva (2002) ....... 23 2.1.4 Matemática , Ensino Médio - Smole e Diniz (2003) .......................................... 23 2.1.5 Matemática: Para a Escola de Hoje - Facchini (2006)..................................... 24 2.1.6 Matemática - Dante (2008) ............................................................................... 24 2.2 Análise dos PCN’s no Ensino Médio .............................................................. 25 3 ELABORAÇÃO DAS ATIVIDADES, QUANTO À SEQUÊNCIA DIDÁTICA ......... 28 3.1 Apresentação da elaboração das atividades didáticas.................................. 28 3.2 Primeira Atividade didática .............................................................................. 29 3.2.1 Apresentação da Atividade ............................................................................... 30 3.2.1.1 Descrição da Atividade .................................................................................. 31 3.3 Segunda Atividade didática .............................................................................. 34 3.3.1 Apresentação da Atividade ............................................................................... 34 3.3.1.1 Descrição da Atividade .................................................................................. 36 3.4 Terceira Atividade didática ............................................................................... 37 3.4.3 Apresentação da Atividade ............................................................................... 38 3.4.3.1 Descrição da Atividade .................................................................................. 39 3.5 Quarta Atividade didática ................................................................................. 44 3.5.1 Apresentação da Atividade ............................................................................... 45 3.5.1.1 Descrição da Atividade .................................................................................. 47 3.6 Quinta Atividade ............................................................................................... 51 3.6.1 Apresentação da Atividade ............................................................................... 51 3.6.1.1 Descrição da Atividade .................................................................................. 55 3.7 Sexta Atividade didática ................................................................................... 57 3.7.1 Apresentação da Atividade ............................................................................... 57 3.7.1.1 Descrição da Atividade .................................................................................. 59 4 ANÁLISE DOS RESULTADOS DA APLICAÇÃO DAS ATIVIDADES, QUANTO À SUA VALIDAÇÃO .................................................................................................... 65 4.1 Aplicação ........................................................................................................... 65 4.1.1 Análise das Atividades ..................................................................................... 65 4.2 Primeira Atividade ............................................................................................. 65 4.2.1 Conteúdo .......................................................................................................... 65

4.2.1.1 Categorias de Análise ................................................................................... 66 4.3 Segunda Atividade ............................................................................................ 71 4.3.1 Conteúdo .......................................................................................................... 71 4.3.1.1 Categorias de Análise ................................................................................... 72 4.4 Terceira Atividade ............................................................................................ 77 4.4.1 Conteúdo .......................................................................................................... 77 4.4.1.1 Categorias de Análise ................................................................................... 77 4.5 Quarta Atividade ............................................................................................... 83 4.5.1 Conteúdo .......................................................................................................... 83 4.5.1.1 Categorias de Análise ................................................................................... 83 4.6 Quinta Atividade ................................................................................................ 88 4.6.1 Conteúdo .......................................................................................................... 88 4.6.1.1 Categorias de Análise ................................................................................... 88 4.7 Sexta Atividade .................................................................................................. 92 4.7.1 Conteúdo .......................................................................................................... 92 4.7.1.1 Categorias de Análise ................................................................................... 93 5 CONSIDERAÇÕES FINAIS ................................................................................. 101 REFERÊNCIAS ....................................................................................................... 103 APÊNDICE .............................................................................................................. 106 APÊNDICE A (ATIVIDADES REFORMULADAS) CADERNO DE ATIVIDADES INVESTIGATIVAS .................................................................................................. 107

14

1 INTRODUÇÃO

Minha atividade no magistério teve início no ano de 1979, quando cursava a

2ª série do IIº grau, no Curso de Eletrotécnica, na Escola Novaerense, em Nova

Era/MG, onde lecionava, no período da tarde, aulas de reforço de Matemática para o

antigo Iº grau, hoje Ensino Fundamental.

Ao término do Curso Técnico, ingressei na Universidade Federal de Viçosa,

no Curso de Bacharelado em Matemática, deixando a Área Técnica, e dedicando-

me à Área da Educação.

A partir do 3º período, era monitor de cálculo e exercia a função de bolsista no

Departamento de Física. Com o passar dos anos, iniciei na docência.

Ao final da minha graduação, retornei à minha cidade Natal, ministrando aulas

no Ensino Fundamental e Médio, tanto em instituições de ensino público quanto em

escolas particulares, não deixando de fazer os aperfeiçoamentos e as atualizações

ofertados nas Instituições de Ensino Federal.

Em 1984, ingressei por concurso público no Centro Federal de Educação

Tecnológica de Minas Gerais (CEFET/MG), onde pude observar e vivenciar o

enfoque dado ao conteúdo de todas as séries do ensino médio, em destaque à 1ª

série, diante do estudo das Funções Exponenciais e Logarítmicas.

Nesse período, percebi que o estudo de Logaritmo era abordado de forma

abstrata, utilizando-se muito a álgebra, para manipulação das propriedades,

decorrentes da definição, e a solução de equações através de tábuas Logarítmicas,

envolvendo o cálculo de mantissa e característica para números superiores aos da

tábua.

São constantes as dificuldades apresentadas pelos alunos quanto à

abordagem metodológica do estudo das Funções Exponenciais e Logarítmicas,

quanto ao tratamento conceitual através de situações-problemas e comportamento

gráfico, com as identificações de características tais como: crescimento /

decrescimento, simetrias, interseções, condições iniciais e de contorno,

procedimentos assintóticos das curvas e taxa de variação, entre outras.

A partir dessa análise, iniciei o estudo das Funções Exponencial e

Logarítmica e encontrei algumas barreiras, tais como: Como ensinar essas funções

15

de forma significativa? Quais os pontos básicos no estudo das funções? Foi a partir

dessas indagações que resolvi propor a elaboração e a construção desta pesquisa

“sob uma perspectiva conceitual e gráfica”.

Daí a preocupação em focar o estudo das Funções Exponenciais e

Logarítmicas, utilizando uma sequência didática que possa mostrar o entendimento

da conceituação dessas funções, recorrendo-se, em algumas atividades, a

Softwares Matemáticos para o trabalho com gráfico.

As atividades elaboradas foram aplicadas aos alunos da 1ª série do Ensino

Médio do CEFET/MG, na "Abordagem das funções exponencial e logarítmica numa

perspectiva conceitual e gráfica no ensino médio".

A proposta desta pesquisa é interpretar matematicamente situações da vida

real, de fenômenos nas várias ciências e situações-problemas fora do contexto da

matemática. As atividades envolveram funções, dentro de uma atitude reflexiva e

crítica, com o auxílio também da construção e da interpretação gráfica.

O objetivo geral desta pesquisa é estudar o comportamento gráfico e o

conceito das Funções Exponenciais e Logarítmicas, quanto às características que as

diferenciam das demais funções, seja pela representação gráfica seja em situações

da vida real, nas ciências e na tecnologia, privilegiando o seu tratamento conceitual.

Para isso, foram elaborados os seguintes objetivos específicos:

- Analisar e discutir os Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio,

quanto às diversas formas de aplicação, do tratamento conceitual e da

representação gráfica das Funções Exponenciais e Logarítmicas.

- Verificar, em livros didáticos de Ensino Médio, como é abordada a

metodologia da aplicação das Funções Exponencial e Logarítmica em problemas de

ciências e em situações da vida real.

- Elaborar atividades numa sequência didática que privilegia o entendimento

conceitual das Funções Exponenciais e Logarítmicas.

- Buscar entendimento das Funções Exponenciais e Logarítmicas através da

interpretação e da análise gráfica, com auxílio em algumas atividades de Softwares

Matemáticos.

A seguir apresentamos as seguintes questões de pesquisa:

16

1.1 Questão Principal

Como uma sequência didática pode facilitar o entendimento do conceito e a

interpretação gráfica das Funções Exponenciais e Logarítmicas?

1.2 Questões Complementares

Como os livros didáticos abordam os conceitos das Funções Exponencial e

Logarítmica?

Que Softwares Matemáticos podem favorecer a aprendizagem das funções,

quanto ao seu comportamento gráfico?

A dissertação é composta dos cinco capítulos seguintes:

No Capítulo 1, apresentamos a introdução.

No Capítulo 2, apresentamos uma análise de alguns livros didáticos, usados

no ensino médio, destacando o enfoque dado a esta pesquisa, e os Parâmetros

Curriculares Nacionais (PCN’s) quanto ao conceito de Função e, em particular, as

Funções Inversa, Exponencial e Logarítmica.

No Capítulo 3, apresentamos as atividades que foram elaboradas nesta

pesquisa, seus objetivos e as soluções esperadas, dentro do contexto de uma

sequência didática.

No Capítulo 4, apresentamos a análise dos resultados da aplicação das

atividades, quanto à sua validação, quando foram essas aplicadas para alunos do

curso médio-técnico do CEFET/MG

No Capítulo 5, considerações finais.

Os logaritmos surgiram, no começo do século XVII (BOYER, 1968), como um

instrumento auxiliar dos cálculos aritméticos, transformando produtos em somas,

quocientes em diferenças, etc. Sua utilidade, desde aquela época até bem

recentemente, foi incontestável.

Nesse meio tempo, além do seu emprego generalizado para tornar possíveis

operações aritméticas complicadas, as funções logarítmicas, juntamente com suas

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inversas, as exponenciais, revelaram-se possuidoras de notáveis propriedades, que

as qualificavam como modelos ideais para certos fenômenos de variação, nos quais

a grandeza estudada aumenta (ou diminui) com taxa de variação proporcional à

quantidade daquela grandeza existente no momento dado.

Por isso é que, mesmo com o advento e uso universal das calculadoras, e a

consequente perda de interesse nos logaritmos como instrumento de cálculo

aritmético, a importância científica dos mesmos não diminui nos dias de hoje.

Segundo Corrêa (1989),

as aulas que antecedem o estudo de logaritmos têm o objetivo de preparar o terreno para esse estudo, isto é, constituem pré-requisitos importantes para a construção gradativa do conceito e propriedade que envolvem os logaritmos. (CORRÊA, 1989, p.22)

Exemplos de problemas, de origem variada, onde surgem logaritmos e

exponenciais de forma espontânea, devem ser apresentados aos estudantes a fim

de habituá-los com o manuseio de questões relativas ao crescimento exponencial e

logaritmo. E, finalmente, a própria conceituação e a interpretação gráfica das

Funções Exponencial e Logarítmica devem ser introduzidas de forma bem objetiva.

Na visão de Miranda e Laudares (2007), uma das metas principais do ensino

de matemática é a focalização na compreensão conceitual. Devemos dar ênfase às

estratégias de estudo, as quais se fazem com abordagens variadas, sejam elas

descritivas, explicativas e de análise, com diversidade de metodologias do tipo

algébrica, numérica ou geométrica, seja também no tratamento do conceito

matemático, atrelado às situações problemáticas das ciências e da realidade,

fugindo da abstração restrita.

Podemos dizer que o primeiro passo, de qualquer investigação é identificar

claramente o problema a resolver e, para resolver um problema, é necessário certo

conjunto de conhecimentos previamente adquiridos.

Num problema matemático perfeitamente formulado, todos os dados e todas

as cláusulas da condicionante são essenciais e têm de ser levados em conta. Nos

problemas práticos, temos uma grande multiplicidade de dados e de condicionantes;

que são tomados em consideração, tantos quanto pudermos, embora sejamos

forçados a desprezar alguns.

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Sendo a resolução de problemas uma habilitação prática, somente

conseguimos a solução deles se observarmos e imitarmos o que fazem outras

pessoas. Dessa forma, só aprendemos a solucionar problemas, resolvendo-os.

Polya (1995) enumera as quatro fases de resolução de problemas, como a

seguir:

Primeiro, compreender o problema, percebendo claramente o que é

necessário. Segundo, analisar como os diversos itens estão inter-relacionados,

como a incógnita está ligada aos dados, para termos a ideia da resolução, para

estabelecermos um plano. Terceiro, executar o plano. Quarto, fazer um retrospecto

da resolução completa, revelando-a e discutindo-a.

Assim, na elaboração conceitual, Polya (1995) defende a necessidade do

raciocínio heurístico, o qual se faz com suporte em todo o capital acumulado de

saberes e da sua mobilização, formulando hipóteses e conjecturas. É aquele,

segundo o mesmo autor, que não se considera final e rigoroso, mas apenas

provisório e plausível.

à medida que avança o nosso exame do problema, prevemos com clareza cada vez maior o que deve ser feito para a sua resolução e como isso deve ser feito. Ao resolver um problema matemático, podemos prever, se tivermos sorte, que um certo teorema conhecido poderá ser utilizado, que um certo problema já anteriormente resolvido poderá ser útil, que a volta à definição de um certo problema já anteriormente resolvido poderá ser útil, que a volta à definição de um certo termo técnico poderá ser necessária. Não prevemos essas coisas com certeza, apenas com um certo grau de plausibilidade. (POLYA, 1995, p.130)

A iniciação da metodologia de resolução de problemas exige um acúmulo de

conhecimentos, denominada por Pozo (1998) de conhecimentos prévios.

entendemos que conhecimentos prévios são todos aqueles conhecimentos (corretos ou incorretos) que cada sujeito possui e adquiriu ao longo de sua vida na interação com o mundo que o cerca e com a escola. Esse conjunto de conhecimentos serve para que ele conheça o mundo e os fenômenos que observa ao mesmo tempo em que ajudam a prever e controlar os fatos e acontecimentos futuros. (POZO, 1998, p.87)

É natural aparecer matemática no estudo de fenômenos físicos, assim

Laudares (2004) acrescenta que nós montamos o fenômeno físico, vamos

quantificando e chegamos ao modelo matemático que pode ser uma fórmula, um

gráfico. Construído o modelo matemático, nós fazemos a fórmula literalmente para

19

termos uma equação geral, a ser usada em um programa de computador.

Hoje, com a utilização dos computadores, as tábuas de logaritmos, como

instrumento de cálculo, não têm mais valor, mas ainda o estudo de logaritmos é, e

continuará sendo, de grande importância.

A construção e a análise de esboços gráficos das Funções Exponencial e

Logarítmica é uma das grandes oportunidades de fortalecer, na aprendizagem do

aluno, a ligação entre Álgebra e Geometria e suas aplicações em Trigonometria.

Traçar gráficos de funções é uma atividade fundamental no ensino médio e no

aprendizado de matemática, desse modo a interpretação geométrica em , como

propõe Friendlander (1995), torna a compreensão mais fácil na obtenção da função

inversa e na resolução de equações, inequações exponenciais e logarítmicas. Nesse

caso, a resolução gráfica é menos tediosa e mais rápida do que a solução algébrica,

utilizando de maneira significativa a habilidade com simetria, reflexão e translação.

As representações gráficas são usadas nas ciências, de modo que, com o

auxílio de representações geométricas apropriadas, podemos expressar a relação

existente entre duas funções em linguagem gráfica, onde uma função pode ser

perfeitamente simétrica em relação a um plano vertical, de tal maneira que as duas

partes sejam completamente “intercambiáveis”. Assim, Polya (1995) procura tratar

simetricamente o que é simétrico e não destruir arbitrariamente qualquer simetria

natural.

O estudo das Funções Exponencial e Logarítmica torna-se mais envolvente

na medida em que buscamos uma abordagem conceitual e gráfica dentro de várias

aplicações no campo da ciência. A estratégia para a implementação dessa nova

abordagem está no uso de atividades investigativas. Assim, a fase de discussão é,

pois, fundamental para que os alunos, por um lado, ganhem um entendimento mais

rico do que significa investigar e, por outro lado, desenvolvam a capacidade de

comunicar matematicamente e de refletir sobre seu trabalho, aumentando seu poder

de argumentação. Podemos afirmar que, sem a discussão final, se corre o risco de

perder o sentido da investigação. (PONTE, 2003).

Assim, o professor deve ser consciente de que aprender vai além da

memorização, isto é, também reestruturar concepções já existentes. (FERREIRA,

2006).

20

Outras pesquisas do estudo do ensino e da aprendizagem das Funções

Exponenciais e Logarítmicas foram realizadas, como:

Análise do processo de argumentação e prova em relação ao tópico

logaritmos, numa coleção de livros didáticos e numa sequência de ensino, de

Fernando Tavares da Silva (2007).

Uma sequência de ensino para o estudo dos logaritmos, usando a Engenharia

Didática, de Ronize Lampert Ferreira (2006), e Uma Sequência de Ensino, usando o

Programa Winplot: em busca de uma aprendizagem autônoma do aluno, de Caren

Saccol Berlez (2007).

Ao final das atividades, faremos uma socialização das ideias dos alunos,

contribuindo de modo significativo para o aprendizado da matéria e desenvolvendo o

gosto por essa.

21

2 ABORDAGEM DA FUNÇÃO EXPONENCIAL E LOGARÍTMICA EM LIVROS

DIDÁTICOS E NOS PCN’s

2.1 Livros Didáticos

Alguns livros adotados em escola de Ensino Médio foram analisados, sendo

que dois desses foram usados nos últimos 7(sete) anos no CEFET/MG, quais sejam:

Giovanni e Bonjorno (1992) e Dante (2008).

Os critérios usados na análise dos livros foram: linguagem usada pelos

autores, o conceito de Função, Função Inversa, Exponencial e Logarítmica, através

de uma situação-problema motivadora e a interpretação gráfica.

2.1.1 Matemática para o 2º Grau - Nelson Gentil et al. (1992)

Gentil et al. (1992) não apresentam situações-problemas para iniciar o

conceito de função. A definição de Função baseia-se através das representações no

diagrama de Venn, comparando os conjuntos e estabelecendo relações entre eles,

determinando o domínio, o contradomínio e a imagem. É apresentada uma grande

quantidade de exercícios, envolvendo cálculo algébrico.

As situações-motivadoras aparecem somente na Função do Iº e IIº graus com

aplicações na Física e na Economia, relacionando as variáveis dependentes e

independentes, obtendo, assim, uma relação matemática entre elas.

O conceito da Função Inversa é apresentado de forma simples nos exercícios

propostos, os autores exploram mais a regra prática para determinação de , que

é a inversa da função , ao invés da construção gráfica.

As Funções Exponencial e Logarítmica são deficitárias quanto aos traçados

gráficos. Observa-se que os autores trabalham com equações exponenciais que

necessitam do logaritmo como ferramenta para a sua resolução e, além disso,

exploram os logaritmos decimais, trabalhando com exercícios de estimativas através

22

da interpolação linear.

O livro apresenta uma linguagem matemática, sem textos informativos, o que

é justificado na fundamentação teórica dada aos logaritmos, observando que os

autores exploram bastante a parte algébrica, ao invés de aplicações práticas e

resoluções de problemas, usando a interpretação gráfica.

2.1.2 Matemática: Uma nova Abordagem - Giovanni e Bonjorno (1992)

Os autores apresentam a ideia de função, relacionando duas grandezas

através de exemplos práticos. A definição de Função Matemática baseia-se de

acordo com a linguagem da teoria dos conjuntos, diferenciando os elementos:

domínio, contradomínio e imagem, explorando, através de representações gráficas,

a situação que, para certos valores de , não possui imagem real.

A tipologia das funções é apresentada com certo rigor matemático, revelando

que Bonjorno e Giovanni se prendem muito à parte conceitual e algébrica, o que é

mostrado na Função Inversa, onde a determinação da inversa é obtida, usando-se a

regra de inversão, e não a inversão dos pares ordenados na representação gráfica

da inversa.

Estes autores não se utilizam de uma situação-problema para introduzir a

definição de logaritmo, fazem referência a uma tabela com números naturais

relacionando-os com o expoente de dez, desse modo as propriedades operatórias

dos logaritmos são bastante exploradas, baseando na definição de logaritmo.

Nas Funções Exponenciais e Logarítmicas, os exemplos práticos, usados na

introdução, são deixados de lado, enfatizando a parte operacional, utilizando a

calculadora científica e as tábuas de logaritmos para o cálculo das características e

mantissas. Desse modo, a construção gráfica e as translações gráficas não são

abordadas.

23

2.1.3 Matemática, Conceitos, Linguagem e Aplicações - Manoel Paiva (2002)

Paiva (2002) introduz o conceito de Função, usando muitos exercícios com

dificuldades crescentes, identificando, no sistema de coordenadas cartesianas, os

elementos: domínio, contradomínio e imagem.

Existem poucas aplicações envolvendo situações reais que possibilitem aos

alunos uma interação com o conteúdo. Desse modo, a visão conceitual é vista de

forma algébrica, deixando de fazer uma análise gráfica dos exercícios.

A Função Inversa é analisada depois dos conteúdos de Funções Exponencial

e Logarítmica, fato esse que compromete a relação de inversão entre as funções,

mas se prende na análise gráfica para as funções de Iº e IIº graus, dando uma

conotação histórica à Função Inversa.

Na parte gráfica das Funções Exponenciais e Logarítmicas, existem poucos

gráficos, devido à falta de aplicações, enfatizando mais os exercícios algébricos.

Desse modo, as translações, envolvendo as mudanças dos parâmetros da base, são

deixadas de lado. É um livro bastante teórico, onde as funções são bem definidas,

mas a parte gráfica deixa a desejar.

2.1.4 Matemática, Ensino Médio - Smole e Diniz (2003)

As autoras apresentam exemplos práticos, no que diz respeito ao conceito de

função. Assim, a definição de função é dada de maneira objetiva, focalizando

exemplos da vida real, associando as variáveis em estudo de maneira aplicativa

através de um contexto gráfico.

A Função Inversa é obtida através do método usual, sem uso de aplicação. O

livro consegue abordar os dois lados de um conteúdo, o conceitual, através de

exemplos práticos, e as representações gráficas, fato observado na Função

Exponencial, onde exercícios de análise gráfica, envolvendo duas funções

simultaneamente, são apresentados, buscando sua resolução através do método

gráfico.

24

Ao definir a Função Logarítmica, as autoras não exploram a função inversa,

introduzindo a definição de logaritmo e trabalhando com as propriedades

operatórias, seguidas de exemplos e de exercícios de aplicação imediata das

propriedades.

A parte gráfica, relacionando as Funções Exponenciais e Logarítmicas, não é

contemplada, distanciando a relação existente entre as funções, o que é notado pela

ausência de gráficos, envolvendo as translações.

2.1.5 Matemática: Para a Escola de Hoje - Facchini (2006)

Facchini (2006) aborda o conceito de função através de exemplo prático e

busca, na História da Matemática, a origem da palavra função, relacionando as

variáveis em estudo com os valores de dependência e independência.

O autor explora nos exercícios muito a parte algébrica, e mostra poucas

situações-problemas.

Na Função Inversa, a maneira de abordar os pares ordenados é bem

explicitada, mostrando a relação que a reta da bissetriz tem em relação às funções,

destacando a inversão dos pares ordenados.

As definições de exponencial e logaritmo são bastante exploradas antes de se

trabalhar com as propriedades. Os exemplos usados nas funções exponenciais e

logarítmicas mostram o interesse do autor em trabalhar a parte algébrica com a

gráfica, explorando, nos gráficos, os pontos de interseção em relação aos eixos e a

simetria entre as funções.

2.1.6 Matemática - Dante (2008)

Dante (2008) inicia o conteúdo de função através de situações-problemas

motivadoras, usando exemplos de fácil entendimento, fixando-os através de

representações gráficas.

25

As análises e as interpretações gráficas foram, em alguns capítulos, a

referência do autor, fato este não consolidado no estudo da Função Inversa.

A ideia de translação foi usada somente na função quadrática, analisando a

variação dos coeficientes: a, b e c, através das representações gráficas, deixando de

se estender para as Funções Exponenciais e Logarítmicas.

Quanto ao estudo dos logaritmos, existe um rigor desde as definições que são

abordadas numa linguagem matemática até o entendimento das propriedades.

Desse modo, na aplicação dos logaritmos na resolução de equações exponenciais e

de problemas, utiliza-se uma tecnologia moderna (calculadora) em substituição às

tábuas logarítmicas.

Ao final de cada Capítulo, o autor faz menção à leitura histórica, desde a

origem até sua aplicação, aprofundando no estudo das funções, relacionando-as

com outras funções.

Em suma, nos livros didáticos analisados, percebemos uma exposição da

abordagem conceitual e gráfica das funções exponencial e logarítmica sem qualquer

preocupação em estabelecer as possíveis conexões entre o conceito e a parte

gráfica das funções. Em alguns livros encontramos, situações práticas da vida real.

Em alguns livros, percebemos que existem situações-problemas que se

propõem à determinação da solução do problema, através de equações,

inequações, cálculos de características, mantissas, uso de calculadoras e algumas

representações gráficas. Entretanto, procuramos uma metodologia nos livros

didáticos envolvendo a parte conceitual e gráfica das funções e suas translações.

2.2 Análise dos PCN’s no Ensino Médio

A articulação das várias áreas do conhecimento e das disciplinas da área das

ciências, partilhando linguagens, procedimentos e contextos, converge para o

trabalho educativo da escola como um todo, ao promover competências dos alunos.

Para cumprir esses pressupostos, é recomendável, por um lado, promover

atividades didáticas, em grupo ou individualmente com os alunos, em que suas

preferências e interesses possam se manifestar, contribuindo significativamente para

26

a motivação, ou seja, para o desejo de aprender.

Por outro lado, isso requer que os conteúdos formativos das muitas

disciplinas tenham uma unidade, em termos de contextos comuns e das

competências desenvolvidas. Que o jovem possa identificar não no discurso, mas na

prática, procedimentos comuns dentro ou fora da sala de aula, utilizando softwares

matemáticos que possam fazer essa ligação entre a parte teórica e prática.

Ao estudar o conceito de função, deparamos com situações como o fato de

que o aluno precisa adquirir o hábito da linguagem algébrica como a linguagem das

ciências, necessária para expressar a relação entre grandezas e modelar situações-

problemas, construindo modelos descritivos de fenômenos e permitindo várias

conexões dentro e fora da própria matemática.

Tradicionalmente, o ensino de funções estabelece, como pré-requisito, o

estudo dos números reais e de conjuntos e suas operações, para depois definir

relações e, a partir daí, identificar as funções como particulares relações. Todo esse

percurso é, então, abandonado assim que a definição de função é estabelecida, uma

vez que, para a análise dos diferentes tipos de funções, ou seja, da sua tipologia,

todo o estudo relativo a conjuntos e relações passa ser desnecessário.

Assim, o ensino pode ser iniciado diretamente pela noção de função para

descrever situações de dependência entre duas grandezas, o que permite o estudo

a partir de situações contextualizadas, descritas algébrica e graficamente.

Os problemas de aplicação não devem ser deixados para o final de cada

tópico abordado, mas devem ser colocados de forma motivadora dentro dos

conteúdos de modo que o aluno possa assimilar a ideia e os conceitos de função. A

riqueza de situações, envolvendo funções, permite que o ensino se estruture

permeado de exemplos do cotidiano, das formas gráficas que a mídia e outras áreas

do conhecimento utilizam para descrever fenômenos de dependência entre

grandezas.

Dentre os vários tipos de funções, enfatizo a Função Inversa, que não é

mencionada nos PCN’s. É através dela que se consegue estabelecer um parâmetro

de ligação entre as Funções Exponenciais e Logarítmicas, levando em consideração

aspectos relevantes ao que se refere ao crescimento/decrescimento e à inversão de

pares ordenados, elementos que são os geradores para a construção gráfica dessas

27

funções.

De acordo com os PCN’s, as Funções Exponenciais e Logarítmicas são

usadas para descrever a variação de duas grandezas em que o crescimento da

variável independente é muito rápido, sendo aplicada em áreas do conhecimento

como matemática financeira, crescimento de populações e outras. Fato esse que

mostra a relação de dependência das funções.

A parte operacional da resolução de equações Exponenciais e Logarítmicas e

o estudo das propriedades de características e mantissas podem ter sua ênfase

diminuída e, até mesmo, podem ser suprimidas, pois os avanços tecnológicos, com

o uso de softwares matemáticos, levam os estudantes a resolver e calcular

expressões exponenciais e logarítmicas através desses recursos.

Desse modo, a ênfase do estudo das diferentes funções deve estar no

conceito de função e em suas propriedades em relação às operações, na

interpretação de seus gráficos e nas aplicações dessas funções.

28

3 ELABORAÇÃO DAS ATIVIDADES, QUANTO À SEQUÊNCIA DIDÁTICA

Esta pesquisa de cunho qualitativo, composta por atividades referenciadas

em Boyer (1968), Côrrea (1989), Miranda e Laudares (2007), Ferreira (2006),

Friendlander e Haddas (1995), Laudares (2004), Polya (1995), Ponte (2003) e Pozo

(1998), direciona os alunos a resolverem problemas e interpretar graficamente as

Funções Exponenciais e Logarítmicas.

A pesquisa também é sustentada nos moldes de uma sequência didática e de

uma sequência de conteúdos, em que Zabala (1998) define uma sequência didática:

como um conjunto de atividades, estruturadas e articuladas para a realização de

certos objetivos educacionais, que tem um princípio e um fim conhecidos tanto pelos

professores como pelos alunos.

Através dessas concepções, buscaram-se problemas que privilegiam

situações reais, incentivando a pesquisa e atividades relacionadas ao surgimento

dos logaritmos, contribuindo para a construção e para a compreensão do conceito

de logaritmo e sua representação gráfica por parte dos alunos.

A sequência didática proposta refere-se a um conjunto de atividades

planejadas e encadeadas, com o intuito de facilitar não só a compreensão do

conceito das Funções Exponencial e Logarítmica, como também a construção

gráfica, permitindo aos alunos a oportunidade de investigar e explorar as situações-

problemas de forma autônoma, assumindo a responsabilidade pela sua

aprendizagem, proporcionando de forma significativa a aprendizagem dos

conteúdos.

3.1 Apresentação da elaboração das atividades didáticas

O interesse pelo conteúdo, por parte dos alunos, aumenta a partir do

momento em que esses compreendem as ligações do conteúdo a ser estudado num

contexto relacionado às suas vivências. Diante desse pensamento, colocaram-se

como elemento norteador as seguintes atividades de pesquisa, com as respectivas

29

descrições.

Foram propostas seis atividades, com níveis de dificuldades crescentes,

através de uma sequência didática e de conteúdo, visando a um trabalho

investigativo para as Funções Exponenciais e Logarítmicas.

A primeira e a segunda atividades exploraram o conceito das funções

exponenciais e logarítmicas, dando ênfase à Ciência Biológica e à Matemática

Financeira. Nessa atividade, mostramos a relação entre as variáveis dependentes e

independentes e o comportamento das curvas.

Na terceira e quarta atividades foram abordadas a definição e a interpretação

dos coeficientes das funções, analisando as condições dos parâmetros.

Na quinta atividade, é explorada a interpretação da função inversa, através de

recursos gráficos para sua obtenção.

A sexta atividade utiliza um software matemático (Winplot) para esboço de

gráficos e deslocamento de curvas (translações). Essa atividade será desenvolvida

no laboratório de informática do Campus I.

3.2 Primeira Atividade didática

Nessa atividade, foram explorado o conceito da Função Exponencial, dando

ênfase à Ciência Biológica (crescimento vegetativo), envolvendo o crescimento de

uma planta, em que os alunos deveriam:

- Identificar e representar graficamente as variáveis em estudo;

- Relacionar e classificar a curva em estudo com as funções já estudadas;

- Analisar e descrever a relação entre variáveis definidas;

- Formalizar a lei que descreve o fenômeno.

A partir dessa análise, pretende-se que os estudantes obtenham as seguintes

habilidades:

- Reconhecer e interpretar informações relativas a problemas, construindo

conjecturas;

- Aprender a fazer tratamento de dados com a montagem de tabelas e

plotagem gráfica;

30

- Usar a intuição na problematizarão, durante a exploração do problema, e

validar as conjecturas levantadas na avaliação dos resultados.

3.2.1 Apresentação da Atividade

Nessa atividade, mostraremos como o conceito da Função Exponencial e

Logarítmica, dando ênfase à Ciência Biológica (crescimento vegetativo), envolvendo

o crescimento de uma planta, podem ser aplicados pelos alunos.

O Quadro 1 a seguir apresenta a primeira atividade.

Se a altura de uma planta dobra a cada mês, durante um certo período de sua vida, supondo que sua altura inicial é de 1 cm, então:

a) Qual o valor para o instante inicial?

b) Qual é a altura da planta ao final do 1º mês e sucessivamente, no final do 2º, até o 10º

mês?

c) Identifique a variável dependente e independente em estudo e dê nome para elas?

d) Construa uma tabela que represente essa situação.

e) Plote, no sistema de eixos, os dados da tabela construída, indicando a variável

dependente na vertical e a independente na horizontal.

f) Una os pontos.

g) Interpretando o gráfico, dê um valor aproximado para:

a) 2,5 meses. b) 4 meses e 10 dias. c) 5 meses e 20 dias.

h) A curva obtida no item ”f” corresponde a uma função

a) do Iº grau (cujo gráfico é uma reta). b) do IIº grau (uma parábola).

c)uma curva desconhecida.

i) As grandezas envolvidas são diretamente ou inversamente proporcionais? Justifique?

j) O gráfico é uma função crescente ou decrescente? Justifique?

k) Repita “o gráfico construído no item ”f” e trace uma reta crescente que tangencia a curva a

partir do ponto inicial. O que você conclui a respeito do crescimento da reta e da curva?

l) Existe um valor extremo num determinado ponto do gráfico (mínimo ou máximo)?

m) Formalize, usando as variáveis nomeadas, uma lei de formação que melhor se ajuste ao

gráfico. A relação encontrada é denominada “Função Exponencial” (cujo gráfico é uma

exponencial).

Quadro 1: 1ª Atividade Fonte: Dados da Pesquisa

31

3.2.1.1 Descrição da Atividade

O problema em Ciências Biológicas, apresentado na primeira atividade,

objetiva obter uma relação, a partir de uma análise gráfica, que relaciona duas

variáveis em estudo: a variável dependente altura , com unidade de medida em

cm, e a variável independe tempo , em meses.

Na resolução dessa atividade, esperamos que os alunos façam a construção

de uma tabela de valores, envolvendo as variáveis como ponto de partida.

O primeiro questionamento foi a identificação da variável dependente e da

independente. Como os alunos já tinham cursado o ensino fundamental,

esperávamos que todas as duplas conseguissem construir a tabela da altura em

relação ao tempo , isto é, , e traçar o gráfico correspondente, conforme a

Tabela 1 seguinte:

TABELA 1

1ª Atividade

Fonte: Dados da pesquisa

A partir da Tabela 1 preenchida, os estudantes iriam plotar os pontos no

sistema de eixos, indicando os valores de meses) na horizontal e de (cm) na

vertical, formando os pares ordenados , obtendo uma curva desconhecida, para

os mesmos, conforme esboço do Gráfico 1 a seguir:

(meses) (altura)

0 1

1 2 2 4 ... ... 10 1024

32

Gráfico 1: 1ª Atividade Fonte: Dados da Pesquisa

Os pares ordenados obtidos na tabela anterior configuram pontos na região do

primeiro quadrante, mostrando a existência de uma relação entre as grandezas

envolvidas, ou seja, à medida que o tempo aumenta, existe uma correspondência

com a altura, que cresce na forma de uma potência de dois. Dessa maneira, as duas

grandezas não são grandezas proporcionais. Segundo Dante (2008)

duas grandezas são proporcionais (ou diretamente proporcionais) se para cada valor de de uma delas corresponde um valor de bem definido na

outra satisfazendo:

a) Quanto maior for , maior será , ou seja:

Se e , então implica .

b) Se dobrarmos, triplicarmos, etc. o valor de , então, então o valor

correspondente de será dobrado, triplicado, etc., ou seja: Se , então

para todo A correspondência que satisfaz essas duas condições chama-se proporcionalidade. (DANTE, 2008, p.67)

Entretanto, no problema estudado, não há proporcionalidade entre as

grandezas envolvidas.

Diante da análise gráfica dos pares ordenados, gerados pelos valores inteiros

do tempo e da altura, unindo os pontos e obtendo uma curva contínua, outros pontos

pertencentes à curva podem ser avaliados e determinados, usando uma

33

representação fracionária que estima, no eixo vertical, os valores correspondentes

para a altura , sendo dado um valor de (me.: meses. d.: dias) como:

Através dessas representações, pretendíamos buscar as habilidades dos

estudantes, na determinação dos valores aproximados da altura, no eixo vertical,

supondo que os alunos tinham um conhecimento prévio, adquirido no ensino

fundamental, das operações de potenciação e radiciação. O uso da calculadora

científica facilitou a determinação dos valores aproximados da altura.

A tabela formada pelo tempo e pela altura mostra uma relação de

dependência entre as grandezas, ou seja, à medida que os valores do tempo

aumentam, através de uma variação linear na razão de um para um, a altura

também aumenta, mediante um acréscimo multiplicativo, não linear, na razão de

duas unidades, isto é: .

Após o traçado do gráfico, pediu-se para analisar as grandezas definidas

quanto ao seu comportamento, se crescentes ou decrescentes, se proporcionais.

A modelagem de uma situação de fenômenos físicos, interpretados na sua

variação, e o modelo podem ser expressos por uma equação ou um gráfico. Assim,

com descrição da situação física, procura-se a descrição matemática na tentativa de

relacionar as variáveis, usando tabelas, gráficos ou fórmulas de modo a resolver a

situação-problema e trazer o entendimento da lei definidora.

Espera-se que o aluno obtenha, através desta atividade, a relação

matemática da forma , chamada de função exponencial, onde a

variável , representa o tempo, e, , a altura em metros, obtida a partir da

construção gráfica de uma situação-problema.

34

3.3 Segunda Atividade didática

Essa atividade envolve os conceitos das Funções Exponencial e Logarítmica,

dando ênfase à interpretação e à resolução de um problema de juro composto, na

Matemática Financeira, onde os estudantes deveriam:

- Identificar e representar graficamente as variáveis e os parâmetros em

estudo;

- Relacionar e classificar a curva em estudo com as funções já estudadas;

- Formalizar a lei que descreve o fenômeno.


habilidades:

- Reconhecer e interpretar informações relativas ao problema;

- Montar e representar graficamente as tabelas;

- Desenvolver e prever resultados;

- Identificar situações de crescimento e decrescimento, máximo ou mínimo.


Nessa atividade, mostraremos como os conceitos das Funções Exponencial e

Logarítmica, dando ênfase à interpretação e à resolução de um problema de juro

composto na Matemática Financeira, podem ser aplicados pelos alunos.

35

O Quadro 2 a seguir apresenta a segunda atividade.

Uma pessoa deposita em um banco a quantia de R$10.000,00 durante 10 anos, a uma taxa de 12% ao ano e podendo sacar a qualquer momento, isto é, o capital mais juros: denominado de Montante. Mediante informações prestadas pela instituição Financeira, o valor a ser resgatado em qualquer instante obedece a seguinte lei de

formação: , onde as variáveis correspondem ao montante, o capital empregado, a taxa unitária e o tempo da aplicação. Analisando os dados da situação financeira, responda: a) Verifique se na lei de formação há 04(quatro) grandezas, duas variáveis e dois

parâmetros.

b) Identifique a variável independente?

c) Identifique a variável dependente?

d) Qual é o valor do capital inicial?

e) Qual o capital aproximado a receber (capital acumulado) no final do 1º, 2º, 3º, 4º,

5º, 10º ano?

f) E ao fim de t anos?

g) No item “f”, ao escrever a fórmula, encontra-se uma relação envolvendo quantas

grandezas? Quais letras as representam? As outras grandezas são constantes?

h) Que condição devemos impor a ? Justifique?

i) Construa uma tabela, que represente a situação de item “e”.

j) Plote no sistema de eixos os dados da tabela construída, indicando a variável

independente na horizontal e dependente na vertical, e una os pontos.

k) A curva obtida no item “j” corresponde a que tipo de uma função?

l) Construa uma nova tabela, invertendo os pares ordenados do item “i”.

m) Plote no sistema de eixos os pares obtidos, com as novas coordenadas, e una os

pontos, traçando o gráfico.

n) Repita os dois gráficos obtidos, num mesmo sistema de eixos.

o) Trace a bissetriz do Iº quadrante.

p) Tome 05(cinco) pontos dessa bissetriz, e trace retas perpendiculares à bissetriz,

até interceptar as curvas.

q) O que você pode conclui em relação às duas curvas?

r) Formalize usando as variáveis nomeadas uma lei de formação que melhor se

ajusta ao gráfico. A relação encontrada é a “função Exponencial”, e o gráfico cujas

coordenadas foram mudadas de posição define uma nova função, a “função

Logarítmica”, denominada curva logarítmica.

36

s) Como se comportam os valores das funções? Crescem ou decrescem?

t) Qual curva cresce mais rapidamente com o tempo aumentando?

u) Se a sua dívida cresce exponencialmente e os seus rendimentos com o

Logaritmo. O que você pode concluir?

v) Se a sua dívida cresce como o logaritmo e os seus rendimentos como a

Exponencial. O que você pode concluir?



Diz-se que há um "juro composto" quando o juro ganho por certo capital, ao

fim de um período de tempo, fica depositado, acrescentando o capital inicial e

passando, portanto, a ganhar juro. O investidor, no fim do segundo ano, receberá,

portanto, "juro do juro", além do juro do capital, gerando o montante.

Inicialmente, a expressão do montante , admite quatro

grandezas, representadas pelas letras: C (Capital), i (Taxa unitária), t (Período de

tempo) e M (Montante). Essas grandezas desempenham um papel importante

dentro do contexto financeiro, pois a relação obtida mostra a correspondência entre

a variável independente, , e a variável dependente, , considerando as outras

grandezas como parâmetros.

Nesse problema, e são dados por valores fixos na aplicação financeira,

logo o capital “ ” (R$10 000,00) reproduzirá os respectivos montantes no fim de

cada ano. Esses valores podem ser obtidos de maneira simples, como: multiplicando

o montante de cada ano pelo fator de 1,12 ou usando uma calculadora científica,

gerando os valores:

Através da representação gráfica dos pontos, as grandezas tempo e montante

proporcionam uma lei de formação tipo exponencial da primeira atividade, ou seja,

. A curva formada pelos pares ordenados é uma curva

exponencial.

37

Os pares ordenados, obtidos na relação , representam

uma função crescente, devido ao aumento nos valores do tempo e do montante.

Dessa forma, todos os pontos da curva pertencem ao Iº quadrante, com

coordenadas positivas. Desse modo, ao invertemos os pares ordenados, esses

continuaram a pertencer à região do Iº quadrante. De acordo com Lima (2006):

dois pontos P, Q no plano dizem-se simétricos em relação a uma reta r nesse plano quando r é a reta mediatriz do segmento PQ. Logo duas figuras dizem-se simétricas em relação à reta quando cada ponto de uma delas é o simétrico da outra em relação a essa reta. (LIMA, 2006, p.188)

A curva obtida com a inversão dos pares ordenados é uma função

decrescente. Desse modo, a nova função gera uma curva desconhecida proveniente

da dívida, assim os gráficos apresentados representam de forma simétrica a relação

entre as curvas exponenciais e logarítmicas, geradas pelo rendimento (lucro) e a

dívida (prejuízo).

Portanto, o lento crescimento dos logaritmos fica evidenciado na curva obtida

dos pares ordenados inversos que contrasta com o rápido rendimento da curva

exponencial.

A construção de um novo modelo, através da situação-problema, possibilita

aos alunos a retomada do conceito de Função Exponencial, bem como a construção

de um novo modelo matemático referente à situação-problema e a análise gráfica da

solução, definindo uma nova função denominada Logarítmica.

3.4 Terceira Atividade didática

Nessa atividade, serão exploradas a definição e a interpretação dos

coeficientes das Funções Exponencial e Logarítmica, com base ( , onde os

alunos deveriam:

- Efetuar e representar cálculos numéricos;

- Determinar pares ordenados e representar graficamente as tabelas;

- Relacionar e classificar a curva em estudo com as Funções Exponenciais e

Logarítmicas, na base maior que um;

38

- Formalizar a lei que descreve a situação em estudo.


habilidades:

- Reconhecer e interpretar as funções;

- Desenvolver a capacidade de analisar, interpretar, prever e generalizar

resultados.


Nessa atividade, mostraremos a definição e a interpretação dos coeficientes

das Funções Exponencial e Logarítmica, com base ( .

O quadro 3 a seguir apresenta a terceira atividade.

1) Dada a função , complete a tabela seguinte:

X -3 -2 -1 0 1 2 3

Y

Inverta os pares ordenados e complete a nova tabela.

X

Y

“A tabela formada define uma nova função, “ é igual ao logaritmo de na base 2”, isto é, 1.1. Considere a função , complete a tabela seguinte de acordo com os valores da base.

X -2 -1 0 1 2

a = 2 Y

a = 3 Y

a = 4 Y

1.2. Plote os valores da tabela acima num sistema de eixos. 1.3. Interpretando o gráfico, responda. a) Dê o domínio e a imagem das funções, usando a notação de intervalos. b) Verifique se há intersecção com os eixos. Em caso afirmativo, determine os pares ordenados.

39

c) As funções são crescentes ou decrescentes? d) Tome alguns valores para e, a partir deles, trace segmentos paralelos ao eixo e una estes segmentos. e) O que podemos afirmar em relação à inclinação das curvas? f) Examine o comportamento do gráfico para e . g) Generalize uma condição para a base, verificando o crescimento de seus valores de modo que a função seja crescente. 1.4. Preencha a tabela seguinte, invertendo os pares ordenados da função , obtendo a tabela da função .

a = 2 X

Y

a = 3 X

Y

a = 4 X

Y

1.5. Plote, num mesmo sistema de eixos, os valores da tabela construída e responda às questões a seguir, interpretando o gráfico. a) Dê o domínio e a imagem das funções, usando a notação de intervalos. b) Verifique se há intersecção com os eixos. Em caso afirmativo, determine os pares ordenados. c) As funções são crescentes ou decrescentes? d) Tome alguns valores fixos para e, a partir deles, trace segmentos paralelos ao eixo e una estes segmentos. e) O que podemos afirmar em relação à inclinação das curvas? f) Observando os valores de para crescendo, tendendo a (+) infinito, o que se pode

concluir para ? A função possui um máximo?

g) Observando os valores de para decrescendo, tendendo a (-) infinito, o que se pode

concluir para ? A função possui um mínimo? h) Generalize uma condição para a base, verificando o crescimento de seus valores de modo que a função seja crescente.

Quadro 3: 3ª Atividade Fonte: Dados da pesquisa


Inicialmente foi definida a função Exponencial de base 2 (dois), isto é, ,

de modo a se obter uma tabela de valores, envolvendo as variáveis representativas

e . De acordo com Caraça (2003):

uma igualdade como , em que figura igualado a uma expressão

analítica em , contém uma lei matemática ligando as duas variáveis; essa

lei matemática define a correspondência, que existe entre e e faz,

40

portanto, que seja função de . (CARAÇA, 2003, p.123)

A partir da função exponencial definida acima, pretendemos construir uma

tabela que relacionasse os valores da variável independente, , com os respectivos

valores da variável dependente, , formando os respectivos pares ordenados .

Desse modo, os pontos de coordenadas e seriam simétricos

relativamente à reta , mostrando que os gráficos das funções e

são simétricos e obtidos um do outro por reflexão na reta .

Gráfico 2: Funções: . Fonte: Dados da Pesquisa

Através da função , de base igual a dois, outras tabelas podem ser

elaboradas a partir da mudança dos valores positivos da base, gerando a relação

, de base . Os valores de inteiros facilitam os cálculos. Para valores

não inteiros de , o estudante poderá usar a calculadora.

A variação nos valores da base, considerando , na função , tem

como princípio mostrar que à medida que a base aumenta, as curvas ficam cada vez

mais assintóticas em relação ao eixo das abscissas.

41

Gráfico 3: Função Exponencial: Fonte: Dados da pesquisa

Tomando pontos fixos de cada figura, os estudantes podem observar, através

dos gráficos, que as áreas correspondentes às faixas de mesma base aumentam à

medida que caminhamos no sentido positivo do eixo dos . Isso quer dizer que a

inclinação do gráfico da função deve crescer com .

A partir dessa análise, Lima (2006) define a Função Exponencial da seguinte

maneira:

seja um número real positivo, que suporemos sempre diferente de 1(um).

A função exponencial de base , , indicada pela notação

, deve ser definida de modo a ter as seguintes propriedades, para quaisquer :

, quando e , quando . (LIMA, 2006, p.178)

Desse modo, para todo número real positivo , diferente de 1 (um), a função

exponencial é sempre positiva, ou seja, a função não possui um valor

máximo, mas tende a um comportamento assintótico próximo de 0 (zero) no domínio

dado, logo a sua inversa é definida como , conforme a figura seguinte.

42

Gráfico 4 : Função Exponencial e Logarítmica: Fonte: Dados da Pesquisa

Segundo Lima (2006):

para todo número real positivo , a função exponencial ;

, é uma correspondência biunívoca entre e , crescente se

, decrescente se , ... , a inversa da Função Exponencial de base é a função , que associa a cada número real positivo o

número real , chamado o logaritmo de na base . (LIMA, 2006, p.190).

A dificuldade em determinar os logaritmos de números reais positivos, usando

a relação , leva-nos a transformar a expressão numa função

potência do tipo , cujos cálculos envolvem somente a potenciação. A

formação dos novos pares ordenados, obtidos pela inversão dos mesmos, originará

uma nova curva, cuja função dada é , ou seja, y é igual ao logaritmo de ,

na base , mostrando a facilidade dos estudantes em trabalhar com a função

logarítmica, a partir dessa transformação. Pode-se associar a Função Exponencial à

sua inversa, ou seja, a Função Logarítmica.

Ao refletirmos o gráfico da função crescente, , definida de ,

em torno da reta , encontra-se uma função crescente do tipo ,

definida de .

Esperamos que os estudantes observassem que os gráficos da curva,

, com a base , variando entre 2, 3 e 4, são curvas logarítmicas, contidas

x

y

43

no primeiro e quarto quadrante, interceptando o eixo no ponto , e que

assume valores positivos para e valores negativos para . Além disso, a

relação, , com , é uma função crescente cujo gráfico deve

apresentar inclinação decrescente, na medida em que a base aumenta.

Desse modo, tomando pontos fixos de cada figura, pode-se observar, através

dos traçados gráficos, que as áreas correspondentes às faixas de mesma base

aumentam à medida que caminhamos no sentido positivo do eixo dos . Isso quer

dizer que a inclinação do gráfico da função deve decrescer com

Gráfico 5: Função Logarítmica Fonte: Dados da Pesquisa

No final da 3ª atividade foi solicitada, aos estudantes a análise dos valores

dos parâmetros que não definem uma Função

Exponencial .

44

1) Se , temos . Complete a tabela e responda:

O gráfico da função acima corresponde a uma reta (constante), a uma

parábola, ou a uma exponencial?


Existem pontos em que a função não está definida?


Existem pontos discretos?

3.5 Quarta Atividade didática

Nessa atividade foram exploradas a definição e a interpretação dos

coeficientes das Funções Exponencial e Logarítmica, com base ( , onde

X - 2 - 1 0 1 2

Y

X - 2 - 1 0 1 2

Y

X - 2 - 1 0 1 2

Y

45

os alunos deveriam:

- Efetuar e representar cálculos numéricos;

- Determinar pares ordenados e representar graficamente as tabelas;

- Relacionar e classificar a curva em estudo com as Funções Exponenciais e

Logarítmicas, na base maior que um;

- Formalizar a lei que descreve a situação em estudo.


habilidades:

- Reconhecer e interpretar as funções;

- Desenvolver a capacidade de analisar, interpretar, prever e generalizar

resultados.


Nessa atividade, mostraremos a definição e a interpretação dos coeficientes

das Funções Exponencial e Logarítmica, com base ( .

O Quadro 4 a seguir apresenta a quarta atividade.

46


X -3 -2 -1 0 1 2 3

Y


X

Y

A tabela formada define uma nova função, “ é igual ao logaritmo de na base 1/2”, isto é,

.

1.1. Considere a função , complete a tabela seguinte de acordo com os valores da base.

X -2 -1 0 1 2

a = 1/2 Y

a = 1/3 Y

a = 1/4 Y

1.2. Plote os valores da tabela acima num sistema de eixos. 1.3. Interpretando o gráfico, responda. a) Dê o domínio e a imagem das funções, usando a notação de intervalos. b) Verifique se há intersecção com os eixos. Em caso afirmativo, determine os pares ordenados. c) As funções são crescentes ou decrescentes? d) Tome alguns valores fixos para , e a partir deles trace segmentos paralelos ao eixo e una estes segmentos. e) O que podemos afirmar em relação à inclinação das curvas? f) Examine o comportamento do gráfico para e . g) Generalize uma condição para a base, verificando o decrescimento de seus valores de modo que a função seja decrescente.

1.4. Preencha a tabela seguinte, invertendo os pares ordenados da função , obtendo a

tabela da função .

a = 1/2 X

Y

a = 1/3 X

Y

a =1/4 X

Y

1.5. Plote, num mesmo sistema de eixos, os valores da tabela construída e responda às questões

a seguir, interpretando o gráfico. a) Dê o domínio e a imagem das funções, usando a notação de intervalos. b) Verifique se há intersecção com os eixos. Em caso afirmativo, determine os pares ordenados. c) As funções são crescentes ou decrescentes? d) Tome alguns valores fixos para e, a partir deles, trace segmentos paralelos ao eixo e una estes segmentos. e) O que podemos afirmar em relação à inclinação das curvas?

47

f) Observando os valores de para crescendo, tendendo a (+) infinito, o que se pode concluir

para ? A função possui um máximo?

g) Observando os valores de para decrescendo, tendendo a (-) infinito, o que se pode concluir para ? A função possui um mínimo? h) Generalize uma condição para a base, verificando o decrescimento de seus valores de modo que a função seja decrescente.



Inicialmente, foi definida a Função Exponencial de base 1/2 (meio), isto é,

, de modo a se obter uma tabela de valores envolvendo as variáveis

representativas e .

A partir da Função Exponencial definida, acima, pretendemos construir uma

tabela que relacionasse os valores da variável independente com os respectivos

valores da variável dependente , formando os respectivos pares ordenados

Desse modo, os pontos de coordenadas e seriam simétricos

relativamente à reta , mostrando que os gráficos das funções e

são simétricos e obtidos um do outro por reflexão na reta .

48

Gráfico 6 : Funções:

Fonte: Dados da Pesquisa

Através da função , de base igual a meio, outras tabelas podem ser

elaboradas a partir da mudança dos valores positivos da base, gerando a relação

, de base . Desse modo, a conveniência de usarmos valores

inteiros, na variável independente , dispensará o uso da calculadora, mostrando as

habilidades dos estudantes em expressar os resultados das potências, seja na forma

de números inteiros seja na forma de números fracionários.

A variação nos valores da base, considerando , na função ,

tem como princípio mostrar que, à medida que a base diminui, as curvas ficam cada

vez mais assintóticas em relação ao eixo das abscissas.

Gráfico 7: Função Exponencial Fonte: Dados da Pesquisa

49

Tomando pontos fixos de cada figura, podemos observar, através dos

traçados gráficos, que as áreas correspondentes às faixas de mesma base

diminuem à medida que caminhamos no sentido positivo do eixo dos . Isso quer

dizer que a inclinação do gráfico da função deve decrescer com .

Desse modo, para todo número real positivo , diferente de 1 (um), a Função

Exponencial é sempre positiva, ou seja, a função não possui um valor

máximo, mas admite um valor mínimo próximo de 0 (zero) no domínio dado,

conforme gráfico anterior, logo a sua inversa é definida como ,

conforme o gráfico seguinte.

A dificuldade em determinar os logaritmos de números reais positivos, usando

a relação, , leva-nos a transformar a expressão, , numa

função potência do tipo , cujos cálculos envolvem somente a potenciação.

A formação dos novos pares ordenados, obtidos pela inversão dos mesmos,

originará uma nova curva, cuja função dada é ou seja, é igual ao

logaritmo de na base (meio), mostrando a facilidade dos estudantes em

trabalhar com a Função Logarítmica. A partir dessa transformação, podemos

associar a Função Exponencial à sua inversa, ou seja, a Função Logarítmica.

Ao refletirmos o gráfico da função , em torno da reta ,

encontra-se uma função decrescente do tipo , definida como

Espera-se que os estudantes observem que os gráficos da curva ,

com a base , variando entre: , são curvas logarítmicas, contidas no

primeiro e no quarto quadrante, interceptando o eixo no ponto , e que

assumindo valores negativos para e valores positivos para . Além disso,

a relação, , com , é uma função decrescente, cujo gráfico deve

apresentar inclinação crescente, à medida que a base aumenta.

Desse modo, tomando pontos fixos de cada figura, podemos observar,

através dos traçados gráficos, que as áreas correspondentes às faixas de mesma

base diminuem à medida que caminhamos no sentido positivo do eixo dos . Isso

quer dizer que a inclinação do gráfico da função deve crescer

com .

50

Gráfico 8 : Funções do tipo: Fonte: Dados da Pesquisa

No final da 4ª atividade, foi solicitado um quadro-síntese das Funções

Exponencial e Logarítmica com a variação dos parâmetros definidoras da Função

Exponencial.

Quadro 5: Síntese das Funções Exponencial e Logarítmica Fonte: Dados da Pesquisa

Função Exponencial:

Base Domínio Imagem Crescente ou Decrescente

Função Logarítmica:

Base Domínio Imagem Crescente ou Decrescente

51

3.6 Quinta Atividade

Nessa atividade foram explorados a interpretação gráfica e o comportamento

das Funções Exponencial e Logarítmica como funções inversas, onde os alunos

deveriam:

- Identificar as Funções Exponenciais e Logarítmicas nas bases: e

;

- Relacionar e classificar as curvas em estudos;

- Formalizar a lei que descreve o comportamento das funções.


habilidades:

- Diferenciar as funções nas respectivas bases;

- Construir e traçar retas a partir, de segmentos formados, tomando-se dois

pontos nas curvas dadas;

- Analisar e prever resultados.


Nessa atividade, mostraremos a interpretação gráfica e o comportamento das

Funções Exponencial e Logarítmica como funções inversas.

O quadro 6 a seguir apresenta a quinta atividade.

1) Dados os gráficos das funções: , , , , e

.

52

Relacione as curvas indicadas pelas letras no gráfico às suas funções: ( ), , , , , .

2) Dado os gráficos das funções:

, , , , e .

x

y

x

y

D

E

F

A

B

C

R

S

T

M

N

P

53

Relacione as curvas indicadas pelas letras no gráfico às suas funções: , , e

.

3) Analisando os gráficos das seguintes funções e , responda:

a) Determine 2 (dois) pares ordenados de uma das curvas. b) Inverta os pares ordenados do item “a”, e verificando se eles pertencem a outra

curva. c) Trace segmentos de reta, unindo os pontos dos pares ordenados aos seus

respectivos inversos. d) Marque, usando uma régua, os pontos médios desses segmentos. e) Una os pontos médios, e obtenha uma curva (reta). f) A reta passa pela origem? g) Determine a equação que melhor representa a curva (reta). h) A reta obtida pertence a qual bissetor? : chamado de bissetor ímpar ou :

chamado de bissetor par. i) Existe simetria entre as curvas? j) Determine o domínio e o contra-domínio das funções representadas no gráfico. k) Sabendo que a troca do domínio de uma função pelo contradomínio da outra é

exigência de obtenção da inversa. Isso acontece? l) Formalize uma expressão para a função analisada e sua inversa (domínio,

contradomínio, lei de formação).

4) Analisando os gráficos das seguintes funções e ,

responda:

x

y

54

a) Determine 2 (dois) pares ordenados de uma das curvas. b) Inverta os pares ordenados do item “a”, verificando se eles pertencem a outra curva. c) Trace segmentos de reta, unindo os pontos dos pares ordenados aos seus respectivos inversos. d) Marque, usando uma régua os pontos médios desses segmentos. e) Una os pontos médios, e obtenha uma curva (reta). f) A reta passa pela origem? g) Determine a equação que melhor representa a curva (reta).

h) A reta obtida pertence a qual bissetor? : chamado de bissetor ímpar ou : chamado de bissetor par.

i) Existe simetria entre as curvas? j) Determine o domínio e o contra-domínio das funções representadas no gráfico.

k) Sabendo que a troca do domínio de uma função pelo contradomínio da outra é exigência de obtenção da inversa. Isso acontece? m) Formalize uma expressão para a função analisada e sua inversa (domínio,

contradomínio, lei de formação).

Associe as Funções Exponenciais e suas respectivas inversas (Funções Logarítmicas) as respectivas bases 2, 3 , 4, 1/2, 1/3 e 1/4 às letras no gráfico seguinte.

x

y

55



Essa atividade tem o intuito de aperfeiçoar os conhecimentos das funções

analisadas nas atividades anteriores, relacionando as Funções Exponencial e

Logarítmica de mesma base como inversas uma da outra, de modo que o estudante

percebesse a simetria entre as curvas em relação à reta , como eixo de

simetria.

A partir do esboço dos gráficos das Funções Exponencial e Logarítmica de

base, os estudantes deveriam relacionar os gráficos às suas

respectivas funções, num mesmo sistema de eixos.

Inicialmente, foram tomados dois pontos de coordenadas pertencentes

a uma das curvas, de modo a verificar se as inversões dos seus pares ordenados

estariam associadas aos pontos da outra curva, ou seja, os valores de e ficam

invertidos. Daí o porquê de inverter por e por .

x

y

R

S

T

M

N

P

A B C D E F

56

Unindo os pontos de aos seus inversos, vários segmentos de reta

paralelos podem ser determinados. Desse modo, ao tomarmos os pontos médios

desses segmentos, deseja-se obter dos estudantes uma reta que passa pela origem,

cuja equação seja , onde os pontos e sejam simétricos, pois

possuem a mesma distância em relação à bissetriz do primeiro quadrante e que os

gráficos de e sejam simétricos em relação a essa bissetriz.

Considerando que o ponto pertence à Função Exponencial

, assim é ponto da Função Logarítmica

. Desse modo, as funções que

possuem gráficos simétricos, em relação à reta , são funções inversas uma da

outra. Assim, a função representada por , será a inversa da função

e vice-versa.

Conforme Paiva (2002), "uma função é invertível se, e somente se,

sua relação inversa de em também é função. As funções são

chamadas de funções inversas entre si". (PAIVA, 2002, p.209)

Assim, para definirmos a inversa de uma função é preciso que cada da

imagem de seja imagem de um único de seu domínio. De acordo com Ávila

(1995), "uma função com domínio e imagem , isto é, .

Diz-se que é invertível se cada elemento provém de um único elemento

em ." (ÁVILA, 1995, p.81)

Através dos gráficos analisados, esperamos que os alunos constatem que o

domínio da Função Exponencial é o conjunto dos números reais e a imagem é o

conjunto dos números reais positivos e, para a Função Logarítmica, tem-se que o

domínio é o conjunto dos números reais positivos e a imagem é o conjunto dos

números reais; o domínio da função exponencial é o conjunto imagem da Função

logarítmica e vice- versa.

Por fim, duas funções que possuem gráficos simétricos em relação à reta

são funções inversas uma da outra. Desse modo, as relações

e

descrevem as situações estudadas, estabelecendo uma relação entre o gráfico da

Função Exponencial e de sua inversa, a Função Logarítmica, bem como a relação

entre as definições dessas duas funções.

57

3.7 Sexta Atividade didática

Nessa atividade, foi explorada a construção gráfica (translações: horizontais e

verticais) das Funções Exponencial e Logarítmica, utilizando um Software

Matemático Winplot, onde os alunos deveriam:

- Construir gráficos das funções Exponencial e Logarítmica, utilizando o

Winplot, com a variação paramétrica;

- Determinar o domínio e o conjunto imagem dessas funções;

- Construir as translações horizontais e verticais dos seus gráficos.


habilidades:

- Trabalhar com recursos de informática;

- Manusear o Winplot, gerando a variação das funções.


Nessa atividade, mostraremos como foi explorada a construção gráfica

(translações: horizontais e verticais) das Funções Exponencial e Logarítmica,

utilizando um Software Matemático Winplot.

58

O Quadro 7 a seguir apresenta a sexta atividade.

Considere a Função Exponencial, definida por

. Com o

auxílio do Winplot, analise as translações horizontais e verticais nas funções a seguir.

1) Seja a função: . Considere

a) Plote, num mesmo sistema de eixos, os gráficos para o valor de “ ’ e “ ”.

b) Usando a notação de intervalo, determine a imagem.

c) Determine os pontos em que as curvas cortam os eixos coordenados.

d) Quando x diminui, o que acontece com as curvas?

e) Quando x aumenta, o que acontece com as curvas?

f) Existe um valor de , para o qual o gráfico das funções se aproximam?

g) O que você pode afirmar para a expressão

h) Nas funções acima há uma translação horizontal ou vertical em relação a ?

Nos próximos enunciados, foi solicitada a mesma interpretação, referente às questões. Já

nos itens “g” e “h” são definidas de acordo com o tipo de função, variando os parâmetros nas

translações:

1) Verticais:

2) Horizontais:

No apêndice é mostrado a atividade completa.


59


O Winplot, basicamente, é um programa feito para plotar gráficos de funções

de uma ou duas variáveis. Ele é um programa pode ser obtido da internet,

gratuitamente, sem a preocupação com pagamento de direitos autorais, com outras

vantagens: é de fácil uso, ocupa pouca memória do computador e o seu manuseio é

de fácil entendimento.

Inicialmente, apresentamos aos alunos uma versão do Winplot, de modo que

pudessem instalar em seus computadores. A partir dessa experiência com o

programa, foi destinada uma aula teórica para explicar alguns comandos e, a seguir,

utilizou-se o Laboratório de Informática do Campus I do CEFET/MG, para que os

alunos, trabalhando em duplas, desenvolvessem as atividades.

Nas atividades anteriores, foram desenvolvidas as habilidades dos

estudantes, no que se refere aos conceitos, às definições, às condições de

parâmetros, à inversão e à construção gráfica das Funções Exponencial e

Logarítmica do tipo: e , para . A partir desse instante,

um esboço simples das curvas foi traçado sem dificuldades.

Com o auxílio do Winplot, esperávamos que os alunos realizassem uma

análise gráfica do comportamento da extensão da Função Exponencial, através dos

esboços dos diversos gráficos e de sua movimentação. Esse fato seria determinante

para a aprendizagem da Função Logarítmica, de modo a contribuir para a

aprendizagem de outras funções, identificando, o domínio, a imagem, o

comportamento das curvas, em relação aos eixos coordenados, e as translações de

modo que as duplas pudessem trabalhar com escalas diferentes nos eixos

cartesianos, possibilitando uma melhor visualização das curvas. Bezerra e Jota

(1994) afirmam que:

a partir do gráfico de uma função é possível construir diretamente

os gráficos das funções do tipo e , dessa maneira

o gráfico de uma função da forma pode ser construído a partir do gráfico de deslocando esse último na direção vertical. Tal

deslocamento é chamado translação do gráfico de . (BEZERRA; JOTA, 1994, p.73)

60

Através da extensão , pretendemos

que os alunos abstraiam dos gráficos a ideia de domínio e de imagem, mostrando

que o domínio independe do valor de , e a imagem, definida no conjunto dos

números reais positivos, seria constante, ou seja, .

Ao adicionarmos uma constante ao expoente da função , as curvas

são assintóticas em relação ao eixo das abscissas, no sentido da direita para a

esquerda, quando , e vice-versa quando , e, à medida que

diminuia, para , e aumentava, para a imagem das curvas tendem a

(0) zero, de modo que os deslocamentos das curvas em relação ao eixo das

abscissas seriam provenientes da variação da constante, deslocando as curvas para

baixo e vice-versa, mostrando que existe interseção das curvas em relação ao eixo

das ordenadas.

Analisando as condições da base, esperamos que os estudantes verificassem

que, para , os gráficos se deslocavam da esquerda para a direita e vice-

versa, para , mostrando que as curvas são também assintóticas em relação ao

eixo das abscissas, gerando uma translação horizontal da extensão em relação à

função .

Gráfico 9: Função do tipo: Fonte: Dados da Pesquisa

y = 2^(x+k); -5.000000 <= x <= 5.000000

61


De maneira semelhante à extensão

apresenta o domínio contido no intervalo e imagens

idênticas em relação à curva , pois elas se mantêm constantes,

devido ao acréscimo da constante a variável e as curvas interceptam o eixo das

abscissas no ponto .

As curvas admitem um comportamento assintótico em relação às retas de

equações , no sentido da direita para a esquerda, para as bases e

, existindo uma translação horizontal da extensão em relação à curva do tipo

.


y = (1/2)^(x+k); -5.000000 <= x <= 5.000000

y = log(2,x+k); -5.000000 <= x <= 5.000000

62

Gráfico 12: Função do tipo:


Ao analisarmos a extensão ,

esperamos que os alunos percebessem que o domínio independe do valor de ,

ou seja, . E a adição de uma constante a função deverá alterar o

conjunto imagem, no intervalo de , de modo que as curvas desloquem

para cima se e para baixo se , mostrando o comportamento assintótico

das curvas em relação à reta de equação , no sentido da esquerda para a

direita, quando e, vice-versa, quando .

As curvas obtidas mostram que existe um ponto de interseção em relação ao

eixo das ordenadas da forma , gerando uma translação vertical da

extensão em relação à curva do tipo .


y = log(1/2,x+k); -5.000000 <= x <= 5.000000

y = k+2^x; -5.000000 <= x <= 5.000000

63


Analisando a extensão ,

deseja-se que os estudantes percebam que o domínio independe do valor de ,

ou seja, , e a adição de uma constante a função altera o

conjunto imagem, na respectiva base.

Ao variarmos o parâmetro , as curvas deslocam-se da direita para a

esquerda, gerando um comportamento assintótico em relação ao eixo das

ordenadas.


y = k+(1/2)^x; -5.000000 <= x <= 5.000000

y = k+log(2,x); -5.000000 <= x <= 5.000000

64

As curvas obtidas mostram que existe um ponto de interseção, em relação ao

eixo das abscissas, tornando-se assintóticas em relação ao eixo das ordenadas,

gerando uma translação vertical da extensão em relação à curva do tipo

.



Conforme , o gráfico de admite uma translação

vertical unidades, “para cima” ou “para baixo”, quando comparado ao gráfico da

função . Para o gráfico de , temos uma translação horizontal em

relação ao gráfico de , para a esquerda ou para a direita.

y = k+log(1/2,x); -5.000000 <= x <= 5.000000

65

4 ANÁLISE DOS RESULTADOS DA APLICAÇÃO DAS ATIVIDADES, QUANTO À

SUA VALIDAÇÃO

4.1 Aplicação

As atividades foram aplicadas em turmas de Ensino Médio-Técnico

Profissional do CEFET/MG, com duração de 1 hora e 30 minutos cada, tanto para os

turnos diurno e noturno, com um contingente de 36 alunos. A sua execução foi

realizada em duplas, visando maior interação entre eles, proporcionando, assim,

uma vasta discussão das perguntas a serem respondidas por eles, sem a

interferência do professor.

4.1.1 Análise das Atividades

A análise da pesquisa ocorrerá de forma qualitativa, através de uma

interpretação, a posteriori, de uma sessão de atividades, cujo conjunto de resultados

que se pode tirar de sua exploração pode ajudar na melhoria dos conhecimentos

didáticos que se têm sobre as condições da transmissão do saber.

4.2 Primeira Atividade

4.2.1 Conteúdo

Exploração do conceito da Função Exponencial, dando ênfase à interpretação

e à resolução de um problema de crescimento vegetativo nas ciências biológicas.

66

4.2.1.1 Categorias de Análise

a) Desenvolvimento de cálculos (tabelas)

As tabelas construídas mostraram uma compreensão bastante significativa,

tanto no aspecto de identificação das variáveis, quanto no desenvolvimento

envolvendo cálculos de medidas.

Os cálculos apresentados mostraram as diferentes técnicas de raciocínios,

utilizadas pelas duplas de estudantes.

Sem o uso da calculadora, a partir dos resultados obtidos, percebe-se que 5%

dos alunos ainda utilizam a ideia de linearidade, ou dobro, e 95% associaram à ideia

de potência.

Quadro 8: Atividade 1.b,c,d Fonte: Dados da Pesquisa

67

b) Interpretação dos conceitos

Os alunos souberam interpretar os conceitos inerentes à atividade,

mostrando uma conduta uniforme no desenvolvimento das unidades de medidas e

na utilização de variáveis dependentes e independentes propícias ao fenômeno

estudado.

A construção da lei de formação, através da descoberta guiada, mostrou um

domínio preponderante das duplas, diante da análise dos resultados obtidos nas

tabelas e dos traçados gráficos, destacando que os alunos absorveram a ideia do

conceito da Função Exponencial.

c) Traçados dos gráficos

Os gráficos obtidos mostraram pontos relevantes, tanto no seu esboço,

quanto na sua construção.

Alguns alunos não possuem em mente o que é esboçar um gráfico, num

espaço de papel, e não sabem dimensioná-lo. Para eles, só existe uma escala de 1

em 1 cm ou de meio em meio.

A partir dessa observação, alguns gráficos mostraram que grande parte dos

alunos entende a linearidade entre os pontos marcados num sistema de

coordenadas cartesianas.

68

Quadro 9: Atividade 1.f Fonte: Dados da Pesquisa

d) Análise dos gráficos

A interpretação gráfica mostrou pontos relevantes, mostrando as dificuldades

encontradas pelas duplas ao fazerem a leitura do gráfico.

Na análise dos gráficos traçados, os alunos não conseguiram expressar

corretamente os valores aproximados da altura da planta no problema de

crescimento vegetativo, o que demonstrou que a construção gráfica é um ponto

decisivo para a interpretação de valores exatos e aproximados.

Devido aos fatores de construção, a leitura de alguns gráficos ficou

comprometida para alguns. Outros estudantes conseguiram mostrar como um

gráfico pode determinar os valores aproximados, pois numa tabela geralmente são

usados números inteiros, relacionando as imagens num intervalo.

69

Quadro 10: atividade 1.f Fonte: Dados da Pesquisa

A partir da visualização gráfica, podem ser determinados valores

aproximados sem o uso da calculadora, o que ocorreu em algumas atividades.

A interpretação gráfica traz o entendimento do fenômeno, proporcionando

ao aluno sua captação e transposição das ideias da linguagem gráfica para a

linguagem escrita.

e) Formalização da Função Exponencial

Diante da ideia de linearidade, algumas duplas expressaram a lei de formação

como uma função do Iº grau, utilizando a ideia de dobro, outras duplas conseguiram

generalizar a expressão correta, como exponencial.

70

Quadro 11: Atividade 1.m Fonte: Dados da Pesquisa

A construção da lei de formação, através de descoberta guiada, mostrou um

domínio preponderante das duplas, através dos resultados obtidos nas tabelas e dos

traçados gráficos, destacando que os alunos absorveram a ideia do conceito da

Função Exponencial.

f) Descrição da linguagem

A linguagem usada nas respostas revelou o entendimento das grandezas

envolvidas, mostrando de forma objetiva a compreensão com o problema em

estudo.

Quadro 12: Atividade 1:g, h, i Fonte: Dados da Pesquisa

71

g) Interpretação do problema

O problema apresentado mostrou como é possível associar conceitos da vida

real, transformando-os em modelos matemáticos, o que mostra o relato de uma

dupla, “A reta gera um crescimento na forma de uma progressão aritmética, e a

curva desconhecida gera um crescimento exponencial na forma de uma progressão

geométrica”. (Fala de aluno do Iº ano)

Quadro 13: Atividade 1:j Fonte: Dados da Pesquisa

4.3 Segunda Atividade

4.3.1 Conteúdo

Exploração do conceito das Funções Exponencial e Logarítmica, dando

ênfase à interpretação e à resolução de um problema de juro composto na

Matemática Financeira.

72


a) Interpretação dos parâmetros e das variáveis

Nessa atividade, foi solicitado mais um item para estudo quanto à variação

dos parâmetros.

A interpretação do problema proporcionou uma discussão bastante

significativa, destacando as possíveis diferenças entre parâmetro e variável.

Através da identificação das variáveis dependente e independente, e dos

parâmetros em estudo, o problema pôde ser equacionado algebricamente.

A análise do parâmetro i (taxa) mostrou que as duplas tinham pouca

habilidade em trabalhar com a taxa unitária, de modo a obter a expressão final para

o cálculo do M (montante), considerando-se M como variável dependente e t como

variável independente.

Na expressão final do montante , as duplas souberam

identificar as variáveis dependente (M) e independente ( , e os parâmetros

em estudo, mostrando que o problema foi entendido, o que resultou no sucesso na

aplicação na atividade no uso da sequência didática.

a) Desenvolvimento de cálculos (tabelas).

Os cálculos mostraram as dificuldades dos alunos em trabalhar com

percentagem. Através dessa análise, a utilização da calculadora gerou uma

simplificação nas operações que poderiam ser resolvidas de maneira simples,

minimizando o esforço mental.

A partir da compreensão do problema, tanto no aspecto de identificação das

variáveis quanto nos cálculos, os alunos tiveram mais habilidades em demonstrar os

seus entendimentos, tanto na parte conceitual quanto na gráfica.

As tabelas construídas mostraram algumas dificuldades encontradas pelos

alunos, tanto no aspecto de formalizar a expressão do montante ,

quanto no desenvolvimento dos cálculos, considerando os valores não exatos, na

medida em que os anos se passavam.

73

A construção das tabelas mostrou a compreensão do uso das variáveis, tanto na

forma direta quanto na inversão dos pares ordenados, onde os alunos souberam

interpretar os conceitos inerentes à atividade, mostrando habilidade no

desenvolvimento.

Quadro 14: Atividade 1:a,...,h. Fonte: Dados da Pesquisa

b) interpretação dos conceitos

Os alunos souberam interpretar os conceitos inerentes à atividade,

mostrando uma facilidade no desenvolvimento das unidades de medidas e na

utilização de variáveis dependentes e independentes propícias ao fenômeno

estudado.

A construção da lei de formação apresentou um domínio preponderante,

mostrando, através dos cálculos, que não ofereceu dificuldade para os alunos. O

que nos leva a concluir que eles dominaram o conceito de Função Exponencial.

c) Traçados dos gráficos

74

Os alunos esboçaram os gráficos dentro das formalidades, melhorando a sua

estética, tanto na utilização de escalas, quanto no traçado das curvas, em relação à

atividade.

A inversão dos valores, nos pares ordenados, formados pelo tempo (t) e o

montante (M), dificultou um pouco a representação gráfica, motivo esse que revelou

algumas dificuldades para as duplas na aplicação de escalas para dimensionamento

de eixos no plano cartesiano.

Trata-se de uma proposição para o entendimento de logaritmo, mas, para os

estudantes, não foi mencionado o conceito de logaritmo. Essa inversão foi

trabalhada na atividade.

Superada essa etapa, observou-se que a construção do gráfico trouxe um

entendimento contínuo na parte de interpretação e no crescimento e decrescimento

da função montante, em reação ao tempo.

Os gráficos obtidos mostraram pontos relevantes, tanto no seu esboço,

quanto na sua construção, o que levou os alunos a não mais entender somente a

linearidade gráfica.

Quadro 15: Atividade 2.n Fonte: Dados da Pesquisa

75

O traçado da bissetriz fez compreender a simetria que existe entre as curvas

obtidas e as relações estabelecidas entre a Função Exponencial e a Função

Logarítmica.

d) Análise dos gráficos

O esboço de alguns gráficos ainda mostrou a ideia de linearidade,

identificando a discrepância dos valores do montante que estavam na faixa de

R$10 000,00 e R$40 000,00, e o tempo, entre zero e 10 (dez) anos, revelando que

os valores das variáveis estabeleciam uma relação bem desproporcional.

As outras duplas utilizaram o recurso do dimensionamento gráfico para traçar

a curva exponencial e a sua inversa, a curva logaritímica, revelando a aprendizagem

ocorrida na atividade 01, criando escalas de valores aproximados para o montante

dentro de intervalos pré-estabelecidos, ou seja, a cada R$5 000,00, corresponderia

a 1 cm, e o tempo de 01(um) em 01(um) cm.

Quadro 16: Atividade 2:k Fonte: Dados da Pesquisa

76

e) Formalização da Função Exponencial

Através da expressão final do montante, , com a variável ,

variando de acordo com o tempo (anos), ou seja, quanto maior o tempo, maior será

o montante.

A análise revelou de forma objetiva os valores simétricos para valores do

montante e do tempo na aplicação de certo capital, mostrando a relação entre as

duas curvas.

f) Descrição da linguagem

A linguagem utilizada pelas duplas foi clara e precisa, mostrando o

entendimento e o emprego das notações usadas na distinção entre variáveis e

parâmetros, o que deixou claro nas respostas dadas às perguntas realizadas.

g) Interpretação do problema

O problema apresentado mostrou como é possível associar conceitos e

situações da vida real, com a matematização de fenômenos.

As perguntas apresentadas nas atividades foram de grande relevância para a

compreensão do conceito e da representação gráfica.

Alguns alunos se destacaram, mostrando, em seus relatos, a concepção e o

entendimento das Funções Exponenciais e Logarítmicas, diante do problema

apresentado de capitalização que é um problema prático da vida real.

77

Quadro 17: Atividade 2:u,v. Fonte: Dados da Pesquisa

4.4 Terceira Atividade

4.4.1 Conteúdo

Nessa atividade, foram exploradas a definição e a interpretação dos

coeficientes das Funções Exponenciais e Logarítmicas, com base (a): a > 1.


a) Cálculo da tabela

As tabelas foram preenchidas de acordo com as funções. Na Função

Exponencial, o desenvolvimento das potências mostrou a compreensão e o

entendimento dos cálculos, envolvendo expoentes negativos, reproduzindo

resultados fracionários, e quando foram utilizadas as bases que variaram de dois a

78

quatro.

Gráfico 18: Atividade 3, 3.1. Fonte: Dados da Pesquisa

A construção das tabelas de base 2, 3 e 4 proporcionou a inversão dos pares

ordenados de forma correta da Função Exponencial para a Logarítmica, cuja lei de

formação resultou na Função Logarítmica , onde variou com a mesma

base da exponencial, isto é, 2, 3 e 4.

79

Quadro 19: Atividade 3.4. Fonte: Dados da Pesquisa

Alguns alunos associaram, além da inversão dos pares ordenados, a

definição de logaritmos, como , reforçando ainda mais a compreensão e o

desenvolvimento das tabelas preenchidas.

b) Traçado e interpretação dos gráficos.

O esboço gráfico mostrou a ideia de representação de uma curva, onde

alguns valores fracionários foram desprezados devido ao conhecimento prévio das

curvas nas atividades anteriores, justificando a visualização gráfica das curvas

exponenciais e logarítmicas.

80


Analisando os gráficos para o campo de definição do domínio e o

contra-domínio ficou bem evidenciado: para a função exponencial , é de

para , e a função logarítmica, de

para .


Diante das análises feitas pelos gráficos, constatou-se que houve uma

compreensão do significado da interseção com os eixos e a ideia de crescimento e

81

decrescimento das funções, e também da proporcionalidade ocorrida nos valores

numéricos das tabelas.

c) Análise de cada parâmetro.

As variações das inclinações das curvas, obtidas através da variação dos

valores da base, foram bem explicadas, revelando que os alunos souberam associar

as ideias de crescimento e decrescimento, com as mudanças dos parâmetros da

base.

d) Comportamento das funções: máximo, mínimo.

Através das imagens das funções: e, as mesmas têm um

comportamento de crescimento ou decrescimento, dependendo dos valores de ,

isto é, uma tendência para o valor zero ou infinito; análise essa que prepara os

estudantes para as noções de limites e interpretações de curvas assintóticas.

82

Quadro 22: Atividade 3.1.4: e, f, g. e 3.1.6: e, f, g. Fonte: Dados da Pesquisa

A determinação desses valores está associada ao domínio e ao

contradomínio, onde as imagens das curvas definidas, dentro dos intervalos,

caracterizam uma tangência em relação aos eixos, isto é, um intervalo aberto se for

usada a notação de intervalo.

e) Generalização

O crescimento das Funções Exponenciais e Logarítmicas está relacionado ao

valor da base, ou seja, para base maior que um, as funções são crescentes.

Algumas duplas não se prenderam a essa informação, buscando outra maneira de

expressar a generalização das funções: , e , destacando situações

de proporcionalidades.

83

Quadro 23: Atividade 3.4.j. Fonte: Dados da Pesquisa

4.5 Quarta Atividade

4.5.1 Conteúdo

Nessa atividade foram exploradas a definição e a interpretação dos

coeficientes das Funções Exponenciais e Logarítmicas, com base (a): 0 < a < 1.


a) Cálculo da tabela

As tabelas foram preenchidas de forma correta, revelando o conhecimento e

84

as habilidades dos alunos em trabalhar com expoente fracionário, tanto na forma

exponencial quanto na logarítmica.

Quadro 24: Atividade 4. Fonte: Dados da Pesquisa

Com o decorrer das atividades, os alunos assimilaram cada vez mais a ideia

de pares ordenados e a obtenção da inversão de seus valores, caracterizando a

inversão das Funções Exponenciais e Logarítmicas. Por esse motivo, a construção

da tabela da Função Logarítmica ficou mais evidenciada, mostrando organização e

compreensão dos cálculos desenvolvidos.


85

b) Traçado e interpretação dos gráficos.

A tabela construída gerou valores inteiros e fracionários que dificultavam sua

representação. Diante dessa situação, algumas duplas se espelharam no traçado

da curva da exponencial e da logarítmica, desprezando alguns valores não

inteiros. Outras usaram uma escala de crescimento de acordo com o crescimento

do denominador.

Na representação gráfica de alguns pontos, houve dificuldade em unir os

pontos que tinham, como coordenadas, valores fracionários e os pontos pareciam

não definir uma curva contínua. Esse motivo levou algumas duplas a cometerem

erros no traçado final, uma vez que as curvas não apresentaram um bom traçado.

Quadro 26. Atividade 4.1.2 Fonte: Dados da Pesquisa

Analisando os gráficos para o campo de definição do domínio e do

contra- domínio ficou bem evidenciado: para a Função Exponencial , foi de

e ·, e a Função Logarítmica , de

e . Desse

modo o domínio de uma função corresponde à imagem da outra função, justificando

a ideia de função inversa, onde o domínio de uma função é a imagem da sua

inversa.

86

c) Análise do parâmetro .

O parâmetro , analisado na Função Exponencial, , mereceu destaque

em três situações.

1) Se , temos a função constante, essa situação abordada

não apresentou problemas, pois os alunos souberam calcular e analisar essa

função, que reproduziu um valor constante. Algumas duplas já conheciam essa

função desde o ensino fundamental.

2) Se , nesse caso, houve alguns erros, alguns alunos

persistiam no cálculo que zero, elevado a um número negativo, reproduzia o mesmo

resultado que zero elevado a um número positivo.

3) Se , temos , onde os resultados das potências foram os

valores inteiros de -1 e 1 valores discretos, cuja representação são pontos isolados.

Quadro 27. Analise final da atividade 3. Fonte: Dados da Pesquisa

De maneira análoga, à função logarítmica , além de ser a inversa da

Função Exponencial, tinha algumas restrições, que chamamos de condições de

87

existências, como: , e ou

A compreensão das análises gráficas contribuiu para o entendimento das

condições que as bases das Funções Exponenciais e Logarítmicas podem assumir,

desse modo se , as funções , e , com são crescentes e,

em , as funções , e , com são decrescentes.

d) comportamento das funções: máximo, mínimo.

O esboço gráfico revelou que as funções não admitiam um valor mínimo ou

máximo, devido ao fato de elas possuírem uma relação assintótica em relação a um

dos eixos.

e) Generalização

Ao finalizar a quarta atividade, os alunos expressaram de forma correta a

condição para a base, tanto para Funções Exponenciais quanto para as

Logarítmicas. A percepção que as duplas tiveram, a respeito do parâmetro ,

mostrou o quanto os estudantes entenderam a relação que existia entre as bases e

o crescimento / decrescimento das funções, conforme o quadro seguinte.

Quadro 28. Analise final da atividade 4. Fonte: Dados da Pesquisa

Decrescente Decrescente

Crescente Crescente

88

4.6 Quinta Atividade

4.6.1 Conteúdo

Nessa atividade, foram explorados a interpretação gráfica e o comportamento

das Funções Exponenciais e Logarítmicas como funções inversas.


a) Interpretação das funções

Foram analisadas duas situações: na primeira, as duplas relacionaram as

curvas às suas leis de formação, mostrando a compreensão dos alunos para as

funções exponenciais e logarítmicas, nas bases: e depois para .

Quadro 29: Atividade: 5.1. Fonte: Dados da Pesquisa

89

Na segunda, os alunos identificaram os gráficos traçados num único sistema

cartesiano às suas respectivas funções, mostrando as diferenças existentes nas

Funções Exponenciais e Logarítmicas em relação às bases dadas.

Quadro 30: Atividade: 5.2. Fonte: Dados da Pesquisa

Quadro 31: Identificação das funções da atividade 5. Fonte: Dados da Pesquisa

90

b) Construção do eixo de simetria, utilizando o gráfico das funções inversas

Para obter a função inversa, os estudantes buscam recursos na álgebra, o

que proporciona um processo árduo, em alguns casos, através de uma sequência

didática como: isola-se a variável dependente, trocam-se as variáveis de posição, ou

seja, quem é vira , e vice-versa, finalmente escreve-se “ ” em função de “ ”.

Diante dessa situação, como traçar o gráfico de uma inversa sem usar o

procedimento algébrico?

Por esse motivo, foi sugerida uma sequência didática, utilizando a geometria,

de modo a justificar o método da inversão de uma função, passando por caminhos

que despertassem o entendimento algébrico da função inversa.

Inicialmente, as duplas associaram os pares ordenados das funções: ,

na base: e , na base: , aos pares inversos, formados

pela troca das coordenadas cartesianas, pertencentes às curvas das funções:

, e .

A partir dessa analise, os pontos dos pares ordenados obtidos, determinaram

vários segmentos de reta paralelos, onde a união de todos os pontos médios

determinava uma reta contendo a origem, gerando o eixo de simetria.


91

A sequência de passos, estabelecidos na atividade, cada vez mais

despertava grande interesse das duplas, o que era justificado nas respostas e

comprovado nos traçados gráficos, usando a geometria plana.


No item “i”, proposto na análise gráfica, a afirmativa que existe simetria entre

as curvas foi objetiva, revelando que, num plano, a simetria de duas figuras em

relação a uma reta pode ser entendida intuitivamente da seguinte forma: dobrando o

plano, em relação à reta, pertencente ao bissetor ímpar, tais figuras coincidem uma

sobre a outra.

A formalização das ideias mostrou o quanto eles estavam atentos às

perguntas, pois, pelas respostas, notamos que houve interação da análise das

figuras com as questões levantadas.

Através desses procedimentos, os alunos compreenderam e souberam

relacionar as funções quanto à sua inversa, revelando a importância do método

gráfico para obtenção e para compreensão da função inversa.

92

Quadro 34: Analise das Funções. Fonte: Dados da Pesquisa

c) Generalização

Os estudantes verificaram que os pontos de coordenadas pertencem à

curva da função, , de base , assim os pontos de coordenadas

pertencem a curva da função inversa, , em relação à reta ,

justificando a simetria das curvas em relação à reta.

De maneira análoga à função, , de base , gerou a

função inversa . Através das análises feitas, as funções:

são simétricas em relação à reta , justificando que o domínio de uma função é

o contra-domínio da sua inversa.

4.7 Sexta Atividade

4.7.1 Conteúdo

Nessa atividade, foi explorada a construção gráfica (translações: horizontais e

verticais) das Funções Exponencial e Logarítmica, utilizando um software

matemático (Winplot).

93


1) Interpretação dos termos: “ ” e “ ”, para a Translação Vertical, utilizando as

bases:

a) Função Exponencial

A partir da Função Exponencial , cuja base é sempre positiva, isto é,

qualquer que seja , tem-se logo o conjunto imagem de é . Os

alunos em duplas analisaram uma extensão da Função Exponencial do tipo:

e .

Ao analisar a situação , e, , as duplas constataram que a

variação do parâmetro transladava a curva de unidades, deslocando para cima

ou para baixo em relação à curva do tipo: .


94

Os estudantes detectaram que, quando diminuia, as curvas se

aproximavam do valor de , e para , tendendo a mais infinito, as curvas se

tornavam cada vez mais paralelas entre si, e o conjunto imagem definido de .

Através da recursividade, do Winplot, as duplas constataram que as

translações, geradas na função exponencial do tipo , determinavam o par

ordenado , logo a Função Exponencial , e admitia

uma translação vertical, em relação a função ·, acrescida de unidades para

cima ou para baixo.

De modo semelhante, a função exponencial , e

apresentava uma translação vertical e, no instante que o valor de aumentava, as

curvas se aproximavam do valor de , tornando-se paralelas entre si.


Através da leitura gráfica, as duplas perceberam que a imagem estava

definida no intervalo de e o par ordenado era o ponto de interseção

das curvas com o eixo das ordenadas (eixo y).

95

b) Função Logarítmica

Como é inversível, as curvas traçadas no Winplot mostraram uma

semelhança com a Função Exponencial analisada anteriormente. Por esse motivo, a

função logarítmica e assumia valores positivos

para o seu domínio, fato esse comprovado graficamente pelos estudantes.


Nas considerações feitas pelas duplas, as curvas interceptavam o eixo

horizontal, determinando os pontos de interseções, assim a variação do valor da

constante , proporcionava uma aproximação das curvas em relação ao eixo vertical

e, na medida em que os valores de aumentavam, as curvas tendiam a um valor

( infinito, dependendo do comportamento da base, ou seja, se , o valor da

imagem tendia para (+ e, se , para (-

96



Outra observação apontada foi que a translação vertical não modificava o

domínio da função.

Portanto, as Funções Exponenciais e Logarítmicas ,

de bases , admitem uma translação vertical em relação às funções

e , devido à adição de uma constante nas funções.

2) Interpretação dos termos: “ ” e “ ”, para a Translação Horizontal, utilizando as

bases: .

a) Função Exponencial

A função exponencial , com , isto é, qualquer que seja ,

tem-se , diante dessa observação, os alunos analisaram a seguinte extensão

do tipo: .

Inicialmente, as curvas interceptavam o eixo vertical, em pontos distintos, e o

deslocamento das curvas, para a cima ou para baixo, estava associado ao aumento

ou à diminuição do parâmetro , em relação à curva do tipo .

97

As analises feitas no gráfico revelaram que:

a.1) Na base , se o valor de diminuía, as curvas se aproximavam da

reta horizontal, ou seja, os valores da imagem tendiam a zero e, à medida em que

aumentava, as curvaturas (os estudantes desconheciam o termo curvatura,

declarando sobre a abertura, ou a inclinação das curvas) das curvas aumentavam

na medida em que o parâmetro diminuía, de modo que os valores das imagens

das curvas tendiam ao infinito.


a.2) Na base se o valor de aumenta, as curvas se aproximam da

reta horizontal, ou seja, as curvas tendiam ao valor 0 (zero), à medida em que

diminuía, as curvaturas das curvas aumentavam à medida em que o parâmetro

aumentava, e os valores das imagens das curvas tendem ao infinito.

98


b) Função Logarítmica

Como as considerações feitas para a Função Exponencial se assemelham à

Função Logarítmica do tipo: , os intervalos

e correspondem ao domínio e o ponto de interseção.

Outra colocação feita pelos estudantes mostrou que, quando os valores de

aumentavam, as curvas se afunilavam cada vez mais a um valor fixo positivo e,

quando diminuía, as curvas tornavam-se assintóticas.

Os alunos desconheciam esta terminologia matemática, expressando que as

curvas tendiam a ficar paralelas às retas verticais de equação .

99


Também foi analisada a condição: , sendo: ] o valor do

domínio,e , o ponto de interseção com o eixo horizontal, logo as curvas

ficavam assintóticas em relação a reta na medida que os valores de

diminuía.

100



Na função logarítmica: , de bases , existe

uma translação horizontal em relação à função: , devido à adição de uma

constante a variável , com o domínio definido no intervalo .

Portanto, as Funções Exponenciais e Logarítmicas,

de bases admitem uma translação horizontal em

relação às funções e , devido à adição de uma constante ao

expoente da função exponencial e à variável, na função logarítmica, de modo que a

imagem é positiva nas funções do tipo .

101

5 CONSIDERAÇÕES FINAIS

O objeto de estudo desta dissertação se fez em duas dimensões: (1)

conceituação da Função Exponencial e Logarítmica, (2) representação gráfica

dessas mesmas funções para explorar o seu comportamento.

Para o trabalho do conceito da Função Exponencial e Logarítmica, na busca

de significados e do entendimento pelo estudante por meio da análise de situações

em contexto, tomamos a metodologia de resolução de problemas

Para a representação e interpretação gráfica, fizemos a variação dos

parâmetros definidores das funções em estudo, especialmente, das bases

exponencial e logarítmica, para a análise do comportamento das funções quanto ao

crescimento e ao decrescimento, as simetrias, ao domínio e imagem.

Para o estudo dos gráficos das funções relativamente à translação horizontal

e vertical, foi utilizado o software winplot, que permite a movimentação das curvas e

a melhor análise das suas propriedades.

Enfatizamos a relação das duas funções quanto à sua inversão, isto é, a

Função Exponencial inversa da Logarítmica, e a Logarítmica inversa da

Exponencial.

A metodologia usada na elaboração e desenvolvimento das atividades, nas

quais se tem variadas perguntas, levou o estudante a questionamentos para

orientação de seu estudo de forma atuante e participativa, como agente de sua

aprendizagem.

A Informática Computacional agregou valor a situações de aprendizagem, se

o recurso do software é explorado na possibilidade de se fazer uma atividade

dinâmica do processo ensino/aprendizagem, buscando maior interação do estudante

na aula, seja com conteúdo, seja com o próprio colega na discussão e análise de

resultados. Essa foi a abordagem dada nesta dissertação.

Ao aplicar as atividades, foi possível avaliar um bom desempenho dos

estudantes quanto a compreensão dos conceitos e do comportamento exponencial e

logarítmico, que difere das funções lineares ou polinomiais, por exemplo, com suas

características peculiares, para representar fenômenos com modelos típicos da

representação de uma Função Exponencial ou Logarítmica, como crescimento

102

populacional ou variação de juros, ambas situações exploradas nas atividades

desenvolvidas.

No Apêndice, tem-se um “Caderno de Atividades” com algumas

reformulações em relação aquelas que foram aplicadas, mas a essência

metodológica e de conteúdo foram mantidas bem como os objetivos propostos para

a compreensão conceitual e de comportamento das funções estudadas.

103

REFERÊNCIAS

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http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/CienciasNatureza.pdf

104

FRIENDLANDER, Alex; HADAS, Nurit. Ensinado valor absoluto numa abordagem em espiral. In: DOMINGUES, Hygino H. . As idéias da Álgebra. São Paulo: Atual, 1995. Cap. 29, p. 244-254. GENTIL, Nelson et al. Matemática: para o 2º grau: livro do professor. 4. ed. São Paulo: Ática, 1992. 3v. v.1. GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto. Matemática: Uma nova abordagem. São Paulo: FTD, 1992. v.1. LAUDARES, João Bosco. Alguns Equívocos Docentes no Uso da Matemática em Cursos de Engenharia. Educação em Questão, Natal/RN, v.19, n. 5, jan./abr., p. 55-68. 2004. LIMA, Elon Lages et al. A matemática do Ensino Médio. 9. ed. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, 2006. nv. (Coleção do professor de matemática) LIMA, Elon Lages. Sistema de Logaritmos. Revista do Professor de Matemática - SBM, n. 18, 1º sem. p.24-36. 1991. MIRANDA, Dimas Felipe de; LAUDARES, João Bosco. Informatização no Ensino da Matemática: Investindo no Ambiente de Aprendizagem. Zetetiké, Campinas - SP, v.15, n. 27, jan., jun., p. 71- 88, 2007. PAIVA, Manoel. Matemática: Conceitos, Linguagem e Aplicações. São Paulo: Editora Moderna, 2002. v.1. POLYA, G. A Arte de Resolver Problemas. Rio de Janeiro: Editora Interciência, 1995. PONTE, João Pedro da; BROCARDO, Joana; OLIVEIRA, Hélia. Investigações Matemáticas na Sala de Aula. Belo Horizonte: Editora Autêntica, 2003. POZO, Juan Ignácio. A Solução de Problemas: Aprender a Resolver, Resolver para Aprender. Porto Alegre: Editora Artmed, 1998, p.87. SILVA, Fernando Tavares, Análise do Processo de Argumentação e Prova em

105

Relação ao Tópico Logaritmos, Numa Coleção de Livros Didáticos e Numa Sequência de Ensino. 2007. Dissertação (Mestrado)- Pontifícia Universidade de São Paulo SMOLE, Kátia Stocco; DINIZ, Maria Ignez, Matemática: Ensino Médio. São Paulo: Editora Saraiva, 2003. 3 ed.,v.1. ZABALA, Antoni. A Prática Educativa: como ensinar. Porto Alegre: Artmed, 1998. 224p. (Biblioteca Artmed. Fundamentos da educação) Cap. 3, p.17-19; 53-87.

106

APÊNDICE

107

APÊNDICE A (ATIVIDADES REFORMULADAS) - CADERNO DE ATIVIDADES

INVESTIGATIVAS

ABORDAGEM DAS FUNÇÕES EXPONENCIAL E LOGARÍTMICA

NUMA PESPECTIVA CONCEITUAL E GRÁFICA NO ENSINO MÉDIO

Mestrando: José Geraldo de Araújo Pereira

Orientador: Prof. Dr. João Bosco Laudares

2010

109

1ª ATIVIDADE

Nessa atividade, será explorado o conceito da Função Exponencial, dando

ênfase à Ciência Biológica (crescimento vegetativo), envolvendo o crescimento de

uma planta.

O Quadro a seguir apresenta a primeira atividade.

Se a altura de uma planta dobra a cada mês, durante um certo período de sua vida, supondo que

sua altura inicial é de 1 cm, então:

a) Qual o valor da altura para o instante inicial?

b) Qual é a altura da planta ao final do 1º mês e, sucessivamente, no final do 2º até o 10º mês?

c) Identifique a variável dependente e independente em estudo e dê nome para elas?

d) Construa uma tabela que represente essa situação.

e) Plote, no sistema de eixos, os dados da tabela construída, indicando a variável dependente

na vertical e a independente na horizontal.

f) Una os pontos.

g) Interpretando o gráfico, dê um valor aproximado para:

a) 2,5 meses. b) 4 meses e 10 dias. c) 5 meses e 20 dias.

h) A curva obtida no item ”f” corresponde a uma função

a) do Iº grau (cujo gráfico é uma reta). b) do IIº grau (uma parábola).

c) uma curva desconhecida.

i) As grandezas envolvidas são proporcionais? Justifique?

j) O gráfico é uma função crescente ou decrescente? Justifique?

k) Repita “o gráfico construído no item ”f” e trace uma reta crescente que tangencia a curva a

partir do ponto inicial. O que você conclui a respeito do crescimento da reta e da curva?

l) Existe um valor extremo num determinado ponto do gráfico (mínimo ou máximo)?

m) Formalize, usando as variáveis nomeadas, uma lei de formação que melhor se ajuste ao

gráfico. A relação encontrada é denominada “Função Exponencial”. (cujo gráfico é uma curva

exponencial).

110

2ª ATIVIDADE

Nessa atividade, será explorado como as Funções Exponencial e Logarítmica

são aplicadas em problemas de Economia e de Finanças, nomeadamente no cálculo

dos "juros compostos".

O Quadro a seguir apresenta a segunda atividade.

Uma pessoa deposita em um banco a quantia de R$10.000,00 durante 10 anos, a uma taxa de 12% ao ano e podendo sacar a qualquer momento, isto é, o capital mais juros: denominado de Montante. Mediante informações prestadas pela instituição Financeira, o valor a ser resgatado em qualquer instante obedece a seguinte lei de formação: , onde as variáveis correspondem ao montante, o capital empregado, a taxa unitária e o tempo da aplicação. Analisando os dados da situação financeira, responda: a) Verifique se a lei de formação tem 04(quatro) grandezas representadas por quatro

letras, duas variáveis e dois parâmetros.

b) Identifique a variável independente?

c) Identifique a variável dependente?

d) Qual é o valor do capital inicial?

e) Qual o capital aproximado a receber (capital acumulado) no final do 1º, 2º, 3º, 4º,

5º, 10º ano?

f) E ao fim de t anos?

g) No item “f”, ao escrever a fórmula, encontra-se uma relação envolvendo quantas

grandezas?

Quais letras as representam? As outras grandezas são constantes?

h) Que condição devemos impor a ? Justifique?

i) Construa uma tabela, que represente a situação de item “e”.

j) Plote no sistema de eixos os dados da tabela construída, indicando a variável

independente na horizontal e dependente na vertical, unindo os pontos.

k) A curva obtida no item ”j” corresponde a que tipo de uma função?

l) Construa uma nova tabela, invertendo os pares ordenados do item ”i”.

m) Plote no sistema de eixos os pares obtidos, com as novas coordenadas, una os

Pontos e trace o gráfico.

n) Repita os dois gráficos obtidos, num mesmo sistema de eixos.

o) Trace a bissetriz do Iº quadrante.

p) Tome 05(cinco) pontos dessa bissetriz, e trace retas perpendiculares à bissetriz, até

111

interceptar as curvas.

q) O que você pode conclui em relação às duas curvas?

r) Formalize usando as variáveis nomeadas uma lei de formação que melhor se ajusta

ao gráfico. A relação encontrada é a “função Exponencial”, e o gráfico cujas

coordenadas foram mudadas de posição define uma nova função, a “função

Logarítmica”, denominada curva logarítmica.

s) As curvas obtidas são proporcionais? Justifique?

t) O gráfico da função exponencial é crescente ou decrescente, e o da logarítmica?

Justifique?

u) Como se comportam as duas curvas quanto ao crescimento ou ao decrescimento?

v) Qual curva cresce mais rapidamente com o tempo aumentando?

w) Se a sua dívida cresce exponencialmente e os seus rendimentos com o Logaritmo.

O que você pode concluir?

x) Se a sua dívida cresce como o logaritmo e os seus rendimentos como a

Exponencial. O que você pode concluir?

112

3ª ATIVIDADE


coeficientes das Funções Exponencial e Logarítmica, com base ( .

O quadro a seguir apresenta a terceira atividade.


X -3 -2 -1 0 1 2 3

Y


X

Y

“A tabela formada define uma nova função, “y é igual ao logaritmo de x na base 2”, isto é,

1.1. Considere a função , complete a tabela seguinte de acordo com os valores da base.

X -2 -1 0 1 2

a = 2 Y

a = 3 Y

a = 4 Y

1.2. Plote os valores da tabela acima num sistema de eixos. 1.3. Interpretando o gráfico, responda.

1.4. Interpretando o gráfico, responda.

a) Dê o domínio e a imagem das funções, usando a notação de intervalos.

b) Verifique se há intersecção com os eixos. Em caso afirmativo, determine os pares

ordenados.

c) As funções são crescentes ou decrescentes?

d) Tome alguns valores fixos para e, a partir deles, trace segmentos paralelos ao eixo e

una estes segmentos.

e) O que podemos afirmar em relação à inclinação das curvas?

f) Examine o comportamento do gráfico para e .

g) Generalize uma condição para a base, verificando o crescimento de seus valores de

modo que a função seja crescente.



a = 2 X

Y

113

a = 3 X

Y

a = 4 X

Y

1.6. Plote, num mesmo sistema de eixos, os valores da tabela construída e responda às

questões a seguir, interpretando o gráfico.



ordenados.


d) Tome alguns valores fixos para , e a partir deles trace segmentos paralelos ao eixo e



f) Observando os valores de para crescendo, tendendo a (+) infinito, o que se pode

concluir

para ? A função possui um máximo?


concluir para ? A função possui um mínimo?

h) Generalize uma condição para a base, verificando o crescimento de seus valores de modo

que a função seja crescente.

114

4ª ATIVIDADE


coeficientes das Funções Exponencial e Logarítmica, com base ( .

O quadro a seguir apresenta a quarta atividade.


X -3 -2 -1 0 1 2 3

Y


X

Y

“A tabela formada define uma nova função, “y é igual ao logaritmo de x na base 1/2”, isto é .

1.1) Considere a função , complete a tabela seguinte de acordo com os valores da base.

X -2 -1 0 1 2

a = 1/2 Y

a = 1/3 Y

a = 1/4 Y

1.2. Plote os valores da tabela acima num sistema de eixos.

1.3. Interpretando o gráfico, responda.


b) Verifique se há intersecção com os eixos. Em caso afirmativo, determine os pares ordenados.





f) Examine o comportamento do gráfico para e .

g) Generalize uma condição para a base, verificando o decrescimento de seus valores de

modo que a função seja decrescente.



a = 1/2 X

Y

a = 1/3 X

Y

a = 1/4 X

115

Y

1.5. Plote, num mesmo sistema de eixos, os valores da tabela construída e responda às

questões

a seguir, interpretando o gráfico.



ordenados.





f) Observando os valores de para crescendo, tendendo a (+) infinito, o que se pode

concluir para ? A função possui um máximo?


concluir para ? A função possui um mínimo?

h) Generalize uma condição para a base, verificando o decrescimento de seus valores de

modo que a função seja decrescente.

116

5ª ATIVIDADE

Nessa atividade, serão explorados a interpretação gráfica e o comportamento

das Funções Exponencial e Logarítmica como funções inversas.

O quadro a seguir apresenta a quinta atividade.

1) Dados os gráficos das funções: , , , , .

Relacione as curvas indicadas pelas letras no gráfico às suas funções:

( ), , , , , .

2) Dado os gráficos das funções:

, , , , e .

x

y

D

E

F

A

B

C

117

Relacione as curvas indicadas pelas letras no gráfico às suas funções:

,

,

e .


x

y

x

y

R

S

T

M

N

P

118

n) Determine 2 (dois) pares ordenados de uma das curvas.

o) Inverta os pares ordenados do item “a”, e verificando se eles pertencem a outra curva.

p) Trace segmentos de reta, unindo os pontos dos pares ordenados aos seus respectivos

inversos.

q) Marque, usando uma régua, os pontos médios desses segmentos.

r) Una os pontos médios, e obtenha uma curva (reta).

s) A reta passa pela origem?

t) Determine a equação que melhor representa a curva (reta).

u) A reta obtida pertence a qual bissetor? : chamado de bissetor ímpar ou : chamado

de bissetor par.

v) Existe simetria entre as curvas?

w) Determine o domínio e o contra - domínio das funções representadas no gráfico.

x) Sabendo que a troca do domínio de uma função pelo contradomínio da outra é exigência

de obtenção da inversa. Isso acontece?

y) Formalize uma expressão para a função analisada e sua inversa (domínio, contradomínio,

lei de formação).


a) Determine 2 (dois) pares ordenados de uma das curvas.

x

y

119

b) Inverta os pares ordenados do item “a”, verificando se eles pertencem a outra curva.

c) Trace segmentos de reta, unindo os pontos dos pares ordenados aos seus respectivos

inversos.

d) Marque, usando uma régua os pontos médios desses segmentos.

e) Una os pontos médios, e obtenha uma curva (reta).

f) A reta passa pela origem?

g) Determine a equação que melhor representa a curva (reta).

h) A reta obtida pertence a qual bissetor? : chamado de bissetor ímpar ou : chamado

de bissetor par.

i) Existe simetria entre as curvas?

j) Determine o domínio e o contra - domínio das funções representadas no gráfico.

k) Sabendo que a troca do domínio de uma função pelo contradomínio da outra é exigência

de obtenção da inversa. Isso acontece?

l) Formalize uma expressão para a função analisada e sua inversa (domínio, contradomínio,

lei de formação).

Associe as Funções Exponenciais e suas respectivas inversas (Funções Logarítmicas) as

respectivas bases 2, 3, 4, 1/2, 1/3 e 1/4 às letras no gráfico seguinte.

x

y

R

S

T

M

N

P

A B C D E F

120

6ª ATIVIDADE

Nessa atividade, será explorada a construção gráfica (translações: horizontais

e verticais) das Funções Exponencial e Logarítmica, utilizando um Software

Matemático Winplot.

O quadro a seguir apresenta a sexta atividade.

A) Considere a Função Exponencial, definida por

. Com o auxílio

do Winplot, análise as translações horizontais e verticais nas funções a seguir.


a) Trace os gráficos das funções , utilizando um mesmo sistema

de eixos.



d) Quando diminui, o que acontece com as curvas?

e) Quando aumenta, o que acontece com as curvas?

f) Existe um valor de para o qual o gráfico das funções se aproxima?

g) O que você pode afirmar para a expressão ?

h) Nas funções acima, há uma translação horizontal ou vertical em relação a ?


a) Trace os gráficos das funções , utilizando um

mesmo sistema de eixos.





f) Existe um valor de para o qual o gráfico das funções se aproxima?



3) Seja a função .. Considere

a) Trace os gráficos das funções: , utilizando um mesmo

sistema de eixos.




121


f) Existe um valor de , para o qual o gráfico das funções se aproxima?




a) Trace os gráficos das funções , utilizando um









B) Considere a função logarítmica, definida por

. Com o

auxílio do Winplot, analise as translações horizontais e verticais nas funções a seguir.

1) Seja a função . Considere:

a) Trace os gráficos das funções , e , utilizando um


b) Determine o domínio, usando a notação de intervalo.






h) Nas funções acima há uma translação horizontal ou vertical, em relação a ?

2) Seja a função .Considere:

a) Trace os gráficos das funções , e , utilizando

um mesmo sistema de eixos.





122




3) Seja a função . Considere:

a) Trace os gráficos das funções , e , utilizando um









4) Seja função . Considere:

a) Trace os gráficos das funções , e ,

utilizando um mesmo sistema de eixos.








abordagem das funções exponencial e logarítmica numa ...

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