Aostila esecial e exerccios Matemática esolues 3A · se a lei de formação for do tipo ya=⋅ x ,...

Aula 0707.01. a

Se f x x( ) = −2 10, então:

• x f x f= ⇒ = = ⋅ − = −0 0 2 0 10 10( ) ( )

• f x x x( ) = ⇒ = − ⇒ =0 0 2 10 5

x

–10

f(x)

0 5

Portanto, os vértices do triângulo, que o gráfico da função f x x( ) = −2 10 forma com os eixos coordenados, são os pontos

( , )0 0 , ( , )5 0 e ( , )0 10− .

07.02. cTrata-se de um triângulo retângulo cujos catetos medem 5 u c. . ou

10 u c. . (observe a figura da questão anterior).

Assim, temos que:⋅= =5 10

25Área2

u.a.

07.03. eO valor de y duplica, quando duplica o valor de x, se, na lei de for-mação da função afim, o termo independente de x for nulo, ou seja, se a lei de formação for do tipo y a x= ⋅ , sendo a um número real

diferente de zero, pois a x a x⋅ = ⋅ ⋅( ) ( )2 2 .

Dentre as alternativas apresentadas, a única do tipo y a x= ⋅ , com

a ≠ 0, é y x= 5 .

07.04. cA reta é decrescente e y = 0 quando x =1. Portanto,

I. os valores de y diminuem à medida que os de x aumentam e, por isso, y x< ⇔ >0 1;

II. os valores de y aumentam à medida que os de x diminuem e, por isso, y x> ⇔ <0 1.

a) INCORRETO.Para x >1 , tem-se y < 0

b) INCORRETO.Para x ≥1 , tem-se ≤y 0

c) CORRETO.De II, segue que: y > 0 quando x <1

d) INCORRETO. f( , )0 09 0> , pois x y= < ⇒ >0 09 1 0,

e) INCORRETO.f( ) ,− >10 0 pois x = − <10 1

07.05. cSalário 800 4% das Vendas S 800 0,04 V= + ⇒ = + ⋅

07.06. dConsiderando que cada um utilize x metros de fio, • o Sr. José cobra J x x( ) ,= 4 5 reais.

• o valor L(x) cobrado pelo Sr. Luiz, em reais, é tal que L x ax b( ) = + , onde b indica o valor cobrado pelo orçamento (parte fixa) e a indi-ca quanto ele cobra por metro de fio instalado.De acordo com o gráfico, temos que L( )15 80= e L( ) .25 100=Substituindo esses valores em L x ax b( ) = + , obtemos o sistema

15 80

25 100

a b

a b

+ =+ =

, donde segue que a= 2 e b= 50. Portanto, o Sr.

Luiz cobra L x x( ) = +2 50 reais, sendo 50 reais o valor da parte fixa.

a) INCORRETO.50 60<

b) INCORRETO.O Sr. Cobra R$ ,2 00 por metro de fio instalado.

c) INCORRETO.Por metro de fio instalado, o Sr. José cobra mais do que o Sr. Luiz. Logo, a partir de algum valor de x não será vantajoso contratar o Sr. José. De fato:J x L x x x x( ) ( ) ,> ⇔ > + ⇔ >4 5 2 50 20

d) CORRETO.J L reais( ) ( )20 20 90= = .

07.07. a Considerando que a distância de Belo Horizonte até Inhotim é igual a x km, a distância total percorrida (ida e volta) é igual a 2 90⋅ +( )x km . Então:

( ) , ( ( ))

, ( )

, ( )

2 80 0 75 2 90 385

160 1 5 90 385

1 5 90 225

⋅ + ⋅ ⋅ + =+ ⋅ + =

⋅ + =

x

x

x

990 150

60

+ ==

x

x

07.08. b Supondo que A(x) e B(x) indicam os valores cobrados pelas em-presas A e B, respectivamente, passados x meses de manutenção, temos:

B x A x

x x

x

x x

( ) ( )<+ < +

<< ⇒ >

120 12 80 20

40 8

5 5

A empresa B será mais vantajosa que a A a partir do 5o. mês. 07.09. d

V t V t

t t

t

t

A B( ) ( )=+ = −

==

200 3 5000 3

6 4800

800 minutos

1Extensivo Terceirão – Matemática 3A

Resoluções 3AMatemáticaApostila especial de exercícios

07.10. d Lembre que o volume de 1 m3 equivale a 1000 litros.O gráfico (parte representada) é um segmento de reta. Logo, a va-riação do volume é proporcional à variação de tempo. Portanto:

1 03 0

25000

10003

25007 5 7 3

3mh

litrost

litrosh

litrost

t h h

−−

=−

= ⇒ = =, 00 min

07.11. a y mx n m= + ⇒ = taxa de varia�ª o mØdia taxa de variação média

Considerando que ( ; )1 6 e ( ; )3 2 são pontos do gráfico da função, temos:

m n

m nm

⋅ + =⋅ + =

⇒ = −1 6

3 22

Outra forma:

myx

y yx x

B A

B A

= =−−

=−−

= −∆∆

2 63 1

2

07.12. d Receita Custo Lucro

x x

x x

− =⋅ − + ⋅ =

− − =( ) ( )45 5000 25 4000

45 5000 25 40000

20 9000

450

x

x

==

07.13. a

As soluções da inequação − +

−>

xx

32 1

0 são soluções do sistema

− + >− >

x

x

3 0

2 1 0 ou do sistema

− + <− <

x

x

3 0

2 1 0, pois o numerador e o de-

nominador da fração − +

−xx

32 1

têm que ser ambos positivos ou am-

bos negativos.

• − + >

− >

⇒<>

⇒ < <x

x

x

xx

3 0

2 1 0

3

0 50 5 3

,,

• − + <

− <

⇒><

⇒x

x

x

x

3 0

2 1 0

3

0 5, esse sistema não admite solução.

• 0 5 3

1 2,

.< <

∈

⇒ = =x

xx ou x

• Soma das soluções = 1 + 2 = 307.14. d

Se, e somente se, ( )3 25 0x − ≥ e ( )5 2 0− ≥x , ou ( )3 25 0x − ≤ e

( )5 2 0− ≤x , então ( )( )3 25 5 2 0x x− − ≥ .

• 3 25 0

5 2 0

253

52

x

x

x

x

− ≥− ≥

⇒≥

≤

⇒ esse sistema não admite solução.

• 3 25 0

5 2 0

253

52

52

253

x

x

x

xx

− ≤− ≤

⇒≤

≥

⇒ ≤ ≤

• 52

253 3 4 5 6 7 8

≤ ≤

∈

⇒ =

x

xx ou

, , , , .

• A inequação ( )( )3 25 5 2 0x x− − ≥ admite 6 soluções inteiras.

07.15. a

R R kT

R k

k

k

= += −= − >

=

0

0

0

1

0 1 273

0 1 273 0

1273

( )

( )

( )pois R

07.16. b

x x xx x

x x

x

xx− < − < + ⇒

− < −− < +

⇒><

⇒ < <1 3 5 2 11 3 5

3 5 2 1

2

62 6

2 6 3 4 5< < ⇒ = = =x x x e x, são as 3 soluções inteiras da ine-

quação.07.17. b

Considerando que a temperatura siga a tendência de aumento li-near observada entre 1995 e 2010, e que em 2012 deverá ser igual a T, temos:

T

TT

−−

=−−

−= ⇒ = °

13 82012 2010

13 8 13 352010 1995

13 82

0 4515

13 86

, , ,

, ,, CC

07.18. d

5 25 5500

8 3501 210 5

1905

19071905 1907

n

n n

n

nn

+ >− + > −

⇒><

⇒ < <

Se n representa o número de foguetes, então n é um número na-tural.

1905 1907

1906< <

∈

⇒ =n

nn

07.19. a) Preço = (Valor fixo) + (R$ 0,80 por quilômetro rodado)

P x x

P x

( ) ( , ) ( , )

, ,

= + ⋅= +

3 20 0 8

3 20 0 8

b) P≥120

0 8 3 20 120

0 8 116 80

146

, ,

, ,

x

x

x

+ ≥≥≥

Para que, em uma corrida, o preço a ser cobrado não ultrapasse R$ 120,00, devem ser rodados, no máximo, 146 km.

07.20. x h0 30=

• A x x( ) = −720 10 e B x x( ) = +60 12

• A x B x( ) ( )0 0=

720 10 60 12

660 22

30

0 0

0

0

− ⋅ = + ⋅= ⋅=

x x

x

x h

2 Extensivo Terceirão – Matemática 3A

Aula 0808.01. d

Do gráfico, temos que yv = 3 e xx x

v =+

=+

=1 2

21 5

23.

O vértice da parábola é o ponto ( , )3 3 .

08.02. a Observando o gráfico da questão anterior, verifica-se que yv = 3 e que f x( ) ≤ 3 para todo x do domínio da função correspondente.

Então, 3 é o valor máximo que essa função assume.08.03. d

a) INCORRETO.A função é quadrática e o coeficiente de x2 é igual a 1 (e 1 > 0). Então, o gráfico da parábola tem concavidade voltada para cima.

b) INCORRETO.

f( )0 0 16 162= − = −

O gráfico intersecta o eixo das ordenadas no ponto ( , ).0 16−

c) INCORRETO.A função admite um ponto de mínimo, pois a parábola corres-pondente tem concavidade voltada para cima.

d) CORRETO.

f x x x x ou x( ) .= ⇒ − = ⇒ = ⇒ = = −0 16 0 16 4 42 2

e) INCORRETO.f x( )= 0 se x = 4 ou x = −4.

08.04. d

f x x x( ) = − +1

2022

xbav = − = −

⋅ −

=2

2

21

20

20

08.05. b f x x x

yav

( )

( )

= − +

= − − ⋅ ⋅ =

= − = −⋅

= −

2 5 2

5 4 2 2 9

49

4 298

2

2∆∆

08.06. b Se o ponto ( , )−1 2 pertence ao gráfico da função f x k x x( ) ( ),= ⋅ ⋅ + 3então:f k k k( ) ( ) ( )− = ⇒ ⋅ − ⋅ − + = ⇒ − = ⇒ = −1 2 1 1 3 2 2 2 1

08.07. a 2

2 2

2

máximo v

y 4x 24x

24 4 ( 4) 0 24

24h y

4a 4 ( 46 m

)3

= − +

∆ = − ⋅ − ⋅ =

∆= = − = − =⋅ −

08.08. e• p x receita⋅ =

( )600 10 5000

600 10 5000

60 500 0 10 50

2

2

− ⋅ =

− =

− + = ⇒ = =

x x

x x

x x x ou x

•

x p

x p

= ⇒ = − ⋅ =

= ⇒ = − ⋅ =

10 600 10 10 500

50 600 10 50 100

• Soma dos preços = + =500 100 600 reais

08.09. b O ponto de mínimo de uma função quadrática é o vértice da pará-bola correspondente. Portanto, nesse ponto de mínimo:

x xbav= = − = −

−⋅

=2

22 1

1

08.10. a

y x x

xba

y x x

v

v v v

= + +

= − = −⋅

= −

= ⋅ + ⋅ + = ⋅ −

+

4 4 1

24

2 412

4 4 1 412

2

22

( ) 4412

1 0⋅ −

+ =

A parábola tem vértice no ponto −

12

0, .

08.11. d

f x x x( ) = − + +2 12

A imagem dessa função é máxima quando:

x xbav= = − = −

⋅ −= =

21

2 112

0 5( )

,

a) INCORRETO. 0 5 3 2, ,∉ − −[ ]

b) INCORRETO. 0 5 2 1, ,∉ − −[ ]

c) INCORRETO. 0 5 1 0, ,∉ −[ ]

d) CORRETO. 0 5 0 1, ,∈[ ]

e) INCORRETO. 0 5 1 2, ,∉[ ]08.12. c

v

v

x kVértice (k, 9)

y 9

== ⇒ =

y x bx= + +6 152

∆∆

= − ⋅ ⋅ = −

= −

= −−⋅

= −−

⇒ = ⇒ =

b b

ya

b

bb b

v

2 2

2

22

4 6 15 360

4

9360

4 6

9360

24144 112 12ou b = −

A incógnita b pode ser igual a 12 ou a –12. A alternativa (c) é a única que apresenta um valor possível para a incógnita b: 12.

08.13. e

f x ax x

f y

y

aa

a

v

v

( )

Im( ) ,

( )

= − += − ∞[ [ ⇒ = −

= −

− = −

=

− − ⋅ ⋅

2

2

4 6

6 6

6

46

24

4 4

∆

∆

66 24

16 24 2413

=

− = ⇒ =

a

a a a


08.14. c f x g x

x x

x x x ou x

( ) ( )=

+ = +

= ⇒ = =

2 2

0 1

2

2

08.15. b

2

v v

Receita (preço unitário) (unidades vendidas)

R(x) (x) (86 2x)

R(x) 2x 86x

b 86Receita máxima "y " x x 21,5

2a 2 ( 2)

= ⋅

= ⋅ −

= − +

= ⇒ = = − = − =⋅ −

A receita será máxima quando o preço unitário for igual a R$ , .21 50

08.16. c

xx

2x

–x

y

y = 4 – x2

4 – x2

2

2

perímetro f(x) 2 (2x (4 x ))

f(x) 2x 4x 8

= = ⋅ + −

= − + +

2

máximo4 4 ( 2) 8

períme 10 utro máximo f(x)4a 4 2)

.c(

.∆ − ⋅ − ⋅= = − = − =

⋅ −

08.17. dConsiderando que as duas parcelas, cuja soma é igual a 10, são x e 10 – x, temos:

= = ⋅ −

= − +

∆ − ⋅ − ⋅= = − = − =⋅ −

2

2

máximo

produto f(x) x (10 x)

f(x) x 10x

10 4 ( 1) 0produto máximo f(x)

4a 4 ( 1)25

08.18. b

• yx x

= − +2

7525

yx x x x

x

ou

x

= ⇒ − + = ⇒ ⋅ − +

= ⇒

=

=0

7525

05 15

2 0

0

30

2

Portanto, yx x

= − +2

7525

é a equação da parábola de vértice C,

donde segue que xA = 30.

Observe a figura a seguir.

y (m)

x (m)

C

D

O 30 xB35

• A distância do ponto O ao ponto B é igual à distância entre as abscissas desses pontos. Portanto:d x x x xOB B O B B= − = − =0

• Pela simetria da parábola:x x d mB B OB− = − ⇒ = ⇒ =35 35 30 40 40

08.19. x =1

Na figura abaixo, além do triângulo destacado, considere o triângu-lo T, de vértices ( , ), ( , ) ( , )−2 0 2 0 0 3 e , e o retângulo R, cuja altura

está indicada por h.

2x

2x

3 – h

–x–2

4

3

h

O triângulo destacado, nessa figura, é semelhante ao triângulo T. Sendo assim, temos que:3

324

33 2

6 32

−= ⇒

−= ⇒ =

−h x h xh

x

• Área do retângulo R:

2

Área 2x h

6 3xÁrea 2x

2

Área f(x) 3x 6x

= ⋅− = ⋅

= = − +

Para que a área seja máxima, devemos ter:

x xbav= = − = −

⋅ −=

26

2 31

( )

08.20. a) Se no preço do pacote for dado um desconto de 1 real, então o lucro, por pacote vendido, passará a ser de 2 1 1− = real e o su-permercado aumentará sua venda em 400 1 400⋅ = pacotes por semana, passando a vender, então, 400 400 800+ = pacotes na semana.Nesse caso, o lucro desse supermercado, em uma semana, será igual a 800 1 800⋅ = reais.

b) Se for dado um desconto de x reais, no preço do pacote, então o lucro, por pacote vendido, será igual a ( )2− x reais e o supermer-cado passará a vender 400 400+ x pacotes por semana.Na semana considerada, teremos:Lucro x x

Lucro x x

= − ⋅ +

= − + +

( ) ( )2 400 400

400 400 8002

vb 400

Lucro máximo x x 0,52a 2 ( 400)

⇒ = = − = − =⋅ −

== − =

Desconto R$ 0,50

Preço do pacote R$ 6,00 R$0 R$,50 5,50


Aula 0909.01. d

1+ + + + +

–1 0+ + + + +

– – – –– – – –

Do gráfico, temos que: I. y = 0 se x = −1 ou se x =1;

II. y < 0 se x < −1 ou se x >1;III. y > 0 se − < <1 1x .De III, é correto afirmar que y > 0 para todos os valores de x per-

tencentes ao intervalo −] [1 1, 09.02. e

Observe, na questão anterior, que y < 0 se x < −1 ou se x >1. Ou

seja, y > 0 para todos os valores de x pertencentes ao intervalo

−∞ −] [ ∪ +∞] [, ,1 1 .

09.03. a

x x ou x2 4 0 2 2− = ⇒ = − =

Observe a figura a seguir.

2–2

y = x2 – 4

+ + +– – – –

+ + +

x x2 4 0 2 2− ≤ ⇒ − ≤ ≤09.04. e

f x a x x x x( ) ( ) ( )= ⋅ − ⋅ −1 2 Do gráfico, temos que x 1 1= e x 2 3= . Então:f x a x x( ) ( ) ( )= ⋅ − ⋅ −1 3

O ponto ( , )0 3 pertence ao gráfico da função. Logo, f( ) .0 3= f a a( ) ( ) ( )0 3 0 1 0 3 3 1= ⇒ ⋅ − ⋅ − = ⇒ =

Portanto, f x x x( ) ( )( )= − −1 3

09.05. c Se todos os pontos do gráfico da função f x( ) estão acima do eixo x, então f x( )> 0 para todos os valores reais de x. Portanto, não existe x real tal que f x( ) .< 0

09.06. e

x x x ou x2 3 0 0 3− = ⇒ = =

30

y = x2 – 3x

+ + +– – – –

+ + +

x x x2 3 0 0 3− ≤ ⇒ ≤ ≤Portanto, as soluções inteiras da inequação são os elementos do

conjunto 0 1 2 3, , ,{ }.

09.07. b

x x x ou x2 32 252 0 14 18− + = ⇒ = =

1814

y = x2 – 32x + 252

+ + +– – – –

+ + +

x x x2 32 252 0 14 18− + < ⇒ < <

O único número inteiro par, pertencente a esse intervalo, é 16.

09.08. d f x a x x x x( ) ( )( )= − −1 2

Se x 112

= e x 2 1= , então f x a x x( ) ( )= −

−

12

1

Mas f( ) .0 1= Logo:

f a

a a

( ) ( )

( )

0 012

0 1

112

1 2

= −

−

= −

− ⇒ =

Assim, segue que:

f x x x

f x x x f x x x

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

= −

−

= − − ⇒ = − +

212

1

2 1 1 2 3 12

09.09. c f x x x( ) ( ) ( )= − ⋅ −1 3

• x∈[ ]0 5,f f( ) ( ) ( ) ( )0 0 1 0 3 0 3= − ⋅ − ⇒ =

f f( ) ( ) ( ) ( )5 5 1 5 3 5 8= − ⋅ − ⇒ =

• f x x x x ou x( ) ( ) ( )= ⇒ − ⋅ − = ⇒ = =0 1 3 0 1 3

x xv v=+

⇒ =1 3

22

y f yv v= ( ) = −( ) −( ) ⇒ = −2 2 1 2 3 1.

• Dos resultados anteriores, concluímos que

Im( ) ,f = −[ ]1 8 ,conforme podemos verificar no gráfico esboçado a seguir.

8

1 2 3 5

–1

xv

yv

xv

yv


09.10. a 2

máximo v

máximo

2

máximo

máximo

L(x) x 48x 10

L(x) "y "

L(x)4a

48 4 ( 1) ( 10)L(x)

4 ( 1)

L(x) 566

R$ 566000,566 1000 566000 Lucro má 00ximo

= − + −=

∆= −

− ⋅ − ⋅ −= − ⋅ − =

× = ⇒ =

09.11. c

x x x ou x2 10 21 0 3 7− + = ⇒ = =

73

y = x2 – 10x + 21

+ + +– – – –

+ + +

x x x2 10 21 0 3 7− + ≤ ⇒ ≤ ≤

As soluções inteiras dessa inequação são os elementos do conjunto

3 4 5 6 7, , , ,{ }.

A inequação x x2 10 21 0− + ≤ admite exatamente 5 soluções in-

teiras. 09.12. d

Os pontos (0, 0), (3, 9) e (6, 0) pertencem ao gráfico da função

y ax bx c= + +2 . Então:

• ( , )0 0 0 0 0 02⇒ = ⋅ + ⋅ + ⇒ =a b c c

y ax bx= +2

• ( , )3 9 9 3 3 3 32⇒ = ⋅ + ⋅ ⇒ + =a b a b

• ( , )6 0 0 6 6 6 02⇒ = ⋅ + ⋅ ⇒ + =a b a b

• 6 0

3 31 6

a b

a ba e b

+ =+ =

⇒ = − =

• a b c+ + = − + + =1 6 0 5

Outra forma:

y ax bx c a x x x x= + + = − −21 2( )( )

• x e x1 20 6= = :

y a x x

y a x x

= − −= ⋅ ⋅ −

( )( )

( )

0 6

6

• x y= ⇒ =3 9 :

y a x x

a a y x x

= ⋅ ⋅ −= ⋅ ⋅ − ⇒ = − ⇒ = − ⋅ −

( )

( ) ( )

6

9 3 3 6 1 6

• y x x= − ⋅ −( )6

y x x= − +2 6

ax bx c x x a b e c2 2 6 1 6 0+ + = − + ⇒ = − = =, .

• a b c+ + = − + + =1 6 0 5

09.13. a

f x ax bx c( ) = + +2

• Se o gráfico corta o eixo das ordenadas em y = 25 , então c = 25,

donde segue que

f x ax bx( ) = + +2 25

• O eixo de simetria do gráfico está na reta x = 3. Portanto, x v = 3 .

xba

b av = ⇒ − = ⇒ = −32

3 6

Substituindo b por −6a, na lei de formação da função, temos:

f x ax ax( ) = − +2 6 25

• Se a equação f x( )= 0 tem uma raiz igual a 1, então:

f a a a b( )1 0 1 6 1 25 0 5 302= ⇒ ⋅ − ⋅ + = ⇒ = ⇒ = −

Assim, temos que f x x x( ) = − +5 30 252

• a > ⇒0 a parábola correspondente tem concavidade voltada

para cima e, então,

Im( ) ,f y v= + ∞[ [ .

x f x yv v v= ⇒ = ⋅ − ⋅ + ⇒ = −3 5 3 30 3 25 202( )

Então: Im( ) ,f = − + ∞[ [20

09.14. d Receita (preço da passagem) (número de passageiros)

R(x) (300 0,75x) x

= ⋅

= − ⋅

( , )

,

300 0 75 0

0

300 0 75 0 400

− ⋅ = ⇒=

− = ⇒ =x x

x

ou

x x

x v =+

=0 400

2200

Se o avião tem apenas 180 lugares, então a receita máxima possível é obtida quando x =180 , conforme indicado a seguir.

180 200

R(x)

x

R(180)

Receita máxima R(180)

R(180) (300 0,75 180) 180

R(180) 29700

Receita máxi R$29700,ma 00

== − ⋅ ⋅=

=

09.15. d

y x bx c f x x bx c

f k b c k c k

= − − + ⇒ = − − +

= ⇒ − − ⋅ + = ⇒ =

2 2

20 0 0

( )

( )

Então: f x x bx k( ) = − − +2

k k> ⇒ − <0 0

Se x k1 = − , para qualquer k > 0 , então:

x xca

k xk

x1 2 2 211⋅ = ⇒ − ⋅ =

−⇒ =

yv


09.16. b

x x2 210000 10000 0< ⇒ − <

x x2 10000 0 100− = ⇒ = ou x = −100.

100–100

y = x2 – 10000

+ + +– – – –

+ + +

x x2 10000 0 100 100− < ⇒ − < <

Temos então que:

x x∈ <{ }= − − −{ }� … …/ , , , , , , , ,2 10000 99 98 1 0 1 2 99

O número de elementos desse conjunto é 199.09.17. e

f x x x( ) = + +4 5 12

4 5 1 014

2x x x+ + = ⇒ =−

ou x = −1

xbav = − = −

⋅= −

25

2 458

yav = − = −

− ⋅ ⋅⋅

= −∆4

5 4 4 14 4

916

2

Observe, na figura a seguir, o triângulo AVB.

V(vértice da parábola)

–114

–

916

– = yv

1 9 3 9(1) 0

4 16 4 16Área2

27u.a.

122 8

− − ⋅ − ⋅ = = =

09.18. c L x R x C x

L x x x x

L x x x

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

= −

= − − +

= − + −

60 10 40

50 400

2

2

• − + − = ⇒=

=x x

x

ou

x

2 50 400 0

10

40

• xv =+

=10 40

225

• y L xv v= = − + ⋅ − =( ) 25 50 25 400 2252

• 0 x 50≤ ≤ e f f( ) ( )50 0 400= = −

Com essas informações, podemos esboçar o gráfico a seguir:

10 25 40 50

L(x)

x

225

–400

Agora, vamos analisar as afirmativas. I. CORRETO.

L x( )≥ 0 para 10 40≤ ≤x

II. CORRETO.Observe, no gráfico, que se 0 251 2≤ < ≤x x , então f x f x( ) ( ).1 2< Ou seja: a função lucro L(x) é crescente no intervalo [0, 25].

III. INCORRETO.Para que a fábrica tenha o maior lucro possível, deve produzir 25 itens por dia.

IV. CORRETO.f( )50 400= − ⇒ se a fábrica produzir 50 itens num único dia,

terá prejuízo.09.19. a) 2 raízes reais;

b) m ou m≤ ≥4 16 ( )m∈

Se 8 1

1x

xmx

−+

= , com x ≠ −1, então:

8 1 1

8 1 8 1 02 2

x x mx

x mx mx mx m x

− = + ⋅

− = + ⇒ + − + =

( )

( )

a) Para m=1, temos:

x x2 7 1 0− + =

∆ = − − ⋅ ⋅ =( )7 4 1 1 452

∆ > ⇒0 a equação admite 2 raízes reais.

b) A equação mx m x2 8 1 0+ − + =( ) admite ao menos uma raiz real

se, e somente se, ∆ ≥ 0. Ou seja, se:

( )m m

m m

− − ⋅ ⋅ ≥

− + ≥

8 4 1 0

20 64 0

2

2

• m m x2 20 64 0 4− + = ⇒ = ou x =16

164

y = m2 – 20m + 64

+ + +– – – –

+ + +

m m m ou m2 20 64 0 4 16− + ≥ ⇒ ≤ ≥

09.20. 12 Se a parábola corta o eixo x em dois pontos, então ∆ > 0.

Sendo L a medida do lado do triângulo ABV, temos:L x x

Lb

ab

a

Lb b

aL

a

B A= −

=− +

−− −

=− + + +

⇒ =

∆ ∆

∆ ∆ ∆

2 2

2

Indicando por H a medida da altura do triângulo equilátero, e ob-servando a figura, podemos escrever:

HL

yL

y L

y La a

v v

v

=⋅

⇒ − = ⇒ = − ⋅

= − ⋅ ⇒ − = − ⋅ ⇒ = ⇒ =

32

03

23

2

32 4

32 2

3 122∆ ∆ ∆∆ ∆ ∆

• Se ∆ > 0 e ∆ ∆2 12= , então ∆ = 12.

yv yv

yv



Anotações

07.01. bObserve a seguinte ilustração:

4

6

A área de um triângulo retângulo pode ser calculada pelo semipro-duto das medidas dos catetos, ou seja:

S =⋅4 62

S m=12 2

07.02. cUm triângulo equilátero possui ângulos internos medindo 60°. Assim, sendo x metros a medida de qualquer lado, tem-se:

S x x sen= ⋅ ⋅ ⋅ °12

60

S = ⋅ ⋅ ⋅12

2 23

2

S m= 3 2

07.03. bA área do triângulo pode ser calculada da seguinte maneira:

S sen= ⋅ ⋅ ⋅ °12

4 6 3 60

S = ⋅ ⋅ ⋅12

4 6 33

2

S m=18 2

07.04. dObserve a seguinte figura:

B C

A

H

54

5

33

O ponto H, extremo da altura do triângulo em relação ao vértice A, divide ao meio o lado de extremos B e C. Desta forma, BH = HC = 3 e AHC é um triângulo retângulo pitagórico. Desta forma, a área do triângulo ABC é dada por:

SBC AH

ABC =⋅2

S ABC =⋅6 42

S cmABC =12 2

07.05. bO triângulo cujos lados medem 5 cm, 12 cm e 13 cm, é um triângu-lo retângulo, pois satisfaz o teorema de Pitágoras:132 = 52 + 122

5

12

13

Logo, a área pode ser calculada pelo semiproduto das medidas dos catetos, ou seja:

S =⋅5 122

S m= 30 2

07.06. aConsiderando que x e 2x são as medidas dos catetos do triângulo retângulo, cuja hipotenusa mede 5 5 cm, temos:( ) ( )5 5 2

25 5 5 5 2 10

2 2 2

2

= +

⋅ = ⇒ = ⇒ =

x x

x x cm x cmA área do triângulo retângulo pode ser calculada pelo semiproduto das medidas dos catetos. Portanto:

S cm=⋅

=10 5

225 2

07.07. bO triângulo ABC é retângulo de hipotenusa AC, pois AC é diâmetro. Utilizando Pitágoras no triângulo ABC, tem-se:

(AC)2 = (AB)2 + (BC)2

102 = 62 + (BC)2

(BC)2 = 64BC = 8 cm (BC > 0)

A área do triângulo ABC é dada por:

SAB BC

ABC =⋅2

S cmABC =⋅

=6 8

224 2

A medida da área do triângulo OBC é igual à metade da medida da área do triângulo ABC, pois ambos têm alturas congruentes (dis-tância de B ao segmento AC), mas OBC possui base igual à metade da base de ABC (AC = 2 . OC):

SS

cmOBCABC= = =2

242

12 2

Aula 07

Resoluções

PB 1Extensivo Terceirão – <disciplina> <numdisciplina> Extensivo Terceirão – Matemática 3B

3BMatemática

07.08. aA área do triângulo destacado na cor branca é igual à área de um triângulo retângulo isósceles de catetos medindo 4 (cor azul), sub-traída da área de um retângulo da área medindo 2, de um triângulo retângulo de área medindo 1 e de um triângulo retângulo de área medindo 3.

3

2 1

Logo, a área do triângulo em destaque é dada por:

S =⋅

− ⋅ −⋅

−⋅4 4

22 1

2 12

2 32

S = − − −8 2 1 3

S = 2

07.09. bAs figuras geométricas são equivalentes quando possuem a mes-ma área. Logo, se a área do paralelogramo deve ser igual à área do retângulo, deve-se ter:

S S

sen

sen

sen

p r=

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅

⋅ = + ⋅

⋅ = +

212

13 6 8 6 6

78 8 0 6 6

78 869

α

α

α

,

( , )

⋅

⋅ = +

⋅

⋅ =

⋅

⋅ =

6

78 823

6

78263

6

78 52

sen

sen

sen

sen

α

α

α

α ==

=

527823

sen α

07.10. eA área do triângulo ABC é dada por:

ABC1 ˆS AB AC sen(BAC)2

= ⋅ ⋅ ⋅

A área do triângulo ADE é dada por:

ADE1 ˆS AD AE sen(DAE)2

= ⋅ ⋅ ⋅

Os ângulos ˆBAC e ˆDAE são congruentes. Assim, a razão entre as medidas das áreas dos triângulos ABC e ADE é igual a:

ABC

ADE

1 ˆAB AC sen(BAC)S 21S ˆAD AE sen(DAE)2

⋅ ⋅ ⋅=

⋅ ⋅ ⋅

ABC

ADE

ˆS AB AC sen(BAC)ˆS AD AE sen(DAE)

= ⋅ ⋅

SS

ABC

ADE

= ⋅ ⋅41

32

1

SS

ABC

ADE

= 6

07.11. aCálculo da medida do lado do triângulo equilátero ABC:

S sen= ⋅ ⋅ ⋅ °12

60n n

312

32

2= ⋅ ⋅n

n 2 4=

n = 2

Cálculo da medida da altura MP do lado do triângulo isósceles APB:C

MA B

P

SAB MP

APB =⋅( ) ( )2

22

2=

⋅( )MP

MP = 2

07.12. dA área do triângulo retângulo é igual ao semiproduto das medidas dos catetos:

S =⋅6 82

S = 24 cm2

Utilizando Pitágoras, obtém-se a medida da hipotenusa a:a2 = b2 + c2

a2 = 62 + 82

a2 = 100

a = 10 cm (a > 0)

O semiperímetro do triângulo retângulo, de lados de medidas 10 cm, 6 cm e 8 cm, é dado por:

pa b c

=+ +

2

p =+ +10 6 8

2p = 12 cm

A medida do raio do círculo inscrito num triângulo retângulo é dada por:

S = p . r

24 = 12 . r

r = 2 cm

2 3Extensivo Terceirão – Matemática 3B Extensivo Terceirão – Matemática 3B

07.13. aSendo ℓ a medida do lado de cada quadrado da malha, tem-se:

B C

A

2ℓ

2ℓ

S1

A área S1 do triângulo ABC é dada por:

S u a122 2

22=

⋅=

n nn . .

A área S2 do quadrilátero DEFG é igual à área do retângulo PQRS subtraída das áreas dos triângulos DGS, FGR, EFQ e DEP.

D

RS

EP Q

F

G

5ℓ

4ℓ2ℓ

2ℓ

3ℓ4ℓ

3ℓℓ

ℓ

2ℓ

S2

S 224 5

22

2 22

3 32

42

10 5= ⋅ −⋅

−⋅

−⋅

−⋅

=n nn n n n n n n n

n,

Portanto:

SS

2

1

2

210 5

25 25= =

,,

n

n

07.14. aObserve a seguinte figura:

C

A B

E

3

3x

b

a h

41D

O triângulo ABC é pitagórico com catetos medindo 3 cm e 4 cm. Logo, AC = 5 cm.Utilizando Pitágoras no triângulo BCD, tem-se:

x2 = (BD)2 + (BC)2 x2 = 12 + 32

x2 = 10

Utilizando Pitágoras nos triângulos ADE e CDE, tem-se:

32 = a2 + h2 (I) x2 = b2 + h2 (II)

Fazendo (I) – (II), tem-se:

9 – x2 = a2 – b2

Substituindo x2 = 10 e observando que a = 5 – b, tem-se:

9 – 10 = (5 – b)2 – b2

–1 = 25 – 10b + b2 – b2

b=135

Substituindo em (II), tem-se:

x2 = b2 + h2

10135

22=

+h

1016925

2− =h

8125

2=h

h h= >95

0( )

A área do triângulo CDE é dada por:

SCE DE

CDE =⋅2

S CDE =⋅

135

95

2

S cmCDE =11750

2

07.15. dCálculo do semiperímetro p do triângulo ABC:

pa b c

m=+ +

=+ +

=2

7 8 92

12

Cálculo da medida S da área do triângulo ABC:

S p p a p b p c= ⋅ − ⋅ − ⋅ −( ) ( ) ( )

S = ⋅ − ⋅ − ⋅ −12 12 7 12 8 12 9( ) ( ) ( )

S = ⋅ ⋅ ⋅12 5 4 3

S m=12 5 2

Cálculo da medida r do raio da circunferência inscrita:

S p r= ⋅

12 5 12= ⋅r

r m= 5

Cálculo da medida R do raio da circunferência circunscrita:

Sa b c

R=

⋅ ⋅4

12 57 8 9

4=

⋅ ⋅R

R = ⋅21

2 555

R =21 5

10

Cálculo da razão Q entre as áreas dos círculos circunscrito e inscrito ao triângulo:

QRr

Rr

=⋅⋅

=

=

=

=

ππ

2

2

2

2

221 5

105

2110

4411000

4 41= ,

Portanto:4 < Q ≤ 5


07.16. F – V – V – F

1. Falsa: O triângulo ABC é isósceles, ou seja, AC = BC = 12 km.Utilizando a lei dos cossenos, tem-se:

(AB)2 = 122 + 122 – 2 . 12 . 12 . cos 120°

(AB) 2 = 432

AB km AB= >12 3 0( )

Logo, os lados da região de floresta determinados pelas estradas rAB e rAC medem, respectivamente, 12 3 km e 12 km.

2. Verdadeira: A distância h entre o ponto A e a estrada rBC é a me-dida da altura do triângulo ABC em relação ao vértice A.

120o

30o

30o

Qh

C D

rAB

rAC

rBC

BC = 12 kmB

A

Utilizando a razão trigonométrica seno, no triângulo ABD, tem--se:

hsen 30º h 6 3 km

12 3= → = .

3. Verdadeira: A área S, ocupada pela região de floresta, é dada por:

S sen= ⋅ ⋅ ⋅ °12

12 12 120

S km= 36 3 2

4. Falsa: A distância comum r entre o ponto de observação O e cada uma das estradas é igual ao raio da circunferência inscrita no triângulo. Logo:

S = p . r em que

p =+ +

= +12 12 12 3

212 6 3

36 3 12 6 3= + ⋅( ) r

r =+

36 312 6 3

r km=+6 3

2 3

07.17. b I. Verdadeira: Seja x a medida do ângulo oposto ao lado de me-

dida igual a 7. Então:72 = 82 + 52 – 2 . 8 . 5 . cos x49 = 64 + 25 – 80 . cos x80 . cos x = 40cos x = 1/2 ⇒ x = 60°Logo, um dos ângulos internos do triângulo mede 60°.

II. Falsa: Como o ângulo oposto ao lado de medida igual a 7 é igual a 60°, a área do triângulo pode ser calculada por:

S sen= ⋅ ⋅ ⋅ °12

5 8 60

S =10 3

S ≅17 3,

III. Verdadeira: Seja α a medida do maior dos ângulos internos, oposto ao lado de medida 8, então:82 = 72 + 52 – 2 . 7 . 5 . cos α64 = 49 + 25 – 70 . cos α70 . cos α = 10cos α = 1/7Como cos α > 0, conclui-se que o maior ângulo interno do triân-gulo é agudo, pois 0 < α < 90°. Para ângulos α tais que 90° < α < 180°, tem-se cos α < 0.Portanto, o triângulo é acutângulo.

IV. Falsa: Utilizando a lei dos senos, tem-se:5 7

60sen senβ=

°

75 3

2⋅ =senβ

senβ =5 314

07.18. V – V – F – F – F

00. Verdadeira. Em qualquer triângulo, uma mediana o divide em dois outros triângulos que possuem as mesmas medidas da base e da altura.

CMB

A

h

Na figura, BM = CM (bases congruentes) e h é a medida da altu-ra tanto do triângulo ABM, quanto do triângulo ACM. Logo, os triângulos ABM e ACM são equivalentes (mesma área). Conclusão: uma mediana divide um triângulo em dois outros equivalentes, ou seja, triângulos que possuem a mesma área.Isto vale para qualquer triângulo, não importando se o triângu-lo é retângulo e escaleno.

01. Verdadeira: Um triângulo retângulo é inscritível em um círculo desde que a medida da hipotenusa seja igual à medida de um diâmetro desse círculo. Consequentemente, a mediana relativa à hipotenusa vai dividir o triângulo em dois outros de modo que cada um possua dois lados iguais ao raio do círculo:

COB

A

RR

R

A mediana relativa à hipotenusa divide o triângulo em dois tri-ângulos isósceles. Na figura, observa-se que AO = OB = OC = R.

02. Falsa: Na afirmação anterior, por exemplo, mostrou-se que a di-visão da fazenda pode ser realizada por meio de uma mediana, pois a mediana de qualquer lado permite dividir o triângulo em dois triângulos equivalentes. Entretanto, mesmo equivalentes, os triângulos não são congruentes entre si.

03. Falsa: Observe o triângulo seguinte com lados de medidas a, b, c, e bissetriz do ângulo reto de medida x:


c

a bx1 2

45o 45o

A área do triângulo 1 é dada por:

S a x sena x

212

452

4= ⋅ ⋅ ⋅ ° =

⋅ ⋅

A área do triângulo 2 é dada por:

S b x senb x

212

452

4= ⋅ ⋅ ⋅ ° =

⋅ ⋅

Como o triângulo é escaleno, tem-se a ≠ b. Logo, S1 ≠ S2.Conclusão: a bissetriz interna de um ângulo de um triângulo escaleno divide-o em dois outros triângulos não equivalentes. Para que as áreas de S1 e S2 fossem iguais, seria necessário que os lados de medidas a e b fossem congruentes, ou seja, o triân-gulo deveria ser isósceles.

04. Falsa: Observe o triângulo ABC dividido em duas partes (tri-ângulo CDM e quadrilátero ABMD) por meio da mediatriz da hipotenusa que passa pelos pontos M e D:

CM

D

B

AMediatriz da hipotenusa

h

Os triângulos BDM e CDM são congruentes, pois possuem a mesma altura, DM, e bases congruentes (BM = CM). Logo, ne-cessariamente, o quadrilátero ABMD terá uma medida de área maior do que a área do triângulo CDM.Conclusão: a mediatriz da hipotenusa de um triângulo retân-gulo escaleno divide o triângulo inicial em duas figuras (um triângulo e um quadrilátero) de áreas com medidas distintas.Caso o triângulo inicial fosse retângulo e isósceles, a mediatriz da hipotenusa o dividiria em dois triângulos retângulos equivalentes.

07.19. Se os arcos em que ficou dividida a circunferência possuem o mes-mo comprimento, então o triângulo ABC é equilátero, ou seja, cada um dos ângulos internos mede 60°. Cálculo da medida do lado do triângulo equilátero ABC:

S sen= ⋅ ⋅ ⋅ °12

60n n

27 312

32

2= ⋅ ⋅n

n 2 108=

n = 6 3 cm

Cálculo da medida do raio da circunferência circunscrita ao triân-gulo equilátero:

BR

6

120oR

A

C

O

3

Lei dos cossenos no triângulo OBC:

(BC)2 = (OB)2 + (OC)2 – 2 . (OB) . (OC) . cos 120°2 2 2(6 3) R R 2 R R ( cos 60 )= + − ⋅ ⋅ ⋅ − °

108 2 212

2 2= − ⋅ −

R R

108 3 2= R

36 2=R

R = 6 (R > 0)

Portanto, a medida do raio dessa circunferência é igual a 6 cm.07.20.

a) A medida da área do triângulo pode ser calculada por meio de:

1 ˆS AC BC sen C2

= ⋅ ⋅ ⋅

Como S = 12 cm2, AC = 8 cm e BC = 6 cm, tem-se:

1 ˆ12 8 6 senC2

= ⋅ ⋅ ⋅

1ˆsen C2

=

Logo, C 30= ° ou C 150= °, e os possíveis esboços são os se-guintes:

C

A

B

C

A

B

8

8

6

6

30o

150o

b) Para o ângulo de 30°, pela lei dos cossenos, tem-se:(AB)2 = 82 + 62 – 2 . 8 . 6 . cos 30°

( )AB 2 100 48 3= −

Para o ângulo de 150°, de forma análoga, tem-se:

(AB)2 = 82 + 62 – 2 . 8 . 6 . cos 150°

( )AB 2 100 48 3= +

Logo, a soma dos quadrados das possíveis medidas do lado AB é igual a:

( ) ( )100 48 3 100 48 3 200 2− + + = cm


08.01. aSe o triângulo é rotacionado em 60°, a figura formada será um polígono côncavo de 12 lados (dodecágono). Os 12 lados do do-decágono são congruentes de modo que cada um deles mede 1 cm (estrela de 6 pontas), pois os triângulos que representam cada ponta da estrela possuem lado cuja medida é igual a 1/3 da medi-da do triângulo equilátero que foi rotacionado.

11

1

1

111

1

1

1

11

O perímetro do dodecágono côncavo é igual a 12 cm.

08.02. aI. Falsa.

cos 2 22 2 2

22

α β+ =

+

=sen

ba

ba

ba

II. Verdadeira.

tgcb b

ctg

αβ

= = =1 1

III. Verdadeira.

senca

α β= = cos

IV. Falsa.

cosα =ba

e

cosβ =ca

V. Falsa.

senca

α =

08.03. aAs mediatrizes dos três lados de um triângulo concorrem em um mesmo ponto, equidistante dos vértices e denominado circuncen-tro do triângulo.

O

c a

bA C

B

O ponto O é o circuncentro do triângulo ABC.O circuncentro é o centro da circunferência que passa pelos vérti-ces A, B e C do triângulo e equidista desses vértices, mesmo que o triângulo seja isósceles:

A

CB

R

R RO

O baricentro (ponto de encontro das medianas de um triângulo) coincide com o circuncentro apenas no caso de o triângulo ser equilátero.

08.04. cSendo b e c as medidas dos catetos opostos aos ângulos α e β, respectivamente, e a a medida da hipotenusa. Logo:

sen senα β= ⋅4

b c4

a a= ⋅

b = 4c

Se a medida do lado oposto ao ângulo α mede 40 cm, então b = 40:

40 = 4c

c = 10 cm08.05. d

Se o perímetro do quadrado é igual a 400 2 m, então a medida de cada lado é igual a 100 2 m. Por Pitágoras, pode-se calcular a medida da diagonal BD:

(BD)2 = (AB)2 + (AD)2

( ) ( ) ( )BD 2 2 2100 2 100 2= +

( )BD 2 20000 20000= +

( )BD 2 40000=

BD = 40000 (BD > 0)

BD = 200 m

Como a porteira EF tem comprimento igual a 2 m, a medida da cerca é dada por:200 m – 2 m = 198 m

08.06. cUtilizando Pitágoras no triângulo ABC, tem-se:

(AC)2 = (AB)2 + (BC)2

52 = 32 + (BC)2

BC = 4 m (BC > 0)Como M é ponto médio do segmento de extremos B e C, então BM = MC = 2 m. Utilizando Pitágoras no triângulo ABM, tem-se:(AM)2 = (AB)2 + (BM)2

(AM)2 = 32 + 22

(AM)2 = 13AM= 13AM ≅ 3,6 m

08.07. bObserve a seguinte ilustração:

A

8

8

P

60o

60o

30o

30o

30o

A’

O triângulo AA´P é isósceles, pois tem dois ângulos congruentes e iguais a 30°.Logo, AP = AA´ = 8 km.Se o avião percorreu AA´ = 8 km em 2 minutos, então sua veloci-dade é dada por:

Aula 08


vkm km

h

km

hkm

hkm h= = = = ⋅ =

82

82

60

81

30

8301

240min

/

08.08. aConsidere a seguinte ilustração na qual estão indicados os triân-gulos APB e BPT:

A

T2,5

8

11P

B

Utilizando Pitágoras no triângulo APB, tem-se:

(BP)2 = (AP)2 + (AB)2

(BP)2 = 112 + 42

(BP)2 = 137

Utilizando Pitágoras no triângulo BPT, tem-se:

(PT)2 = (BP)2 + (BT)2

(PT)2 = 137 + (2,5)2

(PT)2 = 137 + 6,25(PT)2 = 143,25

PT = 143 25, (PT > 0)

PT ≅ 144

PT m≅12

08.09. bSeja P o ponto de intersecção dos segmentos MN e AB. O triângulo APN é retângulo com AP = y/2; PN = x/2 e AN = 4. Então, utilizando Pitágoras, temos:

(AN)2 = (AP)2 + (PN)2

42 = (y/2)2 + (x/2)2

16 = y2/4 + x2/4

64 = y2 + x2

64 – x2 = y2

y x y e x= − > < <64 0 0 82 ;

08.10. dObserve a seguinte ilustração:

C

AB8

x

x6

8 – xD

Sendo x = AD = CD, no triângulo retângulo BCD, de acordo com o teorema de Pitágoras, tem-se: (CD)2 = (BC)2 + (BD)2

x2 = 62 + (8 – x)2

16x = 100

x =254

Logo, AD =254

cm.

08.11. cConsidere a seguinte ilustração:

Nx x

y

yM

D C

2x

2y

A B

1. Verdadeira.

Sx y

x yABM =⋅

= ⋅2

2

Sy x

x yAND =⋅

= ⋅2

2

Logo, os triângulos ABM e AND têm mesma área.

2. Falsa.

Sx y

x yABM =⋅

= ⋅2

2

Sx y

CNM =⋅2

SS

x y

x yCNM

ABM

=

⋅

⋅=2 1

2

Portanto, a área do triângulo CNM é 1/2 da área do triângulo ABM.

3. Verdadeira.S x y xyABCD = ⋅ =2 2 4

S S S S SAMN ABCD ABM AND CNM= − − −

S xy xy xyxy xy

AMN = − − − =42

32

SS

xy

xyAMN

ABCD

= =

32

438

Desta forma, a área do triângulo AMN é 3/8 da área do retân-gulo ABCD.

08.12. dObserve a figura:

5 cm5 cm

5 cmα

10 cm

10 cm

Utilizando a razão seno no triângulo retângulo em destaque, tem-se:

senα = =5

1012

Como 0° < α < 90°, conclui-se que α = 30°.

08.13. bEm 1 hora, o primeiro navio teria percorrido 16 km, enquanto o segundo navio teria percorrido 6 km. Na próxima ilustração, de acordo com as trajetórias destacadas no enunciado, vamos consi-derar que, após uma hora, o primeiro navio situe-se no ponto A, o segundo navio esteja no ponto B e que ambos tenham partido do porto localizado no ponto O.


N

L

x

A

BO

16

6

60o

45o

Aplicando a lei dos cossenos no lado de medida AB, do triângulo ABO, tem-se:(AB)2 = (AO)2 + (BO)2 – 2 . (AO) . (BO) . cos 60°

( )AB 2 2 216 6 2 16 612

= + − ⋅ ⋅ ⋅

(AB)2 = 196

(AB)2 = 142

AB = 14, pois AB > 0

Portanto, a distância entre os navios, após uma hora, é igual a 14 km.08.14. b

Sejam x e y as medidas dos ângulos agudos e obtusos do losango, respectivamente. O losango pode ser decomposto em dois triân-gulos, de modo que a soma dos quatro ângulos internos é igual a 360°, ou seja:

2x + 2y = 360° x + y = 180°

Mas, do enunciado, 2y = 3 . 2x, o que corresponde a y = 3x. Substituindo y = 3x em x + y = 180°, tem-se:

x + 3x = 180° 4x = 180° x = 45°

Substituindo x = 45º em x + y = 180°, tem-se y = 135°.

Utilizando a lei dos cossenos no triângulo ABC, em que B possui ângulo agudo de medida 45º, observando-se que AB = BC = L e sendo AC = d a medida da menor diagonal do losango, tem-se:

(AC)2 = (AB)2 + (BC)2 – 2 . (AB) . (BC) . cos 45°

d L L L L2 2 2 22

2= + − ⋅ ⋅ ⋅

d L L2 2 22 2= −

d L2 2 2 2= ⋅ −( )

Ld2

2

2 2=

−

Ld

=−

2

2 2, (L > 0)

Ld

=−2 2

, (d > 0)

08.15. c

xy

1,5 m(3,9 – 1,4)m

3,9 m

Triângulo menor(3,9 – 1,4)2 = 1,52 + y2

2,52 = 1,52 + y2

y2 = 4 ⇒ y = 2

Triângulo maior3,92 = 1,52 + (2 + x)2

12,96 = (2 + x)2

3,6 = 2 + x ⇒ x = 1,6 m

08.16. 05 (01, 04)Sem perda de generalidade, vamos considerar que AD = DE = EC = AB = 1.A medida da hipotenusa do triângulo, BC, pode ser calculada por meio do teorema de Pitágoras:

(BC)2 = (AB)2 + (AC)2

(BC)2 = 12 + 32

BC = 10

Assim, considere a seguinte ilustração na qual já se encontram destacadas algumas medidas importantes para a resolução do problema:

A CD E

F135o

135o

135o

45o

45o

45o45o45o

45o

45o

45o

B

G

1/2

1/2

1/2

1/2

1/2 1/2 111

210

210

Vamos analisar cada uma das afirmações:

01) Verdadeira. Utilizando a razão cosseno no triângulo retângulo ABC, tem-se:

AB 1ˆcosBBC 10

= =

1 10 10ˆcosB1010 10

= ⋅ =

02) Falsa. Os triângulos BDC e FEC possuem ângulos congruentes, mas lados com medidas distintas. Isso significa que BDC e FEC são semelhantes, mas não são congruentes.

04) Verdadeira. 2ˆsen(BDC) sen(135 ) sen(45 )

2= ° = ° =

08) Falsa. O triângulo EDF é retângulo e isósceles, mas o triângulo BDF, apesar de ser triângulo retângulo, não é isósceles. Logo, os triângulos EDF e BDF não são semelhantes.

16) Falsa. Lei dos senos no triângulo EFC:EC FC

ˆ ˆsen(EFC) sen(CEF)=

101 2

ˆ sen(135 )sen(EFC)=

°

ˆ2 10 sen(EFC)2 2

⋅=

1ˆsen(EFC)5

=

Utilizando a relação fundamental da trigonometria:2 2ˆ ˆsen (EFC) cos (EFC) 1+ =


221 ˆcos (EFC) 1

5 + =

2 1ˆcos (EFC) 15

= −

2 4ˆcos (EFC)5

=

Como o ângulo ˆEFC é agudo, necessariamente deve ter ˆcos (EFC) 0> , logo:

2 5 2 5ˆcos (EFC)55 5

= ⋅ =

08.17. 21 (01, 04, 16)Considere a seguinte ilustração com as informações do enunciado:

C

D AB

30o

30o60o

30o

01) Verdadeira.O triângulo ACD é isósceles, ou seja, AD = CD.Utilizando a razão cosseno no triângulo BCD, tem-se:

cos 60 2° = ⇒ = ⋅BDCD

CD BD

Desta forma, tem-se:AB = BD + AD = BD + CD = BD + 2 . BD = 3 . BD

02) Falsa.O ângulo CDB mede 60°.

04) Verdadeira.Utilizando a razão seno no triângulo ABC, tem-se:

senBCAC

AC BC30 2° = ⇒ = ⋅

08) Falsa.O triângulo ADC é isósceles, pois os ângulos dos vértices A e C são congruentes, cada um medindo 30°.

16) Verdadeira.

A medida, em radianos, do ângulo CDA é igual a 120° ou 23π

.

08.18. F – V – F – F – F – V00 ) Falsa. As circunferências inscrita e circunscrita são concêntricas

apenas no caso de o triângulo ser equilátero.

01) Verdadeira. O ponto de encontro das bissetrizes dos ângulos internos é chamado de incentro. O incentro é o centro da cir-cunferência inscrita.

02) Falsa. A área de um triângulo pode ser calculada pelo produto da medida do semiperímetro pelo apótema do triângulo, ou seja:

S p r= ⋅

Sa b c

r=+ +

⋅

2

S a b c r= ⋅ + + ⋅12

( )

03) Falsa.Observe a figura:

r30o

30o

ℓ2

Utilizando a razão tangente no triângulo destacado, tem-se:

rtg 30 2 3 r

2

° = → =

n

04) Falsa.O incentro equidista dos três lados do triângulo.O circuncentro equidista dos três vértices do triângulo.Logo, os vértices do triângulo são equidistantes do centro da circunferência circunscrita.

05) Verdadeira.Todo triângulo retângulo inscrito em uma circunferência pos-sui, necessariamente, hipotenusa congruente ao diâmetro.

CB

A

22

2

Assim, se o raio mede 2 cm, então a hipotenusa mede 4 cm.

08.19. Sejam a = 6 m, b = 10 m e c = 12 m as medidas dos lados do tri-ângulo.Inicialmente, pode-se calcular a medida da área do triângulo, utili-zando-se a fórmula de Heron:

S p p a p b p c= ⋅ − ⋅ − ⋅ −( ) ( ) ( ) em que p =+ +

=6 10 12

214 m.

S = ⋅ − ⋅ − ⋅ −14 14 6 14 10 14 12( ) ( ) ( )

S = ⋅ ⋅ ⋅14 8 4 2

S m= 8 14 2

Altura relativa ao lado de medida 6 m:

Sa ha=⋅2

8 146

2=

⋅ha

h ma =8 14

3


Sb hb=

⋅2

8 1410

2=

⋅hb

h mb =8 14

5



Sc hc=

⋅2

8 1412

2=

⋅hc

h mc = =8 14

64 14

3

08.20. No triângulo ABC, PB é mediana relativa ao vértice B e CM é me-diana relativa ao vértice C. Logo, Q é baricentro do triângulo ABC. Analogamente, no triângulo BCD, PC é mediana relativa ao vértice C e DN é mediana relativa ao vértice D, de modo que S é o bari-centro do triângulo BCD.

A

B

M

NC

D

P

Q

R

S

Dessa forma, o triângulo DNB é semelhante ao triângulo DSQ e, pela propriedade do baricentro distar 1/3 da mediana ao ponto médio de um lado e 2/3 da mediana ao vértice oposto, conclui-se

que SQ é paralelo a CB e SQCB x

= =3 3

.

Consequentemente, o triângulo PSQ é retângulo e isósceles, ou seja, PS = PQ.Utilizando Pitágoras no triângulo PQS, tem-se:

(SQ)2 = (PS)2 + (PQ)2

(SQ)2 = (PS)2 + (PS)2

xPS

32

22

= ⋅( )

PSx

=26

, pois PS > 0

Utilizando Pitágoras no triângulo CDN, tem-se:

(DN)2 = (DC)2 + (CN)2

DN xx x( ) = +

=2 2

2 2

25

4

DNx

=52

, pois DN > 0

Se o ponto S é baricentro do triângulo BCD, então:

SNDN x x

= = =3

13

52

56

.

O triângulo CNR é semelhante ao triângulo QSR. Logo:

CNSQ

NRSR

=

Da propriedade das proporções, pode-se escrever:

CN SQSQ

NR SRSR

+=

+

CN SQSQ

SNSR

+=

Substituindo as medidas, tem-se:

x x

x

x

SR2 3

3

56

+=

Resolvendo, obtém-se:

5xSR

15=

Utilizando-se Pitágoras no triângulo RQS, tem-se:

(SQ)2 = (SR)2 + (QR)2

x xQR

35

15

2 22

=

+( )

Resolvendo, obtém-se:

QR

x=

2 515

A área do triângulo retângulo RQS é dada por:

S

SR QRRQS =

( ) ( ).

2

S

x xRQS = ⋅ ⋅

12

515

2 515

S

xRQS =

2

45

A área do triângulo retângulo e isósceles PQS é dada por:

SPQ PS

PQS =( ) ( ).

2

S

x xPQS =

12

26

26

. .

Sx

PQS =2

36

A área do quadrilátero PQRS é dada por:

S S SPQRS PQS RQS= +

S

x xPQRS = +

2 2

36 45

Sx

PQRS =2

20

A área do triângulo DBN é igual à do triângulo ACM:

S S xx x

DBN ACM= = ⋅ ⋅ =12 2 4

2

A área sombreada é igual à área do triângulo DBN adicionada à medida da área do triângulo ACM e subtraída do dobro da área do quadrilátero PQRS:

S S S SDBN ACM PQRS= + − 2 .

Sx x x

= + − ⋅

2 2 2

4 42

20

Sx

=2

5

2

b) O perímetro do quadilátero PQRS é dado por:

PQ RQ SR PSx x x x

x+ + + = + + + = +

⋅

26

2 515

515

26

23

55


09.01. eApenas com a leitura do gráfico, não é possível analisar e quan-tificar o número de pessoas diagnosticadas com AIDS. Por outro lado, pelo gráfico apresentado pode-se corretamente concluir que o quociente do número de homens pelo de mulheres tendeu à estabilidade, iniciada em 2002.

09.02. bSegundo os dados apresentados na tabela, o total do 1.o trimestre é dado por: 980 . 31 + 1000 . 28 + 960 . 31 = 88140 A alternativa b é a única que apresenta este valor para o 1.o trimes-tre.

09.03. dAs quantidades de alunos que preferem as revistas A, B, C e D são, respectivamente, iguais a 15, 10, 25 e 20. Logo, o número de alunos que preferem a revista D é igual à média aritmética dos que prefe-rem as revistas A ou C:

15 252

20+

=

09.04. b

Energia (em Mtep*)

Fontes Renováveis 2012 2011

Energia hidráulica e eletricidade 39,2 39,9

Biomassa da cana 43,6 42,8

Lenha e carvão vegetal 25,7 26,0

Outras 11,8 11,1

Total 120,3 119,8

Houve uma diminuição de (120,3 – 119,8) Mtep = 0,5 Mtep

09.05. dDe acordo com as informações apresentadas, o gráfico que repre-senta corretamente os dados reunidos na tabela é o da alternativa d.

09.06. dSe a porcentagem das ações da empresa D é igual a x, então da empresa E será 2x. Logo, x + 2x + 26 + 17 + 30 = 100. Ou seja, x = 9. Dessa forma, o valor das ações da empresa E é 18% e, portan-

to, a razão solicitada é igual a 1830

0 60%%

,= .09.07. c

Supondo que as informações estejam na mesma unidade, a se-guinte tabela pode resumir as informações numéricas dos dois gráficos:

Mês Receita Despesa Lucro

Janeiro 1000000 250000 750000

Fevereiro 1200000 200000 1000000

Março 600000 100000 500000

Abril 800000 150000 650000

Maio 1300000 400000 900000

Junho 1400000 550000 850000

Logo, os meses de maior lucro foram, em ordem decrescente, feve-reiro (1000000) e maio (900000).

09.08. bA partir do segundo dia, observa-se um menor nível de oxigênio no aquário que detinha o maior percentual de óleo. Essa influên-cia torna-se maior a partir do terceiro dia. Assim, no período e nas condições do experimento, quanto maior a quantidade de óleo na água, maior a sua influência sobre o nível de concentração de oxi-gênio nela dissolvido.

09.09. eA média aritmética da capacidade instalada dos 10 países apresen-tados é igual a:

X =

+ + + + + + + + +133 93 61 32 28 25 22 18 15 1110

X GW= =

43810

43 8,

Os países europeus são Alemanha (61 GW), Espanha (32 GW), Itália (28 GW), França (18 GW) e Reino Unido (11 GW). A média aritméti-ca da capacidade instalada destes 5 países é igual a:

X =

+ + + +61 32 28 18 115

X = =

1505

30GW

A média da capacidade instalada dos 5 países europeus correspon-de, aproximadamente, a 68,49% da média aritmética dos 10 países:

3043 8

0 6849 68 49,

, , %≅ =

09.10. da) Falsa: Nos 10 minutos iniciais, João percorreu uma distância me-

nor do que a percorrida por Pedro.b) Falsa: Nos 15 minutos iniciais, Pedro percorreu uma distância

menor do que a percorrida por João.c) Falsa: Com 20 minutos do início da corrida, João e Pedro tinham

percorrido distâncias iguais.d) Verdadeira: Com 30 minutos do início da corrida, João tinha

percorrido cerca de 3500 m, enquanto Pedro tinha percorrido menos do que 3000 m. Logo, João tinha percorrido pelo menos 500 m a mais do que Pedro.

e) Falsa: Com 40 minutos do início da corrida, Pedro tinha percorri-do 4000 m, enquanto João tinha percorrido 4500 m. Logo, com 40 minutos do início da corrida, Pedro tinha percorrido 500 m a menos do que João.

09.11. cPor meio do gráfico apresentado, não é possível se determinar com exatidão a quantidade de ingressos vendidos em cada período considerado. A tabela seguinte apresenta a quantidade estimada de ingressos vendidos em função da quantidade de dias transcorri-dos desde o início das vendas:

Aula 09


Número de dias transcorridos

Número de ingressos vendidos

5 1

10 1 + 4 = 5

15 5 + 12 = 17

20 17 + 27 = 44

25 44 + 43 = 87

30 87 + 50 = 137

35 137 + 43 = 180

40 180 + 27 = 207

45 207 + 12 = 219

50 219 + 4 = 223

55 223 + 1 = 224

60 224 + 0 = 224

De acordo com os dados, o gráfico que melhor representa o to-tal (acumulado) de ingressos vendidos até cada dia do período de vendas é o da alternatica C.

09.12. eA quantidade total de pessoas é igual a: 6 + 10 + 15 + 4 + 3 + 1 = 39.

1.a afirmação: VerdadeiraA porcentagem do total de pessoas que esperou até 2h45min na fila foi de, aproximadamente:6 10 15 31

0,795 79,5%39 39

+ + = ≅ =

2a afirmação: FalsaA quantidade de pessoas que esperaram por menos de 2h40min é igual a: 6 + 10 = 16Como a quantidade total de pessoas é igual a 39, conclui-se que menos da metade das pessoas esperaram por menos de 2h40min.

3.a afirmação: VerdadeiraA quantidade de pessoas que esperaram entre 2h35min e 2h45min é igual a: 10 + 15 = 25Logo, mais da metade das pessoas esperaram entre 2h35min e 2h45min.

4.a afirmação: VerdadeiraO número de pessoas que esperou de 150 min até 160 min é igual a: 6 + 10 = 16O número de pessoas que esperou de 2h45min até 3 h é igual a: 4 + 3 + 1 = 8Portanto, o número de pessoas que esperou de 150 min até 160 min foi o dobro do número de pessoas que esperou de 2h45min até 3 h.

5.a afirmação: FalsaDe acordo com o gráfico, 4 + 3+ 1 = 8 pessoas esperaram por mais de 2h45min.

09.13. bA partir do gráfico, pode-se construir a seguinte tabela:

Número diário de atendimentos

Quantidade de meses desde o início da vacinação

1000 0

500 3

250 6

125 9

63 12

32 15

Os números da tabela indicam que a cada 3 meses a quantidade diária de atendimentos cai para cerca de 50% do valor anterior.A precisão apresentada no gráfico permite concluir que a frase mais adequada à campanha de vacinação seria: “A cada três meses, a quantidade de pessoas que chega todos os dias ao hospital com a gripe X cai, aproximadamente, pela metade!”

09.14. aObserve a quantidade total de embarques efetuados em cada cate-goria e a análise de cada afirmação:

embarques do mesmopassageiro

número de pessoas

número de embarques

5 X 1 000 = 5 000

4 X 1 500 = 6 000

3 X 3 000 = 9 000

2 X 10 000 = 20 000

1 X 60 000 = 60 000

total = 100 000

I. Verdadeira. Adicionando as quantidades de embarques de to-das as pessoas que fizeram mais de um embarque, tem-se:5 000 + 6 000 + 9 000 + 20 000 = 40 000 Mesmo que todos esses embarques sejam concentrados na companhia A, seriam ainda necessários 10 000 embarques de passageiros (dentre aqueles com apenas um embarque).

II. Falsa. Adicionando as quantidades de embarques de todas as pessoas que fizeram três ou mais embarques, tem-se:5 000 + 6 000 + 9 000 = 20 000 É possível que todos eles tenham sido concentrados na com-panhia B.

III. Falsa. Existe a possibilidade de que, na distribuição, em que todos os clientes sejam “fiéis” à sua companhia. Observe um exemplo:

B (2 x 10 000) C (1 x 30 000)

A (1 x 30 000 + 3 x 3000 + 4 x 1500 + 5 x 1000)

09.15. eDe acordo com o gráfico, nas 3 primeiras semanas, tem-se:

• Companhia A: 0,4 . 20000 + 0,6 . 25000 + 0,50 . 30000 = 38000 passageiros

• Companhia B: 0,4 . 20000 + 0,1 . 25000 + 0,15 . 30000 = 15000 passageiros

• Companhia C: 0,2 . 20000 + 0,3 . 25000 + 0,35 . 30000 = 22000 passageiros

Na quarta semana, tem-se:

• Companhia A: 50000 – 38000 = 12000 passageiros

• Companhia B: 20000 – 15000 = 5000 passageiros

• Companhia C: 30000 – 22000 = 8000 passageiros

Nessa semana, o número total de passageiros nas 3 companhias, A, B e C, foi igual a 25000.


Logo, os percentuais da quarta semana foram, respectivamente:

• 1200025000

0 48 48= =, %

• 5000

250000 20 20= =, %

• 8000

250000 32 32= =, %

09.16. eSendo V o preço da gasolina em janeiro, após um aumento de x% e, em seguida, uma diminuição de x%, o preço é:V . (1 + x%) . (1 – x%) = V . [1 – (x%)2]A última expressão indica que o preço em março é (x%)2 menor do que o preço em janeiro.

09.17. aA partir das informações do gráfico, a seguinte tabela pode ser construída:

Mês Consumo Custo do kWh Custo TotalJaneiro 260 R$0,40 R$ 104,00

Fevereiro 240 R$0,40 R$ 96,00

Março 200 R$0,40 R$ 80,00

Abril 180 R$0,40 R$ 72,00Maio 160 R$0,55 R$ 88,00

Junho 170 R$0,55 R$ 93,50

Julho 180 R$0,55 R$ 99,00

Agosto 190 R$0,55 R$ 104,50

Setembro 190 R$0,55 R$ 104,50

Outubro 190 R$0,70 R$ 133,00

Novembro 200 R$0,70 R$ 140,00

Dezembro 220 R$0,70 R$ 154,00

Assim, os meses de menor e maior custo de energia elétrica para esse consumidor serão, respectivamente, abril e dezembro.

09.18. a I. Falsa. A temperatura média máxima ocorreu no dia 1º de janeiro

e foi de 4 °C. II. Verdadeira. No dia 4 de janeiro a temperatura média foi de

0 °C .III. Verdadeira. A média das temperaturas nesses 8 dias foi igual a:

X =− − + − + + +4 1 3 0 1 3 2 1

8

X C= = °58

0 625,

Logo, a média das temperaturas nesses 8 dias foi maior do que 0 °C .

09.19. Gasto total dos turistas de viagens a lazer no Brasil, em 2012:0,468 . 5 670 000 . 877 = 2 327 172 120 dólaresGasto total dos turistas de negócios no Brasil, em 2012:0,253 . 5 670 000 . 1599 = 2 293 781 490 dólaresDiferença entre o valor gasto pelos turistas de viagens a lazer e pe-los turistas de negócios no Brasil, no ano de 2012: 2 327 172 120 – 2 293 781 490 = 33 390 630 dólares

09.20. 1. O percentual de mulheres com 5 filhos, representado por x, é

dado por:7 + 20 + 30 + 20 + 15 + x = 10092 + x = 1200x = 8%Logo, a quantidade de mulheres com 5 filhos é dada por: 0,08 . 100 = 96

2. A quantidade média de filhos por mulher deve ser ponderada pelo percentual de mulheres com cada número de filhos. Logo, sendo X a média de filhos por mulher, tem-se:

X

X

=⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅

+ + + + +=

=

0 7 1 20 2 30 3 20 4 15 5 87 20 30 20 15 8

240100

2 4, fillhos por mulher

3. Exatamente 15% + 20% + 8% = 43% das mulheres possuem 3 filhos ou mais. Logo, a probabilidade de uma mulher, escolhida ao acaso, ter 3 filhos ou mais é igual a 0,43.


Aula 0707.01. a

1 1 2

1 2 3 1

2 0 2

1 1

1 2 3

2 0

6 2 0 12 0 1

1 1 2

1

23 1

2 0 2

21

−

−

−= − − + − − −

−

−

= −

/ / ( ) ( ) ( )

07.02. a

3 1 2

1 4 1

3 2 1

3 1

1 4

3 2

12 3 4 24 6 1 12

−−

−− = − + + − − − − =( ) ( ) ( )

a) 0 4

3 50 12 12

−= − − =( )

b) 3 5

0 412 0 12

−= − − = −( )

c) 5 3

0 420 0 20

−= − − = −( )

d) 3 5

4 00 20 20

−= − − =( )

e) 3 4

5 00 20 20

−= − − =( )

07.03. aa b

b a

a b

b aa b a b

a b

b a

a b

b aa b a b

+− −

= − + − +

+− −

= − − + =

( ) ( )2 2 2 2

2 2 2 2 0

Portanto,

a b

b a

a b

b a+

− −= 0 quaisquer que sejam os valores reais de a e

de b.07.04. e

a

b

c

a b b a

1 0

3 0

4 1

0 3 0 3= ⇒ − = ⇒ =

07.05. d

Se a b

c d≠ 0 , então:

yx

a b

c da b

c d

a b

c da b

c d

=

− −

=− ⋅ ⋅

= −

4 4

5 54 5

20( )

07.06. d

A A

x y z

x w

x

x

y x x

z w

x y z

x w

x

t= −

= −

1

2 0

1 2

0

1

2 0

=− − −− − −− −

⇒

= − ⇒ == −= −= − =

x

y x x

z w

x x x

y

z

w x

1 2

0

0

1

2

0

Então:

det( )A =− −

=0 1 2

1 0 0

2 0 0

0

Observação: após estudar as propriedades dos determinantes (aula 09), você poderá resolver esse teste de uma forma mais simples e direta, sem a necessidade de determinar os valores de x, y e z.

07.07. d

f x

x

x

x

x

x

x

f x x

f x x f

( ) ( )

( ) ( , ) , ,

= ⇒ =

= ⇒ = ⋅ =

2 4

3 9

4 16

2

3

4

2

2 0 001 2 0 001 0 0022

Mas 0 0022

10001

500500 1, = = = − . Portanto:

f( , )0 001 500 1= −

Observação: após estudar sobre o determinante da matriz de Vandermonde, na aula 10, você concluirá de forma simples, sem usar a regra de Sarrus, que f x x( )= 2 .

07.08. eAs matrizes que representam as vendas nos meses de janeiro e fe-vereiro, respectivamente, são:

J =

20 60

80 100 e F =

30 20

40 60

1. CORRETO.

J F+ =

+

=

20 60

80 100

30 20

40 60

50 80

120 160

2. INCORRETO.

J J t=

⇒ =

20 60

80 100

20 80

60 100

3. CORRETO.

30 20

40 60

30 40

20 6030 60 20 40= = ⋅ − ⋅

*Veremos, na aula 09, que o determinante de qualquer matriz quadrada é sempre igual ao determinante da sua transposta.

1Extensivo Terceirão – Matemática 3C

Resoluções 3CMatemáticaApostila especial de exercícios

07.09. d

1 1 1

2 632

2 632

1 1 1

112

1

114

1

1 1

112

112 2 2

sen sen sen

sen sen sen

π π π

π π π

= −

44

1 1 1

2 632

2 632

12

114

12

2 2 2

sen sen sen

sen sen sen

π π π

π π π= − + −

− −−

− = −

14

132

( )

Observação: assim como no teste 07.07, este determinante não precisa ser calculado, necessariamente, pela Regra de Sarrus. Outra opção será apresentada na aula 10: determinante da matriz de Vandermonde.

07.10. b Na face 5 temos f = 5. Portanto:

ai se i j

i se i j

a a

a aij =+ =

≠

⇒ =⋅ +

⋅ +=

2 5 2 1 5 1

2 2 2 5

7 1

2 911 12

21 22

,

,

7 1

2 963 2 61= − =

07.11. b • 2 4 2 2+ + = ⇒ + = ⇒ = −x y x y y x (I)

•

2 1 0

3 4

1 1

19x

y

= −

2 4 0 0 8 3 19xy y+ + − − − = −( ) ( ) ( )

2 3 15 2 3 15xy y y x− = − ⇒ − = −( ) (II)

• Substituindo (I) em (II):( )( )2 2 3 15

4 6 2 3 15

2 7 9 0 192

2

2

− − = −

− − + = −

− − = ⇒ = − =

x x

x x x

x x x ou x

Mas x e y são inteiros. Portanto:x y x y= − ⇒ = − − = ⇒ ⋅ = −1 2 1 3 3( )

07.12. 23 (01, 02, 04, 16)

Aa a

a a=

11 12

21 22

A

A A t

=⋅ −− ⋅

=−

⇒ =

−

1 1 1 2

2 1 2 2

1 1

1 4

1 1

1 4

B A A t= +

B B=−

+

−

⇒ =

1 1

1 4

1 1

1 4

2 0

0 8

01) CORRETO.

B =

→

2 0

0 8apenas a diagonal principal tem elementos di-

ferentes de zero.

02) CORRETO.

2 22 0

0 8

4 0

0 164 16 0 0 64⋅ = ⋅

=

= ⋅ − ⋅ =B

04) CORRETO.

B Btt

=

=

=

2 0 2

00 8

0

8

08) INCORRETO.

A A

A A A A

t

t t

− =−

−

−

− =−

⇒ − =

−

1 1

1 4

1 1

1 4

0 2

2 0

0 2det( )

22 00 4 4= − − =( )

16) CORRETO.A matriz At foi determinada no início desta resolução.

07.13. e

( )A X B

A X B

X B A

X X

t

t

t

+ =

+ =

= −

=−

−

−

⇒ =

−

1 4

3 2

1 2

3 4

2 2

0 6 ⇒ = −det( )X 12

07.14. bTriângulos equiláteros tem lados de mesma medida. Logo, sendo x a medida dos lados desse triângulo equilátero, temos que

a dx se i j

se i jij ViV j= =

≠=

,

,0

Portanto:det( )A

a a a

a a a

a a a

x x

x x

x x

x

=

=

= ⇒ =

54

54

0

0

0

54 2 54

11 12 13

21 22 23

31 32 33

3 ⇒⇒ = ⇒ =x x3 27 3

07.15. c

A I

A I

− ⋅ =−

− ⋅

− ⋅ =−

−

λ λ

λλ

λ

4 2

1 1

1 0

0 1

4 2

1 1

0

0

AA I

A I

− ⋅ =− −

−

− ⋅ =− ⋅ − − ⋅ − =

−

λλ

λ

λλ λ

4 2

1 1

0

4 1 1 2 0

4

det( )

( ) ( ) ( ) ( )

44 2 0

5 6 0 2 3

2 3 4 9 13

2

2

2 2

λ λ λ

λ λ λ λ

− + + =

− + = ⇒ = =

+ = + =

ou

2 Extensivo Terceirão – Matemática 3C

07.16. 10 (02, 08)

++ =− =

= + ⇒ = ⋅−

+ ⋅

− −

X Y A

X Y B

X A B X

X

3

2

2 3 2 2 32 4

0 22

6 1

4 1

2 ==−

+

− −

=− −

=− −

6 12

0 6

12 2

8 2

26 14

8 8

3 7

4 4

X

X

X Y A Y A X

Y

Y

+ = ⇒ = −

= ⋅−

−

− −

=−

−

−

3 3

32 4

0 2

3 7

4 4

6 12

0 6

3 −−

=−

−

7

4 4

9 5

4 2Y

01) INCORRETO.

det( ) ( )X =− −

= − − − = − + =3 7

4 412 28 12 28 16

02) CORRETO.

X tt

=− −

=

−−

3 7

4 4

3 4

7 4

04) INCORRETO.

26 14

8 8

9 5

4 2

3 19

4 10X Y+ =

− −

+

−−

=

−

08) CORRETO.

det( ) ( )Y =−

−= − = −

9 5

4 218 20 2

16) INCORRETO.Na matriz Y, os elementos da diagonal secundária são negativos.

07.17. d

22

4

22

3

1

3

22

A

1 11 00 0

A A A 2 2

A

A

0 12 0 2 0

A A A I A

I

IA A A A A A

=

= ⋅ = ⋅ = = = ⋅ = ⋅ =

= ⋅ = ⋅ = =

Podemos concluir que:

= =

expoente ímp expoente par2

ar A (A) (A ) I

Portanto:

S A A A A

S A A A A A A

= + + + +

= + + + + + + +

2 3 11

1 3 11 2 4

…

… …� �� ( ) (6 parcelas

110

5

5

parcelas

6 parcelas

� ��

… …� ��

)

( ) (S A A A I I I= + + + + + + parcelas�� )

S A I

S

S

= ⋅ + ⋅

= ⋅

+ ⋅

6 5

60

12

2 05

1 0

0 1

==

+

=

⇒ = = − ⇒

0 3

12 0

5 0

0 5

5 3

12 5

5 3

12 525 36S Sdet( ) deet( )S = −11

07.18. d 01) CORRETO.

A A It+ =−

+

−

=

= ⋅

= ⋅

1 1

1 1

1 1

1 1

2 0

0 22

1 0

0 12 ,

onde I indica, aqui, a matriz quadrada de ordem 2. 02) INCORRETO.

A B⋅ =−

⋅

−

=− +

+ −

1 1

1 1

32

12

12

32

32

12

12

32

32

12

12

32

⋅ =− +

+ − −

A B

32

12

32

12

32

12

32

12

⋅ = − −

− +

⋅ = − − +

det( )

det( )

A B

A B

32

12

32

12

34

32

2 2

114

34

32

14

34

32

14

34

32

14

− + +

⋅ = − + − − − −det( )

det

A B

(( )A B⋅ = −2

Outra maneira:As matrizes A e B são quadradas e de mesma ordem. Então, segundo o teorema de Binet, que será estudado na aula 09, temos:det( ) det( ) det( )

det( )

A B A B

A B

⋅ = ⋅

⋅ =−

⋅

−

1 1

1 1

32

12

12

32

ddet( ) ( )

det( ) ( )

det(

A B

A B

A

⋅ = − −( ) ⋅ − −

⋅ = ⋅ −⋅

1 134

14

2 1

BB) = −2


03) CORRETO.

22

4

1

3 22

32

2

B

3 1 3 11 02 2 2 2B B B0 11 3 1 3

2 2 2 2

B B B I

B

BB

B B B B B

I

B I

=

= ⋅ = ⋅ = = − −

= ⋅ = ⋅ =

= ⋅ = ⋅ = =

Podemos concluir que:

= =

expoente ímp expoente par2

ar B (B) (B ) I

Portanto:

B B2007 =

07.19. 50

− − − ⋅ = − ⋅ = − −

−⋅ = − − =

= + ⋅ = + =

2 1 4 3 51 2 3

A B 2 2 6 2 42 1 1

0 1 2 1 1

4 3 5

det(A B) 6 2 4 0

2 1 1

N 50 det(A B) 50 0 50

07.20. a) 18 kg;b) 11 anos p x A

p x x p x x

( ) det

( ) ( )

=

=−

− ⇒ = +1 1 1

3 0

0 223

8 2

a) p x x

xp p kg

( )( ) ( )

= +=

⇒ = + ⋅ ⇒ =8 2

55 8 2 5 5 18

b) p x x

p xx x anos

( )

( )

= +=

⇒ = + ⋅ ⇒ =8 2

3030 8 2 11

Aula 0808.01. b

A

A

A

A

121 2

12

12

12

11 1

1 1

1 1 1 1 1

1 2

2

= − ⋅−

= − ⋅ − ⋅ − ⋅= − ⋅ −=

+( )

( ) ( )

( ) ( )

08.02. aO elemento –2 localiza-se na primeira linha e na terceira coluna.

A

A

A

131 3

13

13

13 10

1 7

1 3 7 10 1

31

= − ⋅−

= ⋅ ⋅ − ⋅ −=

+( )

[ ( )]

08.03. a

C

C

141 4

14

14

1

1 3 2

2 1 1

1 3 2

1 2 3 12 2 12 3

1 2

= − ⋅−

= − ⋅ − + + − −= − ⋅ −

+( )

( ) ( )

C ( ) ( ))

C14 2=

08.04. c

A

a a a

a a a

a a a

=

=11 12 13

21 22 23

31 32 33

2 2 2

2 2 2

2 2 2

1 2 3

2 2 3

3 3 3

=

= − ⋅

= − ⋅

+

1 4 9

4 4 9

9 9 9

11 4

9 9

1

232 3

23

A

A

( )

( ) (( )

A ( ) ( )

1 9 4 9

1 27

2723

23

⋅ − ⋅= − ⋅ −=A

08.05. cVamos usar o teorema de Laplace usando a primeira linha da matriz.

A

A A A

A

=−

= ⋅ + ⋅

= ⋅

3 0 0 2

5 1 1 1

2 1 1 2

1 2 1 0

3 2

3

11 14det( )

det( ) (( ) ( )

det( ) (

− ⋅−

+ ⋅ − ⋅−

= ⋅ ⋅ − + −

+ +1

1 1 1

1 1 2

2 1 0

2 1

5 1 1

2 1 1

1 2 1

3 1 4 1 2

1 1 1 4

A −− + ⋅ − ⋅ + − + − −= ⋅ − − ⋅ −= −

2 2 1 5 1 4 1 2 10

3 7 2 9

3

) ( ) ( )

det( ) ( ) ( )

det( )

A

A


08.06. eVamos usar o teorema de Laplace usando a terceira coluna da matriz.

A

A A

A

=−

−

= ⋅

= − +

1 1 0

2 3 1

2 1 0

0 0 1

1

1

0

0

0

1

43

4 3

det( )

det( ) ( ) ⋅⋅−

= − ⋅ − −= − ⋅ −=

1 1 0

2 3 1

2 1 0

1 2 1

1 3

3

det( ) ( ) ( )

det( ) ( ) ( )

det( )

A

A

A

08.07. c

Ax

x x

Ax

y

212 1

323 2

11

2 11 1 1 2 1 2

11

2

= − ⋅−

= − ⋅ − ⋅ − ⋅ = +

= − ⋅ =

+

+

( ) ( ) [( ) ]

( ) (−− ⋅ ⋅ − ⋅ = − +1 1 2 2) ( )x y xy

Assim:1 2 1 1

2 7 2 1 7 5

2 5 2 1 7

+ = − ⇒ = −− + = − ⇒ − + − ⋅ = − ⇒ =

− = − ⋅ − =

x x

xy y y

y x

( )

( )

08.08. dVamos usar o teorema de Laplace usando a quarta linha da matriz.

A

y z w

x w

x z

x A y A

x

x y

=

= ⋅ + ⋅

= ⋅

0

0 0

0 0

0 0

41 42det(A)

det(A) (−− ⋅ + ⋅ − ⋅

= ⋅ − ⋅ − +

+ +1 0 0

0 0

1

0

0

0

1

4 1 4 2) ( )

det(A) ( ) ( )

y z w

w

z

y

z w

x w

x z

x yzw yy

xyzw xyzw

xyzw

⋅ ⋅ += +=

1

2

3

(xzw xzw)

det(A)

det(A)

08.09. d

p xx

p x A A A

p x

( )

( )

( ) ( )

=

= ⋅ + ⋅ + ⋅

= ⋅ − ⋅+

1

2

3

0

1 1 1

0 1 3

1 0

3 1 2

1 2 3

1 1

11 21 31

1 1

00 1 3

1 0

3 1 2

2 1

1 1 1

1 0

3 1 2

3 1

1 1 1

0 1 3

3 1 2

1

2 1 3 1x x

p x

+ ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅

= ⋅

+ +( ) ( )

( ) (33 9 2 2 2 1 3 2 3 2 9 3 3

9 1 2 2 15

− − − ⋅ + − − + ⋅ + − −= − + + + += −

x x x

p x x x

p x

) ( ) ( )

( )

( ) 77 18x +

Portanto, o coeficiente de x é –7.

08.10. b

x

x

x

x

x

x

x x

x

x

0 0 0

1 1 2

2 0 3

0 0 0 2

16

1

1 2

0 3

0 0 2

16

2 16

2 16

1 1

2

3

=

⋅ − ⋅ =

⋅ =

=

+( )

( )

33 8=

Considerando que x é um número real, então x = 2.

Portanto, x 2 22 4= = .

08.11. c

x x

x x

x

2

4 2

2

2

0

0

0

1

110

7 5 5 2

10 4 2

1 1 1

0

1 1

110

7 5 5 2

10 4 2

0

10

−

=

⋅ − ⋅

−

=

+

+

,

( ) ,

220 3 5 15 8 0

2 5 2 012

2

2

2

x x x

x x x ou x

− + − − =

+ + = ⇒ = − = −

Portanto:Nenhuma raiz é nula.

A soma das raízes é −52

.

O produto das raízes é 1.08.12. d

det( )

det( ) ( )

det( )

B

a b c

d e f

g h i

B

a b c

d e f

g h i

B

=

= ⋅ − ⋅+

0

0

0

12

232

6

12

1 4 4

== ⋅12

det( )A

Como o determinante da matriz A é positivo, então det( ) det( ).B A<


08.13. d1 2 1 0

1 1 2 1

1 1 2 1

1 3 3

0

1 1

1 2 1

1 2 1

3 3

2 1

1 2 11 1 1 2

−− −

=

⋅ − ⋅−

− − + ⋅ − ⋅−

+ +

x

x

( ) ( ) 11 2 1

1 3

1 1

1 1 1

1 1 1

1 3

0

1 2 6 3 6 2 3 2 2 2

1 3

− +

+ ⋅ − ⋅ − − =

⋅ + − − − + − ⋅ +

+

x

x

x x x

( )

( ) ( ++ − + + ++ ⋅ − − + + − + =− − − + =

− = ⇒ = − =

3 2 2 3

1 1 3 1 3 0

8 12 2 6 0

10 66

10

x

x x

x x

x x

)

( )

−−0 6,

08.14. a

Ax

x

A x

x

x

x

=−

−− −

= ⋅ − ⋅ −+

0 0 3

1 0 0

0 1 1

0 0 1 2

1

0 0

1 11 1det( ) ( )

00 1 2

3 1

1 0

0 1

0 0 1

2 3 1

1 4

2

− −+ ⋅ − ⋅

−−

−

= ⋅ − + − ⋅ −

+( )

det( ) ( ) ( )

det(A

x

x

A x x x

)) = − + +2 33 2x x

08.15. c

A B+ =

−−

− −

+

− − −

− −− −

3 5 3 2

2 0 1 2

1 3 5 4

3 0 2 3

3 4 4 1

1 1 3 0

1 2 4 3

3 1 22 1

1 1 1

1 2 2

1 1 1

1 0 2

0

3

0

0

−

+ =−

+ =

A B

A Bdet( ) 33 1

1 1 1

1 1 1

1 0 2

3 2 1 1 2

6

2 1⋅ − ⋅ −

+ = − ⋅ − + + −+ =

+( )

det( ) ( )

det( )

A B

A B

08.16. b

A

A

=−

= ⋅ − ⋅ − + ⋅ − ⋅+ +

3 4 6 0

1 0 2 1

2 1 4 2

5 3 10 3

3 1

0 2 1

1 4 2

3 10 3

4 1

1 2 1

21 1 1 2( ) ( ) 44 2

5 10 3

6 1

1 0 1

2 1 2

5 3 3

1 3

+

+ ⋅ − ⋅ −+( )

A = ⋅ ⋅ − − + + ⋅ − ⋅ + + − − − ++ ⋅ ⋅ − + +

3 1 12 10 12 6 4 1 12 20 20 20 12 20

6 1 3 6 5

( ) ( ) ( )

( −−= − +=

6

12 12

0

)

A

A

B

B

=−

−− −

= ⋅ − ⋅−

−− −

− ⋅ −

−

+ +

1

0

0

1

3 4 2

1 4 1

2 3 1

3 4 1

1 1

1 4 1

2 3 1

3 4 1

1 11 1 4 1( ) ( ) ⋅⋅ −−

= ⋅ − − − − − + ⋅ + + − + += − +

3 4 2

1 4 1

2 3 1

1 3 12 8 9 8 4 1 12 8 6 16 4 9

38 23

B

B

B

( ) ( )

== −15

Portanto, A B+ = + ⋅ − = −2 0 2 15 30( ) .

08.17. e3

0

0

0

0

0 2 0 0

2 1 1 1

4 2 3 2

1 3 2 3

0 2 0 0

3 1 2 2

3 1

4 2 3 2

1 3 2 3

3 1 2 2

3 2

1 1

−

= ⋅ − ⋅ =

= ⋅

+( )

⋅⋅ − ⋅ =

= − ⋅ + + − − − = − ⋅ = −

+( )

( )

1

4 3 2

1 2 3

3 2 2

6 16 27 4 12 6 24 6 5 30

3 2

Note que − = − ⋅ ⋅30 2 3 5.

Portanto, o número de divisores de –30 é:2 1 1 1 1 1 1 16⋅ + ⋅ + ⋅ + =( ) ( ) ( )

08.18. d

f x

x

x

x k

x

f x xx

x k

x

x

( )

( ) ( )

=

= ⋅ − ⋅+

1 0 0 0

1 0 0

0 1 0

0 0

0 0 1

1

1 0 0

1 0

0

0

0

0

0

0

0

0

1 1

00 1

1

1 0

0

0 1

1 1

2 3

5 3

x

f x x x

x

x k

x

f x x x kx

f x x kx

( ) ( )

( ) ( )

( )

= ⋅ ⋅ − ⋅

= ⋅ −

= −

+

Como f( )− =2 8 , temos:

( ) ( )− − ⋅ − =− + = ⇒ =

2 2 8

32 8 8 5

5 3k

k k


08.19. S = {1, 2} det( )

( ) ( ) ( ) (

A

x x x

x

x

x x x x

=

− − −−− −

=

− ⋅ − + ⋅ − + − − −

0

1 1 1

1 1 2

1 1 2

0

2 1 2 1 12 2 11 2 1 2 1 0

4 1 4 1 0

4 1 1 1 0

2 2

2

) (x ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

+ ⋅ − − ⋅ − =

⋅ − − ⋅ − =⋅ − ⋅ − − =

x

x x

x x

xx ou x

x ou x

− = − − == =

1 0 1 1 0

1 2

Portanto, o conjunto solução da equação é {1, 2}.

08.20. x = 1

x

x

x

x

x

+−

=

⋅ − ⋅+

− = ⋅ − ⋅

⋅

+

1 0 2

0 2 5

0 0

0 1 4

1

78 0

3 1

1 0 2

0 2 5

0 1 4

1 0 78

3

0

0

3

0

3 3( )

[[ ( ) ( )]− ⋅ + − ⋅ + = −− − − − = −

==

8 1 5 1 78

8 8 5 5 26

13 13

1

x x x

x x x

x

x

Aula 0909.01. e

det( )

det( ) ( )

det( ) det( ) det(

A

B

A B A B

= ⋅ − ⋅ = −= − ⋅ − ⋅ = −⋅ = ⋅

1 4 3 2 2

1 1 2 3 7

))

det( ) ( ) ( )

det( )

A B

A B

⋅ = − ⋅ −⋅ =

2 7

14

09.02. dO determinante de uma matriz quadrada é igual ao determinante da sua transposta.x

y

z

x y z8 6

6 4

12 10

8 6 12

6 4 10

=

Dividimos a segunda e a terceira linhas por 2.x y z x y z

8 6 12

6 4 10

2 2 4 3 6

3 2 5

= ⋅ ⋅

Trocamos a segunda e a terceira linhas entre si.

2 2 4 3 6

3 2 5

4 3 2 5

4 3 6

⋅ ⋅ = − ⋅x y z x y z

Portanto:x

y

z

x y z8 6

6 4

12 10

4 3 2 5

4 3 6

4 8 32= − ⋅ = − ⋅ − =( )

09.03. adet( )A = 2

1) multiplicamos a segunda linha da matriz A por 3.det( ) det( )B A= ⋅ = ⋅ =3 3 2 6

2) dividimos a terceira coluna da matriz B por 5.

det( )det( )

CB

= =5

65

3) multiplicamos a primeira e a segunda colunas da matriz C por –1.det(D) det( ) ( ) ( )

det(D) det( )

= ⋅ − ⋅ −

= =

C

C

1 1

65

4) dividimos a primeira linha da matriz D por 12

.

det( )det( )

det( ) det( )

ED

E D

=

= ⋅ = ⋅ =

12

2 265

125

09.04. e

det( ) det( )

det( ) det( )

det( ) det( ) det( )

3

3

27

2

3

A A

A A A

A A A

=

⋅ = ⋅⋅ = ⋅

Como a matriz A é invertível, det( )A ≠ 0.

Assim:27

27

⋅=

⋅

=

det( )det( )

det( ) det( )det( )

det( )

AA

A AA

A

09.05. b

A matriz A =

0 1 0 2 0 3 0 4

0 01 0 02 0 03 0 04

0 2 0 4 0 6 0 8

10 10 10 102 3 4

, , , ,

, , , ,

, , , ,

tem filas paralelas pro-

porcionais, como, por exemplo, a primeira e a segunda linha. Por-tanto, o determinante é igual a zero.

09.06. cI. FALSA.

det( )A a d b c= ⋅ − ⋅

Se a d= e b c= , então det( )A a b= −2 2.

Dependendo dos valores de a e b, o determinante de A pode ser negativo ou igual a zero.

II. VERDADEIRA.det( ) det( )

det( ) det(A)

det( )

det( )

B A

B

B

B

=

= ⋅= ⋅=

2

2

4 5

20

2

III. VERDADEIRA.

Qualquer que seja a matriz quadrada A, det(A) det( )= A t .


09.07. af x A

f x

x x

x

x x

f x x

f

f x

( ) det( )

( )

( )

( ) ( )

( )

=

=

= −

− = − ⋅ −

2

2 0 2

0 0 2

0 2 2

8

2 8 2

3

3

== − ⋅ −=

8 8

64

( )

( )f x

09.08. adet( )

det( )

kA

k A

k

k k

=

⋅ =

⋅ =

= ⇒ =

192

192

3 192

64 4

3

3

3

09.09. 10det( )

det( ) det( )

( )

A B

A B

c

c

⋅ = −⋅ = −

⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = −=

60

60

1 1 3 2 1 60

10

09.10. d1 0 0 0 0

0 2 0 0 0

0 0 3 0 0

0 0 0 4 0

0 0 0 0 5

1 2 3 4 5 120

0 0 0 0 0 1

0 0 0 0 2 0

0 0 0 3 0 0

0

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

00 4 0 0 0

0 5 0 0 0 0

6 0 0 0 0 0

1 1 2 3 4 5 6 7206 6 1

2= − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = −⋅ −

( )( )

Assim:

1 0 0 0 0

0 2 0 0 0

0 0 3 0 0

0 0 0 4 0

0 0 0 0 5

0 0 0 0 0 1

0 0 0 0 2 0

0 0 0 3 0 0

0 0 4 0 0 0

0 5 0 0 0 0

6 0

+

00 0 0 0

120 720 600= − = −

09.11. c1) CORRETA.

No produto de matrizes, é válida a propriedade associativa.2) INCORRETA.

No produto de matrizes, não é válida a propriedade comutativa.3) CORRETA.

Na adição de matrizes, é válida a propriedade comutativa.4) CORRETA.

O determinante do produto de duas matrizes quadradas A e B é igual ao produto dos determinantes de A e B.

5) INCORRETA. O determinante da soma de duas matrizes quadradas A e B não é necessariamente igual à soma dos determinantes de A e B.

09.12. aI. VERDADEIRA.

Quando trocamos entre si duas filas paralelas de uma matriz, o determinante da matriz muda de sinal. Assim:a b c

a b cd e f

d e f

g h i g h i

= − ⇒ = −2 2

A primeira e a segunda linhas foram trocadas entre si.II. FALSA.

3 3 3

3 3 3

3 3 3

3 3 3 27 2 54

a b c

d e f

g h i

a b c

d e f

g h i

= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ − = −( )

III. VERDADEIRA.Se uma fila é nula, o determinante é igual a zero.a b c

g h i

0 0 0 0=

A segunda linha é nula.IV. VERDADEIRA.

a b c

d a e b f c

g h i

+ + +2 2 2

Multiplicando a primeira linha por –2 e somando com a segunda linha, temos:a b c

d e f

g h i

= −2

09.13. 23 (01, 02, 04, 16)01) CORRETO.

A P B P

A P B P

B P

= ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅

−

−

−

1

1

1

det( ) det( )

det(A) det(P ) det( ) det( )

deet(A)det( )

det( ) det( )

det(A) det( ), det(P)

= ⋅ ⋅

= ≠

1

0

PB P

B pois

02) CORRETO.

A P B P P B P

A P B P P B P

A P B I

2 1 1

2 1 1

2 1

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅

− −

− −

−

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) nn B P

A P B P

⋅ ⋅

= ⋅ ⋅−

( )2 1 2

Portanto, A2 é semelhante a B2.04) CORRETO.

A P B P= ⋅ ⋅−1

11 e B P C P= ⋅ ⋅−

21

2

A P P C P

B

P

A P P C P P

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

− −

− −

11

21

2 1

11

21

2 1

��

( ) ( )

Como (P )2 11

11

21⋅ = ⋅− − −P P P , então as matrizes A e C são seme-

lhantes, pois:

A P P C P

B

P

A P P C P P

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

− −

−

11

21

2 1

2 11

2 1

��

( ) ( )


08) INCORRETO.

(A B) ( ) ( )

( )

− = − ⋅ − =

− = − − +

2

2 2 2

A B A B

A B A AB BA B

16) CORRETO.Como A e B são matrizes quadradas de ordem n, temos:det(AB) det(A) det( ) det( )= ⋅ = ⋅ =B B0 0

09.14. b

2 323

23

23

23

a b b a

B A

B A

B

ij ij ij ij= ⇒ = ⋅

= ⋅

= ⋅

=

det( ) det

det( ) ⋅

= ⋅ =

4

1681

34

427

det( )

det( )

A

B

09.15. ddet( )

det( )

det( )

3 162

3 162

3 2 162

3 81 3 3 4

2

4

B

B

d

A A

d

d

d d

t

=

⋅ =

⋅ =

= ⇒ = ⇒ =

⋅ = 44

2 4

8 4 4 4 32

3

k

A A k

k k

t⋅ ⋅ =⋅ ⋅ = ⇒ =

det( ) det( )

Portanto, k d+ = + =32 4 36 .

09.16. d− − −

+ + + = − ⋅ ⋅ + + +2 2 2

2 2 2

3 3 3

2 3 2 2 2

a b c

p x q y r z

x y z

a b c

p x q y r z

x y z

Multiplicando a terceira linha por –1 e somando com a segunda linha, temos:

− − −+ + + = − ⋅ ⋅2 2 2

2 2 2

3 3 3

2 3 2 2 2

a b c

p x q y r z

x y z

a b c

p q r

x y z

Assim:− − −

+ + + = − ⋅ ⋅ ⋅ = − ⋅ − =2 2 2

2 2 2

3 3 3

2 3 2 12 1 12

a b c

p x q y r z

x y z

a b c

p q r

x y z

( )

09.17. dI. FALSA.

O determinante de uma matriz pode ser nulo mesmo que nenhu-ma fila seja nula.

II. VERDADEIRA.

A

a a a a

a a a

a a

a

n

n

n

nn

=

11 12 13 1

22 23

33

0

0 0

0 0 0

0 0 0 0

………� �

O determinante de uma matriz triangular é o produto dos ele-mentos da diagonal principal. Assim:det( )A a a a ann= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅11 22 33

III. VERDADEIRA.

det( ) ( ) ( ) det( )

det( ) ( ) det( )

det( ) det( )

B A

B A

B A

= + ⋅ − ⋅= − ⋅=

2 1 2 1

2 1

09.18. a


det( ) det( )

2 229

3

2 229

2 3 3

3 3 3

M M M

M M M M M

− = ⋅

⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅⋅ ⋅

⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅

3

8 2 6

3 det( )

det( ) det( ) det( ) det( ) det( ) det( )

M

M M M M M M

Como a matriz é invertível, det( )M ↑0 . Assim:

8 2 6

4 3 0

1

2

⋅ − ⋅ ⋅ =

− ⋅ + ==


det ( ) det( )

det(M) de

M M M

M M

ou tt( )M = 3

Portanto, det( )M − = =1 11

1 ou det( )M − =1 13

.

09.19. a)

det( )

det( )

det(

P

a b

b

a

ab ab b a

P ab b a

P

= = + − −

= − −

0

5 3

3 16

16 5 3 3

21 3 3

2 2

2 2

)) ( )= − ⋅ + −3 72 2a b ab

b)Q P

Q P

Q P

Q a b ab

==

= ⋅

= ⋅ − ⋅ + −

2

2

2

8 3 7

3

2 2

det( ) det( )

det( ) det( )

det( ) ( ) ( ))

det( ) ( )Q a b ab= ⋅ − − +24 72 2

Portanto, o determinante da matriz Q é divisível por 24, quais-quer que sejam os inteiros a e b.

09.20. x = 1 ou x = –1

u

x

x

x

x

x x x x x= = ⋅ ⋅ ⋅ =

1 2 0

0 1 1

0 0 1

0 0 0

4

u u

u u

2

2

2 1 0

1 0 1

− + =

− = ⇒ =( )

Assim:

x

x

x x

x x x

ou

x x x

4

4

2 2

2 2

2 2

1

1 0

1 1 0

1 0 1

1 0 1

=

− =

+ ⋅ − =

+ = ⇒ = − ∉

− = ⇒ = ⇒ =

( ) ( )

( )

11 1ou x =


Anotações


Aula 0707.01. V – V – V – V07.02. d

D n nn n

n= ⇒ =−

⇒ =2 23

27

( )

07.03. c

2

n (n 3)D

2

n (n 3)35

2

n 3n 70 0 ou

n 7 (não conv

n 1

ém)

0

⋅ −=

⋅ −=

− −= −

==

Portanto, o polígono regular tem 10 lados.07.04. a

Dn D 3n

3

n (n 3)D

2n (n 3)

3n2

6 n

n 9

3

= ⇒ =

⋅ −=

⋅ −

= −=

=

07.05. d

Dn n

D

D

=⋅ −

=⋅ −

=

( )

( )

32

9 9 32

27

07.06. c 360° 360°

15° n n 24n 15°

n (n 3)D

224

D 252

(24 3)D

2

= ⇒ = ⇒ =

⋅ −=

⋅ −

=

=

07.07. e 2

2

2

x 3xN(x)

2x 3x

92

x 3x 18 0 ou

x 3 (não convém

6

)

x

−=

−=

− − == −

=

Então, o polígono convexo, que possui ao todo 9 diagonais, tem exatamente 6 lados.

07.08. c

Dn n

D

D

=⋅ −

=⋅ −

=

( )

( )

32

13 13 32

65

07.09. cO pentágono da figura a seguir é regular. Então, os triângulos ABC e CDE, destacados, são isósceles e congruentes e β indica a medi-

da do ângulo interno do pentágono.C

EA

B D

X

β β

αα

α α

Assim, temos:

o

180° (5 2)108°

5180°

108 2 180° 2 72°

x 108°

x 108° 2

x 108° 72° x 36°

⋅ −β = ⇒ β =

β+ α + α =

+ α = ⇒ α =α + + α == − α= − ⇒ =

O ângulo interno ACE mede 36°. 07.10. c

Cada ângulo interno de um pentágono regular mede 108° e o tri-ângulo destacado na figura a seguir é isósceles.

108º

α

α

Então:108° 180°

2 180° 1

6°

08°

3

+ α + α =α =

α =−

07.11. a

Dn n

=−( )3

2

n n n n( ) ( )( )−+ =

+ + −3

240

5 5 3

2

n(n – 3) + 80 = (n + 5) (n + 2) ⇒ n = 707.12. b

Soma dos ângulos conhecidos: 780°Como é um heptágono: n = 7Então: 180° (n – 2) = 780° + x180° (7 – 2) = 780° + x ⇒ x = 120°

Resoluções

PB 1Extensivo Terceirão – <disciplina> <numdisciplina> Extensivo Terceirão – Matemática 3D

3DMatemática

07.13. b• n1 = n – 2

n2 = nn3 = n + 2

• 180° (n1 – 2) + 180° (n2 – 2) + 180° (n3 – 2) = 2 160°(n1 – 2) + (n2 – 2) + (n3 – 2) = 12(n – 4) + (n – 2) + n = 123n = 18n = 6 ⇒ n1 = 4, n2 = 6 e n3 = 8Logo, o que possui o menor número de lados, dentre eles, é um quadrilátero.

07.14. dPrimeira solução:Si = 180° · (n − 2)Sendo α a medida do ângulo remanescente, temos: 180° · (n − 2) − α = 1900°180° · n − 360° − α = 1900° α = 180° · n − 2260°Como α é maior que 0° e menor que 180°, temos:0 < 180n − 2260 < 180 2260 < 180n < 2440 12,555... < n < 13,555... Portanto, n = 13 e α = 180° · 13 − 2260° = 80°. Segunda solução:A soma das medidas dos ângulos internos de um polígono conve-xo é múltiplo de 180°, pois Si = 180° · (n − 2). O menor múltiplo de 180° maior que 1900° é 1980° e o múltiplo seguinte é 2160°. Como a medida de qualquer ângulo interno é maior que 0° e menor que 180°, então o ângulo remanescente mede 1 980° − 1900° = 80°.

07.15. b260° + 128° (n – 2) = 180° (n – 2) 260° + 128° n – 256 = 180 n – 360°n = 7

07.16. bOs ângulos assinalados na figura do enunciado são congruentes. Então, fazendoa b c d e= = = = = α ,

e lembrando que cada ângulo interno de um pentágono regular mede 108°, temos a seguinte figura:

108ºP

A

E

D

CB

α

α α

αα

Do triângulo PEC, temos:

108 180 36o o o+ + = ⇒ =α α α

Portanto:

a b c d e o o+ + + + = = ⋅ =5 5 36 180α

07.17. 09 (01, 08)

Sendo α1 a medida do ângulo externo de P1 e α 2 a medida do

ângulo externo de P2 , temos:

α α1 2 15

360 360

215

= +

=+

+

o

o oo

n n

360 2

2

360 15 2

2

360 720 360

o o o

o o

n

n n

n n n

n n

n

⋅ +⋅ +

=⋅ + ⋅ ⋅ +

⋅ +

⋅ + =

( )

( )

( )

( )oo o o

o o o

n n n

n n

⋅ + ⋅ + ⋅

⋅ + ⋅ − =

15 30

15 30 720 0

2

2

Dividindo por 15° cada termo da última equação, segue que:2n 2n 48 0 ou n 8 (não convém, pois n 0)6 .n+ − = ⇒ = − >=

n 6= ⇒ P1 tem 6 lados e P2 , tem 8.

01) Correto

P2 tem 8 lados. Logo, é um octógono.

02) Incorreto

io

o=⋅ −

=180 8 2

8135

( )

04) Incorreto

P1 tem apenas 6 lados.

08) Correto

n D= ⇒ =⋅ −

=88 8 3

220

( )

16) Incorreto

n S io o= ⇒ = ⋅ − =6 180 6 2 720( )

07.18. b I. Correto

n D n nn

n= ⇒ = ⋅−

⇒ =( )3

25 o pentágono é o único po-

lígono que tem diagonais e lados em igual quantidade. II. Incorreto

D n nn n

n= ⇒ =⋅ −

⇒ =4 43

211

( ). Ou seja:

n D= ⇒ = = ⋅11 44 4 11

III. CorretoSeja x um número natural.

Dx

nD n x

n (n 3)n x n 2x 3

2

=

= ⋅⋅ − = ⋅ ⇒ = +

x 2x é par 2x 3 é ímpar n é ímpar∈ ⇒ ⇒ + ⇒

07.19. 99 cmProlongando os lados do héxagono, obtemos a figura abaixo.

E D

M

20

F

C

N PA B23

15

13

Cada um dos ângulos internos do hexágono da figura original

mede 120 o , pois 180 6 2

6120

oo⋅ −

=( )

.

2 3Extensivo Terceirão – Matemática 3D Extensivo Terceirão – Matemática 3D

Assim, conclui-se que os ângulos externos desse hexágono me-

dem, cada um, 60 o . Portanto, os triângulos MED, NFA, PBC e PMN

são equiláteros, donde segue que:

MN NP MP 20 13 15 48

NF NA 48 23 15 10

EF 48 10 20 18

= = = + + == = − − == − − =

Logo, o perímetro do hexágono ABCDEF é igual a 99 cm, pois:

23 15 13 20 18 10 99cm cm cm cm cm cm cm+ + + + + = .

07.20. 14 Sendo α a medida de um ângulo interno do polígono convexo de

n lados, tal que 2004 oiS+ =α , temos:

oi

o o

o o

S 2004

180 (n 2) 2004

n 180 2364 (I)

= + α

⋅ − = + α

α = ⋅ −

o0 180 (II)< α <

Substituindo (I) em (II):

0 180 2364 180

2364 180 2544

13 1333 14 1333

< ⋅ − <

< ⋅ << <

n

n

n

o o o

o o o

, ... , .... ⇒ =n 14

O polígono possui 14 lados.

Aula 0808.01. V – F – F – V

O ponto de intersecção das:– medianas de um triângulo denomina-se baricentro;– das mediatrizes de um triângulo denomina-se circuncentro;– bissetrizes de um triângulo denomina-se incentro;– alturas de um triângulo denomina-se ortocentro.

08.02. c

o o o

o

o

o

o o o

o o

3x (x 15 ) (75 x) 180

3x 90

x 30

3x 90

x 30 x 15 45

75 x 45

+ + + − =

=

=

== ⇒ + = − =

Os ângulos internos do triângulo medem 45o , 45o e 90 o . Por-

tanto, trata-se de um triângulo retângulo e isósceles.08.03. d

Observe as figuras a seguir:

H H

O segmento de reta traçado de um vértice de um triângulo à reta suporte do lado oposto é a altura desse triângulo.

08.04. d• Figura 1:

74 42 42 180o o o o+ + ≠ ⇒ essa figura está com as medidas erra-

das.• Figura 2:

18 12 152 2 2≠ + ⇒ essa figura está com as medidas erradas.

• Figura 3:15 8 6> + ⇒ essa figura está com as medidas erradas.

Portanto, todas as figuras estão com as medidas erradas.08.05. c

Se os lados de um triângulo medem 13 cm , 15 cm e x cm, então,

pela desigualdade triangular, temos que:

| |15 13 13 15 2 28− < < + ⇒ < <x x

Portanto, a maior medida inteira que o terceiro lado pode assumir é igual a 27.

08.06. d

Se A o = 40 , B o

= 50 e C são as medidas dos ângulos internos de

um triângulo ABC, então:

40 50 180 90o o o oC C+ + = ⇒ = ⇒ o triângulo ABC é retângu-

lo em C. Portanto, o ângulo formado pelas alturas relativas aos vértices A e B

mede 90 o , conforme indicado na figura a seguir.

AC

B

40º

50º

Altura relativaao vértice A

Altura relativaao vértice B

08.07. cNo triângulo ABC, os lados AB e AC têm medidas iguais. Logo, os ângulos internos relativos aos vértices B e C são congruentes. Su-pondo que a medida desses ângulos, em graus, é igual a 2α , cons-

truímos a figura a seguir, onde as linhas tracejadas indicam as bis-setrizes dos ângulos internos correspondentes.

C

A Bθ

α

αα

α

140º

I

• Do triângulo BCI:

α α α+ + = ⇒ =140 180 20o o o

• Do triângulo ABC:

2 2 180

180 4

180 4 20

100

α α θ

θ α

θ

θ

+ + =

= −

= − ⋅

=

o

o

o o

o

• Dos resultados anteriores, conclui-se que os A, B e C medem, res-pectivamente: 100 40 40o o oe, .


08.08. d I. Verdadeira.

II. Verdadeira – Congruentes significa de mesmas medidas.

A B

C

E F

G

III. Falsa – Congruentes não é sinônimo de semelhantes. IV. Verdadeira.

A

B

C A’

B’

C’

08.09. e

x

120º

60º

120º

140º

140º

x + 60° + 140° + 90° = 360°x = 70°

08.10. cConsiderando o ponto P1 médio de BC, temos o triângulo MPC, equílatero, e o triângulo PME, semelhante ao triângulo EBN, con-forme indicado na figura.

6

66

66x

M

P

N

E C12 12B

Da semelhança dos triângulos EBN e EPM, temos:

6 6 1212

4x

x=+

⇒ = o segmento BN mede 4 cm.

08.11. d

65º

xx

P

αα α

α

• 65° + 2x = 180°x = 57,5°2 + x = 2 + = 180°2 + x = 2 + P ⇒ P = x ⇒ P = 57,5°

P = 57°30’

08.12. bx + 8 < (x + 3) + (x + 3)x + 8 < 2x + 6 x > 2x > 2 x = 3 é o menor valor inteiro e positivo que x pode as-sumir.

08.13. aA

yx

E

3

C BD

9

4511

45 = 541111

9 –

b c

nmb = c

nm

x 3 y45 5411 11y 9

3x 3

+

=

= =

x = 2 e y = 6⇒

(2p) = 2 + 3 + 9 + 6 = 2008.14. α =17° 30’

α

45º

E

A

B

D F

85º

95º

x

• 45° + 2x = 180°x = 67,5°• + 95° + 67,5° = 180°

= 17,5° = 17° 30°08.15. a

Z

X Y2 2

Pd1

d1

6 – d1

d1

• d12 = 22 + (6 – d1)2 ⇒ d1

2 = 4 + 36 – 12 d1 + d12

d140

12

10

3= =

• 6 610

3

8

31− = − =d

08.16. d

c

A

B C

b

15 6

C = 21

• c + b + 21 = 49c + b = 28 (I)

• c b

15 6=

c = 5

2

b (II)

Substituindo (II) em (I):

• 5

228

bb+ =

5b + 2b = 56 ⇒ b = 8

• c =⋅

=5 8

220

Resposta: 8, 20 e 21


08.17. c

A

B

C

R

20

15

14 – x

Q

x

• Do triângulo ABC:20

14

15

−=

x x

x = 6• Do triângulo ABQ:15 6

AR QR=

QR

AR= =

6

150 4,

08.18. b

2x

AD

GE

B

C

x2y

y

• G é o baricentro, portanto: EG = y ⇒ GC = 2y.• 2y + y = 123y = 12y = 42y = 8

• SBD y

ABC =⋅

=⋅

=2

2

8 8

232

Mas SADB = SDBC e SABC = SADB + SDBC. Portanto:SABC = 32 + 32 = 64

08.19. 30 cmA

R

B

G

C

S

Os ângulos RBG e CBG são congruentes, assim como os ângulos

CBG e BGR . Então o triângulo BGR é isósceles, com BR = RG. Analo-

gamente, CS = SG. Assim, AS + AR + RS = AB + AC = 30 cm.

08.20. AN cm= 6

A

M

B

C

DP

N

Traçando o segmento PA, temos que N é o baricentro do triângulo

ABP. Assim, AN = 2

3 · 9 = 6 cm.

Aula 0909.01. b

D70 cm

AE

C

108 cm

B

45 cm

Se o segmento BC é paralelo ao segmento ED, então o triângulo ABC é semelhante ao triângulo ADE. Dessa semelhança, segue que:AC

AC AC cm70

10845

7010845

168= ⇒ = ⋅ ⇒ =

09.02. b

50 cm

15 cm

H

21 m = 2100 m

50 152100

700 70H

H cm m

=

= =

09.03. a

• 45 20 30

3027

yy=

+⇒ =

• x

x+

=+

= ⇒ =36

3620 30

3053

24

09.04. aH

H m5

153

25= ⇒ =

09.05. c12 8

23

xx= ⇒ =

09.06. a

7030

30 x

7030

3022 5=

+⇒ =

xx

x cm,

09.07. 10 (02, 08)Na figura a seguir, os pares de ângulos que estão destacados com a as mesmas cores são congruentes (ou são pares de ângulos opos-tos pelo vértice, ou são alternos internos).


A

C 30 cm D

B

20 cm

h

P

10 cm

20 – h

Da figura, temos que(I): os triângulos APB e CPD são semelhantes, pois seus ângulos cor-respondentes são congruentes;(II): h cm= 5 e 20 15− =h cm , pois, da semelhança entre os tri-ângulos,20 30

1020

3 5 20 15−

= ⇒−

= ⇒ = ⇒ − =h

hh

hh cm h cm

A seguir, a análise das afirmações.01) Incorreto

SS

h

hh

hAPB

CPD

=

⋅

⋅ − =⋅ −

=⋅

=

10

230 20

23 20

53 15

19( ) ( )

02) Correto

Sh

h cmAPB =⋅

= ⋅ = ⋅ =10

25 5 5 25 2

04) IncorretoA altura do triângulo CPD mede 15 cm.

08) CorretoOs triângulos APB e CPD são semelhantes, pois seus ângulos correspondentes são congruentes.

16) Correto

Sh

h cm cmCPD =⋅ −

= ⋅ − = ⋅ = >30 20

215 20 15 15 225 2002 2( )

( )

09.08. d

DyA B

C

E

x6

8

Considere, na figura, que os segmentos ED e CB são paralelos.

ABC6 8

S 242⋅= =

ADEx y 1

S 24 xy 242 2⋅= = ⇒ = (I)

6 8 3x y

x y 4= ⇒ = (II)

Substituindo (II) e (I):3

y y 244

⋅ =

y y AD2 32 4 2= ⇒ = =

09.09. 21 (01, 04, 16) Considerando um triângulo isósceles ABC, onde cada ângulo inter-no da base BC mede 2α , construímos, de acordo com as informa-

ções do enunciado, a figura a seguir.

A

B

P

C

α

α

α2α

2α

3α

01) Correto.

Considerando o ângulo interno BAC :

med BAC

o o o

( ) =

+ + = ⇒ = ⇒ =

α

α α α α α2 2 180 5 180 36

02) Incorreto.Se CP fosse também mediana relativa ao lado AB, o triângulo BPC seria, necessariamente, equilátero, pois BP PA= implica

BP PC BC= = . Porém, isso não ocorre, uma vez que

α = ≠36 60o o.

04) Correto.Observe, na figura anterior, que ambos os triângulos BPC e BCA têm ângulos internos medindo α , 2α e 2α . Portanto, são

semelhantes. 08) Incorreto.

O ângulos internos do triângulo BPC medem α , 2α e 2α ,

enquanto que os ângulos internos do triângulo APC medem α , α e 3α . Portanto, não são semelhantes e, consequente-

mente, não são congruentes.16) Correto.

Dois dos ângulos internos do triângulo BPC medem 2α . Por-

tanto, BPC é um triângulo isósceles.09.10. c

De acordo com enunciado, construímos a figura a seguir, onde T re-presenta o ponto onde a circunferência de centro P tangencia o lado AC do triângulo ABC, e Q é o ponto de tangencia com o lado BC.

A

QB C

T

P3 cm

3 cm

4 cm5 cm

8 cm

O triângulo ATP é retângulo, de cateto 3 cm e hipotenusa 5 cm. Pelo teorema de Pitágoras, determinamos a medida do cateto AT (4 cm). Os triângulos ATP e AQC são semelhantes, de acordo com as medi-das dos ângulos indicadas na figura. Portanto:

QCPT

AQAT

QCQC cm= ⇒ = ⇒ =

384

6 .

Mas AT é a altura do triângulo isósceles ABC, donde segue que BQ QC cm= = 6 . Então:

BC BQ QC

BC cm cm

BC cm

= += +=

6 6

12


09.11. d

C

2

3A

B

R

T

S

x

x

3 – x

Da semelhança entre os triângulos ABC e STC, temos:3

3 265

−= ⇒ =

x xx

Portanto:2

2ARST

ABC

ARSTARST ABC

ABC

6 36S x

5 253 2

S 3236

S 1225 0,48 S 0,48 SS 3 25

= = = ⋅= =

= = = ⇒ = ⋅

Ou seja, a área do quadrado ARST equivale a 48% da área do tri-ângulo ABC.

09.12. dConsidere H como sendo a medida da altura do triângulo ABC, e as demais medidas indicadas na figura a seguir.

C

8

E

H

H – 12

D G

A BF

12

15 Os triângulos DGC e ABC são semelhantes. Portanto:

H

HH H

H H

H H

−=

⋅ − ⋅ = ⋅⋅ − = ⋅

⋅ = ⇒ =

12 815

15 15 12 8

15 180 8

7 180180

7

09.13. dEm cada uma das figuras a seguir, o triângulo destacado e o tri-ângulo determinado pelo gráfico e pelos eixos coordenados são semelhantes.

25

z

z tx (horas)

x (% de carga)

100

75

15

z

z t + 2x (horas)

x (% de carga)

100

75

Da semelhança entre os triângulos obtidos do gráfico em ver-

melho:tz

t z I= ⇒ =10025

4 ( )

Da semelhança entre os triângulos obtidos do gráfico em azul:

tz

t z II+

= ⇒ = −2 90

156 2 ( )

Substituindo (II) em (I):

6 2 4 1z z z− = ⇒ =

z t t h= ⇒ = ⋅ ⇒ =1 4 1 4

09.14. d Observe a figura a seguir.

44

t

s

QP

22

Pela semelhança dos triângulos retângulos indicados na figura, temos:PQ

PQPQ

PQPQ PQ PQ

−=

−=

⋅ − = ⇒ =

6 24

6 12

2 12 12

09.15. a) 60m b) 200 10 s

B

T

AX

20

300

900

a) 300

20

900=

x ⇒ x = 60 m

b) AB AB AB m2 2 2 2 4900 300 9 10 10 300 10= + ⇒ = ⋅ ⋅ = =⇒

tm

m ss= =

300 10

1 5200 10

, /

09.16. bNa figura a seguir, considere as medidas em centímetros.

A

TB C

R

O

P Q

r

r

4 – 2r

4

3 3

Nessa figura, AT indica a altura do triângulo isósceles ABC, de base BC. Do triângulo retângulo ATC, temos:

AC AT TC

AC AC

2 2 2

2 2 23 4 5

= +

= + ⇒ =

Os triângulos AOR e ATC são semelhantes. Portanto:

AOAC

ORTC

r rr

=

−= ⇒ =

45 3

2 3

Os triângulos APQ e ABC são semelhantes. Se t indica a medida

do segmento PQ, então:PQAB

r tt cm=

−⇒ =

−⇒ =

4 24 6

4 34

1 5,


09.17. e

R R

O

10 m 200 km

10 cm 10 m

R cm

cm20 000 000

1000

10=

2R = 2 ∙ 107 ∙ 102 cm2R = 4 ∙ 109 cm = 4 x 104 km

09.18. dOs triângulos ABD e BCD são semelhantes.

12

448 4 32

BD

BDBD BD cm= ⇒ = ⇒ =

BC BC cm2 2 24 4 3 8= + ⇒ =( )

Como BC = 4EC, temos que EC = 2 em e BE = 6 cm. Observe que os triângulos ABC e BDC são semelhantes. Como

12

6

4

22= = , temos que

4 32

DE= , ou seja, DE cm= 3 .

09.19.

A CE

D

B

a) Os triângulos ADC e BEC são retângulos em D e C, respectiva-mente, e o ângulo agudo em destaque é comum a esses dois triângulos. Considerando que o ângulo interno relativo ao vértice C mede

α e que os ângulos internos DAC e CBE medem β e θ , res-

pectivamente, temos, pela lei angular de Tales, que

90 90o o+ + = + +α β α θ , donde segue que β θ= . Portanto,

os triângulos ADC e BEC são semelhantes, pois seus pares de ângulos correspondentes são congruentes.

b) Se ADC e BEC são semelhantes, entãoDCEC

ACBC

DCAC

ECBC

= ⇒ = .

Mas os lados DC e EC, do triângulo DEC, e os lados AC e BC, do triângulo ABC, determinam o mesmo ângulo interno (ângulo agudo em destaque). Portanto, os triângulos DEC e ABC são semelhantes.

09.20. a) 19,2 mConsiderando que, na figura do enunciado, os segmentos DE e AC são paralelos, teremos então que os triângulos ABC e BDE são semelhantes. Portanto:

xm

mm

x m2

242 5

19 2= ⇒ =,

.,

b) Se D e E são os pontos médios dos lados AB e AC, respectiva-mente, então o segmento DE é uma base média do triângulo ABC. Portanto, o segmento DE é paralelo ao lado BC e

DE BC= ⋅12

. Consequentemente, os triângulos DEM e BCM são

semelhantes, conforme indicado na figura a seguir.A

M

E

CB

D

Da semelhança entre os triângulos DEM e BCM, temos:

EMBM

= =⋅

= ⇒ = ⇒ = ⋅DEBC

BC

BCEMBM

BM EM

1

2 12

12

2 ,

conforme queríamos demonstrar.

8 PBExtensivo Terceirão – Matemática 3D Extensivo Terceirão – <disciplina> <numdisciplina>

Aula 0707.01. b

cossecx =− ⇒ =−

⇒ = −7

4

17

4

4

7senx senx

07.02. d

tgx

tg x

tgx

x

senx

x

x

senx

x

xsenx

1 1 12 2

2

2

+= = = ⋅ = ⋅

sec

cos

coscos

coscosxx

07.03. a

B x sen x

B x sen x x sen x

B x sen x

= −

= +( ) ⋅ −( )= ⋅ −(

cos

cos cos

cos

4 4

2 2 2 2

2 21 ))= −B x sen xcos 2 2

07.04. d

E x x

E sen x x

E sen xsen x

E

= −( ) ⋅ +( )= ( ) ⋅ ( )= ⋅

=

1 1

1

2 2

2 2

22

cos cotg

cossec

11

07.05. a

cos coscos

θ θ θ θθθ θ

⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =tgsen

sencossec

11

07.06. b

•

•

cos sec

sec

sec

( )

x x

x

x tg x

tg x tg

= − ⇒ = −

= −

= +

⇒ − = + ⇒

13

3

3

1

3 12 2

2 2 22

2

8

3

82 2

x

x Q

tg xtgx

o

=

∈

=

⇒ =•

.

07.07. a

•

•

sen x x

x

x

x Q

x

o

2 2

22

2

2

1

14

1

1516

2

151

+ =

−

+ =

=

∈

=

cos

cos

cos

.

cos66

154

4

15

4

15

4

15

15

15

⇒ = − ⇒ = −

= − ⇒ = − ⋅ ⇒ =

cos sec

sec sec sec

x x

x x x• −−4 15

15

07.08. c

•

•

senx c x

x x

x

= = ⇒ =

= +

=

0 635

53

1

53

2 2

, ossec

cossec cotg

cossec

⇒⇒

= + ⇒ =

< <

=

⇒

53

1169

0 90

169

22 2

2

cotg cotg

cotgcot

x x

x

x

o

• ggx =43

Portanto:

cotgx cossec⋅ = ⋅ =x4

3

5

3

20

9

07.09. btgx x

senx

x

x

senx

sen x x

x senx

x

+ =

+ =

+⋅

=

⋅

cotg 2

2

2

1

2 2

cos

cos

cos

cos

cos ssenx

x senx x senx

=

⋅ = ⇒ ⋅ =

2

1

20 5cos cos ,

07.10. b− ≤ ≤

= −

⇒ − ≤ − ≤ ⇒ ≤ ≤1 1

4

1 4 1 3 5

senx

senx m

m m

07.11. d10 5 2 10π π π= ⋅ ⇒ rad e 2π rad são medidas de arcos côngruos.

Portanto, sec( ) sec( )cos( )

10 21

2

1

11π π

π= = = =

07.12. e

•

•

tgxsenx

xx

senx

sen x x

sen xsenx

= ⇒ = ⇒ =

+ =

+

5 55

1

5

2 2

2

coscos

cos

=

+ = ⇒ =

2

22

2

1

51

56

sen xsen x

sen x

Resoluções

1Extensivo Terceirão – Matemática 3E

3EMatemática

07.13. y = 3

y

tg sen

=

⋅

+ ⋅

− ⋅

cos 42

2 22

22

2

ππ

π

πcotg

⋅

+ ⋅

=( )+ ⋅

−

cossecπ π

ππ

28

2

2 24

sec

cosy

tg senny y

π

π ππ

( )

⋅

+ ( )

⇒ =+ ⋅ −

⋅ +⇒ =

cotg cossec2 2

4

1 2 1 0

0 1 1sec33

07.14. b

cos ( ) ( )2 2

1

1

1

1 1

11

θθ

θθ

θ θθ

θ−

=−−

=+ ⋅ −

−= +

sen

sen

sen

sen sen

sensen

07.15. e

coscos

cos

cos

cos

2

2

2

2

2

x x

sen x tgx

xx

senx

sen xsenx

x

x

−−

=−

−

−

cotg

cotggx

sen x tgx

x xsenx

senx senxx

2

1

1−=

⋅ −

⋅ −

cos cos

cos

cos 22

2

1

1x x

sen x tgx

x

senx

senx x

senxsenx x

−−

= ⋅

⋅ −( )

⋅ −( )cotg cos

cos

cos

ccos

cos cos cos cos

x

x x

sen x tgx

x

senx

senx x

senx

x

s

2

2

1−−

= ⋅⋅ −( )

⋅cotg

eenx x

x x

sen x tgx

x

sen x

x

senx

⋅ −( )

−−

= =

cos

cos cos cos

1

2

2

2

2

cotg =

22cotg x

07.16. d

•

•

M senx x sen x senx x x senx x

N

2 2 2 2

2

2 1 2= + = + ⋅ ⋅ + = + ⋅ ⋅

=

( cos ) cos cos cos

(( cos ) cos cos cossenx x sen x senx x x senx x

M N

− = − ⋅ ⋅ + = − ⋅ ⋅

+ =

2 2 2

2 2

2 1 2

• (( cos ) ( cos )1 2 1 2 2+ ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ =senx x senx x

07.17. c

( )

( )

θ + θ =

− + − =

− + + − =

= − θ = − ⇒ ≥

−=

− = ⇒

2 2

22

2

2

sen cos 1

(m 1) m 2 1

(m 2m 1) (m 2) 1

m 1 Não convém, pois cos m 2 m 2

m m 2 ou

m

0

2

07.18. c

a u v a u sen v a u v sen v

a u

2 2 2 2 2 2 2

2

⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ +( )⋅ ⋅

cos cos cos cos cos

cos coos cos cos

cos cos cos

2 2 2 2

2 2 2 2

1v a u sen v a u

a u v a u sen v

+ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ( )

⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ == ⋅a u2 cos

Sendo a> 0, segue que:

a u v a u sen v a u2 2 2 2⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅cos cos cos cos

07.19. π π π π4

3

4

5

4

7

4, , e

x x sen

x x sen

2 2

2 2

2 0

2 0

− + =

− ⋅ + =

cos

cos

θ θ

θ θ

Se as raízes dessa equação são reais e iguais, então:∆ =

− − ⋅ ⋅ =

− =

− = ⇒ =

0

2 4 1 0

4 4 0

0

2 2

2 2

2 2

( cos )

cos

cos cos

θ θ

θ θ

θ θ θ

sen

sen

sen ssen ou senθ θ θcos = −

0 24 4

5

4

7

4≤ ≤ ⇒ = ± ∈

3θ π θ θ θ

π π π πsen secos ; ; ; , confor-

me indicado na figura a seguir.

3π4

7π4

5π4

π4

22

22

22–

22–

07.20. Ax

=−

1

1 cos

Asen x

Asen x

Asen x sen x

=+

= + ⋅

= +

cotg x cossec x

(cotg x cossec x)

cos x

1

1

⋅

=+

⋅

=+

=+

−

1

1 1

1

1

1

2

2

sen x

Asen x sen x

Asen x

A

cos x

cos x

cos x

cos xx

Ax x

Ax

=+

+( ) −( )⇒ =

−cos x

cos cos cos

1

1 1

1

1

2 Extensivo Terceirão – Matemática 3E

Aula 0808.01. e

sec cosx x> ⇒ >0 0

Cosseno e secante têm os mesmos sinais nos quadrantes, e são positivos para arcos do primeiro e para arcos do quarto quadrante. Portanto:

sec . .x x Q ou x Qo o> ⇒ ∈ ∈0 1 4

08.02. bA x x senx x

A xsenx

senxx

A

= ⋅ ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ =

cos sec

coscos

cossec

1 11

08.03. b

•

•

cossecx x Q ou

tgx ou x Q

x Q

x Q

o

o

o

o

> ⇒ ∈

< ⇒ ∈

∈

∈

0 1

0 4

2

2

.

.

.

.

Portanto:

•cossecx

tgxx Qo>

<

⇒ ∈0

02.

08.04. cConsiderando que ( ) (cos )senx tgx x x E+ ⋅ + =cotg , temos:

E senx tgx x x

E senx x senx x tgx x t

= + ⋅ += ⋅ + ⋅ + ⋅ +

( ) (cos )

cos cos

cotg

cotg ggx x

E senx x senxx

senx

senx

xx

senx

x

⋅

= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅

cotg

coscos

coscos

cos

ccos

cos cos

( cos cos ) (

x

senx

E senx x x senx

E senx x x senx

= ⋅ + + += ⋅ + + +

1

1))

cos ( ) ( )

( )(cos )

E x senx senx

E senx x

= + + += + +

1 1

1 1

08.05. dy tg sen

ysen

sen

= + ⋅ − ⋅ −

= +

( ) (sec cos ) ( )

cos

cos

θ θ θ θ θ θ

θθ

θ

cotg cossec

θθ θθ

θθ

θ θ

⋅ −

⋅ −

=+

1 1

2 2

coscos

cos

cos

sensen

ysen

θθ θθ

θθ

θ⋅

⋅

−

⋅

−

=

sen

sen

sen

y

1 1

1

2 2cos

cos

ccos cos

cos

. cos

cos

θ θθθ

θθ

θ θθ θ

⋅⋅ ⋅

=⋅

⇒ =

sen

sen

sen

ysen

seny

2 2

2 2

2 21

08.06. bθ

θθ

∈=

⇒ = + ⋅ ∈

1

145 360

.,

oo oQ

tgk com k . Ou seja, θ e 45° são

medidas de arcos côngruos. Portanto:

cos cos( )θ = =452

2o

08.07. d

1

3 3

1

3

1

11

3

2

2

2

2

2

2

2

2

+= = ⋅ = ⋅

cotg cossecx

x

x

xsen x

x

x

sensec seccos

cos

xx

x=

cotg2

3

08.08. a

•

•

cos

cos

x

sen x x

sen x sen x= −

+ =

⇒ + −

= ⇒ =

35

1

35

116252 2

22

2

xx Q

sen xsenx

x

senxx

o∈

=

⇒ =

= −

=

⇒

2

1625

45

35

45

2

.

cossec• == − = =

−= − = −

53

54

4

53

5

43

34

; ;cossecx ; cotgtgx x

Portanto, sey x senx tgx x x x= + + + + +cos seccotg cossec , então:

y

y

y

= − + + −

+ −

+ −

+

= − +

= −

3

5

4

5

4

3

3

4

5

3

5

4

1

5

9

3

2

40 2 3, ++ = −0 5 2 3, ,

08.09. d

•

•

•

ππ

< < ⇒ >

= − ⇒ = −

= +

−

x tgx

x x

x tg x

32

0

1213

1312

1

1312

2 2

cos sec

sec

= + ⇒ = ⇒ >=

22 21

25144

05

12tg x tg x pois tgxtgx , .

08.10. a

•cossec

cossec( )

sec( )sec( )

( )

( )

cos( )

cos( )

xx

xx

sen x

x

x

s

+ =

+

5

1

1

1

1

een x

xsen x

sen xx

x sen xsen x

( )

cos( )( )

( )cos( )

cos ( ) ( )( ) c

=

+ =

+⋅

5

5

2 2

oos( )

( ) cos( )( ) cos( )

( ) cos( )

x

sen x xsen x x

sen x x

=

⋅= ⇒ ⋅ =

+[ ]

5

15

15

2• == + ⋅ ⋅ +

+[ ] = + ⋅

sen x sen x x x

sen x x sen

2 2

2

2

1 2

( ) ( ) cos( ) cos ( )

( ) cos( ) (xx x

sen x x

sen x x

) cos( )

( ) cos( )

( ) cos( )

⋅

+[ ] = + ⋅

+[ ] =

2

2

1 215

75


08.11. 41•

•

cossec cotg

cotg cotg

2 2

22 2 2

1

54

19

16169

9

x x

x x tg x

= +

= + ⇒ = ⇒ =

⋅⋅ +( ) = ⋅ + +( )⋅ +( ) = ⋅ +( )⋅

sec

sec

2 2 2 2

2 2 2

9 1

9 9 1 2

9

x tg x tg x tg x

x tg x tg x

ssec

sec

2 2

2 2

9 1 2169

9 9 1329

x tg x

x tg x

+( ) = ⋅ + ⋅

⋅ +( ) = ⋅ +

= 99 32 41+ =

08.12. 15

yx x

x

yx senx

x

senx

= ⋅−

−

= ⋅−

−

121

12

1 1

1

sec

coscos

cossec

cotg

= ⋅

−⋅−

y

senx x

x senxsenx x

senx

12

cos

coscos

= ⋅−⋅

⋅−

= ⋅ ⇒ = ⋅

ysenx x

x senx

senx

senx x

yx

y

12

121

1214

5

cos

cos cos

cos⇒⇒ = ⋅ ⇒ =y y12

5

415

Outra maneira:

• sen x x

sen x

sen x senx pois x

2 2

22

2

1

45

1

925

35

0

+ =

+

=

= ⇒ = < <

cos

,π22

0

4535

54

53

⇒ >

=

=

⇒ = = =

senx

x

senxx x x

.

cossec ; ;• cossec cotg

44

53

5

43

=

Segue, então, que: yx

= ⋅−

−

= ⋅

−

−

=121

12

5

4

5

3

14

3

15sec cossecx

cotgx

08.13. c

x tga x

xtga tga

xtga t

2

2

2 1 0

2 2 4 1 1

2 1

2 4

− ⋅ ⋅ − =

=− − ⋅ ± − ⋅ − ⋅ ⋅ −

⋅

=⋅ ± ⋅

( ) ( ) ( )

gg a

xtga tg a

xtga a

xtga a

2

2

2

4

2

2 4 1

2

2 4

22 2

2

+

=⋅ ± ⋅ +

=⋅ ± ⋅

=⋅ ± ⋅

⇒

( )

sec

secxx tga a= ± sec

08.14. a

yx tgx x tgx

sen x x=

− ⋅ +− ⋅ − ⋅ +

(sec ) (sec )

( ) ( ) (1 2 cotgx cossec cotgx cosssec

cotg x cossec

x

yx tg x

x x

ytg x tg x

)

sec

cos ( )

( )

c

=−

⋅ −

=+ −

2 2

2 2 2

2 21

oos (

cos ( ) cossec

2 2 2

2 22

1

1

1

1

x x x

yx

yx

y x

⋅ − +( )=

⋅ −⇒ = − ⇒ = −

cotg cotg

08.15. b

A sen x sen y sen x sen y x y

A sen x sen y se

= + − ⋅ + ⋅

= + ⋅ −

2 2 2 2 2 2

2 2 1

( ) cos cos

( nn x x y

A sen x sen y x x y

A sen x

2 2 2

2 2 2 2 2

2

) cos cos

( cos cos cos )

+ ⋅

= + ⋅ + ⋅

= + ccos ( cos )

cos

cos

2 2 2

2 2

2 2

1

1

x sen y y

A sen x x

A sen x x A

⋅ +

= + ⋅

= + ⇒ =

08.16. a

MsenA senB

A B

A B

senA senB

MsenA senB senA

=++

+−−

=+ −

cos cos

cos cos

( )( ssenB A B A B

A B senA senB

Msen

) (cos cos )(cos cos )

(cos cos ) ( )

+ − ++ ⋅ −

=2AA sen B A B

A B senA senB

Msen A A

− + −+ ⋅ −

=+

2 2 2

2 2

cos cos

(cos cos ) ( )

( cos )−− ++ ⋅ −

=−

+ ⋅

( cos )

(cos cos ) ( )

(cos cos ) (

sen B B

A B senA senB

MA B se

2 2

1 1

nnA senB

MA B senA senB

M

−

=+ ⋅ −

⇒ =

)

(cos cos ) ( )

00

08.17. e

•

•

a b tgxab

a b

a bab

> > ⇒ =−

> ⇒ =−

= +

02

02

1

2 2

2 2

2 2

cotgx

cossec x cotg x

cosseec x

cossec x

cossec

22 2 2

24 2 2 4

2 2

12

12

4

= +−

= +− +

a bab

a a b b

a b

222 2 4 2 2 4

2 2

24 2 2 4

2 2

4 2

4

2

4

x

cossec x

cosse

=+ − +

=+ +

a b a a b b

a b

a a b b

a b

( )

cc x22 2 2

22 2

2

22

0 90

=+

⇒ =

+

< < ⇒

a bab

sen xab

a b

x senxo o• >> > > ⇒

+>0 0 0

202 2; ,a e b

ab

a b

portanto,

sen xab

a bsenx

ab

a b2

2 2

2

2 2

2 2=

+

⇒ =

+


08.18. c• sen x senx x x

sen x senx x senx

2 2

2

3 2 0

2

− ⋅ ⋅ + ⋅ =

− ⋅ + − ⋅ ⋅

cos cos

( cos ) ( cosxx x

senx senx x x senx x

senx

+ ⋅ =− − ⋅ ⋅ − =

−

2 0

2 0

2cos )

( cos ) cos ( cos )

( cosxx senx x

senx x

ou

senx x

senx x

) ( cos )

cos

cos

cos

⋅ − ⋅ = ⇒− =

− ⋅ =

− =

2 0

0

2 0

0• ⇒⇒ = ⇒ = ⇒

− ⋅ = ⇒ = ⋅ ⇒

=senx xsenx

x

senx x senx xsen

tgxcoscos

cos cos

1

2 0 2

1

•xxx

tgxcos

= ⇒ =2 2

Os possíveis valores para tgx são 1 e 2.

08.19. A = 0A a b a b sen a sen b sen a sen b

A a

= + − + + −

= −

(cos cos )(cos cos ) ( )( )

(cos co2 ss ) ( )

( cos ) ( cos )

2 2 2

2 2 2 2

1 1 0

b sen a sen b

A sen a a sen b b

A A

+ −

= + − += − ⇒ =

08.20. 2 2

2

−

32 5

2 sec 2 cos2 4

sec 2

tg cotg 1

5 2sen cos

4 2cossec sec 2

tg cotg 1 1 tg cossec 1 1 ( 2).

1 cotg 1 1cosse 2 2c

2 2

•

•

•

ππ < θ < π ⇒ θ = − ⇒ θ = − ⇒ θ = θ =

θ = θ =

π θ = ⇒ θ = θ = − θ = θ = −

θ = θ = + θ+ θ + + − ⇒ = = + θ +θ =−

−

Aula 0909.01. a

72º

72º

72º

72º

72º

C D

B

Da figura, temos que:

•

•

•

B

C

D

o o

o o

o o

o

o

o

= − =

= + =

= − =

180 72

180 72

360 72

108

252

288

09.02. d72º

C D

B

Da figura, temos que:a) Incorreto

cos cosB = − °72

b) Incorretosen B sen= °72

c) Incorretosen B > °cos72

d) Corretosen B sen= °72

e) Incorretocos (cos )B sen B e sen< ° < ° >72 0 72 0

09.03. c72º

C D

B

Da figura, temos que:a) Incorreto

cos cos sec secC C= − ° ⇒ = − °72 72

b) Incorretosen B sen= ° ⇒ = °72 72cossec B cossec

c) CorretocotgC cotg= °72

d) Incorretosen C sen= − ° ⇒ = − °72 72cossec C cossec

e) Incorretotg B tg= − °72

09.04. d

220 3 220 0

220 180 40

220 40

o o o

o o o

o o

Q sen

sen sen

∈ ⇒ <

= +

⇒ = −.

09.05. c

335 4 335 0

335 360 25

335 25

o o o

o o o

o o

Q∈ ⇒ >

= −

⇒ =. cos

cos cos


09.06. e

7344 20 360 144 144 180 36o o o o o oe= ⋅ + = − ⇒ reduzindo-se

ao primeiro quadrante um arco de 7344°, obtém-se um arco de 36°.

36 36180 5

o oo

radrad= ⋅ =

π π

09.07. a•

•

2280 6 360 120 2280 120

120 2 120

o o o o o

o o oQ

= ⋅ + ⇒ =

∈ ⇒ <

cos( ) cos( )

. cos 00

120 180 60

120 6012

o o o

o o

= −

⇒ = − = −cos cos( )

Portanto:

cos( ) cos( ) cos( )2280 120 601

2° = ° = − ° = −

09.08. a

2000 5 360 200

200 180 20

2000 3

2000

o o o

o o o

o o

o

Q= ⋅ +

= +

⇒

∈

=

.

cos( ) coos( ) cos( )

( ) ( ) ( )

200 20

2000 200 20

o o

o o osen sen sen

= −

= = −

a) Correto2000 3 2000 0o o oQ∈ ⇒ <. cos( )

b) Incorreto2000 3 2000 0o o oQ sen∈ ⇒ <. ( )

c) Incorretosen sen

sen( ) ( )

cos( ) cos( )( ) cos

2000 20

2000 202000

° = − °° = − °

⇒ ° ≠ (( )2000° , pois

sen( ) cos( )20 20° ≠ °

d) Incorretosen sen sen seno o o o( ) ( ) ( ) ( )2000 20 0 2000 2000= − ≠ ⇒ ≠ −

e) Incorretosen e seno o o o( ) cos( ) ( ) cos( )2000 0 2000 0 2000 2000< < ⇒ ≠ −

09.09. e

•

•

cos cos cos76 6 6

32

74

24 4

ππ

π π

ππ

π π

= +

= − = −

= −

= −tg tg tg == −

= ⇒ =

1

312 3

2• cos secπ π

Portanto:

y sen tg

y

y

= −7

+ +

= − −

+ + −

= +

π π π π3 6 3

7

4

3

2

3

22 1

3 1

cos sec

( )

09.10. cConsidere, na figura, que α e β indicam as medidas de dois arcos

distintos, menores que 360°, que têm, para seno, o mesmo valor positivo.

β α

αα

Então, é fácil verificar que α β+ =180 o.

09.11. b

•0 360

22

45

22

< <=

⇒

= = ⇒ =

= = − ⇒

θθ θ

θ θ θ

θ θ

o

o

sen

sen

ou

sen

cos

cos

cos θθ = 225o

Logo:

As medidas dos ângulos θ entre 0° e 360°, para os quais

senθ θ= cos , são 45 225o oe .

09.12. c

cos cos45 45 1352

2

2

2

2

2

2

2o o osen− + = − + −

= − .

09.13. cDa figura do enunciado, e das informações que ele oferece, temos que:

• x sen x sen e x= ⇒ = = = =π π π6 6

12 6

32

( ) cos( ) cos ;

• y sen y sen e y= − ⇒ = = = − = −ππ π π6 6

12 6

32

( ) cos( ) cos ;

• z sen z sen e z= + = 2 − ⇒ = − = − = =32 6 3 3

32 3

12

π ππ

π π π( ) cos( ) cos .

Então, sen x sen y sen z x y z( ) ( ) ( ) cos( ) cos( ) cos( )+ + + + + é igual a

1

2

1

2

3

2

3

2

3

2

1

2

3

2

3

2+ + −

+ + −

+ = − .

09.14. eTemos que:

•

•

•

2460 6 360 300

1110 3 360 30

2205 6 360 45

o o o

o o o

o o o

= ⋅ +

= ⋅ +

= ⋅ +

;

;

.

Desses resultados, segue que:

•

•

cossec cossec

sec se

2460 3001

300

1

60

2

3

1100

o oo o

o

sen sen= = =

−= −

=

;

cc

cotg cotg

301

30

2

3

2205 451

451

oo

o ootg

= =

= = =

cos;

.•

Portanto:

A A=− ⋅

⇒ = −

2

3

2

31

4

3.


09.15. d I. Correto

92 180 88 92 88o o o o otg tg= − ⇒ = −

II. Incorreto 178 180 2 178 2 88o o o o o otg tg tg= − ⇒ = − ≠

III. Correto268 180 88 268 88o o o o otg tg= + ⇒ =

IV. Correto

272 360 88 272 88o o o o otg tg= − ⇒ = −

09.16. a

Girando-se o ponteiro 60° no sentido horário, o ponto B se deslo-cará até o ponto

B’ ;= −

32

12

,

conforme indicado na figura a seguir.

12

23

23–

A’

B’

B

122

3A = ;

30º60º

30º30º

09.17. cConsidere que AB é a base do triângulo isósceles OAB. Note, observando a figura do enunciado, que:• a base AB desse triângulo mede 2 ⋅ senα ;

• a altura do triângulo OAB, relativa à base AB, mede cosα .

Temos então que:⋅ α ⋅ α

= α ⋅ α=(OAB)(2 sen )

sencos

Área cos2

09.18. b

•

•

senA sen sen sen sen

B

o o o o

o

= = = − = =

= −

β 150 180 30 30

360 3

12

( )

cos cos( 00 303

2) cos= =o

Os valores de sen A e cos B são, respectivamente,1

2

3

2e .

09.19. 2

• m sen

m sen

m sen sen

m

= +

= +

= + + ⋅ ⋅

= + ⋅

θ θ

θ θ

θ θ

cos

( cos )

cos cos

2 2

2 2 2

2

2

1 2 ssen

n sen

n sen

n sen sen

θ θθ θ

θ θ

θ

⋅= −

= −

= + − ⋅ ⋅

cos

cos

( cos )

cos c

•

2 2

2 2 2 2 oos

cos

cos

cos

θ

θ θ

θ θ

θ θ

n sen

m sen

n sen

2

2

2

1 2

1 2

1 2

= − ⋅ ⋅

= + ⋅ ⋅

= − ⋅ ⋅

• ⇒⇒ + =m n2 2 2

09.20. k k( )3

2

2−

•

•

senx x k

senx x k

senx x k

sen x x se

I+ =+ =

+ =

+ + ⋅

cos

cos

( cos )

cos

( )

2 2

2 2 2 nnx x k

senx x k

senx xk

II

⋅ =

+ ⋅ ⋅ =

⋅ =−

cos

cos

cos ( )

2

2

2

1 2

12

Sabe-se que a b a b a ab b3 3 2 2+ = + − +( ) . ( ) . Então, substituindo a

por senx e b por cosx , temos que:

• sen x x senx x sen x senx x x

sen x

3 3 2 2

3 3

+ = + ⋅ − ⋅ +

+

cos ( cos ) ( cos cos )

cos xx senx x senx x III= + ⋅ − ⋅( cos ) ( cos ) ( )1

Substituindo (I) e (II) em (III), temos:

• sen x x kk

sen x x kk

3 32

3 32

11

2

2 12

+ = ⋅ −−

+ = ⋅− +

cos

cos

+ = ⋅−

+ =−

sen x x kk

sen x xk k

3 32

3 32

32

32

cos

cos( )


Aostila esecial e exerccios Matemática esolues 3A · se a lei de formação for do tipo ya=⋅ x ,...

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