ADM 2008 Gabarito

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Matemtica Matemtica Matemtica Matemtica AplicadaAplicadaAplicadaAplicada

Profa. Elaine MartiniProfa. Elaine MartiniProfa. Elaine MartiniProfa. Elaine Martini

Notas de aula de Matemtica Prof. Elaine Martini

2

1. COJUTOS UMRICOS 1.1- Conjunto dos nmeros aturais ()

= {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}

O conjunto dos nmeros Naturais possui um importante subconjunto, o conjunto dos nmeros Naturais no nulos, representado por N*: * = {0} = {1, 2, 3, 4, 5, ...} = { x / x 0} Obs.: Toda vez que o *(asterisco) estiver a direita de um conjunto, isto representar a excluso do elemento zero. No conjunto dos nmeros Naturais esto definidas duas operaes; a adio e a multiplicao. Note que, adicionando ( multiplicando) dois elementos quaisquer de N, a soma ( o produto) pertence igualmente a N. O mesmo no ocorre com a subtrao, em outras palavras o conjunto N no fechado para a subtrao. Por esse motivo, fez-se uma ampliao do conjunto N e surgiu o conjunto dos nmeros inteiros. 1.2- Conjunto dos nmeros Inteiros (Z)

Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} A representao geomtrica do conjunto dos nmeros inteiros :

O conjunto dos nmeros inteiros possui alguns subconjuntos importantes: 1) O conjunto dos nmeros inteiros no nulos:

Z* = Z {0} = {..., -3, -2, -1, 1, 2, 3, ...} = { x Z / x 0}

0 +1 +2 +3 -2 -1 -3


3

2) O conjunto dos nmeros inteiros no negativos:

Z+ = {0, 1, 2, 3, ...} = { x Z / x 0} Z+ o prprio conjunto dos nmeros naturais: Z+ = , logo, N Z. 3) O conjunto dos nmeros inteiros positivos:

Z*+ = Z+ - {0} = {1, 2, 3, ...} = { x Z / x >>>> 0} 4) O conjunto dos nmeros inteiros no positivos: Z - = {..., -3, -2, -1, 0} = { x Z / x 0} 5) O conjunto dos nmeros inteiros negativos: Z*- = Z - - {0} = {..., -3, -2, -1} = { x Z / x > 0} 4) O conjunto dos nmeros racionais no positivos:

Z*}b e Za,b

a{x / xQ ==


4

Q - = { x Q / x 0} 5) O conjunto dos nmeros racionais negativos: Q*- = Q - - {0} = { x Q / x


5

2) O nmero decimal obtido possui, aps a vrgula, infinitos algarismos (nem todos nulos), que se repetem periodicamente:

Tais nmeros so chamados de decimais peridicos ou dzimas

peridicas; em cada um deles, os nmeros que se repetem formam a parte peridica, ou perodo da dzima. Quando uma frao equivalente a uma dzima peridica, a frao chamada geratriz da dzima. Para sabermos se uma frao irredutvel equivale a um decimal exato ou uma dzima peridica ( sem efetuar a diviso do numerador pelo denominador), basta decompor o denominador em fatores primos. Nesse caso: A frao equivale a um decimal exato se o denominador contiver apenas os

fatores 2 ou 5; A frao equivale a uma dzima peridica se o denominador contiver algum fator

primo diferente de 2 e de 5. REPRESETACO FRACIORIA DOS MEROS DECIMAIS

Trata-se do problema inverso: estando o nmero racional escrito na forma decimal, procuraremos escrev0lo na forma fracionria. Temos dois casos: 1 Caso: Decimal Exato Transformamos o nmero em uma frao cujo numerador o nmero decimal sem a vrgula e o denominador composto pelo numeral 1, seguido de tantos zeros forem as casas decimais do nmero decimal dado:

1

30 3333 0 3

2

70 285714285714285714 0 285714

1

220 045454545 0 045

= =

= =

= =

, ... , ;

, ... , ;

, ... , ;

etc.

0 77

10

1

20, ; ; ; ;= = 2,3 =

23

10 0,43 =

43

100 9,43 =

943

100 0,05 =

5

100


6

2 Caso: Dzima Peridica Devemos achar a frao geratriz da dzima dada; para tanto, vamos apresentar o procedimento atravs de alguns exemplos. Exemplo 1 0,7777...

Exemplo 2 2,13131313...

Exemplo 3 1,325252525...

9

7=0,7777... :Ento

9

7797,07,710

...7777,710

...7777,0===

=

=xxxx

x

x

.99

211=...2,13131313 :Ento

99

2112119913,213,213100

...131313,213100

...131313,2===

=

=xxxx

x

x

x

x

x

x x x x

=

=

=

= = =

=

1 325252525

10 13 252525

1000 1325 252525

1000 10 1325 25 13 25 990 13121312

990

656

495

, ...

, ...

, ...

, ,

Ento: 1,325252525...=1312

990


7

DISPOSITIVO PRTICO PARA OBTEO DA FRAO GERATRIZ: 1 Caso: Dzima Peridica Simples A geratriz de uma dzima peridica simples (de parte inteira nula) uma frao que tem para numerador o perodo e para denominador um nmero formado por tantos noves quantos forem os algarismos do perodo. Esquematicamente:

Exemplos:

Nos casos das dzimas peridicas simples de parte inteira no nula, as

transformamos em nmero misto. Exemplo:

3

7

3

12

9

323330233332 ===+= ...,..,

2 Caso: Dzima Peridica Composta

A geratriz de uma dzima peridica composta uma frao que tem para numerador a diferena entre o nmero formado pela parte no peridica acompanhada de um perodo e a parte no peridica; e, para denominador, um nmero formado de tantos noves quantos forem os algarismos do perodo, seguidos de tantos zeros quantos forem os algarismos da parte no peridicas que estiver na parte decimal da dzima.

P P. .

...9 9

0 44444

90 525252

52

99

41

333, ... ; , ... ; ;= = = 0,123123123...=

123

999 etc.

( . . .)( . .) ( . . .)

( ... )( ... )

. . .

. .

p n p p p p n p

p n p

p p

=

=

9 9 0 0

parte no peridica

parte peridica

X

+


8

Esquematicamente: Exemplo:

Obs.: A frao geratriz das dzimas peridicas simples de parte inteira no nula tambm pode ser obtida utilizando o dispositivo prtico da composta, conforme exemplo:

99

9934

99=

100-10034=...100,343434

Obs.: As dzimas peridicas de perodo 9 no tm geratrizes no sentido anterior. Neste caso procedemos, por definio, como nos exemplos seguintes:

OPERAES EM Q: - Adio ou subtrao: 1 caso: Adio ou subtrao de fraes de mesmo denominador:

b

ca

b

c

b

a = , com b 0.

2 caso: Adio ou subtrao de fraes de denominadores diferentes:

bd

bcad

bd

bc

bd

ad

d

c

b

a == , com b 0 e d 0.

;....225

73

900

292

900

323243244440 ==

=

0 9999 1

6 43999 6 44644

100

161

25

, ...

, ... ,

=

= = =

Conservamos o denominador e somamos (ou subtramos) os numeradores.

Tiramos o mnimo mltiplo comum (mmc) dos denominadores,

transformando-as em fraes equivalentes de mesmo denominador para depois

somamos (ou subtramos) os

numeradores.


9

- Multiplicao:

bd

ac

db

ca

d

c

b

a==

.

. , com b 0 e d 0.

- Diviso:

bc

ad

cb

da

c

d

b

a

d

cb

a

d

c

b

a====

.

.. , com b 0, c 0 e d 0.

1.4- Conjunto dos Nmeros Irracionais (I)

Os nmeros decimais que podem ser escritos como fraes, como numerador e denominadores inteiros so denominados nmeros racionais, mas h os que no admitem tal representao, que so os nmeros decimais no exatos e no peridicos, tambm conhecidos como irracionais.

Vejamos alguns exemplos:

0 101001000100001

1 2345678910111213

2 1 4142136

3 17320508

3141592

, ...

, ...

, ...

, ...

, ...

.

=

=

=etc


10

1.4- Conjunto dos nmeros Reais (R) O conjunto formado pelos nmeros racionais e pelos nmeros

irracionais chamado Conjunto dos nmeros Reais e representado por R. Assim temos:

R = Q I, sendo Q I = Lembrando que N Z Q, podemos construir o diagrama:

Z Q R

Alm desses (N, Z, Q e I), o conjunto dos nmeros reais apresenta outros subconjuntos importantes de R:

1) O conjunto dos nmeros reais no nulos:

R* = R {0} = { x R / x 0} 2) O conjunto dos nmeros reais no negativos:

R+ = { x R / x 0} 3) O conjunto dos nmeros reais positivos:

R*+ = R+ - {0} = { x R / x >>>> 0} 4) O conjunto dos nmeros reais no positivos: R - = { x R / x 0} 5) O conjunto dos nmeros reais negativos: R*- = R - - {0} = { x R / x


11

REPRESETAO GEOMTRICA DOS MEROS REAIS

A representao geomtrica do conjunto dos nmeros reais : ITERVALOS REAIS

Dados dois nmeros reais a e b, com a < b, definimos: (a) intervalo aberto de extremos a e b o conjunto:

]a,b[ = {x R/ a < x < b}

(b) intervalo fechado de extremos a e b o conjunto: [a,b] = {x R/ a x b}

(c) intervalo fechado esquerda ( ou aberto direita) de extremos a e b o conjunto:

[a,b[ = {x R/ a x < b} (d) intervalo fechado direita ( ou aberto esquerda) de extremos a e b o

conjunto: ]a,b] = {x R/ a < x b}

Os nmeros reais a e b so denominados, respectivamente, extremo inferior e extremo superior do intervalo.

0 +1 +2 +3 -2 -1 -3

=

5

22 5,

5

22 5= ,

= 3 1 7 320 5, . . .

= 1

30 3 3 3, . . .

1

30 3 3 3= , . . .

3 1 732 05= , . . .


12

Tambm consideramos os intervalos infinitos assim definidos: (a) ]-,a[ = {x R/ x < a} (b) ]-,a] = {x R/ x a} (c) ]a,+[ = {x R/ x > a} (d) [a,+[ = {x R/ x a} (e) ]-,+[ = R REPRESETAO GRFICA

]a,b[

[a,b]

[a,b[

]a,b]

]-,a]

]a,+ [

a b

a b

a b

a b

a

a


13

EXERCCIOS DE FIXAO

1. Coloque V ou F e justifique: a) + = ( ) f) + = ( ) b) +* * = ( ) g) + ( ) c) +* = ( ) h) - = +* ( ) d) * = ( ) i) (+ ) * = ( ) e) ( ) j) - + = ( ) 2. Descreva por meio de uma propriedade caracterstica cada um dos subconjuntos

abaixo: a) * = b) + = c) * = d) +* = e) * = f) = 3. Rescreva as sentenas usando os smbolos matemticos: < , =, >, , , a) a um nmero positivo: b) b um nmero no nulo: c) c um nmero no positivo: d) d um nmeros negativo; e) e um nmero no negativo: f) f um nmero nulo: g) g um nmero maior ou igual a h: h) h menor que i: i) i est compreendido entre j e k , sendo que k menor que j: 4. Coloque V ou F e justifique:

a) Q ( ) f) 2

14 Q Z ( )

b) Z Q ( ) g) 14

21 irredutvel ( )

c) 0 Q ( ) h) 147

121 < 150

131 ( )

d) 517 Q ( ) i) 7

2 Q - Z ( )

e) 0,4747... Q ( ) j) 1 Q - Z ( )


14

5. Escrevam, na forma decimal, os seguintes nmeros:

==

==

==

==

10000

71)

22

1)

100

143)

20

1)

145

29)

3

8)

154

140)

5

4)

hd

gc

fb

ea

6. Escrever na forma fracionria os seguintes nmeros; a) 0,75 = g) 110,431 = b) 4,12 = h) 4,592222... = c) 2,333... = i) 0,666... = d) 3,292 = j) 5,414414414... = e) 0,555... = l) 17,34434343... = f) 32,17 = m) 0,43181818... = 7. Calcule o valor de:

=

++=

15

1

5

33

1

5

1

...999,0) 0,2 . 0,5

01,0 . 47,0 . 2,0) ba

8. Coloque V ou F e justifique:

a) 3 R ( ) e) 2

1 R Q ( )

b) N R ( ) f) 4 R Q ( )

c) Z R ( ) g) 5

23 R Q ( )

d) R - Q ( ) h) 25

23 Q ( )


15

9. Descreva os seguintes conjuntos: a) [0,2] [1,3] = g) [-1,3] [0,4] =

b) =

3

4,0

5

2,1 h) ]-2,1] ]0,5[ =

c) ]-, 2] [0,+ [ = i) [-1,3] ]3,5] =

d) [-1, + [

2,

2

9 = j) =

4

1,

2

30,

2

1

e) ]-, 4] [4,+ [ = l) [1,2] [0,3] ]-1,4[ = f) [-7, 2] ]2,+ [ = m) ]-,0] [0,+[ = 10. Complete o quadro abaixo: Conjunto

s numric

os

Notao da Teoria de conjuntos

Representao na reta numrica

Notao de intervalo

R+

R-*

R+*

R-

R*


16

Respostas

1. a) V, b) F, c) F, d) V, e) V, f) F, g) F, h) V, i) V, j) F 2. a) {x Z / x < 0}

b) {x Z / x 0} c) {x Z / x 0} d) {x Z / x > 0} e) {x N / x 0} f) {x Z / x 0}

3. a) a > 0 ; b) b 0 ; c) c 0 ; d) d < 0 ; e) e 0 ; f) f = 0; g) g h ; h) h < i; i) k < i < j.

4. a) V, b) V, c) V, d) V e) V, f) F, g) F, h) V, i) V, j) F 5. a) 0,8 ; b) 2,666... ; c) 0,05 ; d) 0,0454545... ;

e) 0,909090... ; f) 0,2 ; g) 1,43 ; h) 0,0071 6. a) 3/4, b) 103/25, c) 7/3, d) 823/250, e) 5/9, f) 3217/100,

g) 110431/1000, h) 4133/900, i) 2/3, j) 601/111, l l) 171709/9900, m) 19/44

7. a) 1, b) 2 8. a) V, b) V, c) V, d) V e) F, f) V, g) V, h) V. 9. a) [1,2], b) ]0,2/5[, c) [0,2], d) [-1,2[ e) {4}, f) ,

g) [-1,4], h) ]-2,5[, i) [-1,5], j) ]-3/2,0[, l) ]-1,4[, m) ]-, +[ = R. 10. a) {x Z / x 0}

b) {x Z / x < 0} c) {x Z / x > 0} d) {x Z / x 0} e) {x Z / x 0}


17

1.5. OPERAES COM OS MEROS RACIOAIS 1.5.1 - EXPRESSES UMRICAS

As expresses numricas so expresses matemtica que envolvem nmeros.

Devemos lembrar que existe uma ordem para resolvermos qualquer expresso numrica.

Se uma expresso numrica contm radiciao, potenciao e as quatro operaes, efetuaremos em primeiro lugar a potenciao ou radiciao, na ordem em que aparecem; em seguida, as multiplicaes ou divises na ordem em que ocorrem; e por ltimo, as adies ou subtraes, tambm na ordem em que aparecem.

Se a expresso apresenta os sinais de parnteses ( ), colchetes [ ] ou chaves { }, observamos a seguinte ordem: 1o efetuamos as operaes no interior dos parnteses, depois efetuamos as operaes no interior dos colchetes e por ltimo, efetuamos as operaes no interior das chaves.

Exemplos: Calcule as seguintes expresses numricas: a)

5

15

11124

56124

5

2

33

4

5

2

321

=

=

=

=+

Adicionando os inteiros

Reduzindo as fraes ao mesmo denominador

Ateno: Lembre-se sempre de trabalhar com

as fraes na forma irredutvel.


18

b)

5

12

5

125

41025

42

5

2

10

82

5

2

10

1572

5

2

2

3

10

72

5

2

4

6

10

72

5

2

4

3

4

3

10

72

5

2

4

3

4

25

10

72

5

2

4

3

2

1

4

5

10

72

5

2

=

=

=

=

=

+

=

+

=

+

=

++

=

+

+

=

+

+

c)

2

11

4

224

11294

13

4

94

13

56

60.

30

634

13

60

56

30

63

=

=++

=++

=++

=++

Resolvendo primeiro os parnteses

Agora resolvendo os colchetes


Resolvendo primeiro a diviso

Agora resolvendo a multiplicao (simplificando os fatores, antes de realizar o produto)


Ateno: Simplifique as fraes sempre que possvel


19

d)

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

5

22

5

11.2

11

52

5

112

5

4152

5

432

5

2232

2

5232

4

10232

4

813232

24

1

4

3232

28

2

4

3232

1

1

1

1

1

1

1

1

1

=

=

=

=

+

=

+

=

=

=

=

+

=

+

=

+

Resolvendo primeiro os parnteses

Resolvendo primeiro a diviso

Agora resolvendo a multiplicao

Agora resolvendo os colchetes

Agora resolvendo a multiplicao

Resolvendo a diviso

Lembrar que:

a

a11 = ;

nn

aa

1= ;

a

b

b

a=

1

e n

nnn

a

b

a

b

b

a=

=

Resolvendo a potenciao, e lembrando que

a

b

b

a=

1

Ateno Simplifique as fraes sempre que possvel


20

e)

24

5

24

5

24

833

1

8

1

3

2

2

1

8

1

2

3

2

1

8

1

2

162

2

1

2

1

2

131

2

12

1

1

3

13

=

=

=

=

=

=

+

=

+

f)

125

18

4

9

125

8

9

4

125

8

3

2

125

8

2

3

5

2

2

12

2

5

2

11

2

14

4

11

2

12

2

23

23

23

23

=

=

=

=

=

+

=

+

+

=

+

+

Resolvemos simultaneamente, a potncia 2-3 e dentro do parnteses.

Resolvemos primeiro a potenciao e depois a multiplicao.

Reduzindo as fraes ao mesmo denominador.

Resolvendo os parnteses, temos que: No primeiro parnteses, reduzir os termos ao mesmo

denominador, para efetuar a adio; no segundo parnteses resolvemos, primeiro a radiciao para depois adicionar.

No primeiro parnteses, resolvemos a potenciao.

No segundo parnteses, agora resolvemos a potenciao.

Resolvemos a diviso.

Agora resolve-se a multiplicao.


21

1.5.1.1 Exerccios Resolvidos

1. O valor da expresso numrica, 0

5

62

2

128

+ , :

a) 8 b) 7 c) 53/8 d) 49/8 e) nda

Soluo: alternativa b Lembrando que todo nmero elevado a zero igual um, ento a expresso numrica fica

0

5

62

2

128

+ = 8 1 = 7

Portanto, as demais alternativas esto descartadas.


2

2

131

2

12

++ , :

a) 36

17

b) 24

259

c) 4

21

d) 14 e) nda Soluo: alternativa a Obedecendo todas as regras de resoluo, a expresso numrica,

22

2

131

2

12

++ , ficar assim:

36

17

36

89

9

2

4

1

9

4

2

1

4

1

3

2

2

1

4

1

2

3

2

1

4

1

2

162

2

1

2

1222

2=

+=+=

+=

+=

+=

++



22


24

13

13

15

15+

, :

a) 9 b) 8 c) 7 d) 6 e) nda Soluo: alternativa a Obedecendo todas as regras de resoluo e lembrando de simplificar as

fraes, temos que a expresso 824

24

13

13

15

15+

, ficar assim:

( ) 9818)1(18)1()1(1824

24

13

13

15

15=+=+=+=+


4. O valor da expresso numrica,

+2

11

2

13 2 , :

a) 2

1

b) 36

7

c) 12

5

d) 36

13

e) nda Soluo: alternativa d Obedecendo todas as regras de resoluo, temos que a expresso

+2

11

2

13 2 ficar assim:

36

13

36

94

4

1

9

1

2

1

2

1

9

1

2

12

2

1

3

1

2

11

2

13

2

2 =+

=+=

=

+=

+ .



23


5

4

5

12

+

+ , :

a) 16

137

b) 16

1

c) 25

191

d) 1 e) nda Soluo: alternativa c Obedecendo todas as regras de resoluo, e lembrando das propriedades da

potenciao (an)m = an.m , temos que a expresso 121

5

4

5

12

+

+ ficar

assim:

( )25

191

25

16175

25

167

25

1652

5

452

5

4

5

12

21

121

=+

=+=++=

++=

+

+


1.5.1.2 EXERCCIOS PROPOSTOS 1. Calcular o valor das seguintes expresses numricas dando a resposta na forma

de uma frao irredutvel:

( )

( )

=

++

=

=+

=++=+

5

1

9

4

2

1

5

21

3

4 c)

3

2218

3

9

5

22

7

4 e)

7

43,011220 b)

21245

9

17

106 d) 21,34,03

5

4 )

22

1

,

a

Resp.: a)100

49 ; b)

3500

239.10; c)

90

221; d)

170

4741; e)

245

24


24

1.5.2 - Problemas envolvendo nmeros racionais 1.5.2.1 Exerccios propostos 1. Um comercirio gastou 1/3 de seu ordenado, comprando um pequeno rdio por

R$250,00. Qual o seu ordenado? 2. Gasto 2/5 do meu ordenado com aluguel de casa e dele em outras despesas.

Fico ainda com R$200,00. Qual o meu ordenado? 3. Cludia e Vera possuam juntas R$100,00. Ao comprarem um presente de

R$23,00 para oferecer a uma amiga comum, cada qual deu uma quantia diferente, na medida de suas possibilidades. Cludia entrou com do dinheiro de que dispunha e Vera com 1/5 do seu. Calcule com quanto Cludia contribuiu?


25

4. Gastei R$720,00 e fiquei ainda com 2/5 de meu ordenado. Qual o meu ordenado? 5. Pedro gastou 1/3 da quantia que possua e, depois, 2/9 dessa quantia. Ficou ainda

com R$ 40,00. Quanto Pedro possua? 6. Um excursionista fez uma viagem de 360 km. Os do percurso foram feitos de

trem, 1/8 a cavalo e o resto de automvel. Quantos km andou de automvel e que frao representa da viagem total?


26

7. Numa cesta havia laranjas. Deu-se 2/5 a uma pessoa, a tera parte do resto a outra e ainda restam 10 laranjas. Quantas laranjas havia na cesta?

8. Paulo e Antnio tm juntos R$123,00. Paulo gastou 2/5 e Antnio 3/7 do que

possuam, ficando com quantias iguais. Quanto possua cada um?


27

1.5.2.2 - Exerccios de Fixao 1. Quanto do nmero de minutos de uma hora? 2. Num time de futebol carioca, metade dos jogadores contratados so cariocas, 1/3

so dos outros Estados e os 4 restantes so estrangeiros. Quantos jogadores contratados tm o clube?

3. Comprei um apartamento por R$ 420.000,00. Paguei 2/3 de entrada e o resto em

10 meses. Quanto dei de entrada? 4. Dois teros de uma pea de fazenda medem 90 metros. Quantos metros tm a

pea? 5. Que horas so se o que ainda resta para terminar o dia 2/3 do que j passou? 6. Paulo gastou do que possua e, a seguir, a metade do resto. Ficou ainda com

R$7,00. Quanto Paulo possua? 7. Dei 3/5 do meu dinheiro a meu irmo e metade do resto a minha irm. Fiquei

ainda com R$8,00. Quanto eu possua? 8. Quanto devo subtrair do numerador da frao 324/349 para torn-la nove vezes

menor? 9. A soma da metade com a tera parte da quantia que certa pessoa tem igual a

R$15,00. Quanto possui esta pessoa? 10. Uma pessoa despendeu certa quantia na compra de um terreno e o vendeu por

R$35.000,00; nesta venda ganhou do que despendera. Por quanto comprou o terreno?


28

2. Regra de trs simples e composta Regra de trs simples envolve apenas duas grandezas, e essas grandezas

formam uma proporo, em que se conhecem trs termos e o quarto procurado, ao passo que a composta envolve mais de duas grandezas.

A natureza da proporo est relacionada ao tipo de grandezas envolvidas. As grandezas podem ser diretamente proporcionais ou inversamente

proporcionais. As grandezas diretamente proporcionais so aquelas que mantm o comportamento entre elas, ou seja, se uma grandeza aumenta (diminui), a outra tambm aumenta (diminui). As grandezas inversamente proporcionais so aquelas que no mantm o comportamento entre elas, ou seja, se uma grandeza aumenta (diminui), a outra diminui (aumenta). Exemplos: Exemplos: 1. Comprei 15 quilos de feijo por R$36,00. Quantos quilos de feijo poderia

comprar se tivesse R$120,00? Soluo: Devemos dispor as grandezas, bem como os valores envolvidos, de modo que possamos reconhecer a natureza da proporo e escrev-la. Assim:

Grandeza 1: quantidade de feijo em kg

Grandeza 2: preo em reais

15

36

x

120

Observe que colocamos na mesma linha

valores que se correspondem


29

A proporo entre as grandezas direta, porque, se aumentarmos a quantidade de feijo que vamos comprar, aumentamos o gasto. A proporo necessria :

5036

120151201536

120

3615=

=== xx

x

Resposta: Poderia comprar 50 quilos de feijo.

2. Numa fbrica, 16 homens com igual capacidade de trabalho realizam uma tarefa

durante 45 dias. Com 10 homens apenas, em quantos dias ser realizada a mesma tarefa?

Soluo: Devemos dispor as grandezas, bem como os valores envolvidos, de modo que possamos reconhecer a natureza da proporo e escrev-la. Assim:

Grandeza 1: nmero de

homens

Grandeza 2: dias de trabalho

16

45

10

x

A proporo entre as grandezas inversa porque, se aumentarmos o

nmero de homens, diminuir o tempo necessrio, para efetuar a mesma tarefa. Ento, torna-se necessria uma inverso de termos em qualquer uma das colunas.

Usaremos setas indicativas, para indicar a natureza da proporo. Se elas tiverem o mesmo sentido, as grandezas so

diretamente proporcionais; se em sentidos contrrios, so inversamente proporcionais.


30

16

x

10

45

Escrevendo a proporo, temos:

7210

4516451610

4510

16=

=== xx

x

Resposta: A mesma tarefa ser executada em 72 dias.

3. Se 100kg de arroz alimentam 36 pessoas durante 15 dias, quantos quilos do mesmo arroz sero necessrios, para alimentar o dobro de pessoas durante um ms e meio?

De forma anloga , voc deve verificar a natureza da proporo entre as grandezas e escrever essa proporo. Utilizaremos o mesmo modo de dispor as grandezas e os valores envolvidos.

Grandeza 1: quantidade de arroz em kg

Grandeza 2: mero de

pessoas

Grandeza 3: mero de dias

100

36

15

x

72

45

Importante: Natureza da proporo: para estabelecer o sentido das setas, necessrio fixar uma das grandezas e relacion-la com as outras.


31

Comparando as grandezas nmero de pessoas e nmero de dias com a grandeza quantidade de arroz, que contm a incgnita, percebemos que:

MANTENDO-SE FIXO O NMERO DE DIAS E AUMENTANDO-SE O NMERO DE PESSOAS, A QUANTIDADE DE COMIDA DEVE AUMENTAR. PORTANTO, ESSAS GRANDEZAS SO DIRETAME,TE PROPORCIO,AIS. LOGO, AS SETAS DEVEM ESTAR NO MESMO SENTIDO.

MANTENDO-SE FIXO O NMERO DE PESSOAS E AUMENTANDO-SE O NMERO DE DIAS, A QUANTIDADE DE COMIDA DEVE AUMENTAR. PORTANTO, ESSAS GRANDEZAS SO DIRETAME,TE PROPORCIO,AIS. LOGO, AS SETAS DEVEM ESTAR NO MESMO SENTIDO.

Portanto, a proporo fica assim:

6001536

4572100

45

15

72

36100=

== xx

x

Resposta: Sero necessrios 600 kg de arroz.

4. Numa fbrica, 10 mquinas trabalhando 20dias, produzem 2000 peas. Quantas mquinas sero necessrias, para se produzir 1680 peas em 6 dias?

Grandeza 1:

nmero de mquinas

Grandeza 2: mero de dias

Grandeza 3: mero de

peas 10

20

2000

x

6

1680


32

Comparando as grandezas nmero de dias e nmero de peas com a grandeza nmero de mquinas, que contm a incgnita, percebemos que:

MANTENDO-SE FIXO O NMERO DE DIAS E AUMENTANDO-SE O NMERO DE MQUINAS, A QUANTIDADE DE PEAS PRODUZIDAS DEVE AUMENTAR. PORTANTO, ESSAS GRANDEZAS SO DIRETAMENTE PROPORCIONAIS. LOGO, AS SETAS DEVEM ESTAR NO MESMO SENTIDO.

MANTENDO-SE FIXA A PRODUO (NMEROS DE PEAS) E AUMENTANDO-SE O NMERO DE MQUINAS, A QUANTIDADE DE DIAS PARA REALIZAR O TRABALHO DEVE DIMINUIR. PORTANTO, ESSAS GRANDEZAS SO INVERSAMENTE PROPORCIONAIS. LOGO, AS SETAS DEVEM ESTAR NO MESMO CONTRRIO. Para se escrever corretamente a proporo, devemos fazer com que as setas

fiquem no mesmo sentido, invertendo os termos das colunas convenientes.

10

6

2000

x

20

1680

Portanto a proporo fica assim:

2812000

3360010

33600

1200010

1680

2000

20

610=

=== xx

xx

Resposta: Sero necessrias 28 mquinas.


33

3.1. Exerccios propostos:

1. Uma torneira enche um tanque em 3 horas. Em quantos minutos enche do tanque?

2. 8 mquinas produzem 600 peas de metal por hora. Quantas mquinas

idnticas as primeiras so necessrias para produzir 1500 peas de metal por hora?


34

3. Para transportar certo volume de areia para uma construo, foram necessrios 20 caminhes com 4m3 de areia cada um. Se cada caminho pudesse conter 5m3 de areia, quantos caminhes seriam necessrios para fazer o mesmo servio?

4. Estima-se que um grupo de 10 pedreiros, trabalhando de forma homognea,

consiga realizar determinada obra de construo civil em 40 dias. Se o grupo for reduzido para 8 pedreiros, quanto tempo ser necessrio para concluir a mesma obra?


35

5. 4 mquinas produzem 32 peas de madeira em 8 dias. Quantas peas iguais as primeiras so produzidas por 10 mquinas, em 6 dias?

6. 16 operrios, trabalhando 8 horas por dia, produzem diariamente 120 pares de sapatos. Desejando-se ampliar o mercado de vendas, quantos operrios, trabalhando 10 horas por dia, podem assegurar uma produo diria de 300 pares de sapatos?


36

3.2. Exerccios de Fixao

1. Para ladrilhar 5/7 de um ptio empregaram-se 46.360 ladrilhos. Quantos

ladrilhos iguais sero necessrios para ladrilhar 3/8 do mesmo ptio?

2. Para paginar um livro com 30 linhas em cada pagina, so necessrias 420 pginas. Quantas pginas de 40 linhas cada uma seriam necessrias para paginar o mesmo livro?

3. Uma torneira despeja 40 litros de gua em 5 minutos. Em quanto tempo esta

torneira encheria um reservatrio de 2cm3 de capacidade?

4. Em uma tecelagem, 25 teares, trabalhando durante 10 dias, fizeram 1000m de certo tecido. Quantos metros do mesmo tecido sero produzidos por uma segunda unidade da tecelagem que tem 20 teares, idnticos primeira unidade, trabalhando durante 18 dias?

5. 6 digitadores preparam 720 pginas em 18 dias. Em quantos dias, 8

digitadores, de mesma capacidade, prepararo 800 pginas?


37

4. Porcentagem

Porcentagem uma razo de conseqente 100. Problemas envolvendo porcentagem podem ser resolvidos por meio de uma

regra de trs simples e direta ou ento, pela formulao:

PORCENTAGEM = TAXA PERCENTUAL UNITRIA (I) PRINCIPAL OBS.: Para transformar uma taxa percentual em unitria, basta escrev-la na forma fracionria e em seguida efetuar a diviso.

Lembretes: pv = pc + L ou pv = pc P

sendo: pv...preo de venda pc...preo de custo ou compra L ... Lucro P ... Prejuzo Clculo do preo final com aumento

pf = (1 + i).pi sendo: pf...preo final

pi...preo inicial i ... taxa unitria

Clculo do preo final com desconto

pf = (1 - i).pi sendo: pf...preo final pi...preo inicial

i ... taxa unitria


38

4.1. Exerccios Propostos

1. Sobre uma dvida de $60.000,00, obteve-se um desconto de 10%. Sobre o restante, obteve-se outro desconto que reduziu a dvida para $43.200,00. Qual a porcentagem do segundo desconto?

2. Um negociante ao falir s pde pagar 17/36 do que deve. Se possusse mais R$23.600,00 poderia pagar 80% da dvida. Quanto ele deve?


39

3. Um negociante concedeu um abatimento de 5% sobre o preo marcado numa mercadoria e o desconto foi de R$21,00. Qual o preo marcado?

4. Qual o preo de custo de uma mercadoria vendida por R$321,00, com o lucro de 7% sobre o preo de custo?

5. Qual o preo de custo de uma mercadoria vendida por R$104,00, com lucro de 30% sobre o preo de venda?


40

6. Por R$750,00 vendi minha mquina fotogrfica com 25% de prejuzo sobre seu custo. Por quanto comprei a mquina?

7. O Sr. Aristides vendeu dois lotes de aes, o primeiro por R$7.200,00 e o segundo por R$18.000,00. No primeiro, ele teve um ganho igual a 50% do preo de custo; e no segundo, ele teve uma perda igual a 10% do preo de custo. Qual foi o seu ganho (em reais) nesses dois lotes?


41

8. Um investidor adquiriu dois lotes em um balnerio, pagando a mesma quantia por lote. Seis meses depois, os lotes foram revendidos pelo total de R$43.000,00. O primeiro foi revendido com um lucro de 10 % sobre o custo e o segundo com um lucro de 5% sobre o custo. Qual o valor do custo por lote para o investidor?


42

4.2. Exerccios de Fixao

1. Se o preo de um quilo de carne passar de $15,00 para $21,00, qual a

porcentagem do aumento?

2. Um atirador faz 320 disparos contra um alvo, tendo acertado 288 vezes. Qual

a porcentagem de tiros certos e qual a de tiros errados?

3. Uma pessoa compra uma propriedade por 11 mil reais. Paga de taxas, comisses e escrituras R$1.200,00. Por quanto deve revend-la para lucrar 20%, sobre, sobre o custo?

4. Certa mercadoria foi vendida por R$252,00, dando um lucro de 20% sobre o custo ao vendedor. Quanto lhe custou mercadoria?

5. Se um negociante lhe vende uma camisa de R$120,00 por R$102,00, quantos por cento lhe concedeu de desconto ?

6. Qual o preo de custo de uma mercadoria vendida por R$344,00, com prejuzo de 14% sobre o preo de custo ?

7. Qual o preo de custo de uma mercadoria vendida por R$344,00, com prejuzo de 14% sobre o preo de venda ?


43

5. Funo

Noo intuitiva de funo Funo entre duas grandezas: duas grandezas x e y esto relacionadas de tal forma que, se, para cada valor atribudo a grandeza x, existir um nico valor associado da grandeza y, ento podemos dizer que y uma funo da grandeza x. Assim, por exemplo, dizemos que: - a altura de uma pessoa funo de sua idade ( idade aqui o tempo de

durao de vida da pessoa at o presente momento e no apenas o nmero inteiro de anos vividos);

- o preo pago pela gasolina colocada no tanque do automvel funo da quantidade de litros comprados;

- o preo pago por uma corrida de taxi funo do nmero de quilmetros percorridos.

- A rea de uma circunferncia funo de seu raio. 8.2. Definio

Dados dois conjunto no vazios A e B, uma funo de A em B uma relao que a cada elemento x de A faz corresponder um nico elemento y de B.

importante observar que: - todo elemento de A deve ser associado a algum elemento em B; - para um dado elemento de A associamos um nico elemento em B. Assim, para que uma funo fique caracterizada, necessrio conhecermos seu domnio (A), o contradomnio(B) e uma regra (ou lei) que associe a todo elemento x de A, um nico elemento y de B. Logo, o domnio de uma funo f de A em B, f: A B, ser sempre o conjunto A e seu conjunto imagem ser um subconjunto de B.


44

Notao Sendo x um elemento de A e y um elemento de B, indicamos uma funo de A em B com a seguinte notao:

y = f(x) (l-se: y igual a f de x)

na qual f representa uma lei de correspondncia entre os valores de x e y. O conjunto dos pares ordenados indicado, de forma genrica, por: F = {(X, Y) A B |Y = F(X)} (L-SE: F O CONJUNTO DOS PARES ORDENADOS PERTENCENTES A A CARTESIANO B, TAL QUE Y FUNO DE X) EXEMPLO: A lei de correspondncia que associa cada valor real x ao nmero y, sendo y o dobro de x uma funo definida por y = 2x ou f(x) = 2x. O domnio e o conjunto imagem dessa funo so R. A notao da funo , portanto, f: R R tal que y = 2x. Ento:

- para x = 4 , dizemos que y = 2.(4) = 8, ou ento que f(4) = 8 - a imagem de -2 f(-2) = 2(-2) = -4 - x = 2,5 corresponde a y = 2.(2,5) = 5 - y = 10 a imagem de x = 5.

Observao:

Quando, na expresso da funo (lei de correspondncia), substitumos a letra x por um nmero e efetuamos as operaes indicadas, estamos calculando o valor numrico da

funo, ou seja, determinando o valor da imagem de x.


45

5.1 Exerccios propostos de aplicao:

1. Escreva funes, descrevendo os seguintes fatos: a) Receita R de um comerciante que vende a quantidade varivel q de

mercadorias ao preo unitrio de $50,00;

b) Juros simples J ganhos por um investidor que emprega $5000,00, taxa de 8% ao ms, durante um tempo indeterminado de n meses;

c) Salrio mensal y de um operrio que ganha $330,00 fixos mais $1,50 por hora extra, sabendo que o nmero x de horas extras varia todo ms.

2. Um operrio, que ganha salrio varivel de acordo com as horas extras que

trabalha paga $100,00 de prestao de casa prpria, gasta 60% do seu salrio em manuteno e poupa o restante. Determine uma expresso matemtica para cada uma das funes consumo e poupana, isto , expresse seu consumo C e sua Poupana S em funo de sua renda varivel y.

3. Um vendedor ambulante compra objetos ao preo unitrio de $1,50 e vende

cada unidade a $2,50.


46

a) Expresse seu custo dirio C em funo da quantidade comprada q.

b) Expresse sua receita diria em funo da quantidade vendida q, que se supes igual a quantidade comprada.

c) Expresse seu lucro dirio L em funo da quantidade q.

d) Qual o lucro do vendedor por unidade vendida (lucro unitrio, Lu, ou lucro mdio, Lme)?

4. Suponha que o mesmo vendedor ambulante do exerccio 3 resolveu agora

incluir entre seus gastos o custo de sua conduo diria de $9,00. a) Como ficaro agora as funes: custo, receita e lucro do vendedor?

b) Qual ser agora seu lucro por unidade?


47

5. Em determinada cidade, a tarifa mensal de gua cobrada da seguinte forma:

para consumo de at 10m3, a tarifa um valor fixo de $8,00. A parte consumida entre 10 m3 e 20m3 paga uma tarifa de $1,00 por m3, e o que excede 20 m3 paga $1,40 por m3. Calcule a tarifa de quem consome: (a) 2 m3 por ms; (b) 15 m3; (c) 37 m3 ;(d) chamando de x o consumo mensal ( em m3 ) e de y a tarifa, obtenha a expresso de y como funo de x.


48

5.2 Exerccios de Fixao

1. Certa mquina foi comprada pelo preo de $80.000,00 (valor nominal) e vendida depois de dez anos (vida til) por $30.000,00 (valor residual).

a) Qual foi sua depreciao total? E qual a depreciao anual? b) Expresse a depreciao D como funo do tempo t em anos. c) Qual o valor da mquina para t = 1, 2, 3 e 10 anos? d) Como seria a expresso que d o valor V da mquina em funo do

tempo t?

2. Um professor de matemtica prope a sua turma de 40 alunos um exerccio-desafio, comprometendo-se a dividir um prmio de R$120,00 entre os acertadores. Seja x o nmero de acertadores (x = 1, 2, 3,..., 40) e y a quantia recebida por cada acertador (em reais). Responda: a) Y funo de x? Por qu? b) Quais os valores de y para x = 3, x = 8, x = 20 e x = 25? c) Qual o valor mnimo que y assume? d) Qual a lei de correspondncia entre y e x?

3. O preo do servio executado por um pintor consiste em uma taxa fixa, que

de R$25,00, e mais uma quantia que depende da rea pintada. A tabela seguinte mostra alguns oramentos apresentados por esse pintor:

rea pintada

(em m2)

Total a pagar (em reais)

5 35 10 45 15 55 20 65 30 85 40 105 80 185

Observando a tabela, responda:

a) Podemos dizer que o total a pagar y pela pintura funo da rea a ser pintada x? Justifique. b) Como se exprime, matematicamente, o total a pagar y pela pintura de x metros quadrados? c) Qual o preo cobrado pela pintura de uma rea de 120m2? d) Qual a rea mxima que pode ser pintada dispondo-se de R$525,00?


49

4. Considere a tabela para o clculo do imposto de renda a ser pago pelos contribuintes em certo ms de 2001.

x

Renda lquida em R$

i

Alquota %

D

Parcela a deduzir do

imposto em reais

At 900,00 - - Acima de 900,00 at

1.800,00 15,0 135,00

Acima de 1.800,00 27,5 n Considerando x como a renda lquida de um contribuinte, o imposto a

pagar funo de x. O contribuinte deve multiplicar a sua renda lquida pelo valor da alquota e subtrair do resultado a parcela a deduzir. Alm disso, tal funo deve ser contnua, para no prejudicar nem beneficiar contribuintes cuja renda lquida se situe em faixas distintas da tabela. Note, por exemplo, que ao passar da primeira faixa (isentos) para a segunda (alquota de 15%), a parcela a deduzir (135,00) no permite saltos no grfico.

(a) Utilize os valores de i e D da tabela e d a expresso da funo imposto a pagar y, relativa a uma renda x, em cada faixa da tabela;

(b) Determine o valor de n da tabela para que a funo seja contnua;


50

5.3. Grficos de funo

5.3.1. Plano cartesiano

Consideremos dois eixos x e y perpendiculares em O, os quais determinam o plano .

Dado um ponto P qualquer, P , traamos por ele duas retas x e y paralelas, respectivamente aos eixos x e y. Denominamos P1 a interseo de x com y e P2 a interseo de y com x. Nessas condies, definimos:

- A abscissa do ponto P o nmero real xP = OP1;

- A ordenada do ponto P o nmero real yP = OP2;

- Os nmeros xP e yP so as coordenadas do ponto P, geralmente indicados pelo par ordenado (xP,yP);

- O eixo das abscissas o eixo x ou Ox;

- O eixo das ordenadas o eixo y ou Oy;

- Sistema de eixos cartesianos ortogonal (ou ortonormal ou retangular) o sistema xOy;

- Origem do sistema o ponto O(0,0)

- Plano cartesiano o plano .

P

P1

P2

x

y

O

x

y

.

Matemtica Aplicada Administrao Profa. Elaine Martini e Prof. Humberto Simes

51

5.3.2. Construo do grfico de uma funo real A construo do grfico de uma funo real, conhecendo-se sua lei de correspondncia y = f(x) e seu domnio D, segue os seguintes passos: 1) passo: Construmos uma tabela onde aparecem os valores de x e os

valores do correspondente y, calculados atravs da lei y = f(x). Os valores atribudos a x devem pertencer ao domnio da funo.

2) passo: Cada para ordenado (x,y) da tabela dever ser plotado no

plano cartesiano. 3) passo: No caso da funo real, ligamos os pontos construdos no

passo anterior por meio de uma curva, que o prprio grfico da funo y = f(x).

Exemplo 1: Vamos construir o grfico da funo y = 3, para todo x real.

x y =

3

Pontos

-3 3 (-3,3) -2 3 (-2,3) -1 3 (-1,3) 0 3 (0,3) 1 3 (0,3) 2 3 (1,3) 3 3 (3,3)

Esse um exemplo de funo constante, pois se trata de uma funo, cujo o grfico uma reta paralela ao eixo das abscissas.

(0,3)

x

y


52

Exemplo 2: Vamos construir o grfico da funo y = 2x com domnio D = R: (1 e 2) passo: atribumos alguns valores para x, e calculamos y = 2x e

representamos os pares ordenados que esto nessa tabela por pontos.

x

y = 2x

Pontos

-3 -6 (-3,-6) -2 -4 (-2,-4) -1 -2 (-1,-2) 0 0 (0,0) 1 2 (1,2) 2 4 (2,4) 3 6 (3,6)

3) passo: Desenhamos a curva provvel que contm os pontos que

satisfazem a lei y = 2x.

Essa curva chamada de reta. Exemplo 3 Vamos construir o grfico da funo y = |x| com domnio D = R: (1 e 2) passo: atribumos alguns valores para x, e calculamos y = |x| e

representamos os pares ordenados que esto nessa tabela por pontos.

Lembrando que:


53

Exemplo 4: Vamos construir o grfico da funo y = x2 4 com D = R.

x y = x2 4

Pontos

-3 5 (-3,5) -2 0 (-2,0) -1 -3 (-1,-3) 0 -4 (0,-4) 1 -3 (1,-3) 2 0 (2,0) 3 5 (3,5)

Essa curva chamada de parbola.

(-2,0)

(0,-4)

(2,0) x

y


54

5.4. Exerccios Propostos 1. Representar graficamente as seguintes funes, determinar o domnio e o conjunto imagem.

a) y = 2 + x, x [0,2] b) y = 4 - x, x R c) y = x2, x [0,3]


55

d) x

y1

= , x >0

e) xy = , x 0

f)

>

=

0 xse x,

0 xse 1,y


56

g)

>

0 a reta crescente (I) e se a < 0, decrescente (II).

Interseo com Oy: Fazendo x = 0 , temos y = a (0) + b = b; ento (0, b) o ponto em que a reta corta o eixo dos y.

Interseo com Ox: Fazendo y = 0 , temos:

a

b-x

b- ax

0 b ax

=

=

=+

ento

0,

a

b o ponto em que a reta corta o eixo dos x.

(0,b)

x

y

x

y

(-b/a,0)

(0,b)

(-b/a,0)

Apostila de Matemtica Prof. Elaine Martini

60

6.1. Exerccios de aplicao

6.1.1. DEPRECIAO LINEAR

V(T) = V0 + ad.t, sendo ad o coeficiente de depreciao (ad < 0)

1. A taxa de inscrio num clube de natao $150,00 para o curso de 12 semanas. Se a pessoa se inscreve aps o incio das aulas, a taxa reduzida linearmente. (a) Expresse a taxa de inscrio em funo do nmero de semanas transcorridas desde o incio do curso e construa o grfico. (b) Calcule quanto uma pessoa pagou ao se inscrever 5 semanas aps o incio do curso.

2. O valor de uma mquina decresce linearmente com o tempo devido ao

desgaste. Sabendo-se que hoje ela vale 10.000 dlares e daqui a 5 anos 1.000 dlares, qual ser seu valor daqui a 3 anos?


61

3. O valor de um carro popular decresce linearmente com o tempo, devido ao

desgaste. Sabe-se que o preo de fbrica R$9.500,00 e que, depois de 5 anos de uso, R$3.200,00. (a) Expresse o valor do carro em funo do tempo; (b) Qual o valor do carro aps 3 anos de uso? (c) Quanto foi a depreciao em 3 anos?

4. O valor de um carro popular decresce linearmente com o tempo, devido ao desgaste. Sabe-se que depois de 2 anos de uso seu valor $6.980,00 e que, depois de 5 anos de uso, R$3.200,00. (a) Expresse o valor do carro em funo do tempo de uso; (b) Qual o preo de fbrica do carro? (c) Quanto foi a depreciao em 5 anos?


62

5. O valor de um carro popular decresce linearmente com o tempo, devido ao

desgaste. Daqui a 5 anos de uso, a depreciao total do carro ser de $6.300,00 e que seu valor depois de 2 anos de uso, $6980,00. (a) Expresse o valor do carro em funo do tempo de uso; (b) Qual o preo de fbrica do carro? (c) Qual o valor do carro aps 5 anos de uso?


63

6.1.2. INTERSEO DE RETAS 6. As tarifas praticadas por duas agncias de locao de automveis, para

veculos idnticos, so : AGNCIA A AGNCIA B

144 reais por dia

(seguros inclusos)

mais 1,675 reais por km rodado

141 reais por dia

(seguros inclusos)

mais 1,70 reais por km rodado

a) Para um percurso de 110km, qual a agencia que oferece o menor preo?

b) Seja x o nmero de km percorridos durante um dia. Determine o intervalo de variao de x de modo que seja mais vantajosa a locao de um automvel na agencia A do que na B.


64

7. O valor cobrado por um eletricista A inclui uma parte fixa, como visita, transporte, etc., e outra que depende da quantidade de metros de fio requerida pelo servio O grfico abaixo representa o valor do servio efetuado em funo do nmero de metros utilizados.

a) Qual o valor da parte fixa cobrado pelo eletricista? b) Sabendo que o preo cobrado por um eletricista B depende

unicamente do nmero de metros utilizados, no sendo cobrada a parte fixa. Se o preo do servio de $4,50 por metro de fio utilizado, a partir de que metragem deve o consumidor preferir A ao B?

Preo (R$)

Metros (m)

6

7

1 2


65

8. Em certo clube de tnis, a taxa anual cobrada aos scios de $500,00 e o scio pode utilizar a quadra de tnis, pagando $1,00 por hora. Em outro clube, a taxa de $440,00 e cobram $1,75 por hora de uso da quadra. Levando-se em considerao a questo financeira, que clube o tenista escolher? (Faa os grficos num mesmo sistema cartesiano)

9. O aluguel de um carro numa agncia de $140,00 mais $1,50/km rodado.

Uma segunda agncia cobra $200,00 mais $0,50/km rodado. Que agencia oferece o melhor plano de aluguel?


66

10.Certo banco cobra $20,00 por talo de cheques e $0,50 por cheque utilizado. Outro banco cobra $10,00 por talo e $0,90 por cheque utilizado. Ache um critrio para decidir em que banco voc abrir sua conta.

6.1.3. RECEITA TOTAL, CUSTO TOTAL E LUCRO TOTAL RT = pv.q CT = cv.q + cf LT = RT CT ou LT = (pv.- cv).q - cf 11.Um professor preparou apostilas para seus alunos, gastou $2.000,00 na

digitao, calculou o preo de custo de cada apostila em $40,00 e vendeu cada uma por $50,00. Pede-se:

a) A funo custo total; b) A funo receita total;

c) A funo lucro total e seu grfico;


67

12.O custo varivel por unidade de produo de um bem $5,00, e o custo

fixo associado produo $30,00. Se o preo de venda do referido bem $6,50, determinar:

a) a funo custo total;

b) a funo receita total;

c) a funo lucro total;

d) break even point;

e) a produo necessria para um lucro de $120,00. 13.Um fabricante vende a unidade de certo produto por $110,00. O custo total

consiste de uma taxa fixa de $7.500,00 somada ao custo de produo de $60,00 por unidade. (a) Quantas unidades o fabricante precisa vender para atingir o ponto de equilbrio? (b) Se forem vendidas 100 unidades, qual ser o lucro ou o prejuzo do fabricante? (c) quantas unidades o fabricante necessita vender para obter um lucro de $1250,00?


68

14.O preo de venda de um bem de consumo $8,00. A indstria est

produzindo 1200 unidades, e o lucro bruto pela venda da produo de $2.600,00. Se o custo fixo de produo de $1960,00, calcular: (a) o custo varivel por unidade; (b) o break even point; (c) a produo necessria para um lucro de $10.000,00?

15.Um determinado produto produzido ao custo varivel por unidade de

$2,00, e vendido por $2,50. Se o break even point atingido ao nvel de produo de 2.500 unidades, deseja-se saber:

a) custo fixo associado


69

b) a produo necessria para um lucro de $6.000,00.

16.Uma empresa fabrica um produto a um custo fixo de $1.200,00, o custo

varivel por unidade de $2,00 e vende cada unidade por $5,00. Atualmente o nvel de vendas de 1.000 unidades por ms. A empresa pretende reduzir em 20% seu preo unitrio de venda, visando com isto aumentar suas vendas. Qual dever ser o aumento na quantidade vendida para manter seu lucro mensal?

17.Uma malharia opera a um custo fixo de $20.000,00. O custo varivel por

malha produzida $60,00, e o preo unitrio de venda $100,00. Nestas condies, seu nvel mensal de venda de 2.000 unidades. O proprietrio estima que, reduzindo em 10% o preo unitrio de venda, as vendas aumentaro 20%. Voc acha vantajosa essa alterao? Justifique.


70

6.1.4. OFERTA E DEMANDA LINEAR

18.Um produtor observou que, quando o preo unitrio de seu produto era $5,00, a demanda mensal era de 3mil unidades e quando o preo era de $6,00, a demanda mensal era de 2800 unidade. Obter a equao de demanda, admitindo-a linear.

19.Quando o preo unitrio de um produto de $10,00, 5mil unidades deste produto so colocadas no mercado por ms; se o preo for $12,00, 5500 unidades estaro disponveis. Admitindo-a linear, determine a equao da oferta.

20.Uma empresa vende 200unidades por ms, se o preo unitrio for $5,00. A empresa acredita que, reduzindo o preo em 20%, o nmero de unidades vendidas ser 50% maior. Obter a equao de demanda, admitindo-a linear.


71

21.Um grupo de artesos fabrica um nico tipo de pulseira. A um preo de $100,00 por unidade, a quantidade vendida 40 unidades por dia; se o preo for $80,00, a quantidade vendida 60. Obter a equao de demanda, admitindo-a linear.

22.O Sr. ngelo proprietrio de um hotel para viajantes solitrios com 40 sutes. Ele sabe que, se cobrar $150,00 a diria, o hotel permanecer lotado. Por outro lado , para cada $5,00 de aumento na diria, uma sute permanece vazia. Obter a equao de demanda, admitindo-a linear.

23.Uma vdeolocadora aluga 200 fitas dirias, se o aluguel dirio de cada fita for $4,00. Para cada $1,00 de acrscimo no preo, h uma queda na demanda de 50 fitas. Obter a equao de demanda, admitindo-a linear.


72

24.Uma doceria produz um tipo de bolo de tal forma que sua equao de

oferta diria p = 10 + 0,2q, onde p o preo e q a quantidade ofertada. (a) Qual o preo para que a oferta seja de 20 bolos dirios? (b) Se o preo for $15,00, qual a quantidade ofertada? Se a curva de demanda diria por esses bolos for p = 30 -1,8q, qual o preo de equilbrio?

25.Determine a quantidade e o preo de equilbrio de mercado nas seguintes situaes:

a) Oferta: p = 10 + q e Demanda: p = 20 - q;

b) Oferta: p = q + 20 e Demanda: p = 50 - q;


73

c) Oferta: p = 50 + q e Demanda: p = 100 - q;

d) Oferta: p = 10 + q e Demanda: y = 50 q;

26. As funes de oferta e procura de um certo produto so, respectivamente, q = 4p + 200 e q = -3p + 480. Calcule o preo de equilbrio e o nmero de unidades em oferta e procura correspondes.


74

27.Se um produto for vendido por $3,00 o mercado absorve 17 unidades. Se o preo for $4,00, o mercado absorver 16 unidades. A quantidade de equilbrio de mercado de 5 unidades. O preo mnimo que o fabricante poder ofertar o produto $10,00. Encontre as equaes de oferta e demanda.

28.Se um produto for vendido por $2,00 o mercado absorve 10 unidades. Baixando-se o preo em 25%, o mercado absorver 25 unidades. Se o preo for $1,00, ser alcanado o ponto de equilbrio. O fabricante ofertar 50 unidades se o preo for $2,00. Encontre as equaes de oferta e demanda.


75

6.1.5. JUROS SIMPLES: M = C(1 + in)

29.Um capital de $2.000,00 foi aplicado durante 1 ano e 4 meses taxa de juros simples de 10,5% ao ano. No final desse tempo, quanto receberei de juros e qual foi o capital acumulado?

30.Uma pessoa aplica certa quantidade durante 2 anos e meio, taxa de juros simples de 150% ao ano, e recebe $21.000,00 de juros. Qual foi a quantia aplicada?

31.Uma pessoa colocou um capital de $1.500,00, taxa de juros simples de 3,5% ao ms. Achar a funo M (montante) em funo do tempo n e fazer o grfico.


76

7. Funo do 2 grau Aplicaes

Chama-se funo quadrtica, ou funo polinomial do 2 grau, qualquer funo f de IR em IR dada por uma lei na forma f(x) = ax2 + bx + c, sendo a, b e c nmeros reais e a 0.

Representao grfica: parbola

Concavidade:

Se a > 0 concavidade voltada para cima e se a < 0 concavidade voltada para baixo;

Interseo com Oy: Fazendo x = 0 , temos y = a (0)2 + b (0) + c = c; ento (0, c) o ponto em que a parbola corta o eixo dos y.

Interseo com Ox: Os zeros da funo definem os pontos em que a parbola intercepta o eixo dos x. Neste caso os pontos de interseo com o eixo x, depende do valor do discriminante () como mostra a figura abaixo.


77

Vrtice:

O vrtice

aa

bV

4,

2 indica o ponto de mnimo (se a > 0), ou

mximo (se a < 0) da funo do 2o grau;

Eixo de Simetria: A reta que passa por V e perpendicular ao eixo dos x o eixo de

simetria da parbola e sua equao dada por x = a

b

2

.

7.1. Problemas envolvendo a funo do 2 grau. a) Uma espcie animal, cuja famlia era de 200 elementos, foi testada num

laboratrio sob a ao de certa droga, e constatouse que a lei de sobrevivncia entre esta famlia obedecia relao n(t) = at2 + b, onde n(t) igual ao nmero de elementos vivos no tempo t (dado em horas) e a e b, parmetros que dependiam da droga ministrada. Sabe-se que a famlia desapareceu (morreu o ltimo elemento) aps 10 horas do incio da experincia. (a) Determine os parmetros a e b; (b) Determine quantos elementos tinha esta famlia aps 8 horas do incio da experincia.

b) Estima-se que, daqui a t anos, o nmero de pessoas que visitam um

determinado museu ser dado por N(t) = 30t2 120t + 3000. (a) Atualmente, qual o nmero de pessoas que visitam o museu? (b) Em que ano ser registrado o menor nmero de visitantes?


78

c) Um dia na praia a temperatura atingiu o seu valor mximo s 14 horas. Supondo que nesse dia a temperatura F(t) em graus era uma funo do tempo t medido em horas, dada por F(t) = -t2 + bt 156 quando 8 < t < 20, obtenha: (a) o valor de b; (b) a temperatura mxima atingida nesse dia.

d) Uma bola foi jogada de cima de um edifcio. Sua altura (em metros), depois

de t segundos, dada pela funo H(t) = -16t2 + 256.(a) Em Qual altura estar a bola depois de 3 segundos? (b) Qual a altura do edifcio? (c) Quando a bola atingir o solo?


79

7.2. Exerccios de aplicao: RECEITA, CUSTO E LUCRO

QUADRTICAS 1. Uma companhia de televiso a cabo estima que com x milhares de

assinaturas, o faturamento e o custo mensais (em milhares de dlares) so : R(x) = 32x 0,21x2 e C(x) = 195 + 12x. Encontre (a) o nmero de assinantes para o qual o faturamento igual ao custo e (b) o preo da assinatura para que o lucro seja mximo.

2. Sejam as funes de receita total e custo total dadas por RT(q) = -4q2 +

160q e CT(q) = q2 + 10q + 1000. Pede-se: (a) o ponto crtico; (b) a funo lucro total e esboar o grfico e (c) para qual quantidade se tem lucro mximo.


80

3. O lucro obtido por um fabricante com a venda de determinado produto

dado pela funo L(p) = 400(15 - p)(p - 2), onde p o preo de venda de cada unidade. Calcule o preo timo de venda.

4. Um grupo de artesos fabrica pulseiras de um nico tipo. A um preo de

100um por unidade, a quantidade vendida de 40 unidades por dia; se o preo por unidade de 80um, a quantidade vendida 60. (a) Admitindo linear a curva de demanda, obtenha o preo que deve ser cobrado para maximizar a receita dos artesos. (b) Se os artesos tm um custo fixo de 100um por dia e o custo varivel por pulseira igual a 40um, qual o preo para maximizar o lucro dirio?


81

8. Funo Exponencial

A funo exponencial toda funo de real que pode ser expressa pela forma y = bx ou f(x) = bx, com b > 0 e b 1. Sendo: 1) D = R, ou seja todo x R existe a imagem bx . 2) Os interceptos da funo:

- Interseo com eixo y : Fazendo x = 0 temos que y = b0 = 1 Portanto o ponto (0, 1)

- Interseo com eixo x :

Fazendo y = 0 temos que 0 = bx (no existe) Portanto a funo exponencial no intercepta o eixo x.

3) Grfico da funo:

Iremos construir os grficos das funes y = 2x e y = x

2

1e observar

algumas propriedades:

1o ) caso : y = 2x

x y = 2x Pontos -3 2-3 =

8

1

2

13=

(-3,8

1)

-2 2-2

=4

1

2

12=

(-2,4

1)

-1 2-1

=2

1

2

11=

(-1, 2

1)

0 20 = 1 (0,1) 1 21= 2 (1,2) 2 22= 4 (2,4) 3 23 = 8 (3,8)

0

2

4

6

8

10

-3 -2 -1 0 1 2 3x

y


82

1o ) caso : y = x

2

1

x y =

x

2

1

Pontos

-3 ( ) 82

2

1 33

==

(-3,8)

-2 ( ) 42

2

1 22

==

(-2,4)

-1 ( ) 22

2

1 11

==

(-1,2)

0 1

2

10

=

(0,1)

1

2

1

2

11

=

(1, 21)

2

4

1

2

12

=

(2, 41)

3

8

1

2

13

=

(3, 81)

0

2

4

6

8

10

-3 -2 -1 0 1 2 3

x

y

Observando os grficos podemos dizer que:

(A) Ambas funes possuem o mesmo ponto de interseo com o eixo y ,(0,1);

(B) Se b > 1 , ento a funo exponencial crescente;

Exemplos: y = 2x, y = 1,5x , y = x

2

5

(C) Se 0 < b < 1, ento a funo exponencial decrescente;

Exemplos: y = x

2

1, y = 0,25x , y =

x

5

2

(D) Para todo valor de b > 0 e todo x R, o grfico da funo

exponencial (y = bx) estar sempre situada acima do eixo x, portanto o conjunto imagem desta funo Im = R*+.

MODELOS DE CRESCIMENTO E DECRESCIMENTO EXPONENCIAL: V(t) = V0.(1 + i)t...modelo de crescimento exponencial V(t) = V0.(1 - i)t... modelo de decrescimento exponencial

Importante: Nas aplicaes da funo exponencial, muito comum escrever a funo assim:

f(x) = a . bx, com a 0, b > 0 e b 1 A nica diferena existente o ponto de interseo com o eixo y, onde para x = 0, y = a . b0 = a . 1 = a , ou seja (0 , a).

Notas de aula de Matemtica Aplicada Prof. Elaine Martini

1

1

8.1. Exerccios de aplicao da funo exponencial 1. O produto nacional bruto (PNB) de um certo pas era de 200 bilhes de

unidades monetrias em 1995 e de 360 bilhes de unidades monetrias em 2000. Admitindo que o PNB cresa exponencialmente, de quanto foi o PNB de 2006?

2. Avalia-se que a populao de certo pas cresa exponencialmente. Se a

populao era 60 milhes de habitantes em 1990 e de 90 milhes de habitantes em 2000, qual era a populao em 2005?

3. A densidade demogrfica a x quilmetros do centro de certa cidade de

D(x)=12e-0.07x milhares de pessoas por quilmetro quadrado. (a) Qual a densidade da populao no centro da cidade? (b) Qual a densidade da populao a 10 km do centro da cidade?


2

2

MONTANTE A JUROS COMPOSTOS M(n) = C (1 + i)n

4. Durante quanto tempo se deve aplicar $5.000,00 taxa de 7% am, para

produzir o montante de $12.000,00? 5. Para duplicar um capital qualquer em 10 meses e 15 dias , aplicado

juros compostos, que taxa devo usar? 6. Em 1985, na porta de um grande banco, encontrava-se um cartaz onde

se lia Aplique hoje $1.788,80 e receba $3.000,00 daqui a 6 meses. Qual era a taxa mensal de juros que o banco estava aplicando sobre o dinheiro investido?


3

3

7. Quanto devo aplicar hoje, taxa de 2%am, para cumprir um compromisso de $4.000,00 daqui a 2 meses, e outro de $5.000,00 daqui a trs meses?

8. Uma pessoa colocou um capital de $1.000,00, taxa de juros compostos

de 5% ao ms. Achar a funo M (montante) em funo do tempo n e fazer o grfico.

9. Aplicando $100.000,00 a juros compostos, depois de 3 anos recebi

$270.000,00. Qual foi a taxa anual usada?


4

4

10.Um certo aplicador colocou um capital de $15.000,00 juros compostos de 7% a.m, durante 3 meses e 20 dias. Em seguida, reaplicou o montante ainda a juros compostos de 10%am. No final da operao, recebeu $62.000,00. Qual o perodo total que o capital esteve aplicado?


5

5

9. APNDICE

9.1. Smbolos Matemticos pertence no pertence interseo unio contm no contm est contido no est contido vazio = igual diferente > maior maior e igual menor ou igual aproximado proporcional implicao se e somente se e ou existe no existe portanto qualquer !!!! fatorial somatria variao ortogonal infinito


6

6

9.2. LOGARITMO E FUNO LOGARTMICA 9. 2.1. DEFINIO E PROPRIEDADES

9.2.1.1. DEFINIO

1 b e 0b 0,a com a,bclogca

b >>== Sendo que o nmero a recebe o nome de logaritmando, b a base e c

o logaritmo de a na base b.

Exemplos: Calcule os seguintes logaritmos: a) log 416

soluo: log 416 = x , ento:

4x = 16 4x = 42 (comparando) x = 2 Resp.: log 416 = 2

b) log3 3 soluo: log3 3= x , ento: 3x = 3 3x = 31 (comparando) x = 1 Resp.: log3 3= 1 c) log 41 soluo: log 41= x , ento: 4x = 1 4x = 40 (comparando) x = 0 Resp.: log 41 = 0 d) log 100,1 soluo: log 100,1= x , ento: 10x = 0,1

10x = 10

1

10x = 10-1 (comparando) x = -1 Resp.: log 100,1 = -1

Obs.: De forma geral:

logb b = 1

com b > 0 e b 1

Obs.: De forma geral:

logb 1 = 0

com b > 0 e b 1


7

7

9.2.1.2. PROPRIEDADES DOS LOGARITMOS:

b

c

a

ca

b

a

c

a

c

b

c

a

c

b

a

c

b

c

a

c

(a.b)

c

log

loglog:base de Mudana :Obs.

n.loglog:potncia da Logartmo (P3)

logloglog :quociente um de Logartimo (P2)

logloglog:produto um de Logartmo (P1)

n

=

=

=

+=

Exemplo: Determine o valor de x, nos seguintes casos:

=

=

=

=

=

>=+

2

252

25

252

25

2log

2loglog

)(

2

25

255

S

x

x

x

I

x

x 0 x:C.E. ,


8

8

( ) ( )

{3}S

1 ou 3

e :C.E.

=

=

=

=

==

=

=++

=+

=+

=

+

+=

=

>>+=

+

+

xx

xx

xxx

xxx

xxx

x

xx

x

xx

x-xx

II

x

xx

xxx

2

42

)1(2

16)2(

16)3).(1(4)2(

032

04472

4472

)1(472

41

72

1

722

2log

01072,2loglog

)(

2

2

2

2

2

2

22

1

72

2

212

722

2

2

}9{

93

loglog

log2log

log2

log

loglog

log

,loglog

)(

2

322

322

32

2

324

2

2

324

2

=

==

=

=

=

=

>=

S

x

III

x

x

x

x

x 0 x:C.E.


9

9

9.3. EQUAES EXPONENCIAIS 9.3.1- MTODO DE REDUO A MESMA BASE Exemplos: (I)

( )

=

=

=

=

=

=

3

53

5

53

22

2

12

32

18

53

5

3

S

x

x

x

x

x

(II)

}4{

4

1615

240

240152

240

2

14

12072

1208422

1202.22.22.222

2

12022222

321

1

3211

=

===

=

==

=

=+

=+

=+++

=

=+++

=+++ +++

S

x

a

a

aa

aa

aaaaa

xxxxx

xxxxx

4xx

x

2 216 2

:temos 16, a para Ento

:temos a, 2 de Chamando


10

10

(III)

( )

}3{

32282

72

782

151

)1(2

225)1(

2252241)56)(1(4)1(

056

56

,222

5622

5624

3

2

2

2

222

2

=

====

==

=

=

=

=+==

=

=

===

=

=

S

x

aa

aa

aa

aa

xx

x

xxx

xx

xx

8 a Para

existe no 7- a Para

ou

:ento e Chamando

Exerccios Propostos 1. Resolver as seguintes equaes exponenciais:

a) 81

256

4

3=

x


11

11

b) 275 - x = 9 x c) 2x-3 + 2x-1 + 2x = 52 d) 3. 2x+3 = 192. 3x-3


12

12

2. Resolva as seguintes equaes: a) 2X = 3 log2x = log3 x.log2 = log3

x =2

3

log

log

x 1,58 S = {1,58} b) 52x-3 = 3

841

25

375

37525

37525

37525

535

35

5

32

3

2

,

log

log

loglog.

loglog

.

=

=

=

=

=

=

=

x

x

x

x

x

x

x

S = {1,84} c) 5x = 4


13

13

d) 3x = 2

1

e) 54x-3 = 0,5 f) 32x+1 = 2


14

14

g) 72-3x = 5

EXERCCIOS DE FIXAO Calcule:

a. ( ) 12 23 4 =+ xx

b. 4

12 3 =x

c. 22

2

5

5

2

=

x

d. 9x 10.3x + 9 = 0 e. 25x 6.5x + 5 = 0 f. 23x-2 = 32x+1

ADM 2008 Gabarito

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