lgebra BsicaCurso 2004-2005Eugenio Miranda Palacios2ndice general0. Rudimentos de lgica 70.1. El mtodo axiomtico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70.2. Proposiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80.3. Predicados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100.4. Demostraciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111. Aritmtica entera 131.1. El anillo ordenado de los nmeros enteros . . . . . . . . . . . . . 131.2. Induccin. Principios del mnimo y del mximo . . . . . . . . . . 151.3. Divisibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.4. Algoritmo de la divisin eucldea . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.5. Mximo comn divisor y mnimo comn mltiplo . . . . . . . . . 181.6. Ecuaciones diofnticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.7. Primos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.8. Congruencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.9. Sistemas de ecuaciones en congruencias . . . . . . . . . . . . . . 341.10. Teorema chino de los restos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361.11. Los anillos Zn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422. Anillos conmutativos 512.1. Leyes de composicin. Estructuras algebraicas. . . . . . . . . . . 512.2. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542.2.1. Ejemplos de grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542.2.2. Ejemplos de anillos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552.2.3. Ejemplos de mdulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572.3. Reglas de clculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582.3.1. Reglas de clculo para grupos . . . . . . . . . . . . . . . 582.3.2. Reglas de clculo para anillos . . . . . . . . . . . . . . . 612.4. Homomorsmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622.4.1. Homomorsmos de grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . 622.4.2. Homomorsmos de anillos. . . . . . . . . . . . . . . . . 6434 NDICE GENERAL2.4.3. Homomorsmos de mdulos. . . . . . . . . . . . . . . . 652.5. Subestructuras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662.5.1. Subgrupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662.5.2. Subanillos e ideales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672.5.3. Submdulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 702.6. Anillos cocientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 722.7. Dominios de integridad y cuerpos . . . . . . . . . . . . . . . . . 742.8. El cuerpo de fracciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 752.9. Factorizacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 772.9.1. Dominios de factorizacin nica. . . . . . . . . . . . . . 792.9.2. Dominios de ideales principales . . . . . . . . . . . . . . 813. Dominios Eucldeos 853.1. Deniciones y resultados bsicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . 853.2. Ejemplos: Anillos cuadrticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 873.2.1. Cuerpos cuadrticos de nmeros . . . . . . . . . . . . . . 873.2.2. Anillos cuadrticos de enteros . . . . . . . . . . . . . . . 873.2.3. Anillos cuadrticos eucldeos . . . . . . . . . . . . . . . 903.3. Aritmtica en dominios eucldeos . . . . . . . . . . . . . . . . . 923.3.1. Factorizacin en primos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 923.3.2. Clculo del mximo comn divisor . . . . . . . . . . . . 933.3.3. Resolucin de ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . 953.3.4. Resolucin de ecuaciones en congruencias . . . . . . . . 964. Polinomios 1054.1. Deniciones y primeras propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . 1054.2. El algoritmo de la divisin con resto . . . . . . . . . . . . . . . . 1094.3. Factorizacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1114.4. Criterios de irreducibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1144.5. Factorizacin en un nmero nito de pasos . . . . . . . . . . . . 1184.6. Polinomios simtricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1224.7. La resultante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1274.7.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1274.7.2. Denicin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1274.7.3. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1284.8. El discriminante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1284.8.1. Denicin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1294.8.2. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1294.9. Mtodos de clculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1294.9.1. Clculo directo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1294.9.2. Mtodo modular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132NDICE GENERAL 54.9.3. Por el algoritmo de Euclides . . . . . . . . . . . . . . . . 1334.9.4. Determinante de Euler-Sylvester-Cayley . . . . . . . . . . 1344.9.5. Determinante de Bezout . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1356 NDICE GENERALCaptulo 0Rudimentos de lgica0.1. El mtodo axiomticoMatemticas es el estudio de las relaciones entre ciertos objetos ideales comonmeros, funciones y guras geomtricas. Estos objetos no existen en el mundoreal sino que son modelos abstractos de situaciones fsicas.Para que un sistema matemtico sirva como modelo de la realidad debemostener en principio un mtodo para reconocer enunciados verdaderos, aunque en laprctica alguno puede ser difcil de demostrar. Cuando los objetos de estudio nosson intuitivamente familiares (como los nmeros enteros), tomamos como axio-mas ciertas propiedades intuitivamente verdaderas e intentamos deducir a partir deellas todas las restantes propiedades del sistema. Una vez elegidos los axiomas,podemos olvidar la interpretacin intuitiva y vemos a nuestros objetos como enti-dades abstractas sujetas a los axiomas dados. Cuando vayamos a aplicar nuestrosistema a un caso concreto, debemos buscar una interpretacin para cada nocinintroducida y vericar que en esta interpretacin todos los axiomas son verdad.Entonces podemos concluir que todos los enunciados derivados de los axiomastambin son ciertos. Esta consideracin subraya la necesidad de mantener el sis-tema de axiomas lo mas pequeo posible.Dos ventajas de este mtodo axiomtico es que podemos examinar el efectosobre nuestro sistema de variar los axiomas y que las demostraciones son mastrasparentes cuanto mas abstracto es el sistema. Por otra parte cuesta algn tiempofamiliarizarse con las nociones abstractas. En esto puede ayudar el modelo masomenosconcretoenquesebasanuestrosistema, aunquenoesestrictamentenecesario y ciertamente no forma parte de la teora.Estudiar estas nociones abstractas es como aprender un idioma nuevo. Perohay un aspecto en el que este proceso diere de aprender un lenguaje: Debemosrazonar sobre los nuevos conceptos y esto requiere atencin cuidadosa a la in-78 CAPTULO 0. RUDIMENTOS DE LGICAterrelacin lgica de los enunciados. Naturalmente es cierto que an en la vidacotidiana podemos despreciar la lgica slo bajo nuestra responsabilidad, pero laevidencia patente de lo absurdo de las conclusiones normalmente nos fuerza aabandonar una lnea falsa de razonamiento. Por contra cuando seguimos una lneaabstracta de pensamiento sobre conceptos no familiares, podemos alcanzar porrazonamiento lgico conclusiones que no podemos tamizar por el sentido comn.Por tanto es importante estar totalmente familiarizado con las reglas lgicas quenecesitamos y ser conscientes de que estas reglas pueden aplicarse sin mirar elsignicado actual de los enunciados a los que las aplicamos. Por esta razn empe-zamos describiendo brevemente algunos conceptos y notaciones de la lgica.0.2. ProposicionesPara nuestro propsito podemos suponer que cada proposicin es o verdaderao falsa. Usamos V para verdadero y F para falso. El correspondiente valor Vo F se llama el valor de verdad de la proposicin.La lgica proposicional describe las formas en que podemos combinar enun-ciados (tambin llamados proposiciones) verdaderos para producir otros enuncia-dos verdaderos. Usualmente se consideran cinco operaciones principales de esetipo (llamados conectivos lgicos), aunque tcnicamente podemos derivarlas to-das de una o dos de ellas. Estas operaciones son:Sean A y B dos enunciados (no necesariamente distintos). Denimos la expre-sin A y B tambin escrito A B, y llamada la conjuncin de A y B medianteuna tabla de verdadA V V F FB V F V FA B V F F FEsta tabla muestra que A B es verdad cuando A y B son ambas verdaderas y esfalso en el resto de los casos.Una segunda forma en que podemos combinar proposiciones es utilizando ladisjuncin A o B que tambin se escribe como A B. Su tabla de verdad es:A V V F FB V F V FA B V V V FEsto quiere decir que A B es verdad si lo es A o B o ambas.A partir de cualquier proposicin podemos formar su opuesta o negacin in-sertando no en los lugares adecuados. En general siA es una proposicin sunegacin es no A denotada tambin A que es verdadera precisamente cuando0.2. PROPOSICIONES 9A es falsa. Su tabla de verdad esA V FA F VLa nocin de implicacin es especialmente importante y su uso en matemti-cas diere en algo de su uso corriente, aunque naturalmente el signicado subya-cente es el mismo.As A implica B o si A entonces B se denota por A B ysignica que A es falsa o B es verdadera. Su tabla de verdad esA V V F FB V F V FA B V F V VNtese que si A es falsa, A B es verdadera para cualquier B, en otras palabras:Un enunciado falso implica cualquier cosa. Esto puede parecer extrao al prin-cipio, pero tiene su anlogo en el uso ordinario cuando subrayamos lo absurdo deuna armacin extrayendo un resultado an mas absurdo.(Ntese que se puede denir la implicacin en funcin de los otros conectivos:A B es igual a (A)B. Mas generalmente, cualquier proposicin compuestaa partir de dos dadas A y B se puede denir usando slo y ).El ltimo conectivo de uso frecuente es la biimplicacin o equivalencia lgicaA B que se dene como (A B) (B A). Su tabla de verdad esA V V F FB V F V FA B V F F VAlgunas proposiciones compuestas son verdaderas para todos los valores deverdad de la proposiciones elementales que aparecen. (Por ejemplo siempre esverdadera A (A)). Tales proposiciones se llaman tautologas. Para comprobarsi una proposicin dada es una tautologa podemos usar tablas de verdad.Por ejemplo consideremos (A (A B)) B:A V V F FB V F V FA B V F V VA (A B) V F F F(A (A B)) B V V V VAsque(A (A B)) B esunatautologaporqueenlaltimalasloaparecen V.10 CAPTULO 0. RUDIMENTOS DE LGICA0.3. PredicadosUsualmente los enunciados simples discutidos hasta ahora no son sucientespara tratar las situaciones matemticas.Adems de las proposiciones necesitamos funciones proposicionales o predi-cados. Por ejemplo x es un nmero impar (x recorre los nmeros naturales) ox es mayor que y (x, y son nmeros naturales). En contraste con las proposicio-nes, un predicado ya no es verdadero o falso sino que slo llega a serlo cuando sesustituyen valores particulares para las variables: 2 es un nmero impar, 3 esmayor que 2.En la prctica con frecuencia queremos decir que alguna armacin P(x) sobrex es verdadera para todo x (en el universo de discurso). Denotamos esto por(x)P(x)que se lee Para todo x se verica P(x). Decimos que la variable x est acotadapor el cuanticador universal .Para expresar que P(x) se verica para algn x escribimos(x)P(x)que leemos Existe un x tal que P(x). Aqu x est acotado por el cuanticadorexistencial .Finalmente para expresar que P(x) se verica exactamente para un slo valorde x escribimos(1x)P(x)que leemos Existe un nico x tal que P(x). Ahora x est acotado por el cuanti-cador existencial especial 1.Cuando todas las variables que aparecen en un predicado estn acotadas porcuanticadores, tenemos una proposicin. Por ejemplo en el dominio de los n-meros naturales (x)(y)(x+ y =y+ x) signica que para cualesquierax, y lasumax+ yesindependientedel ordendelostrminos. Delamismamanera(x)(y)(x x. Esta relacines una relacin de orden total y est relacionada con las operaciones de Z por lassiguientes reglas:Si x1 x2, y1 y2 entonces x1+ y1 x2+ y2.Si x y y z > 0 entonces zx zy.Estas reglas indican que Z es un anillo totalmente ordenado. Usando la orde-nacin podemos describir el conjunto N de los enteros positivos como:N = x Z x > 0 (1.1.1)Es costumbre tomar N como conjunto de partida dado por algunos axiomas (nor-malmente los axiomas de Peano) y a partir de l se construye Z.Ntese que para todo x Z se verica que x=0 o x N o x N y queestas tres posibilidades son mutuamente excluyentes. De hecho esto es cierto encualquier anillo ordenado, deniendo N por la regla 1.1.1, debido a que el ordenes total.1.2. Induccin. Principios del mnimo y del mximoPara jar Z completamente utilizamos la siguiente condicin sobre el conjuntoN de los enteros positivos:I. Principio de induccinsea Sun subconjunto deN tal que 1 Sy que n S n + 1 S . Entonces S= N.Este principio forma la base del mtodo familiar de demostracin por induc-cin: Sea P(n) una armacin acerca de un entero positivo n (p. e., P(n) = lasuma de los n primeros enteros positivos es n(n + 1)/2) Supongamos que que-remos demostrar P(n) para todo n. Para ello por el principio de induccin bastademostrar P(1) y demostrar n(P(n) P(n+ 1)), porque esto signica que elconjunto S= n N P(n) contiene a 1 y que si contiene a n tambin contiene an + 1. Del principio de induccin se deduce que S =N, es decir que todo n Nverica P(n).Existen formas alternativas del principio de induccin que se usan con fre-cuencia:16 CAPTULO 1. ARITMTICA ENTERAII. Principio de induccin alternativoSea Sun subconjunto de N tal que 1 Sy que n Ssiempre que para todo m < n m S . Entonces S= N.III. Principio del mnimo o principio de buena ordenacin. Todo conjunto novaco de enteros positivos tiene un elemento mnimo.IV. Principio del mximoTodo conjunto no vaco de enteros negativos tiene unelemento mximo.El principio del mnimo se suele enunciar diciendo que N est bien ordenadoVeamos la equivalencia de los principios enunciados:I II : Sea Sun conjunto vericando las hiptesis de II. Denimos T= x N y(y x y S ), es decir que x Tprecisamente cuando todos losnmeros desde 1 hasta x pertenecen a S . Es evidente que T S , as quebasta demostrar que T =N. Como 1 S , tenemos que 1 T. Si n Tentonces y Spara todo y n, luego n + 1 Sy por tanto y Spara todoy n + 1. Pero esto implica que n + 1 T. Por I tenemos que T= N.II III : Sea Sun conjunto de enteros positivos que no tiene elemento mnimo.Vamos a demostrar que Ses el conjunto vaco: Llamamos S= x N x S al complemento de S . Como Sno tiene primer elemento, 1Sluego1 S. Si para todo m n se verica que m S, necesariamente n S(porque en otro caso n Sy n sera un elemento mnimo para S ). Por II,S= N y por tanto S= .III I : El elemento mnimo de Nes 1. Sea S un subconjunto de Nque veriquelas hiptesis del principio de induccin. Sea S= x N xS . Sabemosque 1S y si n S entonces n 1 S. Luego S no tiene elementomnimo, por tanto es el conjunto vaco y S= N.III IV: Sea Sun conjunto no vaco de enteros negativos. Entonces T= x Z x S es un conjunto no vaco de elementos positivos. Por III T tieneelemento mnimo, sea n. Entonces n Sy para todo m Stenemos quem T, luego n m lo que equivale a n m para todo m T, as quen es el elemento mnimo de S .IV III : Se demuestra de manera anloga al apartado anterior.1.3. DivisibilidadDenicin 1.3.1. Dados a, b Z decimos que b divide a, que a es divisible por by que a es un mltiplo de b si existe un c Z tal que a= bc. Lo denotamos porb a.1.4. ALGORITMO DE LA DIVISIN EUCLDEA 17Ya que cualquier mltiplo de 0 es 0, se verica que 0 a slo cuando a= 0.Por esta razn en la expresin b a normalmente se toma b0. Para todo b Zse verica que b 0.La negacin de b a se escribe ba que signica que a no es divisible por b.La relacin de divisibilidad en Z satisface las siguientes propiedades:1. c b y b a implican c a.2. Para todo a Z se verica que a a.3. Si a b y b a entonces a = b.Estas tres propiedades muestran que la divisibilidad es un orden parcial enel conjunto de enteros positivos.4. b a, a > 0 y b > 0 implican b a5. b a1 y b a2 implican que b (xa1+ ya2) para cualesquiera x, y Z. Enparticular b (a1 a2).6. b a implica que para todo c Z se verica b ac.7. Si c0, b a si y slo si cb caDenicin 1.3.2. Dos enteros a, b tales que b a y a b se llaman asociados.De la propiedad 3 anterior vemos que todo entero a est asociado a un nicoentero no negativo, que se llama su valor absoluto y se representa por a.1.4. Algoritmo de la divisin eucldeaLa primera aplicacin del principio de buena ordenacin es demostrar el algo-ritmo de la divisin:Teorema 1.4.1. Para cualesquiera enteros a y b, con b > 0, existen enteros nicosq (el cociente) y r (el resto) tales que a = bq + r con 0 r < b.Demostracin. Consideramos el conjunto R = s = a bq q Z, s 0. Comob>0, el elemento a b(a) =a + ba es mayor o igual a cero y est en R.Luego R no es vaco.Por el principio de buena ordenacin R tiene un primer elemento, al que lla-mamos r. Por denicin r= a bq 0, y a= bq + r. Si fuera r b, entoncess = r b = a b(q + 1) 0, luego s R y s < r. Esto contradice la minimalidadde r, luego r < b.18 CAPTULO 1. ARITMTICA ENTERAPara demostrar que q y r son nicos, supongamos que a = bq +r= bp + s con0 r, s < b. Esto implica que r s < b. Pero r s = b(q p) lo que muestra queb (r s). El nico mltiplo de b con menor valor absoluto que b es el cero, luegor s = 0 y por tanto r= s. Adems bp = bq, lo que implica p = q. Corolario 1.4.2. Dados dos enteros a y b con b> 0, b a si y slo si el resto dela divisin de a por b es 0.Denicin 1.4.3. Para a Z denimos el conjunto de todos los mltiplos de acomo aZ = aq q Z.Proposicin 1.4.4. El conjunto aZ es cerrado para la suma y la resta.Teorema 1.4.5. SeaIun conjunto no vaco de enteros que es cerrado para lasuma y la resta. Entonces o I slo contiene al cero o contiene un mnimo elementopositivo a, en cuyo caso I= aZ.Demostracin. Ya que I no es vaco, o slo contiene al cero o contiene algn en-tero no nulo b. En el primer caso hemos terminado. En el segundo caso, I contienea b b = 0 y a 0 b = b. As que I contiene al entero positivo b. Luego el con-junto I+de enteros positivos de I no es vaco. Por el principio de buena ordenacintiene un elemento mnimo, al que llamamos a.Cualquier mltiplo de a se obtiene sumando a o a consigo mismo un nmeronito de veces, luego aZ I.Por otra parte, sea c I arbitrario. Dividimos entre a, as que c= aq + r con0 r < a. Pero r= c aq I. Por el carcter minimal de a, debe ser r= 0. O sea,que c= aq aZ. Como c era un elemento arbitrario de I, obtenemos que I aZ.Combinando con el prrafo anterior nos queda que I= aZ. 1.5. Mximo comn divisor y mnimo comn mlti-ploDenicin 1.5.1. Un entero positivo dse llama mximo comn divisorde dosenteros dados a y b si1. d es un divisor de a y b2. Todo divisor comn de a y b es un divisor de d.El mximo comn divisor de a y b se representa como d= m. c. d.(a, b) y tambincomo d= (a, b).1.5. MXIMO COMN DIVISOR Y MNIMO COMN MLTIPLO 19El hecho de enunciar una denicin del mximo comn divisor (o de cualquierotro concepto) no garantiza su existencia. Adems debemos justicar el uso delartculo determinado el, ya que implica su unicidad. Este ltimo punto es fcilde tratar: Si d1 y d2 son mximos comunes divisores de a y b, entonces la deni-cin requiere que d1 d2 y d2 d1, luego d2= d1. Ya que ambos son positivos,d2= d1.Denicin 1.5.2. Sean a, b Z. Cualquier entero de la forma ma+nb con m, n Zse llama combinacin lineal de a y b.El siguiente teorema muestra la existencia del mximo comn divisor de dosenters cualesquiera y su expresin como combinacin lineal de ambos:Teorema 1.5.3. Dos enteros no nulos arbitrarios a y b tienen un mximo comndvisor, que se puede expresar como la menor combinacin lineal positiva de a yb.Adems un entero es una combinacin lineal de a y b si y slo si es un mltiplode su mximo comn divisor.Demostracin. Sea I el conjunto de todas las combinaciones lineales de a y b, esdecirI= x Z x = ma + nb, m, n ZEl conjuntoIno es vaco, porque contiene a los elementos a=1a+ 0b yb= 0a + 1b. Es fcil comprobar que I es cerrado para la suma y la resta. Porel teorema 1.4.5, I= dZ, siendo d el menor entero positivo de I.Como d I, existen m, n Z tales que d= ma + nb. Como a, b I, necesa-riamente d a y d b.Sea ahora c Z tal que c a y c b, as que a = cq1 y b = cq2. Entoncesd= ma + nb = mcq1+ ncq2= c(mq1+ nq2)lo que muestra que c d.La ltima armacin se sigue del hecho de queI(el conjunto de todas lascombinaciones lineales de a y b) es igual a dZ (el conjunto de todos los mltiplosde d). La igualdad d= ma+nb donde d= (a, b) se conoce como igualdad de Bezout.Corolario 1.5.4. Para cualquier entero positivo c, (ca, cb) = c(a, b).Demostracin. Por el teorema 1.5.3 tenemos que (ca, cb) es el menor valor po-sitivo de cax + cby, que es igual al producto de c por el menor valor positivo deax + by, es decir el producto de c por (a, b). 20 CAPTULO 1. ARITMTICA ENTERACorolario 1.5.5. Si c a, c b y c > 0, entonces_ac, bc_=1c(a, b)Si (a, b) = d entonces (a/d, b/d) = 1.Demostracin. La primera armacin es consecuencia directa del corolario an-terior reemplazando c, a, b en dicho corolario por c, a/c, b/c respectivamente. Lasegunda armacin es un caso particular de la primera. Denicin 1.5.6. Dos enteros a, b se llaman primos relativos si (a, b) = 1, es decirsi no tienen divisores comunes salvo 1.Teorema 1.5.7. Para cualquier c Z, (a, b) = (b, a) = (a, b) = (a, b + ac).Teorema 1.5.8. 1. Si b ac, entonces b (a, b)c.2. Si b ac y (a, b) = 1 entonces b c.3. Si b a, c a y (b, c) = 1 entonces bc a.4. (a, bc) = 1 si y slo si (a, b) = 1 y (a, c) = 1.Demostracin. 1. Supongamos que b ac. Sea ac= bq. Escribimos (a, b)=ma + nb para algunos m, n Z. Multiplicando por c obtenemos (a, b)c=mac + nbc = (mq + nc)b.2. Simplemente tomamos (a, b) = 1 en el apartado anterior.3. Sea a=bq. Si c a=bq y por el apartado anterior c q, sea q=cq1.Sustituyendo obtenemos a = bcq1, luego bc a.4. Sea (a, bc)= 1. Entonces ma + n(bc)= 1 para algunos m, n Z. Podemosescribir esta igualdad de otras dos formas: ma + (nc)b= 1, ma + (nb)c quemuestran que (a, b) = 1 y (a, c) = 1.A la inversa, existen enteros m1, m2, n1, n2 tales que 1 = m1a + n1b = m2a +n2c. Multiplicando y agrupando trminos queda: 1= (m1m2)(a + n1m2b +m1n2c)a + n1n2bc, luego (a, bc) = 1.

Probablemente estamos acostumbrados a calcular el mximo comn divisor dea y b mediante el clculo de sus factorizaciones en primos. Esta tcnica es efectivapara nmeros pequeos, y la estudiaremos mas adelante. Pero en la prctica, puedesermuylargohallarlosfactoresprimosdenmerosgrandes, mientrasqueel1.5. MXIMO COMN DIVISOR Y MNIMO COMN MLTIPLO 21mximo comn divisor se encuentra en muchos menos pasos usando el mtodoque vamos a describir a continuacin.El mximo comn divisor de dos nmeros puede calcularse utilizando un pro-cedimiento conocido como algoritmo de Euclides (nuestra demostracin del teo-rema 1.4.5 no incluye un mtodo explcito para calcularlo). Para describir el algo-ritmo de Euclides necesitamos las siguientes propiedades:Lema 1.5.9. 1. Si a0 y b a, entonces (a, b) = b2. Si a = bq + r, entonces (a, b) = (b, r).Demostracin. 1. Todo divisor de b es un divisor de a. Y todo divisor de bdivide a b. Aplicando directamente la denicin de mximo comn divisorobtenemos el resultado buscado.2. El elemento a es una combinacin lineal de b y r, luego (b, r) a. Ya quetambin (b, r) b obtenemos que (b, r) (a, b). Como r =a bq es unacombinacin lineal de a y b, un argumento similar muestra que (a, b) (b, r)y por tanto (a, b) = (b, r).

Dados enteros a>b>0 el algoritmo de Euclides utiliza repetidamente elalgoritmo de la divisin para obtenera = bq1+ r1con 0 r1< bb = r1q2+ r2con 0 r2< r1r1= r2q3+ r3con 0 r3< r2etc.Ya que r1> r2> 0, los restos van menguando y tras un nmero nito depasos obtenemos un resto rn+1= 0. El algoritmo acaba con la ecuacinrn1= rnqn+1+ 0Esto nos da el mximo comn divisor:(a, b) = (b, r1) = (r1, r2) == (rn1, rn) = rnEjemplo 1.5.10. Para mostrar que (24, 18) = 6 tenemos:24 = 181 + 6 (24, 18) = (18, 6)18 = 63 + 0 (18, 6) = 622 CAPTULO 1. ARITMTICA ENTERAEjemplo 1.5.11. Veamos que (126, 35) = 7:126 = 353 + 21 (126, 35) = (35, 21)35 = 211 + 14 (35, 21) = (21, 14)21 = 141 + 7 (21, 14) = (14, 7)14 = 72 + 0 (14, 7) = 7Ejemplo 1.5.12. Calculamos (83, 38) = 1:83 = 382 + 7 (83, 38) = (38, 7)38 = 75 + 3 (38, 7) = (7, 3)7 = 32 + 1 (7, 3) = (3, 1)3 = 13 + 0 (3, 1) = 1Si slo se necesita calcular el mximo comn divisor, paramos en cuanto podamoscalcularlo en la cabeza. Para mostrar que (83, 38) = 1, ntese que ya que 7 no tienedivisores positivos salvo 1 y 7 y no es un divisor de 38, es claro de inmediato que(38, 7) = 1.Ejemplo 1.5.13. A veces queremos conocer la combinacin lineal de a y b quenos da (a, b). Al calcular (126, 35) en el ejemplo 1.5.11 tenemos las siguientesecuaciones:a = bq1+ r1126 = 353 + 21b = r1q2+ r235 = 211 + 14r1= r2q3+ r321 = 141 + 7r2= dq4+ 0 14 = 72 + 0El siguiente paso es despejar el resto no nulo en cada una de las ecuaciones,omitiendo la ltima y sustituyendo los anteriores para expresarlos como combina-cin lineal de a y b:r1= a + (q1)br2= b + (q2)r1= (q2)a + (1 + q1q2)bd= r1+ (q3)r2= (1 + q2q3)a + (q1 q3 q1q2q3)bes decir:21 = 126 + (3)3514 = 35 + (1)21 = (1)126 + 4357 = 21 + (1)14 = 2126 7351.5. MXIMO COMN DIVISOR Y MNIMO COMN MLTIPLO 23La tcnica usada en el ejemplo precedente puede extenderse fcilmente a lasituacin general en que se quiere expresar (a, b) como una combinacin lineal dea y b. Despus de despejar para el resto en cada ecuacin relevante nos queda. . .rj1= rj3+ (qj1)rj2= mj1a + nj1brj= rj2+ (qj)rj1= mja + njbrj+1= rj1+ (qj)rj= mj+1a + nj+1b. . .donde mj+1= mj1 qjmj y nj+1= nj1 qjnj.El algoritmo de Euclides puede expresarse en una forma matricial convenienteque arrastra al mismo tiempo los restos y las combinaciones lineales: Empezamoscon la matriza 1 0b 0 1y dividimos a =bq1+ r1. La tercera la de la matriz se obtiene restando a laprimera el producto de la segunda por q1:a 1 0b 0 1r11 q1Ahora tomamos b = r1q2+r2 y restamos el producto de q2 por la tercera la de lasegunda:a 1 0b 0 1r11 q1r2q21 + q1q2Es fcil comprobar que este algoritmo produce las sucesivas (rj mj nj) com-puestas de los restos rj y los coecientes tales que rj=mja + njb. Se continael proceso hasta que el primer coeciente de la la es 0. En ese momento la pe-nltima la nos da el mximo comn divisor y los coecientes de la combinacinlineal buscada.Ejemplo 1.5.14. Usamos la forma matricial del algoritmo de Euclides para calcu-lar una vez mas el mximo comn divisor de a = 126 y b = 35:24 CAPTULO 1. ARITMTICA ENTERA126 1 035 0 121 1 314 1 47 2 70 5 18y obtenemos que (126, 35) = 7 = 2126 735.La ltima lnea 0 = 5126 +1835 tambin nos da informacin interesante:Podemos sumar cualquier mltiplo de esta combinacin lineal a la representacinanterior del mximo comn divisor. Por ejemplo, 7 = (3) 126+11 35 y tambin7 = (8)126 + 2935.Ejemplo 1.5.15. En forma matricial, el clculo de (83, 38) es el siguiente:83 1 038 0 17 1 23 5 111 11 240 38 83As que (83, 38) = 1 = 1183 + (24)38.El nmero (a, b) puede escribirse de innitas maneras como combinacin li-neal de a y b: El mtodo matricial nos da una combinacin lineal 0= m1a + n1b,que sumado a la igualdad de la penltima la nos da d= (m+ km1)a + (n + kn1)bpara cualquier k Z.Dual al concepto de mximo comn divisor es el de mnimo comn mltiplo:Denicin 1.5.16. Un entero positivo m se llama mnimo comn mltiplo de losenteros no nulos a y b si1. m es un mltiplo de ambos a y b.2. Cualquier mltiplo de a y b es un mltiplo de m.Usamos la notacin m. c. m.(a, b) o bien [a, b] para el mnimo comn mltiplode a y b.Teorema 1.5.17. El conjunto I de todos los mltiplos de dos enteros no nulos a yb contiene un entero no nulo y es cerrado para la suma y la resta.Dicho conjunto I es de la forma I = mZ, donde m= m. c. m.(a, b). En parti-cular, dos enteros no nulos cualesquiera tienen un mnimo comn mltiplo.1.6. ECUACIONES DIOFNTICAS 25Demostracin. El entero ab es distinto de cero y pertenece a I. Si c1= q1a = p1by c2= q2a=p2b, entonces c1 c2= (q1 q2)a= (p1 p2)b. Por 1.4.5 tenemosel segundo resultado. Teorema 1.5.18. Si c > 0, [ca, cb] = c[a, b]. Tambin [a, b](a, b) = ab.Demostracin. Sean [ca, cb] = cq y [a, b] = m. Como a m y b m, tenemos queac mc y bc mc, luego cq mc y por tanto q m. Por otra parte, ca cq, cb cqde donde a q, b q y por tanto m q. Como ambos son positivos, m = q.Para demostrar la segunda parte podemos suponer que a, b > 0 porque [a, b] =[a, b]. Empezamos con el caso especial (a, b)= 1. Ahora [a, b]= ac. Entoncesb ac y como (a, b)= 1 necesariamente b c, luego ab ac= [a, b]. Siempre secumple que [a, b] ab y como ambos son positivos, son iguales.Enelcasogeneralsead =(a, b). Tenemos(a/d, b/d) =1. Aplicandoelresultado del caso particular se obtiene_ad, bd_ _ad, bd_=adbdMultiplicando por d2obtenemos [a, b](a, b) = ab. 1.6. Ecuaciones diofnticasEl estudio de la aritmtica elemental de los enteros se divide en varias partes:Divisibilidadyfactorizacin,congruencias,funcionesaritmticasyecuacionesdiofnticas. Vamos a introducir estas ltimas.Una ecuacin diofntica es una ecuacin polinmica con coecientes y racesenteros. De la misma forma un sistema de ecuaciones diofnticas es un conjuntonito de ecuaciones diofnticas simultneas. Resolver una ecuacin diofntica (oun sistema de ellas) es hallar explcitamente sus races enteras.Ejemplo 1.6.1. Consideremos la ecuacin x2+ y2= z2. Las soluciones enteras deesta ecuacin se llaman ternas pitagricas por motivos obvios. Algunas solucio-nes conocidas desde antiguo son (4, 3, 5), (12, 5, 13) y (20, 21, 29). Si exigimosque m. c. d.(x, y, z)= 1, la solucin general viene dada por (2uv, u2 v2, u2+ v2)con u, v de distinta paridad, u > v y m. c. d.(u, v) = 1Ejemplo 1.6.2. Una generalizacin de la anterior es la ecuacin de Fermat: xn+yn=znconn 3. ElllamadoltimoteoremadeFermat establecequeestaecuacin no tiene solucin entera con xyz0. Para dar una idea de la dicultadde la aritmtica, este teorema fu enunciado a mediados del siglo XVII por Fermaty su demostracin se remat slo a nales del siglo XX por Wiles, mas de 300aos despus.26 CAPTULO 1. ARITMTICA ENTERASi una ecuacin (o sistema) es determinada, es decir tiene un nmero nito desoluciones en Q o en R, podemos resolverla en uno de estos cuerpos y comprobarsus races una a una para ver cuales son enteras. Por ello, las ecuaciones diofn-ticas interesantes son las indeterminadas, que admiten innitas soluciones en Q ydebemos caracterizar cuales de ellas son enteras.Vamos a discutir un mtodo para resolver los sistemas diofnticos lineales. Elcaso mas sencillo es el de una ecuacin con dos incgnitas:ax + by = c (1.6.1)Teorema 1.6.3. 1. La ecuacin 1.6.1 tiene solucin si y slo si m. c. d.(a, b) c.2. Una solucin particular de 1.6.1 se obtiene por el algoritmo extendido deEuclides.3. Sead =m. c. d.(a, b)ysea(x0, y0)unasolucinparticularde1.6.1.Lasolucin general (x, y) viene dada porx = x0+ kbd, y = y0 kadcon k Z arbitrario.Demostracin. 1. Supongamos que 1.6.1 tiene una solucin (x0, y0) y sea d=m. c. d.(a, b). Entoncesc = ax0+ by0= d(adx0+bdy0)y por tanto d c.A la inversa, sea c= dc1. Por el teorema de Bezout existen m, n Z talesque am + bn = d. Entonces (x0, y0) = (mc1, nc1) es una solucin de 1.6.1.2. PorelalgoritmoextendidodeEuclidesencontramosm, n Ztalesqueam + bn = d. El ltimo prrafo del punto anterior termina la demostracin.3. Sea (x0, y0) una solucin particular, es decir ax0+ by0= c. Llamamos x=x0+ kbd, y= y0 kady calculamos ax + by= a(x0+ kbd) + b(y0 kad)= c.A la inversa, sea ax + by= c. Restando la solucin particular tenemos que(x x0)a + (y y0)b=0. Dividimos por d=m. c. d.(a, b) y despejamos:(xx0)(a/d) = (yy0)(b/d). Como m. c. d.(a/d, b/d) = 1, necesariamentex x0= kb/d y (y y0)= ha/d. Sustituyendo y simplicando vemosque k= h. Finalmente despejando vemos que x = x0+ kbd y y = y0 kad

1.6. ECUACIONES DIOFNTICAS 27Las ideas subyacentes al algoritmo de Euclides pueden aplicarse tambin parahallar una solucin general en enteros de cualquier conjunto de ecuaciones linea-les con coecientes enteros. El procedimiento es el siguiente:1. Buscamos un coeciente no nulo c de mnimo valor absoluto en el sistemade ecuaciones. Supongamos que este coeciente aparece en una ecuacinque tiene la formacx0+ c1x1++ ckxk= d;y por sencillez supongamos c > 0.2. Si c = 1, usamos esta ecuacin para eliminar la variable x0 de las otras ecua-ciones del sistema. Si no quedan mas ecuaciones, el clculo acaba y hemosobtenido una solucin general en trminos de las variables no eliminadas.3. Si c > 1, entoncesSi c c1,. . . , c ck, comprobamos si cd en cuyo caso no hay solucinen enteros.Si c d dividimos ambos miembros por c y eliminamos x0 como en elcaso c = 1.4. Si c > 1 y existe un ci no divisible por c, dividimos los ci entre c: ci= qic+ri.Introducimos una nueva variablex0+ q1x1++ qkxk= t;eliminamos la variable x0 de las otras ecuaciones en favor de t y reemplaza-mos la ecuacin original porct + r1x1++ rkxk= dEste proceso debe terminar ya que cada paso reduce el nmero de ecuacioneso el valor absoluto del mnimo coeciente no nulo del sistema.Cuando se aplica este proceso a la ecuacin ax + by=1 para a, b dados, elproceso anterior es esencialmente el algoritmo de Eulides extendido.Ejemplo 1.6.4. Queremos resolver el sistema10w + 3x + 3y + 8z = 16w 7x 5z = 2El coeciente de menor valor absoluto es 3 que multiplica a y en la primeraecuacin y es positivo. Como 310, introducimos una nueva variable[10/3|w + [3/3|x + [3/3|y + [8/3|z = 3w + x + y + 2z = t128 CAPTULO 1. ARITMTICA ENTERAy la usamos para eliminar y. La primera ecuacin se convierte en(10 mod 3)w + (3 mod 3)x + 3t1+ (8 mod 3)z = w + 3t1+ 2z = 1y la segunda ecuacin queda igual.Ahora el coeciente de w en la primera ecuacin es 1. Usamos dicha ecuacinpara eliminar w y la segunda ecuacin se convierte en6(1 3t1 2z) 7x 5z = 2esto es7x + 18t1+ 17z = 4.Introducimos una nueva variablex + 2t1+ 2z = t2y eliminamos x:7t2+ 4t1+ 3z = 4.Introducimos otra variable para eliminar z, que tiene el menor coeciente:2t2+ t1+ z = t3Eliminando z nos quedat2+ t1+ 3t3= 4y nalmente utilizamos esta ecuacin para eliminar t2. Nos quedan dos variablesindependientes t1 y t3. Sustituyendo hacia atrs en las variables originales obtene-mos la solucin general:w = 17 5t1 14t3x = 20 5t1 17t3y = 55 + 19t1+ 45t3z = 8 + t1+ 7t3En otras palabras, todas las soluciones enteras (w, x, y, z) del sistema originalse obtienen de las ltima igualdades cuando t1 y t2 recorren independientementetodos los enteros.El proceso de eliminacin de variables descrito (que es reminiscente del m-todo de eliminacin de Gauss para sistemas lineales en un cuerpo) es sencillo ydirecto pero no es el mejor mtodo disponible para este problema. El mtodo quequizseaelmaseleganteysistemticosebasaenlateorademdulossobredominios de ideales principales, teora general que no se estudia en este curso.1.7. PRIMOS 291.7. PrimosDenicin 1.7.1. Un entero p > 1 se llama nmero primo si sus nicos divisoresson 1 y p. Un entero a > 1 se llama compuesto si no es primo.Lema 1.7.2 (Euclides). Un entero p > 1 es primo si y slo si satisface la siguientepropiedad: Si p ab para a, b Z, entonces o p a o p b.Demostracin. Supongamos que p es un primo y p ab. Si a= 0 el resultado esclaro. Si a0 sabemos que o (p, a)=p o (p, a)= 1 porque (p, a) siempre es undivisor de p y p es primo. En el primer caso p a y ya est. En el segundo casoaplicamos el segundo punto del teorema 1.5.8 para mostrar quep ab implicap b.A la inversa, supongamos que p verica la condicin dada. Si p= ab la con-dicin implica que op=a (ya quep a yp>a) op=b y por tantop esprimo. Teorema 1.7.3 (Teorema fundamental de la aritmtica). Todo entero a> 1 sefactoriza de manera nica como producto de primos en la formaa = pe11 pe22. . . penndonde p1< p20 un entero jo y seaZn el conjunto de clases mdulon. Hemos denido las operaciones binarias suma y producto como [a]n+ [b]n=[a + b]n y [a]n[b]n= [ab]n.En este caso tambin tenemos una accin Z Zn Zn denida por a[x]n=[ax]n.5152 CAPTULO 2. ANILLOS CONMUTATIVOSEjemplo 2.1.4. Sea X un conjunto y sea A = f : X X el conjunto de todas lasaplicaciones de X en s mismo. Podemos denir una operacin A A A por( f , g) f g dondef g :X X viene dada por composicin de aplicaciones, esdecir que para todo x X se dene ( f g)(x) =f (g(x)).Ejemplo 2.1.5. Para cualquier K-espacio vectorial V la multiplicacin de un esca-lar por un vector dene una accin K VVEjemplo 2.1.6. SeaM=Mn(R) el conjunto de todas las matrices cuadradas deorden n con coecientes reales. En M hay denidas dos operaciones internas, lasuma y el producto, y una operacin externa, el producto de un escalar por unamatriz.Ejemplo 2.1.7. Dada una ley de composicin a b, se dene la ley de composi-cin opuesta como a ob=b a para todo a, b. Si la ley de partida es internaA A A, tambin lo es la opuesta. Si la ley es una accin por la izquierda, laopuesta es una accin por la derecha y viceversa.Una estructura algebraica se dene por datos de tres tipos:Un conjunto A, que se llama conjunto subyacente.Una o varias leyes de composicin (internas o externas) denidas sobre A.Unos axiomas que deben vericar dichas leyes.En rigor la estructura algebraica est formada por el conjunto A junto con lasoperaciones. Pero por abuso de lenguaje, se suele designar con la misma letra a laestructura y al conjunto subyacente.Existen muchas estructuras algebraicas, pero las mas importantes son las tressiguientes:Denicin 2.1.8. Un grupo (G, ) es un conjunto G junto con una ley de compo-sicin interna G G G denotada por (a, b) a b que verica:Asociatividad: a, b, c G a (b c) = (a b) cExistencia de neutro: e G a G e a = a = a eExistencia de opuesto: a G a G a a= e = a a2.1. LEYES DE COMPOSICIN. ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS. 53El elemento e se llama elemento neutro para la operacin y el elemento a sellama opuesto de a.En el caso particular en que la operacin se denote pora+ b, el elementoneutro se llama elemento nulo o cero y se denota por 0. El opuesto de a se denotapor aSi la operacin se denota por ab, ab o a b, el elemento neutro se llamaunidad o uno y se denota por 1. Y el opuesto de a se llama inverso y se denota pora1.Un grupo se llama conmutativo o abeliano si verica el axioma adicionalConmutatividad: a, b G a b = b a.Denicin 2.1.9. Un anillo (A, +, ) es un conjunto A junto con dos operacionesbinarias A A A denotadas por suma a + b y producto ab que verican losaxiomas:Asociatividad de la suma: a, b, c A a + (b + c) = (a + b) + cExistencia de cero: 0 A a A 0 + a = a = a + 0Existencia de opuesto: a A a A a + (a) = 0 = (a) + aConmutatividad de la suma: a, b A a + b = b + a.Estos cuatro primeros axiomas se resumen en uno: (A, +) es un grupo abe-liano.Asociatividad del producto: a, b, c A a(bc) = (ab)cDistributividad: a, b, c A a(b + c) = ab + ac, (b + c)a = ba + caExistencia de uno: 1 A a A 1a = a = a1Un anillo se llama conmutativo o abeliano si verica el axiomaConmutatividad del producto: a, b A ab = ba.Un anillo de divisin es un anillo que verica el axioma adicionalExistencia de inverso: a A a1 A aa1= 1 = a1aUn cuerpo es un anillo de divisin conmutativo.54 CAPTULO 2. ANILLOS CONMUTATIVOSDenicin 2.1.10. SeaAun anillo.UnmduloporlaizquierdasobreA oA-mdulo(M, +, )esunconjuntoMjuntoconunaleydecomposicininternaM M Mdada por (x, y) x+ y y una ley de composicin externaA MM denotada (a, x) ax que verican los axiomas:Asociatividad: x, y, z M x + (y + z) = (x + y) + zExistencia de cero: 0 M x M 0 + x = x = x + 0Existencia de opuesto: x M x M x + (x) = 0 = (x) + xConmutatividad: x, y M x + y = y + x.Estos cuatro primeros axiomas pueden resumirse en uno: (M, +) es un grupoabeliano.Distributividad respecto a escalares: a, b A x M (a +b)x = ax +bxDistributividad respecto a vectores: a A x, y M a(x + y) = ax + ayPseudoasociatividad: a, b A x M a(bx) = (ab)xAccin trivial del uno: x M 1x = xLos elementos de M se llaman vectores y los elementos de A se llaman esca-lares.En el caso particular en queA es un cuerpo, Mse llama espacio vectorialsobre A.De manera anloga se dene el concepto de mdulo por la derecha sobre A.2.2. EjemplosEl que una estructura algebraica resulte interesante depende del nmero e im-portancia de los ejemplos que posea. Veamos ejemplos de las estructuras que he-mos denido:2.2.1. Ejemplos de gruposEjemplo 2.2.1. Sea G= e un conjunto con un nico elemento. Slo hay unaoperacin binaria posible, e e= e. Este grupo (G, ) es el mas pequeo posibley se llama grupo trivial. Cualquier grupo con mas de un elemento es un grupo notrivial.2.2. EJEMPLOS 55Ejemplo 2.2.2. Para cualquier grupo (G, ), el grupo opuesto Goes el grupo (G, o)donde oes la operacin opuesta de . En particular, G es abeliano si y slo siG= Go.Ejemplo 2.2.3. Los ejemplos mas sencillos de grupos son los numricos. Los ca-sos mas evidentes son:1. Z, Q, R y C son grupos para +, siendo 0 el elemento neutro y a el opuestode cada a.2. Q= a Q a0,R= a R a0,C= a C a0,Q+= a Q a > 0 y R+= a R a > 0 son grupos para con 1 comoelemento neutro y siendo el opuesto de a su inverso a1=1/a. (Nteseque a Z a0 no es un grupo para , ya que no todo elemento tieneinverso).3. Generalizamos el ejemplo anterior: Sea A un anillo arbitrario y sea A=U(A) el conjunto de elementos a A que tienen un inverso a1A. En-tonces (A, +) es un grupo (el grupo aditivo de A), y (A, ) tambin es ungrupo (el grupo multiplicativo de A), .4. Los axiomas para un espacio vectorial Vsobre un cuerpoKincluyen enparticular el hecho de que (V, +) es un grupo abeliano. En particular, Rnesun grupo aditivo.5. Paratodonmeron Z, n >0, Z/nZesunanillo, as que(Z/nZ, +)y((Z/nZ), )songrupos, donde(Z/nZ)=U(Z/nZ) = a Z/nZ (m. c. d.(a, n) = 1.No deben confundirse los grupos Z/nZ (bajo la suma) y (Z/nZ) (bajo multi-plicacin), aunque el ltimo sea un subconjunto del primero, no es un subgrupo.2.2.2. Ejemplos de anillosEjemplo 2.2.4. Sea A = a un conjunto con un nico elemento. En este caso slohay una operacin binaria posible, y por tanto la suma y el producto coinciden:a + a=a=aa y 0=a=1. Este anillo (A, +, ) es el mas pequeo posible yse llama anillo trivial. Cualquier anillo con mas de un elemento es un anillo notrivial.Ejemplo 2.2.5. Para cualquier anillo (A, +, ), denimos el anillo opuesto Aocomoel anillo (A, +, o) donde oes la operacin opuesta de ; en particular, A es abelianosi y slo si A = Ao.56 CAPTULO 2. ANILLOS CONMUTATIVOSEjemplo 2.2.6. Z, Q, R y C son anillos conmutativos respecto a la suma y productousuales. En todos los casos el neutro para la suma es el nmerol 0 y el neutro parael producto es el nmero 1. Adems Q, R y C son cuerpos.Ejemplo 2.2.7. Para todo natural positivo n las clases de restos mdulo n, Zn conla suma y producto de clases es tambin un anillo conmutativo. Este anillo es uncuerpo si y slo si n es primo.Ejemplo 2.2.8. SeaJ = a+ bi a, b Z, i2= 1 C. Para cualesquieraa + bi, c + di J se verica(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i J,(a + bi)(c + di) = (ac bd) + (ad + bc)i J,0, 1 J,(a + bi) = (a) + (b)i J.Como la suma y el producto de nmeros complejos son asociativas y conmutativasy verican la distributividad, tenemos un anillo conmutativo (J, +, ) que se llamaanillo de los enteros de Gauss.Ejemplo2.2.9. SeaQ(2) = a+ b2 R a, b Q. Esobvioqueesteconjunto es cerrado para la suma y el producto, y como estas operaciones sonasociativas y conmutativas en R, tambin lo son en Q(2). De la misma manera secomprueba que el producto es distributivo respecto a la suma. Adems 0 = 0+02y 1 = 1 +02 pertenecen a Q(2), y para todo x = a +b2 Q(2) se vericaque x = (a) + (b)2 Q(2). En resumen, Q(2) es un anillo.Para ver que es un cuerpo, observamos que para todo a + b2 Q distinto decero se verica que a22b2 0 (porque en otro caso, 2 sera racional). As que1a + b2=a b2(a + b2)(a b2)=a b2a2 2b2=aa2 2b2+ba2 2b22 Q(2)luego es un cuerpo.Ejemplo 2.2.10. Un subconjunto interesante del ejemplo anterior esZ[2] = m + n2 m, n Zque obviamente es cerrado para la suma, el producto, el cero y el uno. Para unelemento u=m + n2 Z[2] el inverso u1pertenece aZ[2] si y slo sim2 2n2= 1.2.2. EJEMPLOS 57Ejemplo 2.2.11. Un tipo de anillos importantes son los anillos de funciones. SeaXcualquier conjunto no vaco y sea A un anillo arbitrario. SeaB= f : X A. Denimos en B una suma y un producto punto apunto: ( f + g)(x) =f (x) +g(x) y ( f g)(x) =f (x)g(x). De cada axioma de anillo de A se deduce el axiomacorrespondiente en B. El anillo B es conmutativo si y slo si lo es A.Si XyAtienenmasestructurapodemosformarotrosanillosdefuncionesque respetan esta estructura. Por ejemplo siA=R yXes el intervalo cerradoX= [0, 1] Rpodemos formar el anillo conmutativo B de las funciones continuas[0, 1] R. Los teoremas bsicos sobre lmites nos garantizan que la suma y elproducto de funciones continuas son tambin funciones continuas.Ejemplo 2.2.12. Sea A un anillo arbitrario y sea n>0 un entero. Sea Mn(A) elconjunto de todas las matrices n n con coecientes en A. Este conjunto es unanillo para las operaciones usuales de suma y producto de matrices. Si n> 1, elanillo Mn(A) no es conmutativoEjemplo 2.2.13. Sea A un anillo conmutativo. El conjunto A[X] de todos los po-linomios en una indeterminada con coecientes en A junto con la suma y el pro-ducto es un anillo conmutativo.2.2.3. Ejemplos de mdulosEjemplo 2.2.14. El grupo abeliano Zn es un Z-mdulo con la accin Z Zn Zndenida por a[b]n= [ab]n.Ejemplo 2.2.15. Todo grupo abeliano M es un Z-mdulo de manera nica, de-niendo la accin Z MM por induccin:ax =___0 si a = 0(a 1)x + x si a > 0(ax) si a < 0Ejemplo 2.2.16. El conjunto de vectores libres (del plano o del espacio) con lasuma por la regla del paralelogramo y el producto escalar usual forman un es-pacio vectorial sobreR (De hecho la nomenclatura y las propiedades intuitivasprovienen de este ejemplo).Ejemplo 2.2.17. Sean K un cuerpo, M un espacio vectorial sobre K y t : M Muna aplicacin lineal. Denimos una ley externa K[X] MM como(amXm+ am1Xm1++ a2X2+ a1X + a0)u =amtm(u) + am1tm1(u) ++ a2t2(u) + a1t(u) + a0uCon esta operacin, Mpasa a ser unK[X]-mdulo (de hecho, todos losK[X]-mdulos se obtienen de esta manera).58 CAPTULO 2. ANILLOS CONMUTATIVOS2.3. Reglas de clculoDe los axiomas de cada estructura algebraica se deducen unas cuantas conse-cuencias sencillas pero importantes para manipular expresiones y realizar clcu-los en la estructura, y por ello se llaman reglas de clculo. Vamos a estudiar lascorrespondientes a grupos y anillos.2.3.1. Reglas de clculo para gruposProposicin 2.3.1. Sea G un grupo con unidad e.1. La unidad de un grupo es nica2. El inverso de cualquier elemento es nico3. (Propiedad cancelativa): Para x, y, z G,xy = xz y = z yx = zx y = z4. e1= e5. Para todo elemento x G se verica (x1)1= x6. Para cualesquiera x, y G se verica (xy)1= y1x17. Para cualesquiera x, y G existen nicos u, v G tales que xu = y y vx = y.Demostracin. 1. Sean e, f G dos unidades. Entonces e = e f =f2. Seanx, x1dosinversosparax G. Entoncesx=xe =x(xx1) =(xx)x1= ex1= x13. Sea xy= xz. Multiplicamos ambos miembros por x1por la izquierda: y=ey = (x1x)y = x1(xy) = x1(xz) = (x1x)z = ez = z. Igual por el otro lado.4. De la misma denicin: ee = e, luego e = e15. Por denicin, xx1=e=x1x, luego de la misma denicin de inversoobtenemos que (x1)1= x6. Un simple clculo: (y1x1)(xy) = y1(x1x)y = e, luego (xy)1= y1x17. Otro simple clculo muestra que u = x1y y v = yx1verican las condicio-nes pedidas y son los nicos que las verican.

2.3. REGLAS DE CLCULO 59Las propiedad asociativa garantiza que en un clculo podemos introducir pa-rntesis arbitrariamente: Sean x1, . . . xn G. Denimos por recurrencia: ni=1 xi=(

n1i=1xi)xn.Proposicin 2.3.2 (Ley asociativa general). Sea Gun conjunto con una ope-racin interna asociativa. Para cualesquiera enteros m>n>0 seanx1, . . . xmelementos de G. Se verica__n_i=1xi____m_i=n+1xi__=m_i=1xiDemostracin. Por induccin sobrem n (el nmero de factores del segundoproducto). Si m n = 1, la expresin dada es__n_i=1xi__ xn+1=n+1_i=1xiSea ahora m n =k >1 y suponemos cierto el resultado cierto siempre queel segundo producto del primer miembro tenga menos de k factores. Calculamosusando la propiedad asociativa:__n_i=1xi____m_i=n+1xi__=__n_i=1xi______m1_i=n+1xi__ xm__=____n_i=1xi____m1_i=n+1xi____ xm=__m1_i=1xi__ xm=m_i=1xi

Delamismaforma, cuandosevericalapropiedadconmutativapodemosmultiplicar los elementos en cualquier orden:Proposicin 2.3.3 (Ley conmutativa general). Sea G un conjunto con una ope-racin interna que es asociativa y conmutativa. Sean x1, . . . , xn G y sea unapermutacin del conjunto 1, . . . , n. Se verica:n_i=1xi=n_i=1x(i)Demostracin. Por induccin sobre n. Para n = 2 slo hay dos permutaciones: Laidentidad0 y la trasposicin1=(1 2). Para0 la igualdad es trivial: x1x2=x1x2. Y para 1 es el enunciado de la propiedad conmutativa: x1x2= x2x1.60 CAPTULO 2. ANILLOS CONMUTATIVOSSea ahora n > 2 y suponemos el resultado cierto para todo producto con menosfactores. Sea k=(n). Entonces para todo ik existe unj< n tal que i=( j).Calculamos:n_i=1xi=k1_i=1xi__xkn_i=k+1xi__=k1_i=1xi____n_i=k+1xi__ xk__=__k1_i=1xi__n_i=k+1xi____ xk=__n1_j=1x( j)__ x(n)=n_i=1x(i)

Sea (G, ) un grupo con elemento neutro 1 y sea a G arbitrario. Para todoentero positivo n denimos por induccin: a0=1 y an=(an1)a. Para n n y am= an, necesariamente amn= 1. Luego si en algn momento lasucesin a0, a1, a2, . . . se repite, necesariamente el primer trmino que se repite esa0= 1.Denicin 2.3.6. Sea G un grupo y sea a G. Si para todo n>0 se vericaan 1, decimos que el orden de a es innito y lo representamos por o(a) = .En otro caso, el menor k >0 que verica ak=1 se llama orden de a y serepresenta por o(a) =k. En este caso decimos que a es un elemento de ordennito o que es un elemento de torsin.2.3. REGLAS DE CLCULO 612.3.2. Reglas de clculo para anillosProposicin 2.3.7. Sea A un anillo.1. Para todo a A se verica a0 = 0 = 0a2. Si A no es el anillo trivial, 01.3. Para todo a, b A, (a)b = (ab) = a(b). En particular a = (1)a.4. Para todo a, b A, (a)(b) = ab. En particular (1)(1) = 1.Demostracin. 1. a + 0= a. Multiplicamos por a y usamos la propiedad dis-tributiva: aa + a0 = a(a + 0) = aa. Restamos aa y obtenemos a0 = 0. Igualpor el otro lado.2. Si 0 = 1, para todo a A se verica a = a1 = a0 = 0 y A es el anillo trivial.3. Por la primera regla y la distributividad,0 = 0b = (a + (a))b = ab + (a)bRestando ab de ambos miembros obtenemos (ab) =(a)b. Igual por elotro lado.4. Corolario inmediato de la regla anterior.

Proposicin 2.3.8 (Ley distributiva general). Sea A un anillo. Para cualesquieraa1, . . . , an, b1, . . . , bm A se verica__n

i=1ai____m

j=1bj__=n

i=1m

j=1aibjDemostracin. Por doble induccin sobre m y n. Para m = 1 y n = 2 es la propie-dad distributiva. Sea m = 1 y n > 2. Por induccin sobre n:__n

i=1ai__b1=____n1

i=1ai__+ an__b1=__n1

i=1ai__b1+ anb1=__n1

i=1aib1__+ anb1=__n

i=1aib1__62 CAPTULO 2. ANILLOS CONMUTATIVOSSea ahora m > 1. Por induccin__n

i=1ai____m

j=1bj__=__n

i=1ai______m1

j=1bj__+ bm__=____n

i=1ai____m1

j=1bj____+__n

i=1ai__bm=n

i=1m1

j=1aibj+n

i=1aibm=n

i=1m

j=1aibj

Corolario 2.3.9. Para todo n Z y todo a, b A se verica(na)b = n(ab) = a(nb)Proposicin 2.3.10 (Teorema del binomio). Sea A un anillo conmutativo y sean un entero positivo. Para todo a, b A se verica(a + b)n=n

i=1_ni_anibiDenicin 2.3.11. La caracterstica de un anillo A es el orden de 1 en el grupoaditivo (A, +) si este orden es nito. En otro caso la caracterstico de A es cero. Serepresenta por car(A).Es decir, car(A) = m > 0 si m es el menor entero positivo tal que m1 = 0. Sipara todo n > 0 se verica n10, entonces car(A) = 0.Proposicin 2.3.12. Sea car(A) = m. Entonces para todo a A se verica ma = 0Demostracin. Si car(A) = 0 el resultado es trivial. Supongamos car(A) = m > 0.Para cualquier a A tenemos ma = m(1a) = (m1)a = 0a = 0. 2.4. Homomorsmos2.4.1. Homomorsmos de gruposDenicin 2.4.1. Dados dos grupos G y Hllamamos homomorsmo de G a Ha toda aplicacinf : G Htal que para todo parx, y G veriquef (xy) =f (x) f (y)2.4. HOMOMORFISMOS 63Ejemplo 2.4.2. La aplicacin signo sgn : Sn 1, 1 es un homomorsmo degrupos.Ejemplo 2.4.3. La aplicacin logaritmo log: R+R es un homomorsmo delgrupo multiplicatio (R+, ) en el grupo aditivo (R, +).Ejemplo 2.4.4. Sea K un cuerpo. Llamamos grupo lineal general sobre K y re-presentamos por GLn(K) al grupo U(Mn(K)), es decir al conjunto de todas lasmatrices n n invertibles con la operacin producto de matrices. La aplicacindeterminante det: GLn(K) K= U(K) que asigna a cada matriz su determi-nante es un homomorsmo de grupos.Para un homomorsmof arbitrario el grupo Gse llama dominio de f y elgrupo H se llama codominio o rango def .El conjunto Im( f ) =f (G) = f (x) x G H se llama imagen def y elconjunto ker( f ) = x G f (x) = 1 G se lama ncleo defUn homomorsmo de gruposf se llama monomorsmo si es una aplicacininyectiva, se llama epimorsmo si es una aplicacin suprayectiva. Se llama iso-morsmo si es una biyeccin y se representa porf : GH.Si el dominio y el codominio coinciden, G=H, diremos quef es un endo-morsmo. Un endomorsmo biyectivo se llama automorsmo.Proposicin 2.4.5. 1. Para todo grupo G la aplicacin identidad 1G : G Ges un automorsmo.2. Seanf1 : G H, f2 : H K dos homomorsmos de grupos. Entonces laaplicacin compuestaf2f1 : G K es un homomorsmo.3. Seaf : G H un isomorsmo de grupos. Entonces la aplicacin inversaf1: H G tambin es un isomorsmo.Corolario 2.4.6. Para un grupo arbitrario G, el conjunto de todos los automors-mos de G forman un grupo (con la composicin de aplicaciones como operacin),que se llama grupo de los automorsmos de G y se representa por Aut(G)Proposicin 2.4.7. Todo homomorsmo de gruposf : G H verica:1. f (1) = 12. x Gf (x1) =f (x)1Demostracin. 1. f (1)1=f (1) =f (11) =f (1) f (1). Simplicando nosqueda 1 =f (1).2. 1 =f (1) =f (xx1) =f (x) f (x1), luegof (x1) =f (x)1.

64 CAPTULO 2. ANILLOS CONMUTATIVOS2.4.2. Homomorsmos de anillosSean A y B dos anillos.Denicin 2.4.8. Un homomorsmo de A a B es una aplicacinf :A B queverica:x, y Af (x + y) =f (x) + f (y)x, y Af (xy) =f (x) f (y)f (1) = 1Obsrvese que la ltima condicin no se deduce de las dos primeras:Ejemplo2.4.9. SeaB un anillo no trivial y sea f la aplicacin cero. Entoncesf (1) = 01, aunquef (x + y) = 0 =f (x) + f (y) yf (xy) = 0 =f (x) f (y).Ejemplo 2.4.10. Seaf : Z Zn la aplicacin denida porf (x)= [x]n. Estaf esun homomorsmo de anillos.Ejemplo 2.4.11. En general, para cualquier anilloA existe un nico homomor-smo de anillos u: Z A, que viene dado por u(n) =n1 y que se llamahomomorsmo unital de A.Ejemplo 2.4.12. Sea A un anillo conmutativo y sea a A arbitrario. La evaluacinen a Ea : A[X] A denida por Ea( f (X)) =f (a) es un homomorsmo de anillosPara cualquier homomorsmof el anillo A se llama dominio def y el anilloB se llama codominio o rango def .El conjunto Im( f ) =f (A) = f (x) x A B se llama imagen def y elconjunto ker( f ) = x A f (x) = 0 A se llama ncleo defEl homomorsmo de anillos f se llama monomorsmo si es una aplicacininyectiva, se llama epimorsmo si es una aplicacin suprayectiva. Se llama iso-morsmo si es una biyeccin y se representa porf : AB.Si el dominio y el codominio coinciden, A=B, diremos quef es un endo-morsmo. Un endomorsmo biyectivo se llama automorsmo.Proposicin 2.4.13. 1. Para todo anillo A la aplicacin identidad 1A : A Aes un automorsmo.2. Seanf1: A B, f2:B C dos homomorsmos de anillos. Entonces laaplicacin compuestaf2f1 : A C es un homomorsmo.3. Seaf :A B un isomorsmo de anillos. Entonces la aplicacin inversaf1: B A tambin es un isomorsmoCorolario 2.4.14. Para un anillo arbitrario A, el conjunto de todos los automor-smos de A forman un grupo (con la composicin de aplicaciones como opera-cin), que se llama grupo de los automorsmos de A y se representa por Aut(A)2.4. HOMOMORFISMOS 652.4.3. Homomorsmos de mdulosSea A un anillo y sean M y N dos A-mdulos por la izquierda.Denicin 2.4.15. Un homomorsmo de A-mdulos es una aplicacin f : M Nque verica:x, y Mf (x + y) =f (x) + f (y)a A x Mf (ax) = af (x)El mduloMse llama dominio de f y el mduloNse llama codominio orango de g.El conjunto Im( f )=f (M)= f (x) x M N se llama imagen def y elconjunto ker( f ) = x M f (x) = 0 M se lama ncleo defEl homomorsmo de mdulosf se llama monomorsmo si es una aplicacininyectiva, se llama epimorsmo si es una aplicacin suprayectiva. Se llama iso-morsmo si es una biyeccin y se representa porf : MN.Si el dominio y el codominio coinciden, M=N, diremos quef es un endo-morsmo. Un endomorsmo biyectivo se llama automorsmo.Proposicin 2.4.16. 1. Para todo mdulo M la aplicacin identidad 1M : M M es un automorsmo.2. Seanf1:M N, f2: N L dos homomorsmos de mdulos. Entoncesla aplicacin compuestaf2f1 : M L es un homomorsmo.3. Sea f : M N un isomorsmo de mdulos. Entonces la aplicacin inversaf1: N M tambin es un isomorsmo.4. Sean f1, f2 : M N y sea a A arbitrario dos homomorsmos de mdulos.Entonces las aplicacionesf1+ f2, af1 : M L son homomorsmos.Corolario 2.4.17. Para dos mdulos arbitrariosM, Nel conjunto de todos loshomomorsmosf : M N forman un A-mdulo (con la suma y el producto porescalares como operaciones) que se representa por HomA(M, N).Para un mdulo arbitrario M, el conjunto de todos los endomorsmos de Mforman un anillo (con la suma y la composicin de aplicaciones como operacio-nes), que se llama anillo de los endomorsmos de M y se representa por EndA(M)Para un mdulo arbitrario M, el conjunto de todos los automorsmos de Mforman un grupo (con la composicin de aplicaciones como operacin), que sellama grupo de los automorsmos de M y se representa por AutA(M)66 CAPTULO 2. ANILLOS CONMUTATIVOS2.5. Subestructuras2.5.1. SubgruposDenicin 2.5.1. Dados dos grupos (G, ) y (H, ), decimos que H es un subgrupode G, y lo representamos porH 0xn= 1 y por tanto x1= xn1. Porinduccin sobre n, de la propiedad del enunciado y de x H deducimos quexn1 H. El resto es igual al apartado anterior.

2.5. SUBESTRUCTURAS 67Ejemplo 2.5.4. Para cualquier homomorsmo de gruposf : G H, el conjuntoker( f ) es un subgrupo de G y el conjunto Im( f ) es un subgrupo de H.Proposicin 2.5.5. Sea K subgrupo de H y sea H subgrupo de G. Entonces K esun subgrupo de G.Como ilustracin del criterio vamos a demostrar:Proposicin 2.5.6. Sea H una familia de subgrupos de un grupo G.Entonces H= H es un subgrupo de G.Demostracin. Sea 1 el elemento unidad de G Para todo, 1 H as que 1 H y por tanto H es no vaco.Sean ahora x, y H arbitrarios. Para todo se verica que x, y H y por serH un subgrupo tenemos que xy1 H. Luego xy1 H= H. Esta proposicin nos permite denir dos conceptos importantes:Denicin 2.5.7. Sea Sun subconjunto de G. Llamamos subgrupo generado porSa la interseccin H de todos los subgrupos de G que contienen a S . Lo repre-sentamos por H= (S ).Denicin 2.5.8. Sea H una familia arbitraria de subgrupos de G. Lla-mamos compuesto de los H al subgrupo generado por S H. Lo representamospor HEn el caso particular en que la familia es nita, sea H1, . . . , Hn, su compuestose representa por H1 Hn.Proposicin 2.5.9. 1. Sea S= . Entonces (S ) es el subgrupo trivial.2. Para cualquier S G no vaco, (S ) es el conjunto de todos los elementos deG que se expresan como producto nito de elementos de S y de sus inversos.3. Sea G un grupo nito. Para cualquier S G no vaco, (S ) es el conjunto detodos los elementos de G que se expresan como producto nito de elementosde S .2.5.2. Subanillos e idealesDenicin 2.5.10. Dados dos anillos (A, +, ) y (B, +, ), decimos queB es unsubanillo de A, y lo representamos por B< A, cuando B es un subconjunto de Ay la aplicacin de insercin B A es un homomorsmo de anillos.68 CAPTULO 2. ANILLOS CONMUTATIVOSTodo anillo A tiene dos subanillos: El anillo formado por los mltiplos de 1,que es el subanillo primo, y el mismo A, que es el subanillo total. Este ltimo esel subanillo impropio. Cualquier otro subanillo es un subanillo propio.Por abuso de lenguaje se suele identicar al subanillo (B, +, ) con el subcon-junto B, ya que la ley de composicin est determinada por el anillo A.Proposicin 2.5.11 (Caracterizaciones de subanillo). 1. Sea A un anillo y seaB A. Entonces B es un subanillo de A si y slo si se verica:a) Para todo par de elementos x, y B tambin x + y, xy B.b) 0, 1 Bc) Para todo x B tambin x B.2. Sea A un anillo y sea B A. Entonces B es un subanillo de A si y slosi para todo par de elementos x, y B se verica que xy, xy B y adems1 B.Obsrvese que para queB sea subanillo de A hay que comprobar explcita-mente que la identidad es la misma en A que en B.Ejemplo 2.5.12. El anillo Z es un subanillo de Z[i] y de Z[2]. Ninguno de estosdos es un subanillo del otro, aunque ambos son subanillo de C.Adems el anillo Z[2] es un subanillo de Q(2).Ejemplo 2.5.13. El subconjunto [0], [2], [4] Z6 es un anillo con unidad [4],pero no es un subanillo de de Z6 porque el elemento neutro no es el mismo.Ejemplo 2.5.14. Sea A=Mn(R) el anillo de todas las matrices n n con coe-cientes en R y sea B el subconjunto de todas las matrices de la forma__a a . . . aa a . . . a. . . . . . . . . . . . .a a . . . a__Es fcil comprobar que con a suma y producto usuales de matrices, B es un anillocuya unidad es la matriz__1/n 1/n . . . 1/n1/n 1/n . . . 1/n. . . . . . . . . . . . . . . . . . .1/n 1/n . . . 1/n__Pero B no es un subanillo de A porque no tienen la misma unidad, aunque la sumay el producto sean los mismos.2.5. SUBESTRUCTURAS 69Ejemplo 2.5.15. Para cualquier homomorsmo de anillosf : A B el conjuntoIm( f ) es un subanillo de B.Proposicin 2.5.16. Sea C subanillo de B y sea B subanillo de A. Entonces C esun subanillo de A.Como ilustracin del criterio vamos a demostrar:Proposicin 2.5.17. Sea B una familia de subanillos de un anillo A.Entonces B = B es un subanillo de A.Esta proposicin nos permite denir dos conceptos importantes:Denicin 2.5.18. SeaS unsubconjuntodeA.LlamamossubanillogeneradoporS alainterseccinB detodoslossubanillosdeAquecontienenaS .Lorepresentamos por B = Z[S ].Ejemplo 2.5.19. El anillo J de los enteros de Gauss es el subanillo generado por iDenicin 2.5.20. Sea B una familia arbitraria de subanillos deA.Llamamos compuesto de los B al subanillo generado por S= B.Proposicin 2.5.21. 1. Sea S= . Entonces Z[S ] es el subanillo primo.2. Sea A conmutativo. Para cualquier S A no vaco, Z[S ] es el conjunto detodos los elementos de A que se expresan como polinomios en los elementosde Scon coecientes enteros.Proposicin 2.5.22. Sea B un subanillo cualquiera de A. Entonces B contiene alsubanillo primo de A.En anillos existe otra subestructura importante:Denicin 2.5.23. Sea A un anillo y sea I un subconjunto no vaco. Decimos queI es un ideal de A si se verica:I es un subgruo de (A, +)a A x I ax, xa IEjemplo2.5.24. Todoanillotienedosideales:Elidealtrivialonuloformadoslo por el elemento 0 y el ideal total que es todo el anillo. Estos son los idealesimpropios. Cualquier otro ideal es un ideal propio.Proposicin 2.5.25. Un ideal I de A contiene al 1 si y slo si I= ACorolario 2.5.26. Un ideal I de A es propio si y slo si no es trivial y 1I.70 CAPTULO 2. ANILLOS CONMUTATIVOSEjemplo 2.5.27. Para cualquier homomorsmo de anillos f : A B el ncleoker( f ) es un ideal de A.Ejemplo 2.5.28. Sea A un anillo conmutativo y sea a un elemento de A. El con-junto Aa= xa x A es un ideal de A que se llama ideal principal generadopor a.Proposicin 2.5.29. Sea I unafamiliadeidealesdeunanilloA.Entonces I= I es un ideal de A.Proposicin 2.5.30. Sean I, J ideales de un anillo A. Entonces I+ J es un idealde A.Denicin 2.5.31. Sea Sun subconjunto del anillo A. Llamamos ideal generadopor Sa la interseccin de todos los ideales que contienen a S . Se representa por(S ).Si S= a1, . . . , an es un con junto nito, el ideal generado por Sse representapor (a1, . . . , an).Ejemplo 2.5.32. Si S= , (S ) = 0 es el ideal nulo.Ejemplo 2.5.33. Si A es conmutativo y a A, (a) = Aa el ideal prinicipal generadopor a.Proposicin 2.5.34. Sea A un anillo conmutativo y Sun subconjunto no vacosuyo. Entonces(S ) = x =

axaa a S, xa ACorolario 2.5.35. Sea S= a1, . . . , an. Entonces(a1, . . . , an) = x1a1++ xnan xi A = Aa1++ Aan.2.5.3. SubmdulosSea A un anillo jo. Todos los mdulos que vamos a considerar son mdulospor la izquierda sobre A.Denicin 2.5.36. Dados dos mdulos (M, +) y (N, +), decimos que N es un sub-mdulo de M, y lo representamos por N< M, cuando N es un subconjunto de My la aplicacin de insercin N M es un homomorsmo de mdulos.Ejemplo 2.5.37. Todo mdulo M tiene dos submdulos: El mdulo formado slopor el elemento cero, que es el submdulo trivial, y el mismo M, que es el sub-mdulo total. Ambos son los submdulos impropios. Cualquier otro submduloes un submdulo propio.2.5. SUBESTRUCTURAS 71Por abuso de lenguaje se suele identicar al submdulo (N, +) con el subcon-junto N, ya que la ley de composicin est determinada por el mdulo N.Proposicin 2.5.38 (Caracterizaciones de submdulo). 1. Sea M un mdu-lo y sea N M. Entonces Nes un submdulo deMsi y slo si severica:a) Para todo par de elementos x, y N tambin x + y N.b) Para todo a A y todo x N tambin ax N.2. Sea M un mdulo y sea N M. Entonces Nes un submdulo de Msi y slo si se verica: Para todo par de escalares a, b A y todo par deelementos x, y N tambin ax + by N.Ejemplo 2.5.39. Para cualquier homomorsmo de mdulosf : M N, el con-junto ker( f ) es un submdulo de M y el conjunto Im( f ) es un submdulo de N.Proposicin 2.5.40. Sea L submdulo de N y sea N submdulo de M. EntoncesL es un submdulo de M.Como ilustracin del criterio vamos a demostrar:Proposicin 2.5.41. Sea N una familia de submdulos de un mduloM. Entonces N= N es un submdulo de M.Esta proposicin nos permite denir dos conceptos importantes:Denicin 2.5.42. Sea Sun subconjunto de M. Llamamos submdulo generadopor Sa la interseccin N de todos los submdulos de M que contienen a N. Lorepresentamos por N= A(S ).Proposicin 2.5.43. Sean N1, N2 submdulos de M. Entonces N1+ N2 es un sub-mdulo de M.Proposicin 2.5.44. 1. Sea S= . Entonces (S ) es el submdulo trivial.2. Para cualquier S M no vaco,A(S ) =

axx ax A casi todos cero, x S es el conjunto de todos los elementos de G que se expresan como combina-ciones lineales nitas de elementos de Scon coecientes en A.72 CAPTULO 2. ANILLOS CONMUTATIVOS2.6. Anillos cocientesSean A un anillo e I un ideal suyo. Denimos una relacin binaria en A por lareglaa b a b I (2.6.1)Lema 2.6.1. La relacin 2.6.1 es una relacin de equivalencia.Representamos por a= a + I a la clase de equivalencia del elemento a A.Cualquier elemento de a se llama representante de la clase a. Representamos porA/I al conjunto de todas las clases de equivalencia para la relacin 2.6.1. En A/Idenimos dos operaciones internas:a + b = a + b (2.6.2)ab = ab (2.6.3)Lema 2.6.2. Sean a = a1 y b = b1. Entonces a + b = a1+ b1 y ab = a1b1Este lema nos dice que las operaciones 2.6.2 estn bien denidas, es decir queson independientes de los representantes elegidos.Proposicin 2.6.3. El conjunto A/Ijunto con las operaciones 2.6.2 forman unanillo que se llama anillo cociente de A sobre I.Llamamos poyeccin de A sobre A/I a la aplicacinp: A A/I dada porp(a) = a.Proposicin 2.6.4. La proyeccin p : A A/I es un epimorsmo de anillos conncleo ker(p) = I.Corolario 2.6.5. Un subconjunto I A es un ideal si y slo si existe un homo-morsmo de anillosf : A B tal que I= ker f .Teorema 2.6.6 (Propiedad universal del anillo cociente). Sean A un anillo e Iun ideal suyo. Para todo homomorsmo de anillosf :A B tal que ker f Iexiste un nico homomorsmo de anillosf : A/I B tal quef p =f .Adems Im f = Im( f ) y a ker( f ) si y slo si a ker( f ).Corolario 2.6.7. fes un epimorsmo si y slo si fes un epimorsmo.fes un monomorsmo si y slo si I= ker( f ).2.6. ANILLOS COCIENTES 73Proposicin 2.6.8 (Descomposicin cannica de un homomorsmo). Todo ho-momorsmo de anillosf : A B se descompone como un productoAf1Aker( f )f2 Im( f )f3 Bdondef1 es un epimorsmo, f2 es un isomorsmo yf3 es un monomorsmo.Corolario 2.6.9 (Primer teorema de isomorsmo).Para todo homomorsmo deanillosf : A B existe un isomorsmo A/ ker( f )Im( f ) dado por a f (a).Teorema 2.6.10 (Teorema de correspondencia). Sean A un anillo e I un idealsuyo y sea p : A A/I la proyeccin. SeanS= U U es un subgrupo aditivo de A y U ISI= V V es un subgrupo aditivo de A/I1. La aplicacin U p(U) = U/I establece una biyeccin S SI.2. En esta biyeccin S T si y slo si p(S ) p(T).3. Ses un subanillo de A si y slo si p(S ) es un subanillo de A/I.4. Ses un ideal de A si y slo si p(S ) es un ideal de A/I.Teorema 2.6.11 (Segundo teorema de isomorsmo). Sea A un anillo y sean Bun subanillo e I un ideal de A. Entonces:1. B + I= b + x b B, x I es un subanillo de A e I es un ideal de B + I.2. B I es un ideal de B3. Existe un isomorsmoBB I

B + IIdado por b + B I b + I.Teorema 2.6.12 (Tercer teorema de isomorsmo). Sea A un anillo y sean I Jideales suyos. Entonces I/J es un ideal de A/J y existe un isomorsmoA/JI/J

AI74 CAPTULO 2. ANILLOS CONMUTATIVOS2.7. Dominios de integridad y cuerposSea A un anillo conmutativo.Denicin 2.7.1. Un elementos a A se llama divisor de cero si existe un b A,b0 tal que ab = 0.Un dominio de integridad es un anillo conmutativo A no trivial sin divisoresde cero no nulos.En otras palabras, un anillo conmutativo A es un dominio de integridad si 10y si ab = 0 a = 0 o b = 0.Proposicin 2.7.2. Un anillo conmutativo no trivial A es un dominio de integridadsi y slo si satisface la ley cancelativa:ab = ac y a0 b = cCorolario 2.7.3. Sea A un dominio de integridad y sea B un subanillo de A. En-tonces B es un dominio de integridad.Denicin 2.7.4. Un cuerpo es un anillo conmutativo no trivial en el que todoelemento no nulo tiene un inverso multiplicativo.Un subcuerpo de un cuerpo F es un subanillo que es un cuerpo.En otras palabras, el cuerpo K es un subcuerpo de F si y slo si es un subcon-junto y la aplicacin de inclusin i : K F es un homomorsmo.Lema 2.7.5. UnsubconjuntodeuncuerpoFesunsubcuerposiyslosiescerrado para la suma, la multiplicacin, el cero, el uno, el opuesto aditivo y elinverso multiplicativo.Proposicin 2.7.6. Todo cuerpo es un dominio de integridad.Proposicin 2.7.7. Todo dominio de integridad nito es un cuerpo.Proposicin 2.7.8. Un anillo conmutativo no trivial es un cuerpo si y solo si notiene ideales propios.Corolario 2.7.9. Todo homomorsmo de cuerpos K F es inyectivo.Denicin 2.7.10. Sea A un anillo conmutativo. Un ideal I de A se llama maximalsi IA y si para J ideal de A, I J J= I o J= A.Un ideal I de A se llama primo si IA y si para a, b A ab I a I o b A.2.8. EL CUERPO DE FRACCIONES 75Proposicin 2.7.11. Sea A un anillo conmutativo y sea I un ideal suyo. El ideal Ies maximal si y slo si el anillo cociente A/I es un cuerpo.El ideal I es primo si y slo si el anillo cociente A/I es un dominio de integri-dad.Corolario 2.7.12. Todo ideal maximal es primo.Denicin 2.7.13. Un anillo de integridad o anillo ntegro es un anillo (no nece-sariamente conmutativo) sin divisores de cero.Un anillo de divisin es un anillo (no necesariamente conmutativo) en el quetodo elemento distinto de cero tiene un inverso.As que un dominio de integridad es lo mismo que un anillo de integridadconmutativo y un cuerpo es lo mismo que un anillo de divisin conmutativo. Na-turalmente todo anillo de divisin es un anillo de integridad.Proposicin 2.7.14. La caracterstica de un dominio de integridad es o cero o unnmero primo.Proposicin 2.7.15. Sea K un cuerpo. La interseccin de una familia arbitrariasde subcuerpos de K es un subcuerpo de K.Denicin 2.7.16. Sea K un cuerpo. Se llama subcuerpo primo de K a la inter-seccin de todos los subcuerpos de K.Es decir, que el subcuerpo primo es el mnimo subcuerpo de K.2.8. El cuerpo de fraccionesSea A un dominio de integridad. Llamamos Sal conjunto de elementos no nu-los de A. En el conjunto producto cartesiano S A denimos la siguiente relacinbinaria:(s1, a1) (s2, a2) s1a2= s2a1(2.8.1)Proposicin 2.8.1. La relacin 2.8.1 es una relacin de equivalencia.Al conjunto cociente S A/ lo representamos por Q(A) o por S1A. En esteconjunto la clase De (s, a) se representa por a/s y se llama fraccin; el elementoa es el numerador y s es el denominador de la fraccin.Denimos dos operaciones binarias Q(A) Q(A) Q(A) por las reglas:a1s1+a2s2=s2a1+ s1a2s1s2(2.8.2)a1s1

a2s2=a1a2s1s2(2.8.3)76 CAPTULO 2. ANILLOS CONMUTATIVOSProposicin 2.8.2. Las operaciones 2.8.2 y 2.8.3 estn bien denidas (es decir,son independientes de los representantes elegidos para las fracciones).Proposicin 2.8.3. El conjunto Q(A) con las operaciones 2.8.2 y 2.8.3 es un cuer-po que se llama cuerpo de fracciones del anillo A.Ejemplo 2.8.4. Cuando A = Z, el cuerpo de fracciones es el cuerpo de los nmerosracionales Q(A) = Q.Ejemplo 2.8.5. Q(2) es el cuerpo de fracciones de Z[2].Ejemplo 2.8.6. Q(i) = a +bi a, b Q es el cuerpo de fracciones del anillo delos enteros de Gauss J = Z[i].El anillo A determina unvocamente al cuerpo Q(A) (salvo isomorsmos). Peropara un cuerpo Kpuede ocurrir que K=Q(A) =Q(B) aunque A yB no seanisomorfos:Ejemplo 2.8.7. Sea B= a/b Q b 1 (m od 2). Es fcil ver que Q(B)= Q,aunque B , Z.Proposicin 2.8.8. La aplicacin: A Q(A) denida por(a) =a/1 es unmonomorsmo de anillos.Usualmente se identica el anillo A con la imagen del anterior monomorsmo,es decir que tomamos a = a/1. Con esta identicacin A es un subanillo de Q(A).Lema 2.8.9. Todo dominio de integridad es un subanillo de algn cuerpo.Este resultado es falso para anillos de integridad: Malcev ha dado ejemplos deanillos de integridad que no se pueden sumergir en un anillo de divisin.Teorema 2.8.10. Para todo monomorsmof : A Kdonde Kes un cuerpoexiste un nico homomorsmof :Q(A) K tal quef =f . Adems Im( f )Q(A).Corolario 2.8.11. Sea A un subanillo de un cuerpo K tal que todo elemento u Kse puede expresar como u = ab1con a, b A. Entonces Q(A)K.Proposicin 2.8.12. Sea Kun cuerpo. Si car(K) =0, el cuerpo primo de Kesisomorfo a Q. Si car(K) = p, el cuerpo primo es isomorfo a Zp.2.9. FACTORIZACIN 772.9. FactorizacinSea A un dominio de integridad y sean a, b A.Denicin 2.9.1. Decimos que b es un mltiplo de a y que a divide a b si existeun c A tal que ac = b. Se representa por a b.Todo divisor de 1 se llama unidad del anillo A.Dos elementos a, b A se llaman asociados si a divide a b y b divide a a.Para un anillo A, el conjunto de divisores de uno constituye un grupo multipli-cativo que se llama grupo de las unidades y se representa por A.Ejemplo 2.9.2. Z= 1, 1.J= 1, i, 1, i.Z[2]= a + b2 a, b Z, a2 2b2= 1.Lema 2.9.3.En un dominio de integridad A dos elementos a, b A son asociadossi y slo si existe una unidad u A tal que a = bu.Denicin 2.9.4. Un elemento a A es un irreducible o tomo de A si no es unaunidad y si a = bc implica que b o c es una unidad.Ejemplo 2.9.5. En Z las unidades son 1 y 1 y los irreducibles son los primos ysus negativos.Sea A un dominio de integridad y sean a, b A.Denicin 2.9.6. Un mximo comn divisor de a y b es un elemento d A queverica dos propiedades:1. d a y d b.2. Para c A, c a y c b c d.Se suele representar d= (a, b) = m. c. d.(a, b).Lema 2.9.7. Dos mximos comunes divisores d, d de a y b son asociados.Denicin 2.9.8. Dos elementos a, b A son primos relativos si m. c. d.(a, b) = 1.Proposicin 2.9.9. SeaA un dominio de integridad y sean a, b, c A. Las si-guientes reglas se verican siempre que existan los mximos comunes divisoresimplicados:1. (ac, bc) = (a, b)c2. ((a, b), c) = (a, (b, c))78 CAPTULO 2. ANILLOS CONMUTATIVOS3. (a, b) es asociado de a si y slo si a b.4. (a, 0) = a.Denicin 2.9.10. Sea A un dominio de integridad. Un mnimo comn mltiplode a y b es un elemento m A que verica dos propiedades:1. a m y b m.2. Para c A, a c y b c m c.Se suele representar m = [a, b] = m. c. m.(a, b).Lema 2.9.11. Dos mnimos comunes mltiplos m, m de a y b son asociados.Proposicin 2.9.12. Sea A un dominio de integridad y sean a, b, c A. Las si-guientes reglas se verican siempre que existan los mnimos comunes mltiplosimplicados1. [ac, bc] = [a, b]c2. [[a, b], c] = [a, [b, c]]3. [a, b] es asociado de a si y slo si b a.4. [a, 1] = a.Proposicin 2.9.13. Sea A un dominio de integridad y sean a, b dos elementos deA que tienen un mnimo comn mltiplo m. Entonces m= 0 si y slo si a= 0 ob = 0. Si m0, el elemento d= ab/m es un mximo comn divisor de a y b.Demostracin. Sea ab0. El producto ab es un mltiplo de a y b, luego m ab.Sea ab= md. En particular m0. Adems m= ab1= a1b, as que ab= ab1d=a1bd. Como A es un dominio de integridad, b = b1d y a = a1d, luego d divide a ay b. Sea d1 otro divisor comn de a y b. Llamamos m1= ab/d1. Es fcil ver quem1 es un mltiplo comn de a y b, luego existe c A tal que m1= mc. De dondemd= ab = m1d1= mcd1. Luego d= cd1 y d1 es un divisor de d. El enunciado recproco es falso:Ejemplo 2.9.14. Sea A el subanillo de Z[X] formado por los polinomios con co-eciente de X par. Los elementos 2 y 2X tienen un mximo comn divisor en A,pero no tienen mnimo comn mltiplo.Sin embargo es cierto cuando todos los pares tienen un mximo comn divisor:2.9. FACTORIZACIN 79Proposicin 2.9.15. Sea A un dominio de integridad en el que todo par de ele-mentos tiene un mximo comn divisor. Entonces todo par de elementos tiene unmnimo comn mltiplo.Demostracin. Sean a, b A, ab0. Sea d =m. c. d.(a, b), as que a=a1dy b=b1d con a1, b1 A. Sea m=ab/d=a1b1d=ab1=a1b. Evidentementea m y b m. Sea m1 un mltiplo comn arbitrario de a, b y sea k= m. c. d.(m, m1).Como a y b son divisores de my m1, necesariamente a y b dividen a k. Sea m = kd1y sea k= au = bv. Sustituyendo obtenemos a1b = m = kd1= bvd1. Simplicandonos queda a1=vd1 y por tanto a=a1d=v(d1d). Similarmente b=u(d1d). Potanto (d1d) divide a m. c. d.(a, b) =d. Sea d =cd1d. Simplicando nos queda1=cd1, por lo que d1es una unidad y k, m son asociados, as que m divide am1.Luego m = m. c. m.(a, b). 2.9.1. Dominios de factorizacin nicaEl teorema fundamental de la aritmtica dice que todo entero se factoriza enirreducibles de forma esencialmente nica. La unicidad de la factorizacin resultaser muy til, lo que motiva la siguiente denicin.Denicin 2.9.16. Un dominio de factorizacin nica (abreviadamente, un DFU)o dominio factorial es un dominio de integridad en el que todo elemento no nuloni unidad se puede escribir como un producto de irreducibles y adems vericaque dadas dos factorizaciones en irreducibles del mismo elementoa = p1. . . pn= q1. . . qmentonces n=m y existe una permutacin Sn tal quepi es asociado de q(i)para i = 1, . . . , n.Ejemplo 2.9.17. Z es un dominio de factorizacin nica por el teorema fundamen-tal de la aritmtica.Ejemplo2.9.18. Todocuerpoesundominiodefactorizacinnicademaneratrivial.Mas adelante veremos que los anillos de polinomios con coecientes en undominio de factorizacin nica tambin son dominio de factorizacin nica.Sea A un dominio de factorizacin nica y sea P un conjunto de irreduciblestal que todo irreducible deA est asociado exactamente a un irreducible deP.(en muchos ejemplos interesantesP es innito, pero esto no es esencial). Todoelemento a de A se escribe de manera nica como a = upk11. . . pknndonde u es unaunidad y los pi son elementos de P.80 CAPTULO 2. ANILLOS CONMUTATIVOSLema 2.9.19. Sean a=upk11. . . pknny b=upt11. . . ptnnelementos de A. Entoncesa b si y slo si k1 ti para i = 1, . . . , nProposicin 2.9.20. Sea A un dominio de factorizacin nica, sean a, b A ysean a= upk11. . . pknny b= upt11. . . ptnnlas factorizaciones en irreducibles. Enton-ces m. c. d.(a, b) = upl11. . . plnndonde li= mn(ki, ti) para i = 1, . . . , n.Proposicin 2.9.21. Sea A un dominio de factorizacin nica Sean a = upk11. . . pknny b =upt11. . . ptnnlas factorizaciones en irreducibles. Entonces m. c. m.(a, b) =ups11. . . psnndonde si= m ax(ki, ti) para i = 1, . . . , n.Vamos a establecer dos caracterizaciones de los dominios de factorizacin ni-ca.Denicin 2.9.22. Sea A un dominio de integridad y p un elemento suyo; p es unelemento primo de A si no es cero ni unidad y para a, b A se verica que p absi y slo si p a o p b.Ejemplo 2.9.23. Los primos de Z son los nmeros primos y sus opuestos.Lema 2.9.24. Seap un primo de A y sean a1, . . . , an A. Entoncesp divide alproducto a1. . . an si y slo si existe un i tal que p ai.Lema 2.9.25. Todo primo es un irreducible.Teorema 2.9.26. UndominiodeintegridadAesundominiodefactorizacinnica si y slo si1. Todo elemento no nulo ni unidad descompone como producto de irreduci-bles2. Todo irreducible es primo.Demostracin. SeaA un dominio de factorizacin nica y sea u A irreduci-ble Sean a, b A tales que u ab. Entonces existe un c A tal que uc =ab.Sean a=u1. . . un, b=un+1. . . um y c=v1. . . vk factorizaciones en irreduciblesSustituyendo nos queda uv1. . . vk=u1. . . vm. Estas son dos factorizaciones enirreducibles. Como A es factorial, k+ 1=m y existe un ujasociado con u. Sij n, resulta que u a y si j > n queda que u b. Luego u es primo.A la inversa, sea A un dominio de integridad vericando las condiciones delenunciado y sean a=p1. . . pn= q1. . . qm dos factorizaciones en irreducibles. Sin=1, p1= q1. . . qm y como p1 es irreducible, necesariamente m = n y p1= q1.Sea ahora n > 1 y supongamos que la factorizacin es nica siempre que unode los productos tenga menos de n factores. Comop1 q1. . . qm yp1 es primo,2.9. FACTORIZACIN 81existe un qj tal que p1 qj y como qj es irreducible, qj= p1u con u invertible. Porsencillez suponemos quej =1. Nos quedap1. . . pn=p1(uq2) . . . qm y simpli-cando p2. . . pn= (uq2) . . . qm. Pero ahora el primer miembro tiene n 1 factores.Por la hiptesis de induccin, n1 = m1 y existe una permutacin i j ta quepi y qj son asociados. Teorema 2.9.27. UndominiodeintegridadAesundominiodefactorizacinnica si y slo si1. Todo elemento no nulo ni unidad descompone como producto de irreduci-bles2. Todo par de elementos tiene mximo comn divisor.Demostracin. La primera condicin es la misma en ambos casos. Sea A un do-miniodefactorizacinnica.Porlaproposicin2.9.20todopardeelementostiene un mximo comn divisor.A la inversa, supongamos que todo par de elementos tiene un mximo comndivisor. Sea u A un irreducible arbitrario y sean a, b A tales que u a yub, es decir que m. c. d.(u, a) =1=m. c. d.(u, b). Por la proposicin 2.9.9,b= (ub, ab) y 1= (u, b)= (u, (ub, ab))= ((u, ub), ab)= (u(1, b), ab)= (u, ab). Elcontrarrecproco nos dice que (u, ab) = u (u, a) = u (u, b) = u Las proposiciones 2.9.20 y 2.9.21 suministran una forma cmoda de calcularel mximo comn divisor y el mnimo comn mltiplo. La pega es que presuponenque A es un dominio de factorizacin nica y que a y b han sido factorizados en A.Pero el proceso de factorizar completamente un elemento normalmente es largo ypenoso. Para Z, K[X] y otros dominios de integridad existe un mtodo mas directoy efectivo de calcular el mximo comn divisor usando un algoritmo de divisincon resto. Esto motiva la denicin de dos nuevas clases de anillos: Los dominiosde ideales principales y los dominios eucldeos.2.9.2. Dominios de ideales principalesDenicin 2.9.28. Un dominio de ideales principales (abreviado por D.I.P) es undominio de integridad en el que todo ideal es principal.Lema 2.9.29. En un dominio de ideales principales A toda cadena ascendente deideales(a1) (a2) . . .es estacionaria, es decir que existe un n tal que (an) = (an+1) = . . . :82 CAPTULO 2. ANILLOS CONMUTATIVOSDemostracin. Sea I = i(ai). Es fcil comprobar que I es un ideal de A, luegoexiste un b I tal que I = (b). Como I es la unin de los ideales (ai), existe unn tal que b (an), es decir que b=can es un mltiplo de an. Para cualquier mtenemos que am I, luego am= dmb es un mltiplo de b. Sustituyendo tenemosque am= dmcan (an) y por tanto (am) (an) para todo m. Luego (am) = (an) paratodo m n. Proposicin 2.9.30. Todo dominio de ideales principales es un dominio de facto-rizacin nica.Demostracin. 1. Todo elemento de un dominio de ideales principales se des-compone como producto de irreducibles:Sea A un dominio de ideales principales arbitrario y sea a1 A cualquierelemento que no es invertible. Si a1 es irreducible, tenemos una factoriza-cin a1=p1. Si a1 es reducible existe una factorizacin a1= a2b1 con a2y b1 no invertibles, y por tanto (a1) (a2). Si a2 es reducible, repetimos elrazonamiento y obtenemos un a3 no invertible tal que (a1) (a2) (a3).Por el lema anterior, este proceso no puede ser innito. Luego llegamos auna factorizacin a1= p1a2 con p1 irreducible.Si a2es irreducible o invertible, tenemos una factorizacin de a1en irre-ducibles. En otro caso, repetimos el proceso y obtenemos a2=p2a3conp2 irreducible y a1=p1p2a3. Otra vez tenemos una cadena ascendente deideales (a1)(a2)(a3) . . .. Por el lema anterior, esta cadena es estaciona-ria. Luego existe un n tal que a1= p1. . . pn es una factorizacin de a1 comoproducto de irreducibles.2. EnundominiodeidealesprincipalesAtodopardeelementostieneunmximo comn divisor:Sean a, b A arbitrarios y sea I= (a, b) el ideal generado por ellos. Por serA un dominio de ideales principales, existe un d I tal que (a, b) = (d). Loselementos a, b estn en I= (d) luego d a y d b. Adems existen u, v Atales que d= ua + vb. Sea c un divisor comn de a y b, as que a= a1c yb = b1c. Luego d= ua1c + vb1c = (ua1+ vb1)c es un mltiplo de c.

Corolario 2.9.31 (Identidad de Bezout). Sea A un dominio de ideales principa-les. Para cualesquiera a, b A existen u, v A tales qued= m. c. d.(a, b) = ua + vbBibliografa[1] J. A. Beachy and W. D. Blair, Abstract Algebra, Waveland Press 1996[2] P. M. Cohn, Algebra I, Wiley and sons 1977[3] D. S. Dummit and R. M. Foote, Abstract Algebra, Prentice-Hall 1991[4] O. Ore, Number Theory and its History, Academic Press8384 BIBLIOGRAFACaptulo 3Dominios Eucldeos3.1. Deniciones y resultados bsicosDenicin 3.1.1. Sea A un dominio de integridad. Una funcin eucldea es unafuncin : A 0 Z+que verica1. Para cualesquiera a, b A con ab0 se tiene (ab) (a).2. Para cualesquiera a, b A con b0 existen q, r A tales que a= bq + r yo bien (r) < (b) o bien r= 0.Un dominio de integridad que tenga una funcin eucldea se llama dominioeucldeo.Ejemplo 3.1.2. El anillo Z de los enteros es un dominio eucldeo tomando la fun-cin (n) = n.Generalmente para vericar que un anillo es eucldeo es mas conveniente re-emplazar la segunda condicin por otra:Lema 3.1.3. La segunda condicin de la denicin de funcin eucldea es equi-valente a la siguiente: Para cualesquiera a, b A si (a) (b) existe un c Atal que (a bc) < (a) o a = bc.Ejemplo 3.1.4. Sea Kun cuerpo arbitrario. El anillo de polinomios K[X] es unanillo eucldeo para la funcin ( f ) = gr( f ).La siguiente propiedad es la que hace muy fcil trabajar con los anillos eucl-deos:Teorema 3.1.5. Todo anillo eucldeo es un dominio de ideales principales.8586 CAPTULO 3. DOMINIOS EUCLDEOSDemostracin. Sea A un dominio eucldeo y sea I un ideal de A. Si I 0 existeun a I, a0, con (a) mnimo. Entonces (a) I.Supongamos que (a) I. Sea b I, b(a). Dividimos b=qa + r. Ahorar= b qa I, r0 y (r)(r1)>. . . es una sucesin estrictamente decreciente de nmerosno negativos que debe pararse y esto slo puede ocurrir cuando un resto es cero.De la primera ecuacin vemos que r1 es de la forma ax + by con x, y A. Porinduccin lo mismo se verica para todo ri: Seanri2= ax+ byri1= ax + byEntonces ri= ri1qi+ ri2= a(x xqi) + b(y yqi). En particularrn= au + bv (3.1.1)Adems rn divide a rn y a rn1, luego divide a rn2. Por induccin obtenemos quern divide a y b. Pero de la expresin 3.1.1 cualquier divisor de a y b tambin dividea rn. Luego d= rn= m. c. d.(a, b) Corolario 3.1.7. En un anillo eucldeo dos elementos cualesquiera tienen un m-nimo comn mltiplo.Corolario 3.1.8. En un dominio eucldeo todo irreducible es primo.Corolario 3.1.9. Todo dominio eucldeo es un dominio de factorizacin nica.Corolario 3.1.10. Para cualquier cuerpo Kel anillo de polinomios K[X] es undominio de factorizacin nica.3.2. EJEMPLOS: ANILLOS CUADRTICOS 873.2. Ejemplos: Anillos cuadrticos3.2.1. Cuerpos cuadrticos de nmerosSea D un nmero racional que no es un cuadrado perfecto en Q. Denimos elsubconjunto de CQ[D] = a + bD a, b QEst claro que este subconjunto es cerrado para la resta y la identidad(a + bD)(c + dD) = (ac + bdD) + (ad + bc)D)muestra que tambin es cerrado para la multiplicacin. Por tantoQ[D] es unsubanillo de C (e incluso de R cuando D> 0), as que en particular es un anilloconmutativo. Es fcil comprobar que la hiptesis de queD no es un cuadradoimplica que todo elemento de Q[D] se escribe de manera nica como a +bD.Tambin implica que si a, b no son ambos cero, entonces a2 b2D0 y como(a + bD)(a bD) = a2 b2D tenemos que(a + bD)1=aa2 b2D ba2 b2DD Q(D)Esto demuestra que todo elemento no nulo de Q[D] tiene un inverso en Q[D]y por tanto Q[D] es un cuerpo, que se llama cuerpo cuadrtico.El nmero racional D puede expresarse como D=f2D para algnf Q yun nico D Z que no sea divisible por el cuadrado de ningn entero mayor que1, es decir que o bien D= 1 o bien D= p1. . . ptdonde lospi son primosdistintos de Z. (Por ejemplo, 8/5= (2/5)2 10). Al entero D le llamamos partelibre de cuadrados de D. Entonces D=f D y por tanto Q[D]=Q[D].Luego no se pierde generalidad si se supone que Des un entero libre de cuadradosen la denicin del cuerpo cuadrtico Q[D].La aplicacin N : Q[D] Q denida por N(a + bD)= (a + bD)(a +bD)= a2 b2D se llama norma del cuerpo Q[D] (Por ejemplo, si D< 0 lanorma N(z) es sencillamente el cuadrado del mdulo del nmero complejo z). Laaplicacin norma verica las siguientes propiedades:1. N(uv) = N(u)N(v) para cualesquiera u, v Q[D].2. N(u) = 0 si y slo si u = 0.3.2.2. Anillos cuadrticos de enterosSea D un entero libre de cuadrados. Es inmediato que el conjuntoZ[D] = a + bD a, b Z88 CAPTULO 3. DOMINIOS EUCLDEOSes cerrado para la resta y el