Mecnica das Vibraes - Captulo 1 - Introduo 1UNIDADE 1 INTRODUO AO ESTUDO DE VIBRAES 1.1 - A Vibrao e a Histria AvibraoestpresentejnosprimeirostemposdaHistriadaHumanidade.Instrumentosrudimentares, comoapitosetambores,tmnoseuprincpiodefuncionamento,umproblemavibratriocomoessncia.Estes instrumentostiverammuitaimportnciaentreospovosprimitivoscomomeiosdecomunicao.Maistarde,vrios instrumentosmusicais(percusso,cordas,metais,etc.)foramconcebidos,aproveitandomovimentosvibratrios, geradores de ondas sonoras. Figura 1.1 Pitgoras observando os sons dos martelos (Hugo Sprechshart. 1488. Flores Musicae - reproduzido de Dimarogonas, A., Vibration for Engineers, Prentice Hall, 1995).. Odesenvolvimentodateoriadavibraoresultoudosavanosdascinciasbsicasdasquaisderiva: matemticaemecnicageral.Aorigem,emtermoshistricos,encontra-senosantigosfilsofosgregosdoprimeiro milnioantesdeCristo.Oprimeirointeressanteenvolvimentodeumfilsofogregocomumproblemadenatureza vibratriaregistradoemumincidenteenvolvendoPitgorasdeSamos(cercade570-497AC):Pitgorasestava passando por uma espcie de fundio e/ou forjaria e percebeu uma certa harmonia entre os diversos sons produzidos pelosmartelos.Entrandonolocalelesuspeitouqueadiversidadedesonsfosseoriginadapelasdiferentesforas empregadas no uso dos martelos, concluindo, entretanto, que a causa era o peso dos martelos. A Fig. 1.1 ilustra este incidentelegendrio.Pitgoras,ento,estabeleceuummtodoracionaldemedirfreqnciassonoras(origemdo diapaso) podendo ser considerado como o fundador da acstica. Ele realizou experincias com martelos, cordas, tubos e placas criando o primeiro laboratrio de pesquisas em vibraes conhecido (Fig. 1.2). O fato que existem freqncias que podem produzir movimento harmnico j era conhecido por msicos quando foi estabelecido como uma lei natural por Pitgoras. Alm disso, ele provou com suas experincias com martelos que as freqncias naturais so propriedades dos sistemas e no dependem da magnitude da fora atuante. Ele provou ainda que: 1.Afreqncianaturaldeumacordainversamenteproporcionalaoseucomprimentoedimetro;ela crescequandocresceatensocomoutraspropores(noespecificadas).bastanteprovvelque Pitgoras tenha conhecido a regra correta de dependncia da freqncia natural com a tenso.2.Afreqncianaturaldavibraolongitudinaldeumacolunainversamenteproporcionalao comprimento da mesma. Mecnica das Vibraes - Captulo 1 - Introduo 23.Ateseanteriortambmvlidapararecipientes.Pitgorasmudava a freqncia natural colocando gua dentro deles. 4.Pitgoras tambm testou discos, mas no existem registros de resultados. Existe um relato em Phaedon de Plato,queHipasos(umdiscpulodePitgorasquediz-setenhasidomortoporrevelarsegredos pitagricos)testouquatrodiscosdebronzeeencontroufreqnciasnaturaisinversamenteproporcionais s espessuras. Figura 1.2 esquerda experincias de Bocio com o monocrdio e direita Pitgoras e suas experincias com martelos e sinos em seu laboratrio (Reproduzido de Dimarogonas, A., Vibration for Engineers, Prentice Hall, 1995). Aspesquisassobreomovimentodopnduloseoriginaramnasculturasgregaechinesa,encontrando-se indicaesquetenhasidoutilizadocomomedidordetempo(portantosendoconhecidooseuisocronismoperodo constante) nos tempos de Aristfanes (450-388 AC). Oprimeirotextosobreacstica,OnAcoustics,foiescritoporAristteles,tendosidootermoutilizadopela primeira vez ento. Figura 1.3 Sismgrafo chins do segundo sculo (Reproduzido de Dimarogonas, A., Vibration for Engineers, Prentice Hall, 1995). OsinstrumentosdemediodevibraesseoriginamnaGrciaeChinaantigas.Herdoto(cercade484a 425 a.C.) registra a existncia de um transdutor de vibrao (um escudo coberto com uma fina camada de bronze) que era encostado ao solo produzindo som quando este apresentava qualquer movimento vibratrio. Era utilizado no sexto sculoa.C.paradetectaraescavaodetneissubterraneosemBarca,nortedafrica,atualLbia,entosob Mecnica das Vibraes - Captulo 1 - Introduo 3dominaopersa.Vriosoutrosinstrumentospodemsercitados,masummereceespecialateno:umsismgrafo construdonaChinaporvoltadoanode132d.C.Ogovernoimperialdesejavadetectarantecipadamenteterremotos, para que pudessem se preparar. O cientista e matemtico Zhang Heng inventou um instrumento que era constitudo por umpndulode3mdecomprimento,usandobolaspararegistraradireoe,talvez,amagnitude.Com2metrosde largura, parecia um jarro de bronze. Oito cabeas de drago circundavam a parte superior. Debaixo de cada uma havia um sapo de bronze. Quando o jarro sentia um tremor de terra, mesmo nfimo, uma bola caa de um drago na boca de umsapo.Agenialidadedesseancestral de todos os sismgrafos estava no fato de que a bola caa na direo de onde vinha o tremor graas a um mecanismo no interior do jarro. Alguns engenheiros supem que se tratava de um pndulo suspensoporumcabocomoitoalavancasligadassoitobocasdedrago.Quandoumtremorvinhadosul,por exemplo,faziacomqueaparteinferiordopndulo oscilasse para o norte. Assim a parte superior inclinava-se para o sul,acionandoaalavancaligadaaodragodosul.Suabocaabria-seeabolacaa.Dessemodo,ZhangHengpodia informarcortequandoocorriaumterremoto,indicandoadireodareaatingida.Esteinstrumentoinstaladono DepartamentodeAstronomiaeCalendrio,dacidadedeLuoyang,entocapitaldaDinastiaHan(de206a.C.a220 d.C.), registrou um terremoto ocorrido a cerca de 600 km de distncia, no sensvel ao ser humano o que convenceu a todos da utilidade do mesmo (National Geographic Brasil, fevereiro de 2004). A Fig. 1.3 mostra uma reproduo deste sismgrafo. J nos primrdios da era moderna Galileu estabeleceu formalmente a relao entre o comprimento do pndulo e o seu perodo de oscilao e observou a ressonncia entre dois corpos, conectados por algum meio de transferncia deenergiaesintonizadosemumamesmafreqncianatural.Galileutambmobservouasrelaesentredensidade, tenso,comprimentoefreqnciadeumacordavibratria.Arelaoentreosomeavibraodeumelemento mecnico j era conhecida no seu tempo, mas foi Galileu quem achou a relao entre a tonalidade sonora e a freqncia da vibrao do elemento mecnico. Quase ao mesmo tempo, Hooke demonstrou as mesmas relaes entre tonalidade e freqncia.Wallis e Sauveur observaram, independentemente, o fenmeno das formas modais (com pontos estacionrios, chamados ns) ao estudarem cordas vibratrias. Tambm descobriram que a freqncia do segundo modo o dobro da freqncia do primeiro, a do terceiro o triplo, etc. A Sauveur so creditados os termos fundamental para a freqncia do primeiro modo e harmnicas para as outras. Bernoulli foi o primeiro a propor o princpio da superposio linear de harmnicas: qualquer configurao da vibraolivreconstrudaapartirdasconfiguraesdasharmnicasindividuais,agindoindependentemente,com pesos variados. Aps o enunciado da Lei da Elasticidade por Hooke em 1676, Euler (1744) e Bernoulli (1751) determinaram a equao diferencial que governa a vibrao lateral de barras prismticas e investigaram a sua soluo para o caso de pequenas deformaes. Coulomb(1784)realizouestudostericoseexperimentaissobreasoscilaestorcionaisdeumcilindro metlico suspenso por um arame. H uma histria interessante relacionada ao desenvolvimento da teoria de vibrao em placas: Em1802,Chladnidesenvolveuomtododeespalharareiasobreumaplacavibratriaparaencontraras suasformasmodais,observandoabelezaeacomplexidadedosdesenhosqueseformavamsobreasplacasem vibrao.Em1809,aAcademiaFrancesaconvidouChladniparadarumademonstraodesuasexperincias. NapoleoBonaparte,comparecendoaoencontro,ficoumuitoimpressionadoedestinouumasomade3000francos paraaAcademiapremiaraprimeirapessoaqueapresentasseumateoriamatemticasatisfatriasobrevibraode placas. Na data da competio, outubro de 1811, somente Sophie Germain se apresentou. Mas Lagrange, que era um dosjulgadores,observouumerronadeterminaodasequaesdiferenciaisdomovimento.AAcademia,ento determinouumaoutracompetioemoutubrode1813.SophieGermainnovamenteseapresentoucomaforma corretadaequaodiferencial.AAcademia,entretanto,noconcedeuoprmioporqueosjuizesexigiramuma justificativa fsica para as hipteses utilizadas na demonstrao da equao. Apenas na terceira edio da competio, em 1816, Sophie Germain conseguiu ganhar o prmio, apesar dos juizes no estarem completamente satisfeitos com a sua teoria. Realmente, mais tarde descobriu-se que a equao diferencial estava correta mas as condies de contorno estavamerradas.Ascondiesdecontornocorretasforamapresentadasapenasem1850,porKirchoff.(possvel ver a demonstrao da placa de Chladni no site www.youtube.com). Em 1877, Lord Rayleigh publicou seu livro A Teoria do Som, at hoje considerado um clssico no assunto. Dentre vrias outras contribuies de Rayleigh, merece destaque o mtodo de determinao da freqncia fundamental de vibrao de um sistema conservativo utilizando o princpio da conservao da energia, conhecido como Mtodo de Rayleigh. Em 1902, Frahm investigou a importncia do estudo da vibrao torcional no projeto de eixos propulsores de barcos a vapor. O absorvedor dinmico de vibrao, que envolve a adio de um sistema massa-mola secundrio para eliminar as vibraes de um sistema principal, foi tambm proposto por Frahm em 1909.Modernamente, muitos outros pesquisadores contriburam com o estudo de vibraes. Stodola apresentou um mtododeanlisedevibraesemvigasquetambmseaplicaavibraesdelminasdeturbinas.Timoshenkoe Mindlin contriburam marcadamente com a melhoria das teorias de vibrao em vigas e placas. EmvibraesnolinearesateoriacomeouasedesenvolvernofinaldosculopassadocomPoincare Lyapunov.Aps1920,DuffingevanderPolrealizaramestudos(suasequaessoparadigmasdesistemas Mecnica das Vibraes - Captulo 1 - Introduo 4dinmicos no-lineares) sobre a teoria de vibraes no lineares e concentraram ateno em sua aplicao a problemas deengenharia.Nosanosrecentes,comousodecomputadoresquepermitemarealizaodegrandesquantidadesde clculos em tempos pequenos, cresceu muito o interesse por estudos em vibraes no-lineares, o que se reflete em uma grande quantidade de trabalhos publicados. O primeiro cientista a falar em vibraes aleatrias foi Einstein, em 1905, ao estudar o movimento Browniano (omovimentoaleatriodepartculasmacroscpicasnumfluidocomoconsequnciadoschoquesdasmolculasdo fluido nas partculas). A introduo da funo de correlao em 1920, por Taylor, e da densidade espectral, no incio dadcadade30,porWienereKhinchin,abriramnovasperspectivasparaoprogressodateoriadevibraes aleatrias.LineRicepublicaramtrabalhosentre1943e1945,abrindoocaminhoparaaplicaodevibraes aleatrias a problemas de engenharia.Atualmente, o estudo de vibraes est sendo altamente influenciado pelo advento dos computadores digitais queproporcionaramarealizaodegrandesquantidadesdeclculosemtempospequenos.Istopermitiuo desenvolvimentodemtodosnumricosdeanlisedesistemasdevriosgrausdeliberdade,permitindoacriaode modelosmatemticospararepresentarocomportamentodesistemasdegrandeporteecomgrandepreciso. Instrumentosdemediodealtatecnologia(lasers,porexemplo)tambmpermitiramodesenvolvimentodemtodos experimentaisque,associadosaosmtodoscomputacionais,proporcionaramextraordinriosavanosnoestudode problemas vibratrios. 1.2 - A importncia do estudo da vibrao A maioria das atividades humanas envolve alguma forma de vibrao. Ns ouvimos porque o tmpano vibra, nsvemosporqueondasluminosassepropagam.Arespiraoestassociadavibraodospulmes,osbatimentos cardacossomovimentosvibratrios, a fala se fundamenta na vibrao das cordas vocais e os movimentos humanos envolvemoscilaesdebraosepernas.Emmuitosoutroscamposdaatividadehumana,fenmenosapresentam variveiscujocomportamentooscilatrio(economia,biologia,qumica,fsica,etc.).Nocampotecnolgico,as aplicaes de vibraes na engenharia so de grande importncia nos tempos atuais. Projetos de mquinas, fundaes, estruturas,motores,turbinas,sistemasdecontrole,eoutros,exigemquequestesrelacionadasavibraessejam levadas em conta. Os primeiros estudos de vibraes em engenharia mecnica foram motivados pelo problema de balanceamento emmotores.Odesbalanceamentopodesertantodevidoaproblemasdeprojetocomofabricaoemanuteno.O desbalanceamentoemmotoresdiesel,porexemplo,podecausarvibraesnosolodetalgrandezaquecriam desconfortoambientalemreasurbanas.Asrodasdelocomotivaspodemsairatumcentmetrodostrilhosdevidoa desbalanceamento. Os engenheiros ainda no conseguem resolver uma grande parte dos problemas originados em ps e rotoresdeturbinas.Asestruturasprojetadasparasuportarmquinascentrfugaspesadas(motores,turbinas,bombas, compressores,etc.)tambmestosujeitasavibrao.possvelquepartesdestasestruturassoframfadigadevido variaocclicadetensesinduzidas.Avibraotambmcausadesgastemaisrpidodemancaiseengrenagens provocando rudo excessivo. Em mquinas, a vibrao causa o afrouxamento de parafusos. Em processos de usinagem, a vibrao pode causar trepidao, conduzindo a um pobre acabamento superficial, por exemplo. Sempre que a freqncia natural de vibrao de uma mquina ou estrutura coincide com a freqncia da fora externaatuante,ocorreumfenmenoconhecidocomoressonnciaqueocasionagrandesdeformaesefalhas mecnicas.Aliteraturaricadeexemplosdefalhasemsistemascausadosporvibraesexcessivasemvirtudede ressonncia. Um destes exemplos o da ponte de Tacoma Narrows (Fig. 4), nos Estados Unidos, inaugurada em julho de1940,colapsouem7denovembrodomesmoanoquandoentrouemressonnciainduzidapelovento.Deacordo comregistrodecmerasdevdeo,aponteRio-Niteritambmoscilousignificativamenteemalgumasocasies. Quandooventoatingedeterminadavelocidadeedireo,aestruturacomeaaoscilarcommaioramplitude.Em outubro de 1997, rajadas estimadas em 124 km/h fizeram o vo central oscilar com amplitudes de 30 cm. Embora estas oscilaesnorepresentemriscosestruturadaponte,opnicocausadopodeterconseqnciasdevastadoras.Nesse diaosmotoristassaramcorrendodoscarroseapontetevedeserfechadaporduashoras.Hojeotrnsito interrompidoemcasodeventaniaforte.(NationalGeographicBrasil,abrilde2004).Emvirtudedosefeitos devastadores que podem surgir em mquinas e estruturas, os testes vibratrios se tornaram um procedimento padro no projeto e desenvolvimento da maioria dos sistemas em engenharia. Emmuitossistemasdeengenharia,oserhumanoatuacomoparteintegrantedomesmo.Atransmissode vibrao para o ser humano resulta em desconforto e perda de eficincia. Vibraes de painis de instrumentos podem produzir mal funcionamento ou dificuldade de leitura de medidores. Portanto um dos propsitos importantes do estudo de vibrao a reduo dos nveis vibratrios atravs de projeto e montagem adequados de mquinas. Nesta interface, oengenheiromecnicotentaprojetaramquinaparaqueamesmaapresentenveisvibratriospequenosenquantoo engenheiro estrutural tenta projetar a base da mquina de forma a assegurar que o efeito da vibrao no se transmita. Mecnica das Vibraes - Captulo 1 - Introduo 5 Figura 1.4 Ponte de Tacoma Narrows durante vibrao induzida pelo vento (Reproduzido de Rao, S., Mechanical Vibrations, Addison Wesley, 1990).

A vibrao tambm pode ser utilizada com proveito em vrias aplicaes industriais. Esteiras transportadoras, peneiras,compactadores,misturadores,mquinasdelavar,utilizamvibraoemseuprincpiodefuncionamento. Vibraotambmpodeserutilizadaemtestesdemateriais,processosdeusinagem,soldagem.Osultra-sonsso largamente utilizados tambm em medicina (obstetrcia, destruio de clculos renais, etc.). Tambm empregada para simular terremotos em pesquisas geolgicas e para conduzir estudos no projeto de reatores nucleares. 1.3 Conceitos Bsicos de Vibraes Vibrao qualquermovimentoqueserepete,regularouirregularmente,depoisdeumintervalodetempo.O movimento de um pndulo e da corda de um violo so exemplos simples de vibraes no mundo real. Em engenharia estesmovimentosocorrememelementosdemquinasenasestruturas,quandoestesestosubmetidosaaes dinmicas.Vibraes Livre e Forada Vibraolivreaquelaproduzidaporumaperturbaoinicialquenopersisteduranteomovimento vibratrio. Como exemplo tem-se a vibrao do pndulo simples. Depois de deslocado de sua posio de equilbrio, o pndulo simples permanece em movimento oscilatrio sem que nenhum efeito externo intervenha. Vibraoforadaprovocadaporumefeitoexternoquepersisteduranteotempoemqueomovimento vibratrio existir. O movimento de um rotor desbalanceado tpico de uma vibrao forada. Vibrao Amortecida e No Amortecida Vibrao amortecida aquela em que a energia vibratria se dissipa com o transcorrer do tempo de forma que os nveis vibratrios diminuem progressivamente. Vibraonoamortecidaaquelaemqueaenergiavibratrianosedissipadeformaqueomovimento vibratriopermaneceimutvelcomopassardotempo.Ossistemasemqueocorreavibraonoamortecidaso sistemasideais,poissemprealgumaenergiaserdissipadaemumsistemafsico.Entretanto,emmuitoscasos,o amortecimentotopequenoquepossveldesprez-lo,poisosnveisvibratriosdiminuemmuitopoucoduranteo tempoemqueomovimentoobservadoeaanlisedoproblemasetornamatematicamentemaissimples.Emse tratandodeumsistemareal,asresistnciaspassivasestosemprepresentesfazendocomqueaenergiaoscilatriase dissipe.Estadissipaodeenergiarepresentadapelacaractersticachamadaamortecimento.AFig.1.5ilustrauma vibraonoamortecidaeumaamortecida.Algunsmodelostpicosdeamortecimentocomoviscoso,atritoseco (Coulomb) e atrito interno sero estudados nas sees seguintes. Mecnica das Vibraes - Captulo 1 - Introduo 6Ox(t) tAmortecidoNo amortecidox0 Figura 1.5 Vibraes livres sem e com amortecimento.Vibrao Linear e No Linear Vibrao linear aquela que ocorre em um sistema cujos componentes atuam linearmente (a fora de mola proporcional ao deslocamento, a fora de amortecimento proporcional velocidade e a fora de inrcia proporcional acelerao). Vibraonolinearaquelaemqueumoumaiscomponentesdosistema no se comporta linearmente, ou sejaaforaproduzidanoapresentaumarelaolinearcomavarivelcinemticaaqueseassocia(relaes quadrticas, cbicas, logartmicas, exponenciais, senoidais, etc.).Vibrao Determinstica e Aleatria Vibrao determinstica aquela em que se pode prever todas as caractersticas do movimento vibratrio em qualquer instante de tempo. Vibraoaleatriaounodeterminsticaaquelaemquenopossvelpreveroqueiracontecerno movimento vibratrio. Graus de Liberdade onmeromnimodecoordenadasindependentesnecessriasadescrevercompletamenteomovimentodetodasas partes que compem um sistema vibratrio. A Fig. 1.6 mostra exemplos esquemticos de sistemas com um, dois e trs graus de liberdade. Se um sistema possui pelo menos um grau de liberdade, os valores das variveis que descrevem o estado do sistema (posio, velocidade, acelerao) devem ser especificados. Para isto necessrio que se escolha um sistema de coordenadas. Esta escolha arbitrria: pode-se escolher qualquer sistema de coordenadas para descrever um movimento.NaFig.1.7omovimentodopndulorepresentadopordoissistemasdecoordenadas.Noprimeiro,so necessriasduascoordenadasparadeterminarexatamenteaposiodopndulo(xey),suavelocidade( x& )esua acelerao( x& & ).Nosegundosistemaapenasacoordenada,representacompletamenteaposiodopndulo,&sua velocidade e& & sua acelerao. Nada impede que o sistema xy seja utilizado. Apenas o mesmo apresentar um nmero de equaes maior do que o necessrio. Nele deve ser includa a equao de restrio (condio de contorno) x2 + y2 = l2.Jcomautilizaode,apenasumaequaodescreveromovimentodosistema.Estesistemaapresentaum nmeromnimodecoordenadas,igualaonmerodegrausdeliberdade,necessriasarepresentarcompletamenteo movimentodosistema.chamadodesistemadecoordenadasgeneralizadas.Onmerodegrausdeliberdade sempreigualaonmerodecoordenadasutilizadomenosonumerodeequaesderestrio.Assimsendo,um movimento descrito em um sistema de coordenadas generalizadas no apresenta equaes de restrio.Sistemas Contnuos e Discretos Sistemas que podem ser separados em partes de forma que cada uma delas possua um determinado nmero de grausdeliberdadeeosistemaglobaltenhaumnmerofinitodegrausdeliberdadesosistemasdiscretos,sendo tambm chamados de sistemas com parmetros concentrados. Um sistema contnuo no pode ser dividido, possuindo um nmero infinito de graus de liberdade sendo tambm conhecidos como sistemas com parmetros distribudos. Mecnica das Vibraes - Captulo 1 - Introduo 7 (a) Um grau de liberdade. (b) Dois graus de liberdade. (c) Trs graus de liberdade Figura 1.6 Sistemas com um, dois e trs graus de liberdade. Figura 1.7 Sistemas de coordenadas no movimento do pndulo. Mecnica das Vibraes - Captulo 1 - Introduo 8 1.4 - Movimento Harmnico x = A sen ttxA 4 tOATV Figura 1.8 - Mecanismo de Scotch Yoke gerando um movimento harmnico Omovimentoharmnicoaformamaissimplescomqueumavibraoseapresenta.AFig.1.8ilustraa gerao deste movimento, representado matematicamente pela equao t A x sen =(1.1a) ou, se a origem do movimento no coincidir com0 sen = t ( ) + = t A x sen(1.1b) A forma do movimento harmnico no muda se ao invs de seno se utilizar cosseno ou uma soma de seno e cossenocomo mesmo argumento. Estas formas apenas provocam um deslocamento da funo no tempo, refletida no valor de .As principais caractersticas do movimento harmnico so: Amplitude - A - o mximo valor atingido por x. A unidade utilizada a mesma da varivel x. Na literatura, muitas vezes encontra-se os termos amplitude de pico significando o que aqui se chama simplesmente de amplitudeeamplitudepicoapicosignificandoadiferenaentreovalormximoeovalormnimode x, sendo, para o movimento harmnico, o dobro da amplitude A. Perodo - T - o tempo transcorrido at que o movimento se repita (mesmos x,x& ex& & ). O perodo expresso por uma unidade de tempo, normalmente o segundo. Freqncia - f - o nmero de repeties que ocorrem em uma determinada unidade de tempo. definida como o inverso do perodo, Tf1= , (1.2) normalmente medida em ciclos por segundo (Hertz - Hz). Uma outra unidade de freqncia bastante comum emengenhariamecnicaaRPM(rotaesporminuto)ouCPM(ciclosporminuto),freqentemente utilizada para medir velocidade de rotao em sistemas rotativos. Freqncia angular - - a velocidade angular com que um vetor de amplitude A gira (Fig. 1.9), de forma que suas projees horizontal e vertical so movimentos harmnicos. Relaciona-se com a freqncia f por = 2 f , (1.3) Mecnica das Vibraes - Captulo 1 - Introduo 9 umavezqueumperododeoscilaocorrespondeaumavoltacompletadovetoroqueequivaleaum ngulo de 2 rad. , portanto, medida em rad/seg. AA sen tA cos tt Figura 1.9 Vetor girante e freqncia angular. ngulodefase--onguloinicialdoargumentodafunosenoidalquedescreveomovimento harmnico.Devesernormalmenterepresentadoemradianos.Ongulodefasecomeaasetornar importantequandosecomparadoismovimentosharmnicosnocoincidentesnotempo.Aoseestabelecer um movimento como bsico, uma escolha adequada do incio da observao do movimento far com que o ngulo de fase represente o quanto um movimento est adiantado ou atrasado em relao ao outro. O ngulo defasenormalmentemedidoemradianos(outraunidadequepermiteamediodengulotambm possvel). tx(t)v(t)a(t) Figura 1.10 Deslocamento, velocidade e acelerao. A velocidade e a acelerao com que se movimenta verticalmente a haste do mecanismo de Scotch Yoke (Fig. 1.8) so obtidos derivando-se a expresso 1.1a, chegando-se a t A x v cos = =& (1.4a) t A x a sen2 = =& &(1.4b) AFig.1.10mostraumarepresentaodastrsvariveisquedescrevemomovimentoverticaldahastedo mecanismo da fig. 1.8. Decibel Aunidadetcnicadecibelutilizadaparaexpressarvaloresrelativosdaamplitudedodeslocamento,da velocidade e da acelerao. definida como dB = 20 log10 (z/z0), onde z a quantidade em considerao e z0 um valor de referncia para a mesma quantidade. Alguns valores de referncia em uso so v0 = 10-8 m/s para a velocidade e a0 = 9,81 x 10-6 m/s2 para a acelerao e p0 = 2 x 10-5 N/m2 para presso acstica, I0 = 10-12 W/m2 para intensidade acstica e W0 = 10-12 W para potncia acstica. Estes ltimos valores correspondem aos limiares de percepo do ouvido humano. Mecnica das Vibraes - Captulo 1 - Introduo 10O significado do decibel exemplificado observando alguns valores:20 dB==>a quantidade medida igual a 10 vezes o valor de referncia 40 dB==>a quantidade medida igual a 100 vezes o valor de referncia 60 dB==>a quantidade medida igual a 1000 vezes o valor de referncia Oitava amedidarelativageralmenteutilizadapara a freqncia: se duas freqncias possuem a relao 2:1 se diz que esto separadas por uma oitava.Valor rms Umamedidadevibraomuitoutilizadaovalorrms(rootmeansquare=valormdioquadrtico). definido por( )=Trmsdt t xTX02 21 Para funes harmnicast A x sen = ,A A Xrms707 , 022= = . Ovalorrmsveioaserutilizadoporqueosinstrumentosquemedemvibraesconvertemomovimento vibratriox(t)emumsinaleltricoV(t)=cx(t)medindoasuapotnciaquedadapor ( ) ( )2 2022021rmsT TX c dt t xTcdt t VT= = . 1.4.1 - Representaes Vetorial e Complexa AmaniveladomecanismodeScotchYoke,pode serinterpretada como um vetor de mdulo Acuja direo mudaconstantementesegundoongulot.Asprojeeshorizontaleverticaldovetorsomovimentosharmnicos (Fig. 1.9), dados port A x cos = (1.5a) t A y sen = (1.5b) Sexeysomovimentosharmnicos,entosuasderivadastambmseromovimentosharmnicos,dados pelas expresses t A x sen = &(1.6a) t A x cos2 = & &(1.6b) t A y cos = &(1.6c) t A y sen2 = & &(1.6d) A mesma representao vetorial pode ser expressa na forma de nmeros complexos. O plano complexo ento utilizadoparadescreveromovimento.NomesmomovimentorepresentadonaFig.1.9ovetorgiranterepresentado por um fasor, que uma quantidade complexa, com os eixos x e y sendo substitudos pelos eixos real e imaginrio. O fasor que representa o movimento expresso por [ ] t i t A Aet i sen cos + = = Xr (1.7a) [ ] t t i A i Ae it i sen cos = = = X Xr&r(1.7b) [ ] t i t A Aet i sen cos2 2+ = = =2- X Xr& &r(1.7c) onde as componentes real e imaginria so movimentos harmnicos na forma de seno e cosseno. AFig.1.11ilustraoresultadodasexpresses(1.7).Observa-sequeovetorvelocidadeortogonalaovetor deslocamentoeseumduloiguala A,ouseja,aamplitudedavelocidadedeummovimentoharmnicoigual amplitude do deslocamento multiplicada pela freqncia angular. Pelas expresses 1.7 pode-se observar tambm que se os deslocamentos representam movimentos harmnicos, ento a velocidade e a acelerao tambm so harmnicos. O mdulo da acelerao 2A e a mesma est em oposio de fase em relao ao deslocamento. Asrepresentaesvetoriais,sejanaformapadroouna complexa, podem ser extremamente teis quando se operaalgebricamentecomosmovimentosharmnicos.Umdoscasosemqueistoutilizadonofenmenodo batimento, que um tpico caso de soma de movimentos harmnicos. Mecnica das Vibraes - Captulo 1 - Introduo 11 ImRe/2/2r r&X i X =rXr r&&X X = 2 t Figura 1.11 - Representao complexa de deslocamento, velocidade e acelerao. 1.5 Pndulo Simples Opndulosimples,oupndulomatemtico,constitui-senoexemplomaissimplesdeumsistemafsicoque exibe movimento harmnico quando oscila com pequenas amplitudes (at 30). formado por uma massa m, ligada extremidadedeumahastedecomprimentoldemassadesprezvel,que,emsuaoutraextremidadevincula-seauma articulaodeformaqueseumovimentoumaoscilaonoplanovertical.AFig.1.12amostraomodelodeum pndulosimples.AFig.1.12bapresentaumexemplodeumguindastecomumacargapenduradaquepodeser considerado como um pndulo simples quando se estuda o movimento da carga. Em um determinado instante de tempo t, a haste forma um ngulo com a vertical. As foras que atuam sobre a massa m so o seu peso W e a tenso na haste TcomoilustraaFig.1.12c.Amassaapresentaumaaceleraocomcomponentesradialaretangencialateahaste possui uma velocidade angular t e uma acelerao angular 22t . Figura 1.12 Pndulo simples. AplicandoaLeideEuler(SegundaLeideNewtonparamovimentoderotao)paraoconjuntodeforas mostrado no diagrama de corpo livre da Fig. 1.12c, na forma da soma de momentos em relao articulao, obtm-se a seguinte relao & & & &2sen ml J mgl = = dividindo tudo por ml2 e arrumando os termos chega-se conhecida equao do pndulo simples 0 sen = + lg& &(1.8) Mecnica das Vibraes - Captulo 1 - Introduo 12Para pequenas oscilaes pode-se linearizar a equao (1.8) fazendo sen .Assumindo-sequea amplitude pequena, a equao (1.8) pode ser escrita na forma 02= + & & (1.9) onde2 =g/l.Estaumaequaodiferencial,ordinria,desegundaordem,decoeficientesconstantes,homognea, cuja soluo uma funo harmnica como ( ) t sen c t c t 2 1cos + =(1.10) ondec1ec2soconstantesqueserodeterminadaspelascondiesiniciaisdomovimento.Opndulo,portanto, executa uma oscilao harmnica com freqncia angular (ou circular) constante lg= . O perodo das pequenas oscilaesdopndulo glT 22= = nodependendodaamplitude,sendoestapropriedadechamadade isocronismo. Observa-se tambm que o perodo de oscilao no depende da massa do pndulo. Mecnica das Vibraes - Captulo 2 - Vibraes Livres de Sistemas de Um Grau de Liberdade 13UNIDADE 2 - VIBRAES LIVRES DE SISTEMAS DE UM GRAU DE LIBERDADE 2.1 - Introduo A noo de vibrao comea com a idia do equilbrio. Um sistema est em equilbrio quando a resultante de todasasforasatuantessobreomesmonula.Qualquersistemaqueestejasobestacondiosomentesairdela quandoocorreralgumaperturbaoexterna.Aoscilaoirocorrerquando,apsaperturbaoatuar,osistema apresentaratendnciaaretornarsuaposiodeequilbrio.Aoseconcederaopnduloumnguloinicialomesmo entraremmovimentotendendoaretornarsuaposiodeequilbrioinicial.Aopassar porelaomovimentonose interrompe porque a massa do pndulo adquiriu energia cintica. Enquanto esta energia permanecer presente no sistema o movimento oscilatrio continuar. Se, entretanto, a energia inicial concedida for muito elevada, o pndulo entrar em movimento rotativo. Situao semelhante ocorre com uma bola rolando dentro de uma superfcie circular. Uma balana, com dois pesos iguais, apresentar comportamento equivalente (Fig. 2.1). Figura 2.1 Equilbrio nos sistemas fsicos. Oestudodesistemasvibratriosdevecomearporsistemassimplesqueapresentamcaractersticasbsicas capazes de permitir a anlise de uma srie de fenmenos presentes em sistemas mais complexos. Sistemas de um grau deliberdadesosistemasideais,capazesderepresentarumareduzidapartedossistemasreaispresentesnomundo fsico,assimmesmocomgrandesimplificao.Poroutrolado,estesmesmossistemasapresentamcaractersticasque fundamentamoentendimentodamaioriadosaspectosbsicosqueestopresentesemsistemasmaiscomplexos. Problemascomoressonncia,transmissibilidade,balanceamentoeisolamentopodemserdevidamenteestudadosem sistemas de um grau de liberdade com posterior extenso dos conceitos para problemas de ordem maior. Por outro lado estimativasdecomportamentopodemserestabelecidascomrelativafacilidadeesimplicidadematemticaquandose cria um modelo simples para um sistema complexo. Razes como estas justificam a introduo do estudo de sistemas de um grau de liberdade em cursos de vibraes em engenharia.Avibraolivre,comojfoiconceituadanoCaptulo1,ocorrequandoomovimentoresultaapenasde condies iniciais, no havendo nenhuma causa externa atuando durante o mesmo. O movimento de um pndulo um exemplo de vibrao livre. Ao ser abandonado, com uma determinada condio inicial (ngulo inicial, por exemplo), o mesmo oscilar livremente.2.2 Modelos de Anlise de Vibraes Umsistemavibratrioumsistemadinmicoparaoqualasvariveistaiscomoasexcitaes(causas, entradas,inputs)e respostas (efeitos, sadas, outputs) so dependentes do tempo. A resposta de um sistema vibratrio depende,geralmente,dascondiesiniciaisedasaesexternas.Istofazcomquesejanecessrioestabelecerum procedimento de anlise que permita o entendimento das influncias de cada um dos fatores. O procedimento geral o quecomeacomoestabelecimentodeummodelofsico,determinaodasequaesdiferenciaisquegovernamo movimento (modelo matemtico), soluo destas equaes e interpretao dos resultados. Mecnica das Vibraes - Captulo 2 - Vibraes Livres de Sistemas de Um Grau de Liberdade 142.2.1 - Modelo FsicoOpropsitodamodelagemfsicarepresentartodososaspectosimportantesexistentesnosistemaparaa determinaodasequaesmatemticasquegovernamomovimentodosistema.Omodelodeveentotraduziras caractersticas fsicas do sistema nos elementos vibratrios bsicos, como ilustra a Fig. 2.2. O modelo pode ser mais ou menos complexo, de acordo com as necessidades e com a capacidade de soluo das equaes do movimento: modelos maiscomplexos(commaiselementos)produzemummaiornmerodeequaes,cujasoluonecessitadoauxlio computacional.Outrofatorquemuitasvezesaanliseaserealizarnoexigeumrefinamentomuitoelevadosendo possvel conseguir boas interpretaes em sistemas razoavelmente simples.FundaoPunoMatrizEstruturaSoloSoloMassa da FundaoMassa da Matriz(a)(b)Amortecimentodo SoloRigidezdo SoloRigidez doElementoElsticoAmortecimentodo ElementoElsticoFora doPunoElementoElstico Figura 2.2 - Modelo de uma prensa. Os elementos que compem um sistema vibratrio so de trs tipos, relacionando foras com deslocamentos, velocidades e aceleraes, respectivamente. 2.2.1.1 - Elemento Mola Oelementoresponsvelporrelacionarforascomdeslocamentosrepresentado,nossistemasvibratrios, pela mola, como mostra a Fig. 2.3a. Assume-se que a mola no possui massa, de forma que uma fora Fm atuando em umaextremidadedeveserequilibradaporoutraforadeigualmagnitudemasdesentidocontrrio,atuandonaoutra extremidade. Pela atuao da fora Fm, a mola se alonga (ou se contrai, se as foras atuarem com sentidos contrrios). Estadeformaoigualdiferenaentreosdeslocamentosx2ex1.AFig.2.3bmostraumacurvafora/deformao tpicadeumamolacomum.Estacurvanolinear.Entretanto,parapequenasdeformaes,pode-seconsiderarque existe uma proporcionalidade entre a fora e a deformao, sendo k a constante de proporcionalidade, conhecida como constante de mola ou rigidez. As unidades de k no Sistema Internacional (SI), so newton por metro (N/m). Fm uma fora elstica, conhecida como fora de restaurao, porque uma mola alongada ou comprimida tende sempre retornar sua posio no deformada.Mecnica das Vibraes - Captulo 2 - Vibraes Livres de Sistemas de Um Grau de Liberdade 15Faixa linearFmx2 - x1(b)FmFmx2(a)x1

Figura 2.3 - Elemento mola. A relao entre fora e deslocamento expressa por ( ) F k x xm = 2 1(2.1) O elemento mola representa a capacidade que o sistema fsico tem em armazenar energia. Esta capacidade , muitas vezes, expressa pela elasticidade presente. Em analogia com um sistema eltrico, a mola pode ser comparada a umcapacitorsendooelementoquearmazenaenergianaformadeenergiapotencialemumdeterminadoinstantedo movimento e depois a devolve para que o sistema vibratrio a transforme em energia cintica ou a dissipe. A energia potencial armazenada pela mola dada por U kx =122(2.2) Associao de molas em paralelo Asmolaspodemserassociadasdevriasformas.Asassociaesemparaleloeemsrie,mostradasnaFig. 2.4a e 2.4b, respectivamente, so as mais comuns.FmFmx1x2k2k1(a)FmFmx1x2k2k1x0(b) Figura 2.4 - Associao de molas Para as molas em paralelo (Fig. 2.4a) a fora atuante na mola se divide em duas, de forma que F F Fm m m= +1 2 (2.3) Cada uma das molas est submetida relao ( )( )F k x xF k x xmm121 2 12 2 1= = (2.4) Uma mola equivalente ao conjunto das duas molas deve possuir uma constante de forma que ( ) F k x xm eq= 2 1 (2.5) Introduzindo (2.4) em (2.3) e considerando (2.5) chega-se aMecnica das Vibraes - Captulo 2 - Vibraes Livres de Sistemas de Um Grau de Liberdade 16k k keq= +1 2(2.6) Generalizando, para um conjunto de n molas associadas em paralelo k keq iin==1(2.7)Associao de molas em srie Observando a Fig. 2.4b, as seguintes relaes podem ser escritas para molas em srie: ( ) ( ) F k x x k x xm = = 1 0 1 2 2 0(2.8) que podem ser escritas na forma x xFkx xFkm m0 112 02 = = e(2.9) Como para uma mola nica vale a expresso (2.5), tem-se que ( ) ( )Fkx x x x x xFkFkmeqm m= = + = +2 1 2 0 0 12 1 o que conduz akk keq=+11 11 2 (2.10) Para um conjunto de n molas associadas em sriekkeqi in==111(2.11) Sistemas elsticos Um elemento elstico pode ser deformado em vrias direes. Cada relao entre uma fora em uma direo e umadeformaonamesmaouemoutradireoproduzumadiferenteconstantedemola.Aequao(2.12)pode, portanto se apresentar na forma mais geral j ij ix k F=(2.12) ondeiejpodemindicar,porexemplo,translaeserotaesaolongoouemtornodetrseixosdeumsistemade coordenadas cartesianas. Portanto, i e j podem assumir seis valores diferentes. Genericamente existiro 6x6 coeficientes independenteskij,relacionadoscomumapossvelaplicaodoesforo(foraoumomento)eadireodo deslocamento produzido. Figura 2.5 Definio de constantes de mola para a viga engastada. Considere-se,porexemplo,avigaengastadadaFig.2.5,comosistema de coordenadasxyz, como indicado. Se a viga possui uma seo transversal circular de dimetro d, rea A e momentos de inrcia Ix, Iy, Iz, comprimento L, mdulo de elasticidade E, mdulo de elasticidade transversal G, e se u, v, w, so as deflexes e , , as rotaes da sua extremidade livre com relao ao sistema de coordenadas xyz, da Resistncia dos Materiais, se tem Mecnica das Vibraes - Captulo 2 - Vibraes Livres de Sistemas de Um Grau de Liberdade 17 3 33 33,33,3,LEIkLw EIFLEIkLu EIFLEAkLEAvFxwwxwzvvzuvv v= == == =(2.13a) LEIkLEIMLEIkLEIMLGIkLGIMx xz zy y= == == = ,,,(2.13b) ondeIx = Iz = d4/64 e Iy = d4/32, para uma seo circular. Sistemas com um grau de liberdade possuem i = j = 1 e o sufixo da constante k omitido.Exemplo2.1 - Um tambor, com um cabo de ao, montado na extremidade de uma viga em balano como mostra a Fig. 2.6(a). Determinar a constante de mola equivalente do sistema quando o comprimento suspenso do cabo l. So conhecidos o comprimento da viga b, sua largura a e sua espessura t. Assumir que o dimetro do cabo d e os mdulos de elasticidade da viga e do cabo so iguais a E.Soluo: A constante de mola da viga em balano dada por (2.13a) kEIbEatbEatbb = =|\

|.|=3312433333(a) A rigidez do cabo submetido a carregamento axial kEAlEdlE dlr= =|\

|.|=2244(b) A viga em balano e o cabo podem ser considerados como molas combinadas em srie, cuja constante de mola equivalente dada pela equao (2.10) kk kbEatlE dE d atd b lateqb r=+=+=+|\

|.|11 114 4 433 22 32 3 3(c) Exemplo 2.2 - A lana AB do guindaste mostrado na Fig. 2.7 uma barra de ao uniforme de comprimento 10 m e rea da seo transversal 2,5 x 10-3 m2. A massa de 1000 kg, suspensa pelo guindaste est parada. O cabo CDEBF de ao e temreadaseotransversalde0,1x10-3m2.DesprezandooefeitodosegmentodocaboCDEB,determinara constante de mola equivalente do sistema na direo vertical. O mdulo de elasticidade do ao 2,07 x 1011 N/m2. Soluo:AFig.2.7bmostraacombinaodemolas,assumindoquetantoalanaquantoocaboestosubmetidos exclusivamenteacarregamentoaxial,oquevlidoumavezquealanaarticuladanabasedoguindasteeocabo trabalhasobtrao.Comonoestevidenteaassociaodasmolasemsrieouemparalelo,deve-seusara equivalncia de energia potencial para determinar a constante de mola equivalente.UmdeslocamentoverticalxdopontoBcausarumadeformaox2=xcos45onalana(constantek2).O cabo se deformar x1 = x cos(90o-). Pela Lei dos Cossenos, o comprimento do cabo FB, l1 obtido por ( )2 2 22 222221m 151 135 cos 10 3 2 10 3 angulo cos 2 = + = + = l FA l FA l FA l(a) A mesma Lei dos Cossenos, aplicada para determinar o ngulo resultar em (b) Mecnica das Vibraes - Captulo 2 - Vibraes Livres de Sistemas de Um Grau de Liberdade 18tbdWlaW(a)(b)WkeqWkbkr(c) Figura 2.6 - Sistema de elevao. = 35,061 l1 = 12,306 m A energia potencial total U armazenada nas molas obtida por ( )| |( )( ) ( )U k x k x k x k xU k k x= + = + = +|\

|.||

(((1212129012451290221 122 22122212222cos coscos (c) onde kE Al11 1111 362 07 10 0 1 1012 3061 682 10 = = = , ,,,Nm (d) e kE Al22 2211 362 07 10 2 5 101051 750 10 = = = , ,,Nm(e) Comoamolaequivalentenadireoverticalsofreumadeformaox,aenergiapotencialdestamola equivalente dada por U k xeq eq=122(f) Fazendo U = Ueq, das expresses (c) e (f), utilizando os resultados de (d) e (e), obtm-se a constante de mola equivalente como ( ) ( ) ( ) ( )k k kkeqeq= + |\

|.| = + = cos cos , , ,,902290 35 061 1 682 101251 750 1026 430 10212226 66Nm Mecnica das Vibraes - Captulo 2 - Vibraes Livres de Sistemas de Um Grau de Liberdade 191000 kg1,5 m 1,5 m45o10 mAFBE DC1000 kg45ol2 = 10 m, k2A FBl2, k1x3 m(a) (b)keq1000 kg(c) Figura 2.7 - Guindaste com carga. 2.2.1.2 - Elemento amortecedor Oelementoquerelacionaforascomvelocidadesconhecidogenericamentecomoamortecedor.O amortecedor constitudo por um pisto montado com folga dentro de um cilindro cheio de um lquido viscoso (leo, gua,etc.),deformaqueofluidopossapassaratravsdopisto.AFig.2.8aapresentaumesquemadesteelemento. Assume-setambmqueoamortecedornopossuimassa,deformaqueaforaFd,aplicadaemumadesuas extremidadespossaserbalanceadaporumaoutraforademesmamagnitudeesentidocontrrio,aplicadanaoutra extremidade.SeestasforasFd,causamumcisalhamentosuavenofluidoviscoso,acurvaFdversus& & x x2 1 ser aproximadamente linear, como mostra a Fig. 2.8b. A constante de proporcionalidade c, que a inclinao da curva, chamada de coeficiente de amortecimento viscoso. As unidades de c no SI so newton-segundo por metro (N.s/m). Fdv2 - v1(b)FdFdv1v2(a) Figura 2.8 - Elemento amortecedor. A relao entre fora e velocidade ento, expressa por ( ) F c v vd= 2 1(2.14) Oamortecedortemcomofunofsicaemumsistemavibratrio,representaracapacidadequeosistema possui de dissipar energia. 2.2.1.3 - Elemento massa Oelementoquerelacionaforascomaceleraesoquerepresentaainrciadosistema,sendoconhecido comomassa.DeacordocomoqueestabeleceaSegundaLeidoMovimentodeNewton,aforaFi proporcional aceleraoaquandomedidosnomesmoreferencialeaconstantedeproporcionalidadem(Fig.2.9).Aunidadede massa bsica no SI: kilograma (kg).Mecnica das Vibraes - Captulo 2 - Vibraes Livres de Sistemas de Um Grau de Liberdade 20Fia(b)Fi(a)ma

Figura 2.9 - Elemento massa. Oelementomassaaquelequerepresentaacapacidadefsicadosistemaemarmazenarenergiacintica.A vibrao o fenmeno fsico que ocorre com a troca sistemtica de energias cintica e potencial entre a massa e mola. Neste processo o amortecimento responde pela energia que dissipada. Exemplo 2.3 - Um mecanismo came-seguidor, mostrado na Fig. 2.10, utilizado para converter movimento de rotao de um eixo no movimento alternativo de uma vlvula. O sistema consiste de uma haste de massa mp, um balancim de massa mr e momento de inrcia Jr em relao ao seu centro de gravidade C.G., uma vlvula de massa mv, e uma mola de massadesprezvel.Determinaramassaequivalentemeqdestesistemacame-seguidorassumindoalocalizaodemeq como (a) ponto A, (b) ponto B. O deslocamento linear da haste xp e da vlvula xv.Soluo: Devido ao deslocamento vertical da haste, xp, o balancim gira um ngulorpxl=1em relao ao ponto de pivotamento,avlvulasemoveparabaixox lx llv rp= = 221eoC.G.dobalancimsemoveparabaixox lx llr rp= = 331. A energia cintica do sistema igual soma das energias cinticas de cada elemento T m x m x m x Jp p v v r r r r= + + +121212122 2 2 2& & && (a) onde& xp, & xre& xvsoasvelocidadeslinearesdahaste,C.G.dobalancimedavlvula,respectivamente,e &ra velocidade angular do balancim. (a) Se meq a massa equivalente do sistema, localizada no ponto A, com& & x xeq p= , a energia cintica total do sistema equivalente Teq dada por 2 22121p eq eq eq eqx m x m T & & = =(b) Como & & , &&, &&,&&x x xx llxx llxlp eq veqreqreq= = = =2131 1e (c) igualando as expresses (a) e (b) resultam mJlmllmlleq prv r= + + +1222123212 (d) (b) Da mesma forma, se a massa equivalente est localizada no ponto B,& & x xeq v= , e a expresso (b) se transforma emT m xeq eq v=122& (e) e igualando (a) com (e) resulta Mecnica das Vibraes - Captulo 2 - Vibraes Livres de Sistemas de Um Grau de Liberdade 21m mJlmllmlleq vrp r= + + +2212223222 (f) CameEixoSeguidor derolamentoHasteBalancimMola daVlvulaVlvulal3l1l2G OABxpxrxvr Figura 2.10 - Sistema came-seguidor Exemplo 2.4 - Determinar a massa efetiva de uma mola de massa total ms. kdyylxm Figura 2.11 - Massa efetiva da mola. Soluo:Sendo& x avelocidadedamassaconcentradam,avelocidadedeumelementodamola,localizadoauma distnciaydesuaextremidadefixa,variacomy.Supondoqueestavariaolinear,amesmapodeserexpressana forma & & y xyl= (a) Se a massa de um elemento de comprimento dy dmmldyx= , a energia cintica total da mola pode ser obtida por integrao Mecnica das Vibraes - Captulo 2 - Vibraes Livres de Sistemas de Um Grau de Liberdade 22T xylmldymxmolas sl=|\

|.|=1212 3220& &(b) Seaenergiacinticaequivalentedadapelaexpresso(b)doexemplo2.3,e& & x xeq= ,comparandocoma expresso (b) deste exemplo, a massa efetiva (ou equivalente) da mola mmeffs=3 (c) Muitasvezes,quandoexistemmolasdemassaconsidervelnosistemamecnicoestudado,utiliza-sea expresso (c) para incluir o efeito da massa da mola. 2.2.2 - Modelo Matemtico Apartirdoestabelecimentodomodelofsico,soutilizadososprincpiosdadinmicaparadeterminaras equaesdiferenciaisdomovimento.Estassogeralmentenaformadeumconjuntodeequaesdiferenciais ordinriasparasistemasdiscretoseequaesdiferenciaisparciaisparasistemascontnuos.Asequaespodemser lineares ou no lineares, dependendo do comportamento dos componentes do sistema. Entre os mtodos utilizados para determinarasequaesdomovimento,osmaisfreqentementeencontradossoa2aLeideNewton,oPrincpiode dAlembert e as Equaes de Lagrange (Princpio da Conservao da Energia).Dependendo da natureza do problema, uma determinada tcnica dever ser usada para resolver as equaes do movimento. As tcnicas mais freqentemente utilizadas so as seguintes: mtodos de soluo de equaes diferenciais, mtodo da Transformada de Laplace, mtodos matriciais e mtodos numricos.Asoluodasequaesdomovimentoapresentaosdeslocamentos,velocidadeseaceleraesdasvrias massas do sistema. Estes resultados devem ser interpretados segundo o propsito da anlise que est sendo realizada e aspossveisimplicaesdosresultados.nestaetapaqueseinclui,porexemplo,odiagnsticodevibraesem mquinasouequipamentosindustriais.Acomparaoentreascaractersticasdasvibraesmedidascomassolues dasequaesdiferenciaispermiteimportantesconclusessobreascausasdasvibraes.Nestaetapaautilizaodas Transformadas de Fourier fundamental para a identificao de caractersticas nas vibraes medidas. 2.3 - Vibraes livres de sistemas no amortecidos 2.3.1 Equaes de movimento AFig.2.12amostraummodelosimplesdeumsistemadeumgraudeliberdadesemamortecimento,o conhecido sistema massa-mola.AplicandoaSegundaLeideNewton,pode-seconstruirodiagramadecorpolivredamassam,mostradona Fig. 2.12b. A equao do movimento ento ( ) mx k x mgest&& = + + pelacondiodeequilbrioestticoquandoomovimentonoexiste,sabe-sequemg kest= ,podendo-seescrevera equao diferencial do movimento em sua forma conhecida mx kx && + = 0(2.15) AmesmaequaopodeserobtidautilizandooPrincpiodaConservaodaEnergia.Comoosistemano possui amortecimento, toda a energia concedida inicialmente permanece invarivel durante o tempo em que acontece o movimento.IstoexpressoporT+U=E=constanteondeTaenergiacinticaeUaenergiapotencial associadas ao movimento. A conseqncia matemtica da conservao da energia ( )dEdtddtT U = + = 0(2.16) A energia cintica armazenada pela massa, dependendo da velocidade, sendo dada porT mx =122& , enquanto que a energia potencial armazenada pela mola, na forma de deformao, sendoU kx =122. Introduzindo estes termos na equao 2.16 tem-se ( )ddtT Uddtmx kx mxx kxx + = +|\

|.| = + =121202 2& &&& &resultando na mesma equao 2.15.Mecnica das Vibraes - Captulo 2 - Vibraes Livres de Sistemas de Um Grau de Liberdade 23posio deequilbrio estticoposio finalxmg + kx(b)mk(st + x)mg(c)stxkxEnergiaPotencialPosio de equilbrioestticoFora demolaO(d)mkL0 + st(a)mkstmg Figura 2.12 - Sistema massa-mola em posio vertical Aequao2.15umaequaodiferencialordinria,desegundaordem(derivadademaiorordem),linear (todos os termos esto linearmente relacionados com x e suas derivadas), de coeficientes constantes (m e k no variam com o tempo) e homognea ( o termo independente igual a 0). A soluo desta equao dada por ( ) x t A t A tn n= +1 2sen cos (2.17) onde A1 e A2 so constantes de integrao. Derivando duas vezes (2.17) e substituindo em (2.15) encontra-se ( ) 0 ) cos sen (2 12= + t A t A m kn n n (2.18) Para que a equao (2.18) seja satisfeita, necessrio que( )k mkmn n = = 2 20 ou(2.19) Asoluo(2.17)temasmesmascaractersticas daquela obtida em Resistncia dos Materiais, para a equao da linha elstica. L o problema espacial (varivel independente a posio) conhecido como problema do contorno,easconstantesA1eA2soobtidasatravsdeequaesauxiliaresgeradaspelascondiesdecontornoassociadas ao problema em estudo. No caso presente o problema se apresenta no domnio do tempo e conhecido como problema do valorinicialeasconstantesA1eA2dependemdascondiesiniciaisdomovimento.Seosvaloresiniciaisdo deslocamentoedavelocidade(querepresentamaenergiatotalintroduzidaparageraromovimentolivre),so conhecidos e dados por x0 e v0 tem-se( )( )x t x Ax t v An= = == = =000 10 2& de forma que a soluo da equao diferencial do movimento se torna ( ) x t x tvtnnn= +00cos sen (2.20) Omovimentorepresentadoem(2.20)ummovimentoharmnicodefreqnciaigualan.Estaa freqnciacomqueosistemaoscilaquandoestlivresemamortecimento.Porestemotivochamadadefreqncia naturaldeoscilao.Estafreqncianaturaltermuitaimportnciaquandoseestudaravibraoforadasendoela uma das caractersticas mais importantes de um sistema do ponto de vista dinmico. Tratando-sedeumaoscilaoharmnica,importanterepresentaraexpresso(2.20)emumaformamais simples, contendo um seno ou coseno apenas. Com o auxlio de relaes trigonomtricas (2.20) pode ser escrita como Mecnica das Vibraes - Captulo 2 - Vibraes Livres de Sistemas de Um Grau de Liberdade 24()( ) x t X tn= +0cos (2.21) ondeX xvvxnn0 020200= +|\

|.||\

|.|e=tan-1 XOT t Figura 2.13 - Vibrao livre sem amortecimento (movimento harmnico) Exemplo 2.5 - Encontrar a freqncia natural de vibrao na direo vertical do sistema de elevao mostrado na Fig. 2.6a Soluo:Osistemadeelevaopodeseridealizadocomoumsistemadeumgraudeliberdadecomduasmolas associadas em srie (viga em balano e corda, so os elementos elsticos), cuja rigidez equivalente dada por kk kk keqb rb r=+(a) onde kb a rigidez da viga em balano sob flexo e kr a rigidez do cabo de ao sob trao. kEIbEbat EatbkEAlEld E dlbr= =|\

|.| == =|\

|.| =3 312 44 43 33 332 2 e resultando em uma rigidez equivalente kE d atd b lateq =+|\

|.|42 32 3 3 e a freqncia natural dada por neq eqkmk gPEgPd atd b lat= = =+|\

|.|42 32 3 3(b) Exemplo 2.6 - Determinar a freqncia natural do sistema de polias mostrado na Fig. 2.14. Assumir que no h atrito entre cabo e polias e as massas das polias e do cabo so desprezveis. Mecnica das Vibraes - Captulo 2 - Vibraes Livres de Sistemas de Um Grau de Liberdade 25Polia 1Polia 2mxk1k2 Figura 2.14 - Sistema de elevao com polias. Soluo:Idealizandonovamenteosistemacomoumsistemadeumgraudeliberdade,afreqncianaturaltambm podeserobtidausandooconceitoderigidezequivalente.Comonohatritoentrepoliasecaboeaspoliasno possuemmassa,atensonacordaconstanteeigualaopesoPdamassam.Entoaforaqueatuanapolia1, puxando-aparacima2P,eaforaqueatuanapolia2,puxando-aparabaixotambm2P.Ocentrodapolia1se desloca 2P/k1para cima, e o centro da polia 2 se desloca 2P/k2, para baixo. O deslocamento total da massa m 22 21 2PkPk+|\

|.| Aconstantedemolaequivalentedosistemaobtida considerandopeso da massaconstante de mola equivalentedeslocamento da massa = , portanto ( )( )PkPk kP k kk kk kk keq= +|\

|.| =+=+41 1441 21 21 21 21 2ekeq Se a equao do movimento da massa escrita como mx k xeq&& + = 0 ento a freqncia natural dada por ( ) ( ) neqnnkmk km k kfk km k k= =+= =+1 21 21 21 24 214 rad / segou Hz (ciclos / seg)Exemplo2.7Umrolocompactadordesoloconsistedeumcilindrodemassameraior,queestconectadoaum trator por uma mola de constante k como mostra a Fig. 2.15. Encontrar a equao diferencial do movimento. Assumir que o rolo est livre para rolar sobre a superfcie horizontal, sem deslizamento. Soluo: Aplicando a 2 Lei de Newton ao movimento do cilindro, usando como coordenada o movimento do centro de massa do mesmo, F mx =&&(a) Mecnica das Vibraes - Captulo 2 - Vibraes Livres de Sistemas de Um Grau de Liberdade 26ou fmx kx F = + && (b) onde Ff a fora de atrito, ainda desconhecida. Figura 2.15 Rolo compactador de solo.Usando a equao, OM J = O fJ F r = && (c) ou 212fxmr F rr| || | = | |\ .\ .&&(d) e, portando, 12fF mx = && . Substitui-se esta expresso para Ff na equao das foras para obter 12mx kx mx = && &&(e) ou302mx kx + = && (f) 2.3.2 - Mtodo da energia de Rayleigh Conformefoiditonocaptulointrodutrio,umadasmaisimportantescontribuiesdeLordRayleighno campodasvibraesfoiomtodoapresentadoparadeterminaodafreqncianaturaldosistemadeumgraude liberdade. Mais tarde Ritz estendeu o mtodo para determinao da primeira freqncia natural de um sistema de mais de um grau de liberdade. O Mtodo de Rayleigh se fundamenta no Princpio da Conservao da Energia, se aplicando, portanto,apenasasistemasconservativos(semamortecimento).ComoaenergiatotalEconstante,asomadas energias cintica e potencial em dois instantes de tempo quaisquer so iguais T1 + U1 = T2 + U2 = E(2.22) onde T1 e U1 so as energias cintica e potencial no tempo 1 e T2 e U2 so as energias cintica e potencial no tempo 2.Estabelecendo-seaposiodeequilbrioestticocomoaposioreferencialdeenergiapotencial(aenergia potencialdependedoreferencial,quepodeserescolhidoarbitrariamente)eotempo1forotempoemqueosistema passaporestaposio,entoU1=0e,comoaenergiatotalconstanteeigualsomadasenergiascinticae potencial,aenergiacinticanestetempodevesermxima,ouT1=Tmax.Poroutrolado,aoseescolherotempo2 comootempoemqueosistemaatingeseumximodeslocamento,istoproduzumaenergiapotencialmximaU2= Umaxe,comoomovimentooscilatrio,avelocidadenestemesmotemponulaeT2=0.Utilizandoaexpresso (2.22), isto se traduz em Tmax=Umax

(2.23) que a expresso fundamental do Mtodo de Rayleigh. Exemplo 2.8 Resolver o problema do exemplo 2.7 utilizando o Mtodo de Energia.Soluo: Energia cintica do movimento de translao do centro de massa do rolo 212tT mx = &(a) Mecnica das Vibraes - Captulo 2 - Vibraes Livres de Sistemas de Um Grau de Liberdade 27Energia cinetica do movimento de rotao do rolo 212r OT J =&(b) onde o momento de inrcia do rolo 212OJ mr =(c) Pela condio de rolamento sem deslizamentoou r x r x = =&& (d) de forma que a energia cintica total 22 2 21 1 1 32 2 2 4xT mx mr mxr| || | | |= + = | ||\ .\ . \ .&& & (e) A energia potencial se concentra na mola, sendo 212U kx = (f) Aplicando o Princpio da Conservao da Energia ( ) 023= |.|

\|+ = + kx x m U Tdtd& &(g) Simplificando, chega-se equao 302mx kx + = &&(h)que idntica eq. (f) do Exemplo 2.7. Exemplo 2.9 Estruturas compostas. Determinar a freqncia natural da vibrao vertical de uma massa ligada a uma estrutura flexvel como mostrado na Fig. 2.16.Soluo:AestruturadaFig.2.16consideradacomoduasmolasassociadasemsrie.OmodelomostradonaFig. 2.16a. Para uma viba bi-apoiadaa constante de mola para a deflexo lateral no meio 348EIkL= (a) Passo 1: O sistema possui um grau de liberdade. Seleciona-se a coordenada x. Passo2:Assume-sequeamassadeslocadax.AsforasaplicadassomostradasnaFig.2.16d.Fainda desconhecida. A compatibilidade dos deslocamentos exige que 1 212 1 2 31 2 31 212 3 31 2 3 1 2 32 2, , ,21 1 12 4 4 4 4F FFk k kF F Fx Fk k k k k k += = = =| | += + = + = + + = + + |\ .(b) Ento 1 2 31 4 1 4 1xFk k k=+ +(c) Passo 3: A 2 Lei de Newton estabelece 1 2 31 2 31 4 1 4 1101 4 1 4 1xmx Fk k kmx xk k k= =+ ++ =+ +&&&&(d) Mecnica das Vibraes - Captulo 2 - Vibraes Livres de Sistemas de Um Grau de Liberdade 28 Figura 2.16 Estrutura composta. Passo 4: A freqncia natural 1 2 311 4 1 4 1nk k km+ += (e) Exemplo 2.10 Uma viga engastada, de ao, com comprimento igual a 1 m possui uma seo transversal retangular de 0,01x0,12m2.Umamassade100kganexadasuaextremidadelivrecomomostraaFig.2.17.Determinara freqncia natural do sistema para vibrao vertical. Figura 2.17 Viga engastada. Soluo: Assume-se que a massa da viga pequena. mviga = 7800 x 1 x 0,01 x 0,12 = 9,36 kg, mas se sabe que a sua massaefetivacercade1/3destevalor,3,12kg,oquerepresenta3,12%damassacolocadanaextremidade.A deflexo na extremidade livre da viga engastada, devida a uma fora lateral P ali aplicada = PL3/3EI. Portanto, para pequenas oscilaes, a constante de mola k = P/ = 3EI/L3. O momento de inrcia da viga I = bh3/12 = 0,12 x 0,013/12 =10-8 m4, e o mdulo de elasticidade do ao E = 2,1 x 1011 N/m2. Portanto, k = 3 x 2,1 x 1011 x 10-8/13 = 6300 N/m. A equao do movimento livre no amortecido 0 mx kx + = &&(a) Se a massa da viga no for considerada a freqncia natural ser 63007, 94 rad/s100nkm = = = (b) Se a massa efetiva da viga (1/3) for acrescida, a freqncia natural torna-se rad/s 82 , 712 , 3 1006300=+= =eqnmk (c) A diferena de 0,12 rad/s equivale a 1,51 % da freqncia natural, correspondendo a uma diferena de 9,36 % na massa total. Isto demonstra a importncia em se considerar a massa efetiva da mola.Mecnica das Vibraes - Captulo 2 - Vibraes Livres de Sistemas de Um Grau de Liberdade 29Exemplo2.11AcordamostradanaFigura2.18estsobumatensoT,quepermanececonstanteparapequenos deslocamentos.Determinarafreqncianaturaldavibraoverticaldamassamconsiderandopequenasoscilaes. Despreze os efeitos da gravidade e a massa da mola. Figura 2.18 Massa suportada por uma corda tensionada. Soluo: Assumir que a massa est deslocada x na direo vertical. A tenso na corda a fora de restaurao. Como a tenso constante, as componentes verticais da tenso sobre a massa resultam em ( ) | | a L x a x T + . Aplicando a 2 Lei de Newton, a equao do movimento 0 = |.|

\|+ +a LxaxT x m& &ou ( )0 =((

+ xa L aTLx m& &(a) e ( ) a L maTLn= (b) Exemplo2.12UmcilindroslidoderaiorestimersoparcialmenteemguadestiladacomoilustraaFig.2.19. Determinarafreqncianaturaldeoscilaodocilindronadireovertical,assumindoquepermanecenaposio vertical. As densidades do cilindro e da gua so c e w. Figura 2.19 Vibrao de corpos flutuantes. Soluo:Odeslocamentoverticaldocilindromedidoapartirdesuaposiodeequilbriox.Opesodagua deslocada (empuxo) Agwx. Esta fora restauradora, de acordo com o Princpio de Arquimedes. A massa do cilindro Ahc. Da 2 Lei de Newton, a equao do movimento 0c wAhx Ag x + = &&(a) ou 0wcgx xh+ = &&(b) portanto wncgh= (c) Como parte da gua se move junto com o cilindro, a freqncia natural real ser um pouco menor. A massa de gua acrescida : Mecnica das Vibraes - Captulo 2 - Vibraes Livres de Sistemas de Um Grau de Liberdade 30 al longitudin eixo seuao larmente perpendicu se - movendo cilindro4plana superfcie larmente perpendicu se - movendoretangular forma com placa4disco3esfera122233)`L dwLL wdd Exemplo2.13 Um corpo de massa m1 est suportado por uma mola de rigidez k (Fig. 2.20). Uma massa m cai de um altura h sobre o corpo ocorrendo um impacto perfeitamente plstico. Determinar a expresso da vibrao resultante e a freqncia natural do sistema aps o impacto. equilbriomm1kx0m1hm mxgh u 2 =u0 Figura 2.20 Vibrao devida ao impacto. Soluo:Emprimeirolugardetermina-seavelocidadedamassamnomomentodoimpacto.Aseguir,utilizandoo princpiodaconservaodaquantidadedemovimento,calcula-seavelocidadedoconjuntoapsoimpacto,quea velocidade inicial do movimento das duas massas se vibrando como um corpo rgido.Quando a massa m atinge o corpo m1, possui velocidade2 u gh = . O princpio da conservao da quantidade de movimento estabelece que( )1 0mu m m u = +onde u0 a velocidade das duas massas aps o impacto. Neste instante o sistema no estar na sua posio de equilbrio esttico. Se a massa m1 for carregada com uma carga adicional mg, a posio de equilbrio esttico estaria 0mg k =abaixo da posio do impacto. Se o movimento medido a partir desta posio (impacto), as condies iniciais so 0 01, 2mg mx u ghk m m| | = = |+\ . (a) A equao do movimento similar Eq. (2.15) ( )10 m m x kx + + = && (b) com 1nkm m =+ (c) A soluo, em funo das condies iniciais, dada pela Eq. (2.20), resultando em ( )( )10 01122cos sen cos sen sen cosn n n n n nm ghm m mg gh mgx t x t u t t t m t tk k m m k km m + = + = + = ++ 2.4 - Vibrao Livre de Sistemas com Amortecimento Viscoso Oamortecimentorepresentaacapacidadedosistemaemdissiparenergia.Comomodelomaissimplesde amortecimento se apresenta o amortecimento viscoso, assim chamado por representar a fora dissipativa proporcionada Mecnica das Vibraes - Captulo 2 - Vibraes Livres de Sistemas de Um Grau de Liberdade 31porumfluidoviscoso.Estaforatemcomocaractersticaprincipalserproporcionalvelocidaderelativaentreas superfciesemmovimentoquandoexisteumfluidoseparando-as.Estaproporcionalidadegarantequeaequao diferencialdomovimentonoperdernenhumadesuascaractersticasenunciadasnaseo2.3.1.Aforade amortecimento viscoso Fa tem como expresso F cxa= &(2.24) onde c a chamada constante de amortecimento. 2.4.1 - Equao do movimento k(a)kxm m.cxcxSistema Diagrama de corpo livre(b) Figura 2.21 - Sistema de um grau de liberdade com amortecedor viscoso AFig.2.21amostraoesquemadeumsistemadeumgraudeliberdadecomamortecimento.Seaforade amortecimento for de natureza viscosa, igual expresso (2.24), o diagrama de corpo livre da Fig. 2.21b, ao se aplicar a 2 Lei de Newton,permite que se escreva a equao mx cx kx && & = que pode ser escrita na forma mx cx kx && & + + = 0(2.25) A soluo da equao (2.25) tem forma( ) x t Cest= que, introduzida na equao, resulta em ( )ms cs k Cest 20 + + =que tem soluo no trivial quando a equao caracterstica ms cs k20 + + =(2.26) for satisfeita. Isto s possvel se as razes forem sc c mkmcmcmkm1,22242 2 2= = |\

|.| (2.27) Como as duas razes satisfazem a equao diferencial (2.25), a soluo resultante ser uma combinao linear das mesmas na forma ( ) x t C e C es t s t= +1 21 2(2.28)2.4.2 - Sistemas sub-amortecido, criticamente amortecido e super-amortecido. Aformafuncionalde(2.28)dependefundamentalmentedanaturezadasrazes(2.27):complexasoureais. Para facilitar a notao, antes de estudar a influncia da natureza das razes na forma funcional, deve-se definir alguns parmetros auxiliares. Constante de Amortecimento Crtico Aconstantedeamortecimentocrticoccdefinidacomoovalordecquefazcomqueodiscriminante da expresso (2.27) se anule. Isto porque, do sinal deste discriminante que depende a natureza das razes: > 0implica Mecnica das Vibraes - Captulo 2 - Vibraes Livres de Sistemas de Um Grau de Liberdade 32em razes reais enquanto que para < 0 as razes formaro um par complexo. = 0, se apresenta como o limite entre estas duas situaes distintas. Tem-se ento cmkmc202|\

|.| =de forma que c mkmmc n= = 2 2 (2.29) Fator de Amortecimento Aconstantedeamortecimentocdumaindicaodarelaoentreaforadeamortecimentoeavelocidade relativaentreaspartesemmovimento.Ela,pormnoproporcionaumavisodaquantidadedeamortecimentoque atua sobre o sistema real, uma vez que uma fora de amortecimento pode ser grande para um sistema e pequena para outro,dependendo,fundamentalmentedasmassasenvolvidaseda rigidez. Define-se, ento o fator de amortecimento queumaquantidadeadimensionalenodependedaordemdegrandezadosparmetrosdosistema,indicando expressamente o quanto o sistema est sendo amortecido. O fator de amortecimento definido como a relao entre a constante de amortecimento do sistema e a constante de amortecimento crtica =ccc (2.30) Com o valor de cc dado na expresso (2.29) tem-se que=cmn2(2.31) Considerando quem kn=2 , com a expresso (2.31), as razes (2.27) podem ser escritas na forma ( ) ( ) sn n n n 1,222 21 = = (2.32) Introduzindo (2.32) em (2.28), chega-se a()x t C e C en nt t= + + |\

|.| |\

|.|11212 2 (2.33) A expresso (2.33) pode ser considerada como a expresso geral para o movimento vibratrio de um sistema deumgraudeliberdade.Pode-sesemostrarfacilmenteque,para =0estaexpressosetransformaem(2.17),que representa o movimento de um sistema de um grau de liberdade sem amortecimento.Aformadomovimentorepresentadopor(2.33)dependeexpressamentedosexpoentespresentes(ouda naturezadasrazes(2.32)comojfoiditoantes).Aseguirseroapresentadasaspossibilidadesdemovimentoem funo da natureza destes expoentes (reais, complexos ou nulos). E, como pode ser facilmente averiguado em (2.33), a natureza dos expoentes depende do fator de amortecimento . Caso 1: Sistema sub-amortecido - 1 Quando > 1 a constante de amortecimento c maior que a constante de amortecimento crtico cc, implicando que as razes dadas em (2.32) so reais e diferentes, a saber ( ) sn 1,221 0 = < (2.42) e a soluo da equao diferencial retorna forma dada em (2.33). Introduzindo-se as condies iniciais ( ) ( ) x t x x t v = = = = 0 00 0e& , em (2.33), determinam-se as constantes de integrao, que se tornam ( )( )Cx vCx vnnnn102022020212 112 1=+ += Omovimentosuper-amortecidotambmestmostradonaFig.2.24esepodeverquenooscilatrio.Se podecompararostrscasosdescritosacimaeconcluirquemovimentooscilatriosaconteceemsistemassub-amortecidos ( < 1). Sistemas criticamente amortecidos e super-amortecidos apresentam como caracterstica principal, ofatodequetodaaenergiavibratriainicialsedissipaantesqueocorraumciclovibratrio.Conseqncia:noh vibrao. Uma concluso que se tira da observao da Fig. 2.24 que o sistema retorna mais rapidamente posio de equilbrio quando est criticamente amortecido do que quando est super-amortecido. Portanto, quando se desejar fazer com que um sistema retorne rapidamente, sem vibrar, sua posio inicial depois de deslocado dela, se deve escolher umaquantidadedeamortecimentoquetorneosistemacriticamenteamortecido.Naprtica,comovaiservistomais adiante,valoresmenoresdoqueoamortecimentocrtico(=0.7)permitemoretornoposiodeequilbriomais rapidamente ainda, permitindo-se que ocorra apenas uma oscilao. Este valor usado em amortecedores de veculos, poisosmesmos,quandosubmetidossirregularidadesderuaseestradas,devemretornaromaisrapidamentesua posio original. Mecnica das Vibraes - Captulo 2 - Vibraes Livres de Sistemas de Um Grau de Liberdade 35Odd=2x(t)d tSuperamortecido> 1Subamortecido< 1No amortecido= 0Criticamenteamortecido= 1nn=2x0 Figura 2.24 - Comparao entre movimentos com diferentes tipos de amortecimento. 2.4.3 - Decremento Logartmico Umproblemaqueseapresentanormalmenteparaquemestudasistemasvibratriosestimarofatorde amortecimento.Quandosepossuiumregistro,resultadodeumamedio,deummovimentovibratrio,possvel observaraquedaexponencialdaamplitudedevibraocomotempo.Omtodododecrementologartmicose fundamentanacomparaoentreduasamplitudes,consecutivasouno,medidasdeummovimentovibratriolivre amortecido.AFig.2.22mostraoregistrodeummovimentovibratriolivre,medidodeumsistemadeumgraude liberdade.Emsetratandodemovimentooscilatrio,entoosistemasub-amortecido,eaexpressoquedescreveo movimento a (2.36). Se x1 o deslocamento medido no tempo t1 e x2 o deslocamento medido no tempo t2, a relao entre x1 e x2 ( )( )xxXe tXe tnntdtd121212= coscos(2.43) Seosdoisdeslocamentossomedidosemtemposseparadosporumperodointeiro,entot2=t1+dcom dd=2 , de forma que( ) ( ) ( ) cos cos cos d d dt t t2 1 12 = + = o que torna (2.43) ( )xxeeee e enn dn dn dnntt12211122121= = = = = +

e o decremento logartmico definido ento como = =lnxx12221 (2.44) Para sistemas com amortecimento muito baixo ( 1(3.17) ondeasconstantessodeterminadasapartirdascondiesiniciais.AFig.3.7amostraomovimentoproduzidopela equao(3.16)emqueafrequnciaexcitadoramenorqueafrequncianaturaldosistemaeaFig.3.7baquele produzido por (3.17) em que a frequncia excitadora maior que a frequncia natural do sistema. x(t)2Astn12|\

|.|`)tt00x(t)22n2nstn|\

|.| `)21A(a)n 1 Figura 3.7 - Resposta total do sistema.Mecnica das Vibraes - Unidade 3: Vibraes Foradas sob Excitao Harmnica 613.3.2 - Fenmeno do Batimento Quandoafrequnciadaforaexternamuitoprximadafrequncianatural,ocorreumacomposiode movimentos conhecida como batimento. Se, na equao (3.10) fizermosx x0 00 = = & , a mesma se torna ()( ) ( ) x tFk mt tFmt tFmt tnnnnn n=|\

|.| ==+ |\

|.|0202 202 222 2 cos cos cos cossen sen(3.18) Se a diferena entre as frequncias pequena, pode-se dizer que nnn =+ `) =2242 2

e (3.18) se torna ( ) x tFmt t = |\

|.|||02 sen sen(3.19) cujo movimento est representado na Fig. 3.8.t 0xp(t)22Fm02 Figura 3.8 - Fenmeno do batimento. AFig.3.8mostraomovimentocompostodeumaparceladebaixafrequnciaenvolvendooutradealta frequncia. O movimento de baixa frequncia tem perodo bn= =222(3.20) conhecido como perodo de batimento. A frequncia de batimento, consequentemente, tambm pode ser obtida por b n= = 2(3.21) Exemplo 3.1 - Uma bomba alternativa, pesando 70 kg, est montada no meio de uma placa de ao de espessura igual a 0,0127 m, largura igual a 0,508 m, e comprimento igual a 2,54 m, engastada ao longo de dois lados, como mostra a Fig. 3.9.Duranteaoperaodabomba,aplacaestsujeitaaumaforaharmnicaF(t)=220cos62,8tN.Encontrara amplitude de vibrao da placa. Soluo: O momento de inrcia dado por ( )( )Ibhm = = = 338 4120 508 0 0127128 67 10, ,,A rigidez da placa obtida modelando-a como uma viga bi-engastada. Mecnica das Vibraes - Unidade 3: Vibraes Foradas sob Excitao Harmnica 62 ( )( )( )kEIlN m = = = 192192 2 068 10 8 67 102 542 10 10311 835, ,,, /F(t), x(t)2,54 m0,0127 m Figura 3.9 - Bomba sobre placa. A amplitude obtida aplicando-se (3.6), com F0 = 220 N e = 62,8 rad/s ( )( )XFk mm == = 025232202 10 10 70 62 83 33 10, ,,O sinal negativo indica que a frequncia da fora excitadora maior que a frequncia natural do sistema, uma vez que ocorre oposio de fase. 3.4 - Resposta de um Sistema Amortecido sob Excitao Harmnica Sob a atuao de uma fora harmnica a equao do movimento amortecido se torna mx cx kx F t && & cos + + =0 (3.22) A soluo particular ()( )()( )()( )x t X tx t X tx t X tppp= = = cos& sen&& cos 2 (3.23) Substituindo em (3.22) resulta ( ) ( ) ( ) + = m X t c X t kX t F t 20cos sen cos cos (3.24) Colocando a amplitude X em evidncia e reagrupando os termos ( ) ( ) ( ) | | t F t sen c t m k X cos cos02= (3.25) Usando as relaes trigonomtricas ( )( )cos cos cos sen sensen sen cos cos sen t t tt t t = + = a expresso (3.25) torna-se ( )| |( )| | { } X k m c t k m c t t F t + + = 2 20cos sen cos sen cos sen cos(3.26) Igualando coeficientes de sent e cost de ambos os lados da expresso ( )| |( )| |X k m c FX k m c + = = 2020cos sensen cos (3.27) De onde se obtm Mecnica das Vibraes - Unidade 3: Vibraes Foradas sob Excitao Harmnica 63( ) ( )XFk m c= +0222 (3.28a) e =tan12ck m (3.28b) XF00F(t), x(t)F(t)x(t)tt-F(t)x(t)22t Figura 3.10 - Representao grfica de funo excitadora e resposta. Dividindo numerador e denominador de (3.28a) e (3.28b) por k tem-se XFkmkck=|\

|.| +|\

|.|022 21 (3.29a) e =tan121ckmk (3.29b)Comonkm= , = = = =ccckckmkcc nn2 2 estFk=0, tem-se Xstn n=|\

|.|

(((+|\

|.|1 2222(3.30a) e =|\

|.|tan1221nn(3.30b) ou ainda comrn= = razo de frequncias, pode-se escrever ( ) ( )Xr rst= +11 222 2(3.31a) e =|\

|.|tan1221rr (3.31b) NaFig.3.11soapresentadasasfunesexpressasem(3.31a)e(3.31b).Ascurvassoobtidasparaas relaes de Xst e em funo de r, de onde podem ser extradas algumas observaes: Mecnica das Vibraes - Unidade 3: Vibraes Foradas sob Excitao Harmnica 64Xst0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,01,02,03,02,51,50,5r(a) = 0,1 = 2,00,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 045o90o135o180o4,0r(b) = 0,1 = 0,3 = 0,3 = 0,5 = 0,5 = 0,7 = 0,7 = 1,0 = 1,0 = 2,0 = 5,0 = 5,0 = 1,0 = 2,0 = 5,0 = 0 = 0 Figura 3.11 - Variao de X e com a relao de frequncias r. 1 - Para = 0 = 0 para r < 1 e = rad para r > 1. 2 - O amortecimento reduz a relao de amplitudes para todos os valores da frequncia de excitao. 3-Areduodarelaodeamplitudesnapresenadoamortecimentosignificativana,oupertoda, ressonncia. 4 - A mxima relao de amplitudes obtida fazendo a derivada de Xst em relao a r se igualar a zero. O correspondente valor de r rn d= = < 1 2 1 22 2 5 - O mximo valor de X, obtido de (3.31a) quandor = 1 22 , ( ) ( ) ( ) ( )Xstmax |\

|.| = + =11 1 2 2 1 212 1 22222 (3.32) Aexpresso(3.31)permiteaobtenoexperimentaldofatordeamortecimentoapartirdamediodo mximo valor da relao de amplitudes. Na ressonncia, com =nour = 1a relao de amplitudes (3.31a) se torna Xstres |\

|.| =12 (3.33) 6 - Para >12(0,707), observa-se que a relao de amplitudes menor que 1 para qualquer valor de r. 7 - O ngulo de fase no depende da magnitude da fora excitadora F0. 8 - Parar > 1, ,a resposta vibratria est em oposio de fase com a fora excitadora. Na ressonncia, para qualquer valor de , o ngulo defasesempreiguala/2,independentedofatordeamortecimento.Istoutilizadoparadeterminao experimentaldafrequnciaderessonnciaumavezque,comofoivistoacima,aamplitudemximanoocorrena ressonncia,deformaqueamediodongulodefasepermiteumamedidamaisprecisadafrequncianaturaldo sistema.3.4.1 - Resposta Total A resposta total a soluo geral da equao diferencial (3.22) cuja soluo homognea foi obtida no Cap. 2, Eq. (2.22) e a soluo particular (3.23), resultando ()( ) ( ) x t Xe t X tntd= + 0 0 cos cos(3.34) Mecnica das Vibraes - Unidade 3: Vibraes Foradas sob Excitao Harmnica 65As constantes X0 e 0 so constantes de integrao obtidas atravs das condies iniciais. Com( ) x t x = = 00 e ( )& x t v = = 00, X0 e 0 so obtidos como ( )| |( ) X v x X X x Xdn d 0 0 020221= + + cos sen cos (3.35a) e ( )( ) 010 00=+

(((tancos sencosv x X Xx Xnd (3.35b)onde X e so obtidos por (3.31a) e (3.31b), respectivamente. 3.4.2 - Fator de Qualidade e Largura de Banda Para baixos fatores de amortecimento < 0,05 a eq. (3.33) pode ser utilizada X XQst stn |\

|.| |\

|.| = ==12 (3.36) onde Q chamado de fator de qualidade.Q1Xst2=Q2R1R21,0n Figura 3.12 - Pontos de meia potncia e largura de banda. Na Fig. 3.12 os pontos R1 e R2 correspondentes a relaes de frequncia para as quais a razo de amplitudes Q2, so chamados de pontos de meia potncia, pois a energia vibratria proporcional ao quadrado da amplitude no movimento harmnico. A diferena entre as frequncias correspondentes a estes dois pontos, 2 - 1 , define o que se chamadelarguradebanda.Osvaloresdasrelaesdefrequnciacorrespondentesa estes pontos podem ser obtidos fazendo X Qst|\

|.| =2 em (3.31a), usando (3.36) ( ) ( )X Qr rst|\

|.| = = = +212 211 2222 (3.37) que resolvida para obter o valor de r, resultando emr1, 22 21 2 2 1 = + (3.38) Para 2o acrscimo de amortecimento aumenta significativamente a fora transmitida. Istonosfazconcluirqueacrescentaramortecimentoquandoafrequnciavibratriasuperiora2nnouma soluo adequada para isolamento de vibraes transmitidas pela base do sistema. Mecnica das Vibraes - Unidade 3: Vibraes Foradas sob Excitao Harmnica 700112344 3 2 2rFTkY = 0,35 = 0,2 = 0,1 = 0 = 0,5 = 1,0 = 0 = 0,1 = 0,2 Figura 3.15 - Fora transmitida. 3.6.2 - Movimento Relativo Emmuitasaplicaesinteressanterepresentaromovimentoemrelaobase.Sendoz x y = ,o deslocamento da massa em relao sua base, a equao do movimento torna-se ( ) m z y cz kz && && & + + + = 0(3.65) ou ento mz cz kz my m Y t && & && sen + + = = 2(3.69) cujasoluo ()( )( ) ( )( ) z tm Y tk m cZ t = += 2122 21sensen(3.70) e a relao de amplitudes dada por ( ) ( )( ) ( )ZYmk m crr r= += + 222 222221 2 (3.71) A Fig. 3.16 apresenta a variao da relao de amplitudes com r para vrios fatores de amortecimento. 2 011 3 4432567ZYMXmer = 0,10 = 0,15 = 0,25 = 0,50 = 1,00 = 0,00 = 0,00 Figura 3.16 - Movimento relativo base e desbalanceamento. Mecnica das Vibraes - Unidade 3: Vibraes Foradas sob Excitao Harmnica 71Exemplo3.2-AFig.3.17amostraummodelosimplesdeumveculoquepodevibrarnadireoverticalquando trafega por uma estrada irregular. O veculo tem uma massa de 1200 kg. O sistema de suspenso tem uma constante de mola de 400 kN/m e um fator de amortecimento de 0,5. Se a velocidade do veculo 100 km/h, determinar a amplitude dedeslocamentodomesmo.Asuperfciedaestradavariasenoidalmentecomumaamplitudede0,05meum comprimento de 6 m. Soluo: O modelo adotado de um sistema de um grau de liberdade com excitao pela base. A frequncia excitadora dada por(a)mc ky(t) = Y sen ttx(t)mx(t)y(t)Yum ciclok2k2 c(b) Figura 3.17 - Veculo em movimento em um piso irregular. fvlHz cps = = =100000360064 63 , ( )com a frequncia angular sendo = 2f = 2 (4,63) = 29,1 rad/s A frequncia natural dada por nkmrad s = = =400000120018 3 , /A relao de frequncias obtida por rn= = =29 118 3159,,,A amplitude , ento obtida utilizando a eq. (3.62a) ( )( ) ( )( )( ) ( )XYrr r=+ +=+ + =1 21 21 2 0 5 1591 159 2 0 5 1590 84922222222, ,, , ,,consequentemente X = 0,849 x 0,05 = 0,0425 m Exemplo3.3-Umamquinapesando3000Nestapoiadaemumabasedeformvel.Adeflexoestticadabase, devida ao peso da mquina 7,5 cm. Observa-se que a mquina vibra com uma amplitude de 1 cm quando a base est sujeita oscilao harmnica na frequncia natural do sistema com amplitude de 0,25 cm. Achar: (1) a constante de amortecimento da base; (2) a amplitude da fora dinmica na base, e(3) a amplitude do deslocamento da mquina em relao base. Soluo:(1) Para determinar a constante de amortecimento necessrio, em primeiro lugar, determinar a constante de rigidez kWN mst= = =30000 07540000,/O fator de amortecimento obtido resolvendo-se a eq. (3.62a) na ressonncia (r = 1) Mecnica das Vibraes - Unidade 3: Vibraes Foradas sob Excitao Harmnica 72 ( )( )XY=+=1 2210 2522 , resultando em 21600 129 = = ,Com isto, a constante de amortecimento obtida por c m kmN smn= = = =2 2 2 0 129 4000030009 81903 ,, (2) A fora atuante na base obtida de (3.67) com r = 1 resultando em ( )( )F kY kX NT=+= = =1 2240000 0 01 40022,(3) A amplitude do movimento relativo calculada a partir da expresso (3.71), que, para r = 1, torna-se ZY= ==20 00252 0 1290 00968,,,Pode ser observado que, embora sendo a amplitude do movimento relativo definido comoz x y = , Z no igual diferena entre as amplitudes X e Y. Isto se d porque existe um ngulo de fase entre os movimentos, de forma que no atingem os seus valores mximos no mesmo instante de tempo. 3.7 - Resposta de um Sistema Amortecido sob Desbalanceamento Rotativo NosistemamostradonaFig.3.18,omovimentogeradopelacomponentedaforacentrfugaatuantena direovertical. As componentes horizontais so sempre iguais e opostas, anulando-se a cada instante. Desta forma a fora externa, de natureza harmnica, dada por ( ) Ft me t = 2sen (3.72) A equao diferencial do movimento , ento Mx cx kx me t && & sen + + = 2 (3.73) e2 sentm2e2 sentm2e2 costm2e2 costm2e2m2e2m2em2m2te tx(t)k2k2cAAM Figura 3.18 - Massas rotativas desbalanceadas. A soluo particular de (3.73) tem a forma ( )( )( )x t X tmeMH i epni t( ) sen Im = =|\

|.|

((( 2 (3.74) Mecnica das Vibraes - Unidade 3: Vibraes Foradas sob Excitao Harmnica 73Pela semelhana com a eq. (3.44) a soluo pode ser obtida por analogia fazendoF me02= de forma que a amplitude ser obtida de (3.49a) como ( ) ( )( )( ) ( )Xmek M cmeMH imeMrr rn= +=|\

|.| = + 22222222 21 2 (3.75a) com =|\

|.| =|\

|.| tan tan121221ck Mrr (3.75b) obtido de (3.49b), sendonkM= . OcomportamentodeXemfunodarelaodefrequnciasrmostradonaFig.3.16,deondepodemser feitas algumas observaes: 1-Todasascurvasapresentamamplitudesnulasparafrequnciasnulas.Istoaconteceporqueafora excitadora,queumaforacentrfuga,temamplitudeproporcionalaoquadradodafrequnciasendo,portanto,nula quando a frequncia zero.2 - Em altas frequncias (r >> 1) a relao MXme 1 para qualquer fator de amortecimento mostrando que, nestafaixadefrequncias,oamortecimentonoeficienteemdiminuirosnveisvibratriosemsistemascom desbalanceamento rotativo. 3-Ovalormximo MXmemax|\

|.|obtidoquando ddrMXme|\

|.| = 0 oqueseverificaparar =11 22que sempremaior que a unidade, ao contrrio do que acontece com os sistemas sob excitao harmnica com foras com amplitude independente da frequncia. Exemplo 3.4 - O diagrama esquemtico de uma turbina de gua tipo Francis est mostrado na Fig. 3.19, na qual a gua flui de A para as lminas B e caem no conduto C. O rotor tem uma massa de 250 kg e um desbalanceamento (me) de 5 kg.mm. A folga radial entre o rotor e o estator 5 mm. A turbina opera na faixa de velocidades entre 600 e 6000 rpm. O eixodeaoquesuportaorotorpodeserassumidocomoengastadonosmancais(livreparagirar).Determinaro dimetrodoeixodeformaqueorotornoentreemcontatocomoestatoremtodasasvelocidadesdeoperaoda turbina. Assumir que o amortecimento pequeno.A ACB BMancalEixoRotorEstatorSaida da gual = 2 m5 mm 5 mmEntradada guaEntradada gua Figura 3.19 - Turbina de gua tipo Francis. Soluo: Como o amortecimento desprezvel, (3.75a) torna-se ( )Xmek Mmek r==222221 (a) A frequncia determinada pela faixa de velocidades de operao da turbina Mecnica das Vibraes - Unidade 3: Vibraes Foradas sob Excitao Harmnica 74 600 60026020 62 86000 6000260200 628rpm rad s rad srpm rad s rad s = = = = = =/ , // / A frequncia natural do sistema nkMk= =250 (b) So duas solues que satisfazem o problema apresentado. Em uma delas a faixa de frequncias de operao se localiza inteiramente abaixo da frequncia natural do sistema enquanto que na outra a faixa de operao est acima da frequncia natural. Caso1-Paraqueafaixadefrequnciasdeoperaofiqueabaixodafrequncianaturalnecessrioquea maior frequncia da faixa, = 200 rad/s, seja inferior a esta. Aqui vamos estabelecer um limite de segurana de 20%, ou seja, max = = 1 2 200 240 , rad/s. Aplicando a expresso (a) tem-se ( )( )( ) ( ) 0 0050 005 240250 2401 250 240 1 43 102228,,) , / = = + = kk N m A rigidez do eixo sob flexo kEIlEdl= =|\

|.|3364343(c) de onde se obtm o dimetro dklE43643=(d) que, para este caso, resulta d m d m48 3112 464 1 43 10 2 03 2 07 103 74 10 0 440 = = =, ,,, , Neste caso, a frequncia natural, dada na expresso (b), ser igual ankrad s = ==2501 48 102507558,/superior maior frequncia da faixa de operao. Caso2-Paraqueafaixadefrequnciasdeoperaofiqueacimadafrequncianaturalnecessrioquea menorfrequnciadafaixa,=20rad/s,sejasuperioraesta.Estabelecendonovamenteumlimitedeseguranade 20%, ou seja, min = = 0 8 20 16 , rad/s. Para que a faixa de frequncias fique acima da frequncia natural deve-se trocar o sinal do denominador a expresso (a), para que a amplitude continue sendo positiva. Resulta, ento em XmeM k=22 (e) Aplicando a este caso ( )( )( ) ( ) 0 0050 005 16250 16250 1 16 6 29 102225,,) , / = = = kk N m O dimetro obtido pela aplicao da expresso (d), resultando d m d m45 3114 464 6 29 10 2 03 2 07 101 65 10 0 113 = = =, ,,, , Neste caso, a frequncia natural, dada na expresso (b), ser igual aMecnica das Vibraes - Unidade 3: Vibraes Foradas sob Excitao Harmnica 75nkrad s = ==2506 29 1025050 25,, /inferior menor frequncia da faixa de operao. Em ambos os casos as solues encontradas atendem os requisitos dinmicos apresentados. O valor escolhido para o dimetro deve atender os demais requisitos de projeto. Mecnica das Vibraes - Captulo 4: Vibrao Forada sob Condies Gerais Captulo 4 - Vibrao Forada sob Condies Gerais 4.1 - Introduo NoCaptulo3,foiestudadaavibraoforadadesistemasdeumgraudeliberdadesobaaodeforas harmnicas.Nestecaptulo,esteestudoserestendidoparaforasdequalquernatureza.Inicialmenteserestudadaa atuao de foras peridicas que so combinaes de foras harmnicas associadas atravs das Sries de Fourier que, em sistemas lineares, podem ser consideradas como vrias foras harmnicas atuando sobre o sistema e a resposta pode ser obtida utilizando o Princpio da Superposio dos Efeitos. Para a determinao da resposta a foras no peridicas, conhecidacomorespostatransiente,seroutilizadasferramentasmatemticascomoaIntegraldeConvoluo(ou Integral de Duhamel),a Transformada de Laplace e a Integral de Fourier. Em todos os casos o sistema ser de um grau de liberdade com amortecimento viscoso.4.2 - Resposta a Uma Fora Peridica Anlise Harmnica 4.3.4 Sries de Fourier Uma funo peridica pode ser expressa em Sries de Fourier na forma ( ) ==+ + =1 10sen cos2 jjjjt j b t j aat f (4.1) com( )=Tdt t fTa002(4.2a)( )= =Tjj dt t j t fTa0, 2 , 1 cos2K (4.2b) ( )= =Tjj dt t j t fTb0, 2 , 1 sen2K (4.2c) onde 2= T o perodo da funo. Comocadaumdostermosdafunof(t)representadanaexpresso(4.1)umafunoharmnicao procedimento de desenvolvimento da funo em Sries de Fourier tambm chamado de anlise harmnica. Consiste em,dadaqualquerfunoperidicaf(t)comperodoT,executarasintegraes(4.2),inserirasconstantesajebjna equao(4.1)eefetuarotruncamento.Comotruncamentoentende-seonmerofinitodetermosdasriequeser necessrio para representar a funo com uma boa preciso. No existe um nmero de termos previamente definido; o nmero adequado depende da funo f(t). A Fig. 4.1 mostra uma onda quadrada e a sua representao com diferentes nmerosdetermoscomotruncamentomostrandoqueaumentandoonmerodetermosafunorepresentadase aproxima da funo original, sendo que acima de um determinado valor as alteraes so muito pequenas podendo-se truncar a srie. Afrequnciaangular 2 = T chamadadefrequnciafundamentaleafunof(t)consideradacomo umasomadefunesharmnicascomfrequnciasiguaisfundamentaleseusmltiplosinteiros(,2,3,4 ...). Estas ltimas funes so chamadas de harmnicas.Atravs de uma simplestransformao trigonomtrica a equao (4.1) tambm pode ser escrita na forma (4.3)( ) (= + =10cosjj jt j c c t f )onde 200ac = (4.4a) 2 2j jb a cj+ =(4.4b) =jjjabarctan (4.4c) 77Mecnica das Vibraes - Captulo 4: Vibrao Forada sob Condies Gerais 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1.5-1-0.500.511.5Srie de Fourier - onda quadrada - harmnicas 1 e 3tempof(t)0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1.5-1-0.500.511.5Srie de Fourier - onda quadrada - harmnicas 1, 3 e 5tempof(t) (a)(b) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1.5-1-0.500.511.5Srie de Fourier - onda quadrada - harmnicas 1, 3, ... , 7tempof(t)0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1.5-1-0.500.511.5Srie de Fourier - onda quadrada - harmnicas 1, 3, ... , 9tempof(t) (c) (d) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1.5-1-0.500.511.5Srie de Fourier - onda quadrada - harmnicas 1, 3, ... , 19tempof(t)0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1.5-1-0.500.511.5Srie de Fourier - onda quadrada - harmnicas 1, 3, ... , 39tempof(t) (e) (f) Figura4.1ReconstruodeumaondaquadradaporSriesdeFourier.Emvermelhoestrepresentadaafuno exata,empretoarepresentaoemSriesdeFouriereemazulestodesenhadascadaumadasharmnicas consideradasemcadaumadasreconstrues:(a)harmnicas1e3;(b)harmnicasmparesde1a5;(c)harmnicas mpares de 1 a 7; (d) harmnicas mpares de 1 a 9; (e) harmnicas mpares de 1 a 19; (f) harmnicas mpares de 1 a 39. Espectro de frequncia Pode-seconstruirumgrficodasfunesharmnicasrepresentandoasamplitudeseosngulosdefasedas harmnicasemfunodesuasfrequncias.Estegrficochamadodediagramaespectralouespectrodefrequncia, como mostra a Fig. 4.2. Na Fig. 4.2a mostrado o espectro de amplitude contendo os coeficientes da srie de Fourier calculados pelas expresses 4.4a e 4.4b. Observa-se que os valores so representados como um grfico de barras pois cada coeficiente est associado sua correspondente frequncia harmnica. No correto ligar os pontos e traar uma curvapoisnoexistemcoeficientesassociadossoutrasfrequnciasqueseencontramnointervaloentreduas 78Mecnica das Vibraes - Captulo 4: Vibrao Forada sob Condies Gerais harmnicasconsecutivas.NaFig.4.2bmostradoogrficodongulodefaseassociadossuasfrequncias harmnicas, calculado pela expresso 4.4c. 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0Frequncia0.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.0Amplitude0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0Frequncia-180-120-60060120180ngulo de fase (a) (b) Figura 4.2 Diagrama espectral de uma funo peridica. Funes pares e mpares Noexemplo4.1emqueafunof(t)umaondaquadrada,simtricaemrelaoorigemdosistemade coordenadas, observa-se que todos os coeficientes dos cossenos aj so nulos. Apenas os coeficientes dos senos bj que sononulos.Istoporqueestafunoumafunompar,f(t)=-f(-t).Comoosenoumafunompar,todaa funo mpar ser representada por uma srie de senos enquanto que toda a funo par, f(t) = f(-t) ser representada por uma srie de cossenos que tambm uma funo par. Qualquer outra funo ser representada por uma combinao de senos e cossenos. Exemplo4.1RepresentaremSriedeFourierafunoondaquadradamostradanaFig.4.3consideradacomo:(a) uma funo mpar, (b) um funo par e (c) uma funo nem par nem mpar. Soluo:(a)Funo mpar ( )( )+ < < ++ < < =T m t T mT m t mTt f121para 121para 1m = ...,-2, -1, 0, 1, 2, ... com T = 2 seg e, consequentemente = . O clculo dos coeficientes da srie de Fourier efetuado com o uso das equaes (4.2) ( ) ( ) [ ] [ ] ( ) ( ) 0 1 2 0 1 1 122 211021100= + = + =+ = t t dt dt a 0 sen1sen1cos ) 1 ( cos ) 1 (2221101021=+ =+ = t jjt jjdt t j dt t j aj ( ) ( )== = + =+ = KK6 , 4 , 2 para 05 , 3 , 1 para4cos1cos1sen 1 sen 12221101021jjj t jjt jjdt t j dt t j bj 79Mecnica das Vibraes - Captulo 4: Vibrao Forada sob Condies Gerais f(t)f(t)f(t)ttt-2 -1 -3 0 1 2 31-1-2 -1 -3 0 1 2 31-1-2 -1 -3 1 2 31-1(a)(b)(c)0,5 1,5 2,50,25 1,25 2,250 Figura 4.3 Onda quadrada como uma funo (a) par, (b) mpar e (c) nem par nem mpar. A funo representada na forma ( ) ( ) [ ]= =11 2 sen1 21 4nt nnt f (b)Funo mpar ( )+ < < ++ < < + =T m t T mT m t T mt f4543para 14341para 1m = ...,-2, -1, 0, 1, 2, ... com T = 2 seg e, consequentemente = . O clculo dos coeficientes da srie de Fourier efetuado com o uso das equaes (4.2) ( ) ( ) [ ] [ ] ( ) ( ) 0 5 , 1 5 , 2 5 , 0 5 , 1 1 122 5 , 25 , 15 , 15 , 05 , 25 , 15 , 15 , 00= + = + =+ = t t dt dt a == ==+ =+ = ... , 6 , 4 , 2 para 0... , 11 , 7 , 3 para4... , 9 , 5 , 1 para4sen1sen1cos ) 1 ( cos ) 1 (225 , 25 , 15 , 15 , 05 , 15 , 05 , 25 , 1jjjjjt jjt jjdt t j dt t j aj ( ) ( ) 0 cos1cos1sen 1 sen 1225 , 25 , 15 , 15 , 05 , 15 , 05 , 25 , 1= + =+ = t jjt jjdt t j dt t j bj 80A funo representada na forma Mecnica das Vibraes - Captulo 4: Vibrao Forada sob Condies Gerais ( )( )( ) [ ]= =11 2 cos1 21 4nnt nnt f (c)Funo qualquer ( )+ < < ++ < < + =T m t T mT m t T mt f8985para 18581para 1m = ...,-2, -1, 0, 1, 2, ... com T = 2 seg e, consequentemente = . O clculo dos coeficientes da srie de Fourier efetuado com o uso das equaes (4.2) ( ) ( ) [ ] [ ] ( ) ( ) 0 25 , 1 25 , 2 25 , 0 25 , 1 1 122 25 , 225 , 125 , 125 , 025 , 225 , 125 , 125 , 00= + = + =+ = t t dt dt a ===+ =+ = ... , 6 , 4 , 2 para 0... , 5 , 3 , 1 para2 2sen1sen1cos ) 1 ( cos ) 1 (2225 , 225 , 125 , 125 , 025 , 125 , 025 , 225 , 1jjjt jjt jjdt t j dt t j aj ( ) ( )=== = + =+ = ... , 6 , 4 , 2 para 0