Algebra Relacional

BANCO DE DADOSaula 6 – álgebra relacional -

professor: Juliano Varella de Carvalho

INSTITUTO DE EXATAS E TECNOLÓGICASCurso de Ciência da Computação

agencia

E-008Helena

E-005Ana

E-001João

num_emprestimonome_cliente

devedor

18000008SAL-2

37500007SAL-2

2000006NOH-1

15000005POA-1

40000004POA-1

45000003NOH-1

30000002SAL-1

12000001SAL-1

saldonumero_contanome_agencia

conta

125588São LeopoldoSAL-2

1250369Porto AlegrePOA-1


260050Novo HamburgoNOH-1

saldocidade_agencianome_agencia

Novo HamburgoFloriano PeixotoBeatriz

Porto alegreAssis BrasilAna

Novo HamburgoJoão GoulartJosé

São LeopoldoCecília MeirelesPaulo

Porto AlegreJoão PessoaMaria

Novo HamburgoOlavo BilacFrancisco

São LeopoldoGetúlio VargasPedro

São LeopoldoGetúlio VargasJoão

cidaderuanome

cliente

0005Ana

0006José

0007Paulo

0004Maria

0003Francisco

0002Pedro

0001João

numero_contanome_cliente

depositante

5420E-008NOH-1

25400E-005POA-1

40000E-001SAL-1

totalnum_emprestimonome_agencia

emprestimo

5.1. Álgebra Relacional – relações de exemplo

• Linguagens de Consulta: linguagem por meio da qual os usuários obtêm informações do banco de dados. Podem ser:

- procedurais: o usuário descreve uma seqüência de operações para obter o resultado desejado; Ex: pascal, pl-sql, transact-sql, etc.- não procedurais: o usuário descreve a informação desejada, sem instruir como esta será obtida. Ex: sql, QBE (Query by example), etc.

• Álgebra Relacional: linguagem de consulta que consiste em um conjunto de operações, tendo como entrada uma ou duas relações e produzindo como resultado uma nova relação. Operações mais importantes:

- select; - set difference;- project; - cartesian product;- Union; - rename;- namely - set intersection;- natural join - division;- assignment;

- Operações primárias: operam sobre uma única relação: select, project, rename.

- Operações binárias: operam sobre duas relações: union, set difference, cartesian product.

5.2. Álgebra Relacional – conceitos

O resultado da seleção é

- podem ser usados comparações do tipo: =,≠,≥,>,≤,< e os conectivos: ∧ (e) ∨ (ou)

• Operação PROJECT: denotada pela letra grega pi (π), esta operação retorna a relação com somente os atributos selecionados, eliminando as linhas em duplicidade. Os atributos aparecem ao lado de pi, subscrito, e a relação aparece entre parênteses.

30000002SAL-1

12000001SAL-1






saldocidade_agencianome_agencia agencia

Ex: πnome_agência,saldo(agencia)

125588SAL-2

1250369POA-1

455580SAL-1

260050NOH-1

saldonome_agencia

5.3. Álgebra Relacional – operações fundamentais

• Operação SELECT: seleciona as tuplas que satisfaçam um determinado predicado. A letra sigma representa a seleção, o predicado aparece subscrito a sigma, e a relação utilizada é colocada entre parênteses.

Ex: σnome_agencia = “SAL-1”(conta) : seleciona as tuplas da relação conta cuja agência é igual a “SAL-1”.

- Juntando operações SELECT E PROJECT: pode-se unir operações desde que elas tratem de relações.

πnome_agencia,saldo(σnome_agencia = “SAL-1”(conta) )

3000SAL-1

1200SAL-1

saldonome_agencia

30000002SAL-1

12000001SAL-1


37500007SAL-2

2000006NOH-1

15000005POA-1

40000004POA-1

45000003NOH-1

30000002SAL-1

12000001SAL-1

saldonumero_contanome_agenciaconta


• Operação UNION: considere a seguinte consulta: selecionar todos os nomes de clientes que tenham um empréstimo, uma conta ou ambos. Deve-se utilizar as relações “depositante” e “devedor”.

πnome_cliente(devedor) ∪ πnome_cliente(depositante)

Helena

Ana

José

Paulo

Maria

Francisco

Pedro

João

nome_cliente

(depositante)

(devedor)

(estão nas 2 relações)

- Uma operação UNION entre duas relações “r” e “s” só é possível se:

i. as relações “r” e “s” têm o mesmo número de atributos;

ii. os domínios dos i-ésimo atributo de “r” e o i-ésimo atributo de “s” devem ser os mesmos para todo “i”.

• Operação Diferença entre conjuntos: sendo “r” e “s” duas relações, “r-s” tem como resultado o conjunto de tuplas que estão na relação “r”, mas não encontram-se na relação “s”.

- Ex: selecionar todos os clientes que tem conta mas não tem empréstimo.

πnome_cliente(depositante) - πnome_cliente(devedor)


Ana

José

Paulo

Maria

Francisco

Pedro

João

nome_cliente

Linhas eliminadas

Clientes com contasMas sem empréstimos

5.4. Álgebra Relacional – operações adicionais• Operação de Interseção de conjuntos: captura todas as tuplas que encontram-se em uma relação “r”, e que também encontram-se na relação “s”.

- Ex: Selecionar os nomes de clientes que possuem uma conta e um empréstimo.

πnome_cliente(devedor) ∩ πnome_cliente(depositante)

0005Ana

0006José

0007Paulo

0004Maria

0003Francisco

0002Pedro

0001João


depositante

E-008Helena

E-005Ana

E-001João


devedor

Ana

João

nome_cliente

r ∩ s = r – (r - s)

r s

r-s

r –

(r -

s)

• Operação Produto Cartesiano: permite combinar informações de duas relações quaisquer. Representado por “r x s”.

Ex: Qual o produto cartesiano entre as relações devedor e emprestimo.

(devedor)x(emprestimo) = (nome_cliente, num_emprestimo, nome_agencia, num_emprestimo, total)

Obs: Para evitar o problema da duplicidade de nomes de atributos insere-se o nome da relação antes do atributo:

(nome_cliente, devedor.num_emprestimo, nome_agencia, emprestimo.num_emprestimo, total)

- Quantas e quais tuplas aparecerão na relação (devedor x emprestimo) ?Se a relação (devedor) possui “n” tuplas e a relação empréstimo tem “m” tuplas, então o produto cartesiano (devedor x empréstimo) tem n*m tuplas.


5420E-008NOH-1

25400E-005POA-1

40000E-001SAL-1

5420E-008NOH-1

25400E-005POA-1

40000E-001SAL-1

5420E-008NOH-1

25400E-005POA-1

40000E-001SAL-1

totalemprestimo.num_emprestimonome_agencia

E-001João

E-001João

E-008Helena

E-008Helena

E-008Helena

E-005Ana

E-005Ana

E-005Ana

E-001João

devedor.num_emprestimonome_cliente

devedor x emprestimo

- Agora, deve-se encontrar todos os nomes de clientes que tenham um empréstimo na agência “SAL-1”, através da operação:

σnome_agência = “SAL-1”(devedor x emprestimo)


40000E-001SAL-1

40000E-001SAL-1

40000E-001SAL-1

totalemprestimo.núm_emprestimonome_agencia

E-008Helena

E-005Ana

E-001João


Apenas João fez empréstimo em SAL-1.

OPS !!!

Obs: Como a operação produto cartesiano associa todas as tuplas de empréstimos a todas as tuplas de devedor, então existem empréstimos que estão relacionados erroneamente a alguns clientes. Para contornar este problema, devemos exigir que o atributo devedor.num_emprestimo seja igual ao atributo emprestimo.num_emprestimo.

- Assim temos:σdevedor.num_emprestimo = emprestimo.num_emprestimo (σnome_agência = “SAL-1” (devedor x empréstimo))

πnome_cliente(σdevedor.num_emprestimo = emprestimo.num_emprestimo (σnome_agência = “SAL-1” (devedor x empréstimo)))

40000E-001SAL-1

totalemprestimo.num_emprestimonome_agencia

E-001João


João

nome_cliente

5.3. Álgebra Relacional – operações fundamentais• Operação Rename: representado pela letra grega rho (ρ), permite dar um nome a uma determinada expressão.

Assim, a expressão em álgebra relacional E abaixo tem por resultado uma expressão sob o nome x.

ρx(E)

Ex: Desejamos o nome dos clientes que moram na mesma cidade de Francisco.

Primeiro, é necessário descobrir em qual cidade Francisco mora,fazendo uma seleção:

σnome_cliente = “Francisco”(cliente),

E depois uma projeção:

πcidade_cliente(σnome_cliente = “Francisco”(cliente))

Para encontrar os outros clientes, é necessário fazer uma varredura na relação cliente, comparando o atributo cidade_cliente com o atributo da relação obtida após a projeção anterior, ficando assim:

πnome_cliente(σcliente.cidade_cliente = cid_francisco.cidade_cliente

(cliente x ρcid_francisco(πcidade_cliente(σnome_cliente = “Francisco”(cliente)))))









cidade_clienterua_clientenome_cliente

cliente



Novo Hamburgo

cidade_cliente










Novo Hamburgo

Novo Hamburgo

Novo Hamburgo

Novo Hamburgo

Novo Hamburgo

Novo Hamburgo

Novo Hamburgo

Novo Hamburgo

cidade_cliente

Beatriz

José

Francisco

nome_cliente

• Operação de Junção Natural: a junção natural ou natural join é uma operação binária que permite combinar seleções e um produto cartesiano em uma só operação.

- Ex: encontrar todos os nomes de clientes que tenham um empréstimo no banco, bem como o total emprestado.

Utilizando apenas as operações fundamentais, poderia ser resolvido assim:

πnome_cliente, emprestimo.num_emprestimo, total(σdevedor.num_emprestimo = emprestimo.num_emprestimo (devedor x emprestimo))

5.4. Álgebra Relacional – operações adicionais

No entanto, é possível simplificar esta operação utilizando o símbolo da junção natural: A junção natural forma um produto cartesiano das duas relações, e já executa uma seleção, fazendo a equivalência dos atributos que aparecem em ambos os esquemas da relação, e por último, remove os atributos em duplicidade.

πnome_cliente, num_emprestimo total(devedor empréstimo)

5420

25400

40000

total

E-008

E-005

E-001

num_emprestimo

Helena

Ana

João

nome_cliente


Formalizando: Sendo R e S dois esquemas de relação, ou seja, uma lista de atributos e r(R) e s(S) duas relações, a junção natural de r e s (r s ) é uma relação formalmente definida assim:

r s = πR∪S(σr.A1=s.A1∧ r.A2=s.A2∧... ∧r.An=s.An(r x s))

Em que R ∩ S = {A1,A2,...,An}

Propriedades:

- a junção natural é associativa, portanto:

cliente conta depositante = (cliente conta) depositante = cliente (conta depositante)

- se r(R) e s(S) são relações sem atributos comuns, então r s = r x s


• Operação de Divisão: a divisão de duas relações R ÷ S, onde os atributos de S estão contidos nosatributos de R, A(R) ⊆ A(S), resulta na relação T, onde A(T) = { A(R) – A(S) }, onde para cada tuplat que aparece no resultado, os valores de t devem aparecer em R, combinando com cada tupla de S. Esta operação é utilizada nas consultas em que se emprega a frase “para todos”;

b4a3

b4a2

b4a1

b3a4

b3a3

b3a2

b2a3

b2a1

b1a4

b1

b1

b1

A2

a3

a2

a1

A1

R

a3

a2

a1

A1

S

b4

b1

A2

R ÷ S


18000008SAL-2

37500007SAL-2

2000006NOH-1

15000005POA-1

40000004POA-1

45000003NOH-1

30000002SAL-1

12000001SAL-1






saldocidade_agencianome_agencia

conta agencia

0008João

0005Ana

0006José

0007Paulo

0004Maria

0003Francisco

0002Pedro

0001João


depositante



saldocidade_agêncianome_agência

SAL-2

SAL-1

nome_agência

SAL-2João

POA-1Ana

NOH-1José

SAL-2Paulo

POA-1Maria

NOH-1Francisco

SAL-1Pedro

SAL-1João

nome_agencianome_cliente

João

nome_cliente

- Ex: encontrar todos os clientes que tenham conta em todas as agências localizadas em São Leopoldo.

πnome_agencia(σcidade_agencia = “São Leopoldo”(agencia))

πnome_cliente, nome_agencia(depositante conta) ÷πnome_agencia(σcidade_agencia = “São Leopoldo”(agencia))

πnome_cliente, nome_agencia(depositante conta)


• Operação de Atribuição (Assignment Operation): trabalha de maneira similar à atribuição das linguagens de programação. Representada por ←

- Atribui-se a relação resultante de uma operação à direita de ←, a uma variável temporária, à esquerda, a qual poderá ser utilizada em relações subseqüentes.

- Ex: operação de divisão anterior poderia ser descrita como:

temp1 ← πnome_agencia(σcidade_agencia = “São Leopoldo”(agencia))

temp2 ← πnome_cliente, nome_agencia(depositante conta)

resultado ← temp2 ÷ temp1

5.5. Álgebra Relacional – operações estendidas

• Projeção generalizada: estendem as projeções, permitindo que operações aritméticas sejam usadas nas projeções.

πF1, F2, ..., Fn(E)

Onde E é uma expressão em álgebra relacional e cada Fi são expressões aritméticas envolvendo constantes e atributos no esquema de E.

- Ex: Dada a relação crédito, descobrir quanto cada cliente ainda pode utilizardo seu crédito pessoal.

πnome_cliente, limite_credito – credito_usado(credito)

36003600Flávia

50005800Maria

15001200Pedro

1003200Ana

22004000José

credito_usadolimite_creditonome_cliente

credito

0Flávia

800Maria

-300Pedro

3100Ana

1800José

limite_credito - credito_usadonome_cliente

5.5. Álgebra Relacional – operações estendidas• Junção externa (outer join): extensão da operação de join para resolver informações omitidas.

- Ex: Dadas as relações a seguir com os seguintes esquemas:

empregado(nome_empregado, rua, cidade)

trabalhador_integral(nome_empregado, nome_agencia, salario)

João Pessoa

Getúlio Vargas

Assis Brasil

João Goulart

rua

Porto AlegreMaria

São LeopoldoPedro

Porto AlegreAna

Novo HamburgoJosé

cidadenome_empregado

POA-1

SAL-1

POA-1

NOH-1

nome_agencia

6500Maria

3200Flávia

4800Ana

5000José

salarionome_empregado

trabalhador_integralempregado

Descobrir a rua, cidade, agência e salário de todos os empregados.

Alternativa natural é fazer uma seleção com uma junção natural:

πnome_empregado, rua, cidade, nome_agencia, salario(empregado trabalhador_integral)

João Pessoa

Assis Brasil

João Goulart

rua

Porto AlegreMaria

Porto AlegreAna

Novo HamburgoJosé


POA-1

POA-1

NOH-1

nome_agencia

6500

4800

5000

salario

problema: os dados de rua e cidade do empregado Pedro foram perdidos, bem como os dados de agência e salário foram perdidos da empregada Flávia.

solução: utilizar as operações de junções externas para evitar perda de informações, que podem ser:

5.5. Álgebra Relacional – operações estendidas


João Pessoa

Assis Brasil

João Goulart

rua

Porto AlegreMaria

Porto AlegreAna

Novo HamburgoJosé


6500POA-1

Nulo

POA-1

NOH-1

nome_agencia

Nulo

4800

5000

salario

empregado trabalhador_integral

NuloNuloFlávia

João Pessoa

Assis Brasil

João Goulart

rua

Porto AlegreMaria

Porto AlegreAna

Novo HamburgoJosé


6500POA-1

SAL-1

POA-1

NOH-1

nome_agencia

3200

4800

5000

salario



NuloNuloFlávia

João Pessoa

Assis Brasil

João Goulart

rua

Porto AlegreMaria

Porto AlegreAna

Novo HamburgoJosé


NuloNulo

6500POA-1

SAL-1

POA-1

NOH-1

nome_agencia

3200

4800

5000

salario


A junção à esquerda pega todas as tuplas da relação à esquerda que não encontraram par entre as tuplas da relação à direita, preenchendo com “nulo” os valores não encontrados. Estas tuplas são adicionadas ao resultado da junção natural.

A junção à direita pega todas as tuplas da relação à direita que não encontraram par entre as tuplas da relação à esquerda, preenchendo com “nulo” os valores não encontrados. Estas tuplas são adicionadas ao resultado da junção natural.

A junção externa total faz ambas operações acima.

Junção externa a esquerda

Junção externa a direita

Junção externa total

5.5. Álgebra Relacional – operações estendidas• Funções agregadas: são aquelas que, quando aplicadas, tomam uma coleção de valores e retornam um valor simples como resultado.

- função sum: descobrir a soma total dos salários de

todos os empregados de tempo integral.

sum salario (trabalhador_integral)

-função count: descobrir o número de agências existentes

na tabela de tempo integral.

count nome_agencia (trabalhador_integral)

count-distinct nome_agencia (trabalhador_integral)

- função avg: descobrir a média dos salários.

avg salario (trabalhador_integral)

- função min: descobrir o menor salário.

min salario (trabalhador_integral)

- função max: descobrir o maior salário.

max salario (trabalhador_integral)

POA-1

SAL-1

POA-1

NOH-1

nome_agencia

6500Maria

3200Flávia

4800Ana

5000José


trabalhador_integral

14505

sum salario

4

count nome_agencia

3

count-distinct nome_agencia

3626.25

avg salario

3200

min salario

6500

max salario

5.5. Álgebra Relacional – operações estendidas• Em alguns casos, aplicam-se as funções agregadas não somente a um único conjunto de tuplas, mas a diversos grupos, onde cada grupo é um conjunto de tuplas. Isto é realizado através da operação chamada agrupamento.

Ex: descobrir a soma total dos salários dos empregados

de tempo integral, por agência.

solução: particionar a relação trabalhador_integral em

grupos, com base na agência as quais os empregados fazem parte e,

por fim aplicar a função agregada a cada um destes grupos.

nome_agencia g sum salario (trabalhador_integral) nome_agencia g sum salario min salario (trabalhador_integral)

- Formalmente: G1, G2, ..., Gn g F1A1, F2A2, FmAm (E), onde:

E: é uma expressão qualquer em álgebra relacional;

Cada Gi constitui um atributo que será agrupado;

Cada Fi é uma função agregada;

Cada Ai é o nome de um abtributo;

3000NOH-1Bruno

1000SAL-1Beatriz

4000POA-1Fernando

POA-1

SAL-1

POA-1

NOH-1

nome_agencia

6500Maria

3200Flávia

4800Ana

5000José


trabalhador_integral

SAL-1

POA-1

NOH-1

nome_agencia

4200

15300

8000

sum salario

4200

15300

8000

sum salario

SAL-1

POA-1

NOH-1

nome_agencia

1000

4000

3000

min salario

5.5. Álgebra Relacional – modificações no BD

• exclusão: permite a exclusão de tuplas inteiras de uma relação. É expressa por:

r ← r – E, onde:

r: é uma relação;

E: é uma consulta em álgebra relacional

Ex: excluir todos as contas do cliente João.

conta ← conta - σ nome_cliente = “João” (conta)

Ex: excluir todas as contas das agências localizadas em São Leopoldo.

r1 ← σ cidade_agencia = “São Leopoldo” (conta agencia)

r2 ← π nome_agencia, numero_conta, saldo (r1)

conta ← conta – r2

5.5. Álgebra Relacional – modificações no BD• inserção: permite a inserção de um conjunto de tuplas em uma relação.

É expressa por: r ← r ∪ E, onde r é uma relação e E: é uma consulta

em álgebra relacional

Obs:

i. os valores dos atributos das tuplas a inserir devem ser membros

do domínio dos atributos;

ii. As tuplas inseridas devem ter o mesmo grau da relação.

Ex: inserir que o cliente Saulo tem 3800 na conta 010 da agência NOH-1.

conta ← conta ∪ {(“NOH-1”, 010, 3800)}

depositante ← depositante ∪ {(“Saulo”, 010)}

Ex: inserir uma nova caderneta de poupança de 100 reais para

todos os clientes da agência SAL-1, sendo o número do empréstimo o mesmo

número usado para esta conta poupança.

r1 ← σ cidade_agencia = “SAL-1” (devedor emprestimo)

r2 ← π nome_agencia, num_emprestimo (r1)

conta ← conta ∪ (r2 x {(100)})

depositante ← depositante ∪ π nome_cliente, num_emprestimo (r1)

18000008SAL-2

37500007SAL-2

2000006NOH-1

15000005POA-1

40000004POA-1

45000003NOH-1

30000002SAL-1

12000001SAL-1


conta

0005Ana

0006José

0007Paulo

0004Maria

0003Francisco

0002Pedro

0001João


depositante

E-008Helena

E-005Ana

E-001João


devedor

5420E-008NOH-1

25400E-005POA-1

40000E-001SAL-1

totalnum_emprestimo

nome_agencia

emprestimo

5.5. Álgebra Relacional – modificações no BD

• atualização: permite a mudança de uma tupla sem mudar todos os valores dela. Para isso usa-se o operador de projeção generalizada:

r ← π F1, F2, ..., Fn (r), em que cada Fi é o i-ésimo atributo de “r” se o i-ésimo atributo não for atualizado, ou, se o i-ésimo atributo for atualizado, então cada Fi é uma expressão envolvendo somente constantes e os atributos de “r”, que dá novos valores a esses atributos.

Ex: A taxa de juros aumentou e o saldo de todas as contas aumentou 5%.

conta ← π nome_agencia, numero_conta, saldo ← saldo * 1.05 (conta)

Ex: As contas com saldo acima de 2500 recebem 10%, e os demais 5%.

conta ← π nome_agencia, numero_conta, saldo ← saldo * 1.1 (σ saldo > 2500 (conta)) ∪

π nome_agencia, numero_conta, saldo ← saldo * 1.05 (σ saldo <= 2500 (conta))

Algebra Relacional

Documents

Transcript of Algebra Relacional