Probabilidade e combinatriaMatemticaAnlisecombinatriaPrincpio da contagem 1Arranjos simples 8Permutaes simples 12Agrupamentos 5Combinaes 16 Autoria: Gensio Correa de Freitas NetoBinmio de Newton 251Imagine esta situao comum no dia-a-dia: uma pessoa precisa efetuar saque numa agncia bancria, mas esquece a senha do caixa eletrnico composta de quatro dgitos.Faz tentativas digitando possveis nmeros para descobrir a senha correspondente. Supondo que a conta no fosse bloqueada, pois comum o sistema dos bancos travar a retirada aps trs tentativas in-corretas de digitao da senha. Caso demore 12 se-gundos em cada tentativa, qual seria o mximo tem-po gasto para, enfim, conseguir sacar o dinheiro.Princpio da contagemSTOCK.XCHNGMaterial do professorOrientao ao professor 1 Aproveitando o texto de abertura, de-safie os alunos propondo as questes seguintes.a) Por que o total o produto 10 . 10 . 10 . 10 e no a soma 10 + 10 + 10 + 10?b) Caso no houvesse repetio de algarismos, qual seria o nmero mxi-mo de tentativas para encontrar a senha pedida?c) Se a pessoa soubesse que a senha se constitui apenas de dgitos mpa-res, qual seria o nmero mximo de tentativas em questo?EXCLUSIVO PARA PROFESSORES CONVENIADOS AO SISTEMA DE ENSINO DOM BOSCOMATEMTICA 2M110Anlise Combinatria Princpio da Contagem2Conceito de contagemSTOCK.XCHNGPo/Recheio Frango Rosbife Almndega Frutos do mar Peru VegetarianoCiabataciabata, frangociabata, rosbifeciabata, almndegaciabata, frutos do marciabata, peru ciabata, vegetaisIntegralintegral, frangointegral, rosbifeintegral, almndegaintegral, frutos do marintegral, peru integral, vegetaisDe centeiode centeio, frangode centeio, rosbifede centeio, almndegade centeio, frutos do marde centeio, perude centeio, vegetaisDe provolonede provolo-ne, frangode provolone, rosbifede provolone, almndegade provolone, frutos do marde provolone, perude provolone, vegetaisEVENTOSViajar de uma cidade para outra, jogar dados, prepa-rar lanche, etc. correspondem a eventos que tm etapas sucessivas e independentes entre si.Numa lanchonete, possvel acompanhar a monta-gem de um sanduche.1a. etapa escolha do po: ciabata, integral, de cen-teio, de provolone.RVORE DE POSSIBILIDADESDiagrama bidimensional que lembra um galho de r-vore e tem a finalidade de organizar as possibilidades de desenvolvimento de um evento.H 24 possibilidades diferentes de preparo dos sanduches. Ao acrescentar a opo quente ou frio, dobram-se as possibilidades.Po de provolone com frangoPo de provolone com rosbifePo de provolone com almndegaPo de provolone com frutos do marPo de provolone com peruPo de provolone com vegetaisPo de centeio com frangoPo de centeio com rosbifePo de centeio com almndegaPo de centeio com frutos do marPo de centeio com peruPo de centeio com vegetaisPo ciabata com frangoPo ciabata com rosbifePo ciabata com almndegaPo ciabata com frutos do marPo ciabata com peruPo ciabata com vegetaisPo integral com frangoPo integral com rosbifePo integral com almndegaPo integral com frutos do marPo integral com peruPo integral com vegetaisPo de provolonePo de centeioPo integralPo ciabata2 . etapa escolha do recheio: frango, rosbife, almn-dega, frutos do mar, peru, vegetais.Essasinformaespodemserorganizadasnuma tabela. o ato de estimar, avaliar, enumerar, recensear e re-gistrar o nmero de elementos de um universo. Alguns exemplos:Recenseamento demogrfico conta os habitantes de um pas, realizado de 10 em 10 anos. Neste caso, todos os elementos do conjunto universo habi-tantes do pas so contados.Hemograma conta os glbulos vermelhos do san-gue com base em pequena amostra do sangue do paciente, de quem o exame revela outras informaes clnicas.Frequncia num shopping center ou numa casa conta o nmero de visitantes, por meio de cmeras de vdeo na entrada do estacionamento ou da casa.Status de um grande prmio de automobilismo con-ta o nmero de voltas de cada participante, cronome-trando o tempo para classific-los.Conjunto universo contm todos os elementos com deter-minada propriedadeAmostra subconjunto cujos elementos representam um con-junto universo.Ori entaoao professor1 Assenhasposs-veis vo de 0000 a 9 999, pois poss-vel que haja dgito repetido na senha. Soquatroalga-rismosaprocura, logoexistemqua-tropossibilidades independentesde escolha.Para cada possibili-dade, so 10 tenta-tivas possveis, em queoal gari smo zero tambm con-siderado. Assim so 10 . 10 . 10 . 10, ou 10 000, tentativas possveis para des-cobrir a senha que permi teosaque em questo. O tem-po gasto, supondo queapessoade-more 12 segundos a cada tentativa, 120 000 segundos, que correspondem a2000minutos, ou quase 84 horas, ou seja, trs dias e mei odetentati -vas,issoconside-rando que ela no pareumsegundo debuscarocon-junto correto.Esse exemplo um caso de aplicao do princpiodaconta-gem, muito comum na matemtica.EXCLUSIVO PARA PROFESSORES CONVENIADOS AO SISTEMA DE ENSINO DOM BOSCO3Anlise Combinatria Princpio da ContagemMATEMTICA 2M110PRINCPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEMO nmero total de possibilidades de um evento, com-posto por etapas independentes entre si, igual ao produto do nmero de possibilidades de cada etapa. Dois arremessos de moedasPara o primeiro e o segundo arremessos so duas as possibilidades. Ento, o nmero total de possibilidades 2 . 2 = 4 possibilidadesArremesso de uma moeda e um dadoSo2.6=12possibilidades. Paracadaresul tadodamoeda, existem seis possibilidades no dado.Atividades1. Um brinquedo composto por blocos confeccionados em madeira com as seguintes caractersticas: formas tringulos equilteros, quadrados, retngulos e crculostamanhos grandes e pequenosespessuras grossas e finascores amarela, vermelha e azulConsiderando que o conjunto no tem peas iguais, quantas so ao todo? Desenhe a rvore de possibilidades que resolve o problema.tringulovermelhoazulamarelograndepequenogrossofinogrossofinovermelhoazulamarelovermelhoazulamarelovermelhoazulamareloquadradovermelhoazulamarelograndepequenogrossofinogrossofinovermelhoazulamarelovermelhoazulamarelovermelhoazulamareloretngulovermelhoazulamarelograndepequenogrossofinogrossofinovermelhoazulamarelovermelhoazulamarelovermelhoazulamarelocrculovermelhoazulamarelograndepequenogrossofinogrossofinovermelhoazulamarelovermelhoazulamarelovermelhoazulamarelotringulo grande, grosso e vermelhotringulo grande, grosso e azultringulo grande, grosso e amarelotringulo grande, fino e vermelhotringulo grande, fino e azultringulo grande, fino e amarelotringulo pequeno, grosso e vermelhotringulo pequeno, grosso e azultringulo pequeno, grosso e amarelotringulo pequeno, fino e vermelhotringulo pequeno, fino e azultringulo pequeno, fino e amareloquadrado grande, grosso e vermelhoquadrado grande, grosso e azulquadrado grande, grosso e amareloquadrado grande, fino e vermelhoquadrado grande, fino e azulquadrado grande, fino e amareloquadrado pequeno, grosso e vermelhoquadrado pequeno, grosso e azulquadrado pequeno, grosso e amareloquadrado pequeno, fino e vermelhoquadrado pequeno, fino e azulquadrado pequeno, fino e amareloretngulo grande, grosso e vermelhoretngulo grande, grosso e azulretngulo grande, grosso e amareloretngulo grande, fino e vermelhoretngulo grande, fino e azulretngulo grande, fino e amareloretngulo pequeno, grosso e vermelhoretngulo pequeno, grosso e azulretngulo pequeno, grosso e amareloretngulo pequeno, fino e vermelhoretngulo pequeno, fino e azulretngulo pequeno, fino e amarelocrculo grande, grosso e vermelhocrculo grande, grosso e azulcrculo grande, grosso e amarelocrculo grande, fino e vermelhocrculo grande, fino e azulcrculo grande, fino e amarelocrculo pequeno, grosso e vermelhocrculo pequeno, grosso e azulcrculo pequeno, grosso e amarelocrculo pequeno, fino e vermelhocrculo pequeno, fino e azulcrculo pequeno, fino e amareloAo todo so p = 4. 2 . 2 . 3 = 48 peas diferentes.EXCLUSIVO PARA PROFESSORES CONVENIADOS AO SISTEMA DE ENSINO DOM BOSCOMATEMTICA 2M110Anlise Combinatria Princpio da Contagem4Testes1. Fatec-SP Para mostrar aos seus clientes alguns dos produtos que vende, um comerciante reservou um espa-o em uma vitrine, para colocar exatamente 3 latas de re-frigerante, lado a lado. Se ele vende 6 tipos diferentes de refrigerante, de quantas maneiras distintas pode exp-los na vitrine?a)144b)132c)120d)72e)202. PUC-MG Em um campeonato de dois turnos, do qual participam dez equipes, que jogam entre si uma vez a cada turno, o nmero total de jogos previstos igual a:a)45b)90c)105d)1153. UFSM-RS Para efetuar suas compras, o usurio que necessita sacar dinheiro no caixa eletrnico realiza duas operaes: digitar uma senha composta por 6 algarismos distintos e outra composta por 3 letras, escolhidas num alfabeto de 26 letras. Se essa pessoa esqueceu a senha, mas lembra que 8, 6 e 4 fazem parte dos trs primeiros algarismos e que as letras so todas vogais distintas, sen-do E a primeira delas, o nmero mximo de tentativas ne-cessrias para acessar sua conta ser:a)210 b)230c)2 520 d)3 360e)15 1202. Qual o nmero de possibilidades de se vestir um time de futebol cujo uniforme tenha trs camisas com dese-nhos diferentes, cales nas cores preto e branco e pares de meias de quatro cores diferentes?3. Numa pastelaria encontram-se pastis nos tamanhos mni, normal, grande e especial, nos seguintes sabores: carne, queijo, palmito e banana. Considerando que haja opes de suco natural de 5 sabores diferentes, quantos lanches diferentes de um pastel e um suco esto dispo-nveis?4. Vunesp-SP O conselho administrativo de um sin-dicato constitudo por doze pessoas, das quais uma o presidente desse conselho. A diretoria do sindicato tem quatro cargos a ser preenchidos por membros do conse-lho, sendo que o presidente da diretoria e o do conselho no devem ser a mesma pessoa. De quantas maneiras di-ferentes essa diretoria poder ser formada?a)40b)7 920c)10 890d)11!e)12!5. UEL-PR Sejam os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {0, 1, 2, 3, 4}. O total de funes injetoras de A para B :a)10b)15c)60d)120e)1256. PUC-MG Um buf produz 6 tipos de salgadinhos e 3 tipos de doces para oferecer em festas de aniversrio. Se em certa festa devem ser servidos 3 tipos desses salgados e 2 tipos desses doces, o buf tem x maneiras diferentes de organizar esse servio. O valor de x :a)180b)360c)440d)720Aplicando o princpio da contagem: 6 . 5 . 4 = 120 maneiras diferentes de dispor os refrigerantesTotal de jogos: 10 . 9 = 90 jogos Emdoisturnos,amudanadeordemcorres-ponde a dois jogos diferentes.Para os trs primeiros algarismos: (3 . 2 . 1) = 6 possibilidades Para os outros trs algarismos: (7 . 6 . 5 = 210) possibilidades No caso das letras:(4 . 3 = 12) formas Observe que a letra E fixa.Total: (3 . 2 . 1) . (7 . 6 . 5 ) . (4 . 3) = 15 120So 11 possibilidades11 . 10 . 9 = 10 890 possveis, pois uma pessoa noocupadoiscargos,depresidentedoconse-lho e da diretoria, ao mesmo tempo.Nmero de funes injetoras de 5 elementos tomados 3 a 3 pelo princpio da contagem: 5 . 4 . 3 = 60Diferentes possibilidades de arrumar o buf:(6 . 5 . 4 ) . (3 . 2) = 720Seponmerodepossibilidadesdiferentes,ento:p=3.2.4=24 possibilidades.p = 4 . 4 . 5 = 80 possibilidades de lanches diferentes.EXCLUSIVO PARA PROFESSORES CONVENIADOS AO SISTEMA DE ENSINO DOM BOSCO5Anlise combinatria AgrupamentosMATEMTICA 2M110AgrupamentosConsidere um casal qualquer. A sim-ples mudana de ordem dos elementos desse casal o modifica? Claro que no!Ento considere a formao de de-zenas: 37 diferente da dezena 73, pela simples alterao de colocao de seus elementos.A mudana de ordem num agrupa-mento significa mudana de posio dos elementos. Em certos casos, a troca de ordem no modifica o agrupamento, mas em outros, sim.Identifiquecasosdemudanano agrupamento ao alterar a colocao dos elementos.ConceitoDado o conjunto A = {a, b, c, d}, observe algumas ma-neiras de agrupar seus elementos.{ab, ac, ad, ba, bc, bd, ca, cb, cd, da, db, dc}{aa, bb, cc, dd}{abc, abd, acd, bcd}{abcd}Denomina-se agrupamento cada um desses novos conjuntos, formados de elementos de partes do conjunto dado.AGRUPAMENTOS SIMPLESAgrupamentos simples so formados por grupos que no permitem elementos repetidos.{a, b, c, d} agrupamentos simples de quatro ele-mentos tomados 1 a 1{ab, ac, ad, bc, bd, cd} agrupamentos simples de 4 elementos tomados 2 a 2{abc, acd, abd, bcd} agrupamentos simples de 4 elementos tomados 3 a 3{abcd} agrupamentos simples de 4 elementos to-mados 4 a 4AtividadeForme agrupamentos simples utilizando os 4 elemen-tos do conjunto {a, b, c, d}, tomando-os 3 a 3 ou 4 a 4. Escreva esses agrupamentos simples a seguir.Orientao ao professor 2 Inicie propondo aos alunos as seguintes situaes:a) classificao na corrida de Frmula-1, em que a mudana de ordem altera ou no o resultado final.b) segmento de reta um exemplo em que a mudana de ordem modifica o resultado final ou no.ABc) criar dois exemplos, o primeiro indicando que a mu-danadeordemalteraoagrupamentoeosegundo, no alterando o agrupamento.a) 4 elementos tomados 3 a 3: So p = 4 . 3 . 2 = 24 agrupamentos di-ferentes, sem repetio de elementos.abcabdacbacdadbadcbacbadbcabcdbdabdccabcadcbacbdcdacdbdabdacdbadbcdcadcbcdbdbccdadacbdadabbccaabbcdacdabdabcabcd2 3 4EXCLUSIVO PARA PROFESSORES CONVENIADOS AO SISTEMA DE ENSINO DOM BOSCOMATEMTICA 2M110Anlise combinatria Agrupamentos64. Escreva na forma de fatorial. A = 34 . 35 . 335. Escreva na forma de fatorial. B = (n + 3) (n + 2)6. SimplifiqueC =(( (p !p ! p ! + 5) + 3)+ + 4) 7. Resolva as seguintes equaes.a) (!xx + 1)!= 20b) 8 1( ( p + 1)! + 1p! p 1)!=c) ((kk + 1)! + (k + 2)! + 2)! + (K + 3)! =524FATORIAL DE UM NMERO NATURALRepresenta-se o fatorial de um nmero com o smbolo deexclamao(!oun!),quesignificafatorialdenou n-fatorial.Dado um nmero natural n, fatorial de n o pro-duto desse nmero por todos os seus antecessores at 1: n! = n . (n 1) . (n 2) . (n 3) . ... . 2 . 1a)4! = 4 . 3 . 2 . 1 b)9! = 9 . 8 . 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 11.2. Simplifique 98!Fatore a expresso M . 97! 97989798!!= = 15! + 16!M= 15! + 16 . 15! = 15! (1 + 16) = 15! 17 .33. 16! . Escreva na forma de fatorial N = 17 . 18 . 19.N =1 17 . 18 . 19 Simplifique G = (a + b + 6)! . (161916 !!!=4.aa + b + 7)! + 8)! + b + 6)! . (a + b + 7)! + b + (((a baa+88) . (a + b + 7)! = (a + b + 6)! + b + 8 a1. Simplifique 1000999!!2. Simplifique (n + 2)n3. Simplifique 58883 . 82 . 5871! = 1 O fatorial de um um.0! = 1 O fatorial de zero por conveno 1.n! = n . (n 1)! = n . (n 1) . (n 2)!ObservaoAtividadesA = 34 . 35 . 33 A = 35 . 34 . 33 = 3532 . 34 . 33 . 32!!=35!32!B nn= = ((+ 3) (n + 2) B = (n + 3) (n + 2) (n + 1)! + 1)!(nn + 3)!(n + 1)!C =(( (( ( (p + 5)!p + 3)! +p + 4)!

C = p + 5)p + 4)p + 3)!!p + 3)! +p + 4)p + 3)!p + 5)p + 4) + p + 4( ( (( (1= (p + 4)(!(xxx+ 1)! + 1) = 20 = 20x = 19811 11 ( )! ! ( )! p p pMultiplicando++ = por (p 1)! membro a memmbro:(p + 1)! . 8(p + 1)! . 1p! . 1(p 1)!+ + = + ( )! ( )! p p 1 188 1 1 99 322+ + = + + = += ={p p p p p pp p( )deve ser descartadop = 3(((kkk + 1)! + (k + 2)! + 2)! + (K + 3)! + 1)!1 + = 524kk + 2 + 1)!k + 2 + (k + 3) (k + 2) + 3 +

(

(=(kkk524 2 + K+ 3k + 2k + 6 24 . (k + 3) = 5 . (k+ 6k +22= 524 8)24k + 72 = 5k+ 30k + 40 5k+ 6k 32 = 0k' = 12 2665descartado k"= 2b) 4 elementos tomados 4 a 4:Sop=4.3.2.1=24agrupamentossimples.Oproduto4.3.2.1 conduz ideia de fatorial.1 0009991 000999 . 999 !!!!= = 1 000( ( n + 2)nn + 2) (n + 1)nn= = (n + 2) (n + 1)588 588 ! . 8283 . 587 . 587 . 8283 . 82 . 587= =588832 3 4 1abcdabdcacbdacdbadbcadcbbacdbadcbcadbcdabdadbdcacabdcadbcbadcbdacdabcdbadabcdacbdbacdbcadcabdcbacdbdbccdadacbdadabbccaabbcdacdabdabcabcddcdbcbdcdadadbdabacbacbaEXCLUSIVO PARA PROFESSORES CONVENIADOS AO SISTEMA DE ENSINO DOM BOSCO7Anlise combinatria AgrupamentosMATEMTICA 2M110Testes1. PUC-SP Se (n 6)! = 720, ento:a)n = 10b)n = 11c)n = 12d)n = 13e)n = 142. UFRN Se (x + 1)! = 3 . (x!), ento x igual a:a)1b)2c)3d)4e)53. FEI-SP Se (n + 4)! + (n + 3)! = 15(n + 2)!, ento:a)n = 4b)n = 3c)n = 2d)n = 1e)n = 04.Mack-SPOsnmeros(2+100!),(3+100!), (4 + 100!),..., (100 + 100!):a)so divisveis por 100.b)so todos mpares.c)so inteiros no-consecutivos.d)formam uma progresso aritmtica.e)formam uma progresso geomtrica.5. UFPA Qual o valor da expresso nn. (n + 1)!! ?a) 1nb) 1n+ 1c) nn + 1d) 1(n+ 1)!e) 1n .n + 1) (6. PUC-RJ O produto n(n 1) pode ser escrito, em ter-mos de fatoriais, como:a)n! (n 2)!b)n!/(n 2)!c)n! (n 1)!d)n!/[2(n 1)!]e)(2n)!/[n!(n 1)!]7. UEL-PR Simplifique 101100!! + 102!a)101 103b)102!c)100 000d)101!e)10 4038. UEPG-PR Calcule a soma das razes da equao (5x 7)! = 1a)5b)7c)12d)3e)49. UFPR Com base nos estudos de fatorial, calcule a soma das afirmaes corretas.01)0! = 102)1! + 2! = 3!04)(3!) . (3!) = 3608)(3!) ! = 72010. FCC-SP Simplificando ((nn + 1)! (n + 2) 1)!, obtm-se:a)ab)(n + 1) . (n + 2)c)n . (n + 1) . (n + 2)d)n . (n + 2)e)nSe (n 6)! = 720, ento: n 6 = 6, pois 6! = 720 Isolando n = 6 + 6 Logo: n = 12Desenvolvendo (x + 1)! at chegar em x!:(x + 1) . x! = 3 . x! Sendo x! diferente de zero: x + 1 = 3 x = 2Desenvolve-se at (n + 2)!, ento: n + 4) . (n + 3) + (n + 3) = 15n2 + 8n = 0 n = 0 ou n = 8 Logo serve apenas n = 0Teste 4Asequncia(2+100!),(3+100!), (4 + 100!),..., (100 + 100!) forma uma PA de razo igual a 1, pois o fatorial de 100 no interfere na formao da progresso.Desenvolvendoofatorialmaiorque (n + 1)!: nn. (n + 1) . n!! =1n . (n + 1)Nodesenvolvimentoden!/(n2)!, tem-se n . (n 1) . (n 2)!/(n 2)! n . (n 1)Desenvolver se o numerador at chegar ao denominador.( ) 101. (100!) + (102) . (101) . (100!) + 10 302100101!10 4033O fatorial de 0 ou de 1 igual a 1. Ento:(5x 7)! = 0 5x = 7 x = 7/5(5x 7) = 1 5x 1 = 7 x = 8/5A soma das razes 7/5 + 8/5 = 15/5 = 313 (01+04+08)0! = 1 (correta)1! + 2! = 1 + 2, diferente de 3! = 6 (errada)3! . 3! = 6 x 6 = 36 (correta)(3!)! = 6! = 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 720 (correta)Desenvolve-se o fatorial de (n + 1) at chegar ao fatorial de (n 1). (n + 1) . n . (n 1)! . (n + 2)/(n 1)! = n(n + 1)(n + 2)Desenvolve-se o numerador at chegarEXCLUSIVO PARA PROFESSORES CONVENIADOS AO SISTEMA DE ENSINO DOM BOSCOMATEMTICA 2M110Anlise combinatria Arranjos simples8CYNTHI /DREAMSTIME.COMConceitoDado um conjunto A = {a, b, c, d, e, f}, arranjos simples so agrupamentos simples em que os grupos diferem entre si pela natureza ou pela ordem de seus elementos. {a, b, c, d} Grupos diferem entre si pela natureza de seus elementos.{ab, ac, ad, ba, bc, bd, ca, cb, cd, da, db, dc}ab e ac diferem entre si pela natureza de seus elementos.ab e ba diferem entre si pela ordem de seus elementos.CLCULO DO NMERO DE ARRANJOS SIMPLESConsidere o conjunto A = {1, 2, 3} e os subconjuntos de A = {1, 2, 3}, {12 , 13, 21, 23, 31, 32}, {123, 132, 213, 231, 312, 321} Trata-se de arranjos simples. A31 = {1, 2, 3} Arranjos simples de 3 elementos tomados 1 a 1.A32 = {12, 13, 21, 23, 31, 32} Arranjos simples de 3 elementos tomados 2 a 2.A33 = {123, 132, 213, 231, 312, 321}Arranjos simples de 3 elementos tomados 3 a 3.Em AmP (arranjos de m elementos tomados p a p), m o nmero de elementos do conjunto dado e p, a taxa (nmero de elementos de cada grupo).Onmerodeel ementosdearranj ossi mpl es calculado porAmP= m . (m 1) . (m 2) . ... . (m p + 1)p fatoresAssim:A31 = 3 O ltimo fator (m p + 1) = 3 1 + 1 = 3 A32 = 3 . 2 O ltimo fator (m p + 1) = 3 2 + 1 = = 3 1 = 2A33=3.2.1Oltimofator(mp+1)= 3 3 + 1 = 1Usam-se as seguintes notaes:SlviaAntniaFernandaMariaAnaUm casal decidiu dar um nome composto para a filha que chegar em breve. Selecionaram os se-guintes nomes, dentre os quais escolhero dois.Quais as possibilidades do casal para escolher o nome da filha? Pense na seguinte escolha: Maria Slvia. Caso eles mudem a ordem, fica Slvia Maria. Os dois so diferentes, mudando apenas a ordem ou colocao de seus elementos. Maria Fernanda seria outro nome. Nesse caso, h mudana de na-tureza de seus componentes, com a simples troca de um deles.Os agrupamentos, nesse caso de nomes for-mados, so diferentes, tanto de ordem quanto de natureza de seus elementos.A quantidade de nomes possveis dada pelo produto 6 . 5 = 30 e no se repetem palavras, pois dificilmente se escolheria Maria Maria.Arranjos simplesOrientao ao professor 3 Seguindo o raciocnio, proponha desafio aos alunos:a) Quantos nomes triplos, por exemplo, Maria Fernanda Slvia, se formaria com as seis sugestes dadas?b) E se fossem escolhidos sete nomes, quantos nomes duplos daria para formar?c) E com sete nomes, qual total de nomes triplos se formaria?d) Sugira nomes diferentes e engraados, como, por exemplo. Jos Beterraba Rabanete Jnior.EXCLUSIVO PARA PROFESSORES CONVENIADOS AO SISTEMA DE ENSINO DOM BOSCO9Anlise combinatria Arranjos simplesMATEMTICA 2M110A m m m m pm m mmp= + = . ( ) . ( ) ... ( ). ( ) . ( ) ...1 2 11 2 (( ) . ( )!( )!m p m pm p+ 1A =m!(m p)!mpEssa expresso facilita o clculo do nmero de arranjos simples.1. Calcule A83A8388858= = ==!( ! 3)! . 7 . 6 . 5! . 7 . 6 =3362. As placas dos automveis no Brasil utilizam 3 letras e 4 algarismos. Com as 26 letras do alfabeto, quantos prefixos alfabticos so feitos sem repetio de letras?Como os prefixos e so diferentes, tm-se arranjosABC CBA simples. Calculando o nmero de agrupamentos:Am = 263226p = 3 A 3)! . 25 . 24 . 23!263 ==2626262326!(!! 22326! . 25 . 24 = 15 6003. Utilizando os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 0, quantas senhas com 3 algarismos distintos so forma-das?Com agrupamentos do tipo arranjo simples (21 12), possvell formar nmeros distintos.A= 10!(10 3)! . 103A103=10 99 . 8 . 7! . 9 . 8 = Formam-se 720 nmeros com 3 710!= 720aalgarismos distintos.4. Hotis oferecem aos clientes cofres com senhas ele-trnicas em cada sute, criadas pelos prprios hspedes, com a utilizao dos algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e FOTO AUTORIZADA PELA EMPRESA KABA DO BRASIL LTDA, WWW.KABADOBRASIL.COM.BRA senha deve conter 4 algarismos. 0654 uma delas, portanto agrupamento do tipo arranjo simples. Total formado com quatro dgitos distintos: A 4)! . 9 . 8 .104= =101010 !( 7 . 6! . 9 . 8 . 7 = 5 040610!0. Quantas senhas de final par possvel formar com 4 al-garismos distintos? Desse total, 504 terminam com o algarismo 1, outros 504 terminam com o 2 e assim por diante. Os nmeros pares terminam com 0, 2, 4, 6 e 8. Logo so 5 . 504 = 2 520 senhas diferentes. O total ter-minado em algarismo par com 4 dgidos distintos 2 520.Atividades1.Calculeototaldecentenascomtrsalgarismos distintos.2. Dados oito pontos situados sobre uma circunferncia, quantos segmentos de reta orientados com origem e ex-tremidade nesses pontos existem?3. O campeonato brasileiro de futebol disputado confor-me o nmero de pontos conquistados em dois turnos. Ao todo, quantas partidas so jogadas pelas 20 equipes?Expresso AmP= m . (m 1) . (m 2) ... (m p + 1) transformada com uso de fatoriais:Um casal decidiu dar um nome composto para a filha que chegar em breve. Selecionaram os se-guintes nomes, dentre os quais escolhero dois.Quais as possibilidades do casal para escolher o nome da filha? Pense na seguinte escolha: Maria Slvia. Caso eles mudem a ordem, fica Slvia Maria. Os dois so diferentes, mudando apenas a ordem ou colocao de seus elementos. Maria Fernanda seria outro nome. Nesse caso, h mudana de na-tureza de seus componentes, com a simples troca de um deles.Os agrupamentos, nesse caso de nomes for-mados, so diferentes, tanto de ordem quanto de natureza de seus elementos.A quantidade de nomes possveis dada pelo produto 6 . 5 = 30 e no se repetem palavras, pois dificilmente se escolheria Maria Maria.Clculo dos nmeros com trs algarismos distintos: A103= 10 . 9 . 8 = 720Clculo das centenas com trs algarismos distintos: A103 72 = 648Excluem-se os nmeros comeados por zero.Logo: 648 centenas com algarismos distintosConsiderando o segmento de reta AB BA , tm-se agrupamentos do tipo arranjo A82= 8 . 7 = 56Como o campeonato disputado em dois turnos, o jogo Palmeiiras x Botafogo diferente do jogo Botafogo x Palmeiras. Existe o fator "mando de campo".. A2022020 220 1 = =!( )!99 = 380EXCLUSIVO PARA PROFESSORES CONVENIADOS AO SISTEMA DE ENSINO DOM BOSCOMATEMTICA 2M110Anlise combinatria Arranjos simples10Arranjos com repetiesNo que diz respeito a placas dos automveis, existem aquelas com repetio de letras. CLCULO DE ARRANJOS COM REPETIO possvel usar as 26 letras na primeira, na segunda e na terceira posies. De acordo com o princpio de conta-gem, so 26 . 26 . 26 = 263 possibilidades. Assim, ao contrrio das 15 600 possibilidades sem re-petio de letras, calculadas anteriormente, tm-se 17 576 possibilidades. Generalizando, adota-se a seguinte nota-o:AR nNon pp,= n nmero de elementosp taxa exemplo: AR57626,3= = 26 173Observe estes dois enunciados.a)Quantos milhares com algarismos distintos so formados com os dgitos 0, 1, 2, 3, 4, 5 e 6?b)Quantos milhares so formados com os dgitos 0, 1, 2, 3, 4, 5 e 6?Existe uma repetio da situao referente s placas dos veculos automotores. Para resolver a proposta do primeiro enunciado, cal-cula-se o nmero de arranjos simples. AnnAAnp= == =!( !!( !!! p) 4) . . . . 7474777 6 5 4 33840So 840 milhares com algarismos distintos. Conforme o segundo enunciado, os nmeros so repe-tio de algarismos. ARn,p = np AR7,4 = 74 = 2 401So 2 401 milhares com algarismos distintos ou no.1. De quantas maneiras diferentes possvel responder a uma prova com 4 questes contendo 5 alternativas?3. Com os dgitos 1, 4, 5, 6, 7 e 8, quantos nmeros de trs algarismos so formados?4. Uma senha composta de 4 letras retiradas do conjunto A = {a, b, c, d, e, f, g} Calcule o nmero mximo de senhas nessas condies.TTX6789Atividades2. Um bairro de uma cidade tem como prefixo de telefone os nmeros 3342 e o ltimo algarismo sempre 7. Qual o nmero mximo de telefones instalados?Arranjos com repetio de elementos: 54 = 625 maneirasArranjos com repetio de elementos: 103 = 1 000 maneiras, pois o ltimo algarismo fixo.Arranjos com repetio de elementos: 63 = 6 . 6 . 6 = 216 nmeros diferentesArranjos com repetio de elementos: 74 = 7 . 7 . 7 . 7 = 2 401 senhasEXCLUSIVO PARA PROFESSORES CONVENIADOS AO SISTEMA DE ENSINO DOM BOSCO11Anlise combinatria Arranjos simplesMATEMTICA 2M110Testes1. PUC-MG Em um campeonato de dois turnos, do qual participam dez equipes, que jogam entre si uma vez a cada turno, o nmero total de jogos previstos igual a:a)45b)90c)105d)1152.UEL-PRPararesponderacertoquestionrio, preenche-se o carto apresentado a seguir, colocando-se um x em uma s resposta para cada questo.CARTO-RESPOSTAQUESTES 1 2 3 4 5SIMNO5. Cesgranrio-RJ Durante a Copa do Mundo, que foi disputada por 24 pases, as tampinhas de Coca-Cola tra-ziam palpites sobre os pases que se classificariam nos trs primeiros lugares (por exemplo: 1o.lugar, Brasil; 2o.lugar, Nigria; 3o.lugar, Holanda).Se, em cada tampinha, os trs pases so distintos, quantas tampinhas diferentes poderiam existir?a)69b)2 024c)9 562d)12 144e)13 8246. Faap-SP Quantas motos podem ser licenciadas, se cada placa tiver 2 vogais (podendo haver vogais repetidas) e 3 algarismos distintos?a)25 000b)120c)120 000d)18 000e)32 0007. Mack-SP Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6 so formados nmeros de quatro elementos distintos. Dentre eles, quantos so divisveis por 5?a)20 nmeros.b)30 nmeros.c)60 nmeros.d)120 nmeros.e)180 nmeros.8. UFMG O nmero de mltiplos de 10, compreendidos entre 100 e 9 999, com todos os algarismos distintos, :a)250b)321c)504d)5769. UFRGS-RS Quantos nmeros inteiros positivos, com 3 algarismos distintos, so mltiplos de 5?a)128b)136c)144d)162e)648De quantas maneiras distintas se pode responder a esse questionrio?a)3 125b)120c)32d)25e)103.Unaerp-SPUmafechaduradesegredopossui 4 contadores que podem assumir valores de 0 a 9 cada um, de tal sorte que, ao girar os contadores, esses nme-ros podem ser combinados para formar o segredo e abrir a fechadura. De quantos modos esses nmeros podem ser combinados para se tentar encontrar o segredo?a)10 000b)64 400c)83 200d)126e)7204.UFC-CEAssinaleaalternativanaqualconstaa quantidade de nmeros inteiros formados por trs alga-rismos distintos, escolhidos dentre 1, 3, 5, 7 e 9, e que so maiores que 200 e menores que 800.a)30b)36c)42d)48e)54Arranjos de 10 elementos agrupados 2 a 2:A102 = 10 . 9 = 90 jogosArranjos com repetio: 25 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 32 maneirasArranjos com repetio: 104 = 10 . 10 . 10 . 10 = 10 000 possibilidades, pois existe repetio.So casos de arranjos. Os nmeros so maiores que 200 e menores que 800, comeando por 3, 5 ou 7.Comeando por 3: A42 = 4 . 3 = 12 Comeando por 5: A42 = 4 . 3 = 12 Comeando por 7: A42 = 4 . 3 = 12 Total de nmeros: 12 + 12 + 12 = 36 nmerosSo arranjos de 24 elementos tomados 3 a 3. A242 = 24 . 23 . 22 = 12 144Vogais: 5 . 5 = 25 (arranjos com repetio)Al gari smos:10.9.8=720(arranj ossem repetio)Total de placas de motos: 25 . 720 = 18 000Arranjossimplesde6elementostomados 4 a 4: 6 . 5 . 4 = 120 nmeros no total Desses 120, a sexta parte termina por 5, ento o total igual a 120 : 6 = 20 nmerosFinal 0 Aplicao de arranjos sem repetio de elementos: centenas: 9 . 8 = 72milhares: 9 . 8 . 7 = 504Total: 72 + 504 = 576 nmerosAplicao de arranjos: 8 . 8 + 9 . 8 = 64 + 72 = 136 nmerosEXCLUSIVO PARA PROFESSORES CONVENIADOS AO SISTEMA DE ENSINO DOM BOSCOMATEMTICA 2M110Anlise Combinatria Permutaes simples12ConceitoAgrupamentos do tipo arranjo simples, em que a taxa igual ao nmero de elementos (p = m), so casos de per-mutaes simples.Quatropessoasvoocuparumautomvelde 4 lugares. De quantas maneiras distintas os lugares so preenchidos?Tm-seagrupamentosdotipoarranjossimples. abcd dcbaNmero de elementos: 4 Taxa: 4 (m = p = 4) Logo, se caso de permutao simples, o nmero de trocas simples Pm = m!Assim: P4 = 4! = 4 . 3 . 2 . 1 = 24Quatro pessoas podem ocupar os lugares de 24 ma-neiras distintas.1. Quantos anagramas possui a palavra TEORIA?Anagramaatransposi odel etrasdapal avra, formando-se outras com ou sem significado. TEORIA: AIROET, ETROIA, TROIAELogo, o total de anagramas P6 = 6! P6 = 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 7202. Quatro pessoas so transportadas num automvel de quatro lugares. De quantas maneiras diferentes o transpor-te realizado, sendo apenas duas delas motoristas?Comoumagrupamentodotipoarranjosimples eataxai gual aonmerodeel ementos,tem-se permutao.Supondo que a pessoa A esteja dirigindo, as outras trspessoasocupamP3posiesdiferentes;comaB dirigindo, mais P3 maneiras diferentes. Assim:2 . P3 = 2 . 3! = 2 . 6 = 12Selecione seis msicas de sua preferncia.Imagine-se escutando-as todos os dias, mas em ordem diferente. Das alternativas a seguir, qual repre-senta o tempo necessrio para ouvir as msicas, considerando todas as inverses possveis?a)2 semanas.b)1 ms.c)2 meses.d)1 ano.e)2 anos.O clculo desse total de possibilidades efetuado pela permutao dos 6 elementos, pois a nica alterao a mudana de ordem das msicas, diferente de um dia para outro. Total de permutaes: 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 720 maneiras diferentes. Se cada uma das possibilidades ouvida diariamente, ento so necessrios 720 dias para realizar todas as mudanas, ou seja, 2 anos.Permutaes simplesOrientao ao professor 4 De acordo com a abertura, proponha aos alunos:a) Se uma das 6 msicas fosse tocada duas vezes, qual seria o total de possibilidades?b)Casofossemescolhidas7msicas,qualseriaotemponecessrioparaescut-lasemtodasaspossibilidadesde mudana de ordem?EXCLUSIVO PARA PROFESSORES CONVENIADOS AO SISTEMA DE ENSINO DOM BOSCO13Anlise Combinatria Permutaes simplesMATEMTICA 2M110Atividades1. Quantos anagramas da palavra TEORIA comeam com a letra T e terminam com a letra A?2. Um estudante utiliza normalmente 5 livros: matemti-ca, fsica, qumica, portugus e histria. a)De quantas maneiras diferentes os livros so ar-rumados numa prateleira?b)De quantas maneiras diferentes os livros so ar-rumados de modo que os de matemtica e fsica fiquem juntos?Permutaes com repetioPara calcular o nmero de anagramas de determina-da palavra, consideram-se tambm as letras repetidas. Por exemplo, em BABA, se no houvesse repetio de letras, haveria 24 no total, mas as letras repetidas interferem nes-se nmero.B A B AB B A AB A A BA B A BA A B BA B B ADos 24 anagramas iniciais, so eliminadas permuta-es com as letras A e B.P42 2 42 24 3 2 12 1 2 16, !! != = =.. . .. . .Generalizando:Pnn , , !! != , ,n. de repeties de cada elementoonnn. total de elementoso1. Quantos anagramas so feitos com as letras da palavra MARIA?A letra A aparece repetida duas vezes.P52525 4 3 2260 = = =!!!!. . .So feitos 60 anagramas.1. Quantos anagramas da palavra FELICIDADE comeam com a letra F?2. Bandeiras de mesmo tamanho e formato, 3 vermelhas e 3 brancas, so hasteadas num mesmo mastro ordena-damente. Quantos sinais diferentes so transmitidos com todas elas?2.Determi neonmerodeanagramasdapal avra MATEMTICA.A letra M aparece duas vezes; a letra A, trs vezes; e T, duas vezes.P102 3 2 102 3 2, , !! ! != =. .151200Existem 151 200 anagramas.AtividadesT A P4 = 4! = 4 . 3 . 2 . 1 = 24P5 = 5! = 120Para os livros de matemtica e fsica ficarem juntos, inicialmente, tem-se P4 = 4 . 3 . 2 . 1 = 24 O nmero total P2 . P4 = 2 . 24 = 48, uma vez que possvel troc-los de posio.AnagramasiniciadoscomaletraFsocalculadoscomasoutrasnove letras.P92 2 2 92 2 29 7 9 5040, , !! ! !! = = = =. .. 45 360P63 3 63 36 5 4 33 2 3, !! !!!= = =.. . .. .20EXCLUSIVO PARA PROFESSORES CONVENIADOS AO SISTEMA DE ENSINO DOM BOSCOMATEMTICA 2M110Anlise Combinatria Permutaes simples14Testes1. FGV-SP Colocando em ordem crescente os nmeros resultantes das permutaes dos algarismos 1, 2, 3, 4, 5, que posio ocupar o nmero 35 241?a)55b)70c)56d)69e)722.Unitau-SPOnmerodeanagramasdapalavra BIOCINCIAS que terminam com as letras AS, nessa or-dem, :a)9!b)11!c)9!/(3! 2!)d)11!/2!e)11!/3!3. Fuvest-SP Num programa transmitido diariamente, uma emissora de rdio toca sempre as mesmas 10 m-sicas, mas nunca na mesma ordem. Para esgotar todas as possveis sequncias dessas msicas sero necessrios aproximadamente:a)100 dias.b)10 anos.c)1 sculo.d)10 sculos.e)100 sculos.4. Fatec-SP Seis pessoas, entre elas Joo e Pedro, vo ao cinema. Existem seis lugares vagos, alinhados e conse-cutivos. O nmero de maneiras distintas como as seis po-dem sentar-se sem que Joo e Pedro fiquem juntos :a)720b)600c)480d)240e)1205. Sendo x, y, z e t quatro nmeros naturais, determine a quantidade de solues da equao x + y + z + t = 5. Cada uma representada por um grupo de cinco ve-zes o nmero 1.3. Quantos nmeros de 6 algarismos so obtidos permu-tando os algarismos 2, 2, 3, 3, 3, 5?4. Uma vila foi construda conforme a seguinte planta.ABConsiderando que uma pessoa vai do ponto A at o B movendo-se apenas da esquerda para a direita ou de baixo para cima. Escolhendo no mapa duas ruas na hori-zontal ou trs ruas na vertical, quantos caminhos diferen-tes so feitos?2 . (4!) + 3 . (3!) + 1 . (2!) + 1 . (1!) = = 48 + 18 + 2 + 1 = 69Posio do nmero: 70Permutaes com repetio: 9!3! 2! . Soper mut aesde10el ement os. 10! = 3 628 800 dias ou, ento, divididos por 365 = 9 941 anos, quase 100 sculos.Total permutao de 6: 6! = 720 Esto juntos em 2 . (5!) = 240 Ento a diferena 720 240 = 480.a) 1/11/1/1,que correspondem aeb) 1x y z t = = = = 1 2 1 1 , ,//1/111/,que correspondem aeNmerx y z t = = = = 1 1 3 0 , ,oo de solues: .. . .

P85 3 85 38 7 6 55, !! !!!= =.. . . 3 2 1= 56P62 3 62 36 5 4 32 3, !! !!!= = =.. . ..60Nmero de caminhos: 5 (duas ruas na horizontal e trs ruas na vertical)..P52 3 52 35 42, !! != = = 10EXCLUSIVO PARA PROFESSORES CONVENIADOS AO SISTEMA DE ENSINO DOM BOSCO15Anlise Combinatria Permutaes simplesMATEMTICA 2M1107. Vunesp-SP Quatro amigos vo ocupar as poltronas a, b, c, d de um nibus, dispostas na mesma fila horizontal, mas em lados diferentes em relao ao corredor, conforme a ilustrao.Dois deles desejam sentar-se juntos, seja do mesmo ladodocorredor,sejaemladosdi ferentes.Nessas condies, de quantas maneiras distintas os quatro podem ocupar as poltronas referidas, considerando-se distintas as posies em que pelo menos dois dos amigos ocupem poltronas diferentes?a)24 b)18 c)16d)12e)65. Fuvest-SP A figura a seguir representa parte do mapa de uma cidade onde esto assinalados as casas de Joo (A), de Maria (B) para a escola (C) e um possvel caminho que Joo percorre, passando pela casa de Maria para chegar escola. Qual o nmero total de caminhos distintos que Joo poder percorrer, caminhando somente para o norte ou leste, para ir de sua casa escola, passando pela casa de Maria?a)120b)150c)240d)300e)2506.Mack-SPOsanagramasdistintosdapalavra MACKENZIE que tm a forma E.......E so em nmero de:a)9!b)8!c)2 . 7!d)9! 7!e)7!NLABC8. UFRGS-RS Um trem de passageiros constitudo de uma locomotiva e 6 vages distintos, sendo um deles restaurante. Sabendo-se que a locomotiva deve ir frente e que o vago restaurante no pode ser colocado imedia-tamente aps a locomotiva, o nmero de modos diferentes de montar a composio :a)120 b)230c)500d)600e)7209.I TA-SPOnmerodeanagramasdapalavra VESTI BULANDO,quenoapresentaascincovogais juntas, :a)12!b)(8!) . (5!)c)12! (8!) . (5!)d)12! 8!e)12! (7!) . (5!)10. Cesgranrio-RJ Um fiscal do Ministrio do Trabalho faz uma visita mensal a cada uma das cinco empresas de construo civil existentes no municpio. Para evitar que os donos dessas empresas saibam quando o fiscal as ins-pecionar, ele varia a ordem de suas visitas. De quantas formas diferentes esse fiscal pode organizar o calendrio de visita mensal a essas empresas?a)180b)120c)100d)48e)2411. PucCamp-SP O nmero de anagramas da palavra EXPLODIR, nos quais as vogais aparecem juntas, :a)360b)720c)1 440d)2 160e)4 320CORREDORa b c dSo permutaes de 7 elementos distintos: 7!So permutaes dos 4 elemen-tos, se a dupla que estiver junta for eliminada. 4!/2 = 12So permutaes de 6 elementos, desconside-rando o caso do restaurante estar logo aps a locomotiva.Total:6!=720120=600ouento: 5/6 de 720 = 600Calcula-se o total das permutaes e eliminam-se os casos em que as 5 vogais fiquem juntas. Lembrando que, ao estarem juntas, ainda h a permutao de 8 elementos (7 consoantes + o grupo de vogais).Total: 12! (8!) . (5!)So permutaes de 5 elementos distintos. 5! = 120So3vogai s+5consoantes.Entosoas permutaesde6elementos,almdatrocade posio das vogais. (6!) . (3!) = 720 . 6 = 4 320P64 215, . P. 10 = 53,2= 150EXCLUSIVO PARA PROFESSORES CONVENIADOS AO SISTEMA DE ENSINO DOM BOSCOMATEMTICA 2M110Anlise combinatria Combinaes16ConceitoA imagem colorida dos televisores obtida pela combinao de trs cores primrias: azul, verde e vermelha. O efeito de misturar azul com verde o mesmo que mesclar verde com azul, ou seja, um grupo ab igual a um grupo ba (ab = ba). Agrupamentos simples, nos quais dois grupos diferem apenas pela natureza dos elementos, so chamados combinaes simples.C5255 2 25 4 33 2 15 42 1= = =!( )! !!!.. ....== 10Calcularototaldeprodutosdiferentes,comdois fatores distintos, obtidos com os elementos do conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5}Observe que 2 . 3 = 3 . 2. Assim, os agrupamentos do tipo combinaes simples so {1 . 2, 1 . 3, 1 . 4, 1 . 5, 2 . 3, 2 . 4, 2 . 5, 3 . 4, 3 . 5, 4 . 5}Cal cul a-seonmerodecombi naessi mpl es pelarelaoCAP52522= ,escritatambmdestaforma: C =m!(m p)!p!mpClculo do nmero de combinaes simples1. Uma liga com 10 times de futebol organiza um campe-onato de um turno, em que todas as equipes jogam entre si. Quantas partidas sero realizadas?Se o campeonato de um turno e cada equipe joga uma partida com cada uma das outras, o nmero de par-tidas a se realizar C1021010 2 210 9 88 210 924 = = = =!( )! !!! !. . ...55Sero realizadas 45 partidas.Observao: segundo a lei, apenas maiores de 18 anos apostam.Um dos jogos mais requisitados pelos apostadores das loterias promovidas pela Caixa a Mega-Sena. O apostador escolhe de 6 a 15 nmeros entre os 60 do volante. A aposta mnima corresponde a 6 nmeros. Ao efetu-la, do total de possibilidades que o jogo apresenta h uma chance de acerto. So 50 063 860 possibilidades de combinaes com os 60 nmeros, no sorteio de 6 desses nmeros.Suponha o seguinte resultado num dos sorteios: 14 26 33 40 52 57.No caso do sorteio da Mega-Sena, a ordem dos nmeros no importa ao resultado. Nesse caso, a mudana de lugar dos elementos no influencia na formao dos grupos que representam cada resultado possvel. Ento, o total de possibilidades que seriam formadas, caso a ordenao fosse relevante, igual a 60 . 59 . 58 . 57 . 56 . 55 = 36 045 979 200. Nesse caso, bastante improvvel que algum apostador acerte os 6 nmeros de cada sorteio.Como a mudana de colocao dos nmeros no modifica oresultadoemquesto,divide-seessetotalportodasas possibilidades de permutao desses 6 elementos, observando que no h repetio de nmeros em cada sorteio. Logo, divide-se o total por 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 720. Assim, a quantidade total de possibilidades Combinaes60.59.58.57.56.556.5.4.3..2.1= 50 063 860Orientao ao professor 5 Conforme a introduo do captulo, proponha aos alunos as atividades seguintes.a) Quais as possibilidades de resultados em acertar a quina, com uma aposta mnima de seis nmeros dentre os sessenta escolhidos, num sorteio da Mega-Sena?b) Quais as possibilidades de resultados em acertar a quadra, com uma aposta mnima de seis nmeros dentre os sessenta escolhidos, num sorteio da Mega-Sena?c) Pesquise e descubra a porcentagem do total de valores apostados, cujos recursos so destinados ao Fundo de Financiamento ao Estudante do Ensino Superior.EXCLUSIVO PARA PROFESSORES CONVENIADOS AO SISTEMA DE ENSINO DOM BOSCO17Anlise combinatria CombinaesMATEMTICA 2M110O fato de os 15 pontos estarem sobre uma circunfern-cia assegura que no existem trs pontos alinhados. Podem-se formar tringulos usando quaisquer trs dos 15 pontos. O tringulo ABC o mesmo que BCA, portanto agrupamentos do tipo combinao simples. O nmero de tringulos C1531515 3 315 14 13 1212 3= =!( )! !!!.. . .. .. .. .2 115 14 136455== =Sero desenhados 455 tringulos diferentes.3. Uma turma do Ensino Mdio tem 20 alunos. Quantas equipes diferentes de voleibol (6 jogadores) so formadas com esses estudantes?O nmero de equipes diferentes formadas C2062020 6 620 19 18 17 16= ==!( )! !.. . . . .. . . . 156 5 4 3 2 138 760.=Atividades1. Os moradores de um condomnio com 30 apartamen-tos escolhem quatro condminos para a administrao. De quantos modos diferentes feita essa escolha, com um re-presentante de cada apartamento? 2. Qual o nmero de diagonais de octgono regular?3. Multiplicando dois a dois os dgitos 1, 2, 3, 4, 5, 7, 0, quantos produtos no-nulos so obtidos?PROBLEMAS DE ANLISE COMBINATRIAPara resolver problemas que envolvem agrupamentos simples, identifica-se o tipo de agrupamento proposto no problema.O problema de arranjo simples, se dois agrupa-mentos diferem entre si, pela mudana de natureza ou mudana de ordem de seus elementos.pela natureza de seus elementos: 13 45pela ordem de seus elementos: 13 31Trata-se de problema de permutao simples se de arranjo simples, com a taxa igual ao nmero de ele-mentos.A palavra GOL tem os seguintes anagramas: GOL; GLO; OGL; OLG; LOG; LGOO problema de combinao simples se dois agrupa-mentos de mesma natureza no diferem pela ordem de seus elementos.3 . 2 = 2 . 31. Um cdigo de comunicao utiliza 4 bandeirolas de cores diferentes. Quantas mensagens distintas so enviadas usan-do uma, duas, trs ou quatro bandeirolas de cada vez?Tomam-se as bandeirolas a, b, c e d, sendo a mensa-gem ab diferente da mensagem ba (ab ba). So agru-pamentos do tipo arranjo simples.Podem-se ter os seguintes tipos de mensagem:Usando 1 bandeirola de cada vez.Usando 2 bandeirolas de cada vez.Usando 3 bandeirolas de cada vez.Observao: no esto representadas todas as possibilidades.Usando 4 bandeirolas de cada vez.Observao: no esto representadas todas as possibilidades.H formas diferentes de representar as combinaes.C Cmpm=,pppm= |\

|.||Observao2. Quinze pontos dividem uma circunferncia em 15 par-tes congruentes. Quantos tringulos distintos sero dese-nhados com vrtices nesses pontos?C3043030 4 430 29 28 27 2626= =!( )! !!! . . . . .. . . . 4 3 2 1= 27 405CSo8288 2 28 724 7 28 = = = =!( )! !... 28 (lados e diaggonais) formados com os 8 vrtices do octgono. Ento, des scontando-os: C = 8 = 28 8 = diagonais 8220ExcluindoC o zero:. . 6266 2 26 52 1= = =!( )! !.15EXCLUSIVO PARA PROFESSORES CONVENIADOS AO SISTEMA DE ENSINO DOM BOSCOMATEMTICA 2M110Anlise combinatria Combinaes18Calculando:AAA41424343444 24 3 2 12 1124= == = ==!!!( )!!. . ..(( )!!4 34 3 2 11244 244444142434= == = =+ + + =. . .A PA A A P 44 12 24 24 64 + + + =So possveis. 64 mensagens diferentes2. Dos anagramas da palavra CALOR, quantos possuem a slaba CA? Em quantos anagramas as letras C e A per-manecem juntas?Primeira resposta:So permutaes simples (CALOR ROLCA)4 elementos

C A L O REm 24 diagramas figuram a slaba CA, nessa ordem.Segunda resposta:Novamente, permutao simples4 elementos

C A L O R4 elementos

A C L O RSo 48 anagramas, e as letras C e A ficam juntas em qualquer ordem.3. Um tcnico da Seleo Brasileira de Futebol convocou 22 jogadores para um jogo contra a Colmbia. De quan-tas maneiras diferentes ele compe a equipe com o go-leiro, 5 jogadores titulares absolutos e os demais jogando em todas as posies?Tm-se agrupamentos do tipo combinao simples.CC22 611 61651616 5 516 15 14 13== =!( )! !.. . . .. .. . . . . sel12 1111 5 4 3 2 14 368!!=A eeo pode ser escalada de. 4 368 maneiras diferentes1. Nas cidades brasileiras, os nmeros de telefone so for-mados de 8 algarismos com os quatro primeiros correspon-dendo ao prefixo de uma estao telefnica.PREFIXOQuantos telefones existem com prefixo 8468?2. Quantos nmeros mpares, de 5 algarismos distintos, existem no sistema de numerao?3. Se um shopping tem 6 portas de acesso. De quantos modos diferentes permitida a entrada?4. Um condomnio fechado composto por 7 sobrados enfileirados. De quantos modos possvel pintar cada um deles de uma nica cor, utilizando 4 cores diferentes e de modo que dois consecutivos no tenham a mesma cor?AtividadesA seleo pode ser escalada de 4 368 maneiras di-ferentes.Fixando o prefixo em 8468, a formao do nmero completo se desenvol-veem4etapassucessivas:acolocaodoprimeiro,segundo,terceiroe quarto algarismos.Como o nmero do telefone tem algarismos repetidos, para a primeira eta-pa so 10 possibilidades, 10 para segunda, 10 para terceira e 10 tambm para a quarta. Sendo n o nmero de telefones diferentes, tem-se: n = 10 . 10 . 10 . 10 = 10 000, ou seja, do 84 680 000 ao 84 689 999.10 algarismos para formar os nmeros: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 01a. 2a. 3a. 4a. 5a.EtapasSo 5 possibilidades (1, 3, 5, 7, 9) para compor a quinta etapa, pois o nmero mpar.So 8 possibilidades para compor a primeira etapa, excluindo umnmero que componha a quinta etapa e o 0. Uma vez que se ele comece com zero, considera-se como um nmero de 4 algarismos.So 8 possibilidades para compor a segunda etapa, descontando-se o primeiro e o ltimo algarismos.So 7 possibilidades para compor a terceira etapa, descontando-se 3 algarismos: primeira, segunda e quinta etapas.So 6 possibilidades para compor a segunda etapa, descontando-se os algarismos utilizados nas outras etapas.Assim: n = 8 . 8 . 7 . 6 . 5 = 13 440 nmerosSo seis etapas e, para cada uma, duas possibilidades (aberta ou fechada). Assim o nmero total de possibilidades n = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 6463possibilidades,pois,paraoshoppingestaraberto,necessrio,pelo menos,umadasportasestaraberta.Umadas64possibilidadescalcula-das representa todas as portas fechadas.So 7 etapas.1. etapa: 4 disponveis2. etapa: 3 cores disponveisE assim sucessivamente at a 7. etapa.Nmero de possibilidades na pintura dos sobrados:n = 4 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 = 2 916EXCLUSIVO PARA PROFESSORES CONVENIADOS AO SISTEMA DE ENSINO DOM BOSCO19Anlise combinatria CombinaesMATEMTICA 2M1105. Um hexaedro regular tem as faces numeradas de 1 a 6 e um tetraedro regular de 1 at 4. Quantos pares ordena-dos diferentes so formados com o primeiro nmero do hexaedro e o segundo nmero do tetraedro?6. H um conjunto com 10 nomes e outro com 20 sobre-nomes. Quantas pessoas recebem um nome e um sobre-nome com esses elementos?7. Cinco moedas so lanadas. Quantas sequncias de ca-ras e coroas existem?8. Num painel tm-se quatro lmpadas alinhadas. A que est acesa vale 1 e a apagada, 0. Quantas sequncias de 1 e 0 obtemos se as utilizarmos?9. Determinar o nmero de permutaes de n elementos que comeam com um elemento escolhido.10. SendoPn + 1 = 20 . Pn 1, calcule n.11. Determine n sabendo que Pn = 12 . Pn 212. A relao entre An3 e n 240. Calcule n.13. Quantas permutaes simples so formadas com os elementos a, b, c, d, e, comeando com a letra d?14. De quantos modos possvel dispor, em linha, alter-nadamente, 4 rapazes e 5 moas?15. Quantos nmeros diferentes, com 4 algarismos distin-tos, so formados sem o algarismo zero?16. O nmero de arranjos de n elementos 5 a 5 6 vezes o de arranjos dos n elementos tomados 3 a 3. Calcule n.So duas etapas, a primeira possui seis possibilidades e a segunda, quatro. O nmero de pares ordenados formados n = 6 . 4 = 24So duas etapas, a primeira possui 10 possibilidades e a segunda, 20. O nmero de pessoas que recebem um nome e um sobrenome n = 10 . 20 = = 200Cada moeda representa uma etapa que possui duas possibilidades. O nmero de sequncia obtido n = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 25 = 32Cada lmpada representa uma etapa, que possui duas possibilidades. Assim o nmero de sequncias n = 2 . 2 . 2 . 2 = 16De n elementos, escolhe-se um deles para ser primeiro. Permuta-se n 1 ele-mentos.Pn 1( ) ( )! ( )! ( ) n n n n n nn n+ = + =+ 1 1 20 1 1 20202. . . .== = += = 01 1 8021 925 n'(No pode ser.) valor de por se n rr negativo n" = +=1 8124n = 4Desenvolvendo os fatoriais:n! = 12 . (n 2)!, que permite simplificar. n . (n 1) = 12. n n n nn( ) 1 12 12 012 == 11 4821 723 +== =n' (Deve ser descartada.)n 4n = 4Ann n nnn nn n nn322401 2240 1 2 2403 2 240= = = + = . ( )( )( )( )223 238 0 17 = = n n (A outra raiz descartada.)n = 17Fixando a letra d, sobram 4 letras para permutar. P4 = 24M-R-M-R-M-R-M-R-M P4 . P5 = 24 . 120 = 2 880So os seguintes algarismos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9Arranjos simples: A94 = 9 . 8 . 7 . 6 = 3 024A A n n n n nn n5 36 1 2 3 46= =. . . ..( ) ( ) ( ) ( )nn n nn n. . (A outra raiz no at( ) ( )( )( ) =1 23 4 6n = 6 eende s condies do problema.)EXCLUSIVO PARA PROFESSORES CONVENIADOS AO SISTEMA DE ENSINO DOM BOSCOMATEMTICA 2M110Anlise combinatria Combinaes2021. De quantos modos possvel distribuir 5 livros de ma-temtica, 10 de fsica e 4 de qumica numa prateleira, de modo que os de mesmo assunto fiquem juntos?22. Em cada carteira de uma fila de 5 carteiras duplas esto sentados um rapaz e uma moa. De quantos modos possvel dispor os 10 alunos, de modo que no fiquem rapazes ou moas juntos?23. Com 3 consoantes e 3 vogais, colocadas alternada-mente, quantas palavras de 6 letras, comeadas por con-soantes, possvel formar?24. Escritos em ordem crescente, os nmeros formados pelas permutaes simples dos algarismos 1, 2, 3, 4, 5, que posio ocupar o nmero 43 512?26. Formando os arranjos 3 a 3 de n elementos, de modo que um deles fique sempre em segundo lugar, verifica-se que h 20 arranjos. Calcular n.27. Oitos pontos sobre uma circunferncia do origem asegmentosderetaorientados.Quantossegmentos existem?17. Das permutaes simples de a, b, c, d, f, quantas contm as letras a e c nas posies extremas?18. Dos anagramas da palavra CONVITE, quantos possuem a slaba VI?19. De quantas maneiras diferentes se sacam, sucessiva-mente, uma a uma, todas as 9 fichas numeradas de 1 a 9, colocadas numa caixa?25. Dos anagramas da palavra CONVITE, quantos pos-suem as letras V e I juntas.20. De quantas maneiras diferentes se sacam, sucessiva-mente, uma a uma, todas as 9 fichas numeradas de 1 a 9, colocadas numa caixa, de modo que a ficha 7 seja a pri-meira retirada?Permutao de C O N V I T E, ou seja, P6 = 720 possvel ter VI e IV 2 P6 = 1 440 anagramasP3 . P5 . P10 . P4Considere, inicialmente, rapazes direita e moas esquerda. O nmero de posies possveis (P5)2.Colocando as moas direita e os rapazes esquerda: (P5)2Ou seja, os modos de dispor so 2 . (P5)2 = 28 800Considerando C V C V C V, escreve-se (P3)2 = 36 palavras.Ao todo so P5 = 120 nmeros diferentes.Nmeros comeados em 1: 24Nmeros comeados em 2: 24Nmeros comeados em 3: 24Nmeros comeados em 41: 6Nmeros comeados em 42: 6Nmeros comeados em 431: 2Nmeros comeados em 432: 2Total: 88 O prximo nmero, o 89., 43 512.Sendo 7 fixas, restam oito elementos. P8 = 8! = 40 320Considerando queAn um dos elementos fixo, escreve-se:12== = = 20 1 2 20 3 18 02( )( ) n n n nNo considerando a raiz negati iva, n = 6Os segmentos AB e BAso diferentes entre si.Arranjos simples de oito elementos 2 a 2:A82 = 8 . 7 = 56 segmentos de reta orientadosa c ou c a 2 x P3 = 12Permutao de 6 elementos: P6 = 720Permutao de 9 elementos, ou seja, P9 = 9! = 362 880EXCLUSIVO PARA PROFESSORES CONVENIADOS AO SISTEMA DE ENSINO DOM BOSCO21Anlise combinatria CombinaesMATEMTICA 2M11028. Oitos pontos sobre uma circunferncia determinam retas. Quantas so determinadas?29.Numaurnah5bolaspretase9vermelhas.De quantos modos se retiram 5 bolas, sendo duas pretas e 3 vermelhas?30. Quantosnmerosdeal gari smosdi ferentes compreendidos entre 20 000 e 80 000 existem?31. Quantas diagonais possuem um hexaedro formado pela unio de duas pirmides triangulares?32. Considerando duas retas reversas (r) e (s), contendo, respectivamente, 4 e 5 pontos. Quantos tetraedros so possveis formar com vrtices nesses pontos?rsTestes1. Unifesp-SP Quatro pessoas vo participar de um torneio em que os jogos so disputados entre duplas. O nmero de grupos com duas duplas, que podem ser for-mados com essas 4 pessoas, :a)3b)4c)6d)8e)122. UECE Assinale a alternativa na qual se encontra a quantidade de modos distintos em que podemos dividir 15 jogadores em 3 times de basquetebol, denominados Vencedor, Vitria e Confiana, com 5 jogadores cada.a)3 003b)9 009c)252 252d)756 756As BA retasABso combinaes simples de 8 elementos 2 a= 22...C8288 2 28 72= = =!( )! !28Considerando as bolas pretas e as bolas vermelhas em separaado:... CC529355 2 25 421099 3 39== ===!( )! !!( )! ! . . . C. 84 = 938 76841052== C 840Trata se agrupamentosAde do tipo arranjo simples.. 6105510610 9 8 7 610= =.. . . .18 144O hexaedro formado possui 5 vrtices e 6 faces, assim o nmero de ares-tas A = V + F 2A = 5 + 6 2 = 9 O nmero de segmentos de retas determinadas pelos 5 vrtices C5253 25 4210 = = =!! !..Descontando as arestas do poliedro: 10 9 = 1Agrupamentos do tipo combinao simples:O nmero total de tetraedros formados C C524253 242 25 424 32 .. ....= = =!! !!! !660Cada pessoa pode formar 3 duplas apenas, logo so apenas 3 as duplas formadas no caso.So as combinaes de 15, 10 e 5, tomados em cada grupo de 5 jogadores. C155 . C105 . C55 = (3 003) . (252) . (1) = 756 756EXCLUSIVO PARA PROFESSORES CONVENIADOS AO SISTEMA DE ENSINO DOM BOSCOMATEMTICA 2M110Anlise combinatria Combinaes228. ITA-SP Dentre 4 moas e 5 rapazes deve-se formar uma comisso de 5 pessoas com, pelo menos, 1 moa e 1 rapaz. De quantas formas distintas tal comisso pode-r ser formada?9. FGV-SP Trs nmeros inteiros distintos de 20 a 20 foram escolhidos de forma que seu produto seja um nmero negativo. O nmero de maneiras diferentes de se fazer essa escolha :a)4 940b)4 250c)3 820d)3 640e)3 28010. FGV-SP Uma empresa tem n vendedores que, com exceo de dois deles, podem ser promovidos a duas va-gas de gerente de vendas.Se h 105 possibilidades de se efetuar essa promoo, ento o nmero n igual a:a)10b)11c)13d)15e)173. FGV-SP O nmero de segmentos de reta que tm ambas as extremidades localizadas nos vrtices de um cubo dado :a)12b)15c)18d)24e)284. UECE Participei de um sorteio de oito livros e qua-tro DVDs, todos distintos, e ganhei o direito de escolher dentre estes, trs dos livros e dois dos DVDs. O nmero de maneiras distintas em que eu posso fazer essa escolha :a)32b)192c)242d)3365. PUC-RJ O nmero total de maneiras de escolher 5 dos nmeros 1, 2, 3, ..., 52 sem repetio :a)entre 1 e 2 milhes.b)entre 2 e 3 milhes.c)entre 3 e 4 milhes.d)menos de 1 milho.e)mais de 10 milhes.6. UFU-MG Para participar de um campeonato de Futsal, um tcnico dispe de 3 goleiros, 3 defensores, 6 alas e 4 atacantes. Sabendo-se que sua equipe sem-pre jogar com 1 goleiro, 1 defensor, 2 alas e 1 atacante, quantos times diferentes o tcnico poder montar?a)216b)432c)480d)5407. UFJF-MG Uma empresa fornece a seus funcionrios um carto de acesso ao seu escritrio e uma senha, que um nmero com 4 algarismos, escolhidos dentre os ele-mentos do conjunto {1, 2, 3, 4}. No so admitidas senhas em que um mesmo algarismo aparea 3 vezes ou mais. Qual o nmero mximo de senhas desse tipo que pode-ro ser oferecidas pela empresa?a)204b)208c)240d)252e)2561) Considere as senhas com os quatro algarismos dis-tintos.4 . 3 . 2 . 1 = 24 senhas diferentes2) Considere as senhas com repetio, fixe o algarismo 1 repetido duas vezes.a)1,1,?,?so3possibilidadesdepares:{2,3}, {2, 4}, {3, 4}Considerando as permutaes desses elementos, com duas repeties, no caso o algarismo 1: 4212!! =senhas diferentes para cada par, o que d o total de 12 . 3 = 36 senhasEnto, o total 4 . 36 = 144 senhas, nessas condies.b) 1, 1, 2, 2 so as possibilidades de formar senhas com repetio de duas vezes o algarismo 1 e duas vezes o algarismo 2. 42 26!! ! =Como podem ser escolhidas 6 dessas duplas repetidas, 6 . 6 = 36Total: 24 + 144 + 36 = 204 senhasTotal de grupos com as 9 pessoas: C95 = 125No caso, so excludos os grupos em que tenham apenas moas ou rapa-zes. Como so 4 moas, sobra um grupo de rapaz. Ento, o nmero de gru-pos 126 1 = 125So as combinaes de 20 elementos negativos, trs a trs: C203 = 1 140Combi naesde20posi ti vos,doi sadoi se 20 negativos, um a um:C202 . C201 = 3 800Total: 1 140 + 3 800 = 4 940Combinaes de n elementos, dois a dois: C nn2210 15 = =Logo, o total 15 + 2 = 17 vendedoresSo as combinaes dos 8 vrtices, tomados dois a dois.C828 72 1= = ..28Livros: C83= 56, DVDs : C42 = 6 Total : (56) . (6) = 336So as combinaes de 52 elementos, tomados 5 a 5. C525 = 2 598 960 Esse valor est compreendido entre 2 e 3 milhes.So combinaes possveis: C31 . C31 . C62 . C41 = 3 . 3 . 15 . 4 = 540EXCLUSIVO PARA PROFESSORES CONVENIADOS AO SISTEMA DE ENSINO DOM BOSCO23Anlise combinatria CombinaesMATEMTICA 2M11011. FGV-SP Colocando em ordem os nmeros resul-tantes das permutaes dos algarismos 1, 2, 3, 4, 5, que posio ocupar o nmero 35 241?a)55.ab)70.ac)56.ad)69.ae)72.a12. Enem Estima-se que haja, no Acre, 209 espcies de mamferos, distribudas conforme a tabela a seguir.Grupos taxonmicos Nmero de espciesArtiodctilos 4Carnvoros 18Cetceos 2Quirpteros 103Lagomorfos 1Marsupiais 16Perissodctilos 1Primatas 20Roedores 33Sirnios 1Edentados 10Total 209Deseja-se realizar um estudo comparativo entre trs dessas espcies de mamferos uma do grupo cetceos, outra do grupo primatas e a terceira do grupo roedores.Onmerodeconjuntosdistintosquepodemser formados com essas espcies para esse estudo igual a:a)1 320b)2 090c)5 845d)6 600e)7 24513. ITA-SP Determine quantos nmeros de 3 algaris-mos podem ser formados com 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7, satisfa-zendo seguinte regra: o nmero no pode ter algarismos repetidos, exceto quando iniciar com 1 ou 2, caso em que o 7 (e apenas o 7) pode aparecer mais de uma vez.Assinale o resultado obtido.a)204b)206c)208d)210e)212T & C Amaznia. ano 1, n.. 3. dez. 2003.14. UFRJ Seja n = 20!Determine o maior fator primo de n.15. Unicamp-SP Sabendo que nmeros de telefo-ne no comeam com 0 nem com 1, calcule quantos di-ferentes nmeros de telefone podem ser formados com 7 algarismos.16.Fuvest-SPConsideretodasastrintaeduas sequncias, com cinco elementos cada uma, que podem ser formadas com os algarismos 0 e 1. Quantas dessas sequncias possuem pelo menos trs zeros em posies consecutivas?a)3d)12b)5e)16c)817. UFES Um shopping center possui 4 portas de entrada para o andar trreo, 5 escadas rolantes ligando o trreo ao primeiro pavimento e 3 elevadores que condu-zem do primeiro para o segundo pavimento.De quantas maneiras diferentes uma pessoa, partin-do de fora do shopping center, pode atingir o segundo pavimento usando os acessos mencionados?a)12d)23b)17e)60c)1918.UFPENafiguraaseguirtemosumesboode parte do centro da cidade do Recife com suas pontes. As setas indicam o sentido do fluxo de trfego de veculos. De quantas maneiras, utilizando apenas o esboo, pode-r uma pessoa ir de carro do ponto A ao ponto B (marco zero) e retornar ao ponto de partida, passando exatamen-te por trs pontes distintas?a)8d)18b)13e)20c)172.( 4!) +3.( 3!) +1.( 2!) +1.( 1!) = = 48 + 18 + 2 + 1 = 69A posio do nmero a 70a..Princpio da contagem: 2 . 20 . 33 = 1 320Iniciado por 1, 2 , 3, 4, 5, 6, 7: 7 . (6 . 5) = 210 nmeros sem repetio de algarismosIniciado por 1: 177 (nmero com algarismos repetidos)Iniciado por 2: 277 (nmero com algarismos repetidos)Total: 210 + 2 = 212n = 20 . 19 . 18 . 17 . 16 .....3 . 2 . 1O maior fator primo o nmero 19.So 8 algarismos para iniciar e, depois, sempre 10 algarismos. Como fica o total: 8 . 10 . 10 . 10 . 10 . 10 . 10 = 8 000 000So8possibilidades:00011,10001,11000,00001, 00010, 01000, 10000, 00000Pela contagem: 4 . 3 . 5 = 60 So 9 possibilidades no sentido ho-rrio e 8 no sentido anti-horrio, no total de 17 maneiras.EXCLUSIVO PARA PROFESSORES CONVENIADOS AO SISTEMA DE ENSINO DOM BOSCOMATEMTICA 2M110Anlise combinatria Combinaes2424. UFMG Duas das cinquenta cadeiras de uma sala sero ocupadas por dois alunos. O nmero de maneiras distintas possveis que esses alunos tero para escolher duas das cinquenta cadeiras, para ocup-las, :a)1 225d)49!b)2 450e)50!c)5!25. UFC-CE Atualmente, as placas dos veculos so formadas por trs letras seguidas de quatro algarismos. Considerando essas informaes, calcule o nmero de pla-cas distintas que podem ser fabricadas, iniciadas pelas letras HUI, nessa ordem, e cujo ltimo algarismo seja mpar.26. UFBA Com os dgitos 1, 2, 3, 4, 6 e 8, podem-se formar x nmeros mpares, com trs algarismos distintos cada um. Determine x.27. UFRGS-RS O nmero de mltiplos de trs, com qua-tro algarismos distintos, escolhidos entre 3, 4, 6, 8 e 9 :a)24b)36c)48d)72e)9628. Mack-SP Os nmeros pares com 4 algarismos dis-tintos, que podemos obter com os elementos do conjunto {0; 3; 4; 5; 6; 7; 8}, so em nmero de:a)360b)420c)640d)520e)38029. PucCamp-SP Usando os algarismos 2, 3, 4, 5, 6, 8 e 9, sem repetio, quantos nmeros pares de trs algarismos e maiores que 234 se podem formar?a)110 d)129b)119 e)132c)12530. UFRGS Quantos nmeros inteiros positivos, com 3 algarismos distintos, so mltiplos de 5?a)128 d)162b)136 e)648c)14419. Unaerp-SP Uma fechadura de segredo possui 4 contadores que podem assumir valores de 0 a 9 cada um, de tal sorte que, ao girar os contadores, esses nme-ros podem ser combinados, para formar o segredo e abrir a fechadura. De quantos modos esses nmeros podem ser combinados para se tentar encontrar o segredo?a)10 000b)64 400c)83 200d)126e)72020. Unaerp-SP Numa urna escura, existem 7 meias pretas e 9 meias azuis. O nmero mnimo de retiradas ao acaso (sem reposio) para que se tenha, certamente, um par da mesma cor :a)2d)9b)3e)10c)821. PucCamp-SP Seja o conjunto A = {1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}. Quantos produtos de 4 fatores distintos, escolhidos entre os elementos de A, contm o fator 5 e so pares?a)21b)24c)35d)42e)7022. Fuvest-SP Numa primeira fase de um campeona-to de xadrez, cada jogador joga uma vez contra todos os demais. Nessa fase foram realizados 78 jogos. Quantos eram os jogadores?a)10b)11c)12d)13e)1423. UFMG Observe o diagrama.O nmero de ligaes distintas entre X e Z :a)39b)41c)35d)45RXSY ZSo as 50 vezes 49 possibilidades. 50 . 49 = 2 450Se o ltimo mpar, ento: 10 . 10 . 10 . 5 = 5 000 placasO final pode ser 1 ou 3, logo: (5) . (4) . (2) = 40 So nmeros cuja soma dos algarismos so mltiplos de 3. {3, 4, 6, 8} ou {4, 6, 8, 9} ou {3, 4, 8, 9} Permutaesde4elementos,por3vezesemseparado: 3 . (4!) = 72Final zero: (6 . 5 . 4) = 120Final 4 ou 6 ou 8: (5 . 5 . 4 . 3) = 300Total: 120 + 300 = 420Teste 29Comeando pelo algarismo 2: (5 . 3 1 = 14 nmeros)Comeando por 3, 5, 9: (3 . 5 . 4 = 60 nmeros)Comeando por 4, 6, 8: (5 . 3 . 3 = 45 nmeros)Total: 14 + 60 + 45 = 119 nmeros8 . 8 + 9 . 8 = 64 + 72 = 136 nmerosPelacontagem:10.10.10.10=10000 combinaes, pois pode existir repetio.So3.Aoescolherduas,nose temcerteza,mascomaterceira forma-se o par.Devemtero2eo5,logosoascombinaesde 7 elementos, 2 a 2.C727 62 1= = ..21SoCn nn as combinaes de "n" elementos, 2 a 2. 2781= . ( ))278156 02= ==n nn 13SoaspossibilidadesXRYZouXYZouXSYZouXRZou XSZ.(3 . 3 . 2) + (1 . 2) + (3 . 2 . 2) + (3 . 1) + (3 . 2) = = 18 + + 2 + 12 + 3 + 6 = 41EXCLUSIVO PARA PROFESSORES CONVENIADOS AO SISTEMA DE ENSINO DOM BOSCO25Anlise combinatria Binmio de NewtonMATEMTICA 2M110Binmio de NewtonTringulo de PascalTringulo de Pascal tal como apresentado por Chu Shih-chieh, extrado do livro Histria ilustrada da cincia, da universidade de Cambridge.11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 11 6 15 20 15 6 11 7 21 35 35 21 7 1111 + 1 = 22 + 1 = 33 + 4 + 1 = 81 + 6 + 5 + 1 = 134 + 10 + 6 + 1 = 211 + 3 + 1 = 5H indcios de que matemticos chineses, entre os anos de 960 e 1126, j estudavam associaes entre sries de nmeros ligadas s permutaes e com-binaes de objetos.Outro matemtico clebre envolvido com o tringulo Fibonacci (1180-1250). Sua famosa sequncia de nmeros tambm aparece no tringulo de Pascal.(1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ...)A matemtica apresenta curio-sidades, dentre elas o tringulo de Pascal Tartaglia, que facilita o clculo do nmero de combinaes simples e dos coeficientes dos termos no desenvolvimento da potncia de um binmio. Um casal de coelhos teve cinco filhotes. Quais as possibilidades de resultado quanto ao sexo dele?Resultados possveis:Para cada filhote h duas possibilidades, logo a chance de ser macho ou fmea de 1/2 ou 50%.Para cada nascimento sempre h 1/2 de possibilidade de ser macho ou fmea. Nesse caso, tratando-se de cinco filhotes, so 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 32 possibilidades.Como descobrir qual a possibilidade de nascerem dois machos e trs fmeas?um macho e quatro fmeascinco fmeascinco machosquatro machos e uma fmeatrs machos e duas fmeasdois machos e trs fmeasWAYNE SHIPLEYEXCLUSIVO PARA PROFESSORES CONVENIADOS AO SISTEMA DE ENSINO DOM BOSCOMATEMTICA 2M110Anlise combinatria Binmio de Newton26BlaisePascal(1623-1662)Pascal, filsofo, matemtico e fsico francs, in-ventouapri mei ra mquina de calcular mecnica com ape-nas 19 anos. Foi pre-cursordateoriada probabilidade,jun-tocomFermat. autordeNovasex-perinciassobreo vcuo(1647), Les pr ovi nc i al e s ( As provinciais, 1657) e Pensamentos(ps-tumo, 1670).NicoloFontanaTartaglia(1499-1557) Oriundo de famlia muito pobre, s aos 14 anos e pelos prprios meios Tartaglia aprendeu a escrever. Tornou-se engenheiro e professor de matemtica. Fez trabalhos importantes demonstrando muitos conhe-cimentos de aritmtica, geometria, lgebra, balstica e esttica.Tartaglia contribuiu para a matemtica com a resoluo das equaes cbicas de terceiro grau. Escreveu o Tratado geral dos nmeros e medidas, quecontmregrasde aritmtica, lgebra, geo-metria e fsica.Saiba maisBlaise Pascal, grande matemtico e fsico francs.Nmeros binomiaisTartaglia nasceu em Brescia, Itlia.5252 35 4 32 1 310|\

|.||= = =!! !!! . . . . 4141 34 334|\

|.||= = =!! !!! . 5352|\

|.||= |\

|.|| 3 + 2 = 57374|\

|.||= |\

|.|| 3 + 4 = 7645354|\

|.||= |\

|.|| + |\

|.||Os chineses observaram que os coeficientes do desen-volvimento de um binmio do tipo (x + 1)n apresentavam uma regularidade.(x + 1)1 = x + 1 Os coeficientes so 1, 1(x + 1)2 = x2 + 2x + 1 Os coeficientes so 1, 2, 1(x + 1)3 = x3 + 3x2 + 3x + 1 Os coeficientes so 1, 3, 3, 1.De acordo com essa regularidade, dispensa-se o desenvol-vimento da potncia e obtm-se somente os coeficientes.No tringulo de Pascal, os termos equidistantes dos extremos so complementares. Verifica-se a propriedade pelo fato de as taxas serem complementares.Numa das linhas do tringulo de Pascal, os termos so 1 4 6 4 1O segundo e o quarto termo so iguais, procedentes de nmeros binomiais complementares.4143|\

|.||= |\

|.||RELAO DE STIFELNo tringulo de Pascal, vale a relao de Stifel entre os nmeros binomiais, a saber:npnpnp|\

|.||=|\

|.|| + |\

|.||111Dois nmeros binominais so complementares se apre-sentam o mesmo numerador e se a soma de suas classes igual a esse numerador.Os coeficientes do tringulo de Pascal ou nmeros binomiais esto associados a coeficientes dos termos de um binmio do tipo (x + a)n, sendo n um nmero intei-ro e positivo.Representao dos nmeros binomiais: np|\

|.||, em que n e p so inteiros e positivos e p n.npCnp n pnp|\

|.||= =!!( )! a representao da combinao de n elementos agrupados p a p.DOMNIO PBLICODOMNIO PBLICOOri entaoao professor6 Responde-seessa perguntadesen-volvimentodobi-nmio (x + a)5 e a interpretaodos coef i ci ent es de cadatermodesse binmio. Pelo trin-gulodePascal, simplesidentificar os coeficientes dos termos.11 11 2 1 1 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 1..........................Os coeficientes do binmio(x+a)5 so 1 5 10 10 5 1Desenvolvendoo binmio:(x + a)5 = 1 . x5+ + 5x4a + 10x3a2 + + 10x2a3 + 5xa4 + + a5Para calcular a pos-sibilidade de nascer dois machos e trs fmeas ou qualquer outrarelacionada com os cinco filho-tes,substituem-se x = 1/2 e a = 1/2, poistantomacho quanto fmea tm 50% de chance.O termo que se re-lacionacomdois machosetrsf-meas10x2a3. Substituindo EXCLUSIVO PARA PROFESSORES CONVENIADOS AO SISTEMA DE ENSINO DOM BOSCO27Anlise combinatria Binmio de NewtonMATEMTICA 2M110Isaac Newton nasceu em 25 de dezembro de 1642, na Inglaterra. Teve sade extremamente frgil nos pri-meiros meses de vida e cedo perdeu o pai, sendo criado pelos avs quando a me se casou novamente. Consta que no se destacava muito nos estudos antes da adolescncia e que adorava fi-car inventando e construindo peque-nos objetos, desde pipas at relgios solares e de gua.Umtioquetrabal havana UniversidadedeCambridgeper-cebeu suas tendncias e conseguiu lev-lo para estudar nessa instituio. Durante os anos em que l permane-ceu, no foi considerado excepcional-mente brilhante, mas, mesmo assim, desenvolveu um recurso matemtico que ainda hoje leva seu nome: o bin-mio de Newton. Na poca em que se formou, uma epidemia de peste assolava Londres, o que o fez retirar-se para a fazenda da me. Foi ali que fez sua observa-o mais famosa: ao ver uma ma cair de uma rvore. Esse fenmeno corriqueiro o levou a pensar que ha-veria uma fora puxando a fruta para a terra e que essa mesma fora tam-bm estaria puxando a Lua, impedin-do-a de escapar de sua rbita, espao afora. S bem mais tarde, levando em conta os estudos de Galileu e Kepler, alm de suas prprias experincias e clculos, Newton formularia essa ideia no seguinte princpio: A veloci-dade da queda proporcional fora da gravidade e inversamente propor-cional ao quadrado da distncia at o centro da Terra.As experincias de Newton com a luz tambm possibilitaram desco-bertas surpreendentes. A mais co-nhecida delas foi conseguida quando deixou um pequeno feixe de luz do sol penetrar numa sala escura e atra-vessar um prisma de vidro. Verificou que o feixe se abria ao sair do prisma, revelando ser constitudo de luzes de diferentes cores, dispostas na mesma ordem em que aparecem no arco-ris. Para que elas no fossem acrescidas pelo prprio vidro, fez o feixe colo-rido passar por um segundo prisma. Como resultado, as cores uniram-se novamente, provando que sua reu-nio formava outro feixe de luz bran-ca, igual ao inicial.Newton e o matemtico alemo Gottfried Wilhelm Leibniz criaram independentemente e, para com-plicarascoisas,quaseaomesmo tempo o clculo infinitesimal, com base nos estudos feitos pelo francs Pierre de Fermat.Em 1687, Newton publicou sua mais importante obra, Philosophiae naturalisprincipiamathematica (Princpios matemticos da filosofia natural). Nessa obra, incluiu todos os seus conhecimentos cientficos. Ali constam, por exemplo, suas ilustres trs leis do movimento, que lhe per-mitiram formular matematicamente o valor da fora de atrao entre dois corpos quaisquer, em qualquer par-te do universo. Embora soubesse que a gravidade era constante, esse valor aindapermaneceriadesconhecido por um sculo, at ser determinado por Cavendish.Como montar o tringulo de Pascal:1 + 112113 +3114641151010 + 511615201561172135352171Eixo de simetria1615201561172135352171Leitura complementarCada termo obtido pela soma de dois elemen-tos da linha anterior.Esses nmeros so combinaes, por exemplo, na sexta linha. C60 = 1; C61 = 6; C62 = 15; C63 = 20; C64 = 15; C65 = 6; C66 = 1Existe simetria dos termos em relao ao termo central ou aos termos mdios.Observe as seguintes regularidades:O primeiro e o ltimo elementos de cada linha so iguais a 1.Disponvel em: Acesso em: 25 jul. 2008. (Adaptado)Orientao ao professor 7 Aproveite o texto para falar sobre o grande matemti-co e fsico Sir Isaac Newton. Caso tenha tempo, pea para os alunos fazerem um levan-tamento de suas descobertas. x = 1/2 e a = 1/2: 10x2a3 =10. 121210325162 3|\

|.||\

|.|== =. probabilidades.Proponha aos alu-nos:a)Qualaproba-bilidade de nasce-rem trs machos e duas fmeas? b) Relacione o re-sultado encontra-do com a probabi-lidade de nascerem dois machos e trs fmeas.c)Esseresultado estrelacionado aosnmerosbi-nomiais?d)Qualaproba-bilidade de nasce-rem quatro machos e uma fmea?e) E qual a proba-bilidadedenas-ceremci ncof-meas?Esseexempl o umadasaplica-es interessantes da matemtica na gentica. Essa par-te da biologia de-pendemuitodos estudosdepro-babilidades e dos binmiosdotipo (x + a)n, sendo n inteiro e positivo.Notequeasoma dasprobabilida-des de x e a ocor-rerem sem-pre igual a 1. Hcasosem que as proba-bilidades no soiguaisa 50%, ma s 75%e25%. Ento,subs-tituem-se x = 3/4 (75%) ea=1/ 4 ( 25%) ,nos termos do bi-nmio desen-volvido.EXCLUSIVO PARA PROFESSORES CONVENIADOS AO SISTEMA DE ENSINO DOM BOSCOMATEMTICA 2M110Anlise combinatria Binmio de Newton28Desenvolvimento de um binmioSemconsiderarosvaloresdoscoeficientes, (x + a)10, o desenvolvimento do binmio x10 + k1ax9 + k2a2x8 + k3a3x7 + k4a4x6 + k5a5x5 + + k6a6x4 + k7a7x3 + k8a8x2 + k9a9x + a101112113311464115101051161520156117213535217118285670562881193684126126843691110451202102522101204510111155165330462462330165551111126622049579279249522066121AtividadeTringulo de PascalEsses so os coeficientes do desenvolvimento dos binmios de (x + a)1 at (x + a)12.III.Em relao aos coeficientes dos termos do desenvol-vimento, constata-se que os chineses j tinham mos-trado que existe um critrio para essa formao.Considere algumas potncias de um binmio do tipo (x + a), em que x o primeiro termo e a, o segundo termo.(x + a)0 = 1(x + a)1 = x + a(x + a)2 = x2 + 2ax + a2(x + a)3 = x3 + 3ax2 + 3a2x + a3Observando essas potncias com o objetivo de esta-belecer critrios para desenvolver potncia de grau supe-rior a trs, so feitas as seguintes anotaes:I.O nmero de termos do desenvolvimento igual ao expoente do binmio mais uma unidade. expoente 0: 1 termo expoente 1: 2 termos expoente 2: 3 termos e assim por dianteII.O desenvolvimento ordenado comea com o pri-meiro termo do binmio elevado ao expoente dado, decrescendo para esse primeiro termo e crescendo para o segundo termo do binmio.Soma dos coeficientes de um binmioUtilizando os coeficientes do tringulo de Pascal, desenvolva as potncias de binmios.a)(x + a)4 =b)(x + 2)6 =c)(x 3)5 =No caso do binmio (x + a)3 = x3 + 3ax2 + 3a2x + a3, ao serem trocadas as letras x e a pela unidade, obtm-se (1 + 1)3 = 13 + 3 . 1 . 12 + 3 . 12 . 1 + 13 = 1 + 3 + 3 + 1 = 8 No binmio (x + a)3 = x3 + 3ax2 + 3a2x + a3, os coefi-cientes somados representam 1 + 3 + 3 + 1 = 8Para calcular a soma dos coeficientes de um binmio, no necessrio desenvolv-lo, para ento calcular a soma dos coeficientes. Basta substituir as letras pela unidade, pois os valores numricos no so afetados.(x + a)4 = k1x4 + k2ax3 + k3a2x2 + k4a3x + k5a4 Usando os coeficientes 1, 4, 6, 4: 1 (x + a)4 = x4 + 4ax3 + 6a2x2 + 4a3x + a4(x + 2)6 = x6 + 6 . 2 . x5 + 15 . 22 . x4 + 20 . 23 . x3 + 15 . 24 . x2 + 6 . 25 . x + 26 = (x + 2)6 = x6 + 12x5 + 60x4 + 160x3 + 240x2 + 192x + 64(x 3)5 = x5 + 5 . (3) . x4 + 10 . (3)2 . x3 + 10 . (3)3 . x2 + 5 . (3)4 . x + (3)5(x 3)5 = x5 15x4 + 90x3 270x2 + 405x 243EXCLUSIVO PARA PROFESSORES CONVENIADOS AO SISTEMA DE ENSINO DOM BOSCO29Anlise combinatria Binmio de NewtonMATEMTICA 2M110Atividadesc)(x a)82. Calcule o valor de n, se a soma dos coeficientes do bi-nmio (2x + 1)n for igual a 243.1.Calculeasomadoscoeficientesdecadaumdos binmios.a)(x + 2)3b)(3y x2)4Termo geral do desenvolvimentoOtermogeral deumdesenvol vi mentode (x + a)n Tp + 1 = Cnp . ap . xn pn expoente ao qual elevado o binmiop + 1 posio do termo no desenvolvimentoCnp combinao simples de n elementos toma-dos p a pa segundo elemento do binmiox primeiro elemento do binmio( ) x x x xx x+ = + + ++ + +2 6 2 15 220 2 15 2 66 6 5 2 43 3 4 2 . . ( ) . ( ). ( ). ( ) 2 25 6x + ( )(x + 2 ) = x + 6 2x + 30x + 40 2x ++ 60x + 24 2x + 86 6 5 4 32T C a x considerandoT T px kakppp m pp++== ===1121 651 . .,: = |\

|.|= |\

|.|=T CkkTkk612557657179217.. ( ) . .9922kT = 792k623. Calcule o sexto termo no desenvolvimento dekk|\

|.|1121. Calcule o 4. termo do desenvolvimento de (x + a)15Tp + 1 = Cnp . ap . xn p

T4 = Tp + 1 Implica p = 3 (p + 1 = 4)T4 = C315 . a3 . x15 3 455 . a3 . x12T4 = 455 . a3 . x122. Desenvolva o binmio ( ) x + 26Desenvolvimentodobinmio(x+a)6aplicandoo tringulo de Pascal:(x + a)6 = x6 + 6ax5 + 15a2x4 + 20a3x3 + 15a4x2 + 6a5x + a6No caso de x = x e a =2, substituindo no desenvol-vimento:No desenvolvimento de312238yy+|\

|.|| so 9 termos, e o termo central o quinto.T C .. ( )T. . . 5845=|\

|.||= =12370116812342 8 4128yyyy883582 835844yyO termo central Atividades4. Qual o termo mdio no desenvolvimento de312238yy+|\

|.||?2.Determineoquartotermonodesenvolvimentode (2x + 3)6.1. Desenvolva (2x 2y)5.(1 + 2)3 = 33 = 27(3 1)4 = 24 = 16(1 1)8 = 08 = 0Troca-se a letra x = 1 e obtm-se (2 + 1)n = 243 3n = 243 n = 5( )( )2 25 10 10 52 22 555 5 4 2 3 3 2 4 55x yx yxa b a ba b a b a b a ba e b = + + = =.. .. .. ..2 2 10 2 2 10 2 2 5 2 2 224 2 3 3 2 4 55y x y x y x y x yx+ + + + + + + +5 2 10 2 10 2 5 2 24 2 3 3 2 4 5 . . . . y x y x y x y x yT4 = 4 320 x3T C a xT C xp mpp m p+== = =1463 3 33 20 27 8 4 . . . . (2x). . . 33203xEXCLUSIVO PARA PROFESSORES CONVENIADOS AO SISTEMA DE ENSINO DOM BOSCOMATEMTICA 2M110Anlise combinatria Binmio de Newton30Testes5.Determineoquintotermododesenvolvimentode (x2 + x + 1)94. Calcule o valor de ( ) 3 153. Um dos termos do desenvolvimento de2128yy+|\

|.| 16ky7. Calcule o valor de k.3. UFBA O coeficiente de x7 no desenvolvimento de 5137xx+|\

|.||:a)35b)125c)280d)875e)4 3754. Mack-SP No desenvolvimento dex xn+|\

|.|14, a di-ferena entre os coeficientes binomiais do segundo e do terceiro termos 44. Ento:a)n = 7b)n = 8c)n = 9d)n = 10e)n = 111. Osec-SP Seja dado(2x + y)m = ........................... + 60x2y4 + 12xy5 + y6No desenvolvimento desse binmio foram escritos apenas os trs ltimos termos. Sabendo-se que m intei-ro; 2 < m < 20, e que os termos foram ordenados segundo as potncias de x em ordem decrescente, ento, o segun-do termo do desenvolvimento :a)6x5yb)12x5yc)24x5yd)192x5ye)125x5y2. UFSCar-SP Calcule o termo independente de x no desenvolvimento dexx|\

|.|1215a)1b)3 003c)30d)1 225e)425T Cyypppp+=|\

|.||182 812 .. ( )Comparando apenas a variveel:1y. ( ) . y|\

|.||= = = +pp p p py y y y y y yp2 8 7 16 2 7 3 16 73 ++ = == =16 7 313283310pRetomandoCyy o termo geral:T. . . 4556 3256 32 1677 . . . . dos termosyyIgualdade = .. .k y7k = =56 3216 . 112( ) ( ) 3 1 3 5 1 3 10 1 310 15 5 4 2 33 = + + ++ . ( ) . ( ). ( ) . ( ) . ( ) . (( ). ( ) . ( ) ( ) 3 5 1 3 13 1 9 3 45 30 3 30 5 3 12 4 55+ + = + + = ( ) 44 3 - 76O quinto termo do dcimo quarto grau em x, fazendo [x2 + (x + 1)]9Possibilidades de obter x(quinto termo):T. ( )143= + C x92 21. ( ). ( ) . 36 . 1 . x . ( )14x x x xT C x2 7 2 14493 336 2 11= + += + .. ( ). ( ) . 84 . 3 . x . (14x x x x xT C x2 6 3 2 1259484 3 3 11= + + += + )) . ( ). ( ) . 126 . x 144 2 5 4 3 2 10126 4 6 4 1 x x x x x xO termo p= + + + +rrocurado x xx x no desenvolvimento de ( ) T52 914 14136 252+ += + ++ = 12614x 414x14Observando o desenvolvimento e o bi-nmio dado, conclui-se que m = 6T C xyx x y261 1 6 15 5 526 2 192==. (y). ( ) . . 192x y5Considerando apenas a varivel no termo geral:T Cxxxx xx xppppppp+ = |\

|.| |\

|.|=115215215 02 11 1... . 55 0 2 15 0615522 15 0 3 15 51 + = = + = = == |\

p p px x xp p p pT Cx. ||.|=515 5. ( ) x 3 003T Cxx x x xx xppppppp+=|\

|.|| =173 723 7 722115 .. ( ) . ( ). 33 7221 37221 3 7 42 6 147 14 42 7pppx x xpp p pp p= = + = + = = = + 228 415 35 12557443 3 2 9 ==|\

|.||= ==pT Cxx x x .. ( ).. ( )4 3755x7T C x x CT Cnnnn3222 22211141414=|\

|.||\

|.|=|\

|.|.. ( ) . ... ( ) . .. x x CC Cnnn n|\

|.||\

|.||\

|.| =1 122114141444Considerando apenas o coeficiente binominal: . nn!( )! ! 2 2nnnn nnn n n nn!( )! !'= = = == 1 14412442 88 3 88 02 . . ( )n288(No pode ser considerada.)n" =11EXCLUSIVO PARA PROFESSORES CONVENIADOS AO SISTEMA DE ENSINO DOM BOSCO31Anlise combinatria Binmio de NewtonMATEMTICA 2M1109. Fatec-SP Para que o termo mdio do desenvolvi-mento do binmio (sen x + cos x)6, segundo as potncias decrescentes de sen x, seja igual a 5/2, o arco x deve ter sua extremidade pertencente ao:a)primeiro ou segundo quadrantes.b)primeiro ou terceiro quadrantes.c)segundo ou terceiro quadrantes.d)eixo das abscissas.e)eixo das ordenadas.13. Mack-SP Um dos termos no desenvolvimento de (x + 3a)5 igual a 360 x3. Sabendo-se que a no de-pende de x, quais so os valores de a?a)1b)2c)3d)4e)512. FCM-RJ No desenvolvimento de (x + 2/5x)8, o ter-mo independente de x o:a)4.b)5.c)6.d)7.e)8.11. FGV-SP No desenvolvimento de (x3 + y2)10, o coefi-ciente do termo mdio igual a:a)630b)120c)252d)210e)18010. UFSM-RS Desenvolvendo o binmio (2x 1)8, o quociente entre o quarto e o terceiro termos :a)4b)xc)xd)1/xe)4x8. UFPI Se a e b so nmeros reais tais que (a + b)10 = 1 024 e se o 6. termo do desenvolvimento binomial igual a 252, ento:a)a = 1/2 e b = 3/2b)a = 3 e b = 1c)a = 2/3 e b = 4/3d)a = 1/3 e b = 5/3e)a = 1 e b = 17. UFPel-RS Considere o desenvolvimento do binmio [2x + (1/2)]10 segundo as potncias decrescentes de x. A razo entre os coeficientes do terceiro e do quinto termos, nessa ordem, igual a:a)20/11b)21/10c)22/9d)23/8e)24/76. FGV-SP Sendo k um nmero real positivo, o terceiro termo do desenvolvimento de (2x + k)12, ordenado segun-do expoentes decrescentes de x, 6610. Assim, correto afirmar que k igual a:a)1/66b)1/64c)1/58d)1/33e)1/325. PUC-RJ O coeficiente de a13 no binmio (a + 2)15 :a)105b)210c)360d)420e)48014. UFPA Qual o valor do termo mdio de (2x + 3y)8?a)70 x4 . y4b)90 720 . x4 . y4c)90 720 . x5 . y4d)90 720 . x4 . y5e)90 720 . x5 . y515. UFRGS-RS O termo independente de x no bin-mio (x + 1/x)10 igual a:a)120b)252c)1/252d)30 240e)1/30 240Frmula do termo geral: Cpn . ap . xn pSubstituindo os valores do binmio dado:Cp15 . 2p . a15 pEnto: 15 p = 13 Logo: p = 2Substituindo: C215 . 22 = (105) . 4 = 420Frmula do termo geral: Cpn . ap . xn pSubstituindo os valores do binmio dado:C212 . k2 . (2x)12 k = 66 . k2 . (2)12 k . x12 kEnto: 12 k = 10; k = 2O termo 66 . k2 . (1 024) = 66 k2 = 1/1 024 k = 1/32Coeficiente do 3o. termo: C210 . (1/2)2 . 28Coeficiente do 5o. termo: C410 . (1/2)4 . 26Dividindo-se os termos: (45) . (64) / (210) . (4) = 24/7Frmula do termo geral: Cpn . ap . xn pSubstituindo os valores do binmio C510 . b5 . a5 = 252, resulta a . b = 1 Sendo (a + b)10 = 1 024, tem-se a = b = 1Frmula do termo geral: Cpn . ap . xn pSubstituindo os valores do binmioC36 . (sen x)3 . (cos x)3 = 5/2, logo: (sen x . cos x)3 = 1/8sen x . cos x = 1/2Ento: sen 2x = 1 2x = 90 ou 2x = 270 x = 45 ou x = 1354o. termo:C38 . (1)3 . (2x)5 = 8 7 63 2 1 . . . . . (1) . 32x5 = 1 792 . x53o. termo:C28 . (1)2 . (2x)6 = 28 . (1) . 64 . x6 = 1 792 . x6Dividindo o quarto pelo terceiro termo: 1/x6o. termo: C510 . (x3)5 . (y2)5O coeficiente igual a C510 = 10 9 8 7 65 4 3 2 1 . . . . . . . . = 252Cp8 . (2/5x)p . x8 pOperando apenas com os expoentes de x:x8 p . xp = x8 2pEnto: 8 2p = 0 p = 4 (5o. termo)Cp5 . (3a)p . x5 p = Cp5 . 3p . ap . x5 p = 360 x35 p = 3 p = 2C25 . a2 . 32 = 360 a2 = 4 a = 25o. termo, sendo p = 4C48 . (3y)4 . (2x)4 = 90 720 x4 . y4Cp10 . (x1)p . x10 p = Cp10 . x10 2p10 2p = 0 p = 5 6o. termoO valor C510 = 252EXCLUSIVO PARA PROFESSORES CONVENIADOS AO SISTEMA DE ENSINO DOM BOSCOMATEMTICA 2M110Anlise combinatria Binmio de Newton32MATESCMATERIALESCOLARLTDA.|Av.Mal.HumbertodeAlencarCasteloBranco,800CristoRei|82 530-020|CuritibaPR|Tel.:(41)3218-5500Referncias bibliogrficasANTAR NETO, Aref et al. Nmeros complexos, polinmios e equaes algbricas. Noes de matemtica. So Paulo: Moderna, 1979. v. 7.BEZERRA, Manoel B.; PUTNOKI, Jos Carlos. Matemtica. So Paulo: Scipione, 1994.BOYER, Carl B. Histria da matemtica. Traduo de: GOMIDE, Elza F. So Paulo: Edgard Blcher, 1974.DANTE, Luiz Roberto. Matemtica: contexto & aplicaes. So Paulo: tica. 1999. 3 v.EVES, Howard. Introduo histria da matemtica. Traduo de: DOMINGUES, Hygino H. Campinas: Editora da Unicamp, 1995.FELKER, C. A. Matemtica para oficinas. Traduo de: DELPY, Lus L. So Paulo: Discubra, 1974.IEZZI, Gelson S. Fundamentos de matemtica elementar: complexos, polinmio e equaes. So Paulo: Atual, 1977. v. 6.KARLSON, Paul. A magia dos nmeros. Porto Alegre: Globo, 1961.PAULI, Ronald U. et al. Ferramentas matemticas para o estudo de fsica. So Paulo: EPU, 1978.RONAN, Colin A. Histria ilustrada da cincia da universidade de Cambridge. Traduo de: FORTE, Jos Enas. So Paulo: Crculo do Livro, 1991. 4 v.TROTTA, Fernando. Matemtica por assunto. Nmeros complexos, polinmios e equaes algbricas. So Paulo: Scipione, 1988. v. 8.18. Unitau-SP O termo independente de x no desen-volvimento de xx+|\

|.|16 : a)10b)30c)40d)16e)2016. Unitau-SP Sendo n 0, o(s) valor(es) de n tal que ( )! !( )!n nnn+ (=117 so:a)7 b)0 e 7c)0 e 10d)1e)0 e 117. Fuvest-SP Lembramos que npnp n p|\

|.||=!! ( )!.a)Calcule 64|\

|.||b)Simplifique a frao 124125|\

|.||\

|.|.c)Determine os inteiros n e p de modo que: npnpnp|\

|.||=+|\

|.||=+|\

|.||1122319. FEI-SP A soma de todos os coeficientes do desen-volvimento de (14x 13y)237 : a)0b)1c)1d)331 237e)1 973 74720. UEL-PR Se um dos termos do desenvolvimento do binmio (x + a)5, com a R, 80x2, ento o valor de a : a)6b)5c)4d)3e)2( )! !( )!( ) . . ( )! . ( )!n nnnn n n n n+ (=+ 1171 1 1 (=+ = ==( )!( ) .(nnn n n nn nn171 77 002 No convm.)n = 7a)!! . !. . !! . b) 6464 26 5 44 21241|\

|.|| = = = 152 25124 8125 77 54|\

|.||||| = =!! . !!! . !! . !! . 811223!)=|\

|.||=+|\

|.||=+|\

|.||58cnpnpnpDanpnpnp primeira igualdade: |\

|.||=+|\

|.|||\1122 .

|.|| =+|\

|.||np 1Desenvolvendonp n pnp n pp:.!! . ( )!!( )! . ( )!!21 12 =+ =

. ( )!( )! . ( )!!.( )! . ( )!( )n pp n pp n p n pp+ +1 111. ! . ( )! p n pn ppn p =+== +12123 2Danpnp segunda igualdade:+|\

|.||=+|\

|.||1223Desenvolvendonp n pnp n p:.!( )! . ( )!!( )! . (31 122 + =+ =+ + +=2321 12 212322)!( )! . ( )!( )! . ( )!p n pp n pn pp nn p = + 5 8Mon don pn ptan` um sistema:= += +3 22 5 8n = 14 e p = 4O termo geral TkxxTkkkk ++= |\

|.|||\

|.|=16161. .66 66 6 2kx xkxk k k|\

|.||= |\

|.|| . . .Para que o termo seja independente de x, tem-se:6 2k = 0K = 3Por toTkxtan..3 16 2 36+= |\

|.|| T = 204A soma dos coeficientes do desenvolvimento do binmio (14x 13y)237 Sc = (14x 13y)237 = 1O termo geral T a x xkk k+= |\

|.||=15 25380. .Como a potncia de x 2:5 k = 2K = 3Substituindo no termo geral:T xxa4223538010 808= |\

|.||=== . a. x . a. x3 533 2a = 2EXCLUSIVO PARA PROFESSORES CONVENIADOS AO SISTEMA DE ENSINO DOM BOSCO1Anlise combinatriaMATEMTICA 2M1101. c2. b3. e 4. c 5. c 6. dMatemtica 2M110Princpio da contagem1. c2. b3. e4. d5. e6. b7. e8. d9. 13 (01+04+08)10. cAgrupamentos1. b2. c3. a4. b5. d6. d7. a8. d9. bArranjos simples1. d2. b3. e4. e5. d6. e7. e8. e9. b10. d11. c12. b13. b14. b15. b16. a17. a) 15b) 58c) n = 14 e p = 418. e19. b20. eBinmio de Newton1. b2. c3. e4. c5. b6. e7. d8. d9. c10. b11. ePermutaes simples1. a2. d3. e4. d5. b6. d7. a8. 1259. a10. e11. b12. a13. e14. 1915. 8 000 00016. c17. e18. c19. a20. b21. a22. d23. b24. b25. 5 00026. 4027. d28. b29. b30. bCombinaesEXCLUSIVO PARA PROFESSORES CONVENIADOS AO SISTEMA DE ENSINO DOM BOSCO1Anlise combinatriaMATEMTICA 2M110Testes de revisoAnlise combinatria1. Um tcnico de basquete tem 9 jogadores para escalar um time com 5. Desses 9 jogadores, dois deles, o Oscar e o Marcel, vo sempre estar escalados. Calcule quantas equi-pes diferentes o tcnico escalar, nessas condies?a)42b)35c)30d)70e)602. Qual a quantidade de nmeros de telefones com o prefixo 3240 e os quatro outros algarismos diferentes en-tre si e distintos dos algarismos do prefixo?a)360 b)480 c)450 d)900e)7203. Calcule o valor de n!, sendo dado (n + 3)! (n + 2)! = = 36.(n + 1)!a)2b)6c)24d)120e)7204. Um professor de Matemtica vai distribuir 2 livros di-ferentes para premiar dois alunos de uma turma de 30 estudantes. De quantas maneiras diferentes o professor efetuar essa distribuio?a)435b)540c)870d)900e)7205. Quantos nmeros de trs algarismos diferentes so for-mados com os algarismos de 0 a 9, sendo maiores que 500?a)720b)405c)540d)360e)4506.Qualototaldeanagramasdasletrasdapalavra CEBOLA, que comeam por uma vogal?a)120b)720c)360d)420e)2407. Considere duas retas paralelas r e s, sendo assinalados na reta r 5 pontos e na reta s 8 pontos. Quantos tringulos so formados com vrtices nesses 13 pontos?a)240b)180c)160d)300e)2208. Marcam-se 7 pontos distintos numa circunferncia. Calcule o total de polgonos formados com vrtices nes-ses 7 pontos.a)0b)81c)90d)99e)789. De um grupo de 5 mdicos e 8 enfermeiros, quantas equipes so formadas, tendo 2 mdicos e 3 enfermeiros?a)66b)140c)560d)740e)810Sobram7jogadoresparadisputar