Ensino Superior

2.2- Integração Numérica

Amintas Paiva Afonso

Cálculo 2

Problema (I)

x

y

(x1,y1)

(x2,y2) (x3,y3)

(x4,y4)

(x5,y5)

(x6,y6)

a

b

?)(

?)(

xf

dxxfb

a

(x7,y7)g(x)

h(x)

Problema (II)

?)(

)()()(

xF

aFbFdxxfb

a

x

Motivação

• Calcular a integral de uma função f(x) em casos onde:

I) f(x) é conhecida apenas em certos pontos

II) é impossível calcular ou difícil de expressar a antiderivada F(x) de f(x)

Integração Numérica

• Utilizam-se funções polinomiais de interpolação para aproximar o valor da integral definida:

Simpson) de (Regra

Trapézio) do (Regra

Retângulo) do (Regra

2

1

0

b

a

b

a

b

a

b

a

(x)dxP

(x)dxP

(x)dxP

f(x)dx

Aproximações para a integral

Regra do Retângulo(P0(x))

Regra do Trapézio(P1(x))

Regra de Simpson(P2(x))

Regra do Retângulo

• Aproximamos a integral de f(x) divindo o intervalo [a,b] em m subintervalos e calculando a área dos retângulos de base h=(b-a)/m e altura f(x), isto é,

1

0

)()(m

kk

b

ahxfdxxf

1

0

1

2)(

m

k

kkb

ah

xxfdxxf

1

01)()(

m

kk

b

ahxfdxxf

usando f(x) do ponto à esquerda

usando f(x) do ponto à direta

usando f(x) do ponto médio

Regra do Trapézio

• Aproximamos f(x) por um polinômio de grau 1 que interpola (x0,y0) e (x1,y1)=(x0+h,y1) pela forma de Lagrange:

h

xy

h

xyyyy

h

x

h

xxy

h

hxxy

xx

xxy

xx

xxyxP

01

00001

01

00

01

01

10

101

)(

)(

)(

Regra do Trapézio

• Integrando o polinômio no intervalo [x0,x1]:

)(2

)()(2

1)(

)()2)((2

1

)())()((2

1

)(2

1)(

01

010001010

1000001

01

00001010101

01

000

2011

1

0

1

0

1

0

yyh

yyxhyyyhyyx

yyxhyhxyy

h

xy

h

xyyxxxxxxyy

h

xh

xy

h

xyyxyy

hdxxP x

x

x

x

x

x

Regra do Trapézio

• Interpretação geométrica: a expressão anterior mostra que a integral de f(x) pode ser aproximada pela a área do trapézio:

=x0 =x1 = x0+h

y0

y1

h

f(x)

)(2

h)(

)(

101

1

0

yydxxP

dxxf

x

x

b

a

Regra do Trapézio Repetida

• Dividindo o intervalo de integração em m partes iguais de medida h=(b-a)/m,

temos a Regra do Trapézio Repetida:

1

01

1

0

11

)()()(m

k

x

x

m

k

x

x

b

a

k

k

k

k

dxxPdxxfdxxf

)}()]()()([2)({2

h

])()([(2

h)(

1210

1

01

1

01

1

mm

m

kkk

m

k

x

x

xfxfxfxfxf

xfxfdxxPk

k

Regra de Simpson

• Aproximando f(x) pelo polinômio de grau 2 que interpola os pontos

(x0, f(x0)),

(x1, f(x1))=(x0+h, f(x0+h)),

(x2,f(x2))=(x0+2h, f(x0+2h)),

temos:

Regra de Simpson

200100000

201000

2102

2

10102

22020

2

12121

2

0

102

201

210

12

1

02

02

21

2

01

01

20

2

10

102

)(2

1)2()2)((

2

1

)2(2

1)22(32

2

1

2

1

2

11

)(2

)(

)(

)(

)2(

)(

))(2(

))((

))((

))((

)2)((

))((

)()()()(

yhxxyhxxyhxhx

yhxyhxyhxx

yyyxh

hh

xxxxxxy

hh

xxxxxxy

hh

xxxxxxy

hh

xxxxy

hh

xxxxy

hh

xxxxy

xx

xx

xx

xxxf

xx

xx

xx

xxxf

xx

xx

xx

xxxfxP

Regra de Simpson

• Integrando a expressão anterior no intervalo [x0,x2],

após simplificações, obtemos:

hxx

hx

x

hx

x

hx

x

xyhxxyhxxyhxhx

xyhxyhxyhx

xyyy

hxP

2200100000

22

201000

23

2102

2

2

0

0

0

0

0

0

0

0

)(2

1)2()2)((

2

1

2)2(

2

1)22(32

2

1

32

1

2

11)(

)]()(4)([3

)( 2102

2

0

xfxfxfh

dxxPx

x

Regra de Simpson

• Interpretação geométrica: a integral de f(x) é aproximada pela área entre o eixo-x e a parábola que passa pelo ponto médio e pelos extremos do intervalo [a,b] :

Regra de Simpson Repetida

• Subdividindo o intervalo [a,b] em m subintervalos (sendo m par):

obtemos a Regra de Simpson Repetida:

1

02

1

0

11

)()()(m

k

x

x

m

k

x

x

b

a

k

k

k

k

dxxPdxxfdxxf

)]()(4)(2)(4)(2)(4)([3

h

)()(4)(2)(3

h)(

143210

112

1

120

1

02

221

mm

mk

kk

k

m

k

x

x

xfxfxfxfxfxfxf

xfxfxfxfdxxPmm

k

k

Estimativas de Erro

• Pela Regra dos Trapézios Repetida:

• Pela Regra de Simpson Repetida:

)( sendo ,180

)4(

],[44

5

0

xfmáxMMmh

Emxxx

SR

)( sendo ,12 ],[

22

3

0

xfmáxMMmh

Emxxx

TR

.12

)(ou 2

2

Mhab

ETR

.180

)(ou 4

4

Mhab

ESR

Exercícios

1. a) Calcule a integral definida de f(x)=ex no intervalo [0,1] pelo método de Simpson com uma estimativa de erro inferior a 10-5.

b) Para se obter um resultado com estimativa de erro semelhante utilizando a Regra do Trapézio, quantas subdivisões do intervalo de integração são necessárias?

Exercícios

2. a) Qual o erro máximo cometido na aproximação de pela regra de Simpson com quatro subintervalos? E por Trapézios?

b) Calcule a integral pelos dois métodos e compare com a estimativa do item a).

4

0

3 )133( dxxx

Exercícios

3. Use a Regra de Simpson para integrar a função abaixo entre 0 e 2 com o menor esforço computacional possível (menor números de divisões e maior precisão). Justifique sua resposta.Trabalhe com três casas decimais.

21 ,)2(

10 ,)(

3

2

xsex

xsexxf

Exercícios

4. Sabendo que a Regra de Simpson é, em geral, mais precisa que a Regra dos Trapézios, qual seria o modo mais adequado de calcular a integral definida de f(x) no intervalo dado, usando a tabela abaixo? Aplique este processo para determinar o valor da integral.

x 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

f(x) 1.0 1.2408 1.5735 2.0333 2.6965 3.7183

Exercícios para Entrega

1. a) Calcule a integral a seguir pela Regra do Trapézio e pela Regra de Simpson, usando quatro e seis divisões do intervalo [a,b]. Compare os resultados.

b) Quantas divisões do intervalo são necessárias, no mínimo, para se obter erros menores que 10-5, com cada uma das regras?

14

2 x

dx

Respostas aos exercícios

1. a) m 8; para m=8 temos IS= 1.718284 b) m 151

2. ESR=0; IS=172; |ETR | ≤ 24; IT=184.

3. IS=44.083 com erro zero.

4. I = 4.227527 (Trapézios no primeiro intervalo e o restante por Simpson).

1. a) Trapézios (m=4): 4.7683868

Trapézios (m=6): 4.7077771

Simpson (m=4): 4.6763744

Simpson (m=6): 4.6614894

b) Trapézios: 1382

Simpson: 80