Algebra Linear e Aplicações - Carlos A. Callioli
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CARLOS A. CALLIOLIProf. Titular - Faculdade de Engenharia Industrial (São Paulo)
HYGINO H. DOMINGUESProf. Adjunto - Instituto de Biociências, Letras e Ciências Exatas
UNESP ( Rio Preto)
ROBERTO C. f. COSTAPraf. Livre-Docente - Instituto de Matemática e Estatística - USP
ÁLGEBRA LINEAR".,.
E APLICACOES"' .
6~ edição reformulada
12'! reimpressã~"!IF
ATUAJ.EDITORA
CARLOS A. CALLIOLIProf. Titular - Faculdade de Engenharia Industrial (São Paulo)
HYGINO H. DOMINGUESProf. Adjunto - Instituto de Biociências, Letras e Ciências Exatas
UNESP ( Rio Preto)
ROBERTO C. f. COSTAPraf. Livre-Docente - Instituto de Matemática e Estatística - USP
ÁLGEBRA LINEAR".,.
E APLICACOES"' .
6~ edição reformulada
12'! reimpressã~"!IF
ATUAJ.EDITORA
124133137149151
158161172176192195
197199203208212214217218
221222225228232235243
Capítulo 7 - Determinantes
1. Permutações .2. Determinantes .3. Propriedades dos Determinantes .4. Cofatores .5. Adjunta Clássica e Inversa .6. Regra de Cramer .7. Determinante de um Operador Linear ..
Apêndice IV - Determinante de um Produto de Matrizes .
Capítulo 6 - Espaços com Produto Interno
1. Produtos Internos .2. Norma e Distância ~ .3. Ortogonalidade .4. Isometrias .5. Operadores Auto-adjuntos .6. Espaços Hermitianos .
Capítulo 8 - Formas Bilineares e Quadráticas Reais
1. Formas Bilineares ..2. Matriz de uma Forma Bilinear ..3. Matrizes Congruentes - Mudança de Base para uma Forma Bilinear4. Formas Bilineares Simétricas e Anti-simétricas .5. 'Formas Quadráticas .6. Redução de Formas Quadráticas: Algoritmos ..7. Lei de Inércia .
, Capítulo 4 - Transformações Lineares
L Noções sobre Aplicações 1022. Transformações Lineares 1043. Núcleo e Imagem 1114. Isomorfismos e Automorfismos 114
(C;~~~::::-;) Matriz de uma Transformação Linear
--1-: -Op~ações com Transformações Lineares .2. Matriz de uma Transformação Linear : .3. Matriz da Transformação Composta .4. Espaço Dual .5. Matrizes Semelhantes .
2468
1618273139
4244505456575966
67747678
8081899199
Capítulo 1 - Sistemas Lineares - Matrizes
1. Sistemas Lineares .2. Sistemas Equivalentes .3. Sistemas Escalonados ..4. Discussão e Resolução de um Sistema Linear ..5. Matrizes .6. ,Operações com Matrizes .7. ~,Matrizes Inversíveis .8. Sistemas de Cramer .
~Apêndice I - Matrizes Elementares ..
íNDICE
1 ~ PARTE: ÁLGEBRA LINEAR
Capítulo 2 - Espaços Vetoriais
1. Introdução .2. Espaços Vetoriais ' .3. Primeiras Propriedades de um Espaço Vetorial .4. Sub-espaços Vetoriais ..5. Somas de Sub-espaços .6. Combinações Lineares ..7. Espaços Vetoriais Finitamente Gerados ..
Apêndice 11 - Exemplo de Espaço que não é Finitamente Gerado
Capítulo 3 - Base e Dimensão
1. Dependência Linear ..2. Propriedades da Dependência Linear ..3. Base de um Espaço Vetorial Finitamente Gerado .4. Dimensão ..5. Processo Prático para Determinar uma Base de um Sub-espaço de [Rn
(ou Cn) : •••••••
6. Dimensão da Soma de Dois Sub-espaços ..7. Coordenadas ..8. Mudança de Base ..
Apêndice 111 - Teorema da Invariância ..
2 ~ PARTE: APLlCACÕES
( ê~;;';'~ magO~alizaç.O d, O do"" Lio"",,,, Fonna d, Jo .
"T'"'-"VâÍc>res e Vetores Próprios 2462. Diagonalização de Operadores 2533. Diagonalização de Operadores Auto-adjuntos (ou de Matrizes Simétri-
cas Reais) o o o o •••••••••• o •••••••••••••••• o ••••• o ••• o o • o • • • • • 2624. Aplicação da Diagonalização: Potências de uma Matriz .. o • o •• o o o 2665. Aplicação da Diagonalização: Séries de Matrizes (Noções) 2686. Lema de Gergoshin . o • o o o • o o o o o • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 2707. Forma de Jordan . o ••••• o ••••••••••••••••••• o •••••• o •• o o.... 272
Capítulo 2 - Curvas e Superfícies de Segundo Grau
1. As Curvas de Segundo Grau o • o o o o ••••••••••••• o o • • • • • • • 2842. As Superfícies de Segundo Grau o • o o o ••••••••••• o o o o • • • • • 292
Capítulo 3 - Polinômios de Lagrange
1. Valores Numéricos o •••••••• o •••••••••• o o • • • • • • • • 2982. Polinômios de Lagrange o •••••••• o •••••••••• o o • • • • • • • • 299
Capítulo 4 - Seqüências Recorrentes Lineares
1. Seqüências Recorrentes o • o •••••• o • o ••••• o •••• o o o o o • • • • • • • • 3052. Aplicação o o ••••••• o o o ••••••••••• o o o o • • • • 311
Capítulo 5 - Equações e Sistemas de Equações Diferenciais Lineares comCoeficientes Constantes
1. Operadores Diferenciais o o o o •••••••••• o • • • • • • • 3152. Álgebra dos Operadores o o •••••••••• o o • • • • • 3173. Equações Diferenciais Lineares com Coeficientes Constantes o o o • • 3194. Equações Homogêneas de Segunda Ordem o o • • •• • • • • • • • 3215. Equações Homogêneas de Ordem Qualquer o o o •••••••••• o • • 3246. Sistemas de Equações Diferenciais Lineares com Coeficientes
Constantes .... o o o o •• o •••••••••• o o •••••••••••••• o o • o ••••••• o 327
Capítulo 6 - Método dos Mínimos Quadrados
1. O Espaço Euclidiano [Rn: Revisão o o o • o o •••••••••• o • • • • • 3342. Aproximação por Projeções . o o o o •••••••••• o o • o o o o ••••••• o • o o • 3353. Ajuste de Curvas o • o •••••••••• o o o •• o •••••• o • o o o • • 338
Respostas ... o •• o o •••••••••••••••• o o o • o o •• o o o o •••••••••• o o o o o • • • • 342
Bibliografia o' o •••••••• o ••••••• o •••••• o •• o o ••••••••••••• o • • • • • • • • 350Índice Remissivo % o ••• o o • o o o •••••• o o ••••• o •• o o ••••••••• o •••• o •• o o 351
CAPíTULO 1Sistemas Lineares - Matrizes
1. SISTEMAS LINEARES
Neste capítulo procederemos inicialmente a um estudo dos sistemas linearessobre IR. Não nos moverá aqui nenhuma preocupação de formalismo ou rigor excessivos. Além disso limitar-nos-emos a ver sobre o assunto apenas o que é necessáriopara desenvolver os capítulos posteriores. De uma maneira geral este capítulo 1constitui apenas um pré-requisito para o restante deste livro.
Definição 1 - Dados os números reais ai, ... , a n , {3 (n ~ 1), à equação
aI Xl + ... + a n xn = (3
onde os Xi são variáveis em IR, damos o nome de equação linear sobre JR nasincógnitas x b ... , xn.
Uma solução' dessa equação é uma seqüência de n números reais(*) (nãoneéessariamente distintos entre si), indicada por (b l , ... , bn), tal que
aI b l + ... + a n bn = {3
é uma frase verdadeira.
Exemplo - Dada a equação: 2XI - X2 + X3 = 1, a terna ordenada (1,1, O)é uma solução dessa equação pois 2 • 1 - 1 + °= 1 é verdadeira.
Definição 2 - Um sistema de m equações lineares com n incógnitas(m, n ~ 1)(**) é um conjunto de m equações lineares, cada uma delas com n incógnitas, consideradas simultaneamente. Um sistema linear se apresenta do seguintemodo:
{
allxl + + alnxn = (31
S: ~~1.~1. ~ ~.~~~~.~ .~.frml XI + .. , + amnxn = 13m
(*) Também chamada n-upla de números reais.
Uma solução do sistema acima é uma n.upla (b l , ... , bn ) de números reaisque é solução de cada uma das equações do sistema.
Exemplo - Dado o sistema
{
2X - y + z = 1S:
'x + 2y = 6
uma solução de S é (O, 3, 4). Notemos que essa solução não é única: a terna
(~ , 151 ,~ também é solução de S.
Se, no sistema S, tivermos {31 = {32 = ..• = 13m = 0, o sistema S será homogêneo. A n-upla (O, 0, ... , O) é solução de S neste caso e por isso todo sistemahomogêneo é compatível, de acordo com a definição 3 a seguir. A solução(O, 0, ... , O) chama-se solução trivial do sistema homogêneo.
Definição 3 -' Dizemos que um sistema linear S é incompatível se, S nãoadmite nenhuma solução. Um sistema linear que admite uma única solução échamado compatível determinado. Se um sistema linear S admitir mais do queuma solução então ele recebe o nome de compatível indeterminado.
Exemplos
1) Um sistema do tipo
all x l + '" + alnx n = {31
OXl + ... + OXn = {3i ({3i =1= O)
frml Xl +... + amnxn = 13m
é necessariamente incompatível: como nenhuma n-upla é solução da equaçãoi-ésima, então nenhuma n-upla é solução do sistema.
2) Um sistema do tipo
{X' ••~'•••...••..••.••• :. ~
xn = {3n
(**)
2
Se m = n simplesmente sistema linear de ordem n. é compatível determinado e ({31 , ... , (3n) é a sua solução única.
3
3) O sistema
{2X - y + z == 1
x + 2y = 6
(111) Somar a uma das equações do sistema uma outra equação desse sistemamultiplicada por um número real. Deixamos como exercício a verificação de queo sistema:
"dt . d . c: • (8 11 )e m e ermma o pOlS, conlorme VImos atrás, as temas (O, 3,4) e 5' 5' O são
soluções deste sistema. Conforme veremos, existem infinitas soluções deste sistema.Tente achar uma.
CXm1Xl + ... + CXmnXn = ~m
2. SISTEMAS EQUIVALENTES
Seja S um sistema linear de m equações com n incógnitas. Interessa-nosconsiderar os sistemas que podem ser obtidos de S de uma das seguintes maneiras:
.(I) Permutar duas das equações de S. É evidente que se 81 indicar o sistemaassim obtido, então toda solução de SI é solução de S e vice-versa.
(11) Multiplicar uma das equações de S por um número real À =1= O. Indicandopor SI o sistema assim obtido mostremos que toda solução de SI é solução de 8 evice-versa.
assim obtido e o sistema S ou são ambos incompatíveis ou admitem ambos asmesmas sbluções. Sugerimos ao leitor que faça alguns casos particulares antes detentar o caso geral.
Deflilição 4 - Dado um sistema linear S, uma qualquer das modificaçõesexplicadas acima em (I), (11) e (I1I) que se faça com esse sistema recebe o nome de operação elementar com S. Se um sistema linear 81 foi obtido de um sistema linear Satravés de um número finito de operações elementares, dizemos que SI é equivalente a S. Notação: SI ~ S. É fácil ver que para a relação ~ assim definida valem asseguintes propriedades:
Devido a (I) podemos supor que a equação multiplicada seja a primeira.Como as demais equações de S e SI coincidem basta verificar nossa afirmaçãoquanto à primeira equação.
(a) S ~ S (reflexiva);
(b) SI ~ S~ S ~ SI (simétrica);
(c) SI ~ S e S ~ S2 ====> SI ~ S2 (transitiva).
Se (b 1 , ••• , bn) é uma solução de S (conforme definição 2), então:
Multiplicando por À esta igualdade obteremos:
Convém frisar, por último, que em virtude do que já vimos neste parágrafo,se SI ~ S, então toda solução de S é solução de SI e vice-versa. Em particular,se SI é incompatível, o mesmo acontece com S.
Desta forma criamos um mecanismo extremamente útil para a procura de soluções de um sistema linear S. Procuramos sempre' encontrar um sistema linearequivalente a S e que seja "mais simples". Veremos um exemplo. Consideremos o sistema:
{
X +z=l
S: 2x =~ + z = 4
x - 2y + 2z = O
(1)
(2)
o que mostra que (b 1 , •.• , bn ) é também solução da primeira equação de SI'
Por outro lado, se (b 1 , .•• , bn) é solução de SI, então a igualdade (2) éverdadeira. Dividindo (2) por À obtemos (1). Portanto (b 1 , ..• , bn) pertenceao conjunto das soluções de S.
4 5
Demonstração - Sem perder a generalidade podemos supor:
Proposição 1 - Todo sistema linear S é equivalente a um sistema escalonado.
Para estudar este sistema deve-se aplicar a ele uma série de operações elementares visando fazer com que o número de coeficientes iniciais nulos seja maiorem cada equação (a partir da segunda) do que na precedente. Vejamos como sepode fazer isso.
{
X - Y + z = 1 * {X - y + z = 1 **{X - Y + z = 12x - y + z = 4 ~ y - z = 2 ~ y - z = 2
x - 2y -I- 2z = O - y + z = - 1. O= 1 S:
Xl + Cl12X2 + ... -I- CllnXn = {31
Cl21Xl + Cl22X2 -1- .•• + Cl2nxn = {32
....................................... 0·0 .........
S:
* Multiplicamos por - 2 a primeira equação e somamos o resultad~ com a segunda equação;multiplicamos a primeira equação por -1 e somamos com a tercerra.
** Somamos a segunda equação com a terceira.
Como este último sistema é incompatível, o mesmo acontece com o sistema Sdado inicialmente.
3. SISTEMAS ESCALONADOS
Consideremos um sistema linear de m equações com n incógnitas que temo seguinte aspecto:
CllIl xr1 + . . . . . . . . . . . . . . . .. + CllnXn = {31
Qzr2xr2 + + QznXn = {32
Clkrkxrk + ... + ClknXn = {3k
OXn = {3k+ 1
onde Cl1rl =1= O, Cl2f2 =1= O, ... , Clkrk =1= O e cada ri:> 1.
Se tivermos 1 < ri < r2 < ... < rk < n diremos que S é um sistema linear escalonado. É claro que se {3k + 1 =: O, a última equação de S pode ser eliminada do sistema. Logo, num sistema escalonado o número de coeficientes iniciaisnulos em cada equação, a partir da segunda, é maior .do que na precedente.
Exemplo de sistema escalonado:
{
2X - y - z - 3t = O
z - t = 1
2t = 2
6
Para cada Cl ü :::f= O(i = 2, 3, ... ,m) multipliquemos por (-Clü ) a primeira equaçãoe somemos o resultado à equação i-ésima. Com algumas permutações convenientesde equações (se for o caso) obteremos um sistema SI do seguinte tipo:
Xl + ... + Cllrlxrl + ... + CllnXn = {31
72fl xr1 + '" + 72nXn = {3;
................................................
onde 72fl =1= O e ri:> 2, que é equivalente aS.
Dividindo a segunda equação de SI por 72fl óbtemos um sistema S2' aindaequivalente a S1> com o qual começamos a repetir o raciocínio feito até aqui,porém a partir da sua segunda equação. Evidentemente, depois de aplicar umcerto número finito de vezes esse raciocínio chegaremos a um sistema escalonadoequivalente a S. •
A importância dos sistemas escalonados reside na Proposição 1. Sendo todosistema equivalente a um sistema escalonado, bastará que saibamos lidar com ossistemas escalonados e saibamos reduzir um sistema qualquer a um escalonado.
Nota: Convém observar que as equações do tipo O = O que por venturaaparecerem no processo de escalonamento devem ser suprimidas, como é óbvio.
Exemplo - Escalonemos o seguinte sistema:
12X - y + z - t = 4
.
3x + 2y - z + 2t = 1S:
2x- y-z- t=O
5x + 2t = 1
7
4. DISCUSSÃO E RESOLUÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR
Observe o leitor que (1, 2, 2, - 2) é a única solução de S, pois é a única soluçãodo sistema escalonado.
O
2--3
Iz = 3
y
= 'Y1
= 'Y2
X
Xn = 'Yn
23
2 **--3
1z = 3
y
I
x-y
*
r- y+ z = 1 -r- y+z=
S ~ 3y = -2 y-z=-l
2y - 2z = -2 3y = -2
{x-y+ z=r-y+'~ I~ y- z = -1 ~ y-z=-l
3z = 1z= -3
{
x-y+ z=l
S: 2x + y + 2z = O
3x - y + z = I
Neste caso S' poderá ser transformado, por equivalência, no seguinte sistema
(11) Obtém-se um sistema escalonado do seguinte tipo:
(
Xl + G'12X2 + + G'lnXn : ~1
X2 + + G'2nXn - ~s:•• e •••••••••••••
Xn = ~n
Exemplo - Discutir e resolver o seguinte sistema:
Logo S é compatível determinado e ('Y1' 'Y2, ... , 'Yn) é a sua solução.
Z + 2x - y - t = 4
1 1X+sY+st= 1
14 14-sy -st = O
Y + t = -4
(
z + 2x - y - t = 4
~ 5x + y + t = 5
4x - 2y - 2t = 4
5x + 2t = 1
5x + 2t = 1
Z + 2x - y - t = 4
1 1x+-y+-t=5 5
4x - 2y 2t = 4
(
Z + 2x - y - t = 4
S ~ - Z + 3x + 2y + 2t = 1
- Z + 2x - y - t = O
5x + 2t = 1
(
z + 2x - y - t = 4 (Z + 2x - y - t = 4
5x + y + t = 5 ~ 5x + y + t = 5
y+t=O y+ t=O
Y - t = 4 - 2t = 4
Discutir um sistema linear S significa efetuar um estudo de S visando aclassificá-lo segundo a definição 3. Resolver um sistema linear significa determinartodas as suas soluções. O conjunto dessas soluções recebe o nome de conjuntosolução do sistema.
Seja S um sistema linear de m equações com n incógnitas. Procedendo aoescalonamento de S chegaremos a uma das três seguintes situações:
(I) No processo de escalonamento, numa certa etapa, obtém-se um sistema:
Como S' é incompatível, então o mesmo se pode dizer de S. (Ver exemplono parágrafo 2).
* Somamos a terceira equação à segunda.
** Somamos a segunda equação à primeira.
8 9
Exemplo - Discutir e resolver o sistema:
{
x-2y- z=1
S: 2x + y - 3z = O
x - 7y = 3
{X- 2y - z = 1 {X - 2y- z = I
S ~ 5y - z = -2 ~ 5y - z = -2
- 5y + z = 2 O = O
2=-3'
Iz por 3'
Logo o sistema é compatível determinado e (o, - ~ , ~) é a sua solução.
Observação: Depois de conseguir o escalonamento poderíamos ter achado asolução do sistema por substituição do seguinte modo:
Como z = 1- e y - z = - I então y - 1- = - I Daí y = ...!.. - I3 ' 3' 3
Agora, se na primeira equação do sistema substituirmos y por - ~ e
acharemos x = o,
Logo, {(~ + ~ z, - ~ + i z, z): Z E IR} é o conjunto de todas as soluções
(1 7 2 1 )
de S (conjunto solução de S). Dizemos também que 5 + 5" z, -"5 + "5 z, z ,com
z E IR, é a solução geral do sistema lirlear S.
z=7 1
- Sz= S-
I 2y-Sz=-S
{
X= 1-+2z. 5 5
2 1Y = --+-z. 5 5
{
X- 2y
y-~z=-~
Daí tiramos:
(I1I) Obtém-se um sistema escalonado do tipo abaixo:
Xl + .. ,+ aU2xr2 + ... + alr3Xr3 + ,.. + a1rpXrp + , , . + alnXn = 131
Xr2 + .. , + azr3Xr3 +... + aztpXrp + .. , + a2nXn = l3z
S': Xr3 + ,.. + a3rpXrp + ... + a3nXn = 133
onde p < n.
É fácil então ir eliminando, por meio de operações elementares, o termoem xr2 na primeira equação, os termos em xr3 da primeira e segunda equações,
, .. , os termos em xrp da primeira à (p - l).ésima equação, Por exemplo, multi
plicando a segunda equação por (-aU2) e somando o resultado com a primeira
eliminando o termo a1r2xr2'
Feito. isto, passamos para o segundo membro de cada equação todas asparcelas, exceção feita à primeira. Teremos então algo como:
Xl = f 1
xr2 = f2
Xrp = fp
onde cada fi é uma expressão linear nas variáveis Xj com j =1= I, j =1= f2, ',' . ,j =1= rp'
A cada seqüência de valores que dermos então a estas n - p variáveis (variáveislivres) obteremos valores para Xl, Xr", ... , Xr . e conseqüentemente uma solução
P .do sistema. Como p < n, teremos mais do que uma solução (infinitas na verdade)e o sistema é indeterminado neste caso.
RESUMO DA DISCUSSÃO
A discussão feita acima pode ser resumida do seguirlte modo:
Suponhamos que um sistema tenha sido escalonado e, retiradas as equaçõesdo tipo O = O, restam p equações com n irlcógnitas.
(I) Se a última das equações restantes é
OX1 + .. , + OXn = I3p (l3p =1= O)
então o sistema é incompatível;
Caso contrário, sobram duas alternativas:
(11) Se p = n o sistema é compatível determinado;
(I1I) Se p < n, então o sistema é compatível indeterminado.
10 11
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 4. Resolver por escalonamento:
1. Resolver por escalonamento:
{
5X - 2y + 2z = 2
s: 3x + y + 4z = -1
4x - 3y + z = 3{"
y + z ;:: 2
x - y z= -3s:
2x + y + 2z = I
3x + 2y + 3z = 3
Solução
De z = O, tiramos x = O e daí teremos y = - 1.
{ Y+3x +4z = -1 -cS - - 2y + 5x + 2z = 2
- 3y + 4x + z = 3
-{'+ 3x + 4z = -1 {+llx + 10z = O
x + z = O
3x + 4z = -1
llx + 10z = O
13x + 13z = O
3x + 4z = -1
x + z = O
z = O
Solução
s-{x + y + z = 2
2y 2z ~ 5
y -3
y -3
Daí:y=3,z=I I
-I e x = -2"'
Resposta: O sistema é compatível determinado, sendo ( - ~, 3, - ~) sua única solução.
Resposta: (O, - 1, O) é a única solução; o sistema é compatível determinado. 5. Resolver por escalonamento:
2. Resolver por escalonamento:
{X + Y + z + 3t = 1
s:x + y - z + 2t = O
{
3X + 3y 2z - t = 2
s: Sx + 2y + z - 2t = I
2x - y + 3z - t = - I
Solução Solução
3. Resolver por escalonamento:
Resposta: O sistema é incompatível, por causa da igualdade O = 1.
Resposta: {(-2 + 5z - y,y,z,1 - 2z) IY,z E IR} é o conjunto solução do sistema. Osistema é compatível indeterminado, pois tem infinitas soluções.
{
X - 2y ~ 3z = O
s: x + 4y - z = O
2x - y + Z = O
r' + 3x + 3y ~ 2z = 2
S - - 2t + Sx + 2y + z = I
- t + 2x - y + 3z = ~1
-{ - 3x ~ 3y + 2z = -2_ {t ~ 3x ~ 3y + 2z = ~2
x - 4y + Sz = -3x + 4y - Sz = 3
x - 4y + Sz = -3
Daí: x= -4y + Sz + 3 e t = ~9y + 13z + 7
Resposta: {(-4y + Sz + 3, y, z, ~ 9y + 13z + 7) I y, z E IR} é o conjunto das soluções eportanto o sistema é compatível indeterminado.
6. Resolver o sistema homogêneo por escalonamento:
= -2 + 5z - y
t = 1 - 2z
{
X + Y + z = 1 {X + Y + z = 1
y+ z=-1 - y+z=-1
2y + 2z = - 1 O = 1
{
X+Y+Z=1
s: x - y - z = 2
2x + y + z = 3
{X + Y + z + 3t = 1 {xs- -
2z + t = 1
Solução
{
X + Y + z = 1
S - - 2y - 2z = 1
- y- z=1
12 13
Solução
- 2y - 3z == O
6y + 2z == O
3y + 7z == O
{
X 2y - 3z == O
- y+~z==O3y + 7z == O
- 2y - 3z == O
1y +Tz == O
6z == O
li. Resolver o sistema:
{
x2 + y2 = 34S·. _ x 2 + y2 = 16
Solução: Este sistema não é linear, pois x e y aparecem em segundo grau. Mas podemos intro-
I' .,. 2 2 d -' { u + v = 34(UZII as varlavels u = x e v = y toman o-se então o sIstema S em _ u + v = 16 cuja
solução (única) é u = 9, v = 25. Daí obtemos x 2 = 9 e y2 = 25, ou seja, x = ± 3 e y = ± 5.Há portanto 4 soluções para o sistema S: (3,5), (3, - 5), (- 3,5) e (- 3, - 5).
Daí: x == O, y == O e z == O.
O sistema admite somente a solução trivial (O, 0, O), sendo portanto determinado. EXERCÍCIOS PROPOSTOS
7. Resolver o sistema homogêneo por escalonamento: I. Resolver os sistemas abaixo:
s: {::2x +
y+ z+t==O
y 2z + t == O
y + 2z -- t == O
y + Z = 1
y + 2z = 2
6y + 3z = 3[
X +
b) x-
y + Z =
Y + Z
2y
-2
-3
O conjunto {(2t, - 3t, O, t) I t E IR} é o conjunto solução; o sistema linear é compatível indeterminado. Observe que o valor da incógnita z é determinado, isto é, não depende de 1.
8. Determinar o valor de a para que o sistema linear S admita uma única solução e determiná-la:
Daí, necessariamente a = °e o sistema S é equivalente a {x
Resposta: a = O e {(l, O)} é a solução única de S.
{
X + y + z + t == O
- y + 3t = O
z = O
2y = 6
y -2
y O[:: :
x +
ea
[H2Y2,- t =
2x - 2y - 2z - 3t -1
2x 2y z 5t 9
3x y + z - mt = O
-a
o2
[3: : 7~ : :5x + 3y 5a + 2b
x + 2y a + b - 1
compatível e determinado. Em seguida resolver o sistema.
2. Determinar os valores de a e b que tornam o sistema
3. Discutir os seguintes sistemas lineares (em função de a):
5. Resolver os sistemas homogêneos abaixo:
[3;
y + 2z - t = O
b) [:+ y+z+w-t=O
a) + y + 3z + t = O
z - 5t = OY - z + 2w - t = O
Y -
4. Determinar os valores de m para os quais o sistema é determinado:
1O·
+ YY
==0
-- 2t == O
+ 3t == O
z
y
. {X+ Y ==1- y == O
O == a
y == 1
y == 2
3y == a
r
y == 1
y==O
3y == a
{
X +S: 2x +
{
x+
S - -
{
x+ y
Y
+
z
t==O
+ 3t == O
==0
{
X + Y + z + t == O
S ~ - 3z == O
- y - 3t == O
Solução
Solução
14 15
6. Mostrar que um sistema linear homogêneo de m equações en incógnitas é compatível indeterminado se n > m.
{4X + 3y - z + t = o
c)x - y + 2z - t = o {
3X + 2y - l2z = od) x - y + z = o
2x - 3y + 5z = o
Exemplo - A matriz
é uma matriz real 3 X 2. Logo A E M3x 2 (R).
LINHAS E COLUNAS
Dada uma matriz:
5. MATRIZES
Definição 5 - Sejam m ;;;, I e n ;;;, I dois números inteiros. Uma matrizm X n real é uma dupla seqüência de números reais, distribuídos em m linhas en colunas, formando uma tabela que se indica do seguinte modo:
A =(:::...~ .. ~ ~ ... ~: )
am1 am2 '.' amn
as linhas são (1, O, 1) e (O, 6, - 5) ao passo que as colunas são
as m seqüências horizontais
(1) « ). A(m) = (a a . .. amn)A = a11, a12' ... , a1n , ... , m1, m2, ,
são chamadas linhas da matriz A, enquanto que as n seqüências verticais
a11 am
~1a2n
A(l) , ... , A(n)
am1 amn
são as colunas de A.É de se notar que cada A(i)E M1xn(R) e cada A(j)E Mmx1(R).
Exemplo - Na matriz 2 X 3
A~G ~-:)
Abreviadamente esta matriz pode ser expressa por (aij)1E;; i O;; m ou apenaslO;; j O;; n
(aij), se não houver possibilidade de confusão quanto à variação dos índices.
Cada número que compõe uma matriz chama-se termo dessa matriz. Dada amatriz (aij)l';;; i.;;; m, ao símbolo aij que representa indistintamente todos os seus
1';;; j.;;; n
termos daremos o nome de termo geral dessa matriz.
Notações - Indicaremos por Mmx n (IR) o conjunto das matrizes reais m x n.Se m = n, ao invés de Mn xn (IR), usa-se a notação Mn (IR). Cada matriz de Mn (IR)chama-se matriz quadrada de ordem n. Em contraposição, quando m =1= n, uma matriz m x n se diz uma matriz retangular. Uma matriz I x I (a11) se identifica com onúmero real a11 .
Cada matriz costuma ser denotada por uma letra maiúscula do nosso alfabeto.
16 17
IGUALDADE DE MATRIZES
Consideremos duas matrizes reais m X n: A = (aij) e B = (bij). Dizemosque A = Bse, e somente se,
aij = bij (i = 1, 2, ... ,m; j = 1, 2, ... , n).
Exemplos
1)
z) F:-:(~2
~) ~ (~2
<=>x -1 O t = O
z = 1
2)
GO :)*G D1
3) (: :) *G2
D23
3O
6. OPERAÇÕES COM MATRIZES
(a) ADIÇÃO
Sejam A = (aij) e B = (bij) matrizes m X n. Indicamos por A + B e chamamos soma de A com B a matriz m X n cujo termo geral é aij + bij, ou seja
A+ B= (~:'.+b:, .a.'~.+ b~ ~:~ ~ b~ )
am1 + bm1 am2 + bm2- . .. amn + bmn
A operação que transforma cada par (A, B) de matrizes do mesmo tipo na matriz A + B chama-se adição de matrizes. É uma operação no conjunto Mm xn (IR).
Exemplo _ Se A = (1 21) e B = (O 1-2), entãoO 1 2 2 4 7
(1 3-1)A+B=259
18
Para a adição de matrizes acima definida valem as seguintes propriedades:
(1) A + (B + C) = (A + B) + C, V A, B, C E Mmxn(R) (associativa);
(lI) A + B = B + A, VA, B E Mmxn(R) (comutativa);
(III) Existe uma matriz O E Mmxn (R) tal que A + O = A, VA E Mmx n (R)(existe elemento neutro);
N) Dada uma matriz A E Mmxn (R), existe uma matriz (-A), tambémm X n, tal que A + (-A) = O (existe a oposta de qualquer matriz).
A verificação da propriedade associativa se faz assim:
Se A = (aij), B = (bij) e C = (ciD, então
*(A + B) + C = (aij + bij) + (Cij) = ((aij + bij) +Cij) == (aij + (bij + Cjj» = (aij) + (bij + Cij) = A + (B + C).
Quanto à (I1I) é fácil ver que:
O = (~.. ~.. ::: ..~)O O ..• O
Esta matriz chama-se matriz nula m X n.
Por último, se A = (aij), é evidente que (- A) = (- aij). Por exemplo, se
(la - 2) (- 1 - aA = então -A =
-2 1 O' 2 -1
(b) MULTIPLICAÇÃO DE UMA MATRIZ POR UM NúMERO
Dada uma matriz real A = (aij), m x n, e dado um número real a, o produtode a por A é a matriz real m x n dada por:
Usamos nesta passagem a propriedade associativa da adição de números reais.
19
Nas condições acima, a operação que transfonna cada par de matrizes (A, B)na matriz AB chama-se multiplicação de matrizes.
Para essa operação que transfonna cada par (a, A) de m. X Mmxn (m.) namatriz real exA E Mmxn (R.), valem as seguintes propriedades:
(I) (ex{j)A = ex ({jA);
(11) (ex + {j)A = exA + (jA;
(I1I) ex(A + B) = exA + exB;
(N) IA = A;
,~I (\;12'- J2 l' O
Exemplo --'- Sejam A = (.O 1 2
Então:
Proposição 2 - Sejam A = (aij), B = (bjk) e C = (Ckr) matrizes reais m X n,n X p e p X q, respectivamente. Então A(BC) = (AB)C.
Demonstração - O tenno geral de A(BC) é dado por:
quaisquer que sejam as matrizes A e B e quaisquer que sejam os números reaisex e {j.
Provemos (11).
Suponhamos A = (aij). Então:
(ex + (j) • A = ((ex + (j) • aij) = (ex • aij + (j • aij) =
= (ex • aij) + ({j • aij) = exA + (jA.
Ex=p~ - S, • ~ 20 A ~C~ ~). ,ntão .A ~G~ D
(
2 ·3 + 1 • O+ O • 1AB =
0·3+1·0+2·1
=(6810).2 O 2
2·4+1·0+0·0
0·4+1·0+2·02.5+1.0+0.1)=O· 5+1 ·0+2·1
(c) MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES(1)
Usando a notação de matriz linha e a de matriz coluna a definição acima significaque
Consideremos a matriz A = (aij) de tipo ~. x n e a matriz B = (bjk) de tipon x p. Oproduto A • B(também indicado por AB) é a matriz m x p cujo termo geral édado por:
n
Cik = L aij . bjk = ail • blk + ... + ain • bnkj=l )
*
ao passo que o tenno geral de (AB)C é dado por:
(2)
As propriedades da adição e da multiplicação de números reais nos ensinam,contudo, que (1) = (2). Então a proposição está demonstrada. -
(* ) O símbolo ~ é uma letra do alfabeto grego, correspondente ao nosso S.
AB=
A (1) • B(l)
A (2) • B(l)
A (1) • B(p)
A(2) • B(p)
Proposição 3 - Sejam A, B e C matrizes reais m X n, n X p e n X p, respectivamente. Então A(B + C) = AB + AC.
Demonstração - Usa-se o mesmo tipo de raciocínio da demonstração anterior. Fica como exercício. -
Nota: Analogamente, se A e B são matrizes m X n e C é n X p, então(A + B)C = AC + BC.
20 21
EXERCÍCIOS RESOLVIOOS
1matrizes de MZx 3(IR). Calcular 3(A - TB) + C.
Solução
{
X + Z - 2Y = B {X + Z - 2Y = B
- - Z + 3Y = A - 2B - - Z + 3Y = A - 2B
- 4Z + 7Y = C - 3B - 5Y = -- 4A + 5B + C.
O O) - (O 5 O) - (O O
e Z = (+ -3 - ~ )
Daí: Y = i(4A - 5B - C) = +«4
Analogamente, X = (+ O 1)
(: : :) B~ (~ : :) , C~(: 2~)A=
1. Sejam:
Solução
1 33(A - TB) + C = 3A - 2"B + C =
3. Dadas as matrizes reais, I X 3, A = (1 O O), B = (O 1 O) e C = (O .O 1), deter·,minar as matrizes X, Y e Z de Mlx3 (IR) tais que:
cO :)
n
L dkjbji = Skij =1
~' I'I,O
2-1+1-1)1·1+0-1
0-1+1-1
B=
BA ~ (: :)
2·0+1-1
1·0"+0·1
0·0+1-1(
2-1+1,0
AB= 1·1+0·0
0·1+1·0
Solução
Analogamente:
desde que as operações aí indicadas estejam definidas. Provemos (IV) já que as três primeiras são imediatas.
n n
rik = L aijCjk = L bjidkj =j=1 j=1
o que mostra que de fato (AB)t = BtAt.
Solução
Sejam A = (aij) , At = (bji), B = (Cjk) e Bt = (dkj).
Então bji = aij e dkj = Cjk. Supondo AB = (rik) e BtAt = (ski), temos:
4. Dadas as matrizes A e B abaixo, determinar os produtos AB e BA:
A~0 ~)
O/Dada uma matriz A = (aij) E Mmxn(IR) denomina-se transposta de A e indica-se por
At a seguinte matriz n X m: At = (bji), onde bji = aij (i = I, ... , m;j = 1, ... , n).Valem as seguintes relações:
a) (A+B)t=At+Bt ;
b) (a<A)t = a<At, onde a< E IR;
c) (At)t = A;
d) (AB)t = BtAt ;
{
X - 2Y + Z = B
~ 3Y - Z = A - 2B
7Y - 4Z = C - 3B
= 1- ( 205 -29
{
X - 2Y + Z = B
S ~ 2X + Z = A
-Z=C
+ 2C). Logo
X= 1-~(14 7 O) (O O 12) + (6 4 O)~ =5 ~ 7 14 7 36 24 12 O 2 O ~
~: -~:) = (-:9 :~ ~ 152).-5- -5- - 1
{
2X - Y + Z = A
S: X - 2Y + Z = B
3X + Y - Z = C.
(6 3 O) (O O 3) + (3 2 O) = (9 5 - 3).3 6 3 9 6 3 O 1 O -6 O
Solução
+(X + A) = 3(X + (B - A» - C => X + A = 6 (X + (B - A» - 2C =>
=> X + A = 6X + 6B - 6A - 2C => 5X = 7A - 6B + 2C > X = ; (7A
- 6B
2. Determinar a matriz X E Mz x 3 (IR) tal que ~ (X + A) = 3 (X + (B - A» - C, sendo
A, B e C as matrizes do exercício 1.
2223
6. Para cada número real O< consideremos a matriz:
ou seja, todas as matrizes X de tipo 2 X 2 tais que AX = XA.
(: :)(::) (: :)-(: :)
A=(: :)
Solução'
F~,odo X = (: :) então (: :) (: : ) =(: :) <=>
r+ z = 1(,.,' 'y+t){ :) <=>
2y + t = O<=>
x+z y+ t O x +z =0
Y +t = 1
Resolvamos o sistema obtido por escalonamento:
{: + z =0
-{"+ z =0
-{"+ Z =0
Y + t == 1 y + t = 1 y + t = 1
+ Z = 1 -z = 1 2y + t = O
2y +t=O 2y + t = O -z = 1
-{'+ Z O
-{'+ Z O
-{' y ,y +t= Y +t= 1 = -1
- t = ~2 z = -1 = -1
- z t= 2 t= 2
Logo:
C: -:)X=
determinar uma matriz X E M2 (IR) de maneira que AX = 12
Logo X = (x Y) onde x e y são números quaisquer.O x-y
EXERCiClOS PROPOSTOS
'I. Dada a matriz
;"'-...
'?mmm .",guiut" :.:(~dr;} B=(: :nMostre queAB = BA. Pode-se concluir daí que é válida a propriedade comutativa damultiplicação em M3 (IR)?
Explique bem sua resposta.) {
x+z=x
~ <=> y + t =x
O=z
Solução
Su!"M.mo, X = (: :). Eu"o
AX~XA<=> (: :)(: )(: :)(:
Solução
_ ( cos a - sen a )Ta -
sen a cos O<
a) Mostrar que TaT/3 = Ta + /3; b) Calcular T -O<'
Solução
a) Sejam A e B as matrizes. Então (A + B)t = At + Bt = A + B. Logo A + B é simétrica. Analogamente, se A e B são anti-simétricas, (A + B)t = At + Bt = - A + (- B) == -(A + B).
b) (AB)t = BtAt = BA,seAeBsãosimétricas. ComoemgeralAB i= BA,entãonemsempre o produto de duas matrizes simétricas é uma matriz simétrica. Por exemplo:
8. Determinar todas as matrizes que comutam com a matriz
A=(: :).
ToT, ~ (::~: -:::) (:~: :::) =
(
cos (a + /3) - sen (a + /3»)::: To< +/3,
sen (a + /3) cos (a + m
To = (:~;~:: -::;::){:: :::)~ Td
(';:):;ma matriz quadrada A se diz simétrica se At = A e anti-simétrica se At = - A."',._~,,-, ......'
a) Mostrar que a soma de duas matrizes simétricas é também simétrica. Mostre que omesmo vale para matrizes anti"simétricas.
b) O produto de duas matrizes simétricas de ordem n é uma matriz simétrica?
24
"
I 2S
(2jse A, B E Mn (R) e se AB = BA, prove que:
a) (A ~ B)2 = A 2 - 2AB + B 2 ;
b) (A - B)(A + B)= A2 ~ B2 ;
c) (A ~ B)(A2 + AB + B2) = A3 ~ B3 .
3. Send~ A e B as matrizes do exercício proposto 1, determine matrizes X, Y E M3 (R) demaneIra que:
{2X - Y = A + B
X+Y=A-B
4. O produto de duas matrizes anti-simétricas de mesma ordem é uma matriz anti-simétrica?Justifique sua resposta. .
5. Determinar uma matriz A E M2 (R) tal que A *" O e A2 = AA = O (matriz nula).
6. Efetue os produtos AB e BA onde
A ~U) ,B ~ (1 2 1)
7. Mostrar que se:
A=(: :),então A2 ~ 6A + 512 = O (matriz nula).
8. Mostrar que as matrizes
(: :)onde y é um número real não nulo, verificam a equação X2 = 2X.
9. Determinar todas as matrizes quadradas de ordem 3 que comutam com a matriz:
onde a é um número real.
26
10. Se A e B são matrizes reais de ordem 2 que comutam com a matriz
c: :)mostre que AB = BA.
11. Seja B uma matriz real 2 X 2 que comuta com a matriz
A~(: :)Mostre que existem números reais a e b tais que:
B = aA + b12 •
12. Se A, B E Mn (R) são tais que AB = O (matriz nula), pode-se concluir que BA também éa matriz nula? Prove ou contra-exemplifique.
7. MATRIZES INVERSÍVEIS
Consideraremos neste parágrafo apenas matrizes quadradas de ordem n.Neste caso a multiplicação transforma cada par de matrizes de ordem n numaoutra matriz, também de ordem n. E além das propriedades dadas pelas proposições 2 e 3 acima (associativa e distributiva em relação à adição) a multiplicação,neste caso, gozada propriedade de admitir elemento neutro que é a matriz
In (~, ..~ .. ::: .. ~.)O O . .. I
e que evidentemente verifica as condições
AIn = InA = A,
para toda matriz A de ordem n. A matriz In chama-se matriz identidade de ordem n.
Definição 6 - Uma matriz A de ordem n se diz inversível se, e somente se,existe uma matriz B, também de ordem n, de modo que:
AB = BA = In
Esta matriz B, caso exista, é única e chama-se inversa de A, indica-se por A-I.
27
Exemplos
1) A matriz
é inversível uma vez que, tomando
então
AB ~ DA ~ (~ ~) ~ ~.Logo adiante ensinaremos um algorítmo (processo) para determinar a inversa
de uma matriz, caso esta inversa exista.
2) Se uma linha (ou coluna) de uma matriz A é nula, então A não é inversível. Suponhamos a linha i-ésima de A nula, isto é, A(i) = (O, 0, ... , O). Dadaentão uma matriz X qualquer de ordem n, como
(AXP) = A(i)X = (O O O)
(ver definição de produto), então
AX ~ (O::O::·::.:~) * In. pMa roda mam X.
3) Se A e B são matrizes de ordem n, ambas inversíveis, então AB tambémé inversível e (AB)-l = B- l • A- l .
De fato
(AB) • (B- l • A- l ) = A(B • B-l ) • A- l = A • In • A- l "'= A • A-i = In,
e analogamente (B- l . A-1) . (AB) = In.
4) Se A é inversível, então A-1 também o é e vale a seguinte igualdade:
(A-1)-1 = A.
28
DETERMINAÇÃO DA INVERSA
Daremos aqui um algoritmo (= método) para determinar a inversa de umamatriz A, caso A seja inversível. Contudo a demonstração do teorema em que sebaseia esse método somente será feita no Apêndice I, ao fim do capítulo.
Definição 7 - Dada uma matriz A entendemos por operações elementarei"')com as linhas de A, uma qualquer das seguintes alternativas:
(I) Permutar duas linhas de A;
(11) Multiplicar uma linha de A por um número =1= O.
(III) Somar a uma linha de A uma outra linha de A multiplicada por umnúmero.
Se uma matriz B puder ser obtida de A através de um número finito dessasoperações, diz-se que B é equivalente a A e escreve-se B ~ A. Para esta relaçãovalem as propriedades reflexiva, simétrica e transitiva.
Teorema - Uma matriz A é inversível se, e somente se, In ~ A. Neste caso,a mesma sucessão de operações elementares que transformam A em In, transformamIn em A- l
.
Demonstração
Está feita no apêndice 1, ao fim do capítulo.
Exemplos
1) Verificar se a matriz
A~G ~ Dé inversível e determinar A-1, caso esta matriz exista.
Devemos orientar nosso trabalho no sentido de transformar (se possível) amatriz A na matriz 13 , Como essa mesma sucessão de operações levará 13 emA-1, então convém reunir A e 13 numa mesma matriz e operar a partir daí.
L'( I O 1 O
D- L, (' I O: 1 O
D-I
Lz O I 1 O I Lz O 1 I : O II
L3 1 O 2 O O L; = L3 - Ll O - 1 2: -1 O
(*) Tal como para sistemas lineares, ver § 2.
29
1
Como a matriz A é equivalente à matriz1 O: 1II
11 OI
1:.::l: 3
1 O:I,
I' OII
O 3:-1(
1
L, O
4" = L, +L; O
all ... aln ) (Xl~l ••• ~n X2
.......... X = e B =
am l .•• amn Xn
A=
Seja
8. SISTEMAS DE CRAMER
1allxl + + atnXn = bl
s: ~l.~l. ~ '.~. ~.~~~.~ .:.
lltrl1 Xl + + antnxn = bn
que não é inversível (tem uma linha nula) então A também não é inversível.
AX = B <===> A- l (AX) = K l B <===> X = A- l B,
AX = B
de tipos m x n, n x 1 e m xl, respectivamente, então S poderá ser escrito soba forma matricial
onde A recebe o nome de matriz dos coeficientes de S.
Um sistema de Cramer é um sistema linear de n equações com n incógnitascuja matriz dos coeficientes é inversível. Se AX = B é um sistema de Cramer,como
então esse sistema é compatível determinado e sua única solução é dada porA-I B. Em particular um sistema quadrado e homogêneo cuja matriz dos coet1.cientes é inversível só admite a solução trivial.
um sistema linear de m equações com n incógnitas sobre R. Se formarmos asmatrizes:
A~G2
D1
3
G2 6 : 1 O 0) C2 6: 1 O
D-I I
1 5 I O 1 O ~ O 1 5: O 1,I I
3 7 I O O 1 O -1 -5 :-2 OI
- (~2 6: 1 O
DI
I 5: O II
O 0:-2 1
2) Vejamos o mesmo problema com a matriz
Ll 1 1 O' 1 O OIII 1 2 1
~ L,' = L, - L;" O 1 O: T 3-3II 1 1 14''' O O 1 II -"3 "3 "3J
Ll' = Ll - L,' 1 O O+2 -2-3 3
L,' 1 O1 23 3
L'" O O 1-1 1
3 3 3
Logo a matriz A é inversível e
-23
~+C-2 -:)A-l = 2
3 2
1 -1 1
3
30 31
O2)O -1. 1 1TT
1 1
2 O
O -1
1 1
2 O1
1 -2
O
O
1
1
O
1
~.)-(~ :1 O -1
~)-C :~ -~)-(~ ~1- 1- O O22,
1: 1I
2 I OI
1: O
2
1
1
2
1
O
2
1
O
Exemplo - A matriz dos coeficientes do sistema
{
X + Y = 1
Y + z = 1
x +2z=0
é a matriz:
A~ G~ Dque já vimos ser inversível (parágrafo 7); já determinamos também
O
O
1
O
1
O
(-} -} ;) 1(-1-1 3)
1 O -1 == 2 2 0-2
1 1 1-2 2 2 -1 1 1
A-l ==
Logo A é inversível e
2 -2 1-
3 3 3
A- l = 1 2 -13 3 3
-1 1 13 3 3
Logo:
e a solução do sistema é (O, 1, O).
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1. Verificar se a matriz A abaixo é inversível e, se o for, determinar sua inversa:
A~C : :)Solução
Utilizaremos o processo explicado no §,7.
Solução
2
1
3
o fato de a matriz:
2
2
4
1
O
O
O
1
O
2
1
O
2
1
1
2: 1 OI
2 I O 1I
0:-1 -1
2: 1I
2 I OI
2 : -1
O
1
O
32 33
0:0que é equivalente a A, ter uma linha nula, basta para concluir que A não é inversível.
a) Determinar se possível x e y em IR a fim de que a matriz
(../2 x )
y fi
seja ortogonal.
b) Provar que o produto de duas matrizes ortogonais é ortogonal.
seja inversível em M3 (R).
Solução
~(~;,) (~:,) G:)=>(
2 + x2
.J2y + .J2x) (01 01) < >
.J2y + .J2x y2 + 2
{X2+ 2 = 1 {X2
=-1<__> y2 + 2 = 1 < > y2 "= _ 1
x +y=O x+y= O
( ) - dm" I -" - 2 1 2 1Portanto o problema em M2 R nao a lte so uçoes pOiS as equaçoes x = - e y =-não têm solução em R.
b) Sejam A e B matrizes ortogonais de ordem n. Sendo A e B inversíveis, então já vimosque AB também é inversível e que (AB)-l = B-lA-l. Daí
(AB)-l = B-1A-l = BtAt = (AB)t.
SOIUçãO(~ ~ ~) (~_~ ~) (~_~ ~) ~1 2 a O 1 a-I O O a- 1
5. Determinar a E IR a fim de que a matriz real
O
1
O
1
-2
-3
~1
3
4
O
1
~ -~ ~)~511
1 -8 2-8
: 7 1 3)O -1: 8 -2 S-I 1 1 3
O: 8" 2 -8 ~
: 5 1 1: -8 T-8
O
1 -1
1 -3
ij)
1
-1
-4
14185
-8
O
1
O
1
O
O
A-1 = (i ~ -i) = ~ (: : -:)5 1 1 -5 4-1
-8 2-8
A inversa de A é portanto a matriz:
A ' " 'I A-1 - At4. Uma matriz quadrada A se diz ortogonal se e mvemve e -.
34 3S
- (~ ~ ~) (~ ~ ~) se a-I *" O.
O O a-I O O 1
Logo A é inversível para a *" 1. Se a = 1, então a matriz A é equivalente a uma matrizcom uma linha nula e portanto não é inversível.
7. Resolver ,o seguinte sistema de Cramer:
{
x+y-z=O
2x + y + z = 1
3x - y + z = 1
Solução
A matriz dos coeficientes do sistema é:6. Resolver o seguinte sistema linear:
{
X + 2y + z = 1
y + 2z = -4
x+ y+ z= 2
(I 1_1)
A= : _~ ~
que é inversível conforme já vimos (exercício resolvido 3) e sua inversa é a matriz:
1O
14" "41 1 38 2 -S5 1 1
-S 2" -8
Logo:
1O 1 1
G} "4 "4
C)~4
1 1 3 18 "2 -s 85 1 1 3-g 2 -s S
Então o sistema fica AX = B. Já vimos no exercício resolvido nl? 1, que a matriz A éinversível e
Façamos
Solução
Logo trata-se de um sistema de Cramer cuja solução é dada por:
(
11-2 -2
X = A -I B = 1 O
1 1-2 2
-;) (-D ~EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1. Seja A uma matriz quadrada inversível. Mostre que A-I também é inversível e que(A -1)-1 = A.
2. Mostrar que a matriz real
6)+ -
+ (-2; ~+ ""2
A seqüência (; , -1, - ~) é a solução do sistema.
é inversível Va, b, c E R e que:
O
1
-c ~)36 37
3. Verificar quais das seguintes matrizes são inversíveis e determinar as inversas respectivas:
A=C ~), B=Co
2
APÊNDICE I
Matrizes Elementares
5. Determinar m E IR de modo que o sistema abaixo seja de Cramer e, a seguir, resolvê-lo:
7. Se A, B e C são matrizes inversíveis de mesma ordem, determinar a matriz X de maneiraque A(B-IX) = C-IA.
6. Sejam A, B e C matrizes reais de ordem n. Se A é inversível, prove que AB = AC ->=> B = C e que BA = CA => B = C.
{
y+ z=2
:- +2z=1
x + 2y + mz = O
E, =G ~ D e ~ =G !Dsão matrizes elementares. A primeira se obtém de 13 multiplicando por 2 a segundalinha; a segunda se obtém de 13 somando à segunda linha desta matriz a suaprimeira linha multiplicada por 3.
Prop9sição 4 - Seja E uma matriz elementar de ordem n. Se aplicarmos,então, em uma matriz A, também de ordem n, a mesma operação elementar quetransformou In em E, obteremos a matriz EA.
Demonstração
Faremos a demonstração apenas para a operação elementar (IU) ficando osdois casos restantes como exercício.
Suponhamos que a linha j-ésima de E seja a soma da linha j-ésima de In coma linha i-ésima de In multiplicada por a, enquanto que as demais linhas de E e deIn coincidem, ou seja
Defmição 8 - Uma matriz elementar de ordem n é uma matriz E obtida deIn por meio de uma e uma só operação elementar.
Exemplos{
x+ Y + z=2
b) x - Y + z = O
y+2z=0
{
x-y+z+ t=O
x + y - z + t = Jc)
-x + y + z - t = O. 2x - y - z + 3t = 1
a) {x - y = 4
x + Y = O
4. Resolver os seguintes sistemas de Cramer:
8. Dada a matriz A =( ~ _ :)CalCUlarA2 = AA,A3 = AAA, ... ,An
=A... A(nvezes).
9. Determinar x, y e z de modo que a matriz
seja ortogonal.
10. Existe alguma matriz inversível A tal que A2 = O (matriz nula)? Justifique.
e
E(k) = In(k), k =1= j.
Como (EA)(r) = E(r)A, para todo r entre 1 e n, então (EA)(j) = E(j) • A == (IJj) + aln(i))A = In(j) • A + a (IJi) • A) = (InA)(j) + a (InAP) = A(j) + aA(i) ,
o que vem provar que a linha j-ésima de EA é igual à linha j-ésima de A mais alinha i-ésima de A multiplicada por a. Por um raciocínio análogo se prova que asdemais linhas de EA coincidem com as respectivas de A.
Logo, as mesmas operações que transformaram In em E irão transformar AemEA.-
38 39
Proposição 5 - Toda matriz elementar E é inversível.
Demonstração
Por hipótese obtém-se E de In por meio de uma certa operação elementar.Consideremos a operação elementar inversa que transforma E em In. Se aplicarmos esta última em In obteremos uma matriz elementar E1. Devido à proposiçãoanterior teremos E1 • E = In, O que é suficiente para concluir que E é inversível eE1 é a sua inversa (por quê?).•
Exemplo - Consideremos a matriz elementar:
E~ G!DA operação elementar que transfonnou 13 em E consiste em somar à segundalinha de 13 o triplo da primeira linha. Então E será transformada em 13 somandoà sua segunda linha a primeira multiplicada por (- 3). Logo a matriz inversa de E,obtida efetuando em 13 esta última operação elementar, é:
Teorema - Uma matriz A de ordem n é inversível se, e somente se, In ~ A.Neste caso, a mesma sucessão de operações que transformam A em In, transformaIn em A- 1
•
Demonstração
«=) Como cada operação elementar com A é o mesmo que multiplicarA (à esquerda) por uma matriz elementar, então existem matrizes elementaresE1, ... , Et de, maneira que:
Et • Et - 1 •...• E1 • A = In.
Logo
A E -1 E-1 E- 1 I= 1 • 2 •• ••• t • n·
Como cada matriz do segundo membro é inversível, então A é inversível (umproduto de matrizes inversíveis é inversível, conforme já vimos). Além disso,observando que:
40
segue que
A-1 = E t • Et_l • '" • E1 • In
O que prova a última afinnação do teorema.
(=» Observemos primeiro que se B ~ A, então A é inversível se, esomente se, B é inversível. Isto por que se B ~ A, então B = PA, onde P é umamatriz inversível (P é um produto de matrizes elementares). Nossa observaçãodecorre então dessa igualdade.
Façamos o escalonamento da matriz A por meio de operações elementares,isto é, façamos com que cada uma das suas linhas (a partir da segunda) tenha maiszeros iniciais do que a precedente. Como a última linha de A não é nula (pois A éinversível) obteremos:
A ~ (T ..~: ·.·.·..~~)O O ann
onde cada aíi =1= O. Mas esta última matriz é equivalente à matriz In. Logo In '" A.•
Nota final: Toda a teoria desenvolvida neste capítulo sobre sistemas linearese matrizes seria feita da mesma maneira se substituíssemos o conjunto :IR dosnúmeros reais pelo conjunto (C dos números complexos.
41
= a(!3ú)= aú + !3ú= aú + a1
(a!3)ú(a + !3)ú( -+ -+a u + v)
lÚ -+=u
para todos os números reais a e !3 e vetores Ú e 1.
-+ -+ -+ -+-+Se a = 1, au = u e se a = O, então au = O. Em geral lau 1= lallu I. Essa mul-tiplicação tem as seguintes propriedades já certamente vistas pelo leitor no seucurso de Cálculo Vetorial:
1. INTRODUÇÃO
CAPíTULO 2Espaços Vetoriais
Examinemos certos aspectos relacionados com dois conjuntos certamentejá conhecidos do leitor.
a primeiro é o conjunto V dos vetores da geometria, definidos através desegmentos orientados, e o outro é o conjunto Mmx n (IR) das matrizes reais mpor n, onde m e n são números naturais dados (ambos maiores que zero).
À primeira vista pode parecer que tais conjuntos nada têm em comum. Masnão é bem assim conforme mostraremos a seguir.
No conjunto Mm x n (IR) também está definida uma adição, a adição de matri·zes estudada no capítulo 1. Conforme vimos nesse capítulo, essa adição é associativa, comutativa, admite elemento neutro, que é a matriz nula
( ~...~ .. ::: .. ~)O O ••. O
Além disso podemos multiplicar um vetor ti por um número real a e issose faz conforme esquema abaixo:
e toda matriz A de Mmxn (lR) tem uma oposta.
Como vemos o comportamento de Ve o de Mmxn (IR) quanto à adição éo mesmo. Mas não ficam aí as coincidências.
,Pode-se também multiplicar uma matriz por um número real obtendo-seuma matriz da seguinte forma:
-;.u
-;.-u
-;.v
...
--------------7/
//
//////
""------------.-/
No conjunto V está definida umaadição (adição de vetores), conforme figura ao lado, adição essa dotada das propriedades comutativa, associativa, além daexistência de elemento neutro (vetor nulo)e do oposto para cada vetor de V.
a vetor nulo pode ser representadopor qualquer ponto do espaço e o opostode Ú se determina conforme a figura aolado.
(a < -lI
(a> II
-;.au
/au(O<a<11 -;.
au
~(-l<a<OI
au ,
Essa multiplicação apresenta as mesmas propriedades que as destacadas paraV, linhas acima. auseja, valem sempre as igualdades:
(a !3)A = a(!3A)
(a + !3)A = a.A + !3Aa(A + B) = aA + aB
IA = A
42 43
Logo os conjuntos Ve Mm x n (IR) apresentam uma coincidência estrutural noque se refere a um par importante de operações definidas sobre eles. Nada entãomais lógico do que estudar simultaneamente V, Mm xn (IR) e todos os conjuntosque apresentem essa mesma "estrutura" anteriormente apontada. É isso o que começaremos a fazer no parágrafo seguinte.
2. ESPAÇOS VETORIAIS
Vamos introduzir agora o conceito de espaço vetorial. Os espaços vetoriaisconstituem os objetos de estudo da Álgebra Linear.
Definição 1 - Dizemos que um conjunto V "* .e é um espaço vetorial sobreIR quando, e somente quando:
I - Existe uma adição (u, v)~ u + v em V, com as seguintes proprie-dades:
a) u + v = v + u, \,lu, v E V (comutativa);
b) u + (v + w) = (u + v) + w, Vu, v, w E V (associativa);
c) Existe em V um elemento neutro para essa adição o qual será simbolizado genericamente por o. Ou seja:
3 o E V I u + o = u, \lu E V;(*)
d) Para todo elemento u de V existe o oposto; indicaremos por (- u) esseoposto. Assim:
\lu E V, 3 (-u) E V I u + (-u) = 0.(**)
11 - Está definida uma multiplicação de IR X Vem V, o que significa quea cada par (a, u) de IR X V está associado um único elemento de V que seindica por au, e para essa multiplicação tem-se o seguinte:
a) a({ju) = (amu
b) (a + {j)u = au + (ju
c) a(u + v) = au + av
d) 1u = u
Prova-se que é único esse elemento neutro (ver exercício resolvido n'? 1 do § 3).
Prova-se que é único o oposto de um elemento (ver exercício resolvido n'? 2 do § 3)"
44
para quaisquer u, v de V e a, (j de IR.
Nota: De maneira análoga se define espaço vetorial sobre ~, conjunto dosnúmeros complexos. Deste capítulo até o capítulo V, inclusive, toda a teoria dosespaços vetoriais a ser aqui desenvolvida é a mesma quer sobre IR quer sobre <r.Por isso, embora venhamos a usar sempre espaços vetoriais sobre IR, deixamosregistrado que seria tudo igual para espaços sobre ~. Quanto ao assunto do capítulo VI há diferenças lá apontadas. Porém iremos concentrar nossa atenção nocaso real tendo em conta o caráter introdutório deste livro. Nos demais capítulos,salvo exceções que serão mencionadas, trabalharemos com espaços reais.
Exemplos
1) O espaço vetorial IR
Não é novidade para o leitor que a adição de números reais verifica as propriedades l-a, I-b, l-c e I-d da definição de espaço vetorial. Tão pouco que oproduto de um número real por um outro é também um número real e que essamultiplicação obedece aos itens lI-a, II-b, lI-c e II-d da definição mencionada.Logo IR é um espaço vetorial sobre IR.
2) O espaço vetorial CC
Com a mesma argumentação acima verifica-se que <r é espaço vetorial sobreCC. Mas <r também é um espaço vetorial sobre. IR. Quanto à adição não há novidades: tudo como no caso anterior. Agora, o produto de um número complexopor um número real é um número complexo e para essa multiplicação valemlI-a, II-b, lI-c e II-d como situações particulares das propriedades da multiplicaçãoem CC.
3) O conjunto dos vetores da geometria definidos por meio de segmentosorientados é um espaço vetorial sobre IR (ver parágrafo 1).
4) O conjunto Mmxn (IR) é um espaço vetorial sobre IR(ver parágrafo 1).
5) O espaço IRn
Já vimos anteriormente que uma n-upla de números é uma seqüência finitade n números reais que se indica por (al' ... , an). O conjunto de todas as n-uplasde números reais é denotado por IRu . O lRn pode ser visto como espaço vetorialsobre IR desde que se definam adição e multiplicação da seguinte maneira:
(al' ... , an) + (b l , , bn) = (al + b l , ... , an + bn)
a(al, , an) = (aal' ... , aan)
Ora, tal afirmação pressupõe que se tenham verificado as oito,propriedadesque constam da definição, o que não faremos aqui. Sugerimos tais verificaçõescomo exercício.
45
. Apenas ressaltaremos que o = (O, O, ... , O), se u = (al' ... , an), então- u = (- al, ... , - an) e, a título de exemplo, que a prova da propriedade lI-ase faz do seguinte modo: --
. Seja u = (al> ... , an) um elemento de R.n. Dados então a e {3 em R.,(a + {3)u = ((a + {3)al' , (a + {3)an) = (aal + {3al, ... , aan + {3an) == (aal' ... , aan) + ({3al' , {3an) = au + l3u.
Recomendamos ao leitor que procure justificar cuidadosamente cada passagem desta última dedução.
Os matemáticos estão de acordo com a seguinte frase: o R.n é o espaçovetorial mais importante.
6) O espaço ~n
O conjunto <cn das n-uplas de números complexos é um espaço vetorialsobre ~: basta definir adição e multiplicação por um número complexo como noexemplo anterior.
7) O espaço Pn (R.)
Seja n ;;;. O um número natural. Indicaremos por Pn (R.) o conjunto dospolinômios reais de grau .;;;; n, mais o polinômio nulo.
O leitor, que já estudou os polinômios sobre R., não terá dificuldades emperceber que
(a) f(t), g(t) E Pn (R.) => f(t) + g(t) E Pn (lR)
(b) a E lR, f(t) E Pn (lR) > af(t) E Pn (lR).
Daí, lembrando as propriedades das operações com polinômios, concluiráque Pn (lR) é um espaço vetorial sobre lR.
8) O espaço Pn (<C)
Por Pn (<C) indicaremos o conjunto dos polinômios complexos de grau';;;; nalém do polinômio nulo. Como no exemplo anterior, com as mudanças devidas, épossível provar que Pn (<C) é um espaço vetorial sobre <C.
9) Exemplo "Patológico"
Até aqui os exemplos dados, além de importantes, correspondem a situaçõespor assim dizer usuais. Vejamos um caso que de uma certa forma ~scapa dessasituação.
Seja V = {u E lR lu> O}. Suponhamos que consideremos a "adição" emV como sendo a multiplicação de números reais positivos, isto é,
u $ v = uv Vu v E V(*), ,
o símbolo El:l serve, neste exemplo, paxa distinguir a "adição" aqui definida da usual.
46
e que a multiplicação de um elemento de V por um número real seja dada por:
au = ua , \tu E V e Va E lR.
Com isso o conjunto V se torna um espaço vetorial sobre lR. Observemosapenas que o elemento neutro da "adição" é o número I e que a verificação de
H-c se faz assim:
a(u <±l v) = a(uv) = (uv)a = uaya = (au)(av) = em <±l avo
Nota: Na teoria dos espaços vetoriais é comum aproveitar-se a terminologiado exemplo 3 acima. Assim é que os elementos de um espaço vetorial qualquersão chamados de vetores, o elemento neutro da adição de vetor nulo desse espaçoe os elementos de lR (ou C) de escalares.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1. Como já vimos IR2 = {(x, y) I x, Y E IR}. O IR2 pode ser visto como espaço vetorialsobre IR desde que se definam adição e multiplicação por um número real assim:
(Xl, Yl) + (X2, Y2) = (Xl + x2, Yl + Y2) e
a (x, y) = (ax, ay).
Faxemos aqui a verificação dos axiomas relativos à multiplicação.
lI-a: (ab)(x, y) = «ab) x, (ab)y) = (a(bx), a(by)) = a(bx, by) = a(b(x, y)).
lI-b: (a + b)(x, y) = «a + b)x, (a + b)y) = (ax + bx, ay + by) = (ax, ay) ++ (bx, by) = a(x, y) + b(x, y).
lI-c: a«xl, Yl) + (X2, Y2)) = a(xl + x2, Yl + Y2) = (a(xl + X2), a(Yl + Y2)) =
= (axl + aX2, aYl + aY2) = (axl> aYl) + (ax2, aY2) = a(xl, Yl) + a(x2, Y2).
lI-d: I (x, y) = (Ix, Iy) = (x, y).
2. O IR3 é o conjunto de todas as ternas ordenadas de números reais. Ou.seja: IR3 == {(x, Y, z) I x, Y, Z E IR}. A adição e a multiplicação por escalares são definidas noIR3 por:
(Xl> Yl> Zl) + (X2, Y2, Z2) = (Xl + x2, Yl + Y2, zl + Z2) e
a(x, Y, z) = (ax, ay, az).
Faremos neste caso apenas a verificação dos axiomas relativos à adição.
I-a: «Xl, Yl, Zl) + (X2, Y2, Z2)) + (x3, Y3' Z3) == (Xl + x2, Yl + Y2, Zl + Z2) + (X3' Y3, Z3) =
= «Xl + X2) + x3, (Yl + Y2) + Y3, (Zl + Z2) + Z3) =
= (Xl + (x2 + x3), Yl + (Y2 + Y3), Zl + (Z2 + Z3)) == (Xl, Yl, Zl) + (x2 + x3, Y2 + Y3, Z2 + Z3) == (Xl> Yl> Zl) + «X2, Y2,. Z2) + (X3, Y3' Z3))·
47
I-b: (Xl, YI. Zl) + (XZ, Yz, ZZ) = (Xl + XZ, YI + YZ,zl + ZZ) =
= (XZ + Xl, yz +Yl. Zz + ZÜ = (XZ, Yz, ZZ) + (Xl. YI. Zl).
I-c: O vetor nulo é (O, 0, O).
I-d: Para cada u = (x, Y, z) E IR3, -u = (-X, -Y, -z) o que é evidente.
lI-a: ((ab)f)(O = (ab)f(t) = a(bf(t» = a((bf)(t» = (a(bf))(t), Vt E I.
lI-c: (a(f + g»(t) = a(f + g)(t) = a(f(t) + g(t» = af(t) + ag(t) = (af)(t) ++ (ag)(t) = (af + ag)(t),Vt E I.
4. Sejam U e V espaços vetoriais sobre IR (ou lC). Mostrar que U X V = {(u, v) I u E U ev E V} é um espaço vetorial em relação ao seguinte par de operações:
(I) (UI, VI) + (uz, vz) = (UI + uz, vI + vz)
(11) a(u, v) = (au, av).
Provemos algumas das condições.
l-b: (UI, VI) + (uz, vz) = (UI + Uz, VI + vz) = (uz + UI, Vz + vI) = (uz, vz) ++ (UI, VI)'
l-c: O vetor nulo neste caso é (o, o), onde o primeiro o é o vetor nulo de U e o segundoé o vetor nulo de V.
O espaço vetorial U X V acima def"mido chama-se espaço vetorial produto de U e V.
l1-d: I (u, v) = (lu, Iv) = (u, v).
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
Y
(a,b,c)=af + br + ck
(a + c, b + d)1
./ V././ /
./ /././ /
//
/
(C,d)
-->--> ii
-->k
Z
113
x
Nota: Podemos associar a cada vetor (x, y) Y
do IRz o vetor xi + yJdo cálculo vetorial,já do conhecimento do leitor. O vetor nuloé o par (O, O). As definições dadas de adiçãoe multiplicação por escalares concordamcom as regras usuais para a adição de vetores rplanos e multiplicação de um vetor plano -fl!::-;+;..",,--- _
por um número. I uf x
Fato análogo acontece com o IR3: podemos
associar a cada (x, Y, z) E IR3 o vetor
xi + yJ + zk do cálculo vetorial. As definições dadas de adição e multiplicação porescalares estão de acordo com as regraspara a adição de vetores e de multiplicaçãode um vetor por um número real no espaçogeométrico estudado no Cálculo Vetorial.
Por último observemos que os elementos do IRz e os do IR3 são de natureza distinta eassim sendo não deve o leitor cometer o engano de dizer que o IRz é subconjunto do IR3 •
Mais adiante será explicado que o IRz pode, de uma certa maneira, ser consideradoidêntico ao subconjunto {(x, Y, O) I x, Y E IR} do IR3
. (Veja Capítulo 4, § 5, exercícioresolvido n9 11).
3. Seja I um intervalo de IR e indiquemos por C(I) o conjunto das funções contínuas definidas no intervalo I e tomando valores reais. Dados f, g E C(I) e a E IR, definem-sef + g e af do seguinte modo:
f + g*: I~ IR e (f + g)(t) = f(t) + g(t),Vt E I
af: I~ IR e (aO(t) = af(t), Vt E I.
1. Completar as verificações nos exercícios I, 2, 3 e 4 anteriores.
2. No conjunto V = {(x, y) Ix, Y E IR} definamos "adição" assim:
(Xl, YI) + (xz, yz) = (Xl + XZ, O)
e multiplicação por escalares como no IRz, ou seja, para cada a E IR,
a(x, y) = (ax, ay).
Nessas condições V é um espaço vetorial sobre IR? Por quê?
O Cálculo nos ensina que f + g e af são funções contínuas, isto é, f + g, af E CCI).Temos então sobre CO) uma adição e uma multiplicação por escalares. E pode-se verificarqtte C(I) é um espaço vetorial com relação a esse par de operações. Verifiquemos algunsdos axiomas.
3. N~ conjunto V do exercício anterior definamos a "adição" como o fazemos habitualmente no IRz e a multiplicação por escalares assim:
a(x, y) = (ax, O).
É então V um espaço vetorial sobre IR? Por quê?
I-a: ((f + g) + h)(t) = (f + g)(t) + h (t) = ([(O + g(t» + h (t) = f(t) + (g(t) + h(t» == f(t) + (g + h)(t) = (f + (g + h) )(t), V f, g, h E C(I) eVt E I.
I-c: A função e dada por e(t) = 0, Vt E I, é contínua, e, além disso, (e + O(t) == e(t) + fIO = O+ f(t) = f(t), Vt E I.
Função de I em IR.
4. Seja V o conjunto dos pares ordenados de números reais. V não é um espaço vetorialem relação a nenhum dos dois seguintes pares de operações sobre V:
a) (xI' YI) + (xz, yz) = (xl + xz, YI + Yz) e a(x, y) = (X, ay), e
b) (Xl> YI) + (xz, yz) = (Xl' YI) e a(x, y) = (ax, ay).
Diga em cada caso quais dos 8 axiomas não se verificam.
48 49
5. Seja V como no exercício anterior. Definamos:
(Xl, Yl) + (X2, Y2) = (2Xl - 2Yb -Xl + Yl),a(x, y) = (3ay, - ax),
Com essas operações definidas sobre V, perguntamos se este conjunto é um espaço vetorialsobre R.
6. Seja V = {(x, y) I x, Y E <e}. Mostrar que V é um espaço vetorial sobre IR com a adição e amultiplicação por escalares definidas assim:
(I) (Xl, Yl) + (X2, Y2) = (Xl + X2' Yl + Y2), V(Xl, Yl) e (x2, Y2) E V e
(lI) a(x, y) = (ax, ay), Va E R e V (x, Y) E V.
7. Seja Roo = {(Xl, X2, ) I Xi E R}. Considerando sobre R
ooas operações dadas por
(Xl, X2, ...) + (Yb Y2, ) = (Xl + Yl, X2 +Y2,·") ea (Xb X2,··.) = (axb aX2, ; ..),
mostrar que R oo é um espaço vetorial sobre R.
8. Mostrar que todo espaço vetorial sobre <e também é espaço vetorial sobre IR.
3. PRIMEIRAS PROPRIEDADES DE UM ESPAÇOVETORIAL
Seja V um espaço vetorial sobre IR. Provaremos a seguir algumas propriedades que são conseqüências praticamente imediatas da defmição de espaçovetorial.
Para todo a E IR, ao = o.
Prova - Devido aos axiomas lI-c e I-c da defmição de espaço vetorial têm-se:
ao = a(o + o) = ao + ao; somando a ambos os membros o vetor - (ao)temos o = - (ao) + ao = -ao + ao + ao = ao. -
Para todo u E V, Ou = o.
Prova - Do mesmo tipo da anterior. Fica como exercício. -
1, então podemos concluir (usando o axioma ll-d) que
u = 0.-
P4. Para todo a E IR e todo u de V, (-a)u = a(-u) = -(au).
Prova - Notemos que
au + (-a)u = (a + (-a))u = Ou = o
usando o axioma II-b e P2 • Por outro lado,
au + (-au) = o.
Então:
au + (-a)u = au + (-au).
Somando -au a ambos os membros desta última igualdade acharemos:
(-a)u = -au.
Um raciocínio análogo nos mostrará que a(-u) = -(au). -
Nota: Define-se diferença entre dois vetores u e v do espaço V assim:
u - v = u + (-v).
Quaisquer que sejam a, {3 E IR e u em V, (a - (3)u = au - {3u.
Prova
(a - (3)u = (a + (-{3))u = au + (-{3)u = au + (-({3u)) = au - (3u. -
Quaisquer que sejam a em IR, u e v em V, a(u - v) = au - avo
Prova - Análoga à anterior. Fica como exercício. -
Dados {3, al, ... , an em IR e Ul, ... , un em V, então:
Prova - Faz-se por indução a partir dos axiomas lI-a e lI-c da defmição deespaço vetorial. -
Uma igualdade au = o, com a E IR e u E V, só é possível se a = Oou u = o.
Prova - Suponhamos a =1= O. Daí existe o número reala- l . Multiplicandoentão au = o por a- l teremos:
a-l(au) = a-lo
Levando em conta. o axioma lI-a e a propriedade Pl :
(a-la)u = o
{3 (t ajuj)J=l
n
= L ({3aj)Uj'j =1
50 SI
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Solução
Além das propriedades de Pl a P7 , enunciadas e demonstradas acima, podemos aindacitar:
1. O vetor nulo de um espaço vetorial V é unico.
Prova
Há um umco vetor o que satisfaz I-c, pois se 01 goza da mesma propriedade, entãoo = o + 01 = 01 + o = 01.
a) 2u + v - 3w = (2,4,2) + (3,1, - 2) - (12,3, O) = (- 7,2, O).
1b) Aplicando-se as propriedades já conhecidas vem x = T(v + w - 3u). Fazendo os
cálculos obtemos x = (2, - 2, - ;);
c) Do sistema dado obtém-se:
2. Para cada vetor u de um espaço vetorial V existe um único vetor (- u), oposto de u.
Prova
Seja UI tal que u + uI = o. Daí então,
-u = -u + 0= -u + (u + UI) = (-u + u) + uI = o + uI = uI.
{
y- z=v-u
-y + 2z = -v.
Adicionando membro a membro estas últimas equações obtemos z = - u = (- I, - 2, -1)e, então, y = z + v - u = (1, - 3, - 4).
3. Para cada u E V, tem-se - (-u) = u.
Prova
O axioma I-a diz que (-u) + u = u + (-u) == o. Logo u é o oposto de -u.
4. Se u, v e w E V' eu + v = u + w, então v = w (lei do cuncchuncnto da adição).
Prova
Somemos - u à igualdade que consta da hipótese:
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1. No espaço vetorial M3x2 (R), consideremos os vetores:
A =(~~) B =(~ ~) e C =(/~ ~).O O 1 1 O -1
a) Calcular 2A + B - 3C;
Calcular X E M3x2 (R) tal que A + X _ X - B = C'2 3 '
Existem tl, t2 E R de maneira que A = tlB + t2 C?
b)
c)
(l-u)
(l-d)
(l-c)
(- u) + (u + v) = (- u) + (u + w)
«- u) + u) + v = « - u) + u) + w
o+v=o+wv=w
5. Se u, w E V, então existe um único vetor v tal que u + v = w.
Prova
Inicialmente verifica-se que w + (- u) satisfaz a equação dada. De fato: u + (w + (- u» == u + «-u) + w) = (u + (-u)) + w = o + w = w. Por outro ludo, somando (-u)ambos os membros da equação, vem: (- u) + (u + v) = (- u) + w. Da{ «-- u) + u) + v ==w + (-u). Logo v = w + (-u).
6. Consideremos no espaço vetorial IR? os vetores u = (I, 2,1), v = (3,1, - 2) c w = (4,1, O).
a) Calcular 2u + v - 3w;
b) Resolver a equação 3u + 2x = v + w;
c) Resolver o sistema de equações
u+y=v+z
v+2z=y
nas incógnitas y, z E IR3.
2. Seja u = (l + i, i), v = (1 - i, 2i) e w = (2, 3 + i) vetores no espaço vetorial ([;2.
a) Calcular (3 + i)u - 'iv - (2 - i)w;
b) Existe z E <C tal que v = zu?
3. No espaço vetorial P3 (R) sejam dados os vetores f(t) = t3 - 1, g(t) = t2 + t - 1 eh(t) = t + 2.
a) Calcular 2f(t) + 3g(t) - 4h(t);
b) Existe k E R de maneira que f(t) + kg(t) = h (t)?
c) Existem kl, k2 E R tais que f(t) = klg(t) + k2h(t)?
4. No R2
consideremos os vetores u = (1, 1), v = (3, - 2) e w = (3, - 2).
a) Resolver a equação:
x + u v + x--2- + -3- = w,
na incógnita x E R 2;
52 53
b) Resolver o seguinte sistema de equações:
{
X+ Y + z=u
2x -y + z = v
x+y-2z=w
nas incógnitas x, y, Z E lR2.
4. SUB-ESPAÇOS VETORIAIS
Definição 2 - Seja V um espaço vetorial sobre R. Um sub-espaço vetorialde V é um subconjunto W C V, tal que:
(a) o E W;
(b) V u, v E W, u + v E W; e
(c) V(X E R e Vu E W, (xu E W.
Notemos que (b) significa que a adição de V, restrita a W, é uma adiçãoem W. O significado de (c) é que está defrnida uma multiplicação de R X Wem W. Mas será W, nessas condições, um espaço vetorial sobre R?
Proposição 1 - Se· W é um sub-espaço vetorial de V, então W também éum espaço vetorial sobre R.
Demonstração - A rigor temos oito itens a provar (ver definição de espaçovetorial). Contudo mostraremos apenas que:
uEW=> -uEW
uma vez que os demais itens decorrem sem artifícios das hipóteses.
Mas isso é fácil: é só fazer em (c) (X = - 1. •
Exemplos
1) Para todo espaço vetorial V é imediato que {o} e V são sub-espaços de V.São os chamados sub-espaços impróprios ou triviais.
2) W = {(x, Y, z) E lR3 I x + Y = O} é sub-espaçó de R 3•
(a) o = (O, 0, O) E W (por quê?);
(b) se u = (Xl, YI, Zl) e v = (X2' Y2, Z2) estão em W, então Xl + YI == X2 + Y2 = O. Como u + v = (Xl + X2, YI + Y2' Zl + Z2) e (Xl + X2) ++ (YI + Y2) = (Xl + YI) + (X2 + Y2) = °+ O = 0, então u + v E W.
(c) Exercício.
54
I3) A intersecção de dois sub-espaços vetoriais do mesmo espaço V é tam
bém um sub-espaço vetorial de V.
Sejam W e U esses sub-espaços.
(a) o E U e o E W. Logo o E U () W.
(b) Exercício.
(c) Tomemos (X E lR e u E U () W. Como u E U e u E W (que sãosub-espaços), então (xu E U e (xu E W. Logo (xu E U () W.
4) Consideremos um sistema linear homogêneo sobre R de tipo m X n:
!aUxI + al2 x2 + ... + alnXn = °~~1.~1..~ .~~~~ .~.'.'.'.~. ~~~~~.~.~amlXl + am2 X2 + ... + amnxn = °
Já vimos, o que é óbvio, que (O, 0, ... , O) é solução desse sistema. Por outrolado é fácil verificar que a soma' de duas soluções de S é solução de S e que oproduto de uma solução de S por um número real também é solução desse sistema.Verifiquemos a última afirmação. Se ({31' (32' ... , (3n) é solução, é verdadeira afrase ajl{31 + aj2{32 + ... + ajn{3n = 0, V j, 1 .,;;; j .,;;; m. Logo, para todo kElR,também é verdadeira a frase
k(ajl{31 + aj2{32 + ... + ajn{3n) = °que é equivalente a
3jl (k{31) + aj2 (k{32) + ... + ajn (k{3n) = °Esta última nos mostra que (k{31' k{32' ... , k{3n) também é solução do sistemaconsiderado.
O conjunto solução de um sistema homogêneo é chamado espaço soluçãodesse sistema. Trata-se de um sub-espaço vetorial do IRn.
5) Ps(lR) é sub-espaço de Pn(lR) desde que °.,;;; s .,;;; n (exercício);
6) O conjunto das matrizes simétricas é um sub-espaço vetorial de Mn(lR).
7) Se V é um espaço vetorial e v E V, o conjunto dos vetores da forma À. v,com À. E IR, é um sub-espaço de V.
55
Seja V um espaço vetorial sobre IR. Tomemos um subconjunto S = {U1, ... ,un} C V. Indiquemos por [S] o seguinte subconjunto de V construído a partirde S:
u + v = (u + w) + (v - w).
Devido â unicidade que a hipótese menciona podemos afIrmar que:
u = u + w e v = v - w.
[S] = {a1 U1 + ... + anun I a1, ... , an E IR}
É fácil ver que [S] é um sub-espaço vetorial de V. De fato:
(a) Como o = OU1 + + Oun, então o E S.
(b) Se v = a1U1 + + anun e w = 131U1 + ... + I3nUn pertencem aS, então
v + w = (a1 + 131)U1 + ... + (an + I3n)un
também é um elemento de S.
(c) Exercício.
Defmição 5 - O sub-espaço [S] que acabamos de construir recebe o nomede sub-espaço gerado por S. Cada elemento de [S] é uma combinação linear de Sou combinação linear de U1 , ... , un. Ao invés de [S] também costuma-se escrever:
[U1, U2, ... , un].
Diz-se também que U1, ... , un geram [S], ou então que são um sistema de geradores de [S].
y
v=
l'
z
x
u
Logo w = o. Provamos pois que U fi V = {o}.
Exemplo - O espaço IR3 é somadireta dos sub-espaços:
U = {(x, O, O) I x E IR} e
V = {(O, Y, z) I Y, z E IR}.
É imediato que:
U fi V = {(O, O, O)};
por outro lado, V- (x, y, z) E IR3,
(x, y, z) = (x, O, O) + (O,y, z) E U +V.
6. COMBINAÇÕES LINEARES
5. SOMAS DE SUB-ESPAÇOS
Proposição 2 - Se U e V são sub-espaços vetoriais de W, então U + Vtambém é um sub-espaço vetorial de W.
Demonstração
(a) Como o = o + o, o E U e o E V, então o E U + V.
(b) Sejam W1 = U1 + V1 e W2 = Ü2 + V2 elementos de U + V, onde estamossupondo U1, U2 EU e vi> V2 E V. Então:
W1 + W2 = (U1 + V1) + (U2 + V2) = (U1 + U2) + (V1 + V2).
Como U1 + U2 e V1 + V2 pertencem a U e V" respectivamente, então W1 + W2 EEU+V.
(c) Exercício.-
DefInição 4 - Sejam U e V sub-espaços vetoriais de W tais que U fi V ={o}. Neste caso diz-se que U + V é soma direta dos sub-espaços U e V.
Notação: U $ V.
Se U e V são sub-espaços de W tais que U $ V = W dizemos que U e Vsão suplementares ou que U é suplementar de V (ou V é suplementar de U).
Proposição 3 - Sejam U e V sub-espaços vetoriais de um espaço vetorial W.Então W = U $ V se, e somente se, cada vetor w E W admite uma única decomposição w = u + v, com u E U e v E V.
Demonstração
(=» Por hipótese a decomposição existe. Suponhamos w = u + v == U1 + V1 (u, U1 E U e v, V1 E V). Daí u - U1 = V1 - v. Como V1 - v E V(pois ambos os termos estão em V), então u - U1 E U fi V = {o}. Logo u - U1 =0
e então u = U1' Levando em conta isto conclui-se que V1 - v = o e portantoque V1 = V.
«=) Suponhamos que w E U fi V. Tomando então u E U e v E V,teremos:
Sejam U e V sub-espaços vetoriais de um espaço vetorial W.
Definição 3 - Indicaremos por U + V e chamaremos de soma de U com Vo seguinte subconjunto de W:
U + V = {u + v I u E U e v E V}.
Nota: É claro que U + V = V + U e que U + {o} = U, para todos ossub-espaços U ,e V de W. Também é verdade que
U C U + V e V C U + V.
56 57
Notas:
1) Estenderemos a definição acima para o caso S = JJ mediante a seguinteconvenção: [e] = {O}.
2) No caso de S C V ser um conjunto inftnito, definimos [S] através daseguinte frase:
u E [S] <=> =3 vI> ... , Vt E S e
=3 aI> ... , at E lR I u = aIvI + ... + atvt.
Da definição 5 e. de suas ampliações, dadas acima, decorrem as seguintespropriedades que deixamos ao leitor como exercícios:
a) se [S]
b) SI C S2 C V==.;> [SI] C [S2]
c) [S] = [[S]]
d) Se SI e S2 são subconjuntos de V, então:
[SI U S2] = [sd + [S2]'
7. ESPAÇOS VETORIAIS FINITAMENTE GERADOS
Observemos no n~.3 o conjunto
S = {(1, O, O), (O, 1, O), (O, O, 1)}.
Como, para todo (a, b, c) E lR3 , vale a igualdade:
(a, b, c) = a(l, O, O) + b(O, 1, O) + c(O, 0, 1)
podemos dizer que os vetores de S geram o lR3• Muitos outros subconjuntos
finitos do lR3 têm essa mesma propriedade, o que não é difícil de notar.
Definição 6 - Dizemos que um espaço vetorial V é finitamente gerado seexiste S C V, S finito, de maneira que V = [S].
Neste texto praticamente só focalizaremos espaços vetoriais que, como olR3
, possam ser gerados por um número finito dos seus vetores.
Salvo menção contrária somente consideraremos este tipo de espaço vetorial.
Ressalte-se que f = (1, 0, O), J = (O, 1, O) e k = (0,0, 1) desde que setenham identificado V e lR3
•
Exemplo - Se V = lR3, U = (1, O, O) e v = (1,1, O) o que é lu, v]?
lu, v] = {au + {3v I a, {3 E lR} = {(a + {3, (3, O) I a, {3 E lR} =
= {(x, y, O) I x, Y E lR} uma vez que o sistema
{a+{3=x
(3=y
é compatível determinado, V-x, y E lR.
Graficamente:
Exemplos
1) O espaço V dos vetores da geometria definidos por segmentos orientadosé finitamente gerado pois considerandoa terna fundamental {t, j, [} paratodo ti E V, existem a, b, c E lR, de ma-
o -+""""+ b""""+ '+kneira que u = ai ~ c.
......k
-7I
.,.,.J
z
58
2) Se o indica o vetor nulo de um espaço vetorial qualquer, então V = {o}é finitamente gerado pois, fazendo S = {o}, vale V = [S].
59
4) R n é fmitamente gerado. Com efeito, generalizando o raciocínio feitoao início do parágrafo verifica-se que o conjunto
8 = {(I, O, ... , O), (O, 1, O, . " , O), ... , (O, ... , O, I)}
verifica a igualdade IRn = [8], ou seja, que 8 gera o IRn. Convém notar que oconjunto 8 é formado de n elementos.
2. Mostrar que o conjunto W = (ex, y) E IR2 IY = O} é um sub-espaço vetorial do IR2.
(a) (O, O) E W.
(b) Sejam u = (Xl, O) e v = (x2, O) em W; daí u + v = (Xl + X2, O), donde u + v E W.
(c) Sejam u = (x, O) em W e a em R; então au = (ax, O), donde au E W.
Outra maneira de resolver: observar que W é gerado por (1, O).
Y2) elementos de W. Então:t2(
X2e v =
Z2
3. Mostrar que é sub-espaço de M2(1R) o seguinte sub-conjunto:
W ={C :) E M2 (R) I Y =-x}-(a)(: :) E W;
(b) Sejam u = (Xl Yl)Zl tl
8 =1(~.. ~..·.·.·~) (~.. ~ ~), , (~.. ~ ~))00 ... 0 00 0 00 1
5) Mmxn (IR) é finitamente gerado. Verifique que as m • n matrizes doconjunto
geram o Mmxn (IR), generalizando a decomposição feita no exemplo 3 acima.
Yl + Y2)tl + t2
(ax ay)az at
u~ (: :) =W,.E"D.{.u~Como ay = a(- X) = - (ax), então au E W.
Como Yl + Y2 = (-Xl) + (-X2) = -(Xl + X2), então u + v E W.
(c) Sejam:
6) Pn (IR) é finitamente gerado. Os polinômios fo , f l , ... , fn dados porfo(t) = 1, fl(t) = t, ... , fn(t) = t n , Vt E IR, são geradores de Pn(lR) uma vezque se f(t) = ao + al t + ... + antn é um elemento de Pn (IR), então
f = aofo + alfl + ... + anfn.
Observe que {fo, f1> ... , fn} possui n + 1 polinôlnios.
Nota: No apêndice 11, logo a seguir, daremos um exemplo de espaço vetorialque não é finitamente gerado.
......u
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1. Seja V o conjunto dos vetores geométricos do espaço. Sendo li um vetor fixoespaço, mostrar que W = {ali I a E R} é um sub-espaço vetorial de V.
Solução W
(a) Ô E W: basta considerar a = O.
(b) Sendo v = ali e iN = {31i em W, então1 + iN = ali + {3u = (a + {3)Ii, logo1 + iN E W....,. ...,. ...,.(c) Sejam v = au e À E R; então ÀV= À(au) = (Àa)Ii, logo VE W.
desse
4. Seja I um intervalo real e consideremos o espaço vetorial C(I) das funções reais contínuasdefinidas em L Mostrar que o subconjunto W de C(I) constituído das funções que sãoderiváveis em todos os pontos de I é um sub-espaço vetorial de C(I).
Solução
O cálculo nos ensina que a função nula é derivável, que a soma de duas funções deriváveisé derivável e que o produto de uma função derivável por um número é uma função derivável.
5. Mostrar que são sub-espaços vetoriais de Mn (IR) os seguintes subconjuntos:
a) U = {A E Mn (IR) I At = A}
b) V = {A E Mn (R) I AT = TA} onde T é uma matriz dada de Mn (R).
60 61
Solução
a) (a) A transposta da matriz nula é a própria matriz nula.
(b) Sejam A, B E U. Como (A + B)t = At + Bt = A + B, então A + B E U.
(c) Sejam AEU e a E IR. Do fato de (aA)t = aAt = aA segue que aA EU.
Solução
u = (x, y, z) E U n V < > u E U e u E V <=> x + y = Oe x = O <_> x = y = O. Logo U n V = {(O, O, z) I z E IR}, que é gerado pelovetor (O, O, 1).
10. São sub-espaços vetoriais de C(l) os seguintes subconjuntos:
U = {f E C(l) I f(t) = f(- t), Vt E IR} e
V = {f E C(l) I f(t) = -f(-t), Vt E IR}
Mostrar que C(n = U Ea V.
Solução
(a) Toda função real f definida em I pode ser assim decomposta: f(t) = g(t) + h(t),Vt E I, onde
b) (a) A matriz nula comuta com todas as matrizes.
(b) Sejam A, B E V. Então AT = TA e BT = TB. Daí (AB)T = A(BT) = A(TB) == (AT)B = (TA)B = T(AB).
(c) Sejam A E V e a E IR. Então (aA)T = a(AT) = a(TA) = T(aA).
6. Provar que se S e T são sub-espaços vetoriais de um espaço V, então S + T = [S U Tl.
Solução
Como S + T :) S e S + T :) T, então S + T :) S U T. Daí S + T :) [S U TI. Por outrola.do, se u E S + T, então u = s + t (com sE S e tE T). Como, então, s c t pertencem aS U T, podemos afirmar que u = s + tE [S U Tl. Logo S + T c [S u Tl. g(t) = f(t) + f( - t)
2e h(t) = f(t) - f(- t)
2
7. Achar um conjunto de geradores (sistema de geradores) dos seguintes sub-espaços de IR4:
a) U = {(x, y, z, t) E IR4 I x - y - z + t = O};
b) V = (ex, y, z, t) E IR4 I x - y = z + t = O}.
Solução
a) (x, y, z, t) E U se, e somente se, x - y - z + t = O, isto é, se, e somente se, x == y + z - t. Logo (x, y,.z, t) E U equivale a (x, y, z, t) = (y + Z - t, y, z, t)= y(l, 1, O, O) + z(l, O, 1, O) + t(-l, O, 0,1). Assim:
{(l, 1, O, O), (1, O, 1, O), (- 1, O, O, I)}
é um conjunto de geradores de U.
b) De maneira análoga chega-se a que (1, 1, O, O), (O, O, 1, - 1) é um sistema degeradores de V.
8. Consideremos no IR3 os seguintes sub-espaços vetoriais:
U = [(1, O, O), (1, 1, 1») e V = (O, 1, O), (O, O, 1»).
Determinar um sistema de geradores de U n V.
Solução
W E U n V <=> w E U, W E V <=> 3 a, fi, 1', ti E IR tais que:
a(l, O, O) + (3(1, 1, 1) = 1'(0, 1, O) + ti (O, O, 1)
ou ainda que:
a + fi = O, (3 - l' = O, fi - ti = O. Daí a = - fi, l' = fi e ti = fi.
Donde w = - fi(l, O, O) + fi(l, 1, 1) = fiCO, 1, 1). Então U n V = (O, 1, 1)1.
9. Dados os sub-espaços U = {(x, y, z) E IR3 I x + Y = O} e V = {(x, y, z) E IR3 I x = O}do IR3
, determinar o sub-espaço U n V.
62
Como
g(-t) = f(-t) + f(t) = g(t) e h(-t) = f(-t) - f(t) = -h(t),2 2
então g E U e h E V. Portanto C(n = U + V.
(b) Se f E U n V, então f(t) = f(- t)e f(t) = - f(- t), Vt E L Logo 2f(t) = O, Vt E LDonde f é a função nula. Assim então U n V só contém a função nula f(t) = O, Vt E L
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1. Quais dos seguintes conjuntos W abaixo são sub-espaços do IR3 ?
(a) W = {(x, y, z) E IR3 I x = O}
(b) W = {(x, y, z) E IR3 I x E Z}
(c) W = {(x, y, i) E IR3 I y é irracional}
(d) W = {(x, y, z) E IR3 I x - 3z = O}
(e) W = {(x, y, z) E IR3 I ax + by + cz = O, com a, b, c E IR}
2. Quais dos conjuntos abaixo são sub-espaços do espaço P(IR) de todos os polinômiosreais? (Leia o apêndice lI).
(a) W = {f(t) E P (R) I f(t) tem grau maior que 2}
(b) W = {f(t) I f(O) = 2f(1)}
(c) W = {f(t) I f(t) > O, Vt E IR}.
(d) W = {f(t) I f(t) + f'(t) = O}
63
L
*3. Verificar que não são. sub-espaços vetoriais do IR?:
(a) {(x, y, z) E IR3 I X = l}
(b) {(X,y,Z)EIR3 Ix2 +y+z=0}
(C) {(x, y, z) E IR3 I X E;; Y E;; z}
(d) {(x, y, z) E IR3 I x + Y E Q}
Em cada caso quais axiomas não se verificam? (Q é o conjunto dos números racionais.)
*4. Seja I = [O, 11. Verificar se são sub-espaços vetoriais de C (I) (veja exercício resolvidon94):
(a) {f E C(I) I f(O) = O}
(b) {f E C(I) I .1: f(t)dt = O}
(c) {f E C(I) I f(O) = fel)}
(d) {f E C(I) I f(t) = O em todos os pontos de I menos um número finito deles}.
*5. Seja V um espaço vetorial. Se (Vj)j E J é uma família de sub-espaços vetoriais de V,
mostrar que~ Vj também é um sub-espaço vetorial de V.
*6. Seja V um espaço vetorial. Dado um subconjunto S * \ó\ de V, provar que a intersecçãode todos os sub-espaços vetoriais de V que contêm S também é um sub-espaço vetorialde V, sendo o menor sub-espaço de V que contém S.
7. Sejam V, V e W os seguintes sub-espaços do IR3:
V = {(x, y, z) I x = z},
V = {(x, y, z) I x = y = O} e
W = {(x, y, z) I x + y + z = O}.
Verifique que V + V = IR3, V + W = IR3 e V + W = IR3. Em algum dos casos a somaé direta?
8. Mostrar que os polinômios 1 - t, (1 - t)2, (1 - t)3 e 1 geram P3(IR).
9. Dar um sistema de geradores para cada um dos seguintes sub-espaços do IR3:
a) V = {(x, y, z) I x - 2y = O}
b) V = {(x, y, z) I x + z = O e x - 2y = O}
c) W = {(x, y, z) I x + 2y - 3z = O}
d) V n V
e) V + W.
10. Sejam V e V sub-espaços vetoriais do espaço W. Provar que:
a) V C V-> V + V = V;
b) V c V . > V n V = V;
64
*11.
12.
*13.
14.
15.
16.
*17.
18.
19.
*20.
*21.
22.
23.
c) V + V = V > V ::J V;
d) V n V = V-> V c V.
Sejam u e v dois vetores não nulos do IR2. Se não existe nenhum t E IR tal que u = tv,mostrar que IR2 é soma direta dos sub-espaços [uI e [vI.
Verificar se as seguintes matrizes geram o espaço vetorial M2 (IR):
(: ~), (~ ~), (~ ~), (~ :)Se V, V e W são sub-espaços vetoriais do mesmo espaço, mostrar que (V n V) ++ (V n W) c V n (V + W). Descubra um exemplo para o qual o primeiro membro dessa relação é diferente do segundo e um exemplo onde ocorre igualdade.
Mostrar que os números complexos 2 + 3i e 1 - 2i geram o espaço vetorial CC sobre IR.
Mostrar que é sub-espaço de Mn(IR) o subconjunto formado pelas matrizes anti-simétricas. Mostrar também que Mn(IR) é soma direta dos sub·espaços das matrizes simétricas e das anti-simétricas.
Mostrar que os dois conjuntos {(I, -1, 2), (3, O, I)} e {(-I, - 2,3), (3,3, -4)}geram o mesmo sub-espaço vetorial do IR3.
Mostrar com um exemplo que se V, V e W são sub-espaços vetoriais do mesmo espaço,e se valem as relações V n V = V n We V + V = V + W, não se tem necessariamente V = W.
Mostrar com um exemplo que a união de dois sub-espaços vetoriais de um mesmo espaço vetorial não precisa ser um sub-espaço vetorial desse espaço.
Mostrar que a união de sub-espaços vetoriais do mesmo espaço é também um sub-espaço se, e somente se, um dos sub-espaços dados está contido no outro.
Considere os seguintes vetores do IR3:(_I, O, 1) e (3, 4, -.2). Determinar um sistemade equações homogêneas para o qual o espaço solução seja exatamente o sub-espaçogerado por eSses vetores.
Repita o exercício 20 com os vetores (1, O, 1, 2), (O, O, 1, O) do IR4.
(a) Determinar um suplementar do seguinte sub-espaço do IR3: {(x, y, z) I x - y = O}
(b) Mesmo exercício com o sub-espaço:
{(x, y, z, t) E IR4 I x - y = z - t = O} do IR4.
Mostrar que os dois conjuntos abaixo formados de funções contínuas reais definidasem IR geram o mesmo sub-espaço vetorial de C (IR):
{sen2 t, cos2 t, sen t • cos t} e {I, sen 2t, cos 2t}
65
*24. Sejam U, V e W sub-espaços vetoriais do mesmo espaço para os quais valem o,seguinte:U n (V + W) = V n W = {o}. Provar que se u + v + w = o (vetor nulo), comu E U, v E V e w E W, então u = v = w = o.
*25. Mostrar que o espaço vetorial Roo
(exercício proposto 7 - § 2) não é finitamente gerado.
Sugestão: raciocinar como será feito no apêndice lI.
CAPíTULO 3Base e Dimensão
Lembremos o seguinte fato relacionado com o espaço dos vetores da geometria, defInidos por meio de segmentos orientados: se considerarmos um sistemade coordenadas ortogonais, de origem 0, e se chamarmos de 1", 1 e lt os trêsvetores unitários com os sentidos dos eixos x, y e z, respectivamente, então cadavetor õP admite uma única representação 6P = a1"+ b1+ clt, onde a, b e c sãoas coordenadas de P, em relação ao sistema considerado.
z p
APÊNDICE 11
Exemplo de Espaço que não éFinitamente Gerado
Indiquemos por P(lR) o conjunto de todos os polinômios reais. O leitor,lembrando a operação adição de polinômios e a operação multiplicação de umpolinômio por um número, concluirá que P(lR), com esse par de operações, é umespaço vetorial sobre lR.
Mas P(IR) não é fInitamente gerado.
Com efeito, dado S = {fl , ... , fn} e P(IR), supondo que cada fi seja nãonulo e que fn seja o polinômio de maior grau de S, então o grau de qualquercombinação linear
alfl + ... + anfn
não ultrapassa o grau de fn. Assim [S] só contém polinômios de grau menor queou igual ao de fn. Como porém P(IR) compreende todos os polinômios reais,existem neste espaço polinômios de grau maior que o de fn. Logo [S] *' P(IR),para todo conjunto fInito se P(IR).
66
x
Nosso objetivo principal, neste capítulo, é mostrar que em todo espaçovetorial finitamente gerádo V eXiste um subconjunto finito B tal que todo elemento de V é combinação 'linear, de uma única maneira, desse subconjunto. E quetodos os outros subconjuntos de V que têm também essa propriedade (sempre os há)possuem o mesmo número de elementos que B.
Daí sairá então o conceito de "dimensão".
1. DEPENDÊNCIA LINEAR
Seja V um espaço vetorial sobre IR.
Definição 1 - Dizemos que um conjunto L = {Ul' ~, ... , un} e V élinearmente independente (L.I.) se, e somente se, uma igualdade do tipo
al Ul + . . . + anun = o
com os ai em IR, s6 for possível para al = ... = an = O.
67
Definição 2 - Dizemos que L = {Ul, ... , un } C V é lineannente dependente (L.D.) se, e somente se, L não é L.I., ou seja, é possível uma igualdadedo tipo
alul + ... + anun = O
sem que os escalares ai sejam todos iguais ao número zero.
Portanto:
{
X + Y + 3z = O
x + 4y + 6z = O
5y + 5z = O
Escalonando o sistema, vem:
Daí, a única solução é a trivial, e o conjunto é linearmente independente.
Esse sistema admite outras soluções além da trivial; daí o conjunto é linearmente dependente. Como x=:- 2, y =: - 1 e z =: 1 é uma solução não trivial temos - 2(1, 1, O) - (1, 4, 5) + (3, 6, 5) =: (O, O, O). Esta é uma relação de dependência entre os 3 vetores dados.
c) x(1, 2, 1) + y(2, 4, 2) + z(5, 10, 5) = (O, O, O) >
{
X + 2y + 5z = O
-> 2x + 4y + 10z = O
X + 2y + 5z = O
b) x(l, 2, 3) + y(l, 4, 9) + z(1, 8, 27) = (O, O, O)->
_>{2: :4;: 8:: ~3x + 9y + 27z = O
_{X + Y + 3z = O
y + z = O
{X+ Y + z = O {X + Y + z = O
- y + 3z = O - y + 3z = O
y + 4z = O z = O
{
X + Y + 3z = O3y + 3z = O5y + 5z = O
{
X + Y + z = O
2y + 6z = O
6y + 24z = O
Escalonando o sistema, vem:
Exemplos
1) O conjunto L = {(I, 1,0, O); (0,2, 1, O); (O, 0, 0, 3)} C R 4 é L.I. pois:
x(l, 1, 0, O) + y(O, 2, 1,0 z(O, 0, 0, 3) = (O, 0, 0, O) _>
>1:+ 2y : ~
x=y=z=Oy = °
3z = °2) O conjunto L = {(l, 1,0, O), (O, 1,0, O), (2, 1,0, O)} C]R4 é L.D. pois:
x(1, 1, 0, O) + y(O, 1, 0, O) + z(2, 1, 0, O) =(0, 0, 0, O) >
{X + 2z = ° {x + 2z = °:::::=> :::::=>x+y+ z=O y- z=o
Sendo indeterminado o sistema obtido, então há outras soluções, além datrivial, para a igualdade condicional de que partimos.
Nota: Convencionaremos que o conjunto vazio (~C V) é L.I. Como para um subconjunto L C V deve valer uma, e uma só, das duas definições anteriores e a segunda destas pressupõe elementos em L, fica justificada esta convenção.
EXERCÍCIOS RESOLvmos1. Verificar quais dos seguintes conjuntos de vetores do espaço vetoriál IR3
, são linearmenteindependentes.
a) {(I, 1, O), (1,4,5), (3, 6, 5)}
b) {(I, 2, 3), (1,4, 9), (1, 8, 27)}
c) {(I, 2, 1), (2,4,2), (5, 1O,5)}
Solução
a) Façamos: x(l, 1, O) + y(l, 4, 5) + z(3, 6, 5) = (O, O, O).
Escalonando o sistema, vem: X + 2y + 5z = O e o sistema é indeterminado, isto é, alémda solução trivial admite outras soluções; portanto o conjunto é linearmente dependente.Achar uma relação de dependência entre os 3 vetores.
2. Se u, v e w são vetores de um espaço vetorial V tais que u E Iwl e v E Iwl, mostrar que{u, v} é linearmente dependente.
Solução
Os vetores u e v são da forma u = ÀW e v = OIW, com À, 0/ E IR. O caso 0/ = À = Oé trivial pois então u = v = o e basta ver que lu + Iv = o. Supondo por exemplo À '* O,então ÀV - O/U = À{OIW) - O/(Àw) = (ÀO/ - O/À)w = Ow = o; logo {u, v} é L.D.
68 69
L
3. Consideremos, no espaço vetorial IR2, osvetores:u = (1 - 01,1 + a)ev = (l + 01,1 - a)onde a * O. Mostrar que {u, v} é LJ.
Solução I'
Solução
Para que o conjunto seja L.I. é necessário e suficiente que:
x(1, O, a) + y(1, 1, a) + z(l, 1, 012) = (O, O, O) (1)
Seja X(l - 01,1 + a) + y(l + a, 1 - a) = (O, O)só se verifique para x = y = z = O. Ora de (l), vem:
ou, o que é equivalente,
{(1 - a)x + (1 + a)y = O
(1 + a)x + (1 - a)y = O
Esse sistema linear e homogêneo não deve ter soluções diferentes da trivial, para o queé necessário e suficiente que a matriz: {
x+y+z=O
y+z=O
(012 - a)z = O
(
l-a
1+011 +01)l-a Como a * Oe a * 1 então 01
2 - a * O, o que acarreta z Oe daí vem y = Oe x = O.
(1)
seja inversível, isto é, que o sistema seja de Cramer. Como a foi tomado não nulo estamatriz é inversível e daí {u, v} é L.I.
4. Mostrar que o conjunto de vetores {I, x, x2, 2 + x + 2x2} de P3 (IR) é L.D. e que qualquer subconjunto de três elementos dele é L.I.
Solução
Se fIzermos aI + (3x + 'Yx2 + 0(2 + x + 2x2) = O
6. Mostrar que se o conjunto {u, v, w} de vetores de um espaço vetorial V for L.I., o mesmoacontecerá com o conjunto {u + v, u + w, v + w}
Solução
Com efeito, façamos:
x(u + v) + y(u + w) + z(v + w) = o
Daí, segue:
(o zero do segundo membro de (1) é o polinômio identicamente nulo), virá:
a + 20 + «(3 + o)x + ('1 + 20)x2 = O.
(x + y)u + (x + z)v + (y + z)w = o
Mas o conjunto {u, v, w} é L.I. Então:
= O
_{X + ~ _ z: ~2z = O
{
Xx + Y+z=O
y+z=O
{
X+ Y =0
-y+. z=oy+z=O
e o sistema só admite a solução trivial x = y = z = O.
Logo, o conjunto {u + v, u + w, v + w} é L.I.
Escalonando o sistema, vem:
o sistema admite outras soluções, além da trivial, o que nos leva a concluir que o conjunto é L.D.
Um subconjunto qualquer do conjunto dado, por exemplo {I, x, x2} é L.I.; de fato,aI + (3x + 'Yx2 = O, implica a = (3 = '1 = O pelo princípio de identidade de polinômios.Nos 3 demais casos procede-se do mesmo modo.
{
a + 20 = O
(3 + o = O
'1 + 20 = O
Pelo princípio de identidade de polinômios, teremos:
5. Mostrar que o conjunto {(1, O, a), (1,1,01),(1,1, a2)} de vetores do IR3 é L.I., desde quea*Oea*1.
7. Mostrar que o conjunto de vetores {(l - i, O, (2, - 1 + O} de~2 é L.D. sobre ~ mas L.I.sobre IR.
70 71
L
Solução
No primeiro caso, devemos mostrar que existem zl' Z2 E <C, tais que
Zl(l - i, i) + z2(2, - 1 + O = (O, O), com Zl oF Oou Z2 oF O. (l)
É fácil verificar que Zl = 1 + i e Z2 = - 1 satisfazem (1), o que mostra que o conjunto éL.D. sobre <C. No segundo caso, sendo x, y E IR tais que
x(l - i, O + y(2, - 1 + O = (O, O),
vem:
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1. Quais os subconjuntos abaixo do IR3 são linearmente independentes:
a) {(l, O, O), (O, 1, O), (O, O, 1), (2, 3, 5)}
b) {(l, 1, 1), (1, O, 1), (1, O,. - 2)}
c) {(O, O, O), (l, 2, 3), (4, 1, - 2)}
d) {(l, 1, 1), (1, 2, 1), (3, 2, -I)}
8. Mostrar que o conjunto {I, cosx, cos2x} de vetores de CO-1T, 1Tl) é L.I.
Solução
Suponhámos:
f(l - Ox + 2y = O
l ix + (i - l)y = O
Escalonando o sistema, vem: x + (i + l)yLJ. sobre IR.
{
X + (i + l)y = O
ix + (i - l)y = O
= O e daí x = y = O. Logo o conjunto é
2. Quais dos subconjuntos abaixo de P4 (IR) são linearmente independentes:
a) {(I, x-I, x2 + 2x + 1, x2}
b) {2x, x2 + 1, x + 1, x2 - I}
c) {x(x - 1),x3, 2x3
- x2, x}
d) {x4 + x-I, x3- x + 1, x2 - I}
3. Demonstrar que o conjunto {I, eX, e2X} de vetores de C( lO, 1l) é L.I.
4. Mostrar que o conjunto {I, eX, xeX} de vetores de COO, 1l) é L.I.
li! + 13 cos x + '1 cos 2x = O,Vx E [-1T, 1Tl.
Então:
X=-1T====> lI!-{3+'Y=O
x= O >lI!+{3+'Y=O
*5. Demonstrar que é L.I. o conjunto
{I, (x - a), (x - a)2, ... , (x _ a)n-l}
de vetores de Pn- l (IR), onde a éum número arbitrário.
Escalonando, vem:
x= 1T"2 > -'1=0
* 6. Mostrar que o subconjunto {Xl' X2' ... ,xn} de vetores de um espaço vetorial V é L.D. se,e somente se, existe um inteirô k (1 .;; k .;; n) tal que Xk é combinação linear dos demais vetores do conjunto.
{
lI!- {3+ '1=0
2{3 = O
13 + 2'1 = O
Daí li! = 13 = '1 = O e o conjunto é L.I.
9. Mostrar que o conjunto {I, sen2 x, cos 2 x} de vetores de C( [- 1T, 1Tl) é L.D.
Solução
Basta lembrar que sen2 x + cos2 x-I = O.
72
7. Determinar m e n para que os conjuntos de vetores do IR3 dados abaixo sejam L.I.
a) {(3, 5m, 1), (2, 0,4), (l, m, 3)}
b) {(1, 3, 5), (2, m + 1, lO)}
c) {(6, 2, n), (3, m + n, m - I)}
8. Seja {u, v, w} um conjunto L.I. de vetores de um espaço vetorial V. Provar que oconjunto {u + v - 3w, u + 3v - w, v + w} é L.D.
9. Quais dos seguintes subconjuntos do C3 são L.I. sobre C?
(a) {(i, 1, O), (l + i, 2, O), (3, 1, O)}
(b) {(i, 1, O), (O, 1, O, (O, i, O}
(c) {(i, 1, O), (2 + i, 3i, 5 - O, (2,4 + 4i, 4 - 60}
10. Suponha que {Vl' ... ,Nn} é um subconjunto L.I. de um espaço vetorial. Mostrar que{alv1 , ..• ,anvn} também é L.I., desde que os escalares ai sejam todos não nulos.
73
*11. Suponha que {Uh' .. , Ur, Vl, ... , vs} é um subconjunto L.I. de um espaço V. Mostrarque
Suponhamos (Xl *" O. Então existe o inversc:fde&l e multiplicando a igualdade acima por este inversojeremos:
Ul + ((XI-ICXz)~ + ... + ((Xl- l (Xn)Un = o.
Daí
*12. Se {UI' ... , ui, ... , Uj, ... , un} é L.I., mostrar que
{Ui> ... , ui> ... , Uj + o<ui, ... , un}
também é L.I., para todo escalar 0<.
Ul = (-(XI-ICXz)~ + '" + (-(Xl-l(Xn)un
o que mostra que Ul é combinação linear de U2, ... , uno Analogamentese procede quando (Xj *" O. -
*13. Sejam 0<1' ••• , O<n números reais distintos 2 a 2. Provar que o conjunto de funções{eO<l t, ... , eo<nt} é L.I.
* 14. Provar que o conjunto de funções {eat cos bt, eat sen bt}, onde a e b são números reais eb "* O, é L.I.
2. PROPRIEDADES DA DEPENDÊNCIA LINEAR
P4 . Se Sl e S2 são subconjuntos fmitos e não vazios de V, se Sl C S2 e Sl éL.D., então S2 também é L.D.
Prova - Suponhamos Sl ::: {Ul, ... , ur} e S2 = {Ul, ... , Ur, ... , ut}·
Por hip6tese existem números reais (Xl' ... , (Xr, não todos nulos, de ma-neira que \
(XIUl + ... + (Xrur = o.
Daí aproveitando os escalares e completando com zeros teremos
(XIUl + ... + (XrUr + OUr + l + ... + OUt = O.
Como nem todos os escalares que figuram nesta última igualdade são nulos,então pode-se dizer que S2 é um conjunto L.D. -
Consideremos um espaço vetorial V sobre IR.
Pl . Se um conjunto fmito L C V contém o vetor nulo, então esse conjunto éL.D.
Prova - Seja S = {o, U2, . . . , un}. Então, evidentemente
(xo + O~ + ... + OUn = o
para todo (X *" O. Isso é suficiente para concluir que S é L.D.•
Se S = {Ul , ... , un} C V é L.D., então um dos seus vetores é combinaçãolinear dos outros. (Veja exercício proposto n9 6, § 1.)
Prova - Por hipótese existem números reais (Xl, ... , (Xn, nem todos iguaisa zero, de modo que
(XIUl + (X2~ + ... + (XnUn = O.
(1)(Xl Ul + ... + (Xn Un + (XU = o
Ps . Se Sl e S2 são subconjuntos finitos e não vazios de V, com Sl C S2 eS2 L.I., então Sl também é L.I.
Prova - Se Sl fosse L.D., então o mesmo aconteceria com S2' devido àpropriedade anterior. -
P6 • Se S = {Ul,"" un} é L.I., e para um certo u E V tivermos S U {u} == {Ui> ... , un , u} L.D., então o vetor u é combinação linear dos vetores
ul, ... ,un,istoé,u E [S].
Prova - Por hip6tese tem-se uma igualdade
onde nem todos os escalares que nela figuram são nulos. Afirmamos queum dos escalares não nulos é o (x. De fato, se (X = O, então
(XIUl + ... + (Xnun = o.
Como porém o conjunto S é L.I., esta última igualdade s6 é possível com(Xl = ... = (Xn = O. Daí, se (X = O, então (X = (Xl = ... = (Xn = O, o queé impossível.
oconforme já
Se S = {u} C V eu*" o, então S é L.I.
Prova - Suponhamos (xu = o. Como u *" o, então (Xvimos nas propriedades dos espaços vetoriais. -
7475
Sendo a '* °podemos multiplicar a igualdade (1) por a- l e teremos:
(a-lal)Ul + ... + (a-lan)Un + U = o
ou ainda
u = (-a-lal)Ul + ... + (-a-lan)un
igualdade que nos mostra que U E [S].•
P7 • Se S = {Ul' ... , Uj, ... , un} e Uj E [S - {Uj}] (isto é, Uj é combinaçãolinear dos demais vetores de S), então
[S] = [S - {Uj}].
Prova - Faremos a prova supondo j = loque nada tira em generalidàde.
É óbvio que [S - {ud] C [S], pois S - {ud C S.
Por outro lado, dado um vetor u E [S], então:
u = alul + ... + anun (ai E IR). (1)
Como porém o vetor Ul está em [S - {ud], por hipótese, então:
Ul = 13211:2 + ... + 13nun' (2)
Substituindo (2) em (1) iremos obter
u = al (13211:2 + ... + 13nun) + a211:2 + ... + a nun·
Daí
u = (al132 + ~)11:2 + ... + (al13n + an)un
o que prova que UE [S - {Ul} ] e conseqüentemente que [S] C [S - {Ul}]' •
Exemplo - Observe no IR4 o seguinte sub-espaço
S = [(1, 1, 0, O), (O, 1,0, 2}, (O, 0, 1, O), (O, 2, -1,4)]."É fácil perceber a seguinte relação
2(0, 1, 0, 2) - (O, 0, 1, O) = (O, 2, -1, 4).
A propriedade acima nos garante, então, que
S = [(1, 1, 0, O), (O, 1, 0, 2), (O, 0, 1, O)].
3. BASE DE UM ESPAÇO VETORIAL FINITAMENTEGERADO
Defmição 3 - Seja V um espaço vetorial finitamente gerado. Uma base de Vé um subconjunto finito B C V para o qual as seguintes condições se verificam:
76
(a) [B] = V.
(b) B é linearmente independente.
Exemplos
1) {(1, O), (O, I)} é uma base do IR2
2) {(I, 0, ... , O), (O, 1, 0, ... , O), ... , (O, ... , 0, I)} é uma base do
3) {(1, 0, ... , O), (O, 1, 0, ... , O), ... , (O, ... , 0, I)} é uma base doespaço vetorial (Cn, considerado como espaço vetorial sobre (C.
4) O conjunto das m· n matrizes reais
(
1 ° 0) (0 1 ° 0) (0 ° 0)00 0 OQO O .
~ ~.:::. ~ , ~"'~"~" ~ '''''. ~ ~ ~
é uma base do espaço Mmxn (IR).
5) Os n + 1 polinômios 1, t, ... , tn formam uma base de Pn (IR) pois
(a) Dado f E Pn (IR), existem (e são únicos) ao, al, ... , an E IR de modoque
f(t) = ao + alt + ... + antn, Vt E IR,
o que é conseqüência da própria definição de polinômio.
(b) Se ao + alt + '" + antn = 0, Vt E IR, então ao = '" = an = 0,devido ao princípio dos polinômios identicamente nulos.
6) Se indicamos por o o vetor nulo de um espaço vetorial qualquer, entãouma base do espaço {o} é, conforme nossas convenções a respeito, o conjunto fi).
Nota: As bases exibidas nos exemplos 1, 2, 3, 4 e 5 são chamadas bases canônicasdos espaços IR2, IRn, (Cn, Mmxn(IR) e Pn(IR), respectivamente, devido a sua naturalidade. Obviamente, esses espaços têm outras bases, conforme veremos a se·guir. Deixamos como exercício a verificação nos exemplos de 1 e 4.
Proposição 1 - Todo espaço vetorial finitamente gerado admite uma base.
Demonstração - Indiquemos por V o espaço. Se V = {o}, então ~ é uma base de V devido às convenções a respeito para este caso.
77
Caso contrário existe um subconjunto finito e não vazio S C V, de maneiraque V = [S]. Como S "* {o}, então existem subconjuntos não vazios de S quesão L.I. Tomemos um deles com o maior número possível de elementos. Indicandopor B esse subconjunto, afirmamos que B é uma base de V.
Devido à maneira como tomamos B, para todo u E S - B teremos queB U {u} é L.D. Logo u é combinação linear de B (ver P6 no parágrafo anterior).Usando agora a propriedade P7 , conclui-se que: [B] = [S] = V.
Como, por outro lado, B é L.I., pela própria maneira como foi construído, então B é uma base de V. -
4. DIMENSÃO
Iremos enunciar logo a seguir um resultado bastante importante que diz respeito ao número de vetores das bases de um espaço vetorial finitamente gerado. Suademonstração, contudo, somente será feita no apêndice, ao fim deste capítulo, pelofato de ser um tanto quanto trabalhosa. Esse apêndice é especialmente recomendado aos alunos dos Cursos de Matemática.
Teorema da invariância - Seja V um espaço vetorial finitamente gerado.Então duas bases quaisquer de V têm o mesmo número de vetores.
Apoiados no teorema da invariância, damos a seguinte definição.
Defmição 4 - Seja V um espaço vetorial finitamente gerado. Denomina-sedimensão de V (notação: dim V) o número de vetores de uma qualquer de suasbases. Diz-se também, neste caso, que V é um espaço de dimensão finita.
Decorre da defmição dada e de considerações já feitas nos exemplos após a defmição 3 que:
onde all "* O, a2r 2 "* O, ... ,aprp "* Oé n - p. Para isso, ler novamente o Capítulo 1.
Proposição 2 (Teorema do Completarnento) - Seja V um espaço vetorial de di
mensão n ~ I. Se {UI, ... , ur} C V é um subconjunto L.I. com r vetores e r < n,então existem n - r vetores UH I, ... , un E V, de maneira que B = {UI> ... , ur,
ur +I, ... , un} é uma base de V.
Demonstração - Tomemos uma base C = {VI, ... , Vn} de V e formemosa união:
S = {Uh,'" Ur, VI,"" vn}'
Dentre os subconjuntos de S que são L.I. e que contém UI, ... , ur tomemos umcom o maior número possível de elementos. Seja
B = {UI, ... , ur, VI, ... , vs}
esse conjunto. (Obviamente párticularizamos em B a seqüência dos índices dos elementos Vi> o que não traz nenhum prejuízo à demonstração.) Mostremos que B éuma base de V. Decorre da própria escolha desse conjunto que ele é L.I.
Por outro lado VI, ... , Vs são obviamente combinações lineares de B. Omesmo se pode dizer de VS+1, ••• , Vn devido à propriedade P6 vista neste capítulo.Sendo todos os vetores de C combinações lineares de B, conclui-se, pelo fato de Cser uma base de V, que todos os vetores de,\' também são combinações linearesde B. Portanto B é uma base de,V. -, .
Proposição 3 - Todo sub-espaço~etorial de um espaço vetorial fmitamentegerado é também finitamente gerado.
Deixamos ao leitor a tarefa de concluir que a dimensão do espaço solução deum sistema homogêneo escalonado
+ atnxn = O
+ a2nxn = O
auxI + al2 x2 + .a2r2x2 + .
1) dim IR? = 2;
2) dim IRn = n;
3) dim Cn = n;
4) dim Mmxn(IR) = m • n;
5) dim Pn (IR) = n + I;
6) dim {o} = O.Demonstração - Seja V finitamente gerado e W um sub-espaço vetorial de V.
Se W = {O}, nada há a provar. Senão, tomemos WI E W, WI "* O. Se W == {ÀIWI: ÀI E IR}, está provado. Senão,existew2 EW,quenãoédaformaÀlwl,isto é, {WI> W2} éL.I. Se W é gerado por{W1> W2}, está terminado. Senão, existeW3 em W, que não é combinação linear de { WI, W2}' E assim por diante. Este processo deve parar senão haveria em V um conjunto L.I. e infinito. -
78
Proposição 4 - Seja Wum sub-espaço vetorial de V. Se dim W = dim V, entãoW = V.
79
Demonstração - Pela proposição 3, W é fmitamente gerado. Logo W temuma base. Toda base de W também é base de V devido à hipótese de quedim W = dim V. Logo todo vetor de V pertence a W. Assim V C W e, comoW está contido em V, segue que V = W.•
5. PROCESSO PRÁTICO PARA DETERMINAR UMABASE DE UM SUB-ESPAÇO DElR" (ou <e")
Um sub-espaço de IRn, em geral, ou é dado pelos seus geradores ou é possívelachar esses geradores. Daremos a seguir um dispositivo prático para achar umabase desse sub-espaço a partir dos seus geradores. Esse processo se baseia em trêsobservações apenas.
Seja V = [UI, ... , Ur] um sub-espaço do IRn .
(I) Se no segundo membro da igualdade acima permutarmos dois dosvetores que lá figuram evidentemente não alteramos o sub-espaço gerado, isto é,
V = [UI, ... , Ui, .. , , Uj, ... , Ur] = [UI, ... , Uj, ... , Ui, ... , Ur]'
(11) Para todo número real Ct tem-se a seguinte igualdade:
V = [UI, , Ui, ... , Uj + Ctui, ... , ur].
De fato, seja U = í3I UI + + í3iUi + ... + í3jUj + ... + {3rur um elementode V. Esse elemento também pode ser escrito da seguinte maneira:
U = {3I UI + + {3iUi - {3jCtUi + + {3jUj + í3jCtUi + + í3rur == {3IUI + + (í3i - í3jCt)Ui + + í3j (Uj + CtUi) + + í3rur'
Logo U E [UI, , Ui, ... , Uj + Ctui, , ur].
Fica como exercício provar que o sub-espaço V contém o sub-espaço geradopor UI, ... , Ui, ... , Uj + CXUi, ... , Ur. (Veja o exercício proposto n9 12,§ 1.)
(111) Se UI , u~, ... , Ur, se apresentam na forma escalonada, ou seja, se onúmero de zeros iniciais de U2 é maior que o de UI e assim sucessivamente, entãoos vetores UI, ... , Ur formam um conjunto L.I. e, portanto dim V = r.
Isso não é difícil de ver. Se os geradores de V não formassem um conjuntoL.I., então teríamos algo como:
UI = Ct2 U2 + ... + cxrur .
Mas isso não é possível pois o número de zeros iniciais de UI é certamente diferente do número de zeros iniciais de Ct2 U2 + ... + cxrur ' devido à nossa hipótesea respeito desses vetores.
80
Exemplo - Seja V = [(2, 1, 1, O), (1, O, 1, 2), (O, -1, 1, 4)] C IR4 . Naprática formamos com esses vetores as linhas de uma matriz simbólica da seguintemaneira:
(~ ~ ~ ~)°-1 1 4
A seguir aplicamos convenientemente as "·operações" (I) e (11) acima até obtermosa situação da hipótese de (III). Vejamos como.
No que fizemos acima a seta indica apenas a passagem de uma etapa para outrado processo. Na primeira passagem permutamos a primeira e a segunda linhas.Na segunda passagem multiplicamos por - 2 a primeira linha e o "resultado somamoscom a segunda linha. Na última passagem somamos a segunda linha com a terceiralinha. Levando em conta (I) e (11) temos que
V = [(1, O, 1, 2), (O, 1, -1, -4), (O, O, O, O)].
Como o vetor nulo pode ser retirado do segundo membro desta última igualdade,então
V = [(1, O, 1, 2), (O, 1, -1, -4)].
Levando em conta (III) concluímos que:
{(I, 0, 1, 2), (O, 1; -1, -4)}. . "
é uma base de V e que dim V = 2.
6. DIMENSÃO DA SOMA DE DOIS SUB-ESPAÇOS
Seja W um espaço vetorial sobre IR. Já vimos que se U e V são sub-espaçosde W, então U () V e U + V também são sub-espaços de W. No caso em que adimensão de W é finita as dimensões de U () Vede U + V estão relacionadasconforme proposição e demonstração abaixo.
81
Proposição 5 - Seja W um espaço vetorial sobre IR de dimensão finita.Se U e V são sub-espaços de W, então:
dim (U íl V) + dim (U + V) = dim U + dim V.
Demonstração - Seja B1 = {UI, ... , ur} uma base de U íl V. Como B1 éL.I. em U e em V, o teorema do comp1etamento nos garante a existência' deVI, ... , Vs E U e Wl, ... , Wt E V de tal modo que B2 = {UI, ... , Ur, VI,' .. ,vs} é base de U e que B3 = {UI, ... , Ur, Wl, " . , Wt} é base de V. Mostremosque
é uma base de U + V.
(a) Seja W E U + V. Então W = U + V (u E U, V E V). Sendo B2 e B3
bases de U e V, respectivamente, podemos representar
U = alul + ... + arur + f31Vl + ... + f3svs
e
v = al'ul + ... + a;ur + f31'Wl + ... + f3íWt
onde as letras gregas indicam, obviamente, números reais.
Daí
W = U + v = (aI + al')ul + ... + (ar + a;)ur + f31 Vl + ... + f3svs ++ f31'Wl + ... + f3tWt.
Logo [B] = V.
(b) Suponhamos
aluI + ... + arur + f31 Vl + ... + f3svs + rlWl + ... + rtWt = o (1)
Então:
aluI + ... + arur + f31 Vl + ... + f3svs = -rlWl - ... -rtWt.
Como o primeiro membro desta última igualdade está em U e o segundo membroestá em V e se trata do mesmo vetor, então:
-rlwl - ... - rtWt E U íl V.
Logo existem o1, . . . , or E IR tais que:
-rlW l - ... - rtWt = 0l Ul + ... + orur'
Daqui tiramos que
0l Ul + ... + 0rur + rl Wl + ... + rtWt = o.
Do fato de B3 ser L.I. , conclui-se então que
82
01 = ... = or = rI = ... = rt = O.
Se rI = ... = rt = o a igualdade (1) fica:
aluI + ... + arur + f31Vl + ... + f3svs = o.
Lembrando que o conjunto B2 também é L.I. tiramos daí que
aI = ... = 01: = f31 = ... = f3s = O.
Com isso provamos que B de fato é um conjunto L.I.
Finalmente observando que dim (U íl V) = r, dim U = r + s, dim V = r + t edim (U + V) = r + s + t, chegamos à fórmula
dim (U + V) + dim (U íl V) = dim U + dim V.•
Exemplo - Consideremos os seguintes sub-espaços de IR4 :
U = [(1, O, 1, O), (O, 1, O, O)] e V = {(x, y, z, t) I x + Y = O}.
Determinemos dim (U íl V) e dim (U + V).
É fácil notar que B = {(l, O, 1, O), (O, 1, O, O)} é uma base de U. Logodim U = 2.
Quanto a V temos:
u E V <=> u = (x, - x, z, t), onde x, z, t E IR <=>
<-> u = x(l, -1, O, O) + z(O, O, 1, O) + t(O, O, O, 1).
Logo V = [(l, -1, O, O), (O, O, 1, O), (O, O, O, 1)].
Pela forma escalonada como se apresentam os geradores de V que aí figurampodemos dizer que:
C = {(1, -1, O, O), (O, O, 1, O), (O, O, O, 1)}
é uma base de V e que dim V = 3.
Por outro lado, decorre da própria definição de soma de sub-espaços queU + V = [B U C]. A partir disto podemos achar uma base de U + V do seguintemodo:
1 O 1 O 1 O 1 O 1 O 1 O
O 1 O O O 1 O O O 1 O O
1 -1 O O -+ O O 1 O -+ O O 1 O
O O 1 O O O O 1 O O O 1
O O O 1 1 -1 O O O O O O
Logo dim (U + V) = 4 e conseqüentemente U + V = IR4• Disto segue que
dim (U íl V) = 1.
83
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1. MostraI que o subconjunto {l, i} é uma base de Q:; sobre IR.
Solução
Os vetores I e i constituem um sistema de geradores de <I: sobre R pois todo elemento deQ:; é da forma ai + bi, com a e b em R. Além disso, se xl + yi = O= O + Oi (com x,y E R), então x = y = O.
2. MostraI que o subconjunto de vetores:
{(O, 2, 2), (O, 4, 1)}
é uma base do seguinte sub-espaço vetorial do R 3:
U = {(x, y, z) E R 3 I x = O}.
Solução
Como (x, y, z) E U se, e somente se, x = O e (O, y, z) = y (O, 1, O) + z(O, O, 1), então{(O, 1, O), (O, O, I)} é uma base de U. Logo dim U = 2. Por outro lado (O, 2, 2) e
'O, 4, 1) ~o m~PM~n(~ PO:' ":r:o(~~r:f
Logo os vetores dados formam uma base de U, pois pertencem a U.
3. No espaço vetorial R 3 consideremos os seguintes sub-espaços:
U = {(x, y, z) E R 3 I x = O} e
V = [(1, 2, O), (3, 1, 2)1.
Determinar uma base e a dimensão dos sub-espaços U, V, U + V e U n V.
Solução
De acordo com o exercício anterior (CO, 1, O), (O, O, I)} é uma base de U. Por outro lado(1, 2, O) e (3, 1, 2) formam uma base de V pois:
(: 2 :)~ o: _: :)e {(l, 2, O), (O, -5, 2)} é L.I.
Determinemos uma base e a dimensão de U + V:
( ~ ~ :)-+(~ : ~)-+(~ : :)-+(~ : ~)O -5 2 O -5 2 O O 2 O O O
Logo U + V = [(l, O, O), (O, 1, O), (O, O, 1)] e U + V = R 3 . Comeqüentementedim (U n V) = dim U + dim V - dim (U + V) = 1. Como o vetor (O, 5,2) está em Ue está em V, então (CO, - 5, 2)} é uma base de U n V.
84
I
4. DeterminaI uma base do R 4 que contenha os vetores (l, I, I, 1), (O, I, -I, O) e (O, 2, O, 2).
Solução
Se tomaxmos o vetor (O, O, O, 1), então o conjunto B = {(l, 1,1, 1), (O, I, - 1,0),(0,0,2,2),(O, O, O, '1)} é L.I. Logo B é uma base do IR4• Obviamente, substituindo (O, O, 0,1) nessabase por qualquer (O, O, O, a)(a '* O) obtém-se outra base do IR4.
5. No espaço vetorial R 3 consideremos os seguintes su1respaços vetoriais: S = [(l, -1,2),(2, I, 1)], T = [(O, 1, -1), (l, 2, 1)], U = {(x, y, z) I x + Y = 4x - z = O} e V == {(x, y, z) I 3x - y - z = O}. Determinar as dimensões de: S, T, U, V, S +T, S n T,T + U e T nU.
:'c -: :) ~ G-; -:)Logo dim S = 2.
b) É imediato que dim T = 2 pois seus geradores já se apresentam na forma escalonada.
c) Os vetores de U são da seguinte forma: (x, - x, 4x) = x(l, -1,4). Logo {(l, -I, 4)} éuma base de U e dim U = 1.
d) Os vetores de V se apresentam assim: (x, y, 3x - y) = x(l, O, 3) + y(O, I, -1).Logo V = [(I, O, 3), (O, I, -1)1. Como os geradores de V que aí apaIecem já estãona forma escalonada, então dim V = 2.
e) (~-~ ~) -----+ (~ -~ _~) --+ (~ -~ _~)O 1 -1 O 1 -1 O O O
1 2 1 O 3 -1 O O 2
Logo dim (S + T) = 3 e daí S + T = R 3•
f) A paItir das dimensões de S, T e S + T, acha-se que dim (S n T) = 1.
g) (~ ~ -~) ~ (~ ~ -~) -----+ (~ ~ -~) ~(~ ~ -~)1 -1 4 1 -1 4 O -3 3 O O O
Logo dim (T + U) = 2.
h) A proposição 5 deste capítulo nos conduzirá a dim (T n U) = 1.
8S
8. Consideremos o sub-espaço vetorial de M3(IR) constituído das matrizes simétricas. Determinar uma base desse sub-espaço.
Solução
Podemos decompor uma matriz simétrica X de M3 (IR) da seguinte maneira:
6. Determinar uma base e a dimensão do espaço solução do seguinte sistema:
{
X-Y-z-t=O
S: 2x + Y + t = O
z-t=O
Solução
Inicialmente escalonemos S:
{
X- Y- z- t=O
S - 3y + 2z + 3t = O
z - t = O
X=(
O O
+ f O OO O
5 1Daí tiramos: z = t, y = - 3" t e x = 3" t.
Logo o conjunto solução de S é
V ={( ~ t, -/ t, t, t ) I t E IR} = {t(+, -~ ,1, 1 ) I t E IR}
Isto mostra que o conjunto
é uma bas~do espaço SOIUr-O de S e que, portanto, a dimensão desse espaço é 1. Uma outrabase de V e{(l, - 5,3,3) .
7. Seja {Ul, u2, ... , un} uma base de um espaço vetorial V de dimensão n sobre <C. Mostrar
que {Ul' ... , un, iUl, ... , iUn} é uma base de V considerado como espaço vetorialsobre IR. (Veja Ex. proposto n'? 8, pág. 52.)
Solução
a) Dado u E V, existem al + bli, ... , an + bni E <C de maneira que u = (al + bli)ul ++ ... + (an + bni)un, pois os vetores ul, ... , un formam uma base sobre <C.
Logo
u = alul + ... + anun + bl(iul) + ... + bn(iun),
o que mostra {Ul' ... , un, iUl, ... , iun } gera V sobre IR.
b) Por outro lado, se
alul +então
(al + bli)Ul + ... + (an + bni)un = O.
Logo al + bli = ... = an + bni = O.
Donde al = ., . = an = b l = ... = bn = O.
Nota: O exercício nos ensina que se a dimensão de V sobre <C é n, sobre IR será 2n.
86
1
É fácil verificar que as seis matrizes em que X se decompôs formam um conjunto L.I.em M3 (IR). Logo essas seis matrizes formam uma base do sub-espaço das matrizes simétricas de M3 (IR) cuja dimensão é, portanto, igual a 6. Lembre-se que M3 (IR) temdimensão 9.
Nota: Generalizando o raciocínio que acabamos de fazer pode-se concluir que o sub-espaço2
das matrizes simétricas de Mn (IR) tem dimensão n ; n enquanto que Mn (IR) tem
dimensão n2. É o que pedimos no exercício 16 a seguir.
9. (Exercício patológico) Mostrar que o conjunto {2} é uma base do espaço V = {x E IR II x > O} cuja adição é dada por u $ v = uv e a multiplicação por escalares por O! • u =
= uO!, VO! E IR.
Solução
Lembremos que o vetor nulo desse espaço é o número 1.
(a) A teoria dos números reais nos ensina que dado um número real u > O, existe umúnico número real O! tal que u = 20! : O! = log2 u. Logo u = 20! = O! • 2.
(b) Se O! • 2 = 1 (vetor nulo), então 20! = 1, donde O! = O.
Nota: É claro que todo número real maior que zero e diferente de 1 constitui uma basede V sobre IR.
10. Sejam U e V sub-espaços vetoriais de um espaço de dimensão n. Supondo que dim U > ~
e que dim V > ~, prove que: U n V *" {o}.
Solução
Consideremos a fórmula dim U + dim V = dim (U + V) + dim (U n V). Se U n V == {o}, teríamos dim (U n V) = O. Daí dim (U + V) = dim U + dim V > n. Absurdopois U + V é sub-espaço de um espaço de dimensão n.
87
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1. Dar uma base e a dimensão do sub-espaço W de IR4 onde W = {(x, y, z, t) E IR4 I x - y= y e x - 3y + t = O}.
11. Para que valores de a E IR o seguinte conjunto é uma base de IR3:
B = {(a, 1, O), (1, a, 1), (O, 1, a)}.
2. Sendo W e U sub-espaços do IR4 de dimensão 3, que dimensões pode ter W + U se(1, 2, 1, O), (-1, 1, O, 1), (1, 5, 2, 1) é um sistema de geradores de W n U?
3. Sendo W o sub-espaço do exercício 1 .e U o sub-espaço do IR4 gerado por (1, 2, 1, 3) e(3, 1, 1, 4), determinar uma base e a dimensão de U + W e de U n W.
4. Achar uma base e a dimensão do seguinte sub-espaço de IR4: U = {(x, y, z, t) I x - y = O
e x + 2y + t = O}.
5. No espaço vetorial IR3 consideremos os seguintes sub-espaços:
U = {(x, y, z) I x = O}, V = {(x, y, z) I y - 2z = O} e
W = [(1, 1, O), (O, O, 2)1.
12. Sejam uI' ... , Un vetores de um espaço vetorial V. Provar que se cada vetor u de S == [UI' ... ,unI admite uma única representação como combinação linear de uI> ... , Un,então os vetores UI> ... , un formam uma base de S.
13. Suponha que {u I> ... , un} é uma base de um espaço vetorial. Mostrar que {UI' UI ++ U2, ... 'UI + U2 + ... + un} também é uma base desse espaço.
14. Considere o seguinte sub-espaço vetorial de ce3:
W = [(1, O, i), (1, 1 + i, 1 - i), (1, -1 - i, - 1 + 3i)1
Determinar uma base desse sub-espaço.
7. Mostrar que os polinômios 1,1 + t, 1 - t2 e 1 - t - t2 - t3 formam uma base de P3 (IR).
6. Detemúnar uma base e a dimensão do sub-espaço de M3 (IR) constituído das matrizesanti-simétricas.
8. Determinar uma base e a dimensão do espaço solução de cada um dos seguintes sistemas lineares homogêneos:
Determinar uma base e a dimensão de cada um dos seguintes sub-espaços: U, V, W, U n V,V + W eU + V + W.
{(Ulo o), ... , (um, o), (o, VI), ... , (o, vn)}
é uma base de U X V.
16. Determinar a dimensão dos seguintes sub-espaços de Mn (IR):
a) Sub-espaço das matrizes simétricas;
b) Sub-espaço das matrizes anti-simétricas;
c) Sub-espaço das matrizes A tais que A = 2At.n
d) Sub-espaço das matrizes A = (aij) tais que L aii = o.i= 1
15. Sejam U e V espaços vetoriais sobre IR de dimensões m e n, respectivamente. Considere oespaço vetorial U X V cuja adição é dada por
(UI, VI) + (u2, V2) = (UI + U2' vI + V2)
e a multiplicação por escalares por IX (u, v) = (IXU, IXV).
Admitindo que {UI> ... , um} e {Vlo ... , vn} são bases de U e de V, respectivamente,prove que:
b){ x + y + z. = O2x - y - 2z = O
x + 4y + 5z = O
d){ x - y - z - t = O3x - y + 2z - 4t = O
2y + 5z + t = O
a){2: =:~::3x + 2 Y = O
C){2X - 2y + z = O3x - y + 3z = O
3y + 4z = O
9. Mostrar que as matrizes:
(~ ~) .(: ~). (: ~), G:) 7. COORDENADASformam uma base de M2 (IR).
10. Determinar uma base de IR4 que contenha os seguintes vetores (1, 1, 1, O), (1, 1, 2, 1).
Vamos trabalhar agora com bases ordenadas de wn espaço vetorial V. Umabase ordenada é uma base na qual fixamos quem é o primeiro vetor, quem é o segundovetor, etc.
88 89
8. MUDANÇA DE BASE
Po"...to a matriz das coonl,mui.. de f(t) é (-~ ) "m "laç<o à b"", md,·
nada B.
n
Vj = L aijUi (j = 1,2, ... , n).i= 1
Ou simplesmente
A partir de agora, diremos apenas base em vez de base ordenada, para facilitaro texto. \
Seja V um espaço vetorial de dimensão n e consideremos duas bases de V:B = {Ul, ... , un} e C = {Vl, ... , vn}' Então existe uma única família deescalares aij de maneira que
Vl = a11u l + ... + antun
{,
CJou
Seja V um espaço vetorial de dimensão finita. Dada uma base ordenada
de V, então todo vetor v desse espaço é combinação linear de B. Ou seja, existemal, ... , an E IR de modo que:
v = alul + ... + anun.
É fácil provar que os escalares que figuram nessa igualdade estão univocamentedeterminados. De fato, suponhamos
v = alul + + anun = ~lUl + ... + ~nun'
Então: (al - ~l)Ul + + (an - ~n)un = o.
Como o conjunto B é L.I., então al - ~1 = ... = an - ~n = O e daí
al = ~1, a2 = ~2' ..• , an = ~n'
Defmição 5 - Os escalares al, ... , an que figuram na igualdade v =alUl ++ ... + anun, conforme as considerações acima, são chamados coordenadas dovetor v em relação à base ordenada B.
É conveniente, por outro lado, associar uma matriz às coordenadas do vetoru. Assim, se u =alul + ... + anun, em relação à base ordenada B ={ut. ... , u n},
considera-se a matriz n x 1
Defrnição 6 - A matriz quadrada de ordem n
+ Yl = 1 e {x2 + Y2 = O >Yl = O Y2 = 1
apenas se não houver possibilidades de confusão, como a matriz das coordenadas deu em relação à base ordenada B.
Nota: É evidente a necessidade de trabalhar com bases ordenadas de V (não apenasbases de V) para podermos considerar a matriz de coordenadas como foi definida acima. Sem ordenar a base, não saberíamos qual seria o al, o a2, etc.
Exemplo - É fácil verificar que B = {1, 1 + t, 1 + e} é uma base ordenada de P2(IR). Achemos as coordenadas de f(t) = 2 + 4t + e em relação a essa baseordenada:
2 + 4t + t2 = xl + y(1 + t) + z(1 + t2) ->
2 + 4t + t2 = (x + Y + z) + yt + zt2 >
z = 1, y = 4, x + y + z = 2 => x = -3, y = 4 e z = 1.
(
a11 a11 a1n)
P = ~~~ ..~~2 ~~.anl an2 '" G:nn
chama-se matriz de mudança da base B para a base C.
Exemplos
1) Qual a matriz de mudança da base B = {I, 1 + t} para a base {l, t} noespa.ço P1 (IR)?
{I = XlI + Yl(l + t) _> {Xl
t = X2I+ Y2(1 + t)
90 91
Três problemas importantes se apresentam no que se refere a mudanças deba~. .
é a matriz pedida.
2) Se B = C, obviamente a matriz de mudança de C para B ou vice-versa éa matriz idêntica.
Dos diagramas ao lado decorre quePQ = QP = In. Logo P é inversívele p- 1 é simplesmente a matriz de múdança de C para B.
1, Yl = 0, X2> Xl
Problema 1 - Se a matriz de mudança da base B para a base C é P = (aij)
e a matriz de mudança da base C para uma outra base D (do mesmo espaço) éQ = Uhj), qual a matriz de mudança de B para D?
Suponhamos B = {UI, ... , un}, C = {VI,"" vn} e D = {Wl"'" wn}.A definição de matriz de mudança nos garante então que:
n
Vj L aijUi (j = 1, ... ,n) ei=l
n
Wk = L ~jkVj (k = 1, ... , n).j=l
Problema 2- Se a matriz das coordenadas de u E V em relação à base B é:
x~ (Je a matriz de mudança de base de B para C é P = (aij), qual a matriz das coordenadas de u em relação â base C?
Seja
Daí
t (t aij~jk) Ui (k = 1, ... , n).1=1 J=l
essa matriz.
n
Como cada Vj = L aijUi (j = 1, 2, ... ,n), entãoi=l
i=l j =1
n n nu= L XiUi = L Yj L aijUi =
i=l j=l i=l
Então o termo geral da matriz de mudança da base B para a base D é dadon
por L aij ~jk que é o termo geral de P.Q. Logo a matriz de mudança de B para Dj=l
é a matriz PQ.
Nota: Uma conseqüência do que acabamos de ver é que uma matriz de mudançade bases é sempre inversível. Senão vejamos.
Sejam P a matriz de mudança de B para C e Q a matriz de mudança de Cpara B.
n
Temos então u = Ln
xiui = L
t (t a ijYj) Ui·1=1 J=l
92 93
Devido à unicidade das coordenadas segue que:
n
Xi = L QijYj (i = 1, 2, ... , n). j =1
ou
Solução
a) Quanto à base canônica as coordenadas são as próprias componentes do vetor, ouseja, 2, 1 e 4.
b) u = x(l, 1, 1) + y(l, 0,1) + z(l, O, -1) >
{
X+ Y +Z=2
> x = 1
x+y-z=4
base de V?
Xn = Qn1Y1 + Qn2Y2 + ... + QnnYn·
Usando a notação matricial obtemos a relação desejada
X = py
Resolvendo o sistema obtido, encontramos x = 1, y = 2 e z = - 1. Logo as coordenadas de u neste caso são I, 2 e-L A matriz das coordenadas de u é
(: -~)
doM,(m) = {(: ':Y(~ :). (: ~). (: :)}Solução
(1 -1) (1 0) (0 1) (0 0) (0 0)=x +y +z +t =>20 01 00 20 12
2. Determinar as coordenadas da matriz
ui = o.n
Lj=l
nSuponhamos L XjVj = O. Então
j=l
que equivale ainda a Y = p- l X.
Problema 3 - Se {UI> •.• , un } é uma base de Ve P = (Qij) é uma matrizn
inversível, então os n vetores Vj = L QijUi (j = 1, ... , n) também formam umai=1
n
Daí L QijXj = O (i = 1, 2, ... , n). Como este sistema é homogêneo e a matrizj=l
dos seus coeficientes é P (inversível), então Xl = ... = Xn = O. Logo {V1, ••. , vn } éL.I. e portanto também é base de V.
->
x
x
y
1
= -1
2z + t = 2 >
+ 2t = °
x=
y = -15z = -4
t=_-.L2
Logo as coordenadas pedidas são 1, - 1, ~ e - ; .
EXERCÍCIOS RESOLvmos1. Determinar as coordenadas do vetor u = (2, I, 4) do IR? em relação às bases:
a) Canônica.
b) {(l, 1, 1), (1, O, 1), (1, O, -I)}.
3. Determinar as coordenadas do polinômio 1 + 2t - t3 E P3 (IR) em relação
a) à base canônica desse espaço;
b) à base {I, 1 - t, 1 - t2 , 1 _ t 3}.
94 95
- b 2
Solução
a) As coordenadas neste caso são obviamente 1, 2, O e -1.
b) 1 + 2t - t3 = a1 + b(l - t) + cO - t2) + dO _ t3) =>
a + b + c + d = 1
=>- c o
Solução
Por definição:
é a matriz de mudança de B para C. Para achar a matriz de mudança de C para B é sódeterminar a inversa dessa matriz:
6. Considerando os dados do exercício anterior, se as coordenadas de um vetor u em relaçãoà base B são 1, 1 e 2, quais as coordenadas desse vetor em relação à base C?
Solução
Sejam a, b e c essas coordenadas. Então:
- d = -1
Logo as coordenadas são: 2, - 2, O e 1.
4. Achar a matriz de mudança da base
B = {(l, 1, O), (O, 1, O), (O, O, 3)}
para a base canônica do IR?Solução
(1, O, O) = a(l, 1, O) + b(O, 1, O) + c(O, O, 3)
(O, 1, O) = dO, 1, O) + eCO, 1, O) + f(O, O, 3) >(O, O, 1) = g(l, 1, O) + h(O, 1, O) + i(O, O, 3)
rb
= 1
{: +e
=0
,{: + h
=0
= O, = 1 =0
3c = O 3f = O 3i = 1ri CO f=Ob = -1 e = 1 e h = O
c = O f = O. 11 =-
3
Logo:
(-:O
D é a matriz pedida.
O
5. No espaço IR3 consideremos as bases B == {e}> e2' e3} e C == {gl' g2, g3} relacionadas daseguinte maneira:
(:2 1 O
D-(:1 2 O 1
1 O O
(:2 1 ' 1 .()
D- (:,I
2' O 1,,O 21-1 1
(:2 O: ~L~)
(:' 2 2 2,1 O: 1 O -1 ~
O 1: _l 1- ~: 2 2 2
Portanto a matriz de mudança de C para B é:
2
-1
2
O
O
O
l',I
2 I OII 1
1,-, 2
gl = el + e3
g2 = 2eI + e2 + e3
g3 = e1 + 2e2 + e3
Determinar a matriz de mudança de B para C e de C para B.
96 91
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
0Determinar as coordenadas do vetor u = (4, -5, 3) E IR3, em relação às seguintes bases:\-') , .a canolllca;
b) {(l, I, I), (I, 2, O), (3, I, O)};
c) {(l, 2, 1), (O, 3, 2), (I, I, 4)}.
2. Determinar as coordenadas de I - 2i E (C em relação à seguinte base de Ir sobre IR:{I - i, I + i}.
(;;~eterminar as coordenadas do vetor (l, I, i) E (C3, em relação à base (l, O, O), (O, i, O),~-" (I, i, I + i).
Determinar as coordenadas do polinômio t3 em relação à seguinte base de P3 (IR):{I, 2 - t, t2 + I, I + t + t3}.
A matriz de mudança de uma base B do IR2 para a base {(I, I), (O, 2)} desse mesmoespaço é:
(: ~)Determinar a base B.
6. A matriz de mudança da base {I + t, I - t2 } para uma base C ambas do mesmo sub-espaçode P2 (IR) é
Determinar a base C.
gl = el - ~ - e3
g2 = 2e2 + 3e3
g3 = 3el + e3
a) Determinar as matrizes de mudança de B para C e de C para B.
b) Se um vetor u de IR3 apresenta coo'rdenadas I 2 3 I - B ., e , em re açao a ,quais ascoordenadas de u relativamente a C?
8. Considere o seguinte sub-espaço vetoria! de M2 (IR):
U={(: :) IX-'_'=O}
a) Mostrar que os seguintes subconjuntos de M2(IR) são bases de U:
B=W :) (: :) (: :)}.
c={(: :) (:-~) (: :)}b) Achar a matriz de mudança de B par,a C ea de C para B.
c) Achar uma base D de U, de tal manej.ra que a matriz de mudança de D para B seja:
(5)seja B = {UI' ... , un} uma base do espaço vetorial V e seja C = {vI" .. ,vn} onde- Vi = un _ i + I (i = 1, ... , n). Provar que C é uma base de Ve calcular a matriz de
mudança de B para C.
® Seja B = {UI" .. , un} uma base do espaço vetorial Ve seja C = {UI' UI - u2" .. ,uI -"", ••0 _ un}. Mostrar que C é também uma base de V. Achar as matrizes de mudança de base
de B para C e de C para B.
APÊNDICE 111
Teorema da Invariância
Lembremos que o Teorema da Invariância, já enunciado ria pág. 80, afirmaque todas as bases de um espaço vetorial dado têm o mesmo número de vetores.
Precisaremos de três lemas para poder provar o Teorema da Invariância.
Lema 1 - Seja B = {u}, Ü2, ••. , un} urpabase de um espaço vetorial V.Se u E V e ainda se
(1)
98 99
com ai =1= 0, então o conjunto C = {Ul, ... , ui_I> U, ui+I> ... , u n} também éuma base de V.
Teorema da invariância - Duas bases quaisquer do mesmo espaço vetorialfinitamente gerado têm o mesmo número de vetores.
Demonstração - Sejam B = {UI> ... , un } e C = {vI, ... , vrn } duas basesquaisquer de V. Como B é base de V e C é L.I., então m < n. Analogamente,como C é base de V e B é L.I. , então n < m. Logo m = n. -
é também uma base de V.
A repetição desse raciocínio nos levará à conclusão de que {UI, U2, ... , un} é
uma base de V. -
Lema 3 - Suponhamos V como no lema anterior. Então todo subconjuntode V que seja L.I. tem no máximo n .vetores.
Demonstração - Suponhamos que exista S = {UI, , un , un+I> ... , udC V que tenha t > n vetores e que seja L.I. Então B = {UI, , un} tem n vetorese é um subconjunto L.I. Logo B é base de V devido ao lema anterior. Daí
3al, ... , a n E lR I un+1 = alUI + ... + anun.
Então alUI + ... + anun + (-l)un +1 = o o que vem mostrar que o conjunto S
é L.D. Absurdo. -
Também não podemos ter J32 = ... = J3n = 0, senão {UI, Uz} seria L.D. e, portanto, o mesmo aconteceria com o conjunto B. Admitindo que J32 =1= °teremos,em virtude do lema anterior, que
{UI, Uz, V3, •.. , vn}
(2)
(3)
(4)
Demonstração - Faremos a demonstração supondo i = 1 para facilitar otrabalho com os índices.
(a) Como ai =1= 0, da igualdade (1) da hipótese segue que
UI = J3u + J32~ + ... + J3nun
(b) Suponhamos
o d (.I - -1 (.I - -1 (.I _ -1n e jJ - ai ,1"'2 - -ai Q:z, ••• , jJn - -ai an.
Seja v E V. Então existem 'YI, ... , 'Yn E lR de forma que
v = 'YIUI + 'Y2U2 + ... + 'Ynun
Substituindo (2) em (3) teremos:
v = ('YIJ3)U + ('YIJ32 + 'Y2)U2 + ... + ('YIJ3n + 'Yn)un .
Ficou provado assim que o espaço V é gerado por
{u, U2, ... , un}.
xu + X2 Uz + ... + XnUn = o
com x, X2, ... , Xn em lR. Substituindo (1) em (4) teremos:
(xal)uI + (xa2 + X2)U2 + ... + (xan + xn)un = o.
Como B é L.I. desta última igualdade decorre que:
xal = 0, xa2 + X2 = 0, ... , xan + Xn = O.
Mas ai =1= O. Logo x = 0, X2 = 0, " . , Xn = O. _
Lema 2 - Suponhamos que exista uma base de V com n vetores. Então seB = {Ul> " . , un} C V é LI. e possui n vetores, B é também uma base de V.
Demonstração - Seja C = {VI, ... ,vn} uma base de V. Então:
UI = alvl + ... + anvn (ai,"" an E lR).
Não podemos ter todos os escalares nessa igualdade nulos, pois isto implicariaque UI = o o que é impossível já que o conjunto B é L.I. Lógo um dos ai é nãonulo. Suponhamos ai =1= O. O lema anterior nos assegura então que:
{UI, V2, ... , vn}
é uma base de V. Portanto U2 é combinação linear deste conjunto, ou seja,existem J31' J32' ... , J3n em lR de maneira que
U2 = J3I UI + J32V2 + ... + J3nvn
100 101
(1, 1) -=1= (2, O) e F (1, 1) = F(2, O) = (O, 2, O).
2) A aplicação f : IR2 -+ IR3 dada por F(x, y) =:: (O, X + Y, O) não é injetorapois temos, por exemplo, ' .
Ou, em outra formulação, se, e somente se,
\fUI, ~ E U, UI -=1= U2 => F(UI)-=I= F(~):
y
u= (x.y)/1
./0 I,/ I
/ I/ I
/ I
'- ''-",- I
'-Js(u) = (x. -v)
x
Exemplos
1) A aplicação S: m.2 -+ m.2 dada por S(x, y) = (x, -y), V(x, y) E m.2, éinjetora pois se UI = (Xl, YI) e U2 = (X2, Y2) então:
F(UI) = F(U2) => (Xl, -YI) = (X2' - Y2) => Xl = X2 e
YI = Y2 > UI = U2'
Duas aplicações F: U -+ V e G: U -+ V são iguais se, e somente se, F(u) == G(u), \fu E U.
Dado W C U denomina-se imagem de W por F o seguinte subconjunto deV: F (W) = {F (u) I u E W}. Se W = U, então F (U) recebe o nome de imagem de Fe a notação será Im (F).
Portanto Im(F) = {F(u) I u EU}.
Exemplo - Seja S: m.2 -+ m.2 aaplicação dada por S (x, y) 2i: (x, - y),\f (x, y) no m.2 . S pode ser visualizadana figura ao lado e leva cada ponto dom.2 no seu simétrico em relação ao eixo x.Em pat:ticular a imagem da reta Y = x éa reta x + y =°(e vice-versa), a imagemdo eixo x é o próprio eixo x e a imagem do eixo y é o próprio ,eixo y.
Defmição 2 - Uma aplicação F: U -+ V se diz injetora se, e somente se,
\fUI, U2 E u, F(ud = F (U2) -> UI = ~.
Transformacões Lineares.CAPíTULO 4
Nos capítulos precedentes nos detivemos estudando alguns aspectos intrínsecos dos espaços vetoriais fmitamente gerados: base e dimensão, principalmente.Neste capítulo nosso enfoque será outro: trataremos de examinar correspondênciasentre espaços vetoriais. As transformações lineares que definiremos no parágrafodois constituem o ponto mais importante desse estudo. Mas antes façamos algumasconsiderações preliminares. '
Definição 1 - Dados dois conjuntos U e V, ambos não vazios, uma aplicaçãode U em V é uma "lei" pela qual a cada elemento de U está associado um únicoelemento de V. Se F indica essa lei e u indica um elemento genérico de U, então oelemento associado a u é representado por F (u) (lê-se "F de u") e se denominaimagem de u por F.
1. NOÇÕES SOBRE APLICAÇÕES
O conjunto U é o domínio e o conjunto V é o contra-domínio da aplicação F.Para indicar que F é uma aplicação de U em V costuma-se escrever
F: U -+ V
ou ainda, indicando por u um elemento genérico de U
u r+ F(u).
Definição 3 - Uma aplicação F: U -+ V se diz sobrejetora se, e somente se,Im (F) = V, ou seja, para todo v E V, existe u E U tal que F (u) = v.
Exemplos
1) S: m.2 -+ m.2 definida por S(x, y) = (x, -y) é sobrejetora. De fato,dado v = (c, d) E m.2, basta tomar u = (c, - d) para termos F (u) = v.
2) F: m.2 -+ m.3 dada por F(x, y) = (O, x + y, O) não é sobrejetora. Isto
Resumidamente escreveremos sempre S(x, y) para indicar a imagem de (x, y) por S.
102 103
porque, por exemplo, (1, 0, O) E lR3 e não é imagem por F de nenhum elementou E lRz (o primeiro termo de cada imagem é zero).
(O, t, O)
Definição 4 - Uma aplicação F: U """* V se diz bijetora se, e somente se,F é injetora e é sobrejetora.
Exemplo - A aplicação S: lRz """* lRz dada por S (x, y) = (x, - y) é injetorae é sobrejetora conforme já vimos. Logo S é bijetora.
Nota: Se F: U """* V é bijetora, então cada elemento de V é do tipo F (u), comu E U bem definido e se fizermos a associação F(u) f-+ u teremos uma aplicaçãode V em U pois não podemos ter F(UI) = F (uz) e UI =1= Uz já que F é injetora.Essa nova aplicação assim definida (no caso de F ser bijetora) é chamadaaplicaçãoinversa de F e é indicada por F-I. Tem-se então:
p-l (F(u)) = u e F(F- I (v)) = V
Vu E U e Vv E V.
2. TRANSFORMAÇÕES LINEARES
Definição 5 - Sejam U e V espaços vetoriais sobre lR. Uma aplicaçãoF: U"""* V é chamada transformação linear de U em V se, e somente se,
(a) F (UI + Uz) = F (ud + F (uz), -V-U1, Uz E U, e
(b) F (cw) = aF(u), Va E lR e Vu E U.
No caso em que U = V, uma transformação linear F : U """* Ué chamada também de operador linear.
104
I1
'I
Exemplos
1) Seja o: U """* V a aplicação assim definida: O (u) = o (vetor nulo de V),Vu E U. Verifiquemos que O é linear.
(a) O(UI + Uz) = o = o + o = O(UI) + O(Uz)
(b) O(au) = o = ao = aO(u)
O se denomina transformação linear nula de U em V.
2) Seja I: U"""* U definida assim: leu) = u, Vu E U. É mais um exemplode transformação linear pois:
(a) I(UI + Uz) = UI + Uz = I(U1) + I(uz) e
(b) I(au) = au = al(u).
I é o operador idêntico de U.
3) F: lR3 """* lRz definida por f(x, y, z) = (x, 2x - z), V(x, y, z) E ~.3,
também é linear.
Sejam UI = (Xl' YI, Zl) e Uz = (xz, Yz, Zz) em lR3•
(a) F(UI + Uz) = F(XI + Xz, YI + Yz, Zl + Zz) = (Xl + Xz, 2(XI + Xz)-- (Zl + Zz)) = (Xl> 2XI - Zl) + (Xz , 2xz - Zz) =F (UI) + F (uz).
(b) Exercício.
4) F: lRn """* lRm definida por:
F (Xl, ... , xn) = (aUxI + ... + alnxn , ... , amlxl + ... + amnxn)
é uma transformação linear para toda família (aij) de números reais dados. Verifica-se essa afirmação generalizando o que se fez no exemplo 3. Fica comoexercício.
5) Seja D: Pn (lR) """* Pn (lR) definida por D (f(t)) = f'(t) para todo polinômiof(t) de Pn(lR). (f' (t) indica a derivada de f(t)).
Como a derivada da soma de dois polinômios é igual à soma das derivadase a derivada do produto de um polinômio por um número é igual a esse númeromultiplicado pela derivada do polinômio, então D é mais um exemplo de operadorlinear.
Sejam U e V espaços vetoriais sobre lR e consideremos uma transformaçãolinear F: U """* V. Valem a\ seguintes propriedades para F:
P I . F (o) = o (F transfotma o vetor nulo de U no vetor nulo de V.)
Prova - Como o é o elemento neutro da adição em V:
F(o) + o = F (o).
lOS
o fato de F ser linear e o fato de o ser o vetor nulo de U dão:
F(o) = F(o + o) = F(o) + F(o).
Comparando os resultados obtidos tiramos:
F(o) + o = F(o) + F (o).
Somando - F (o) a ambos os membros desta última igualdade chegaremosa que
o = F (o) . •
P2' F(-u) = -F(u), Vu E U.
Prova - F(u) + (-F(u» = 0= F (o) = F(u + (-u» = F(u) + F(-u).
Logo F(u) + F(-u) = F(u) + (-F(u». Somando -F(u) a ambos osmembros desta última igualdade obteremos
F(-u) = -F(u).•
Nota: Recomendamos ao leitor que procure justificar cada passagem desen"volvida na primeira linha da demonstração de P2.
P3 • F(UI - U2) = F(UI) - F(~), VUb ~ EU.
Prova (exercício). •
P4 • Se W é um sub-espaço de U, então a imagem de W por F é um sub-espaçode V.
Prova - Lembremos que F (W) = {F (w) I w E W} é a imagem (direta) deW por F.
(a) Como F (o) = o, então o E F(W).
(b) Exercício.
106
)
(c) Sejam v E F (W) e a E lR. Então v = F (u), com u E W.
Logo
av = aF (u) = F (au).
Como au E W, pois W é sub-espaço vetorial de U, então:
av E F(W).•
Nota: A propriedade P4 acima significa que uma transformação linear transforma sub-espaço vetorial em sub-espaço vetorial. Em outras palavras, umatransformação linear "respeita" a estrutura de espaço vetorial.
Sendo F: U -+ V linear então
n
I ai F (Ui).i=l
Prova: Faz-se por indução sobre n.•
EXERCÍCIOS RESOLVIDO.S
1. Verificar se a aplicação F: IR3 -+ IR2 definida por:
F (x, y, z) = (z, x + y) é linear.
Solução
(a) Sejam u = (Xl, Yl, Zl) e v = (X2' Y2, Z2) dois elementos genéricos de IR3 . Então:
F (u + v) = F (Xl + x2, Yl + Y2, zl + z2) == (Zl + Z2, (Xl + x2) + (Yl + Y2)) =
= (Zlo Xl + Yl) + (Z2, x2 + Y2) =
= F(u) + F (v);
(b) "Ia E IR eVu = (X, Y, z) E IR?;
F (au) = F (ax, ay, az) = (az, ax + ay) = a(z, X + y) = aF(u).
2. Verificar se F : IR -+ IR2 é uma transformação linear, onde F(x) = (x,2) "Ix E IR.
Solução
Vx,yE IR, temos F(x + y) = (x + y, 2) :/= (x,2) + (y, 2) = (x + y,4).
Logo F não é uma transformação linear.
Nota: Como uma transformação linear leva o vetor nulo do domínio no vetor nulo docontra-domínio e F (O) = (O, 2) :/= (O, O) poderíamos, por este caminho, ter concluídoque a aplicação F do exercício 2 não é linear. Contudo o fato de uma aplicação F: U -+ Vtransformar o vetor nulo de U no vetor nulo de V nã" implica que ela seja linear. Procureum exemplo. '
107
3. Verificar se a aplicação F: IR2 --> IR2 definida por F(x, y) = (x2 + y2, x) é uma transformação linear.
Solução
Se u (xl> YI) e v = (X2, Y2) E IR2, então F(u + v) = F(XI + x2, YI + Y2)
= «Xl + X2)2 + (YI + Y2)2, Xl + X2) =
= (X12 + Y12, Xl) + (x2
2 + y}, X2) + 2(XIX2 + YIY2, O)
e portanto F não é linear. Notar que, apesar disso, F (O, O) = (O, O).
4. Seja V = Mn(lR) e B uma matriz fixa desse espaço vetorial. O operador F : V --> V dadopor F(X) = BX, V- X E V é linear? E quanto ao operador G : V -+ V dado porG(X) = XB?f: verdade que F = G?
Solução
(a) \/-X, Y E V, F(X + Y) = B(X + Y) = BX + BY = F (X) + F (Y);
(b) \/- X E V e \/-01. E IR, F (OI.X) = B(OI.X) = OI.(BX) = OI.F (X).
Logo, F é um operador linear de Mn (IR). A verificação de que G também é linear é análoga. Mas, em geral, F '* G pois BX '* XB.
s. Sabendo que F: 1R2 -+ 1R2 é um operador linear e que
F(l, 2) = (3, -1) e F(O, 1) = (1, 2),
achar F(x, y), onde (x, y) é um vetor genérico do IR2.,
Solução
Observemos de início que {(l, 2), (O, 1)} é uma base de 1R2. Determinemos as coordenadas de (x, y) E 1R2 em relação a essa base: (x, y) = a(l, 2) + b(O, 1)=> a=xe 2a + b = y~> a = x e b = y - 2x.
Logo (x, y) = x(l, 2) + (y - 2x)(0, 1).
Portanto
F(x, y) = xF(l, 2) + (y - 2x)F(0, 1) = x(3, -1) + (y - 2x)(1; 2) =
= (x + Y, - Sx + 2y).
6. Verificar se é linear a transformação F: 1R3 -+ IR, dada por F(x, Y, z) = - 2x + 3y + 7z.
Solução
(a) Vu = (Xl, YI, Zl) e Vv = (X2, Y2, z2) E 1R3, F(u + v) =
= F (Xl + x2, YI + Y2, Zl + Z2) = -2(XI + x2) + 3(YI + Y2) + 7(ZI + Z2) =
= -2XI + 3YI + 7Z1 - 2x2 + 3Y2 + 7Z2 = F(u) + F(v).
(b) V OI. E IR e Vu = (x, Y, z) E 1R3, F(OI.u) = F(OI.x, OI.Y, OI.Z) =
= -2(OI.x) + 3(OI.Y) + 7 (OI.z) = 0I.(-2x + 3y + 7z) = OI.F(u).
108
7. Seja P uma matriz inversível de Mn (IR). Mostrar que F: Mn (IR) -+ Mn (IR) dada porF (X) = p-l XP é um operador linear desse espaço.
Solução
(a) F(X + Y) = p-1(X + Y)P = p-I Xp + p-I yp = F(X) + F(Y);
(b) F(OI.X) = p-1(OI.X)p = OI.(p-IXP) = OI. F (X).
8. Mostrar que é uma transformação linear a aplicação
F: 1R2 -+ C (lO, 11)
(espaço vetorial das funções reais contínuas definidas em [O, 11) dada por:
F(x, y) = xet + ye2t, V(x, y) E 1R2.
Solução
(a) \/-u = (Xl> Yü e \/-v = (x2, Y2) em 1R2:
F(u + v) = F(XI + x2, YI + Y2) = (Xl + x2)et + (YI + Y2)e2t =
= xlet + Yle2t + X2et + Y2e2t = F(u) + F(v);
(b) \/-01. E IR e \/- (X, y) E 1R2, F (OI.(x, y» = F (OI.X, OI.Y) = (OI.x)et + (OI.y)e2t =
= OI.(xet + ye2t) = OI.F(x, y).
9. Mostrar que é um operador linear de V = C([O, 1]) a aplicação F: V --> V dada porF(f(t» = f(t) <p (t) -\lf(t) E V, onde <p (f) é um elemento fixo de V.
Solução
(a) F(f(t) + g(t» = (f(f) + g(t» <p (t) = f(f) <p(t) + g(t) <p(t) = F(f(t» + F(g(t»;
(b) F(OI.f(t» = (OI.f(t) <p (f) = OI.(f(t) <p(t) = OI.F(f(t».
10. Seja V um espaço vetorial sobre IR. Dado OI. E IR chama-se homotetia determinada peloescalar OI. a aplicação HOI.: V -+ V tal que HOI. (u) = OI.U, \/- u E V. Mostrar que HOI. é umoperador linear de V.
Solução
(a) HOI.(UI + u2) = OI. (UI + u2) = OI.uI + OI.u2 = HOI.(uI) + HOI.(u2);
(b) HOI.(tu) = OI.(tu) = t(OI.u) = tHOI.(u).
11. Num espaço vetorial V sobre IR, dado w E V, chama-se translação definida por w a aplicação Tw: V -+ V tal que Tw(u) = u + w, \f u E V. Mostrar que se w '* O, então T não élinear.
Solução
"tUI, u2 E V, Tw(UI + u2) = UI + u2 + w e TW(UI) + TW(U2) = UI + w + u2 + w.
Logo, se w '* O, Tw não é linear. Por outro lado, se w = O, então Tw coincide com ooperador idêntico que é linear.
109
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1. Quais das seguintes aplicações de R 3 em R 3 são operadores lineares?
a) Ft(x, y, z) = (x - y, x + y, O);
b) F2 (x, y, z) = (2x - y + z, O, O);
10.'Seja F: U -> V uma transformação linear com a seguinte propriedaçle: se {UI' ... , un} éumabase de U,.então {F(ut), ... ,F(un)} é linearmente independente em V. Provar que F éinjetora.
c)
d)
F3(X, y, z) = (x, x, x);2F4(X, y, z) = (2x + 3y,x, z). 3. NÚCLEO E IMAGEM
2. Seja F : IR3 -> IR3 o operador linear assim defmido na base canônica:F(1, O, O) = (2,3,1), F(O, I, O) = (5,2,7) e F(O, 0,1) = (- 2, 0,7).Determinar F(x, y, z), onde (x, y, z) é um vetor genérico do IR3.Mostrar que F é um operador linear.
Definição 6 - Sejam U e V espaços vetoriais sobre IR e F: U ~ V umatransformação linear. Indica-se por Ker (F) e denomina-se núcleo de F o seguintesubconjunto de U:
3. Consideremos o espaço vetorial CC sobre R e seja F: CC ~ CC tal que F(z) = Z, "tz E CC.Mostre que F é um operador linear. Se tivéssemos considerado o espaço vetorial CC sobre CCseria F ainda um operador linear?
4. Verifique s~ são operadores lineares no espaço Pn(R):
(a) F: Pn(R) ~Pn(R) tal que F (f(t» = tf'(t), "tf(t) E Pn(R);
(b) F: Pn (R) ~ Pn(R) tal que F (f(t» = f' (t) + t2f" (t), "tf(t) E Pn (R).
5. Existe um operador linear F : IR3 -> IR3 tal que F(1, 1, 1) = (1, 2,3), F(1, 2,3)= (1,4,9) e F(2, 3,4) = (1,8, 27)? Justifique sua resposta.
Ker(F) = {u E U I F(u) = o}
Exemplo - Seja F: IR? ~ ]R3 a transformação linear dada por:
F(x, y) = (O, x + y, O).
Achemos o núcleo de F. Temos:
(x, y) E Ker(F) <=> (O, x + y, O) :;:= (O, O, O) <=> x = -y
Logo Ker(F) = {(x, ,x) I x E IR}.
Proposição 1 - Seja F : U ~ V uma transformação linear. Então:
a)· Ker(F) é um sub-espaço vetorial de U;
b) A transformação linear F é injetora se, e somente se, Ker(F) = {o}.
y
z
x
y
KerlFI
x=-y
8. Seja F o operador linear do R 2 tal que F(1, O) = (2, 1) e F(O, 1) = (1, 4).
a) Determinar F(2, 4);
b) Determinar (x, y) E IR? tal que F(x, y) =: (2, 3);
"ê) \ Provar que F é sobrejetor e injetor (bijetor).
(~9\ Seja A uma matriz fixa de Mn(IR). Mostrar que F : Mn(IR) -> Mn(IR) dada por: F(X)\.....) = XA - AX, Vx E Mn(IR) , é linear.
Se A = ÀIn com ÀE IR, o que é F?
6. Seja u = (x, y, z, t) um vetor genérico do R 4. Quais das aplicações definidas abaixo sãooperadores lineares do R 4?
a) F(u) = u + (1, 0,1, O);
b) F (u) = (1, O, 1, 1);
c) F (u) = (x, y - z, y + z, x + t);
d) F (u) = (cos x, y, z, t).
6) Sejam U e V sub-espaços de um espaço W tais que W = ue V. Sejam Pt e P2 as aplicações de W em W tais que para todo w = u + v de W (com u E U e v E V) associam,respectivamente, u e v, ou seja Pt(w) = u e P2(w) = v.Mostrarque Pt e P2 são lineares.
110 111
Demonstração
a) (1) Como F(o) = o, então o E Ker(F).
(2) Sejam UI, Uz E Ker(F). Então F(uI) = F(Uz) = o.
Daí F(uI + Uz) = F(ud + F(Uz) = o + o = o.
Portanto UI + Uz E Ker(F).
(3) Exercício: Prove que se u E Ker(F) e a E IR então au E Ker(F).
b) Suponhamos F injetora. Seja u E Ker(F). Então F(u) = o. Mas F(o) = o,conforme Pl . Logo F(u) = F(o). Usando a hipótese nesta última relação tiramos:u = o. Então, se F é injetora, o núcleo de F se resume ao vetor nulo de U.
Reciprocamente suponhamos Ker(F) = {o}. Dados UI, Uz E U, então
F(uI) = F(uz) => F(Ul) - F(uz) = o =>
=> F(Ul - uz) = o => UI - Uz E Ker(F) >
=> UI - Uz = o => UI = Uz
o que mostra que F é injetora. -
Exemplo - O operador linear D: Pn(R) -+ Pn(lR) dado por D(f(t)) == f'(t) é uma transformação linear injetora (operador injetor)?
Se f(t) = ao + alt + azt2 + ... + antn, então D(f(t)) = aI + 2azt + ... ++ nantn- l . Logo f'(t) = O tem como conseqüência que aI = az = ... = an = O.
Portanto f(t) = ao e daí Ker(D) = {ao I ao E IR} = IR, OU seja, Ker(D) é o conjunto dos polinômios reais constantes. Logo D não é um operador injetor.
A imagem de uma transformação linear F : U -+ V foi definida anteriormente: Im(F) = {F(u) I u E U}. Já vimos que é um sub-espaço vetorial de V.
O teorema a seguir, que relaciona as dimensões de Ker(F) e Im (F) nos casosém que dim U é finita, é bastante importante.
Teorema do Núcleo e da Imagem - Sejam U e V espaços vetoriais de dimensão fmita sobre R. Dada uma transformação linear F: U -+ V, então
dim U = dim Ker(F) + dim Im(F).
Demonstração - Seja Bl = {UI, ... , Ur} uma base de Ker(f). Essa basepode ser estendida a uma base Bz = {UI, ... , ur , V10 ••• , vs} de U conforme o
112
teorema do completamento. Mostremos que B = {F (vd, ... , F (vs)} é uma basede Im (F).
(a) Dado v E Im(F), existe u E U tal que F(u) = v. Mas u é combinaçãolinear de Bz : u = aluI + ... + arur + (3IVI + ... + (3svs, com os ai e os (3j emR, já que Bz é base de U. Logo:
v = F(alul + + arur + (3lVl + ... + (3svs) == alF(ul) + + arF(ur) + (3I F (vI) + ... + (3sF(vs) == (3lF(Vl) + + (3sF(vs)
pois como U10 ••• , ur E Ker(F), então suas imagens, por F, são nulas. Então[B] = Im(F).
(b) Suponhamos (3lF(VI) + ... + (3sF(vs) = o com (31, " . ,(3s E lR. EntãoF ((31 VI + ... + (3svs) = o, do que resulta que (31 VI + ... + (3sVs pertence a Ker(F).Logo existem aI, ... , ar E R de maneira que:
(3lVI + ... + (3svs = aluI + ... + arur
Daí
aluI + ... + arur + (-(3I)Vl + ... + (-(3s)vs = o
Como o conjunto Bz é L.I., podemos concluir que todos os escalares daúltima igualdade são nulos. Em particular (31 = (3z = ... = (3s = O.
Ficou provado então que B é L.I.
Para terminar a demonstração, basta observar que, como dim Ker(F) = r,dim U = r + s e dim Im (F) = s, então dim U = dim Ker(F) + dim Im(F). -
Corolário - Sejam U e V espaços vetoriais sobre R com a mesma dimensãofinita n e suponhamos F: U -+ V uma transformação linear. Então são equivalentes as· seguintes afirmações:
(I) F é sobrejetora.
(11) F é bijetora.
(III) F é injetora.
(IV) F transforma uma base de U em uma base de V (isto é, se B é umabase de U, então F(B) é base de V).
Demonstração
(I) => (11)
Por hipótese Im(F) = V. Levando em conta que dim U = dim V, a fórmuladim U = dim Ker(F) + dim Im (F) equivale então a dim Ker(F) = O. LogoKer(F) = {o} e F é injetora. Então F é bijetora.
113
...
(11) -> (I1I) Imediato.
(I1I) ==> (IV).
Sendo B = {U., ... , un}uma base deU mostremos que F(B) = {F(UI)'... , F(un)} é uma base de V. Observemos de início que F(B) tem tantos vetorescomo B pelo fato de F ser injetora..Então basta mostrar que F(B) é L.I. Suponhamos aI. ... , an E lR e aIF(uI) + ... + anF(un) = o. Disto resulta, pelalinearidade de F que
F(aluI + ... + anun) = o.
Sendo F injetora segue que
ai Ul + ... + anUn = o.
Como B é L.I. conclui-se que ai = a2 = ... = an = O.
(IV) => (I)
Seja v E V. Tomando uma base B = {Ul> ... , un} de U, então nossa hipótese garante que F(B) = {F(ud, ... , F(un)} é uma base de V. Logo v é combinação linear de F(B):
v = aIF(uI) + ... + anF(un), com al, ... , an E lR.
Como F é linear podemos afirmar que
v = F(alul + ... + anun).
Estando em U a combinação linear alUI + ... + anUn ficou provado que todoelemento de V é imagem (por F) de um elemento de U. Ou seja, F é sobrejetóra. -
4. ISOMORFISMOS E AUTOMORFISMOS
Defmição 7 - Entende-se por isomorfismo do espaço vetorial U no espaçovetorial V uma transformação linear F: U -i> Y que seja bijetora. Um isomorfismoF: U -i> U é um automorfismo de U.
Exemplos
1) O operador idêntico I: U -i> U dada por I(u) = u para todo vetor u doespaço é trivialmente um automorfismo de U.
2) F: lR2-i> PI (lR) definida por F(x, y) = x + (x + y)t é também um
isomorfismo. De fato.
(I) F(xt. YI) = F(X2' Y2) > Xl + (Xl + YI)t =
= X2 + (X2 + Y2)t => Xl = X2 e Xl + YI = X2 + Y2- ->
=> Xl = X2 e YI = Y2'
114
1
Logo F é injetora.
(11) Dado f(t) = a + bt E PI (lR) basta tomar u = (a, b - a) para que setenha F(u) = f(t). Então F é sobrejetora.
(I1I) F((xl> YI) + (X2' Y2)) = F(XI + X2, YI + Y2) = Xl + X2 ++ (Xl + X2 + YI + Y2)t = Xl + (Xl + YI)t + X2 + (X2 + Y2)t =
= F(XI' yd + F(X2' Y2)'
(N) A condição F(au) = aF(u) é deixada como exercício.
Proposição 2 - Se F é um isomorfismo de U em V, então F-I: V -i> U tam.bém é um isomorfismo (de Vem U). .
Demonstração
(I) Suponhamos vl> V2 E Ve F-I (VI) = F-I (V2) = u. Então F(u) = VI eF(u) = V2. Daí VI = V2' Logo F- l é injetora.
(11) Para verificar que F-I é sobrejetora basta observar que dado u E U,tomando v == F(u) teremos:
F-I (v) = F-I (F(u)) = u.
(I1I) Sejam VI, V2 E V e façamos F-I (VI + V2) = u. Como F é sobrejetora,então existem UI. U2 E U de maneira que F(Ul) = VI «=> F-I (vd = UI) eF(Ü2) = V2 «=> F~l (V2) = Ü2). Substituindo estes resultados na igualdadeinicial:
u = F-I (F (UI) + F (Ü2)) = F-I (F(UI + U2)) == UI + Ü2 = F-I (VI) + F-I (V2)'
Voltando à igualdade inicial:
F-I (VI + V2) = F-I (VI) + F-l (V2)'
(IV) Fica como exercício a demonstração de que:
F-I (av) = aF- l (v), "Ia E lR e "Iv E V. _
Nota: A proposição acima nos diz que sempre que éxiste um isomorfismo F: U -i> Vtambém existe um isomorfismo F-I: V -i> U (isomorfismo inverso de F) e devidoa isso dizemos; nesse caso, que U e V são espaços vetoriais isomorfos. Dois espaçosvetoriais isomorfos U e V muitas vezes são considerados indistintos. Para tanto,se F é o isomorfismo considerado de U em V, identifica-se cada elemento u E Ucom sua imagem F(u) E V.
115
:g possível estabelecer uma caracterização para os isomorfismos entre espaços vetoriais de dimensão finita, em termos de dimensão. O lema a seguir nos levaráa isso.
Lema - Sejam U e V espaços vetoriais sobre IR. Se dim U = n e B == {UI> U2, ..• , un} é uma base de U, então, para toda seqüência vI>' .. 'Vn de vetores de V, a aplicação F : U -+ V, definida por
é linear e F(Ui) = Vi (i = 1,2, ... , n). Ademais, se G : U -+ V é linear e G(uD = Vi(i = 1, ... ,n),entãoG = F.
Demonstração
u v
n
I) Sejam Wl = L aiui e W2 =i= 1
n
L l3iui vetores de U. Entãoi= 1
F(Wl + W2) = F(.i (ai + l3i)Ui) = t (ai + I3i)Vi =1= 1 1= 1
n n
= L ~Vi + L l3ivi = F(Wl) + F(W2)i= 1 i= 1
11) Fica como exercício a demonstração de que F(aw) = aF(w), para todoaER e todo wEU.
I1I) F(Ul) = F(1Ul + OU2 + ... + Oun) = Iv1 + Ov2 + ... + Ovn = VI'
Obviamente: F(U2) = V2, ... , F(un> = Vn .
IV) Seja w E U. Então w se escreve, de maneira única, como:n
W = L aiUi. Daí, levando em conta que G é lineari= 1
G(w) = ti ai G(Ui) = ti ai F(Ui) = F( ~1 aiUi) = F(w) e, como w é arbitrá
rio,G = F.•
Nota: Os vetores VI> ... , vn no lema anterior n[o s[o necessariamente distintosentre si. Podem, inclusive, ser todos iguais. Mas os Ui (i = 1,2, ... , n) são distintosentre si pois B é uma base de U.
116
. (
Teorema 2 - Dois espaços U e V de dimens[o finita são isomorfos se, e somen·te se,dim U = dim V.
Demonstração
( » Seja F : U -+ V um isomorfismo. Então Ker(F) = {O}e Im(F) = V.Mas, devido ao teorema do núcleo e da imagem, dim U = dimKer(F) + dimIm(F).Donde dim U = dimV.
(~ ) SejamB= {Ul, ... ,un }eC= {vl, ... ,vn}basesdeUeV,res-
pectivamente, e consideremos F : U -+ V dada por F(t aiui)= i aiVi. confor·n 1=1 1=1
me o lema anterior. Assim, F é linear. Supondo L aiVi = o, como C é L.I., entl[on i= 1
ai = O (i = 1, ... , n) e portanto L aiui = O. Donde F é injetora. O corolário doi= 1
teorema do núcleo e da imagem nos garante então que F é sobrejetora e portanto Pé isomorfismo.
11'
= O
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1. Seja F: 1R3 ~ 1R2 a transformação linear dada por F (x, y, z) = (x + y, 2x - y + z).
a) Dar uma base e a dimensão de Ker(F);
b) Dar uma base e a dimensão de Im(F).
Solução
a) Ker(F) = {(x, y, z) E 1R3 I (x + y, 2x - y + z) = (O, On.
Como
{X+ Y = O {X + Y
2x - y + z = O - 3y + z = O
cuja solução geral é (-y, y, 3y), y E IR, então Ker(F) = {(~ y, y, 3y) I y E IR} == {y(- 1,1,3) I y E IR}. Logo Ker(F) = [(-1, 1, 3)] e {(-I, 1, 3)} é uma base deKer(F).
b) Achemos um conjunto de geradores de Im(F) : (x + y, 2x - y + z) = x(l, 2) ++ y(I,.- 1) + z(O, 1) do que segue que Im(F) = [(I, 2), (1, -1), (O, 1)]. Paradetermmar uma base de Im(F) usamos o processo prático já estudado (Cap. 3, § 5):
Assm;., uma ,base de Im(F) é {(I, 2), (O, 1)}e dim Im(F) =2. Segue que Im(F) = IR2
e F e sobreJetora.Para concluir que {(I, 2), (O, 1)}é base de Im(F), ver Capo 3, § 5.
2. Determinar uma aplicação linear F: 1R3 ~ 1R4 tal que
Im (F) = [(1, 1, 2, 1), (2, 1, O, 1)].
Solução
Como dim Im (F) = 2, então dim Ker(F) = 1. Podemos tomar F: 1R3 -+ 1R4 tal queF(:, O, O) = (O, O, O, O), F(O, 1, O) =(1,1,2,1) e F(O, 0,1) = (2, 1, 0,1). A imagemsera o conjunto dado. Temos
F (x, y, z) = xF (I, O, O) + yF(O, 1, O) + zF (O, O, 1) =
= y(l, 1,2,1) + z(2, 1, O, 1) = (y + 2z, y + z, 2y, y + z).
É claro que o exercício em questão admite muitas soluções.
3. Seja F o operador linear de M2\IR) definido por F(X) = BX,:V'XEM2(IR), ondeB EM2(IR).
No '"00 de B ~ ( ~ _ ~) ''''''''ino K~(F)o ~. b"o d. Jm_ do ~F.
118
Solução
K~ (F) = {(: :) E M, (R) I (: _: ) (: :)
( 2:-, 2y ~ t ) (~~ ) }
Como o sistema
{
X = O
y=O
2x-z=0
2y - t = O
só admite a solução trivial F é injetora. Por outro lado, levando em conta o teorema do núcleo e da imagem, tiramos que dim Im(F) = dim M2(IR) - dim Ker(F) = 4 - O = 4. LogoIm(F) = M2(IR) e qualquer base deste espaço é base de Im(F). Observe que F é um automorfismo de M 2 (IR). Os mesmos resultados seriam obtidos para qualquer matriz B inver
sível.
4. Mostrar que o operador linear F do 1R3 dado por F (x, y, z) = (x + z, x .. - z, y) é umautomorfismo. Determinar F-i
Solução
Para achar o núcleo de F devemos resolver o sistema
{
X + :l=O.
x-z=o
y = O
cuja única solução é (O, O, O). Logo Ker (F) = {(O, O, O)} e F é injetora. Devido ao corolário do teorema do núcleo e da imagem podemos afirmar que F é um automorfismo.Supondo F-i (x, y, z) = (a, b, c), então (x, y, z) = F(a, b, c) = (a + c, a - c, b). Logo
+c=x
-c=y
b =z
x+y x-ydo que resulta que a = -2- , b = z e c = -2-' Logo:
119
5. A aplicação linear F: IR3 ~ IR3 dada por F (1, O, O) = (1, 1, O), F (O, 1, O) = (O, O, 1) eF(O; 0, 1) = (1, - 1, 6), é um automorfismo?
8. Sejam U e V espaços vetoriais sobre IR e F : U ---+ V uma transformação linear. Provar que.se Bc U é tal que [B] U, então [F(B)] = Im(F).
É claro que F é linear. Por outro lado o sistema
6. Mostrar que F: IR3 ~ IR4 dada por F (x, y, z) = (x, x - y, y - z, z) é injetora mas nãoé isomorfismo de IR3 em IR4
.
é a trivial, então Ker(F) = {(O, 0, O)} e F é um automorfismo do IR3 . Outra maneira de resolver: Mostrar que F leva uma base. de IR3 em uma base de IR3.
Solução
Seja B = {uJ, ... , ur}. Todo elemento v E Im(F) pode ser representado por v = F(u),com u E U = [Bl. Logo existem "'lo ... , ar E IR de modo que u = aluI + ... + arur.Assim v = F (u) = F ("'I uI + ... + "'rur) = alF (UI) + ... + arF (ur) o que vem mostrarque v E [F(B)1. Ficou provado pois que Im(F) c [F(B)1. Por outro lado um elemento,v E [F(B)) é dado por v = a1F(ul) + ... + arF(ur) = F(alul + ... + arur). Logov E Im (F). Temos então que [F(B)] c Im (F).
Solução
A idéia a ser usada na resolução está contida na demonstração do teorema do núcleo eda imagem. O conjunto {(I, 1, O), (0, 1, O), (O, O, 1)} é uma base do IR3 que completaa base {(I, 1, O)} do núcleo da transformação que pretendemos achar. Se tomarmosT(O, 1, O) e T(O, 0, 1) linearmente independentes teremos uma base da Im (T), onde T éa transformação procurada. Façamos então: T(O, 1, O) = (1, O) e TCO, 0, 1) = (O, 1).Como (x, y, z) =x(1, 1, O) + z(O, 0,1) + (y - x)(O, 1, O), então T(x, y, z) = xT(l, 1, Ó) ++ (y - x)T(O, 1, O) + zT(O, 0, 1) ='x{O, 6) + (y - x)(l, O) + z(O, 1) = (y ~ x, z).
Notemos que o problema admite infinitas soluções.
9. Achar uma transformação linear do IR3 no IR2 cujo núcleo seja gerado por (l, 1, O).
+ z = °z=O
y + 6z = °
\'Solução
Solução
F (x, y, z) = xF(1, 0, O) + yF(O, 1, O) + zF(O, 0,1) = x(l, 1, O) + y(O, 0,1) ++ z (1, - 1, 6) = (x + z, x - z, y + 6z). Como a única solução do sistema
=0
=0
{
: - yy
- z = °z = °
só admite a solução trivial. Logo Ker(F) = {(O, 0, O, O)} e F é injetora. Mas não ésobrejetora pois dim Im (F) = dim IR3
- dim Ker (F) = 3 do que segue que Im (F) * IR4.
Se uSamos o teorema 2, o exercício é imediato.
\0. Provar que o espaço vetorial IR2 é isomorfo ao subespaço U = {(x, y, z) E IR3 I z O}do IR3.
Solução
A função F: IR2 ~ IR3 dada por F (x, y) = (x, y, (l) é linear injetora e sua imagem é osubespaço U. Logo 1R2
' e U são isomorfos.
7. Determinar o núcleo e a imagem, bem como as dimensões respectivas, de F: P2 (IR) ~ P3 (IR)dada por F (f(t) = f(t) + t2['(t).
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
Solução
Seja a + bt + ct2 E Ker (F). Isso equivale a a + bt + ct2 + t2 (b + 2ct) = °(polinômionulo), ou seja, a + bt + (b + c)t2 + 2ct3 = °que por sua vez se verifica se, e somentese, a = b = c = O. Logo Ker (F) = {O}. Assim dim Ker (F) = O. Por outro lado, seja f(t)um polinômio genérico da Im (F). Então f(t) = a + bt + (b + c)t2 + 2ct3 = a + b(t + t2) ++ c(t2 + 2t3
). Isto mostra que 1m (F) = !l, t + t2, t2 + 2t3 1. Como esses três .vetoresque geram Im (F) formam um conjunto L.1. (verifique) então {I, t + t2 , t2 + 2t3
} é umabase de Im (F).
1. Para cada uma das transformações lineares abaixo determinar uma base e a dimensão donúcleo e da imagem:
(a) F: IR3 ~ IR dada por F(x, y, z) = x + y - z.
(b) F: IR2 ~ IR2 dada por F (x, y) = (2x, x + y).
(c) F: IR3 ~ IR4 definida por F (x, y, z) = (x - y - z, x + y + z,2x - y + z, - y).
(d) F: P2 (IR) ~P2(IR) dada por F (f(t» = t2f"(t).
120 121
(o) F, M,(R) ~ M,(IR) dada pm:~ (:~Y' ondo
(f) F: M2 (R) -7 M2 (R) definida por F (X) = MX - XM, onde
M= (: :)
*2. Determinar um operador linear F: R 3-7 R 3 cuja imagem é gerada por (2, 1, 1) e
(1, - 1, 2).
3. Determinar um operador linear do R 4 cujo núcleo é gerado por (1, 1, O, O) e (O, O, 1, O).
4. Determinar um operador linear do R 3 cujo núcleo tenha dimensão 1.
5. Seja F: R3-7 R 3 definida por F(l, 0, O) = (1, 1, O) e F(O, O, 1) = (O, O, 2) e
F(O, 1, O) = (1, 1, 2). Determinar uma base de cada um dos seguintes sub-espaçosvetoriais: Ker(F), Im(F), Ker(F) n Im(F) e Ker(F) + Im(F).
6. Mostrar que cada um dos operadores lineares do IR3 a seguir é inversível e determinar oisomorfismo inverso em cada caso:
(a) F(x, y, z) = (x - 3y - 2z, y - 4z, z);
(b) F(x, y, z) = (x, x - y, 2x + y - z).
7. Considere o operador linear F do IR3 definido por F(1, O, O) = (1, 1, 1); F(O, 1, O) == (1, O, 1) e F(O, 1, 2) = (O, O, 4). F é inversível? Se for, determine o isomorfismoinverso.
8. Sejam u, v E IR2 vetores tais que {u, v} é uma base do IR 2. Sendo F: IR 2-+ IRn uma
transformação linear, mostrar que uma das seguintes alternativas se verifica:
*12. Consideremos o espaço vetorial R oo = {(alo a2, ... ) I ai E R}.
a) Mostrar que a transformação linear T: R oo-7 R oo dada por T(al> az, ... ) =
= (O, alo az, ... ) é injetora mas não é sobrejetora.
b) Mostrar que a transformação linear F: R 00 -7 R 00 definida por F(al, az, ... ) == (az, a3, ... ) é sobrejetora mas não é injetora.
c) Encontrar uma aplicação linear injetora de P(IR) em IR 00.
*13. Consideremos uma transformação linear F: U -7 V. Se dim U > dim V, prove queexiste um vetor não nulo Uo E U tal que F (uo) = o (vetor nulo de V). (Ou seja,F não é injetora.)
*14. Seja W = U EIl V. Consideremos os operadores lineares de W (projeções sobre U e V,respectivamente) dados por PI (u + 'V) = U e Pz (u + v) = v, Vu + v E W, comu E U e v E V. Definido H: W -7 W por H(w) = PI (w) - Pz (w), Vw E W, mostreque H é um isomorfismo do espaço vetorial W nele mesmo, isto é, H é um automorfismo de W.
Tome W = RZ, U = [(1, 1)], V = [(1, -1)] e represente geometricamente U, V, W,
PI , Pz, H.
*15. Provar que o IRz é isomorfo a qualquer sub-espaço de dimensão 2 do IR3.
a) {F(u), F(v)} é L.I.; b) dim Im (F) = 1; c) Im (F) = {o}.
.:-,',2,1 Sejam U e V sub-espaços do espaço W tais que W = U EIl V. Consideremos o espaço
vetorial U X V cuja adição é (Ul> VI) + (U2, V2) = (UI + U2, VI + V2) e cuja multiplicação por escalares é dada por O!(u, v) = (O!u, O!v). Mostrar que é um isomorfismode U X V em W a aplicação assim definida: F(u, v) = u + v.
*10. Seja {el' ... ,en} a base canônica do IRn. Seja F: IRn -+ IRn o operador linear dado porF(el) = e2' F(e2) = e3' ... ,F(en) = el' Determinar F(x1> ... , xn) e verificar se Fé um automorfismo. Se for, acne o automorfismo inverso.
*11. Considere uma transformação linearT :U --> V. Provar que, se o conjunto {T(u j ), , T(ur)}é L.I. em V, então {UI, ... , ur} é L.I. em U. Provar que, se T é injetora e {UI, ,ur}é L.I.em U, então {T(uI),"" T(ur)} é LJ. em V.
III In
CAPfTULO 5Matriz de uma Transformação Linear
1. QPERAÇÕES COM TRANSFORMAÇÕES LINEARES
Sejam U e V espaços vetoriais sobre IR. Indicaremos por L(U, V), daqui parafrente, o conjunto das transformações lineares de U em V. Se U = V, o conjuntodos operadores lineares de U será denotado por L(U). Vamos a seguir introduzir aoperação de adição em L(U, V).
Definlção 1 - Dados F, G E L(U, V), definimos a soma F + G de F com Gda seguinte maneira:
F + G: U ~ V e (F + G)(u) = F(u) + G(u), Vu E U.
A aplicação assim defInida também é uma transformação linear pois:
(a) (F + G)(Ul + ~) = F(Ul +~) + G(Ul + ~) == F(Ul) + F(~) + G(Ul) + G(~) == F(Ul) + G(ud + F(~) + G(~) == (F + G)(Ul) + (F + G)(~) e
(b) (F + G)(c{~ = F(o:u) + G(o:u) = o:F(u) + o:G(u) == o:(F(u) + G(u)) = o:(F + G)(u).
Temos assim uma adição (F, G) ~ F + G em L(U, V). Para essa adiçãovalem as seguintes propriedades:
(I) Associativa: F + (G + H) = (F +G) +H, V F, G, H E L(U, V);
(11) Comutativa: F + G = G + F, V F, G E L(U, V);
(III) Existe elemento neutro: a transformação linear nula O: U ~ V é talque F + O = F, .:v-F E L(U, V); e
(IV) Para toda transformação F E L(U, V) existe neste conjunto a transformação o{XJsta: existe
(-F) E L(U, V)'I F + (-F) = O.
124
A propriedade comutativa se verifica assim:
Se F, G E L(U, V) e u E U, (F +G)(u) = F(u) + G(u) == G(u) + F(u) = (G + F)(u), o que significa que F +G = G + F.
Do mesmo modo se prova a associativa. Que o elemento neutro é a transformação nula se prova do seguinte modo:
V-u E U, (F + O)(u) = F(u) + O(u) = F(u) + o = F (u).
Por último, (-F) é aplicação dada por (-F)(u) = -F(u), Vu E U. Deixamoscomo exercício a verificação de que (-F) E L(U, V). Por outro lado, Vu EU,(F + (-F))(u) = F(u) + (-F)(u) = F(u) + (-F(u)) = o = O(u), o que vemmostrar que de fato F + (- F) = O.
A seguir, definiremos a multiplicação de uma transformação linear por umescalar.
p Definição 2 - Dados F E L(U, V) e o: E IR, definimos o produto o: F de FI
por o: assim:
o:F : U ~ V e (o:F)(u) = o:F(u), ~u E U.
A aplicação o:F assim defmida também é uma transformação linear 4e U em V,ou seja, também pertence a L(U, V). Deixamos a constatação desse fato ao leitor.Dessa forma ficou defInida uma multiplicação de IR X L(U, V) em L(U, V)multiplicação essa que tem as seguintes propriedades:
(I) (o:~)F = o:(~F);
(11) (o: + ~)F = o:F + ~F;
(I1I) o:(F + G) = o:F + o:G;
(IV) lF = F;
quaisquer que sejam o: e ~ em IR e F e G em L(U, V).
Façamos a verificação de (111). Para todo u E U, (o: (F + G) )(u) == o:«F + G)(u)) = o:(F(u) + G(u)) = o:F(u) + o:G(u) == (o:F)(u) + (o:G)(u) = (o:F + o:G)(u). Logo o:(F +G) = o:F + o:G.
Do que vimos até aqui neste parágrafo podemos concluir que se U e V sãoespaços vetoriais sobre IR, então L(U, V) também é um espaço vetorial sobre IRem relação ao par de operações consideradas acima.
No próximo passo, introduziremos a importante operação de composiçãode transformações lineares.
125
Defmição 3 - Sejam U, V e W espaços vetoriais sobre IR. Se F: U -+ V eg: V ~ W são transformações lineares, define-se a aplicação composta de F e G (notação: G o F) da seguinte maneira:
G o F: U -+ W e (G o F)(u) = G(F(u)), Vu E U.
GoF
É fácil provar que G o F E L(U, W). De fato:
(a) (G o F)(U1 + Uz) = G(F(U1 + Uz)) = G(F(ud + F(Uz)) == G(F(ud) + G(F(Uz)) = (G o F)(u1) + (G o F)(U2)'
(b) Fica como exercício mostrar que
(G o F)(au) = a(G o F)(u).
É importante considerar, quanto à composição, o caso U = V = W. Poisquando isto acontece (G, F) -+ G o F passa a ser uma operação em L(U) queapresenta as seguintes propriedades:
(I) (H o G) o F = H o (G o F), V H, G, F E L(U)(associativa);
(11) IoF = F o I = F, V- F E L(U) (o operador idêntico é o elementoneutro da composição);
(III) H o (F + G) = H o F + H o G e (F + G) o H = F o H + G o H V F,G, H E L(U) (a composição é distributiva em relação à adição).
A verificação de (I) e (11) fica como exercício. Quanto à (III) sua primeiraparte se prova assim: para todo u E V, ((H o (F + G))(u) = H((F + G)(u)) == H(F(u) + G(u)) = H(F(u)) + H(G(u)) = (H o F)(u) + (H o G)(u) = (H o F ++ H o G)(u); logo H o (F + G) = H o F + H o G.
Notas:
1) A operação (F, G) -+ F o G não é comutativa em geral. Por exemplo,dados F: lR? -+ lR? e G: lR? -+ lR? por F(x, y) = (x + y, O) e G(x, y) = (x, 2y),então
126
(G o F)(x, y) = G(F(x, y)) = G(x + y, O) = (x + y, O) e
(F o G)(x, y) = F(G(x, y)) = F (x, '2y) = (x + 2y, O).
Logo G o F =1= F o G.
2) No conjunto L(U) define-se potenciação para expoentes naturais assim:FO = I (operador idêntico); F1 = F; F2 = F o F; F3 = F o F o F; ... Contudo ébom observar que para essa potenciação podemos ter resultados em princípiocuriosos como F2 = I, com F =1= I e F =1= - I, Fn = O (operador nulo) com F =1= O.Um operador F E L(U) tal que F2 = F chama-se idempotente (ou projeção); seFn = O, para um certo número natural n, então F se diz nilpotente.
Exemplos
1) F: IR2 -+ IR2 onde F(x, y) = (O, x) é nilpotente pois:
F2 (x, y) = F(F(x, y)) = F(O, x) = (O, O) = O(x, y)
o que nos garante que F2 = O.
2) O operador derivação D: Pn(IR) -+ Pn(IR) é nilpotente (por quê?).
EXER~~RESOLVIDOS1. Sejam F: IR? -+ 1R2 e G: 1R3 -+]R2 as transformações lineares definidas por F(x, y, z) =
= (x + y, z) e G(x, y, z) = (x, y - z). Determinar as seguintes transformações linearesde ]R3 em IR?:a) F + G e
b) 2F - 3G.
Solução
a) (F + G)(x, y, z) = F(x, y, z) + G(x, y, z) = (x + y, z) + (x, Y - z) = (2x + y, y);
b) (2F - 3G)(x, y, z) = (2F)(x, y, z) - (3G)(x, y, z) = 2F(x, y, z) ~ 3G(x, y, z) == 2(x + y, z) - 3(x, y - z) = (-x + 2y, -3y + 5z).
2. Sejam F: 1R2 -+]R e G: ]R -+ IR as transformações lineares definidas por F (x, y) = x + 2ye G(x) = 2x. Determinar a transformação G o F.
Solução
(GoF)(x, y) = G(F(x, y» = G(x + 2y) = 2(x + 2y) = 2x + 4y.
Observemos que a composta F o G não está definida.
]27
3. Consideremos F, G E L(R2) definidos por F(x, y) = (x - y, x) e G(x, y) = (x, O).Determinar:
a) 2F + 3G;
b) FoG;
c) GoF;
d) F2;
e) G2.
Solução
a) (H o (F + G»)(x, y, z)= (H o F + H o G)(x, y, z) = H(F(x, y, z» + H(G(x,y, z» =
= H(O, 2x) + H(x - y, x)= (2x, -2x) + (2x - y, -y) = (4x - y, -2x - y);
b) «H + l) o F)(x, y, z) = (H o F + F) (x, y, z) = (2x, - 2x) + (O, 2x) = (2x, O).
6. Seja B = {el' e2, e3} a base canônica do R 3. Se F E L(R3) é o operador tal queF(el) = e2, F(e2) = e3 e F(e3) = el,
a) (G o F)(x, y) = G (F (x, y)) = G(O, x) = (O, O).
Notemos que G o F é o operador nulo, embora nem G e nem F o sejam.
4. Sejam F, G E L(R2) definidos por:
F(x, y) = (O, x) e G(x, y) = (x, O).
b) (F o G)(x, y) = F(G(x, y» = F(x, O) = (O, x).
Notemos que F o G = F, embora G não seja o operador idêntico do R 2.
c) (G o F)2 (x, y) = (G o F)«G o F)(x, y)) = (G o F)(O, O) = (O, O);
d) (F o G)2 (x, y) = (F o G)( (F o G)(x, y)) = (F o G)(O, x) = F (G(O, x» =
= F(O, O) = (O, O).
Notemos então que G o F = Oe que F o G é um operador nilpotente pois (F o G)2 = O.
Solução
Todas as transformações a serem determinadas pertencem a L(R2).
a) (2F + 3G)(x, y) = 2F(x, y) + 3G(x, y) = 2(x - y, x) + 3 (x, O) = (5x - 2y, 2x);
b) (F o G)(x, y) = F(G(x, y.» = F(x, O) = (x, x);
c) (G o F)(x, y) = G(F(x, y)) = G(x - y, x) = (x - y, O);
d) F2 (x, y) = F(F(x, y)) = F(x -y, x) = (-y, x - y);
e) G2 (x, y) = G(G (x, y» = G(x, O) = (x, O).
Como G2 = G, então G é um operador idempotente.
Solução
a) F(x, y, z) = F(xel + ye2 + ze3) = xF(el) + yF(e2) + zF(e3) = (z, x, y);
b) I F2(x, y, z) = F(z, x, y) = (Y, z, x) e F3(x, y, z) = F(y, z, x) = (x, y, z) = I(x, y, z).
Logo F3 = L Como F 2 o F = F oF2 = F3, então F2 = F-I.
a) determinar F(x, y, z);
b) mostrar que F 3 = I e que, portanto, F 2 = F-I.
Solução
(G o F + I)(x, y, z) = (G o F)(x, y, z) + (x, y, z) = G(x - y, y - z) + (x, y, z) =
= (x - 2y + z, - x + 2y - z, x - z) + (x, y, z) = (2x - 2y + z, - x + 3y - z, x).
Determinemos Ker (G o F + I) pela resolução do sistema:
{
2x - 2y + z = O
-x + 3y - z = O
x = O
Não oferece dificuldade verificar que a única solução desse sistema é a trivial e queportanto Ker (G o F + I) = {(O, O, O)}. Assim G o F + I é um automorfismo do R 3.Determintl\Dos o isomorfismo inverso. Façamos G o F + I = H. Suponhamos H-I (x, y, z) == (a, b, c). Então (x, y, z) = H (a, b, c) = (2a - 2b + c, -a + 3b - c, a). Daí
{
2a - 2b + c = x
-a + 3b - c = y
a =z
7. Sejam F E L(R3, R 2) e G E L(R2, R 3) dadas respectivamente por F(x, y, z) = (x - y,y - z) e G(x, y) = (x - y, y - x, x + y). Sendo I o operador idêntico do R 3 verifiquese G o F + I é um automorfismo do R 3. Se for, determine o automorfismo inverso.
c) (G o F)2.
d) (F o G)2;
Determinar:
Solução
a) G o F;
b) F o G;
5. Sejam F, G E L(R3, R 2) definidas por F(x, y, z) = (O, 2x) e G(x, y, z) = (x - y, x) eH E L(R2) dado por H(x, y) = (x + y, x - y). Determinar:
a) H o (F + G) e
b) (H + I) o F,
onde I indica o operador idêntico de R 2.
cuja solução é (z, x + y - z, 3x + 2y - 4z). Logo
H-I (x, y, z) = (z, x + y - z, 3x + 2y - 4z).
8. Consideremos as seguintes transformações lineares do R 3 no R 2: F(x, y, z) = (y, x + z) eG(x, y, z) = (2z, x - y). Mostrar que {F, G} é linearmente independente no espaçoL(R3
, R 2).
128 129
(1)
L
Solução
Suponhamos o<F + {3G = °(transformação nula). Temos então (o<F + (3G)(x, y, z) == (O, O), V(x, y, Z) E IR3
. Em particular tiramos o seguinte:
(O/F + (3G)(I, 0, O) = O/F (1, 0, O) + (3G(I, 0, O) = 0/(0, 1) + (3(O, 1) = (O, O< + (3) == (O, O). Daí O< + {3 = O.
Analogamente (o<F + (3G)(O, 0, 1) = (2{3, 0/) = (O, O) do que segue 0/ = 2{3 = O. Logo 0/ =={3=O.
Notemos que bastaria ter aplicado O/F + (3G em(O, 0, 1) para concluir o exercício. Normalmente seriam necessárias as duas relações obtidas mais a relação resultante de aplicar O/F + {3Gao vetor (0,1, O).
9. Se!a F E L (IR3) definida por F (x, y, z) (3x, x - y, 2x + y + z). Mostrar que
(F - I) o (F - 31) = °(operador nulo).
Solução
(F2 - I) (x, y, z) = (8x, 2x, 9x). Por outro lado (F - 31)(x, y, z) == (O, x - 4y, 2x + y - 2z).
Portanto «F2 - I) o (F - 31))(x, y, z) =(F2 - 1)(0, X - 4y, 2x + y - 2z) =(O, O, O).Poderíamos também ter observado que (F 2 - I) O(F - 31) = F3 _ 3F2_ F + 31.
10. Seja F um operador idempotente (isto é, F2 = F) de um espaço vetorial V. Mostrar queV = Ker(F) e Im (F).
Solução
Todo vetor v E V pode ser assim escrito: v = (v - F(v» + F(v). A segJ.lnda parc.elaobviamente está no sub-espaço Im (F). A primeira está no núcleo pois F(v - F(v» == F (v) - F2(v) = F(v) - F(v) = o. Por outro lado suponhamos que vE Ker(F) n Im (F).Então v = F(u), com u E V, e F(v) = F2(u) = F(u) = o. Logo v = o.
11. Sejam U e V espaços vetoriais de dimensão finita e F E L(U, V). Define-se posto de F(notação p (F» do seguinte modo: p(F) = dim Im (F). Mostrar que:
a) p (F + G) ..,; p(F) + p(G), VF, G E L(U, V);
b) p (F o G) ..,; min {p(F,), p(G)},VF, G E L(U).
Solução
a) Observemos primeiro que Im (F + G) c Im (F) + Im (G). De fato, dado v == (F + G)(u) E Im (F + G), então v = F(u) + G (u) o que mostra que v é umelemento de Im (F) + Im (G). Então dim Im (F + G) ..,; dim (Im (F) + Im (G» == dim Im (F) + dim Im (G) - dim (Im (F) n Im(G» ..,; dim Im (F) + dim Im (G), ouseja, p (F + G) ..,; p (F) + p(G).
b) Notemos de início que Im (F o G) c Im (F), pois dado v = (F o G)(u) E Im (F o G),então v = F(G(u» e como G(u) está em U,então VE Im (F). Logo p(F o G)"'; p(F).Por outro lado se considerarmos F como transformação linear de Im (G) em U, o
130
teorema do núcleo e da imagem nos garante que dim Im (G) ;;. dim Im (F o G), isto é,
p (F o G) ..,; p (G).
Portanto p (F o G) ..,; min {p (F), p (G)}.
12. Sejam F E L(V) e Uo E V tais que Fn = O (operador nulo) e Fn - 1 (uo) '* o. Mostrar que
{uo, F (uo), F2 (uo), ... , Fn- 1(uo)}
é um conjunto L.I. em V.
Solução
Suponhamos que O<oUo + O/IF(UO) + + O/n_1Fn-1(uo) = o com
0/0, 0/10 , O/n-l E IR.
-, , n - n+l Fn+2 O A I' Fn- 1 (1) TE obVIO que se F = O, então F= = ... = . piquemos em. eremosn-l n n+l) F2n- 2 F n- 1( ) - CO/oF (uo) + O/IF (uo) + 0/2F (uo + .... + O/n-l = 0<0 Uo - o. omo
Fn- 1(uo) '* o, então % = O. Eliminando O<ouo de (1) e aplicando Fn - 2 às parcelas restantes
chegaremos a 0/1 = O. Repetindo o raciocínio mais n - 2 vezes iremos concluir que
0/0 = 0/1 = .. , = O<n-l = O.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
I. Sendo F, G e H E L(IR2) definidos por F(x, y) = (x, 2y), G(x, y) = (y, x + y) eH(x, y) = (O, x), determinar F + H, F o G, G o (H + F), G o F, H o F, H o F o G eG oF oH.
2. Sejam F, G E L (IR3) assim definidos:
F(x, y, z) = (x + y, z + y, z) e G(x, y, z) = (x + 2y, y - z, x + 2z)
Determinar:
a) F o G;
b) Ker (F o G) e Im (Go F).
c) uma base e a dimensão de Ker (F2 o G).
3, Sejam F E L(IR2, IR3) e G E L(IR3
, IR2) assim definidas:
F(x, y) = (O, x, x - y) e G(x, y, z) = (x - y, x + 2y + 3z).
Determinar F o G o F .
4. Seja F E L(IR2) dado por F(x, y) = (y, x). Determine Fn(x, y), sendo n ;;. 1 umnúmero inteiro. Mesmo exercício com G E L(IR2) dada por G(x, y) = (x, O).
5. Seja F E L(IR2) o operador dado por F(I, O) = (2,5) e F(O, 1) = (3,4). Verificarse são automorfismos do IR2: G = I + F e H = I + F + F2.
131
6. Mostre que os operadores F, G, H E L(lR.2) dados por F(x, y) = (x, 2y), G(x, y) == (y, x + y) e H(x, y) = (O, x) formam um conjunto L.I. em L(lR.2).
15. Sejam F e G operadores lineares de um espaço V tais que F O G := G O F. Mostrar queKer(F) + Ker(G) c Ker(F O G).
7. Sejam F e G dois operadores lineares de um espaço vetorial V. Mostre que Ker(G) cc Ker (F o G). Dê um exemplo onde vale a igualdade.
16. Seja F E L(V) um operador tal que F 2 - F + I := O. Mostrar que F é inversível e queF-I:=I-F.
8. Sejam F E L(V, V) e G E L(V, W) tais que Ker(F) := {o} e Ker(G) := {o}. Provar queKer(G O F) := {o}.
*9. Sejam Ve V sub-espaços do espaço W tais que W := V EIlV. Todo vetor w E Wse escreve,de maneira única, da seguinte forma: w := U + v(u E V e v E V). Sendo P1 e P2 as projeções dadas por P1(w) := U e P2(w) := v, mostrar que:
(a) Pl2 = P1 e P2
2 = P2;
(b) PI + P2 = I;
(c) P1 o Pz = P2 o P1 = O (operador nulo de W).
17. Sejam F, G E L(V) tais que F O G := G O F. Mostl'ar que:
a) (F + G)2 = F2 + 2 (F o G) + G2;
b) (F + G) o (F - G) = F2 _ G2.
*18. Seja {u}, u2, ... , un} uma base de um espaço vetorial V de dimensão n. Considerandoo operador linear T E L(V) tal que T(UI) = u2, T(u2) = u3, ... , T(un) = u},mostre que Tn = I mas que Tn - l *- I.
19. Mostrar que o operador derivação em Pn(IR) é nilpotente.
10. Mostrar que um operador F E L(V) é idempotente se, e somente se, I - F é idempotente.
11. Seja F E L (IR4 ) dado por
F(x, y, z, t) = (O, x, y + 2x, z + 2y + 3x).
Mostrar que:
a) F4 = O;
b) I - F é um automorfismo do IR4 e I + F + F2 + F3 = (I _ F)-l.
*20. Sejam F, G E L(V). Se F é um automorfismo e a é um escalar *- O, mostrar que:
p(aG) = p(G) e p(F o G) = p(G o F) = p(G).
(Veja exercício resolvido n9 11).
132
12. Seja <r o espaço vetorial dos números complexos sobre IR. Consideremos F, G E L(<r)assim definidas:
133
m
F(Uj) = I aijVi (j = 1, 2, ... , n)i=l
2. MATRIZ DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR
ou simplesmente
Sejam U e V espaços vetoriais de dimensão nem, respectivamente, sobre IR.Consideremos uma transformação linear F: U --+ V. Dadas as bases B = {UI,' .. , un}
de U e C = {VI, ... , vm } de V, então cada um dos vetores F(UI)' ... , F(un)está em V e conseqüentemente é combinação linear da base C:
F(UI) = au VI + a21 V2 + + a ml Vm
F(Uz) = al2 v I + a22 v2 + + a m2 Vm
onde os aij estão univocamente determinados.
(f + i f~z e G(z) = iz, z E (C. Calcular:
d) F o G;
e) CF o G) o CF o G).
F(z) =
F2;
F4;
'G2 ;
a)
b)
c)
13. Determinar se os seguintes operadores lineares do IR3 são idempotentes ou nilpotentesou nenhuma das duas coisas:
a) F(x, y, z) = C-x, -y, -z); t':(-(cJ,.,,'lh (1 .,~, LIb) F(x, y, z) = (z, x, y); f'l= f ( 6,1, "(j! ~'ôl !:J'-~
c) F(x,y,z)= (x,O,z); ~2,f(II(0" ~·l"'.\",'l\
d) F ( ) (O O) 1 I \' ·0 '\x, y, z = , ,x. \("C. 'I \ O,\) ,7- -o 'o, ",
14. Seja F E L(IR2) definido por F(x, y) = (x, x + y).
a) Determinar F 2;
b) MostrarqueF 2- 2F + I :=(F - 1)2:= Ornas que F - I*- O.
....
Defmição 4 - A matriz m X n sobre IR
134
que se obtém das considerações anteriores é chamada matriz de F em relação àsbases B e C. Vsaremos para indicar essa matriz a notação
(F)B,C
F(Ul) = (1, O) = 1VI + OV2
F(~) = (1, 1) = OVl + 1V2
F(U3) = (O, 1) = -VI + V2 (verifique)
Notas:
1) Se F é um operador linear e considerarmos B = C, então diremos apenasmatriz de F em relação à base B para indicar a matriz acima definida e usaremosa notação (F)B para representá-la.
n n nDado u = I ajUj E V, F(u) = I ajF(uj) = I ajG(Uj) = G(u), ou seja F = G.
j=l j=l j=l
135
F(1, O, O) = 1(1, O) + 0(1, 1) = (1, O)
F(O, 1, O) = 2(1, O) + 1(1, 1) =:= (3, 1)
F(O, 1, 2) = 3(1, O) + 0(1, 1) = (3, O).
Exemplo - Dada a matriz
Que F ~ (F) é sobrejetora é conseqüência direta da definição de matriz deuma transformação linear e do lema que precede o teorema 2 (pág. 118).
F ~ (F)
Demonstração - Suponhamos F, G E L(V, V). Se tivermos (F) = (G) entãoas respectivas colunas de (F) e (G) são iguais e daí F (Uj) = G(Uj) (j = 1, ... , n).
G~ ~)ache F E L(IR3, IR2) de maneira que, sendo
B = {(I, O, O), (O, 1, O), (O, 1, 2)} e C = {(1, O), (1, I)},
se tenha M = (F)B,C.
Da definição de matriz de F decorre que devemos ter:
de L(V, V) em Mm x n(IR).
I(un) = Un = alnvl + ... + annVn
o que mostra que (I)n,c é a matriz de mudança da base C para a base B.
Sejam V e V espaços vetoriais sobre IR de dimensões nem respectivamente.Conforme vimos, uma vez fixadas uma base de Ve uma base de V, a cada transformação linear F E L(V, V) está associada uma única matriz (F) real m x n. Ou seja,ficou defmida uma aplicação
.---~roposição 1 - Sejam V e V espaços vetoriais sobre IR de dimensões nemrespectivamente. Então, fixadas as bases B = {UI, ... , un} e C = {VI>' .. , vm} deV e V, respectivamente, a aplicação F ~ (F) que a cada F E L(V, V) associa a matriz de F em relação às bases B e C é bijetora.
I.~
IIIIiJ!
ii
fI.~
(1 0-1)011
(F)n,C =
Logo
1) Qual a matriz de F: IR3 ~ JR.2 dada por F(x, y, z) = (x + y, y + z), emrelação às bases
B = {UI = (1, O, O); ~ = (O, 1, O); U3 = (O, O, 1)} e
C = {VI = (1, O); V2 = (1, I)}?·
(
a11 a12 al n)
~~~ .. ~~2 ~~~ = (ajj)
am1 am2 amn
2) Sempre que não haja dúvidas quanto ao par de bases que estamos considerando escreveremos apenas (F) para indicar a matriz de F em relação a essepar de bases.
Exemplos
2) Seja V um espaço vetorial sobre IR e seja I o operador idêntico de V.Dadas as bases B e C de V, o que é (I)n,c?
Suponhamos B = {UI, ... , un} e C = {VI, ... , vn}. Então, se (I)n,C == (ajj), .
Seja (a, b, c) E IR,3. Supondo
(a, b, c) = x(l, O, O) + y(O, 1, O) + z(O, 1, 2)
c cobtemos: x = a, y = b -"2 e z =2' Logo
F(a, b, c) = F(a(l, O, O) + (b - ~ )(0, 1, O) + ~ (O, 1, 2)) =
= a(l, O) + (b ~ ~ )(3, 1) + ~ (3, O) =
= (a + 3b, b - ~).
Conclusão: Reunindo os resultados obtidos até aqui neste parágrafo, tira-se a conclusão que, dados os espaços vetoriais U e V sobre IR, ambos de dimensão finita, efixando uma base de U e uma base de V, a aplicação:
F -* (F)
é um isomorfismo do espaço vetorial L(U, V)JlO espaço vetorial Mmxn(IR), desdeque dim U = n e dim V = m. Em particular conclui-se que dim L(U, V) = m • n poisesta é a dimensão de Mmxn(IR), conforme já vimos.
3. MATRIZ DA TRANSFORMAÇÃO COMPOSTA
Vejamos agora como se comporta a correspondência F -* (F) entre os espaçosvetoriais L(U, V) e Mm xn(IR).
Dados F, G E LCU, V), se (F) = (aij) e (G) = (t3ij), em relação ao mesmo parde bases B e C, determinemos a matriz de F + G em relação a esse par de bases.
Seja U, Ve W espaços vetoriais sobre IR de dimensões m, n e p, que admitembasesB = {U1""'Un},C = {v1, ... ,vm }eD = {w1, ... ,wp},respectivamente. Supondo F E L(U, V), G E L(V, W) e que (F)B,C = (aij) e (G)c,D = ({3 ki),pretendemos determinar (G o F)B, D.
Supondo B = {Ui> ... , un} e C = {Vi> ... , vm }, então
m m(F + G)(Uj) = F(uj) + G(Uj) = I aijVi + I t3ijVi =
i=1 i=1
m
I (aij + t3ij)Vi (j = 1,2, ... , n).i=1
.,l
Seguindo a defmição de matriz de uma transformação linear:
(G o F)(uj) ~ G(F(Uj)) ~ G (%. "'Jv) ~ %. .ijG(v,) ~
= I aij f t3kiWk = f (i t3ki a ij) Wk·i=1 k=1 k=1 1=1
Um raciocínio análogo ao da parte anterior (fica como exercício) leva aoseguinte resultado:
Em resumo: a matriz da soma de duas transformações lineares é a soma dasmatrizes de cada uma, em relação ao mesmo par de bases. Isto significa que a correspondência F -* (F) comporta-se bem em relação à adição.
(W) = (Àaij) = À(aij) = À(F)
isto é, a matriz do produto de uma transformação linear por um número é iguala esse número multiplicado pela matriz da transformação linear dada.
de (G)C,D • (F)B,C' Logo temos a igualdade
(G o Fh,D = (G)c,D • (F)B,C.
Costuma-se dizer (imprecisamente) que a matriz de G o F é igual ao produto damatriz de G pela matriz de F. .
É de se esperar que isomorfismos e matrizes inversíveis estejam relacionados.É o que veremos a seguir.
Sejam U e V espaços vetoriais sobre R de dimensão m. Se B e C são basesde U e V, respectivamente, e F: U -* V é um isomorfismo, mostremos que(F)B,C é inversível e que a sua inversa é dada por (F- 1)c,B' Isto é conseqüênciadireta da fórmula da matriz da composta, obtida logo acima:
m
Logo o termo geral de (G o Fh,D é 'Ykj = I t3kiaij que é o termo gerali=l
Sejam U e V como acima e tomemos À E IR. Supondo (F)(ÀF), em relação ao mesmo par de bases?
136 137
(F>B c . (F-1)c B = (FoF-I)c = In e, ,
(F-I)c B . (Fh C = (F-I OFh = In, ,
pois a matriz do operador idêntico, tanto de U como de V, é In. As igualdadesobtidas provam nossas afirmações.
Exemplo - Consideremos o isomorfismo F: R 2 -+ P1(R) dado por:
F(x, y) = x + (x + y)t.
Considerando as bases canônicas B = {(I, O), (O, I)} e C = {I, t} desses espaços,determinemos (F)B,C' Como
Daí então:
Portanto
M-I(T)BM = (I)B,cCT)B(I)C,B = (I)B,cCT)c,B = (T)c
conforme havíamos afirmado. -
(2
102 °1)(F)B,C =e daí
De (3) vem
De (2) vem
139
F (1, 1, 1) = (1, 2) = alO, 3) + b l (2, 5) O)
F (1, 1, O) = (O, 2) = a20, 3) + b2(2, 5) (2)
F O, O, O) = (O, 1) = a30, 3) + b3 (2, 5) (3)
2. Seja F E L (IR3, IR2) definida por F(x, y, z) = (z, x + y) (a mesma aplicação do exemplo1). Determinar a matriz deFemrelação às bases B ={O, 1, 1), (1,1,0),(1, O, O)}do IR3 e C = {O, 3), (2, 5)} do IR 2.
De (1) vem:
Solução
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1. Seja F E L(R.3 , R.2) definida por F(x, y, z) = (z, x + y). Determinar a matriz de F emrelação às bases B = {(I, 1, 1), (1, 1, O), (1, O, O)} de R.3 e C = base canônica do R.2.
Solução
F(l, 1, 1) = (1, 2) = 1 (1, O) + 2(0, 1)
F(l, 1, O) = (O, 2) = 0(1, O) + 2(0,1)
F(1, O, O) = (0,1) = 0(1, O) + 1(0,1)
JI13R
(F)B,C ~ (: nCalculemos a inversa dessa matriz:
(: ~ ~~) (~~i-ln 'portonto (_: ~)é a inversa da matriz de F, ou seja, é a matriz de F-I em relação a C e B. Daí:
F-I (1) = (1, -1) e
F-I (t) = (O, 1)
do que se conclui que F-I (a + bt) = a(1, -1) + b(O, 1) = (a, -a + b). Esta éa lei que define F-I.
então:
Proposição 2 - Nas condições acima, se M é a matriz de mudança da base Bpara a base C, então (T)c = M- I • (T)B . M.
Demonstração - Já vimos (exemplo 2, parágrafo 2 deste capítulo) que amatriz de mudança de B para C é (I)c,B, isto é,
M = (I)c,B'
F(I,O)= 1 + 1t
F(O, 1) = 1t
Como um resultado importante das fórmulas acima, vejamos como se resolveo seguinte problema:
Seja U um espaço vetorial de dimensão n sobre R. Dadas as bases B == {UI, ... , un} e C = {VI, ... , vn} de U e dado TE L(U), pretendemos estabelecer uma fórmWa que relacione (Th com (T)c. Isto com a seguinte fmalidade:quando se muda da base B para a base C, o que acontece com a matriz deT E L(U)?
a) F(x, y) = (2x, 3y - x) e base canônica;
b) F(x,y) = (3x-4y,x + 5y)ebaseB = {(1,2),(2,3)}.
3. DeterminaI a representação matricial de cada um dos seguintes operadores do IRz em relação às bases indicadas:
5. Seja F E L(Pz (IR» definido por F (g(!)) = (1 - t)g' (t). Determinar a matriz de F emrelação à base canônica de Pz (lR).
Solução
A base canônica de Pz (lR) é B = {I, t}. Usemos a definição de matriz de uma transformação linear:
-> (F)B=F (1) = (1 - t)O = O • 1 - Ot
F (t) = (1 - t)l = 1 • 1 - 1t
(-1 4 2)1 -2 -1
(F)B,C =
Portanto
Solução
a) F(I, O) = (2, -1) = 2(1, O) -1(0, 1)
F(O, 1) = (O, 3) = 0(1, O) + 3 (O, 1)
6. Seja F o operador linear do lRz cuja matriz em relação à base B = {(.1, 1), (1, -I)} é
(F)B ~ Gnb) F(l, 2) =(-5,11) = al(1, 2) + bl(2, 3) (1)
F(2, 3) = (-6, 17) = az(1, 2) + bz (2, 3) (2)
DeterminaI a matriz de F em relação à base canônica, usando a fórmula de mudança de basepara um operador linear.
De (1) vem
De (2) vem
Solução
Indicando por C a base canônica devemos aplicar a fórmula (F) C = M-l(F) BM, onde M
é a matriz de mudança de B para C. Calculemos M.
{
(1,O)=X(I,I)+Y.(1,-I) 1 1->x=2 eY =2
(O, 1) = z (1, 1) '/- t (1, - 1)
. d 1 1 D'e,ama,z=T e t=-T' ai
Portanto
(37 52)
- 21 - 29
4. DeterminaI o operador F do IRz cuja matriz em relação à base B = {(1, 1), (1, 2)} é:
(~ +) -1 (1 1)M = e M =1 1 1 -1
T -2
Portanto
Solução
Pela definição de matriz de uma transformação temos:
F (1, 1) = 1 (1, 1) + 1 (1, 2) = (2, 3)
F(1, 2) = 0(1, 1) + 2(1, 2) = (2,4)
(F)c ~ (: ~:)G~)c~D~
(: ~:)G~D~ (~: ~:)Escrevamos (x, y) como combinação lineaI da base B: (x, y) = aO, 1) + b(1, 2), logoa + b = x e a + 2b =y e daí a =2x - y e b =y - x. Portanto F(x, y) =(2x - y)(2, 3) ++ (y - x)(2, 4) = (2x,2x + y).
7. Considere <C como espaço vetorial sobre lR. Determine a matriz do operador F E L(O::)
dado por F (z) = z, Vz E <C, em relação à base {I, i} e em relação à base {1 + i, 1 + 2i}.
140141
b) F(l + i) = 1 - i = al(l + i) + bl(l + 2i) = 3(1 + i) - 2(1 + 2i)=>
F(1 + 2i) = 1 - 2i = a2(1 + i) + b2(l + 2i) = 4(l + i) - 3(1 + 2i)
> (F) = (3 4)-2 3
Solução
a) F(I) == I = I = I • I + O • I
F (i) = T == -i == O • I + (-l)i> (F) = (I O)
O -I
O 1 O O
O O 2 O
O O O O(D)B =
o ••••••••••••••••
O O O n
O O O O
10. Seja F E L (P3 (IR), IR) a transformação linear assim definida:
8. Seja V um espaço vetorial de dimensão 3. Seja B = {el, e2, e3} uma base de V. SendoFo operador linear de V tal que F(el) = e2 e que deixa fixos todos os vetores de W == {xel + ye2 + ze3 I x - y + z = O}, determinar (F)B'
Solução
Inicialmente achemos um sistema de geradores de W. Um vetor típico de W é da formaw =" xel + (x + z)e2 + ze3 = x(el + e2) + z(e2 + e3)' Logo W = [el + e2, e2 + e31.Juntando o fato de F ser linear com o fato de F deixar fixos os elementos de W tiramos:
F(el + e2) = F(el) + F(e2) = e2 + F(e2) = el + e2'
do que segue F (e2) = el e ainda,
F(e2 + e3) = F(e2) + F(e3) = el + F(e3) = e2 + e3
que acarreta F(e3) = -el + ~ + e3' Em resumo temos:
F(el) = Oel + 1e2 + Oe3
F(~) = leI + Oe2 + Oe3
F(e3) = -el + e2 + e3
F(g(t» = S: g(t)dt.
Determinar a matriz de F em relação às bases B = {I, t, t2, t3} e C = {I}, de P3 (IR) eIR, respectivamente.
Solução
F(l) = r dt = t Io = 1; F(t) = S.l t dt = .f lo J.... Analogamenteo 1 o 2 1 2'
F(t2
) =; e F(t3
) =t. Logo (F)B,C = (1 ; ; ~).
11. Verificar matricialmente se o operador linear F E L (IR?) dado por F (x, y, z) = (x - y,2y, y + z) é inversível. Se for, ache F-I também por meio de matrizes.
Solução
A matriz de F em relação à base canônica do IR3 é
142
9. Determinar a matriz do operador derivação em Pn(IR) em relação à base canônica desseespaço.
(: -1
oM= 2
1
Como
C-1 O 1 O
o(' -1O 1 O 0-2 O O 1 O 1 O O
1T
1 1 O O O 1 1 O O
O O1
O2
O O O1
OT
O O 1 O1
1-2
143
e, portanto,
Solução
A base canônica de Pn (IR) é B = {I, t, t2, ... , tn}. Então
D (1) = O = O 1 + Ot + Ot2 + + Otn
D (t) = 1 = 1 1 + Ot + Ot2 + + Otn
Achemos agora G(x, y). Como
G(l, O) = 1(1, O, O) + (-1)(0, 1, O) + 3(0, 0,1) = (1, -1, 3)
G(O, 1) = 1(1, O, O) + 2(0, 1, O) + !(O, O, 1) = (1,2, 1),
então
G(x, y) = x(l, -1, 3) + y(l, 2, 1) = (x + y, -x + 2y, 3x + y).
15. Seja W = U $ V e suponhamos U e V invariantes pelo operador linear F E L(W), isto é,F(U) c U e F(V) c V. Supondo dim U = m e dim V = n mostre que existe uma basede Wem relação à qual a matriz de F é da forma
(~~j--~,")onde A e B são matrizes de ordem m e n, respectivamente, 0m, n é a matriz nula de ordemm X n e 0n, m a matriz nula de ordem n X m.
Solução
Se {UI> , um} e {VI> ... , vn} são bases de U e V respectivamente, então B == {Ui, , um, Vi, ... , vn} é uma base de W. Calculemos a matriz de F em relação a
essa base. Como F(ui) E U(i = 1, , m) e F(Vj) E V (j = 1, ... , n), então
F(Ul) = anUi + + amlum
{
a2 + bc = 1
ab = O«a2 + bc)x + aby, acx + bcy) = (x, y) =>
ac = O
bc = 1
Resolvendo o sistema obtido encontramos a = O e bc = 1, ou seja, c = b-l. Então satisrázem as condições do problema todos os operadores do IR2 dados por S(x, y) = (by, b-lx) ,
b * O.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1. Seja F E!' (!R3 , IR2) definida por F (x, y, z) = ~i!:l y -i~} Determinar l"F)i9
sendo B - {(I, 2, 1), (O, 1, 1), (O, 3, -I)} e C - (<l, 5), (2, -I)}. '~__/
2. Determinar as matrizes das seguintes transformações lineares em relação às bases canônicas dos respectivos espaços:
/3') 2 "(I) F E L (IR, IR ) definida por F (x, y, z) = (x + y, z);
(11) F E L(IR2, IR3 ) definida por F (x, y) = (x + y, x, x - y);
(IlI), F E L(IR4 , IR) definida por F(x, y, z, t) = 2x + y - z + 3t;
(IV) F E L(IR, IR3 ) definida por F(x) = (x, 2x, 3x).
73) No espaço vetorial M2 (IR) seja
M = (: :)
F(vn) =Determinar a matriz do operador linear F E L (M2 (IR» dado por F (X) = MX - XM,em relação à base canônica
Fazendo
( ~~l.• :::. ~~~)13m '" I3nn
teremos
16. Determinar todos os operadores lineares S do IR2 tais que S (x, y) = (ax + by, cx) eS2 = I (operador idêntico).
Solução2S (x, y) = S(ax + by, cx) = (a(ax + by) + bcx, c(ax + by» =
146
(: :) (: :) (~ ~) (: ~)de M2 (IR).
4. Seja F o operador linear de M2 (IR) dado por
F~ = (: :) ~V-X em M2 (IR). Sendo B a base canônica do espaço M2 (IR) determine li! traço damatriz (F)B' (Nota: traço = soma dos termos da diagonal principal.)
5. Calcular o traço da matriz do operador linear F E L(IR3) dado por F(x, y, z)= (x,x~y,x+z). GeneralizarparaF(x,y,-z) = (ax + by + cz,dx + ey + fz,gx ++~+W. .
147
6. Seja F o operador linear do 1R2 cuja matriz em relação à base B = {(I, O), (1, 4)} é
(F)p(: :)Determinar a matriz de F em relação à base canônica, usando a fórmula de mudança debase para um operador.
7. Seja B = {ep e2, e3} uma base de um espaço vetorial V sobre IR. Sendo F, G E L(V)dados por F(e l) = e l - e2' F(e2) =el + e3, F(e3) = e2' G(el) = 2el + e3' G(e2) = ele G(e3) = e2 - 3el' determinar em relação à base B as matrizes dos seguintes operadoreslineares:
F, G, F + G, 2F - G, F o G, G o F, F2 + G2, F-I (caso exista) e (F o G)-l (caso exista).
8. Determinar o operador linear do IR2 cuja matriz em relação à base B = {(1, 2), (O, 5)} é
9. Sejam F, G E L(P2(1R), P3(1R» assim definidos: F{p(t» = tp(t) - p(l) e G{p(t» == (t - l)p(t), Vp(t) E P2 (IR). Determinar as matrizes de F e de G em relação aoseguinte par de bases: B = {I, t - 1, (t - 1)2} e C = {I, t - 1, (t - 1)2, (t - 1)3} deP2 (IR) e P3 (IR) respectivamente.
10. Seja F E L{P2 (IR), IR) definida por F(p{t» L: p(t)dt. Determinar a matriz de F emrelação às bases:
14. Sejam F e G operadores lineares do 1R3 tais que: F(x, y,z) = (x, 2y, y - z) e que amatriz de 2F - G em relação à base canônica é
G:ODeterminar a matriz de G em relação à base canônica. Determinar também G(x, y, z).
15. Seja T um operador linear de um espaço ve.torial V de dimensão 2. Se a matriz de Tem relação a uma certa base B de V é
(: :)mostrar que T2 - (a + d)T + (ad - bc)I = O(operador nulo).
16. Sejam V um espaço vetorial de dimensão finita n e F E L(V). Se U é um sub-espaço de Vde dimensão m e se U é invariante pelo operador F, mostrar que existe uma base de V emrelação à qual a matriz de F é da forma
onde A é uma matriz mx m, B é do tipo m x (n - m), O é a matriz nula (n - m) x m eC é quadrada de ordem n - m.
a) B = {I, t, t2} e C = {I};
b) B = {l, 1 +t, -1 + t2 } e C = {-2}. 4. ESPAÇO DUAL
11. Se a matriz de um operador linear F do m.3 em relação à base canônica é
(1 1 O)O 1 O
O 1-1
e se H = I + F + 2F2, determine a matriz de H em relação à base canônica do lR?Ache também H(x, y, z).
12. Determinar todos os operadores lineares F do IR2 tais que F 2 = F e F(x,y) = (ax, bx ++ cy).
Seja U um espaço vetorial sobre R. Conforme já vimos o próprio R é umespaço vetorial sobre R. Logo tem sentido falar em L(U, R) como espaço vetorialsobre R. Este espaço vetorial é chamado espaço vetorial dual de U e: costuma serdenotado por U*. Assim, L(U, R) = U*. Cada elemento de U* recebe o nomede forma linear ou funcional linear sobre V.
Exemplos
]) F: R 3 -+ R dada por F(x, y, z) = 2y é um elem&nto do espaço (R3 )*pois se trata de uma transformação linear de R 3 em R. É portanto uma formalinear sobre R 3 •
13. Determinar todos os operadores lineares F do IR2 tais que F 2
que F(x, y) = (ax + by, cy).
]48
o (operador nulo) e 2) Em geral como se apresenta um elemento F do espaço dual de IRll? SejaF uma forma linear sobre o IRn. Indiquemos por {el> e2,' .. ,en} a base canônica
]49
de IRn, isto é, e I = (1, O, ... ,O), ez = (0,1, O, ... ,O), ... ,en = (O, ... ,O, 1). Da-do então u = (XI> ,xn) E IRn, u é combinação linear dessa base da seguinte ma·neira: u = Xlel + + xnen. Logo F(u) = xIF(el) + ... + xnF(en). Seindicarmos por kl> , kn os escalares F(el)' ... , F(en), respectivamente, tere·mos:
F(XI' ... , xn) = klxl + + knxn .
Por outro lado, dada uma n-upla qualquer (kl' , kn) de números reais é fácilverificar que a aplicação F: lRn """* lR, dada por: F(XI, ... , xn) = klxl + ... ++ knxn é uma forma lineár sobre o lRn. Então podemos afirmar que F E (lRn)* se,e somente se, existem números reais k l , ... , kn de forma que
F(XI' ... , xn) = klxl + ... + knxn, V- (XI, ... , xn) E lRn.
Seja U um espaço vetorial sobre lR de dimensão n. Se B = {UI, ... , un} éuma base de U, então todo vetor desse espaço se apresenta como u = XI UI ++ ... + xnun' com os Xi em lR, e é fácil verificar que pertencem ao dual de Uas aplicações FI, ... , Fn assim definidas:
Fi: U """* lR e Fi(U) = xi (i = 1, ... , n).
Dado F E U* suponhamos que F(ud = k l , . " , F(Un) = kn.
Então F(u) = xlF(ud + + xnF(un) = klxl + ... + knxn = klFI (u) +
+ ... + knFn(u) = (kIFI + + knFn)(u). Como u é genérico conclui-se que
F = klF I + '" + knFn. Com isso provamos que [FI, ... , Fnl = U*.
Por outro lado, S\) admitirmos que alF I + ... + anFn = O (transformaçãonula), teremos:
alF I (uJ + ... + anFn(un) = a n = O
o que vem garantir que {FI, ... , Fn} é um conjunto L.I. em U*.
Assim provamos o seguinte teorema:
Teorema 1 - Se B = {UI> ... , un} é uma base do espaço vetorial U, então asaplicações F 1> ••• , Fn que associam a cada u = XIUI + ... + xnun E U os elementos XI, ... , Xn, respectivamente, pertencem a U* e constituem uma base desteespaço. Logo, se dim U = n, então dim U* = n.
Nota: A base {FI, ... , Fn} construída no teorema acima leva o nome de basedual da base B = {UI, ... , un}.
150 I
Exemplo - Determinar a base dual da base B = {(I, O), (1, In do IR?Sejam UI = (1, O) e Uz = (1, 1). Conforme o exemplo 2 dado neste parágrafo:
FI(x,y)=ax+bye
Fz (x, y) = cx + dy
faltando-nos determinar a, b, c e d. Mas isto é questão apenas de fazer algumassubstituições convenientes:
FI (UI) = aI + bO = 1
F!Cuz) = aI + bl = O
Fz (UI) = cl + dO = O
Fz (uz) = c1 + dI = 1
Logo a = 1, b = -1, c = O e d = 1. Assim a base dual de B é {FI> Fz}, onde:
FI (x, y) = X - Y e Fz (x, y) = y, V(x, y) E lRz.
5. MATRIZES SEMELHANTES
Dadas as matrizes P e Q, ambas quadradas e de ordem n, dizemos que P ésemelhante a Q se, e somente se, existe uma matriz inversível M, também deordem n, de modo tal que:
P = M-IQM.
É fácil ver que a semelhança assim definida é uma relação de equivalência em
Mn(lR).
A semelhança de matrizes está intimamente ligada à mudança de base e representação matricial de operadores lineares.
De acordo com a proposição 2 demonstrada neste capítulo duas matrizes domesmo operador linear são semelhantes. Mas também vale a recíproca desse fato:se P = M- I QM, então P e Q representam um mesmo operador linear. Provemos
esta afirmação.
Tomemos uma base B de lRn (estamos supondo as matrizes reais e deordem n) e seja F E L(lRn ) o operador tal que (Fh = Q. Suponhamos B == {UI, ... , un} eM = (aij)' Consideremos então os vetores do lR
n:
151
é diagonalizável pois se considerarmos a matriz inversível
M - (2 1) então M- l = 1.. (1 1)- 3 -1 53 -2
Definição 5 - Uma matriz quadrada se diz diagonalizável se for semelhantea uma matriz diagonal.
A questão de saber se uma matriz quadrada é ou nã'o diagonalizáve1 é bastanteimportante mas somente será tratada no capítulo 2 da parte 2. A seguir daremosapenas um exemplo.
vn = Cl:lnUI + ... + Cl:nnun ·
Como a matriz M é inversível pode-se concluir que o conjunto C = {VI> •.• , vn}também é 'uma bas.e de ]Rn. Como obviamente M é a matriz de mudança da base Bpara a base C, então M = (I)c,B. Teremos então
P = M-IQM = (I)B,dF)B(I)c,B = (F)c.
Logo P é a matriz de F em relação ã base C.
A semelhança de matrizes aparece também no problema de diagonalizaçãode uma matriz.
Fz (x, y, z) = -x + Y= O} {b l = -1=1 > bz= 1 >
2b3 = O b3 = O
Fazendo (1, 1, O) = et. (O, 1, O) = ez e (O, 0,2) = e3 os coeficientes ai, bi e ci (i = 1,2, 3)nas igualdades acima se determinam levando em conta que Fj (ei) = 1 se j = i e Fj (ei) = Ose j *" i (j == 1, 2, 3). Assim:
:~ }-> {:~ :~ => Ft<x, y, z) = x.
2a3 = O a3 = O
Por último
Analogamente
Fl(el) = ai + az
FI (ez) = az
FI (e3) =
Fz (el) = b l + bz
Fz(ez) = bz
F z (e3) =
Solução
Seja {F1> Fz, F 3} a base dual procurada. Essas transformações são dadas por
FI (x, y, z) = alx + azy + a3z
Fz (x, y, z) = b1x + bzy + b3z
F3(x, y, z) = clx + czy + c3z
Solução
a) (FI + 5Fz )(x, y) = FI (x, y) + 5Fz (x, y) = 2x + y + 5 (x - 3y) = 7x - 14y.
b) (-3FI + 2Fz )(x, y) = -3FI(X, y) + 2Fz (x, y) = -3(2x + y) + 2(x - 3y) =
= -4x - 9y.
2. Determinar a base dual da seguinte base do IR3:
{(l, 1, O), (O, 1, O), (O, O, 2)}
A matriz
e calculando teremos:
M-IAM = (4 0)° -1que é uma matriz diagonal.
F3 (el) = cl + Cz
F3 (ez) = Cz
F 3 (e3) =
= O } {Cl = Cz = O
=0 => 1c3=-2c3 = 1 2
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1. Sejam F I e Fz os funcionais lineares de (IRz)* definidos por F I (x, y) = 2x + y eFz (x, y) = x - 3y. Determinar:
a) FI + 5Fz e
b) -3F I + 2Fz .
3. Verificar se os funcionais lineares FI> F2 , F 3 do (IR3)*, abaixo definidos, formam umabase deste espaço:
Fl(x, y, z) = 3x - y, Fz(x, y, z) = x + 2y + z e F 3 (x, y, z) = 5y - 3z.
Solução
Basta verificar se eles formam um conjunto L.I. pois dim (IR3)* = 3. Suponhamos quealF I + a2 F 2 + a3 F 3 =0 (funcional linear nulo). Então (alFI +a2FZ + a3F3)(x,y,z) == O (número zero), V- (x,- y, z) E IR3. Daí:
ai (3x - y) + az (x + 2y + z) + a3 (5y - 5z) =
= (3al + az)x + (-ai + 2az + 5a3)y + (az - 5a3)z = O, V-x, y, z E IR.
152153
Portanto
{
30<1 + 0<2 = O {0<1 - 20<2 - 50<3 = O
-0<1 + 20<2 + 50<3 = O que é equivalente a 0<2 - 50<3 = O
0<2 - 50<3 = O 0<3 = O
Logo 0<1 = 0<2 = 0<3 = O que vem garantir que {F1> F 2 , F 3} é L.I. e portanto é umabase de (R3 )*.
4. Seja V = R4. Consideremos o sub-espaço W* de V* gerado peios funcionais F 1> F 2 e
F 3 dados por F 1 (x, y, z, t) = 3x t, F 2 (x, y, z, t) = 5z - t e F 3 (x, y, z, t) =x +z.Determinar o seguinte sub-espaço de V:
W = {u E V I F(u) = O, VF E W*}
(Mostre antes que, de fato, W é um sub-espaço de V).
Solução
Mostremos que W é sub-espaço de V. Como F(o) = O, VF E W*, então o E W; se ul eu2 E W, então F(Ul + U2) = F(Ul) + F(u2) = O + O = O, VF E W*, o que mostraque ul + u2 E W; se u E W e O< é um escalar, então F(o<u) = o<F(u) = O< • O= O, paratodo F E W*, o que significa que o<U E W. Por outro lado, como
O<l F 1 + 0<2 F 2 + 0<3F3 = O <=>< > 0<1(3x - t) + 0<2(5z - t) + 0<3 (x + z) = O, "Ix, y, z, t E R
<=> (30<1 + 0<3)X + (50<2 + 0<3)z + (- 0<1 - 0<2)t = O, V x, y, z, t E R
Solução
O teorema do núcleo e da imagem nos diz que dim V = n = dim Ker(F) + dim Im (F) == dim Ker(G) + dim Im (G). Como Im (F) c R, dim R = 1 e F '" O, então dim Im (F) = 1.Analogamente dim Im (G) = 1. Logo dim Ker(F) = dim Ker(G) = n - 1. For outro lado,o teorema da dimensão da soma nos garante que:
dim(Ker(F) + Ker(G» + dim(Ker(F) () Ker(G» = dim Ker(F) + dim Ker(G) = 2n - 2.
Em geral, Ker(F) c Ker(F) + Ker(G) e devido à hipótese Ker(F) '" Ker(G), teremosKer(F) ~ Ker(F) + Ker(G); então necessariamente Ker(F) + Ker(G) = V. Logo
dim (Ker(F) + Ker(G» = n e daí vem
dim (Ker(F) () Ker(G» = (2n - 2) - n = n - 2.
6. Mostrar que as matrizes
não são semelhantes.
Solução
Devemos mostrar que não existe uma matriz inversível
M= (: :)
tal que
ou, o que é equivalente,
<=>
cuja única solução é 0<1 = 0<2 = 0<3 = O, segue que: {Fl> F 2, F 3} é L.I. e dim w* = 3.
É fácil notar que dado u E R 4
U EW <=> F 1 (u) = F 2 (u) = F 3 (u) = O <=>
{
3X - t = O
<=> 5z - t =0
x + z = O
Como a única solução deste sistema é a trivial x = z = t = O, então:
W = {(O, y, O, O) I y E R}.
Uma base de W é {(O, 1, O, O)}.
M-' (: :) M = (: :)
(: :) M = M (: :)
Como
(: :) (: :) (::) (: :)teremos necessaríamente
<=>[
C = a
d = a
O= c
O= c
...
5. Sejam F e G dois funcionais lineares não nulos sobre um espaço vetorial V de dimensão n.Supondo Ker(F) '" Ker(G), determinar as dimensões dos seguintes sub-espaços de V:Ker(F), Ker(G), Ker(F) + Ker(G) e Ker(F) () Ker(G).
154
M= (: :)
que não é inversível para nenhum valor de b pois tem uma linha nula.
155
7. Seja F um operador linear de um espaço vetorial V de dimensão n. Se Fn- l = O(operadornulo) e Fn-2 * O, mostre que existe uma base B de V em relação à qual a matriz de F éda forma seguinte, com aI, ... , an E IR:
aI O O O O
a2 O 1 O O
.....................
an-2 O O 1 O
an-l O O O 1
an O O O O
a) {(1, I, 2), (1, 2, O), (3, 4, O)} do IR3 ;
b) {(1, 2), (O, 1)} do ~;
c) {(O, 1, O, O), (2, 1, O, O), (O, O, 1, 1), (O, O, O, 3)} do IR4 ;
d) {1, t, 1 - t2} do espaço P2 (IR).
4. Seja V = IR3. Considere o sub-espaço W* de V* gerado pelos funcionais F e G dadospor F(x, y, z) = x - y e G(x, y, z) = y - 2z. Determinar uma base do seguinte sub-espaçodeV:W = {UEVIF(u) = O,VFEW*}.
*5. Provar que todo sub-espaço vetorial W de V, com dim W = dim V - 1, é o núcleo de umaforma linear não nula.
F(uo) = Ov + OFn-2 (uo) + ... + 1F(uo) + OUo
Solução
Como Fn- 2 * O, então existe Uo E V de maneira que Fn -2 (uo) * o. Então o exercícioresolvido 12 (§ 1 - deste capítulo) nos garante que é L.I. o conjunto
{uo, F(uo), F2 (uo), ... , Fn - 2 (uo)}.
Logo este conjunto pode ser completado com um vetor v de modo a formar uma base
B = {v,. Fn- 2 (uo), Fn- 3 (uo), •.. ,. F (uo), uo}
do espaço V. Achemos a matriz de F em relação a esta base.
F(v) = alv + a2Fn-2(uo) + ... ~ an_IF(uo) + anuo
F(Fn- 2 (uo» = Fn- l (uo) = Ov + OFn-2 (uo) + ... + OF(uo) + OUo
F (Fn-3 (uo» = Ov + 1Fn- 2 (uo) + ... + OF (uo) + OUo =>
aI ° ° O O
a2 ° 1 O O
=> (F)B = .....................
an_l O O O 1
an ° O O O
*6. Seja V um espaço vetorial de dimensão finita. Sejam u e v dois vetores desse espaço coma seguinte propriedade: ('v'F E V*)(F(u) = o = F(v) = o). Mostrar que {u, v}éL.D.
Sugestão: Se fossem L.I. existiria uma base B de V contendo u e v. Considerar a basedual.
7. Verificar se são bases de (IR3)* os seguintes conjuntos:
a) {F, G, H}, onde F(x, y, z) = 2x, G(x, y, z) = y + z e H(x, y, z) = x - 2z;
b) {F, G, H}, onde F(x, y, z) = 2x + y - z, G(x, y, z) = x e H (x, y,z) = x-y +4z.
*8. Sejam F e G formas lineares não nulas no espaço vetorial V, linearmente dependentes.Prove que Ker(F) = Ker(G) e sua dimensão é n - 1 se dim V = n.
9. Mostrar que a semelhança de matrizes é uma relação de equivalência no conjunto Mn(IR).
10. Verifique se são semelhantes as matrizes:
(-: - ~) , (: :)* 11. Provar que se A e B são semelhantes então An e Bn são semelhantes, para todo n ;;. 1.
Sendo p(t) um polinômio, p(t) = ao + alt + ... + antn, indicamos por p(A) a matriz p(A) = aoI + alA + ... + anAn. Provar que se A e B são semelhantes, entãop(A) e p(B) são semelhantes.
L
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1. Sejam FI e F2 E (1R3)* definidas por FI(x,y,z) = x - 3y + 2z e F 2 (x, y, z) == 2x - y + z. Determinar F I + F2, 2F I + 3F2 e os respectivos núcleos.
2. Seja F E (1R3)* definida por F(l, -1,3) = 0, F(O, 1, -1) = O e F(O, 3, -2) = 1.Determinar F(2, -1, -3).
3. Determinar as bases duais de cada uma das seguintes bases:
156
12. Para que valores de a, b e c (reais) as seguintes matrizes de M2 (IR) são semelhantes?
(:-:) , (:-:)* 13. Sejam A, B, C, D matrizes de ordem n, sendo A e B semelhantes, C e D semelhantes.
É verdade que A + C e B + D são semelhantes?
E quanto a AC e BD?
157
CAPíTULO 6Espaços com Produto Interno
1. PRODUTOS INTERNOS
(c) <u, v> = <v, u>, Vu, v E V; e
(d) <u, u> é um número real maior que zero para todo vetor u =1= o.
Definição 2 - Um espaço vetorial real com produto interno ou espaço euclidiano é um espaço vetorial sobre R munido de um produto interno.
Nota: Em geral existem muitos produtos internos diferentes sobre o mesmo espaço vetorial. Veja exercícios resolvidos n.O 5 e n.O 6.
Lembremos, de início, que um dosconceitos fundamentais quando se estu~
dam os vetores da geometria é o de "produto escalar", que nada mais é do que uma
aplicação que a cada par de vetores (ti, 1). , aldd --*--*aSSOCIa um numero re a o por u x v =
= I ti 11 vi o cos e onde e é o ângulo for
madQ por li e t. Se em relação à base fun-
{~--7 -7} --* --* -+damental 1,0J, k temos u = xli + X2j +
--* --* -;7 --* --*+ X3 k e v = Yl1 + Y2j + Y3k, então
-+i
->k
Exemplos
1) Produto interno usual do R n
Se u = (Xl, ... , Xn) e v = (y1, " . , Yn) são vetores genéricos do R n,então:
(u, v) f-+ XIYl + ... + xnYn
é um produto interno no IRn. Das quatro condições a serem verificadas mostremosapenas como se procede em (b) e (d).
(b) <au, v> = (axl)Yl + ... + (axn)Yn = a(xIYl + ... + xnYn) == a<u, v>.
(d) Se u =1= (O, O, ... , O), então um dos Xi, ao menos, é não nulo. Logo
<u, u> = X12 + '" + x; > O.
o que faremos neste capítulo é generalizar a definição de "produto escalar"visando a introduzir, entre outras coisas, o conceito de "distância" em situaçõesbem gerais.
Definição 1 - Seja V um espaço vetorial de dimensão finita sobre R.*Entende-se por produto interno sobre V uma aplicação que transforma cada parordenado (u, v) E V X V em um número real (que indicaremos por <u, v»obedecendo às seguintes condições:
(a) <u + v, w> = <u, w> + <v, w>, \tu, v, w E V;
(b) <au, v> = a<u, v> v-a E R e Vu, v E V;
A definição a ser dada aqui seria um pouco diferente no caso de espaços vetoriaissobre <C. No apêndice, ao fim do capítulo, daremos uma idéia de como seria estaquestão no caso de o corpo de escalares ser o dos complexos.
158
2) É um produto interno sobre o espaço Pn (R) a aplicação dada por:
(f(t), g(t)) f-+ <f(t), g(t» = [1 f(t)g(t)dt,·0
onde f(t) e g(t) são polinômios quaisquer de Pn (IR).
Façamos a verificação da condição (a). Dados f(t), g(t) e h(t) em Pn (R):
<f(t) + g(t), h(t» = \1 (f(t) + g(t))h(t)dt =·0
= foI (f(t)h(t) + g(t)h(t))dt = foI f(t)h(t)dt + J: g(t)h(t)dt =
= <f(t), h(t» + <g(t), h(t»
As propriedades P1, •.• , P6 que seguem são válidas em qualquer espaço vetorial euclidiano. Note que em sua demonstração não foi usada a propriedade (d) dadefinição 1.
] 59
P1. <o, U> = <U, o> = O, \lu E V.
Prova:
Já sabemos que Ou = o, para todo u E V. Logo:
<o, u> = <Ou, u> q~) O <u, u> = O.
Como <u, o> = <o, u>, então <u, o> = d. -
P2. <u, av> = a<u, v>, "Ia E IR e vu, v E IR.
Prova:
<u, av> (gl <av, u> (!?) a<v,. u> (gl a<u, v> _
P3 • <u, v + w> = <u, v> + <u, w>, "lu, v, W E V
Prova:
<u, v + w> ~) <v+w, u> (~ <v, u> + <w, u> (g) <u, v> +
+ <u, w>.•
P4. Dado um número inteiro m ~ 1,
fi fi
< I aiui> v> = I ai <Ui, v>i=l i=l
É só raciocinar por indução com base nos axiomas (a) e (b) da definiçãode produto interno. -
TI n
Ps . <u, I ajVj> = I aj <u, Vj> (n ~ 1).j=l j=l
Prova:
Basta usar as propriedades P2 e P3 acima e raciocinar por indução. -
fi n fi n
P6 • < I aiui, I íljVj> = I I aiílj <Ui, Vj>.i=l j=l i=l j=l
Observação importante: Quando nos referimos ao IRn como espaço euclidiano, ficasubentendido que o produto interno é aquele do exemplo 1 acima.
160
2. NORMA E DISTÂNCIA
Definição 3 - Seja V um espaço euclidiano com o produto interno (u, v) -+
-+ <u, v>. Dado um vetor u E V indica-se por 11 u 11 e chama-se nonna de u o número real positivo dado por
lIull = V<u, u>.
(Aqui já usamos a condição (d) da definição 1).
Exemplo - Se no IRn consideramos o produto interno usual, dado u == (Xl> ..• , xn) nesse espaço, temos:
lIull = .J'-x-=:-+--.-.-.-+-x-=-~.
Proposição 1 - Em todo espaço euclidiano V, temos:
a) lIaull = lalllull, "Ia E IR e "lu E V e
b) lIull ~O, "lu E V e lIull = O <-> u = o.
Demonstração
a) lIaull = .J<au, au> = .Ja2 <u, u> = .Ja2 lIull2 = lalllull.•
b) Pela própria defmição temos lIull ~ O. Por outro lado
lIull = O < > <u, U>1/2 = O <=> <u, u> = O < >
<=> u = o.
(Notar que nesta última equivalência usamos o axioma (d) da definição de produto interno e a propriedadeP1.) -
Proposição 2 - (Desigualdade de Cauchy-Schwarz) - Se V é um espaçovetorial euclidiano, então:
I<u, v>1 ,;;;;; lIullllvll, Vu, v E V.
Demonstração
• Se v = 0, então <u, v> = O e Ilull Ilvll = O. Logo tem-se uma igualdadeneste caso. Suponhamos v*o. Para todo a E IR vale a desigualdade lIu + avll2 ~ O.Daí,
O ,;;;;; lIu + avll2 = <u + av, u + av> = <u, u> + <u, av> + <av, u> +
+ <av, av> = IIull2 + a <u, v> + a <v, u> +
+ c? IIvll2 = IIvl12a 2 + 2<u, v>a + lIull2.
161
Obtivemos assim um trinômio do segundo grau em a (pois IIvl12 "* O) o qualé sempre positivo. Logo seu discriminante deve ser negativo ou nulo:
4 <u, V>2 - 4 IIvll2 IIull2 ~ O
Portanto:
<u, V>2 ~ lIul12 Ilv112.
Finalmente, considerando a raíz quadrada positiva de cacia um dos membrosdesta última igualdade:
I<u, v> I ~ lIullllvll.•
Corolário (Desigualdade triangular): Num espaço euclidiano vale a seguintedesigualdade:
lIu + vII ~ Ilull + IIvll, V- u, v E V.
(11) d(u, v) = d(v, u), V-u, v E V, porque:
d(u, v) = Ilu - vii = 11(-I)(v - u)1I = l-llllv - ull = d(v, u).
(I1I) d(u, v) ~ d(u, w) + d(w, v) -\lu, v, w E V, pois
d(u, v) = lIu - vII = Ifu - w + w - vII ~ lIu - wll + Ilw - vII
Pelo fato de valerem as três propriedades acima, damos ã aplicação d:V X V -+ IR o nome de métrica sobre V,induzidapela norma. O número d(u, v)é cha·mado distância de u a v.
Nota: Convém lembrar que em geometria, dados os vetores ti e 1, então lti -11mede a distância entre as extremidades de u e v, desde que esses vetores tenhamsuas origens representadas na origem dos eixos. Este fato obviamente sugeriu adefinição de métrica num espaço euclidiano.
e disto conclui-se que:
É comum dar a designação de ângulo entre u e v a esse número (J. E, de fato,nos casos em que V = IR? ou V = lR3 e o produto interno é o usual, tal númerocorresponde â medida do ângulo entre os segmentos orientados que representamos vetores, no sentido geométrico elementar.
Como aplicação da desigualdade de Cauchy-Schwarz vejamos como o concei·to de ângulo entre vetores é definido em um espaço euclidiano.
Sejam u e v vetores não nulos de um espaço euclidiano V. Da desigualdadeI<u, v> I ~ lIullllvll segue que:
- lIull IIvll ~ <u, v> ~ lIullllvll
--+ --+u-v--+V
~ <u,v> ~- 1 "" lIull Ilvll "" 1.
Logo existe um único (J E lR, tal que O ~ (J ~ rr e
<u,v>cos (J = Ilullllvll .
<=> (t. XiYi)2 ~ (t Xf)(t Y?) .1=1' 1=1 1=1
n ( n )1/2 ( n )1/I<u, v> I~ Ilullllvll <-> ~ XiYi ~ ~ Xf t; yf .2<=>
Demonstração
Ilu + vll2 = <u + v, u + v> = <u, u> + <u, v> + <v, u> + <v, v> =
= lIuW + IIvll2 + 2 <u, v> ~ IIul12 + IIvll2 + 2 Ilullllvll == (lIull + Ilvlli.
Então lIu + vll2 ~ (Buli -+ Ilvll)2, para todo par de vetores u e v. Destadesigualdade decorre que Ilu + vII ~ Ilull + IIvll, V u, v E V.•
Exemplo - Se considerarmos no lRn o produto interno usual e se u == (Xl,"" Xn) e v = (1'1, ... , Yn) são vetores quaisquer do lRn, então:
d(u, v) = lIu - vII, V-u, v E V.
Notemos que valem as seguintes propriedades:
(I) d(u, v) ;;;. O, V u, v E V e d(u, v) = O <=> u = v, em virtudeda proposição 1 acima.
Esta última desigualdade também é conhecida como desigualdade de Lagrange.
Seja V um espaço vetorial euclidiano..Consideremos a aplicação d: V X V -+ IR,assim definida:
162 163
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
L Considerando o espaço euclidiano IR3, calcular <u, v> nos seguintes casos:
a) u = (t, 2, 1) e v = (4, 1, -3);
b) u = (2, 1, O) e v = (4, O, 2);
c) u = (1, 1, 1) e v = (2, -1, 5).
Solução
Solução
Supondo w = (x, y) temos <u, w> = x + 2y = -1 e <v, w> = -x + Y = 3. Daí7 2 _ (-7 2)x = -3 e y =3 e entao w =3'3 .
5. Seja V um espaço vetorial euclidiano. Provar que à aplicação
(u, v) -+u * v = 2 <u, v>
também é um produto interno sobre V. Generalize.
2. Usando o produto interno <f(t), g(t) > = S~ f(t)g(t)dt em P2(IR), determinar o produtoescalar de:
a) f(t) = t e g(t) = 1 - t2;
b) f(t) = t - ~ e g(t) = +- (t - +).Solução
a) <f(t), g(t» = SOl t(1 - t2 )dt = SOl (t - t3 )dt = ( ~ - ~) I:1 1 1
=Y-4=2
b) <f(t), g(t» = SOl (t - +)[~ - (t - n] dt = SOl (_t2 + ~ t - ndt =
1-12'
1a) <u, v> ="2 • 4 + 2 • 1 - 1 • 3 = 2 + 2 - 3
b)1 <u, v> = 2 • 4 + 1 • O + O • 2 = 8.
c) <u, v> = 6.
1.Solução
(a) (u + v) * w = 2 <u + v, w> = 2( <u, v> + <v, w» = 2<u, w> + 2 <v, w> =
= u * w + v * w;
(b) exercício;
(c) u * v = 2<u, v> = 2<v, u> = v * u;
(d) u * u = 2 <u, u> .. O, Vu E V e se u *- o, então u * u;> o.
Generalização: podemos substituir o "2" por qualquer a> o.
6. Sendo u = (Xl> xz) e v = (Yl> yz) vetores genéricos do IR2, definamos <u, v>
= XI;1 + XZ~2 com a, b E IR fixos e não nulos. Provar que <u, v> define um produtoa b
interno sobre o IR2•
XZY2 )T =o:<u,v>;
4 = Uu - vU2 = <u - v, u - v> = UuU 2- 2 <u, v> + IlvIlz .
Logo 2 <u, v> = -4 + 1 +1 = -2. Então <u, v> = -1.
(c) hnediato;
(d) <u, u> = xl2Z
+ xz2
.. o, Vu E IR?; <u, u> = O < >~ =a 7 a
= ; = O <=> l'l = Xz = O <=> u = (O, O).
L
3. Seja V um espaço vetorial sobre IR. Ponhamos por definição <u, v> = O, .'1{' U, V E V.Verificar se (u, v) 1-+ <u, v> = O é um produto interno sobre V.
Solução
Temos de verificar as quatro propriedades da definição de produto interno.
(a) <u + v, w> = O = O + O = <u, w> + <v, w>;
(b) e (c): exercício.
(d) Se V = {o}, então obviamente vale esta condição; se existe u *- o em V, então temos<u, u> = O com u *- o, o que mostra que <u, v> = O, "fu,.v E V, nãodefine um produto interno sobre V.
4. Consideremos o espaço euclidiano IR2• Sendo u = (1,2) e v = (- 1,1) em IR2, determineum vetor w deste espaço tal que <u, w> = - 1 e <v, w> = 3.
164
7. Sejam u e v vetores de um espaço euclidiano tais que 11 v 11Determinar <u, v>.
Solução
1,11 u 11 1 e 11 u- v 11 2.
1.65
,. d lR212. Sejam u = (Xl> x2) e v = (Y1, Y2) vetores genencos o .
a) Mostrar que <u, v> = X1Y1 - 2x1Y2 - 2X2Y1 + SX2Y2 define um produto internosobre o lR2 ;
b) Determinar a norma de u = (1, 2) em relação ao produto interno usual e também emrelação ao produto definido em a).
8. Em P2(IR) com o produto interno dado por <f(t), g(t». = S~ f(t)g(t)dt calcular a norma de f(t) nos seguintes casos:
a) f(t) = t;
b) f(t) = _t2 + 1.
Solução
a) IIf(t)1I = <f(t), f(t»l/2 = j C(f(t))2 dt ='0
b) IIf(t)II ,;, J .10
1(1 - t2)2 dt = jf;.
Solução
a) (1) <u + v, w> = (Xl + Yl)Zl - 2(Xl + Y1)Z2
= x1z1 + Y1z1 - 2XlZ2- 2Y1Z2 - 2X2zl
= (X1Z1 - 2X1Z2 - 2X2zl + SX2 zÚ + (YlZt
2lx2 + Y2)Zl + 5 (X.2+- Y2)Z2 =
2Y2 zl + SX2 Z2 + SY2 Z2 =
2Y1 Z2 ~ 2Y2 z1 + SY2 z2) =
9. Denomina-se versor todo vetor de norma igual a 1. Se u '1= o, então _u_ é um versor cha11 u 11
mado de versor de u. Determinar o versor de u = (2, 2, 1) cdnsiderando no IR3 o produtointerno usual.
= <u, w> + <v, w>;
(2) <au, v> = aX1Y1 - 2ax1Y2 - 2ax2Y1 + SaX2Y2 = a(x1Y1 - 2X1Y2 -
- 2x2Yl + 5x2Y2) = a <u, v>;
Solução
<u, u> = 36 + a2 + 1 = a2 + 37 = 41. Logo a2 = 4. Daí a = ±2.
IR3 Determinar a E IR3 de maneira que lIull = ~, onde13. Considere o espaço euclidiano .u = (6, a, - 1).
b) No produto usual:
lIull = ~<u, u> = )12 + 2
2= yT+4=.,;s:,
No produto definido em a):
lIu 11 = ~ <u, u> = )'--;12'_-4-.-1-.-2-+-S-.-:-2"2 = ~
Solução
lIull = ~4 + 4 + 1 - 3. Logo II~II = (2,;, 1) = (i-, ; ,+).10. Num espaço vetorial euclidiano provar que:
a) lIull = IIvll <-> <u + v, u - v> = O;
b) lIu + Vll2
= IIUll2 + IIvll2 <=> <u, v> = O.
Solução
a) lIull = IIvll < > lIull 2 = IIvll2 <=> lIull2 _ IIvll2 = O < . >
lIull2
- IIvll2
+ <u, v> - <u, v> = O<=> <u, u> - <u, v> + <v, u> _
- <v, v> = <u + v, u - v> = O.
b) lIu + vl12
= IIull2
+ IIvll2<=> <u + v, u + v> = <u, u> + <v, v> <=>
<-> <u, u> + <u, v> + <v, u> + <v, v> = <u, u> + <v, v> <=>
< > 2 <u, v> = O <=> <u, v> = O.
(3)
(4)
Imediato;
2 22 4 42+2_<u, u> = Xl - 2X1X2 - 2x2Xl + 5x2 = Xl - x1 x2 + x2 x2 -
= (Xl -2X2)2 + X22 ;;;. O, Vu = (Xl, X2) E lR2 ; além disso <u, u> =
= O <=> Xl - 2X2 = O e x2 = O <=> Xl = X2 = O <=>
<-> u = (O, O).
14. Achar o ângulo entre os seguintes pares de vetores doIR3:
a) u = (I, 1, 1) e v = ( ~ , -I, -});
b) u = (1, -1, O) e v = (2, -I, 2).
Solução
L
11. Mostrar que num espaço euclidiano vale a identidade: ~ 11 u + v 11 2 -til u - vll 2 = <u, v>.
Solução
1 2 1 2 1 1T"U + vl -Tllu-vll =T<u+v,u+v>-T<u-v,u-v>=
1 1=4«u, u> + <u, v> + <v, u> + <v, v» -4«u, u> - <u, v> - <v, u> +
+ <v, v» = <u, v>.
166
a) lIull = .J3, IIvll = .J3 e <u. v> = -} - 1 + -} = O. Daí2
167
cos IJ = <u, v>lIull • IIvll
b) lIull = "j2, IIvll = 3 e
3 Y2coslJ = --= ---3.,j2 2
o.,ff . .Jf
2
<u, v> = 2 + 1 + O = 3. Logo
11"IJ=-
4
<u, v>t=- ---
IIvll2
, <u, v>e.a resposta do problema e Wo = u - -·-2- v.
IIvll
17. Sejam u= (1, 1, O) e v = (0,1, 2) no espaço euclidiano IR3. Determinar os vetores w E IR3
tais que Ilwll = 1 e <u, w> = <v, w> = O.
I <u, v> I = lIull IIvll.
15. Sejam u e v vetores de um espaço vetorial euclidiano. Mostrar que {u, v} é L.D. se, esomente se,
Solução
Se {u, v} é L.D., então um dos seus vetores é combinação linear do outro. Seja ucom a E IR. Então
I<u, v> I = I<av, v>1 = lall <v, v> 1= lalllvll2 e lIullllvll = lIavllllvll =
= lalllvllllvll = lalllvll2.
Logo I <u, v> I = lIullllvll. Por outro lado, suponhamos I<u, v> I = lIullllvll.
Se v = o, então {u, v} é L.D. obviamente. Suponhamos v "* o. Então
av,
Solução
Seja w = (x, Y, z). Então:
IIWll2 = xi + y2 + z2 = 1, <u, w> = x + Y = O e <v, w> = Y + 2z = O.
Resolvendo o sistema:
{
x2 + y2 + z2 = 1
x + Y = O
y +2z =0
I 2 _ 2chegaremos a z = ±T' x = ±T e y = +T'
I<u, v> I = lIullllvll > <u, v>2 = IIUll2 11vll2 logo 4 <u, v>2 ~ 41Ul2 IVl2 = O.
Mas 4 <u,v>2 - 4 lIull2
IIvll 2 é o discriminante do trinômio do segundo grau (em x)
IIvll2
x2
- 2 <u, v>x + lIull2 = <u - xv, u -,-- xv>.
Considerando a raiz a = <u, ~> (dupla) do trinômio temos <u - av, u - av> = OoIIvll
que equivale a u = avo Portanto u - av = o e {u, v} é L.D.
16. Sejam u e v vetores fixos de um espaço vetorial euclidiano. Achar o vetor de menornorma do conjunto {u + tv I t E IR}, supondo v "* o.
Solução
Seja w = u + tv. Então
IIwll = .J<u + tv, u + tv> = Jllull2 + 2<u, v>t + IIvll2t2
Daí
d IIwll _ 2 <u, v> + 211vll2t
-----at - 2JllUll2 + 2 <u, v>t + IIVll 2t2
o vetor de menor norma no conjunto dado é aquele cujo coeficiente t anula a derivadaacima. Então:
168
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1. Sejam u = (xt>x2)ev = (YbY2) vetores genéricos do IR2. ParaquevaloresdetEIRafunção <u, v> = xIYI + tX2Y2 é um produto interno sobre o IR2?
2. Mostrar que se <u, v> = O, para todo vetor v, então u = O.
3. No espaço V = P3 (IR) consideremos o produto interno <f(t), g(t» = S: C(t)g(t)dt.
Calcular <f(t), g(t», IIf(t) 11, IIg(t) 11 e IIf(t) + g(t)1I quando f(t) = t 3 - t - 1, eg(t) = t 2 + 1. Repita o exercício com f(t) = 2 e g(t) = t 3 + t + 1.
4. Sejamf(t) = ao + alt + ... + antne g(t) = bo + bit + ... + bntnpolinômios
quaisquer de Pn(IR). A função
(f(t), g(t)) f-7 aob o + albl + ... + anbn E IR
é um produto interno no espaço Pn(IR)?
169
5. Seja T um isomorfismo de um espaço vetorial V. Provar que se <u, v> é um produtointerno sobre V, então o mesmo acontece com a função PT: V X V -+ R definida porPT (u, v) = <T(u), T(v».
6. Seja V um espaço vetorial euclidiano. Dada uma base {el' ... , en} de V definamosA = (aij) E Mn(R) por aij = <ei, ej> O, j = I, ... , n).
a) Provar que A é uma matriz simétrica.
n n
b) Mostrar que se u = L Xiei e v = L Yiei, então o produto escalar em V pode ser
i=l i=l
expresso na forma matricial seguinte: <u, v> = (Xlx2 ... Xn)A(YlY2 ... Yn)t.
7. Seja V um espaço euclidiano com produto interno <u, v>. Para que valores de a E IRa aplicação:
M = (a11
a12
) E M2 (R).a21 a22
Definamos <u, v> = auxIYl + a12 x IY2 + a21 x2Yl + a22x2Y2'
a) Mostrar que o produto assim definido satisfaz as duas primeiras condições da definição de produto interno.
b) Mostrar que a condição (c) da definição de produto interno é válida se, e somente se, M
é simétrica.
c) Qual a matriz M que leva ao produto interno usual do R2
?
d) Quais das seguintes matrizes definem produtos internos sobre o R2
segundo a definição de <u, v> que foi dada acima:
(u, v) -+ a <u, v>
também é um produto interno sobre V? (Veja exercício resolvido n'? 5.)
18. Determinar a norma de cada um dos seguintes vetores:
a) u = (3, 1, 2, 1) E R 4;
b) f(t) = t2 + t - I, em relação ao produto interno <f(t), g(t» = S~ f(t)g(t)dt;
Sendo a b e c números reais estritamente positivos tais que a + b + c = 1, utilize a, 3
desigualdade de Cauchy-Schwarz no R para provar que
(+_1) ( ~ - 1)(+ - 1) ~ 8.
15. Sabendo que lIull = 3 e IIvll = 5, com u e v elementos de um espaço euclidiano, determine Ct E R de maneira que <u + CtV, u - Ctv> = O.
Use a desigualdade de Cauchy-Schwarz no espaço euclidiano R3
(produto internousual) para mostrar que, dados os números reais estritamente positivos aI, a2, a3, valea desigualdade:
*17.
""'16.
9. No espaço vetorial V = M2 (R) considere o produto interno definido no exercício 8.Sendo
8. Chama-se traço de uma matriz A = (aij), quadrada de ordem n, a soma dos termos dasua diagonal principal.
Notação: tr(A). Assim, tr(A) = a11 + ... + ann. Sendo V = Mmxn (IR), mostre que<A, B> = tr(BtA) define um produto interno sobre V.
calcule <A, B>, IIAII, IIBII e d(A, B).
10. No espaço vetorial euclidiano IR4 sejam u = 0,2, 0,1) e v = (3, 1,4,2). Determinar
u + v A
<u, v>, lIull, IIvll, d(u, v), e o co-seno do angulo de u e v.lIu + vII
11. Sejam u e v dois vetores não nulos de um espaço vetorial euclidiano. Sendo 8 o ângulode u e v, mostrar que lIu + vll 2 = lIull 2 + IIvll2 + 211ull IIvll cos 8. (Esta igualdade é conhecida como lei dos co-senos na geometria elementar.)
12. Sejam u e v vetores de um espaço euclidiano. Determinar o co-seno do ângulo entre
u e v, dado lIull = 5, IIvll = 8 e lIu + vII = -1129.
13. Verifique a lei do paralelogramo num espaço euclidiano V: lIu + Vll2 + lIu - Vll 2
= 211ull2 + 211v1l2, \fu, v E V.
* 14. Sejam u = (Xl, X2) e v = (Yh Y2) vetores genéricos do R2 e
(1 2) ,. 08 d ' .c) A = 2 1 em relação ao produto do exerClClO proposto n. esta sene.
19. Mostrar que a soma de dois produtos internos sobre um espaço V também é um produtointerno sobre V (antes, pense bem no significado da palavra "soma").
170171
b
20. Encontrar a distância de u a v e o co-seno do ângulo entre u e v nos seguintes casos:
a) u =: (1,1,1,1) e v =: (O, 0,1,1) com o produto interno usual do IR4 ;
b) u =: 1 + t - t 2 e v =: 3t2 com o produto considerado no exercício 18 b) acima;
o) A ~ (~ ~), B ~U~) com o .<oduto ."=0 do ,,,,dcio ,,<ooo,to n o 8
*21. Sejam u e v vetores de um espaço vetorial euclidiano. Prove que <u, v> = O, se, esomente se, lIu + OIvll ;;;. lIull, VOI E IR.
*22. Sejam el, e2, ... , er vetores unitários (nonna igual a 1) de um espaço euclidiano taisque lIei - ejll = 1 (sempre que i "* j). Calcule o co-seno do ângulo entre dois vetoresei e ej.
Exemplo - No espaço euclidiano IR3 o conjunto S = {(1, O, O), (O, I, O),(O, O, I)} é ortonormal. Por exemplo, a norma de gl = (1, O, O) é IIg 1 1l =:
= .J 12 + 02 + 02 = 1 e o produto interno de gl por g2 é < gl, g2 > =: I . O ++ O • I + O • O = O.
Em geral, para todo n ;;;. 2, o conjunto:
{(1, O, ... , O), (O, I, O, ... , O), ... , (O, ... , O, I)}
é ortonormal no espaço euclidiano IRn.
Proposição 3 - Todo conjunto ortonormal S = {gl, g2' ... , gr} contidonum espaço vetorial euclidiano é necessariamente L.I.
Demonstração
Suponhamos <Xlgl + ... + <xrgr = o. Então:
O = <o, gl> = <<Xlgl + .. , + <xrgr , gl> == <Xl <gl, gl> + <X2<g2, gl> + ... + <xr<gr, gl> = <Xl,
De maneira análoga se prova que <X2 = <X3 = ... = <Xr = O. •
3. ORTOGONALIDADE
Outra demonstração: Sendo o = <Xl gl + + <xrg r então O
+ ... + <xrgr 112
= <X~ + ... + <xi é daí <Xl = = <X r = O. •
DefilÚção 4 - Seja V um espaço euclidiano. Dizemos que dois vetores u,v E V são ortogonais se, e somente se, <u, v> = O. Um conjunto S = {Ul' ... ,Ur} C V se diz ortononnal se, e somente se, (I) IIUill = 1 (i = 1, 2, ... , r) e(lI) dois vetores quaisquer de S, distintos entre si, são ortogonais.
Nota: As condições (I) e (11) da defilÚção acima podem ser substituídas pelaseguinte: <Ui, Uj> = Oij (símbolo de Kronecker), i, j = 1, ... ,n, cujo significadoé Oij = 1 se i = j e 0ij = O se i =1= j.
Lembremos primeiro que dois vetores não nulos lt e -; defmidos por meiode segmentos orientados são ortogonaisse, e somente se, seu produto escalar ézero.
Esse fato motiva a seguinte definição:
~
u
u x v = Itil • Ivi . CDS e
Proposição 4 - Seja S = {gl, ... , gr} um subconjunto ortonormal do espaçoeuclidiano V. Então, Vu E V, o vetor v = u - <u, gl>' gl - ... - <u, gr> gr é
ortogonal a todo vetor do sub-espaço gerado pelos vetores de S.
Demonstração
Observemos de início que se v for ortogonal aos vetores de S, então seráortogonal a toda combinação linear de S. De fato, seja w = <Xlgl + ... + <xrgr umadessas combinações lineares. Então:
<v, w> = <v, <Xlgl + ... + <xrgr> = <Xl <v, gl> + " . + <Xr <v, gr> = O.
Provemos pois que v é ortogonal a cada gi o que é uma questão apenas decálculos. Vejamos:
<v, gl> = <u - <u, gl> gl - ... - <u, gr> gr, gl> == <u, gl> - <u, gl><glo gl> - ... - <u, gr><gr, gl> == <u, gl> - <u, gl> = O
172 173
pois <gl> gl> = 1 e <gi, gl> = ° para i =1= 1. De maneira análoga se prova que<v, g2> = ... = <v, gr> = O.•
Defmição 5 - Seja V um espaço euclidiano de dimensão finita. Se um conjunto B = {gl, ... , gn} for uma base de V e simultaneamente for um conjuntoortonormal, então diremos que B é uma base ortonormal de V.
Exemplo - B = {(1,O,O),(O, 1,0),(0,0, 1)}éumabaseortonormaldeIR3.Generalize para o IRn.
Teorema 1 - (processo de Ortonormalização de Gram-Schmidt) _ Todoespaço vetorial euclidiano de dimensão fmita (=1= O) admite uma base ortonormal.
Demonstração
Se dim V = 1 e se {u} é uma base de V, então o vetor gl = II~II u = II~II é
L.I. e tem norma igual a 1. Logo {gd é uma base ortonormal de V.
Se dim V = 2, seja {UI, ~} uma base de V. Façamos gl = ~ . Então olIu lll
vetor V2 = ~ - <Ü2, gl> gl é ortogonal a gl devido à proposição 4. Logo o
vetor g2 = II~: 11 também é ortogonal a gl além de ser unitário. Daí podermos
afirmar que {gl, g2} é um subconjunto ortonormal de V com dois vetores. É poisuma base ortonormal de V.
o mesmo raciocínio nos permitirá construir uma base ortonormal em qualquer caso de dimensão finita n, utilizando-se o mesmo método usado na proposição 4.•
Finalmente,
V3 = U3 - <U3' gl>gl - <U3' g2>g2 = (0,1,2) - Ogl
- 3f (O, v[, f)= (0, - ~., ~).Daí:
(o, - ~ ,+L (o, - ~ , ~) ~ (. _fi ..(2)---'-----===-'" - 1 O, 2' 2
)1 1 _4+"4 V2
Logo:
{(l, o, 0), (o, f, v;), (o, - f, f)}é uma base ortonormal do IR3, construída a partir da base B, seguindo-se ademonstração do teorema 1.
Seja V um espaço vetorial euclidiano. Dado um sub-espaço vetorial V de V,indiquemos por Vi o seguinte subconjunto de V:
Vi = {v E V I <v, u> = 0, "tu E V}.
Notemos que Vi é um sub-espaço vetorial de V, uma vez que:
(a) <o, u> = 0, "tu E V -> o E Vi;
(b) <VI> u> = <V2' u> = 0, "tu E V => <VI + V2, u> =
= <Vl~ u> + <V2' u> = ° + ° = 0, Vu E V; e
(c) <v, u> = 0, "tu E V => <av, u> = a<v, u> = aO = 0,"ta E IR e 'V u E V.
Proposição 5 - Seja V um sub-espaço vetorial de um espaço euclidiano dedimensão finita V. Então V = VEBV1, ou seja, V = V + Vi e V nvl = {o}.
Definição 6 - O sub-espaço Vi acima defmido recebe o nome de complemento ortogonal de V.
Exemplo - Aplicar o processo de Gram-Schmidt do teorema 1 acima à baseB = {UI = (1, 0, O), Ü2 = (O, 1, 1), U3 = (O, 1, 2)} do IR3, considerando oproduto interno usual nesse espaço.
• UIE claro que gl = lIu llI = UI = (1, 0, O). Por outro lado, V2 = U2 _
- <~, gl> gl = (O, 1, 1) - 0(1, 0, O) = (O, 1, 1). Logo
V2 (0,1,1) (V2 fi)g2= IIv211 = V2 = °'-2-' 2 .
Exemplo - Seja V = IR3, Vvi = {(O, 0, z) : z E IR}. Verifique.
{(x, y, O) x, Y E IR}. Então
174
l _175
Demonstração
(a) Seja B = {g } bd t . uI 1> • oo,gr uma ase ortonormal de U. Devido à proposo - 4es e capIt o, dado u E V, o vetor v = u _ <u Iça0
ortogonal a todo elemento de U, ou seja v E Ul.' LgI > ~I - ooo - <u, gr>gr éJ , o ogo.
u = <u, gI>gI + .0. + <u, gr>gr + v
pertence a U + Ul. já d' .em U. Isso prova V C i:e+aUs~mLa as Vrp~meIras ~arcelas do segundo membro está
.ogo -U+U.
Em p~~c:~~:U~ ~l.O· CLomo W E Ul., então w é ortogonal a todo vetor de U.,w - . ogo w = o e então: U n Ul. = {o} .•
Conforme acabamos de ver se B - {um sub-espaço U d " . . - g}, ... , gr} é uma base ortonormal deu E V se decompõ: ~~~:a~;ae~c~Idiano ~ de dimensão fmita, então todo vetorortogonais entre si:' umca, em uas parcelas, uma de U e uma de ul.,
u = «u, gI > gI + o. o + <u, gr> gr) + v.A parcela <u, gI> g + + < .•sobre o sub-espaço U~ . . . U, gr> gr e chamada projeção ortogonal de u
Por outro lado a aplicação E de V em V dada por
E(u) = <u, gI> gI + o.. + <u, gr> gr
recebe o ~ome de projeção ortogonal de V sobre U. Pode-se mostrar que E .operador lmear deVoeumo seguinte: ,que propomos como exercício. Para este operador tem-se
E2
(u) = E(<u, gI> gt + o. o+ <u, gr> gr) ==<u, gt> gt + . o. + <u, gr> gr,
pois esta última soma pertence a U. Logo E2(u) = E() '-"- V "que E2 = E. u, v u E ,o que sIgmfica
= ~oternos tam~ém que Ker(E) = {u E V I <u, gt> gt + ... + <u =o} - U . Tambem se pode provar que Im(E) _ U . . ' gr> gr
decomposição de V: V = Im(E) $ Ker(E). -. ASSIm temos a seguinte
4. ISOMETRIAS
Introduziremos neste parág 1:1 •
~ç~o está ligada ao conceito de d~:t~n~:::' c;~~a~~~~o~eo;~::~:~erslli~ear cuja defi-tIveIs com o produto interno. eares compa-
176
Defmição 7 - Seja V um espaço euclidiano de dimensão finita. Um operadorlinear T: V -+ V com a propriedade de que:
IIT(u)1I = Ilull, \tu E V,
se denomina isometria sobre V ou operador ortogonal sobre V.
Exemplo - Consideremos o espaço euclidiano IR2. A rotação T: IR2 -+ IR2
dada por
T(x, y) = (x cos 8 - y sen 8, x sen 8 + Ycos 8),
onde 8 é um número real e O ~ 8 ~ 21T é uma isometria pois além de ser urnatransformação linear (exemplo 4, parágrafo 2, capo IV) satisfaz a seguinte igualdade:
IIT(x,y)1I2 = X 2cos2 8 + y2 sen2 8 _ 2xysen8cos8 + x2sen2 8 +y2cos2 8 ++ 2xy sen 8 cos 8 = X2(COS2 8 + sen2 8) + y2(sen2 8 + cos2 8) = x2 + y2 =
lI(x, y)1I2.
Deixamos como exercício a verificação de que o operador T do IR3 dado porT(x, y, z) = (x cos 8 - y sen 8, x sen 8 + Ycos 8, z) é uma isometria.
Nota: Uma isometria é um operador linear de um espaço euclidiano que conservaas normas dos vetores. Como nos espaços IR2 e IR3
, quando o produto interno considerado é o usual, a norma de um vetor nada mais é do que o comprimentodesse vetor (ou módulo), no sentido geométrico intuitivo, podemos dizer quenesses casos uma isometria é um operador linear que conserva os comprimentosdos vetores do espaço.
Proposição 6 - Toda isometria T: V -+ V é um isomorfismo.
Demonstração
Basta provar que T é injetora. Mas dado u E V,
T(u) = o > IIT(u)1I = O => Ilull = O => u = O.
Logo Ker(T) = {o} .•
Proposição 7 - Seja T um operador linear sobre um espaço euclidiano V.Então são equivalentes as seguintes afirmações:
(I) T é isometria.
(lI) T transforma as bases ortonormais de V em bases ortonormais de V.
(III) <T(u), T(v» = <u, v>, \lu, v E V.
177
gn} uma base ortonormal de V. Então dados u
Demonstração
(I) => (lI)
Seja B = {gl g } um b ttamb' é b' ... , li a ase or onormal de V; provemos que T(B), em uma ase ortonormal de V. Como T é injetora T(B) . B A
numero de vetores. Então é suficiente mostrar ue T ' .e tem o mesmoConsideremos as identidades: q (B) é um conjunto ortonormal.
IIgi + gjW = IIgill2 + IIgjll2 + 2 <gi, gj> e
IIT(gi) + T(gj)lf = IIT(gi)1I2 + IIT(gj)112 + 2 <T(gi), T(g)>.Devido • hi 't JAinda p~~ hi~~t:::~' os primeiros membros dessas igualdades são iguais entre si.
IIT(gk)1I = IIgkll (k = 1, ... , n).Logo
<T(gi), T(gj» = <gj, gj> = Ôij
o que assegura ser T(B) um conjunto ortonormal.
(lI) > (III)
Seja B = {gl> ... ,n n
= "Qigi e v = " {3L, L, igi em V, tem-se:i=1 i=1
n n
= .I .I Qi{3j <T(gi), T(gj»1=1 J=1
Por outro lado, um raciocínio análogo ao feito acima nos levará a:
n
<u, v> = L Qi{3i.i=1
Logo <T(u), T(v» = <u, v>, Vu, v E V.
(III) => (I)
Imediato: basta tomar u = v. a
178
o nome "operador ortogonal" dado como sinônimo de isometria decorre da
proposição seguinte.
Proposição 8 - Seja T um operador linear de um espaço euclidiano de dimensão finita. Então T é uma isometria se, e somente se, a matriz de T emrelação a uma base ortonormal é uma matriz ortogonal (sua inversa é igual à sua
transposta).
Demonstração(_» Seja B = {gl> ... , gn} uma base ortonormal de V e indiquemos
por M a matriz de T em relação a essa base:
M = (T)B = (Qij)'
Então:
n n
T(gj) = I Qijgi e T(gk) = I Qrkgr, com j, k = 1, ... ,n.i=1 r=1
Daí
n
I QijQiki= 1
isto levando em conta que <gj, gr> = 0ir. Mas T(B) também é uma base orto-
n
normal o que acarreta < T(gj), T(gk» = 0jk' Então I QijQik = 0jk'i= 1
o que é suficiente para concluirmos que Mt • M = In·
«=) Fica como exercício. É praticamente o caminho inverso da
demonstração da primeira parte. •
Exemplo - Dizer que uma matriz real de ordem n é ortogonal significa quesuas linhas formam uma base ortonormal do IRn. Vice-versa, os vetores de uma baseortonormal do IRn , em relação ao produto interno usual, constituem as linhasde uma matriz ortogonal de Mn(IR).
i79
Assim, dada a base ortononnal:
B = {(I O O) (O VI V2), , ,\1, 2 '2 '
do IR3 (ver parágrafo 3) a matriz:
(O _ VI V2)}\1, 2' 2
3. Mostrar que se u e v são vetores de um espaço euclidiano tais que lIu + vII Ilu - vII,então u e v são ortogonais.
Solução
lIu + vII = Ilu - vII ===> <u + v, u + v> = <u - v, u - v> > lIul12 +
+ 2 <u, v> + IIVll 2 = IIUll2 - 2 <u, v> + IIvll2 => <u, v> = O.
é uma isometria do IR.3 • Este operador e'eixo x. uma rotação de - 45° em torno do
é ortogonal e o operador T: IR? --+ IR.3 dado por:
T(1, O, O) = (1, O, O)
T(O 1 O) = (O V2 V2), , '2 ,- -2-
T(O O 1) = (O VI vT), , , 2 ' 2
1 O O
M= O V2 V22 2
O V2 y'2-2 -2-
4. Consideremos no espaço vetorial IR2 o produto interno (não habitual) dado por <u, v>'= Xl Yl + 2X2Y2, para todo par de vetores'u '= (Xl' X2), v = (Yl' Y2)' Verificar se u e vsão ortogonais, em relação a esse produto, nos seguintes casos:
a) u = (1, 1) e v = (2, -1);
b) u = (2, 1) e v = (-1, 1);
c) u = (3, 2) e v = (2, -1).
Solução
a) <u, v> = 2 + 2(-1) = O. Logo u e v são ortogonais;
b) <u, v> = -2 + 2 = O. Portanto são vetores ortogonais;
c) <u, v> = 6 + 2 (-2) = 2. Neste caso u e v não são ortogonais.
5. Determinarm afim de que sejam ortogonais os vetores u = (m + 1,2)ev = (-1,4)doIR2.
Solução
<u, v> =(m + 1)(-1) + 2 .4= -m + 7 = O >m = 7.
<u, v>--2-' mostrar
Ilvll
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1. Seja V um espaço vetorial euclidianQ. Dados u, v E V (v * o) e k =
que u - kv é ortogonal a v.
Solução
<u - kv, v> = <u, v> + <-kv, v> = <u, v> - k <v, v> = <u, v> _ <u, v> IIvll 2 = O.IIVll2
2. Determinar m E !f a fim de que sejam ortogonais os vetores u '= (1 m + 1 m) e v - (m 1m, m + 1) do IR . ' , - -,
Solução
<u, v> = m - 1 + (m + l)m + m(m + 1) = 2m2 + 3m - 1. Logo u e v são ortogonais
se, e somente se, 2m2 + 3m - 1 = O. Portanto u e v são ortogonais para m = - 3 ± .JT7
4
180
6. Consideremos em P2 (IR) o produto interno dado por <f(t), g(t» = .1 ~ f(t)g(t)dt.
Nessas condições, para que valor de m, f(t) = mt2 - 1 é ortogonal a g(t) = t?
Solução
r l 2 r l3 m 1
<f(t), g(t» = Jo (mt - 1)tdt = Jo (mt - t)dt ="'4 - T= O=> m = 2.
7. Mesmo enunciado do exercício anterior mudando o produ to interno para o seguinte:c 1
<f(t), g(t» = L f(t)g(t)dt.
Solução
<f(t), g(t» '= L~ (mt3- tjdt = O
Logo f(t) e g(t) são ortogonais para todo valor de m.
181
Solução
ri 2 1 1 C a base canônica de P2 (IR)IItl\2 = <t, t> = Jo t dt == 3' Como I\tl\ = ..;3' en ao
não é ortonormal' em relação ao produto considerado.
11. Seja B = {gl' g2' ... , gn} uma base ortonormaln n
u = I aigi e v = I bigi calcular <u, v>.
i=l i=l
8. Determinar f(t) E P2 (R) que seja ortogonal a g(t) = 1 e h(t) = t, em relação ao produtointerno dado por:
<f(t), g(t» = L~ f(t)g(t)dt.
Solução
Suponhamos f(t) = a + bt + ct2. Então:
<f(t), g(t» = f-~ (a + bt + ct2)dt = (at + b~2 + c~3) 1_: = 2a + 2; = O (1)
<f(t), h(t» = L~ (a + bt + ct2)tdt = (a t; + b ~ +c ~) 1_: = 23b = O (2)
De (1) e (2) tiramos que c = - 3a e b = O. Logo f(t) = a - 3at2 satisfaz o problema paratodo valor de a E R.
9. Consideremos em P2 (R) o produto interno definido do seguinte modo:
±bi'" = t aibj,1=0 ~ 1=0
Solução
<u, v> = <~ aigj,t bjgj) = ~nI aibi = al b l + .,. + anbn·
i=l
de um espaço euclidiano. Dados
n n n
"'" "'" "'" ai' bJ' 6 I'J' =L aibj <gi, gj> = L. Lj=l i=l j=l
para todo par de polinômios
2 2
f(t) = I aiti e g(t) = I bitii=o i=o
desse espaço. A base canônica {I, t, t2} de P2 (R) é ortonormal em relação a esse
produto?
Solução
Verifiquemos primeiro se os vetores dessa base têm norma igual a 1.
111112
= <1, 1> = 1 => 11111 = 1
IItll2
= <t, t> = O • O + 1 • 1 + O • 0= 1 > IItll = 1
IIt2
112
= <t2, t
2> = O • O + O • O + 1 • 1 = 1 > IIt2 11 = 1.
Verifiquemos agora se os vetores da base dada são ortogonais dois a dois.
< 1, t> = 1 • O + O • 1 + O • O = O (Logo 1 e t são ortogonais).
< 1, t2
> = 1 • O + O • O + O • 1 = O (Pórtanto 1 e t2 são ortogonais).
<t, t2
> = O • O + 1 • O + O • 1 = O (Então também estes dois vetores são ortogonais).
10. Mostrar que a base canônica de P2 (R) não é ortonormal em relação ao produto internodado por:
<f(t), g(t» = SOl f(t)g(t)dt.
182
12.
Isto significa que em todo espaço euclidiano pode-se encontrar uma base em relação àqual o produto interno fica "na forma habitual".
1), U2 = (1, -1,1), U3 = (-1, O, 1) do R 3, peloOrtonormalizar a base UI = (1, 1,
processo de Gram-Schmidt.
Solução
UI (1, 1, 1) _ (_1_ _1__1_) .(a) gl = l\ull\ = ..j3 - ..;3'..j3'..j3 ,
(b) V2=U2-<U2,gl>gl=(1,-I,l)- ~(~, ~, ~)
= ( ; , - ~ ,-}) . Daí
IH3
13. Achar uma base do sub-espaço yl, onde Y é o sub-espaço de IR4 gerado por O, O, 1, 1) eO, 1, 2, O). Ortonormalize esta base.
Solução
Um vetor v = (x, y, z, t) E lR4 pertence a yl se e somente se
<v, (1, O, 1, 1» = x + z + t = °e
<v, (1, 1, 2, O» = x + y + 2z = °
{co, 0, 1), (2, 1, O)} é uma base de W. Apliquemos o processo de Gram-Schmldt a essabase.
Façamos uI = (0,0,1) e U2 =(2, 1, O) e seja {Bl, g2} a base procurada.
ul (O, 0, 1) (O ° 1)(a) gl = UU111 = 1 ="
(b) v2 = Ui - <u2' gl> gl = (2, 1, O) - Ogl = (2, 1, O).
Logo
g2 = II:~II = (2,:ts0) = (.5s' ~,o)
{(O ° 1)(
2 1 o\} é uma base ortononnal de W., , , ~' ~' J .Assim,
é a base( 1 -2 1) (-lI)}.j6' .j6'.j6' .,j2' 0, .,j2
Portanto{(_I _1 _1).../3' .,[3'.,[3 ,
ortononnal procurada.
O sistema obtido é equivalente a15. Determinar a projeção ortogonal de u = O, 1) sobre o sub-espaço Y = [(1, 3)} do R 2.
+z+t=O
y+z-t=O
cujo conjunto solução é {(-z - t, -z + t, z, t) I z, tE lR}. Mas
(-z - t, -z + t, z, t) = z(-I, -1,1, O) + t(-I, 1,0,1).
Solução
'c ad (1, 3) (1 3)A base ortononnal de Y e 10nn a por g = _.- = --,-- .00 00 00
Como B = {(-I, -1, 1, 0),(-1, 1, 0, I)} é 1.1., então B é base de yl. Vamos ortonormalizá-la.
Façamos uI = (-1, -1, 1, O) e u2 =(-1, 1,0,1)
Logo a projeção é o vetor:
4(1 3) (26)p = <U, g> g = 00 v'1O' --::;:N = 5 '-5- .
(a) - ~ = (-1, -1, 1, O) _(~ ~ _1_ 0\gl - lI ull1 .../3 -.../3' .../3' .../3' J
(b) v2 = u2 - <u2' gl>gl = (-1,1, 0,1) - Ogl = (-1,1,0,1).
Logo
= (-1,1,0, 1) =(~ _1_ °_1_)g2 .../3 .../3' .../3' '.../3 .
{(-1 - 1 1 ) (-1 lI)}Portanto -- -- -- ° . -- -- 0--.../3' .../3'.../3' '.../3'.../3" fi
é uma base ortononnal de yl.
14. Seja W = {(x, y, z) E lR3 I x - 2y = ol Detenninar uma base ortonormal de W.
16. Seja P2 (lR) munido do produto intemo <p(t), q(t» = .I: p(t)q(t)dt.Ortononnalizar
utilizando o processo de Gram-Schmidt a base canônica {I. x. x2}.
Solução
Fazendo ul = 1, u2 = x, u3 = x2 e {gl. g2. g3} a base ortononnal procurada, temos:
1 -I(a) gl = ~ =-1 = 1 (pois 111112 = J
odt = 1
IIU llI
1 2x - 1(b) V2 =U2·- <U2' gi > gl = X -""2 =--2-
• 1( 2x 1)2 1 1IIV2112 = Jo ---T- dx= 12 > IIV211 = 2.../3
V2 M:. g2 = IIv211 = ,,3 (2x - 1).
Solução
Como um vetor típico de W é da forma (2y, y, :1;) e (2y, y, z) = y(2, 1, O) + z(O, 0, 1),então W = [(2, 1, O), (0,0,1)]. Mas esses geradores são linearmente'independentes. Logo
(c) v3 = U3 - <u3' gl >gl - <u3' g2> g2 =
2 1 1 2 1= x - T - "2 (2x - 1) = x - x +6'
184 185
2 ( 1 ( 2 1 )2 1 1IIv311 =.10 x - x + 6" dx = 180 > IIv311 = ---
6.,jS. v3 IT 2.. g3 = II
V311 = yS (6x - 6x + 1).
Portanto, {I, .J3(2x - 1), .JS(6x2- 6x + 1)} é a base ortononnal procurada.
. f. 0,1, O, O) (O, O, 1, 1)} ,ve tores pela sua norma. Assim \.gl fi' g2 = ..j2 e uma base ortononnal
de W. Então a projeção p de u = (l, I, 1, 1) sobre W é:
Portanto
IItll= j ( 1 1J t2dt =--. Logo {0t} é uma base ortonormal de U. Portanto a proO 0
jeção procurada é:
19. Detenninar a projeção ortogonal ele f(t) = 2t - 1 E P2 (IR) sobre o sub-espaço U = [t],
em relação ao produto interno dado por <f(t), g(t» = j: f(t)g(t)dt.
Solução
= (1, 1, I, 1). Assim p = u, isto é, u E W. De fato u = (1, 1, O, O) + (O, O, 1, 1).
dim W + dim Wl = dim V e
dim Wl + dim (Wl)l = dim V.
Então dim W = dim (Wl)l. Juntando as duas conclusões obtidas temos W = (Wl)l.
20. Seja Y um espaço vetorial euclidiano de dimensão finita. Se W é um sub-espaço vetorialde Y, mostrar que W= (Wl)l.
Solução
Mostremos primeiro que W C (Wl)l. Se u E W, então: <u, v> = O, v E Wl . Portantou E (Wl)l. Por outro lado lembrando que V é a soma direta de cada um dos seus sub-espaços com o respectivo complemento ortogonal (proposição 5) temos:
r'" . 2L <u, gl> .i=l
rMostrar que lIu211 ;;. I <u, gi >2, \lu E V (desigualdade de Bessel).
i=l
Mostrar também que se o conjunto dado é uma base ortononnal de Y, então lIull 2 =r
I <u, gi>2, \lu E Y (igualdade de Parseval).i=l
r
Logo lIuU2
;;. IIp1l2. Mas p = I <u, gi> gi. Então:
i=l
Solução
Seja W = [gl, ... , gr1i Se p indica a projeção ortogonal de u sobre W, então u = p + h,onde h E Wl . Daí lIull = <p + h, P + h> = IIPll2 + 2 <p, h> + IIhll2 ::: IIPll2 + IIh1l2.
r
IIUll2 ;;. I <u, gi>2.i=l
Por outro lado, se {gl, ... , gr} é"base de V, então:
17. Seja {gl, g2, ... , gr} um conjunto ortonormal de vetores de um espaço euclidiano V.
r r
u = p = I <u, gi> gi· Daí lIull2 = I <u, gi>2.i=l i=l
18. Achar a projeção ortogonal de (1, 1, I, 1) E IR4 sobre o sub-espaço W = [(I, 1, O, O),(O, O, I, 1)1.
Solução
Notemos que os geradores de W são vetores lineannente independentes e são ortogonaisentre si. Então para detenninar uma base ortononnal de W basta dividir cada um dos seus
21. Sejam U e Y sub-espaços de um espaço euclidiano W de dimensão finita. Provar que(U + y)l = Ul ri y l .
Solução
(a) Seja W E (U + y)l, então W é ortogonal a todo vetor u + v E U + V. ComoU c U + Y e Y C U + Y, então w é ortogonal a todo vetor u E U e a todo vetorv E Y, ou seja, W E Ule W E Vl . Logo W E Ul ri y l .
(b) Seja W E Ul ri yl. Então W é ortogonal a todo vetor de U e de Y. Dado entãou + v E U + V, temos:
<w, u + v> = <w, u> + <w, v> = O + O = O.
Portanto W E (U +V)l.
186 187
22. Provar que T E L(IR2) definida por T(x, y) = (~x - ~y, ~x + ~ y) é uma isome
tria.
Solução
Basta mostrar que T conserva as normas:
lIT(x, Y)1I2 = (+x _ V;y)2 + ( V; x + ; y) 2
1232.,ff 3212.,ff= 4 x + 4 Y - -2-xy +T x +TY +-2-xy =
= x2 + y2 = 11 (x, Y)11 2, V(x, y) E IR2.
é uma isometria nesse espaço euclidiano
24. Seja T uma isometria de um espaço euclidiano V. Mostrar que T conserva o cosseno doângulo entre dois vetores não nulos de V.
Solução
Sejam u e v os vetores. Como I conserva as normas e conserva o produto interno, então:
<u, v> _ <T(u), T(v»liUíIilviI - III (u) 11 III (v) 11
O primeiro membro é o cosseno do ângulo entre u e v, ao passo que o segundo membroé o cosseno do ângulo entre I (u) e I (v).
25. Para que valores de n, m E IR o operador linear I do IR3 definido por I (x, y, z) =
(.,fi .,fi),. '?
= x, my + -2-z, ny + -2-z e uma Isometna.
188
Solução
III(X,y,Z)1I2
=x2+(my + -
generalizado).
7. Em P2 (IR) com o produto interno defmido por: <f(t), g(t» = 10
1f(t)g(t)dt
4. Determinar uma base ortonormal do sub-espaço W de 1R3 dado por W = {(x, Y, z) E
E 1R3 Ix - Y = O}.
a) u = lIull «cos a)gl + (cos fi)g2 + (cos ')')g3);
b) cos2 a + cos2 fi + cos2 ')' = 1.
16. Seja W um sub-espaço de um espaço euclidiano de dinIensão finita V. Para todo v E V.seja v = w + w' com w E W e w' E Wi. Mostrar que a aplicação T: V -+ V dada por:T(v) = w - w' é linear e tem a seguinte propriedade <u, T(v» = <T(v), U>,"lu, v E V.
17. Seja {gl, g2, g3} uma base ortonormal do IR? Para todo u E IR3 definem-se os co-senos<u, gl> <u, g2>
diretores de u em relação à base dada por cos a = lIull ' cos fi = lIull e
<u, g3>cos')' = Ilull . Provarque:
15. Sejam U e V sub-espaços vetoriais de um espaço euclidiano de dimenslro finita. Provarque (U íI V).i = Ul: + Vi,
(x - y - z,5. Considere a seguinte transformação linear do IR3 no IR2: F(x, y, z)2z - x). Determine uma base ortonormal de Ker(F).
a) Ortonormalizar a base {I, 1 + t,2t2};
b) Achar o complemento ortogonal do sub-espaço W = [5, 1 + tI.
6. Seja {gl, ... , gn} um subconjunto de um espaço euclidiano V cujos vetores são
ortogonais dois a dois. Prove que II t gi 11
2= i IIgill
2(teorema de Pitágoras
1=1 1=1
19.
8. Determinar uma base ortonormal de W e uma base ortonormal de Wi, onde W é o sub-espaço de 1R4 dado por W = {(x, y, z, t) : x + y = Oe 2x + z = y}.
9. Determinar um vetor unitário do IR3 que seja ortogonal a todos os vetores do sub-espaço
W = [(1, 2, -1), (-1, O, 2)1
10. Determinar a projeção ortogonal do vetor (1, 1, O, -1) E IR4 sobre o sub-espaço
W = {(x, y, z, t) E IR4 I x - y .,... z = O e z - 2t = O}
18. Seja V um espaço euclidiano. Se T: V -+ V é uma transformação linear que conservao produto interno, prove que T é uma isometria. (Veja a proposição 7.)
Considere os seguintes vetores do IR3: u = (2, 2, 2) e v = (3, 3, I).
a) Determinar dois vetores VI e V2 tais que v = VI + v2; VI é ortogonal a u ev2 = ÀU (À E IR);
b) Se w = (-5, 1, -1) decompor vem uma parcela de W = lu, wl e uma parceladeWi ;
c) Determinar uma base ortonormal de W.
11. Provar que os vetores 1, t e t2 - ~ de P2 (IR) são dois a dois ortogonais em relação ao pro
duto interno dado por:
<f(t), g(t» = ri f(t)g(t)dt.
12. Determinar uma base ortonormal do sub-espaço W = [(1, 1, 1), (1, -2, 3)1 do R 3 emrelação ao produto interno dado por:
<u, v> = XIYI + 2X2Y2 + x3Y3,
para todo par de vetores u = (Xl, x2, x3) e v = (Yl, Y2, Y3) do IR3.
13. Determinar um polinômio de grau 3 em P3(1R) que seja ortogonal a 1, t e t2 com relaçãoao produto interno definido no início deste capítulo como exemplo 2.
*20. Seja V um espaço euclidiano. Se u E V, W = [uI e E é a transformação linear queassocia a cada vetor de V sua projeção ortogonal sobre W, mostre que:
IIv - E(v)1I ,.;;; IIv - wll, "Iv E V e Vw E W.
Interpretar geometricamente esse resultado.
21. Seja V um espaço euclidiano de dimensão finita e seja E a projeção ortogonal de Vsobre o sub-espaço W de V. Mostrar que o operador linear E tem a seguinte propriedade: <E(u), v> = <u, E(v», "lu, v E V.
22. Determine m E IR. a fim de que o seguinte operador linear do IR.3 seja uma isometria:
(1 1 -1 2 1 1 1)
F (x, Y, z) = .,fi x + .,fi Y + mz, .J6 x + .J6 Y - .J6z, - -fi x + .,fi z .
. al (t -1). . . r h . (1 2)23. Determinar uma matnz ortogon A = A cUJa pnmella In a seja "5 ' 5 .
14. Sejam u e v dois vetores linearmente independentes do IR3. Mostrar que existem dois,e apenas dois, vetores de norma igual a 1 que são ortogonais simultaneamente a u e v. *24. Mostrar que a matriz de mudança de base entre duas bases ortonormais de um espaço
euclidiano de dinIensão finita é uma matriz ortogonal.
190 191
25. Mostre que (12 - A) (I2 + At' é uma matriz ortogonal, onde A = (O 5)-5 O .
*26. No espaço vetorial V = Mn(lR) consideremos o produto interno definido por < A, B > == tr (ABt). Dada uma matriz M E V, seja TM: V --> V o operador linear definido porTM(X) = MX, 'ri X E V. Mostre que TM é uma isometria se, e somente se, M é uma'matrizortogonal.
Demonstração
S · B - {g g g } uma base ortonormal de V. Por hipóte-( » eJa - 1, 2,···, n
se<A(gi)' gj> = <gi' A(gj»
paraquaisqueri,j(l ~ i,j ~ n). Mas se a matriz de AemrelaçãoaB é (A)B = (aij)'então
27. Determine a isometria do 1R3 cuja matriz em relação à base canônica é
übs.: x, y e z devem ser determinados numericamente.
(i, j
n
2 akigk e A(gj)k=l
1, 2, ... , n), e daí
n n
< 2 akigk, gj> = <gi' 2 atjgt>·k= 1 t= 1
*28. Seja V um espaço euclidiano de dimensão finita. Sendo U um subespaço vetorial de V, indiquemos por E : V --> U a projeção ortogonal de V sobre U. Provar que E é sobrejetora, istoé, Im(E) = U.
Donde
5. OPERADORES AUTO-ADJUNTOS
e portanto aji = aij (i, j = 1, 2, ... ,n) e (A)B é simétrica.
« ) Seja B = {gl' g2, ... , gn }uma base ortonormal de V e admita-mos que (A)B = (aij) é simétrica. Então, como
n n
<A( '\ > <" a g g > - " akl'Dkj' = aj'l' e, analogamente,gjJ, gj = L ki k, j - Lk= 1 k= 1
<gi' A(gj» = aij,
n n n n
() > < " A(g) " R. g.> - " " lX 1·t3j·<A(gi), gj'> =<A u , v = L lXi i , L I-'j j - L Li=l j=l i=l j=l
n n
2 2 lXit3j <gi' A(gj» = <u, A(v».i= 1 j=1
Definição 8 - Seja V um espaço vetorial euclidiano, Um operador A E L(V)se diz auto-adjunto se
<A(u), v> = <u, A(v»
para quaisquer u, v E V.
Se a dimensão de V é finita os operadores auto-adjuntos admitem uma caracterização matricial bastante simples, como veremos a seguir.
Proposição 9 - Seja V um espaço euclidiano de dimensão finita. Então, umoperador A E L(V) é auto-adjunto se, e somente se, a matriz de A em relação a umabase ortonormal de V é simétrica.
obtemos que<A(gi), gj> = <gj,A(gj»
. gj' E B. Considerando então vetorespara qUaIsquer gj,n n
u = 2 lXigi e v = I t3jgj, teremosi=l j=l
genéricos u, v E V,
192 193
Nota: Seja V um espaço euclidiano de dimensão finita. Se A1 e A2 são operadoresauto-adjuntos de V, então A1 + A2 também é auto-adjunto pois
«A1 + A2)(u), v> = <A1(u) + A2(u), v> = <Al(u), v> + <A2(u), v> =
= <u, Al(v» + <u, A2(v» = <u, Al(v) + A2(v» = <u, (Al + A2)(v»
É fácil ainda mostrar que se A é auto-adjunto e a E lR, aA é também auto-adjunto.Logo o conjunto dos operadores auto-adjuntos de V é um sub-espaço vetorial deL(V).
Fixemos então uma base ortonormal B do espaço V e consideremos a aplica-ção
A ~(A)B
que a cada operador auto-adjunto AEL(V) associa sua matriz relativamente à baseB. É claro que se trata de uma transformação linear e injetora. Levando em conta aproposição 9 podemos afirmar mais: é um isomorfismo do espaço dos operadoresauto-adjuntos no espaço das matrizes simétricas de ordem n(n = dim V) sobre IR.
Logo os operadores auto-adjuntos sobre espaços euclidianos podem sempreser identificados com matrizes simétricas reais.
Exemplo - O exemplo que apresentaremos mostra que a hipótese de que abase B na proposição 9 seja ortonormal é imprescindível. No espaço IR3 consideremos o produto interno usual e seja TEL (IR3) definido por
T(x, y, z) = (2x + 2z, x + z, x + z).
A matriz de T em relação à base B' = {(1, 1, O); (1, O, O); (O, O, I} (não ortonormal) é
simétrica. Mas T não é auto-adjunto pois <T(1, O; O); (O, 1, O» = «2, 1, 1);(O, 1, O» = 1 ao passo que
<(1, O, O); T(O, 1, O» = <(1, O, O); (O, O, O» = O.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1. Seja H um sub-espaço vetorial do espaço euclidiano V. Então cada v E V se expressa, deuma única maneira, como
v = h + t
194
onde h E H e tE H1. Considere a aplicação A: V -> V definida por
A(v) = h - t, qualquer vEV.
a) Mostrar que A é linear e é auto-adjunto.
b) Se V = 1R.3 , com o produto interno usual, e H = [(1, 1, O)], achar a matriz de Arelativa àbase usual do R3 .
2. Seja V um espaço euclidiano de dimensão finita. Mostrar que duas quaisquer das propriedades a seguir de um operador A E L(V) implicam a restante:
a) A é auto-adjunto
b) A é uma isometria
c) A2 = I
3. Seja TEL(V) um automorfismo. Se T é auto-adjunto, mostrar que T-1 também o é.
4. Seja A um operador auto-adjunto de um espaço euclidiano V. Se H é um sub-espaço vetorialde V com a propriedade
uEH ->A(u)EH
mostrar que H1 tem também essa propriedade.
5. Seja T um operador auto-adjunto de um espaço euclidiano V. Se <T(u), u> = 0, para todouEV, mostrar que T = O.
6. Sejam T, SE L(V) operadores auto-adjuntos. Mostrar que: ToS é auto-adjunto se, e somente se, TOS = SoT.
6. ESPAÇOS HERMITIANOS
Indicaremos brevemente como os conceitos apresentados nos §§ 1 - 5 seapresentam em um espaço vetorial sobre o corpo <C dos números complexos.
Seja V um espaço vetorial sobre <C. Um produto interno sobre V é umaaplicação
(u, v) t-+ <u, v>
de V X V em <C, para a qual se verificam as seguintes condições:
(a) <Ul + U2, v> = <Ul, v> + <U2, v>, VUl, U2, vEV;
(b) <au, v> = a<u, v>, Va E <C e Vu, v E V;
195
1. PERMUTAÇÕES
N~tação: indicaremos abreviadamente uma permutação a de Nn por
Determinantes
(1 2 o" n)
a (1) a (2) .. , a (n) .a=
CAPíTULO 7
Seja n ;> 1 um número natural. Consideremos o conjunto Nn = {I, ... ,n}.
'Defmição 1 - Toda aplicação bijetora a: Nn -+ Nn chama-se permutação
do conjunto Nn.Se a e <.p são permutações de Nn,então a o <.p: Nn -+ Nn também é uma permuta
ção. A aplicação idêntica de Nn (indicaremos por id) é obviamente uma permutação. Além disso, a inversa a-I de uma permutação a de Nn também é uma permutação de Nn.
(c) <u, v> = <v, u>, \lu, v E V;
(d) Para todo u E V, u *- o, <u, u> é um número real maior que zero.
Exemplo - Seja V = <en. Se u = (Xl, ... , xn) e v = (YI> Y2' ... , Yn)indicam vetores quaisquer de <en, então a aplicação dada por:
(u, v) f-* <u, v> = XÔ'l + '" + xnYn
defme o chamado produto interno usual de CCn. Verifiquem:os as condições (c) e(d) da definição
(c) <v, u> = YlXl + " . + Ynxn = YlXl + + Ynxn =
= YlXl-+ ... + xnYn = XlYl + + xnYn = <u, v>.
(d) Se u *- o, então um dos xi pelo menos não é igual a zero. Logo:
<u, u> = XIXI + ... + xnxn = Ixd2 + " . + Ixnl2 > O.
Queremos registrar que os conceitos fundamentais introduzidos nos espaçoseuclidianos (norma, distância, ortogonalidade, base ortonormal, complementoortogonal e isometria) são definidos do mesmo modo num espaço vetorial sobre CC
com produto interno. E resultados importantes obtidos, como a desigualdade deCauchy-Schwarz, as propriedades da métrica induzida pela norma, o teoremade Gram-Schmidt e a proposição 7, também são válidos neste caso. Apenas asdemonstrações teriam que ser ligeiramente mudadas.
Um espaço vetorial complexo com produto interno é também chamado deEspaço Hermitiano.
Exemplos
1) Se n = 2, existem duas (= 2!) permutações do conjunto N2 = {l, 2}que são
id = G ~) e a = (~ ~ ) .
2) Existem 6(= 3!) permutações de N3 = {I, 2, 3}. São elas:
(: ~ :), (~ ~ :) (~ ~ ~), C ~ ~),
(~ ~ ~), (~ ~ ~).3) Existem 24(= 4!) permutações de N4 • Escreva-as como exercício.
196 197
Definição 2 - Consideremos uma permutação
(1 2 ... n)
a=a (1) a (2) ... a (n)
de Nn. Seja r o número de pares ordenados (i, j) com 1 ~ i < j ~ n tais quea(i) > aO). Chama-se sinal da permutação a o número inteiro representado porsgn(a), que é
sgn (a) = 1, se r é par
sgn(a) = -1, se r é ímpar.
Exemplos
1) Seja a = (1 2 3)312
Os pares (i, j) com 1 ~ i < j ~ 3 e a(i) > aU) são (1, 2) e (1,3); logo r = 2e sgn(a) = 1.
2) seja o ~ ( : ~ ~)
O único par (i, j) com 1 ~ i < j ~ 3 e a(i) > aU) é (2, 3). Então r 1e sgn(a) = -1.
3) Tomemos a = (1 2 3 4 5)3 1 2 5 4 .
Neste caso os pares (i, j) com 1 ~ i < j ~ 5 e a (i) > aU) são (l, 2), (1, 3) e(4, 5); logo r = 3 e sgn(a) == -1.
Definição 3 - Uma permutação a é par (respectivamente, ímpar) sesgn(a) = 1 (respectivamente, sgn(a) = -1).
Defmição 4 - Chama-se transposição uma permutação Z em que existeapenas um par (i, j) de maneira que i < j e Z (i) > Z(j) e que deixa os demaiselementos fixos, isto é, Z (k) = k, k "* i, j. Esta transposição é indicada por (i j).
Exemplos
(aqui i = 1 e j = 2);
198
(: 2
~) • (aqui i = 2 e j = 3);3
(: 2 3 4 5 :) (neste exemplo i = 3 e j = 6).2 6 4 5
Nota: As transposições são permutações ímpares muito simples pois n - 2 elementos de Nn = {I, ... , n} são inalterados por elas e, logicamente, os outrosdois são invertidos ou transpostos.
As transposições são importantes devido ao seguinte teorema, cuja demonstração omitiremos.
Teorema 1 - Toda permutação a do conjunto Nn pode fatorar-se na formaa = Z1 o Z2 o ... o Zs onde Zi são transposições. Se a = Z1' o Z; o ...o Z; é outra decomposição de a em transposições, então s e t são ambos pares
ou ambos ímpares. Além disso, sgn(a) = (-1)s.Decorre desse teorema que sgn(a o~) = sgn (a) sgn(~), onde a e ~ são
permutações quaisquer do conjunto Nn. Em particular para toda transposição Z,sgn (a o Z ) = - sgn (a). A verificação destas fórmulas é uma tarefa para o leitor.
2. DETERMINANTES
Seja A = (aij) uma matriz real de ordem n. Consideremos um produto daforma
a10(1) a2o(2) •. , .• ano(n)
onde a é uma permutação do conjunto Nn. Nesse produto aparece apenas umelemento de cada linha de A (pois os primeiros índices não se repetem) e apenasum elemento de cada coluna de A (pois os segundos índices também não serepetem, já que a é bijetora). Vamos.multiplicar esse produto pelo sinal de a queé 1 ou -1:
sgn(a) a1o(1) a2o(2) •.. , • ano(n)'
199
Finahnente somemos todos os números assim obtidos, de maneira que a percorrao conjunto de todas as permutações de Nn. Teremos portanto n! parcelas nasomat6ria
real
I sgn(a) aIU(I) a2u(2) " ... " anu(n).U
Definição 5 - Chama-se determinante da matriz A de ordem n o número
Logo
det(A) = all~2a33 + a12~3a31 + a13~la32 - all~3a32 - a13~2a31
- a12~la33
Notemos que como o número de parcelas de det(A) é n!, então o cálculode determinantes através da definição se toma trabalhoso em demasia para n ~ 3.Mas em certos casos, como no exemplo seguinte, o problema é relativamentesimples.
det(A) = I sgn(a)aIU(I) a2U(2) " ... " anu(n).U
Exemplos
1) Se A = (all), então det(A) = au.
(au a12)2) Seja A = E M2 (lR)~l a22
MP::"(: do~r::{:; 2~ '.~:Sr~Logo det (A) = au ~2 - a12 a21 .
(sinal -1)
4) Seja A = (aij) uma matriz de ordem n em que aij = O, sempre que i*" j.Mostremos que neste caso det(A) = alla22 ann. De fato, temos:
A = (~~'..~ ' ~ )
O O ••. ann
Examinemos cada parcela que figura na expressão de det(A). Para a = id, temossgn (id) = 1 e portanto aparece a parcela all ~2 ... ann . Se a * id, existe i E Nntal que a(i) * i; logo na parcela definida por a aparece o elemento aiU(i) que nãopertence à diagonal prinCipal de A, o que significa que aia(1 )a2 a( 2) ... aia(i) ...a = O Assim as parcelas correspondentes aos a * id são nulas e o deter-na(n) . ,minante se reduz a
-
Ca12 'U)3) Seja A = a21 a22 a23 E M3(lR).
a31 a32 a33
As permutações do conjunto {l, 2, 3} e respectivos sinais são
G2 :) (~
2
~)2(+ 1)
3(-1)
(~2
~) G2
~)3(+ 1)
2(-1)
(~2
~) (~2 :)1
(+ 1)1
(-1)
200
det (A) = au ~2 " ... " ann .
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1. Calcular sgn(a) nos seguintes casos:
C2 3 :) (~2 3 :)(a) (b)
3 2 1 4
(~2 3 4 :) (~
2 3 4 5
:)(c) (d)23 4 5 5 6
201
3. Calcular det(A) (À E IR):
2. Calcular det(A) nos seguintes casos:
A=
para todo 1 ~ i ~ n e todo ÀE IR.
An
Isso nos permite pensar no determinante como uma função de n variáveis AI,A2, .. , , An que são vetores do R.n:
P1 • A função determinante é linear em cada uma das variáveis AI, A2, ... , An,isto é:
(a) det(A1, A2, , Ai + A'i, ,An) == det(A1, A2, , Ai, ,An) + det(A1
, A2, ... ,A'i, ... , An);
(b) det(A1, A2, , ÀAi, , An) = Àdet (AI , ... , Ai, ... , An)
. Seja A = (aij) uma matriz de ordem n. A linh~ j-ésima da matriz A 6A(j) = (ajl aj2 ... ajn) que indicaremos apenas por AJ, para facilitar a notação.Então a matriz A pode ser representada pela seqüência de vetores-linha
det(A) = det
203,
Nota: Podemos também pensar no determinante como uma função das n colunas.AI, ... , An de A. Conforme veremos na proposição Ps , tanto faz pensar emtermos de linhas como de colunas. Em razão da definição· que demos de deterlninante, vamos trabalhar sempre com as linhas, até que se estabeleça a propriedadePs . Daí para a frente, cada propriedade enunciada em termos de linhas tem umacorrespondente para colunas e vice-versa.
3. PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES
C:) (b)A=(: ~)
(:3
D G2
i)(d) A = 1
O
(}O O
0)(~
O O
~)2 O O 3 O
1 4 O(f) A =
O 4
O 1 -1 O O
(c) A =
(e) A =
(a) A= (1 -À 1)1 1- À
(a) A =
C~cular det~A - À13) e, a seguir, no polinômio p(À) obtido, substitua À por A obtendoassim a matriz p(A). '
4. Determinar os valores reais ou complexos de Àde modo que det(A) = Ono exercício 3.
(021 ~3 ~4)5. Seja A =
6. :unplie as i~éias usadas no exemplo 4 deste parágrafo para provar o seguinte: se A = (a")e uma matnz em que aij = O, todas as vezes que i < j, então IJ
det (A) = aUa22 •...• ann.
7. Escrever todos os produtos a o 'fi onde a e 'fi são permutações de
L__.2•02
....... _
Prova - Esta propriedade decorre de que em cada uma das parcelas de
ao fato de determinante ser linear na primeira linha que é AI = (371., 271., À) == 71.(3,2,1). Sugestão para o leitor fazer a demonstração: usar o teorema 1.
Prova - De fato, det(AI, ... , Ai + Ai, ... , Ai + Ai, ... , AU) = O, pois,
há duas linhas iguais (i e j). Então, pela linearidade em cada variável,
O = det(AI, , Ai + Ai, ... , Ai + Ai, ... , AU) =
= det(AI, ,Ai, , Ai, , AU) +
+ det(AI, ,Ai, ,Ai, ,AU) +
+ det(AI, , Ai, ,Ai, ,AU) +
+ det(AI, , Ai, , Ai, , AU).
Pela propriedade (P2),
det(AI, ... , Ai, ... ,Ai, ... ,AU) = det(AI, ... ,Ai, ... ,Ai, ... ,AU
) = O.
Logo
. det(AI, ... , Ai, ... ,Ai, ... , AU) =: -det(At, ... , Ai, ... ,Ai, ... ,AU). _
Nota: A propriedade P3 costuma ser assim enunciada: se trocamos entre siduas linhas de uma matriz A, o determinante muda de sinal. Decorre daí(não faremos a demonstração) que se a é uma permutação das linhas deA = (AI, ... , AU
), então
det(Aa(l), ... , Aa(u») = sgn(a)det(AI, ... ,AU ).
2
1
1
)
, devido
2
3
-1
À~) = Àdet
271.
3
-1(
371.
2) det ~
Exemplos
l)det (X;l Y~l Z~3)=det(~ ~ ~)+det(~-~-~)221 221 221
devido ao fato de que determinante é uma função linear na primei):avariável AI, que neste caso é AI = (x + 1, Y - 1, z - 3) = (x, y, z) ++ (1, -1, -3).
det(A) = L sgn(a)ala(l) ... aua(u) aparece um e apenas um elemento dea
cada linha. -
(X+2Y l+t) (x 1) (x 1)3) det = det. + det +x+3y 2-t x 2 3y -t
(2Y t) (2Y t)+ det + det = x - 2tx + Y - 5yt.x 2 3y -t
Explique como chegamos a este resultado.
P2 • Se A = (AI, A2, ••• , AU
) é uma matriz de ordem n e se Ai =Ak , comj < k então det(A) = O.
Prova -'- Será feita no apêndice ao fim deste capítulo. _
P4 • Seja A = (AI, ... , AU). Então vale sempre a igualdade:
det(A) = det(AI, ... , AU) = det(AI, ... , Ai +
U
+ L ~Ak, ... , AU), \f G:k E IR.
k=lk fi
A prova decorre de PI e P2 ; fica como exercício.
P3 • Dada uma matriz A de ordem n suponhamos que B é a matriz obtida daseguinte maneira:
B = (AI, , Ai, , Ai, , AU), sendo que
A = (AI, , Ai, , Ai, , AU).
Então det(B) = - det(A).
Ps . Det(A) = det(At), para toda matriz A de ordem n.
Prova - Fica como exercício.
Nota: A propriedade Ps permite estender as propriedades das linhas de Aàs colunas de A. Por exemplo, se duas colunas de A são iguais então det A= O.Escreva as propriedades PI, P2 , P3 e P4 em termos de colunas, comoexercício.
204 205
206
Exemplo
O exemplo a seguir mostra como a propriedade P4 para colmas pode ajudarno cálculo de um determinante. Seja
(i5 2
~)4 2
A=2 1
3 1
Somando à segunda a primeira colma, multiplicada por - 5, obtemos amatriz
1 O 2
~)3-11 2
1 -3 1
O 3 1
que tem o mesmo determinante que A (mas não é A). Em seguida substituímos a terceira coluna pela diferença entre a terceira e o dobro da primeiracoluna desta última matriz:
( ~ -l~ -~ ~)1 -3 -1 2
O 3 1 3
Substituindo nesta última matriz sua quarta coluna pela diferença entre elaprópria e a primeira coluna:
1 O O
3 -11 -4
1 -3 -1
031
-4Em seguida multiplicamos a segunda coluna por 11 e somamos com a
terceira coluna e depois multiplicamos a segunda coluna por ~i e somamos
à quarta coluna:
1 O O O
3 -11 O O
-31 20
11 11
31 24
O -TI TI
Multiplicamos a terceira coluna por -20 e somamos com a quarta:
1 O O O
3 -11 O O
1 -31
O11
O 3-1
411
e pelo exercício 6 acima det A = - 4.
ExERCÍCIOS PROPOSTOS
1. Provar que se A = (Al , ... , ~) e Àb ... , Àn E IR, então det(ÀlAl , ... , ÀnAn)= Àl • '" • Àndet(A).
2. Sem cálculo, provar que a matriz
(
3 -6 x)1 -2 y
2 -4 z
tem determinante igual a zero quaisquer que sejam x, y, z E R.
3. Seja A uma ~atriz de ordem 3. Provar diretamente que det(A) = det(At).
207
a primeira par e a segunda ímpar. Agrupemos os termos correspondentes:al1 ~2 a33 - al3 a22 a31' Existem finalmente duas permutações que levam 3 em 2:
Na expressão do determinante de A agrupemos os termos que contêm a12:- al2 a21 a33 + al2 a23 a31' Analogamente existem duas permutações que levam2 em 2:
(: ~ :) (+ 1) e G~ ~) H)
G ~ ~) (+1)(: ~ ~) (-1) e
6. Soj. A ~ (i )(b b ... b). Qumto , d"(A)?
S. Seja A uma matriz de ordem n tal que A + At = O. Provar que det(A) = (_ l)ndet(A).Que acontece se n é ímpar?
7. Provar que
det (~ :: ::) = det (::
1 cZ c3 ab
usando as propriedades PI e Ps .
8. Seja A = (AI' A z, A3) uma matriz de ordem 3. Seja B = (AI - A z - A3, A z - AI - A3,A3 - AI - Az)· Provar que det(B) = - 4 det A.
9. Provar que det(A) = Osendo
A=(
1
cos a
cos 2a
cos a
cos 2a
cos 3a
cos 2a)cos 3a
cos 4a
a primeira ímpar e a segunda par, cujos termos correspondentes são: -al1 aZ3 a32 ++ al3 aZl a3Z'
Assim
det{A) = (-aI2 ~l a33 + alZ a23 a3~) + (al1 aZ2 a33 - a13 ~2 a31) ++ (a13 a21 a32 - all~3a32) = a12(a2I a33 - a23a31) ++ a22 (al1 a33 - a13 a31) + a32 (aI3~1 - al1a23) =
a12 A12 + ~2A22 + a32A32,
com a defmição evidente de A12 , A22 e A32 .
Observemos que
4. COFATORES
Tomemos a matriz
(
all al2 a13)a21 a22 a23
a31 a32 a33
. Seu determinante ~ dado pela soma das seis parcelas sgn(a) ala(l) a2 a (2) a3a(3) .EXIstem duas permutaçoes que levam I em 2: (à direita, está o seu sinal)
(~ ~ :) (-1) e (~ ~ :) (+1)
(
al1e A32 = -det
a21
3
A expressão det(A) = I ai2Ai2 é o desenvolvimento de det(A) pelai=l
segunda coluna. O que foi feito com respeito à segunda coluna também vale paraas duas outras, ou seja,
3
det (A) = I aikAik (k = 1, 2, 3).i= I
208 209
Nota: Tudo o que foi feito para as matrizes de ordem 3 vale para as matrizes deordem n. Para verificar tal afIrmação seja A uma matriz de ordem n e ftxemos umÚldice j, 1 ~ j ~ n. As n! permutações do conjunto {I, 2, ... , n} estão repartidasem n classes disjuntas SI, . " , Sn, onde Si consiste das permutações a tais quea(i) = j. Além disso cada classe Si consiste do mesmo número de permutaçõesque é (n - I)!. Decorre daí que:
det(A) = L sgn(a)alja20 (2) • '" • ano(n) +OESl
+ L sgn(a)alO(1)a2ja30(3) •...• ano(n) +oE~
+ ... + L sgn(a)alo(1)~O(2) •...• an-l, o(n-l) anj =oESn
= aljA1j + a2jA2j + ... + anjAnj
onde
Aij = L sgn(a)alo(l) •...• ai-l,o(i-l)ai+l,O(i+l) •...• 3.no(n)oESi
(i=I,2, ... ,n).
Portanto
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1. Calcular os cofatores de cada um dos termos da matriz
2. Calcular o cofator do elemento x da matriz
3
3. De.senvolva pela primeira coluna (det (A) = I ailAil) e depois calcule o determinante
i=lda matriz
n
det(A) = L aijAit)i= 1
Vj = 1, ... , n.4. Repetir o exercício 3 com a matriz
Defmição 6 - O número real Aij obtido segundo as considerações acimachama-se cofator do elemento aij da matriz A. Devemos notar que Aij é o determinante da matriz de ordem n - 1 obtida de A pela supressão da linha i-ésima eda coluna j-ésima, multiplicado por (_I)i+j.
Este é o desenvolvimento de det (A) pela coluna i-ésima. É possível provar que det (A) =n
= L ariAri> para todo r tal que 1 .-; r .-; n. É o desenvolvimento de det (A) pelai=l
r-ésima linha. Para isto basta lembrar que det (A) = det (At).
210
5. Sejam A, B e C matrizes de ordem 2 e seja
de ordem 4. Provar que det(X) = det(A)det(B). Este resultado vale para A,B, C E Mn(IR).
211
5. ADJUNTA CLÁSSICA E INVERSA
Definição 7 - Seja A = (ajj) uma matriz de ordem n e seja Ajj o cofatorde aij. Chama-se adjunta clássica (ou simplesmente adjunta) de A a matriz
AdjA = (~:: ...~:... ::: ..~=)A1n A2n ... Ann
Calculemos o produto (Adj A)A. O elt~mento de posição (i, j) nesse pro-n
duto é I Akiakj e este número é igual a ôjjdet(A). De fato, para i = j essak=1
n
soma vale I akiAki que é o desenvolvimento de det(A) pela coluna i-ésima.k=1
Para i =1= j é o desenvolvimento pela coluna,i-ésima do determinante da matriz A' == (Alo' .. , Aj' ... , Aj, ... , An), com as colunas i e j iguais, e portanto vale zero.Então (Adj A)A = (det(A»In. Se considerarmos o desenvolvimento de det(A) pormeio de uma de suas linhas chegare~os a que A (Adj A) = (det (A»In .
Portanto vale sempre a igualdade:
A(Adj A) = (Adj A)A = (de'(A) d,.(A).... )
det(A)
~ deltA) (I I... I) ~ dot(A)ln•
Relembremos: uma matriz A de ordem n é inversível se, e somente se, existe umamatriz B, também de ordem n, de maneira que AB = BA = In. Então das considerações que acabamos de fazer resulta a seguinte proposição:
Proposição 1 - Uma matriz quadrada A tal que det (A) =1= °é inversível esua inversa é dada por:
212
Exemplo - Seja
cujo determinante é 1 X 7 - 1 X 2 = 5. Neste caso a adjunta de A é a matriz:
(7-1)-2 1
Temos
(1 1) (7 -1) (5 0) = 5. (1 0)2 7 -2 1 ° 5 ° 1
Logo
A- 1 =_1 (7 -1)5 -2 1
O teorema a seguir será demonstrado em apêndice; sugerimos ao leitor quefaça sua demonstração quando A e B têm ordem 2.
Teorema 2 - Sejam A e B matrizes de ordem n. Então det(AB) =det (A) det (B).
Corolário - Seja A uma matriz de ordem n, inversível. Então:
det(A) '* ° e det(A-1) = (det(A»-1.
Demonstração - Por hipótese existe. uma matriz B de ordem n tal queAB = BA = In. Logo det(AB) = det(A)det(B) = det(In) = 1. Daí det(B) =1= °
1e det (B) = det (A) . •
213
I, I
(k = 1, 2, ... , n).
18 18 36X = 18 = 1, Y = 18 = 1 e z = - 18 = -2.
215
(;-5~-1 -2) (2 ~5~-2)
Ll1 = 11 i 1 2 ,Ll2 = 4 \1 i 2 e
~J-l 1 8 ~J 1
Exemplo - Resolver o sistema
{
2x - Y. - 2z = 54x + y + 2z = 1
8x-y+ z=5
Neste caso
A = (~ -~ -~) e det(A) = 18.
8 -1 1
Além disso
com det(Ll1) = 18, det(~) = 18 e det(Ll3) = -36.
Logo
obtida de A pela substituição de sua k-ésima coluna por B. Temos então finalmente
det(Llk)Xk = det(A)
Esta fórmula dá a solução de AX = B quando A é inversível e é conhecidacomo regra de Cramer.
n
desenvolvido pela sua primeira coluna. De um modo geral o termo I Ajkbjj=l
(k = 1, 2, ... , n) é o desenvolvimento, pela coluna k-ésima, do determinante da
matriz
..................................
Xl Au A21 Ant
X2 1 A12 A22 An2det(A) ......................................
Xn A1n A2n Ann
n
L Ajl bj1 j=l
det(A)nI Ajnbjj=l
6. REGRA DE CRAMER
....................................................
ant Xl + am X2 + ... + annxn = bn
ou, equivalentemente,
Consideremos wn sistema de Cramer sobre ]R:
all x l + a12 x2 + + alnxn = b1
~lXl + ~2X2 + + ~nxn = b2
AX = B
onde A. = (aij) é inve~sív~l, X = (Xl ~ '" xn)t e B = (b1 b2 ... bni. Já vimosno capItulo 1 que taIS sIstemas são compatíveis determinados com solução dadapor X = A-I B. Levando em conta a proposição I do parágrafo precedente, temos:
X= 1 (d)det(A) a ~ A B.
Este último resultado nos permite calcular explicitamente xl> ... , xn. Vejamoscomo.
n
O termo L Ajl bj é o determinante da matrizj=l
214
Seja V um espaço vetorial de dimensão n. Se F: V -+ V é um operadorlinear e B e C são bases de V, sabemos que existe uma matriz inversível M tal que(F)c = M- 1 (F~M. Logo
det((F)c) = det(M-l(F)BM) = det(M- 1)det((F)B)det(M) ==
= (det(M»-1det(M)det((F)B) = det((F)B)'
Assim, embora a matriz de F dependa da base escolhida em V, todas asmatrizes que representam o mesmo operador F têm o mesmo determinante.
Definição 8 - Chama-se determinante de um operador linear F: V -+ V odeterminante da matriz de F em relação a uma base qualquer de V. Usaremos anotação det(F) para indicá-lo.
As seguintes propriedades são imediatas:
(I) Se F e G são operadores lineares de V, então
det(F o G) = det(F)det(G).
det (I) = 1, se I indica a identidade de V.
F: V -+ V é um isomorfIsmo 'se, e somente se det(F) "* O.
217
7. DETERMINANTE DE UM OPERADOR LINEAR
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1. Seja F: 1R2-+ IR.2 o operador linear dado por F (1, O) == (2, 1) e F (O, 1) == (3, 3).
Calcular det(F).
2. Seja H : V ~ V a homotetia H;\ (v) = ;\v, V-v E V. Calcular det(H).
3. Seja F: V -+ V um operador linear tal que F2 == F. Quanto vale det(F)?
4. Seja F: IR3-- IR3 dado por F(x, y, z) = (x - y + z, 2x - z, x + y + z). Calcular det(F) e
det(F2).
n-l nao ao
n-l naI aI (11)
(I1I)
n-1 a nan n
(Vandermonde)2
ao ao2
aI aIA==
1
1
(-: :-: ~)A==-z t x-y
-t -z Y x
b) Provar que se ai *" aj para i *" j então A é inversível.
a) Provar que det A = n (aj - ai), onde o símbolo n. significaO~i<j~n 0~1<J~n
que devemos multiplicar todos os números aj - ai com os índices i e j satisfazendoa condição O ~ i < j ~ n. Por exemplo, o determinante de
(~ :: :::) vale (a2 - al)(a2 - ao)(al ~ ao).
1 a2 ~2
a) A == (: ~ ) B == (~)
b) A = C~ ~) B =C)o) A =U~ ~ ~) B =( D
uma matriz de ordem 4, com x, y, z, t E IR. Calcular det A e provar que A é inversível,se ao menos um dos 4 números x, y, z e t não for nulo.
1. Calcular, se existir, a matriz inversa de A (usando sua adjunta) e use essa inversa pararesolver AX = B nos seguintes casos:
* 3. Seja
**2. Seja a matriz de ordem n + 1
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
216
219
(1)
(7)bnkn = det(A) • det(B), •
a
Então det (C) =
~ det( .~~~~l.b,k,l~" " ~~~~2.~k~~, .'...., " ~,a,l~~~~~n,Iank1bk11 Iank2~22'" Ianknbknn
n
Cij = I aikbkj (i, j = 1, ... , n).k=l
= det(A) I sgn(a)b1k1 •a
(6)=det(A) I sgn(a)bk11bk22 ... bknn =
a
Teorema 2 - Sejam A e B matrizes de ordem n. Então det (AB)~ l1ct(A)det(B).
Demonstração - Sejam A = (aij), B = (bij) e C = AB = (Cjj). Logo
p
= I sgn(ar) [a1ar(1) •...• anar(n) - a1(ar Z)(1) •...• an(ar (;)(n)]r=l
Para cada r = 1, 2, ... , p, vale a igualdade
a1ar(1) •.... anar(n) = a1(ar (;)(1) •...• an(ar (;)(n)·
De fato, fazendo ar = a para simplificar a notação, temos:
aiaO) = ai(aZ)(j) = aj(aZ)(j),
pois Ai = pJ, e aja(j) = ai(a Z)O), pelo mesmo motivo.
Além disso, temos também, V- k =1= i, j, aka(k) = ak(a (;)(k).
Logo, os fatores são os mesmos nos dois produtos cuja igualdade afirmamosvaler. Segue daí que det (A) = O. •
218
Neste apêndice provaremos os resultados sobre determinantes não demonstrados no texto.
(P2) Seja A = (A1, ... , An) uma matriz de ordem n. Se existem i, j,com 1 ~ i < j ~ n e Ai = Aj, então det(A) = O.
Demonstração - Seja z: = (ij) a transposição determinada por i e j; isto é,Z (i) = j, Z (j) = i e Z(k) = k, se k =1= i e k =1= j. Dada uma permutação qualquera do conjunto {1, ... , n} a permutação aO Z é tal que sgn(a o Z) == sgn(a)sgn( z:) = (-l)sgn(a) = -sgn(a). Vamos repartir o conjunto de todasas permutações de Nn da seguinte maneira:
{ai> alo Z } U {a2, a2 o Z} U ... U {ap, ap o Z}
n!onde os conjuntos binários são dois a dois disjuntos e p = 2 . Daí:
+ sgn(a1 Z )a1(a, (;)(1) •...• an(a, z;)(n) + .... +
+ sgn(ap)a1ap(1) ....• anap(n) + sgn(ap Z)a1 (ap (;)(1) •
• . .. . an(ap n(n) =
det(A) = I sgn(a)a1a(1) ..... ana(n) = sgn(a1)a1a, (1) •...• anal (n) +a
APÊNDICE IV
Determinante de um Produto de Matrizes
Explicações
1) Usamos o fato de que o determinante é uma função linear em cada coluna.Esse fato foi usado para todas as colunas.
2) Mais uma vez a linearidade, usada nas n colunas.
3) Eliminamos as ::"(b::~ .q~..k: ~k~J)=:: '" j pois neste caso
ankl '" ankn
(duas colunas iguais).
4) Com a hipótese kj =1= ~ para i =1= j,a matriz
tem as mesmas colunas que a matriz A, porém permutadas. Se
.~ U' k: ~)então a matriz acima tem determinante igual ao de A multiplicado por sgn(u).
5) Óbvio.
6) Umâ permutação e sua inversa tem mesmo sinal.
Definição de determinante.
Nota final: Toda a teoria sobre determinantes de matrizes reais aqui construídapoderia ser feita para as matrizes complexas de maneira inteiramente análoga.
220
CAPíTULO 8
Formas Bilineares e Quadráticas Reais
Em algumas passagens deste capítulo o leitor encontrará uma certa semelhança entre o que se expõe aqui e o que foi exposto nos capítulos 6 (Espaçoscom Produtos Internos) e 7 (Determinantes). Mais precisamente, o estudo dasformas bilineares simétricas é uma generalização do que se fez no capítulo 6 e oestudo das formas bilineares anti-simétricas está, de uma certa forma, ligado aoestudo dos determinantes. Em realidade o determinante pode ser visto conto umaforma (multi1inear) anti-simétrica.
1. FORMAS BILINEARES
DefInição 1 - Sejam Ue V espaços vetoriais sobre .IR. Uma funçãof: U X V ~ .IR é uma forma bilinear se, e somente se,
a) f(UI + Ü2, y) = f(Ul, v) + f(u2' v);
b) f(au, v) = af(u, v);
c) f(u, VI + V2) = f(u, VI) + f(u, V2) e
d) f(u, av) =af(u, v),
para todos os vetores u, UI e Ü2 de U, v, VI e V2 de V e para todos os escalaresaER
O conjunto de todas as formas bilineares de U X V em .IR será denotadopor B(U; V) e, quando U = V, apenas por B(U).
O conjunto B(U; V) tem uma estrutura de espaço vetorial sobre .IR. De fato,sendo f e g formas bilineares desse conjunto, defme-se f + g por (f + g)(u, v) ="'" f(u, v) + g(u, v) e M(À E .IR) por (M)(u, v) = Àf(u, v), para todo (u, v) E U XV.~ um trabalho rotineiro provar que f + g e M pertencem a B(U; V).
Exemplos
1) Sejam U = V =.lRn e f:.lRn X .lRn ~ .IR dada por
f((Xl' : .. , xn), (Yl' ... , Yn)) = XIYl + X2Y2 + ... + xnYn.
Trata-se do produto interno habitual no .lRn para o qual já vimos que valem aspropriedades exigidas na definição .acima.
221
223
Exemplo - Achemos a matriz da forma bilinear f(u, v) = X1Yl + 3X1Y2 X1Y3 + X2Yl - 3X2Y3 (exemplo 4 do item anterior) em relação às bases canô
nicas. Como
Proposição 1 - Fixadas as bases B do espaço vetorial U e C do espaçovetorial V, a correspondência que associa a cada forma bilinear f E B(U; V) suamatriz em relação a essas bases, é um isomorftsmo do espaço vetorial B(U; V) noespaço vetorial Mmxn(IR).
Demonstração - É rotineira. Faça-a como exercício. Para inspirar-se, se foro caso, veja a proposição 1 do capítulo 5 e páginas seguintes. -
Da proposição anterior decorre que se dim U = m e dim V = n, entãodim B(U; V) = dim Mm xn(IR) = m °n. A mesma proposição nos ajudará a construir uma base de B(U; V).
Se B = {Ul> ... , Um} e C = {Vl' ... , vn} são bases de U e V, respectivamente, lembremos que as funções Fi: U -+ IR dadas por Fi(X1Ul +. " + xmum) == Xi (i = 1, ... , m) constituem uma base do espaço dual de U (base dual de B),da mesma maneira que as funções Gr V -+ IR, deftnidas por Gj(Y1Vl + ... ++ Ynvn) = Yj (j = 1, ... , n) formam uma base do espaço dual de V.
Observando que
(Fi ® Gj)(Uj, Vj) = Fi(Ui)Gj(Vj) = 1 o 1 = 1 e que
(Fi ® Gj)(ur , vs) = Fi (ur)Gj (vs) = 0,
sempre que i =F r ou j =F s, concluímos que a matriz associada a Fi ® Gj, noisomorftsmo considerado na proposição 1, é a matriz cujo termo de índices i e jé igual a 1 e cujos demais termos são nulos.
Logo as formas Fi ® Gj (i = 1, ... , m; j = 1, ... , n) estão em correspondência, no isomorfismo considerado, com as matrizes da base canônica deMmxn (.IR.). Portanto formam uma base de B(U; V).
f((I, O), (1, 0, O)) = l,f((I, O), (0,1, O)) = 3, f((I, O), (O, 0, 1)) = -1,
f((O, 1), (1,0, O)) = 1, f((O, 1), (O, 1, O)) =°e f((O, 1), (0,0, 1)) = -3,
a matriz é
é chamada matriz da forma bilinear f em relação às bases B e C.
(Veja exercício 4 a seguir). A
222
Suponhamos que U e V sejam espaços vetoriais sobre IR de dimensões m e nrespectivamente. Tomemos uma base B = {Ul' ... , Um} de U e uma base C =
m n= {Vl, ... , vn} de V. Então, se u = I aiui E U e v =I bjvj E V, f(u, v) =
i=l j=l
2. MATRIZ DE UMA FORMA BILINEAR
matriz m x n
2) Seja A uma matriz real m x n ftxada. A aplicação fA: Mmxl (IR) XX Mnxl (IR) -+ IR dada por
fA (X, Y) = XtAY
é bilinear devido à propriedade associativa da multiplicação de matrizes, devido àpropriedade distributiva desta em relação à adição e ainda porque (aP)Q = P(aQ) == a(PQ) e (P + Q)t = pt + Qt (a E IR; P e Q matrizes).
3) Sejam ({J: U -+ IR e u: V -+ IR duas formas lineares (veja capítulo 5, § 4). Afunção f: U x V -+ IR deftnida por
f(u, v) = ((J(u)u(v)
é bilinear. Verifiquemos o item (c) da deftnição dada:
f(u, Vl + V2) = ({J(U)U(Vl + V2) = ((J(U)(U(Vl) + U(V2)) =
= ({J(U)U(Vl) + ((J(U)U(V2) = f(u, Vl) + f(u, V2)'
Esta forma bilinear é denotada por ({J ® U e recebe o nome de produtotensorial das formas lineares ({J e u.
4) Sejam u = (Xl> X2) e v = (Yl> Y2' Y3) vetores genéricos de IR2 e do IR3
respectivamente. A função f: IR2 X IR3 -+ IR dada por
f(u, v) = X1Yl + 3X1Y2 - X1Y3 + X2Yl - 3X2Y3
é uma forma bilinear çonforme se veriftca facilmente.
5) Todo produto interno em um espaço vetorial sobre IR é uma formabilinear, o que. decorre da própria deftnição de produto interno.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
3. Provar que B(U; V) é um espaço vetorial sobre IR.
2. Provar que se f: U X V .... IR e g: U X V .... IR são bilineares, então f + g e Àf são bilineares (À E IR).
9. Sejam "P: IR2 -+ IR e 1/1: IR2 -+ IR as formas lineares dadas por "P(x, y) = 2x + yeI/I(x, y) = X - y. Calcular as formas bilineares:
a) "P 0 1/1; d) 1/1 0 1/1;
b) 1/1 0 "P; e) "P 0 1/1 - 1/1 0"P;
c) "P 0 "P; f) "P 0 1/1 + 1/1 0 "P.
*12. Sejam V um espaço, {VI' ... , vn} uma base de V e "P: V -+ IR uma forma linear.A matriz de "P é, por definição, a matriz 1 X n
("P){vj} = ("P(Vl), ... , "P(vn»·
8. Seja a forma bilinear f(u, v) = aXlYl + bX2Yl + cXlY2 + dX2Y2' Que condiçõesdevem satisfazer a, b, ce d para que:
a) f(u, v) = f(v, u) para todo u, v E IR2 ;
b) f(u, v) = - f(v, u) para todo u, v E IR2 ;
*c) Existau '* O tal que f (u, v) = O para todo v E IR2 ;
*d) f(u, v) = O para todo v E IRz acarrete u = O.
10. Sejam "P: IR2 -+ IR e 1/1: IR3 -+ IR dadas por "P(x, y) =2x +3y e 1/1 (x, Y, z) = X+ Y - z.
Calcular as formas bilineares "P ® 1/1 e 1/1 ® "P. Existe "P ® 1/1 + 1/1 ® \{ft.
11. Seja f: U X V -+ IR uma forma bilinear. Seja Uo um vetor fixo de U. Se W = {v E V If(uo, v) = O}, prove que W é sub-espaço vetorial de V.
Como se obtém a matriz de "P 0 a a partir das matrizes de "Pe de a?
Sugestão: voltar ao exercício 9.
r
I aif(ui, v);i=l
c) f (t aiui, v)1=1
d) f (u, t bjVj ) = t bj f(u, Vj);J=l J=l.
e) f(~aiui' ~bjVj)' = I aibj f(Ui, Vj).1 1 ..
1, J
1. Mostrar que f: U X V .... IR é uma forma bilinear se, e somente se,
a) f(alul + azuz, v) = alf(ul> v) + azf(uz, v) e
b) f(u, ai VI + azvz) = alf(u, VI) + azf(u, vz)
para todos os vetores u, UI, Uz de U, todos os vetores v, vi> Vz de V e quaisquer escalares ai e az em IR.
4. Seja f: U X V .... IR uma forma bilinear. Provar que
a) f(o, v) = f(u, o) = O;
b) f(-u, v) = f(u, -v) = -f(u, v);
6. Calcular a matriz das formas bilineares que aparecem no exercício anterior em relação àbase canônica.
7. Seja a forma bilinear do IR2, f(u, v) = xlYl + 2XlY2 - xZYl + x2Y2. Calcular sua matriz em relàção às seguintes bases do IR2:
5. Sejam u = (Xl. Xz) e v = (Yi> yz) vetores genéricos do IRz . Quais das seguintes funçõessão formas bilineares:
a) {(l, 1), (l, -I)};
b) {(2, 1), (1, 2)};
c) {(2, 3), (4, I)}.
A partir de agora estudaremos formas bilineares definidas em V X V comvalores em IR. Neste caso consideraremos sempre a mesma base para definir amatriz de uma forma bilinear.
Defmição 2 - Dizemos que duas matrizes A e B de ordem n são congruentesse existe uma matriz inversível P, do mesmo tipo, de maneira que B = ptAP.
Usaremos a notação A "'" B para indicar que A e B são congruentes. Essarelação binária em Mn (IR) tem as seguintes propriedades:
(I) A"'" A;
(lI) A "'" B > B "'" A;
(111) A "'" B e B "'" C > A "'" C.
3. MATRIZES CONGRUENTES - MUDANÇA DE BASEPARA UMA FORMA BILINEARe) f(u, v) = 1;
f) f(u, v) = XlZ + XZYl;
g) f(u, v) = XlYl + xzYz + 1;
h) f(u, v) = xlYz - xZYl.
a) f(u, v) = xlYl;
b) f(u, v) = xlYZ;
c) f(u, v) = Xl (Yl + yz);
d) f(u, v) = O;
224 225
n n
I I Xif(Uj, Uj)xj ei=l j=l
A demonstração da primeira é trivial: tomar P = In. Quanto à segunda, seB = ptAP, então A = (pt)-lBP-1. Como porém vale a igualdade (pt)-l = (P-1)t,obtemos A = (P-l)t B(P-1). Deixamos como exercício a verificação de (I1I).Portanto a relação "congruência de matrizes" é uma relação de equivalência.
Exemplo - As matrizes
A = (~ ~) e B = (: ~)
são congruentes pois tomando a matriz inversível P = (~ ~ ) teremos
Uma vez introduzido o conceito de congruência de matrizes, podemos pensarem representar uma forma bilinear em relação a duas bases e comparar as matrizes.
Seja V um espaço vetorial sobre IR de dimensão n, {UI, ... , un} uma basede V, f: V X V -+ IR uma forma bilinear. Sua matriz em relação a essa base é amatriz A = (ajj) defmida por f(uj, Uj) = ajj. Consideremos agora uma outra base{VI, ... , Vn} de Ve suponhamos que f(vj, Vj) = bjj . Veremos a seguir que épossível estabelecer uma relação entre as matrizes A e B envolvendo a matriz demudança P da primeira dessas bases para a segunda.
Consideremos os vetores u e v do espaço V referidos às duas bases consideradas:
n n n nU = I XjUj = I YjVj e v = I X{Uj = I Y{Vj.
j=l i=l i=l i=l
No § 8 do capítulo 4 vimos que valem então as seguintes relações:
ou apenas X = PY e X' = Py' com os significados óbvios de X, X', Y e y'.
226
Portanto
f(u, v) = f (i XiUj, i Xj'Uj) =1= 1 J= 1
f(u, v) = f (t YiVi, t YIVj ) = t i Yif(Vj, Vj)yj.1=1 J=l 1=1 J=l
As igualdades acima podem ser colocadas na forma matricial do seguinte modo:
f(u, v) = XtAX' e f(u, v) = ytBY'(*)
o que decorre diretamente do conceito de produto de matrizes. Daí, levando emconta as igualdades X = PY e X' = PY',
ytBY' = f(u, v) = XtAX' = (PY)tA(pY') = yt(ptAP)Y/
isto quaisquer que sejam os vetores u e v tomados. Logo B = ptAP.
Conclusão: quando se muda a base de V a matriz de f muda para umaoutra que lhe é congruente. Por outro lado pode-se provar facilmente que todamatriz congruente à matriz A representa a forma bilinear f em relação a algumabase de V. De fato, se B = ptAP, com P inversível, e se X e X/ são as matrizesdas coordenadas de u e v, em relação a uma certa base, então Y = p-1X e y' == p- 1 X/ serão as matrizes das coordenadas de u e v, respectivamente, com respeitoa uma outra base do espaço (ver capítulo 3 - § 8 - PROBLEMA 3). Daí
ytBY' = yt(ptAP)Y' = (Py)t A(pY') = xtAX' = f(u, v).
Segue disso que a matriz de f em relação a uma certa base será inversívelse, e somente se, todas as possíveis representações matriciais de f forem inversíveis.
Definição 3 - Uma forma bilinear f: V X V -+ IR se diz não degeneradaquando admite uma representação matricial inversível. Caso contrário a forma sediz degenerada.
Exemplo - O produto interno no IRn cuja matriz em relação à base canônica é evidentemente In é um exemplo importante de forma bilinear não degenerada.
Observação: Nos parágrafos seguintes resolveremos problemas do seguintetipo: dada uma forma bilinear procura-se uma base em relação-à qual a matrizdessa forma seja "bem simples".
(*) Isto mostra que o exemplo 2 do primeiro parágrafo deste capítulo é bastante geral.
227
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1. Sejmn A= (~ -;), B= (~ ;) e P= C_:). Calcuw ptAP e com-
parar com B. Conclusão?
2. Seja a forma bilinear do IR? dada por f(u, v) = xlYl + xlY2 + x2Y2 - x2Yl para todou = (xl' xz) e v = (Yl' Y2)' Calcular a matriz de f em relação às bases:a) {(O, 1), (1, O)}; b) {(l, O), (0, I)}; c) {(I, 1), (1, -I)}.
Verifique que elas são congruentes duas a duas.
3. Seja a forma bilinear do 1R3 dada por
f(o, v) = xlYl + 5x2Y2 + 8X3Y3 + xlY2 - ; xlY3 - 2x2Y3'
Calcular sua matriz e~ relação às bases {(l, 0, O), (0,1, O), (0, 0, I)} e {(l, 1, 1), (l, 1, O),(1,0, O)} e provar dlretmnente que as matrizes são congruentes.
4. Sejmn as formas lineares do IR3, lp(x, Y, z) = x + Y+ ze 1/I(x, Y, z) = 2x - y. Calcular amatriz de 'P ® 1/1 em relação às bases do exercício 3.
*5. Seja A = ( : ~). Encontre uma matriz inversível P tal que ptAP seja uma matriz
diagonal.
6. Provar que se ptAP é uma matriz simétrica então A é simétrica e reciprocmnente. Que sepode dizer se Aé anti-simétrica? Foi usado o fato de P ser inversível?
4. FORMAS BILINEARES SIMÉTRICASE ANTI-SIMÉTRICAS
Definição 4 - Uma fonna bilinear f: V X V --)o R é chamada simétrica sef(u, v) = f(v, u), para todo (u, v) E V X V. '
É claro que se f e g são simétricas então f + g também é pois
(f + g)(u, v) = f(u, v) + g(u, v) = f(v, u) + g(v, u) = (f + g)(v, u).
O mesmo acontece, é evidente, com ÀÍ (VÀ E R). Portanto o conjunto das formasbilineares simétricas de V X V em R é um sub-espaço de B(V) que se denota porBs(V).
228
Nota: É evidente que a matriz de uma fonna bilinear simétrica é uma matrizsimétrica. Seja, por outro lado, A uma matriz simétrica e seja f a forma representada por A, com relação a uma certa base. Assim:
f(u, v) = XtAX'
mantendo as notações anterionnente usadas neste capítulo. Daí
f(v, u) = (X')t AX = (X')t At(Xt)t = (XtAX')t = (f(u, vnt = f(u, v)
pois f(u, v) é uma matriz I X 1 que, portanto, coincide com sua transposta.
Logo o espaço das fonnas bilineares simétricas é isomorfo ao espaço das matrizes reais simétricas cuja dimensão é n(n + 1)/2 (exercício resolvido 8 - § 6 - capítulo 3).
Desse isomorfismo segue, inclusive, que a dimensão de Bs(V) é tambémn(n + 1)/2 desde que a dimensão de V seja n.
Por último, da relação B = ptAP segue que B é simétrica se, e somente se,A é simétrica. Logo se f é uma fonna bilinear simétrica sua representação matricialserá simétrica qualquer que seja a base considerada.
Teorema 1 - Seja f: V X V --)o R uma forma bilinear simétrica. Então existeuma base de V em relação à qual a matriz de f é diagonal.
Demonstração (por indução sobre a dimensão de V): São triviais os casosem que f = O e aquele em que dim V = 1. Suponhamos pois f =1= O e dim V > 1.Certamente existe um vetor Vl tal que f(Vl' Vl)=I= O. De fato, se f(v, v) = O,Vv E V, então f(u +v, u + v) = f(u, u) + f(u, v) + f(v, u) + f(v, v) = 2f(u, v) == O, Vu, v E V. Daí f = O o que é absurdo. Considerando o vetor Vi tal quef(Vl' Vl)=I= O, todo vetor v E V admite a seguinte decomposição
(f(v, Vl»). f(v, Vl)
v = v - ·Vl + . Vl = Xl + X2f(Vl' Vl) f(Vl' Vl)
Observemos que X2 é múltiplo de v1 e que
(f(v v») f(v, Vi)
f(Xi' vd = f . v - f(v:, ~i) Vl, Vl = f(v, Vl)- f(Vi' Vl) f(Vl' Vl) = O
(dizemos que Xl eortogonal a Vl relativamente a f). Como um múltiplo não nulode Vl não pode ser ortogonal a Vi (relativamente a f), a decomposição acima éúnica no seguinte sentido: todo vetor v E V se decompõe, de maneira única,como a soma de um múltiplo de Vi e um vetor ortogonal a Vl relativamente a f.
O sub-espaço gerado por Vi ede dimensão 1; logo os vetores ortogonais aVl (relativamente a f) fonnam um sub-espaço de dimensão n - 1. A restriçãoI de f a este sub-espaço é simétrica; pela hipótese de indução existe uma base
229
230
~H~j
B = ( ~ ~ .. ~.) é de ordem k.
1 O O
onde
Considerando a nova base {Vl, ... , Vk, Wk,·.·, wd obteremos a representação
matricial desejada. •
f(u, v) = f(Àv, v) = ÀÍ(v, v) = O.
231
Corolário 1 - Se f: V X V -+ lR é anti-simétrica não degenerada então adimensão de V é par.
Prova - Para que f seja não degenerada sua matriz deve ser inversível, o quesignifica que os zeros da diagonal não aparecem. -
Corolário 2 - Se dim V = 2k = n, então existe uma base de V em relaçãoà qual a matriz de uma forma bilinear anti-simétrica não degenerada é do seguintetipo
Prova - Seja {Vl' Wl, V2' W2, ... , Vk, wd a base de V em relação à quala matriz de f é
Scja W o sub-espaço gerado por u e v. A restrição de f a W é uma forma bilinear
anti-simétrica e sua matriz em relação à base B = { f(u~v) , v } é precisamente
maior que 1. Existe então (u, v) E V X V de modo que f(u, v) =1= O. Esses vetoresLI e v são necessariamente L.I. pois, caso contrário, teríamos por exemplo u-= Àv(À E lR) e daí
A (verifique). Seja U = {u E V I f(u, w) = O, \/w E W}. ~ode~se provar entãoque U ® W= Ve daí decorre que dim U =n - 2. A restrição f de f a U é anti-~imé.
trica e, por hipótese de indução existe uma base de U tal que a matriz de f emrelação a ela é do tipo desejado, porém de ordem n - 2. Juntando à base B a basede U nessas condições obtemos a base que se pretente. -
{V2, ... , vn} deste sub-espaço de maneira que f(Vi, Vj) = O se 2 ~ i =1= j ~ n.Considerando a base {Vl, V2, ... , vn} de V (porque é base?) temos f(vi> Vj) = O,sempre que i =1= j, e portanto a base procurada. -
O'.
Nota: Do que ficou dito acima segue que as formas bilineares anti-simétricasformam um sub-espaço de B(V) o qual será indicado por Ba(V). É claro tambémque a matriz de uma forma bilinear anti-simétrica é uma matriz anti-simétrica.Vice-versa, dada uma matriz anti-simétrica, pode-se mostrar que a forma bilinearde que ela provem, escolhida uma certa base de V, é anti-simétrica. Logo há umisomorfismo entre os sub-espaços das matrizes anti-simétricas sobre .IR de ordem ne o das formas bilineares anti-simétricas de V X V em lR, desde que dim V = n.Em particUlar a dimensão de Ba(V) é
2 n(n + 1) _ n(n - 1)n - 2 - - 2
isto porque Mn(lR) é soma direta do sub-espaço das matrizes simétricas com odas matrizes anti-simétricas, sendo portanto a dimensão deste último a diferençaentre as dimensões dos dois primeiros.
Teorema 2 - Seja f: V X V -+ .IR uma forma bilinear anti-simétrica. Entãoexiste uma base de V em relação à qual a matriz de f é
A
A
Corolário - Para toda matriz simétrica A existe uma matriz inversível P demodo que ptAP é uma matriz diagonal.
-Definição 5 - Uma forma bilinear f: V X V -+ .IR se diz anti-simétrica sef(u, v) = -f(v, u), V- u, v E V.
Decorre da definição que f(u, u) = O,Vu E V. É fácil provar que se f e g sãoanti-simétricas então f + g também é anti-simétrica, o mesmo acontecendo comÀf, para todo ÀE IR.
A
onde
Demonstração (por indução sobre dim V): Se f é nula nada há a provar.a caso dim V = 1 também é trivial. Suponhamos f não nula e a dimensão de V
1. Escrever a expressão geral de uma forma bilinear simétrica no IR2 e no IR3.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
4. Provar que I() ® 1JJ - 1JJ ® I() = Ose, e somente se, I() e 1JJ são linearmente dependentes.
n n= L L xpqf(vj, Vj) =
i=1 j=l~ X.v~L J Jj=l
q(u) = f(u, u) = f (t XiVi,1=1
n
U = L XiVi E V temosi= 1
para todo (u, v) E V X V. Estas fórmulas são conhecidas como identidades depolarização e mostram que não somente q está univocamente determinada por fcomo também vale a recíproca: q determina f univocamente.
Como uma conseqüência do teorema 1, veremos a seguir que toda forma quadrática admite uma "forma cartônica".
Seja agora {VI> ... , vn } uma base do espaço V; suponhamos q: V -+ IR aforma quadrática associada à forma bilinear simétrica f. Então, para todo vetor
que é simétrica. A forma quadrática associada a f é a função
q(v) = Xl2 + 2x,] + 3x; + X1X2 + X2X1 = X1
2 + 2~2 + 3x; + 2X1X2
Nota: Dada uma forma bilinear simétrica, se qé a forma quadrática associada a fum cálculo fácil (faça-o) mostrará que
1 1f(u, v) = "2[q(u + v) - q(u) - q(v)] = 4 [q(u + v) - q(u - v)]
c) 2f = g + h.b) h E Ba(V);a) g E Bs (V);
5. FORMAS QUADRÁTICAS
o estudo das formas bilineares está intimamente ligado ao das formas quadráticas. Estas aparecem em numerosos problemas dentro e fora da Matemática o quetorna o seu estudo bastante atraente.
5. Dada f E B(V) provar que as formas bilineares g e h definidas por g(u, v) = f(u, v) ++ f(v, u) e h(u, v) = f(u, v) - f(v, u) satisfazem as condições:
2. Escrever a expressão geral de uma forma bilinear anti-simétrica no IR2 e no IR3 . Encontroualgo de familiar?
3. Sejam I() e 1JJ formas lineares sobre V. Provar que a forma bilinear I() ® 1JJ - 1JJ ® I() é anti-si-métrica e I() ® 1JJ + 1JJ ® I{J é simétrica.
Defmição 6 - Seja f: V X V -+ IR uma forma bilinear simétrica. Consideremos a função qr: V -+ IR defmida por qr(v) = f(v, v), para todo v E V. Estafunção de uma variável, que indicaremos apenas por q, quando não houver possibilidade de confusão, chama-se forma quadrática sobre V associada à forma bilinear f.
Exemplos
1) A forma quadrática associada ao produto interno usual do IRn é
q(Xl. ... , xn) = x;z + '" + xi.2) É uma forma bilinear simétrica do IR3 a função f dada por
f(u, v) = XlYl + 2X2Y2 + 3X3Y3 + XlY2 + X2YI>
onqe u = (Xl, X2, X3) e v = (Yl' Y2, Y3)' Observe por exemplo que a matriz de fem relação à base canônica é
n
L f(Vi, Vi)X{ + 2 L f(Vi, Vj)XiXj.i=1 i<j
Sendo A = (f(Vi, Vj)) a matriz de f em relação à base considerada e se1'l;do Xa matriz das coordenadas de u, em relação à mesma, a igualdade obtida pode serexpressa, como já vimos, assim:
q(u) = Xt • A • X
O teorema 1 nos assegura que existe uma base de V em relação à qual amatriz de f ê diagonal. Supondo Y a matriz das coordenadas de u nessa base e
essa representação diagonal de f, teremos
23223~
234
n
Seja a forma quadrática no lRn, q (Xl, ... , Xn) = I aijXiXj com aij =i,j= 1
= aji' Suponhamos all =1= O. Façamos a seguinte mudança de coordenadas:
235
q(Y1, ... , Yn) = aUY12 + q1(Y2, ... , Yn)
onde q1 (Y2' ... , Yn) é uma forma quadrática em n - 1 variáveis Y2, ... , Yn·
Se por acaso all = O mas a12 =1= O fazemos a substituição de variáveis
Então, levando para a expressão de q (Xl, ... , Xn) estas substituiçõesobteremos
Xn = Yn
Vamos dar a seguir dois processos práticos para reduzir uma forma quadrática a uma expressão diagonal.
6. REDUÇÃO DE FORMAS QUADRÁTICAS:ALGORITMOS
3. Seguindo o processo dado acima, reduzir a uma soma de quadrados as seguintes formas quadráticas no IR2:
a) q(X1, X2) = X12 + Xz2 - 4X1X2;b) q (Xl> X2) = X1X2 + Xz2;
c) q (Xl, X2) = X1 X2·
6.1. PROCESSO DE GAUSS
• Z =
O
O
o~1
US+1 Ut, ... ,Wt =---,
V-dS+1 V-dt
-1
1
oq(u)=zt.
Wt+1 == Ut+1> ... , wn = uno
U1 UsW1= --, ... , Ws = --, WS+1 =
Yd; v'ds"
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
2. Escrever a matriz das formas bilineares que aparecem no exercício 1, em relação à base canônica do IR3.
Com isso dizemos que q foi reduzida a uma soma de quadrados.
1. Qual a forma bilinear simétrica que dá origem à forma quadrática do 1R3;
a) q(X1, x2' X3) = X12 + x22 + x3
2 - 2X1X2 + 4X1X3 - x2 x3;
b) q(Xl> x2, x3) = x12 - x2
2 + 4X2x3;
c) q(X1, x2, X3) = 2(X1X2 + x1 x3 + X2 X3)'
Se as coordenadas de u em relação a esta última base são dadas pela matriz Z ee se zt = (Zl, ... , zn), então
q (u) ~ y'DY ~ (y" ... , Yn) • D· (J~) ~ d, Y,' + , .. + dnY;; (1)
Dizemos que a base com a qual conseguimos esta última igualdade diagonalizoua forma quadrática q. A igualdade (1) é uma expressão diagonal de q.
Esta última expressão de q (u) pode ainda ser melhorada da seguinte maneira.Ordenemos, se necessário, a base {U1' , un} que diagonalizou q (u), de ma-neira que d1, ... ,ds sejam positivos, dS+1, , dt sejam negativos e dt +1, ... , dnsejam nulos. É claro que isso sempre é possível e que O O;;;; s, t O;;;; n. Consideremosentão uma nova base {W1' ... , wn} assim construída
Daí:
sendo portanto
P = (~ ~)
~)O) . ( 1-3) . (11 -3 2 O
= (1 -3) (1 3) = (1 O)O -7 O 1 O -7
Logo q (yI, Y2) = Y; - 7Yi .
( 1-3) (1pt • • P =-3 2 3
q(Y1> Y2) = 2(YI + Y2)(Yl - Y2) = 2y; - 2Y22
O mesmo cálculo feito matricialmente apresenta-se assim.
A matriz de q é (~ ~) e a matriz de mudança de base é P = (: _:) .
obtendo
Exemplo 2 - Seja
q(XI, X2) = 2XlX2 = XlX2 + XIX2·
Sendo all = O devemos fazer a substituição
{:: :~: ~ ~:
Daí
Exemplo 1 - Seja
q(XI' X2) = Xl2 + 2xi - 6XlX2 = x; + 2~2 - 3XlX2 - 3X2Xl
Sendo all '* O fazemos a substituição
{
Xl = Yl - (-3Y2)
X2 = Y2
Xn =Yn
q(Yb Y2) = (Yl + 3Y2)2 + 2yi - 6(YI + 3Y2)Y2 =
= Y; + 9Y22 + 6YlY2 + 2Y22 - 6YlY2 - 18y{
= Yl2 - 7Yi
Xl = Yl +Y2
X2=YI-Y2
X3 = Y3
obtendo
e recaímos numa forma quadrática nas variáveis Yl , ... , Yn em que o coeficientede Y? é não nulo. A esta aplicamos então a mudança de coordenadas explicadade início.
Repete-se o procedimento com a forma quadrática ql.
A repetição desse raciocínio um número finito de vezes nos levará à reduçãodesejada.
que é uma forma diagonal.
Vejamos como o mesmo processo pode ser visto sob o ângulo das matrizes.
A matriz de uma forma quadrática é a matriz da forma bilinear de que elaprovém. Logo a matriz de q no exemplo é
( 1-3)-3 2
A matriz de mudança de base P é tirada da substituição de variáveis
{Xl = Yl + 3Y2
X2 = Y2
pt. e~).p = pt. (~ ~) • (: _ ~) =
= pt. (1 -1) (1 1) (1 -1) = (2 O)1 1 1 -1 1 1 O -2
Donde q(Yb Y2) = 2y? - 2y,j.
Exemplo 3 - Seja
q(XI, X2, X3) = Xl2 + 2XlX2 + ~2 - 4XlX3 - 6X2X3 + xi =
= x; + XlX2 -2XIX3 + X2Xl + xi - 3X2X3 - 2X3Xl - 3X3X2 + xi, .forma quadrática no IR3.
236 237
GO
-DO = B e
-1
GO
-D1
TO
Então
do que resulta
As multiplicações de matrizes, deixamos a cargo do leitor.
Observe o leitor que este processo é trabalhoso, sendo impraticável quandoo número de variáveis for grande. Tudo o que explicamos acima pode ser "mecanizado" da maneira explicada a seguir.
obtendo
Y2 = Z2
Efetuamos as substituições
{
Xl = YI
X2 = Y2
X3 = Y3
q(YI, Y2, Y3) = (YI - Y2 + 2Y3)2 + 2(YI - Y2 + 2Y3)Y2 + Y22
- 4(YI - Y2 + 2Y3)Y3 - 6Y2Y3 + Y; = Yl2 + yl + 4y; - 2YIY2 +
+ 4YIY3 - 4Y2Y3 + 2YIY2 - 2yl + 4Y2Y3 + Y; - 4YIY3 + 4Y2Y3 _
- 8y; - 6Y2Y3 + Y; = Y{ - 3y; - 2Y2Y3'
Efetuemos agora a redução de ql(Y2, Y3) = -3y; - 2Y2Y3. Façamos,conforme a teoria, as substituições
YI = Zl
(
1 O
~ - ~
1q(ZI, Zz, Z3) = zl + 3 Zz2 - 3z;.
É claro que a mesma redução poderia ser feita por matrizes. Vejamos como.
6.2. PROCESSO DAS MATRIZES ELEMENTARES
No apêndice I, capítulo 1, vimos o que são matrizes elementares. Foi provadonesse apêndice que se E é uma matriz elementar de ordem n e se A é uma matrizqualquer n x n a matriz EA é a matriz que se obtém de A efetuando na matriz A amesma operação elementar que transformou In em E. Assim como definimosnaquela altura operações elementares com as linhas de uma matriz poderíamosdefinir operações elementares com as colunas dessa matriz. E teríamos as matrizeselementares por colunas, definidas de maneira óbvia, em contraposição àquelasjá conhecidas. Também poderíamos provar, de modo análogo, que se F é elementar(por colunas) AF é a matriz que se obtém de A efetuando sobre suas colunas amesma operação elementar (com colunas) que transformou In em F.
Também é claro que o conjunto das matriZes elementares por colunas é omesmo conjunto das matrizes elementares (por linhas). Por exemplo a matriz
Efetuamos duas mudanças
obtendo
ql(Z2, Z3) = -3 (Z3 _-}Zz)2 - 2Zz (Z3 --}Z2) =
-3212+ 2 2 1- - Z3 - TZ2 2Zzz3 - 2Zzz3 + 3 Z2 = 3 Zz2 - 3z;.
Portanto
( 11-2)A matriz de q inicialmente é A = 1 1-3
. -2 ~3 1sucessIvas de bases dadas respectivamente por
P, ~ G-~ De P, ~
238239
241
a) Somando à segunda linha a primeira multiplicada por (-1) e à segundacoluna da matriz obtida sua primeira coluna multiplicada por (- 1) obtemos sucessivamente
( ~ ~ =~)-2 -1 I
( ~ ~ -~)O -1 -3
e
e
e
(~ ~ =~)-2 -3 1
(~ -~ -~)\? 0-1
(~ ~ =~)O -1 -3
(Convém, nesta altura, parar um instante e comparar o resultado obtidocom o processo de Gauss.)
c) Permutemos a segunda e a terceira linhas da última matriz e façamos amesma operação com as colunas do resultado obtido. Teremos
d) Finalmente
G=: -D G-~ -1) G-~ D
b) Somando à terceira linha desta última matriz o dobro de sua primeiralinha e à terceira linha da matriz assim conseguida o dobro de sua primeira colunaachamos, respectivamente
Na primeira destas passagens substituímos a terceira linha pela soma dela
com a segunda multiplicada po~ - +. Na segunda fizemos o mesmo com relação
à segunda e à terceira colunas.
Na prática podemos (com base na associatividade da multiplicação de matrizes) efetuar primeiro as operações com linhas que forem possíveis, depois todasas operações com colunas correspondentes, e assim por diante. Vejamos comofazer isso de uma maneira que nos leve também à obtenção de P.
A = (~ ~ =~)-2 -3 1
tanto se obtém de 13 somando à terceira linha desta sua primeira linha multi.plicada por 3, como se obtém de 13 somando à primeira coluna desta sua terceiracoluna multiplicada por 3. Observemos que a transposta de uma matriz elementaré ainda elementar. A transposta da matriz E acima é a matriz
que se obtém de 13 somando à primeira linha de 13 o triplo de sua terceira linha.Ou somando à terceira coluna de 13 o triplo de sua primeira coluna.
Em resumo, se para efetuar uma certa operação elementar com as linhas deuma matriz A precisamos multiplicar A por uma matriz elementar E obtendo EAa mesma operação seria efetuado com as colunas de A calculando o 'produto AE<
Consideremos agora uma forma quadrática q (u) = XtAX sobre um espaçovetorial V. Já sabemos que existe uma matriz inversível P de modo que ptAP = Dé diagonal e que D é uma outra representação matricial de q. Mas P, por serinversível, é um produto de matrizes ele,mentares EI, ... , Er (apêndice I, capí-tulo 1); P = Er E2EI. Logo
D = (Er ~EI)tA(Er ... E2Et> = (EltE2
t ... Ei)A(Er ... ~EI) == (E l
tE{-I)(EiAEr)(Er_1 '" EI).
Esta igualdade nos diz que existe uma seqüência fmita de operações elementares que aplicadas alternadamente sobre as linhas e sobre as colunas irá transformarA na matriz D.
Como pt
= Elt
... Ei == (E/ ... Ei)ln , a mesma seqüência de operações,aplicadas sobre as linhas, transformará a matriz In na transposta da matriz P demudança de base.
Exemplo - Diagonalizar a forma quadrática q (Xl, X2., X3) = Xl2 + 2Xl X2 +
+X22 - 4XIX3 -6X2X3 +x;.
A matriz de q é
240
7. LEIDE INÉRCIA
Conforme vimos nos parágrafos 4 e 5 é sempre possível fazer uma mudançade variável da forma X = PY de modo a diagonalizar uma forma quadráticaq (Xl, ... , xn). No entanto existem muitas mudanças da forma X = PY quenos conduzem a uma forma diagonal. Contudo, existe um invariante neste processo.
É o que afIrma o teorema seguinte.
Teorema 6 (Lei de Inércia): Seja q uma forma quadrática em um espaçovetorial V. Suponhamos que numa representação diagonal de q o número de coefIcientes positivos seja r e o número de coeficientes negativos seja s. Então emqualquer outra representação diagonal de q haverá r termos positivos e s termos
negativos.
Demonstração: Seja {Vl, ... , vn} uma base de V que diagonaliza q. Assim
nse u = L: xivi E V, então q (x) = dl X{ + ... + dnxJ e podemos supor d l > O,
i= 1
3. Reduzir por operações elementares à forma diagonal as formas quadráticas do exercício 2.Comparar os resultados.
4. Seja a forma quadrática q(Xl, X2) = ax; + 2bxlX2 + cxi, a"* O. Reduza-a à formadiagonal, dando a substituição linear correspondente à redução.
2. Reduzir pelo processo de Gauss à forma diagonal as formas quadráticas seguintes no IR3:
a) X; + X1X2 - xi + X; + 2X2X3;222b) 3Xl + 2X2 - 3X3 + 5X2X3;
c) X{ - xi - X; + 2X1X3 + 4X2x3 + 6X1X2'
Dar, em cada caso, a substituição linear que diagonaliza a forma quadrática.O
O
1
o1
O
-2: 1I
-1: -1I
-3: 2
O: 1I
-3: 2I
-1: -1
O: 1I
-1: 21: 53:-"5
1
O
-1
O
-1
O
O
-3
O
O: 1I
O I 21: 5"5:-"5
o1
O
O
1
O
O
O
1
1
O
O
1
-1
2
1
2
-1
-2
-3
1
O
-1
-3
O
-1
O
1
1
-3
O
O
-1
O
-3
-1
G~~
Ci :-D ~pt wgo
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
o leitor deve notar que não efetuamos nenhuma operação elementar comcolunas pará obter pt . O por que disto está no último parágrafo da explicaçãodeste método.
onde
1. Reduzir à forma diagonal pelo processo de Gauss as seguintes formas quadráticas no IR2:22'
a) Xl + X2 + 2X1X2;
b) X{ + xi - 2X1X2;
)2 2
C Xl - X2 - 2X1X2;
d) 4X1X2 + xi;e) 4X1X2.
... , dr > O, dr +1 < O, ... , dr +s < O e dr +s+l = ... = dn = O..n
Seja {Ul' : .. , un} uma outra base que diagonaliza q. Sendo u = L: Yiui,i= 1
então q(u) = d l'Y12 + .. : + d~yJ e podemos supor que d l' > O, ... , d~ > O,
d;+l < O, ... ,d~+q < O e d~+q+l = O, ... , dri = O. Devemos provar que p=
= r e q = s.
242 243
Sejam U = [VI, ... ,vr ] e W = [up +1, ... ,un]. Mostremos que U n W = {o}.
De fato, seja w E U n W. Então
w = alvl + ... + arvr = bp+1uP+l + ... + bnun,
com os ai e os bj em m..Portanto
q(w) = d1a12
+ ... + dra; ;> O e q(w) = d~+lbp+l + '" + d~bJ :;;;;; O
do que decorre que q(w) = O. Como porém di, ... , dr > O a igualdade q(w) == d1a1
2+ ... + dra; = O é possível se, e somente se, ai = ... = ar = O, ou seja,
se e somente se w = o.
Como dim U = r e dim W = n - p, temos
r + (n - p) = dim U + dim W = dim (U n W) + dim{U + W) =
=dim(U+W):;;;;;n
donde r + (n - p) :;;;;; n e portanto r:;;;;; p.
De maneira análoga provamos que p ;> r. Então p = r. Daí vem que s = q.•
Defmição 7 - O par (r, s) das considerações acima chama·se assinatura daforma quadrática q.
Exemplos
1) A forma quadrática q(Xl, X2) = X{ + 2X22 - 6X1X2 tem.assinatura (1, 1).
2) A forma quadrática q(Xl' X2) = 2X1X2 tem assinatura (1,1).
3) A assinatura da forma quadrática q(Xi> X2, X3) = X{ + 2X1X2 + xi _- 4X1X3 - 6X2X3 + xi é (2, 1).
4) A forma quadrática associada ao produto interno usual no m.n temassinatura (n, O).
Deixamos como exercício o cálculo da assinatura das formas quadráticas dosexercícios do parágrafo 6.
244
Exemplos
V(f...) == {u E V I T(u) == f...u} = Ker(T - f...I)
(x, y)
Ix, yl
/~
~
~
, , ,
(y, x), ,, , , ,- Ix, v)'
T(x,yl(\------
IIIIIII ------II
II
2) Seja T: ]R2 -+ IR2 dada porT(I, O) == (O, 1) e T (O, 1) == (-1, O),então T(x, y) == xT(I, O) + yT(O, 1) ==== x(O 1) + y(-I, O) == (-y, x). T é
, °então uma rotação de 90 . Neste casoé impossível que T (x, y) == f... (x, y) com(x, y) =1= (O, O) pois o ângulo entre (x, y) eT (x, y) é de 90°. Logo T não admitevetores próprios, V (f...) == {o}, V f... E IR.
3) Seja V um espaço vetorial e T == Ri\. == homotetia de razão f.... Assim,T(u) == Ri\. (u) == 'Au, Vu E V, e todo vetor é vetor próprio com valor próprio f....
Neste caso V ('A) == V.
4) Seja T a rotação de ângulo e no ]R3, tendo como eixo fixo o eixo-z.Ou seja, T é o operador cuja matriz na base canônica é:
(
cos e sen e O)
-sen e cos e O
O O 1
1) Seja T: ]R2 -+ ]R2 dado porT(x, y) == (y, x). A aplicação T é areflexão dos vetores em tomo à diagonalA Assim, se o vetor está no eixo-x, suaimagem está no eixo-y. Não há portantovetores próprios no eixo-x. No entantose (x, y) está na diagonal t:" teremosT(x, y) == (x, y) e assim todo vetor de t:,é um vetor próprio de valor próprio iguala 1. Analogamente se um vetor está nadiagonal t:,', sua imagem está em t:,' e é exatamente seu oposto. Logo os vetore,sde t:,' são vetores próprios com valor próprio -1. Então V(I) == t:, e V(-I) == t:,.
Defmição 2 - O sub-espaço introduzido nas considerações acima chama-se
sub-espaço próprio de 'A e será indicado por V ('A).
Assim:
Seja V o espaço vetorial constituído dos vetores definidos por meio de segmentos orientados. Consideremos um operador linear T: V --+ V. Tomando-se "aoacaso" um vetor liE V, em geral lie T(U) não têm a mesma direção. Mas existem,às vezes, certos vetores privilegiados para os quais T(U) = À,U, com À, E IR; istoé, T (U) e li têm a mesma direção. Neste caso o efeito de T sobre lié apenas umamudança de módulo ou uma mudança de sentido. Os vetores assim privilegadossão importantes, conforme veremos a seguir. Às vezes é possível formar uma basecom eles e esta será uma base privilegiada.
Definição 1 - Seja V um espaço vetorial (sobre IR ou sobre <C) e seja T:V --+ V um operador linear. Um vetor u E V, u ~ o, é um vetor próprio de T seexiste um escalar À, (de IR ou <C, respectivamente) tal que T(u) = À,u. Neste casoÀ, é um valor próprio de T associado a u.
Notas:
CAPíTULO 1Diagonalização de Operadores Lineares
e Forma de Jordan
1) As expressões "vetor próprio", "auto-vetor" e "vetor característico" sãosinônimas bem como "valor próprio", "auto-valor" e "valor característico".
2) O escalar À, é univocamente determinado por Teu pois
T(u) = À,u = À,'u ~ (À, - À,')u = o ~ À, = À,'
Fixado À" o cojunto [u E V IT(u) = À,uJ é um sub-espaço vetorial de V pois
T(u) = À,u ** (T - U)(u) = o ** u E Ker(T - UfJ
o que significa que o subconjunto que acabamos de definir coincide comKer(T - U) que sabemos ser um sub-espaço vetorial de V.
(*J I indica o operador idêntico de V.
1. VALORES E VETORES PRÓPRIOS
246247
Definição 3 - Dada uma matriz A = (aij) de ordem n (real ou complexa),chama-se polinômio característico de A o seguinte polinômio de grau n:
Logo
Retomemos os cinco exemplos dados neste parágrafo e calculemos PT (x)(mudamos a variável t da definição por x).
1) A matriz de T na base canônica é
G ~)
(-x 1)PT (x) = det = x2
- 11 -x
Exemplos
2) A matriz de T é
cujas raízes em IR são 1 e-I.
Demonstração - Da definição 1 segue que À é valor próprio de T se, esomente se, Ker(T - Àln) =1= {o}. Mas isto equivale a que T - Àln não é inversível e,ainda, a que det(T - Àln) = °(ver capítulo 7 - § 7). Como por definição,det(T - tln) = det«T) - tIn) = PT(t), então a proposição está provada. -
Proposição 2 - Seja T um operador linear de um espaço vetorial sobreK(KS= IR ou K = <C) de dimensão n. Então os valores própriosde T são as raízes dePT(t) emK.
Nota: Se V é um espaço sobre <C, então PT(t) é um polinômio complexo que, devi·do ao teorema fundamental da álgebra, tem n raízes (n = dim V) em <C,já levandoem conta a multiplicidade algébrica das raízes. Neste caso, então, um operadorlinear T tem n valores próprios. Mas se V é um espaço sobre IR o número de valorespróprios de um operador T E L (V) é menor que ou igual à dimensão de V, pois algu-
. mas das raízes de PT(t) podem não ser reais.
= det(A - tln>.
Ix, y, zl
IIIII
I Ix, y, 01
5) Seja P: IR3 ~ IR? a função P(x,y, z) = (x, y, O) que é a projeção sobreo plano xy. Neste caso (O, 0, 1) é vetorpróprio com valor próprio °pois P(O, 0,1) = (O, 0, O). Todo vetor do plano xyé vetor próprio com valor próprio 1 poisP(x, y, O) = (x, y, O). Temos então:V (1) = plano xy e V (O) = eixo-z.
Proposição 1 - Matrizes semelhantes têm mesmo polinômio característico.
Demonstração - Se B e A são semelhantes, existe uma matriz inversível Mtal que B = M- 1AM. Daí:
PB(t) = det(B - tIn) = det(M-1AM - tIn) == det(M-1AM - tM-1lnM) = det(M-l(A - tIn)M) == det(M~l)det(A - tln)detM = det(A - tln) = PA (t). -
A proposição que acabamos de provar toma válida a seguinte definição:
o vetor (0,0,1) é vetor próprio com valor próprio 1 pois T(O, 0,1) = (0,0,1).
Não há outros vetores próprios quando °< e < ;. Logo V (1) = eixo-z.
Definição 4 - Seja V um espaço vetorial de dimensão n e T: V ~ V umoperador linear. Chama-se polinômio caracteristico de T o polinômio característico da matriz de T em relação a qualquer base de V. Notação: PT(t).
Tal definição é válida porque matrizes do mesmo operador são necessariamente matrizes semelhítntes..
Logo
PT(X) = det
que não tem raízes em IR.
(-x -1) .. = x
2 + 11 -x
248 249
3) Seja {el, ... , en } uma base de V; a matriz de Hi\ = T em relação aessa base é
x=
(11) O operador P: IR3 -+ IR3 dado por P(x, y, z) = (x, y, O) tem valorespróprios O e 1.
Vetores próprios associados a O:
P(x, y, z) = O(x, y, z) = (O, O, O) <-> (x, y, O) == (O, O, O) <=> X = Y = O.
Então os vetores próprios associados ao zero são os vetores x • (O, O, 1), \Ix E IR*.Vetores próprios associados ao 1:
P(x, y, z) = 1(x, y, z) <=> (x, y, O) = (x, y, z) <=> z = O.
Os vetores próprios neste caso são os vetores (x, y, O), onde x =1= O ou y =1= O.Podemos achar dois vetores próprios que são linearmente independentes, a saber,(1, O, O) e (O, 1, O).
O
2) Assim como definimos valores e vetores próprios de um operador, podemos definir valores e vetores próprios de uma matriz. Se A é uma matriz, de ordemn, real ou complexa, chama-se valor próprio de A toda matriz
Notas:
1) Uma vez conhecidos os valores próprios de um operador T, podemosachar os vetores próprios associados a cada vetor próprio. Se Àé um valor próprio(raiz do polinômio PT (x)) os vetores próprios associados a À são os vetores nãonulos do núcleo de (T - 11.1). Vejamos alguns exemplos.
(I) O operador T: IR? -+ IR? dado por T(x, y) = (y, x) tem como valorespróprios 1 e -1. Os vetores associados ao valor próprio 1 são aqueles que satisfazem (x, y) =1= (O, O) e (T - ÀI)(x, y) = (O, O) com À= 1 ou seja (T - I)(x, y) == (O, O) ou ainda T (x, y) = (x, y) ou (y, x) = (x, y) donde vem x = y. Logoos vetores próprios associados a 1 são os vetores da forma (x, x) = x (1, 1),\I x E IR*. Analogamente os vetores próprios associados a-I são os múltiplosde (1, -1), dado por x(l, -1), \Ix =1= O.
O )O -l-x -
À O O
O À O
o O À
(~.~.~ .. ~ 0. )
O O... À-x
PT(x) = det
e portanto
Pr(x)~ det (_:~ -x :~-x
= (1 - x)(x2 - 2 cos (J x + 1) cujas raízes são:
2 cos (J + ..;x 2 cos (J - ..;x1, 2 e 2
e À é o único valor próprio de T; neste caso À é uma raiz múltipla de PT (x) commultiplicidade n.
4) Neste caso
onde 6. = 4 (cos2 (J - 1). Se Icos (J I < 1 as duas raízes são complexas e se cos (J == ±1, as três raízes são reais.
5) A matriz de P em relação à base canônica é
e portanto
cujas raízes são O e 1, esta com multiplicidade 2.
(1-~ xPp (x) = det
O
l-x
O
O
tal que AX = ÀX, onde Àé um escalar chamado valor próprio de A. Para que Àsejaum valor próprio de A é necessário e suficiente, então, que exista uma matriz X =1= O,
250 251
2. DIAGONALIZAÇÃO DE OPERADORES
9. Sejam A e B matrizes triangulares com a mesma diagonal principal (aii = bii, i == I, ... , n). Prove que: PA (t) = PB (t).
*10. Provar que se À é valor próprio de T, então'Àn é valor próprio de Tn. Generalizando, sep(t) é um polinômio então p(À) é valor próprio de p(T), onde p(T) = aoI + alT ++ ... + anTnsep(t) = ao + alt + ... + antn.
8. Seja A uma matriz triangular, ou seja, uma matriz A = (aij) tal que aij = °sempreque i > j (ou, ao contrário, aij = 0, sempre que i < j). Qual o polinômio característicodeA?
7. Seja ( ~ : ) a matriz de um operador do IR? Ache os valores pr6prios de T.
Existem, neste caso, dois vetores próprios linearmente independentes'?
G:)respectivamente. Os polinômios característicos respectivos são PT (x) = x2
- 1 ePS (x) = (1 - X)2, cujas raízes são: PT(x): 1, -1 e PS (x): 1 (dupla). Sãovetores próprios de T linearmente independentes: fI = (1, 1), associado a 1, ef2 = (1, -1), associado a -1.
Logo {fI> f2 } é uma base de ]R2.
Vamos examinar dois operadores do ]R2 que se comportam de maneira diferente quanto aos vetores próprios. São eles T(x, y) = (y, x) e S(x, y) = (x + y, y)
cujas matrizes em relação à(b
01
ase o~.an)ônica são
~)= e ~)=
Os vetores próprios de S devem satisfazer a condição S(x, y) = (x, y), ouseja, (x + y, y) = (x, y) que equivale ao sistema:
{
X + y = x
y=y
cuja solução geraí é y = O. O sub-espaço próprio de S é formado então pelosmúltiplos do vetor (1, O) e portanto sua dimensão é 1. Então é imposs(vel formaruma base de JR2 com vetores próprios de S, contrariamente ao que se verificoucom o operador T.
(2 0), (-1 -1), (2 1) e (-1 -3)1 1 -3 1 ° 1 -1 1
3. Determinar valores e vetores próprios do operador T do IR4 cuja matriz em relação àbase canônica é:
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
2. Achar os valores e os vetores próprios do operador linear T do IR3 dado por
a) T(l, 0, O) = (2, 0, O), T(O, 1, O) = (2, 1, 2) e T(O, 0, 1) = (3,2, 1);
b) T(l, 0, O) = (O, 0, O), T(O, 1, O) = (O, 0, O) e T(O, 0, 1) = (5, -1, 2).
1. Achar os valores e os vetores próprios do operador T do IR2 dado por:
a) T(x, y) = (x + y, x - y);
b) T(x, y) = (-x,-y);
c) T(l, O) = (O, -1) e T(O, 1) = (1, O).
3) Se Àé valor próprio de T, o número s = dim(V(À» chama-se multiplicidade geométrica de À. Reveja nos exemplos acima a multiplicidade geométricados valores próprios.
4. Determinar o polinômio característico e os valores próprios do operador linear T: V -* Vque é definido em uma base {el, ... , en} por T(ei) = Àiei (Ài E IR).
6. Calcular o polinômio característico e os valores próprios da matriz:
uun
do tipo n X 1,tal que (A - Ãln)X = O. Ora, isto ocorre se,e somente se,A - Ãlnnão é inversível e portanto se, e somente se, det(A - Ãln) *" o. Levando em conta a definição 3 deste item podemos concluir que Àé valor próprio de A quando, esomente quando, Àé raiz do polinômio característico de A.
5. Calcular o polinômio característico e os valores próprios das seguintes matrizes:
252 253
254
Hr n (H1 + ... + Hr _ 1) = {o}
a soma em questão é chamada direta e se indica por H1 E!l ••• E!l Hr .Para uma soma direta H = H1 E!l ••• (& H r de sub-espaços de um espaço V vale
o seguinte fato: se B1, ... , Br são bases de Hi> "', HI' respectivamente, entãoB = B1U ... UBr é uma base de H.
n
Como cada H i é gerado por Bi e todo u E H é uma soma u = I u Í> onde ca-i=l
da Ui E H i, então B gera o sub-espaço H. Para mostrar que B é linearmente indepen-
dente suponhamos B1 = {uu, , Ulnl}"'" Br = {un ,.·. ,urnr }. Então, seaUul + ... + allllullll + + artUn + ... + arnru rnr = o deixando noprimeiro membro apenas as n r últimas parcelas teremos
an Url + ... + arnrurnr = v
ondevEHl + ... + H r - 1· ComoHr n(H1 + '" + Hr - d = {o},então
v = an Un + ... + arnrunlr = o
e, levando em conta que Br é L.!., concluímos que a r1 = ... = a rnr = a. A repetição desse raciocínio nos levará à conclusão que todos os escalares a são nulos e, conseqüentemente, que B é linearmente independente.
255
H2 n H l = {o}
H3 n (H1 + H2) = {o}
H1 + .,. + H r ={Ul + ... + UrIUiEHi}·
É claro que H1 + ... + Hr também é um sub-espaço de V. Se ocorrerem ainda asigualdades
Nosso objetivo agora é dar um critério para que um operador linear T de umespaço de dimensão finita (sobre IR ou ~) seja diagonalizável. Para tanto precisaremos de alguns pré-requisitos ainda não constantes do texto.
Lembremos que a sorna de dois sub-espaços H1 e H2 de um espaço vetorial Vé o sub-espaço
H l + H2 = {u + v Iu E H l ; v E H2}
e que essa soma se diz direta se H1 n H2 = {a}. Estas noções podem ser generalizadas de maneira óbvia Se H l , ... , Hr(r;;;' 1) são sub-espaços vetoriais de V,a soma desses sub-espaços é o conjunto
0) = (~l - X)(~2 - x) .. '(~n- x)
~n-x
(10)O -1 .
(T~
Em resuIl1o: existe uma base do R 2 em relação à qual a matriz de T édiagonal. Tal fato não ocorre com a matriz do operador S. Em outras palavras,a matriz de T é semelhante a uma matriz diagonal, o que não acontece com amatriz de S. Faremos a seguir um estudo breve dos operadores que podem serdiagonalizados conforme o operador T acima.
Defmição 5 - Seja V um espaço vetorial de dimensão finita. Um operadorT: V ~ V se diz diagonalizável se existe uma base de V formada por vetores próprios de T.
Se B = {el, ... , en} for uma base formada de vetores próprios de T então
No caso do operador T, se B = {fi, f2 }, então
(1 O) 1(-1 -1) (O 1) (1 1)O-1 = -2 -1 1 1 O 1-1
Mais ainda, sendo M = ( 1 1) a matriz de mudança da base canônica para1 -1
a base B, temos (T)B = M-l(T)M, ou seja
( ~1 ~ 0)° 2 "'~nonde ~l' ... , ~n são os valores próprios de T. Segue daí que
e assim PT (x) se decompõe em fatores lineares.
Nota: Os números ~1, ... , ~n não são necessariamente distintos dois a dois. Podeacontecer de o polinômio característico PT(x) de um operador linear T se decompor em fatores lineares da forma x - ~,sem que T seja diagonalizável. É o queacontece, por exemplo, com o operador linear S: IR2 ~ IR2 dado por S(x, y) == (x + y,y)cujopolinômiocaracterísticoé(x - l)(x - l)quejávimostratar-sede operador não diagonalizável.
257
Donde u = Qll Uu + ... + QU1 UU1 e portanto u E H1. Analogamente se chega àconclusão que V(Ài) C Hi para todo i (1 .;;; i .;;; k).
Das igualdades V(Àj) = Hi resulta que dim V(Ài) = dim Hi = ri que é a multiplicidade algébrica de Ài.
À1Qk1 = ÀkQk1, , À1Qkrk = ÀkQkrk
Q21 = ... = íX2r2 = = Qk 1 = ... = akrk = O
Nota (Importante): Seja A uma matriz real n x n. Se B indica a base canônica dolRn, existe então um operador linear T E L (Rn) tal que (T)B = A. A matriz A sediz diagonalizável se, e somente se, T é diagonalizável; isto é, quando existe umabáse B1 de IRn tal que (T)B1 = D é diagonal. Essa base B1, como vimos, é forma·da por vetores próprios de T.
«===) Por hipótese o polinômio característico de T pode ser fatoradosobre K do seguinte modo:
PT(t) = (À1 - tY1 ... (Àk - tYk
ondeÀi *- Àjsei *- jer1 + ... + rk = graudePr(t) = dimV. Amultiplicidadealgébrica de cada um dos valbres próprios Ài é, pois, ri (i = 1,2, ... ,k). Por hipótese ainda, dimV(Ài) = ri (i = 1, 2, ... , k).
Seja H = V(À1) + ... + V(Àk) e mostremos que V(Ài) n V(À~ = {O},sem
pre que i *- j. De fato, se u E V (Ài) n V(Àj), então T(u) = ÀiU = ÀjU e daí
(Ài - Àj)u = o. Como Ài *- Àj, então u = o. Conseqüentemente V(Àr) n(V(Àd ++ ... + V(Àr -1)) = {o}(2 .;;; r .;;; k) e então
H = V(À1) Cf) ... Cf) V(À0·
DaídimH = dim V(À1) + ... + dim V(À0 = r1 + .,. + rk = ne,sendoHumsub-espaço vetorial de V cuja dimensão é n, então H = V. Tomando uma base Bi deV(Ài) (i = 1,2, ... , k), então B = B1u ...UBk é uma base de V, constituída sóde vetores próprios de T. Donde T é diagonalizável.
e assim
Então
À1íXUUll + ... + À1íXu1 U1r1 ... + À1íXk1Uk1 + ... + À1íXkrkUkrk =
= À1u=T(u)= íX u T(Ull) + ... + íXkrkT(Ukrk) =
= À1íXllUU + ... + À1íXu1UU1 + ... + ÀkíX k1 Uk1 + ... + ÀkíXkrkukrk'
Comparando a primeira e a última combinações lineares acima obtemos
À1íX21 = À2íX21 , ... , À1íX2r2 = À2Q2r2
o
256
Uma conseqüência do que acabamos de mostrar é que
dim(H1 Cf) ... Cf) Hr) = dim Hl Cf) ... Cf) dim Hr·
1) o polinômio característico de T tem todas as suas raízes em K (sempreacontece no caso K = (8);
2) a multiplicidade algébrica de cada valor próp'rio Jq de T é igual àdimensão de V(Ài).
Demonstração:
(===» Seja B = {Ull' ... , UU1' ... , Uk1' ... , ukrk}uma base de V formada de vetores próprios de T de maneira que em cada Bj =
{ Ui!, ... , Uir) estão todos os vetores próprios associados ao valor próprioÀi E K(i = 1, 2, ... , k). A matriz de T em relação a essa base é
Teorema 1 - Seja V um espaço vetorial de dimensão finita sobre K(K= IR QU K = (8). Um operador linear T E L (V) é diagonalizável se, e somente se,
é portanto, já quePT(t) independe de representação matricial de T,
PT(t) = (À1 - t)r1 ... (Àk - tYk
cujas raízes estão todas em K.Para cada índice i (1 .;;; i .;;; k) seja Hi o sub-espaço gerado por Bi e mostre
mos que Hi = V (Ài). A inclusão Hi C V(Ài) é fácil de verificar pois um elementou E H i é uma combinação linear de Bi e é, portanto, um vetor próprio cujo valor próprio associado é Ài.
Para provar que V(Àd C H1 tomemos u E V(À1) em relação à base B:
u = íXll Ull + ... + íXkrkUkrk'
donde vem o vetor próprio
\
Para À = -1 temos
2) Seja
Para À = 1 temos
A = (-~ : -~)O 2-2
donde vem o vetor próprio
Um cálculo ",álogo nos d.d (~) como ou!m voto< p,óp,io de T, '''0
ciado ao vetor próprio 6. A matriz M = (2 2) é tal que M- 1AM _.-1 1
(20 06) . Pedimos ao leitor que faça estes cálculos.
Seu polinômio característico é:
PA (x) ~ det C~ 4 ~ x _:~.) ~ (x - l)(x + I)(x - 2).
4 ) = x2 _ 8x + 12 = (x - 2)(x - 6)4 - x(
4 - xPT(X) = det 1
Então:
o que mostra que A é diagonalizável. Para À = 2 temos
M
donde vem que
Exemplos
1) Seja T : 1R2 ---> 1R2 o operador dado por T(x, y) = (4x + 4y, x + 4y). Suamatriz em relação à base canônica é:
í4x + 4y = 2x
l x + 4y = 2y.
A resolução desse sistema nos leva a que:
Mas sendo A e D matrizes de um mesmo operador linear, se indicarmos porM a matriz de mudança de base de B para BI , então (ver Capo 5, § 5).
D = M-l AM.
Ora, sendo B = [(1,0, ... , 0J; ... ; (O, 0, ... ,0, l)J, se
Quer dizer, as componentes do i-ésimo vetor próprio de BI formam a i-ésima coluna de M(i = 1, 2, ... , n).
Para as matrizes complexas n x n vale o mesmo observado acima.
é um vetor próprio de T.
258 ; ·259
261
5
6
O
1
O
O
A=
/2. Determinar uma matriz M E M4 (IR), inversível, tal que M -1 AM seja diagonal, sendo
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1. Determinar, se possível, uma matriz M E M2 (IR) de maneira queM - 1 AM seja diagonal, nosseguintes casos:
íY = O
lz = t
Donde V(2) = [(x, o, z, z) Ix, z E <C] = [(1, O, O, O); (O, O, 1, 1)], cuja dimensão é 2.Como a multiplicidade algébrica de 2 é 3, então T não é diagonalizável.
Cálculos análogos levam à conclusão que V( - 3) = [(O, O, z, -4z) I z E <C]e portanto dim V(-3) = 1, o que mostra que V(2) + V(-3) ;r. (C4.
q:ue equivale, por sua vez, a
O
O
1
-2 -
t
4
O
Ot2
O
O
(~1 -001 ~O)teremos M;-lAM =
\
2
O
O
O
Para À = 2 teremos o vetor próprio
Então, formando a matriz
M~ G!D
r~+ Y 2x
C-4 -2 -') C2y 2y -4 -1 -2 -2
+ t 2zc) 2 2 4
d) -1
4z - 2t 2t 2 2 4 1 -1
260
t
V= (2 - t)2 . [(1 - t)( - 2 - t) - 4] = (2 - t)2(t2 + t - 6) = (2 - t)3( - 3 - t)
. 3) Seja T : (C4 -> (C4 o operador linear cuja matriz, em relação à base canônica de (C4 sobre (C, é:
1 O O
A2 O O
O 1
O 4 -2
Então
Logo, os valores próprios de PT(t) são 2 (com multiplicidade algébrica 3) e - 3 (commultiplicidade algébrica 1).
Calculemos as dimensões de V(2) e V( - 3), onde V = (C4. A equação matricial A (x y Z t)t = 2 (x y Z t)t equivale ao sistema
3. DIAGONALIZAÇÃO DE OPERADORESAUTO-ADJUNTOS (OU DE MATRIZESSIMÉTRICAS REAIS)
Lembremos que um operador auto-adjunto é um operador linear A de umespaço vetorial euclidiano V tal que \
<A(u), v> = <u, A(v»
para quaisquer u, v E V. Lembremos ainda que a matriz de A, em relação a qualquer base ortonormal, é simétrica, e que, reciprocamente, toda matriz simétricarepresenta um certo operador auto-adjunto, com referência a uma base ortonormal. Assim, o problema de diagonalização de uma matriz simétrica equivale aoda diagonalização de um operador auto-adjunto.
O polinômio característico de um operador linear sobre um espaço euclidiano é um polinômio real cujas raízes pertencem ao corpo ~ dos números complexds. Mostremos que no caso de um operador auto-adjunto todas essas raízes sãonecessariamente números reais.
De fato, seja S = (sij) uma matriz simétrica real e seja Àum valor própriode S. Então det(S - Àlm) = O, o que equivale a dizer que o sistema linear homogêneo
n
L SijXj = ÀXi (i = 1,2, ... , n)j=1
admite uma solução não trivial ({31, ... , (3n) e portanto são válidas as igualdades
n
L Sij{3j = À{3i (i = 1,2, ... , n).j=1
Multipliquemos ambos os membros de cada i-ésima dessas igualdades por {fi e aseguir somemos membro a membro as igualdades obtidas:
~n n
L Sij{3j1Ji = À I {3iiJi'i,j= I i=1
n
Como L {3iiJi E IR, se provarmos que o primeiro membro da última igualdadei= I
pertence também a IR, então teremos a conclusão desejada, isto é, À E IR. Masisto equivale a mostrar que esse primeiro membro é igual ao seu conjugado, o queé fácil:
262
n n n
L Sij{3jifi I Sijifj~i = I Sij~ {3i =i,j= I i, j= I i, j= I
n n n
L Sjiifj{3i = I Sij 13i{3j I Sij {3j iJi .i,j= I i, j= I i, j= I
Observe-se que a penúltima igualdade na seqüência anterior de igualdades se obteve simplesmente permutando-se os índices i e j na dupla somatória.
Portanto, já levando em conta a multiplicidade algébrica, uma matriz simétrica real de ordem n (ou um operador auto-adjunto de um espaço euclidiano dedimensão n) tem n valores próprios.
Teorema 2 - Um operador linear A de um espaço euclidiano V, de dimensão finita n :;;;. 1, é auto-adjunto se, e somente se, existe uma base ortonormal de Vformada de vetores próprios de A.
Demonstração
« ) Se B = {gl, g2' ... , gn}é uma base de V formado de vetorespróprios de A, então (A)B é uma matriz diagonal e portanto simétrica. Logo A éauto-adjunto (devido à proposição 8 - capítulo 6).
( » Faremos a demonstração por indução sobre dim V. Se dim V = 1,
qualquer que seja v E V, v ::/= O, f~endo II~II = g, então {g}é uma base ortonormal
de V e, obviamente, como V = [g] e A(g) E V, então A(g) = Àg, para um certo ÀE R.Então g é um valor próprio de A e esta condição fica provada para n = 1.
Seja V um espaço euclidiano de dimensão n > 1 e suponhamos o teoremaválido para os espaços euclidianos de dimensão n - 1. Sejam A E L (V) e ÀI E IRum valor próprio de A. Se u ::/= o é um vetor próprio de A associado a À" então
gl = II~II tambémoépoisA(gl) = A(II~II) = II~IIA(U) = II~IIÀ'U = ÀI 11:11 == ÀIg I .
Se H = [gd, então V = H <±> H1 , onde H1 também é euclidiano (relativamente ao produto interno de V, restrito a este sub-espaço) e dim H1 = n - 1. Observemos ainda que H1 é A-invariante, isto é, vale a implicação: v E H1 -+ A(v) E H1
.
De fato, se v E H1 < g" A(v) > = <A(gl)' v> = <ÀIg I , v> = ÀI <g" v> = ÀI •
• O = O. Isto nos permite considerar A, enquanto atua somente sobre os elementos de H1 , como um operador linear deste sub-espaço. E como <A(u), v> == <u, A(v» vale para quaisquer u, v E V, também vale para quaisquer u, v E Hl,então A, como operador linear de H1 , é também auto-adjunto.
263
2
-1
O
°1°
Mt·A 'M
2. Seja A E L (IR3) defmida por
A(x, y, z) = (x + y + z, x + y + z, x + y + z).
a) A~har os valores próprios de A.
b) Achar em base ortonormal B do IR3 tal que (A)B é diagonal.
c) Qual a matriz de mudança da base canônica do IR3 para B?
265
a) Achar os valores próprios de A.
b) Achar uma matriz ortonormal do IR3 em relação à qual a matriz de A é diagonal.
c) Achar uma matriz M ortogonal (M-l = Mt) tal que Mt(aij)M é a matriz diagonal obtida em b).
Portanto
V2°
V2-- --2 2
-V2°
V2M --
2 2
° 1 °é a matriz de mudança da base canônica do 1R3 para Bo, ambas ortonormais, doque decorre que M-! = Mt (ver exercício proposto 24 - item 4 - capo 6). Donde
res pelo inverso de sua norma acharemos uma base ortonormal do IR3 constituída devetores próprios de A:
B, ~l(~' -~'1;(0'0'[);('7,'7,0)]
1. Seja A E L (IR3) o operador linear cuja matriz relativa à base canônica é
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
-2
1
°
°° - (1 - t)2(1 + t) +-1 - t
os vetores próprios correspondentes
-2
1
°
A
vem que
Consideremos a matriz simétrica
1 - t - 2
det(A - tI 3) - 2 1 - t
° °+ 4(1 + t) = (t- 3)' (t + 1)2. Achemosaos valores próprios 3 e-I encontrados.
De
seu polinômio característico é
Pela hipótese de indução existe uma base ortonormal {g2, ... , gn} de HI
formada de vetores próprios de A (restrito a HI). Então B = {gl, g2, . . . , gn} é
uma base ortonormal pois cada vetor de HI é ortogonal a gl. Como cada elemento de B é um vetor próprio de A, a demonstração fica concluída.
{
X + Y = °z = °
Logo V(3) = {(x, - x, O) Ix E IR} é o conjunto dos vetores próprios associados aovalor 3. AnalogamenteseobtémqueV(-I) = {(x,x,z)lx,zEIR}é o conjuntodos vetores próprios associados a-I. Uma base de IR3 formada de vetores própriosde Aé
\
Exemplo
B={(I,-I,O); (0,0,1); (1, 1, O)}.
Note-se que o primeiro desses vetores foi conseguido fazendo x 1 em V(3) e osdos outros foram obtidos para x = °e z = 1 e x = 1 e z = °em V(- 1). Essa baseé ortogonal mas não ortonormal. Assim, se multiplicarmos cada um dos seus veto-
264
0) (1 -2).6P 1 2
2) Seja
Exemplos
A = ( 41 44)1) Seja e calculemos AP. Conforme já vimos a matriz
( _ ~ ~) diagonaliza A, isto é, M- 1AM = (~ ~), ou seja, A =
(~ ~) M- 1 de onde se tira que
267
Assim
e tomando À = 2 obtemos o vetor próprio
C)
A~ C~ Dcujo polinômio característico é PA (x) = (x + 1)2 (x - 2) (verifique). Ela é diagonalizável pois tomando À = -1 (raiz dupla) obtemos
=M
M=1
- 1
O
1
1
O
-1
1
o mesmo que se pediu no exercício 1 acima.
D= (À1 À2 °)O Àn
a matriz diagonal dos valores próprios de A. É claro então que
2 _ (À12
• O) 3 _ (Àl O) p _ (Ài .. ,0)D - '. 2 ,D - 3' ... , D - . pO Àn O, Àn O Àn
6. Seja A E Mo (IR) uma matriz simétrica. Prove que existe uma matriz real ortogonal P, n x n"tal que pt . A . P = D, onde D é diagonal, formada pelos valores próprios de A.
4. APLICAÇÃO DA DIAGONALIZAÇÃO: POTÊNCIASDE UMA MATRIZ
Mas M- 1AM = D acarreta A = MDM- 1 e daí, conforme já vimos no apêndice V,AP = MDPM- 1 •
Seja A uma matriz de ordem n. As potências de A são definidas por A2 == AA, " . ,AP = AP -1 A. Em geral é penoso o cálculo de AP, sobretudo se p égrande. No entanto se A é diagonalizável, o cálculo de AP é mais fácil. Pois se A édiagonalizável, existe uma matriz inversível M tal que: M- 1AM = D, sendo
4. Fazer para a matriz real simétrica
3. Seja (sij) uma matriz real simétrica cujo valor próprio de menor módulo é À. Mostrar q(sij) é inversível se, e somente se, À '* O.
266
5. Um operador auto-adjunto de um espaço euclidiano V se diz positivo definido se, e só se,todos os seus valores próprios são maiores que zero. Supondo a dimensão de V finita, mostrar que:
a) A é positivo definido se, e somente se, <A(u), u> >0 para todo vetor não nulo u E V.
b) Se A é positivo definido, então seu inverso (caso exista) também o é.
( i ~~ )M- 1=
k =0
2) (eZ O) (1 -2) =1 O e6 1 2
M. Dk • M-1
k! = Mao . Ak ao
I kT= Ik=o k=O
Por exemplo, se
A = (~ :) então D = (~ ~)
*I. Calcular AP nos seguintes casos
*2. Calcular eA, utilizando as matrizes do exercício 1.
D=
a) (: 1:)
c) (; : : : )
O O -2
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
269
conforme já vimos anteriormente. Daí
(e
2 0) -1 1( 2eA=M M =-° e6 4-1
=l-( 2e2
2e6
) (1 -2) =.-l. (2(e: + e:)4 _e2 e6 1 2 4 -e + e
então
é convergente. A soma dessa série é denotada por eA. ~ fácil perceb~r que ? ~ál
culo de eA é em geral difícil. Mas se A for uma matnz quadrada dtagonahzavelentão esse cálculo torna-se bem simples pois, sendo AP = MDPM-
1com
2P
- C-I)" )2P - (-I)"
2P + 2(-1)P
ao Ak
= I k!k=o
2P -(-l)P
2P +2(-1)"
2P - (-l)P
(-l)P
(
2P + 2(-1)"
= ~ 2P - (-l)P
2P - (-l)P
(
(-I)"
AP = M
A2 A3 API + A + -2 + -3' + ... + -, +. p.
Consideremos uma seqüência AI, A2, ... , Ak, .. , de matrizes reais de
tipo m x n. Suponhamos Ak = (ai/k», k = 1, 2, .... Dizemos que a seqüênciadada converge para a matriz B= (bij), do mesmo tipo que as Ak, se as seqüênciasde números reais
a··(1) a··(2) a··(k)1J ' 1J ,' •• , 1J , •••
convergem para bij para todo i = 1, ... , m e todo j = 1, ... , n.
Por exemplo
(~ ~).O:). O:)... .. U:) ...
5. APLICAÇÃO DA DIAGONALIZAÇÃO: SÉRIES DEMATRIZES (NOÇÕES)
268
Segue daí que
converge para a matriz (~ ~) pois 1, ~ , -}, ... converge para 0, o mesmo
acontecendo com a seqüência 0, 0, 0, ...
Se a seqüência Alo AI + A2, AI + A2 + A3 , ••• convergir, para a matriz B,então ~:itemos que a série infinita AI + A2 + A3 + ... + An + ... é convergente 'Para B. A matriz B chama-se soma da série dada.
Pode-se provar (não o faremos aqui) que, sendo A de ordem n, a sérieexponencial
270
6. Lema de Gergoshin
271
sup IXjl =
n
IÀ - aioio 1~ I laiojlj=lHio
n
~ I laiojllxjl ~j=lNio
n
I aiojXjj=lj;i io
n
I aijXj = ÀXi (i = 1, ... , n)j=l
n
I aijXj = ÀXi - ajjXi = (À - ajj)Xij=lNi
Tomemos o índice io tal que 1Xio 1= sup {IXil : i = 1, ... , n}.
Então
I(À - aioio)xio I = IÀ - aioioI IXio I =
n
I laioj I IXioI e daíj=lj4io
isto é À E D(aioio ; rio). -
ou seja
n
fj= I laijl (i=I,~ .. ,n).j=lj;ii
Então o espectro de A está contido na reunião destes n discos.
Prova - Tomemo, wn valo, p'6p'io A e "j. X ~ (:) wn veto< p'6p<io
de À. A igualdade AX = ÀX significa que
Teorema - Seja A = (aij) uma matriz complexa de ordem n. Consideremosos n discos D(ajj, fj)onde
2i )i - tI =
---------1 2 + iIIII
i -1r---IIII
(1 + i 2i)Exemplo: Seja A = .. E M2 (C). Então
- 1 1
(1 +i-t
PA(t) = det (A - tI2 ) = det _ i
= e - (1 + 2i)t + (i - 3)
Seja A uma matriz complexa n x n. Chama-se vetor próprio de A todamatriz complexa X de tipo n x I tal que AX = ÀX para algum ÀE C. Neste caso À évalor próprio de A associado ao vetor próprio X. Como no caso real prova-se queÀ é valor próprio de A se, e somente se, det (A - ÀIn) = O e portanto os valorespróprios de A são as raízes do polinômio PA (t) = det (A - tIn). O conjunto dosvalores próprios de A é o seu espectro.
cujas raízes são À1 = 2 + i e À2 = i-L O espectro de A é representado pelospontos seguintes
Um problema apresenta-se agora: pode-se prever onde se localiza no planocomplexo o espectro de uma matriz, sem calcular explicitamente seus valorespróprios?
DefInição 6 - Seja Zo um número complexo e r > O. Chama-se disco decentro Zo e raio r o subconjunto D(zo; r) do plano complexo defmido por
D(Zo; r) = {z E C : Iz - Zol ~ r}
DC e (4)
Q
(2 1)B,
M = (~ ~)
G)A,
P
273
porém, é triangular superior mas não é matriz de Jordan.
onde Cik = I: AijBjk. O leitor, certamente já bastante familiarizado com produJ=I
tos de matrizes, não terá dificuldades em perceber a validade desse resultado. Daí
não nos alongarmos mais sobre o assunto.Uma etapa de nosso trabalho no sentido da forma de Jordan passa pelas ma~
trizes triangulares superiores: são as matrizes (uij) tais que Uij = O sempre que 1
< j. Por exemplo, as matrizes de Jordan. A matriz
A A A Bnl Bn2ml m2 mn
e se o número de colunas de cada Aij for igual ao número de linhas de cada Bjk>
então'
Diz-se então que M foi particionada nos blocos A, B, C e D. Até aí trata-sesimplesmente de notação. Mas se considerarmos duas matrizes P e Q, particiona
das em blocos
AlI
então pode-se escrever
e fizermos
J I O OCu C l2 Clr
O J2 OC21 C22 C2r
PQ
O O JrCml Cm2 Cmr
n
(Â),
o teorema 1 deste capítulo fornece uma condição necessária e suficiente paraque um operador linear de um espaço vetorial de dimensão finita seja diagonalizável. O exemplo 3, item 2, é de um operador linear do [R4 não-diagonalizável.
Neste item trataremos de uma forma de matriz bastante simples, embora n~tanto como as matrizes diagonais, porém com uma vantagem: toda matriz complexa é semelhante a uma delas. Trata-se da forma canônica de Jordan. Como resultado fundamental veremos (o que já foi dito em outras palavras) que todo operador linear de <cn pode ser representado, numa base conveniente, por uma formade Jordan.
São chamadas matrizes de Jordan sobre o corpo !C, de ordem respectivamente 1, 2 e 3, as matrizes
7. FORMA DE JORDAN
272
onde  E C. A definição geral de matriz de Jordan é óbvia a partir desses casos.Reduzir uma matriz n x n à forma canônica de Jordan significa encontrar uma matriz
onde os Ji são matrizes de Jordan, semelhante à matriz dada. Como já observamos, isso sempre é possível no caso das matrizes complexas. A demonstração dessefato, contudo, é bastante longa e árdua, razão pela qual não será vista in totumneste texto.
Mas, na parte de que trataremos, aparecerão com freqüência matrizes particionadas em blocos. Por exemplo, isso acontece na forma canônica de Mrdan, ondeos J I , J2> ... , Jn são blocos, o mesmo acontecendo com as matrizes nulas que nelafiguram, indicadas simplesmente por O. Se considerarmos, digamos, a matriz 3 X 3
275
Yln
132n
V·pp-I • K •
~)("'I(T>c = O
(1 O) ("'I V) (1 O)M-I • A . M . Q = • •O p-I O K O P
("'Oi V
p-I . K
p-I • K • P (S)
Devido ao item 5 do capítulo 5, esta matriz efetivamente é uma representa~l\() de T. Os valores próprios dessa matriz são, é claro, "'I' "'2, ... , "'n' Como A6scmelhante a essa matriz e A = (T)B' então "'J, "'2, ... , "'n são os valores próprios
tlc T.Nota - A representação matricial obtida para T no lema 1 pode ainda ser
melhorada. Vejamos como, reproduzindo passo a passo a demonstração feita (aoInvcs de usar o recurso da indução), mas com alguns cuidados suplementares.
Conforme a demonstração, existe uma base C de <rn tal que
então
e R M' Q. Observando que Q é inversível (pois P o é) e
Sejam agora
Se P indica a matriz de mudança da base canônica de <rn - I para esta última ba·
se, então
132n
133n
~)
(S)
("'I(T>c = O
Lema 1 - Seja T : <rn -> <rn um operador linear. Existe então uma matriztriangular cujos termos da diagonal principal são os valores próprios de T e queé a matriz de T em relação a uma conveniente base de ([n.
Demonstração - (por indução sobre n)Como toda matriz 1x 1 é triangular, o teorema é obviamente verdadeiro pa
ra n = 1.Seja n > 1 e consideremos o teorema verdadeiro para n - 1. Consideremos
T : <rn -> <rn conforme o enunciado e seja B a base canônica de <rn sobre <r. ComoPT(t) é um polinômio complexo, T admite um valor próprio "'I E <r. Se UI é umvetor próprio ao qual "'I está associado, seja C = [uJ, U2' ... , unJ uma base de <rnobtida a partir de uI' Então
T(uI) = "'IUIT(U2) = Ul2UI + u22u2 + ... + un2un
e
onde V é 1 x (n - I), O é (n - 1) x 1 e
é (n - 1) x (n - 1). Supondo A (T)B' então (prop. 2, capo 5):
onde M é a matriz de mudança de base, de B para C.Ora, como K é (n - 1) x (n - 1), K é matriz de um operador linear
S : <rn - I -> ([n - I em relação, digamos, à base canônica de <Cn - f:'Pela hipótesede indução existe uma base de <rn - I relativamente à qual a matriz de S é
274
o
O
O
O
A
Nosso objetivo é ir efetuando mudanças de base que anulem os termos do bloco
Demonstração . 4Observemos primeiro um exemplo. Digamos, o de um operador lmear de <C
que admite, de acordo com a nota anterior, a seguinte representação matricial:
1 : 2 3I
O 1 I 1 O--- -1-----O O I 2 1
I
O 0 1 0 2I
onde cada A é triangular superior cujos termos da diagonal principal são iguaisa !vi (valor p~óprio de T), a ordem de Ai é a multiplicidade algébrica de !vi e r éo número de valores próprios distintos entre si.
Lema 2 - Se T : <cn -> <cn é um operador linear, então T admite uma repre
sentação matricial
onde cada A· é triangular superior, todos os elementos da diagonal principal de A jj
são iguais a l~i (valor próprio de T), a multiplicidade algébrica de !vi é igual à or
dem de Ajj e !vi ;;t!; !vj sempre que i ;;t!; j.
2 O
3 5
!v2 1
O !v2
U'
(
!vI
(T) = ~
L
Os valores próprios da matriz K são os restantes valores próprios de T, posto queK é semelhante a uma matriz triangular superior cujos termos da diagonal principal são exatamente esses valores. Repetindo para S : <cn - I -> <cn - I o raciocíniofeito com T, porém com o cuidado de partir ainda de !vI> caso este número sejatambém valor próprio de S, concluiremos analogamente que existe uma matriz inversível MI' de ordem n - 1, tal que
Observemos que, neste caso, L admite a seguinte partição em blocos:
Com a suposição deque !vI não é raiz simples de PT(t), chegamos então à existência de uma base de cn em relação à qual
Se levarmos esse raciocínio até esgotá-lo, o resultado será uma representação triangular superior de T mas de tal sorte que a diagonal principal obtida é formada pelos valores próprios na seguinte seqüência: !vI' !vI> ... , !v!> !v2' ... , !v2' •.. , !vp , ••• ,
!vp , onde !vi ;;t!; !vj se i ;;t!; j.Um exemplo poderia ser o seguinte
onde T11 e T22 são triangulares superiores, a primeira com todos os elementos dadiagonal principal iguais a !vl e a segunda com todos iguais a !v2'
É claro que isso é geral e podemos afirmar que todo operador linear T : Cn
-> cn admite uma representação matricial por blocosc O
O O
1 O
O O
1 O
O 1
O O
O O
E
277
Vejamos como anular o primeiro desses termos. Consideremos a matriz elementar
onde c (a determinar) ocupa a posição (1,3), exatamente a do termo que se quer
anular em A. A inversa de E é
AJI A 12 A lr
O A22 A2r
O O Arr
276
Ji! O O
O Ji2 OP i ' Ai p.- I
1
O O J is;
d J. J. são matrizes de Jordan em cujas diagonais figurmn apenas o va-
on e 11' ••. , 1S· , ' d Àlor próprio À
i~ Si é a dimensão do subespaço propno e i·
Demonstração , .Pelo lema 2 existe uma base de <cu em relação à qual a matnz de T e
(T)
d' . d A A são respectivamente, os valores próprios
onde os termos IagonaIs e 1>"" r :,. , . "_À
I, .," À
rde T, a ordem de cada Ai é a multIplIcIdade algeb~lca,de Ài e r e o nume
ro de valores próprios, distintos entre si, de T. (Cada Ai,e tnangular.)" . ,O lema 3, por sua vez, garante que, para cada Ai> eXIste uma matnz Inversl-
vel P i tal que
d (') d J e' uma matriz de Jordan com elementos da diagonal principal toon e: I ca a i ' ' À d Tdos iguais a um certo valor próprio Ài de T; (ii) um mesmo valor propno i e À
pode figurar em mais de um bloco, ~or~m o número de blocos com o mesmo i
é igual à dimensão do subespaço propno de Ài ,
Teorema 3 - Seja T um operador linear de <Cu. Então T admite uma forma
canônica de Jordan
onde na diagonal das matrizes de Jordan J i figura sempre o elemento À e r é a di
mensão do subespaço próprio de À.-c oo o1 O
O
1 O
O 1
O O
O O
(
1 llc+2 c+3I
O 1 I 1 O----t---------
O O I 2 1
O O: O 2
E • A' E-I
e
Isto porque o efeito de EA é somar à linha r-ésima de A sua linha s-ésima multiplicada por c, ao passo que (EA)E -I soma à coluna s-ésima de EA sua coluna r-ésimalllUltiplicada por - c , Observemos, também, que a transformação E • A • E - Iafeta apenas os termos aij, tais que i > r e j > s.
É claro, então, que através de uma sucessão finita dessas transformações desemelhança se chega ao resultado pretendido, visto que em cada etapa ondea ss ;t:. arr pode-se anular !3rs fazendo c = (- a rs) (ass - arr) - I.
O último resultado obtido já se aproxima razoavelmente da forma canônicade Jordan. Mas ainda faltam etapas difíceis, como o lema a seguir, cuja demonstração omitiremos. O leitor poderá encontrá-la na bibliografia em [13].
Assim, se escolhermos c = - 2, conseguiremos o anulamento pretendido,De um modo geral, se A = (aij) já está na forma dada pela nota anterior,
pode-se transformar em nulo qualquer bloco acima dos blocos diagonais, seguindoa idéia do exemplo dado. De fato, seja a rs um elemento de um dos blocos a seremanulados (logo r < s). Seja E a matriz elementar que tem na posição (r, s) um elemento c (a ser determinado) e que nas demais coincide com a matriz idêntica. Ainversa de E coincide com E salvo na posição (r, s) onde seu valor é-c. Se E •A • E-I = (!3ij), então
Lema 3 - Todo operador linear de Cu que admite uma representação matricial triangular superior, cujos termos da diagonal são iguais a À E <C, admitetambém uma forma canônica de Jordan
279
I !
P (2, 0, O, 0)1 = 2 P IP (O, 2, O, 0)1 = 2 P 2
P (O, 0, ~ 3, 0)1 ( - 3) P 3
P (O, 0, 1, -3)1 = P 3 - 3P4
~2-1~---l
° O O 12 1 I O O1__ ...1I I,--,lO 2 1 O OO '2' O OL_~ L ___ J
,-----1 ou íi1O O 1-3 1 1 O O OI I
L_~
O O lO -3 1 ° O O '-=31L _____J L __ ~
Exemplo
Consideremos o operador do exemplo 3, item 2, que já. vimos não ser diagonalizável. Seus valores próprios são 2 e - 3, dim V(2) = 2 e dim V( - 3) = 1. Entãohá dois blocos de Jordan com termo diagonal 2 e um único com termo diagonal- 3, na forma canônica de Jordan de T. Assim as possibilidades são, para essaforma:
Procuremos a matriz P inversível, 4 x 4, tal que P - I • A • P = J, onde Jé uma das matrizes anteriores. Se chamarmos de PI> P2, P 3, P4 as colunas de P,a igualdade AP PJ equivale, no primeiro caso, áo sistema:
5 1 O
Dx O
° 5 O y O
O ° 4 z 1
O ° 4 -4
ou
t+ y O5y O
4z + t 14i + t -4
que é incompatível. Logo devemos descartar a primeira das formas de Jordanexibidas.
Para as três primeiras equações desse sistema, o exercício 3 citado fornece uma soluçãolinearmenteindependente:PI = (1,0,0,0)I,P2 = (0,0,1, 1)l e P3 = (0,0,1, -4)1.A última equação equivale a (A + 314)P4 = P3, onde 14 é a matriz idêntica de ordem 4 e P4 é a coluna incógnita. Temos de resolver, portanto, o sistema:
O
O
p-Ir
J 11 O O
O J 12 O
OO O J Is,
••• O OJrl
O O Jr2 O
O O oooJrs,
Observamos que, se
P I O
O P2P
O O
então P é inversível e
PII O
O Pi lp-I
O O
Portanto
P • (T) • p-I =
Notemos que, para cada i, 1 ::;;; i ::;;; r, na diagonal de cada um dos blocos Jis.figura sempre o valor próprio Àio Logo pode haver blocos diferentes com o mes~
mo valor próprio na diagonal. Observemos ainda que, pelo lema 3, para cadai (1::;;; i ::;;; r), si é a dimensão do subespaço próprio de Ài. Mas si é exatamente onúmero de blocos de Jordan onde aparece Ài na diagonal, o que conclui a demonstração.
280 281
Testemos agora a segunda forma de Jordan. Procedendo analogamente, obteremos o sistema
2P I
P I + 2Pz2P3
-3P4
Nota - Toda matriz real n x n é matriz de um operador linear T : <CU -> <Cu,onde <cu é considerado espaço vetorial sobre <C. Assim, se uma matriz real n x ntem todos os seus valores próprios em IR, então ela admite uma forma de Jordanque é a forma de Jordan do operador linear de <cu representado por essa matriz,por exemplo em relação à base canônica.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
o-I
2
-I
3
-I
-I O
-3 2
O
-3 4
-8 -2 -7 5 4
o-4
-2 --1
-3 -I
c)
4. Prove que uma matriz complexa A é nilpotente (An = O, para algum n ;;" I) se, e somentese, a forma canônica de Jordan dessa matriz também é nilpotente.
3. Seja J uma matriz de Jordan cujos termos da diagonal são iguais a À.
a) Ache PJ(t).b) Ache a dimensão de V(À).
7. Mostre que a inversa de uma matriz de Jordan inversível é triangular -superior.
5. Seja A uma forma canônica de Jordan com r blocos de Jordan. Mostre que A admite exatamente r vetores próprios linearmente independentes.
8. Seja A uma matriz complexa cujos autovalores são números reais. Mostre que A é semelhante
a uma matriz real.
6. A inversa de uma matriz de Jordan, caso exista, também é matriz de Jordan? Justifique.
9. Ache a forma canônica de Jordan do operador diferencial (derivada) D : P 3(<C) ..... P3(<C)·
2. Ache a forma canônica de Jordan das seguintes matrizes
1. Ache todas as possíveis formas canônicas de Jordan de um operador linear T cujo polinômiocaracterístico é PT(t) = (t + 1)2 . (t - 2)3.
P I . Ou seja:
O O O
O 1 O OP (PI Pz P 3 P4)
1 1O O
O O -4
é tal que
p-' . A • P ~ (~1 O O
2 O O
O 2 O
O O -3
cuja solução é dada por (x, 1, z, z). Uma solução particular simples deste últimosistema é (O, 1, O, O). Assim a matriz
o O O x
O O O O y O
O O -1 z O
O O 4 -4 t O
que equivale a
[' ~ I-z + t = O4z -4t = O
Basta resolver APz = P I + 2 P z ou (A
(Deixamos os cálculos a cargo do leitor.) Dessa forma ficou eliminada a ambigüidade inicial e esta última matriz é a forma canônica de Jordan do operador dado.
lO. Use a forma canônica de Jordan para provar que o determinante de T é o produto, levandoem conta as multiplicidades, dos valores próprios de T.
Z82 283
• Lembremos as seguintes equações da Geometria Analítica:
O
Y = (::)
("'Ipt . A • P = O
onde "'I e "'z são os valores próprios de A. Assim, considerando a mudança de base determinada por P, cuja equação é X = P • Y, onde
Mas, sendo A simétrica, existe uma matriz ortogonal P tal que
é a matriz das coordenadas de um vetor genérico do IRz em relação à nova base,a equação (2) fica:
f(xl> YI) yt • (pt A • P) • Y + 2(al az) P Y + a =
("'I :z) (::)(Xl Yt) O + 2(al az) P Y+ a =
'"Ixr + "'zyr + 2blxI + 2bzYI + a = O (3)
onde
onde os novos coeficientes bl e bz são expressões em função de aI> az e dos termosde P.
Pode-se provar que a mudança da base determinada por P corresponde geometricamente a uma rotação - o que não será feito aqui por uma questão de brevidade.
Estudaremos a equação (3) considerando três casos: "'I"'Z > O, "'I"'Z < O e"'I"'Z = O. Nos dois primeiros essa equação pode ser colocada, por completamento de quadrados, do seguinte modo:
ZL = 1; yZ = 2px.bZ
Curvas e Superfícies de Segundo Grau
CAPíTULO 2
e procurar saber se todas representam secções cônicas ou não. A resposta, salvoos casos degenerados (conjunto vazio, um ponto ou um par de retas), é afirmativa,como veremos. E uma classificação se faz possível a partir dos coeficientes daequação.
1. AS CURVAS DE SEGUNDO GRAU
É sabido que, para valores convenientes dos parâmetros a, b e p, elas representamrespectivamente as seguintes secções cônicas: elipse (ou circunferência, se a = b),hipérbole e parábola. No aspecto algébrico todas têm em comum o fato de que osprimeiros membros são formas quadráticas nO IRz. Mas é bom lembrar, ainda, quepara chegar a essas equações, na forma em que as exibimos (canônica), sem dúvidabastante simples, é preciso trabalhar com sistemas de eixos ortogonais numa posição bastante favorável em relação às curvas.
Levando em conta tudo isso, é bastante razoável investigar a equação geraldo segundo grau em duas variáveis
• Notemos primeiro que, considerando as matrizes
Y + ~I
"'zb l
Xz + ~; Y2Xz
b
Assim, a translação no IRz definida por
o (2)
e
f(x, y) = xt . A • X + 2(al az) X + a
o pode ser escritaf(x, y)
284 285
O).
O
Yzb~
Xz
~ ( bz ) z _ b~ __ OI\z YI + ~ + a "'z
"'zY~ + 2b1xz = O (5)
Â,zYI + 2bzyz + a = O
Se b l ;é O, por completamento de quadrados obtemos
Suponhamos "'I = Oe "'z ;é O (mostre que não se pode ter "'IA equação (3) fica então
Considerando a translação definida por
que, por completamento de quadrados, pode ser expressa por
chegamos a
A translação dada por
que, por serem "'z e b l não nulos, obviamente representa uma parábola.No caso b l = O a equação (3) se reduz ax~ Y~
-,.---=---,--- + -,.--~--,----
(--i;-) (- :z )
Se b = O, é evidente que só o ponto Xz = O, YZ = O satisfaz (4).Se b ;é Oe b e "'I têm mesmo sinal, digamos Â,lo "'z, b > O, considerando que
"'IX~ + "'ZY~ + b = O (4)
Se b = O, supondo por exemplo "'I > O e Â,z < O, o primeiro membro de(4) pode ser se fatorado como diferença de dois quadrados, assim:
vemos que se trata de uma elipse
onde o primeiro membro é ~ Oe o segundo < O, é claro que (4) representa o vazioneste caso.
Se b ;é O e os sinais de b e "'I são contrários, colocando (4) na forma
que, formalmente, já é bem parecida com as formas canônicas de nossos dois exemplos iniciais.
Em suma, por meio de uma rotação seguida de uma translação, a equação(1) se transforma em (4), que lhe é equivalente.
a transforma em
que é a equação de um par de retas.Se b ;é O, então (4) representa uma hipérbole. De fato, supondo por exemplo
b < O, "'I > O e "'z < O, essa equação pode ser escrita do seguinte modoa reduz finalmente a
Xz Yz YI + ~"'z
x~
(--t-)z
YZ = I
( ~z )onde
"'zy~ + b O (6)
(iii)b a -
286 287
(7)°
Logo, a equação (4), referente a estes casos, fica:
cS=OeÓ;é.O
Como então: Ó ;é. °{=? "'2, b, ;é. 0, podemos concluir que quando
a equação (1) representa uma parábola.É fácil concluir que o caso restante (duas retas paralelas ou duas retas coinci
dentes) corresponde a cS = Ó = O.
289
(ii) cS < °De A = b segue que Ó = °se, e somente se, b = o.
cSLogo, se b = 0, isto é, se Ó = 0, f(x, y) = °representa um par de retas
concorrentes.Se b ;é. 0, isto é, se Ó ;é. 0, a curva é uma hipérbole.
(iii) cS = °O caso de uma parábola ("'2 ;é. 0, b1 ;é. O) é dado por "'2Y~ + 2b,X2 O.
Logo
Com esses novos dados, os casos estudados passam a ser:
(i) cS > °Se Ó = 0, (7) traduz apenas um ponto.
Como b = A e cS > 0, então b e Ó têm o mesmo sinal. Além disso, sendocS
Õ = "'1"'2 > 0, os sinais de "'1 e "'2 são iguais, do que resulta que s = "'1 + "'2tem mesmo sinal que "'1' Logo, dizer que b e "'1 têm mesmo sinal equivale a dizerque Ó e s têm mesmo sinal. Conseqüentemente, b e "'1 têm sinais contrários se, esomente se, Ó e s têm sinais contrários. Logo:
sÓ > °implica que f(x, y) = °representa o vazio;sÓ < °implica que (1) é a equação de uma elipse (ou circunferência).
0, que0, (6) se reduz a y~
b
"'2y~ +
"'1 ° °O "'2 °° ° b
a
all a12 ai
Ó a12 a22 a2
Se fizermos all + a22 = se detA = alla22 - aT2 = cS, então PA(t) = t2 - st + cS.Ora, como matrizes semelhantes têm mesmo polinômio característico, então a rotação que transforma (1) em (3) não altera s e cS. Mais precisamente: s = "'1 + "'2e cS = "'1"'2' Além disso, se numa equação qualquer do segundo grau em duas variáveis x e y fizermos uma translação Xl = X + k e Yl = Y + k e calcularmos,na nova equação em Xl e YI> os valores correspondentes de s e cS, obteremos os mesmos resultados que na primeira. A verificação desse fato não oferece nenhum embaraço. É por isso que se diz que s e cS são invariantes de uma equação do segundograu em X e y.
Mas há um outro invariante associado a essa equação e que interessa ao nosso estudo. É o determinante de terceira ordem
• Não há dúvida de que o procedimento anterior não é muito prático. Veremos agora uma maneira mais simples de encaminhar a resolução do problema.
Voltando à equação (1) e à matriz A, observemos que seu polinômio característico é
Para não alongar muito o assunto com cálculos, deixamos de verificar esse fato.Voltando à classificação, lembremos que nos casos (i) e (ii) estudados, a equa
ção (1) se transforma, mediante uma rotação, seguida de uma translação, em"'lX~ + "'2y2+ b = O. Considerando a invariância de se cS, podemos garantir que
cS = "'1"'2 e
então (6) representa duas retas paralelas. E se bé a equação de um par de retas coincidentes.
É claro que "'2Y~ + b = °é o vazio se "'2b > O. Se "'2b < 0, como
288
291
-11
-2
O
2
2 O -3
-2 -3 2
~)Vi2
Vi)~ = (-3,12, (2)
l-Vi x2.2
e
( ~Vi2
y~
-4 e ~
2y~ - 3Vi x2 O
P
(~Vi2
2( -1 2)
3 2
2 O
- 3Vi e a equação canônica da parábola é (conforme (5»:2
3x2 + 4xy - 4x - 6y + 2
Neste caso
3
Mesmo exercício, relativamente à curva
Exemplo 2
Logo, b l
ou
Assim os coeficientes b l e b2 da equação (3) se obtêm calculando
Por exemplo os vetores (l, - 1) e (1, 1). Ortonormalizando esses vetores obtém-sea matriz ortogonal P:
c portanto "'I = Oe "'2 = 2. Os vetores próprios linearmente independentes associados a "'I e "'2 se obtêm resolvendo.
-9
t(t - 2)
O
1 -1
1 1 2
-1 2 1
(1 - t)2 - 1
O e ~
x2 + 2xy + y2 - 2x + 4y + 1
Classificar a curva dada por
~ ~ Os ~ < O ; elipse
s ~ > O : vazio8 > O
~ = O Um ponto
8 < O~ ~ O Hipérbole
~ = O Duas retas concorrentes
~ ~ O Parábola
8 = O Duas retas paralelas~ = O ou
Duas retas coincidentesI
trata-se de uma parábola.A equação característica da matriz
o quadro abaixo resume o estudo feito.
Exemplo 1
e dar sua equação canônica.Como
290
é
(2')
(3')
O
b2YI + ~' Z2X2
Consideremos os seguintes casos quanto à existência de valores próprios nulos:
obtemos
Esta hipótese permite considerar a translação definida por
que transforma (2') em
293
onde o segundo membro pode sempre ser considerado maior que ou igual a zero.(a) b = O e todos os "'j têm mesmo sinal: um ponto(b) b = O e, por exemplo, "'I, "'2 > O e "'] < O. A equação (3') pode ser re
duzida a
Como para cada secção paralela ao plano X2Y2 (fazendo z2 constante) o resultadoé um ponto ou uma circunferência (quando Z2 "t. 0)* e, para cada secção paralelaao plano X2Z2 ou Y2Z2, o resultado é um par de retas (Y2 = O ou X2 = O) ou umahipérbole, então trata-se de um cone
* Ou elipse.
G ~) são
11 - ~·d-- e a equaçao canomca a4
e
~1116
4 V5. Daí b5
Y~114
P= (2V;V55
V5-7- e b25hipérbole é
f(x, Y, z) = allx2 + a22y2 + a33z2 + 2al2xy + 2a13xz + 2a23YZ ++ 2alx + 2a2Y + 2a3z + a = O (1')
Consideremos agora a equação geral do segundo grau nas variáveis x, Ye z:
Neste caso b1
e portanto a curva é uma hipérbole. Os valores próprios de A
2. AS SUPERFÍCIES DE SEGUNDO GRAU
"'I = 4 e "'2 = - 1. A matriz P de rotação neste caso é
Semelhantemente ao que foi feito no item anterior, se considerarmos as matrizes
podemos escrever
f(x, Y, z) = XI • A . X + 2(al a2 a3) X + a = O
Sendo A simétrica, pode-se determinar uma matriz ortogonal P tal quepl . A . P = D, onde D é a matriz diagonal dos valores próprios "'lo "'2, "'3 deA. Considerando a mudança de base que se traduz, em termos de coordenadas, por
292
295
O
Y2
O
z] chegamos a14
1)2 + (y - 1)2 - 4z +
X2
- - - - - ----~~:.--_------~
f(x, y, z) = (x
(f) b < O; "'], "'2, Â,3 < O: conjunto vazio.(ii) "'I> "'2 ;é. O e Â,3 = O
Exemplo - f(x, y, z) = x2 + y2 - 2x - 2y - 4z + 3Completando quadrados em x e em y obtemos
Fazendo a translação: x-I
Z2
que é a equação de um parabolóide elíptico (circular)
que é a equação de um hiperbolóide de duas folhas·
t).s
I
IIII
- - -;>t- - - - t-----.....// I
// II
----~---,I
(e) b < O; "'] > O; "'2, "'3 < O. Então (3') pode ser expressa assim
(c) b < o e "'I> "'2, "'3 > O. A equação (3') pode ser reescrita
(d) b < O; "'I; "'2 > Oe "'3 < O. A equação (3') pode ser transformada, então, em
e portanto representa um hiperbolóide de uma folha
e portanto representa um elipsóide (uma superfície esférica se r
294
que, portanto, estão alinhados. Então, a figura correspondente à equação dada éum cilindro parabólico cujo esboço da figura está a seguir.
Observemos o seguinte: para cada valor de ZI fixado a equação é a de umaparábola num plano paralelo a XIYI; como
297
2. Ache as equações canônicas de:
a) x2 + 4xy - 2y2 = 6
b) 3x2 + 2xy + 3y2 = I
c) x2 + y2 - 2xy + x =
I. Identifique as seguintes curvas de segundo grau:
a)2xy + 3x - y + I = O
b)4x2 - 24xy + lly2 + 56x - 58y + 95 = O
c) 6x2 .- 4xy + 9y2 - 4x - 32y - 6 = O
d) 16x2 - 24xy + 9y2 - 19x - 17y + 11 = O
e) 4x2 - 20xy + 25y2 + 4x - lOy + I = O
f)x2 +y2+xy-x+I=O
3. Identifique as seguintes superfícies de segundo grau:
a) 11x2 + lOy2 + 6z2 - 12xy - 8yz + 4xz - 12 = O
b) x2 + y2 + 2z2 + 2xy - 4xz + I = O
c) 9x2 + 12y2 + 9z2 - 6xy - 6yz =
d) x2 + y2 + z2 + 2xz = I
e)x2 + 2y2 - z2 + 2xz + x = O
4. Discutir, em termos dos valores de À" as cônicas de equação:
a)À,x2 - 2xy + À,y2 - 2x + 2y + 3 = O
b) x2 - 2xy + À,y2 + 2x = 4
5. Discutir, em termos dos possíveis valores de À" as superfícies de segundo grau:
a) x2 + À,y2 + z2 - 2xy = 2
b)x2 - À,y2 - 2À,z2 - 2y = O
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
YI
//
//
/
3
2~
2~2YI
f(x, y, z) = 2(x - 2)Z - 4y 2z - 6 O
//
(O-~ - J.-- Z) = z(o -~ 1) + (O _J.-- O), 2 2' '2'" 2 '
(iii) Ivl .,r: o; 1v2 = 1v3 = o
Exemplo - f(x, y, z) = 2x2 - 8x - 4y - 2z + 2 OCompletando quadrados em x chegamos a
Por meio da translação: XI = X - 2, YI = Y, ZI Z
obtemos finalmente
os vértices dessas parábolas são os pontos
296
299
feto) = ao + alto + + art~
f(t 1) = ao + altl + + art[
{
f(O) = ao
f(l) = ao + ai + azf(2) = ao + 2a1 + 4a2
f(tr) = ao + al tr + ... + art:
Obtivemos assim um sistema linear nas incógnitas:
A=
ao, ai, ... , ar
que é compatível determinado pois a matriz dos coeficientes é:
Itr t; t;
e seu determinante é diferente de zero, valendo:
det (A) = :rr<. (ti - tj). •1 J
Exemplo - Determine o polinômio de grau < 2 cujos valores numéricosconhecidos são f(O) = 1, f(l) = 2 e f(2) = 3.
Seja f(t) = ao + a1t + azt2; logo
1 = f(O) = ao
2 = f(l) = ao + ai + az
3 = f(2) = ao + 2al + 4az
e daí ao = 1, aI = 1, az = O e f(t) = 1 + t.
2. POLINÔMIOS DE LAGRANGE
Conforme já vimos na primeira parte do livro a base canônica de Pz (IR) é{l, t, t 2}. Por outro lado acabamos de mostrar que se os valores f(O), f(1) ef(2) de um polinômio f(t) de Pz (IR) forem conhecidos, poderemos achar essepolinômio, através do sistema linear:
Conforme vimos no Capítulo 2, o conjunto P(IR) dos polinômios reais:
constitui um espaço vetorial sobre IR que não é finitamente gerado. Nesse espaçovetorial, o conjunto de polinômios {I, t, ... , tn , ...} é infinito e linearmenteindependente no seguinte sentido: todo subconjunto finito dele é L.I. (definição 1do capítulo I1I). No entanto, conforme também já vimos, o conjunto Pn (IR) dospolinômios de grau menor ou igual a n, mais o polinômio nulo (n sendo umnúmero natural fixado), é um espaço vetorial sobre IR de dimensão n + 1.
Defmição 1 - Seja to um número real fixado e f(t) um polinômio. Sesubstituirmos a variável t pelo número to, obtemos feto), um número real, quese chama valor numérico do polinômio f(t) no ponto to. A aplicação que associaao polinômio f(t) o número feto) é uma transformação linear de P(IR) em :IR, ouseja, uma forma linear em P(IR) pois
CAPíTULO 3Polinômios de Lagrange
para quaisquer polinômio f(t) e g(t) e qualquer número real À.. Essa transformaçãolinear tem como núcleo o conjunto dos polinômios f(t) tais que feto) = O, ou seja,os polinômios divisíveis por t - to.
A importância dessa aplicação linear resulta do teorema a seguir.
Teorema 1 - Seja f(t) um polinômio de grau < r e suponhamos conhecidosr + 1 valores numéricos feto), f(td, ... , f(tr> sendo ti =1= tj se i =1= j. Então f(t)está perfeitamente determinado (isto é, seus coeficientes estão determinados).
Demonstração - Seja f(t) = ao + ai t + ... + artr onde os coeficientesdevem ser determinados. Então, por hipótese
298
1. VALORES NUMÉRICOS
o método explicado no parágrafo 1 nos levará ao seguinte resultado (omitiremos
os cálculos):
Mas nas vezes em que houver necessidade de repetir seguidamente o cálculo decoeficientes, o procedimento acima se torna muito demorado. Vamos, a seguir,construir uma nova base de P2 (lR) que facilita muito esses cálculos.
Consideremos três polinômios LI (t), L2 (t) e L3 (t) que tenham os seguintes
valores numéricos:
301
-- (2,5)
Observação
A fórmula anterior é a base para ométodo de Simpson do Cálculo Numérico.
-2Como sabemos essa área é dada por: A = J
of(t)dt. Mas
f(t) = f(O)LI(t) + f(I)L2 (t) + f(2)L3 (t). Logo:
A = J0
2f(t)dt = f(O) J": LI (t)dt + f(l) J: ~ (t)dt + f(2) J: L3 (t)dt =
= f(O) [ ~ t3_ ~ t2 + t]: + f(1) [_ t; + t2
]: + f(2) [~ _ t:]:
= f(O) [ ~ - 3 + 2] + f(l) [ - ~ + 4] + f(2)[ ~ - 1]
= ~ f(O) + ~ f(1) + ~ f(2) = ~ (f(O) + 4f(l) + f(2)).
A área pode então ser obtida diretamente através dos valores numéricos def(t) para t = O, t = 1 e t = 2. Por exemplo, se f(t) = t2 + 1, teremos:
A = ~ (1 + 8 + 5) = 134 .
1 2 1 2 () 1 2 1LI(t)=2 t -"I t ,L2 (t)=-t +1 e L3 t =2 t +2t.
Aplicação
Uma aplicação interessante das fórmulas desenvolvidas aqui é a seguinte.Suponhamos dado um polinômio f(t) de grau ~ 2 e que desejamos calcular a áreacompreendida entre o gráfico desse polinômio e o eixo x, entre os pontos Oe 2.
É óbvio então que a ba~e {LI (t), L2 (t), L3 (t)} de P2 (lR) é muito maisinteressante do que a base canônica quando queremos determinar um polinômioa partir dos seus valores numéricos.
Os polinômios Ll(t), L2 (t) e L3 (t) das considerações acima são chamadospolinômios de interpolação de Lagrange determinados por O, 1 e 2.
Nota: Se tomarmos outros três pontos, em vez de O, 1 e 2, obteremos outrospolinômios de Lagrange. Por exemplo, para os pontos -1, O e 1 os polinômios deLagrange são:
L I (2) = O
~(2) = O
L3 (2) = 1
2 ) (1 2 1)+ 4(-t + 2t - 6 2 t - 2 t =
L I (1) = O
~(l) = 1
L3 (1) = O
LI (O) = 1
~(O) = O
L3 (0) = O
Exemplo - Determinar f(t) sabendo que f(O) = 2, f(l) = 4 e f(2) = -6.
Solução
f(t) = 2 ( ; t2 - ~ t + 1)
= -6t2 + 8t + 2.
300
1 1 3Ll(t) = 2(t - 1)(t - 2) = 2"t2 -2 t + 1
~(t) = - t(t - 2) = -t2 + 2t
1 1 1L3 (t) = 2 t (t - 1) = 2 t2 - 2t
O conjunto {Ll(t), ~(t), L3 (t)} é uma base de P2 (lR) o que é fácil verificar edeixamos como exercício. Se f(t) é um polinômio de grau ~ 2, então f(t) é combinação linear de LI (t), L2 (t) e L3 (t):
f(t) = aLI(t) + b~(t) + cL3 (t).
Agora, quanto valem os coeficientes a, b e c? Fazendo sucessivamente t = O,t = 1 e t = 2 obtemos:
f(O) = aLI (O) + b~(O) + cL3 (0) = a
f(l) = aLI (1) + bL2 (1) + cL3 (1) = b
f(2) = aLI (2) + bL2 (2) + cL3 (2) = c
e portanto f(t) = f(O)LI(t) + f(I)L2 (t) + f(2)L3 (t), isto é, f(t) é combinaçãolinear de LI (t), ~ (t) e L3 (t) com coeficientes iguais aos valores numéricos f(O),f(l) e f(2).
2. Exprimir o polinômio [(t) como combinação linear dos polinômios de Lagrange do exercício 1 nos seguintes casos:
a) [(t) = t2;
b) [(t) = t2 + t + 1;
c) [(t) = 1.
303
1 2
nf(t) = L f (tk) Lk(t).
k=o
4. Calcular a área indicada no desenho utilizando os polinômios de Lagrange (veja o exercício 1 - b). Repetir o exercício, tomandoo polinômio f(t) = 3t2 + t + 1.
3. Determinar os polinômios de Lagrange correspondentes aos valores (to, ti> t2' t3' t4)
= (O, 1, 2, 3, 4) e exprintir o polinômio f(t) = t4 + t3 - t2 - t + 1 como combinaçãolinear deles. Repetir o exercício com f(t) = 3t4 ~ 2t3 + t 2 - t + 5.
'i!r t - tjLi(t)= II -- (i= 1, ... ,n)
j=0 ti - tjj#i
1. Determinar os polinômios de Lagrange correspondentes aos valores seguintes:
a) (to, ti, Í2) = (O, 1, 2);
b) (to, ti, t2) = (1, 2, 3);
c) (to, ti> t2) = (4, 5, 6).
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
(Verifique que Li(tj) = Oij.)
Agora a seguinte questão: como exprimir um polinômio como combinaçãolinear dos polinômios de Lagrange? Seja f(t) = aoLo(t) + aiLI (t) + ... + anLn(t)onde ao, aI> , an são números reais a serem determinados. Mas, fazendo t = tj(j = 0,1, , n),
f(tj) = aoLo(tj) + alLl(tj) + ... + anLn(tj)
ou seja, f(tj) = aj. Assim chegamos à fórmula:
Lo(tn) = O
LI (tn) = O
LO(t1) = O
LI (ti) = 1
Lo(to) = 1
L 1(tO)=0
aOOOj + al0lj + ... + anÔnj = O
e daí resta aj = O pois Oij = O para i =1= j.•
302
Defmição 2 - Os polinômios Lo(t), LI (t), ... , Ln (t) das consideraçõesacima (que formam uma base de Pn(IR» são chamados polinômios de Lagrangecorrespondente à seqüência de pontos:
(to, tI> ... , tn)·
Vejamos como são esses polinômios. Por exemplo Lo(t) deve ser da forma:
Lo(t) = (t - t1)(t - t2 ) ••• (t - tn)b
onde b é determinado pela condição Lo(to) = 1. O resultado obtido será:
n . t - tj (t - td(t - t2 ) ••• (t - tn)Lo(t) = lT -- =j=1 to - tj (to - t1)(tO- t2 ) ••• (to - tn)
Analogamente teremos:
ou seja:
Demonstração - Como são n + 1 polinômios e dim Pn(R) = n + 1, bastaprovar que eles formam um conjunto L.I. De fato, supondo
aoLo(t) + alLl (t) + ... + anLn (t) = O
teremos em tj (j = O, 1, ... , n):
aoLo(tj) + alLl(tj) + ... + anLn(tj) = O
Teorema 2 - Os polinômios Lo(t), LI (t), ... , Ln(t) formam uma base dePn(lR).
ou, resumidamente, Li(tj) = Ôij, onde Ôij = 1 se i = j e ôij = O se i =1= j.
Depois de termos introduzidos os três polinômios de Lagrange correspondentes a três valores da variável t, vamos generalizar os resultados obtidos para ocaso de n polinômios e n valores.
Sejam to, tI> ... , tn, n + 1 números reais, dois a dois distintos. Conforme oteorema 1 existem polinômios Lo (t), LI (t), ... , Ln(T) de grau" n e tais que:
*5. Sejam Lo(t), Ll (t), ... , Ln(t) os polinômios de Lagrange correspondentes a (to, t l ,· .. ,tn)·Provar que Lo(t) + Ll(t) + ... + Ln(t) = 1 e que t = toLo(t) + tlLl(t) + ... + tnLn(t).
6. Sejam a, b, c, d números reais distintos dois a dois. Provar que existe um polinômio de grau,,;;; 2 tal que:
f(-I) = a, f(1) = b, f(3) = c e f(O) = d
se, e somente se, 3a + 6b - c - 8d = O.
7. Dado um polinômio f(t) = ao + alt + ... + amtm e uma matriz A E Mn(lR), indica-sepor f(A) a matriz aoIn + al A + ... + amAm E Mn(IR). Calcular f(A) nos seguintes casos:
( 20
01)a) f(t)=t+l;
( °1 01)b) f(t) = tZ + t + 2;
(0
01 O~ 031)c) f (t) = 3tZ + t - 1.
8. Sejam f(t) = (t - l)(t - 2)(t - 3) e
A~ (
2 O O O
)O 2 O O
O O 3 O
O O O
a) Provar que f(A) =o;
b) Sejam Ll(t), Lz(t) e L3(t) os polinômios de Lagrange correspondentes a (l, 2,3) (verexercício 1) e sejam as matrizes Ei = Li(A)(i = 1,2, 3). Calcular Elo Eze E3;
c) Provar que El + Ez + E3 = 4, E[ = Ei(i = 1, 2, 3) e EiEj = o se i *- j;
d) Mostrar que A = El + 2Ez + 3E3.
9. Seja (to. ti> ... , tn) uma seqüência de números reais dois a dois distintos e (SO, Si> •.• ,sn)uma seqüência qualquer de números reais. Provar que existe um, e apenas um, polinômiof(t) , de grau";;; n, tal que f(ti) = Sj(i = 0,1, ... ,n).
Sugestão: use os polinômios de Lagrange.
10. Achar o polinômio de grau ,,;;; 3 tal que f(O) = 1, f(l) = 5 e f(2) = 6, utilizando o exercício anterior.
304
CAPíTULO 4Seqüências Recorrentes Lineares
1. SEQÜÊNCIAS RECORRENTES
Seja R o conjunto dos números reais e N = {O. 1,2, ...} o conjunto dosnúmeros naturais. Uma função f{!: N -+ R chama-se seqüência (de números reais) eem geral indicaremos, wna seqüência por seus valores
f{! = (f{! (O), f{! (I), f{! (2), ... , f{! (n), ... )
Dadas duas seqüências f{!: N -+ R e a: N -+ R, chama-se soma de f{! e a a seqüênciaf{! + a: N -+ R tal que:
(f{! + a}(n) = f{!(n) + a(n), Vn E N.
Sendo f{! uma seqüência e À E R, Àf{! é a seqüência dada por (Àf{!)(n) = Àf{!(n).Assim o conjunto R
oode todas as seqüências de números reais está munido de
wna adição e wna multiplicação por escalares e o leitor poderá verificar semdificuldades que ele é um espaço vetorial sobre R. No entanto R 00 não é wnespaço de dimensão finita, de modo que a ele não se aplicam os resultados obtidosnos capítulos 11 e III da primeira parte do livro. Mas já exploramos profundamenteos espaços vetoriais R n , cuja dimensão é n, e vale notar que R n é isomorfo aosub-espaço de R 00 formado pelas seqüências da forma:
f{! = (xo, Xi> Xz, ... , Xn_l' O, O, ... ),
isto é, aquelas cujos termos são nulos a partir do índice n (inclusive). O isomorfismo é a transformação dada por:
(xo, Xl,"" Xn_l ) E Rnf-----+ (Xo, Xl,"" Xn_l> O, O, ... ) E R OO
Portanto o R n pode ser visto como sub-espaço vetorial de IRoo desde que se identifique cada (xo, ... , Xn- l ) E R n com (Xo, ... , Xn_l , O, O, ...) E IRoo
• Nestecapítulo vamos estudar outros sub-espaços de R 00, também de dimensão finita, eirriportantes do ponto de vista das aplicações.
Definição 1 - Uma seqüência (Xij, Xl, ... , Xn, ...) chama-se seqüênciarecorrente linear de ordem 2 se existem a, b E R com b =1= °tais que x n+l == axn + bXn _l para todo n ~ 1. Mais geralmente, se xn = an-lxn-l + ++ an_pxn _p verifica-se para todo n ~ p e an _p =1= O, a seqüência (xo, ... ,Xn, )
305
é recorrente linear de ordem p. Os números an-l' ... , an _p são os coeficientesda relação de recorrência.
Exemplos
1) As progressões aritméticas são seqüências recorrentes lineares de ordem 2,pois Xn+l = 2xn - xn- l para todo n ~ 1. Os coeficientes são a = 2 e b = -1.
2) As progressões geométricas são recorrentes lineares de ordem 1, pois
Xn+l = qxn·
3) As seqüências de Fibonacci (dadas por Xn+l = Xn + Xn-l, V- n ~ 1) sãorecorrentes lineares de ordem 2 com coeficientes a = 1 e b = 1.
Teorema 1 - Fixando a, b E IR, o conjunto de todas as seqüências recorrentes lineares de ordem 2 com coeficientes a e b é um sub-espaço vetorial de IR".
Demonstração - Seja S o conjunto das seqüências recorrentes lineares de
ordem 2 com coeficientes a e b e consideremos (Xo, Xl, ...) e (Yo, Yl' ...) em S
e a E IR. Então:
Xn+l + Yn+1 = (axn + bXn_l) + (aYn + bYn-l) =
= a(xn + Yn) + b(Xn_l + Yn-d e
aXn+l = a(axn + bXn_l) = a(axn) + b(aXn_l)
\:f n ~ 1, o que vem provar que S é sub-espaço vetorial de IR".
Deixamos ao leitor a tarefa de enunciar e provar o teorema 1 para seqüênciasde ordem p.•
Um problema que se apresenta agora é o de calcular uma base de S. Antesde resolver o. caso geral, vejamos dois exemplos, um com ordem 2 e outro comordem 1.
Exemplo 1 - Tomemos o sub-espaço das progressões aritméticas defmidaspor xn+1 = 2xn - Xn-l' Vamos calcular os termos X2, X3, ... em função de
:>co e Xl' Temos
X2 = 2Xl - XO, X3 = 2X2 - Xl = 2(2xl -:>co) - Xl = 3Xl -.2xo,
'4 = 2X3 - X2 = 2(3xl - 2xo) - (2Xl - xo) = 4Xl ~ 3Xo·
Por indução teremos a fórmula
Xn = nXl - (n - l)Xo.
306
A seqüência é, então:
= (xo, xl, 2Xl - Xo, 3Xl - 2Xo, 4Xl - 3xo, ,nxl - (n - l)xo, ... ) == (xo, 0, -Xo, -2Xo, -3xo, ... , -(n - l)xo, ) + (O, Xl, 2xl, 3xl> ...
nXl> ... ) = xo(l, 0, -1, -2, -3, ... , -(n - 1), ... ) + Xl (O, 1, 2, 3,
... , n, ... ).
Observemos atentamente os cálculos acima. Em primeiro lugar, Xo e Xl determinam univocamente o termo Xn por meio de:
Xn = nXl - (n - l)Xo.
Bastam portanto os dois primeiros termos para determinar toda a seqüência. Emseguida, usando a igualdade acima foi possível decompor uma seqüência (Xo,Xl, ...) como combinação linear, com coeficientes Xo e xl> das seqüências:
ai = (1,0, -1, -2, -3, ... , - (n - 1), ... ) e
a2 = (O, 1,2, ... , n, ... ).
Estas duas seqüências são progressões aritméticas (de razão -1 e 1, respectivamente) e são vetores (= seqüências) linearmente independentes pois nenhuma delasé igual à outra multiplicada por um número real.
Conclusão: S tem dimensão 2 e {ai ,a2} é uma base de S.
Exemplo 2 - Consideremos o conjunto S das seqüências:
a = (Xo, Xl, ... , Xn, ... )
em que Xn+l = qXn (q E IR, fixo).
Vamos calcular xn em função de xo. Temos:
Xl = qxo, X2 = qXl = q(qXo) = q2 xo , X3 = qX2 = q(q2 XO) == q3xo, ... , xn = qnXo .
Se q = °a seqüência é a = (xo, 0, 0, ... ) e neste caso o conjunto S das seqüênciasconsideradas identifica-se com IRl = IR. Seja então q =1= O. Então:
a = (Xo, qXo, q2 Xo , ... , qnxo , ... ) = Xo(l, q, q2, , qn, ... ).
Conclusão: S tem dimensão 1 e {ad = {(l, q, q2, )} é uma base de S.
Voltemos agora ao caso geral onde S é o conjunto das seqüências a = (xo,Xt. ... , xn , ... ) em que Xn+l = aXn + bxn_t. isto é, seqüências recorrenteslineares de ordem 2. Vamos procurar uma base de S formada de seqüências daforma a(n) = qn, com q =1= O. Sendo qn uma solução, devemos ter qn+l =
307
= aqu + bqU-l, V n ;;;;. 1. Logo, dividindo por qU-l, vem:
q2 = aq + b
ou, o que é equivalente,
q2 _ aq - b = O.
é o n-ésimo termo de uma seqüência de Fibonacci. Se tomarmos, por exemplo,
Xo = O e Xl = 1 teremos:
(1 + . f5)n(1 . f5)n 1X
n= v.J _ - v.J = __ ((1 + y'S)n _ (1 _ y's)n).
2nys 2n~ 2n~
Caso 1: a2 + 4b > O.
Neste caso existem números reais distintos entre si ql e ~ que verificam a igualdade q2 - aq - b_ = O. Consideremos as seqüências 01 (n) = qf e 02 (n) = ~n.
S~ndo b =1= O, entao ql =1= O e ~ =1= O e como ql e ~ são distintos entre si asseqüências 01 e 02 são linearmente independentes. Se mostrarmos que toda seqüência de S é combinação linear de 01 e 02, ficará provado que {aI. 02} é basede S e portanto dim S = 2.
Seja 0= (Xo, Xl,' ..) E S; procuremos Cl, C2 E]R de maneira que 0= CIOl ++ ~02' Ora, isto equivale a:
{oCO) = CIOl(O) + ~02(0)
a(1) = CIOl(l) + C2a2(1)
ou seja, a
Observe que, embora não pareça, Xn é inteiro, pois:
o = (O, 1, 1,2,3,5,8,13,21, ... ).
Caso 2: a2 + 4b = O
Neste caso a equação q2 - aq - b = O admite a raiz real dupla q = ~. Conside
remos as seqüências:
e
É fácil verificar que 01 e 02 são vetores (= seqüências) linearmente independentes.Mostraremos que {OI> 02} é uma base de S. Seja o E S; procuremos CI. C2 E ]R
tais que
e
e
ou, ainda:
ou seja:
Então para n = O e n = 1 devemos ter:
0(0) = CIOl(O) + C2 02(0)
0(1) = CIOl(l) + C2 02(1)
Daí vem que:
e portanto
Xl - Xo~ + Xoql - Xl0= 01 O
ql - q2 ql - ~ 2
Exemplo - As seqüências de Fibonacci são aquelas que satisfazem X- + .t' 1 n+l- xn Xn-l lS o e, aque as em que a = b = 1. Neste caso:
1 + ysa2 + 4b = 5, ql = --~
2
Xl - XoqPortanto: O = Xo0l + ---- 02'q
O exemplo mais importante é o das progressões aritméticas definidas por
XU+l = 2Xn - xn - l , Neste caso:
a2 + 4b = 4 - 4 = O, q = ~ = 1 e2
308 309
aI = (1, 1, 1, ... ) e a2 = (O, 1, 2, ... )
Daí para toda progressão aritmética a = (xo, xI> ... ) teremos:
a = xo(1, 1, ... , 1, ... ) + (Xl - xo)(O, 1,2, ... ).
Caso 3: a2 + 4b < O.
Quando isto acontece, existem duas raízes complexas conjugadas da formap(COS'fi + i sen 'fi) e p(cas 'fi - i sen 'fi). As seqüências aI (n) = pn cos (n'fi) e a2 (n) == pn sen (n'fi) pertencem ambas a S, são linearmente independentes e geram S.As duas primeiras afirmações ficam a cargo do leitor. Vejamos a terceira. Sejaa E S e façamos a = clal + ~a2' Então:
a(n) = Clpn cos (n'fi) + ~p!l sen (n'fi), Vn;;;' O.
Tomando n = 0,1 temos:
a(O) = Cl
a(l) = CIP cOS'fi + C2P sen 'fi
e daí se tira que
a(l) = a(O) p cos 'fi + C2 P sen 'fi
Portanto:
~ = a(1) - a(O) p cos 'fip sen 'fi
Então
a(l) - a(O) p cos 'fia(n) = a(O)pn cos (n'fi) + pn sen (mp).
p sen'fi
Nota: Os mesmos métodos podem ser usados para estudar as seqüências recorrentes lineares de ordem p ;;;. 3. Se, por exemplo, tivermos Xn+l = 2xn _l + xn- 2podemos procurar soluções da forma a (n) = qn. Levando esta igualdade à relaçãoque existe entre os termos da seqüência obteremos:
de onde se tira que:
q3 = 2q + 1, ou seja, (q + 1)(q2 - q - 1) = O.
As raízes dessa equação são -1, ~ (1 + 0) e ~ (1 - 0) e as seqüências"
310
1 1 rcal(n) = (_I)n, a2(n) = 2n (1 + 0)n e a3(n) = 2n (1 - V S)n formam uma
base do espaço vetorial S. A solução geral é
a = clal + ~a2 + C3G3 e
a(n) = cl(-I)n + C2 ;n (1 + .;5)n + C3 ;n (1 - 0)n
é a expressão geral das seqüências sujeitas à condição Xn+l = 2Xn-l + Xn-2' Paradeterminar as constantes Cl, C2 e C3 que produzem uma determinada seqüência,basta lembrar que o sistema linear
a(O) = Cl + ~ + C3
1+0 l-y'Sa(1) = -Cl + 2 ~ + ---2-·- C3
. (1 + .;5)2 (1 - 0)2a(2) = Cl + 4 C2 + 4 C3
determina univocamente Cl, C2 e C3'
2. APLICAÇÃO
Um problema de Química cuja resposta está ligada às seqüências recorrentes
lineares é o seguinte:
O hidrogênio (H) e o oxigênio (O) reagem segundo a lei:
2H2 + O2 -----+ 2H2O "
Segundo os químicos essa reação é, em verdade, mais complexa, pois a presençados radicais OH, O e H produz três reações ao mesmo tempo:
(1) O + H2 ---+ OH + H
(2) OH + H2 ---+ H20 + H
(3) H + O2 ---+ OH + O
Estas reações se processam segundo o seguinte esquema:
311
xo ~ 1 x, ~O x, ~O x, ~ 1 x, ~ 1
Yo ~O Y, ~1 Y, ~ 1 Y, ~ 2 Y, ~3
'o ~O " ~ 1 " ~ 2 " ~2 " ~4
e, pelas condições iniciais Xo = 1, Xl = O, X2 = 1, teremos os valores de CI, C2, C3como solução do sistema
1 = CI + C2 + C3
1 +..j5O = -CI + 2 C2 +
(1 + ..j5)21 = CI + 4 ~ +
Esse sistema linear, onde as incógnitas são seqüências, é resolvido assim:
Xn+l = Zn = Xn _l + Yn-l = Xn-l + xn- 2 + Zn-2 == Xn-l + xn - 2 + Xn-l = 2Xn_1 + xn - 2·
Assim, a seqüência que dá o número de radicais O satisfaz a relação:
Xn+l = 2Xn_1 + x n _2
que já estudamos. Conforme já vimos
n=4n=3n=2n = 1n=O
o H,
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
e) a = 2 e b = -5;
f) a = 6 e b = -9;
g) a = O e b = -1;
h) a = O e b = 1.
(Admite-se que as três reações têm a mesma velocidade, demorando uma unidadede tempo para completar-se, e que os reagentes existem sempre em quantidadesuficiente). No instante t = O, existe apenas o radical O. Calculamos a seguirquantos radicais O, H e OH existem nos estágios sucessivos correspondentes aosinstantes n = O, 1, 2, ...
Sejam
Xn = número de radicais O no instante n;
Yn = número de radicais OH no instante n;
zn = número de radicais H no instante n.
Então a terceira reação H + O2------+ OH + O diz que Xn+l = zn, pois um radical O aparece no instante n + 1 quando existe um radical H no instante n.A primeira e a terceira reação dizem que Xn + zn = Yn+1 e a primeira e segundareação dizem que zn+l = Xn + Yn.
Todo o processo é então descrito por:
Xn+l = zn
Xn + Zn = Yn+l
Zn+l = xIÍ. + Yn, Vn E N.
com a condição inicial Xo = 1, Yo = Zo = O.
Deixamos ao leitor a tarefa de calcular os valores CI, C2 e C3 para obter otermo geral da seqüência (xn), que é o número de radicais O no instante n. Ficapara o leitor demonstrar que também:
Yn+l = 2Yn-1 + Yn-2 e Zn+l = 2zn_1 + Zn-2'
Assim as seqüências (xn>, (Yn) e (zn> estão no mesmo espaço vetorial de seqüênciasrecorrentes lineares.
1. Seja S o sub-espaço de R oo fonnado pelas seqüências (xo, Xl, ... , xn, ...) tais quexn + í = aXn + bXn _ I, Achar uma base de S nos seguintes casos:
a) a = 1 e b = 2;
b) a = -1 e b = 2;
c) a = 2 e b = 1;
d) a = 1 e b = -3;
312 313
2. Seja S o subconjunto das seqüências (xo, X" .•. , xn, ...) E IR 00 tais que Xn + 3 == 6xn + 2 -:- llxn +! + 6xn Vn E N. Provar que S é um sub-espaço vetorial de IR
ooe
achar uma base desse sub-espaço.
3. Mesma questão, com relação a xn+4 = 5xn+3 - 5xn+2 - 5xn+! + 6xn, Vn E N.
4. Observar que:
n = 3 = 1 + 1 + 1 = 1 + 2 = 2 + 1;
n = 4 = 1 + 1 + 1 + 1 = 1 + 1 + 2 = 1 + 2 + 1 = 2 + 1 + 1 = 2 + 2.
CAPíTULO 5Equações e Sistemas de Equações
Diferenciais Lineares comCoeficientes Constantes
O "3" pode ser obtido como soma de "1" e "2" de três maneiras distintas.
O "4" pode ser obtido como soma de "1" e "2" de cinco maneiras distintas.
Faça o mesmo com relação a 5, 6 e 7.1. OPERADORES DIFERENCIAIS
Seja IR a reta real e seja Coo (IR) o conjunto de todas as funções reais definidas em IR e que admitem derivadas de todas as ordens. Esse conjunto é um espaço vetorial sobre IR pois sendo f(t) e g(t) duas funções que pertencem a CO<.> (IR) esendo a um número real, então f(t) + g(t) e a f(t) também pertence a Coo (IR) e,além disso, os axiomas da definição de espaço vetorial podem ser verificados demaneira análoga ao que foi feito para o espaço das funções contínuas. No entantoCoo (IR) não é um espaço vetorial de dimensão finita.
Se f(t) E C= (IR) então para todo n ;:: O, f'(t), f"(t), ... , f(n)(t) também pertencem a C= (IR) e portanto toda combinação linear aof(t) + a]f'(t) + ... anf(lI)(t)é um elemento de C= (IR).
Definição 1 - A aplicação que associa a cada f(t) E C= (IR) a função
aof(t) + a1f'(t) + ... + anf(n)(t), com an ~ O,
chama-se operador diferencial de grau n com coeficientes constantes ao, ... , an0 Serepresentarmos por D o operador linear dado por D(f(t)j = f'(t), então o operadordiferencial definido acima é aoI + a]D + a2D2 + ... + anDn (I = operador idêntico) ou apenas ao + a]D + ... + anDn, como é costume representar. Notemosque um operador diferencial é necessariamente linear.
Exemplos
1) Consideremos o operador diferencial 2 - 3D. Aplicando esse operadora uma função f(t) obtemos a função seguinte: (2 - 3D)(f(t» = 2f(t) - 3D(f(t»= 2f(t) - 3f'(t). Se, por exemplo, f(t) = 5e3t então
(2 - 3D)(5e3t) = 2(5e3t) - 3(I5e3t) = - 35e3t •
315
2t3 - 2 - 3(Jt2)(2 - 3D)(t3 - 1)
t3 - 1, entãoSe f(t)
314
*5. Seja an o número de seqüências de "1" e "2" cuja soma dos termos é n. Provar que an + 1 =
= an + an _ 1. Deduzir a expressão de an·
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
5. Provar que toda função da forma keat, onde k E IR, está no núcleo do operador D - a.
4. Provar que toda combinação linear(com coeficientes em IR) das funções sen wt ecos wtpertence ao núcleo de D2 + W2.
2. ÁLGEBRA DOS OPERADORES
Sejam os operadores diferenciais LI = ao + alD + ... + anDn e L2 == bo + b ID + ... + bmDm, onde n .,:;;; m. Conforme já vimos anteriormente o operador soma LI + L2 é definido por (LI + ~)(f(t)) = LI (f(t)) + ~(f(t)) edaí decorre que:
LI + L2 = (ao + bo) + (ai + bl)D + ... + (an + bn)Dn ++ bn+lOU+1 + ... + bmDm.
Portanto a soma de dois operadores diferenciais é um operador diferencial e essasoma se calcula de maneira análoga à soma de polinômios. Por exemplo, se LI == 5D3 + 3D2 - 4D + I e L2 = D 4 - 3D3 + D, então
LI + L2 = D4 + 2D3 + 3D2 - 3D + 1.
De maneira análoga, se À E lR e L = ao + alD + ... + anDn , então o produto ÀL do operador L pelo número real À é o operador ÀL = Àao + ÀalD ++ ... + ÀanDn. Por exemplo se L = 5D3 + 3D2 - 4D + I, então 5L = 25D3 ++ 15D2 - 20D + 5.
Se LI = ao + alD + ... + anDn e L2 = bo + blD + ... + bmDm vejamoscomo se obtém LI o L2. Da definição de composta temos para toda função f(t)de C" (lR):
(LI o L2)(f(t)) = LI (L2(f(t)) = LI (bof(t) + blf'(t) + ... +bmf(m)(t)) == LI (bof(t)) + LI (blf'(t)) + + LI (bmf(m)(t)) == boLI(f(t)) + bILI(f'(t)) + + bmLI(f(m)(t)) =
= bo(aof(t) + alf'(t) + + anf(n)(t)) + bl(aof'(t) + alf"(t) ++ ... + anf(n+l)(t)) + + bm(aof(m)(t) + ... + anf(n+m)(t)) == boaof(t) + (bOal + blao)f' (t) + (bOa2 + blal + b2ao)f"(t) ++ ... + bmanf(n+m)(t)
e daí reconhecemos facilmente que LI o L2 também é um operador diferencialque é definido por:
LI o ~ = boao + (bOal + blao)D + (bOa2 + blal + b2ao)D2 ++ ... + bmamDm+n
que corresponde ao produto:
d) D2 + w2;
e) D2 + w3.
3. Aplicar à função cos wt os operadores:
a) D;
b) D2;
c) D2 + w;
2. Aplicar os operadores lineares abaixo à função sen wt:
a) D; d) D2 + w2;
b) D 2; e) D 2 + w3.
c) D2 + w;
2) Consideremos o operador diferencial D2 + w 2, onde w E lR e a função
f(t) = sen wt. Então
(D2 + ( 2)(senwt) = D2(senwt) + w2(sen wt) = - W2 sen wt + w 2senwt =0.
Logo sen wt pertence ao núcleo de D2 + W2.
3) A função f(t) = eat , onde a E lR, está no núcleo do operador D-a pois:
(D - a)(eat) = D(eat) _ aeat = aeat _ aeat = O.
6. Demonstrar que se uma função f(t) está no núcleo de D - a, então f(t) é dada porf(t) = keat, onde k é um número real.
Sugestão: Considere a função f(Oe- at e mostre que ela é constante.
1. Aplicar o operador diferencial D3 + D2 + D - 1 às seguintes funções:
a) sen t; f) t;2
b) cos t; g) et ;
c) e2\ h) t2 + t + 1;
d) sen t + cos t; i) t3 + t2 + t - l.
e) 5 + e2t ;
316 317
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
e L2 == D. Calcular:
d) (LI + ~)3;
e) (LI + L2)n.
L (f(t)) = h(t)
(1)L(y) = h(t)
Definição 2 - Uma equação· do tipo
As equações diferenciais lineares com coeficientes constantes aparecem emnumerosos problemas de outras ciências, o que as torna bastante importantes.Na Física, por exemplo, elas aparecem em Mecânica e Radioatividade. Em Biologia, no problema de crescimento de populações. O cálculo das soluções de taisequações é feito inteiramente dentro da Álgebra Linear. As equações diferenciaislineares fazem parte dos problemas que deram origem â Álgebra Linear.
3. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES COMCOEFICIENTES CONSTANTES
é verdadeira chama-se solução da equação diferencial. Se, a função h (t) é identicamente nula, a equação (1) assume a forma mais simples
L(y) = O.
onde L = ao + alD + ... + anDn é um operador diferencial de grau n comcoeficientes constantes, h(t) é uma função dada em Coe (lR) e yé a função incógnita (também em Coe (lR)), chama-se equação diferencial linear de grau n comcoeficientes constantes. ExplicitaÍnente a equação (1) se apresenta assim:
aoy + alY' + a2Y" + ... + any(n) = h (t).
Toda função f(t) tal que
Quando isso acontece as soluções da equação são as funções que estão no núcleode L. Por isso é importante saber calcular o núcleo de um operador. Dada a equaçãodiferencial L(y) = h(t) a equação L(y) = O chama-se equação diferencial homogênea associada ã equação dada.
Teorema 1 - Seja L(y) = h (t) uma equação diferencial linear e L(y) = Oaequação homogênea associada. Se f(t) é uma solução de L (y) = h (t) e se N éo núcleo de L, então:
f(t) + N = {f(t) + g(t) I g(t) E N}
é o conjunto das soluções de L (y) = h (t).
Demonstração, - Em primeiro lugar, se g(t) E N, então f(t) + g(t) é umasolução de L(y) = h(t) pois:
L(f(t) + g(t)) = L (f(t)) + L(g(t)) = h(t) + O = h (t).
2. Sejam LI == 3D2 + 1
a) Lf;
b) L[;
c) L?;
3. Qual é o núcleo do operador D? E do operador Dn?
7. Achar todas as funções que estão no núcleo do operador D2 e cujo valor para t = 2 seja 5.Desenhar em um mesmo gráfico algumas dessas funções.
Exemplo - Sejam LI = D2 - 3D + 1 e ~ = 3D2- 1. Então:
LI~ = (02 - 3D + 1)(3D2 - 1) = 3D4- D2 - 9D3 + 3D + 3D2 - 1 =
= 3D4- 9D3 + 2D2 + 3D - 1 e
L1L1 = (02 - 3D + 1)(02 - 3D + 1) = D4- 6D3 + 1m2 - 6D + 1.
5. Achar uma função que esteja no núcleo do operador D - 2 e cujo valor para t = Oseja 4.Fazer o gráfico dessa função.
4. Sejam LI e L2 dois operadores diferenciais com coeficientes constantes. É verdade queLI~ == L2LI?
6. Achar uma função que esteja no núcleo do operador D2, cujo valor para t = Oseja 3 e tal
que o valor de sua derivada em t = Oseja 1. Fazer o gráfico dessa função.
1. Sejam LI == SD2- 4D + 1, L2 == D - 3 e L3 == DS
- D3. Calcular:
a) LI + ~ + L3; e) LIL3;
b) 2L1 - L2 + L3; f) L1L2L3;
c) LI - ~ + L3; g) LfL2.
d) LIL2;
efetuado como se os operadores diferenciais fossem polinômios ordinários. Poressa razão neste caso é comum indicar-se por L1L2 a composta e dar a ela o nomede produto dos operadores LI e L2 (é o que faremos a seguir). Observemos que ograu de LI~ é a soma dos graus de LI e ~.
318 319
-Por outro lado, se k(t) é uma solução qualquer de L(y) = h(t), então
L(k(t) - f(t)) = L (k(t)) - L (f (t)) = h(t) - h(t) = O
o que mostra que a função g(t) = k(t) - f(t) está no núcleo N de L e daí
k(t) = f(t) + g(t) E f(t) + N. -
d) f" = -f;
e) f H + f = O.
3. Achar a solução geral das seguintes equações diferenciais:
a) f' = O; c) f' = f;
b) f(n) = O; d) f' = af(a E IR).
Explicação
O teorema que acabamos de provar nos ensina um fato muito importante.Se quisermos achar todas as soluções da equação (1), podemos proceder em trêsetapas:
1) Procuramos uma solução particular f(t) de (1).
2) Determinamos o núcleo do operador diferencial L.
3) Somamos cada função do núcleo de L com a solução particular f (t) queencontramos na primeira etapa.
Admitiremos sem demonstração o seguinte resultado:
"O núcleo de um operador diferencial L = ao + alD + ... + anDn, coman "* O, é um sub-espaço vetorial de Cco (lR) de dimensão finita igual a n." Ademonstração desse resultado está acima do nível deste livro. No próximo parágrafo daremos métodos para resolver equações homogêneas L(y) = O. A resoluçãodas equações não homogêneas exige resultados de análise um pouco mais elaborados, razão pela qual não será vista neste livro.
4. Mostrar que f(t) = t é uma solução de y" + Y = f(t).
5. a) Provar que as funções sen t ecos t são ambas soluções de yH + y = O.
b) Provar também que sen t ecos t são linearmente independentes.
c) Achar a solução geral de y" + y = O.
d) Achar todas as soluções da equação y" + Y = t.
6. Seja L = D2 - 2D + 2.
a) Provar que as funções fi (t) = etcos t e f2( t) = etsen t são soluções da equação dife-rencial L(y) = O.
b) Provar que fi (t) e fit) são linearmente independentes.
c) Qual é a solução geral da equação y" - 2y' + 2y = O?
d) Dentre as soluções existe uma, e apenas uma que satisfaz as condições f(O) = 1 ef'(0) = -1. Ache-a.
4. EQUAÇÕES HOMOGÊNEAS DE SEGUNDA ORDEM
Neste parágrafo vamos calcular as soluções da equação diferencial homogênea aoy + alY' + a2Y" = 0, onde a2 "* O. Comecemos com o seguinte teoremaválido para operadores lineares de qualquer grau. '
Teorema 2 - Sejam Li e Lz operadores diferenciais com coeficientes constantes. O núcleo de Li e o núcleo de Lz estão contidos no núcleo de L1Lz.
Demonstração - Suponhamos que f(t) está no núcleo de Li, isto éLi (f(t)) = O. Então:
(L1L2)(f(t)) =(LzL1)(f(t)) = Lz(Lt(f(t))) = Lz(O) = O.
De maneira análoga se completa a demonstração. _
Nota: O teorema 2 pode ser generalizado para um produto LtLz ... Ln (n ;;;. 2)de operadores. Deixamos ao leitor a tarefa de enunciá-lo.
equações diferenciais homogêneas determinadas pelos operadores seguintes:
f) 3D2 - 2D;
g) D2 + W2;
h) D - a;
i) (D - l)(D + 1).d) D + 1;
e) D2 - 3D + 1;
a) D;
b) D2;
c) Dn ;
1. Escrever as
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
b) 3 f H + 2f' + f = O;
c) f(n) + f(n-l) + ... + f' + f = O;
2. Quais os operadores que definem as equações diferenciais seguintes?
a) f H = O;
320 321
Exemplo - Seja a equação diferencial linear e homogênea y" - 4y = O ou,de maneira equivalente, (D2 - 4)(y) = O. Como (D2 - 4) = (D - 2)(D + 2),então o núcleo de D - 2 e o núcleo de D + 2 estão ambos contidos no núcleo N deD2 _ 4. Ora, o núcleo de D - 2 é constituído pelas funções k1e2t e o núcleode D + 2 pelas funções k2e- 2t . Sendo N um sub-espaço vetorial de C" (IR), entãotodas as funções k1e2t + k2e-2t (k1, k2 E IR) pertencem a N. Como dim N = 2 ecomo e2t e e-H são funções linearmente independentes, então essas funçõesformam uma base de N. Assim a solução geral de (02 - 4)(y) = O é
f(t) = k 1e2t + k2e-2t.
Seja agora a equação diferencial de segundo grau: aoy + alY' + a2Y" = O,ou seja (ao + alD + a2D2 )(y) = O. Podemos supor que a2 = I pois ao + al D +
+ a2 D2 e ~ + ~ D + D2 têm exatamente o mesmo núcleo. Consideremos oa2 a2
polinômio do segundo grau ao + alx + x2 cujas raízes no campo complexo são0:1 e 0:2' Conforme veremos as soluções da equação
(ao + alD + D2)(y) = Odependem da natureza bem como da multiplicidade das raízes do polinômio considerado acima. Três casos se apresentam:
Caso 1: 0:1 e 0:2 são números reais e 0:1 "* 0:2'
Neste caso as funções e~2t e e~2t são linearmente independentes, {e~lt}é basedo núcleo de D - 0:1, {e~t} é base do núcleo de D - 0:2 e portanto formamjuntas uma base do núcleo de
(D - 0:1)(0 - 0:2) = D2 - (0:1 + 0:2) + 0:10:2 = D2 + al D + ao·
Neste caso a solução geral de aoy + alY' + y" = O é
kle~lt + k2e~2t
Caso 2: 0:1 e 0:2 são números reais iguais.
Seja o: o valor comum, raiz dupla do polinômio ao + alx + x2. Neste casoe~t é ainda uma solução. Uma segunda solução é a função te~t pois:
ao(te~t) + al (te~t)' + (te~t)" = aote~t + al (e~t + o:teM) ++ (o:e~t + o:e~t + 0:2te~t) = (c? + a10: + ao)te~t + e~t(al + 20:) = O.
Observemos que o zero obtido decorre de que 0:2 + alO: + ao = O, por ser o: umaraiz do polinômio considerado de início, e al + 20: = O, por ser o: uma raizdupla desse mesmo polinômio, devendo portanto anular sua derivada al + 2x.
322
Sendo eM e teM soluções e sendo funções linearmente independentes elas formamuma base do núcleo de (ao + alD + D2) e portanto a solução geral da equação é:
k1ec<t + k2tec<t, ou ainda, (k1 + k2t)e~t.
Caso 3: 0:1 e ~ são números complexos.
. Segue daí que 0:1 e 0:2 são complexos conjugados e portanto se 0:1 = a + bi,então 0:2 = a - bí. Neste caso consideremos as funções f1(t) =eat cos bt e f2(t) == eat sen bt. Afirmamos que se trata de soluções de ao + al y' + y" = O. De fatosendo a + bi raíz da equação ao + alx + x2 = 0, temos: O = ao + al (a + bi) .;+ (a + bi)2 = (ao + ala + (a2 - b2)) + (a1b + 2ab)í.
Logo ao + ala + a2 - b2 = °e alb + 2ab = O. Segue então daí que
ao (eat cos bt) + al (eat cos bt)' + (eat cos bt)" = aoeat cos bt ++ al (- beat sen bt + aeat cos bt) + (_abeat sen bt - b2 eat cos bt ++ a2eat cos bt - abeat sen bt) = (ao + ala + a2 - b2)eat cos bt
- eat sen bt(bal + 2ab) = Oeat cos bt - eat sen bt • O = O.
D . ál ate maneIra an oga prova-se que e sen bt é também uma solução nestecaso. Deixamos como exercício a demonstração de que f1(t) e f2(t) são linearmente independentes. Portanto a solução geral no caso em que as raízes sãocomplexas é
k1eat cos bt + k2eat sen bt ou ainda eat (k1 cos bt + k2 sen bt).
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1. Encontrar a solução geral de cada uma das equações diferenciais:
a) y" + y' - 2y = O; e) 3y" - Sy' + 2y = O;
b) 8y" + 14y' - ISy = O; f) y" - 2y' = O;
c) y" + 4y = O; g) y" - 2y' + Y = O;
d) 2y" - s.J3y' + 6y = O; h) 9y" - 12y' + 4y = O.
2. Determinar a solução da equação diferencial que satisfaz as condições indicadas:
a) y" + 2y = O y(O) = 2 y'(O) = 2...[2;
b) 4y" - 12y' + 9y = O y(O) = I y' (O) = ~ ;
c) y" - 3y' + 2y = O y(O) = 3 y' (O) = 2.
323
3. Sejam m e n números reais distintos entre si. Provar que não existe nenhuma constante ktal que:
4. Encontrar uma equação diferencial linear com coeficientes constantes cuja solução geralseja:a) (k1 + k2t) e-4t;
b) k1e3t + k2e-3t;
c)k1e2t sen 4t + k2e2tcos 4t.
5. Encontrar uma solução da equação (D2 - 2D + 26)(y) = Ocujo gráfico passe pelo ponto(0,2) do plano e cuja tangente nesse ponto tenha inclinação igual a 3.
5. EQUAÇÕES HOMOGÊNEAS DE ORDEM QUALQUER
Neste parágrafo vamos generalizar os resultados que conseguimos obter noparágrafo 4.
Definição 3 - Dada uma equação diferencial homogênea de grau n
aoy + a1Y' + ... + an _1Y(n-1) + y(n) = O
chama-se equação caracteristica dessa equação diferencial a equação algébrica
ao + a1x + ... + an_1Xn-1 + xn = O.
Suas raízes <Xl> ••• , an no campo complexo são chamadas raizes caracteristicasda equação diferencial dada. Notemos que os números complexos a1, ... , an nãosão necessariamente distintos dois a dois e que alguns deles (ou todos) podem serreais.
Exemplos
1) Se a equação diferencial dada é y'II - y" - 4y' + 4y = O, então suaequação característica é x3 - x2 - 4x + 4 = O cujas raízes são 1, 2 e - 2 e daí:
x3 - x2 - 4x + 4 = (x - 1)(x - 2)(x + 2).
2) Dada a equação y'II - 2y" - 4y' + 8y = O, sua equação característicaé x3 - 2x2 - 4x + 8 = O cujas raízes são 2, 2 e -2. Logo x3 - 2x2-4x + 8 == (x - 2?(x + 2).
324
3) No caso y'II + 4y' = O a equação característica é: x3 + 4x = O da qualas raízes são O, 2i e -2i. Logo:
x3 + 4x = x(x - 2i)(x + 2i).
Dada uma equação diferencial aoy + a1Y/ + ... + an_1y(n-1) + y(n) = Ocujas raízes características são a1' a2, ... , an então as suas soluções podem serobtidas da seguinte maneira (acompanhe o caso n = 2 que fizemos no parágrafo 4):
Caso 1: Todos os números reais ~1, a2' ... , an são reais e distintos dois adois.
Neste caso:
ao + a1 D + ... + an_1Dn- 1 + Dn = (D - (1)(D - (2) ... (D - an)
e como o núcleo de D - ai está contido no núcleo N de ao + a1 D + ... + Dn ,todas as funções eO!lt , e0!2t, ... , eO!nt, estão em N. Como elas são L.I. e dim N = n,podemos afirmar que essas fW1ções formam uma base de N. Assim a solução geralda equação neste caso é
k 1eO!lt + ... + kneO!nt onde k1, . " ,kn E R.
Caso 2: Todos os números a1, a2' ... , an ,são reais mas não são todosdistintos dois a dois.
Neste caso, se por exemplo a1 = ~ = a3 = a é uma raiz de multiplicidade 3as funções eO!t, teo!t e t2eO!t são soluções linearmente independentes. '
Exemplos
1) Resolver ylll - 3y" + 3y' - Y = O.
Neste caso a equação característica é x3 - 3x2 + 3x - 1 = (x - 1)3 = Ocujas raízes são todas iguais a 1. A solução geral é k1et + k2tet + k3t2et.
2) Resolver y(4) + 6y/II + 5y" - 24y' - 36y = O.
A equação característica é
x4 + 6x3 + 5x2 - 24x - 36 = (x - 2)(x + 2)(x + 3)2.
As raízes características são 2, -2, (simples) e -3(dupla). A solução geral é:
k1e2t + k2e-2t + k3e-3t + k4te- 3t.
Caso 3: Alguns (ou possivelmente todos) dos números a1, a2, ... , an pertencem a C - .IR. Suponhamos a1, a2' ... , a2S-1, a2s sejam esses números e quea1 = a2' a3 = a4, ... , a2S-1 = a2S' Logicamente as raízes aí não alinhadas
325
pertencem a lR. A contribuição de cada raiz real para a solução é uma funçãoexponencial; se for dupla contribui também com uma função do tipo teM. Cadapar de raízes complexas conjugada da forma a ± bi contribui com eat (k 1 cos bt ++ k2 sen bt); se essas raízes conjugadas forem duplas aparecerá mais uma parcelada forma teat (k1 cos bt + k2 sen bt). Para possíveis raízes de ordem maior (reaisou não) é só generalizar o que acabamos de fazer.
Exemplos
1) Resolver y" - 2y' + 10y = O.
A equação característica é x2 - 2x + 10 = O. Suas raízes são 1 + 3i e1 - 3i. A solução geral é então:
y = et (k1 cos 3t + k2 sen 3t).
2) Resolver y'" + 4y' = O.
A equação característica é x3 + 4x = O, cujas raízes são O, 2i e -2i eportanto y = k 1 eo t + eo t (k2 cos 2t + k 3 sen 2t) = k 1 + k2 cos 2t + k 3 sen 2t.
3) Resolver y(4) + 5y" - 36y = O.
A equação característica é:
x4 + 5x2 - 36 = (x2 - 4)(x2 + 9) = O
que tem duas raízes simples, 2 e -2, e duas raízes complexas 3i e -3i. A soluçãogeral é:
y = k 1e2t + k2e-2t + k 3 cos3t + ~ sen3t.
4) Resolver (D2 - 2D + 5)2 (y) = O.
A equação característica é (x 2 - 2x + 5)2 = Ocujas raízes são 1 + 2i (dupla)e 1 - 2i (dupla). A solução geral é
y = et (k1 cos 2t + k2 sen 2t) + tet (k3 cos 2t + k4 sen 2t).
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1. Achar a solução geral de cada uma das seguintes equações:
a) y" + y' - 6y = O;
b) (D2 + 2D - 15)(y) = O;
c) (D3 + D2- 2D)(y) = O;
d) (D3 + 2D2 - 5D - 6)(y) = O;
e) (D4 - 6D3 + 12D2- 8D)(y) = O;
f) (D2 + 6D + 9)(y) = O;
326
g) (D2 - 10D + 25)(y) = O;
h) (D2 - 4D + 13)(y) = O;
i) (D2 + w2)(y) = O(w E IR);
j) (D3 _ D2 + 9D - 9)(y) = O;
2. Sejam a, b, c, d E IR e f uma função. Provar que:
(D - a)(D - b)(D - c)(f) = (D - b)(D - a)(D - c)(f).
3 P f - k at k bt k ct, I - -. fovar que a unçao 1e + 2 e + 3e e uma so uçao da equaçao
(D - a)(D - b)(D - c)(y) = O,
substituindo diretamente e efetuando os cálculos.
6. SISTEMAS DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARESCOM COEFICIENTES CONSTANTES
Consideremos um sistema de n equações lineares em n incógnitas
[~::::~:~..~..:::::::~..~ ~.:~:~::~.~ ..:~~~ ..
UnlXl(t) + Un2X2(t) + + unnxn(t) = x~(t)
onde Xl(t), ... , xn(t) são funções reais (incógnitas) definidas num intervalo I no qualsão diferenciáveis e os uij são números reais dados. Essa é aforma normal dos chamados sistemas de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes, n X n.
Se A = (uij) e X(t) é a matriz coluna
X(t)
327
(3 - t)2(2 - t) - (2 - t)
+ x3(t) x;(t)
xi(t)
+ 3X3(t) = x;(t)
O
3
P • Y(t) P • ("~")cneÀnt
= Clel..1tP I + ... + cneÀntPn
X(t)
3 t O
O 2 -
O
329
Exemplo
Resolver o sistema
= (2 - t)«3 - t)2 - 1) = (2 - t)(t - 2)(t - 4) = (t - 2)2(4 - t)
onde P I, ... , Pn são as colunas de P e portanto vetores próprios, linearmente independentes, da matriz A. Fazendo t = a e impondo que
seja a matriz coluna dada, obteremos cj, ... , cn univocamente.
satisfazendo a condição inicial XI(O) = 1, x2(0) = O e x3(0) = 1.O polinômio característico da matriz A dos coeficientes do sistema é
Os valores próprios são, pois, 1..1 = 2 (multiplicidade 2) e 1..2 = 4 (simples). Os subespaços próprios são V(2) = [(x, Y, -x)lx, z E IRJ de dimensão 2, do qual [(1,O, -1); (O, 1, O)J é base e V(4) = [(x, O, x) Ix E IRJ, de dimensão 1, cuja base maisnatural é (1, O, 1). Assim, a matriz A é diagonalizável e, se
i"I
ffI~
I...iI:
iI
,i
X'(t) = A . X(t)
podemos representar o sistema por
X'(t) =
y;(t) ÀIYI(t)
Y; (t) À2Y2(t)
Estamos interessados em encontrar soluções do sistema que satisfaçam a umadada condição inicial. Ou seja, encontrar uma matriz
F(t)
definindo
onde fl(t), ... , fn(t) são funções diferenciáveis em I, de maneira que se verifiqueF'(t) = A • F(t) e, para um certo ponto a E I, F(a) seja uma dada matriz coluna.
Consideraremos dois casos:(a) A matriz A é diagonalizável.Quando isto ocorre, é possível encontrar uma matriz inversível P, n x n, tal
que P - I • A • P = D é diagonal, com termos da diagonal iguais aos valores próprios de A.
Seja Q = P -I e consideremos a matriz coluna Y(t) = Q • X(t). É claro então que Y'(t) = Q . X'(t) (verifique). Daí Y'(t) = Q • A • X(t). Como porémX(t) = Q-I • Y(t), então Y'(t) = (Q . A • Q-I) • Y(t) ou Y'(t) = (p-I • A• P) . Y(t) = D • Y(t). Chamando de Àj, ... , Àn os valores próprios de A, a equação matricial anterior equivale ao sistema
328
então Exemplo
p-I • A • P
Ora, de X(t)
Resolver o sistema
[
xj(t) = 2XI(t) +xi(t) =
x3(t) =X4(t) =
xit)2xit)
x3(t) + X4(t)4x3(t) - 2x4(t)
cle2t + C3e4t
C2e2t
-cle2t + C3e4t
Já vimos (exemplo 3, item 2, capo 1 da segunda parte) que a matriz A doscoeficientes do sistema não é diagonalizável. E a forma canônica de Jordan dessamatriz de autovalores 2 e - 3 é
(ver exemplo, capo 1, item 7). Pela transformação Y(t) = p- I • X(t) , obtemosY'(t) = J • Y(t), que no caso fornece: yj(t) = 2YI(t) + Y2(t); yi(t) = 2Yit);y3(t) = 2Y3(t); Y4(t) = - 3yit). Daí obtemos:
1 O O
2 O OJ
O 2 O
O O -3
A matriz P que transforma A em J é
O O O
O 1 O OP=
O O
O O -4
XI(t) e4t
X2(t) OX3(t) é t
1. Logo, a solução que satisfaz a condição
(1, O, l)t, deveremos terA fim de que X(O)
cuja solução é CIinicial dada é
(b) A matriz A não é diagonalizável mas tem todos os seus valores própriosem IR, caso em que admite uma forma canônica de Jordan sobre IR.
O procedimento inicial é o mesmo do caso (a) e leva ao sistema Y'(t) = JY(t), onde J = p-I . A . P é uma matriz de Jordan semelhante a A. Daí
yj(t) = Â,jYj(t) + ÔjYj + 1(t) (i = 1, 2, ... , n)
onde os Â,j são os valores próprios de A e Ôj é zero ou um. A última equação é sempre y~(t) = Â,nYn' cuja solução é Yn(t) = cne}.,nt, ondecn é uma constante. A penúltima equação é y~ _ I(t) = Â,n- IYn - I(t) + ôn _ IYn(t). Se ôn _ 1 = I, substitui-seyn(t) por cne}.,nt e resolve-se a equação resultante, conforme procedimento do exemplo seguinte. Dessa forma, prosseguindo no raciocínio anterior, obteremos Y(t).Depois, a partir de X(t) = P . Y(t), impondo a condição inicial, chegaremos aosvalores das constantes de integração CI' c2> ... , cn'
Assim a primeira equação fica: yj(t) = 2YI(t) + C2e2t.Observemos que
330 331
c portanto Yj(t) Cje2t + C2te2t. Daí
O O O cje2t + C2te2t
O O O C2e2tX(t)
O O 1 C3e2t
O O -4 C4e- 3t
cje2t + C2te2t
C2e2t
C3e2t + c4e'- 3t
C3e2t - 4c4e - 3t
3. a) Mostre que a equação da segunda ordem y" + ay' + b = °pode ser convertida no sistema
í y'(t) = Y2(t)l yi(t) = (- b)Yj(t) + (-a)Y2(t)
através das substituições y(t) = Yj(t) e y'(t) = Y2(t).b) Aplique a parte anterior para resolver as seguintes equações: (i) y" + 2y' - 3 = O; (ii)y" - 4y' + 2 = O; (iii) y" - 5y' + 6 = °
Suponhamos que a condição inicial seja dada por 4. Resolva os sistemas dados matricialmente por X'(t) = A X(t) nos seguintes casos:
X(O)
Então
(a)
e X(O) = (I, I, - 1)
°-12
-1
1
3
-1
(b)
e X(O) = (1, 0, 0, O)
5. a) Considere os sistemas X'(t) = J • X(t), onde J é uma matriz de Jordan 3 x 3, com  nadiagonal. Mostre que
cuja solução é (1, 1, 1, O). Neste caso a solução do sistema é
é solução do sistema considerado.b) Generalize esse resultado para uma matriz de Jordan qualquer nxn.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
• X(t), onde
X(t) = Go ~)G)~e X(O) = (O, 1).
2. Resolva os sistemas X'(t) = A X(t), nos casos
e
com a condição inicial X(O) = (O, 1, -1).
332 333
CAPíTULO 6Método dos Mínimos Quadrados
1. o ESPAÇO EUCLIDIANO RD
: REVISÃO
Neste capítulo daremos uma aplicação importante do conceito de produtointerno. Para isso lembramos que no espaço vetoriallRn o produto interno usualé a aplicação que a cada par de vetores (u = (Xl> ... , xn), v = (YI' ... , Yn))de lRn X lRn associa o número real <u, v> = XIYI + ... + xnYn' Esse númeroreal <u, v> chama-se produto escalar dos vetores u e v. Conforme vimos anterior-
ment~o número real positivo lIu 11 = .Jxl + ... + x; (estritamente positivo seu :;i: (O, ... , O)) é a norma do vetor u. Lembremos ainda que se u é um vetor do]Rn e se {gl' ... , gs} é uma base ortonormal de um sub-espaço W de lRn, entãoa projeção de u sobre W (indicaremos por projw u) é o vetor dado por:
projw u = <u, gl >gl + ... + <u, gs> gs.
Essa projeção se caracteriza pelo fato de que u - projw u é um vetor de Wl eportanto é ortogonal simultaneamente a gl, ... , gs. No caso em que W = [g],fala-se em projeção de u sobre g (em vez de projeção de u sobre W) e escreve-se
projg u. Sendo { 11:11 } uma base ortonormal de W temos:
projg u = <u, 11:11> 11:11 = (lIg1
1l 2 <u, g>) g = ~:: :~ g.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1. Sejam u = (l, 2, -1), v = (3, 1, O) e w = (0, 0, 2) em R 3. Calcular:
a) <u, u>; d) <u, u>;
b) <u, w>; e) lIu + v1l2;
c) <u, v + w>; f) lIu _ v1l 2.
2. Provar que <u, Xv> = <XU, v> = X<u, v>, \Ix E R e \tu, v E R n.
3. Provar que <u, u> = °se, e somente se, u = (O, •.. , O).
334
4. Calcular projg u nos seguintes casos:
a) u = (1,2, 1, 4) e g = (4, 0, O, 1);
b) u = (1, 1, 1, 1) e g = (2,2,2,2);
c) u = (4, 3,5,2,5) e g = (1, 1, 1, 1, 1).
5. Seja W o sub-espaço do R4 gerado pelos vetores UI = (1, 2, 0, 1), u2 = (2, -1,0, O) eu3 = (0,0, 1, O). Calcular a projeção do vetor u sobre Wnos seguintes casos:
a) u = (3, 1, 2, 2);
b) u = (1, 2, 1, 1);
c) u = (O, 0, 0, 1).
6. Calcular aprojeção do vetor (x, y, z) E IR3 sobre o sub-espaço gerado por (1,0, O) e(O, 1, O).Fazer uma figura.
7. Provar que projg(ul + u2) = projgu 1 + projgu2. Fazer a figura.
8. Provar que projg<xu) = Xprojgu e que proj7l.gu = projgu (X "* O).
9. Pelos exercícios 7 e 8 a função u f-+ projg u é uma transformação linear de R n em Rn
.Quais são seu núcleo o e sua imagem?
10. Provar que IIprojgu 11 <;; lIu 11, para todo vetor u. Quanto vale a igualdade?
2. APROXIMAÇÃO POR PROJEÇÕES
Suponhamos que um físico disponha de um aparelho para medir experimentalmente o valor de uma constante. Esta constante pode ser uma resistênciaelétrica, o peso específico de uma substância, a potência de um motor, etc. Aoefetuar a medida ele encontrará um valor próximo do valor real, pois toda experiência comporta uma imprecisão de medida. Feitas várias experiências, que dãoem geral vários resultados distintos, é comum a prática de "tirar a média" e chamaro resultado assim obtido de valor da constante. Veremos a seguir como a noçãode produto interno justifica este procedimento. Faremos depois outros métodosde aproximação, sempre baseados no produto interno do lRn.
Suponhamos que se deseja determinar o valor de uma constante k, efetuandoexperiências. Comecemos com o caso em que são feitas apenas duas experiênciasque dão os valores k l e k2 . Se não houvesse imprecisão nas medidas deveríamoster k l = k2 = k, mas isto não ocorre. Qual seria então a melhor aproximação para k,obtida a partir de k 1 e k2? Para isso tomemos o "vetor-experiência" E = (kl , k2) e
335
seja U = (1, 1). Então ku = (k, k).É razoável dizer que a melhor aproximação de ké o número real k' tal que k'u seja a projeção do vetor-experiência sobre o vetor u;portanto:
resultantes de p medições. Queremos achar a partir destes valores a melhor aproximação para k e para Q. Para isso formamos o vetor-experiência:
E = (kl, k2 , .•• , kp, QI, Q2, ••• , Qp) E lR2P •
«kl , k2 ), (1, 1»k' = --~-~::---
11(1,1)11 2
11. 1)
Consideramos agora os vetores:
UI = (1, 1, , 1, 0, 0, , O) e
U2 = (0,0, ,0, 1, 1, , 1)
também pertencentes ao lR2P• Observe que <ut, U2> = O.
Inspirados no primeiro caso que estudamos, poderemos dizer que as melhoresaproximações de k e Q são números k' e Q' obtidos da seguinte maneira: projetamoso vetor E sobre o sub-espaço gerado por UI e ~ e tomamos as coordenadas daprojeção em relação à base {UI, U2}' Conforme vimos no parágrafo 1, teremos:
, <E, UI> I <E, ~>k= Q=----
<UI' UI> <~, U2>
pois UI e ~ são ortogonais entre si. Segue daí que:
, _ «kl , ... , kp, Q1> ••• , Qp), (1, , 1,0, ... , O» _ k l + ... + kpk-· 11(1,1, ... ,1,0, ,0)11 2 - P
e, analogamente, que:
7+8+6+6+8 =75
11 + 10 + 12 + 10 + 10 = 10 65 '
Portanto a média aritmética dos valores kl e k2 é a melhor aproximação de k.No caso de efetuarmos n experiências em vez de duas, teremos:
E = (k l , .. ;, krJ E lRn, u = (1, 1, ... , 1) e
«kr, '" ,kn), (1, ... , 1» k l + ... + knk' = -----..--0-:--- -'-------c-c----'----11(1, ... ,1)11 2 n
Exemplos
1+2+1+2 31) Vetor-experiência E = (1,2, 1, 2), k' = 4 - 2
2) Vetor-experiência E = (5,6,5, 7,6,4),
k'= 5+6+5+7+6+4 =11 =556 . 2 ' .
Imaginemos agora uma experiência mais complexa, em que serão medidassimultaneamente duas constantes k e Q. As medidas obtidas pela experiência sãovetores do lR2
:
336
QI + ... + QpQ'=-----~
p
Novamente aparecem as médias aritméticas.
Exemplo - São feitas 5 medidas das constantes k e Q, com os seguintesresultados:
k: 7, 8, 6, 6, 8 e Q: 11, 10, 12, 10, 10
Então E = (7, 8, 6,6,8, 11, 10, 12, 10, 10) e as melhores aproximações são:
<E, UI>k' = ---;;----;:-:;--
lIul 1l 2
<E,~>Q' =-.,--------,;::--
II~ 112
Observação: O vetor (k', Q') E lR2 chama-se centróide dos vetores (kl , QI)'... , (kp, Qp). A definição de centróide pode ser dada em geral: se UI, ... , up sãop vetores de um espaço vetorial V sobre lR, o centróide desses vetores é o vetor1-(UI + ... + up).P
337
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1. Calcular o centróide dos vetores e representar geometricamente:
a) UI = (l, 2) e u2 = (2, 1);
b) UI = (1, 1), u2 = (1, 2), u3 == (4, -1) e u4 = (2, 2);
c) uI == (1, 2, 1), u2 = (-1, -2, O) e u3 = (O, O, 1);
d) uI == (1, 2, 3,4,5,6) e U2 == (6, 5, 4, 3, 2, 1).
Como
Ilk'X - YI12 = <k'X - Y, k'X - Y> = (k'XI - YI)2 + ... + (k'xn - Yn)2
e esta expressão é mínima quando k' é dado por (1) acima, o método de aproximação acima descrito chama-se método dos minimos quadrados.
Exemplo - Uma experiência forneceu os seguintes valores:
2. Seja u o centróide dos vetores uI, U2, •.• , ~ do IRn. Calcular nos exemplos do exercício 1, a soma lIu - u l 1l 2 + ... + lIu - upll .
3. Enunciar rigorosamente e provar: um operador linear do IRn preserva os centróides.
4. Tomemos três vetores no 1R2 , cujas extremidades formem um triângulo. Qual é o pontodo triângulo que coincide com a extremidade do centróide dos três vetores?
(Xl, YI) = (3,6)= P
(X2' Y2) = (1, 3) = Q
(X3' Y3) = (5, 9) = R
(X4' Y4) = (4, 7) = S
A reta que melhor se adapta a estesresultados no sentido dos mínimos quadrados é a reta Y = k'x, onde
I
-7-- T5:I I
PI II I II 1 II I II I II I II I II I I
3. AJUSTE DE CURVAS
Um problema bastante freqüente nas clencias experimentais é o seguinte:sabe-se que um fenômeno é descrito por uma função linear Y= kx, mas o valor dek é desconhecido. Para determinar k, atribuímos um valor Xl â variável Xobtendoexperimentalmente um valor YI para y. Repete-se a experiência com valoresX2, ... , xp de x e valores Y2, ... , Yp correspondentes de y. A partir destes dadoscomo obter a melhor aproximação de k?
Para isso tomamos os vetores X = (Xl, ... , xn) e Y = (YI' ... , Yn) dolRn. Se Y fosse proporcional a X, já teríamos o valor de k. Mas isso não ocorredevido à imprecisão experimental. Queremos achar k' tal que k'X seja o maispróximo possivel de Y. Para isso devemos exigir que o vetor Y - k'X tenha normam{nima, o que ocorre quando Y - k'X é ortogonal a X. Segue daí que a melhoraproximação de k' é aquela dada por
<k'X - Y, X> = O.
Dessa igualdade se conclui que k' <X, X> - <V, X> = O. Logo:
k' = <Y,X><X,X>
isto é,
XIYI + + xnYnk' = xi' + + x; (1).
338
k' = «3, 1, 5,4), (6, 3, 9, 7» 9411(3, 1, 5,4)112 51
A reta Y = 94 x é aquela que "passa mais perto" dos pontos P, Q, R e S, no51
sentido de que a soma dos quadrados das distâncias medidas na vertical destespontos a esta reta é o menor possível.
Suponhamos agora que Z seja função linear de duas variáveis x e Y comcoeficientes desconhecidos Q e m, Z = Qx + my, e que foram feitas experiências(no mínimo duas) dando-se valores a x e a Y e medindo o valor correspondentede z. Para fixar as idéias suponhamos feitas três medições dadas por:
Zl = QXI + mYl> q = QX2 + mY2 e Z3 = QX3 +.mY3·
Este sistema de equações lineares nas incógnitas Q e m é em geral incompatível.Devemos então encontrar valores aproximados Q' e m' que façam a expressão dadireita aproximar-se o mais possível elo valor observado para z. Para isso consideremos os vetores u = (Xl> X2, X3), v = (Yl> Y2, Y3) e W = (Zl' q, Z3)' Seja W osub-espaço gerado por u e por v. Devemos escolher Q' e m' de modo que Q'u +m'vseja a projeção ortogonal de Z sobre W. Para isso devemos impor que
<Q'u + m'v - w, u> = <Q'u + m'v - w, v> = O
339
o que nos conduz ao sistema linear
<u, u> Q' + <v, u> m' = <w, u>
<u, v> Q' + <v, v>m' = <w, v>
Este sistema poderá ser resolvido univocamente se u e v forem linearmenteindependentes' pois o seu determinamente vale
<u, u><v, v> - <u, V>2 = lIull 2 11vll 2 - <u, V>2
que é um número real estritamente positivo, devido à desigualdade de Cauchy-Schwarz.
Exemplo - Seja a função z = Qx + my das variáveis x e y com coeficientesdesconhecidos Q e m. Foram obtidos os seguintes resultados experimentais:
a) x= I y = I z = 3;
b) x = 2 y = -1 z = 1;
c) x = 4 Y = ° z = -2.
Neste caso u = (1,2,4) e v = (1, -1, O) são linearmente independentes em lR?Os valores aproximados Q' e m' são as soluções do sistema
2Q • Q' - m' = -3
-Q' + 2m' = 2
Sugerimos ao leitor que represente em um sistema de coordenadas cartesianas ospontos P, Q, R e S e a parábola que foi calculada acima.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1. Determinar a reta em IR2 de equação y = kx que melhor se adapte aos pontos P, Q, ... nosseguintes casos:
a) P = (6, 9), Q = (1, 2);
b) P = (6, 9), Q = (1, 2) e R = (5, 8);
c) P = (3, O), Q = (2, 1) e R = (1, 2).
Representar as retas em um sistema de coordenadas cartesianas.
2. Suponhamos z = Qx + my e que foram obtidos experimentalmente os seguintes resultados:
Se x = 1 e y = O, então z = 2;
Se x = O e y = 1, então z = 3;
Se x = r e y = 1, então z = 2;
Se x = -1 e y = 1, então z = O.
Encontrar a fórmula aproximada para z.
Encontrar a fórmula aproximada para z.
4. Encontrar um polinômio homogêneo do segundo grau cujo gráfico se ajuste bem aos pontosP = (1,2), Q = (3,1), R = (4,2) e S = (2, O).
3. Supõe-se que z = Qx + my + nt é uma função linear de três variáveis x, y e t. Os seguintesresultados são obtidos experimentalmente:
x=O, y=O, t= 0-7z= 1;
x=l, y=O, t= 1-7z=-1;
x = 2, y = 1, t = O -7 Z = 3;
x == 4, y = 0, t = -3 -7 z = 4.
, -4 , 39 4 39donde Q = 41 em = 41' Portanto z = - TI x + 4f Y'
Um caso particular desse problema é o seguinte: encontrar a equação deuma parábola no plano xy, cujo eixo é paralelo ao eixo y e que melhor se ajusteaos pontos P = (1, 2), Q = (4, 1), R = (-1, O) e S = (2, 3). Neste caso aequação da parábola deve ser da forma y = Qx + mx2. Como ela deve passarpróxima dos pontos P, Q, R e S, Q e m devem ser aproximados por valores Q' em' obtidos através do processo descrito acima. Teremos u = (1, 4, -1, 2), v == (1,16,1,4) e w = (2,1,0,3). O sistema linear é:
22Q' + 72m' = 12
72Q' + 274m' = 30
donde:
5. Repetir o problema anterior com os pontos PS = (2, - 1).
(5, - 1), Q (6, 2), R (4, 3) e
340
1
12 721Q' = ---:-,3~0__2=74-:-
1
22 72172 274
e 1
22 121
m' = -:-:7-::2_--=30=+!22 721172 274
6. Determinar um polinômio homogêneo de quarto grau cujo gráfico se ajuste aos pontos(- 2,2), (- 1,1), (1,2) e (2,1).
341
RESPOSTAS DE ALGUNSEXERCíCIOS PROPOSTOS
12.
3) {(3, O, 1); (-2, I, O)}.
4) {(2, 1, -2)}.
5) {(2, 1, -2); (3, O, 1); (-2, 1, O)}.
Sim.
2.
4.
2) 3, -5 e 2.
3 12 e -'2'
-3,1, Oe 1.
3. Sobre C não é linear.
343
4. a) Sim;
b) Sim.
1. 1) Sim;
2) Sim;
3) Sim;
4) Não.
5. Não pois f(2, 3,4) deveria ser igual a (2, 6,12).
8. (I) F(2, 4) ; (8, 18);
(11)(+, T).1. a) Base do Núcleo: {(I, O, 1); (-1, 1, O)}; di
mensão do Núcleo: 2. Base da Imagem: {I};dimensão da Imagem: 1.
c) Base do Núcleo: t;t; dimensão do Núcleo: O.Base da Imagem: {(I, 1, 2,0);(-1, 1, -1, -1);(-1,1,1, O)}; dimensão da Imagem: 3.
d) Base do Núcleo: ti, t}; dimensão do Núcleo: 2.Base da Imagem: {t2}; dimensão da Imagem: 1.
e) Base do Núcleo: ~; dimensão do Núcleo: O.Im (F) ; M, (IR).
2. F(x, y, z) ; (2x + 5y - 2z, 3x + 2y, x + 7y ++ 7z).
2. F(x, y,z); (2x + y, x - y,x + 2y).
3. F (x, y, z, t) ; (y - x, t, O, O).
2) -2, O e 1.
8. 2) De B para C é (~- ~ ~).O O 1
De C para B é (-~ ~ n.,,(: :),(·~·n(+-:)
5. B; {~, -31) ; 0' D}·
7.1) De B para C é (-~ ~ ~)-1 3 1
De C para B é (= ~ =: :)1 3-2
4.2.
4.5.
DimensãoBase
U: {(O, I, O); (O, O, I)}
V: {(l, O, O); (0,2, I)}
W: {(l, I, O); (O, O, 2)}
U n V: {(0,2,l)}
V +W;IR'
U + V + W;IR'.
5.
1. {(2, 1, 0,1); (O, 0,1, O)} e dim W; 2.
2. 4.
3. dim (U + W) ; 4 (Logo U + W ; IR").
dim (U n W); O. Daí U + W; {(O, O, O, O)}
e 0 é a base de U n W.
17. Considere os sub-espaços do exercício 14.
13. No IR' considere U ; {(x, x) I x E IR}, V ;; {(O, y) I y E IR} e W ; {(x, O) I x E IR}.
10. {(I, 1, 1, O); (1, 1, 2,1); (O, 0,1, O); (O, 0,0, 1)}.
14. {(l, O, i); (1,1 +i, 1-i)}.
1. 1) 4, -5 e 3.
11. a+0,a+1ea+-1.
18. Tome no IR', U ; {(x, O) I x E IR} e V ;; {(D, y) I y E IR}.
!2x-t;021.
y ; O
22. a) [(0,1, O)].
b) [(O, 1, O, O); (O, O, 1, O)].
3.1. 1. 1) Não.
2) Sim.
3) Não.
4) Sim.
2. 1) Não.
2) Não.
3) Não.
4) Sim.
7. 1) m + O;
2) m + 5;
3) n + O ou m+1.
9. a) Não.
b) Sim.
c) Não.
3.6.
3.8.
3) Não.
3. 1) 2t' + 3t' - t - 13.
2) Não.
4. Todos são.
2. a) Não.
b) Sim.
c) Não.
d) Sim.
7. IR' ; U l!l V e IR'; V l!l W.
3. a) Não pois não se verifica nenhum dos itens dadefmição; c) e d) Não pois não se verifica oúltimo item da definição de sub-espaço paranenhum dos dois.
3) Não.
4. 2) x; ( ~, -1); y; (--}, 1) e z; (- i-, 1)
1. a) Sim.
b) Não.
c) Não.
d) Sim.
e) Sim.
1. 1) 2A + B - 3C; (= ~ -D2) X; -3A - 2B + 6C; (~ _:)
-2 -8
9. 1) {(2, 1, O); (O, O, I)}.
2) {(2, 1, -2)}.
4. a) {(2, -2)};
c) 1(O, t, o, +) l5. m + 2.
9. ft .,f2x; O, y; 2 e z;-~.
10. Não.
2.2. 2. Não.
3. Não. Sugestão: Calcule 1 • (x, y).
5. Não.
2.3.
2.7.
-~ )-1
1
eB; (~ :)
(-1 : ) .
1 -2
B é inversível.
A é inversível e A-I ==
( 01 00)Não. Tome A =
C é inversível e
3. Para a == - 2 ou a = 1 incompatível; paraa '* 1 e a :f:. - 2, compatível determinado.
3.
5. a)!(+t,-2t,-~t,t) ItEIR).
d) {(2z, 3z, z) I Z E IR}.
12.
342
H PARTE
1.8.
1.6.
Obs.: Os números 1.1. 1. c) indicam capítulo 1, § 1, exercício 09 1, item c.
I~.
b) (2 _ ~)(~' - 3~ - I).
Zero.
Al1 = -5, A12 = 4, A I 3';:;;;: -2; A 21 ;::
A22 = -I, A,. = I, A31 = 3, A32 = - 2 c
A33 = 1.
São iguais.
-3.
3. detC~) -det G.~) +
+ 2 , det G:) = 2.
,.~(: l+ l
(~ ~ O)O O I
J -~ O
4.
2.
I.
3.
6.
27.
25.
22.
I . '. I19. I) v, = 3(2, 2, .-4) e v, = 3(7, 7, 7).
I . I2) v = 7(18, 15, 16) + 7(3, 6, -9).
1m=--.
..j3
23.
7.4.
7.3. 4.
5. a) ~ = O ou ~ = - 2;
b) ~=2 ou ~= 3 • .JIT_ 2'
6. p(~) = (2 - ~)(~2 - 3~ - 1) e p(A) = O.
7.2. I. a) 1;
b) 1;
c) 1;
d) -I.
2. a) 1;
b) -2;
c) -3;
d) 2;
e) -8;
f) 24.
/31(11) If(t)O =..130;
<u, v> = 7, Rull = .J6,.lIvll = ,[30, d(u, v) =
w; u+v I= v 22, nu + vI = 5...[2(4,3,4,3)
7cos(u, v) = 6..;s'
I2'
18. (I) DuU = ;,jTS;
(111) OAII = .JTõ.,j2
20. (I) d(u, v) = .Jf; cos(u, v) = -2-'
I(I1I) d(A, O) = ..,(2 e co,(A, B) =2'
14. 3) l~ :)15. a = .f.
12.
. 10.
I22. Se ei * "i' co'(Oj, "i) = 2 e co,(ei' ei) = 1
se ei = "i'
6.6. 1. I) m = I ou m = 6;
2) (O, x), V XEIR;
3) (I, O).
\(1 I ~( I I 43. I) ..,(2'...[2 , O, O ; - .JI8'.jI8'.JI8'
) (2 -2 I 12))O ; v'TI3' v'TI3' .,fill'.,;m .
4. {(~ ,~, O) ; (O, O, I) }-...[2 ...[2 .
5. (2 I I).,f6' .,f6' .,f6 .
7. I) ( I, 2,[3t - ,[3, -I5(6t2 - 6t + I)
2) (_~t2 +'bt -.b I b EIR).
8. e -I -3 )De W: .JTI'.JTI'.JTI ,O ;
(O, O, 0,1)
l./C 1}(3 -3De W. ..,(2' ...[2' O, O , ..,ffi.' ..,ffi.'
..;h, O)).
10. (6 9 -2 -I)7'7'7'7 .
12. 1(1 I I) (I -2 3))2' 2' 2; .jI8'.jI8',jT8 .
13.I 3 3 2 3
g(t) = 20 -5 t +2 t -t.
3);
(11) Sim.
1 -1
1F(x, y) = 5(l3x + y, 86x - 3y).
(F)O=(~: O2 O
O 2 O
Logo o traço de (F)O é 4.
(+2: =:)
3) (2
4. {(2, 2, I)}.
7. (I) Sim;
lO. Sim.
4.
8.
6.
12 a = b= c = O.
I. 1) k> 9.
4. Sim.
9. <A, O> = 1,IIAU =../3, uOU = 1 ed(A, 0)==.JT.
3. <f(t),g(t»=-j,lf(t)l= 1m;/28 123
Rg(t)D = ..I 15 e If(t) + g(t)R =,j lfõ'
" (G) = L: -; _:) ·Gt. ,. •
= (x - y, 3y, -x - 3z).
10. (I) (2 O+);(11)(-1 -1 f).
12. F(x, y) = (x, y), F(x, y) = (x, bx),
F (x, y) = (O, bx + y) e F (x, y) = (O, O).
5.Apend. 1. (FI + F,)(x, y, z) = 3x - 4y + 3z;
(2F1 + 3F,)(x, y, z) = 8x - 9y + 7z.
3. (I) {'I'l> '1'" 'I'3}' onde 'I'I(X, y, z) = iz,
3 1opz(x, y, z) = - 2x + 2: y +"4 z e
1 1'I'3(X, y,z) =x -2Y -4z;
(lV){'I'1> opz, 'I'3}, onde '1'1 (o + bt + cf) ==0+C,'I'2(0+bt+ct2)=b e
'1'3(0 + bt + ct2) = - c.
6.3.
2) (: ~);1 -1
(2 1 9)TI-TI li
10 6 10li TI-li
(F) =
2. 1) (~ O :)
11. 2) (I - F)(x, y, z, t) = (x, Y - x, z - y - 2x,t - z - 2y - 3x) é isomorÍlSmo pois
Ker(1 - F) = {(O, O, O, oj).
12. I) F'(z) = i;
3) G'(z) = -z;
13. I) e 2) Nenhuma das duas coisas;
3) ldempoiente;
4) Nilpotente.
14. I) F'(x, y) = (x, 2x + y);
2) (F - l)(x, y) = (O, x).
19. Para todo f(t) E Pn (1R), Dn +! (f(t)) = O.
4. F(x, y, z) = (O, y, z).
6. a) Ker (F) = {(O, O, O)}. Logo F é bijetor (inver-sível). F-1(x, y, zl = (x + 3y + 14z, y + 4z, z).
7. F(x, y, z) = ( x + y - iz, x, x + y + iz) é
inversível e F-1(x, y, z) = (y, +(3x - 4y +
+ z), i(Z - x»).
10. F(x., .... xn) = (xn. xb x2, ... , xn-l) éinversível e F-1(x[, ... , xn) = (X2. X3•.. ,.
Xn• Xl)'
5.1. I. (F + H)(x, y) = (x, x + 2y);
(F o G)(x, y) = (y, 2x + 2y);
(G o (F + H»)(x, y) = (x + 2y,2x + 2y).
2. (F o G)(x, y, z) = (x + 3y - z, x + y + z,x -t: 2z);
Ker(F o G) = {y(-2, I, I) I y E IR};
lm(G o F) = {x(l, O, I) + y(3, I, 1) I x,y EIR}.
4. Se n é ímpar, Fn(x, y) = (y, x) e Fn(x, y) == (x, y) se n é par.
5. (I + F + F')(x, y) = (22x + 21y, 35x + 36y)não é isomorfismo pois Ker(l + F + F') == {(x, -x) I x E IR}.
5.5. I.
344IJj
345
5. a) r diagonalizável pois o valor próprio -I (duplo)tem multiplicidade' geométrica 2;
b) É diagonalizável para todos os valores de m .e·n;
c) :e diagonalizável pois há 2 valores próprios(duplos) 3 e - 3 com multiplicidade geométrica 2;
d) r diagonalizável pois o valor próprio 2 (triplo)tem multiplicidade gcQJ11étIica 3.
6. Resolução: A é a matriz de um operador auto-adjuntoT em relação à base canônica do IR". Pelo teor. 2existeuma base ortonormal C do IR" formada de valores pró
prios de T. Se P é a matriz de mudança de B para c:p-I . (T)B . P ~ (T)c' Comop-l = pl, pois as
bases são ortonormais, a resolução está concluída.
3. a) p/ti ~ (À - (l"b) dim V(À) ~ 1
1.3.
1.5.
1.7.
-7 )
-:
b) Não existe.
21) PARTE
2. a) 2 e (I, O, O); 3 e (5, I, I); -I e (1, 3, -3);
b) O (duplo) e (1, O, O) e (O, I, O); 2 e (O, O, 1);
3. 3 (triplo) e (1, O, O, O) e (O, O, 0,1);
4 e (O, O, 1, O).
4. PTUl = (~I - 1)(~2 - I) ... (~n _. I).
Os valores próprios de T são À.I> À 2•... , Àn.
I1 2
Xl =Zl - ""IZ2 -SZ3
SUbStilUi\ão linear: X2 = Z2 + +Z'
X3;::: Z3
l.l. I. a) ,fie (1, ,fi - 1); - ,fie (-I, ,fi+ 1);
b) -1 e qualquer vetor não nulo;
c) Não há valores próprios reais.
IX} =Zl- 3z] - fo Z 3
Substituição linear: x2 = z2 - -lo Z,
x3 = z3
4. q(ZI, Z2) = az l2 + (ac ~ b2) zi
{ .•••.
x. I = ZI - ~Z2Substituição linear: ..
xl· = Z2
5. a) 12 - 31 + 1; +(3 ± "j5);
b) 12 - 4; ± 2;
c) 12 - 31 + 2; I e 2;
d) 12 - 4; ± 2.
6. PA(I) = (I - 2)'(1 - 3); 2 (duplo) e 3.
7. I (duplo); não há.
8. PA(I) = (au - l)(a22 - I) ... (ann - I).
1.2. I. a) M = C-;):2. M = ( O -: =::
O O
2. a) (1 -1) b) (1 1).11 -1 1sep=C_~).pl·C: :).p=
I. pl • A • P = B. Logo A ~ B.
9. a) (", C» ",)(XI, X2); (YIo Y2» =
= 2xlYl - 2XIY2 + X2Yl - X2Y2;
b) ('" C» ",)(x" X2); (y" Y2» == 2XIYl - 2X2Yl + XIY2 - X2Y2;
c) (", C» '" - '" C» ",)(x" X2); (YI, Y2» == -3xI Y2 + 3X2YI'
= (: -:)
1I. a) f«XI, X2, x,); (YI, Y2, y,» ='2 (2xIYI +
+ 2x2Y2 + 2x,y, - 2XIY2 - 2X2YI + 4xIY, +
+ 4x'YI - X2Y' - X'Y2)'
c) f«xlo X2, x,); (YI, Y2, Y3» = XIY2 + X2YI ++ XIY3 + x3Yl + x2Y3 + x3Y2'
1. No IR?: axlYl + bX2Yl + bXIY~ + cX2Y2'
No 1R3
: 3XIYl + bXIY2 + eXtY3 + bX2Yl ++ dx2Y2 + eX2Y3 + cx3Yl + eX3Y2 + fX3Y3'
2. 1R2: axlY2 - ax2YI'
IR': axlY2 - ax2YI + bxly, - bX'YI ++ cx2Y3 - cX3Y2·
I. a) q(n, Y2) = Y;;
c) q(YI, Y2) = YI2 - 2yi;
e) q(YI, n) = 4YI2 - 4yi.
lO. (", C» ",)(x" X2); (y" Y2, y,» == 2XIYI + 3X2YI + 2xIY2 + 3X2Y2 - 2xIY,
- 3X2Y3;
("'C» ",)(XI, X2, x,); (YI, Y2» == 2XIYI + 2X2YI - 2x,YI + 3XIY2 + 3X2Y2
- 3X'Y2;
Nãoexiste l{J (8l '" + '" 00 Ij).
8.4.
8.6.
8.5.
8.7.
= 35.
11324
10-81 13-'6
1O "4
(19
c)33
O
O
x= (-:).
c: -, Jh(!)O
O
O
3924
11S-I21'4
b) A-I =-}.
+(-3) dei ( :
O 2
. (3 1)I. a) A -I = --2 1
7. a{: ::)8. a) b = c;
b) a=d =O e b =-c;c) ad = bc.
h) Matriz de f(u, v) = xI Y2 - x2YI: ( _ ~ ~).
2. Se dim V = n, dei H = ~n
I. 3.
5. São formas bilineares: a), b), c), d) e h).
(01 00)6. a) Matriz de f(u, v) = xI' n:
(00 01).b) Matriz de f(u, v) = xI • Y2:
c) Matriz de f(u, v) = xI' (n + Y2):( ~ ~).
d) Matriz de f(u, v) = O:G~).
3. dei F = O ou dei F = I.
4. dei F = 6 e delF2 = 36.
7.6.
7.7.
8.3.
346347
l' 37 , 1.533 , -60= 539 ' m = 539' n = 49'
1'=+, m'=t.
I. a) 5;
c) 3;
e) 26.
84. a) 17 (4, O, O, 1);
b) u;
19c) T (I, I, I, 1, 1).
6. (x, y, O)•
9. [gJl e (g].
II. a) 2(3,3);
b) (2,1);
c) (O, O, O);
7d) T(I, I, I, I, I, 1).
2. a) 1;
c) 12.
I. a) k=f;.53
b) k =31;
2c) k =7'
2.
3.
6.1.
6.2.
6.3.
(
I I2. a) . 2 -,2e2')X(t) = e
- ..!.. - ..!..e2'2 2
6. b) . ((I + t2)e2' )X(I) = I.,. e2' + 31e2t
t202'-1+e2t _te2t
s. c) Ctcos t +P sen t, a, PER;
d) I+"cosl+~seol.
6. c) el(" cosI + ~ sen 1), ",~ER;
d) el cos I.,. 2el sen I.
5.4. I. a) "el + ~e -21;
c} "cos 21 + ~sen 21;
e) ".21 + ~ e4/'I;
g) ".1 + ~Iel.
2. a) 2 (sen..[2I + cos..[21);
b) e'/21 + 2Ie'/21;
c) _ .21 + 4.1.
4. a) C" + 8C' + 16f= O;
b) f" - 9C= O;
c) f" -4C' + 20f=0.
I 1S. e (2 cos SI + "5 sen SI).
5.5. I. a) "e21 + ~e -31;
c) lk + l1e-2t + 'Yet;
e) ,,+ ~e21 + -rle21 + 612e2l;
g) "eSI + ~leSI;
i) a sen wt + p cos wt.
5.6.
5=1+1+1+1+1=1+1+1+2=
=1+1+2+1=1+2+1+1=2+1+
+1+1=2+2+1=2+1+2=1+2+1
. dan = ;n (I + v'S)n + ~ (I - v'S)n onde
c e d são as soluções do sistema linear
(I + v'S)c + (I - JS)d = 2 e (I + JS)2c +
+ (I - v'S)2d = 8.
Polinômios da forma aI + (5 - 2a).
1+3.
e) {(",'5)0 cos o <p, (Js)n sen n <p} onde
., = IIB (I + 2i);
f) {3n, n3n};
g) jcos n2" , sen n; I;h) {I, (_I)n}.
{1,~, 3n}.
3.
4.
2.
s.
3. Funções constantes; polinômios degrau n - 1.
1. a) -2senl;
c) 13e21;
e) 13e21 - 5;
g) el2
(81' + 412 + 141 + 1);
i) -I' + 212 + 71 + 10.
2. a) w cos wt;
c) (_w2 +w)senwl;
e) (_w2 .. w') senwl.
3. a) -wsenwl;
d) O.
I. a) OS -O' +502 -30-2;
d) 50' - 1902 + 130 - 3.
4. Sim.
S. 4e21.
7.
6.
5.1.
5.2.
4. b)" = -I: parábola.. < - I: hipérbole
3. a) Elipsóide
d) xf + 2zf = I: superfície cilíndrica dediretriz elíptica
2. a) 4- -4- = I (hipérbole)
.. > -I[ 3.. = 2: um ponto
3 ... > 2: vaz'o
3 ... < 2: ebpse
I. a) Hipérbole
b) Hipérbolee) Duas retas
1. a) Lo = +(12 - 31 + 2), LI = _12 + 21, L, =
=+(12 - I).
2. a) 12 =LI +412;
b) 12 + I + 1 = Lo + 3LI 'l- 7L2,
c) 1 = Lo + LI + L2.
3. Lo = 2~ (I - 1)(1 .,. 2)(1 - 3)(1 - 4),
LI =- il(1 - 2)(1 - 3)(1 - 4),
1L2 = 4t(1 - l}(1 - 3)(1 - 4),
L. = - i4 t(1 - 1)(1 -2)(1 - "),
1L4 = 24 t(1 -. 1)(1 - 2)(1 - 3);
14 + I' - 12 - I + 1 = Lo + LI + 19L, ++ 97L. +301 L4
314 - 21' + 12 - I + 5 = 5Lo + 6LI ++.39L2 + 200L. + 657L4.
2.
3.2.
4.1.
348
I. a) {~,(_I)n};
b) {1,(_2)n};
c) {(I + ...[3)n, (I - >!3)n};
{(-IIT)n (-IIT)n I'd) -2- cos n op, --r- sen n op onde
op=arg (f (I +i,JIT») ;
5.3. I. a) f' = O;
c) rln) = O;
e) f" - 3f' + f = O;
g) f" +w2f=0;
i) f" =f.
2. a) 0 2 ;
c) O(n) + O(n-I) + ... + 0+ 1;
e) 0 2 + I.
3. a) f constante;
c) kel ;
d) keal.
349
fNDICE REMISSIVO
BIBLIOGRAFIA01. AYRES JR., F.- Equações Diferenciais, Rio de Janeiro, Ao Livro Técnico,
1959.02. BIRKHOFF, G. A Survey of Modem Algebra, N.Y., Macmillan, 1965.03. DETTMAN, J. W. - Introduction to Linear Algebra and Differential Equa
tions, N.Y., McGraw-Hill, 1974.04. FLETCHER, T. J. -Linear Algebra throught its applications, N.Y., Van Nos
trand, 1972.05. GOLOVINA, L. I. - Algebra Linear y algunas de sus aplicaciones, Editorial
Mir, 1974.06. GOODMAN, A. W. (et aI) - Finite Mathematics with applications, N.Y., Mac-
millan, 1971.07. GREUB, W. - Linear Algebra, Springer-Verlag, 1975.OS. HOFFMAN, K. (et aI) - Linear Algebra, Englewood Cliffs, Prentice Hall, 1961.09. KREIDER, D. L. (et aI) - Equações Diferenciais, S.P., Edgard Blücher, 1972.10. LANG, S. - Linear Algebra, Reading, Addison-Wesley, 1971.11. LIPSCHUTZ, S. - Linear Algebra, Schaum's outline series, 1968.12. MONTEIRO, L. H. J. - Algebra Linear, S.P., 1962.13. NOBLE, B. -AppliedLinearAlgebra, Englewood Cliffs, Prentice-Hall, 1969.14. QUEYSANNE, M. - Algebre, Paris, Armand Colin, 1964.
350
Adição de matrizes, 18Ângulo de vetores, 163Aplicação, 102Aplicação bijetora, 104Aplicação injetora, 103Aplicação inversa, 104, 115Aplicação sobrejetora, 103Assinatura, 244Automorfismo, 1I4Autovalor, 246Autovetor, 246
Base, 76Base canônica, 77Base dual, 150Base ordenada, 89Base ortonormal, 174
Centróide, 337Cofator, 210Combinação linear, 57Complemento ortogonal, 175Conjunto linearmente dependente, 68Conjunto linearmente independente, 67Conjunto solução, 8Conjunto ortonormal, 172Contra-domínio, 102Coordenadas de um vetor, 90Cramer (regra de), 214
Derivada, 105Desigualdade de Bessel, 186Desigualdade de Cauchy-Schwarz, 161Desigualdade de Lagrange, 162Desigualdade triangular, 162Determinante (de matriz), 200Determinante (de operador linear), 217Determinante de Vandermonde, 216
Dimensão de um espaço vetorial, 78Disco no plano complexo, 270Distãncia, 163Domínio, 102
Equação característica, 324Equação diferencial linear, 319Equação linear, 2Espaço dual, 149Espaço euclidiano, 159Espaço hermitiano, 196Espaço solução, 55Espaço vetorial, 44Espaço vetorial finitamente gerado, 59Espectro de urna matriz, 270
Fibonacci (seqüência de), 308Forma bilinear, 221Forma bilinear anti-simétrica, 230Forma bilinear simétrica, 228Forma canônica de Jordan, 272Forma linear, 149Forma quadrática, 232Funcional linear, 149
Gauss (processo de), 235
Homotetia, 109
Identidade de polarização, 166 (ex. lI)Igualdade de Parceval, 186Imagem, 103Isometria, 177Isomorfismo, 114
Lagrange (polinômios de), 299Lei de inércia, 243
351
