Análise de Circuitos - Um enfoque em sistemas

7/22/2019 Anlise de Circuitos - Um enfoque em sistemas

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Anlise de circuitos: um enfoque de sistemas segunda edio

ISBN 978-85-87978-17-2

Copyright 2010 Karl Heinz Kienitz

Too! o! ireito! re!er"ao!#

Capa$ %&'a (!a'o

Anlise de circuitos: um enfoque de sistemas segunda edio) porKarl Heinz Kienitz)e!t* li+en+iaa !o,&a .i+en/a Creati"e Coon! Bra!il#eri!!e! al o e!+opo e!ta li+en/a poe e!tar i!pon3"ei!"ia http$44#ele#ita#,r46'ienitz4#

Dados Internacionais de Catalogao na Publicao (CIP)

Kienitz) Karl Heinz

n*li!e e +ir+&ito!$ & eno&e e !i!tea! 4 Karl Heinz Kienitz : 2#e# : S;o ngenharia >ltri+a# ?# >ngenharia >letr@ni+a# ?# >letri+iae# I#T3t&lo

CA : 21#?#0D9

Eni+e! para +at*logo !i!te*ti+o$

1# >ngenharia eletr@ni+a$ +ir+&ito! : 21#?#0D92# n*li!e e +ir+&ito! : 21#?#0D9#77

Ai"i!;o e >ngenharia >letr@ni+aIn!tit&to Te+nol=gi+o e eron*&ti+ara/a Fare+hal >&aro Goe!) 50 : ila a! +*+ia!12#228-900 S;o


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memria de meus avs Ewald, Agnes, David e Maria.

Com sua f no Deus da Bblia moveram montanhas.


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Esta edio contm uma verso revista e corrigida de Anlise de circuitos: um enfoque de sistemas, cujaprimeira edio surgiu de notas de aula da disciplina Anlise de Circuitos ministrada aos alunos dos cursosde Engenharia Eletrnica e Engenharia de Computao do ITA, o Instituto Tecnolgico de Aeronutica. Adisciplina de anlise de circuitos no ITA tem sido usada tambm para introduzir conceitos fundamentais deanlise de sistemas dinmicos. Circuitos eltricos so sistemas dinmicos, da a naturalidade da opo deapresent-los com um enfoque de anlise de sistemas dinmicos.

O objetivo deste texto apresentar as principais ferramentas tericas e situaes tpicas em circuitos aoestudante e ao profissional interessado num texto de referncia. A sequncia de apresentao pretende sernatural, iniciando com o geral e caminhando para o particular. Assim trata-se, inicialmente, do circuito(linear ou no-linear) no domnio do tempo. Em seguida passa-se discusso de circuitos lineares (isto , aum caso particular) usando as ferramentas pertinentes. Somente depois so tratados fasores e circuitoslineares em regime permanente senoidal (isto , uma situao especial do caso particular).

A abordagem adotada ao mesmo tempo densa e de compreenso facilitada, pois nada precisa ser decorado,tudo pode ser deduzido e portanto entendido; o ponto de partida so leis fundamentais e as equaes comelas obtidas. O texto foi concebido de forma a criar os fundamentos de uma cultura de circuitos adequada saplicaes em constante e rpida evoluo, hoje permeadas de circuitos integrados. Alm das tcnicasconsagradas para lidar com os elementos de circuito padro (resistores, indutores e capacitores lineares) e o

j clssico ampliador operacional, o texto confronta o leitor com exemplos de tcnicas que permitemexplorar os benefcios da no-linearidade quando dispositivos (como o MOSFET, tpico de circuitosintegrados) so usados em quantidade para obteno de alguma caracterstica de interesse.

Sou grato a todos que me ajudaram com crticas e sugestes da primeira edio e de verses preliminares.Igualmente agradeo aos meus colegas da Diviso de Engenharia Eletrnica do ITA por valiosas discussessobre aspectos tcnicos e didticos em anlise de circuitos.

Esta segunda edio difere da primeira pelas usuais correes ao texto, bem como por um refinamento eocasional detalhamento de colocaes e explicaes em alguns pontos.


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1. Leis de Kirchhoff......................................................................................................12. Resistores com dois terminais ..................................................................................113. Resistores com mltiplos terminais..........................................................................284. Ampliadores operacionais ........................................................................................425. Circuitos de primeira ordem.....................................................................................526. Circuitos de segunda ordem e ordem superior..........................................................667. Transformada de Laplace e resposta em frequncia .................................................858. O critrio de Nyquist.................................................................................................1029. Regime permanente senoidal ....................................................................................11110.Circuitos com vrias portas de acesso; reciprocidade ..............................................124Apndice A: Fraes parciais .........................................................................................132

Apndice B: Fator de mrito...........................................................................................133

Referncias .....................................................................................................................137

ndice remissivo..............................................................................................................138


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Anlise de circuitos: um enfoque de sistemas

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1. Leis de Kirchhoff

Este texto dedicado ao estudo da teoria de circuitos, mais especificamente sua aplicao em anlise de

circuitos.

Teoria de circuitos a disciplina de engenharia voltada para o desempenho eltrico, definido por valores de

tenses e correntes. Os fenmenos e propriedades fsicas subjacentes ao comportamento eltrico, isto ,

aquelas que o provocam, no so objeto de estudo aqui.

O objetivo da teoria de circuitos a predio do comportamento de circuitos fsicos visando a melhorias dos

projetos. Em anlise de circuitos, a preocupao principalmente com o estudo de circuitos j projetados (ou

existentes). A atividade criativa e de concepo envolvendo circuitos denominada projeto de circuitos e est

alicerada sobre um bom conhecimento da anlise. Da a grande importncia de se conhecer a anlise.

Em circuitos existem duas grandezas fsicas fundamentais:

Tenso: A tenso (ou diferena de potencial) entre 2 pontos medida pelo trabalho necessrio paratransferir carga unitria de um ponto para o outro. A diferena de potencial entre dois pontos

perfazendo uma tenso de 1 [V] corresponde a um trabalho de 1 [J] necessrio para transferir uma

carga de 1 [C].

Corrente: Corrente a transferncia (fluxo) de carga. Uma corrente de 1 [A] equivale

transferncia de carga de 1 [C/s].

Circuitos, modelos e elementos de circuito

Dispositivos de circuito, circuitos fsicos

Um dispositivo de circuito um componente eltrico/eletrnico, isto , um objeto fsico. Exemplos de

dispositivos so: resistores, capacitores, transistores, circuitos integrados, transformadores, chaves, fontes detenso e corrente. Um circuito fsico (eltrico/eletrnico) um conjunto interconectado de dispositivos. Para

a interconexo, geralmente usa-se algum meio condutor metlico (cabo, fio, filete etc.).

Resistores e capacitores so os dispositivos de circuito mais comuns. Eles esto presentes em praticamente

todos os circuitos existentes e so fabricados em diversas tecnologias. Os resistores mais comuns so os de

fio e de carbono. Os capacitores mais comuns so os de cermica, polister e os eletrolticos. Resistores de

carbono e capacitores de polister tipicamente tm marcao de seu valor no corpo do componente usando

faixas de cores. As primeiras trs faixas indicam nmeros D1, D2e M que apontam o valor do componente da

seguinte forma: D1D210M

. As unidades so [] para os resistores e [pF] para os capacitores. O cdigo de

cores o seguinte:

Cor Dgito associado

Preto 0

Marrom 1

Vermelho 2

Laranja 3

Amarelo 4

Cor Dgito associado

Verde 5

Azul 6

Violeta 7

Cinza 8

Branco 9

Na terceira faixa de resistores ainda podem ser usados ouro (M = -1) ou prata (M = -2). A cor da quarta faixa

indica a tolerncia do componente:

Resistores: 5% (ouro), 10% (prata), 20% (ausente)

Capacitores: 10% (branco), 20% (preto ou ausente)

A tenso de isolamento para os capacitores indicada pela cor de uma quinta faixa:

250V (vermelho) 400V (amarelo) 630V (azul)


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- 2 -

Capacitores eletrolticos possuem polaridade, que sempre est indicada no corpo do dispositivo. Seu uso

exige ateno especial.

Elementos de circuitos e circuitos

Elementos de circuitos so modelos ideais de dispositivos. Trata-se portanto de objetos idealizados. Osseguintes elementos de circuito so os mais comuns:

o resistor com a caracterstica v = Ri;

o indutor com a caracterstica v = Ldi/dt;

o capacitor com a caracterstica i = Cdv/dt.

Um modelo de dado dispositivo composto de um ou mais elementos de circuito.

Exemplo:

Dispositivo Elemento de circuito correspondente

bobina indutor

condensador capacitor

Um modelo resulta de aproximaes. Por isso podem existir diversos modelos para um mesmo dispositivo,

dependendo das aproximaes usadas. As aproximaes usadas dependem das aplicaes nas quais se deseja

empregar o dispositivo. Dispositivos para os quais isto fato estabelecido so, por exemplo, ampliadores

operacionais e transistores de todo tipo.

Por circuito, finalmente, entende-se a interconexo de elementos de circuito. Assim o circuito tambm um

modelo, no caso de um circuito fsico. Do ponto de vista de sistemas, entende-se um circuito como um

sistema e partes de circuitos como sub-circuitos ou subsistemas.

Quando interconectamos diversos elementos de circuito, temos um nem cada juno. Alm disso, terminais

que permanecem abertos tambm so ns.

elemento 1

elemento 21

2 3

FIGURA 1.1 Elementos de circuito, terminais e ns.

O que anlise de circuitos?

A Figura 1.2 ilustra o contexto no qual se insere a anlise de circuitos. Ela a ferramenta que, de forma

semelhante ao experimento, permite extrair informao quantitativa de um circuito. O experimento

realizado com o sistema fsico (circuito fsico ou aparelho). A anlise realizada com o circuito, que o

modelo do sistema fsico.

Aparelho Circuito

modelamento

medidasresultados

calculados

H concordncia?

anliseexperimento

FIGURA 1.2 Contexto da anlise de circuitos.


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- 3 -

Em anlise de circuitos, empregam-se o conhecimento matemtico e o de leis eltricas que constituem objeto

deste livro.

Observaes:

Em teoria de circuitos supe-se que os modelos de cada dispositivo sejam conhecidos.

Na prtica, modelos adequados geralmente existem.

Circuitos concentrados circuitos distribudos

Do ponto de vista de modelagem, importante diferenciar os circuitos concentrados dos circuitos

distribudos. Um circuito considerado concentrado quando suas dimenses fsicas permitem supor que os

sinais de interesse se propagam instantaneamente. Para c(velocidade de propagao) e f (maior frequncia

de interesse) definidos, temos isto como vlido, se para o maior caminho no circuito a seguinte condio for

verdadeira:

f

cd


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- 4 -

Definies:

Circuito conectado aquele no qual todo n pode ser alcanado a partir de qualquer outro por meio

de um caminho atravs dos elementos do circuito.

N de referncia qualquer n adotado por conveno para a medida de potenciais eltricos.

Lei de Kirchhoff das tenses

LKT (Lei de Kirchhoff das tenses)

Para todos os circuitos concentrados, para todas as escolhas de ns de referncia, para todos os

tempos te para todos os ns kejvale

)()()( tetetv jkjk =

onde )(tej o potencial do njno tempo t. Tem-se ainda

)t(v)t(v kjjk = .

j

k

n

+

-

...

...

vk-j

en= 0

+-

ej

ek

+

...

FIGURA 1.4 Diagrama para enunciado da LKT.

Outra formulao para a Lei de Kirchhoff das tenses, denominada formulao nodal, a seguinte: para

todososcircuitosconcentradosconectados,paratodasassequnciasdensfechadas(isto, que iniciam e

terminam no mesmo n), para todos os tempos t, a soma algbrica de todas as tenses n-a-n ao longo de

qualquer sequncia de ns escolhida igual a zero.

Lei de Kirchhoff das correntes

Definio

Uma superfcie fechada tipo balo receber o nome de superfcie gaussiana.

LKC (Lei de Kirchhoff das correntes)

Para todos os circuitos concentrados conectados, para todas as superfcies gaussianas S e todos

tempos t, a soma algbrica de todas as correntes deixando a superfcie Sno tempo t nula.

A formulao nodal para a Lei de Kirchhoff das correntes a seguinte: para todos os circuitos concentrados

conectados e todos tempos t, a soma algbrica de todas as correntes deixando qualquer n no tempo t nula.

Observaes:

LKT e LKC so encarados como postulados fundamentais.

LKT e LKC refletem propriedades da interconexo e no dos elementos de circuito.

LKT e LKC (se empregadas como enunciadas aqui) resultam em equaes algbricas homogneas

lineares com coeficientes reais de valor 0, 1 ou 1.


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- 5 -

Exemplo: Para ilustrar o equacionamento usando LKC e LKT ser usado o circuito representado no

diagrama esquemtico anotado da Figura 1.5.

i8(t)

S1

-

+

1

2

3

4

5

i2(t)

i5(t)

i6(t)

i11(t)i1(t)

i4(t)

i10(t)

i9(t)

i3(t)i7(t)

S2

FIGURA 1.5 Diagrama esquemtico anotado.

Equao LKC para S1: i3 i1 i2= 0

Equao LKC para S2: i11 i10 i7+ i4= 0

Equao LKT para a sequncia de ns 5 2 4 5: v5-2+ v2-4+ v4-5= 0

Do circuito ao grafo

Visando a uma mecanizao da aplicao das leis de Kirchhoff, associaremos a cada circuito um grafo

direcionado (que no ser, necessariamente, nico). O grafo direcionado uma representao grfica padro

para circuitos e obtida como descrito a seguir.

Um grafo definido por um conjunto de ns e um conjunto de ramos ligando estes ns. Se os ramos

receberem uma orientao (o que acontecer no nosso caso), o grafo chamado de grafo direcionado ou

dgrafo.

O dgrafo associado a um elemento de circuito com dois terminais o mostrado na Figura 1.6.

+

i1

-

1

2

v1= v1-2

1

2

1

2

1oui1

FIGURA 1.6 Elemento de circuito de dois terminais e dgrafo associado.

v1 a chamada de tenso de ramo e i1 chamada de corrente de ramo. Com as direes escolhidas, o produto

v1i1corresponde potncia entregue ao elemento de circuito atravs de seus terminais.

Para associar um grafo a um elemento de circuito com mais de dois terminais, considere-se o elemento de n

terminais da Figura 1.7.


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- 6 -

1

2 k

n

...

...

ik

i1

i2

in

FIGURA 1.7 Elemento de circuito de n terminais.

Como sabemos pela LKC que apenas n 1 correntes so independentes, pois

0)(

1

==

n

j

j ti ,

passamos a desconsiderar in(e a equao acima) e associamos ao elemento de circuito o grafo da Figura 1.8.

O n ntorna-se assim o n de referncia do elemento de circuito. Em vez de optar pelo n ncomo n de

referncia, poder-se-ia optar por qualquer outro n. O grafo resultante seria diferente, porm equivalente.

1

2n-1

n

...

n-11

2

FIGURA 1.8 Grafo associado a elemento de circuito de n terminais.

A potncia instantnea fornecida a um elemento de circuito atravs de seus nterminais vale:

)()()(

1

1

titvtp j

n

j

j

=

=

Exemplo: Ao ampliador operacional do circuito da Figura 1.5 pode-se associar um grafo como mostrado

abaixo. Neste caso, adotou-se o n 5 como n de referncia (no para o circuito, mas para o ampliador

operacional). Esta escolha no a nica possvel. Para outras escolhas, o grafo resultante ser diferente,

porm equivalente.

-

+

2

3 4

5

i11(t)

i4(t)

i10(t)

i7(t) 3

2

5

7

10

4

4

FIGURA 1.9 Grafo associado a um ampliador operacional.


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- 7 -

O grafo de um circuito obtido pela interconexo dos grafos de seus elementos de circuito.

Exemplo:Um grafo representativo do circuito da Figura 1.5 dado a seguir:

3

2

5

710

4

41

3

2

19

5

6

8

FIGURA 1.10 Grafo correspondente ao circuito da Figura 1.5.

O problema remanescente o procedimento (ainda em aberto) com os circuitos no-conectados. Circuitos

no-conectados podem ser conectados usando um ramo de conexo "artificial", desprovido de significado

fsico, pois por ele no passar corrente. O procedimento ilustrado na Figura 1.11.

1

2

1

3

4

2

1

2

1

3

4

2

3

1

2

3

1 2

FIGURA 1.11 Grafo desconectado (acima esquerda) e o equivalente conectado (acima direita) que

pode ser simplificado eliminando-se o n 4(ao meio).

Ao equacionar circuitos usando as leis de Kirchhoff, os seguintes lapsos podem ocorrer com facilidade:

pode-se omitir alguma equao importante;

podem-se obter equaes linearmente dependentes, isto , equaes em excesso.

Para ambos os casos, uma possvel soluo encontra-se num equacionamento sistemtico a partir do dgrafo

do circuito.

LKC e LKT usando grafos e notao matricial

Para exposio do assunto, considere-se para equacionamento usando LKC e LKT um circuito com o dgrafo

da Figura 1.12.


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1

2

4

5

21 6

3

4

3

FIGURA 1.12: Exemplo de dgrafo.

As equaes obtidas usando LKC so:

0:4noPara

0:3noPara

0:2noPara0:1noPara

654

531

432

621

=+

=++

=+=+

iii

iii

iiiiii

Por conveno do enunciado dado para a LKC, o coeficiente da corrente que sai de um n +1 na equao

referente quele n, 1 quando entra no n, e 0 nos demais casos.

As quatro equaes obtidas so linearmente dependentes, pois a soma de seus lados esquerdos resulta em 0.

Qualquer conjunto de trs dessas equaes, no entanto, um conjunto de equaes linearmente

independentes. Tanto o conjunto de quatro equaes quanto qualquer conjunto de trs equaes podem ser

escritas na forma matricial, conforme abaixo. Aqui optou-se por eliminar a equao do n 4 (escolhendo-o

assim como n de referncia).

0

11-1-000

010101-

0011-1-0

1-00011

4n

3n

2n

1n

6

5

4

3

2

1

==

iA

i

i

i

i

i

i

a 0

010101-

0011-1-0

1-00011

6

5

4

3

2

1

==

Ai

i

i

i

i

i

i

O vetor i o vetor das correntes de ramo. A matriz Aarecebe o nome de matriz de incidncia, pois descreve

os sentidos de incidncia dos ramos nos ns. A matrizA denominada matriz de incidncia reduzida.

Uma vez que cada ramo interliga to-somente dois ns, cada coluna da matriz de incidncia dever conterum 1 e um 1. Os demais elementos da coluna devero ser nulos.

As equaes obtidas usando LKT com o n de referncia 4 (isto , e4= 0) so:

16

35

24

323

212

311

:6ramooPara

:5ramooPara

:4ramooPara

:3ramooPara

:2ramooPara

:1ramooPara

ev

ev

ev

eev

eev

eev

=

=

=

+=

=

=

Tambm essas equaes podem ser colocadas na forma matricial:


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- 9 -

Mev

e

e

e

v

v

v

v

v

v

=

=

ou

001

100

010

110

011

101

3

2

1

6

5

4

3

2

1

O vetor v o vetor das tenses de ramo. O vetor e o vetor das tenses n-referncia. (No caso, e4no

consta da equao, pois o n 4 o n de referncia.) Observa-se queM=AT.

Propriedades gerais de circuitos concentrados

Uma matriz de incidncia reduzida de um circuito conectado sempre possuir pleno posto de linhas,1como

ser enunciado e demonstrado no teorema a seguir:

Teorema

Para qualquer dgrafo com nns, as equaes obtidas pela aplicao da LKC em sua formulao

nodal para n-1 ns quaisquer formam um conjunto de equaes linearmente independentes

Demonstrao

Denotemos a equao para o njda seguinte formafj(i1, ..., in) = 0. Suponha (por absurdo) que kn-1

equaes das nso linearmente dependentes. Portanto existem a1, ..., akno todos nulos tais que:

nnj

k

j

j iiiifa ,...,devaloresostodospara0),...,( 111

==

Sem perda de generalidade pode-se assumir que todos os aj so no nulos. Considerem-se agora

dois conjuntos disjuntos de ns: os kns das equaes linearmente dependentes, e os demais. Como

o grafo conectado, existe pelo menos um ramo ligando um conjunto ao outro. A(s) corrente(s)

deste(s) ramo(s) aparece(m) uma nica vez no somatrio acima e, portanto, no pode(m) estar sendo

cancelada(s), ou seja, as equaes no podem ser linearmente dependentes, o que uma

contradio.

Uma pergunta que resta : por que com a n-sima equao o conjunto torna-se um conjunto de equaes

linearmente dependentes? Isso acontece porque cada coluna da matriz de incidnciaAapossui um nico 1 e um

nico 1, o que significa que, se somarmos todas as equaes, todos os termos estaro sendo cancelados.

Teorema de Tellegen

Seja dado um dgrafo de um circuito concentrado com bramos, vetor ide correntes de ramo e vetor

vde tenses de ramos. Ento vTi= 0.

Demonstrao

Da LKT v= ATe, onde A a matriz de incidncia reduzida e eo vetor de tenses n-referncia.

Portanto, vTi= e

TAi= 0, usando-se LKC.

Algumas interpretaes para o teorema de Tellegen

a) O produto vTido Teorema de Tellegen pode ser reescrito como

01

T==

=

)t(i)t(viv j

b

jj

1Uma matrizMpossui pleno posto de linhas se a equaoMTx= 0 admitex= 0 como nica soluo.


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- 10 -

Como visto anteriormente, vk(t)ik(t) a taxa de fornecimento de energia ao ramo kpelo resto do circuito no

tempo t. Assim pode-se concluir pelo teorema de Tellegen que a conservao de energia em circuitos

concentrados uma consequncia das leis de Kirchhoff.

b) Tanto o vetor i (soluo das equaes de LKC) como o vetor v (soluo das equaes de LKT) so

elementos do

b

. O primeiro vetor existe no subespao das solues de LKC, de dimenso b (n 1). Osegundo vetor existe no subespao das solues de LKT, de dimenso (n 1). O teorema de Tellegen nos

informa que estes dois subespaos so ortogonais.

Exerccios propostos

Exerccio 1:No circuito da Figura 1.13, considere

va-N'= 100 [V], vb-N'= 100 [V],

vc-N'= 50 [V], va-N= 16,7 [V].

a) Encontre os valores das tenses vb-Ne

vc-N.

b) Trace o dgrafo do circuito e repita oitem (a) usando o dgrafo.

+-

+-

+-

N

a

b

c

N'

FIGURA 1.13

Exerccio 2:a) Trace o dgrafo do circuito da Figura 1.5 usando o n 4 como n de referncia do ampliador

operacional. Determine a matriz de incidncia Aa e determine seu posto, isto , o nmero de linhas

linearmente independentes.

b) Usando agora o n 5 como n de referncia do ampliador operacional, escreva as equaes das leis de

Kirchhoff usando a matriz de incidncia reduzida.

Exerccio 3:

a) No circuito da Figura 1.14, d nome aos ns e ramos. Aseguir, determine o dgrafo do circuito e a matriz de incidncia

correspondente.

b) Suprima uma das linhas da matriz de incidncia e verifique

que as linhas ainda so linearmente dependentes. Explique.

c) Conecte o dgrafo obtido no item (a) e determine a matriz de

incidncia reduzida do novo dgrafo, que agora um dgrafo

conectado. Verifique que as linhas desta matriz so

linearmente independentes.

d) Usando a matriz de incidncia reduzida do item anterior,

escreva as equaes que resultam das leis de Kirchhoff.

+-

+-

FIGURA 1.14

Exerccio 4:a) Reescreva as equaes das leis de Kirchhoff para o grafo da Figura 1.12.

b) Uma soluo do sistema de equaes fica determinada com a escolha das trs tenses de ramo e de um

conjunto de 3 valores de correntes de ramo. Escolha dois conjuntos diferentes de valores para trs

correntes e a trs tenses.

c) Para cada uma de suas duas escolhas, calcule as tenses de ramo e as correntes de ramo remanescentes.

d) De posse dos valores do item (c), verifique o teorema de Tellegen, isto , verifique que de fato para

ambos os conjuntos de solues

01

T==

=

)t(i)t(viv j

b

jj .


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2. Resistores com dois terminais

Obtidas as equaes das leis de Kirchhoff, restam graus de liberdade (ver exerccio 4 do Captulo 1) e porisso importante considerar as relaes entre tenses e correntes de ramos do circuito. Essas relaes so

definidas pelo comportamento dos elementos de circuito. A primeira classe de elementos de circuito a ser

estudada a dos resistores.

Definio:

Resistor um elemento de circuito definido completamente pela relao entre os valores

instantneos de corrente i(t) e tenso v(t), isto , por sua caracterstica tenso corrente (ou corrente

tenso).

Resistores de dois terminais

No caso do resistor linear de dois terminais existe proporcionalidade entre corrente e tenso do ramo

correspondente no grafo do circuito, isto , vale a lei de Ohm:

)()(ou)()( tGvtitRitv ==

Assim R e G relacionam-se por R = 1/G. O valor R denominado resistncia (medida em Ohm, [] =

[V/A]). O valor G denominado condutncia(medida em Siemens, [S] = [A/V]). Curto circuitos (R= 0) e

circuitos abertos (G= 0) so casos-limite do resistor linear.

Mas, de forma geral, a caracterstica v(t)i(t) (ou i(t)v(t)) pode ser no-linear. No caso geral, tem-se:

{ }0),(:),( == ivfivR

Como visto anteriormente, para o caso linearfassume a forma particular

Rivivf =),(

ouGviivf =),(

~

A caracterstica resistiva f(v,i) denominada a caracterstica dual de f(v,i). Uma caracterstica f(v,i)

chamada caracterstica bilateral quando f(v,i) = f(-v,-i). A bilateralidade corresponde simetria da

caracterstica em relao origem. Resistores lineares so bilaterais.

A simbologia adotada para resistores neste trabalho indicada na Tabela 2.1.

Tabela 2.1 Simbologia para resistores de dois terminais.

Resistor linear

Rou Gi

+ -v

Resistor no-linear

f(v,i)i

+ -v

Definies:

Resistores controlados por corrente so aqueles que tm o valor de tenso entre seus terminaisunivocamente determinado para dado valor de corrente.

Resistores controlados por tensoso aqueles que tm o valor de corrente atravs de seus terminaisunivocamente determinado para dado valor de tenso.

- 11 -


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Muitas vezes um resistor tanto um resistor controlado por tenso quanto um resistor controlado por

corrente. Este o caso dos resistores lineares.

Entre resistores lineares e no-lineares existem algumas diferenas marcantes de comportamento.

Resistores no-lineares produzem harmnicas (superiores). Para resistores no-lineares, muitas vezes aproximaes lineares por partes podem ser usadas.

Tabela 2.2 Comparao de resistores lineares e no-lineares.

Resistores lineares Resistores no-lineares

)()()( 2121 vivivvi +=+ )()()( 2121 vivivvi ++

)()( vkikvi = )()( vkikvi

Exemplo:Um resistor no-linear com a caracterstica corrente tenso da Figura 2.1 produz uma forma de

onda de corrente no-senoidal, quando a tenso aplicada senoidal. A deformao da forma de onda decorrente produo de harmnicas pelo resistor no-linear.

v

i

0

forma de onda no-senoidal

de corrente

forma de onda senoidal detenso

FIGURA 2.1 Produo de harmnicas por um resistor no-linear.

Potncia, passividade e modelamento

Um resistor denominado passivo se apenas dissipa energia, isto , o produto v(t)i(t) para o ramo

correspondente do grafo do circuito positivo. Um resistor no-passivo chamado de ativo. Neste caso, o

produto v(t)i(t) para o ramo correspondente negativo

Exemplos:

Um resistor linear passivo seR0. Um resistor no-linear ativo se sua

caracterstica v(t)i(t) ou alternativamente

i(t)v(t) estiver contida inteiramente no

segundo e quarto quadrantes.i

v

FIGURA 2.2 Caracterstica v(t)i(t) de um

resistor ativo.

- 12 -


20/146


Diodo

O diodo de juno um dispositivo bastante comum em circuitos. Frequentemente pode ser aproximado por

um diodo ideal. As caractersticas do diodo ideal e um modelo exponencial para o diodo de juno so dados

na Tabela 2.3.

Tabela 2.3 Smbolos e caractersticas de diodos.

Smbolo Caracterstica Expresso analtica

Diodoideal

i+

-

v

0 v

i

{ }0p/0e0p/0,0:),( >=


21/146


{ }0),,(:),,( == tivftivR

Observao:

As variveis tenso e corrente para qualquer resistor so, de forma geral, variantes no tempo. Adefinio acima para variante no temporefere-se relao entre tenso e corrente de ramo.

Exemplos: Dois exemplos de resistores variantes no tempo so potencimetros e chaves, cujos smbolos so

dados abaixo.

Potencimetros:

R(t)i(t)

+ -v(t)

Chaves:

i(t)

+ -v(t)

FIGURA 2.4 Simbologia para potencimetros e chaves.

Fontes no controladas

Fontes de tenso e corrente com valores fixos ou dependentes apenas da varivel tempo so chamadas de

fontes no controladas (ou independentes).

Uma fonte de tenso no controlada um elemento de circuito que mantm uma tenso especificada vf(t)entre seus terminais, no importando a corrente por ela.

Uma fonte de corrente no controlada um elemento de circuito que mantm uma corrente especificadaif(t) entrando e saindo de um circuito qualquer ao qual est conectado. O valor de corrente independe da

tenso entre os terminais da fonte.

Tanto a fonte de tenso quanto a fonte de corrente satisfazem a definio dada para resistores. Os smbolosadotados para fontes de tenso e corrente independentes encontram-se na Figura 2.5.

i

+-

vf(t) if(t)

+

-

v

FIGURA 2.5 Smbolos para fontes no controladas de tenso e corrente.

Fontes de tenso invariantes no tempo so tambm frequentemente representadas pelo smbolo da Figura 2.6.

+

-

v

i(t)

FIGURA 2.6 Smbolo para fontes de tenso constantes.

O elemento de circuitofonte de tenso um elemento idealizado. A tenso entre os terminais de uma fonte

de tenso real varia quando ela conectada a um circuito. Esse efeito de carregamento modelado por uma

resistncia de sada, conforme mostrado na Figura 2.7. Para a fonte ideal R = 0.

- 13 -- 14 -


22/146


E

R +

-

0 i

v

E

E/R

i

v Carga

FIGURA 2.7 Fonte de tenso com resistor modelando o efeito de carregamento: diagrama de circuito e

caracterstica tenso corrente.

A fonte de corrente tambm um elemento idealizado. Uma fonte de corrente real pode ser modelada por

uma fonte ideal em paralelo com um resistor linear conforme mostrado na figura 2.8.

if(t)

+

-

R

i

v Carga

FIGURA 2.8 Fonte de corrente com resistor modelando o efeito de carregamento.

Conexes em srie, em paralelo e srie-paralelo

Conexes de resistores em srie, em paralelo e srie-paralelo podem ser vistas como elementos de circuitos

resistivos.

Na interconexo srie de dois ou mais resistores, as caractersticas de tenso corrente somadas ponto-a-

ponto resultam na caractersticas de tenso corrente da interconexo. O caso da interconexo srie de dois

resistores no-lineares ilustrado na Figura 2.9.

i

+ -v1

i

+ -v2

v

)()()( 21 iviviv +=

FIGURA 2.9 Interconexo srie de dois resistores no-lineares.

Na interconexo paralelo de dois ou mais resistores, as caractersticas de corrente tenso somadas ponto a

ponto resultam na caractersticas de corrente tenso da interconexo. A interconexo paralelo de dois

resistores no-lineares ilustrada na Figura 2.10.

i1

+ -i

i2

+ -v

)()()( 21 vivivi +=

FIGURA 2.10 Interconexo paralelo de dois resistores no-lineares.

- 15 -


23/146


No caso da conexo srie de nresistores lineares com resistnciasR1, ..., Rn, tem-se:

iRiRiviv

n

j

j

n

j

j

n

j

j

===

=== 111

)()(

Ou seja, o conjunto possui uma resistncia igual soma das resistncias.

No caso da conexo paralelo de m resistores lineares com condutncias G1, ..., Gm, tem-se:

vGvGvivi

m

j

j

m

j

j

m

j

j

===

=== 111

)()(

Ou seja, o conjunto possui uma condutncia igual soma das condutncias.

Na determinao da resistncia ou condutncia equivalente de interconexes srie-paralelo de resistores

lineares, procede-se por partes

Observao:

Nem toda interconexo de elementos de circuitos faz sentido. A conexo em srie de fontes de

corrente com correntes diferentes ou a conexo em paralelo de fontes de tenso com tenses

diferentes so dois exemplos de interconexes sem sentido fsico.

Exemplo: Na Figura 2.11 ilustrada a conexo srie de trs resistores e a obteno da caracterstica

resultante para a interconexo. Como se trata de uma interconexo srie, a caracterstica resultante obtida

somando-se as caractersticas de cada resistor da interconexo.

R> 0

0 i

vdiodo

E

i

+

v

-

0 i

vresistor linear

R> 0

0 i

vfonte

E

0 i

v

R> 0

E

+

+

FIGURA 2.11 Exemplo de interconexo srie e caracterstica resultante.

- 16 -


24/146


Exemplos:

1. Um divisor de tenso um subcircuito com dois resistores lineares como o mostrado na figura 2.12,que pode ser usado para criar uma tenso v2 proporcional a uma tenso disponvel v. Neste

circuito iRiRvvv 2121 +=+= e portanto

vRR

Rv

21

22

+= .

R1

R2

++

-

v v2

-

+

v1 -

i i

FIGURA 2.12 Divisor de tenso.

2.

Um divisor de corrente um subcircuito com dois resistores lineares como o mostrado na figura2.13, que pode ser usado para criar uma corrente i2proporcional a uma corrente disponvel i. Neste

circuito vGvGiii 2121 +=+= e portanto

iGG

Gi

21

22

+= .

G1 G2

+

-

v

i2i1

i

FIGURA 2.13 Divisor de corrente.

Circuitos equivalentes

Na seo anterior, ficou claro que uma interconexo de resistores em srie ou em paralelo pode ser

substituda por um resistor com caracterstica derivada daquelas dos elementos da interconexo. Diz-se

nestes casos que os circuitos correspondentes (com os vrios ou com um nico resistor resultante da

interconexo) so equivalentes. De forma geral, circuitos equivalentesso aqueles que possuem as mesmas

propriedades eltricas nas portas de acesso. Uma porta de acesso constituda de um par de pontos de acesso

ou terminais.

Exemplo: O par mais famoso de circuitos equivalentes e sua caracterstica tenso

corrente so dados naFigura 2.14.

i

+-

vf(t)vf(t)/R

+

-

v

0 i

v

Vf

R

R

i

+

-

v

-Vf/R

FIGURA 2.14 Circuitos equivalentes de Norton (esquerda) e Thvenin (centro), com caracterstica tpicapara vf(t) = Vfconstante.

- 17 -


25/146


Os parmetros R e vf(t) podem ser obtidos observando que eles se relacionam com a corrente de curto-

circuito tenso em aberto do circuito. vf(t) a prpria tenso em aberto, e R a razo entre essa tenso em

aberto e a corrente de curto-circuito.

A Figura 2.15 apresenta um circuito exemplo e seus equivalentes de Thvenin e Norton cujos parmetros

podem ser obtidos da forma descrita acima.

1

1

+-

10 sen t

1/2

+-

5 sen t 1/2 10 sen t

FIGURA 2.15 Circuito exemplo (esquerda) com seus equivalentes de Norton (direita) e Thvenin (centro).

Resistores cncavos e convexos

Nesta seo ser discutido o uso sistemtico da aproximao linear por partes para tratar caractersticas deresistores no-lineares. Tais aproximaes podem ser muito teis, pois nas regies lineares o tratamento do

circuito bastante simplificado. Duas definies sero empregadas neste estudo.

Definio 1Um resistor cncavo um elemento de circuito de dois terminais cuja caracterstica corrente

tenso e smbolo so definidos na Figura 2.16.

[ ])(||2

1)( EvEvGvi += i

+-

v

(G, E)

FIGURA 2.16 Caracterstica e smbolo de um resistor cncavo.

Definio 2Um resistor convexo um elemento de circuito de dois terminais cuja caracterstica tenso

corrente e smbolo so definidos na Figura 2.17.

[ ])(||2

1)( IiIiRiv += i+-

v

(R, I)

FIGURA 2.17 Caracterstica e smbolo de um resistor convexo.

Para G> 0 um resistor cncavo pode ser realizado pela conexo srie de um resistor linear, uma fonte de

tenso constante e um diodo ideal como mostrado na Figura 2.18.

R > 0

E

i+

v

-0

i

v

G=1/R

E

+

+

FIGURA 2.18 Realizao de um resistor cncavo (esquerda) e esboo de sua caracterstica (direita).

- 18 -


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ParaR> 0 um resistor convexo pode ser realizado pela conexo paralelo de um resistor linear, uma fonte de

corrente constante e um diodo ideal como mostrado na Figura 2.19.

0 v

i

G=1/R

I

i

I

+

-

vR

FIGURA 2.19 Realizao de um resistor convexo (esquerda) e esboo de sua caracterstica (direita).

Aproximaes lineares por partes

Na aproximao de caractersticas no-lineares quaisquer por caractersticas lineares por partes, no se

procura uma linearizao local da caracterstica, mas sim uma aproximao global por uma coleo de

segmentos de reta e semirretas. No caso de um elemento de circuito controlado por tenso, uma caracterstica

linear por partes sempre poder ser representada por:

=

++=

n

j

jj Evbvaavi

1

10 ||)( (2.1)

onde E1< ... < Enso os pontos de quebra. Dados o valor da corrente i(v = 0), e a inclinao do j-simo

segmento de reta (ou semirreta) mj, os valores de a0, a1e dos bjso calculados da seguinte forma:

=

==+=

n

j

jjjjjn Ebiammbmma

1

0101 ||)0()(2

1)(

2

1

Uma caracterstica linear por partes controlada por tenso do tipo (2.1) pode ser sintetizada (isto , criada)

por uma fonte de corrente, um resistor linear e resistores cncavos em paralelo.

Com caractersticas no-lineares controladas por corrente procede-se analogamente. A sntese nesse casoacontecer usando fonte de tenso, resistor linear e resistores convexos conectados em srie.

Exemplo: Considere uma caracterstica de diodo tnel a ser aproximada usando segmentos de reta e

semirretas. A caracterstica com uma aproximao possvel superposta mostrada na Figura 2.20 juntamente

com uma decomposio que considera o uso de um resistor linear e dois resistores cncavos, um deles com

parmetro G< 0.

0 v

i

E1 E2

0 v

i

E1 E2

G0 G2

G1

FIGURA 2.20 Aproximao linear por partes de uma caracterstica de diodo tnel e sua decomposio.

- 19 -


27/146


A expresso para a caracterstica aproximada vale:

|Ev|b|Ev|bvaa)v(i 221110 +++= (2.2)

O circuito correspondente mostrado na Figura 2.21.

i

I=0

+

-

v G0 (G1, E1) (G2, E2)

i0 i2i1

FIGURA 2.21 Circuito que aproxima a caracterstica de um diodo tnel.

Para a corrente dos ramos, tem-se:

[ ]

[ ]

210

2222

1111

00

)(||2

1

)(||2

1

iiii

EvEvGi

EvEvGi

vGi

++=

+=

+=

=

Da comparao da ltima expresso acima com a expresso 2.2, obtm-se a correspondncia entre os

coeficientes a0, a1, b1, b2e os parmetros G0, G1, G2.

2101

22110

2

1

2

1

)(2

1

GGGa

EGEGa

++=

+=

22

11

2

1

2

1

Gb

Gb

=

=

Aqui h 4 equaes com apenas 3 graus de liberdade, isto , apenas 3 das variveis podem ser escolhidas

independentemente. De fato, de consideraes anteriores tem-se que |||| 22110 EbEba += .

Anlise DC

A anlise DC consiste na obteno de solues (tenses e correntes) para circuitos invariantes no tempo com

fontes constantes (ou DC, do ingls direct current). Tais solues so chamadas pontos de operao. Para

discutir as problemticas, considerem-se dois circuitos resistivos com fontes constantes, conectados por suas

portas de acesso, conforme mostrado na Figura 2.22.

N1

i1+

-

v1 N2

i2+

-

v2

1

2

FIGURA 2.22 Dois circuitos resistivos de uma porta conectados entre si.

- 20 -


28/146


Sejam as caractersticas dos dois circuitos dadas por f1(v1,i1) = 0 e f2(v2,i2) = 0. As equaes das leis de

Kirchhoff so:

iii

vvv

LKC

LKT

==

==

21

21

Por isso, as solues (isto , os pontos de operao) so determinadas a partir do sistema de equaes

f1(v,-i) = 0

f2(v,i) = 0

Essas duas equaes combinam as caractersticas dos dois circuitos e as equaes obtidas pelas leis de

Kirchhoff, equaes estas que traduzem as propriedades de interconexo dos dois circuitos. Para a soluo

do sistema de duas equaes, podem-se usar mtodos:

analticos: quando expresses analticas para f1 e f2forem conhecidas e uma soluo analtica forvivel;

grficos: quando as caractersticasf1ef2estiverem disponveis na forma de grficos; ou numricos: usando algoritmos numricos de soluo de equaes transcendentais (no caso geral de

circuitos no-lineares).

Na anlise DC podero ocorrer 3 situaes:

existncia de soluo nica (exemplo: fonte de tenso alimentando um resistor linear); existncia de solues mltiplas (ver exemplo abaixo); soluo inexistente (exemplo: fonte de corrente alimentando diodo ideal polarizado inversamente).

Exemplo: Determinar as solues (pontos de operao) para o circuito da Figura 2.23a.

R1

i2=4v22

E1

i1 +

-

v1= v = v2

i2

(a)

211

21

21

222

1111

4

4

vi

EiRv

iii

vvv

vi

EiRv

=

+=

==

==

=

+=

(b)

0 v

i

E1

E1/R1

linha de

carga

(c)

FIGURA 2.23 (a) Circuito resistivo no-linear; (b) equacionamento da anlise DC; (c) soluo grfica da

anlise DC.

Pelo procedimento grfico de soluo ilustrado na Figura 2.23c, constata-se que existem dois pontos de

operao possveis para este circuito. O procedimento grfico equivalente soluo numrica das equaes

dadas na Figura 2.23b. No caso de caractersticas simples ou no-analticas, o procedimento grfico pode ser

vantajoso.

Anlise de pequenos sinais

Na anlise de pequenos sinais, parte-se da premissa de que, alm das fontes invariantes no tempo, existem

fontes contribuindo com sinais de corrente ou tenso de pequena amplitude. Por pequena amplitude

entende-se uma amplitude tal que os valores dos pontos de operao do circuito no sofram uma alteraosignificativa. O significado quantitativo desta hiptese varia de aplicao para aplicao, pois o que pode ser

- 21 -


29/146


uma amplitude pequena num contexto, pode no s-lo em outro. A anlise de pequenos sinais s vezes

tambm recebe o nome de anlise AC (do ingls alternated current).

Partindo da hiptese de que os sinais so de pequena amplitude, busca-se equacionar separadamente o ponto

de operao (contribuio das fontes constantes), usando anlise DC, e a contribuio do sinal, usando a

anlise de pequenos sinais. Para isto procede-se em trs passos: determina-se o ponto de operao usando o modelo no-linear; lineariza-se o circuito em torno do ponto de operao; usa-se o circuito linearizado para determinar a contribuio de sinal.

O procedimento ilustrado no exemplo a seguir.

Exemplo:Determinar v(t) em funo de vs(t) para o circuito da Figura 2.24.

R

E

+

-

v

i

+-

vs(t)

FIGURA 2.24 Circuito no-linear com diodo tnel.

As duas equaes que definem as variveis v(t) e i(t) do circuito so:

[ ])()(

)()()(

tviti

EtRitvtv s

=

+=

Em termos grficos a situao representada na Figura 2.25.

0 v

i

E

E/R

vs

(IQ,VQ)

)v(ii =

FIGURA 2.25 Determinao do ponto de operao do circuito da Figura 2.24.

O ponto de operao Q= (IQ, VQ) obtido fazendo-se vs(t) = 0 e resolvendo-se

)( QQ

QQ

ViI

ERIV

=

+=

onde i a caracterstica conhecida do diodo tnel usado no circuito.

Tenso v(t) e corrente i(t) podem ser entendidas como variveis que recebem duas contribuies:

uma do ponto de operao (valor quiescente, esttico), e uma do sinal.

Dessa forma

- 22 -


30/146


Q

Q

Ititi

Vtvtv

+=

+=

)(~

)(

)(~)(

onde )t(v~),t(i~

so as contribuies das fontes de pequenos sinais s correntes e tenses de ramos. A

movimentao em torno de Q ento descrita por:

[ ] [ ]

)(~)(~

)(~

)()(~

)(~)(

~)(

~)()(~

QQ

s

QQ

QsQ

VtvitiI

tiRtvtv

VtvitiI

EtiRRItvVtv

+=+

=

+=+

+=+

Caso )(~ tv seja pequeno, ento a seguinte aproximao de primeira ordem razovel:

[ ] [ ] )(~)(

)(~)(~

tvdv

vidViVtvitiI

QVv

QQQ

=

++=+

ou seja

)(~)()(~)(

)(~

)(~

)()(~

tvVGtvdv

vidti

tiRtvtv

Q

Vv

s

Q

=

=

=

Este equacionamento corresponde ao equacionamento de um assim chamado circuito de pequenos sinais,

que para este exemplo mostrado na Figura 2.25. A quantidade G(VQ) denominada condutncia de

pequenos sinais e funo do ponto de operao.

R

G(VQ)

+

-

+-

vs(t)

)(~

ti

)(~ tv

FIGURA 2.26 Circuito de pequenos sinais para o circuito da Figura 2.24.

A soluo da anlise de pequenos sinais contempla apenas as variaes em torno do ponto de operao e

ser:

)()(1

)(

)(~

)()(1

1)(~

tvVRG

VG

ti

tvVRG

tv

sQ

Q

sQ

+=

+=

Ganho

No exemplo anterior, a soluo para a tenso foi:

)()(1

1)(~ tv

VRGtv s

Q+= ou

)(1

1

)(

)(~

Qs VRGtv

tv

+=

A quantidade )1(1 RG+ corresponde a um ganho de tenso de sinal, que pode ser elevado, para valores

adequados negativos da condutncia de pequenos sinais G.

- 23 -


31/146


Pode-se pensar em termos de ganho tambm considerando a varivel potncia. Se definirmos a potncia de

sinal como o produto da corrente e tenso obtidos na anlise de pequenos sinais, tem-se, para o caso do

exemplo acima, o seguinte valor para o ganho de potncia de sinal

RGi~v

i~

v~

s +

=

1

1,

que neste caso coincide com o ganho de tenso. Via de regra, no entanto, os valores para o ganho de

potncia e de tenso sero diferentes.

Caractersticas de transferncia

Por caracterstica de transferncia entende-se a caracterstica que relaciona duas variveis de interesse, uma

delas considerada varivel de entrada (ou determinante) e outra varivel de sada (ou determinada pela

escolha da entrada). Quando se tratar de circuitos resistivos, as caractersticas de transferncia sempre sero

estticas e podero ser expressas usando equaes algbricas ou na forma grfica como no exemplo a seguir.

Exemplo: A caracterstica de transferncia de vi(t) para vo(t) do circuito retificador da Figura 2.27 pode ser

determinada a partir das caractersticas de cada elemento de circuito.

R

+

-

vi(t) vo(t)

-

+

FIGURA 2.27 Circuito retificador.

A caracterstica de transferncia de vi(t) para vo(t) do circuito da Figura 2.27 dada na Figura 2.28.

vi

vo

0

FIGURA 2.28 Caracterstica de transferncia do circuito retificador da Figura 2.27.

Exerccios propostos

Exerccio 1:

Suponha que um resistor no-linear controlado por tenso tenha a seguinte caracterstica:

i(t)= v(t)+v2(t)+v

3(t).

Determine i(t) para v(t) = cos(t). Quais frequncias esto presentes no sinal i(t) alm da harmnica

fundamental ?

Exerccio 2:

Determine as caractersticas i vdos circuitos da Figura 2.29.

- 24 -


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2 k

5 mA

4 k

i

+

-

v

2 k

5 mA

4 k

i

+

-

v

2 k 4 k

i

+

-

v

(a) (b) (c)

(d) (e)

FIGURA 2.29

Exerccio 3:

Os circuitos da Figura 2.29(a)-(b) so conectados em paralelo. Determine a caracterstica corrente tenso

da interconexo e determine um circuito equivalente para o conjunto, isto , um circuito mais simples com o

mesmo comportamento corrente tenso.

Exerccio 4:

Determine a caracterstica i vdo circuito da Figura 2.30. Apresente um esboo grfico da caracterstica

resultante.

2 k

5 mA

i

+

-

v

(-3.5 k, 10 mA)

(2 k, 20 mA)

FIGURA 2.30

Exerccio 5:

Trace o grafo orientado correspondente ao circuito da Figura 2.31. Determine a matriz de incidncia e a

matriz de incidncia reduzida. Determine um conjunto de equaes (suficientemente determinado) que

permita calcular todas as correntes de ramo em funo dosRi, Ij, EeI.

2 k 4 k

5 V

i+

-

v

2 k

5 V

4 k

i

+

-

v

- 25 -


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R2R1

IE

(Rb, Ib)

(Ra, Ia)

FIGURA 2.31

Exerccio 6:

a) Quais os pontos de operao (v, i) do circuito da Figura 2.32?b) Determine o circuito equivalente de pequenos sinais em cada um dos pontos de operao.

2 k500

5 mA20 V

i

+

-

v

(-3.5 k, 10 mA)

(2 k, 20 mA)

+-

vs(t)

FIGURA 2.32

Exerccio 7:

Faa um balano de potncia completo para o circuito do exerccio 6, explicando para cada ponto de operao

quais os elementos de circuito que dissipam potncia e quais os elementos que fornecem potncia no

circuito. Por balano de potncia entende-se o clculo da potncia dissipada ou fornecida por elemento de circuito

e a verificao final de que a soma das potncias fornecidas igual s dissipadas.

Exerccio 8:

Qual a caracterstica de transferncia de vi(t) para vo(t) do circuito da Figura 2.33?

50 10

+

-

vi(t) vo(t)

-

+

FIGURA 2.33

Exerccio 9:

Determine todas as correntes de ramo e tenses nodais dos circuitos da Figura 2.34.

- 26 -


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2 2

1

10 V

+

-

2 2

1

+-

10 sen t

R1

R4 R5

R6

R3

R2

i7

FIGURA 2.34

Exerccio 10:

Ache os equivalentes de Norton e Thvenin do circuito da figura 2.35, considerando todos os resistores

iguais a 1 [].

v1 [mA]

i+

-

FIGURA 2.35

- 27 -


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- 28 -

3. Resistores com mltiplos terminais

Neste captulo, o conceito de resistor estendido a certos elementos de circuito com mais de dois terminais.De forma geral, considerar-se- um resistor qualquer elemento de circuito cujo comportamento seja descritopor relaes algbricas sem o uso de equaes a diferena ou equaes diferenciais. Sero apresentadosalguns exemplos de relevncia para a engenharia eletrnica.

Resistores com mltiplos terminais

Um elemento de trs terminais ou com duas portas de acesso1(isto , dois pares de pontos de acesso) serchamado um resistor2se tenses e correntes satisfizerem a relao:

{ }0e0 21212212112121 === )i,i,v,v(f)i,i,v,v(f:)i,i,v,v(R

Seu comportamento est completamente definido pela relao entre os valores instantneos de corrente etenso, satisfazendo assim tambm a definio de resistor dada no incio do Captulo 2. Um resistor genricocom duas portas de acesso e trs terminais encontra-se representado na Figura 3.1. O par de ns 1-3 e 2-3constituem as duas portas de acesso.

+

-

i1

v1

i2

+

v2

2

3

1

FIGURA 3.1 Resistor genrico de trs terminais.

Um resistor genrico com duas portas de acesso e quatro terminais encontra-se representado na Figura 3.2.Nesse caso, as portas de acesso so formados pelos pares de ns 1-2 e 3-4. Ao contrrio do caso anterior(resistor de trs terminais), as portas de acesso no tm um terminal em comum.

i1+

-

v1

1

2

i2+

-

v2

3

4

FIGURA 3.2 Resistor genrico de quatro terminais.

Exemplo:Um resistor de trs terminais constitudo por um conjunto interligado de trs resistores lineares dedois terminais encontra-se esquematizado no interior do retngulo pontilhado da Figura 3.3.

1Uma porta corresponde a um par de pontos de acesso. Quando um elemento possui mais de uma porta,

portas distintas podem compartilhar um dos pontos de acesso.2invariante no tempo.


36/146


- 29 -

23

4

i3

R3

R2R1 i2

is2

+

-

v2

i1

+

-

v1

is1

1

FIGURA 3.3 Um resistor linear de quatro terminais.

A relao que descreve o resistor da Figura 3.3 pode ser deduzida usando as leis de Kirchhoff e a definiodos resistores lineares. Tal deduo fica proposta como exerccio. O resultado ser:

.2

1

323

331

2

1

+

+==

=

i

i

RRR

RRRRi

v

vv

A representao acima uma representao controlada por corrente. Uma representao controlada portenso tem a forma i = Gv, e neste exemplo tal representao existe e G = R-1.

Representaes possveis

Para resistores com duas portas, existem diversas representaes possveis. Elas so apresentadas na Tabela3.1.

Tabela 3.1 Representaes para resistores com duas portas

Nome variveis independentes variveis dependentes expresso

controlada por corrente i1, i

2 v

1, v

2 v = Ri

controlada por tenso v1, v2 i1, i2 i = Gv

Transmisso 1 v2, i2 v1, i1

=

2

2

1

1

i

vT

i

v

Transmisso 2 v1, i1 v2, i2

=

1

1

2

2

i

vT

i

v

hbrida 1 i1, v2 v1, i2

=

2

1

2

1

v

iH

i

v

hbrida 2 v1, i2 i1, v2

=

2

1

2

1

i

vH

v

i

Os elementos da matrizRpodem ser interpretados como indicado a seguir:

=

2221

1211

rr

rrR

r11: resistncia da porta 1 quando i2= 0; r21: resistncia de transferncia quando i2= 0; r12: resistncia de transferncia reversa quando i1= 0; r22: resistncia da porta 2 quando i1= 0.


37/146


- 30 -

Para os elementos das matrizes G, H, H,T e Texistem interpretaes semelhantes.

As representaes da Tabela 3.1 so especialmente teis quando os elementos das matrizes R,G, H, H,T eTforem constantes, o que acontecer para resistores lineares.

Alguns elementos de circuito resistivos comuns de duas portas

Fontes controladas

Fontes controladas so elementos de circuito idealizados muito teis no modelamento de dispositivos reais,em especial os ativos, tais como ampliadores operacionais e transistores. Nas Figuras 3.4 a 3.7, encontram-sediagramas de definio e representaes para fontes controladas lineares. muito til trabalhar tambm comfontes controladas no-lineares. Para isso basta uma pequena extenso das definies, substituindo asexpresses lineares das variveis controladas pelas expresses no-lineares da aplicao considerada. Porvarivel controlada entende-se aquela cujo valor definido em funo de uma das outras variveis docircuito. No caso da fonte definida na Figura 3.4, por exemplo, a varivel controlada v2, pois ela definidapor rmi1, onde rm um parmetro da fonte com dimenso de resistncia.

Fonte de tenso controlada por corrente

O diagrama esquemtico e a relao matemtica que definem uma fonte de tenso controlada por correnteso dados na Figura 3.4.

+

-

i2

rmi1

+-

i1

v1= 0 v2

+

-

=

=

2

1

2

1

2

1

0

00

i

iR

i

i

rv

v

m

FIGURA 3.4 Diagrama esquemtico e relao que definem a fonte de tenso controlada por corrente.

Observao:

A inversa da matrizRno existe (e no faz sentido). Algo semelhante acontece com as matrizes dasrepresentaes das demais fontes controladas dadas a seguir.

Fonte de corrente controlada por tenso

O diagrama esquemtico e a relao matemtica que definem uma fonte de corrente controlada por tensoso dados na Figura 3.5.

+

-

i2

gmv1

i1=0

v1 v2

+

-

=

2

1

2

1

0

00

v

v

gi

i

m

FIGURA 3.5 Diagrama esquemtico e relao que definem a fonte de corrente controlada por tenso.

Fonte de corrente controlada por corrente

O diagrama esquemtico e a relao matemtica que definem uma fonte de corrente controlada por corrente


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- 31 -

so dados na Figura 3.6.

+

-

i2

i1

v2

i1

v1= 0

+

-

=

2

1

2

1

0

00

v

i

i

v

FIGURA 3.6 Diagrama esquemtico e relao que definem a fonte de corrente controlada por corrente.

Fonte de tenso controlada por tenso

O diagrama esquemtico e a relao matemtica que definem uma fonte de tenso controlada por tenso sodados na Figura 3.7.

i1=0

v1

+

-

+

-

i2

v1

+-

v2

=

2

1

2

1

0

00

i

v

v

i

FIGURA 3.7 Diagrama esquemtico e relao que definem a fonte de tenso controlada por tenso.

Circuitos equivalentes para elementos resistivos lineares de duas portas

Circuitos equivalentes so instrumentos teis para o esboo e entendimento de diagramas de circuitoscompostos da interconexo de diversos elementos de circuito complexos.

Considere a representao controlada por corrente de um elemento resistivo linear de duas portas:

=

2

1

2221

1211

2

1

i

i

rr

rr

v

v.

Em termos de diagrama de circuito, este elemento pode ser representado (equivalentemente) pelo circuito daFigura 3.8.

r12i2

i1

v1

+

-

+-

r11

r21i1

i2

v2

+

-

+-

r22

FIGURA 3.8 Circuito equivalente de um elemento resistivo linear de duas portas controlado por corrente.

Raciocnio semelhante pode ser utilizado para encontrar circuitos equivalentes para circuitos descritos poruma das outras representaes da Tabela 3.1. Por exemplo, um circuito usando condutncias e fontes

controladas de corrente pode ser obtido diretamente a partir da representao controlada por tenso.


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- 32 -

Transformador ideal

O diagrama esquemtico e a relao matemtica que definem um transformador ideal so dados na Figura3.9.

i1

v1

+

-

+

-

i2

v2

n=n1:n2

12

21

nii

nvv

=

=

FIGURA 3.9 Representao esquemtica e relao que definem o transformador ideal.

Para o transformador ideal, valem as seguintes propriedades:

1 Usando-se as expresses da definio da Figura 3.9, pode-se verificar o seguinte balano de potnciapara o transformador 02211 =+= )t(i)t(v)t(i)t(v)t(p .

2 Colocando-se uma resistncia de valor R no secundrio do transformador (lado de ndice 2), umobservador no primrio (lado de ndice 1) observar uma resistncia de valor n2R. De fato:

Rn)t(i

)t(vn

n)t(i

)t(nv

)t(i

)t(v

)t(Ri)t(v

2

2

22

2

2

1

1

22

==

=

=

Observaes:

Transformadores prticos normalmente so implementados usando bobinas com ncleocomum, e operam com sinais de corrente alternada (AC). A relao de transformao n=n1:n2

neste caso definida pela relao entre os nmeros de espiras das bobinas no primrio e nosecundrio do transformador.

A definio do modelo do transformador ideal no est restrita a transformadores AC.

Anlogo mecnico

Existem analogias entre sistemas eltricos e mecnicos. Isso pode ser ilustrado comparando-se umtransformador ideal com uma par de engrenagens implementando uma reduo (Figura 3.10).

A

2

r1

1

r2

FIGURA 3.10 Par de engrenagens.

Duas equaes descrevem este par de engrenagens. Uma obtida considerando-se que a velocidade das duasengrenagens no ponto de contato A igual. A segunda equao obtida considerando-se que a fora sobrecada uma das duas engrenagens no ponto A igual em mdulo e de sinal oposto quela sobre a outraengrenagem. Usando i para representar o torque sobre a engrenagem i, as equaes so:

2

2

1

1

1122

r

)t(

r

)t(

r)t(r)t(

=

=


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- 33 -

Assim a analogia pode ser explicitada como na Tabela 3.2.

Tabela 3.2 Analogias entre variveis em sistemas mecnicos e circuitos

Sistema mecnico Circuitos

velocidade angular () tenso

torque () corrente

razo dos raios (r2/r1) razo de transformao (n= n1/n2)

Girador ideal

O diagrama esquemtico e a relao matemtica que definem um girador ideal so dados na figura 3.11.

i1

v1+

-

+

-

i2

v2

G

)t(vG

G)t(i

Gvi

Gvi

=

=

=

0

0

12

21

FIGURA 3.11 Representao esquemtica e relao que define o girador ideal.

Para o girador com G= 1, tudo o que colocado na sada (porta 2) visto de forma dual na entrada (porta1), pois

=

=

=)t(v)t(i

)t(v)t(i

G)t(GvG

)t(i

)t(i)t(v

22

222

2

2

11 1

Dessa forma, uma resistncia deR[] na porta 2 ser vista como uma condutncia deR[S] na porta 1.

Giradores podem ser realizados com o auxlio de circuitos integrados para aplicaes que envolvam sinais debaixa frequncia.

Elementos no-lineares de duas portas

Para elementos no-lineares pelo menos uma das caractersticasf1ef2que definem o resistor no-linear.

{ }0e0 21212212112121 === )i,i,v,v(f)i,i,v,v(f:)i,i,v,v(R

s vezes possvel escrever as caractersticas em formas passveis de representao grfica, como:

)v,i(ii

)v,i(vv

)i,i(vv

)i,i(vv

2122

2111

2122

2111 ou=

=

=

=

Vrios dispositivos possuem modelos desse tipo. Exemplos so os transistores. Como o tratamento de todosos transistores semelhante do ponto de vista de circuitos, aqui ser citado apenas o transistor MOSde efeitode campo, um componente muito comum em circuitos integrados.

Transistor MOS

Existem vrios tipos de transistores MOSde efeito de campo (ou simplesmente MOSFETs, do inglsMetal-Oxide-Semiconductor Field Effect Transistor). Como o objetivo ilustrar o tratamento de elementos no-


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- 34 -

lineares de duas portas, trabalhar-se- somente com o transistor MOS, tipo reforo, canal N. Os smbolos e anomenclatura adotados para este transistor encontram-se na Figura 3.12.

D

G

S

idig

+

+-

-

vds

vgs

D

G

S

idig

+

+-

-

vds

vgs

D

G

S

idig

+

+-

-

vds

vgs

D: dreno (drain)

G: porta (gate)

S: fonte (source)

FIGURA 3.12 Smbolos usados para o transistor MOS, tipo reforo, canal N

Uma caracterstica tpica para estes transistores encontra-se na Figura 3.13. Por construo, a corrente igde

um transistor MOSpode ser considerada sempre nula.

08

16

id[mA]

vds[V]

vgs= 10 [V]

9

8

7

5

6

_

|

FIGURA 3.13 Caracterstica tpica de um MOSFET, tipo reforo, canal N.

direita da reta tracejada da Figura 3.13 um modelo analtico aproximado para o MOSFET considerado( gsv positivo) :

thgsdsthgsd Vvv)Vv(i = para2

1 2 (3.1)

A constante depende das dimenses do dispositivo e de constantes fsicas. A constante Vth depende da

tecnologia do dispositivo. A regio na qual vale este modelo chamada de regio de saturao.

Na regio esquerda da reta tracejada da Figura 3.13, chamada de regio linear, o modelo analticoaproximado :

thgsdsds

dsthgsd Vvvv

vVvi


42/146


- 35 -

+

-

id

0,5(vgs-Vth)

ig=0

vgs vds

+

-

FIGURA 3.14 Circuito equivalente de um MOSFET, tipo reforo, canal N, na regio de saturao.

Alm de ser usado em uma das regies descritas pelas equaes (3.1) e (3.2), o MOSFET frequentementeusado como chave de potncia. Na caracterstica da Figura 3.13 verifica-se que para fechar a chave bastaaplicar uma tenso vgs adequada. Neste caso, o dispositivo ir permitir a passagem de uma corrente pelodreno. Para abrir a chave, basta colocar vgs= 0. A qualidade do MOSFETcomo chave ser tanto melhorquanto mais ngreme for a reta tracejada da Figura 3.13.

O princpio translinear MOS

O MOSFET um elemento de circuito que ( semelhana de outros no discutidos aqui, como o transistor

bipolar) utilizado em quantidade em circuitos integrados. A anlise e sntese de tais circuitos exigeferramentas especficas para a classe de elementos de circuito considerada. Uma delas apresentada a seguir:o princpio translinear MOS.3Esse princpio refere-se a circuitos constitudos por transistores MOS e fontesde corrente interconectados numa topologia mostrada na Figura 3.15, tipicamente implementvel emcircuitos integrados analgicos. Essa topologia recebe o nome de topologia translinear.

vgs

+

-

id

FIGURA 3.15 Topologia translinear de interconexo de transistores MOS, tipo reforo, canal N.

Nesta interconexo por hiptese h um igual nmero de MOSFETs ligados no sentido horrio e no sentidoanti-horrio. Por hiptese todos os transistores esto na regio de saturao e tm mesmos e Vth. Almdisso, assumir-se- (por simplicidade) que todos os MOSFETs so do tipo "reforo" com canal N. Sob estashipteses, pela lei de Kirchhoff das tenses tem-se

=horrio-antisentidohorriosentido

kgsgsvv

j

+=

+horrio-antisentidohorriosentido

22

kj dth

d

thi

Vi

V

=horrio-antisentidohorriosentido

kj ddii (3.3)

A equao (3.3) caracteriza o princpio translinear MOS. Ele simplifica muito a anlise de circuitostranslineares usando MOSFETs. Em seguida ser apresentado um exemplo de aplicao deste princpio naanlise de circuitos translineares MOS(circuitos MOScom a topologia da Figura 3.15).

3Maiores detalhes podem ser encontrados em Wiegerink, 1993.


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- 36 -

Exemplo: No circuito da Figura 3.16, a corrente de entrada ie; a corrente de sada is. ipol uma corrente depolarizao. Por hiptese todos os transistores tem mesmos e Vth. Usando o princpio translinear, mostreque este circuito funciona como quadrador de corrente

is

ie

ipol

T1

T2

T3

T4T5

FIGURA 3.16 Circuito MOS translinear quadrador de corrente.4

Inicialmente constata-se que o circuito da Figura 3.16 um circuito translinear no padro da Figura 3.15.Usando a lei de Kirchhoff das correntes e o princpio translinear MOS, tem-se o seguinte conjunto deequaes:

4321 ddddiiii +=+

21 dpoldiii ==

eddd iiii +== 354

35 ddsiii +=

Combinando-se as equaes acima resulta:

442 dedpol iiii +=

Resolvendo esta equao encontra-se:

pol

eepold

i

iiii

162

2

4 ++=

Donde se conclui que

pol

epoldds

i

iiiii

82

2

35

+=+=

ou seja, o circuito acima de fato um quadrador de corrente (descontado um mltiplo da corrente depolarizao).

Elementos de circuito resistivos de mltiplas portas

Generalizando noes e definies introduzidas em sees anteriores, podem-se definir elementos resistivoscom nmero arbitrrio de portas de acesso como elementos de circuito descritos por:

{ }0,...0 2121212112121 === )i,...,i,i,v,...,v,v(f,)i,...,i,i,v,...,v,v(f:)i,...,i,i,v,...,v,v( nnnnnnnR

4Circuito apresentado em Wiegerink, 1993.


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- 37 -

Transformador ideal com trs enrolamentos

O smbolo de um transformador ideal com trs enrolamentos dado na Figura 3.17.

v1+

-

-

-

+

+ v2

v3

i1

i3i2

n1, n2, n3

FIGURA 3.17 Smbolo do transformador ideal de trs enrolamentos.

Este transformador definido por:

0

0

0

3322113213213

33

223213212

3

3

1

13213211

=++=

==

==

ininin:)i,i,i,v,v,v(f

nv

nv:)i,i,i,v,v,v(f

n

v

n

v:)i,i,i,v,v,v(f

Como no transformador ideal de duas portas, tanto a matriz de resistncia quanto a de condutncia inexistem.A representao matricial adequada a representao hbrida seguinte:

=

3

2

1

3

2

3

1

3

2

3

1

3

2

1

0

00

00

v

i

i

n

n

n

n

n

n

n

n

i

v

v

Fazendo-se o balano de potncia para o transformador de trs enrolamentos, pode-se verificar que a somadas potncias entrando pelas trs portas de acesso nula.

Circulador

O smbolo do circulador mostrado na Figura 3.18.

i2

i3

+

R

-

v2

+

-

v3

i1

v1+

-

FIGURA 3.18 Smbolo do circulador ideal.

O circulador ideal definido por:

0

0

0

2133213213

3123213212

3213213211

=+=

=+=

=+=

RiRiv:)i,i,i,v,v,v(f



Uma representao matricial controlada por corrente :


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- 38 -

=

3

2

1

3

2

1

0

0

0

i

i

i

RR

RR

RR

v

v

v

O valor de resistncia R denominado resistncia caracterstica do circulador. Fazendo-se o balano depotncia para o circulador, pode-se verificar que a soma das potncias entrando pelas trs portas de acesso nula, semelhana do que acontece tambm com o transformador ideal de trs enrolamentos.

Numa das suas aplicaes mais comuns, o circulador ligado como indicado na Figura 3.19.

i2

i3

+

R

R

R

-

v2

+

-

v3+

-vf

i1

R v1

+

-

FIGURA 3.19 Aplicao do circulador ideal.

Neste caso determina-se i1 = vf/2R, i1 = i2 e i3 = 0. Isso significa que o circulador um elementoindispensvel na ligao de uma antena a ser usada para transmisso e para recepo. Como transmissora, aantena constitui cargaRpara uma fonte de sinal. Como receptora, a antena modelada como fonte de sinalseguida de um resistorRno valor da impedncia nominal.

Exerccios propostos

Exerccio 1:

Para o circuito com duas portas de acesso da Figura 3.20, determine uma descrio controlada por corrente,

isto , uma descrio do tipo

)i,i(fv

)i,i(fv

2122

2111

=

=

Esta descrio pode ser colocada na forma controlada por corrente da Tabela 3.1? Explique.

2 k

+

-

v1

(-3.5 k, 10 mA)

(2 k, 20 mA)

+

-

v2

i2

i1

FIGURA 3.20

Exerccio 2:Para o circuito da Figura 3.21 faa o seguinte:a) Determine o ponto de operao Q, supondo (inicialmente) que o transistor est operando na regio de

saturao. Aps os clculos, confirme a validade desta hiptese.b) Desenhe o circuito equivalente de pequenos sinais.c) Determine a tenso de pequenos sinais )(~2 tv e o ganho de pequenos sinais )t(v/)t(v~ 12 .Dados: = 0,64 [mA/V

2

] Vth= -4,0 [V]


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- 39 -

1 [V]

1 [k]iD

+vGS

-

15 [V]

500 []

+

vDS-

+v2

-

v1(t)=0,01sen(t)+

-

FIGURA 3.21

Exerccio 3:Para o circuito da Figura 3.22 faa o seguinte:a) Determine o ponto de operao Q, supondo (inicialmente) que o transistor est operando na regio de

saturao. Aps os clculos, verifique se esta hiptese vlida. Se necessrio, refaa os clculos.b) Desenhe o circuito equivalente de pequenos sinais.c) Determine a tenso de pequenos sinais )(~2 tv e o ganho de pequenos sinais )t(v/)t(v~ 12 .Dados: = 0,64 [mA/V2] Vth= -4,0 [V]

7 [V]

1 [k]iD

+

vGS

-

10 [V]

500 []

+

vDS

-

+v2

-

v1(t)=0,01sen(t)+

-

FIGURA 3.22

Exerccio 4:

No circuito da Figura 3.23, Na um girador com condutncia caracterstica G = 2 [S]. Determine umarepresentao do circuito Nb tal que a interligao de Nae Nbse comporte como uma fonte controlada porcorrente na qual a corrente de sada o dobro da corrente de entrada.

Na Nb

FIGURA 3.23

Exerccio 5:

Determine a matriz de condutncia Gda representao controlada por tenso (Tabela 3.1) para o circuito daFigura 3.3.

Exerccio 6:

Demonstre a equivalncia dos dois circuitos da Figura 3.24 do ponto de vista das variveis ie v.R aresistncia caracterstica do circulador.


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- 40 -

i

vs(t)/R

+

-

vR

i

+

R

R

-v

+-

vs

R

FIGURA 3.24

Exerccio 7:

Para o circuito da Figura 3.25, onde i1(t) um pequeno sinal, faa o seguinte:d) Determine o ponto de operao Q.e) Desenhe o circuito equivalente de pequenos sinais.f) Determine a tenso de pequenos sinais )(~2 tv como funo de i1(t).Na sua opinio, para que faixa de

valores de i1(t) o modelo de pequenos sinais fornece resultados razoveis?

Dados: = 0,64 [mA/V2] Vth= -4,0 [V]

47 [k] iD

+vGS -

18 [V]

470 [] +v2-

i1(t)10 [k]

FIGURA 3.25

Exerccio 8:

Os itens abaixo referem-se ao subcircuito translinear MOS da figura 3.26, que representa um diagramaesquemtico de um programa de simulao de circuitos. Considere-se o subcircuito como candidatohipottico a incluso numa implementao em CI. Todos os transistores tm mesmos e Vth.

a) Deduza a caracterstica de transferncia do circuito, supondo todos os transistores operando na regiosaturada. A varivel de sada (de interesse) a corrente pelo resistor R7. As variveis de entrada so ascorrentesx0 ey 0.

Dica: Para a deduo use o princpio translinear MOSe as leis de Kirchhoff.

Resultado:A corrente por R7 proporcional mdia geomtrica das correntesxey.

b) Usando o programa de simulao de circuitos de sua preferncia e selecionando um dispositivoMOSFET padro, tipo reforo, canal N, avalie para que regio de valores x e y o circuito realmenteimplementa com boa aproximao a caracterstica de transferncia desejada. Faa esta avaliao paratenses de alimentao V4 iguais a 15 e 30 [V], bem como valores de R7 iguais a 200 e 1000 []. (Seusar o programa PCSPICE ou equivalente, use o dispositivo MbreakN ou equivalente com osparmetros "default" do modelo.)

Sugestes:

Implemente (x+y)/4 usando duas fontes de corrente controladas por corrente. Faa a varredura do domnioxyusando as fontes I3 e I4.


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- 41 -

FIGURA 3.26 Diagrama esquemtico de um circuito que implementa a mdia geomtrica.

Exerccio 9:

Considere as seguintes modificaes no circuito da Figura 3.23:

a) a fonte de corrente I8 fornecex/2 ao invs de (x+y)/4;b) a fonte I4 fornecex+yao invs dex;c) a fonte I3 fornecex-yao invs dey;d) x |y| 0.Mostre que a corrente por R7 ser proporcional a 22 yx .


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- 42 -

4. Ampliadores operacionais

O ampliador operacional um elemento ideal muito bem aproximado por diversos dispositivos,

especialmente em baixas frequncias. Seu uso muito difundido em todas as aplicaes de eletrnicaanalgica. Por serem produzidos em grandes quantidades, ampliadores operacionais tornaram-se muito

acessveis, estando disponveis em circuitos integrados com um a quatro ampliadores operacionais

independentes. Dispositivos que realizam ampliadores operacionais esto disponveis em diversas

tecnologias de circuito integrado. Exemplos bastante comuns so o circuito integrado (CI) LM741 (que

contm um ampliador operacional) e o CI LM324 (que contm quatro ampliadores operacionais). Estas

implementaes satisfazem a definio do elemento de circuito com boa preciso at frequncias de sinal na

faixa de 10-20 kHz.

A simbologia usada para o ampliador operacional encontrada na Figura 4.1.

FIGURA 4.1 Smbolos para o ampliador operacional

O ampliador operacional ideal pode ser entendido como uma fonte no-linear de tenso controlada por

tenso definida pelo modelo da Figura 4.2 com a caractersticaf(vd) dada na Figura 4.3.

i+=0

v+ +

-

+

-

io

f(vd)+-vo

i-=0

v-

vd=v+ v-

FIGURA 4.2 Circuito equivalente do ampliador operacional.

0

vo= f(vd)

vd

0

Esat

-

-Esat inclinao (ganho)A

FIGURA 4.3 Caracterstica de transferncia do ampliador operacional.

-

+

entrada inversora

entrada no-inversora

sada

+V

-V

-

+

entrada inversora


sada

+Valimentao

-Valimentao

-

+

entrada inversora


sada


50/146


- 43 -

Via de regra assume-se queEsat, a assim denominada tenso de saturao do ampliador operacional, coincide

com a tenso de alimentao Vda Figura 4.1. De fatoEsatcostuma ser ligeiramente inferior a V.

Terra virtual

Quando um ampliador operacional com ganho A muito elevado est operando na regio linear da

caracterstica da Figura 4.3, o valor da tenso (Figura 4.3) muito pequeno, muito menor do que o valor

das tenses relevantes dentro do circuito. Assim pode-se equacionar o circuito considerando vd= 0. A este

"curto-circuito aparente" entre o terminal inversor e o terminal no inversor chama-se terra virtual.

A noo de terra virtual muito importante no equacionamento de circuitos com ampliadores operacionais.

Considerem-se os exemplos a seguir.

Exemplo: O amplificador inversor um (sub)circuito bastante comum. Seu diagrama de circuito o da

Figura 4.4.

-

+

R2

vo(t)vi(t)

+

-

R1

+

-

i1

+-

i2

FIGURA 4.4 Amplificador inversor.

O equacionamento sem o uso do conceito de terra virtual segue o seguinte roteiro:

+

+=+==

21

111 )(

RR

vvRvAiRvAAvv oiiido ,

21

1

21

2

RR

ARv

RR

ARvv oio

+

+= ,

e, finalmente,

iA

o vR

Rv

1

2

.

O equacionamento com o uso do conceito de terra virtual, por sua vez, bem mais simples, como mostrado a

seguir.

iooi

d

vR

Rv

R

v

R

vii

v

1

2

2121

0

===

=

A caracterstica de transferncia obtida vale somente enquanto o ampliador estiver operando na regio linear,

ou seja com vital que |vo|


51/146


44

Circuito 1:

-

+

vo(t)

vi(t)

+

-

+

-+-

Circuito 2:

+

-

vo(t)

vi(t)

+

-

+

-+-

FIGURA 4.5 Dois circuitos candidatos para implementao de um "buffer".

No entanto, uma verificao em laboratrio mostraria que o circuito 2 da Figura 4.5 no funciona como

"buffer". A razo est no uso de realimentao positiva. Sua inconvenincia pode ser compreendida

intuitivamente. Suponha que para um valor fixo de vi= v1> 0 o valor da sada voencontra-se estabilizado

tambm em v1. Caso, por algum rudo qualquer, surja um vi= v1+ , isto implicar uma diminuio em vd, e

consequentemente em vo.Uma diminuio em volevar a nova diminuio em vde assim por diante, at que

o elemento de circuito atinja a condio de saturao. Este fenmeno no ocorre com o circuito 1, que

emprega "realimentao negativa".

De fato as caractersticas de transferncia completas dos dois circuitos (incluindo as regies de saturao)

so bem diferentes, como mostram os grficos da Figura 4.6.

Circuito 1:

0

vo

vi

Esat

Esat

-Esat

-Esat

Circuito 2:

0

vo

vi

Esat

Esat

-Esat

-Esat

FIGURA 4.6 Caractersticas de transferncia dos circuitos da figura 4.5.

Exemplo: O amplificador no-inversor tambm um (sub)circuito muito comum. Seu diagrama de circuito

o da Figura 4.7.

+

Análise de Circuitos - Um enfoque em sistemas

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