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Integrais Indefinidas. Sistema de exercícios resolvidos e propostos.

AUTORES:

Bartolomeu Chindumbo Delfino, Lic., Instituto Superior de Ciências da

Educação do Huambo – Angola - Doutorando em Ciências Pedagógicas na

Universidade Henriques José Varona. chindumbo27h@yahoo.com.br

Euclides Faustino da Costa Fernando, Lic. Instituto Superior de Ciências da

Educação do Huambo – Angola.

RESUMO:

Através da aplicação de diferentes instrumentos de investigação, se constatou

que existem insuficiências por partes dos estudantes do 1º Ano do Instituto

Superior de Ciências de Educação (ISCED) no Huambo - Angola, na cadeira

de Análise Matemática II no tema integrais indefinidas, especificamente em

conteúdos ligados a procedimentos de calculo de integrais indefinidas, seus

métodos de resolução. Com o intuito de superar essas dificuldades, elaborou –

se a presente obra com sugestões metodológicas e variados exemplos

ilustrativos. Essas orientações servirão de consulta para professores e alunos,

e contribuirá na minimização das dificuldades na resolução do problema

diagnosticado.

Palavras - chaves: Integrais indefinidas, habilidades matemáticas, ensino

e aprendizagem.

Introdução:

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Ensinar Matemática é uma problemática actual em todos os países. O impacto

das Tecnologias de Informação e comunicações (TIC) o ensino em geral e em

particular da Matemática, com a necessidade de empregar esta ciência para o

desenvolvimento do pensamento lógico, um raciocínio de capacidade e uma

dinâmica de compreensão da realidade objectiva, obrigam um aperfeiçoar

cada vez mais rápido dos métodos e procedimentos de ensino da Matemática,

de maneira que se obtenha uma formação de um profissional com uma alta

capacidade de adaptabilidade e habilidades para " aprender a aprender ".

(BALLESTER, 1995).

Para elevar à qualidade do Processo de Ensino – Aprendizagem da

Matemática, requer - se abordar a problemática desde duas direções principais:

Primeiro a investigação educativa e, segundo, a capacitação dos professores.

Segundo Ballester (1995), a aprendizagem da Matemática não se diferencia de

outros tipos de aprendizagem. Como sabemos, ao ensinar devemos partir do

simples ao complexo. Nas últimas décadas, a Didática geral e em particular a

Didática da Matemática, viria ser influenciada em diferentes partes do mundo,

por tendências muito avançadas nas que se advoga que os alunos assumam o

papel de protagonismo no processo de Ensino-Aprendizagem, que obtenham

maior independência cognitiva, que tenham capacidade de utilizar

correctamente os métodos indutivos e dedutivos da lógica, para o

desenvolvimento integral de sua personalidade.

Segundo a Lei de bases do sistema de educação (2001), “ a educação

constitui um processo que visa preparar o indivíduo para as exigências da vida

política, económica e social do país e que se desenvolve na convivência

humana, no círculo familiar, nas relações de trabalho, nas instituições de

investigação científico - técnica, nos órgãos de comunicação social, nas

organizações comunitárias, organizações filantrópicas e religiosas e através

de manifestações culturais e gimno - desportivas”.

Relativamente ao subsistema de formação de professores a lei de bases

estabelece como objectivos:

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Formar professores com o perfil necessário à materialização integral

dos objectivos gerais da educação;

Formar professores com sólidos conhecimentos científico-técnicos e

uma profunda consciência patriótica de modo a que assumam com

responsabilidade a tarefa de educar as novas gerações;

Desenvolver acções de permanente actualização e aperfeiçoamento

dos agentes de educação.

A necessidade de melhorar constantemente a qualidade do processo de

ensino-aprendizagem, permite a que os profissionais que diariamente intervêm

ou actuam nesta esfera da actividade humana possam, portanto, depreender o

modo como o mesmo se efectiva, o contexto sobre o qual se está a realizar,

as dificuldades ou situações problemáticas que daí advêm, as vantagens ou

desvantagens da forma como se conduz este processo, para então traçar

estratégias ou investigar formas cada vez mais eficazes de o realizar, no

sentido de proporcionar ao estudante uma formação com elevado grau de

qualidade.

No currículo de Ensino da Matemática, no Instituto Superior de Ciências de

Educação do Huambo (ISCED – Huambo), destaca-se de entre as várias

disciplinas, a Análise Matemática II, sendo ministrada no 2º semestre do 1º

ano.

Entre as temáticas que constam do programa da disciplina Análise Matemática

II, considera-se neste caso as integrais indefinidas, que na perspectiva dos

autores desta obra, o conteúdo das integrais indefinidas é pertinente uma vez

que, favorece, de forma considerável, a construção de um raciocínio

fundamentado em princípios lógicos, assim como de maneira muito particular,

no desenvolvimento de habilidades e hábitos, facto que possibilita ao

estudante uma melhor abordagem das situações sob as quais é submetido,

tanto num ambiente escolar ou fora deste.

Tendo em conta estes elementos, resultaria de grande importância, incidir no

processo de formação e no desenvolvimento dos procedimentos lógico através

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do tratamento dos conteúdos matemáticos previstos como parte do currículo

nas diferentes cadeiras, por sua vez resultará no desenvolvimento de um

pensamento superior. Entre tanto para, alcançar estes objectivos se precisa

transformar a concepção da aprendizagem daquelas disciplinas científicas que

têm um peso no desenvolvimento de habilidades. Entre estas se destaca a

Matemática.

Em investigações realizadas, pode-se comprovar que face aos esforços dos

professores, ainda é insuficiente a existência de materiais que do ponto de

vista didático, possibilitem aos estudantes de maneira independente o

desenvolvimento de habilidades de cálculo, específicamente no tema cálculo

de integrais indefinidas. Os elementos expostos permitem apresentar o

seguinte problema cientifico da investigação:

Problema científico:

Como contribuir para desenvolver habilidades de cálculo na temática integrais

indefinidas aos estudantes do primeiro ano do curso de matemática do ISCED -

HUAMBO?

Objecto de estudo:

Processo de Ensino - Aprendizagem da disciplina Análise Matemática II do

primeiro ano do curso de Matemática do ISCED-HUAMBO.

Campo de acção:

Desenvolvimento de habilidades de cálculo na temática integrais indefinidas.

Objectivo Geral:

Propor um guia de estudo que contribua para o densevolvimento de

habilidades de cálculo na temática integrais indefinidas aos estudantes do

primeiro ano do curso de matemática do ISCED-HUAMBO.

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Objectivos Específicos:

→ Sistematizar os fundamentos teóricos que sustentam a investigação,

fazendo um estudo das diferentes fontes bibliográficas.

→ Diagnosticar o estado actual em que se encontra o Processo de Ensino-

Aprendizagem das integrais indefinidas.

→ Elaborar um guia de estudo com exercícios resolvidos e propostos de

integrais indefinidas.

Ideia a defender:

O emprego de um guia de estudo com o tratamento das integrais indefinidas

pode contribuir para o desenvolvimento de habilidades de cálculo neste tema

aos estudantes do primeiro ano do curso de matemática do ISCED - HUAMBO.

Métodos Científicos a empregar na investigação são:

Métodos Teóricos:

▪ Análise e Síntese: Para fundamentar teoricamente o objecto de estudo da

investigação através do estudo das diferentes fontes bibliográficas consultadas.

▪ Histórico-Lógico: Para uma breve abordagem sobre o tratamento das

integrais ao longo dos tempos.

▪ Indução e Dedução: Para lógica dos conhecimentos da Matemática, em

particular no tema de integrais indefinidas que permitirá a selecção lógica dos

exercícios para a elaboração de um guia de estudo tendo em conta o nível

cognitivo dos alunos e o grau de complexidade dos exercícios.

Métodos Empíricos:

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▪ Inquérito: Para o diagnóstico do estado actual do objecto de investigação, o

estudo da documentação, de planos e programas de estudo, e o nível de

preparação dos alunos no tema de integrais indefinidas.

▪ Análise documental: Este método permite revisar o programa de estudo,

plano curricular, material didático da Análise Matemática.

A Estatística como um instrumento, permitirá fazer a análise e interpretação

de dados, determinação da amostra dos resultados da investigação através de

tabelas e ilustrações gráficas.

População e amostra: A população em estudo são os estudantes do segundo

e terceiro ano, de Matemática do ISCED-Huambo, tendo-se como universo,

106 estudantes todos do período regular e uma amostra de 78 alunos para

73.58% do universo, sendo 48 estudantes do segundo ano e 30 do terceiro

ano.

Modelo e Tipo de Investigação

Tipo de Investigação: trabalhou-se com o tipo de investigação Descritiva,

que observa, regista, analisa os factos ou fenómenos sem manipula-los

utilizando tabelas e gráficos estatísticos,

Modelo de Investigação: Utilizou-se o modelo quantitavo – qualitativo que

permitiu partindo de dados quantitativos, dar critérios qualitativos do objecto em

estudo.

Tipo de Amostragem: O tipo de amostragem foi probabilístico .

Contributo do trabalho: Um guia de estudo que contribua para o

desenvolvimento de habilidades de cálculo na temática integrais indefinidas,

aos estudantes do primeiro ano do curso de matemática no ISCED - HUAMBO.

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CAPÍTULO 1. Fundamentação Teórica.

Neste capítulo se expõem as principais teorias relacionadas com o tema de

investigação que sustentam os elementos fundamentais para a elaboração da

proposta, assim temos os fundamentos relacionados com o guia de estudo

para o desenvolvimento de habilidades de calcular integrais indefinidas.

1.1.O Cálculo Integral: alguns factos históricos.

Os primeiros problemas que apareceram na História relacionados com as

integrais são os problemas de quadratura. Um dos problemas mais antigos

enfrentados pelos gregos foi o da medição de superfícies a fim de encontrar

suas áreas. Quando os antigos geômetras começaram a estudar as áreas de

figuras planas, eles as relacionavam com a área do quadrado, por ser essa a

figura plana mais simples. Assim, buscavam encontrar um quadrado que

tivesse área igual à da figura em questão.

A palavra quadratura é um termo antigo que se tornou sinônimo do processo

de determinar áreas.

Quadraturas que fascinavam os geômetras eram as de figuras curvilíneas,

como o círculo, ou figuras limitadas por arcos de outras curvas. Hipócrates de

Chios, 440 a.C., realizou as primeiras quadraturas da História. Antifon, por

volta de 430 a.C., procurou encontrar a quadratura do círculo através de uma

sequência infinita de polígonos regulares inscritos: primeiro um quadrado,

depois um octógono, em seguida um hexadecágono, e assim por diante. Havia,

entretanto, um problema: essa sequência nunca poderia ser concluída. Apesar

disso, essa foi uma idéia genial que deu origem ao método da exaustão.

Nesse contexto, uma das questões mais importantes, e que se constituiu numa

das maiores contribuições gregas para o Cálculo, surgiu por volta do ano 225

a.C. Trata-se de um teorema de Arquimedes para a quadratura da parábola.

Arquimedes descobriu que a área da região limitada por uma parábola cortada

por uma corda qualquer, é igual a 4/3 da área do triângulo que tem a mesma

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altura e que tem a corda como base. Esse cálculo pode ser encontrado no livro

do Simmons, volume 2.

Arquimedes gerou também uma soma com infinitos termos, mas ele conseguiu

provar rigorosamente o seu resultado, evitando, com o método da exaustão, a

dificuldade com a quantidade infinita de parcelas. Este é o primeiro exemplo

conhecido de soma infinita que foi resolvido. Outra contribuição de Arquimedes

foi a utilização do método da exaustão para encontrar a área do círculo,

obtendo uma das primeiras aproximações para o número π.

Outras "integrações" foram realizadas por Arquimedes a fim de encontrar o

volume da esfera e a área da superfície esférica, o volume do cone e a área da

superfície cônica, a área da região limitada por uma elipse, o volume de um

parabolóide de revolução e o volume de um hiperbolóide de revolução. Em

seus cálculos, Arquimedes encontrava somas com um número infinito de

parcelas. O argumento utilizado era a dupla reductio ad absurdum para

"escapar" da situação incômoda. Basicamente, se não podia ser nem maior,

nem menor, tinha que ser igual.

Entre tanto Kepler, em seu trabalho sobre o movimento dos planetas, teve que

encontrar as áreas de vários setores de uma região elíptica. O método de

Kepler consistia em pensar na superfície como a soma de linhas - método este

que, na prática, apresentava muita imprecisão. Analogamente, para calcular

volumes de sólidos, pensava na soma de fatias planas. Desse modo, calculou

os volumes de muitos sólidos formados pela revolução de uma região

bidimensional ao redor de um eixo. Para o cálculo de cada um desses volumes,

Kepler subdividia o sólido em várias fatias, chamadas infinitésimos, e a soma

desses infinitésimos se aproximava do volume desejado.

Os próximos matemáticos que tiveram grande contribuição para o nascimento

do Cálculo Integral foram Fermat e Cavalieri. Em sua obra mais conhecida,

Geometria indivisibilibus continuorum nova, Cavalieri desenvolveu a idéia de

Kepler sobre quantidades infinitamente pequenas. Aparentemente, Cavalieri

pensou na área

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como uma soma infinita de componentes ou segmentos "indivisíveis". Ele

mostrou, usando os seus métodos, o que hoje em dia escrevemos:

.

Todo o processo geométrico desenvolvido por Cavalieri foi então aritmetizado

por Wallis. Em 1655, em seu trabalho Arithmetica infinitorum, Wallis

desenvolveu princípios de indução e interpolação que o levaram a encontrar

diversos resultados importantes, entre eles, a antecipação de parte do trabalho

de Euler dobre a função gamma.

Pierre Fermat por sua vês desenvolveu uma técnica para achar a área sob

cada uma das, então chamadas, "parábolas maiores": curvas do tipo ,

onde é constante e n=2,3,4, etc. Empregou então uma série geométrica

para fazer o mesmo para cada uma das curvas do tipo , onde e

n=-2,-3,-4,etc. Por volta de 1640, a fórmula geral da integral das parábolas

maiores era conhecida por Fermat, Blaise Pascal, Descartes, Torricelli e outros.

O problema do movimento estava sendo estudado desde a época de Galileo.

Tanto Torricelli como Barrow consideraram o problema do movimento com

velocidades variadas. A derivada da distância era a velocidade e a operação

inversa, partindo da velocidade, levava à distância. A partir desse problema

envolvendo movimento, a idéia de operação inversa da derivada desenvolveu-

se naturalmente e a idéia de que a integral e a derivada eram processos

inversos era familiar a Barrow. Embora Barrow nunca tenha enunciado

formalmente o Teorema Fundamental do Cálculo, estava trabalhando em

direção a esse resultado; foi Newton, entretanto, quem, continuando na mesma

direção, formulou o teorema.

Isaac Newton continuou os trabalhos de Barrow e Galileo sobre o estudo do

movimento dos corpos e desenvolveu o Cálculo aproximadamente dez anos

antes de Leibniz. Ele desenvolveu os métodos das fluxions - derivação - e

fluents - integração - e utilizou-os na construção da mecânica clássica. Para

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Newton, a integração consistia em achar fluents para um dado fluxion

considerando, desta maneira, a integração como inversa da derivação. Com

efeito, Newton sabia que a derivada da velocidade, por exemplo, era a

aceleração e a integral da aceleração era a velocidade.

Diferente anotações

•Newton representava as integrais por um acento grave acima da letra em

questão, por exemplo, a integral de y era representada por `y.

•Leibniz, diferentemente de Newton, usava a integração como uma soma, de

uma maneira bastante parecida à de Cavalieri. Daí vem o símbolo - um 's'

longo - para representar summa . Segundo ele, "represento a área de uma

figura pela soma das áreas de todos os retângulos infinitesimais definidos pelas

ordenadas e pelas diferenças entre as abscissas... e portanto eu represento em

meu cálculo a área da figura por ".

Ambos matemáticos desenvolveram o Cálculo Integral separadamente,

entretanto Newton via o Cálculo como geométrico, enquanto Leibniz o via mais

como analítico.

Leibiniz acreditava que a notação era de fundamental importância e, de facto, a

sua notação foi mais eficaz do que a de Newton e acabou por se consolidar,

sendo utilizada até os dias de hoje, mantendo exatamente a mesma forma.

Newton escrevia para si próprio e não foi feliz em encontrar uma notação

consistente.

Os trabalhos de Leibniz sobre o Cálculo Integral foram publicados em 1684 e

em 1686 sob o nome Calculus Summatorius . O nome Cálculo Integral foi

criado por Johann Bernoulli e publicado pela primeira vez por seu irmão mais

velho Jacques Bernoulli em 1690.

Principalmente como consequência do Teorema Fundamental do Cálculo de

Newton, as integrais foram simplesmente vistas como derivadas "reversas". Na

mesma época da publicação das tabelas de integrais de Newton, Johann

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Bernoulli descobriu processos sistemáticos para integrar todas as funções

racionais, que é chamado método das frações parciais. Essas idéias foram

resumidas por Leonard Euler, na sua obra sobre integrais.

Após o estabelecimento do Cálculo, Euler daria continuidade ao estudo de

funções - ainda prematuro na época - juntamente com Cauchy, Gauss e

Riemann. Foi Euler, entretanto, quem reuniu todo o conhecimento até então

desenvolvido e criou os fundamentos da Análise.

Hoje em dia o Cálculo Integral é largamente utilizado em várias áreas do

conhecimento humano e aplicado para a solução de problemas não só de

Matemática, mas de Física, Astronomia, Economia, Engenharia, Medicina,

Química, por exemplo.

1.2. O ensino da Matemática e sua importância no desenvolvimento de

habilidades.

A Matemática é uma disciplina com características muito próprias. Para estudar

Matemática é necessário uma atitude especial, assim como para o ensino não

basta conhecer, é necessário criar. Com efeito, a Matemática utiliza-se

praticamente em todas as áreas: na Economia, na Informática, na Mecânica,

na Análise Financeira, entre tantas outras. Porque na nossa sociedade as

ciências e as técnicas evoluem de forma vertiginosa, a crescente complexidade

dos conceitos teóricos, dado o progresso das tecnologias, cria a necessidade

de uma Matemática cada vez mais forte. Donde, a ciência Matemática é

ensinada nos nossos dias em quase todo o mundo civilizado. A principal

questão que se levanta é: Como ensinar a Matemática?

A Matemática é, sem dúvida, uma das ciências que melhor permite analisar o

trabalho da mente e desenvolver um raciocínio aplicável ao estudo de qualquer

assunto ou temática. Contudo, talvez porque foram criados hábitos mentais de

que dificilmente nos conseguimos libertar, muitas são as dificuldades que os

jovens encontram no seu estudo. Pensamos que as principais dificuldades

devem-se ao facto de, no 1º ciclo, não ser devidamente explicitada a relação

entre os conteúdos temáticos e a realidade das crianças.

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Acreditamos que ensinar Matemática sem explicitar a origem e as finalidades

dos conceitos é contribuir para o insucesso escolar. Sendo um dos objectivos

fundamentais da educação criar no aluno competências, hábitos e

automatismos úteis, bem como desenvolver capacidades, urge implementar

uma moderna educação Matemática, a qual está relacionada com programas e

métodos de ensino - o professor deve saber o que está a ensinar, o modo

como o faz e o porquê do que ensina.

A Matemática como ciência, é a base de outras ciências e, portanto, o carácter

básico e ferramentas de outras que lhe confere um papel em quase todas as

esferas de trabalho na área científica, o desenvolvimento económico e social.

Entre suas virtudes, a contribuição inegável para desenvolver todas as

habilidades de raciocínio, seu poder explicativo, o seu poder como um meio de

comunicação matemática e o prazer inerente da criação matemática.

Para o desenvolvimento de habilidades matemáticas se precisa então segundo

Sampedro, R (2011), "facilitar ao estudante os recursos necessários e os

materiais didáticos que lhe favoreçam a sua auto aprendizagem, estes podem

estar elaborados pelos docentes, pela equipe de docentes ou inclusive pelos

próprios estudantes". ¨

1.3. As habilidades Matemáticas

Na literatura especializada aparecem distintas definições de habilidades,

correspondente a diferentes autores neste trabalho analisaremos as brindadas

por: Krutetskii (1976); Gardner, H (1983); V. Petrovsky (1985); A. Danilov

(1987); Ballester (1995), H. Fuentes (1998); E. Machado e N. Montes (2004).

Habilidades, segundo Krutetskii (1976), “são características psicológicas

individuais de um sujeito, que favorecem um domínio rápido e fácil de uma

determinada atividade (por exemplo, uma atividade matemática)”. Essa

habilidade matemática pode apresentar-se em diferentes níveis de atividade:

como uma habilidade criativa independente (científica), onde o sujeito é capaz

de produzir descobertas matemáticas de grande importância para humanidade

ou como uma habilidade escolar, onde o sujeito tem facilidade na

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aprendizagem e domínio das atividades propostas na disciplina ou em um

curso de matemática.

Tomando como pressupostos os estudos de Krutetskii, é possível afirmar que

as habilidades matemáticas são características psicológicas específicas e

complexas, sendo que existe uma estrutura de componentes básicos das

habilidades matemáticas. Esses componentes combinam-se de diversas

maneiras possíveis, formando diferentes habilidades matemáticas.

De acordo com a classificação de H.Gardner (1983), a habilidade matemática é

um tipo de inteligência formal que emprega correctamente o pensamento

lógico.

O psicólogo V. Petrovsky (1985) diz-nos que: “[…] é o domínio de um complexo

sistema de ações psíquicas e práticas, necessárias para uma regulação

racional da atividade, com ajuda dos conhecimentos e hábitos que a pessoa

possui”. Nesta definição se demonstra que, do plano psicológico, as

habilidades estão integradas por ações tão teóricas como práticas, as que

realiza o sujeito em interação com os objetos através da atividade; atende-se

também o aspecto da racionalidade contido no conceito, o que é positivo;

entretanto se reduz o domínio das ações aos conhecimentos e hábitos que se

possui, o que resulta insuficiente. Neste sentido, a atividade que realiza um

sujeito responde a suas intenções: objetivos e necessidades, em

correspondência com a definição de atividade de N. Leontiev (1981).

Para o A. Danilov (1987) a habilidade é “[...] um complexo pedagógico

extraordinariamente complexo e amplo, é a capacidade adquirida pelo homem

de utilizar criadoramente seus conhecimentos e hábitos, tanto durante o

processo de atividade teórica como prática”. Nesta definição o autor reduz a

habilidade a um ponto de vista exclusivamente pedagógico, evitando o

componente psicológico da mesma, o qual está determinado pelo facto de que

as habilidades estão concebidas no sistema de categorias psicológicas, além,

disso equipasse o conceito de habilidade a uma capacidade.

Para Ballester, S (1995). As habilidades matemáticas são definidas como “um

complexo formado por conhecimentos específicos, sistemas de operações e

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conhecimentos e operações lógicas”. Pelo que se consideram três

componentes fundamentais: os conhecimentos matemáticos, os sistemas de

operações de carácter matemático e os conhecimentos e operações lógicas.

Para o autor H, Fuentes (1998), "[...] é o modo de interação do sujeito com os

objetos ou sujeitos na atividade e comunicação, é o conteúdo das ações que o

sujeito realiza, integrada por um conjunto de operações, que têm um objetivo e

que se assimilam no próprio processo".

De uma perspectiva didática E. Machado e N. Montes (2004). Expõem que

habilidade “[...] é o componente do conteúdo que caracteriza as ações que o

estudante realiza ao interactuar com o propósito de estudo: o conhecimento,

[...] as habilidades se formam, desenvolvem e manifestam na atividade e a

comunicação como resultado da interação contínua entre as condições internas

do indivíduo e as condições de vida externas, sendo a interação social com os

outros (professores, alunos, pais, etc.) de vital importância para seu

desenvolvimento”. Neste caso é importante assinalar que nem todas as ações

dominadas pelo sujeito constituem habilidade, a não ser aquelas que são

dominadas de maneira consciente.

Principais habilidades utilizadas em matemática:

Calcular, Resolver, Demonstrar, Graficar, Esboçar, Caracterizar, Observar

Analisar, Sintetizar, Comparar, Identificar, Classificar, Inferir.

Para a realização deste trabalho, o autor, decidiu utilizar como referencia as

definições oferecida pelos autores Machado, Ballester(1995) e Fuentes (1998),

Assumem-se estas definições pela generalização que resulta, ao brindarem a

possibilidade de serem aplicadas às habilidades que são necessárias para

resolver exercícios e problemas matemáticos, as que se consideram dentro das

principais habilidades utilizadas em matemáticas.

Portanto para contribuir para o desenvolvimiento de habilidades matemáticas

nos estudantes e específicamente as habilidades de calculo na temática

integrais indefinidas, é necessário por parte dos professores propor exercícios

previamente selecionados, que tributem a este objetivo. A proposta de um guia

de estudo é um elemento essencial que facilitará o desenvolvimento desta

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habilidade nos estudantes.

1.4. Elementos que caracterizam o guia de estudo

O guia de estudo constitui um elemento primitivo, é responsavel de oferecer

pautas ao estudante como orientar-se na aprendizagem dos conteúdos das

disciplinas. Sua função essencial é a de facilitar a aprendizagem independente.

Deve-se ter em conta que um guia é sozinho por isso: guia, quer dizer, é o que

nos assessora, aconselha, conduz, etc., é um elemento mediador na

aprendizagem.

O guia têm que ser flexível, estimulante, de maneiras a conduzir ao aluno para

que elabore suas próprias estratégias de aprendizagem, segundo o seu

desenvolvimento cognitivo, necessidades e interesses.

Um guia de estudo é uma ferramenta que é usada para reforçar e aumentar a

sua compreensão de informações, visando se preparar para uma avaliação.

Estudantes, professores e aqueles que possuem formação para um campo

novo da carreira são frequentemente confrontados com a tarefa de criar guias

de estudo. Seja qual for o seu propósito, você pode seguir estas instruções

para saber como criá-los.

Alguns aspectos a ter em conta para elaborar um guia de estudo são:

1. Elabora - se por temas, seguindo uma sequência estrutural coerente.

2. Apresentar os materiais que devem estudar-se e as actividades a realizar,

seguindo a lógica da ciência em questão e considerando os princípios da

acessibilidade, a sistematização e a unidade teórico-prática, abstracto-

concreto.

3. Atender os conhecimentos, procedimentos e atitude de forma individual.

4. O guia tem que constituir um documento que facilite o auto desenvolvimento

do estudante, para o qual há desprover-se de toda rigidez. Daí que se incluam

tarefas docentes de carácter obrigatório e opcional.

5. As tarefas têm que desenhar-se de maneira tal que, permitam desenvolver

nos estudantes a autonomia na aprendizagem.

6. As tarefas docentes que se proponhan tem que activar o conhecimento.

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7. Propiciar e estimular a investigação.

A seguir se oferece uma proposta de estrutura para elaborar um guia.

Assunto ou temática: Deverá ser o mais informativo e conciso possível.

Objectivos: expor-se o sistema de objectivos que se persegue com o guia.

Não se recomenda que seja um só objectivo com um carácter muito

monopolista, pois pode perder o sentido do que se aspira e pela mesma razão

não devem aparecer muitos objectivos.

Requisitos prévios: Aqui se precisarão quão conteúdo é necessário que

domine o estudante para poder enfrentar os novos.

Introdução ao tema: Apresenta-se resumidamente ao leitor o tema que será

desenvolvido.

Desenvolvimento das orientações para o estudo: expõem-se alguns pontos

sobre o conteúdo.

Actividades ilustrativas: Apresenta-se a resolução dos exercícios que vão

servir de modelo para a resolução dos exercícios propostos.

Resumo teórico: Destaca-se alguns pontos principais, deve limitar-se

somente ao conteúdo do trabalho.

Exercítação: Este aspecto se orienta ao desenvolvimento de habilidades de

carácter prático, vincula-se o teórico-metodológicos com a prática.

Bibliografia: relacionar a bibliografia básica e complementaria relacionada

com os conteúdos.

A análise realizada neste capítulo, tendo em conta a necessidade de

desenvolver nos estudantes a habilidade de cálculo na temática integrais

indefinidas, permite concluir, que a proposta de um guia de estudo com fins

didáticos, contribuirá para o desenvolvimento desta habilidade nos estudantes

do primeiro ano de Matemática do ISCED-Huambo.

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Capítulo 2: Proposta de Guia de Estudo para desenvolver habilidades de

calculo na temática integrais indefinidas aos estudantes do primeiro ano

do curso de matemática no ISCED-Huambo.

Neste capítulo, se apresenta a proposta de Guia de Estudo para o

desenvolvimento da habilidade calcular integrais indefinidas, e se faz uma

análise ao inquérito aplicado.

2.1. Guia de Estudo para desenvolver habilidades de calculo na temática

integrais indefinidas aos estudantes do primeiro ano do curso de

matemática do ISCED-Huambo.

O guia de estudo está estruturado na seguinte forma: tema, objectivos

específicos, requisitos prévios, introdução ao tema, desenvolvimento para o

estudo do tema, resumo da teoria, actividades ilustrativas, exercícios propostos

com suas respostas finais, bibliografia para o estudo do tema.

Tema. Integrais indefinidas

Objectivos específicos:

Ao concluir o estudo deste tema os estudantes devem:

Interpretar o conceito de primitiva de uma função.

Interpretar o conceito de integral indefinida.

Calcular integrais de funções racionais, polinomiais e trigonométricas

aplicando as fórmulas de integração imediata assim como suas

propriedades.

Calcular integrais aplicando o método de substituição.

Calcular integrais aplicando o método de integração por partes.

Calcular integrais aplicando o método por decomposição em fracções

simples

Requisitos prévios:

Devem dominar os conteúdos relacionados com funções, limite e continuidade,

derivação. Fundamentalmente, saber calcular derivadas de primeira ordem de

funções algébricas, assim como combinações delas, aplicando as regras de

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derivação. Também, é importante dominar a resolução de sistemas de

equações lineares.

Introdução ao tema:

Para falar do Cálculo Integral devemos retornar ao século VIII a.n.e. onde

Arquímedes da Siracusa, quem utilizando as teorias do Demócrito e o Método

de exaustão do Eudoxio, realiza a mais importante das aplicações destas

ideias e com isso se aproxima grandemente ao Cálculo Integral. Em sua obra

“A quadratura da Parábola” determina a área de um segmento desta curva

usando os procedimentos mencionados.

Outro dos grandes matemáticos, o inglês Isaac Newton, quem pela primeira

vez calcula uma área mediante o processo inverso do que conhecemos por

derivação. Deste modo descobre a relação inversa que existe entre a

determinação do declive de uma curva e da área baixo a recta, quer dizer a

relação que existe entre o Cálculo Diferencial e Integral.

Neste capítulo aprenderá de uma maneira singela os conceitos de primitiva e

integral indefinida, O estudo da integração se continuará, através de alguns

métodos de integração.

Desenvolvimento das orientações para o estudo.

A seguir expõem-se alguns pontos essenciais sobre o conteúdo que deve

dominar, assim se tem:

Integrais indefinidas. Integração por fórmulas

Definição:

Chama – se primitva de uma função definida num intervalo , à função

tal que .

Exemplo: são as primitivas de , já que:

2xdx

d = 52 x

dx

d = 42 x

dx

d = .

Todas as primitivas de estão representadas pela expressão ,

em que C é uma constante qualquer.

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Definição: Integral Indefinida.

O conjunto CxF )( de todas as primitivas de uma mesma função f se

chama integral indefinida de f e se denota por dxxf )( , quer dizer:

CxFdxxf )()(

Propriedades da Integral Indefinida.

Seja )(xf , )(xg funções continuas:

1. Cxfxdf )()(

2. dxxgdxxfdxxgxf )()()()(

3. dxxfkdxxkf )()( , K , K

Tabela de algumas integrais imediatas:

1

Cn

XduX

nn

1

1

,n 2

CXX

dXln , X

3 C

a

adxa

XX

ln,

(a>0, a )

4 Cedxe xX

5 Cxsenxdx cos 6 Csenxxdxcos

7 Cxtagxdx secln 8 Csenxgxdx lncot

9 Cxxxdx tanseclnsec 10 Ctagxxdx2sec

11 Cgxdxx cotcsc2 12 Cxxtagxdx secsec

13 Cxagxdxx csccotcsc

14

C

a

xarcsen

xa

dx

22

20

15

C

a

x

axa

dxarctan

122

16

Ca

xarc

aaxx

dxsec

1

22

17

C

ax

ax

aax

dxln

2

122

18

C

xa

xa

axa

dxln

2

122

19 Caxxax

dx

22

22ln

20 C

a

xarcsenaxaxdxxa

22222

2

1

2

1

21 Caxxaaxxdxax

2222222 ln2

1

2

1

Actividades ilustrativas.

1. Calcule as seguintes integrais Tendo em conta a tabela de integração :

2. dxx )3(

A integral da soma é a soma das integrais e as constantes normalmente ficam

fora do sinal de integração então teremos que:

cxx

dxxdxdxxdxdxx 32

33)3(2

3.

A integral da soma é a soma das integrais e as constantes normalmente ficam

fora do sinal de integração então teremos que:

=

21

4

a qui transforma-se

em forma de uma potência de expoente negativo

então tem-se que

5. dxxx )8(

A que tem que se transformar a em forma de uma potência que fica assim

então teremos que:

cxxcxx

cxx

xdxdxxdxxx

22

3

22

3

21

2

1

2

1

4.3

24

2

32.8

12

18)8(

6.

Primeira menta vamos transformar

que vai resultar em:

Então temos que:

7. dxdxdx xx 85)85( Cxx

85ln

5

8.

A qui faz-se a separação de cada parcela do numerador com o denminador

então temos que:

22

Cex

dxdxedxsenx

dxe

edx

e

edx

e

senxe

Xx

xx

x

xx

x

x

x

x

5ln

5cos

5

52

9. dx

x

dx

42

Tendo em conta a fórmula de integração nº 17 da tabela acima

C

ax

ax

aax

dxln

2

122

então teremos :

10. 92x

dx

Tendo em conta a fórmula de integração nº 15 da tabela acima

Ca

xarctag

axa

dx 122

então termos que:

2.Método de Integração por substituição.

O método de integração por substituição ou mudança de variavel é

consequência directa da regra de cadeia.

Teorema:

Seja uma primitiva da função no intervalo e seja uma

função com derivada continua no intervalo talqui , então, uma

primitiva da função em é a função , quer dizer,

23

Actividades Ilustrativas:

1.Calcule:

Solução:

Fazendo

Derivando os dois membros temos:

substituindo temos:

substituindo o valor de u fica:

2.Calcule:

Solução:

Fazendo

Derivando os dois membros temos que:

então

Finalmente temos:

3.Calcule:

dxxx 2

Solução:

24

Fazendo 2 xu isolando temos: derivando temos: dxdu ,

substituindo:

Finalmente temos:

4. Calcule:

dxxx 1632 )13(8

Solução:

Escrevemos 13 3 xu . e assim derivando os dois membros temos dxxdu 29

temos:

Portanto:

179

8

9

8

9138)13(8

171616

31632 uduu

dxxdxxx + C

= 173 )13(153

8x + C

5. Calcule:

Solução:

25

6.Calcule

Solução:

Então

substituindo temos que:

Finalmente temos

7. Calcule:

31 x

x

e

dxe

Solução:

Fazendo xeu 1 e dxedu x e assim a integral se reduz a:

duuu

du

3

1

3 =

Como xeu 1 , logo fica:

31 x

x

e

dxe=

8. Calcular:

3

2

)1(x

xdx

26

Solução:

Fazendo ,13 xu ,3 2 dxduu além disso 13 ux . Substituindo fica:

2

32

3

23 )1(3

)(

3)1(

)1( 3

2

3

2

u

duuu

u

duuu

x

xdx = duu )1(3 3 = cu

u

43

4

Substituindo o valor de u fica:

3

2

)1(x

xdx= 31

4

3 43 x cx 3 1

9. Calcular:

Solução:

=

agora façamos derivando temos :

Substituindo fica:

=

=

substituindo o valor de

vem:

10. Calcular

Solução:

sabe-se que = então

agora façamos u = derivando temos

fazendo a substituição temos:

27

=

atendendo esta fórmula de integração

nº 14 da tabela acima

Ca

xarcsen

xa

dx

22 para o nosso caso

então

substituindo o valor de u temos:

=

11.Calcular

Solução:

Pela propriedade de radicais

= então

agora façamos

derivando ambos os membros temos:

substituindo temos:

=

=

28

Substituindo temos:

12. Calcular:

Solução

façamos derivando ambos os membros temos:

= =

=

=

substituindo temos :

=

.

3.Substituições trigonométricas

1- Se a integral contem o radical , geralmente se faz

2- Se a integral contem o radical , se faz

3- Se a integral contem o radical , se faz

29

4- Também tem que se ter em conta as seguintes

relações

Actividades Ilustrativas:

1.Calcule:

Solução: Estamos diante do primeiro caso:

Substituindo temos:

X

2

t

30

Como

denominamos o cateto oposto e a hipotenusa, pelo

teorema de Pitágoras o cateto adjacente é como se vê na figura.

Observando a figura, aplicando o teorema de Pitágoras temos que

isto é cateto adjacente sobre a hipotenusa. Substituindo temos:

.

=

2-Calcule:

Solução: estamos diante do primeiro caso:

Substituindo temos:

=

Como

denominamos o cateto oposto e a hipotenusa, pelo

teorema de Pitágoras o cateto adjacente é dado por como se vê na

figura

Da figura temos que

substituindo teremos:

x

1

t

31

:

: estamos diante do segundo caso

:

Substituindo temos:

Tambem poderia

ser então substituindo temos:

4-Calcule:

Solução: estamos diante do segundo caso

e

Substituindo temos:

32

Como

denominamos a hipotenusa e o cateto adjacente isto

porque a secante de um ângulo num triângulo rectângulo é igual a hipotenusa

sobre o cateto adjacente, pelo teorema de Pitágoras o cateto oposto é dado por

Observando a figura temos que

isto é a tangente do ângulo é

igual ao cateto oposto sobre o cateto adjacente. Substituindo temos:

5-Calcule :

Solução: estamos diante do terceiro caso

33

substituindo temos:

calculando de parte a

multiplicando e dividindo por

vem

Fazendo derivando temos

então

substituindo temos:

o que resulta em

então

Como

denominamos o cateto oposto e o cateto adjacente

pelo teorema de Pitágoras a hipotenusa é dada por .

Pela figura

isto é a secante do ângulo é igual a

hipotenusa sobre o cateto adjacente,

e a

1

34

Substituindo temos que

4. Método de Integração por partes.

Este método é muito utilizado pois precisamos calcular frequentemente

integrais como dxex x22

cuja função integrando é um produto de duas

funções. Sabemos que a derivada de 3

3

1x é

2x e que a de xe2

2

1 é

xe2

, mas a

derivada de ( 3

3

1x ) ( xe2

2

1 ) certamente não é xex 22 . Em geral, a integral de um

produto não é o produto das integrais porque a derivada de um produto não é

o produto das derivadas. Segundo a regra da derivada do produto de duas

funções, tem-se:

Tomando a integral indefinida de cada membro e usando a regra para integrar

uma soma, obtemos:

Isolando, se tem que:

Onde as constantes de integração estão implícitas nas integrais indefinidas do

membro da direita destas equações.

Para utilizar este método é conveniente ter em conta os seguintes critérios.

I. A selecção de u e dv pode variar, procurando a forma de que se

cumpra o seguinte critério.

II. v. du deve ser mais fácil de calcular que u. dv.

35

Actividades Ilustrativas:

1. Calcular dxxex

Aqui se tem que:

xe

xe

Tem-se que:

xx exdxex - xx xedxe xxx exedxe + c

Como uma forma de comprovar, deve-se:

A derivada de xx exe + C é

xe + xxx xeexe , logo calculamos

correctamente a integral.

A eleição adequada de u e dv nos permitiu calcular a integral.

Vejamos o que ocorre se escolhemos xeu e xdv . Ficaria:

xex dx = 22

2

1

2

1xexe xx

dx

Neste caso, a integral da direita é mais complicada que a original. Desta forma,

a segunda eleição não simplifica a integral inicial.

Este exemplo nos demonstra que terá que ter muito cuidado em decompor o

integrando. A prática nos levará a uma boa eleição.

2. Aplicando o método de integração por partes:

a.) Calcular

dxex x23

Seja ,3xu xedv 2 , e agora derivamos u e integramos dv. Então

dxxdu 23 , xev 2

2

1 e aplicando a fórmula, tem-se que:

= dxexex xx

2223

2

3

2

1 (1)

36

Integramos outra vez, mantendo essa ordem pois a última integral é mais

simples:

dxexexdxex xxx 22222

2

12

2

1

= dxxeex xx

222

2

1 (2)

Integrando por partes novamente, tem-se que:

dxeexdxxe xxx 222

2

1

2

1

= xx exe 22

4

1

2

1 + C (3)

Substituindo os resultados de (3) e (2) a (1) ficaria:

dxex x

23

= cxxxx exeexex

222223

4

1

2

1

2

1

2

3

2

1

= cexeexex xxxx 222223

8

3

4

3

4

3

2

1

b.) Calcular

dxsenxx ..3

selecciona-se xu 3 e senxdv dx, ficaria:

xdxxxsenxx cos3)cos(33

= csenxxx 3cos3

c.) Calcular

xdxln

escolhe - se xu ln e dxdv

37

e

xdxx

xxxdx 1

lnln , fica:

= cxxx ln

d.

escolhe - se xu ln e xdv

e

, fica

e.)Calcular

U = e

e substituindo

temos:

x –

= –

= -

= obs ja

esta resolvido no exercício da alinea (c).

f

seleciona –se e ,

,

= -

=

38

x –

= -

h.) Calcular

calculando de parte a

temos:

39

substituindo temos:

jogando o sinal temos:

passando o integral para

o outro membro temos:

dai resulta

portantanto

Nota: Geralmente, quando na função integrando aparece a função logaritmo

natural f(x)= ln x ou uma composta, por exemplo f(x) = ln (2x+1)

recomendamos fazer a selecção de u e não do dv.

5. Método de integração por Decomposição em Fracções Simples.

Este método é muito utilizado pois precisamos calcular frequentemente

integrais cujas funções integrando representam fracções racionais.

Para utilizar este método, primeiramente, deve-se conhecer alguns elementos

da Álgebra Linear, assim tem-se:

Uma função )(

)()(

xg

xfxF na que )()( xgexf com são polinómios

recebe o nome de fracção racional. Se o grau de )(xf é menor que o grau de

)(xg , )(xF recebe o nome de função própria; no caso contrario, )(xF se chama

imprópria.

Propriedades:

Toda fracção racional imprópria pode-se expressar como soma de um

polinómio de uma fracção própria.

Toda fracção racional própria pode-se expressar como soma de

fracções simples cujos denominadores são da forma

nn cbxaxebax 2)( , sendo n um número inteiro e positivo.

40

Atendendo à natureza dos factores do denominador, se podem considerar

quatro casos, como se segue:

CASO I. Factores lineares distintos.

Aqui, a cada factor linear, bax , do denominador duma fracção racional

própria, lhe corresponde uma fracção da forma: bax

A

, onde A é uma

constante a determinar.

CASO II. Factores lineares iguais.

Aqui, a cada factor linear bax que figure n vezes no denominador duma

fracção racional própria, lhe corresponde uma soma de n fracções da forma:

nn

bax

A

bax

A

bax

A

.......

2

21

Sendo os nuradores constantes a determinar.

CASO III. Factores quadráticos distintos.

A cada factor quadrático reduzível, cbxax 2 , que apareça no denominador

de uma fracção racional própria, lhe corresponde uma fracção da forma

cbxax

BAx

2

, sendo A e B constantes a determinar.

CASO IV. Factores quadráticos iguais.

A cada factor quadrático irreduzível cbxax 2 que se repete n vezes no

denominador de uma fracção racional própria, lhe corresponde uma soma de n

fracções da forma: n

nn

cbxax

BxA

cbxax

BxA

cbxax

BxA

222

22

2

11 .......

Sendo A e B constantes a determinar.

Actividades Ilustrativas:

Calcular:

a. 42x

dx

Resolvamos a integral seguindo os passos abaixo:

41

Passo 1. Decompor o denominador em factores, ou seja: 2242 xxx

Portanto, a fracção própria fica: 224

12

x

B

x

A

x Procurando o

denominador comum, tem-se: 22

)2()2(

224

12

xx

xBxA

x

B

x

A

x

Igualando os denominadores, temos:

)22(1)2()2(1 BAxBAxBxA

Passo 2. Cálculo das constantes A e B:

Método geral. Se identificam os coeficientes de igual potência de x e se resolve

o sistema de equações obtido para determinar o valor das constantes. Isto é:

120 BAeBA de onde obtêm-se que: 4

1

4

1 BeA

Método abreviado: Se substitui os valores de x que anulam os denominadores

das fracções. quer dizer, para 22 xex obtendo: BeA 4141 De

onde: 4

1

4

1 BeA

Passo 3. Achar a integral com os resultados das constantes A e B. Ou seja:

2

4

1

2

4

1

4

12

xxx

De maneira que:

24

1

24

1

42 x

dx

x

dx

x

dx

Aplicando as regras de integração imediatas, obtêm-se:

Cxxx

dx

2ln4

12ln

4

1

42=

b.) dxxx

xxx

23

34 1

A função integrando é uma fracção imprópria. Dividendo, temos:

1

11122323

34

xx

xx

xx

xx

xx

xxx

42

Que expressa a soma de uma função polinomial xxP )( mais uma fracção

racional própria 1

12

xx

x. Fazendo a decomposição em factores na fracção

racional própria, tem-se: 1)1(

122

x

C

x

B

x

A

xx

x

De maneira que, com denominador comum )1(2 xx e igualando os

numeradores, temos: 2)1()1(1 CxxBxAxx

Para 1;0 Bx e para 2;1 Cx , para 2;2 Ax

Logo, a integral ficaria:

Cxx

xxx

dx

x

dx

x

dxxdxdx

xx

xxx

1ln2

1ln2

2

1

122

1 2

223

34

c. dxxx

xxx

23

224

23

2123 2224 xxxx a fracção própria ficaria representada da seguinte

maneira: 2123

22224

23

x

DCx

x

BAx

xx

xxx

De onde, com denominador comum e igualando os numeradores, tem-se:

DBxCAxDBxCA

xDCxxBAxxxx

22

122

22

2223

Logo, 22;12;1;1 DBCADBCA , que resolvendo o sistema,

temos os valores das contastes: 0;1;1;0 DCBA

Calculando a integral, temos que:

Cxxarctagx

xdx

x

dxdx

xx

xxx

2ln

2

1

2123

2 2

2224

23

6.Integrais elementares que contêm o trinómio ao quadrado.

I Integrais do tipo

43

O procedimento principal de cálculo consiste em reduzir o trinómio de segundo

grau á forma: (1) onde são constantes. Para

efectuar a transformação, o mais fácil é separar o quadrado exacto do trinômio

do segundo grau.

Vamos então analisar dois casos:

1º Caso: m = 0, reduzir o trinómio do segundo grau à forma (1) obtêm -se as

integrais imediatas a seguir.

com ou

,com

ou

2º Caso: m 0

Do denominador separa-se a derivada do trinômio , como

mostrado a seguir:

Desta forma, chegamos ao caso anterior.

Actividades ilustrativas

Calcular:

Solução: observa – se que o valor de é igual a zero. Decompondo o

trinomio quadrado utilizando o completamento quadrático. No trinómio

o valor de dividindo o valor de por dois da

e tiramos o quadrado de no caso o quadrado de 1 é o próprio então

adicionamos e subtraímos no trinômio teremos que:

44

Tendo en conta esta fórmula de integração

,

temos que:

Solução: a qui o valor de é igual a zero. Pondo em evidencia o número

no trinómio fica:

neste caso temos

que

dividimos o valor de por da

o quadrado de

é

agora adicinamos e subtraimos

no trinómio. Então temos que:

Tendo em conta esta fórmula de integração

para

este caso considera-se

então substituindo obtemos:

Solução: Tendo em conta esta fórmula de integração

então para o exercício dado

e a derivada de é: – substituindo temos:

45

Solução: aque nos procedemos como no exercício anterior então temos:

Tendo em conta a seguinte fórmula

para este caso

consideramos

substituindo obtemos:

II Integrais do tipo

Os procedimentos de cálculo são análogos aos ja examinados. Logo, a integral

se reduz à uma das duas integrais a seguir:

ou

46

Actividades ilustrativas

Solução: Para este caso o valor de e no radicando temos uma equação

do segundo grau incompleta em que o valor de aplicando

o completamento quadrático e considerando a seguinte fórmula de integração

obtemos:

Solução: Tendo em conta esta fórmula

para o exercício dado e a derivada de

é: – substituindo temos:

fazendo

substituindo teremos:

47

Substituindo o valor de u fica

III Integrais do tipo

Utilizando a substituição da fracção linear

estas integrais reduzem –

se as integrais do tipo II

Actividades ilustrativas

Solução:

Fazendo

Substituindo temos:

Aplicando o completamento quadrático e cosiderando esta fórmula de

integração

temos:

48

Calcule:

Solução:

Fazendo:

substituindo temos:

aplicando o

completamento quadrático e considerando esta fórmula de integrção

Ca

xarcsen

xa

dx

22 temos:

49

IV Integrais do tipo:

Separando quadrado exacto no trinómio de segundo grau, esta integral se

reduz a uma das duas integrais principais:

Actividades ilustrativas

Tendo em conta que:

então temos:

a plicando o completamento quadrático fica:

50

7. Integrais de funções trigonométricas.

Integrais do tipo

valem as

seguintes relações:

1- =

2- =

3- =

Actividades ilustrativas:

a-) Calcular

=

+c

51

=

Integrais do tipo valem as substituições

,

,

,

Esta substituição é

chamada substituição universal

Actividades Ilustrativas:

a) calcule:

b) Calcule

=

c) Calcule

52

Solução:

=

Considerando esta fórmula de integração

C

ax

ax

aax

dxln

2

122

Integrais do tipo

1- Se é um número impar e positivo então :

E faz – se

2- Se é um número ímpar e positivo então:

. E faz – se

Se são números pares e positivos, usamos as transformações

trigonométricas:

,

53

Actividades Ilustrativas:

a)Calcule

Fazendo substituindo teremos:

Substituindo o valor de u temos:

b. Calcule:

54

Fazendo substituindo temos:

Substituindo o valor de temos:

c.) Calcule

=

d.)

55

e. Calcule

fazendo

substituindo temos:

substituindo o valor de u temos que:

Resumo:

Depois de ter estudado este tema poderão interpretar o conceito de integral

indefinida e aprofundar no estudo do cálculo diferencial. É importante que

domine as fórmulas de integração. Depois de ter estudado este tema poderão

realizar exercícios aplicando os métodos de integração por parte e substituição

desta maneira lhes facilita a realização de exercícios com maior grau de

complexidade.

É importante que domine do estudado os métodos de integração e suas

particularidades específicas para sua utilização, as quais se foram expondo

com o passar do conteúdo.

56

Actividades para a auto avaliação(exercitação):

I. Calcule as seguintes integrais aplicando as regras de integração

imediatas e as propriedades:

1. dxxx 45 23 2. 3. dxxx 52

4. dyy

y

2

1 5. dx

x

exxsenxx x

2

22 3 6. dx

x

xxxex xx

4

444 23

7. 27 x

dx 8.

162x

dx

II. Calcule as seguintes integrais aplicando o método de substituição,

substiuição trigonométrica e substituição universal:

1. 21 x

xdx 2. dx

x

etagx

2cos 3. dxxx 43cos. 2 4.

5.

6.

7.

8.

9.

14.

15.

III. Calcule as seguintes integrais aplicando o método de integração por

partes:

1. dxex x32

2. dxex x

2)1( 3. dxxx 1

xx ln2

7. senxx2

dx 9. senxex

dx

12. x3sec dx

dxxxx 53 42

57

IV. Calcule as seguintes integrais aplicando o método por decomposição

em fracções simples:

1. 92x

dx 2. 672 xx

dx 3. 432 xx

xdx 4. dx

xx

xx

82

432

2

5.

22x

xdx 6. dx

xxx

xxxx

32

33223

234

7.

3

4

1 x

dxx 8.

xxx

dxx

6

123

9.

1

5323 xxx

dxx 10. 44

2

xa

dxx

V. Calcule as integrais do tipo:

e as integrais que contêm o trinómio ao quadrado:

5

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

17.

VI .Calcule as seguintes integrais utilizando difefrentes métodos:

1. 2.

3.

4.

5. 6.

7. 8.

9.

10. 11

12.

58

Respostas:

Exercício I:

1 Cx

xx 4

3

5

4

34

2

3 Cxx 2

3

2

7

3

10

7

2

4 Cyy

y ln2

1

5 C

xexx x

3cosln

6 Cx

xxe

xx

2ln

2

5

23

2

7

Cx

7

7arctan

7

7

8 Cxx 16ln 2

Exercício II:

1 2

3

4

5 6

7 8

9 10

11

12

13

14

15

16

59

17

18

19

20

ExercícioIII:

1

cexeex xxx

27

2

9

2

3

3332

2 cxxex 21212

3

cxxx

25

23

115

41

3

2

4

cxxx

2

1lnln

2

22

5

cxx

3

1ln

3

3

6 c

xx

x

1

1

1

)1ln(

7

8

9

10 +

11

12

Exercício IV:

1 C

x

x

3

3ln

6

1

2 C

x

x

6

1ln

5

1

3 Cxx

441ln

5

1

4 Cxxx 4

42ln

60

5 C

xx

2

22ln

6 C

xx

xx

32ln

2

1

2

2

7

C

xxxxx

2

62

12

1

1

41ln3

2

1

8

Cxx

x

152

61

103

3

2ln

9 C

x

x

x

1

1ln

2

1

1

4

10 C

a

xarctag

axa

xa

a

2

1ln

4

1

Exercício V:

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10

11

12

13

14

15

16

61

17

18

Exercício VI:

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10

11

12

62

2.2 . Análise geral dos resultados do inquérito aplicado aos estudantes.

Pergunta 1. Aproveitamento na cadeira Análise Matemática II

A seguinte tabela mostra os resultados obtidos:

Tabela 1. Aproveitamento na cadeira Análise Matemática II

CURSO REGULAR BOM RAZOAVEL MAU OUTRO

2º ANO 2º ANO 14 12 22 -

3º ANO 9 11 10 -

TOTAL 23 23 32 -

Em relação ao balanço sobre o aproveitamento no estudo da cadeira pode-se

apreciar que 23 estudantes que representam 29.5% estão a dizer que é bom

ou razoável, o que representa 58.97% entre os dois indicadores com relação a

amostra total, no entanto 32 estudantes que representam 41.02% indicam que

é mau. Isto demonstra que deve-se continuar trabalhando para melhorar o

Processo de Ensino-Aprendizagem dos estudantes nesta cadeira. Os

resultados estão ilustrado no seguinte gráfico:

Gráfico1

0

5

10

15

20

25

30

35

BOM RAZOAVEL MAU OUTRO

14 12

22

0

9 11 10

0

23 23

32

0

APROVEITAMENTO NA CADEIRA ANÁLISE MATEMÁTICA II

2º ANO

3º ANO

TOTAL

63

Pergunta 2. Elementos que influenciam o nivel de aproveitamento no tema

integrais indefinidas.

Os resultados obtidos mostram-se na seguinte tabela:

Tabela 2. Principais elementos que influenciam o nivel de aproveitamento

no tema integrais indefinidas.

ELEMENTOS 2º ANO 3º ANO TOTAL

(A) Falta de bibliografia 5 1 6

(B) Falta de meios de

ensino

2 1 3

(C) Falta de domínio da

matéria

3 2 5

(D) Falta de exercícios

para praticar

4 0 4

(E)Falta de bom

esclarecimento do

professor

2 0 2

(F) Conteúdo muito

complexo

0 2 2

(G) Conteúdo muito

extenso

0 2 2

(H) Conteúdo acessível 0 2 2

(I) Boa explicação do

professor

20 12 32

(J) Estudo independente 12 8 20

Pode-se observar que 32 estudantes que representam 41.02%, dizem que os

principais elementos que influenciam no aproveitamento da cadeira é uma boa

explicação do professor, 20 estudantes para 25.6% dizem que é o estudo

independente, o que demonstra que com uma melhor orientação do estudo

independente, que poderia realizar-se através de um guia de estudo, os alunos

64

compreenderiam e dariam uma importância a este elemento. Os restos dos

indicadores não são tão significativos. O seguinte gráfico ilustra os resultados

para uma melhor compreensão:

Gráfico 2

Pergunta 3. Quais são os temas com maiores dificuldades em Análise

Matemática?

Os resultados mostram-se na seguinte tabela:

Tabela 3. Temas com maiores dificuldades para estudar

TEMAS 2º ANO 3º ANO TOTAL

(A) Funções 4 1 5

(B) Derivação de funções de

variáveis reais

3 3 6

(C) Regras de integração

imediatas.

8 2 10

(D) Aplicar os métodos ao

cálculo de integrais indefinidas

21 14 35

(E) Integrais definidas 4 6 10

0

5

10

15

20

25

30

35

(A) (B) (C) (D) (E) (F) (G) (h) (I) (J)

5 2 3 4

2 0 0 0

20

12 1 1 2

0 0 2 2 2

12

8

6 3 5

4 2 2 2 2

32

20

ELEMENTOS QUE INFLUENCIAM O NIVEL DE APROVEITAMENTO NO TEMA INTEGRAIS INDEFINIDAS

2º ANO

3º ANO

TOTAL

65

(F) Integrais impróprias 8 4 12

Aqui podemos observar que 35 etudantes para 44.9% dizem que o tema com

maior dificuldade é aplicar os métodos de integração para o cálculo de

integrais indefinidas, 10 estudantes para 12.8% dizem que são as regras de

integração imediata ou integrais definidas o que representa 25.6% entre os

dois indicadores com relação a amostra total,12 estudantes dizem que são as

integrais improprias o que representa15,4%, 5 estudantes dizem que são as

funções o que representa 6,4% e 6 estudantes dizem que são as derivadas de

funções de variaveis reais o que representa 7,7%. Assim sendo o professor

deve trabalhar mais na aplicação dos métodos ao cálculo de integrais

indefinidas, e um guia de estudo pode contribuir para o melhoramento da

aprendizagem dos alunos neste tema. Os resultados mostram-se no gráfico

seguinte:

Gráfico3

Pergunta 4. Consideras necessário um guia de estudo para a temática

integrais Indefinidas na cadeira de Analise Matemática?

Os resultados mostram-se na seguinte tabela:

0

5

10

15

20

25

30

35

(A) (B) ( C ) (D) ( E ) ( f)

4 3

8

21

4

8

1 3 2

14

6 4 5 6

10

35

10 12

TEMAS COM MAIORES DIFICULDADES NA ANÁLISE MATEMÁTICA

2º ANO

3º ANO

TOTAL

66

Tabela 4. Necessidade de guia de estudo no tema Integrais Indefinidas

CURSO REGULAR SIM NÃO

2º ANO 43 5

3º ANO 28 2

TOTAL 71 7

Os resultados desta pergunta indicam que 71 estudantes para 91,03% indicam

a necessidade de um guia de estudo para o tema integrais indefinidas, 7

estudantes para 8.97% não consideram necessário um guia de estudo. No

entanto, observa-se que um guia de estudo pode ajudar ao melhoramento da

aprendizagem dos estudantes. Os resultados ilustram-se no gráfico seguinte:

Gráfico 4

Pergunta 5. Que vantagens possui um guia de estudo sobre o tema Integrais

Indefinidas?

A tabela a seguir ilustra os resultados:

0

10

20

30

40

50

60

70

80

2º ANO 3º ANO TOTAL

43

28

71

5 2 7

NECESSIDADE DE UM GUIA DE ESTUDO NO TEMA INTEGRAIS INDEFINIDAS

SIM

NÃO

67

Tabela 5. Vantagens de um guia de estudo

VANTAGENS 2º ANO 3º ANO TOTAL

(A) Facilita o estudo independente 18 13 31

(B) Aprofundar e integrar

conhecimentos

4 3 7

(C) Estudar sem auxílio do professor 15 6 21

(D) Ajuda a olhar as teorias

importantes

6 3 9

(E) Aumenta o interesse pela cadeira 5 5 10

Os resultados desta pergunta mostram que 31 estudantes, para 39.7%,

afirmam que um guia facilitaria o estudo independente, no entanto que 21

estudantes para 26.92% dizem que ajuda a estudar sem o auxílio do professor.

Pode-se concluir que existe necessidade deste guia. Ilustrando-se os

resultados no seguinte gráfico:

Gráfico 5

0

5

10

15

20

25

30

35

(A) (B) (C) (D) (E)

18

4

15

6 5

13

3 6

3 5

31

7

21

9 10

VANTAGEMS DE UM GUIA DE ESTUDO

2º ANO

3º ANO

TOTAL

68

Pergunta 6. Marque com um X a resposta correcta.

é igual a :

_______

_____ _____

Os resultados mostram-se na seguinte tabela:

Tabela 6. Cálculo de uma integral indefinida.

CURSO

REGULAR

RESPOSTA CORRECTA RESPOSTA INCORRECTA

2º ANO 18 30

3º ANO 10 20

TOTAL 28 50

Como se pode observar na tabela os resultados mostram que só 28

estudantes para 35,9% respondem correctamente ao cálculo da integral, 50

estudantes para 64,1% respondem de maneira incorrecta; o que demonstra as

dificuldades nos métodos e procedimentos de cálculos de integrais indefinidas.

Os resultados ilustram-se no gráfico abaixo:

Gráfico 6

0

10

20

30

40

50

2ºANO 3º ANO TOTAL

18

10

28 30

20

50

CÁLCULO DE UMA INTEGRAL INDEFINIDA

RESPOSTA CORRECTA

RESPOSTA INCORRECTA

69

CONCLUSÕES:

Os resultados obtidos a partir da investigação realizada permitem oferecer as

seguintes conclusões:

Do estudo feito das diferentes fontes bibliográficas se sistematizou os

fundamentos teóricos principais a serem empregue na elaboração da proposta

de um guia de estudo sobre o tema de integrais indefinidas, e a escolha dos

exercícios resolvidos e propostos para o desenvolvimento de habilidades de

calcular integrais indefinidas.

Da pesquisa realizada permitiu detectar os interesses dos alunos pelos

guias de estudo para seu estudo independente. assim como existem

dificuldades no estudo do tema de integrais indefinidas, devido a fraca

preparação dos alunos, a falta de livros e materiais para auto preparação o que

dificulta o Processo de Ensino-Aprendizagem desta cadeira .

A proposta de guia de estudo está estruturada de maneira didáctica,

pois apresenta os resumos teóricos necessários sobre o tema, exercícios

resolvidos e propostos para o estudo independente que pode contribuir para

desenvolver habilidades nos estudantes relacionadas com o cálculo de

integrais indefinidas.

70

RECOMENDAÇÕES:

Avaliar a proposta de guia de estudo mediante sua utilização prática e

continuar seu aperfeiçoamento com a introdução de novas propostas que

contribuam para o desenvolvimento de habilidades de calculo na temática

integrais indefinidas.

Que os professores por sua vez utilizem este trabalho de investigação

como fonte bibliográfica adequada para o ensino das integrais indefinidas.

71

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74