66

ELEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR

CAPÍTULO 9

OPERADORES DIAGONALIZÁVEIS

No capítulo 8, vimos que é possível determinar a matriz de uma transformação linear ou

de um operador linear em relação a qualquer base dos espaços onde elas estão definidas. O objetivo

deste capítulo é: dado um operador linear VV:T → , determinar uma base de V, em relação a

qual, a matriz de T seja a mais simples possível. Na verdade esta matriz será uma matriz diagonal.

1 AUTO-VALORES E AUTO-VETORES

Definição: Seja V um espaço vetorial sobre um corpo K (complexos ou reais). Seja VV:T → um

operador linear. Um vetor Vv ∈ , 0v ≠ , é um auto-vetor de T, se existir um escalar

K∈λ tal que v)v(T λ= . Neste caso, λ é chamado de auto-valor de T associado ao

auto-vetor v.

OBS: São sinônimos: auto-valor, valor próprio ou valor característico.

São sinônimos: auto-vetor, vetor próprio ou vetor característico.

Proposição (1): Seja VV:T → um operador linear. O auto-valor λ é univocamente determinado

pelo auto-vetor v de T.

OBS: A proposição (1) nos diz que cada auto-vetor está associado a apenas um auto-valor. Mas

cada auto-valor pode gerar até infinitos auto-vetores, com veremos a seguir.

Seja VV:T → um operador linear. Seja λ um auto-valor. Note que, o conjunto

}v)v(T/v{ λ= é um subespaço vetorial de V, pois: v)v(T λ= ⇒ 0v)v(T =λ− ⇒

0)v(Id)v(T =λ− ⇒ 0)v)(IdT( =λ− ⇒ )IdT(Kerv λ−∈ . O que acabamos de demostrar é que

}v)v(T/Vv{)IdT(Ker λ=∈∀=λ− .

Definição: Seja VV:T → um operador linear. O subespaço }v)v(T/Vv{)IdT(Ker λ=∈∀=λ− é

chamado de subespaço próprio e será denotado por V(λλλλ).

67

Exemplo (1): Seja 22:T ℜ→ℜ o operador linear dado por )x,y()y,x(T = , que é a reflexão em

torno da bissetriz do 1º e 3º quadrantes. Determine os subespaços próprios, se

existirem.

Solução: Vamos verificar se existem auto-valores. Sejam 2)y,x(v ℜ∈= , 0v ≠ e ℜ∈λ tal que

v)v(T λ= . Então )y,x()y,x(T λ= ⇒ )y,x()x,y( λ= ⇒

λ=

λ=

yx

xy ⇒ 1±=λ . Logo,

existem auto-valores 1±=λ . Determinando os auto-vetores associados a cada auto-valor,

teremos:

Para 11 =λ ⇒

⋅=

⋅=

y1x

x1y , ou seja, 11 =λ gera todo vetor da forma )x,x(v1 = . Mais

precisamente, 11 =λ gera o subespaço próprio }xy/)y,x{()1(V 2=ℜ∈= que a reta

bissetriz do 1º e 3º quadrantes, onde 11 v)v(T =

Para 12 −=λ ⇒

⋅−=

⋅−=

y1x

x1y , ou seja, 12 −=λ gera todo vetor da forma )x,x(v2 −= .

Mais precisamente, 12 −=λ gera o subespaço próprio }xy/)y,x{()1(V 2−=ℜ∈=−

que a reta bissetriz do 2º e 4º quadrantes, onde 22 v)v(T −=

V(1) V(-1)

T(v1) = v1 T(v2) = -v2

v2

T(w)

w

y

x

68

Note que, w não é auto-vetor, pois não existe um escalar λ tal que w)w(T λ= .

Exemplo (2): Seja 22:T ℜ→ℜ o operador linear dado por )x,y()y,x(T −= , que é a rotação de

90o em torno da origem. Determine os subespaços próprios, se existirem.

Solução: Não existem escalares ℜ∈λ tais que )y,x()y,x(T λ= , ou seja, não existem auto-valores

nem auto-vetores, pois: )y,x()y,x(T λ= ⇒ )y,x()x,y( λ=− ⇒

λ=

λ=−

yx

xy ⇒

ℜ∉−±=λ⇒−=λ⇒λ−λ= 11)x(x 2 .

Exemplo (3): Seja 33:T ℜ→ℜ o operador linear dado por )0,y,x()z,y,x(T = , que é a projeção

ortogonal sobre o plano xy. Determine os subespaços próprios, se existirem.

Solução: Seja ℜ∈λ e 0v,)z,y,x(v 3≠ℜ∈= tal que )z,y,x()z,y,x(T λ= ⇒ )z,y,x()0,y,x( λ=

⇒

λ=

λ=

λ=

z0

yy

xx

⇒

=λ

=λ

0

1

2

1

Para 11 =λ ⇒ )0,y,x(v1 = , ou seja, }0z/)z,y,x{()1(V 3=ℜ∈= é o subespaço

próprio gerado por 11 =λ que é o plano xy.

Para 02 =λ ⇒ )z,0,0(v2 = , ou seja, }0yx/)z,y,x{()0(V 3==ℜ∈= é o subespaço

próprio gerado por 02 =λ que é o eixo Oz..

y

x

T(v) v

69

Definição: Dada uma matriz quadrada A de ordem n, chama-se polinômio característico da matriz

A, denotado por )(PC λ , ao seguinte determinante: )IdAdet( λ− , ou seja, se

=

nn2n1n

n22221

n11211

a...aa

............

a...aa

a...aa

A , então:

λ−

λ−

λ−

=λ

nn2n1n

n22221

n11211

C

a...aa

............

a...aa

a...aa

)(P . Onde Id é o

operador linear identidade.

Proposição (2): Matrizes semelhantes tem o mesmo polinômio característico.

Exemplo (4): Mostre que as matrizes

=

12

31A e

−−

−=

21

23

25

25

B são semelhantes.

Solução: Usando a proposição (2), vamos determinar os polinômios característicos das matrizes A e

B. Então: λ−

λ−=λ−=λ

12

31)IdAdet()(P AC ⇒ 52)(P 2

AC −λ−λ=λ

x V(1)

V(0)

T(v2)

v1

T(v1)

y

z

v2

70

λ−−−

−λ−=λ−=λ

21

23

25

25

BC )IdBdet()(P ⇒ 52)(P 2BC −λ−λ=λ

Como BCAC )(P)(P λ=λ , pela proposição (2) A e B são semelhantes.

Definição: Seja V um espaço vetorial de dimensão n e VV:T → um operador linear. Chama-se

polinômio característico do operador T, cuja notação é )(PT λ , ao polinômio

característico da matriz de T em relação a qualquer base.

Exemplo (5): Seja 33:T ℜ→ℜ o operador linear definido por )zx,yx,x()z,y,x(T ++= .

Determine o polinômio característico de T em relação a:

a) base canônica do ℜ3.

b) )}2,1,1(),0,3,2(),1,0,1{(B −= .

Solução: a)

=

=

=

)1,0,0()1,0,0(T

)0,1,0()0,1,0(T

)1,1,1()0,0,1(T

⇒

=

101

011

001

]T[ C ⇒

λ−

λ−

λ−

=λ

101

011

001

)(PT ⇒

133)1()(P 233T +λ−λ+λ−=λ−=λ

b)

=−

=

=

)3,0,1()2,1,1(T

)2,5,2()0,3,2(T

)2,1,1()1,0,1(T

⇒

−−−

=

2105

252

9188

]T[ C ⇒

λ−

λ−

−−λ−−

=λ

2105

252

9188

)(PT

⇒ 133)1()(P 233T +λ−λ+λ−=λ−=λ

Portanto, independente da base o polinômio característico de um operador linear T é

sempre o mesmo.

Proposição (3): Seja V um espaço vetorial de dimensão n e VV:T → um operador linear. As

raízes do polinômio característico do operador T são os auto-valores.

2 DIAGONALIZAÇÃO DE OPERADORES

Teorema (1): Auto-vetores associados a Auto-valores distintos são LI.

Corolário (1): Se V é um espaço vetorial de dimensão n e VV:T → é um operador linear que

admite n auto-valores distintos, então V possui uma base cujos elementos são auto-

vetores de T.

71

OBS: Se VV:T → é um operador linear e }v,...,v,v{B n21= é uma base de auto-vetores de T,

então

λ

λ

λ

=

n

2

1

B

...00

............

0...0

0...0

]T[ . Onde os λi são os auto-valores, não necessariamente

distintos. Reciprocamente, se }u,...,u,u{'B 321= é uma base de V e

=

n

2

1

B

a...00

............

0...a0

0...0a

]T[ , então os ui são auto-vetores de T associados aos auto-valores ai.

Portanto, esta observação nos diz que: A matriz B]T[ de um operador linear VV:T → , em

relação a base B, é uma matriz diagonal se, e somente se, essa base B é formada por auto-

vetores de T.

Definição: Seja VV:T → um operador linear. Dizemos que T é um Operador Diagonalizável se

existir uma base de V formada por auto-vetores de T.

OBS: Quando um operador é diagonalizável, sua matriz, em relação a base B de auto-vetores, é

uma matriz diagonal, cuja diagonal principal é formada pelos auto-valores, ou seja, então

λ

λ

λ

=

n

2

1

B

...00

............

0...0

0...0

]T[ , onde os λi são os auto-valores. Na verdade, quem determina a

posição dos auto-valores na diagonal é a posição dos auto-vetores dentro da base B. A

matriz B]T[ é formada por blocos de ordem n, respectivamente igual a multiplicidade das

raízes do polinômio característico, ou seja, respectivamente igual a multiplicidade dos auto-

valores. Por exemplo: se o polinômio característico de um operador linear está na forma

fatorada 2C )3()4()(P +λ⋅−λ=λ , isso significa que a raiz 41 =λ tem multiplicidade igual a

1, então ela aparece na diagonal um vez, formando um bloco de ordem 1; a raiz 32 −=λ

tem multiplicidade igual a 2, então ela aparece na diagonal duas vezes, formando um bloco

de ordem 2. Portanto, a matriz B]T[ pode apresentar as seguintes formas:

72

−

−

300

030

004

ou

−

−

400

030

003

Exemplo (6): Verificar quais dos operadores abaixo é diagonalizável. Em caso afirmativo, exibir a

matriz de T em relação a base de auto-vetores.

a) )y3x2,y4x()y,x(T ++=

b) )z4y6x3,z2y4x,z6y6x5()z,y,x(T −−++−−−=

Solução: a) Vamos determinar os auto-valores determinando o polinômio característico de T e

calculando a suas raízes. Como o polinômio característico é o mesmo em relação a

qualquer base, vamos usar sempre a base canônica para construir a matriz de T. Então:

=

=

)3,4()1,0(T

)2,1()0,1(T ⇒

=

32

41]T[ ⇒

λ−

λ−=λ

32

41)(PC ⇒ 54)(P 2

C −λ−λ=λ ,

cujas raízes são os auto-valores 1e5 21 −=λ=λ . Para determinar os auto-vetores

sabemos que v)v(T λ= ⇒ 0)v](IdT[ =λ− . Essa expressão podemos escrevê-la na

forma matricial. Então, seja )0,0(0e)y,x(v == .

• Para 51 =λ , temos:

=

⋅

−

−

0

0

y

x

532

451⇒

=−

=+

0y2x2

0y4x4 ⇒ yx = . Logo,

serão gerados todos os auto-vetores do tipo )1,1(x)x,x(v == . Seja )1,1(v1 = um

representante destes auto-vetores.

• Para 12 −=λ , temos:

=

⋅

−−

−−

0

0

y

x

)1(32

4)1(1⇒

=+

=+

0y4x2

0y4x2 ⇒ y2x −= .

Logo, serão gerados todos os auto-vetores do tipo )1,2(y)y,y2(v −=−= . Seja

)1,2(v2 −= um representante destes auto-vetores.

• Como )}1,2(),1,1{(B −= é uma base de auto-vetores do ℜ2, então T é um operador

diagonalizável. Isso significa que a matriz de T em relação a base B de auto-

vetores é uma matriz diagonal, cuja diagonal principal é formada pelos auto-

valores, ou seja:

−=

−=

50

01]T[ou

10

05]T[ BB . A ordem dos auto-valores

na diagonal da matriz depende da posição dos auto-vetores dentro da base B.

73

b) Determinando o polinômio característico de T:

−−=

−−=

−=

)4,2,6()1,0,0(T

)6,4,6()0,1,0(T

)3,1,5()0,0,1(T

⇒

−−

−

−−

=

463

241

665

]T[ ⇒ 485

463

241

665

)(P 23C +λ−λ+λ−=

λ−−−

λ−−

−−λ−

=λ . Então

2C )2()1()(P −λ⋅−λ=λ . Logo, temos um auto-valor 11 =λ com multiplicidade 1 e

um auto-valor 22 =λ com multiplicidade 2.

• Para 11 =λ , temos:

=

⋅

−−

−

−−

0

0

0

z

y

x

563

231

664

⇒

=−−

=++−

=−−

0z5y6x3

0z2y3x

0z6y6x4

⇒

−=

−=

y3z

y3x.

Logo, serão gerados todos os auto-vetores do tipo )3,1,3(y)y3,y,y3(v −−=−−= .

Seja )3,1,3(v1 −−= um representante destes auto-vetores.

• Para 22 =λ , temos:

=

⋅

−−

−

−−

0

0

0

z

y

x

663

221

663

⇒

=−−

=++−

=−−

0z6y6x3

0z2y2x

0z6y6x3

⇒

z2y2x += . Logo, serão gerados todos os auto-vetores do tipo

)1,0,2(z)0,1,2(y)z,y,z2y2(v +=+= . Sejam )0,1,2(v2 = e )1,0,2(v3 = os

representantes destes auto-vetores.

• Como )}1,0,2(),0,1,2(),3,1,3{(B −−= é uma base de auto-vetores do ℜ3, então T é um

operador diagonalizável. Isso significa que a matriz de T em relação a base B de

auto-vetores é uma matriz diagonal, cuja diagonal principal é formada pelos auto-

valores, ou seja:

=

=

100

020

002

]T[ou

200

020

001

]T[ BB .

Exemplo (7): Mostre que o operador linear )z4y2,zy,yx2()y,x(T +−+= não é diagonalizável.

Solução: Determinando o polinômio característico de T:

−=

=

=

)4,1,0()1,0,0(T

)2,1,1()0,1,0(T

)0,0,2()0,0,1(T

⇒

74

−=

420

110

012

]T[ ⇒ 12167

420

110

012

)(P 23C +λ−λ+λ−=

λ−

−λ−

λ−

=λ . Então

2C )2()3()(P −λ⋅−λ=λ . Logo, temos um auto-valor 31 =λ com multiplicidade 1 e

um auto-valor 22 =λ com multiplicidade 2.

• Para 31 =λ , temos:

=

⋅

−−

−

0

0

0

z

y

x

120

120

011

⇒

=+

=−−

=+−

0zy2

0zy2

0yx

⇒

−=

=

y2z

yx. Logo,

serão gerados todos os auto-vetores do tipo )2,1,1(y)y2,y,y(v −=−= . Seja

)2,1,1(v1 −= um representante destes auto-vetores.

• Para 22 =λ , temos:

=

⋅

−−

0

0

0

z

y

x

220

110

010

⇒

=+

=−−

=

0z2y2

0zy

0y

⇒

=−=

=

0yz

0y. Logo,

serão gerados todos os auto-vetores do tipo )0,0,1(x)0,0,x(v == . Seja )0,0,1(v2 =

o representante destes auto-vetores.

• Como )}0,0,1(),2,1,1{(B −= não é uma base de auto-vetores do ℜ3, então T não é um

operador diagonalizável. Isso significa que T não possui uma matriz diagonal em

relação a base qualquer base do ℜ3.

Exercícios Propostos

1) Verificar quais dos operadores lineares abaixo é diagonalizável. Em caso afirmativo, exibir a

matriz do operador em relação a base de auto-vetores.

a) )z3x2,zy2x,zx2()z,y,x(T +−++=

b) t)a7a9()a6a8()taa(T 1o1o1o −+−=+

Resp: a) É diagonalizável e ...

400

010

002

ou

200

040

001

ou

400

020

001

]T[ B

=

b) É diagonalizável e

−

−=

20

01ou

10

02]T[ B

2) Seja )TS(M)TS(M:T 22 → , onde )TS(M 2 é o espaço vetorial das matrizes triangulares

superiores, cuja base canônica é

=

10

00

00

10,

00

01C . Mostre que o operador linear

75

++−=

cb3a0

b3a3

c0

baT é um operador diagonalizável e exibir sua matriz em relação a

base de auto-vetores.

Resp: É diagonalizável e

=

300

030

001

ou

100

030

003

]T[ B

3) Verificar quais dos operadores lineares abaixo é diagonalizável. Em caso afirmativo, exibir a

matriz do operador em relação a base de auto-vetores.

a) )zyx,zyx,zyx()z,y,x(T −−−+++=

b)

+−=

4

y3x2,

4

yx6)y,x(T

c) )z2,zy,x()z,y,x(T +=

d) )zy3x3,z2yx2,z3y2x()x,y,x(T ++++++=

Resp: a) É diagonalizável e ...

200

010

002

ou

200

020

001

ou

200

020

001

]T[ B

−

−

−

=

b) É diagonalizável e

=

45

45

B 0

01ou

10

0]T[

c) Não é diagonalizável.

d) É diagonalizável e ...

600

010

002

ou

100

020

006

ou

200

010

006

]T[ B

−

−

−

−

−

−=