Aceleração da Gravidade por Pêndulo

8/18/2019 Aceleração da Gravidade por Pêndulo

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SUM3RIO

,- INTRODU./O0- FORMULA./O TE1RICA

2-, P&ndu"o s!$%"#s

2-0 R#s!st&n'!a do ar 2-+ Mo3!$#nto do %#ndu"o 'o$ a r#s!st&n'!a do ar 2-4 So"ução $at#$5t!'a2-2 S!$%"!6!'aç7#s

+- MATERIAIS4- M8TODOS2- RESULTADOS E DISCUSS/O

2-, R#su"tados2-0 An5"!s# dos r#su"tados

9- CONCLUS/O

:I:LIOGRAFIA

ANE;OS


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1. INTRODUÇÃO

A lei da gravitação de Newton[1.1] afrma !e entre !ai"!er doi"#or$o" %& !ma 'orça de atração !e ( $ro$or#ional ao $rod!to da" ma""a"do" doi" #or$o" e inver"amente $ro$or#ional ao !adrado da" ma""a" do"

doi" #or$o" [1]. A "eg!nda lei de Newton demon"tra !e a 'orça re"!ltanteem !m #or$o ( ig!al ) "!a ma""a m!lti$li#ada $ela a#eleração. Um #or$otendo #omo *ni#a 'orça at!ante a gravidade+ o! $e"o+ tem #omo m,d!lo da'orça "!a ma""a m!lti$li#ada $ela a#eleração da gravidade g.

Um fo leve e ine-ten"vel de #om$rimento L+ tendo na e-tremidadein'erior+ $or e-em$lo+ !ma e"'era de ma""a m ( denominado #omo !m$/nd!lo "im$le"0 a e-tremidade "!$erior do deve e"tar f-ada em !m $ontotal !e ele $o""a o"#ilar livremente #om am$lit!de" $e!ena"+ #omo $ode"er vi"to na ig!ra 1.

Figura 1 - Pêndulo simples e as forças que atuam sobre a esfera de massa

m

2!ando o $/nd!lo ( de"lo#ado de "!a $o"ição de e!il3rio+ ele o"#ila"o3 a ação da 'orça $e"o e da tração no fo F t #om !m $erodo T +a$re"entando !m movimento %arm4ni#o [1.5]. Atrav(" da o3"ervação do

movimento do $/nd!lo+ torna6"e $o""vel determinar a a#eleração dagravidade.

A a#eleração gravita#ional da terra $o""!i di'erente" valore"+ o" !ai"variam #om a altit!de e #om a latit!de. O o37etivo de"te tra3al%o ( medir ovalor lo#al da a#eleração da gravidade [1.8] e #om$ar&6lo #om o valor dagravidade da engen%aria [1.9]+ de modo a validar o! não o "e! !"o [1.:].

Tam3(m "er& #om$arado #om a a#eleração da gravidade $adrão no lo#al[1.9]+ de 'orma a validar o" re"!ltado" en#ontrado" [1.:]. ;"t!do" "o3re aa#eleração da gravidade e movimento %arm4ni#o $odem "er en#ontrado"na re'er/n#ia [1]+ ol!me 1+ 9?edição+ de @a!l A. Ti$ler [1.].


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Uma 'orm!lação di'eren#ial ( !tiliBada $ara #al#!lar o valor de g,en#ontrando !m valor a$ro-imado dele [C.5]. O" #&l#!lo" "ervirão de 3a"e$ara defnir o valor e-$erimental da a#eleração gravita#ional [C].

a!i #on"iderada a 'orça da re"i"t/n#ia do ar no e-$erimento+entretanto o atrito do fo não "er& anali"ado. A ma""a m 'oi idealiBada #omo!ma e"'era $er'eita #om o #entro de ma""a em "e! #entro+ e o fo #omo"endo ine-ten"vel. Não "er& anali"ado a inE!/n#ia da variação da"dimen"Fe" da ma""a "!"$en"a+ do #om$rimento do fo+ do Gng!lo deo"#ilação e nem da vi"#o"idade do E!ido onde o e-$erimento ( realiBado.A$ro-imo!6"e o "eno de H #omo H [C.5.5]. A" vari&vei" de maior intere""ene"te e-$erimento "ão o #om$rimento do fo + o $erodo de o"#ilação T e a$r,$ria a#eleração da gravidade [C.8].

O $ro#e""o e-$erimental #on"i"te em montar o $/nd!lo "im$le"+dei-ar !e o"#ile e !antif#ar o $erodo a $artir da de !m n*mero e"#ol%idode o"#ilaçFe". D!a" tentativa" de realiBar o $ro#edimento e-$erimental

'oram realiBada"+ o#orrendo mel%oria" na !antidade de $erodo" !tiliBado"$ara realiBar "!a m(dia [C.9] e de !ma maior atenção ao medir o#om$rimento do fo. O de"envolvimento do tra3al%o a#onte#e! $or eta$a"+em !e 'oi e"t!dado a 'orm!lação te,ri#a+ o modelo matem&ti#o en!m(ri#o+ determinação de materiai" e m(todo" e redação fnal de"te te-to[J].

Kon"tam ne"te relat,rio a 'orm!lação te,ri#a do $ro3lema+ a "ol!çãomatem&ti#a e"timada+ materiai" e m(todo" !tiliBado"+ re"!ltado"e-$erimentai" #om an&li"e da" in#erteBa" e a #on#l!"ão geral do tra3al%o. A"im!lação n!m(ri#a+ o" re"!ltado" nominai" e a" in#erteBa" 'oram#al#!lada" #om o a!-lio do "o'tware ;;L TM. O e-$erimento 'oi realiBado no

a3orat,rio Did&ti#o de Li"tema" l!ido6Me#Gni#o" do De$artamento de;ngen%aria da Univer"idade ederal de Mina" erai".

5. ORMUAÇÃO T;RIKA

O movimento de !m $/nd!lo "im$le" ( regido $or !ma e!açãodi'eren#ial de movimento %arm4ni#o+ #ara#teriBada $elo $erodo T + tem$one#e""&rio $ara "e e-e#!tar !ma o"#ilação #om$leta. ;la ( defnida"eg!indo o" $rin#$io" da "eg!nda lei de Newton.

5.1. @/nd!lo Lim$le"

Anali"ando a" 'orça" at!ante" na ma""a+ tem6"e o $e"o mg e a ten"ãona #orda t. No Gng!lo H #om a verti#al+ o $e"o tem a #om$onente mg #o" Hna direção do fo e mg "em H tangen#ial ao ar#o de #r#!lo. A #om$onentetangen#ial da "eg!nda lei de Newton mo"tra !eP

∑ F tang=−mgsen (θ )=m ś=mLθ́

A""im+ $elo e!il3rio de 'orça"+ a e!ação do movimento do $/nd!lo"em a re"i"t/n#ia do ar (P

m Lθ́=−mgsen(θ) Q1


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@ara $e!eno" valore" de H+ $ode6"e #on"iderar o "enQH #omo H. OGng!lo H não deve !ltra$a""ar :S+ valor !e garante !e o erro de"taa$ro-imação "e7a menor !e 5. De"ta 'orma+ a e!ação de movimento "etornaP

θ́+ g

L

θ=0

Q5

A "ol!ção de"ta e!ação $ode "er vi"ta a3ai-oP

θ (t )=θ0 cos (ω0 t ) Q8

Onde o 're!/n#ia ang!lar ω0 ( ig!al aP

ω0=

√

g

L Q9

Lendo o $erodo T 0 de o"#ilação de"te $end!lo ig!al aP

T 0=2π √ L

g Q:

@ortanto+ a a#eleração da gravidade ( #al#!lada $orP

g=4 π 2 L

T 0

2 Q

5.5. Re"i"t/n#ia do ar

Komo a $r&ti#a "er& não realiBada no v!o+ ( ne#e""&rio #on"iderar

o arra"to #riado $elo ar. A 'orça da re"i"t/n#ia do ar F r ( dada $ela

e!ação QC.

F r=C d A ρ v

2

2QC

Lendo C d o #oef#iente de arra"to+ a &rea de #ontato+ ρ a ma""a

e"$e#f#a da e"'era e v a velo#idade da ma""a. O #oef#iente de arra"to

( de"#rito na e!ação QJ.

C d=24

ℜ +

6

1+√ ℜ +0,4

QJ


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O n*mero de Renold" ℜ ( defnido $orP

ℜ= ρ V D

η QV

Onde η ( a vi"#o"idade do E!ido e D ( o diGmetro da ma""a. @ara

Re W 1+ a $rimeira $ar#ela do #oef#iente de arra"to "e torna dominanteP

C d=24

ℜ

Q1X

;ntão a 'orça de arra"to "e tornaP

F r

=−6π η r vQ11

Lendo r o raio da e"'era. @or #onveni/n#ia+ !ma #on"tante 3 "er&defnida $orP

b=6π η r Q15

ogoP

F r=−bv Q18

5.8. Movimento do $/nd!lo #om a re"i"t/n#ia do ar

No #a"o do movimento do $end!lo onde e-i"te re"i"t/n#ia do ar+ ae!ação do movimento "e tornaP

mθ́+b θ́+mg

L θ=0 Q19

Lendo a "ol!ção de"ta e!ação ig!al aP

θ ( t )=θ0 e−α t

cos (ω ' t +ϕ ) Q1:

OndeP

ω' =√ ω0

2−α

2

Q1

α =

b

2m Q1C


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Ne"te #a"o+ o $erodo de o"#ilação de $/nd!lo "im$le" #om arra"to doar "e tornaP

T ' =

2π

ω'

A a#eleração da gravidade ( en#ontrada $orP

g= L( 4π 2

T ' 2 +α 2) Q1V

No #a"o da e"'era+ tem6"eP

α = 9η

4

ρ r

2 Q5X

@ode6"e dimen"ionar a e"'era de modo !e α tenda a Bero e 'orça

de arra"to torna6"e de"$reBvel.

5.9. Lol!ção matem&ti#a

UtiliBando o "o'tware ;;L TM+ o $ro3lema 'oi "im!lado n!meri#amentede modo a validar a 'orm!lação matem&ti#a e ter !ma re'er/n#ia da"in#erteBa" do e-$erimento+ o !e determina "e ( v&lido realiBar tal $r&ti#a.

Toda" a" vari&vei" 'oram e"timada" de modo !e o valor nominal dagravidade da "im!lação "e a$ro-ima""e do valor lo#al de re'er/n#ia+ "endogverd ig!al a V+CJ8J18 mY"Z. O #,digo do $rograma en#ontra6"e no Ane-o 1.

A" in#erteBa" !tiliBada" no #&l#!lo 'oram a" in#erteBa" $adrão do"e!i$amento" de medição. Kom a "im!lação realiBada+ a in#erteBa totalmnima da "im!lação n!m(ri#a 'oi e"timada #omo $r,-ima de X+X1+ o !e$ro$or#iona "eg!rança $ara !e "e #ontin!e o $ro7eto. A" maiore" 'onte" dein#erteBa 'oram o $erodo T+ #om V1 de relevGn#ia "o3re a in#erteBa total+e o #om$rimento do fo + #om V de relevGn#ia.

A re"i"t/n#ia do ar+ no entanto+ a'eta o valor nominal do e-$erimento

em d!a" orden" de grandeBa a3ai-o do valor da in#erteBa. A""im "endo+ ela$ode "er negligen#iada "em maiore" $re7!Bo".

5.:. Lim$lif#açFe"

A" "im$lif#açFe" !tiliBada" $ara dar #ontin!idade ao $ro7eto 'oramP

• Não "e #on"idera o atrito interno do "i"tema.• Não "er& anali"ada a inE!/n#ia da variação da" dimen"Fe" da ma""a

"!"$en"a+ do #om$rimento do fo+ do Gng!lo de o"#ilação e nem davi"#o"idade do E!ido onde o e-$erimento ( realiBado.

•

O fo 'oi idealiBado #omo ine-ten"vel.• A$ro-imo!6"e "eno de H #omo H.


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• Ma""a "!"$en"a #on"iderada #omo !ma e"'era #om #entro degravidade em "e! #entro.

8. MAT;RIAIL

O $ro#e""o 'oi realiBado no a3orat,rio Did&ti#o de Li"tema" l!ido6Me#Gni#o" do De$artamento de ;ngen%aria da Univer"idade ederal deMina" erai" no al$ão da ;ng. Me#Gni#a+ !tiliBando6"e do" re#!r"o" de"te[V.1]. Não 'oram notada" nen%!ma inter'er/n#ia !e $oderiam inE!en#iarno te"te.

A montagem !tiliBada #on"i"te de !m fo de nlon #om !ma e"'eramet&li#a amarrada em !ma $onta e a o!tra f-a em !m gan#%o.

O" materiai" ne#e""&rio" $ara o e-$erimento e"tão na Ta3ela 1.

Tabela 1 – Materiais.

Material Dimen"ão >alorio de nlon Kom$rimento X+8m


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vi"#o"idade do ar e raio da e"'era+ !tiliBar a e!ação Q1V e en#ontraro valor da a#eleração da gravidade lo#al g e "!a re"$e#tiva in#erteBa.

1X.Di"#!tir o" re"!ltado" #om 3a"e no valor m(dio da a#eleração da

gravidade em elo boriBonte+ g 9,7838163 mY"Z.

: R;LUTADOL ; DILKULLÃO

:.1 Re"!ltado"

O e-$erimento 'oi realiBado d!a" veBe"+ em data" di'erente" e o"valore" en#ontrado" $odem "er vi"to" na Ta3ela 1.

Ta3ela 1 c Re"!ltado"Re"!ltado"

1?Tentativa 5?Tentativage-$ [mY"Z] V+J9X+XC V+CJX+X9

[QYZ ] Q1+CX+1;6: Q1+CX+1;6:;rro X+:X+ X+X1X+X5 gverdV+CJ9 mY"Z

D!rante a $rimeira $r&ti#a+ "eg!i!6"e felmente a metodologia$ro$o"ta. Nota6"e !ma di'erença #on"ider&vel entre o valor en#ontrado $araa gravidade e do valor verdadeiro+ $or i""o a metodologia 'oi alterada $ara o$r,-imo e-$erimento.

Na "eg!nda tentativa+ 'oi realiBada a tomada de tem$o $ara 5Xo"#ilaçFe"+ o !e dimin!i o erro em relação ao $erodo m(dio e "!ain#erteBa. @ro#!ro!6"e medir o #om$rimento do fo de nlon #om mai"#!idado+ "endo e"ta" a" d!a" maiore" 'onte" de in#erteBa"+ o3"erv&vel naig!ra 5.

:.5 An&li"e do" Re"!ltado"

O" valore" en#ontrado" $ara a gravidade na" d!a" tentativa" e"tãodentro da margem de erro. ;ntretanto+ a di'erença $ara o valor verdadeiro'oi relativamente grande no $rimeiro dia+ em torno de X+:. Na "eg!nda

e-$eri/n#ia+ #om a metodologia revi"ada+ o valor nominal en#ontrado "ea$ro-imo! do valor real+ "endo !e a di'erença 'oi de X+X9. A in#erteBa doe-$erimento 'oi $r,-ima ao erro nominal na $rimeira tentativa e d!a" veBe"maior !e o erro nominal en#ontrado na "eg!nda tentativa+ valore"#on"iderado alto". De"ta 'orma+ o erro do valor nominal $ode ter "ido$e!eno $or !ma #oin#id/n#ia+ o! o #&l#!lo da in#erteBa não e"t& #orreto.O" valore" nominai" e in#erteBa"+ a""im #omo a #om$aração #om o valorreal+ $odem "er vi"to" graf#amente na ig!ra 5.

Figura 2 – !esultados e"perimentais


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A mel%ora do valor nominal ( #reditada ) tomada de tem$o #om mai"

o"#ilaçFe"+ "endo e"ta !ma grande 'onte de in#erteBa. Alg!m de"#!ido namedição do #om$rimento do fo d!rante a $rimeira $r&ti#a tam3(m $ode tera'etado negativamente o" valore" de"te dia. A in#erteBa 'oi #al#!lada $elo"o'tware #om valore" a3"ol!to" no l!gar de valore" relativo"+ a""im ela nãoaltero! de 'orma "ignif#ativa #om a m!dança de m(todo.

A inE!/n#ia da re"i"t/n#ia do ar 'oi negligen#i&vel ne"te e-$erimento+"endo !e de a#ordo #om o modelo n!m(ri#o ela tem valore" d!a" orden"de grandeBa a3ai-o da" in#erteBa" do e-$erimento.

@ode6"e tam3(m #om$arar o valor en#ontrado #om a valor de

engen%aria $ara a gravidade+ "endo geng=9,81m/ s2

. A di'erença entre o"

doi" ( de X+5C+ m!ito a3ai-o do erro admi""vel geralmente !tiliBado $araengen%aria de :. I""o $ermite o !"o do valor da gravidade $araengen%aria #omo re'eren#ial inde$endente da gravidade lo#al+ "endo !ee"ta não varia a $onto de e-tra$olar o" :.

@ela $ro-imidade do" valore" e-$erimentai" #om o valor verdadeiro dagravidade+ #on#l!i6"e !e a" "im$lif#açFe" não #a!"aram im$a#to""ignif#ativo" no valor medido #on"iderando o" o37etivo" da e-$eri/n#ia.

. KONKULÃO

@ode6"e #on#l!ir atrav(" de"te e-$erimento !e a !tiliBação de !m$/nd!lo "im$le" ( !m m(todo ef#aB $ara medir a a#eleração gravita#ional$ara !ma $re#i"ão na ordem de grandeBa de 1X 65 mY"Z. Nota6"e tam3(m !eo valor de engen%aria $ara gravidade ( "!f#ientemente $r,-ima do valorlo#al. Al(m di""o+ $ara a $re#i"ão de"te e-$erimento a re"i"t/n#ia do ar (negligen#i&vel. O valor lo#al da gravidade medido no la3orat,rio ( ig!al aV+CJ mY"Z X+X9 mY"Z.

Re'er/n#ia i3liogr&f#a


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[1] TI@;R+ @a!l A.+ F#si$a para $ientistas e engen%eiros+ vol. 1+ 9 ed. New hor\P TK+ 1VVV.[5] R;LNIK+ R. j ballida D.+ Fundamentos de f#si$a 2, V ed. Rio de kaneiroPTK+ 5X15.

AN;OL

AN;O 1"!EXPERIÊNCIA DE LABORATÓRIO: PÊNDULO SIMPLES""UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAISESCOLA DE ENGENHARIAENGENHARIA MECÂNICADISCIPLINA: TÓPICOS EM ENGENHARIA MECÂNICA - A:ENG031- INTRODUO S HABILIDADES E COMPETÊNCIAS DO ENGENHEIROTURMA: F#

GRUPO: #COMPONENTES DO GRUPO:PEDRO IVO DINI$ COSTALUCAS DE PAULO DE SOU$ADAVID OTONIRAFAEL

""DATA 0%&10&'01#""((((((((((((((((((((((((((((((((((((("

"!PROGRAMA FONTE: GRAVIDADE)PÊNDULO SIMPLES*EES""F+,.+//: D2+,456 /6 7.62 / 8.2456 / 927+// .68. 86,+/2,/6

2+;,8+ /6 2"

"L++4?-@2692 8/6: ""V+86+"

"N6,8.>2:V+86+// /6 2 - > - 9&-T@2>2 ?+, - T)? - CP256 ?+, - P)? -P

*V2+7+ / /

V+86+// /6 2 - > - 9&-

*V2+7+ / ,2/T@2>2 ?+, - T)? - CP256 ?+, - P)? -P"

"!NOMENCLATURA:""N6 - G2,/ - U,+//

C6@2+,6 /6 =+6 - L T@6 @2 10 8+8.6 - T)10 T@6 J/+6 / 10 8+8.6 - T)/

P26/6 / 68+.456- T6 A8.2456 / 927+// .68. - 9).6 &K'


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A8.2456 / 927+// 8.8>./ - 9)8.8 &K'F2>;,8+ / 628+,6 - .@ 2/&V+86+// /6 2 - > 9&-M @8=+8 - 26 9&E226 86@2+76 - 22 /,+6,. T@2>2 ?+, - T)? C

P256 A?+, - P)? P"

"!VARIVEIS DE ENTRADA"

"C6@2+,6 /6 =+6 - L T@6 96 @2 2.+456 / '0 8+8.6 /+/6 - T)/ A8.2456 / 927+// 72//+2 .68. - 9)72/ &K'T@6 @2 10 8+8.6 - T)10 V+86+// /6 2 - > 9&-M @8=+8 - 26 9&T@2>2 ?+, - T)? CP256 A?+, - P)? P"

"!VARIVEIS DE SADA"

"A8.2456 / 927+// 8.8>./ - 9)@ &K'F2>;,8+ / 628+,6 - .@ 2/&E226 86@2+76 - 22 /,+6,. "

"((((((((((((((((((((((((((((((((((((("

"!DADOS DE ENTRADA"

"T@2>2 @256 ?+,"T)?Q'# CP)?Q' P

"C6@2+,6 /6 @;,/>.6"LQ03

"D+26 / =2"DQ001W

"M @8=+8 / =2"26Q%00 9&K3

"V+86+// /6 2">QV+86+A+2)YTQT)?YPQP)?Z

"T@6 @2 '0 68+.4[ =+6 8+,86 7"T6)1 Q 'W'# T6)' Q 'W'' T6)3 Q 'W3W T6)W Q 'W3# T6)# Q 'W3

"A8.2456 / 927+// 72//+2 .68."9)72/Q%3%13&K'

"((((((((((((((((((((((((((((((((((((("

"!PROCESSAMENTO"


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"!1Z E+2 6 7.62 / @26/6 /+/6 10 68+.4+7 *"

"MJ/+ /6 P26/6 / 68+.456"

T)/ Q T6)1\T6)'\T6)3\T6)W\T6)#Z

TQT)/&'0Z

"!D2+,456 / =2>;,8+ / 628+,6 .@ @2 =2"

.@Q]>&W]26]DK'Z

"!#Z D2+, 8.2456 8.8>./ .68. 9)@Z >+.+,/6 >4569)@QL]W]@+(K'&TK'\.@K'Z*"

"D2+,456 @2+,. / 8.2456 / 927+// "9)@QL]W]@+(K'&TK'\.@K'Z

"!Z E+2 6 226 86@2+76 22Z 27J 8.2456 / 927+// 72//+2 .68.9)72/Z*"

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Aceleração da Gravidade por Pêndulo

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