UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ

INSTITUTO DE TECNOLOGIA

FACULDADE DE ENGENHARIA MECÂNICA

VIBRAÇÕES MECÂNICAS

PROFESSOR: EDINELSON

RELATÓRIO - EXPERIÊNCIA 2SISTEMA LIVRE AMORTECIDO COM 1 GRAU DE LIBERDADE

(OSCILAÇÕES TORCIONAIS DE UM ROTOR SIMPLES COM AMORTECIMENTO VISCOSO)

Thiago Antônio P. S. Costa 06021001901

Belém – PA

Março de 2013

SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO 3

2 MÉTODO EXPERIMENTAL 7

3 COLETA E TRATAMENTO DOS DADOS 8

4 ANÁLISE DOS RESULTADOS 13

5 Referências Bibliográficas 14

1 INTRODUÇÃO

O experimento visa obter as propriedades de amortecimento do modelo testado em laboratório,

sendo que parâmetros como fator de amortecimento (), decremento logarítmico (), período de

oscilação amortecido (Td), freqüência natural livre (n) e amortecida (d), rigidez torcional (Kt),

momento de inércia de massa (J), momento polar de inércia (Ip), fase (), além da equação de

movimento são encontrados e alguns deles analisados para verificar a validade do experimento, ou

seja, de quanto os resultados obtidos na bancada de testes (experimental) afastam-se do teórico

calculado.

O modelo físico deste experimento consiste de um elemento de momento de inércia de massa (J),

um amortecedor (C), que é a soma do atrito fluido com o atrito provocado pela histerese mecânica

da haste metálica que suporta o disco rotativo e o cone e outro elemento chamado mola que possui

rigidez. Os dois últimos não tendo suas massas consideradas. O amortecimento do sistema é

viscoso, ou seja, é considerada constante a dissipação de energia com o tempo e a força é

proporcional à velocidade com que o disco oscila.

O modelo físico que se aplica ao experimento é mostrado a seguir:

Na figura seguinte constam as graduações existentes no cone metálico indicando as alturas de

imersão do mesmo em óleo.

A vibração livre de um sistema mecânico que é oscilatório e rotativo é dita amortecida quando este

oscila sob a ação de momentos, velocidades ou deslocamentos angulares que lhe são aplicados em

instantes iniciais e logo após a mudança das propriedades inerciais do modelo, a excitação é

interrompida e, na presença de um elemento dissipativo de energia, a oscilação do sistema vai

diminuindo com o tempo. De acordo com o fator de amortecimento (), a vibração livre amortecida

pode ter três classificações:

Super-amortecida (não vibratória), quando é maior que 1;

Criticamente-amortecida (não vibratória),quando é igual 1 e

Subamortecida (vibratória), quando é menor que 1.

No caso da experiência realizada, sabe-se que a terceira classificação é a válida para o movimento,

visto que durante a aquisição dos dados, percebeu-se a presença de vários períodos de oscilação do

sistema que com o tempo tinha suas amplitudes reduzidas até um valor zero. Sabe-se que nas duas

primeiras classificações dadas acima, a vibração não chega a completar um ciclo.

Dois parâmetros importantes para a caracterização do sistema amortecido são o decremento

logarítmico () e o fator de amortecimento (), cujas fórmulas para lhes calcular o valor são

mostradas a seguir:

Decremento logarítmico

Onde:

n = número de picos – 1;

1 = valor da 1ª medição, em mm e

n+1 = valor da enésima medição, em mm.

É importante ressaltar que este é um método de determinação do decremento logarítmico de boa

precisão, pois leva em conta a dissipação de energia em todo o ciclo. Quanto maior for o valor de n,

melhor e mais preciso será o resultado.

Fator de amortecimento

Isolando-se o valor de na equação acima, tem-se:

O valor da frequência natural do sistema pode ser calculado pelas expressões abaixo:

Onde a frequência natural amortecida é dada através da fórmula abaixo:

Outros valores calculados com os dados devem ser Kt (rigidez torcional) e J (momento de inércia de

massa), cujas equações serão apresentadas a seguir:

Onde Ip é o momento polar de inércia da haste metálica que sustenta o sistema, dado por

Ip = haste4/32, em metro elevado a quarta potência (m4), lhaste é o comprimento da haste em metros e

G é o módulo de elasticidade transversal da haste, em Pa (N/m2). Acha-se o valor de G em livros e

catálogos de elementos de máquinas, sabendo-se que a haste é constituída de aço-carbono.

J é dado por:

cuja unidade é kgm2, ou seja o produto da massa pelo seu respectivo raio de giração.

2 MÉTODO EXPERIMENTAL

1. O experimento teve início a partir do ajuste dos equipamentos que compõem a bancada,

quais sejam: haste, caneta, cronômetro, profundidade da área cônica e papel milimetrado.

2. Após a verificação destes itens, tem-se início a primeira medição. O suporte da caneta é

levantado e ajustado de acordo com a posição do papel milimetrado.

3. É aplicado um deslocamento angular inicial de 20º para que se possa dar início ao

movimento do sistema. Nesta etapa (classificada como N0, que corresponde ao nível do

óleo) não há contato do óleo com a área cônica, isto é, a partir de N0 registrou-se o tempo

que o sistema levou até parar de oscilar e foi analisado o comportamento da vibração da

haste metálica através das amplitudes registradas pela caneta no papel milimetrado.

4. Para a execução da segunda medição são realizados novos ajustes. A posição da caneta é

reajustada de acordo com o papel milimetrado. A área cônica entra em contato com óleo

queimado contido no recipiente, nesta etapa (classificada como N3) temos uma determinada

área do cone imersa no óleo. Novamente é aplicado um deslocamento angular inicial de 20º

e é registrado o tempo necessário para que o movimento cesse.

5. Esse procedimento se repete por mais duas vezes, nos níveis de óleo N5 e N7.

6. Ao final do procedimento, cada nível (N0, N3, N5 e N7) apresentará um comportamento

distinto com relação ao movimento, registrados e armazenados por meio de gráficos

(deslocamento angular x tempo) que permitirão analisar o comportamento do sistema de

vibração torcional amortecido livre, considerando distintos volumes de contato do óleo com

o sistema.

3 COLETA E TRATAMENTO DOS DADOS

Massa da haste = 132,5 g;

Comprimento da haste = 868 mm;

Diâmetro da haste = 3 mm;

Altura inicial (N0) de imersão do cone no óleo = 0 mm;

Altura (N2) de imersão do cone no óleo = 25 mm;

Altura (N4) de imersão do cone no óleo = 50 mm;

Ângulo aplicado na oscilação do disco = 20º;

G (módulo de elasticidade transversal da haste metálica) = 78 GPa

4 RESULTADOS

4.1 CÁLCULO DA FREQUÊNCIA NATURAL TEÓRICA

Onde: Gaço= 78 GPa; D= 0,003 m; L= 0,868 m; J= 0,113 kg.m2

4.2 CÁLCULO DOS PERÍODOS (CONSIDERANDO O COMPRIMENTO TOTAL DA ONDA IGUAL A

82MM)

A partir de uma regra de três, obtêm-se os seguintes valores.

NÍVEL ÓLEO N0 N2 N4

COMPRIMENTO (MM) 14 15 15,8

TEMPO (S) 16,91 15,94 15,54

PERÍODO (S) 2,89 2,92 2,99

4.3 CÁLCULO DA FREQUÊNCIA DE VIBRAÇÃO AMORTECIDA

Onde: Td é o período correspondente a cada nível de óleo.

NÍVEL ÓLEO N0 N2 N4

(rad/s) 2,176 2,155 2,098

4.4 CÁLCULO DO DECREMENTO LOGARÍTMICO

Onde: θ(N+1) é a amplitude de onda de cada nível de óleo; θ1 é o deslocamento angular inicial; N é o

nº ciclos considerados.

NÍVEL ÓLEO N0 N2 N4

0,061 0,076 0,105

4.5 CÁLCULO DOS FATORES DE AMORTECIMENTO DA HASTE E DO SISTEMA

NÍVEL ÓLEO N0 (HASTE)N2

(SISTEMA)N4

(SISTEMA)

0,01 0,012 0,017

4.6 CÁLCULO DO FATOR DE AMORTECIMENTO DO ÓLEO

NÍVEL ÓLEO N2 N4

0,002 0,007

É importante ressaltar que não há fator de amortecimento do óleo para o nível N0 uma vez que a

área de contato com o mesmo é igual a zero.

4.7 CÁLCULO DA FREQUÊNCIA NATURAL EXPERIMENTAL

NÍVEL ÓLEO N0 N2 N4

(rad/s) 2,176 2,155 2,098

4.8 CÁLCULO DO ERRO RELATIVO

NÍVEL ÓLEO N0 N2 N4

13,4 14,3 16,5

4.9 CÁLCULO DA ÁREA DO CONE IMERSA NO ÓLEO

Onde: r é o raio do cone; l é o comprimento do cone.

NÍVEL ÓLEO N2 N4

(m2) 0,006 0,017

A partir dos resultados obtidos, podemos plotar os seguintes gráficos:

5 ANÁLISE DOS RESULTADOS

A partir da tabela 1 podemos constatar que o período aumenta conforme a variação do nível de óleo

e, como consequência, verifica-se na tabela 2 um aumento da frequência de vibração amortecida

para os diferentes níveis de óleo.

Por meio dos valores de decremento logarítmico evidenciados na tabela 3, os quais apresentam um

crescimento em função da variação do nível de óleo, calcula-se o fator de amortecimento da haste e

do sistema (para os diferentes níveis de óleo) conforme os resultados da tabela 4.

Considerando que o fator de amortecimento do óleo (objetivo deste experimento) é encontrado a

partir da relação entre o fator de amortecimento do sistema com o fator de amortecimento da haste,

podemos calcular os valores apresentados na tabela 5. Observa-se que os resultados apresentados

são coerentes com o conteúdo apresentado na literatura, pois o fator de amortecimento tende a

aumentar devido ao aumento da área de contato imersa no óleo. Além disso, constata-se que o fator

de amortecimento é um valor numérico muito pequeno e aliado à sua utilização na equação, terá

menor influência nos resultados seguintes. Em seguida encontramos a frequência natural

experimental correspondente a cada nível de óleo em contato com a área do cone conforme a tabela

6, sendo que tais valores confirmam a pouca influência do fator de amortecimento para este

experimento.

Relacionando a frequência de vibração amortecida com a frequência natural experimental,

calculamos o erro relativo e verificamos o seu comportamento em função dos diferentes níveis de

óleo.

A partir das dimensões geométricas do cone, calculamos a área de contato imersa no óleo

correspondente a cada nível pré-determinado (N0, N2 e N4).

O gráfico 1 evidencia um comportamento decrescente da frequência natural em função da área de

contato do cone imersa no óleo, que está de acordo com os valores anteriormente calculados, pois o

aumento do período (gráfico 2) proporciona a diminuição da frequência natural do sistema.

Observa-se no gráfico 3 que o fator de amortecimento aumenta em função da maior área de contato

do cone imersa no óleo. Ao contrário do gráfico 4, no qual a amplitude diminui em função área de

contato do cone.

O gráfico 5 mostra que o erro relativo entre as frequências naturais teórica e experimental aumenta

de acordo com a variação do fator de amortecimento.

6 CONSIDERAÇÕES FINAIS

Conforme o previsto, o período de oscilação aumentou devido ao aumento do fator de

amortecimento. Como resultado, temos a frequência de vibração amortecida diminuindo em função

do crescimento do período, que proporciona ao sistema um amortecimento viscoso mais acentuado.

A partir do decremento logarítmico, verificamos o crescimento do fator de amortecimento do óleo

em função do aumento da área de contato do cone imersa no óleo, evidenciando o amortecimento

maior no sistema a partir da variação do nível de óleo.

Através dos valores obtidos para o fator de amortecimento do óleo, podemos classificar o sistema

como subamortecido.

Como o fator de amortecimento do óleo apresentou valores numéricos muito pequenos, podemos

notar que o mesmo pode ser desconsiderado para efeitos de cálculo neste tipo de caso. Devido à

insignificância numérica do fator de amortecimento do óleo, constatamos que a frequência natural

experimental é praticamente igual à frequência de vibração amortecida, visto que a relação entre

ambas as frequências é dada em função do fator de amortecimento.

Os gráficos 1, 2, 3 e 4 evidenciam que o comportamento do sistema está de acordo com a teoria

apresentada na literatura. Ou seja, a partir do aumento da área de contato do cone com o óleo

queimado, observamos que o amortecimento viscoso do óleo é crescente, isto ocorre devido ao

aumento do volume do óleo em contato com a área do cone, que proporciona maior resistência ao

movimento do sistema, resultando desta forma no aumento do amortecimento.

É importante ressaltar que as hipóteses simplificadoras utilizadas neste experimento influenciaram

nos resultados obtidos. Neste sentido, destaca-se a influência da caneta na obtenção dos gráficos de

deslocamento angular em função do tempo, pois embora tenhamos admitido que a caneta não

absorva energia do sistema devido ao atrito com o papel durante as oscilações, percebemos

nitidamente que essa simplificação causou alterações significativas nos resultados. Pode-se concluir

que para efeitos de experimentos mais rigorosos no que diz respeito à análise dos resultados,

devemos controlar com mais precisão a influência da absorção de energia por parte da caneta em

relação ao sistema.

Relacionando o presente experimento com a aplicação industrial, verificamos que é de grande

relevância o controle de vibração torcional amortecida para a otimização dos processos. A partir de

sinais obtidos com testes experimentais, podemos estabelecer diagnósticos e, consequentemente,

aperfeiçoar o desempenho de equipamentos, permitindo que o processo de manutenção seja melhor

executado, o que acarreta em menores custos operacionais.

Enfim, de um modo geral o experimento atingiu as metas previstas, apesar de os resultados não

serem totalmente confiáveis, contudo serviu para tornar o teste, os equipamentos de medição e a

aquisição dos gráficos de oscilação amortecida familiares aos alunos e colocar em prática alguns

conceitos estudados na sala de aula.

7 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

1. CLOUGH R. W. & PENZIEN, J. Dynamics of Structures, Editora McGraw – Hill, pp 45

a 48.

2. FAIRES, V. M., Elementos Orgânicos de Máquinas, Editora LTC, Rio de Janeiro 1976.

3. Manual da Bancada de Testes, pp 48 a 55.

4. SETO, W. W., Vibrações Mecânicas, Coleção Schawn, São Paulo, 1984

5. SOEIRO, N. S., Notas de Aula, 2002.

6. Vibrações Mecânicas, Singiresu Rao.