Analise de Vibracoes Em Estruturas de Cabos Pre-esforcados Lourenco j.-2008

ANLISE DE VIBRAES EM ESTRUTURAS DE CABOS

PR-ESFORADAS

JORGE ALEXANDRE DE MAGALHES LOURENO

Dissertao submetida para satisfao parcial dos requisitos do grau de

MESTRE EM ENGENHARIA CIVIL ESPECIALIZAO EM ESTRUTURAS

Orientador: Professor Doutor lvaro Ferreira Marques Azevedo

JUNHO DE 2008

MESTRADO INTEGRADO EM ENGENHARIA CIVIL 2007/2008 DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL

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Este documento foi produzido a partir de verso electrnica fornecida pelo respectivo Autor.

minha me

Anlise de vibraes em estruturas de cabos pr-esforadas

i

AGRADECIMENTOS

Aps concludo este trabalho, agradeo a todas as pessoas que me influenciaram na sua concretizao.

Ao Professor lvaro Azevedo, agradeo todo o apoio e aconselhamento no decorrer desta dissertao, as informaes e material fornecidas para a sua realizao e a oportunidade de desenvolver este tema, permitindo desenvolver conhecimentos, numa rea de meu grande interesse.

Ao Professor Mtys Hunyadi, da Universidade de Budapest, agradeo toda a disponibilidade e esclarecimento de questes relativas ao programa de clculo automtico, que tiveram um contributo valioso na compreenso de todo o processo de anlise e permitiram superar dificuldades iniciais.

Aos meus colegas de mestrado, pelas discusses sobre variados assuntos, que permitiram um melhoramento da dissertao.

minha famlia e amigos por sempre me apoiarem.


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RESUMO

Este trabalho tem como objectivo a anlise de vibraes em estruturas de cabos pr-esforadas, dando particular destaque s pontes pedestres com cabos. So discutidos os principais aspectos a analisar relativamente a vibraes destas pontes, nomeadamente a nvel de frequncias verticais, horizontais e instabilidade aerodinmica.

So referidos os diferentes tipos de estruturas com cabos, assim como os tipos de cabos e materiais.

explicado o processo da anlise esttica e dinmica linear e no linear, os mtodos iterativos usados, os diferentes tipos de modelao do elemento cabo e os tipos de matriz de massa.

elaborado um programa de clculo automtico, desenvolvido em Matlab, com o objectivo de avaliar as frequncias e os modos de vibrao para uma anlise no linear geomtrica. explicada a estrutura do programa, assim como as subrotinas juntamente com o cdigo.

So realizadas diferentes anlises a estruturas, com o objectivo de verificar a viabilidade do programa, estudar o efeito produzido pelo pr-esforo nos deslocamentos e nas frequncias de vibrao, e analisar as alteraes das caractersticas da estrutura, devido anlise no linear. As duas estruturas escolhidas para efectuar uma anlise no linear e um estudo paramtrico foram uma ponte e um mastro atirantado.

PALAVRAS-CHAVE: cabos, pr-esforo, frequncias, programa, anlise no linear


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ABSTRACT

The objective of this thesis is the analysis of vibrations in structures with pre-stressed cables, with emphasis on pedestrian bridges with cables. The main aspects related to the vibration of those bridges, such as the vertical and horizontal frequencies and the aerodynamic instability, are analyzed.

Several types of cable structures are described, as well as some types of cables and materials.

The static and dynamic linear and nonlinear analyses processes, the iterative methods used, the different types of modulation of the cable and the mass matrix are described.

A computer code was developed in Matlab. Its objective is the calculation of the frequencies and modes of vibration in the context of a geometrical non linear analysis. The main structure of the program is explained, as well as the subroutines and the corresponding code.

Several types of analyses are made with the objective of verifying the reliability of the code, to study the influence of the pre-stress on the displacements and the frequencies of vibration, and to analyze the importance of the nonlinear behavior in the results of the structural analysis. In order to test the nonlinear analysis code with a parametric study, two structures were selected: a cable stayed bridge and a guyed mast.

KEYWORDS: cables, pre-stress, frequency, computer program, nonlinear analysis


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NDICE GERAL

AGRADECIMENTOS ................................................................................................................................... i

RESUMO ................................................................................................................................... iii

ABSTRACT ............................................................................................................................................... v

1. INTRODUO .................................................................................................................... 1 1.1. CONSIDERAES GERAIS ............................................................................................................... 1

1.2. OBJECTIVO E ESTRUTURA DO TRABALHO ...................................................................................... 1

2. ESTRUTURAS COM CABOS .............................................................................. 3 2.1. INTRODUO .................................................................................................................................... 3

2.2. SISTEMAS ESTRUTURAIS COM CABOS ............................................................................................ 3

2.1.1. ESTRUTURAS SUSPENSAS ................................................................................................................. 4

2.1.2. ESTRUTURAS ATIRANTADAS ............................................................................................................... 4

2.3. TIPOS DE CABOS .............................................................................................................................. 5

3. ANLISE DINMICA DE PONTES PEDONAIS COM CABOS ............................................................................................................................................. 7 3.1. INTRODUO .................................................................................................................................... 7

3.2. TIPOS DE PONTES PEDONAIS COM CABOS ..................................................................................... 8

3.3. ANLISE DINMICA DE PONTES PEDONAIS .................................................................................... 9

3.3.1 ANLISE DINMICA DE PONTES STRESS-RIBBON ................................................................................. 13

3.3.2 ANLISE DINMICA DE PONTES SUSPENSAS ....................................................................................... 17

3.3.3 ANLISE DINMICA DE PONTES ATIRANTADAS .................................................................................... 20

4. ANLISE ESTTICA E DINMICA NO LINEAR ....................... 23 4.1. INTRODUO .................................................................................................................................. 23

4.2. MODELAO DE UM CABO ............................................................................................................ 24

4.3. MATRIZ DE RIGIDEZ DO CABO ....................................................................................................... 28

4.4. MTODOS ITERATIVOS ................................................................................................................... 29

4.4.1 MTODO DE NEWTON-RAPHSON ...................................................................................................... 29

4.4.2 MTODO DE NEWTON-RAPHSON MODIFICADO ................................................................................... 30


viii

4.4.3 MTODO ITERATIVO DIRECTO ........................................................................................................... 31

4.5. ANLISE DINMICA ....................................................................................................................... 32

4.6. EQUAES DE EQUILBRIO DINMICO.......................................................................................... 33

4.7. MODOS DE VIBRAO E FREQUNCIAS NATURAIS DE UM CABO ............................................... 34

4.8. MATRIZ DE MASSA ........................................................................................................................ 34

4.8.1. MATRIZ DE MASSA DIAGONAL .......................................................................................................... 34

4.8.2. MATRIZ DE MASSA CONSISTENTE..................................................................................................... 35

5. PROGRAMA DE CLCULO AUTOMTICO ...................................... 37 5.1. INTRODUO ................................................................................................................................. 37

5.2. ESQUEMA GERAL DO PROGRAMA ................................................................................................ 37

5.3. CDIGO DO PROGRAMA ................................................................................................................ 39

5.3.1. IMPORTAO AUTOMTICA DOS DADOS INICIAIS ............................................................................... 39

5.3.2. INCIO DO CICLO DE ANLISE ESTATCA ............................................................................................ 41

5.3.3. COMPRIMENTO DO ELEMENTO E MATRIZ DE TRANSFORMAO .......................................................... 41

5.3.4. DESLOCAMENTOS DO ELEMENTO E FORA INTERNA ......................................................................... 42

5.3.5. MDULO DE ELASTICIDADE EQUIVALENTE ........................................................................................ 43

5.3.6. MATRIZ DE RIGIDEZ ........................................................................................................................ 44

5.3.7. FORAS INTERNAS ......................................................................................................................... 46

5.3.8. ANLISE GLOBAL ........................................................................................................................... 47

5.3.9. CRITRIO E MELHORIA DA CONVERGNCIA ....................................................................................... 48

5.3.10. MATRIZ DE MASSA ........................................................................................................................ 48

5.3.11. CLCULO DOS VALORES E VECTORES PRPRIOS ............................................................................ 49

5.3.12. EXPORTAO DA DEFORMADA E DOS MODOS DE VIBRAO ............................................................ 49

6. VERIFICAO DO PROGRAMA E ANLISE DE RESULTADOS ....................................................................................................................... 51 6.1. INTRODUO ................................................................................................................................. 51

6.2. VERIFICAO DA VIABILIDADE DO PROGRAMA ........................................................................... 51

6.3. ESTRUTURA DE 9 CABOS .............................................................................................................. 55

6.4. PONTE ATIRANTADA ..................................................................................................................... 58

6.4.1. ANLISE ESTTICA E DINMICA PARA CARGAS VERTICAIS .................................................................. 59

6.4.2. ANLISE ESTTICA E DINMICA PARA CARGAS DE PR-ESFORO ....................................................... 61


ix

6.4.3. ESTUDO PARAMTRICO DAS FREQUNCIAS ....................................................................................... 62

6.5. MASTRO ATIRANTADO ................................................................................................................... 64

6.5.1. ANLISE ESTTICA E DINMICA COM VRIOS NVEIS DE PR-ESFORO ................................. 64

6.5.2. COMPARAO DAS FREQUNCIAS DE DIVERSAS SOLUES ................................................... 68

7. SNTESE E CONCLUSES ................................................................................ 70 7.1. SNTESE DO TRABALHO EFECTUADO............................................................................................ 70

7.2. CONCLUSES ................................................................................................................................. 71

7.3. SUGESTES PARA FUTURO DESENVOLVIMENTO ......................................................................... 71

BIBLIOGRAFIA ........................................................................................................................................ 72

ANEXOS


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NDICE DE FIGURAS

Fig. 2.1 Ponte Akashi-Kaiky, Japo .................................................................................................... 4

Fig. 2.2 Cobertura do Pavilho de Portugal no Parque das Naes, Lisboa ......................................... 4

Fig. 2.3 Mastro atirantado ..................................................................................................................... 2

Fig. 2.4 - Viaduto de Millau, Frana ........................................................................................................ 5

Fig. 2.5 Diferentes tipos de cabos ......................................................................................................... 6

Fig. 3.1 a) principais tenses de uma barra, b) estrutura com cabo e em arco ..................................... 7

Fig. 3.2 Diferentes tipos de configuraes duma ponte pedonal ........................................................... 8

Fig. 3.3 Ponte tipo stress-ribbon em Ronneburg, Alemanha ................................................................ 8

Fig. 3.4 Ponte suspensa em Ribeira de Pena, Portugal .......................................................................... 9

Fig. 3.5 Ponte atirantada ........................................................................................................................ 9

Fig. 3.6 Limites da acelerao para as frequncias verticais ............................................................... 11

Fig. 3.7 Primeira frequncia natural de varias pontes ......................................................................... 12

Fig. 3.8 Descrio do fenmeno de flutter por vortex-shedding ......................................................... 13

Fig. 3.9 Descrio do fenmeno de flutter por excitao prpria do tabuleiro ................................... 13

Fig. 3.10 Ponte Grants Pass nos EUA e respectivo modelo de clculo ............................................... 14

Fig. 3.11 Modos de vibrao e frequncias naturais da ponte Grants Pass ......................................... 14

Fig. 3.12 Ponte Maidstone no Reino Unido e respectivo modelo de clculo ...................................... 15

Fig. 3.13 Modos de vibrao e frequncias naturais da ponte Maidstone ........................................... 15

Fig. 3.14 Representao dos 4 tipos de disposio dos cabos de pr-esforo ..................................... 16

Fig. 3.15 Ponte no lago Vranov e respectivo modelo de clculo ........................................................ 17

Fig. 3.16 Modos de vibrao e frequncias naturais da ponte no lago Vranov ................................... 17

Fig. 3.17 Ponte do rio Willamette e respectivo modelo de clculo ..................................................... 18

Fig. 3.18 - Modos de vibrao e frequncias da ponte do rio Willamette .............................................. 18

Fig. 3.19 Tipos de estruturas analisadas .............................................................................................. 19

Fig. 3.20 Diferentes tipos de configuraes para estudo paramtrico ................................................. 20

Fig. 4.1 Diagramas tenso-deformao ............................................................................................... 23

Fig. 4.2 Caractersticas de um cabo ..................................................................................................... 25

Fig. 4.3 Modelao de um cabo por decomposio ............................................................................ 26

Fig. 4.4 Cabo sujeito ao peso prprio .................................................................................................. 27

Fig. 4.5 Relao entre a variao do mdulo de elasticidade e o comprimento do cabo .................... 28

Fig. 4.6 Graus de liberdade de um cabo .............................................................................................. 28


xii

Fig. 4.7 Mtodo de Newton-Raphson ................................................................................................. 29

Fig. 4.8 Uso do limitador dos deslocamentos ..................................................................................... 30

Fig. 4.9 Mtodo de Newton-Raphson modificado ............................................................................. 31

Fig. 4.10 Mtodo iterativo directo ...................................................................................................... 31

Fig. 4.11 Resposta de uma estrutura em ressonncia ......................................................................... 32

Fig. 4.12 Modos de vibrao verticais naturais .................................................................................. 34

Fig. 4.13 Distribuio da massa de cada elemento ............................................................................. 34

Fig. 4.14 Matriz de massa para um elemento com 6 graus de liberdade ............................................ 35

Fig. 5.1 Sequncia geral do programa de clculo automtico ............................................................ 39

Fig. 5.2 Representao dos eixos globais e locais do elemento ......................................................... 41

Fig. 5.3 Distribuio da matriz local para a matriz global .................................................................. 44

Fig. 5.4 Modificao da matriz global ................................................................................................ 47

Fig. 6.1 Representao da estrutura .................................................................................................... 52

Fig. 6.2 Representao grfica da geometria inicial ........................................................................... 53

Fig. 6.3 Comparao do 1,2 e 3 modo entre o PCA e o AxisVM ................................................... 54

Fig. 6.4 Comparao do 4,5 e 6 modo entre o PCA e o AxisVM ................................................... 55

Fig. 6.5 Representao da estrutura de 9 cabos .................................................................................. 56

Fig. 6.6 Deformada vista de frente para a carga de pr-esforo ......................................................... 57

Fig. 6.7 Representao do 1,3 e 5 modo de vibrao ..................................................................... 58

Fig. 6.8 - Relao da 1 frequncia de vibrao com a tenso nos cabos .............................................. 58

Fig. 6.9 Segmento do tabuleiro ........................................................................................................... 59

Fig. 6.10 Representao da ponte atirantada ...................................................................................... 59

Fig. 6.11 Representao de parte da deformada para cargas verticais de 50kN (cm) ........................ 59

Fig. 6.12 Modos de vibrao verticais para a ponte atirantada .......................................................... 61

Fig. 6.13 Modos de vibrao da ponte atirantada ............................................................................... 61

Fig. 6.14 Geometria das diferentes solues para a ponte atirantada ................................................. 64

Fig. 6.15 a) representao da estrutura b) segmento de 5m de altura ................................................. 65

Fig. 6.16 Representao da deformada do mastro para um valor de pr-esforo at 1400kN ........... 66

Fig. 6.17 Comparao entre a deformada linear e no a linear para um pr-esforo de 1500kN ....... 67

Fig. 6.18 Modos de vibrao do mastro atirantado (Hz) .................................................................... 68

Fig. 6.19 Diferentes solues para o mastro atirantado ...................................................................... 69


xiii


xiv

NDICE DE TABELAS

Tabela 2.1 - Caractersticas de cabos ....................................................................................................... 6

Tabela 3.1 Frequncias induzidas pelos pees em Hz ........................................................................ 10

Tabela 3.2 Frequncias e modos de vibrao naturais ....................................................................... 16

Tabela 3.3 Modos e frequncias naturais para vrias pontes suspensas ............................................. 19

Tabela 3.4 Frequncias naturais correspondentes aos diversos tipos de modos de vibrao ............. 21

Tabela 5.1 Dados iniciais da estrutura ................................................................................................ 40

Tabela 6.1 Caractersticas dos elementos ........................................................................................... 51

Tabela 6.2 Deslocamento vertical do n 2 ......................................................................................... 52

Tabela 6.3 Deslocamentos em cada iterao dos diversos mtodos ................................................... 53

Tabela 6.4 Frequncias em regime linear e no linear ....................................................................... 53

Tabela 6.5 Frequncias lineares para o PCA e para o AxisVM (Hz) ................................................. 54

Tabela 6.6 Deslocamentos do n 2 (mm) e frequncias de vibrao (Hz) ......................................... 56

Tabela 6.7 Frequncias de vibrao (Hz) ........................................................................................... 57

Tabela 6.8 Deslocamentos verticais para diferentes cargas verticais (cm) ......................................... 60

Tabela 6.9 Frequncias de vibrao para diferentes cargas aplicadas ................................................ 60

Tabela 6.10 - Deslocamentos verticais para diferentes combinaes de cargas .................................... 61

Tabela 6.11 Frequncias de vibrao para diferentes combinaes de cargas ................................... 62

Tabela 6.12 Frequncias para as diferentes solues da ponte atirantada .......................................... 64

Tabela 6.13 Deslocamentos nos ns para diferentes valores do pr-esforo (cm) ............................. 66

Tabela 6.14 Frequncias para os diferentes valores do pr-esforos (Hz) ......................................... 67

Tabela 6.15 Frequncias dos modos de vibrao de cada soluo ..................................................... 69


xv

SMBOLOS E ABREVIATURAS

E - Mdulo de elasticidade

A - rea da seco transversal

K Matriz de rigidez

Tenso

Peso volmico

f Frequncia de vibrao

a Acelerao

fH Frequncia horizontal

fV Frequncia vertical

fS Frequncia transversal combinada com toro

fT Frequncia de toro

Eeq Modulo de elasticidade equivalente

L Comprimento

LH Comprimento horizontal

u Deslocamento

M Matriz de massa

c Matriz de amortecimento

T Matriz de transformao

P Fora de pr-esforo

Disp Deslocamentos

w Valor prprio

U Vectores prprios

Coeficiente trmico de expanso

T Variao trmica

PCA Programa de Clculo Automtico


1

1 INTRODUO

1.1. CONSIDERAES GERAIS

Atravs dos meios computacionais existentes, possvel analisar estruturas com relativa facilidade e com detalhe, sendo por vezes dada pouca importncia aos mtodos utilizados na obteno dos resultados e mais relevncia maneira como estes so representados e facilidade de os obter.

A crescente utilizao de programas de clculo automtico na anlise de estruturas levanta a questo da viabilidade e da preciso que estes oferecem ao utilizador. Os resultados obtidos variam de programa para programa, sendo necessrio estudar o respectivo cdigo para entender o funcionamento de cada um. Isto no possvel para a grande maioria, pois o cdigo encontra-se inacessvel. Sabendo que a diferena de resultados entre os programas aumenta para anlises de estruturas mais complexas, torna-se mais difcil aceitar os resultados. o caso da anlise no linear de estruturas com cabos, onde os deslocamentos so usualmente de grandes dimenses, obtendo-se assim maiores discrepncias entre a anlise linear e a no linear.

A introduo de cabos em estruturas realizada de modo a transferir as cargas principais para os cabos, ou apenas para melhorar a sua estabilidade, permitindo deste modo reduzir substancialmente o seu peso prprio. Esta reduo por vezes prejudicial, pois torna a estrutura mais vulnervel a oscilaes, sendo necessrio proceder a estudos mais detalhados do seu comportamento.

1.2. OBJECTIVO E ESTRUTURA DO TRABALHO

No contexto da anlise de vibraes em estruturas com cabos pr-esforados, elaborado nesta dissertao um programa de clculo automtico para esse fim. Este explicado passo a passo, de modo a permitir uma fcil interpretao e compreenso do seu funcionamento.

O objectivo do programa criado a obteno das frequncias e modos de vibrao, para uma anlise no linear de uma estrutura com cabos. Para tal, considerada a alterao geomtrica da estrutura quando sujeita a esforos, o pr-esforo aplicado nos cabos e a sua modelao.

No captulo 2 procede-se a uma breve descrio dos diferentes tipos de estruturas com cabos, assim como os tipos de cabos.

Devido grande importncia do estudo de vibraes em pontes pedonais com cabos, no captulo 3, so descritos os diferentes tipos de vibraes e estudado o impacto da anlise dinmica nestas pontes. efectuado um estudo paramtrico para trs tipos de pontes pedonais com cabos, assim como a comparao das frequncias obtidas com as frequncias regulamentares.


2

No captulo 4 apresentado a anlise esttica e dinmica no linear. Para modelar o elemento cabo, so explicados trs mtodos diferentes: este pode ser modelado como um elemento nico com as caractersticas prprias do cabo; como um conjunto de elementos trelia; ou atravs de um mdulo de elasticidade equivalente. So apresentados trs mtodos iterativos usados para a anlise no linear geomtrica: o de Newton-Raphson; o de Newton-Raphson modificado; e o iterativo directo. Estes mtodos so usados pelo programa desenvolvido no mbito desta. So descritos os diferentes tipos de matriz de massa e como obter as frequncias e modos de vibrao naturais de um cabo.

O programa de clculo automtico desenvolvido nesta dissertao descrito no captulo 5, sendo explicada a sequncia de funcionamento do programa, assim como as suas subrotinas e todo o cdigo necessrio para a sua execuo. O programa foi escrito na linguagem Matlab, de modo a facilitar a sua interpretao e compreenso.

No captulo 6 so efectuados vrios testes a diferentes estruturas, de modo a comprovar a viabilidade dos resultados obtidos pelo programa elaborado no mbito desta dissertao, assim como compreender a influncia da anlise no linear e da aco do pr-esforo nos deslocamentos, nas frequncias e nos modos de vibrao da estrutura. estudado o comportamento de uma ponte pedonal atirantada e de um mastro atirantado, para diferentes combinaes de cargas verticais e de pr-esforo nos cabos. So efectuados estudos paramtricos para estas duas estruturas, de modo a compreender a influncia das configuraes dos cabos nas frequncias de vibrao.

O ltimo captulo serve de concluso ao trabalho realizado, explicando os seus aspectos mais relevantes e possveis alteraes ou futuros desenvolvimentos.


3

2 ESTRUTURAS COM CABOS

2.1. INTRODUO

As estruturas com cabos apresentam uma soluo interessante para o engenheiro estrutural ao serem ao mesmo tempo muito esbeltas e resistentes. Estas estruturas so usadas para resistir aos principais esforos do sistema, como no caso de coberturas e pontes suspensas por cabos, e tambm usadas para restringir os movimentos de certas estruturas e aumentar a sua rigidez, como no caso de torres e plataformas no oceano.

Na procura de estruturas cada vez mais leves e econmicas optimiza-se o sistema estrutural para o seu uso especfico, permitindo assim ultrapassar limites alcanados e superar obstculos cada vez mais difceis. No entanto, medida que as estruturas evoluem e se tornam mais complexas, surgem novos problemas estruturais, sendo assim cada vez mais importante o estudo destes sistemas. As estruturas de cabos inserem-se particularmente bem nestes estudos, pois por um lado permitem a construo de estruturas esbeltas de grandes dimenses e por outro apresentam um comportamento no linear muito acentuado que requer anlises mais complexas.

Estruturas de cabos como as pontes suspensas e atirantadas, tm sido muito popularizadas por serem solues economicamente viveis e esteticamente atraentes para superar grandes vos, incentivando assim o estudo de diferentes solues e os seus comportamentos. Estes estudos desenvolvidos nas estruturas com cabos promovem a construo destes sistemas. No entanto, estas solues muitas vezes no so consideradas devido escassez de informao para o seu dimensionamento. Isto deve-se em parte ao facto dos projectistas no terem os conhecimentos necessrios, carncia de software informtico adequado de anlise no linear, como tambm, inexperincia de execuo por parte das empresas de construo.

2.2. SISTEMAS ESTRUTURAIS COM CABOS

Os cabos so ideais para suportar as principais cargas duma estrutura, pois resistem a grandes esforos. Apesar de s suportarem traces, permitem facilmente a transferncia dos seus esforos para peas destinadas a resistir compresso, como pilares de beto armado. O exemplo deste tipo de funcionamento pode ser encontrado em pontes e coberturas suspensas.

Outro tipo de estruturas com cabos a atirantada, em que o cabo deixa de ser o elemento que resiste s cargas principais, e torna-se um suporte intermdio que aumenta a rigidez da estrutura. Como no caso de pontes e coberturas atirantadas, ou no caso de servir de estabilizador para determinadas aces em estruturas como torres e mastros atirantados.


4

2.2.1 ESTRUTURAS SUSPENSAS

A ponte suspensa tem permitido ao longo dos tempos a ligao entre cidades e pases, que por outros meios seria muito dispendiosa ou difcil. Estas pontes apresentam grandes vantagens, como o de permitirem vos de grande comprimento, necessitarem de poucos materiais para a sua construo e resistirem melhor a movimentos ssmicos do que outros tipos de estruturas. Mas tambm apresentam desvantagens como o aumento de instabilidade no tabuleiro, pois ao ser mais esbelto mais susceptvel a aces como a do vento.

O conceito do sistema estrutural destas pontes bastante simples. Os cabos resistem s cargas principais e transmitem-nas aos pilares, conseguindo atingir vos de quase 2 km, como a ponte Akashi-Kaiky no Japo (fig. 2.1).

Fig. 2.1 Ponte Akashi-Kaiky, Japo

Os cabos so normalmente usados na criao de uma cobertura, permitindo grandes comprimentos para uma estrutura leve e relativamente rgida, considerando o material necessrio. O peso da cobertura transmitido pelos cabos aos pilares como se v na fig. 2.2. Neste caso a cobertura uma laje de beto armada curvada, com cabos pr-esforados, cobrindo uma rea de 65 por 50 m.

Fig. 2.2 Cobertura do Pavilho de Portugal no Parque das Naes, Lisboa

2.2.2 ESTRUTURAS ATIRANTADAS

Estruturas como a torre de rdio de Varsvia na Polnia, que atingiu uma altura de 646 m, apresentam pouca resistncia a esforos laterais, que por muito pequenos que sejam, provocam grandes momentos


5

na base. Para controlar esses esforos laterais necessrio o uso de cabos, como representado na fig. 2.3, para dar rigidez estrutura e reduzir o efeito do vento na estrutura principal. Sem o uso de cabos seria extremamente dispendioso criar uma estrutura deste tipo com rigidez suficiente.

Outras estruturas semelhantes so as plataformas no oceano, que resistem a grandes esforos devido ao equipamento pesado da plataforma e a situaes de tempestades extremas. Para suportar tais esforos necessrio ligar os cabos do fundo do oceano plataforma. Torna-se imperativo estudar o comportamento no linear devido escala da estrutura e sua complexidade, pois exige-se a esta que aumente de rigidez medida que surgem deslocamentos.

Fig. 2.3 Mastro atirantado

As pontes atirantadas so usualmente utilizadas para vos centrais na ordem dos 150 a 330 m, e ao contrrio da maioria das pontes suspensas provocam esforos axiais nos tabuleiros devido inclinao dos cabos, sendo necessrio nos grandes vos aumentar a resistncia do tabuleiro ou aumentar a altura do pilar. Na fig. 2.4 est o Viaduto de Millau em Frana, com 2.46 km de comprimento.

Fig. 2.4 - Viaduto de Millau, Frana

2.3. TIPOS DE CABOS

Os cabos so elementos destinados a resistir apenas a foras de traco, existindo diferentes tipos, com resistncias e formatos diferentes, para se ajustarem s funes que lhes so destinadas. So constitudos por fios de diferentes materiais, normalmente ao, que apresentam uma seco circular de 3 a 8 mm de dimetro, com excepo aos chamados locked coil strands. A grande resistncia dos


6

cabos conseguida por processos chamados cold drawing ou cold rolling [6]. Existem diferentes tipos de disposio dos cabos, os quais se podem encontrar em catlogos dos seus fabricantes, como por exemplo: BRIDON e PFEIFER.

As principais caractersticas dos cabos so o seu mdulo de elasticidade elevado e constante, a facilidade de instalao e manuseamento, a elevada resistncia traco, bem como o peso e custo reduzidos.

A disposio em espiral dos fios constituintes dos cabos (fig. 2.5 (a)) aumenta a sua flexibilidade, permitindo assim um manuseamento mais fcil. No caso das pontes suspensas o uso de cabos com fios paralelos prefervel devido maior rigidez e resistncia.

Os locked coil strands (fig. 2.5 (b)) so constitudos por fios normais dispostos em espiral no ncleo e com outros em forma de Z, que encostam uns aos outros na camada exterior. Com esta configurao obtm-se um cabo com mais resistncia corroso e com menos vazios no interior, logo mais compacto.

Na fig. 2.5 (c) est representado um cabo constitudo por cordes de fios dispostos em espiral.

a) b) c)

Fig. 2.5 Diferentes tipos de cabos [7]

Os cabos normalmente utilizados tm uma tenso mxima superior a 1570 MPa, variando com a configurao. Os cabos com fio em espiral resistem a tenses superiores relativamente aos locked coil strands, sendo as tenses mnimas de resistncia cerca de 1600 MPa e 1400 MPa, respectivamente.

A tenso mxima dos cabos altera-se muito com o tipo de material e a sua configurao. Na tabela 2.1 compara-se a tenso mxima, o peso volmico e o mdulo de elasticidade para cabos de diferentes materiais.

Tabela 2.1 - Caractersticas de cabos [2]

(106 N/m2) (103 kgf/m3) E (109 N/m2)

Ao 1860 7.9 200

Fibra de vidro 1700 2.1 50

Fibra de carbono 2400 a 5650 1.7 140 a 531

Fibra de aramide 2000 1.5 70


7

3 ANLISE DINMICA DE PONTES PEDONAIS COM CABOS

3.1. INTRODUO

O tipo de estrutura escolhida para ser analisada no mbito desta dissertao foi a ponte pedonal com cabos. Este tipo de estrutura foi escolhido devido crescente utilizao de cabos em pontes pedonais e grande importncia que a anlise dinmica desempenha na sua elaborao e manuteno, sendo normalmente o factor condicionante.

As pontes pedonais devem ser leves e esbeltas, o que nalguns casos conduz a uma exagerada diminuio da rigidez, principalmente quando a estrutura constituda por cabos. Nestas circunstncias a ponte facilmente influenciada por excitaes devido aos pees que a utilizam, tornando-se assim mais difcil o controlo das vibraes de modo a proporcionar conforto e uma sensao de segurana aos utilizadores.

A melhor maneira de optimizar uma ponte criando uma estrutura que apresente um formato coincidente com a direco dos esforos internos, sendo normalmente estas estruturas as mais simples, eficazes e econmicas. Observando a fig. 3.1(a), onde se encontram representadas as trajectrias principais de tenses numa barra simplesmente apoiada com uma carga uniformemente distribuda, percebe-se porque que as estruturas mais simples como as suspensas ou em arco so as mais econmicas. Isto deve-se ao facto da barra ter muito material que no contribui para a sua resistncia, pois as tenses mximas esto concentradas apenas a meio vo nas fibras superiores e inferiores, enquanto que na fig. 3.1(b) a estrutura em arco e a suspensa encontram-se compresso e traco respectivamente, com uma tenso uniforme em toda a sua extenso. A principal diferena que para este tipo de estrutura surgem grandes esforos horizontais nos apoios, que no caso das estruturas suspensas com cabos implica a construo de ancoragens dispendiosas.

Fig. 3.1 a) Principais tenses de uma barra, b) estrutura com cabo e em arco

a) b)


8

3.2. TIPOS DE PONTES PEDONAIS COM CABOS

O formato mais natural de uma estrutura de cabos (fig. 3.1 b)) apresenta bastante instabilidade no que respeita ao seu formato, pois uma fora aplicada a meio vo causa uma deformada muito significativa. E visto que uma ponte pedonal tem de ter uma rigidez suficiente para conseguir manter a sua geometria e garantir conforto aos pees, necessrio alterar o seu formato e adicionar mais elementos. A estabilidade da estrutura pode ser aumentada de diversas maneiras, como por exemplo atravs da adio de uma carga distribuda (fig. 3.2 a)), da adio de mais cabos (fig. 3.2 b)), da criao de uma laje pr-esforada de beto (fig. 3.2 c)), ou da adio de um tabuleiro de beto suspenso ou atirantado (fig. 3.2 d),e)).

Fig. 3.2 Diferentes tipos de configuraes duma ponte pedonal

As pontes pedonais chamadas stress-ribbon (fig. 3.3) apresentam uma forma conferida pelo seu peso prprio, sendo normalmente uma catenria. A geometria destas pontes est relacionada com a carga permanente que provoca uma fora axial constante ao longo do tabuleiro, e a sua geometria dimensionada para no provocar foras horizontais nem momentos nos apoios intermdios.

O tabuleiro pode ser construdo como uma pea nica ou pela assemblagem de vrios segmentos pr-fabricados que so suspensos em cabos. Aps a construo do tabuleiro aplicada uma fora nos cabos para atribuir estrutura a sua forma para a carga permanente. Esta fora depende de factores como a inclinao mxima do tabuleiro ou a flecha mxima e devido a ser uma fora muito elevada necessrio construir uns apoios muito resistentes com base em ancoragens ao solo.

Fig. 3.3 Ponte tipo stress-ribbon em Ronneburg, Alemanha [13]

a)

b)

c)

d)

e)


9

Nas pontes suspensas (fig. 3.4) o tabuleiro suspenso de cabos que se encontram ligados aos pilares, conseguindo-se assim obter vos bastante superiores em relao aos outros tipos de pontes. Existe um equilbrio de foras na estrutura que garante que os esforos para a carga permanente sejam apenas axiais. Os cabos transmitem os seus esforos axiais para os pilares e para as ancoragens no solo ou no tabuleiro.

Fig. 3.4 Ponte suspensa em Ribeira de Pena, Portugal [13]

As pontes atirantadas (fig. 3.5) tm os cabos ligados directamente do pilar ao tabuleiro, usando por vezes ancoragens no solo, mas o mais comum o equilbrio de foras atravs da simetria da estrutura, em que o tabuleiro se encontra comprimido e o peso dos dois lados da ponte so equilibrados no pilar central. Neste caso os cabos no apresentam uma forma curva, ao contrrio das pontes suspensas, podendo ser considerados para pequenos comprimentos como trelias de barras rectas.

Fig. 3.5 Ponte atirantada [13]

3.3. ANLISE DINMICA DE PONTES PEDONAIS

O problema principal de vibraes nas pontes pedonais devido aco provocada pelos pees, medida que estes se deslocam nesta a um determinado ritmo. A frequncia vertical desta aco em mdia 2 Hz, com um desvio padro de 0.175 Hz, isto , 50% dos pees andam a um ritmo entre 1.9 Hz e 2.1 Hz, e 95% andam entre 1.65 Hz e 2.35 Hz. Caso os pees estejam a correr, a frequncia usualmente no superior a 3.5 Hz, como descrito na tabela 3.1. [3]


10

Tabela 3.1 Frequncias induzidas pelos pees em Hz [8].

Intervalo total Lento Normal Rpido

Caminhar 1.4-2.4 1.4-1.7 1.7-2.2 2.2-2.4

Correr 1.9-3.3 1.9-2.2 2.2-2.7 2.7-3.3

Saltar 1.3-3.4 1.3-1.9 1.9-30 3.0-3.4

A acelerao vertical um parmetro aconselhado para avaliar o grau de vibrao ao qual os pees esto sujeitos. Na fig. 3.6 esto representadas as aceleraes mximas aceitveis para diferentes regulamentos relativamente primeira frequncia vertical. Os limites de acelerao impostos pelas normas britnicas (BS5400) so definidos pela funo (3.1), onde f0 a primeira frequncia natural vertical da ponte quando esta no se encontra carregada.

0.5 /, (3.1)

Os limites adoptados pelo regulamento canadiano Ontario Bridge Code e por Kobori so semelhantes s recomendaes das normas britnicas. Nestes cdigos, os valores limite da acelerao variam com a frequncia aumentando sempre com esta, enquanto que no cdigo ISO a acelerao no aumenta com a frequncia, isto, porque ao contrrio das outras curvas na fig. 3.6, a curva do cdigo ISO foi determinada atravs de testes com os pees em p parados [4].

A resposta da estrutura a foras dinmicas depende de factores como a rigidez, amortecimento e a frequncia natural da estrutura. A acelerao deve ser calculada durante a fase de projecto ou medida na ponte para verificar a segurana da estrutura devido s vibraes. O cdigo britnico e o Ontario Bridge Code tm regras semelhantes para este assunto, nas quais a acelerao vertical mxima calculada atravs da representao da fora provocada por um peo, que corresponde a uma fora dinmica F (3.2) que se move na ponte a uma velocidade v=0.9f0 (m/s) ao longo do tempo t. Essa fora tem uma frequncia f0 (ritmo de andamento do peo) que corresponde frequncia natural da ponte. Na equao (3.2) o valor 180 corresponde amplitude do primeiro harmnico da carga, sendo o produto do peso do peo (assumido 700 N) pelo factor de carga dinmica, =0.257 [4].

180sin 2 (3.2) A acelerao dada pelo cdigo britnico BS5400 calculada com a expresso (3.3) e a acelerao dada pelo Ontario Bridge Code (ONT 83) dado por (3.4).

0.5 . (3.3)

0.25 . (3.4)


11

Fig. 3.6 Limites da acelerao para as frequncias verticais [4]

Outra maneira de analisar as pontes pedonais sem ser pelo parmetro da acelerao atravs da frequncia natural da ponte, como adoptado pelo Comite Euro-Internacional du Beton e pelo cdigo Suo. Nestes cdigos aconselhado que seja evitado construir pontes com frequncias naturais entre 1.6 Hz e 2.4 Hz e tambm entre 3.5 Hz e 4.5 Hz, isto porque as pontes dentro destas frequncias esto mais sujeitas a problemas de ressonncia. Estes limites so adiante comparados com as frequncias naturais calculadas pelo programa desenvolvido nesta dissertao, para a ponte pedonal atirantada analisada no captulo 6.3.

O critrio sugerido por Allen tem base nas equaes propostas por Rainer e as curvas limite do cdigo ISO, e estabelece uma frequncia mnima (f0) aceitvel para as pontes pedonais, dependendo do peso (W) e do coeficiente de amortecimento () (3.5) [4].

2.86 ln

(3.5)

Na fig. 3.7 est representada a primeira frequncia natural de 67 pontes pedonais em diferentes locais do mundo, e a sombreado est o intervalo da frequncia natural entre 1.6 Hz e 2.4 Hz. Com estes dados foi possvel efectuar uma regresso para relacionar a primeira frequncia natural com o comprimento da ponte (3.6) [3].

33.6 . (3.6)

Cdigo Britnico BS5400

Ontario Bridge Code [ONT 83] Kobori

ISO 10137 Footbridges over roads or waterways

10

1

0.1 1

No aceitvel

Aceitvel

Frequncia (Hz)

Ace

lera

o

mx

ima

(m/s

2 )

10


12

Fig. 3.7 Primeira frequncia natural de vrias pontes [3]

A excitao horizontal tambm deve ser considerada na anlise dinmica, porque em cada passo dado pelo peo existe uma fora horizontal que varia lateralmente, sendo aconselhado evitar pontes pedonais em que a frequncia horizontal seja metade da vertical. Apesar das foras horizontais serem pequenas em relao s verticais, estas so capazes de produzir grandes vibraes em estruturas com pouca rigidez horizontal, isto porque os pees tendem facilmente a acertar o passo para coincidir com a frequncia horizontal da ponte, entrando assim em ressonncia. Esta sincronizao do andamento dos pees com a frequncia da ponte designa-se de efeito lock-in, ocorrendo este efeito quando os deslocamentos da ponte excedem um determinado valor. Este valor do deslocamento depende da direco da vibrao, da idade do peo, e de outros factores. Para frequncias verticais de 2 Hz este deslocamento de 10 a 20 mm, e para frequncias horizontais de 1 Hz alguns pees reagem a partir de 3 mm. medida que os pees entram em ressonncia com a frequncia natural da ponte os deslocamentos aumentam, e em consequncia cada vez mais pees provocam o efeito lock-in. Em certos casos possvel observar que mais de 80% de pees se deslocam sincronizados com a frequncia da ponte [8].

A anlise do vento nas pontes pedonais com tabuleiros pouco rgidos importante no que respeita ao seu dimensionamento de modo a resistir aos esforos, e a conferir conforto aos seus utilizadores. Para uma determinada velocidade do vento, a energia recebida pela estrutura superior que esta consegue dissipar pelo seu amortecimento estrutural, o que leva a aumentos rpidos de amplitude de deslocamentos onde o limite a destruio da estrutura. O fluxo de ar introduz na ponte oscilaes de toro e de flexo que atravs de pequenas variaes do ngulo do vento provoca efeitos de impulso. Este fenmeno designado de flutter, e foi exemplificado em 1940 pelo colapso da ponte Tacoma Narrows, nos EUA. Os estudos desenvolvidos desde ento indicam que as frequncias de toro e de flexo devem estar suficientemente afastadas. Mathivat mostrou ser aconselhvel que a ponte tenha uma razo mnima de 2.5 entre a frequncia vertical e a primeira frequncia de toro [8]. A frequncia vertical corresponde ao modo vertical que tem uma deformada semelhante representada na fig. 3.9.

Flutter pode ocorrer devido ao fenmeno de vortex-shedding, onde a forma do tabuleiro da ponte influencia o fluxo do ar provocando a rotao deste e permitindo a sua impulso (fig. 3.8), ou pode ser devido prpria excitao do tabuleiro como na fig. 3.9, onde se mostra uma descrio simplificada deste processo no caso de uma diferena de perodo de /2 entre a flexo e a toro.

Prim

eira

freq

unc

ia n

atur

al [H

z]

Vo da ponte [m]

Ao

Beto

Mista


13

Fig. 3.8 Descrio do fenmeno de flutter por vortex-shedding [8]

Fig. 3.9 Descrio do fenmeno de flutter por excitao prpria do tabuleiro [8]

3.3.1 ANLISE DINMICA DE PONTES STRESS-RIBBON

O primeiro passo de uma anlise dinmica o clculo das frequncias e modos de vibrao naturais da estrutura, seguido da anlise da resposta a cargas. Devido simplicidade estrutural de algumas pontes deste tipo possvel usar as equaes (4.27), (4.28) e (4.29) para um clculo prvio das frequncias e dos modos, e posteriormente para um clculo mais correcto deve-se proceder a uma anlise no-linear.

Este tipo de pontes s se comporta como uma estrutura contnua quando existem deslocamentos longitudinais no topo dos pilares. Para cargas pequenas, como um grupo de pees, as variaes das tenses so insignificantes e portanto pode-se considerar cada vo separado, sendo aconselhvel fazer a anlise atendendo estrutura completa e dividida.

De seguida descrita a anlise dinmica de duas pontes pedonais do tipo stress-ribbon com diferentes caractersticas [8]. A primeira a Grants Pass Bridge nos EUA com trs vos e dois pilares centrais. A segunda a ponte Maidstone no Reino Unido com dois vos e um pilar intermdio.

A ponte Grants Pass (fig. 3.10) tem um comprimento de aproximadamente 200 m, com um tabuleiro de 4.7 m de largura e 0.356 m de espessura. Na fig. 3.11 observam-se os resultados da respectiva anlise dinmica.


14

Fig. 3.10 Ponte Grants Pass nos EUA e respectivo modelo de clculo [8]

Fig. 3.11 Modos de vibrao e frequncias naturais da ponte Grants Pass [8]

A ponte Maidstone (fig. 3.12) tem um comprimento de 87 m, um tabuleiro com 3.1 m de largura e uma espessura entre 0.29 m e 0.765 m. Os seus modos de vibrao so complexos devido sua forma invulgar como representado na fig. 3.13.

Apesar da esbelteza deste tipo de pontes, possvel obter estruturas seguras e confortveis como os dois exemplos referidos. No caso de pontes stress-ribbon instveis possvel aumentar a sua rigidez, atravs da adio de cabos exteriores ao tabuleiro da ponte. Estes, podem estar de lado, acima ou abaixo do tabuleiro. Para analisar a importncia dos cabos exteriores numa ponte deste tipo, em [8] procedeu-se a uma comparao entre uma ponte simples, de um vo de 99 m, com uma igual mas com um vo de 198 m. Esta ltima testada com 4 tipos de combinaes dos cabos exteriores para aumentar a rigidez.


15

Fig. 3.12 Ponte Maidstone no Reino Unido e respectivo modelo de clculo [8]

Fig. 3.13 Modos de vibrao e frequncias naturais da ponte Maidstone [8]

A ponte de 99 m e a ponte de 198 m so constitudas por um tabuleiro rectangular com 5 m de largura e 250 mm de espessura. Os cabos internos do tabuleiro foram calculados para o peso prprio, a carga permanente (4 kN/m) e uma variao da temperatura de 20C. A ponte de 99 m tem uma flecha de 1.2375 m e a de 198 m tem uma flecha de 2.475 m.

A ponte de 198 m foi analisada para quatro tipos de diferentes disposies dos cabos de pr-esforo (fig. 3.14). No tipo 1 os cabos esto dentro do tabuleiro; no tipo 2 os cabos esto situados ao lado do tabuleiro a um mximo de 5 m, descrevendo em planta uma parbola de segundo grau; no tipo 3 os cabos esto horizontalmente a 5 m do tabuleiro e verticalmente a 5 m, mais a flecha; no tipo 4 os cabos esto debaixo do tabuleiro, ligados a este por barras [8].


16

Fig. 3.14 Representao dos 4 tipos de disposio dos cabos de pr-esforo [8]

Na tabela 3.2 encontram-se as frequncias para os 4 modos de vibrao, para a ponte de 99 m e para os 4 tipos da ponte de 198 m. Os modos A e B correspondem aos modos verticais f1 e f2 observados na fig. 4.12. O modo C corresponde ao primeiro modo relativo combinao de movimento transverso e de toro. O modo D corresponde ao movimento de toro.

A razo entre a frequncia do modo D e do modo B deve ser superior a 2.5, sendo provvel a possibilidade de instabilidade aerodinmica do tabuleiro para valores inferiores. Esta instabilidade aumenta com o comprimento da ponte, como se observa na tabela 3.2 para a ponte de 99 m e para a ponte tipo 1 de 198 m. Este efeito prejudicial pode ser contrariado pela disposio dos cabos no exterior, que aumenta a razo entre fd e fb para valores semelhantes ao da ponte de 99 m, sendo a ponte de tipo 3 a mais indicada para o efeito.

Tabela 3.2 Frequncias e modos de vibrao naturais [8]

Ponte com 99 m de comprimento

Modo a Modo b Modo c Modo d Posio fa(Hz) Posio fb(Hz) Posio fc(Hz) Posio fd(Hz) fd/fb

1 0.7698 2 1.0890 3 1.3460 7 2.5400 2.3324

Ponte com 198 m de comprimento

Modo a Modo b Modo c Modo d Posio fa(Hz) Posio fb(Hz) Posio fc(Hz) Posio fd(Hz) fd/fb

Tipo 1 1 0.4640 3 0.7310 2 0.6301 6 1.2980 1.7756 Tipo 2 1 0.4639 2 0.7313 3 0.7863 7 1.5450 2.1127 Tipo 3 1 0.4343 2 0.6022 3 0.6388 7 1.4350 2.3829 Tipo 4 1 0.4406 2 0.6486 3 0.5822 6 1.3640 2.1020


17

Atravs da equao (3.6), que foi obtida pela recolha de dados de vrias pontes pedonais, pode-se calcular a relao das primeiras frequncias naturais entre pontes iguais, com comprimentos diferentes. O resultado obtido para este caso atravs da equao (3.6) 1.6586, valor que quase idntico razo entre as frequncias verticais indicadas na tabela 3.2, que de 0.7698/0.4640 = 1.659.

33.6 99.

33.6 198. 1.6586 3.7

Os resultados obtidos neste estudo indicam que a rigidez da estrutura em grande parte devida tenso de pr-esforo no tabuleiro. A colocao dos cabos fora do tabuleiro aumenta a frequncia do modo de toro, conferindo assim uma maior rigidez transversal. Nas pontes do tipo 3, a frequncia dos modos verticais diminui quando se elevam os cabos em relao ao eixo horizontal do tabuleiro.

3.3.2 ANLISE DINMICA DE PONTES SUSPENSAS

De seguida apresentado a anlise dinmica de duas pontes pedonais suspensas, estudadas em [8]. A primeira a ponte do lago Vranov, na Republica Checa, e a segunda a ponte do rio Willamette, nos EUA.

A ponte do lago Vranov (fig. 3.15) tem um vo de 252 m, um tabuleiro com 40 cm de espessura e uma largura entre 6.5 m e 9.7 m. Os modos de vibrao 1, 3 e 7 esto representados na fig. 3.16. Devido ao facto de as 12 primeiras frequncias relativas ao modo vertical estarem abaixo de 2Hz, esta ponte no revelou problemas quando sujeita a testes de carga com pees [8].

Sendo o modo 1 o primeiro modo de vibrao vertical, e o modo 7 o primeiro modo de toro, obtm-se para esta ponte uma razo entre os 2 modos de 2.648, valor que se encontra acima dos 2.5, o que indica que esta ponte no deve ter problemas de instabilidade aerodinmica.

Fig. 3.15 Ponte do lago Vranov e respectivo modelo de clculo [8]

Fig. 3.16 Modos de vibrao e frequncias naturais da ponte do lago Vranov [8]


18

A ponte do rio Willamette (fig. 3.17) tem um comprimento de 149.25 m, um tabuleiro com 6.5 m de largura e 0.71 m de espessura. Os modos de vibrao 1, 2, 5 e 8, e as suas respectivas frequncias esto representados na fig. 3.18, tendo estes sido obtidos atravs da aplicao de uma fora descrita pela equao (3.2). A primeira frequncia vertical apresenta-se afastada de 2 Hz, sendo este um aspecto desejvel. A razo desta frequncia com a frequncia do oitavo modo, que corresponde frequncia do modo de toro, de 3.529, o que tambm desejvel em termos de estabilidade aerodinmica, visto ser superior razo de frequncias, que igual a 2.5.

Fig. 3.17 Ponte do rio Willamette e respectivo modelo de clculo [8]

Fig. 3.18 - Modos de vibrao e frequncias da ponte do rio Willamette [8]

No mbito desta dissertao, foi realizado um estudo paramtrico para uma ponte suspensa de 100 m de comprimento e um tabuleiro de 3 m de largura e 0.3 m de espessura, usando o programa SAP2000 e elementos barra e cabo 3D. Foram comparadas as frequncias naturais em vrios modos de vibrao.


19

Os tipos de estrutura analisados (fig. 3.19) diferem na flecha (f), na forma do tabuleiro, na posio dos apoios e na geometria da estrutura.

Fig. 3.19 Tipos de estruturas analisadas

Para cada tipo de estrutura indicado na fig. 3.19, encontram-se na tabela 3.3 as frequncias naturais correspondentes aos 5 modos de vibrao seguintes:

fH primeiro modo horizontal fV1 e fV2 dois primeiros modos verticais; fS primeiro modo correspondente ao movimento transversal combinado com a toro; fT primeiro modo de toro.

No clculo de fT/fv, fv corresponde a fv2 para a estrutura tipo 1 e fv1 para os restantes tipos de estruturas, pois estes modos verticais apresentam uma deformada semelhante do modo de toro.

Tabela 3.3 Frequncias naturais para vrias pontes suspensas

fH (Hz) fV1 (Hz) fV2 (Hz) fS (Hz) fT (Hz) fT/fV 1-A 1.156 1.047 1.077 1.961 2.800 2.600 1-B 1.118 0.994 1.049 2.028 2.771 2.642 2-A 1.369 0.837 1.355 2.604 3.258 3.892 2-B 1.325 0.834 1.303 3.024 3.207 3.892 3-A 1.324 0.862 1.401 2.673 3.262 3.784 3-B 1.279 0.841 1.363 2.960 3.162 3.760 4 1.336 1.296 1.680 1.953 2.877 2.220 5 1.478 1.097 1.700 2.568 3.270 2.981

A razo fT/fV foi calculada com o objectivo de avaliar quais so os tipos de estruturas que so menos propcios a ter instabilidade aerodinmica. As solues 2 e 3 apresentam valores de fT/fV superiores s

f = 8m

f = 10m

f = 8m

f = 8m

f = 10m

1

2

3

4

5

A B

A B

B A


20

restantes, sendo assim menos propcias a ter instabilidade aerodinmica, pois esta instabilidade inversamente proporcional ao valor de fT/fV.

No tipo 4 e 5, devido aos cabos adicionados por baixo do tabuleiro, as frequncias verticais so superiores. As solues 2 e 3 permitem diminuir fV1 e aumentar fV2. A diferente disposio dos pilares no aparenta ter grande relevncia na alterao de fH. No entanto esta frequncia directamente proporcional flecha, tendo a soluo 5 a maior frequncia e a 1-B a menor.

3.3.3 ANLISE DINMICA DE PONTES ATIRANTADAS

Usando o programa de clculo automtico SAP2000, e os elementos de cabo e barra 3D, procedeu-se a um estudo paramtrico de uma ponte atirantada com 80 m de comprimento, com um tabuleiro de 3 m de largura e 0.4 m de espessura. O vo central tem 40 m e os vos extremos 20 m.

Os pilares tm 15 m de altura, com excepo da configurao tipo B em que tm 10 m. O tabuleiro encontra-se a 5 m de altura do solo. Em todos os casos os pilares encontram-se encastrados na base. O tabuleiro tem um apoio triplo no incio e um duplo no fim, sendo este livre na direco axial ao mesmo.

Na fig. 3.20 encontram-se as 7 pontes atirantadas estudadas, diferindo 6 destas relativamente do tipo A: no que respeita altura dos pilares (B); no local de ancoragem dos cabos nos pilares (C); no nmero de cabos (D); e na geometria dos pilares (E, F e H). Em E, o topo dos pilares afastado 6 m, e em H, as fundaes so afastadas 6m. Na tabela 3.4 encontram-se as frequncias de vibrao para os mesmos modos indicados nas tabelas 3.2 e 3.3, assim como o 1 modo de vibrao horizontal no sentido perpendicular ao tabuleiro.

Fig. 3.20 Diferentes tipos de configuraes destinada a um estudo paramtrico

A

B

C

E

D

F

G


21

Tabela 3.4 Frequncias naturais correspondentes aos diversos tipos de modos de vibrao

fH (Hz) fV1 (Hz) fV2 (Hz) fS (Hz) fT (Hz) fT/fV1 A 1.120 2.368 4.805 5.842 17.718 7.482 B 1.151 2.533 5.351 6.501 13.588 5.364 C 1.115 2.573 3.833 5.391 12.523 4.867 D 1.094 3.534 6.763 3.350 17.309 4.898 E 1.147 3.136 6.387 4.009 17.482 5.575 F 1.118 3.617 6.511 3.735 12.433 3.437 G 1.784 2.343 4.785 5.783 17.612 7.517

Comparando as frequncias relativas a cada configurao chega-se a vrias concluses:

relativamente instabilidade aerodinmica, a configurao A que se comporta melhor, pois apresenta a maior razo fT/fV1;

devido diminuio da altura dos pilares na configurao B, esta tem uma frequncia de toro menor, assim como a configurao C, devido configurao dos cabos;

utilizando o dobro de cabos na configurao D, obtm-se um aumento de rigidez vertical e assim um aumento das frequncias verticais, como tambm acontece com as configuraes E e F;

na configurao F diminui a frequncia de toro e aumenta a frequncia vertical fV1, obtendo a razo fT/fV1 mais baixa de todas as solues, sendo portanto a mais desfavorvel no comportamento aerodinmico, pois quanto menor for fT/fV1 maior a possibilidade de existir instabilidade devido aco do vento;

na configurao G, devido ao facto de os apoios dos pilares estarem mais afastados entre si, tem-se uma maior rigidez horizontal, logo uma maior frequncia horizontal, sendo este facto benfico por permitir afastar esta da frequncia crtica, que corresponde a 1 Hz.


22


23

4 ANLISE ESTTICA E DINMICA NO LINEAR

4.1. INTRODUO

O comportamento no linear duma estrutura devido sua no linearidade geomtrica e/ou sua no linearidade material.

Neste trabalho estudada a importncia da anlise no linear geomtrica, que tem bastante impacto no estudo de estruturas com cabos. Sabendo que estas apresentam normalmente grandes deslocamentos, pode-se considerar insuficiente o seu estudo apenas atravs da hiptese dos pequenos deslocamentos em associao com a lei de Hooke. Sendo assim, necessrio determin-los atravs de mtodos iterativos, como o de Newton-Raphson.

A no linearidade material no considerada neste trabalho, apesar da sua importncia no comportamento da generalidade das estruturas, uma vez que os cabos apresentam uma relao entre tenso e deformao na sua fase elstica, praticamente linear. Pelo contrrio, o beto sofre uma variao acentuada das suas caractersticas mecnicas, medida que ocorre a fendilhao. Na fig. 4.1 est representado o diagrama tenso-deformao para um provete de beto e para um cabo de ao. No provete de beto verifica-se um comportamento no linear, para o qual o mdulo de elasticidade se modifica com as deformaes. O mesmo j no acontece com um cabo de ao, pois este apresenta um comportamento linear e elstico, sendo o seu mdulo de elasticidade praticamente constante ao longo do ensaio.

Fig. 4.1 Diagramas tenso-deformao

E -> mdulo de elasticidade E

Provete de Beto Cabo de Ao


24

Neste trabalho, ao analisar somente cabos, apenas se considera a influncia do esforo axial de cada cabo para o clculo da estabilidade da estrutura. A matriz de rigidez geomtrica, proveniente do esforo axial provocado pela variao geomtrica da estrutura, adicionada matriz de rigidez inicial. Assim, a anlise estrutural passa a ser no atravs de uma configurao inicial da estrutura, mas sim, atravs de diferentes deformadas, as quais convergem numa deformada final.

4.2. MODELAO DE UM CABO

No estudo de estruturas com cabos, existem vrios mtodos para os modelar. Podem ser analisados como um elemento nico, pelo uso de um mdulo de elasticidade equivalente, ou dividindo-os em vrios segmentos e consider-los como trelias que s resistem traco.

No caso de se pretender modelar o cabo como apenas um elemento, necessrio analisar as suas caractersticas (fig. 4.2), pois estas diferem bastante das de uma barra de trelia devido ao facto da sua geometria variar significativamente com os esforos aplicados. Considerando um cabo com rea A, mdulo de elasticidade E, ligado por intermdio de dois apoios duplos a e b, e sujeito a uma carga distribuda q(x), obtm-se a sua geometria atravs da coordenada y(x), a flecha f(x), a inclinao tan e o raio R(x). O cabo est traccionado por uma fora N(x) que tem uma componente vertical V(x) e horizontal H(x) [8]. Nestas condies, tem-se

tan (4.1)

(4.2)

cos (4.3)

sin (4.4)

Para uma fora horizontal H constante, verifica-se

tan

(4.5)

Pelo equilbrio das foras verticais, tem-se

(4.6)

(4.7)

(4.8)

(4.9)

onde Q(x) corresponde ao esforo transverso, M(x) ao momento e C1 e C2 a constantes calculadas pelas seguintes condies de fronteira:

0

0 0

0

Sendo

, resulta


25

tan (4.10)

No caso da carga distribuda q(x) ser constante a flecha

(4.11)

Fig. 4.2 Caractersticas de um cabo [8]

No caso de cabos integrados em estruturas, estes apresentam um comportamento no linear, pois ao aplicar um incremento de tenso forma inicial h uma diminuio da flecha e uma variao do comprimento, e consequentemente uma alterao da rigidez axial. Devido dificuldade de estudar as estruturas complexas como um todo, possvel proceder a uma anlise mais simplificada da estrutura, atravs da diviso desta nos seus elementos mais simples, cujo comportamento facilmente analisado. Assim reorganizando os elementos possvel estudar a estrutura original, duma maneira simplificada e aproximada. Para analisar este comportamento do cabo pode-se model-lo atravs da decomposio deste em vrias trelias, que tm um comportamento aproximado ao do cabo curvo (fig. 4.3). Esta modelao tanto mais eficaz, quanto mais segmentos forem criados.


26

Fig. 4.3 Modelao de um cabo por decomposio em segmentos

Outro modo de analisar um cabo atravs do recurso ao mdulo de elasticidade equivalente, que foi introduzido por Ernst [5]. Atravs deste tipo de anlise, modela-se o cabo curvo como um cabo recto, relacionando o alongamento horizontal do cabo, com o incremento da fora de traco.

O mdulo de elasticidade equivalente (Eeq) definido para um determinado nvel de tenso (), atravs da equao (4.12). Nesta equao, as extenses c e e so devidas, respectivamente, alterao de curvatura do cabo e ao comportamento elstico do material, que se relacionam com a tenso instalada atravs dos mdulos de elasticidade Ec e E. Podendo a equao (4.12) ser apresentada em funo destes parmetros, resultado a equao (4.13) [10].

4.12

4.13

Admitindo o cabo sujeito aco do peso prprio distribudo ao longo da sua corda (fig. 4.4), a configurao deformada a de uma parbola de 2 grau e o desenvolvimento do cabo obtm-se atravs de (4.14). A partir do desenvolvimento em srie desta equao, retm-se apenas os 2 primeiros termos em (4.15), os quais so suficientes para relaes flecha/vo inferiores a 0.15.

1

4.14

1 83

4.15

Atravs da variao de comprimento (l) em (4.16), obtm-se a derivada de l em funo da fora de traco, segundo a corda (T) em (4.17). Com esta ltima equao obtm-se o mdulo de elasticidade do cabo devido sua curvatura (Ec) em (4.18).

83

24

4.16

L L

f0 f

0 +

L L

f0 f

0 +


27

12 4.17

1

12

12

4.18

Fig. 4.4 Cabo sujeito ao peso prprio [10]

Substituindo (4.18) em (4.13) obtm-se a expresso do mdulo de elasticidade equivalente em funo do comprimento horizontal do cabo (L), a sua densidade (), a tenso suportada () e o mdulo de elasticidade normal (E).

1

12 4.19

A partir de (4.19) obtm-se um grfico entre a variao do mdulo de elasticidade e o comprimento do cabo (fig. 4.5), para diferentes tenses a que o cabo esteja submetido. Considerando a tenso de rotura do cabo igual a 1500 MPa (max) e o peso especfico igual a 77.0085 kN/m, calcularam-se as variaes do mdulo para diferentes percentagens da tenso mxima (ver fig. 4.5).

O recurso ao mdulo de elasticidade equivalente permite uma anlise no linear geomtrica de um cabo, que considerada no cdigo do programa elaborado nesta dissertao, no captulo 5.3.5.. Para cabos de pequena dimenso, e cuja tenso de servio esteja prxima da mxima, a anlise no linear no tem influncia nos resultados, pois a razo entre o mdulo de elasticidade normal e equivalente muito aproximada da unidade. Este factor revela maior interesse no estudo de cabos de grandes dimenses e com tenses instaladas mdias, ou em estruturas complexas onde as tenses nos cabos variam muito com as foras aplicadas, o que provoca alteraes na rigidez nos cabos, e assim diferentes resultados estticos e dinmicos para uma anlise no linear da estrutura.


28

Fig. 4.5 Relao entre a variao do mdulo de elasticidade e o comprimento do cabo

4.3. MATRIZ DE RIGIDEZ DO CABO

Para elaborar a matriz de rigidez consideram-se que o cabo tem 3 graus de liberdade por n, que correspondem ao movimento de translao nos 3 eixos. Admite-se que o cabo s tem rigidez axial.

Fig. 4.6 Graus de liberdade de um cabo

A matriz de rigidez local em (4.20) apresenta apenas rigidez para o 1 grau de liberdade. Atravs da anlise no linear geomtrica, esta matriz altera-se medida que as tenses nos cabos mudam e o cabo se deforma. Esta modificao da matriz de rigidez encontra-se explicada no captulo 5.3.6.

1 0 0 1 0 00 0 0 0 0

0 0 0 01 0 0

0 00

(4.20)

4.4. MTODOS ITERATIVOS

Na anlise geometricamente no linear, a posio dos ns livres da estrutura altera-se medida que as foras se equilibram e a matriz de rigidez se modifica. Para permitir a convergncia dessas alteraes recorre-se a mtodos iterativos, que permitem que os deslocamentos convirjam para um valor ao qual est associado um erro previamente indicado.

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

0 100 200

Eeq/E

L(m)

50%max40%max30%max

20%max

10%max

x

y

z x

y

z

L


29

Neste trabalho foram utilizados os 3 mtodos iterativos em seguida explicados. No programa elaborado no mbito desta dissertao possvel escolher qual o mtodo a utilizar para o clculo no linear. No captulo 7 evidenciado que o mtodo de Newton-Raphson o que em geral apresenta convergncia mais rpida.

4.4.1 MTODO DE NEWTON-RAPHSON

Neste mtodo a matriz de rigidez utilizada varia de iterao para iterao, devido alterao da posio dos ns que provocam esforos nos cabos, sendo estes calculados no fim da iterao.

Conhecidas a matriz de rigidez e as foras do sistema, possvel calcular os deslocamentos dos ns da estrutura atravs da seguinte frmula

[ (4.21)

onde:

[K] = matriz de rigidez

[u] = vector deslocamentos

[L] = vector fora

Na fig. 4.7 analisado o deslocamento no linear devido aplicao de uma carga, num sistema de 1 grau de liberdade.

Fig. 4.7 Mtodo de Newton-Raphson

No exemplo da fig. 4.7 esto representadas 3 iteraes:

1 iterao: 1 1 0 K1 = matriz de rigidez inicial que corresponde ao estado indeformado da estrutura L = fora externa L0 = fora interna que corresponde ao pr-esforo nos cabos (=0, nesta situao)

2 iterao: 2 2 1 K2 = matriz de rigidez tangente recalculada L1 = fora interna devido ao deslocamento u1

ufinal

u - Deslocamento

L2 L3

K1

K3

u3

L - Carga

u1 u2

L1

L

K2


30

3 iterao: 3 3 2 K3 = matriz de rigidez tangente recalculada L2 = fora interna devido ao deslocamento u2

Aps a 3 iterao a fora interna L3 igual ou aproximada da fora externa L, sendo o deslocamento u4 muito pequeno. Considera-se assim que o deslocamento obtido aproximado do deslocamento real.

O valor aproximado do deslocamento final da estrutura calculado com u = u1 + u2 + u3.

No programa de clculo automtico elaborado no mbito desta dissertao aplicado aos mtodos iterativos um limitador que permite uma convergncia mais eficaz e lenta. Este limitador importante porque quando um cabo se encontra comprimido perde a rigidez, significando que quando nele aplicada uma fora o deslocamento infinito. Isto no acontece na realidade, pois, assim que o cabo volte a estar traccionado, este ganha novamente rigidez. Para impedir estes deslocamentos infinitos, impem-se um limite mximo em cada iterao, com o valor definido pela varivel Disp_st (ver tabela 5.1).

Na fig. 4.8 exemplifica-se como funciona esse limitador numa estrutura com 2 cabos que inicialmente esto comprimidos. Com limitador, o n central desloca-se lentamente, permitindo aos cabos voltarem a adquirir rigidez at a estrutura atingir o equilbrio. Enquanto que sem o limitador, o deslocamento do n central infinito e a estrutura no atinge o equilbrio de esforos.

Fig. 4.8 Uso do limitador dos deslocamentos

4.4.2 MTODO DE NEWTON-RAPHSON MODIFICADO

Uma alternativa ao mtodo anterior consiste no mesmo processo mas com uma matriz de rigidez constante, que corresponde inicial. Ao contrrio do mtodo de Newton-Raphson, a matriz de rigidez no se altera ao longo das iteraes, o que torna o processo menos exigente em termos de poder de clculo. Contudo o processo passa a ter uma convergncia mais lenta, como exemplificado na fig. 4.9, em que so necessrias 9 iteraes para se obter um deslocamento total aproximado do real.

F com limitador sem limitador

ou


31

Fig. 4.9 Mtodo de Newton-Raphson modificado

4.4.3 MTODO ITERATIVO DIRECTO

Ao contrrio do mtodo de Newton-Raphson, neste mtodo em cada iterao calculado o deslocamento total. As foras internas mantm-se constantes ao longo do ciclo iterativo, mas a matriz de rigidez depende do deslocamento em cada iterao.

Na fig. 4.10 esto representadas 4 iteraes, nas quais o deslocamento final calculado se aproxima do valor do deslocamento real.

Este mtodo apresenta uma taxa de convergncia inferior do mtodo de Newton-Raphson.

Fig. 4.10 Mtodo iterativo directo

K

ufinal

u - Deslocamento

L - Carga

u1 u2

L

u9 u3

L1

K K

L2

L9

ureal

u - Deslocamento

K0

L - Carga

u1 u2

L K1 K2

u3

K3

u4


32

4.5. ANLISE DINMICA

A anlise dinmica abordada nesta dissertao incide no estudo de vibraes livres para a determinao das frequncias e dos modos de vibrao das estruturas de cabos. tida em considerao a no linearidade geomtrica, que provoca a alterao da rigidez dos cabos, o pr-esforo inicial e as tenses provocadas por foras externas constantes.

O estudo dinmico das estruturas tem-se revelado cada vez mais importante e imprescindvel. Antes da revoluo industrial, as estruturas eram construdas com materiais pesados e as fontes de vibraes eram reduzidas, o que combinado, provocava nas estruturas uma resposta dinmica muito reduzida. Com a evoluo das tcnicas construtivas e dos materiais disponveis comeou-se a construir estruturas cada vez mais leves e complexas, que resistem a cargas maiores e variveis, o que diminui bastante o amortecimento estrutural e aumenta as vibraes geradas. Este acrscimo de vibraes indesejado, pois origina rudos e deslocamentos desagradveis para o utilizador e provoca tenses que deterioram os elementos, podendo resultar em muitos casos na rotura da estrutura. Torna-se assim cada vez mais importante incluir na fase do projecto estas condicionantes, para evitar problemas futuros e reparaes dispendiosas.

Os factores que influenciam a frequncia e amplitude das vibraes da estrutura so as foras de excitao e a resposta da estrutura a essas foras. Estas foras podem ser peridicas, aleatrias ou impulsos, vindas de fontes como o vento, sismos e cargas internas. A resposta da estrutura vai depender da frequncia natural, do amortecimento interno e da rigidez da estrutura.

Admite-se que o amortecimento interno de uma estrutura mantm-se constante para uma anlise no linear, e que estes valores so conhecidos antes de iniciar a anlise. Sendo assim, necessrio calcular as frequncias naturais da estrutura, que so muito importantes quando se estuda estruturas submetidas a foras peridicas, pois no caso da frequncia natural da estrutura igualar a frequncia da fora de excitao peridica ocorre ressonncia, que provoca deslocamentos e tenses muito gravosos para a estrutura.

As estruturas de cabos normalmente so mais propcias a que ocorra ressonncia, como no caso de pontes de cabos, que tm frequncias naturais baixas e pouca rigidez. Com o programa de clculo automtico elaborado nesta dissertao pretende-se determinar as frequncias e os modos de vibrao da estrutura. Com base nos resultados obtidos, altera-se o desenho da estrutura de modo a que as suas frequncias naturais difiram das frequncias das cargas aplicadas, impedindo assim a ressonncia.

Quando ocorre ressonncia na estrutura esta tende a ter grandes deslocamentos, como exemplificado na fig. 4.11. Sem amortecimento os deslocamentos tendem para infinito e com amortecimento tendem a estabilizar num valor mximo.


33

Fig. 4.11 Resposta de uma estrutura em ressonncia

4.6. EQUAES DE EQUILBRIO DINMICO

As propriedades fsicas fundamentais duma estrutura sujeita a foras exteriores so a massa, a rigidez e o amortecimento estrutural. A equao que traduz o equilbrio entre as foras exteriores, de massa, de amortecimento e elsticas, a seguinte

(4.22)

onde

m - matriz de massa

c - matriz de amortecimento

kt - matriz de rigidez

pt - vector de foras exteriores

, , - vectores das aceleraes, velocidades e deslocamentos

A matriz de massa e a matriz de amortecimento variam muito pouco com o tempo, sendo pouco relevante a sua alterao. Para um sistema sem amortecimento e sem foras exteriores obtm-se a seguinte expresso

0 (4.23)

Resolvendo a equao anterior obtm-se os valores e os vectores prprios, que correspondem frequncia de vibrao e aos modos de vibrao natural.

- 0 (4.24)

0 (4.25)

Para calcular os valores prprios anula-se o seguinte determinante:

0 (4.26)

sem amortecimento com amortecimento u

t t

u


34

Conhecidos os valores prprios, possvel calcular os vectores prprios atravs da equao (4.25).

4.7. MODOS DE VIBRAO E FREQUNCIAS NATURAIS DE UM CABO

Atravs das frmulas (4.27) e (4.28) obtm-se as frequncias naturais de um cabo para os diferentes modos representados na fig. 4.12, em que H a fora horizontal, u a massa do cabo por unidade de comprimento, f a flecha do cabo, E o mdulo de elasticidade, A a rea e I o momento de inrcia. A expresso

expressa a rigidez normal do cabo que tem de alongar relativamente ao primeiro

modo e a expresso

corresponde rigidez flexo, que considerada insignificante em

clculos de engenharia [8].

(4.27)

(4.28)

Os modos de vibrao so calculados por (4.29).

, cos2 sin2 sin

(4.29)

Fig. 4.12 Modos de vibrao verticais naturais

4.8. MATRIZ DE MASSA

Existem 2 tipos de matriz de massa, a calculada pelo processo de diagonalizao e a matriz consistente. A matriz de massa diagonal a mais simples, exigindo menor poder de clculo. Esta foi utilizada no programa de clculo automtico elaborado nesta dissertao.

4.8.1. MATRIZ DE MASSA DIAGONAL

Para definir a matriz de massa usa-se um mtodo simples que consiste em admitir que toda a massa se encontra concentrada nos ns de cada elemento, onde se encontram os deslocamentos.

A matriz de massa de uma barra apresenta o mesmo nmero de linhas e colunas, que correspondem ao nmero de graus de liberdade de cada barra. Em correspondncia com cada grau de liberdade somada a contribuio de cada elemento para a matriz de massa da estrutura. Cada elemento tem 2 ns, correspondendo a cada um deles metade da sua massa, como representado na fig. 4.13.

f1 f3

f2 f4


35

Fig. 4.13 Distribuio da massa de cada elemento

Caso existam graus de liberdade de rotao, em geral despreza-se a sua contribuio para a matriz de massa, por ser pequena a sua inrcia rotacional. Assim, a matriz de massa uma matriz diagonal que tem termos nulos na contribuio dos graus de liberdade de rotao, como representado na fig. 4.14, para o caso de um elemento com 6 graus de liberdade. Sendo m a massa total da barra, tem-se

1 0 0 0 0 01 0 0 0 0

0 0 0 01 0 0

. 1 00

(4.30)

Fig. 4.14 Matriz de massa para um elemento com 6 graus de liberdade

4.8.2. MATRIZ DE MASSA CONSISTENTE

A matriz de massa consistente obtm-se por um processo semelhante ao da deduo da matriz de rigidez do elemento barra, em que aplicando uma acelerao unitria a cada grau de liberdade se determina a resultante das foras de inrcia, enquanto os outros graus de liberdade esto fixos.

Para o sistema representado na fig. 4.14, obtm-se a seguinte matriz de massa consistente.

140 0 0 70 0 0

156 22 0 54 1342 0 13 32

140 0 0. 156 22

4

(4.31)

1 22

22

121 2

2

1 3

5

4 6


36


37

5 PROGRAMA DE CLCULO AUTOMTICO

5.1. INTRODUO

No mbito desta dissertao foi desenvolvido um programa de clculo automtico designado PCA, para o clculo esttico e dinmico geometricamente no linear de estruturas tridimensionais, com cabos e barras de trelias, tomando em considerao a influncia do pr-esforo.

O cdigo do PCA foi escrito em Matlab, atendendo s vantagens relativamente a outros cdigos, como o C++, para o objectivo em causa:

linguagem simples fcil interpretao do cdigo facilidade em criar e visionar as matrizes e vectores, durante e aps a execuo do programa possibilidade de compilar o cdigo Matlab para linguagem C++ , C ou num ficheiro

executvel importao automtica de dados fcil obteno dos valores e vectores prprios

Para permitir uma melhor compreenso e organizao, o cdigo do PCA est dividido na subrotina principal Main.m e nas seguintes subrotinas: importfilexls.m; cossenos.m; transformacao.m; matriz_AA.m; matriz_D.m; rigidez.m; internas.m; modificacao.m; massa.m; eigen.m; drawmesh.m.

Neste captulo explica-se o funcionamento do programa de uma maneira global e analisam-se detalhadamente as suas subrotinas, de modo a permitir uma fcil percepo das suas capacidades sem exigir conhecimentos de programao.

Nos anexos encontra-se o cdigo completo do programa.

5.2. ESQUEMA GERAL DO PROGRAMA

Na fig. 5.1 est representado o esquema geral do programa para a anlise esttica e dinmica, usando o mtodo de Newton-Raphson. esquematizando o ciclo de anlise de cada elemento e o ciclo iterativo para a anlise no linear geomtrica.


38

Importao automtica dos dados das tabelas de Excel para o Matlab

Organizao dos dados em vectores

Criao de matrizes vazias

Clculo das novas coordenadas do elemento devido aos deslocamentos

Correco do mdulo de elasticidade devido no linearidade geomtrica

Incio das iteraes para clculo esttico no linear

Ciclo da anlise de cada elemento da estrutura

Leitura dos dados do elemento

Anlise linear

Clculo de:

comprimento do elemento cossenos (direco do elemento) variao de comprimento e fora

axial (incluindo pr-esforo)

matriz de transformao (T1 e T2) matriz de transformao da matriz

de rigidez geomtrica (AA)

matriz de rigidez geomtrica (D) matriz de rigidez local (Kl) matriz de rigidez global (K) foras internas (LI)

Anlise de cada elemento completa?

NO

SIM


39

Fig. 5.1 Sequncia geral do programa de clculo automtico

Analise de Vibracoes Em Estruturas de Cabos Pre-esforcados Lourenco j.-2008

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