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conserva o sinal

troca de sinal

ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA MAURÍCIO DE NASSAUPROF. Me. ARI JR.

DETERMINANTES

1. DefiniçãoToda matriz quadrada tem, associado a ela, um

número chamado de determinante da matriz, obtido a partir de operações que envolvem todos os elementos da matriz.

2. Determinante de 1ª Ordem

O determinante da matriz A=[a11 ] é igual ao número que a constitui.

det A=|a11|=a11 .

3. Determinante de 2ª Ordem

O determinante da matriz A=[ a11 a12

a21 a22 ] , é o número real obtido através do produto dos elementos da diagonal principal menos o produto dos elementos da diagonal secundária.

det A=|a11 a12a21 a22

|=a11 .a22−a12 .a21

4. Determinante de 3ª OrdemPara calcularmos um determinante de uma matriz

de 3ª ordem usamos a Regra de Sarrus, veja:

Consideremos a matriz

A=[ a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

].

1º Passo: Escrevemos a matriz e repetimos a 1ª e a 2ª colunas à direita da 3ª.

det A=|a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

|a11 a12a21 a22a31 a32

|

2º Passo: Efetuamos a adição algébrica dos produtos dos elementos indicados pelas setas conforme o esquema:

det A=|a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

|a11 a12a21 a22a31 a32

|

5. Propriedades dos DeterminantesO cálculo do valor de alguns determinantes é

facilitado quando se conhecem as propriedades dos determinantes. Vejamos algumas:P1. Determinante Nulo

O determinante de uma matriz será nulo, ou seja, igual a zero, se:a) Todos os elementos de uma linha (ou coluna) forem

iguais a zero.b) Os elementos de duas linhas (ou colunas) forem

iguais.c) A matriz possuir duas linhas (ou colunas)

proporcionais.

P2. Produto de uma fila por uma ConstanteSe todos os elementos de uma linha (ou coluna)

de uma matriz são multiplicados por um mesmo número k, então seu determinante fica multiplicado por k.

P3. Produto de uma matriz por uma ConstanteSe uma matriz M de ordem n é multiplicada por

um número k, o seu determinante fica multiplicado por kn, isto é:

det (kM )=kn . detM n

P4. Matriz TranspostaO determinante de uma matriz M é igual o

determinante de sua transposta, isto é:detM=detM t

P5. Troca de Filas ParalelasSe trocarmos de posição entre si duas linhas (ou

colunas) de uma matriz M, o determinante da nova matriz obtida é o oposto do determinante da matriz anterior.

P6. Teorema de BinetSendo A e B duas matrizes de mesma ordem e AB

a matriz-produto, então:det (AB )=det A . detB

P7. Matriz InversaO determinante da matriz inversa é igual ao

inverso do determinante da matriz dada, ou seja:

det A−1= 1det A

P8. Matriz TriangularO determinante de uma matriz triangular é igual

ao produto dos elementos da diagonal principal.

P8. Matriz TriangularAdicionando-se a uma fila de uma matriz A, de

ordem n, uma outra fila paralela, previamente multiplicada por uma constante, obteremos uma nova matriz M´, tal que:

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6. Menor Complementar Considere uma matriz quadrada de ordem n,

chama-se menor complementar do elemento a ij e

indica-se por Dij , ao número real que se obtém calculando-se na matriz dada o determinante sem utilizar a linha i e a coluna j.

Ex.: Seja a matriz

A=(−1 2 34 5 −1

0 212

); calcule D21 e D13:

7. Complemento Algébrico ou Cofator ( Aij )Seja A uma matriz quadrada de ordem n, chama-

se cofator dessa matriz e indica-se por Aij , ao número real que se obtém através da expressão:

Aij=(−1)i+ j.Dij

Ex.: Considere a matriz

A=‖−2 −1 05 2 1

−1 0 3‖

; calcule A21:

8. Matriz Cofatora ( A ' )Seja A uma matriz quadrada de ordem n, chama-

se matriz cofatora de A e indica-se por A ' , a matriz formada por todos os cofatores da matriz A.

9. Matriz Adjunta ( A )Seja A uma matriz quadrada de ordem n e seja A '

a matriz cofatora de A, dizemos que A é a matriz adjunta que se obtém fazendo-se a transposta da matriz cofatora,

ou seja, A=( A ' )t .

10. Matriz Inversa ( A−1 )

Seja A uma matriz quadrada de ordem n e inversível, a sua inversa é obtida assim:

A−1= 1det A

. A(det A≠0 ).

Ex.: Qual a matriz inversa da matriz

A=[2 1 −23 −1 04 1 −3 ]

?

11. Teorema de LaplaceO determinante de uma matriz A, de ordem n ³ 2,

é a soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) pelos seus respectivos cofatores.

Ex. : Calcule :

EXERCÍCIOS BÁSICOS

01) (EEAR) Se A = (aij) é a matriz quadrada de ordem 2

em que , então o determinante da matriz A é

a) – 10.b) 10.c) – 6.d) 6.

02) (EEAR) Seja

| 2 3 6 ¿|| 4 x 0 ¿|¿¿

¿¿= 64. O valor de x que torna

verdadeira a igualdade éa) 4.b) 5.c) – 4.d) – 5.

03) (EFOMM) Sejam as matrizes ,

e X = A.B. O determinante da matriz 2X– 1 é igual a

a)

b)c) 1

d)e) 6

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ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA MAURÍCIO DE NASSAU04) (EFOMM) Se o determinante da matriz

é 5, então é igual a a) zero.b) cinco.c) quinze.d) trinta.e) quarenta e cinco.

05) Dadas as matrizes e e considerando n = det (AB), determine 7n.

a) 0b) 1c) 2d) 3e) 4

06) (AFA) É dada a matriz , onde a e b são

números reais. Se , então o determinante de A vale

a) 2a2

b) - 2a2

c) zerod) 2a + 2b

07) (AFA) Sejam A uma matriz quadrada de ordem 3,det A = d, det(2A.At) = 4k, onde At é a matriz transposta de A, e d é a ordem da matriz quadrada B. Se det B = 2 e det 3B = 162, então o valor de k + d é

a) 4b) 8c) 32d) 36

08) (AFA) Analise cada proposição a seguir classificando-a como VERDADEIRA ou FALSA.

I) Sejam as matrizes A = (aij)3xn e B = (bjk)nx4 (n 1) então a matriz C = A.B é tal que o elemento

.II) A e B são matrizes inversíveis de ordem n. Se AYB =

2Bt, onde Bt é a transposta de B, o determinante da

inversa de A é igual a

e o determinante de B é

igual a

, então o determinante da matriz Y é igual a

2n–2.

III) Seja a matriz então n ∈ N*.É correto afirmar que são verdadeiras.

a) todas as proposições.b) apenas II e III.c) apenas I e II.d) apenas I e III.

09) (AFA) Sejam m e n números reais com m n e as

matrizes A =[2 13 5 ], B = [

−1 10 1 ] . Para que a matriz mA

+ nB seja NÃO inversível é necessário quea) m e n sejam positivosb) m e n sejam negativosc) n + 7m = 0d) n2 = 7m2

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