Vibrações Mecânicas Slides

8/17/2019 Vibrações Mecânicas Slides

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Frequências Naturais Frequências Frequências Naturais Naturais


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Vibração é qualquer movimento que se repete apósdeterminado intervalo de tempo. Estas são classificadas

em:

•Vibração forçada é quando o movimento persiste porcausa da existência de uma força de perturbação.

•Vibração livre é quando o movimento continuaapós a remoção da perturbação original.

Na análise de vibração, usualmente consideramos asperdas de energia, usando um simples fator, chamado

de fator de amortecimento.


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Período de uma vibração é o tempo de um ciclo simples.

Frequência é o número de ciclos que ocorre a cada

unidade de tempo.

Frequência natural é a frequência de uma vibração livre. Frequ Frequêê ncia ncia natural natural éé aa frequfrequêênciancia de uma vibrade uma vibraçãção livre.o livre.

Se a frequência forçada se torna igual a frequência

natural de um sistema, ocorre a Ressonância.


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Qualquer objeto material tem uma ou mais

frequências nas quais "gosta" de vibrar: são asfrequências naturais de vibração do objeto .Quando o objeto é "excitado" por algum agenteexterno em uma de suas frequências naturais dá-

se a ressonância : o objeto vibra nessafrequência com amplitude máxima, só limitadapelos inevitáveis amortecimentos.


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Uma ponte nos Estados Unidos desabou quandoentrou em ressonância com o vento. A ponte sobreo Estreito de Tacoma, logo após ser liberada ao

tráfego, começou a balançar sempre que o ventosoprava um pouco mais forte. No dia 7 deNovembro de 1940 aconteceu a ressonância.Inicialmente, a ponte começou a vibrar em modoslongitudinais, isto é, ao longo de seu comprimento.Até aí, tudo bem. Mas, logo apareceram oschamados "modos torsionais", nos quais a ponte

balançava para os lados, se torcendo toda. Naressonância, a amplitude desses modos torsionaisaumentou de tal forma que a ponte desabou.


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Ponte de Tacoma

vibrando no modotorsional.

Ponte de Tacoma

vibrando no modolongitudinal


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Vibração em regime permanente: indica que um movimento

se repete exatamente em cada ciclo sucessivo.

Vibração transiente: indica que um movimento do tipo

vibratório está mudando de caráter.


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(figura 1)

Representação de um sistema vibratório

idealizado

m

k

c

F=f(t)

O


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x k ====

(figura 2)

Diagrama de corpo livre da massa m após ter

sido deslocada x unidades de comprimento.

mF=f(t)

O

x

-cx

-kx

.

x c ==== .


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Como este sistema é idealizado, assumimos que:

•A mola e o amortecedor não tem massas;

•A massa é absolutamente rígida;

•Todo o amortecimento é concentrado no

amortecedor.

Resultados de muitas experiências mostram que grande

número de sistemas mecânicos podem ser analisados com boa

precisão utilizando-se as premissas acima.

Este sistema vibratório é classificado como de um grau de

liberdade com amortecimento e de vibração forçada.


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Equação do movimento:

Se o atrito ou amortecimento presente na vibração é

pequeno, podemos desprezá-lo, obtendo ainda

resultados bastante precisos no final da análise.

Fazendo os termos de amortecimento e força externa

iguais a zero, obtemos a equação diferencial do

movimento para vibração livre:

(((( )))) t f 1 x k x c x ====++++++++ .

¨

0 x k x ====++++¨


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k

m

2

2

nπ ππ π ω ωω ω

π ππ π ========

k1 f n π π π π ========

A solução desta equação tem a seguinte forma:

Onde A & B são constantes de integração e é a

chamada frequência natural.

m

k n ====

(((( )))) (((( ))))en B cos A x n n

++++====


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Os valores das constantes A & B dependem de como avibração teve origem. Por exemplo, se deslocarmos a

massa de uma distancia x=x0 e começarmos a contar o

tempo, no instante que a largarmos, as condições

iniciais são:

Assim a equação que descreve o movimento é

(((( )))) cos x x n0

====

====

========

0 x

x x0 t

0

.


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O movimento pode ser iniciado dando-se a massa umavelocidade inicial v0 . Neste caso temos as seguintes

condições iniciais:

(((( )))) t senv x n

n

0 ω ωω ω ω ωω ω

====

E a equação do movimento é dada por:

====

========

0v x

0 x0 t


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O método mais geral de se provocar vibração,consiste em deixar a massa ter ambos, o

deslocamento e a velocidade quando t=0, e a solução

é da seguinte forma:

(((( )))) (((( )))) t senv t cos x x n

n

0

n0 ω ωω ω ω ωω ω

ω ωω ω ++++====


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x0 cos( ω ωω ω n t) + (v0 / ω ωω ω n ) sen( ω ωω ω n t).(v0 / ω ωω ω n ) sen( ω ωω ω n t).

x0 cos( ω ωω ω n t)

n

0v

ω ωω ω

0 x

n

φ φφ φ


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Nesta equação, o coeficiente X 0

é a amplitude da vibração,

que é o máximo deslocamento da massa. O ângulo φφφφ é

chamado ângulo de fase e representa o atraso angular do

movimento em relação à função cosseno.

2

n

0 2

00v x X

++++====ω ωω ω

====

0 n

0

xv arctg

ω ωω ω φ φφ φ

Analisando o gráfico, podemos exprimir o movimento

pela equação:

onde X 0 e φ φφ φ são as constantes de integração e dependemdas condições iniciais.

(((( ))φ φφ φ −−−−==== cos X x n0


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Velocidade e aceleração são obtidas por diferenciação

sucessiva da equação, assim

onde a amplitude da velocidade é

e a da aceleração é

(((( ))))

(((( ))))φ φφ φ ω ωω ω ω ωω ω

φ φφ φ ω ω ω ω

−−−−−−−−====

−−−−−−−−====

n

2

n0

n n0

cos X x

t sen X x

n0 X ω ω

2

n0 X ω ωω ω

¨

.


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Modelo de 2 graus de liberdade Modelo de 2 graus de liberdade Modelo de 2 graus de liberdade

1m 2m

13k

1 c c 3 c

1 x 2 x

(((( )))) t f 1 (((( )))) t f 2


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1

1 g 3 g

g 4 g

3 g

4 g

5 g

6 g1 f f

111 x g ====

(((( ))))1 2 2 3

x x g −−−−====

2 3 5 x====

11 x c==== .

(((( ))))1 4 x x c g −−−−==== . .

2 36 x c==== .


21/35

(((( )))) (((( )))) (((( )))) t f x k x k k x c x c c x m 1111111 ====−−−−++++++++−−−−++++++++¨

(((( )))) (((( )))) (((( )))) t f x k k x k x c c x c x m 31 31 ====++++++++−−−−++++++++−−−−¨ .

Equações de movimento: Segunda Lei de Newton Equações de movimento: Segunda Lei de Newton Equações de movimento: Segunda Lei de Newton

[[[[ ]]]]{{{{ }}}} [[[[ ]]]]{{{{ }}}} [[[[ ]]]]{{{{ }}}} {{{{ }}}} f x K xC x M ====++++++++¨

.


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[[[[ ]]]]

====

2

1

m0

0 m M Matriz de Massa Matriz de Massa

[[[[ ]]]]

++++−−−−

−−−−++++====

3 2 2

2 21

c c c

c c cC Matriz de amortecimento Matriz de amortecimento

[[[[ ]]]]

++++−−−−−−−−++++====

3 2 2

2 21

k k k k k k K Matriz de rigidez Matriz de rigidez


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e substituindo na equação do movimento resulta

====++++

====++++

2 2 221 21

1 212111

F X D X D

F X D X D

onde Dip é a rigidez dinâmica dada por

2 ,1 p ,i com jc m k D ip 2

ipipip ====++++−−−−==== ω ωω ω ω ωω ω

(((( )))) (((( )))) . 2 ,1i com ,e X t x & e F t f Fazendo t jii t j

ii ============ ω ωω ω ω ωω ω


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Resposta Livre Resposta LivreVibração Livre:Vibração Livre: Frequências naturais não amortecidas:

====++++====++++

0' X ' D' X ' D0' X ' D' X ' D

2 221 21

212111

Calculando

(((( ))))(((( )))) 2 2 2 211 2112 2211

m m

' D' D' D' D'

ω ωω ω ω ωω ω ω ωω ω ω ωω ω

∆∆∆∆

−−−−−−−−====

−−−−====

Frequências naturais


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As amplitudes de vibração livre X’1 & X’ 2 devem satisfazeruma razão para cada frequência natural tal que

. 2 ,1i ,u' D

' D

' D

'

' X

' X i 2

2

21

12

11

1

2

========−−−−====−−−−====

onde u 2i representa uma amplitude relativa para a

segunda coordenada e a i-ésima frequência naturalrelativa à amplitude X’1. A solução para a vibração livre

fica:

(((( ))))(((( ))))

t j

22

12 2

t j

21

111

2

1 21 euu Be

uu B

t x t x ω ωω ω ω ωω ω

++++

====

Modo 1 Modo 2


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Os vetores {u} representam o primeiro e o segundo

modos de vibrar do sistema que podem ser agrupados na matriz modal para 2GL:

[[[[ ]]]]

====

==== 22 21

1211

22

12

21

11

uu

uu

u

u

u

uu

uip é o valor da forma modal na coordenada ina frequência natural .

pω ω

B1 e B 2 são as amplitudes modais de movimento edependem das condições iniciais.

{{{{ }}1u {{{{ }}u


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Para sistemas não amortecidos os vetores modais são

valores reais tal que os movimentos das massas estão em

fase ou fora de fase.

x1 x 2

Em fase

x1 x 2 Fora de fase


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Resposta Forçada - Neste caso temos:

(((( )))){{{{ }}}} t j

2

1e

F

F t f ω ωω ω

====

t j

2

11 t j

1

21

2

t j 212

t j1 221

e F D

e F D

x

e F D

e F D

x

ω ωω ω ω ωω ω

ω ωω ω ω ωω ω

∆∆∆∆∆∆∆∆

∆∆∆∆∆∆∆∆

++++

−−−−====

−−−−++++

====

112 211 D D D D com −−−−====∆∆∆∆


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t j 2

t j11

t j 212

t j1111

e F H e F H x

e F H e F H x

ω ωω ω ω ωω ω ++++====

++++====

cias. transferên de as receptânci as são H e H e

pontuais as receptânci as são H e H : onde

2112

2211


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Olhando a resposta forçada no espaço modal.

(((( )))){{{{ }}}} [[[[ ]]]] (((( )))){{{{ }}}} tqu t x ====

Coordenadas

geométricas

Matriz

modal

Coordenadas

modais

Substituindo esta relação na equação de movimento

e pré multiplicando por [u]t temos:

Diag[ M ] Diag[C ] Diag[ K ]

[[[[ ]]]] [[[[ ]]]][[[[ ]]]]{{{{ }}}} [[[[ ]]]] [[[[ ]]]][[[[ ]]]]{{{{ }}}} [[[[ ]]]] [[[[ ]]]][[[[ ]]]]{{{{ }}}} [[[[ ]]]] {{{{ }}}} t j t t t t

e Fuqu K uquC uqu M u ω ωω ω ====++++++++¨ .


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Temos o seguinte sistema de equações desacopladas:

[[[[ ]]]]{{{{ }}}} [[[[ ]]]]{{{{ }}}} [[[[ ]]]]{{{{ }}}} {{{{ }}}} t jeQq kq cq m ω ωω ω ====++++++++¨ .

E para o p-ésimo modo de vibrar:

p

p

p m

k====ω ωω ω

p p

p p

m k 2

c====ζ ζζ ζ {{{{ }}}} {{{{ }}}}

0

t

p p p f u

m

1==== µ µµ µ

Frequência

natural do modo p

Fator de amortecimento

modal do modo p Força de excitação

modal do modo p

t j p p p

2 p p p eqq 2q

ω ωω ω

µ µµ µ ω ωω ω ζ ζζ ζ ====++++++++¨ .


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A solução para a amplitude do modo p fica:

ω ωω ω ς ςς ς ω ωω ω ω ωω ω p 2 2 p

p p

2 j

Q

++++−−−−

====

E a solução nas coordenadas geométricas é:

{{{{ }}}} {{{{ }}}} {{{{ }}}} {{{{ }}}}====

====++++==== N

1 r r r 2 211 QuQuQu x

{{{{ }}}} {{{{ }}}} {{{{ }}}} {{{{ }}}}(((( ))))==== ++++−−−−

==== N

1 r

t j

r r 2 2

r r

0 t

r r e 2 j m

f uu x ω ωω ω

ω ωω ω ω ωω ω ς ςς ς ω ωω ω ω ωω ω


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Desta última expressão pode-se obter a matriz de FRF de

receptância do sistema, que é dada pela seguinte equação:

(((( ))))[[[[ ]]]] {{{{ }}}} {{{{ }}}}

(((( ))))==== ++++−−−−

==== N

1 r r r 2 2 r r

t r r

j m

uu H


ω ωω ω


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Para o sistema de 2GL:

(((( ))))

(((( ))))

(((( ))))ω ωω ω ω ωω ω ς ςς ς ω ωω ω ω ωω ω


ω ωω ω

2 2

2 2

2 2

21 21

11

2 2

11

111111

2 j m

uu 2 j m

uu H

++++−−−−++++

++++

++++−−−−

====1° modo

2° modo

(((( ))))(((( )

)))

(((( ))))ω ωω ω ω ωω ω ς ςς ς ω ωω ω ω ωω ω

ω ωω ω ω ωω ω ς ςς ς ω ωω ω ω ωω ω ω ωω ω

2 2

2 2

2 2

22 21

11

2 2

11

121112

j m

uu

2 j m

uu H

++++−−−−++++

++++++++−−−−

==== 1° modo

2° modo


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Bibliografia

1- Shigley, Joseph Edward – Dinâmica das máquinas.

http://www.fisica.ufc.br/tintim6.htm

3- Craig Jr, Roy R. – Structural Dynamics an introductionto computer methods.

4- Varoto, Paulo Sérgio – Notas de aula (Dinâmica das

Máquinas), EESC-USP.

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