Análise de fiabilidade de estruturas com funções de estado

limite implícitas

Jorge Miguel Pôla Miranda

Dissertação para obtenção do Grau de Mestre em

Engenharia e Arquitectura Naval

Júri

Presidente: Professor Doutor Carlos António Pancada Guedes Soares

Orientador: Professor Doutor Ângelo Manuel Palos Teixeira

Vogal: Doutor Bruno Constantino Beleza de Miranda Pereira Gaspar

Dezembro 2014

iii

Agradecimentos

Ao Professor Ângelo Teixeira, pela disponibilidade constante, orientação e ensino ao longo de toda a

dissertação. Ao Bruno Gaspar pela disponibilidade e importante conhecimento partilhado.

A toda a minha família, em especial aos meus pais e irmã, pelo apoio demonstrado.

À Iris, por todo o apoio e cumplicidade.

A todos os meus amigos e colegas, que fizeram parte da minha vida académica.

v

Resumo

O objectivo desta dissertação é desenvolver aplicações e métodos de fiabilidade em linguagem

MATLAB para a avaliação da segurança de elementos estruturais com funções de estado limite

explícitas e implícitas. São efectuadas análises de fiabilidade FORM, Monte Carlo com amostragem

directa e Monte Carlo com amostragem por importância. A avaliação baseia-se numa função de estado

limite, constituída pela resistência do elemento e pelo carregamento aplicado. São abordadas funções

de estado limite explícitas, definidas através de modelos semi-empíricos de equações de projecto. São

ainda usadas funções de estado limite implícitas, que requerem uma ligação ao método dos elementos

finitos para o cálculo da resistência do elemento. Os resultados obtidos pelas equações semi-empíricas

e pelo método dos elementos finitos são comparados e, atendendo a essa comparação, é proposta

uma nova equação semi-empírica baseada num dos modelos estudados, sendo avaliado o erro

associado. É também adoptado o método de superfície de resposta de forma a converter funções de

estado limite implícitas em explícitas. São obtidas superfícies de resposta representadas por polinómios

de vários graus que prevêem a resistência do elemento, procedendo-se à avaliação da qualidade da

previsão através do erro associado. É desenvolvido um código MATLAB que, com base em amostras

aleatórias, permite obter as superfícies de resposta, sendo depois possível implementá-las como

funções de estado limite explícitas. São então levadas a cabo análises de fiabilidade que empregam

funções de estado limite explícitas, implícitas ou superfície de resposta. São desenvolvidos estudos de

caso bem detalhados em que é usado um programa de fiabilidade comercial e onde é testado um

programa de fiabilidade não-comercial, desenvolvido no âmbito de um projecto de investigação,

aplicando os modelos estudados. Por fim, é desenvolvido um programa de fiabilidade em linguagem

MATLAB, testado com os estudos de caso desenvolvidos que inclui as técnicas FORM, Monte Carlo

com amostragem directa e com amostragem por importância.

Palavras-chave: resistência de elementos estruturais, função de estado limite, equação de projecto

semi-empírica, método dos elementos finitos, métodos de fiabilidade estrutural, método de superfície

de resposta.

vi

Abstract

The objective of this dissertation is to develop reliability applications and methods in MATLAB language

for safety assessment of structural elements with implicit and explicit limit state functions. Reliability

analyses using FORM, crude Monte Carlo and importance sampling Monte Carlo are carried out. The

assessment is based in a limit state function, composed by the element strength and the applied load.

Explicit limit state functions, defined through semi-empirical design equations are addressed. Implicit

limit state functions are also used, requiring a connection to the finite element method aiming the

numerical element strength calculation. The results obtained by the semi-empirical equations and by

the finite element method are compared and, on the basis of this comparison, a new semi-empirical

equation is proposed, derived from one of the studied models and then the associated error is assessed.

The response surface method is also adopted in order to convert implicit limit state functions in explicit

ones. Several response surfaces with polynomial representation are obtained, which predict the strength

of the element. Then the quality of these predictions is assessed with the measure of the associated

error. A MATLAB code is developed, which allows to obtain response surfaces, based in random

samples. The response surfaces can be then implemented as explicit limit state functions. Reliability

analyses are carried out, using explicit or implicit limit state functions or even response surfaces. Well

detailed case studies are developed wherein a reliability commercial program is used and it is also

tested a non-commercial program (developed within an investigation project), applying the studied

models. Finally, a reliability program in MATLAB language is also developed and tested with the case

studies developed.

Keywords: strength of structural elements, limit state function, semi-empirical design equation, finite

element method, structural reliability methods, response surface method.

vii

Índice

Agradecimentos ................................................................................................................................... iii

Resumo .................................................................................................................................................v

Abstract ................................................................................................................................................ vi

Índice ...................................................................................................................................................... vii

Índice de Tabelas .................................................................................................................................... ix

Índice de Figuras ..................................................................................................................................... xi

Nomenclatura e Abreviaturas ................................................................................................................ xiii

Capítulo 1 Introdução ...................................................................................................................... 15

1.1. Avaliação da segurança de elementos estruturais ..................................................................... 15

1.2. Objectivos ................................................................................................................................... 16

1.3. Organização da Dissertação ...................................................................................................... 16

Capítulo 2 Estado da Arte ............................................................................................................... 17

2.1. Métodos de Fiabilidade Estrutural .............................................................................................. 17

2.1.1. Desenvolvimentos Iniciais .................................................................................................... 17

2.1.2. Índice de Fiabilidade de Cornell ........................................................................................... 18

2.1.3. Métodos de Fiabilidade de Primeira Ordem (FORM) .......................................................... 22

2.1.4. Simulação de Monte Carlo ................................................................................................... 26

2.1.5. Amostragem por Importância ............................................................................................... 29

2.1.6. Intervalo de Confiança ......................................................................................................... 31

2.2. Método de Superfície de Resposta ............................................................................................ 32

2.2.1. Formulação básica ............................................................................................................... 33

2.2.2. Modelos lineares e regressão .............................................................................................. 34

2.2.3. Polinómios de Primeira e Segunda Ordem .......................................................................... 38

Capítulo 3 Resistência Última de Elementos Estruturais ............................................................... 41

3.1. Equações de projecto semi-empíricas ........................................................................................ 42

3.2. Modelo de Placa (modelo numérico de elementos finitos) ......................................................... 44

3.3. Equações Semi-Empíricas para a previsão da resistência da placa ......................................... 46

Capítulo 4 Avaliação Probabilística da Segurança de Elementos Estruturais ............................... 51

viii

4.1. Análise de Fiabilidade com Funções de Estado Limite Explícitas ............................................. 51

4.2. Análise FORM com Função de Estado Limite Implícita (com ligação ao Ansys)....................... 56

4.3. Análise de Fiabilidade com Superfície de Resposta .................................................................. 57

4.3.1. Modelos de Superfície de Resposta .................................................................................... 59

4.3.2. Análise FORM com Superfície de Resposta ....................................................................... 64

4.3.3. Simulação de Monte Carlo com Superfície de Resposta .................................................... 66

Capítulo 5 Desenvolvimento de código de Fiabilidade Estrutural em MATLAB ............................. 69

5.1. Algoritmo usado na implementação da simulação de Monte Carlo com amostragem directa .. 70

5.2. Algoritmo implementado para análise FORM ............................................................................. 70

5.3. Algoritmo usado na implementação da simulação de Monte Carlo com amostragem por

importância ........................................................................................................................................ 71

5.4. Resultados obtidos ..................................................................................................................... 71

Capítulo 6 Conclusões e Recomendações ..................................................................................... 75

6.1. Conclusões ................................................................................................................................. 75

6.2. Recomendações para trabalhos futuros ..................................................................................... 79

Referências Bibliográficas ..................................................................................................................... 81

Anexos ................................................................................................................................................... 83

Anexo A: Manual de Utilização do Programa Utilizado (ProRel) .......................................................... 85

Anexo B: Superfície de Resposta – Código MATLAB .......................................................................... 93

Anexo C: Análise de Fiabilidade FORM – Código MATLAB ................................................................. 97

ix

Índice de Tabelas

Tabela 2.1 – Valores de média e desvio padrão atribuídos às variáveis .............................................. 22

Tabela 2.2 – Coordenadas dos pontos para regressão ........................................................................ 37

Tabela 2.3 – Coeficientes de regressão e de determinação para regressão polinomial ...................... 38

Tabela 3.1 – Modelos estocásticos das variáveis aleatórias (𝑋) .......................................................... 45

Tabela 3.2 – Modelo estocástico da amplitude das distorções iniciais das placas (𝑤𝑚𝑎𝑥/𝑡) com 𝑡 = 20

mm e 𝑎/𝑏 = 1 ; 𝑏/𝑡 = 50 ...................................................................................................................... 46

Tabela 3.3 – Erros relativos da resistência última obtida nas equações semi-empíricas abordadas .. 49

Tabela 4.1 – Modelos estocásticos das variáveis aleatórias ................................................................ 52

Tabela 4.2 – Análise de fiabilidade efectuada com o Comrel e o ProRel para a equação de Guedes

Soares ................................................................................................................................................... 53

Tabela 4.3 – Análise de fiabilidade efectuada com o Comrel e o ProRel para a equação de Guedes

Soares corrigida .................................................................................................................................... 53

Tabela 4.4 – Elasticidades da média e do desvio padrão referentes a cada uma das variáveis aleatórias

para a equação de Guedes Soares original e corrigida ........................................................................ 54

Tabela 4.5 – Codificação das variáveis do ficheiro de entrada do ProRel para ligação ao Ansys ....... 56

Tabela 4.6 – Análise de fiabilidade da placa com função implícita e com função explícita .................. 57

Tabela 4.7 – Modelos estocásticos e designação das variáveis aleatórias usadas na formulação das

superfícies de resposta ......................................................................................................................... 58

Tabela 4.8 – Coeficientes das expressões de superfície de resposta e respectivos coeficientes de

determinação ......................................................................................................................................... 61

Tabela 4.9 – Erros relativos da resposta nas equações de superfície de resposta abordadas ........... 63

Tabela 4.10 – Análise FORM com superfície de resposta .................................................................... 64

Tabela 4.11 – Análise de Fiabilidade por simulação de Monte Carlo com as superfícies de resposta

desenvolvidas e para função de estado limite implícita FEM (𝑔𝑖) ........................................................ 67

Tabela 4.12 – Comparação dos valores de 𝛽 calculados por elementos finitos e superfície de resposta

............................................................................................................................................................... 68

Tabela 5.1 – Comparação entre os valores obtidos pelo ProRel e MATLAB para as funções de GS, GS’

e 𝜂3 com Namostra = 500 para os métodos FORM, Monte Carlo com amostragem directa (MC1) e com

amostragem por importância (MC2) ...................................................................................................... 72

x

Tabela 5.2 – Comparação entre os valores de 𝛼 das variáveis aleatórias básicas para as funções 𝑔, 𝑔’

e 𝜂3 com Namostra = 500 calculadas através do ProRel e do MATLAB ................................................... 73

Índice de Figuras

Figura 2.1 – Distribuição da Margem de Segurança 𝑍 = 𝑅 − 𝐿 ............................................................ 20

Figura 2.2 – Representação do problema de fiabilidade no espaço reduzido ...................................... 23

Figura 2.3 – Funções de densidade de probabilidade original e transformada .................................... 26

Figura 2.4 – Relações entre as funções de distribuição cumulativa não-normal X, normalizada Y e

normal equivalente U ............................................................................................................................. 26

Figura 2.5 – Método de simulação de Monte Carlo (Amostragem directa) .......................................... 29

Figura 2.6 – Método de Simulação de Monte Carlo (Amostragem por importância) ............................ 30

Figura 2.7 – Representação gráfica do Intervalo de Confiança ............................................................ 31

Figura 2.8 – Exemplo de superfície de resposta com pontos de controlo ............................................ 34

Figura 2.9 – Conjunto de pontos (dados) com funções polinomiais obtidas através de regressão ..... 37

Figura 2.10 – Exemplo de alguns planos de regressão: (a) 𝜂 = 50 + 10𝑥1 + 7𝑥2, (b) 𝜂 = 50 + 10𝑥1 +

7𝑥2 + 5𝑥1𝑥2 e (c) 𝜂 = 800 + 10𝑥1 + 7𝑥2 − 8.5𝑥12 − 5𝑥22 + 4𝑥1𝑥2 ..................................................... 39

Figura 3.1 – Diagrama de relação entre o carregamento e as várias alternativas de avaliação da

resposta ................................................................................................................................................. 42

Figura 3.2 – Condições de Fronteira e carregamento do modelo de placa .......................................... 44

Figura 3.3 – Resistência última obtida por análise de elementos finitos não-linear e pela expressão

semi-empírica de Faulkner (Equação (3.5)) .......................................................................................... 46

Figura 3.4 – Resistência última obtida por análise de elementos finitos não-linear e pela expressão

semi-empírica de Guedes Soares (Equação (3.7)) ............................................................................... 47

Figura 3.5 – Resistência última obtida por análise de elementos finitos não-linear e pela expressão

semi-empírica de Guedes Soares corrigida (Equação (3.11)) .............................................................. 48

Figura 4.1 – Valores de 𝜶 das variáveis básicas aleatórias das funções usadas: (a) Função de Guedes

Soares e (b) Função de Guedes Soares corrigida ................................................................................ 54

Figura 4.2 – Valores da elasticidade da média das variáveis básicas .................................................. 55

Figura 4.3 – Variação de 𝛽 em função do carregamento aplicado para 𝑔 e 𝑔’ .................................... 55

Figura 4.4 – Resistência última obtida por análise de elementos finitos não-linear e pelas expressões

de superfície de resposta para: (a) Namostra=100 e (b) Namostra =500........................................................ 62

xii

Figura 4.5 – Valores de 𝜶 das variáveis básicas aleatórias das expressões de superfície de resposta

𝜂1 , 𝜂2 , 𝜂3: (a) Namostra = 100 e (b) Namostra = 500 ..................................................................................... 65

xiii

Nomenclatura e Abreviaturas

𝑅 Resistência da estrutura

𝐿 Carregamento aplicado

𝑋 Variável aleatória

𝑿 Vector de variáveis aleatórias

𝑔 Função de estado limite

𝜇 Média de uma distribuição

𝜎2 Variância de uma distribuição

𝜎 Desvio padrão de uma distribuição

𝛽 Índice de fiabilidade

𝛽𝐶 Índice de fiabilidade de Cornell

Φ Função distribuição de probabilidade normal reduzida

Φ𝑼 Função densidade de probabilidade normal reduzida conjunta de U

𝑼 Vector de variáveis aleatórias no espaço normalizado

𝛽𝐻𝐿 Índice de fiabilidade de Hasofer e Lind

u* Ponto de projecto no espaço normalizado

𝐼[ ] Função indicadora

ℎ Função densidade de probabilidade de amostragem por importância

𝜂𝑖 Superfície de resposta de grau 𝑖

𝑅2 Coeficiente de determinação

𝑅𝑎𝑑𝑗2 Coeficiente de determinação ajustado

𝜙 Resistência última normalizada de uma placa

xiv

𝜆 Esbeltez de placa

𝑏 Largura de placa

𝑡 Espessura de placa

𝐸 Módulo de Young do material

𝜙𝐹 Resistência última normalizada de uma placa proposta por Faulkner

𝜙𝐺𝑆 Resistência última normalizada de uma placa proposta por Guedes Soares

𝜙𝐺𝑆′ Correcção da expressão da resistência última normalizada de uma placa proposta por

Guedes Soares

𝜎𝑦 Tensão de cedência do material

𝐶𝑎 Variável aleatória que representa as características probabilísticas da tensão aplicada

𝑤𝑚𝑎𝑥 Amplitude máxima das imperfeições geométricas iniciais

𝑤0 Amplitude das imperfeições geométricas iniciais

𝜎𝑢 Resistência última

𝑃𝑓 Probabilidade de falha

𝑔𝑖 Função de estado limite implícita

Namostra Número de amostras usadas na obtenção da superfície de resposta

RSM Método de superfície de resposta (Response Surface Method)

FEM Método dos elementos finitos (Finite Element Method)

FORM Métodos de fiabilidade de primeira ordem (First Order Reliability Method)

Capítulo 1 Introdução

1.1. Avaliação da segurança de elementos estruturais

A avaliação probabilística da segurança de um determinado elemento estrutural é efectuada tendo por

base uma função de estado limite, composta por duas componentes: o carregamento aplicado e a

resistência do elemento. Para que este elemento seja considerado adequado (de modo a não se

verificar a ocorrência de uma falha) a resposta estrutural deve ser sempre superior ao carregamento

aplicado (Freudenthal et al. (1966)).

A resistência estrututal do elemento pode ser obtida de diversas formas, sendo a mais simples e directa

o recurso a uma equação de projecto explícita que caracterize o comportamento da estrutura

relacionando as diferentes variáveis, definidas através de distribuições probabilísticas. No caso de não

ser conhecida nenhuma função explícita capaz de definir o comportamento da estrutura, este pode ser

obtido recorrerendo ao método dos elementos finitos. Este processo requer uma maior complexidade

computacional, o que resulta num elevado consumo de tempo, que pode não estar disponível. No

primeiro caso a função de estado limite usada para avaliar a segurança da estrutura é definida de uma

forma explícita, enquanto que no segundo caso a função de estado limite é implícita.

O processo de avaliação da segurança com funções implícitas pode ser simplificado, através da

obtenção de uma função de estado limite explícita alternativa, que permitirá diminuír significativamente

o tempo de cálculo da resistência do elemento. Esta função pode ser obtida através do Método da

Superfície de Resposta e procura, com base nas observações de uma simulação de Monte Carlo (com

recurso a uma função de estado limite implícita proveniente do método dos elementos finitos), construír

uma resistência característica do elemento, aproximando uma superfície às várias observações

efectuadas, para um conjunto de variáveis.

Assim, serão abordadas três formas de obtenção da resistência: uma equação de projecto semi-

empírica (função de estado limite explícita), um modelo de elementos finitos (função de estado limite

implícita) e, alternativamente, um modelo de superfície de resposta, obtido através de uma simulação

de Monte Carlo, recorrendo às várias observações das variáveis e respectiva resistência, geradas com

recurso ao método dos elementos finitos (função de estado limite explícita).

16

As formas de resposta acima referidas serão objecto de estudo com recurso a várias alternativas de

cálculo: será testado o programa de fiabilidade ProRel, iniciado por Teixeira (2007) e posteriormente

desenvolvido no âmbito de um projecto de investigação, será também desenvolvido um outro programa

em MATLAB e usar-se-á ainda o programa comercial Comrel (Gollwitzer et al. (1988)). Posteriormente

serão estabelecidas comparações entre os valores obtidos e avaliada a eficiência da superfície de

resposta em substituição da função de estado limite implícita.

1.2. Objectivos

Esta dissertação tem como objectivo o desenvolvimento de aplicações e métodos de fiabilidade em

linguagem MATLAB para a avaliação da segurança de elementos estruturais. As funções de estado

limite usadas nesta avaliação são explícitas, implícitas e modelos de superfície de resposta. Assim, os

objectivos a atingir são:

Testar programa de fiabilidade ProRel e comparar com programa comercial (Comrel);

Desenvolvimento de estudos de caso aplicando funções de estado limite explícitas e implícitas

(recorrendo ao ANSYS para a aplicação do método dos elementos finitos);

Desenvolvimento em MATLAB de um programa que construa superfícies de resposta para

avaliação da fiabilidade com funções de estado limite explícitas;

Desenvolvimento de um programa de fiabilidade em MATLAB que utilize os métodos FORM e

Monte Carlo com amostragem directa e com amostragem por importância;

Avaliação sistemática da precisão das superfícies de resposta (número de pontos, grau do

polinómio).

1.3. Organização da Dissertação

Além do presente capítulo introdutório, a dissertação está dividida em cinco capítulos adicionais. No

Capítulo 2, referente ao estado da arte, é apresentada uma revisão bibliográfica de métodos de

fiabilidade. Em seguida, o Capítulo 3 trata a resistência última de elementos estruturais. O Capítulo 4

incide no estudo relativo à avaliação probabilística da segurança de elementos estruturais. No Capítulo

5 é apresentado o desenvolvimento de um código de fiabilidade em linguagem MATLAB. Por fim, no

Capítulo 6, são apresentadas as conclusões e recomendações para trabalhos futuros.

17

Capítulo 2 Estado da Arte

Neste capítulo é apresentada uma revisão bibliográfica dos métodos de fiabilidade usados ao longo do

trabalho e é descrito o método de superfície de resposta. Alguns exemplos considerados úteis são

também apresentados ao longo do texto, recorrendo alguns deles ao software comercial Comrel,

nomeadamente nos exemplos relativos à fiabilidade estrutural.

2.1. Métodos de Fiabilidade Estrutural

2.1.1. Desenvolvimentos Iniciais

Segundo Freudenthal et al. (1966), o problema básico de fiabilidade estrutural considera apenas como

variáveis o efeito de um carregamento (𝐿) e a previsão da resistência da estrutura (𝑅) que o suporta.

Sendo estas variáveis descritas por funções densidade de probabilidade conhecidas 𝑓𝐿( ) e 𝑓𝑅( )

respectivamente. Como é referido em Melchers (1999), é assumido, por conveniência mas sem perda

de generalidade, que apenas a segurança de um elemento estrutural será considerado, sendo que a

presença de falha ocorre para o caso em que a resistência (𝑅) é inferior à resultante da tensão aplicada.

A probabilidade de ruína, 𝑝𝑓, do elemento estrutural pode apresentar-se:

𝑝𝑓 = 𝑃(𝑅 ≤ 𝐿) = 𝑃(𝑅 − 𝐿 ≤ 0) = 𝑃 (𝑅

𝐿≤ 1) (2.1)

na forma geral

𝑝𝑓 = 𝑃[𝑔(𝑅, 𝐿) ≤ 0] (2.2)

em que 𝑔( ) é denominada “função de estado limite” e a probabilidade de ruína é idêntica à

probabilidade de violação do estado limite.

Para qualquer variável aleatória 𝑋 a função de distribuição cumulativa é dada por:

18

𝐹𝑋(𝑥) = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥) = ∫ 𝑓𝑋(𝑥)x

−∞

𝑑𝑥 (2.3)

Assim, quando 𝑅 e 𝐿 são independentes, a probabilidade de ruína (probabilidade de, ao longo da vida

da estrutura, ocorrer um carregamento superior à resistência) é dada por:

𝑝𝑓 = 𝑃(𝑅 − 𝐿 ≤ 0) = ∫ ∫ 𝑓𝑅(𝑟) ∙ 𝑓(𝑙) 𝑑𝑟 𝑑𝑙𝑙≥𝑟

−∞

∞

−∞

= ∫ 𝐹𝑅(𝑙) ∙ 𝑓𝐿(𝑙)𝑑𝑙∞

−∞

(2.4)

em que 𝑓 representa a função densidade de probabilidade e 𝐹 corresponde à função de distribuição

cumulativa. O integral (2.4) é também conhecido como integral de convulsão.

2.1.2. Índice de Fiabilidade de Cornell

Esta abordagem ocorre para o caso de a função de estado limite ser linear e as variáveis aleatórias

seguirem uma distribuição normal.

O método proposto por Cornell (1969), utiliza como descrição probabilística das variáveis somente os

seus dois primeiros momentos estatísticos (valor médio e desvio padrão), sendo a função de estado

limite representada por uma aproximação em termos de uma série de Taylor de primeira ordem,

linearizada num ponto correspondente aos valores médios das variáveis de projecto. Este método foi

designado por método de valor médio, primeira ordem e de segundos momentos como é referido em

Teixeira (2007).

Em Melchers (1999) é referido que para diversas distribuições de 𝑅 e 𝐿 é possível resolver o integral

de convulsão (2.4) analiticamente. O exemplo mais notável ocorre para quando ambas são distribuições

normais de variáveis aleatórias, de médias 𝜇𝑅 e 𝜇𝐿 e variâncias 𝜎𝑅2 e 𝜎𝐿

2, respectivamente. A margem

de segurança seria dada por:

𝑍 = 𝑅 − 𝐿 (2.5)

Sendo que a média e a variância seria obtida através de regras conhecidas de adição (subtracção) de

variáveis aleatórias normais:

𝜇𝑍 = 𝜇𝑅 − 𝜇𝐿 (2.6a)

19

𝜎𝑍2 = 𝜎𝑅

2 + 𝜎𝐿2 (2.6b)

Substituindo na equação (2.1):

𝑝𝑓 = 𝑃(𝑅 − 𝐿 ≤ 0) = 𝑃(𝑍 ≤ 0) = Φ(0 − 𝜇𝑍𝜎𝑍

) (2.7)

em que Φ representa a função distribuição de probabilidade normal reduzida (com média nula e

variância unitária).

A variável aleatória 𝑍 é apresentada na Figura 2.1 em que a região de ruína 𝑍 ≤ 0 é mostrada a

sombreado. Combinando as expressões (2.6) e (2.7) obtém-se (Cornell (1969)):

𝑝𝑓 = Φ(−(𝜇𝑅 − 𝜇𝐿)

(𝜎𝑅2 + 𝜎𝐿

2)1 2⁄) (2.8a)

𝑝𝑓 = Φ(−𝛽𝐶) (2.8b)

em que o índice de fiabilidade de Cornell, 𝛽𝐶, é dado por:

𝛽𝐶 =𝜇𝑍𝜎𝑍

(2.9)

As equações (2.8b) e (2.9) dão origem à probabilidade exacta de ruína 𝑝𝑓 quando 𝑅 e 𝐿 seguem uma

distribuição normal.

20

Figura 2.1 – Distribuição da Margem de Segurança 𝑍 = 𝑅 − 𝐿

Este método é válido para o caso em que a função de estado limite é uma função linear constituída por

mais de duas variáveis básicas com distribuição normal:

𝑔(𝑿) = 𝑍(𝑿) = 𝑎0 + 𝑎1 ∙ 𝑋1 + 𝑎2 ∙ 𝑋2 +⋯+ 𝑎𝑛 ∙ 𝑋𝑛 (2.10)

Em que 𝑔(𝑿) = 𝑍(𝑿) segue um distribuição normal com média e desvio padrão calculados

directamente.

No caso 𝑅 e 𝐿 terem distribuições não-normais, definir 𝑝𝑓 desta forma implica obter apenas uma

probabilidade de ruína “nominal” o que torna mais correcto a eliminação do termo probabilidade para

simplesmente referir 𝛽𝐶, o índice de fiabilidade de Cornell.

Contudo, a função de estado limite 𝑔(𝑿) = 0 é, geralmente, não linear. Neste caso, seria então

necessário linearizar 𝑔(𝑿) = 0 procedendo a uma expansão em série de Taylor em torno de um ponto

𝒙∗ sendo que as aproximações que linearizam 𝑔(𝑿) = 0 são considerados métodos de primeira ordem.

A expansão em série de Taylor de primeira ordem em torno do valor médio 𝜇𝑿 é comum na teoria da

probabilidade, no entanto a melhor escolha é o ponto de máxima verosimilhança na função de estado

limite.

Os dois primeiros momentos de 𝑍 linearizados em torno do ponto 𝒙∗ em vez de 𝜇𝑿 são dados,

respectivamente, por:

𝜇𝑍 ≈ 𝑔(𝒙∗) (2.11a)

21

𝜎𝑍2 ≈∑(

𝜕𝑔

𝜕𝑋𝑖) 𝑥∗

2

𝜎𝑥𝑖2 (2.12b)

Há que ter em conta, nesta fase, que a escolha do ponto afecta directamente a estimativa do índice de

fiabilidade, 𝛽𝐶 (Melchers (1999)), como demonstrado no Exemplo 2.1.

Exemplo 2.1

Considerando a função não linear 𝑔(𝑿) = 𝑋1 ∙ 𝑋2 − 𝑋3 com as variáveis 𝑋𝑖 independentes, assumindo

que apresentam o mesmo desvio padrão, 𝜎𝑋1 = 𝜎𝑋2 = 𝜎𝑋3 = 𝜎𝑋 e atendendo às derivadas parciais:

𝜕𝑔 𝜕𝑋1⁄ = 𝑋2 , 𝜕𝑔 𝜕𝑋2⁄ = 𝑋1 , 𝜕𝑔 𝜕𝑋3⁄ = −1 tem-se:

O cálculo do índice de fiabilidade tendo como ponto de projecto os valores médios das variáveis 𝜇𝑋𝑖 é

calculado através das seguintes expressões:

𝜇𝑍 𝜇𝑿 = 𝜇𝑋1𝜇𝑋2 − 𝜇𝑋3

𝜎𝑍2 𝜇𝑿

= 𝜇𝑋22 𝜎𝑋1

2 + 𝜇𝑋12 𝜎𝑋2

2 + 𝜎𝑋32 = 𝜎𝑋

2(𝜇𝑋12 𝜇𝑋2

2 + 1)

de onde se obtém o valor do índice de fiabilidade:

𝛽𝐶 𝜇𝑿=

𝜇𝑋1𝜇𝑋2 − 𝜇𝑋3𝜎𝑋(𝜇𝑋1

2 𝜇𝑋22 + 1)1 2⁄

No caso de o ponto de projecto ser, por exemplo, para os valores de 𝑥1∗ =

𝜇𝑋12 ; 𝑥2

∗ = 𝜇𝑋2 ; 𝑥3∗ = 𝜇𝑋3

os termos correspondentes são dados por:

𝜇𝑍 𝜇𝑿 =

𝜇𝑋12𝜇𝑋2 − 𝜇𝑋3

𝜎𝑍2 𝜇𝑿

= 𝜇𝑋22 𝜎𝑋1

2 + (𝜇𝑋22)2

𝜎𝑋22 + 𝜎𝑋3

2 = 𝜎𝑋2 (𝜇𝑋1

2

4𝜇𝑋22 + 1)

de onde se traduz um índice de fiabilidade:

𝛽𝐶 𝒙∗ =

12𝜇𝑋1𝜇𝑋2 − 𝜇𝑋3

𝜎𝑋 (14𝜇𝑋12 𝜇𝑋2

2 + 1)1 2⁄

22

Estabelecendo uma comparação entre os índices de fiabilidade de Cornell para ambos os casos

estudados é notória a diferença entre ambos, de onde se conclui que o ponto de projecto seleccionado

tem uma influência significativa no índice de fiabilidade obtido.

Para uma verificação numérica deste exemplo, atribuem-se os valores para as variáveis que constam

na Tabela 2.1:

𝝁 𝝈

𝑿𝟏 10 1

𝑿𝟐 5 1

𝑿𝟑 20 1

Tabela 2.1 – Valores de média e desvio padrão atribuídos às variáveis

Dos dados da tabela resultam os valores de índice de fiabilidade de 𝛽𝐶 𝜇𝑿= 2.673 e 𝛽𝐶 𝒙∗ = 0.700.

Como se pode constatar, os índices de fiabilidade obtidos são significativamente diferentes entre si, o

que invalida a utilização deste processo. Este aspecto é ainda reforçado atendendo ao valor obtido

através do software Comrel (𝛽𝐹𝑂𝑅𝑀 = 2.918), que utiliza um algoritmo baseado nos índices de fiabilidade

seguidamente descritos.

2.1.3. Métodos de Fiabilidade de Primeira Ordem (FORM)

Índice de Fiabilidade de Hasofer e Lind

Esta abordagem trata o caso de a função de estado limite ser não linear e as variáveis aleatórias

seguirem uma distribuição normal.

O índice de fiabilidade proposto por Cornell varia no caso de a função de estado limite ser substituída

por uma outra equivalente (Ditlevsen (1973)). Este é um problema designado por falta de invariância.

Na resolução deste problema, um primeiro passo é a transformação de todas as variáveis básicas

independentes e com distribuição de probabilidade normal 𝑋𝑖 num conjunto (𝑼) de variáveis aleatórias

reduzidas 𝑁(0,1) (média zero e variância unitária), usando a transformação (Hasofer & Lind (1974)):

23

𝑈𝑖 =𝑋𝑖 − 𝜇𝑋𝑖𝜎𝑋𝑖

(2.12)

Em que 𝑈𝑖 tem 𝜇𝑋𝑖 = 0 e 𝜎𝑋𝑖 = 1.

Hasofer & Lind (1974) mostraram ainda que a superfície de estado limite no espaço reduzido ou

normalizado 𝑔(u) = 0 deve ser linearizada não em torno do valor médio mas sim em torno do ponto de

projecto, u* – ponto da superfície de estado limite mais próximo da origem do espaço normalizado

(localizada, normalmente, na região de segurança). O índice de fiabilidade proposto por Hasofer e Lind

(𝛽𝐻𝐿) é definido como a distância mínima da origem à superfície de estado limite (Figura 2.2).

Figura 2.2 – Representação do problema de fiabilidade no espaço reduzido

Após a operação de transformação, a probabilidade de ruína é então dada por:

𝑃𝑓 = ∫ 𝑓𝑿(𝒙)𝑑𝒙 = ∫ 𝜑𝑼(𝒖)

𝑔(𝒖)≤0𝑔(𝒙)≤0

𝑑𝒖 (2.13)

onde 𝜑𝑼 representa a função densidade de probabilidade normal reduzida conjunta de U:

𝜑𝑼 =1

(2𝜋)𝑛 2⁄exp [−

1

2‖u‖2] (2.14)

24

A função densidade de probabilidade 𝜑𝑼 apresenta simetria rotacional e decai exponencialmente com

o quadrado da norma de u. Logo, os pontos que mais contribuem para o integral são os que se

encontram mais próximos da origem do espaço reduzido. Assim sendo, a probabilidade de ruína pode

ser calculada de uma forma aproximada, proposta por Hasofer & Lind (1974):

𝑃𝑓 ≈ 𝛷(−𝛽𝐻𝐿), com 𝛽𝐻𝐿 = ‖u*‖ (2.15)

em que u* representa o ponto de projecto obtido pela solução do problema de optimização com os

seguintes constrangimentos:

{minimizar ‖u‖ sujeito a 𝑔(u) = 0

O índice de fiabilidade proposto por Hasofer e Lind é invariante relativamente à escolha da função de

falha uma vez que se baseia num processo de optimização cuja solução não depende da forma como

é escrita a função de estado limite, desde que sejam equivalentes. Ainda assim, a transformação 𝑈𝑖

apenas se aplica no caso de as variáveis básicas serem estatisticamente independentes e seguirem

uma distribuição normal. Na prática é possível que exista informação estatística suficiente para

caracterizar não só o tipo de distribuição como também a dependência entre as variáveis básicas,

sendo necessário incorporar essa informação adicional no cálculo do índice de fiabilidade (Teixeira

(2007)).

De facto, u* representa o ponto de densidade de probabilidade mais elevada ou ponto de ‘máxima

verosimilhança’ para o domínio de falha. A relação entre as coordenadas do ponto u* e 𝛽 é dada por:

u𝑖* = 𝛼𝑖 ∙ 𝛽 (2.16)

onde 𝛼𝑖 é designado como coeficiente de sensibilidade da variável 𝑋𝑖 dado por

𝛼𝑖 =

(𝜕𝑔𝜕𝑈𝑖

)∗

√∑ (𝜕𝑔𝜕𝑈𝑖

)∗2

𝑛𝑖=1

(2.17)

onde as derivadas da função de estado limite são calculadas no espaço normalizado no ponto de

projecto u*.

25

Um coeficiente de sensibilidade positivo indica que a função de estado limite no espaço normalizado

aumenta com o aumento do valor da variável e portanto a sua contribuição para o nível de segurança

ou índice de fiabilidade é positiva.

Esta sensibilidade tem uma implicação prática importante: se o coeficiente de sensibilidade 𝛼𝑖 para u𝑖

é baixo, há pouca necessidade de ser demasiado preciso na determinação de u𝑖 sendo que, se

necessário, este valor pode ser considerado como determinístico, em vez de uma variável aleatória,

permitindo assim a redução da dimensão do espaço de variáveis aleatórias (Melchers (1999); Gaspar

(2012)).

Exemplo 2.2

Considerando a função de estado limite:

𝑔(𝑦) = −4

25(𝑦1 − 1)

2 − 𝑦2 + 4 = 0

e assumindo que as variáveis aleatórias 𝑦 seguem ambas uma distribuição normal padrão (com média

𝜇 = 0 e desvio padrão 𝜎 = 1), através do Comrel obteve-se o índice de fiabilidade 𝛽𝐹𝑂𝑅𝑀 = 3.222.

Aproximação de cauda normal

Esta abordagem usa-se no caso de a função de estado limite ser não-linear e as variáveis aleatórias

seguirem uma distribuição não-normal.

Segundo Ditlevsen (1981), a transformação de uma variável aleatória básica independente 𝑋 de uma

distribuição não-normal para uma variável aleatória 𝑌 equivalente seguindo uma distribuição normal

reduzida é apresentada esquematicamente na Figura 2.3 e pode ser expressa matematicamente na

forma:

𝑝 = 𝐹𝑋(𝑥) = 𝛷(𝑢) ou 𝑢 = 𝛷−1[𝐹𝑋(𝑥)] (2.18)

26

em que 𝑝 representa uma probabilidade de conteúdo associado com 𝑋 = 𝑥 e 𝑈 = 𝑢; 𝐹𝑋( ) é a função

de distribuição cumulativa marginal de 𝑋 e Φ( ) é a função de distribuição cumulativa para a variável

aleatória 𝑈, seguindo uma distribuição normal reduzida. Na Figura 2.4 é apresentada, através das

linhas a, b, c, d, e a transformação.

Figura 2.3 – Funções de densidade de probabilidade original e transformada

Figura 2.4 – Relações entre as funções de distribuição cumulativa não-normal X, normalizada Y e normal

equivalente U

2.1.4. Simulação de Monte Carlo

O método de simulação de Monte Carlo pode ser aplicado a qualquer tipo de problema,

independentemente do seu nível de complexidade (apesar de ser considerado ineficiente para casos

com elevado número de variáveis aleatórias ou em que o cálculo da função de estado limite um modelo

27

numérico complexo). Uma vez que se trata de uma técnica bastante simples, esta tem sido usada em

diversos estudos estruturais como a estimativa da probabilidade de ruína associada a um dado estado

limite ou ainda a caracterização da variância da resposta de uma dada estrutura ou das acções que

nela actuam.

Como descrito por Melchers (1999), as técnicas de simulação de Monte Carlo envolvem uma

amostragem num espaço aleatório, simulando de forma artificial um número considerável de

experiências, com observação do resultado. Para o caso de análise de fiabilidade estrutural, isto é, na

aproximação mais simples, cada amostragem (𝑗) das variáveis aleatórias 𝑿 dá origem a um vector 𝒙𝑗

de realizações de 𝑿. De seguida é necessário verificar a função de estado limite 𝑔(𝒙𝑗) = 0 e assim, no

caso de o estado limite ser violado (i.e. 𝑔(𝒙𝑗) ≤ 0), é possível aferir se a estrutura ou o elemento

estrutural registou uma ‘falha’. Esta experiência é então repetida por várias ocasiões (𝑗 = 1, . . 𝑁) sendo

que, em cada uma delas (𝑗), com um vector 𝒙𝑗 de valores 𝑿. Se forem realizadas 𝑁 simulações, a

probabilidade de falha é dada, aproximadamente, por:

𝑝𝑓 ≈𝑛(𝑔(𝒙𝑗) ≤ 0, 𝑗 = 1,…𝑁)

𝑁 (2.19)

em que 𝑛(𝑔(𝒙𝑗) ≤ 0), representa o número de simulações em que para cada 𝑔(𝒙𝑗) ≤ 0. O número 𝑁

de simulações está, obviamente, relacionado com a precisão pretendida para 𝑝𝑓.

Torna-se então claro que no método de Monte Carlo é construída uma sucessão de realizações

partindo de propriedades probabilísticas conhecidas, de modo a que o problema seja resolvido ao longo

das várias simulações e, a partir daí, conseguir obter a probabilidade de falha.

Os requisitos necessários para a aplicação de técnicas de simulação de Monte Carlo a problemas de

fiabilidade estrutural são os seguintes:

1. Desenvolver métodos sistemáticos para amostragem numérica de variáveis básicas 𝑿;

2. Seleccionar uma técnica de simulação apropriada, económica e fiável, ou uma ‘estratégia de

amostragem’;

3. Considerar o efeito da complexidade de cálculo de 𝑔(𝒙𝑗) e o número de variáveis básicas na

técnica de simulação usada;

4. Para uma técnica de simulação dada, deve ser possível determinar a dimensão da amostra

necessária para obter uma estimativa razoável de 𝑝𝑓.

A técnica acima descrita é a aproximação de Monte Carlo mais simples para problemas de fiabilidade

mas não é a mais eficiente. Assim, são apresentadas de seguida duas técnicas: amostragem directa e

amostragem por importância.

O ponto de partida para ambas é a expressão (2.1), que pode ser escrita sob a forma de integral:

28

𝑝𝑓 = 𝑃(𝑅 − 𝐿 ≤ 0) = ∫ ∫𝑓𝑅𝐿(𝑟, 𝑙) 𝑑𝑟 𝑑𝑙

𝑅≤𝐿

(2.20)

A generalização do integral (2.20), com a função de estado limite expressa como 𝑔(𝑿), pode escrever-

se:

𝑝𝑓 = 𝑃[𝑔(𝑿) ≤ 0] = ∫… ∫ 𝑓𝑿𝑔(𝒙)≤0

(𝒙) 𝑑𝒙 (2.21)

Amostragem directa (‘crude’ Monte Carlo)

De acordo Melchers (1999), a probabilidade da violação do estado limite (2.21) pode ser expressa por:

𝑝𝑓 = 𝐽 = ∫…∫𝐼[𝑔(𝒙) ≤ 0] 𝑓𝑿(𝒙)𝑑𝒙 (2.22)

em que 𝐼[ ] é uma ‘função indicadora’ que toma o valor 1 se [ ] for ‘verdadeiro’ ou 0 no caso em que [ ]

é ‘falso’ e identifica o domínio de integração. A equação (2.22) representa o valor esperado de 𝐼[ ]. Se

𝒙𝑗 representar o j-ésimo vector de observações aleatórias de 𝑓𝑿( ), segue directamente da amostra

estatística tal que

𝑝𝑓 ≈ 𝐽1 =1

𝑁∑𝐼[𝑔(𝒙𝑗) ≤ 0]

𝑁

𝑗=1

(2.23)

seja um estimador não enviesado de 𝐽. Assim, da expressão (2.23) obtém-se um estimador directo de

𝑝𝑓. No desenvolvimento deste processo, interessa referir três questões importantes: como obter maior

informação dos pontos de simulação, quantos pontos de simulação são necessários para uma precisão

pretendida, ou inversamente, como melhorar a técnica de amostragem para obter uma maior precisão

para um número de pontos igual ou inferior.

29

Figura 2.5 – Método de simulação de Monte Carlo (Amostragem directa)

2.1.5. Amostragem por Importância

É referido em Teixeira (2007), que a amostragem por importância tem como base uma função

densidade de probabilidade diferente da inicial para gerar os valores de forma a aumentar o número de

ocorrências na região de ruína do problema (Harbitz (1983) e Shinozuka (1983)).

Em Melchers (1999) pode verificar-se que o integral múltiplo (2.21) pode ser escrito como (2.22)

recorrendo à função indicadora 𝐼[ ], ou, de forma equivalente, como

𝐽 = ∫…∫𝐼[𝑔(𝒙) ≤ 0]𝑓𝑿(𝒙)

ℎ𝑣(𝒙)ℎ𝑣(𝒙)𝑑𝒙 (2.24)

em que ℎ𝑣( ) é designado termo de função densidade de probabilidade de ‘amostragem por importância’

(função de importância).

Assim, a expressão (2.24) pode ser escrita como um valor esperado:

𝐽 = 𝐸 {𝐼[𝑔(𝒗) ≤ 0]𝑓𝑿(𝒗)

ℎ𝑣(𝒗)} = 𝐸 (

𝐼𝑓

ℎ) (2.25)

30

em que 𝑽 corresponde a um vector aleatório com função densidade de probabilidade ℎ𝑣(𝒗). Logo, é

necessário que ℎ𝑣(𝒗) exista para todos os valores válidos 𝒗 e que 𝑓𝑋(𝒗) ≠ 0. Em comparação com a

Amostragem Directa, é verificado que 𝐼[ ] é substituído por 𝐼[ ] 𝑓/ℎ.

Partindo da equação (2.23), é possível apresentar um estimador não enviesado de 𝐽, dado por:

𝑝𝑓 ≈ 𝐽2 =1

𝑁∑{𝐼[𝑔(𝒗𝑗) ≤ 0]

𝑓𝑿(𝒗𝑗)

ℎ𝑣(𝒗𝑗)}

𝑁

𝑗=1

(2.26)

em que 𝒗𝑗 é um vector de valores de amostra obtido da função de amostragem por importância ℎ𝒗( ),

sendo que, no caso óptimo, esta função pode escrever-se:

ℎ𝒗(𝒗) =𝐼[𝑔(𝒗) ≤ 0] 𝑓𝑿(𝒙)

𝐽 (2.27)

Numa primeira apreciação, a expressão (2.27) não parece ser muito útil uma vez que é necessário

conhecer o valor de 𝐽. Contudo há ferramentas que permitem encontrar um valor estimado para este

parâmetro.

A Figura 2.6 procura ilustrar a técnica de simulação de Monte Carlo por amostragem por importância,

no caso mais simples de duas variáveis aleatórias no espaço normal reduzido.

Figura 2.6 – Método de Simulação de Monte Carlo (Amostragem por importância)

31

2.1.6. Intervalo de Confiança

O conceito de intervalo de confiança (IC), segundo Montgomery & Runger (2003) procura estabelecer

limites a futuras observações de uma determinada população. Esses limites são definidos com recurso

à média da amostra aleatória (�̅�), à sua dimensão (𝑛), de uma população que segue uma distribuição

normal, com variância conhecida 𝜎2. Um IC de valor 100(1 − 𝛼)% da média 𝜇 é obtido através da

distribuição normal reduzida

𝑧 =�̅� − 𝜇

𝜎/√𝑛 (2.28)

De onde é possível escrever

𝑃 {−𝑧𝛼/2 ≤�̅� − 𝜇

𝜎/√𝑛≤ 𝑧𝛼/2} = 1 − 𝛼

𝑃 {�̅� − 𝑧𝛼/2 ∙ 𝜎

√𝑛≤ 𝜇 ≤ �̅� + 𝑧𝛼/2 ∙

𝜎

√𝑛} = 1 − 𝛼

(2.29)

obtendo-se o intervalo de confiança

�̅� − 𝑧𝛼/2 ∙ 𝜎

√𝑛≤ 𝜇 ≤ �̅� + 𝑧𝛼/2 ∙

𝜎

√𝑛 (2.30)

em que 𝑧𝛼/2 é o maior valor 100𝛼/2 % da distribuição normal reduzida.

A representação gráfica deste IC é apresentada na Figura 2.7.

Figura 2.7 – Representação gráfica do Intervalo de Confiança

32

2.2. Método de Superfície de Resposta

Em diversos problemas de fiabilidade estrutural de interesse prático em engenharia, a função de estado

limite 𝑔(𝑿) não é uma função que defina o estado limite do problema como uma função explícita de um

vector de variáveis básicas 𝑿. Segundo Gaspar (2012), estes são problemas que surgem, tipicamente,

quando a capacidade estrutural envolvida no problema de fiabilidade é definida através de um modelo

numérico, como é o caso de um modelo estrutural de elementos finitos não-lineares.

Em Gaspar et al. (2014) é referido que a solução de problemas de fiabilidade de sistemas estruturais

realistas é, em geral, difícil de obter através de métodos de fiabilidade convencionais como os métodos

de fiabilidade de primeira ordem (FORM) ou de segunda ordem (SORM) sendo que a principal razão

prende-se com o facto de existir um número elevado de funções de estado limite e de variáveis

aleatórias necessárias à definição do problema. O evento de falha do sistema num caso realista pode

ser definido por uma combinação complexa de modos de falha, em geral, como combinação de

sistemas em série e em paralelo. O critério de falha está normalmente associado ao comportamento

estrutural não-linear, necessitando de aproximações numéricas exigentes do ponto de vista

computacional como é o caso da análise de elementos finitos não-linear para avaliar com precisão a

capacidade estrutural.

A fiabilidade de sistemas estruturais complexos pode ser prevista com rigor através da simulação de

Monte Carlo. Recorrendo a este método, o critério de falha do sistema é relativamente simples de

avaliar, quase independente da complexidade do sistema e do número de variáveis aleatórias básicas.

No entanto, como é referido em Bucher & Most (2008), a avaliação da fiabilidade estrutural requer uma

previsão da probabilidade de falha que, em geral, é de pequena magnitude além de que a falha

estrutural é normalmente avaliada através de ferramentas não-lineares, o que possibilita análises

variantes no tempo de modelos estruturais complexos. Nestes casos o custo computacional

despendido numa única análise, na avaliação da segurança da estrutura, pode ser bastante avultado.

Como consequência, não se torna exequível a aplicação da simulação de Monte Carlo. No caso de

serem usadas aproximações numéricas para avaliar a capacidade estrutural, o problema pode ser

impossível de resolver se não forem usadas técnicas eficientes, como o método de superfície de

resposta (Gaspar et al. (2014)).

Assim, uma vez que nestas situações o custo computacional envolvido na avaliação da função de

estado limite 𝑔(𝑿) é suficientemente elevado para limitar a aplicação dos métodos de fiabilidade, tem

sido proposto em literatura como Rackwitz (1982), Bucher & Bourgund (1990) e Bucher & Macke (2005)

a utilização do método de superfície de resposta de forma a aliviar este custo. Este método usa uma

série de submodelos de superfície de resposta para obter uma aproximação do ponto de projecto e a

correspondente probabilidade de falha (Yu et al. (2002)).

O Método da Superfície de Resposta surge com o objectivo de reduzir o tempo de cálculo da análise

de fiabilidade através do uso de funções explícitas (Teixeira (2007)), transformando a função de estado

limite numa função explícita das variáveis básicas do problema recorrendo-se, posteriormente, ao

método de simulação de Monte Carlo ou aos métodos de fiabilidade de primeira ou segunda ordem na

33

previsão da probabilidade de ruína associada a esta nova função de estado limite (Bucher & Bourgund

(1990), Rajashekhar & Ellingwood (1993)). A função de estado limite original é aproximada a uma

expressão polinomial 𝜂(𝒙) obtida por análise de regressão de um conjunto de resultados de análises

determinísticas da resposta do modelo estrutural com valores aleatórios das variáveis.

2.2.1. Formulação básica

Uma análise de regressão envolve, na maioria dos casos, mais do que uma variável (modelo de

regressão múltiplo). Como é referido em Bucher (2009) é frequente surgir a necessidade de ajustar

parâmetros de modelos matemáticos simples que descrevam uma relação física input-output de

amostras de dados. O conceito geral de regressão visa minimizar o erro com base na sensibilidade de

um valor esperado. Assumindo que a variável de saída 𝑧 está relacionada com as 𝑛 variáveis de entrada

𝑥1, … , 𝑥𝑛 (dispostas num vector 𝒙) através da função 𝑓:

𝑧 = 𝑓(𝒑, 𝒙) (2.31)

em que a função 𝑓 depende de um vector de parâmetros 𝑝 = [𝑝1 , 𝑝2, … , 𝑝𝑣]𝑇 cujos valores serão

determinados posteriormente. Assume-se que as amostras disponíveis contêm pares

(𝒙(𝑘), 𝑧(𝑘)), 𝑘 = 1,… ,𝑚 de inputs e outputs correspondentes. É importante ter em conta que estas

amostras podem conter variância aleatória que não é descrita na função (2.31).

Ainda em Bucher (2009) é referido que a aproximação 𝜂(𝒙) pode ser definida como um modelo

matemático, conhecido como modelo de superfície de resposta, no qual um sistema com 𝑛 factores

experimentais ou variáveis de entrada 𝑥𝑖 ; 𝑖 = 1, … , 𝑛, associados num vector 𝒙 = (𝑥1, … , 𝑥𝑛)𝑇, através

da expressão:

𝑧 (𝒙) = 𝜂(𝑝1…𝑝𝑣; 𝑥1…𝑥𝑛) + 휀 (2.32)

sendo 𝒑 = (𝑝1, … , 𝑝𝑛)𝑇 o vector dos parâmetros da função de aproximação. Aplicando o valor esperado

da aproximação da superfície de resposta,

𝜂 = 𝑬[𝑧] (2.33)

obtém-se a superfície representada por:

𝜂(𝑝1…𝑝𝑣; 𝑥1…𝑥𝑛) = 𝜂(𝒑; 𝒙) (2.34)

34

denominada superfície de resposta (Figura 2.8). O vector dos parâmetros 𝒑 = (𝑝1, … , 𝑝𝑛)𝑇 teve de ser

estimado a partir de dados experimentais de tal forma que a equação (2.33) seja cumprida.

Figura 2.8 – Exemplo de superfície de resposta com pontos de controlo

2.2.2. Modelos lineares e regressão

No caso anterior, os parâmetros 𝒑 são determinados de maneira a que a soma dos quadrados das

diferenças entre o valor da superfície de resposta 𝜂(𝒑; 𝒙(𝑘)) e a resposta obtida 𝑧(𝑘) nos 𝑚 pontos

experimentais

𝒙(𝑘) = [𝒙1(𝑘), … , 𝒙𝑛

(𝑘)]𝑇, 𝑘 = 1,… ,𝑚 (2.35)

seja tão pequena quanto possível. Isto é, a soma da função

𝑆2 =∑[𝑧(𝑘) − 𝜂(𝒑; 𝒙(𝑘))]2

𝑚

𝑘=1

(2.36)

deve ser minimizada, o que corresponde à minimização da variância dos termos do erro aleatório 휀. A

escolha da minimização de 𝒑 designa-se por estimativa de mínimos quadrados e é indicado por 𝒑∗.

O sistema de equações (2.37) permite obter o vector de parâmetros 𝒑:

𝑸 ∙ 𝒑 = 𝒒 (2.37)

em que a matriz 𝑸 e o vector 𝒒 são definidos pelos seus elementos:

𝑄𝑖𝑗 =∑𝑔𝑖(𝒙(𝑘)) ∙ 𝑔𝑗(𝒙

(𝑘)) ; 𝑞𝑗 =∑𝑧(𝑘)𝑔𝑗(𝒙(𝑘)); 𝑖, 𝑗 = 1,… , 𝑣

𝑚

𝑘=1

𝑚

𝑘=1

(2.38)

35

O problema de regressão torna-se bastante simples no caso de o modelo de superfície de resposta ser

linear nos seus parâmetros 𝒑. Assim, a estimativa de mínimos quadrados 𝒑∗ do vector dos parâmetros

é determinado através do sistema de equações lineares (2.37). Este estimador é não enviesado, isto

é,

𝑬[𝒑∗] = 𝒑 (2.39)

Assumindo que a covariância das observações 𝑧(𝑘) é dada por:

𝑪𝒛𝒛 = [𝒛] = 𝑬[(𝒛 − 𝑬[𝒛])(𝑧 − 𝑬[𝒛])𝑇] = 𝜎2𝑰 (2.40)

então, a matriz de covariância dos parâmetros é dada por:

𝑪𝒑𝒑 = 𝑬[(𝒑∗ − 𝒑)(𝒑∗ − 𝒑)𝑇] = 𝜎2(𝑸𝑇𝑸)−1 (2.41)

em que 𝑸 é definido pela equação (2.38).

Deve ser tido em conta que os parâmetros estimados 𝒑∗ são estimativas de mínimos quadrados e,

como tal, haverá para uma determinada verosimilhança do parâmetro 𝒑 ter um valor diferente do

estimado. Assim, é por vezes recomendável a determinação de intervalos de confiança para os

parâmetros. Vários exemplos de regiões de confiança conjunta são dados, por exemplo, em Myers &

Montgomery (2002). Consequentemente, quando utilizadas superfícies de resposta na avaliação da

fiabilidade, deve ter-se em conta que todas as previsões (tanto a resposta estrutural num determinado

projecto como a avaliação da fiabilidade) apresentam uma incerteza, reflectida nos intervalos de

confiança.

Uma vez que a superfície de resposta é apenas uma aproximação à relação funcional entre a resposta

estrutural e as variáveis básicas, é natural que, em geral, se verifique alguma falta de ajustamento.

Assim, uma etapa fundamental na utilização de superfícies de resposta é a validação do modelo

desenvolvido, averiguando se a superfície de resposta alcançada se ajusta devidamente ou se é

necessário efectuar correcções, substituindo-a por uma outra mais apropriada.

Uma possibilidade para verificar se o modelo é adequado pode ser o cálculo do coeficiente de

determinação 𝑅2. Esta é uma medida estatística que descreve a correlação entre as variáveis de saída

da previsão do modelo de regressão e os dados reais. De acordo com a definição de coeficiente de

determinação, tem-se:

𝑅2 = 𝜌𝑌𝑍2 = (

𝑬[𝑌 ∙ 𝑍]

𝜎𝑌𝜎𝑍)

2

; 𝑦 =∑𝑝𝑖𝑔𝑖(𝒙)

𝑣

𝑖=1

(2.42)

36

Um modelo é considerado adequado quando o valor de 𝑅2 está próximo de 1. Uma forma alternativa

de definir o coeficiente de determinação é definida por:

𝑅2 = 1 −𝑆

𝑆𝑡𝑜𝑡=𝑆𝑡𝑜𝑡 − 𝑆

𝑆𝑡𝑜𝑡 (2.43)

em que S representa o resíduo, como definido na equação (2.36) e 𝑆𝑡𝑜𝑡 representa o total do somatório

dos quadrados dos dados:

𝑆𝑡𝑜𝑡 =∑[𝑧(𝑘)]2

𝑚

𝑘=1

(2.44)

O resíduo 𝑆 pode também ser expresso em termos do coeficiente de determinação 𝑅2 e do total da

soma dos quadrados 𝑆𝑡𝑜𝑡,

𝑆 = 𝑆𝑡𝑜𝑡(1 − 𝑅2) (2.45)

No caso do número de dados da amostra ser praticamente o mesmo do número de parâmetros de

regressão, é de esperar valores de 𝑅2 demasiado optimistas no sentido de o modelo se ajustar a uma

pequena amostra de dados, o que pode levar à existência de perturbações. Para evitar este problema

é comum ajustar o valor de 𝑅2 tendo em conta o limite da amostra (Wherry (1931)), obtendo-se o

coeficiente de determinação ajustado:

𝑅𝑎𝑑𝑗2 = 𝑅2 −

𝑣 − 1

𝑚 − 𝑣(1 − 𝑅2) (2.46)

Em que 𝑚 é a dimensão da amostra e 𝑣 representa o número de parâmetros no modelo de regressão.

O termo de ajuste da correcção desaparece com o aumento da dimensão da amostra 𝑚.

No Exemplo 2.3 é aplicado o método de regressão a apenas uma variável 𝑥, o que resulta num modelo

a duas dimensões (caso de regressão mais simples).

Exemplo 2.3

Considerando a função 𝑓(𝑥) = ∑ 𝑝𝑖𝑥𝑖𝑣−1

𝑖=0 para um dado conjunto de 6 pontos com as coordenadas que

constam na Tabela 2.2, fazendo corresponder y à imagem de 𝑓(𝑥).

37

x 0 2 4 6 8 10

y 1 3 4 8 8 6

Tabela 2.2 – Coordenadas dos pontos para regressão

A representação dos pontos e respectivo traçando das linhas de regressão são apresentados na Figura

2.9. O valor de 𝑣 varia de 2 (regressão linear) até 5 (regressão de quarto grau). Os coeficientes para

cada uma das regressões são dados na Tabela 2.3. Uma regressão de quinto grau ajustar-se-ia

perfeitamente ao longo de todos os pontos da amostra porém, o coeficiente de determinação de ajuste

não poderia ser calculado. Comparando os valores para 𝑅𝑎𝑑𝑗2 na Tabela 2.3, conclui-se que o modelo

de regressão cúbico é o que se ajusta melhor aos dados da amostra.

Figura 2.9 – Conjunto de pontos (dados) com funções polinomiais obtidas através de regressão

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0 2 4 6 8 10

Var

iáve

l y

Variável x

Linear

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0 2 4 6 8 10

Var

iáve

l y

Variável x

Quadrática

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0 2 4 6 8 10

Var

iáve

l y

Variável x

Cúbica

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0 2 4 6 8 10

Var

iáve

l y

Variável x

Quarto Grau

38

𝒗 𝒑𝟎 𝒑𝟏 𝒑𝟐 𝒑𝟑 𝒑𝟒 𝑹𝟐 (𝑹𝒂𝒅𝒋𝟐 )

2 1.857 0.629 - - - 0.691 0.614

3 0.429 1.700 -0.107 - - 0.863 0.772

4 1.151 0.051 0.344 -0.030 - 0.957 0.892

5 1.079 0.646 0.024 0.022 -0.003 0.960 0.802

Tabela 2.3 – Coeficientes de regressão e de determinação para regressão polinomial

2.2.3. Polinómios de Primeira e Segunda Ordem

Como anteriormente referido, a utilização de superfícies de resposta prende-se com o facto de tornar

uma relação complexa entre a resposta estrutural e as variáveis básicas num modelo matemático que

seja o mais simples possível. No caso, o novo modelo deve ser contínuo nas suas variáveis básicas e

ter um pequeno número de termos, cujos coeficientes possam ser estimados facilmente. Os modelos

polinomiais de baixa ordem adequam-se às condições impostas. Assim, na área da análise estocástica

estrutural (por exemplo para a avaliação da fiabilidade) os modelos de superfície de resposta mais

usados são polinomiais de primeira e segunda ordem como descrito, por exemplo, em Rackwitz (1982),

Bucher & Bourgund (1990), Kim & Na (1997), Zheng & Das (2000) e Bucher (2009).

Como é referido em Bucher (2009), a forma geral de um modelo de primeira ordem de uma superfície

de resposta 𝜂, linear nas suas n variáveis básicas 𝑥𝑖 é dada por:

𝜂 = 𝑝0 +∑𝑝𝑖𝑥𝑖

𝑛

𝑖=0

(2.47)

com 𝑝𝑖; 𝑖 = 0,1, … , 𝑛 como incógnitas (parâmetros a serem estimados dos dados experimentais). Este

modelo possui um total de 𝑣 = 𝑛 + 1 parâmetros. O parâmetro 𝑝0 é o valor da superfície de resposta

na origem ou no ponto central do projecto experimental enquanto que os coeficientes 𝑝𝑖 podem ser

interpretados como os gradientes da superfície de resposta na direcção das respectivas variáveis

básicas 𝑥𝑖. Como está patente na equação (2.47), o modelo de primeira ordem não se adequa à

representação da interacção mais simples entre as variáveis de entrada.

No caso de ser evidente que os dados experimentais não podem ser representados por um modelo

cujas variáveis básicas não tenham efeitos mutuamente independentes, então o modelo de primeira

ordem pode ser complementado com termos de interacção simples, obtendo-se:

39

𝜂 = 𝜃0 +∑𝑝𝑖𝑥𝑖

𝑛

𝑖=1

+∑ ∑ 𝑝𝑖𝑗𝑥𝑖

𝑛

𝑗=𝑖+1

𝑥𝑗

𝑛−1

𝑖=1

(2.48)

O número total de parâmetros a estimar é dado por 𝑣 = 1 + 𝑛(𝑛 + 1)/2 . No modelo de superfície de

resposta da equação (2.48) está presente alguma curvatura, apenas resultante da torção dos planos

das respectivas variáveis de entrada. No caso de ser também necessária uma curvatura acentuada, o

modelo acima pode ser melhorado através de 𝑛 termos quadráticos, completando o modelo de segunda

ordem, na forma:

𝜂 = 𝜃0 +∑𝑝𝑖𝑥𝑖

𝑛

𝑖=1

+∑ ∑ 𝑝𝑖𝑗𝑥𝑖

𝑛

𝑗=𝑖+1

𝑥𝑗

𝑛−1

𝑖=1

+∑𝑝𝑖𝑖𝑥𝑖2

𝑛

𝑖=1

(2.49)

Neste caso o número total de parâmetros a ser estimado é 𝑣 = 1 + 𝑛 + 𝑛(𝑛 + 1)/2.

Na maioria dos casos, ou o modelo de primeira ordem, ou o modelo de segunda ordem são utilizados

como funções de superfície de resposta.

Em Montgomery & Runger (2003) são exemplificadas graficamente as superfícies de resposta acima

apresentadas, constituídas por duas variáveis (𝑥1 e 𝑥2) e resultando nos planos de regressão 𝜂 que

constam na Figura 2.10 para um modelo de primeira ordem (a), um plano de primeira ordem com termos

de interacção (b) e ainda um plano de segunda ordem (c).

Figura 2.10 – Exemplo de alguns planos de regressão: (a) 𝜂 = 50 + 10𝑥1 + 7𝑥2, (b) 𝜂 = 50 + 10𝑥1 + 7𝑥2 + 5𝑥1𝑥2 e (c) 𝜂 = 800 + 10𝑥1 + 7𝑥2 − 8.5𝑥1

2 − 5𝑥22 + 4𝑥1𝑥2

41

Capítulo 3 Resistência Última de Elementos Estruturais

Como é referido no Capítulo 1, a avaliação probabilística da segurança estrutural de um determinado

elemento é baseada numa função de estado limite, dada pela diferença entre o carregamento aplicado

e a resistência do elemento que, atendendo às respectivas variáveis (𝑋1𝑅 , … , 𝑋𝑛

𝑅 no caso das variáveis

relativas à resistência e 𝑋1𝐿 , … , 𝑋𝑚

𝐿 para as variáveis do carregamento), é possível escrever a função de

estado limite como:

𝑔(𝑿) = 𝑅(𝑋1𝑅 , … , 𝑋𝑛

𝑅) − 𝐿(𝑋1𝐿 , … , 𝑋𝑚

𝐿 ) (3.1)

Na equação (3.1), o parâmetro que define a resistência estrutural do elemento (𝑅) pode ser obtido de

várias formas, das quais três serão abordadas neste estudo: funções de estado limite explícitas (obtidas

através de equações de projecto semi-empíricas), funções de estado limite implícitas (sendo necessário

uma ligação ao Ansys para o cálculo da resistência do elemento através do método dos elementos

finitos) e ainda o método de superfície de resposta, no qual se obtém uma função polinomial que

procura definir a resistência do elemento, com base numa amostra obtida por simulação de Monte Carlo

e que ajusta uma superfície aos valores da resistência última obtidos para cada realização.

O diagrama da Figura 3.1 ilustra precisamente estas três alternativas e procura representar os vários

passos de obtenção da superfície de resposta para 𝑛 variáveis relativas à resposta (𝑋1𝑅, 𝑋2

𝑅, … , 𝑋𝑛𝑅) e 𝑚

variáveis relativas ao carregamento (𝑋1𝐿 , 𝑋2

𝐿 , … , 𝑋𝑚𝐿 ).

42

Figura 3.1 – Diagrama de relação entre o carregamento e as várias alternativas de avaliação da resposta

Para que o elemento estrutural em estudo seja considerado adequado a probabilidade do carregamento

ser inferior ao valor da resposta deve ser elevada.

Os vários modelos de resposta abordados foram baseados em estudos de caso desenvolvidos. Este

capítulo visa apresentar os estudos de caso relativos a equações de projecto semi-empíricas e ao

modelo numérico de elementos finitos de placa. Procurar-se-á ainda relacionar ambos os modelos com

o objectivo de melhorar uma das equações semi-empíricas, ajustando-a aos resultados de resistência

obtidos pelo modelo numérico de placa estudado de forma a que a resistência seja definida com uma

maior precisão. Para tal será necessário recorrer à simulação de Monte Carlo, levada a cabo pelo

ProRel e com ligação ao Ansys no cálculo da resistência por elementos finitos, de onde se obterão os

resultados que permitem ajustar os parâmetros dessa equação semi-empírica.

3.1. Equações de projecto semi-empíricas

Teixeira et al. (2013) mostrou que a resistência última de placas de aço pode ser prevista através de

diversas equações de projecto semi-empíricas (e.g. Guedes Soares & Guedes da Silva (1991)). As

propostas iniciais foram construídas com base na tensão crítica elástica 𝜎𝑐 de um elemento de placa,

normalizada pela tensão de cedência 𝜎𝑦,

43

𝜙 =𝜎𝑐𝜎𝑦=3.62

𝜆2 (3.2)

em que 𝜆 representa a esbeltez da placa, dada através da expressão:

𝜆 =𝑏

𝑡√𝜎𝑦

𝐸 (3.3)

na qual 𝑏 e 𝑡 são, respectivamente, a largura e a espessura e 𝐸 representa o módulo de Young do

material.

Faulkner (1975) propôs uma aplicação para placas simples (com distorções iniciais mas livre de tensões

residuais) definindo a expressão:

𝜙𝐹 =𝜎𝑢𝜎𝑦=2

𝜆−1

𝜆2 para 𝜆 > 1.0 (3.4)

Substituindo (3.3) em (3.4) obtém-se a primeira equação de projecto semi-empírica a ser analisada:

𝜙𝐹 =

2

𝑏𝑡∙ √𝜎𝑦𝐸

−1

(𝑏𝑡∙ √𝜎𝑦𝐸)

2 (3.5)

O método proposto por Faulkner foi posteriormente desenvolvido por Guedes Soares (1988) de forma

a ter em consideração explicitamente os efeitos das distorções iniciais e das tensões residuais:

𝜙𝐺𝑆 = {1.08𝜙𝐹} {(1 −

𝛥𝜙𝑟1.08𝜙𝐹

) (1 − 0.0078𝜂)} {1 − (0.626

− 0.121𝜆)𝛿0}{0.665 + 0.006𝜂 + 0.36𝛿0 + 0.14𝜆}

para 𝜆 > 1.0

(3.6)

em que 𝜂 representa a largura na zona de cedência em tensão nos limites da placa, normalizada pela

espessura 𝑡; Δ𝜙𝑟 diz respeito ao decréscimo da resistência da placa dado em Guedes Soares &

Faulkner (1987) e δ0 é um parâmetro que contempla o efeito das distorções iniciais da placa dado pelo

quociente entre a amplitude da imperfeição geométrica (𝑤) e a espessura da placa (𝑡), cujo valor médio

é obtido através da expressão: δ0 = 𝑤/𝑡 = 0.1 ∙ 𝜆2.

Na equação (3.6) o primeiro termo termo indica a resistência de uma placa perfeita. O primeiro e

segundo termos dão origem à resistência de uma placa com tensões residuais enquanto o primeiro e

terceiro termos estimam a resistência da placa com distorções iniciais. O quarto e último termo

corresponde à interacção entre os efeitos das distorções iniciais e das tensões residuais.

44

Com o objectivo de aplicar a equação (3.6) a funções de estado limite simplificadas, foram

negligenciados os efeitos das tensões residuais e, como tal, o segundo e o quarto termo da equação

foram eliminados. Assim, a equação (3.6) toma a forma:

𝜙𝐺𝑆 =

(

2.16

𝑏𝑡∙ √𝜎𝑦𝐸

−1.08

(𝑏𝑡∙ √𝜎𝑦𝐸)

2

)

∙ (1 − (0.626 − 0.121 ∙

𝑏

𝑡∙ √𝜎𝑦

𝐸) ∙𝑤

𝑡) (3.7)

A equação (3.7) será usada como equação de projecto semi-empírica na definição da resistência do

elemento. Será ainda modificada em alguns parâmetros, de modo a ajustar-se com maior precisão aos

resultados obtidos por análise de elementos finitos do modelo de placa.

3.2. Modelo de Placa (modelo numérico de elementos finitos)

Foi usado um modelo de placa desenvolvido por Teixeira & Guedes Soares (2010) num estudo que

levou a cabo uma análise de fiabilidade de placas de aço com corrosão não uniforme representada por

campos aleatórios. Neste estudo a resistência última foi calculada para placas quadradas (𝑎/𝑏 = 1),

simplesmente apoiadas e esbeltez média 𝑏/𝑡 = 50 com as extremidades longitudinais constrangidas e

deslocamento transversal sem constrangimentos. A resistência última da placa corresponde ao valor

máximo da curva tensão-deslocamento longitudinal da placa, abaixo do plano longitudinal de

compressão, obtido pela análise não-linear de elementos finitos usando o software ANSYS. O

carregamento aplicado é uniformemente distribuído (𝛿), aplicado ao longo de uma das extremidades

transversais, a placas com largura 𝑏 = 1000 mm, como pode ser observado na Figura 3.2.

Figura 3.2 – Condições de Fronteira e carregamento do modelo de placa

As variáveis aleatórias consideradas neste modelo foram a espessura da placa (𝑡), o módulo de Young

(𝐸), a tensão de cedência (𝜎𝑦) e a amplitude das distorções iniciais da placa (𝑤𝑚𝑎𝑥). O carregamento

aplicado (𝜎𝑎) toma o valor, em média, de 60% do valor característico da tensão de cedência (𝜎𝑦𝑐) usado

no projecto do elemento estrutural. As características probabilísticas da tensão aplicada são depois

45

representadas por uma variável aleatória 𝐶𝑎 que segue uma distribuição de Weibull com um valor médio

de 0.6 e um coeficiente de variação (𝑐𝑜𝑣) de 0.1 que afecta directamente os 5% do valor característico

da tensão de cedência (𝜎𝑦𝑐). Na Tabela 3.1 são apresentados os modelos estocásticos das variáveis

aleatórias consideradas.

Variável Unidade Tipo de

distribuição Média

Desvio

Padrão 𝒄𝒐𝒗

Valor característico

(𝑿𝒄) 𝑭𝒙 (𝑿

𝒄)

𝒕 mm Normal 20.0 2.00 0.10 20.0 0.50

𝑬 MPa Lognormal 210000 21000 0.10 208958 0.50

𝝈𝒚 MPa Lognormal 269.0 21.52 0.08 235.0 0.05

𝒘𝒎𝒂𝒙 mm Lognormal 2.007 1.193 0.59 4.264 0.95

𝑪𝒂 - Weibull 0.6 0.06 0.10 0.685 0.95

Tabela 3.1 – Modelos estocásticos das variáveis aleatórias (𝑋)

A função de estado limite deste problema toma a forma da equação (3.1), dada pela resistência da

placa a um carregamento aplicado, tomando assim a forma:

𝑔(𝑿) = 𝑅(𝑿) − 𝜎𝑎 = 𝑅(𝑡, 𝐸, 𝜎𝑦 , 𝑤𝑚𝑎𝑥) − 𝐶𝑎𝜎𝑦𝑐 (3.8)

No âmbito deste estudo foi então necessário definir o modelo estocástico relativo às amplitudes das

distorções iniciais da placa (𝑤𝑚𝑎𝑥). Este modelo foi baseado numa amostra de medições baseadas nas

distorções de fabrico de placas para navios relativa a um estudo efectuado por Kmiecik et al. (1995).

A forma das imperfeições geométricas iniciais (𝑤0) é representada apenas por um componente da série

de Fourier,

𝑤0 = 𝑤𝑚𝑎𝑥 ∙ 𝑠𝑖𝑛 (𝜋𝑥

𝑎) ∙ 𝑠𝑖𝑛 (

𝜋𝑦

𝑏) (3.9)

em que 𝑎 e 𝑏 representam as dimensões iniciais da placa e 𝑤𝑚𝑎𝑥 corresponde à amplitude da forma da

imperfeição inicial. A amostra obtida da amplitude das distorções iniciais normalizadas pela espessura

da placa (𝑤𝑚𝑎𝑥/𝑡) foi usada para construir um modelo estocástico usado no estudo da fiabilidade,

considerando que este parâmetro pode ser definido como seguindo uma distribuição lognormal. Os

parâmetros da distribuição obtida para um conjunto de placas quadradas com relação 𝑏/𝑡 = 50 são

apresentados na Tabela 3.2.

46

Distribuição Média Desvio Padrão cov Skew

Lognormal 0.1 0.06 0.59 4.18

Tabela 3.2 – Modelo estocástico da amplitude das distorções iniciais das placas (𝑤𝑚𝑎𝑥/𝑡) com 𝑡 = 20 mm e

𝑎/𝑏 = 1 ; 𝑏/𝑡 = 50

O modelo desenvolvido por Teixeira & Guedes Soares (2010) fica assim com as respectivas variáveis

aleatórias definidas e com a função de estado limite da placa definida pela equação (3.8).

3.3. Equações Semi-Empíricas para a previsão da resistência da placa

As equações semi-empíricas apresentadas na secção 3.1 podem ser aplicadas ao modelo de placa

estudado e comparados os valores previstos para a resistência última do elemento com os valores

numéricos obtidos através de uma análise de elementos finitos não-linear. Para levar a cabo este

estudo foi introduzido o modelo de placa no ProRel, de modo a efectuar uma simulação de Monte Carlo

de 500 realizações com as variáveis que se encontram na Tabela 3.1 e com o cálculo de elementos

finitos a ser efectuado mediante uma ligação ao Ansys (função de estado limite implícita).

A Figura 3.3 e a Figura 3.4 apresentam a qualidade das equações semi-empíricas propostas por

Faulkner (1975) e Guedes Soares (1988), respectivamente, na previsão da resistência última da placa,

calculada através de uma análise de elementos finitos não-linear usando a simulação de Monte Carlo.

Figura 3.3 – Resistência última obtida por análise de elementos finitos não-linear e pela expressão semi-empírica

de Faulkner (Equação (3.5))

140

160

180

200

220

240

260

280

300

140 160 180 200 220 240 260 280 300

σu

(FE

M)

σu (Faulkner)

47

Figura 3.4 – Resistência última obtida por análise de elementos finitos não-linear e pela expressão semi-empírica

de Guedes Soares (Equação (3.7))

A equação de projecto semi-empírica desenvolvida por Guedes Soares (1988) é a que melhor se ajusta

aos resultados do modelo numérico, no entanto esta pode ainda ser manipulada de forma a melhorar

esse ajuste. Assim sendo, uma vez que a equação em questão contém vários parâmetros numéricos,

estes podem ser corrigidos de modo a aumentar a precisão da previsão da resistência para o modelo

estrutural de placa apresentado, por comparação com os valores obtidos por elementos finitos. Assim,

a equação (3.7) corresponde a:

𝜙𝐺𝑆 =

(

𝑎1

𝑏𝑡∙ √𝜎𝑦𝐸

+𝑎2

(𝑏𝑡∙ √𝜎𝑦𝐸)

2

)

∙ (1 − (𝑎3 + 𝑎4 ∙

𝑏

𝑡∙ √𝜎𝑦

𝐸) ∙𝑤

𝑡) (3.10)

com parâmetros 𝑎1 = 2.16, 𝑎2 = −1.08, 𝑎3 = 0.626 e 𝑎4 = −0.121.

Estabelecendo uma comparação entre os valores de resistência última obtidos pela análise de

elementos finitos não-linear e pela expressão semi-empírica de Guedes Soares (3.7) e resolvendo a

equação (3.10) para os valores obtidos a partir do Ansys (na mesma simulação de Monte Carlo com

500 realizações anteriormente usada) com base na minimização do erro, chegou-se aos valores de

parâmetros 𝑎1 = 2.246, 𝑎2 = −1.0686, 𝑎3 = 0.64 e 𝑎4 = −0.1. Obteve-se então uma nova equação

semi-empírica (designada por equação de Guedes Soares corrigida e representada por 𝜙𝐺𝑆′) que pode

escrever-se:

140

160

180

200

220

240

260

280

300

140 160 180 200 220 240 260 280 300

σu

(FE

M)

σu (GS)

48

𝜙𝐺𝑆′ =

(

2.246

𝑏𝑡∙ √𝜎𝑦𝐸

−1.0686

(𝑏𝑡∙ √𝜎𝑦𝐸)

2

)

∙ (1 − (0.64 − 0.01 ∙

𝑏

𝑡∙ √𝜎𝑦

𝐸) ∙𝑤

𝑡) (3.11)

os valores da resistência última da placa, obtidos através de uma análise de elementos finitos não-

linear usando a simulação de Monte Carlo, aproximam-se com uma maior precisão dos valores

previstos pela equação (3.11), como é perceptível pela Figura 3.5, onde é apresentada a qualidade da

aproximação da equação semi-empírica de Guedes Soares corrigida.

Figura 3.5 – Resistência última obtida por análise de elementos finitos não-linear e pela expressão semi-empírica

de Guedes Soares corrigida (Equação (3.11))

Para a análise do erro relativo inerente a cada uma das equações semi-empíricas abordadas efectuou-

se uma nova simulação de Monte Carlo, novamente com 500 realizações, para que fossem obtidos

valores diferentes dos usados na determinação dos parâmetros da equação de Guedes Soares

corrigida, evitando deste modo uma enganadora redução do erro relativo referente a esta equação e

permitindo ainda que os erros fossem calculados para todas as equações com recurso à mesma

amostra.

O valor do erro relativo médio de cada equação foi obtido através do cálculo desse erro para cada uma

das 500 simulações, efectuando em seguida a média dos valores obtidos, como é demonstrado na

equação (3.12).

140

160

180

200

220

240

260

280

300

140 160 180 200 220 240 260 280 300

σu

(FE

M)

σu (GS')

49

𝐸𝑀é𝑑𝑖𝑜 = (∑|𝜙𝑖 − 𝐴𝑁𝑆𝑌𝑆𝑖|

𝐴𝑁𝑆𝑌𝑆𝑖

500

𝑖=1

) 500⁄ (3.12)

Na Tabela 3.3 estão apresentados, para as três equações usadas, os erros médios relativos aos valores

obtidos através do método dos elementos finitos, através do Ansys. Tal como seria esperado aquando

da análise da qualidade de cada uma das equações semi-empíricas, a equação de Faulkner apresenta

um erro superior a ambas as equações de Guedes Soares sendo a equação corrigida a que fornece

melhor previsão de entre as equações semi-empíricas estudadas.

𝜙𝐹 𝜙𝐺𝑆 𝜙𝐺𝑆′

Erro Médio 6.81% 3.42% 1.34%

Tabela 3.3 – Erros relativos da resistência última obtida nas equações semi-empíricas abordadas

Capítulo 4 Avaliação Probabilística da Segurança de Elementos

Estruturais

O presente capítulo descreve alguns estudos de caso em que a avaliação da fiabilidade de estruturas

foi levada a cabo, tendo sido usadas diferentes alternativas para definir a função de estado limite, desde

funções explícitas a implícitas e ainda os modelos de superfície de resposta. Os estudos de caso foram

executados no programa de fiabilidade ProRel, para as diferentes abordagens, sendo utilizado o

software comercial Comrel na comparação dos resultados referentes à análise FORM com função de

estado limite explícita. No caso em que é usada a função de estado limite implícita é necessária uma

ligação directa ao Ansys de modo a que a resistência do elemento seja calculada através de uma

análise de elementos finitos. Esta análise efectuada ao elemento estrutural, aliada a uma simulação de

Monte Carlo, poderá ainda servir para a obtenção da amostra da resistência usada na formulação das

superfícies de resposta que, por sua vez, definirão modelos mais económicos do ponto de vista

computacional relativamente à função de estado limite implícita (ver diagrama da Figura 3.1).

Serão então apresentados, na secção 4.1, os estudos de caso relativos aos modelos probabilísticos,

que empregam as funções de estado limite explícitas e implícitas e abordar-se-á a análise com recurso

aos modelos de superfície de resposta na secção 4.2.

4.1. Análise de Fiabilidade com Funções de Estado Limite Explícitas

Estudo de Caso 1

Neste estudo de caso, aplicado ao modelo de placa desenvolvido por Teixeira & Guedes Soares (2010)

e apresentado na secção 3.2, será efectuada uma análise FORM com função de estado limite explícita,

o que se traduz numa substituição, na equação (3.1), do termo correspondente à resistência do

elemento por equações semi-empíricas apresentadas no Capítulo 3. Assim, será abordada a equação

original de Guedes Soares, obtendo-se a função de estado limite (4.1).

52

𝑔(𝑿) = 𝜙𝐺𝑆 − 𝐿 (4.1)

Alternativamente será também abordada a equação de Guedes Soares corrigida, resultando a função

de estado limite (4.2).

𝑔′(𝑿) = 𝜙𝐺𝑆′ − 𝐿 (4.2)

Os modelos estocásticos das variáveis aleatórias que definem o problema são apresentados na Tabela

4.1.

Variável Unidade Tipo de distribuição Média Desvio Padrão

𝒕 mm Normal 20.0 2.00

𝑬 MPa Lognormal 210000 21000

𝝈𝒚 MPa Lognormal 269.0 21.52

𝒘𝒎𝒂𝒙 mm Lognormal 2.007 1.193

𝑪𝒂 - Weibull 0.6 0.06

Tabela 4.1 – Modelos estocásticos das variáveis aleatórias

O modelo em estudo foi introduzido e executado nos programas Comrel e ProRel, procedendo-se a

uma análise FORM, usando as duas funções de estado limite dadas pelas equações (4.1) e (4.2). Na

Tabela 4.2 e na Tabela 4.3 são mostradas as comparações estabelecidas entre os resultados obtidos

da análise de fiabilidade efectuada em ambos os programas para as equações de Guedes Soares

original e corrigida, respectivamente.

53

Comrel ProRel Erros Relativos

𝜷 3.57 3.57 0.00%

𝑷𝒇 1.78E-04 1.78E-04 0.02%

Variáveis

Aleatórias

U 𝜶 U 𝜶 U 𝜶

𝒕 -2.587 0.725 -2.588 0.725 0.05% 0.02%

𝑬 -0.858 0.240 -0.859 0.241 0.10% 0.03%

𝝈𝒚 -1.366 0.383 -1.366 0.383 0.01% 0.03%

𝒘 1.082 -0.303 1.079 -0.304 0.23% 0.18%

𝑪𝒂 1.511 -0.423 1.510 -0.423 0.05% 0.08%

Tabela 4.2 – Análise de fiabilidade efectuada com o Comrel e o ProRel para a equação de Guedes Soares

Comrel ProRel Erros Relativos

𝜷 3.79 3.78 0.02%

𝑷𝒇 7.69E-05 7.70E-05 0.18%

Variáveis

Aleatórias

U 𝜶 U 𝜶 U 𝜶

𝒕 -2.260 0.598 -2.248 0.593 0.55% 0.87%

𝑬 -0.662 0.174 -0.651 0.172 1.57% 1.18%

𝝈𝒚 -1.175 0.308 -1.157 0.306 1.46% 0.67%

𝒘 2.380 -0.630 2.408 -0.638 1.19% 1.22%

𝑪𝒂 1.318 -0.347 1.307 -0.345 0.87% 0.65%

Tabela 4.3 – Análise de fiabilidade efectuada com o Comrel e o ProRel para a equação de Guedes Soares

corrigida

Analisando os resultados obtidos é perceptível que, para ambas as funções de estado limite, tanto o

índice de fiabilidade 𝛽 como a probabilidade de falha 𝑃𝑓 apresentam valores de erro relativo residuais.

Os erros relativos para a equação de Guedes Soares são mais baixos, em geral, quando comparados

com os erros correspondentes referentes à equação de Guedes Soares corrigida. No entanto, todos os

erros podem considerar-se reduzidos sendo que o erro mais elevado ocorre para o ponto de projecto

U do módulo de Young, 𝐸, apresentando um valor de 1.6%. A comparação dos valores obtidos em

ambos os programas bem como os erros verificados entre eles validam a utilização do programa ProRel

para ambas as equações abordadas.

A Figura 4.1 apresenta uma comparação dos valores de 𝛼 relativos a ambas as funções, avaliando a

importância de cada uma das variáveis aleatórias nas funções estudadas.

54

(a)

(b)

Figura 4.1 – Valores de 𝜶 das variáveis básicas aleatórias das funções usadas: (a) Função de Guedes Soares e

(b) Função de Guedes Soares corrigida

Através do programa Comrel é ainda possível obter os valores das elasticidades da média e do desvio

padrão de cada uma das variáveis aleatórias, apresentadas na Tabela 4.4.

Elasticidades Média Desvio Padrão

𝑔(𝑿) 𝑔′(𝑿) 𝑔(𝑿) 𝑔′(𝑿)

𝒕 2.030 1.581 -0.525 -0.357

𝑬 0.739 0.495 -0.064 -0.035

𝝈𝒚 1.494 1.118 -0.154 -0.102

𝒘 -0.116 -0.043 -0.039 -0.262

𝑪𝒂 -1.763 -1.310 -0.251 -0.166

Tabela 4.4 – Elasticidades da média e do desvio padrão referentes a cada uma das variáveis aleatórias para a

equação de Guedes Soares original e corrigida

Numa análise à Tabela 4.4 verifica-se, tanto para a média como para o desvio padrão, uma diferença

nos valores das elasticidades obtidos pelo uso da equação de Guedes Soares ou da equação corrigida.

Verifica-se que todas as variáveis têm um impacto menor na função de estado limite

𝑔′(𝑿), ou seja, se um valor de média ou desvio padrão de alguma das variáveis for aumentado 1%, a

percentagem de alteração correspondente é inferior na equação de Guedes Soares corrigida. Na Figura

4.2 está expressa essa diferença, onde é apresentada uma comparação entre os valores da

elasticidade da média das variáveis básicas.

t

0.7245

E

0.2405

σ

0.3826

w

-0.3035

Ca

-0.4228 t

0.5931

E

0.1718σ

0.3055

w

-0.6375

Ca

-0.3449

55

Figura 4.2 – Valores da elasticidade da média das variáveis básicas

A Figura 4.3 mostra, a partir de dados extraídos do ProRel, que o índice de fiabilidade 𝛽 também

apresenta uma variação diferente consoante se aplica a função de estado limite 𝑔 ou 𝑔’ que usam para

a definição da resistência do elemento, respectivamente, a equação de Guedes Soares original e

corrigida. Verifica-se que, a partir do valor de 90% do carregamento original aplicado, o índice de

fiabilidade apresenta valores superiores para a função de estado limite 𝑔.

Figura 4.3 – Variação de 𝛽 em função do carregamento aplicado para 𝑔 e 𝑔’

-2.00

-1.50

-1.00

-0.50

0.00

0.50

1.00

1.50

2.00

2.50

t E σ w Ca

Ela

stic

idad

e

GS

GS'

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5

β

% carregamento

g

g'

56

4.2. Análise FORM com Função de Estado Limite Implícita (com ligação ao Ansys)

Estudo de Caso 2

O estudo de caso anterior pode ser igualmente analisado no ProRel, usando uma função de estado

limite implícita, isto é, o programa liga directamente ao Ansys para que seja aplicado o método dos

elementos finitos. Assim, na função inserida como função de estado limite, partindo da equação

genérica (3.1) para a equação (3.8) referente ao elemento em questão, o termo correspondente à

resistência do elemento é substituído pelo termo “Response” com o objectivo de solicitar o cálculo da

resposta ao Ansys, durante a análise. Uma vez que a resposta obtida através do Ansys se trata de uma

força, é necessário dividir este termo pela área da espessura da placa, ou seja, 𝑏 ∙ 𝑡. Sabendo que a

largura da placa é fixa (𝑏 = 1000 mm), o seu valor característico da tensão de cedência é 𝜎𝑦𝑐 = 235

MPa e a espessura é uma das variáveis aleatórias do problema, pode escrever-se a função de estado

limite implícita (𝑔𝑖) na forma:

𝑔𝑖(𝑿) =Response

1000.0 ∙ 𝑡− 235 ∙ 𝐶𝑎 (4.3)

A ligação entre a análise de fiabilidade efectuada no ProRel e a análise de elementos finitos feita pelo

Ansys (função de estado limite implícita) requer os ficheiros MAIN.MAC e model.MAC (Anexo A) sendo

que no primeiro são definidas as características da placa através das dimensões fixas e das variáveis

aleatórias definidas no ficheiro de entrada. Estas variáveis são convertidas de modo a serem lidas nas

várias iterações do método dos elementos finitos, sendo indicada a variável e o formato do número

entre dois caracteres “#”. Assim, para a placa em questão, as quatro variáveis aleatórias que definem

a resistência do elemento são definidas de acordo com a codificação que consta na Tabela 4.5.

Variável Designação Codificação

𝒕 𝑋1 T = #VAR1,F12.4#

𝑬 𝑋2 EXX = #VAR2,F12.1#

𝝈𝒚 𝑋3 SIGO = #VAR3,F12.3#

𝒘𝒎𝒂𝒙 𝑋4 W1= #VAR4,F12.5#

Tabela 4.5 – Codificação das variáveis do ficheiro de entrada do ProRel para ligação ao Ansys

O formato do número F12 significa o total de 12 caracteres possíveis incluindo o ponto de separador

decimal e o sinal negativo. À direita do ponto é indicado o número de dígitos decimais que integram o

número.

57

Considerando os modelos estocásticos das variáveis aleatórias apresentadas na Tabela 4.1 aplicados

à equação de estado limite implícita (4.3) obtiveram-se do ProRel os resultados que constam na Tabela

4.6. Na mesma tabela é ainda estabelecida uma comparação entre os resultados obtidos pela função

implícita e pela função explícita que apresentou o menor erro relativo na previsão da resistência última

de entre as funções explícitas abordadas, a função de estado limite de Guedes Soares corrigida, dada

pela equação (4.2), com especial relevância para o índice de fiabilidade 𝛽 e para a avaliação da

importância de cada variável (𝛼) que apresentam valores consideravelmente diferentes entre as duas

abordagens. O número de iterações e tempo de cálculo necessário são igualmente apresentados,

sendo possível constatar que o número de iterações necessárias da análise FORM é bastante superior

para a função de estado limite explícita, contudo, a análise é feita de forma instantânea enquanto que

para a função de estado limite implícita foi necessário um tempo de cálculo de aproximadamente 15

minutos.

𝑔𝑖(𝑿) 𝑔′(𝑿)

N.º Iterações 12 33

Tempo de Cálculo ~15 min. ~ 0 s.

𝜷 3.36 3.79

𝑷𝒇 3.84E-04 7.70E-05

Variáveis

Aleatórias

𝑼 𝜶 𝑿 𝑼 𝜶 𝑿

𝒕 -2.66 0.79 15.5 -2.2 0.59 14.7

𝑬 -0.92 0.28 195810 -0.7 0.17 190650

𝝈𝒚 -1.08 0.33 244.5 -1.2 0.31 246.0

𝒘 0.59 -0.15 6.49 2.4 -0.64 2.38

𝑪𝒂 1.38 -0.41 0.67 1.3 -0.34 0.67

Tabela 4.6 – Análise de fiabilidade da placa com função implícita e com função explícita

4.3. Análise de Fiabilidade com Superfície de Resposta

Nesta secção proceder-se-á a uma análise de fiabilidade cuja previsão da resistência do elemento é

baseada em modelos de superfícies de resposta. Estes modelos serão obtidos com base em

simulações de Monte Carlo que, para um certo número de realizações, geram valores das variáveis

aleatórias, calculando o respectivo valor de resposta.

A primeira fase deste processo visa então obter duas amostras aleatórias das várias variáveis e a

respectiva resposta, de modo a serem usadas como base de construção das várias superfícies de

58

resposta. Para tal é novamente usado o programa ProRel, onde é levada a cabo uma análise baseada

numa simulação de Monte Carlo com função de estado limite implícita obtendo-se a resposta pelo

Ansys, com a execução de uma análise de elementos finitos.

Pretende-se que a superfície de resposta seja uma previsão da resistência da placa, o que implica uma

função de estado limite implícita sem o termo relativo ao carregamento. Uma vez omitido o

carregamento apenas se consideram as variáveis assumidas como propriedades do elemento, ou seja

as primeiras quatro variáveis da Tabela 4.1 (𝑡, 𝐸, 𝜎𝑦 e 𝑤), sendo assim possível determinar a resposta

do elemento para as várias realizações obtidas por simulação de Monte Carlo. A partir destes dados é

possível ajustar, através de várias análises de regressão, superfícies que prevêem a resistência do

elemento. A Tabela 4.7 apresenta os modelos estocásticos das variáveis aleatórias usadas e a

respectiva designação na obtenção das superfícies de resposta.

Variável Designação Unidade Tipo de

distribuição Média

Desvio

Padrão

𝒕 𝑋1 mm Normal 20.0 2

𝑬 𝑋2 MPa Lognormal 210000 21000

𝝈𝒚 𝑋3 MPa Lognormal 269.0 21.52

𝒘𝒎𝒂𝒙 𝑋4 mm Lognormal 2.007 1.193

Tabela 4.7 – Modelos estocásticos e designação das variáveis aleatórias usadas na formulação das superfícies

de resposta

Assim, serão estudados dois casos cuja diferença reside no número de realizações efectuadas nas

simulações de Monte Carlo: uma amostra de 100 realizações e uma outra de 500 que serão obtidas

através do método de simulação de Monte Carlo por amostragem directa. É a partir destas simulações

que serão gerados os valores para as quatro variáveis de entrada obtendo, para cada simulação, o

valor da resposta calculado através do método dos elementos finitos. Estes valores das variáveis e

respectiva resposta, nas várias simulações, permitem obter as superfícies de resposta que prevêem da

resistência do elemento estrutural, em função das variáveis de entrada.

São então gerados três modelos de superfície de resposta, de crescente grau de complexidade: uma

primeira, apenas com os termos lineares, uma outra com os termos lineares e os termos de interacção

e, por fim, uma função que contempla, para além dos termos lineares e de interacção, os termos

quadráticos.

Cada uma destas superfícies de resposta será usada na análise FORM do ProRel, para prever a

componente de resistência na função de estado limite explícita.

59

4.3.1. Modelos de Superfície de Resposta

Na construção dos vários modelos de superfície de resposta, serão consideradas as quatro variáveis

aleatórias que constam na Tabela 4.7 (com as designações correspondentes 𝑋1 , … , 𝑋4) e que terão

influência na determinação dos parâmetros das superfícies de resposta de diferentes ordens.

A expressão geral relativa à superfície de resposta linear é, de acordo com a expressão (2.47), a

seguinte:

𝜂1 = 𝜃0 +∑𝑝𝑖 ∙ 𝑋𝑖

𝑘

𝑖=1

(4.4)

o que, para o caso das quatro variáveis em questão, chega-se a uma expressão com cinco coeficientes.

Desenvolvendo, chega-se a:

𝜂1 = 𝜃0+𝑝1 ∙ 𝑋1 + 𝑝2 ∙ 𝑋2 + 𝑝3 ∙ 𝑋3 + 𝑝4 ∙ 𝑋4 (4.5)

Para a expressão geral relativa à superfície de resposta com termos lineares e de interacção,

atendendo à expressão (2.48), tem-se:

𝜂2 = 𝜃0 +∑𝑝𝑖 ∙ 𝑋𝑖

𝑘

𝑖=1

+∑ ∑ 𝑝𝑖𝑗 ∙ 𝑋𝑖

𝑘

𝑗=𝑖+1

∙ 𝑋𝑗

𝑘−1

𝑖=1

(4.6)

o que, aplicado ao caso em estudo, obtém-se uma expressão com onze coeficientes.

Após desenvolver, obtém-se:

𝜂2 = 𝜃0+𝑝1 ∙ 𝑋1 + 𝑝2 ∙ 𝑋2 + 𝑝3 ∙ 𝑋3 + 𝑝4 ∙ 𝑋4 + 𝑝12 ∙ 𝑋1 ∙ 𝑋2 + 𝑝13 ∙ 𝑋1 ∙ 𝑋3

+ 𝑝14 ∙ 𝑋1 ∙ 𝑋4 + 𝑝23 ∙ 𝑋2 ∙ 𝑋3 + 𝑝24 ∙ 𝑋2 ∙ 𝑋4 + 𝑝34 ∙ 𝑋3 ∙ 𝑋4 (4.7)

Por fim, a expressão geral que diz respeito à superfície de resposta que contempla os termos lineares,

de interacção e quadráticos é, de acordo com a expressão (2.49), a seguinte:

𝜂3 = 𝜃0 +∑𝑝𝑖 ∙ 𝑋𝑖

𝑘

𝑖=1

+∑ ∑ 𝑝𝑖𝑗 ∙ 𝑋𝑖

𝑘

𝑗=𝑖+1

∙ 𝑋𝑗

𝑘−1

𝑖=1

+∑𝑝𝑖𝑖 ∙ 𝑋𝑖2

𝑘

𝑖=1

(4.8)

aplicada ao caso actual tem-se então uma expressão com quinze coeficientes.

Após desenvolvimento chega-se então a:

60

𝜂3 = 𝜃0+𝑝1 ∙ 𝑋1 + 𝑝2 ∙ 𝑋2 + 𝑝3 ∙ 𝑋3 + 𝑝4 ∙ 𝑋4 + 𝑝12 ∙ 𝑋1 ∙ 𝑋2 + 𝑝13 ∙ 𝑋1 ∙ 𝑋3

+ 𝑝14 ∙ 𝑋1 ∙ 𝑋4 + 𝑝23 ∙ 𝑋2 ∙ 𝑋3 + 𝑝24 ∙ 𝑋2 ∙ 𝑋4 + 𝑝34 ∙ 𝑋3 ∙ 𝑋4

+ 𝑝11 ∙ 𝑋12 + 𝑝22 ∙ 𝑋2

2 + 𝑝33 ∙ 𝑋32 + 𝑝44 ∙ 𝑋4

2

(4.9)

A qualidade dos modelos de ajustamento considerados pode ser medida através do cálculo de

parâmetros indicativos que dizem respeito à regressão linear múltipla, como é referido na secção 2.2.

Assim, o coeficiente de determinação foi obtido recorrendo à expressão:

𝑅2 =𝑆𝑆𝑅𝑆𝑆𝑇

= 1 −𝑆𝑆𝐸𝑆𝑆𝑇

; 0 ≤ 𝑅2 ≤ 1 com 0 ≤ 𝑅2 ≤ 1 (4.10)

em que:

Soma total dos quadrados:

𝑆𝑆𝑇 = 𝑆𝑆𝑅 + 𝑆𝑆𝐸

𝑆𝑆𝑇 =∑ (𝑦𝑖 − �̅�)2

𝑛

𝑖=1

Soma dos quadrados da regressão: 𝑆𝑆𝑅 =∑ (�̂�𝑖 − �̅�)2

𝑛

𝑖=1

Soma dos quadrados do erro: 𝑆𝑆𝐸 =∑ (𝑦𝑖 − �̂�𝑖)2

𝑛

𝑖=1

O coeficiente de determinação ajustado foi calculado de acordo com:

𝑅𝑎𝑑𝑗2 = 1 −

𝑆𝑆𝐸/(𝑛 − 𝑝)

𝑆𝑆𝑇 /(𝑛 − 1)= 1 −

𝑛 − 1

𝑛 − 𝑝∙ (1 − 𝑅2) (4.11)

Após obtidas as várias superfícies de resposta, estas serão usadas na função de estado limite, sendo

necessário, tal como efectuado na secção 4.2, dividir as expressões 𝜂𝑖 pela área da secção transversal

da placa e aplicar o carregamento, como é mostrado na expressão (4.12).

𝑔(𝑿) =𝜂𝑖

1000 ∙ 𝑋1− 235 ∙ 𝑋5 (4.12)

Foi elaborado um programa em MATLAB que usa o método dos mínimos quadrados, descrito na

secção 2.2, na obtenção de superfícies de resposta das três ordens acima apresentadas e cujo código

pode ser encontrado no Anexo B.

61

A Tabela 4.8 apresenta as várias superfícies de resposta obtidas, definidas através dos parâmetros 𝑝.

O número de amostras usadas na obtenção das superfícies de resposta é indicado através da variável

Namostra e para cada uma das simulações (100 e 500 amostras) foram formuladas as três superfícies de

resposta acima descritas (𝜂𝑖, com 𝑖 = 1,2,3). O tempo de cálculo necessário à obtenção de cada uma

das amostras é apresentado, bem como todos os parâmetros que compõem as expressões (4.5), (4.7)

e (4.9). No final da tabela são apresentados os coeficientes de determinação e coeficientes de

determinação ajustados, relativos a cada uma das expressões.

𝜼 Namostra=100 Namostra=500

Tempo de

Cálculo ~16 min ~1 h 20 min

𝒊 1 2 3 1 2 3

𝜽𝟎 -8276942 4783748 -372224 -7587906 2115201 -3252953

𝒑𝟏 405457.5 -52137 69149.01 401401.5 94840.81 217947.6

𝒑𝟐 8.132 -9.883 12.923 6.781 -0.15 21.792

𝒑𝟑 12725.27 -38995.2 -25516.9 11633.31 -35306.5 -21369.4

𝒑𝟒 -152636 445843.7 267468.9 -174950 167964.8 129155.9

𝒑𝟏𝟐 - -0.075 -0.313 - -0.562 -0.578

𝒑𝟏𝟑 - 1800.62 1778.431 - 1690.831 1616.615

𝒑𝟏𝟒 - -9559.14 -12331.4 - -13969.8 -12807.3

𝒑𝟐𝟑 - 0.078 0.062 - 0.067 0.0652

𝒑𝟐𝟒 - -0.864 -0.456 - 0.236 -0.17199

𝒑𝟑𝟒 - -822.34 -641.545 - -422.043 -408.124

𝒑𝟏𝟏 - - -1417.26 - - -2571.23

𝒑𝟐𝟐 - - -3.6E-05 - - -4.80E-05

𝒑𝟑𝟑 - - -18.848 - - -22.314

𝒑𝟒𝟒 - - 12101.7 - - 18020.31

𝑹𝟐 0.9807 0.9914 0.9964 0.9837 0.9942 0.9975

𝑹𝒂𝒅𝒋𝟐 0.9798 0.9904 0.9959 0.9835 0.9940 0.9975

Tabela 4.8 – Coeficientes das expressões de superfície de resposta e respectivos coeficientes de determinação

62

(a) (b)

Figura 4.4 – Resistência última obtida por análise de elementos finitos não-linear e pelas expressões de

superfície de resposta para: (a) Namostra=100 e (b) Namostra =500

150

170

190

210

230

250

270

290

310

150 170 190 210 230 250 270 290 310

σu

(FEM

)

σu (RSM η=1)

150

170

190

210

230

250

270

290

150 170 190 210 230 250 270 290

σu

(FEM

)

σu (RSM η=1)

150

170

190

210

230

250

270

290

150 170 190 210 230 250 270 290

σu

(FEM

)

σu (RSM η=2)

150

170

190

210

230

250

270

290

150 170 190 210 230 250 270 290

σu

(FEM

)

σu (RSM η=2)

150

170

190

210

230

250

270

290

150 170 190 210 230 250 270 290

σu

(FEM

)

σu (RSM η=3)

150

170

190

210

230

250

270

290

150 170 190 210 230 250 270 290

σu

(FEM

)

σu (RSM η=3)

63

Na Tabela 4.8 e na Figura 4.4 é avaliada a qualidade das superfícies de resposta desenvolvidas,

verificando-se uma coerência entre os coeficientes de determinação e os gráficos de dispersão: quanto

mais próximo da unidade é o coeficiente de determinação, menor é o erro da previsão da resistência

do elemento, ou seja, menos dispersos são os valores da resposta obtidos na simulação de Monte

Carlo relativamente à linha que corresponde aos valores obtidos por análise de elementos finitos,

através do Ansys.

O cálculo do erro relativo médio de cada superfície de resposta foi obtido através de um processo

semelhante ao usado na secção 3.3, aquando do cálculo dos erros relativos médios das equações

semi-empíricas, dado pela equação (3.12). Assim, após ser efectuada uma nova simulação de Monte

Carlo de 500 realizações, o erro relativo das superfícies de resposta acima estudadas é dado pela

expressão (4.13).

𝐸𝑀é𝑑𝑖𝑜 = ( ∑|(𝜂𝑖)𝑗 − 𝐴𝑁𝑆𝑌𝑆𝑗|

𝐴𝑁𝑆𝑌𝑆𝑗

Namostra

𝑗=1

) Namostra⁄ (4.13)

Na Tabela 3.3 estão expressos, para as seis superfícies de resposta usadas, os erros médios relativos

aos valores obtidos pelo método dos elementos finitos, através do Ansys. Tal como seria esperado

aquando da análise da qualidade de cada uma das equações semi-empíricas, também neste caso os

valores do erro vão diminuindo com o refinamento da expressão que define a resistência do elemento

ou seja, com o aumento do número de amostras usado na obtenção da superfície de resposta (variável

Namostra) e também com o aumento do grau do polinómio.

Namostra 𝜼𝟏 𝜼𝟐 𝜼𝟑

Erro Médio 100 1.82% 1.23% 0.78%

500 1.60% 1.00% 0.76%

Tabela 4.9 – Erros relativos da resposta nas equações de superfície de resposta abordadas

Pode então concluir-se que a superfície de resposta que melhor define a resposta do elemento, de

entre as obtidas, é definida a partir de uma simulação de 500 amostras e é constituída pelos termos

lineares, de interacção e quadráticos uma vez que foi aquela que apresentou melhores resultados nos

critérios da qualidade da previsão, designadamente os coeficientes de determinação e de determinação

ajustado (Tabela 4.8), os gráficos que estabelecem a comparação entre o valor da resistência última

obtido através da superfície de resposta e através do método dos elementos finitos (Figura 4.4) e,

finalmente, o valor do erro relativo calculado a partir de uma nova simulação de Monte Carlo (Tabela

4.9).

64

4.3.2. Análise FORM com Superfície de Resposta

Foi levada a cabo (uma vez mais no ProRel) uma análise FORM, implementando como função de

estado limite explícita as expressões de superfície de resposta obtidas na secção anterior. Assim, a

função de estado limite da expressão (3.1) toma a forma da equação (4.12), podendo ser escrita na

forma:

𝑔(𝑿) =𝜂𝑖

1000 ∙ 𝑡− 235 ∙ 𝐶𝑎 (4.14)

em que 𝜂𝑖 representa as várias superfícies de resposta desenvolvidas, para 𝑖 = 1,2,3 e considerando

Namostra= 100 , 500; com os respectivos coeficientes apresentados na Tabela 4.8. Os modelos

estocásticos das variáveis aleatórias usadas podem ser consultados na Tabela 4.1.

A Tabela 4.10 apresenta os resultados obtidos da análise FORM, na qual se verifica uma variação

significativa do índice de fiabilidade quando aumentado o grau da função. Verifica-se ainda que o

número de amostras usado na construção das superfícies de resposta (variável Namostra), apesar de

influenciar os valores obtidos, estes não apresentam variações significativas para superfícies de

resposta com mesmo grau.

RSM, 𝜼𝒊

𝒊

Namostra = 100 Namostra = 500

𝛽 𝑃𝑓 𝛽 𝑃𝑓

1 2.74 3.06E-03 2.76 2.92E-03

2 3.20 6.98E-04 3.03 1.24E-03

3 2.99 1.39E-03 2.87 2.06E-03

Tabela 4.10 – Análise FORM com superfície de resposta

A Figura 4.5 apresenta a comparação dos valores de 𝛼 para cada uma das seis superfícies de resposta

estudadas, de forma a avaliar a importância de cada uma das variáveis aleatórias em cada uma delas.

Também neste caso se verifica que cada um dos valores de 𝛼 apresenta maiores variações quando o

grau da função é alterado, ao invés do caso em que, para o mesmo grau, se altera o número de

amostras usado na construção das superfícies de resposta, designado por Namostra, em que não são

verificadas variações significativas.

65

(a) (b)

Figura 4.5 – Valores de 𝜶 das variáveis básicas aleatórias das expressões de superfície de resposta 𝜂1 , 𝜂2 , 𝜂3:

(a) Namostra = 100 e (b) Namostra = 500

t

0.7592

E

0.238

σ

0.3761

w

-0.3933

Ca

-0.2663

η1

t

0.7124

E

0.1915σ

0.3307

w

-0.5288

Ca

-0.2586

η1

t

0.896

E

0.2818σ

-0.0151

w

-0.1904

Ca

-0.2851

η2

t

0.8543

E

0.3277σ

0.0473

w

-0.2844

Ca

-0.2823

η2

t

0.8649

E

0.3178σ

0.0314

w

-0.2712

Ca

-0.2764

η3

t

0.8593

E

0.3489σ

0.0846

w; -0.2488

Ca

-0.2661

η3

66

4.3.3. Simulação de Monte Carlo com Superfície de Resposta

Aplicando as expressões de superfície de resposta desenvolvidas (como função de estado limite

explícita) à análise por simulação de Monte Carlo, é possível estabelecer uma comparação entre os

valores obtidos. Foram então efectuadas, para cada uma das superfícies de resposta, simulações de

100, 500, 1000, 10000 e 100000 realizações para os tipos de simulação de Monte Carlo por

amostragem directa e por amostragem por importância. Na Tabela 4.11 são apresentados os valores

do índice de fiabilidade, 𝛽, correspondentes às simulações efectuadas para cada uma das seis

superfícies de resposta, bem como os respectivos valores do coeficiente de variação (COV). São

também apresentados os resultados obtidos através da função de estado limite implícita (método dos

elementos finitos), para ambas as simulações de Monte Carlo.

Nas simulações em que o coeficiente de variação apresenta um valor superior a 0.2 foram omitidos os

valores do índice de fiabilidade uma vez que tais valores representam uma previsão de fiabilidade

pouco rigorosa o que pode levar a uma variação considerável no caso de ser repetida a simulação.

Este facto ocorre sobretudo para os casos em que a amostragem directa não ultrapassa as 10000

simulações e na amostragem por importância as 100 simulações, no caso da superfície de resposta

obtida com o menor número de pontos (100 amostras).

No que diz respeito aos valores obtidos pelo método dos elementos finitos verifica-se que os valores

de 𝛽 obtidos através da simulação de Monte Carlo por amostragem directa não são estáveis

(verificando-se elevados coeficientes de variação da probabilidade de falha), obtendo-se apenas no

caso de uma amostra de 500 simulações e com recurso a uma amostragem por importância um valor

de índice de fiabilidade com significado.

67

RSM, 𝜼𝒊 Amostragem Directa Amostragem por Importância

Namostra

n.º simulações

Monte Carlo

𝒊 1 2 3 1 2 3

100

100

𝛽 - - - - - -

(COV) (0.995) (0.700) (0.995) (0.253) (0.253) (0.208)

500

𝛽 - - - 2.674 3.109 3.012

(COV) (0.999) (0.576) (0.999) (0.088) (0.100) (0.086)

1000

𝛽 - - - 2.677 3.129 2.988

(COV) (0.999) (0.706) (0.706) (0.072) (0.074) (0.060)

10000

𝛽 2.737 - - 2.656 3.121 2.942

(COV) (0.179) (0.301) (0.223) (0.031) (0.038) (0.019)

100000

𝛽 2.652 3.160 2.964 2.660 3.091 2.952

(COV) (0.050) (0.113) (0.081) (0.011) (0.028) (0.006)

500

100

𝛽 - - - 2.683 2.909 2.908

(COV) (0.700) (0.995) (0.995) (0.196) (0.180) (0.184)

500

𝛽 - - - 2.656 2.843 2.864

(COV) (0.999) (0.706) (0.706) (0.104) (0.188) (0.085)

1000

𝛽 - - - 2.675 2.852 2.885

(COV) (0.446) (0.706) (0.999) (0.083) (0.177) (0.064)

10000

𝛽 2.628 - - 2.666 2.865 2.852

(COV) (0.152) (0.242) (0.277) (0.022) (0.074) (0.019)

100000

𝛽 2.657 2.835 2.845 2.668 2.875 2.848

(COV) (0.050) (0.066) (0.067) (0.007) (0.032) (0.006)

FEM (𝒈𝒊) 100 𝛽 (COV) - (COV) 3.362 (0.218)

500 𝛽 (COV) - (COV) 3.348 (0.130)

Tabela 4.11 – Análise de Fiabilidade por simulação de Monte Carlo com as superfícies de resposta

desenvolvidas e para função de estado limite implícita FEM (𝑔𝑖)

68

Após as várias análises efectuadas, constata-se que quanto maior for o número de amostras usado na

obtenção da superfície de resposta e quanto mais termos a constituírem melhor será a qualidade do

modelo de aproximação. É ainda notório que a simulação de Monte Carlo por amostragem por

importância é mais rigorosa quando comparada com a amostragem directa e que o aumento do número

de simulações reduz o coeficiente de variação da probabilidade de falha. Assim, é possível assumir

que o modelo que melhor se adequa é o modelo de superfície de resposta construído com base em

500 amostras e constituído por termos lineares, de interacção e quadráticos, aplicado a uma simulação

de Monte Carlo por amostragem por importância para 100000 simulações. Considerando este modelo

e a simulação efectuada com o método dos elementos finitos é possível estabelecer uma comparação

entre os índices de fiabilidade obtidos pelos dois processos e calcular o erro relativo, como se apresenta

na Tabela 4.12:

Amostragem por importância Erro

Relativo FEM 𝜂3 , Namostra =500

𝜷 3.348 2.848 14.93%

Tabela 4.12 – Comparação dos valores de 𝛽 calculados por elementos finitos e superfície de resposta

Analisando a Tabela 4.12 pode concluir-se que o erro relativo do índice de fiabilidade é ainda

considerável (na ordem dos 15%). Seria expectável um erro significativamente inferior, uma vez que a

previsão da resistência da expressão de superfície de resposta em questão sugere uma proximidade

de valores bastante elevada (Figura 4.4). No entanto, se forem tidos em conta os erros relativos do

índice de fiabilidade para as funções explícitas estudadas nas secções anteriores (GS e GS’), verifica-

se um erro relativo semelhante, para previsões de resistência última na mesma ordem de proximidade.

Contudo, a obtenção de 𝛽 usando a superfície de resposta é bastante menos dispendiosa em termos

de tempo comparativamente à função de estado limite implícita, o que representa uma mais-valia para

a utilização deste método.

69

Capítulo 5 Desenvolvimento de código de Fiabilidade Estrutural

em MATLAB

Nos capítulos anteriores foram usados dois softwares de análise de fiabilidade, um comercial (Comrel)

e um outro não-comercial (ProRel), desenvolvido em linguagem FORTRAN. Neste capítulo será

desenvolvida uma ferramenta alternativa de análise de fiabilidade em linguagem MATLAB. Pretende-

se que esta ferramenta possibilite análises de fiabilidade FORM e Monte Carlo, por amostragem directa

e por amostragem por importância para uma função de estado limite explícita que pode ser uma

equação de projecto semi-empírica ou também uma superfície de resposta, obtida através do código

MATLAB anteriormente desenvolvido.

Os métodos FORM e de Simulação de Monte Carlo (com amostragem directa e por importância)

descritos no Capítulo 2 são implementados em linguagem MATLAB no programa em desenvolvimento,

começando por ser efectuada uma simulação de Monte Carlo com amostragem directa, seguindo-se

uma análise FORM e, por fim, uma simulação de Monte Carlo com amostragem por importância. Para

ambos os tipos de simulações de Monte Carlo foi ainda calculado o valor do erro relativo padrão,

associado à estimativa da probabilidade de falha. O Anexo C contém o código MATLAB usado nestas

análises de fiabilidade, sendo apresentados em seguida os respectivos algoritmos usados na

implementação destes métodos.

70

5.1. Algoritmo usado na implementação da simulação de Monte Carlo com amostragem

directa

O método de simulação de Monte Carlo por amostragem directa é baseada na avaliação da quantidade

de falhas que ocorrem num determinado número de simulações (𝑁) e a sua implementação segue o

seguinte algoritmo:

1) Gerar uma amostra 𝑋~𝑓𝑋(𝑋) de dimensão 𝑁, tal que: 𝑥(𝑖) = (𝑥1(𝑖), … , 𝑥𝑛

(𝑖)) , 𝑖 = 1, … , 𝑁

2) Calcular 𝑔(𝑖) = 𝑔(𝑥(𝑖)) e avaliar 𝐼𝑖 = 𝐼(𝑔𝑖) , 𝑖 = 1 , … , 𝑁

3) A partir da amostra obtida (𝐼1 , … , 𝐼𝑁), calcular a estimativa de probabilidade �̂�𝑓 =1

𝑁∙ ∑ 𝐼𝑖

𝑁𝑖=1

4) Estimar o erro relativo padrão, associado à estimativa �̂�: 𝛿 =1

𝑝𝑓∙ √

1

𝑁(𝑁−1)∙ ∑ (𝐼𝑖 − �̂�𝑓)

2𝑁𝑖=1

5.2. Algoritmo implementado para análise FORM

A análise FORM requer uma transformação da função de estado limite e das respectivas variáveis, de

modo a seguirem uma distribuição normal reduzida, sendo assim utilizado o espaço normalizado. O

algoritmo deve recorrer a um processo de optimização em que o ponto pertencente à função de estado

limite com distância mínima à origem define o índice de fiabilidade. Assim, o algoritmo seguido é:

1) Gerar uma realização das variáveis aleatórias do problema (𝑥1(𝑖), … , 𝑥𝑛

(𝑖))

2) Obter 𝑦(𝑖) = Φ−1(𝐹𝑋(𝑥(𝑖)), optimizar 𝑑 = √∑ [𝑢(𝑖)

2]𝑛

𝑖=1 para o valor mínimo, sujeito ao

constrangimento 𝑔(𝑢) = 0

3) Assumir 𝑑 = 𝛽𝐹𝑂𝑅𝑀 e calcular 𝑝𝑓 = Φ(−𝛽𝐹𝑂𝑅𝑀)

4) Determinar 𝛼𝑖 = −𝑢𝑖∗

𝛽𝐹𝑂𝑅𝑀

71

5.3. Algoritmo usado na implementação da simulação de Monte Carlo com amostragem

por importância

No método de simulação de Monte Carlo com amostragem por importância são geradas as amostras

em torno do ponto de projecto (𝑢∗), obtido da análise FORM, já efectuada. É também requerida uma

função de importância (ℎ), responsável por gerar uma amostra centrada nesse ponto de projecto. O

método é implementado para o caso em que é usado o espaço normalizado, isto é, é necessária uma

função de importância multinormal, centrada no ponto de projecto 𝑢∗ = (𝑢1∗, … , 𝑢𝑛

∗ ), ou seja, obtém-se

ℎ(𝑢) = 𝑁(𝑢│𝑢∗, 1). O algoritmo seguido para este caso é o seguinte:

1) Gerar uma amostra 𝑈~𝑁(𝑢│𝑢∗, 1) de dimensão 𝑁, tal que: 𝑥(𝑖) = (𝑥1(𝑖), … , 𝑥𝑛

(𝑖)) , 𝑖 = 1, … , 𝑁

2) Obter 𝑥(𝑖) = 𝐹𝑋𝑖−1(Φ(𝑢(𝑖)), calcular 𝑔𝑖 = 𝑔(𝑥

(𝑖)) e avaliar 𝐼𝑖 = 𝐼(𝑔𝑖) , 𝑖 = 1, … , 𝑁

3) Calcular 𝐽𝑖 =𝐼𝑖∙𝑓𝑈(𝑢

(𝑖))

ℎ(𝑢(𝑖))=𝐼𝑖∙𝑁(𝑢

(𝑖)|0,1)

𝑁(𝑢(𝑖)|𝑢∗, 1)

4) A partir da amostra (𝐽1 , … , 𝐽𝑁) obtida, calcular a probabilidade 𝑝𝑓 =1

𝑁∑ 𝐽𝑖𝑁𝑖=1

5) Estimar o erro relativo padrão, associado à estimativa �̂�: 𝛿 =1

𝑝𝑓∙ √

1

𝑁(𝑁−1)∙ ∑ (𝐽𝑖 − �̂�𝑓)

2𝑁𝑖=1

5.4. Resultados obtidos

Após terem sido implementados os algoritmos acima descritos, é possível obter os resultados das

análises de fiabilidade efectuadas com esta ferramenta. Com o objectivo de serem comparados os

valores calculados no MATLAB com os obtidos nas secções anteriores, aplicou-se o programa a

diferentes funções de estado limite: a equação de Guedes Soares (𝑔), a equação de Guedes Soares

corrigida (𝑔′) e ainda a expressão de superfície de resposta composta pelo maior número de termos

(𝜂3) e construída a partir da amostra de maior dimensão (Namostra =500).

Para as funções em questão, aplicando os métodos FORM, Monte Carlo com amostragem directa de

100000 amostras (MC1) e Monte Carlo com amostragem por importância de 10000 amostras (MC2),

são apresentadas na Tabela 5.1 as comparações entre os valores obtidos do índice de fiabilidade, 𝛽,

da probabilidade de falha, 𝑝𝑓, nos programas ProRel e MATLAB. A tabela apresenta ainda os erros

relativos entre os valores de ambos os programas e ainda o erro relativo padrão (𝛿) para ambas as

técnicas de simulação de Monte Carlo (MC1 e MC2).

72

𝜷 𝒑𝒇 𝜹 Erros Relativos

ProRel MATLAB ProRel MATLAB MATLAB 𝜷 𝒑𝒇

𝒈

FORM 3.570 3.570 1.78E-04 1.78E-04 - 0.00% 0.21%

MC1 3.406 3.450 3.30E-04 2.80E-04 18.90 -

MC2 3.437 3.476 2.94E-04 2.54E-04 2.70 -

𝒈′

FORM 3.785 3.785 7.70E-05 7.70E-05 - 0.00% 0.01%

MC1 3.673 3.719 1.20E-04 1.00E-04 31.62 -

MC2 3.607 3.608 1.55E-04 1.54E-04 4.32 -

𝜼𝟑

Namostra =500

FORM 2.869 2.869 2.06E-03 2.10E-03 - 0.00% 2.02%

MC1 2.814 2.814 2.45E-03 2.40E-03 6.38 -

MC2 2.850 2.844 1.90E-02 2.20E-02 1.89 -

Tabela 5.1 – Comparação entre os valores obtidos pelo ProRel e MATLAB para as funções de GS, GS’ e 𝜂3 com

Namostra = 500 para os métodos FORM, Monte Carlo com amostragem directa (MC1) e com amostragem por

importância (MC2)

Analisando a Tabela 5.1 conclui-se que a ferramenta desenvolvida em MATLAB constitui uma

alternativa viável para os cálculos de fiabilidade estrutural efectuados, uma vez que foram obtidos

valores, tanto do índice de fiabilidade como da probabilidade de falha bastante próximos. Verifica-se

que, relativamente ao índice de fiabilidade 𝛽 o erro máximo tem um valor de 1.28%. Assim, de um modo

geral, pode considerar-se que os valores obtidos no MATLAB são próximos dos valores esperados.

Os valores de 𝛼, que avaliam a importância de cada variável aleatória básica em cada uma das

equações, também neste caso foram objecto de estudo. Os resultados são apresentados na Tabela

5.2. e demonstram uma elevada proximidade entre os cálculos efectuados por ambos os programas,

verificando-se, em todos os casos, uma coerência para todas as variáveis correspondentes a cada uma

das equações.

73

𝜶 𝒕 𝑬 𝝈𝒚 𝒘𝒎𝒂𝒙 𝑪𝒂

𝒈 ProRel 0.725 0.241 0.383 -0.304 -0.423

MATLAB 0.724 0.241 0.382 -0.304 -0.423

𝒈′

ProRel 0.593 0.172 0.306 -0.638 -0.345

MATLAB 0.594 0.172 0.306 -0.637 -0.345

𝜼𝟑

Namostra =500

ProRel 0.859 0.349 0.085 -0.249 -0.266

MATLAB 0.860 0.349 0.084 -0.248 -0.266

Tabela 5.2 – Comparação entre os valores de 𝛼 das variáveis aleatórias básicas para as funções 𝑔, 𝑔’ e 𝜂3 com

Namostra = 500 calculadas através do ProRel e do MATLAB

75

Capítulo 6 Conclusões e Recomendações

6.1. Conclusões

Esta dissertação incidiu na avaliação probabilística da segurança de elementos estruturais, em

particular no desenvolvimento de aplicações e métodos de fiabilidade adequados. Esta avaliação tem

como base uma função de estado limite, constituída pela diferença entre a resistência do elemento em

questão e pelo carregamento aplicado. Foram abordadas, ao longo deste trabalho, algumas

alternativas para definir a resistência do elemento: modelos semi-empíricos de equações de projecto

(função de estado limite explícita), método dos elementos finitos (função de estado limite implícita) e

ainda o método de superfície de resposta (função de estado limite explícita). Os modelos semi-

empíricos apresentam-se como a alternativa mais simples e directa na definição da resistência do

elemento. Contudo, nem sempre se dispõe de uma equação deste tipo, o que leva a procurar

alternativas. A utilização do método dos elementos finitos na função de estado limite (implícita) é a que

apresenta maior precisão, no entanto, o tempo despendido numa análise de fiabilidade deste tipo pode

ser proibitivo, em modelos estruturais complexos e de grandes dimensões. Para ultrapassar este

problema foi desenvolvido um código em linguagem MATLAB que constrói três tipos de superfície de

resposta, com diferentes graus, a partir de amostras obtidas por simulação de Monte Carlo, para a

previsão da resistência do elemento.

As análises de fiabilidade aplicadas às várias funções de estado limite abordadas foram do tipo FORM,

Monte Carlo com amostragem directa e Monte Carlo com amostragem por importância. Estas análises

foram efectuadas em vários softwares: um programa comercial (Comrel), um outro não-comercial

(ProRel) e foi ainda desenvolvido um código de fiabilidade em linguagem MATLAB que implementa os

métodos referidos.

76

Foram estudadas equações de projecto semi-empíricas relativas a um modelo de placa simples,

desenvolvidas por Faulkner e Guedes Soares, representadas por 𝜙𝐹 e 𝜙𝐺𝑆 respectivamente, e avaliada

a sua precisão, com base em comparações com os valores obtidos através de análises de elementos

finitos não-lineares. Esta avaliação indicou erros relativos médios de 6.81% para a equação 𝜙𝐹 e de

3.42% para a equação 𝜙𝐺𝑆. Com o objectivo de melhorar os erros apresentados e obter uma equação

semi-empírica que melhor se aproxime dos valores reais, foi melhorada a equação 𝜙𝐺𝑆 com a

modificação de alguns dos seus parâmetros, baseada na minimização do erro relativo aos valores da

análise de elementos finitos não-linear. Foi então obtida uma nova equação, designada por equação

de Guedes Soares corrigida (𝜙𝐺𝑆′) que revelou uma precisão superior às anteriores, apresentando um

erro relativo médio de 1.34%. A equação 𝜙𝐺𝑆′ foi igualmente utilizada nas funções de estado limite

usadas nas análises de fiabilidade. As equações de estado limite designam-se por 𝑔 e 𝑔’,

respectivamente.

Os valores obtidos das análises de fiabilidade FORM efectuadas nos programas ProRel e Comrel foram

alvo de comparação, constatando-se que os valores obtidos entre ambas são aproximadamente os

mesmos, sendo residuais os valores dos erros relativos máximos do índice de fiabilidade 𝛽 (~0.0%) e

da probabilidade de falha 𝑃𝑓 (0.2%). Os erros relativos de maior magnitude dos valores obtidos para 𝛼

e para o ponto de projecto U também não são significativos (1.2% e 1.6%, respectivamente).

Quanto às equações de projecto semi-empíricas, a análise FORM denuncia uma diferença algo

acentuada entre os valores do índice de fiabilidade obtidos com as equações 𝑔 e 𝑔′ (𝛽=3.57 e 𝛽=3.785,

respectivamente). Os valores de 𝛼 foram igualmente alvo de avaliação, verificando-se alguma variação

na importância de cada uma das variáveis aleatórias entre ambas as equações, situação verificada

igualmente no caso dos valores das elasticidades da média e do desvio padrão relativos a cada uma

das variáveis aleatórias. Foi ainda levada a cabo uma comparação entre os valores dos índices de

fiabilidade obtidos com a variação do carregamento aplicado para ambas as equações, sendo possível

verificar que estes valores são semelhantes na ordem dos 90% de carregamento, tendo tendência a

afastarem-se com o aumento desta percentagem, mantendo-se o valor de 𝛽 correspondente a 𝑔′ mais

elevado.

Foi também efectuada uma análise FORM com função de estado limite implícita (𝑔𝑖), sendo a

resistência do elemento definida a partir do método dos elementos finitos (usando o Ansys) e através

77

da qual se obtém o valor do índice de fiabilidade 𝛽=3.36. É possível constatar que este valor se distancia

um pouco do valor encontrado para a função de estado limite explícita considerada mais exacta (𝑔’).

O tempo de cálculo associado à análise FORM com função de estado limite implícita foi considerável

(cerca de 15 minutos), ao contrário da função de estado limite explícita (instantâneo); o número de

iterações necessárias à análise FORM foi bastante superior quando usada a função de estado limite

explícita em vez da implícita (33 e 12 iterações, respectivamente).

Foi realizada uma análise de fiabilidade com o método de superfície de resposta a partir de uma

amostra obtida por simulação de Monte Carlo que, neste caso, utiliza o método dos elementos finitos

para obtenção da resposta. Foi implementado o método dos mínimos quadrados em linguagem

MATLAB de maneira a serem obtidas superfícies de resposta de três ordens diferentes, para a mesma

amostra. Foram então abordadas duas amostras de diferentes dimensões: Namostra =100 e Namostra =500

e, para cada uma delas, construídas as três superfícies de resposta (𝜂𝑖, 𝜂2 e 𝜂3). O tempo de cálculo

necessário à obtenção das amostras foi consideravelmente diferente, sendo necessário

aproximadamente 1h e 20 minutos para a amostra de 500 realizações e cerca de 16 minutos para a de

100. Verificou-se que a precisão das expressões melhora com o aumento do grau, verificando-se por

isso, como expectável, que as superfícies de resposta que contêm todos os termos testados (lineares,

de interacção e quadráticos), 𝜂3, sejam as que apresentam um menor erro relativo (comparação aos

valores obtidos do método dos elementos finitos) e os valores dos coeficientes de determinação (𝑅2) e

de determinação ajustado (𝑅𝑎𝑑𝑗2 ) mais elevados (parâmetros indicativos da qualidade dos modelos de

regressão). Foi também verificado que os mesmos indicadores de qualidade das superfícies de

resposta melhoram com o aumento do número de amostras utilizado na sua formulação. Chegou-se

portanto à conclusão que a expressão de superfície de resposta que melhor representa a previsão da

resistência do elemento em questão é construída a partir de uma Namostra =500 e contendo todos os

termos implementados (𝜂3). Esta equação polinomial apresenta valores de coeficiente de determinação

e de coeficiente de determinação ajustado 𝑅2=𝑅𝑎𝑑𝑗2 =0.9975, o que se traduz numa boa qualidade do

modelo de ajustamento, no que concerne à regressão linear múltipla. O erro relativo médio desta

expressão é, também ele, bastante favorável (0.76%). Estes parâmetros de qualidade sugerem que a

expressão de superfície de resposta em questão constitui uma boa previsão da resistência do elemento.

Após obtidas as expressões de superfície de resposta procedeu-se então à análise de fiabilidade

implementando-as como funções de estado limite explícitas. Foi levada a cabo uma análise FORM para

78

todas as superfícies de resposta obtidas, onde se constata uma variação significativa entre os índices

de fiabilidade obtidos em cada uma delas, sendo que, para a expressão que demonstrou uma melhor

qualidade de aproximação (𝜂3 com Namostra =500) se obteve um índice de fiabilidade 𝛽=2.87 e uma

probabilidade de falha 𝑃𝑓=2.06E-03 o que, dada a qualidade da previsão, seria expectável que estes

valores se aproximassem um pouco mais dos valores obtidos através da função de estado limite

implícita. Foi também efectuada uma análise de fiabilidade com simulação de Monte Carlo (com

amostragem directa e com amostragem por importância) para as expressões de superfície de resposta

obtidas. Foram então efectuadas, para as seis superfícies de resposta, ambos os tipos de simulação

de Monte Carlo com 100, 500, 1000, 10000 e 100000 realizações. Os resultados do índice de fiabilidade

𝛽 apresentaram uma evolução coerente, estabilizando com o aumento do número de realizações por

simulação. Para a expressão 𝜂3 com Namostra =500 o índice de fiabilidade tomou o valor 𝛽=2.85, o que o

torna coerente com o valor obtido pela análise FORM. No entanto, quando comparados com os valores

obtidos da análise de elementos finitos seria de prever uma maior proximidade, contudo as diferenças

situam-se na mesma ordem de grandeza das verificadas entre as análises efectuadas para as várias

equações de projecto semi-empíricas, pelo que podem ser encaradas com alguma normalidade.

Apesar de algumas diferenças verificadas, pode concluir-se que, ainda assim, a utilização da superfície

de resposta constitui uma ferramenta alternativa benéfica dado que permite diminuir significativamente

os custos computacionais associados à função de estado limite implícita. Foi também verificado que a

técnica de simulação de Monte Carlo com amostragem por importância é mais eficiente quando

comparada com a amostragem directa uma vez que requer um número de realizações inferior para a

obtenção de semelhantes índices de fiabilidade.

Por fim, implementaram-se em linguagem MATLAB os algoritmos de fiabilidade utilizados: FORM,

Monte Carlo com amostragem directa e Monte Carlo com amostragem por importância, os quais foram

aplicados aos estudos de caso anteriores, para funções de estado limite explícitas. Os resultados

obtidos foram avaliados, em comparação com os resultados obtidos através do ProRel, sendo possível

constatar uma proximidade bastante elevada para as equações testadas: 𝑔, 𝑔′ e 𝜂3 com Namostra =500.

Para o índice de fiabilidade 𝛽 o maior erro relativo associado foi de 1.3%. Foram ainda comparados os

valores de 𝛼 para cada uma das equações em estudo, não sendo verificados valores significativamente

diferentes nos cálculos entre ambos os programas.

79

6.2. Recomendações para trabalhos futuros

Os estudos desenvolvidos ao longo do trabalho podem ser aprofundados, implementando outros

métodos de fiabilidade e desenvolvendo outros modelos, como por exemplo:

1. Desenvolver estudos de caso com modelos estruturais mais complexos, como por exemplo um

modelo para avaliar a segurança da estrutura longitudinal do navio;

2. Considerar o termo de carregamento da função de estado limite com modelos probabilísticos

que definam os momentos flectores verticais em águas paradas (𝑀𝑠) e induzido pelas ondas

(𝑀𝑤);

3. Desenvolver outros modelos de superfície de resposta, por exemplo o modelo de interpolação

de Kriging (cuja função de ajustamento contém os pontos de controlo).

4. Generalizar as rotinas de cálculo de fiabilidade em MATLAB de modo a serem aplicadas a

outros modelos.

81

Referências Bibliográficas

Bucher, C., 2009. Computational Analysis of Randomness in Structural Mechanics Vol. 3. CRC Press Taylor & Francis Group, ed., London, UK.

Bucher, C. & Bourgund, U., 1990. A fast and effecient response surface approach for structural reliability problems. Structural Safety, Vol. 7, pp.57–66.

Bucher, C. & Macke, M., 2005. Response surface methodology. In E. Nikolaidis, D. M. Ghioce, & S. Singhal, eds. Structural reliability handbook. Boca Raton: CRC Press, pp. 19–1 to 19–23.

Bucher, C. & Most, T., 2008. A comparison of approximate response functions in structural reliability analysis. Probabilistic Engineering Mechanics, 23(2-3), pp.154–163.

Cornell, C.A., 1969. A Probability-Based Structural Code. Journal of American Concrete Institute, No. 12, Vol. 66, pp.974–985.

Ditlevsen, O., 1981. Principle of Normal Tail Approximation. Journal of the Engineering Mechanics Division, ASCE, Vol. 107, pp.1191–1208.

Ditlevsen, O.D., 1973. Structural Reliability and the Invariance Problem, Research Report No. 22, Solid Mechanics Division, University of Waterloo.

Faulkner, D., 1975. A review of effective plating for use in the analysis of stiffened plating in bending and compression. J Ship Res, Vol. 19, pp.1–17.

Freudenthal, A.M., Garrelts, J.M. & Shinozuka, M., 1966. The Analysis of Structural Safety. J. Struct. Div, American Society of Civil Engineers (ASCE), Vol. 92, pp.235–246.

Gaspar, B., 2012. Reliability of Marine Structures Based on Implicit Methods. PhD Thesis in Naval Architecture and Marine Engineering, Technical University of Lisbon, Instituto Superior Técnico, Lisbon, Portugal.

Gaspar, B., Naess, A., Leira, B.J. & Guedes Soares, C., 2014. System Reliability Analysis by Monte Carlo Based Method and Finite Element Structural Models. Journal of Offshore Mechanics and Arctic Engineering, Vol. 136(3), pp.031603–1 to 031603–9.

Gollwitzer, S., Abdo, T. & Rackwitz, R., 1988. Form Program Manual, Munich.

Guedes Soares, C., 1988. Design equation for the compressive strength of unstiffened plate elements with initial imperfections. J Constr Steel Res, Vol. 9, pp.287–310.

Guedes Soares, C. & Faulkner, D., 1987. Probabilistic modelling of the effect of initial imperfections on the compressive strength of rectangular plates. Proc 3rd int symp on practical design of ships and mobil units (PRADS), Throndheim, vol. 2, pp.783–95.

82

Guedes Soares, C. & Guedes da Silva, A., 1991. Reliability of unstiffened plate elements under in-plane combined loading. In Proc of the offshore mechanics and arctic engineering conference, vol. 2. ASME, Stavanger. pp. 265–276.

Harbitz, A., 1983. Efficient and Accurate Probability of Failure Calculation by Use of the Importance Sampling Technique. In Proc. of the 4th Int. Conf. on App. of Statist. and Prob. in Soils and Struct. Eng., ICASP-4.

Hasofer, A.M. & Lind, N.C., 1974. An Exact and Invariant First-Order Reliability Format. J. Eng. Mech. Div. (ASCE), Vol. 100, pp.111–121.

Kim, S.-H. & Na, S.-W., 1997. Response surface method using vector projected sampling points. Structural Safety 19, pp.3–19.

Kmiecik, M., Jastrzebski, T. & Kuzniar, J., 1995. Statistics of ship plating distortions. Marine Structures, Vol. 8, pp.119–132.

Melchers, R.E., 1999. Structural Reliability Analysis and Prediction Second Ed. John Wiley and Sons, ed., Chichester, West Sussex, England.

Montgomery, D.C. & Runger, G.C., 2003. Applied Statistics and Probability for Engineers Third Edit. John Wiley & Sons Inc., ed., New York, USA.

Myers, R.H. & Montgomery, D.C., 2002. Response Surface Methodology: Process and Product Optimization Using Designed Experiments,

Rackwitz, R., 1982. Response surfaces in structural reliability. Berichte zur Zuverlässigkeitstheorie der Bauwerke. Heft 67, München.

Rajashekhar, M.R. & Ellingwood, B.R., 1993. A new look at the response surface approach for reliability analysis. Structural Safety, Vol. 12, pp.205–220.

Shinozuka, M., 1983. Basic Analysis for Structural Safety. Journal of Structural Engineering, ASCE, No. 3, Vol. 109, pp.721–740.

Teixeira, A.P., 2007. Dimensionamento de Estruturas Navais Baseado no Risco e na Fiabilidade. Tese de Doutoramento em Engenharia e Arquitectura Naval, Universidade Técnica de Lisboa, Instituto Superior Técnico, Lisboa, Portugal.

Teixeira, A.P. & Guedes Soares, C., 2010. Response surface reliability analysis of steel plates with random fields of corrosion. In Safety, Reliability and Risk of Structures, Infrastructures and Engineering Systems. pp. 474–481.

Teixeira, A.P., Ivanov, L.D. & Guedes Soares, C., 2013. Assessment of characteristic values of the ultimate strength of corroded steel plates with initial imperfections. Engineering Structures, vol. 56, pp.517–527.

Wherry, R.J., 1931. A new formula for predicting the shrinkage of the coefficient of multiple correlation. Ann. Math. Statist., 2(4), pp.440–457.

Yu, L., Das, P.K. & Zheng, Y., 2002. Stepwise Response Surface Method and its Application in Reliability Analysis of Ship Hull Structure. Journal of Offshore Mechanics and Arctic Engineering, Vol. 124(4), pp.226–230.

Zheng, Y. & Das, P.K., 2000. Improved response surface method and its application to stiffened plate reliability analysis. Engineering Structures 22, pp.544–551.

83

Anexos

85

Anexo A: Manual de Utilização do Programa Utilizado (ProRel)

Ao longo deste trabalho foi sistematicamente usado um programa que implementa, em linguagem

Fortran, diversas ferramentas de análise probabilística de estruturas. Iniciado por Teixeira (2007) e

posteriormente desenvolvido, o referido programa designa-se por ProRel. De seguida é estabelecido

um procedimento de uso do programa ProRel, na óptica do utilizador, para os casos estudados e com

recurso às respectivas ferramentas testadas.

Serão especificados aspectos como a directoria de uso e os ficheiros usados pelo programa (ficheiros

requeridos para a execução e ficheiros de saída).

A.1 Directoria

É recomendável que o programa seja executado numa directoria na raiz do disco principal de modo a

evitar que, no endereço da directoria, existam caracteres potencialmente danosos ao normal

funcionamento do programa (como espaços, acentos, etc.).

A.2 Ficheiros necessários

Para que o programa seja executado são requeridos que os seguintes ficheiros estejam na directoria

acima referida:

- Ficheiro executável ProRel.exe

- Ficheiro de entrada Rel.dat

- Ficheiro MAIN.MAC Ficheiros necessários no caso de ser pretendida uma

análise de elementos finitos através do software Ansys - Ficheiro model.MAC

No ficheiro Rel.dat:

- A primeira linha deve conter o texto “TYPE OF ANALYSIS”, seguido do número que

corresponde ao tipo de análise pretendida (variável ntype), sendo os vários tipos numerados da

seguinte forma:

86

1 - First Order Reliability Analysis (FORM)

2 - Finite element reliability analysis

3 - Estimation of response variance (SFEM)

4 - Deterministic Finite element analysis

5 - Monte Carlo Simulation (Crude/Importance Sampling) (MCS/IS)

6 - Inverse reliability analysis (Inv-FORM)

7 - Third-moment identification (ID3M)

8 - Response surface Method (RSM)

9 - Model Correction Factor (MCF)

10 - Stochastic Response surface method (SRSM)

11 - Krigging

- O texto na linha seguinte deve ser “LIMIT STATE FUNCTION”, onde será seleccionado o

modo como será assumida a função de estado limite, introduzindo o número correspondente (variável

nslimt), estando os vários tipos numerados da seguinte maneira:

1 - Explicit LSF

2 - Implicit(FEM)

3 - HullColl

4 - Ansys

5 - RSM

6 - MCF

7 - SRSM

8 - Kriging

- No caso de ter sido seleccionada a opção 4-Ansys devem ser preenchidas as linhas abaixo

com:

“ANSYS Data”

“main.mac”

“force.dat”

“EXE_Ansys”

87

A descrição dos comandos acima é a seguinte:

ANSYS Data: dados do ficheiro do Ansys (no caso de o ProRel não encontrar esta referência,

substituirá o ficheiro force.dat); main.mac: ficheiro correspondente ao modelo de elementos finitos;

force.dat: ficheiro de saída com os resultados da análise de elementos finitos; EXE_Ansys: localização

para o ficheiro executável do Ansys.

Abaixo da linha que contém o texto “EXE_Ansys” deve introduzir-se a localização do ficheiro executável

do Ansys no computador cumprindo a seguinte ordem: “cd/d (espaço) localização (espaço) & (espaço)

versão (espaço) -p ANE3FL -b”, em que a localização deve incluir o caminho completo do ficheiro

executável.

Exemplo: no caso de estar a ser usada a versão 13.0 do Ansys e a respectiva localização do ficheiro

executável ser na directoria “Program Files”, a linha em questão ficaria:

“cd/d C:\Program Files\ANSYS Inc\v130\ansys\bin\winx64 & Ansys130 -p ANE3FL –b”

As quatro linhas seguintes devem conter o texto:

“NPRINT 1”

“ACCURACY 1e-3”

“STEP SIZE”

“AUTO”

Na linha seguinte deve ser introduzido o texto: “STOCHASTIC VARIABLES” seguido do número de

variáveis estocásticas do modelo em estudo (variável Icossar).

Imediatamente abaixo devem constar as linhas referentes a cada uma das variáveis estocásticas, uma

linha para cada variável, sendo que cada uma das linhas deve conter quatro campos, separados por

espaços: o primeiro campo corresponde ao número da variável, o segundo campo indica o tipo de

distribuição da variável respectiva, o terceiro campo e quarto campos devem conter os valores dos

termos que definem as distribuições. A tabela abaixo apresenta a forma como cada uma das

distribuições suportadas é definida e o respectivo conteúdo que deverá constar em cada um dos

campos correspondentes.

88

Tipo de

distribuição

Número correspondente

(2.º campo)

Modo de definição

da distribuição

Primeiro termo

(3.º campo)

Segundo termo

(4.º campo)

Normal 1 Momentos Média Desvio Padrão

LogNormal 2 Momentos Média Desvio Padrão

Gumbel 3 Momentos Média Desvio Padrão

Exponencial 4 Parâmetros λ 0

Weibull 5 Parâmetros w k

Exemplo: no caso de se querer definir a primeira variável como uma distribuição LogNormal com

um valor médio de 30 e um desvio padrão de 3, a respectiva linha que definiria a variável deveria

escrever-se:

“1 2 30 3”

A linha abaixo deverá conter o texto “LSF” seguido do número de linhas necessárias à escrita da função

de estado limite (variável nlines).

Na linha seguinte, corresponde à função de estado limite g, deve escrever-se a função ocupando o

número de linhas indicado no ponto acima e começando com a indicação “g=”.

No caso de a função de estado limite ser obtida através de cálculos usando o método dos elementos

finitos, a função g deve conter o termo “Response” que corresponde aos cálculos obtidos do MEF.

- No caso de o tipo de análise seleccionada ter sido a Simulação de Monte Carlo – na linha

correspondente ao “TYPE OF ANALYSIS” ter sido seleccionada a opção 5 - Monte Carlo Simulation

(Crude/Importance Sampling) (MCS/IS) – deve ser preenchido, na linha abaixo à última linha da função

de estado limite g, o correspondente à simulação de Monte Carlo: a primeira linha deve conter o texto

“MONTE CARLO SIMULATION” seguido, na linha abaixo, do número de iterações pretendidas na

simulação. O tipo de simulação é indicado na linha seguinte, devendo esta conter o texto “SIMULATION

TYPE” seguido do número correspondente a cada tipo de simulação, de acordo com a seguinte

codificação:

1 - Standard Monte Carlo (SMC)

2 - Stand. MC Importance Sampling (SMC_IS)

3 - Stand. Latin Hypercube Sampling (SLHS)

4 - stand. Latin Hypercube Importance Sampling (SLH_IS)

5 - Latin Hypercube Smapling with Correlation Reduction (LHS_CR)

6 - Latin Hypercube Importance Sampling with correlation reduction

A última linha do ficheiro de entrada deve conter o texto “END”.

89

A.3 Ficheiros de saída

Dependendo do tipo de análise executada e do tipo de função de estado limite seleccionada, serão

obtidos diferentes ficheiros de saída.

O ficheiro de saída comum a todas as execuções do programa é o ficheiro rel.out, sendo que o

conteúdo deste ficheiro também varia consoante a análise executada e o tipo de função de estado

limite.

Independentemente das opções seleccionadas cada ficheiro de saída rel.out apresenta a forma como

as variáveis foram introduzidas e ainda a função de estado limite na forma escrita no ficheiro de entrada

Rel.dat.

No caso em que o tipo de análise recorre a métodos de fiabilidade de primeira ordem (FORM) são

apresentadas as várias iterações efectuadas, sendo que os valores da última iteração são os

considerados óptimos. Os valores extraídos são, para cada uma das variáveis, U, alfa e X. São ainda

apresentados o valor do índice de fiabilidade (beta) e o valor da probabilidade de falha (Pf), bem como

os valores de convergência.

Quando a análise é efectuada através do método de simulação de Monte Carlo, é apresentado o

número de simulações solicitado ao programa e os resultados do índice de fiabilidade (beta) e da

probabilidade de falha (Pf) e ainda o coeficiente de variação da probabilidade de falha (C.O.V. of Pf). É

de seguida apresentada uma lista com valores de várias estatísticas de resposta, sendo elas:

Média (Mean)

Variância (Variance)

Desvio padrão (St. deviation)

Skewness

Kurtosis

Mínimo (Minimum)

Máximo (Maximum)

Gama (Range)

Coeficiente de variação (COV)

Contagem (Count)

Lower CLM

Upper CLM

90

Neste caso são ainda gerados mais dois ficheiros:

mc_u_y.dat

mc_x_y.dat (valores aleatórios gerados para as variáveis nas várias simulações)

No que diz respeito a uma função de estado limite calculada através do método dos elementos finitos,

usando o software Ansys, são obtidos ficheiros adicionais, tais como:

FIG.DAT (valores

file.out (descrição pormenorizada dos vários processos efectuados pelo Ansys)

FORCE.DAT

A.4 Exemplos de ficheiros de entrada Rel.dat

São apresentados dois exemplos de ficheiros de entrada Rel.dat para dois casos, com tipos de

simulação e de função de estado limite distintos.

Exemplo de ficheiro Rel.dat para o caso em que é efectuada uma análise FORM, com função

de estado limite explícita, sendo neste caso a equação de Guedes Soares corrigida.

* ProREL input file (REL.DAT) * TYPE OF ANALYSIS 1 !ntype * 1 - First Order Reliability Analysis (FORM) * 2 - Finite element reliability analysis * 3 - Estimation of response variance (SFEM) * 4 - Deterministic Finite element analysis * 5 - Monte Carlo Simulation (Crude/Importance Sampling) (MCS/IS) * 6 - Inverse reliability analysis (Inv-FORM) * 7 - Third-moment identification (ID3M) * 8 - Response surface Method (RSM) * 9 - Model Correction Factor (MCF) * 10 - Stochastic Response surface method (SRSM) * 11 - Krigging * LIMIT STATE FUNCTION 1 !(nslimt) 1-Explicit LSF, 2-Implicit(FEM), 3-

HullColl, 4-Ansy, 5-RSM 6-MCF 7-SRSM 8-Kriging NPRINT 1 ACCURACY 1e-3 STEP SIZE AUTO STOCHASTIC VARIABLES 5 ! Icossar 1 1 20.0 2.00 ! t Dist.Type 1 - Normal (Moments, mean, std) 2 2 210000 21000 ! E 2 - LogNormal (Moments, mean, std) 3 2 269.0 21.52 ! sigma 3 - Gumbel (Moments, mean, std) 4 2 2.007 1.193 ! w 4 - Exponent. (Param., lambeda, 0) 5 5 0.6258 12.1534 ! load 50% su 5 - weibull (Param., w, k)

91

LSF 2 ! nlines (number of lines) g=((2.246/((1000/X1)*SQRT(X3/X2))-1.0686/((1000/X1)*SQRT(X3/X2))^2)*(1-

(0.64-0.1*((1000/X1) *SQRT(X3/X2)))*X4/X1)*X3)-235.0*X5 END

Exemplo de ficheiro Rel.dat para o caso em que é efectuada uma simulação de Monte Carlo

com amostragem directa para 100000 realizações, com função de estado limite implícita

(implicando ligação ao Ansys).

* ProREL input file (REL.DAT)

*

TYPE OF ANALYSIS 5 !ntype

* 1 - First Order Reliability Analysis (FORM)

* 2 - Finite element reliability analysis

* 3 - Estimation of response variance (SFEM)

* 4 - Deterministic Finite element analysis

* 5 - Monte Carlo Simulation (Crude/Importance Sampling) (MCS/IS)

* 6 - Inverse reliability analysis (Inv-FORM)

* 7 - Third-moment identification (ID3M)

* 8 - Response surface Method (RSM)

* 9 - Model Correction Factor (MCF)

* 10 - Stochastic Response surface method (SRSM)

* 11 - Krigging

*

LIMIT STATE FUNCTION 4 !(nslimt) 1-Explicit LSF, 2-Implicit(FEM), 3-

HullColl, 4-Ansy, 5-RSM 6-MCF 7-SRSM 8-Kriging

ANSYS Data ! If not defined ProRel uses in:main.mac out: force.dat w.dir:

place of ProRel exe

main.mac ! Fem model file

force.dat ! output data file with FEA result

EXE_Ansys ! path to executable Ansys code

cd/d C:\Program Files\ANSYS Inc\v130\ansys\bin\winx64 & Ansys130 -p ANE3FL

-b

NPRINT 1

ACCURACY 1e-3

STEP SIZE

AUTO

STOCHASTIC VARIABLES 5 ! Icossar

1 1 20.0 2.00 ! t Dist.Type 1 - Normal (Moments, mean, std) 2 2 210000 21000 ! E 2 - LogNormal (Moments, mean, std) 3 2 269.0 21.52 ! sigma 3 - Gumbel (Moments, mean, std) 4 2 2.007 1.193 ! w 4 - Exponent. (Param., lambeda, 0) 5 5 0.6258 12.1534 ! load 50% su 5 - weibull (Param., w, k) LSF 1 (ntype=1, nslimit=4)

g=Response/(1000.0*X1)-235.0*X5

MONTE CARLO SIMULATION

100000

SIMULATION TYPE 1

END

92

A.5 Exemplo de ficheiro MAIN.MAC

São apresentadas de seguida as linhas de código que compõem o ficheiro MAIN.MAC nas quais se

definem os parâmetros de ligação ao Ansys e onde é chamado o ficheiro relativo ao modelo,

model.MAC.

FINISH

/clear

/PREP7

AL = 1000.0 ! Length of the plate

BL = 1000.0 ! Width of the plate

T = #VAR1,F12.4# ! !VAR1,F8.3 ! Thickness of the plate

T_RF=0

NELX = 15 ! Total number of elements along A

NELY = 15 ! Total number of elements along B

NNX = NELX+1 ! number of nodes

NNY = NELY+1

MODE = 1 ! Initial imperferctions mode

ET,1,SHELL181

EXX = #VAR2,F12.1# ! VAR2,E12.5

EXX_RF = 0

SIGO= #VAR3,F12.3# ! VAR3,E12.5

SIGO_RF= 0

B = (BL/t)*SQRT(SIGO/EXX)

! A = (0.1*B*B)*t

PI=ACOS(-1)

W1= #VAR4,F12.5# ! 5.595

W2=0.0

W3=0.0

FINISH

model

93

Anexo B: Superfície de Resposta – Código MATLAB

Neste anexo é apresentado o código desenvolvido em MATLAB para a obtenção das expressões de

superfície de resposta. Este código lê o ficheiro mc_x_y.dat fornecido pelo ProRel para o caso em que

é efectuada uma simulação de Monte Carlo sendo ainda necessário introduzir o número de variáveis

em estudo. O output do programa são três superfícies de resposta de diferentes ordens, com os

respectivos valores de coeficientes de determinação e ainda figuras de dispersão que comparam os

valores obtidos pela superfície de resposta com os valores reais da simulação.

clear all; clc; %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Read File mc_x_y.dat %%%%%%%%%%%%%%% data = importdata('mc_x_y.dat'); sizedata = size(data); for i=1:sizedata(1) datastr(i,:) = strsplit(data{i},' '); end sizedatastr = size (datastr); datastr(:,sizedatastr(2))=[]; %delete last column datastr(:,1)=[]; %delete first column matdata=cellfun(@str2num,datastr); %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Building Matrices %%%%%%%%%%%%%% sizedatastr = size(datastr); % num_var = sizedatastr(2)-1; prompt = 'Enter the number of variables X: '; num_var = input(prompt); while num_var>sizedatastr(2)-1 disp('Error: file do not contains sufficient variables') % manual

introduction of the number of variables prompt = 'Enter the number of variables X: '; num_var = input(prompt); end num_simul=sizedatastr(1); for i=1:num_var Xi(:,i)=matdata(:,i); % matrix of variables X end X=[ones(num_simul,1),Xi]; Y(:,1)=matdata(:,sizedatastr(2)); % vector of Response %%%%%%%%%%% Beta Parameters Calculations & Response Surface Expression Beta_est=((X'*X)^-1)*X'*Y; Y_est=X*Beta_est; sym_x = sym(zeros(1, num_var)); for j=1:num_var sym_x(j) = sym(sprintf('X%d', j)); end sizeBeta=size(Beta_est); num_betas=sizeBeta(1); for i=1:num_betas-1; y_est_beta(i,:)=Beta_est(i+1); end for i=1:num_var; y_est_var(i,:)=sym_x(i); end for i=1:num_var;

94

y_est_mult(i)=y_est_beta(i)*y_est_var(i); end y_est_mat=vpa([Beta_est(1),y_est_mult],6); y_est_lin=sum(y_est_mat) meanY=mean(Y); for i=1:num_simul SSTmat(i,1)=(Y(i)-meanY)^2; end SST1=sum(SSTmat); for i=1:num_simul SSRmat(i,1)=(Y_est(i)-meanY)^2; end SSR1=sum(SSRmat); for i=1:num_simul SSEmat(i,1)=(Y(i)-Y_est(i))^2; end SSE1=sum(SSEmat); R2_1=SSR1/SST1 R2adj_1=1-((num_simul-1)/(num_simul-num_betas))*(1-R2_1) scatter(Y,Y_est) title('Observations vs. Linear terms Expression') Y_est_tot=zeros(sizedata(1),3); Y_est_tot(:,1)=Y_est; %%%%%%%%%%%%%%%%% k=num_var; p=1+k*(k+1)/2; A=1:k-1; B=repmat(A,k-1,1); B=B'; B=triu(B); C = reshape(B.',[],1); C=C'; C(C == 0) = []; D=2:k; E=repmat(D,k-1,1); E=triu(E); F = reshape(E.',[],1); F=F'; F(F == 0) = []; Interaction=[C;F]; clear A B C D E F; SizeInt=size(Interaction); for i=1:SizeInt(2); Xij(:,i) = Xi(:,Interaction(1,i)).*Xi(:,Interaction(2,i)); end X=[ones(num_simul,1),Xi,Xij]; Beta_est=((X'*X)^-1)*X'*Y; Y_est=X*Beta_est; sym_x = sym(zeros(1,p-1)); for j=1:num_var sym_x(j) = sym(sprintf('X%d', j)); end for j=1:SizeInt(2) sym_x(j+num_var) = sym(sprintf('X%d*X%d',

Interaction(1,j),Interaction(2,j))); end sizeBeta=size(Beta_est); num_betas=sizeBeta(1); for i=1:num_betas-1; y_est_beta(i,:)=Beta_est(i+1); end

95

for i=1:p-1; y_est_var(i,:)=sym_x(i); end for i=1:p-1; y_est_mult(i)=y_est_beta(i)*y_est_var(i); end y_est_mat=vpa([Beta_est(1),y_est_mult],6); y_est_lin_inter=sum(y_est_mat) for i=1:num_simul SSTmat(i,1)=(Y(i)-meanY)^2; end SST2=sum(SSTmat); for i=1:num_simul SSRmat(i,1)=(Y_est(i)-meanY)^2; end SSR2=sum(SSRmat); for i=1:num_simul SSEmat(i,1)=(Y(i)-Y_est(i))^2; end SSE2=sum(SSEmat); R2_2=SSR2/SST2 R2adj_2=1-((num_simul-1)/(num_simul-p))*(1-R2_2) figure scatter(Y,Y_est) title('Observations vs. Linear + Interaction terms Expression') Y_est_tot(:,2)=Y_est; p=1+k+k*(k+1)/2; for i=1:num_var Xii(:,i)=Xi(:,i).*Xi(:,i); end X=[ones(num_simul,1),Xi,Xij,Xii]; Beta_est=((X'*X)^-1)*X'*Y; Y_est=X*Beta_est; sym_x = sym(zeros(1,p-1)); for j=1:num_var sym_x(j) = sym(sprintf('X%d', j)); end for j=1:SizeInt(2) sym_x(j+num_var) = sym(sprintf('X%d*X%d',

Interaction(1,j),Interaction(2,j))); end for j=1:num_var sym_x(j+num_var+SizeInt(2)) = sym(sprintf('X%d^2',j)); end sizeBeta=size(Beta_est); num_betas=sizeBeta(1); for i=1:num_betas-1; y_est_beta(i,:)=Beta_est(i+1); end for i=1:p-1; y_est_var(i,:)=sym_x(i); end for i=1:p-1; y_est_mult(i)=y_est_beta(i)*y_est_var(i); end y_est_mat=vpa([Beta_est(1),y_est_mult],6); y_est_lin_inter_quad=sum(y_est_mat) for i=1:num_simul SSTmat(i,1)=(Y(i)-meanY)^2; end SST3=sum(SSTmat);

96

for i=1:num_simul SSRmat(i,1)=(Y_est(i)-meanY)^2; end SSR3=sum(SSRmat);

for i=1:num_simul SSEmat(i,1)=(Y(i)-Y_est(i))^2; end SSE3=sum(SSEmat); R2_3=SSR3/SST3 R2adj_3=1-((num_simul-1)/(num_simul-p))*(1-R2_3) figure scatter(Y,Y_est) title('Observations vs. Linear + Interaction + Quadratic terms Expression') Y_est_tot(:,3)=Y_est;

97

Anexo C: Análise de Fiabilidade FORM – Código MATLAB

Este anexo apresenta as rotinas de cálculo efectuadas no MATLAB para as análises de fiabilidade

levadas a cabo com função de estado limite explícita, tendo sido seleccionada a função de estado limite

de Guedes Soares corrigida para apresentação como exemplo.

Ficheiro MC_IS.m

% GS' clear all; clc; % crude MC simulation n = 100000; x1 = normrnd(20,2,n,1); m2 = 210000; v2 = 21000^2; mu2 = log((m2^2)/sqrt(v2+m2^2)); sigma2 = sqrt(log(v2/(m2^2)+1)); x2 = lognrnd(mu2,sigma2,n,1); m3=269.0; v3=21.52^2; mu3 = log((m3^2)/sqrt(v3+m3^2)); sigma3 = sqrt(log(v3/(m3^2)+1)); x3 = lognrnd(mu3,sigma3,n,1); m4=2.007; v4=1.193^2; mu4 = log((m4^2)/sqrt(v4+m4^2)); sigma4 = sqrt(log(v4/(m4^2)+1)); x4 = lognrnd(mu4,sigma4,n,1); x5 = wblrnd(0.6258,12.1534,n,1); g = ((2.246./((1000./x1).*sqrt(x3./x2))-

1.0686./((1000./x1).*sqrt(x3./x2)).^2).*(1-(0.64-

0.1.*((1000./x1).*sqrt(x3./x2))).*(x4./x1)).*x3)-235.0.*x5; I = (g <= 0); pf_MCc = sum(I)/n beta_MCc = -norminv(pf_MCc,0,1) delta_MCc = sqrt((1-pf_MCc)/(n*pf_MCc))*100 % relative standard error

estimation % % FORM method u0 = [0 0 0 0 0]; [u beta] = fmincon(@funobj,u0,[],[],[],[],[],[],@sbjto); beta_FORM=beta pf_FORM = normcdf(-beta,0,1) alfa = u./beta; % % importance sampling Monte Carlo method n = 10000; u1 = normrnd(u(1),1,n,1); u2 = normrnd(u(2),1,n,1); u3 = normrnd(u(3),1,n,1); u4 = normrnd(u(4),1,n,1); u5 = normrnd(u(5),1,n,1); x1 = norminv(normcdf(u1,0,1),20,2); x2 = logninv(normcdf(u2,0,1),mu2,sigma2); x3 = logninv(normcdf(u3,0,1),mu3,sigma3); x4 = logninv(normcdf(u4,0,1),mu4,sigma4);

98

x5 = wblinv(normcdf(u5,0,1),0.6258,12.1534); g = ((2.246./((1000./x1).*sqrt(x3./x2))-

1.0686./((1000./x1).*sqrt(x3./x2)).^2).*(1-(0.64-

0.1.*((1000./x1).*sqrt(x3./x2))).*(x4./x1)).*x3)-235.0.*x5; I = (g <= 0); J = I.*normpdf(u1, 0,1).*normpdf(u2, 0,1).*normpdf(u3, 0,1).*normpdf(u4,

0,1).*normpdf(u5, 0,1)./... (normpdf(u1,u(1),1).*normpdf(u2,u(2),1).*normpdf(u3,u(3),1).*normpdf(u4,u(4

),1).*normpdf(u5,u(5),1)); pf_MCis = sum(J)/n beta_MCis=-norminv(pf_MCis,0,1) delta_MCis = 1/pf_MCis*sqrt(1/(n*(n-1))*sum((J-pf_MCis).^2))*100

Ficheiro funobj.m

function d = funobj(u) d = sqrt(sum(u.^2)); end

Ficheiro sbjto.m

function [c ceq] = sbjto(u) x(1) = norminv(normcdf(u(1),0,1),20,2);

m2 = 210000; v2 = 21000^2; mu2 = log((m2^2)/sqrt(v2+m2^2)); sigma2 = sqrt(log(v2/(m2^2)+1)); x(2) = logninv(normcdf(u(2),0,1),mu2,sigma2);

m3=269.0; v3=21.52^2; mu3 = log((m3^2)/sqrt(v3+m3^2)); sigma3 = sqrt(log(v3/(m3^2)+1)); x(3) = logninv(normcdf(u(3),0,1),mu3,sigma3);

m4=2.007; v4=1.193^2; mu4 = log((m4^2)/sqrt(v4+m4^2)); sigma4 = sqrt(log(v4/(m4^2)+1)); x(4) = logninv(normcdf(u(4),0,1),mu4,sigma4);

x(5) = wblinv(normcdf(u(5),0,1),0.6258,12.1534);

c = ((2.246/((1000/x(1))*sqrt(x(3)/x(2)))-

1.0686/((1000/x(1))*sqrt(x(3)/x(2)))^2)*(1-(0.64-

0.1*((1000/x(1))*sqrt(x(3)/x(2))))*(x(4)/x(1)))*x(3))-235.0*x(5); ceq = [];