Aplicacao de Metodos de Quarta Ordem para Resolver as

Equacoes de Navier-Stokes em um Canal com uma Oclusao

Katia Prado Fernandes

Programa de Pos Graduacao em Modelagem Computacional, LNCC

25651-075, Petropolis, RJ

E-mail: katiapf@lncc.br,

Paulo F. A. Mancera

Departamento de Bioestatıstica, IBB, UNESP

18618-000, Botucatu, SP

E-mail: pmancera@ibb.unesp.br.

Resumo: Metodos numericos de diferencas finitas de alta ordem para as equacoes de Navier-

Stokes nas formulacoes funcao corrente e funcao corrente-vorticidade sao classificados como

compactos ou nao compactos. Neste trabalho, constroi-se um metodo compacto e um nao com-

pacto de quarta ordem para resolver numericamente as equacoes de Navier-Stokes na formulacao

funcao corrente em uma malha uniforme. Apresenta-se os erros RMS e maximo e verifica-se que

o resultado numerico para a combinacao de metodos de segunda ordem com metodos de quarta

ordem sao mais precisos do que o metodo de diferenca central de segunda ordem.

Palavras-chave: Equacoes de Navier-Stokes, Diferencas Finitas, Metodos de Alta Ordem

1 Introducao

Nas ultimas decadas nota-se o desenvolvimento de varios metodos numericos de diferencasfinitas para resolver numericamente as equacoes de Navier-Stokes, tanto em variaveis primitivas,quanto na formulacao funcao corrente-vorticidade. Na maioria das vezes os metodos usados saode segunda ordem, resultando em uma molecula computacional de cinco pontos.

Pode-se obter metodos numericos de alta ordem para as equacoes de Navier-Stokes usandodiferencas centrais de quarta ordem, porem os mesmos resultam em moleculas computacionaisenormes (ver Figura 1.a), ditos metodos nao compactos. Entretanto, e possıvel obter metodosde diferencas finitas de alta ordem, com precisao de quarta ordem, que sao computacionalmenteeficientes e estaveis e tem como atrativo alto grau de precisao alem de uma molecula computa-cional pequena (ver Figura 1.b). Esses metodos sao conhecidos como compactos (ver Gupta [1],Mancera & Hunt [3, 4], Pandit et al. [6, 7] e Spotz & Carey [8]).

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a)

N

LO

S

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s

b)Figura 1: Molecula computacional com: a) 29 pontos; b) 25 pontos.

Em diversos trabalhos sao desenvolvidos metodos compactos 3×3 para as equacoes de Navier-

585

Stokes na formulacao funcao corrente-vorticidade (ver Gupta [1]). Contudo, neste trabalho eapresentado um metodo compacto e um nao compacto, de quarta ordem 5 × 5, na formulacaofuncao corrente. A escolha por essa formulacao tem como atrativo a atribuicao de condicoes defronteira apenas para a funcao corrente, sem o uso da vorticidade.

2 Objetivos

Os objetivos deste trabalho sao calcular os erros RMS (Root Mean Square) e maximo para acombinacao de metodos de segunda e quarta ordem usando duas diferentes malhas, uma com odobro de pontos da outra e compara-los com os erros do metodo de diferenca central de segundaordem.

3 Metodologia

No decorrer do trabalho sao apresentados os procedimentos para a obtencao de um metodocompacto e um nao compacto, ambos de quarta ordem, para as equacoes de Navier-Stokes esta-cionarias, bidimensionais, na formulacao funcao corrente. Inicialmente descreve-se a motivacaobiologica do problema a ser estudado.

3.1 Motivacao Biologica

Durante decadas muitos pesquisadores descreveram a aterosclerose como sendo o acumulogradativo de gordura nas paredes das arterias, entretanto, sabe-se que a aterosclerose e um pro-cesso inflamatorio cronico, identificado como uma doenca na parede interna da arteria (ıntima)e um processo alimentado pela inflamacao (ver McKay et al. [5]). Com o passar do tempo,a inflamacao na parede da arteria comeca a impedir a passagem do fluxo sanguıneo levando aobstrucao.

O estudo de metodos numericos para um canal com uma oclusao retangular (ver Figura2), tem como uma de suas motivacoes o problema da obstrucao de arterias, entretanto, de-vido a dificuldade em se trabalhar com um canal em 3D, simplificou-se o modelo utilizandouma representacao bidimensional para um problema tipo estenose. De tal situacao decorre odesenvolvimento e estudo do metodo numerico.

-

-

-

Figura 2: Canal com uma oclusao.

3.2 Equacoes de Navier-Stokes

As equacoes de Navier-Stokes que modelam escoamentos de fluidos incompressıveis podemser escritas em variaveis nao primitivas (vorticidade ζ e funcao corrente ψ), dadas por

ζ =∂v

∂x−∂u

∂y, u =

∂ψ

∂y, v = −

∂ψ

∂x, (1)

em que u e v sao as componentes do vetor velocidade nas direcoes x e y, respectivamente.Substituindo as velocidades u e v na expressao da vorticidade ζ, tem-se

∂2ψ

∂x2+∂2ψ

∂y2= −ζ. (2)

586

A formulacao funcao corrente-vorticidade das equacoes de Navier-Stokes e dada pela ex-pressao (2) e pela equacao para fluidos estacionarios expressa por

∂2ζ

∂x2+∂2ζ

∂y2= Re

(

∂ψ

∂y

∂ζ

∂x−∂ψ

∂x

∂ζ

∂y

)

, (3)

em que Re e o numero de Reynolds.Substituindo a equacao (2) em (3) tem-se

∂4ψ

∂x4+ 2

∂4ψ

∂x2∂y2+∂4ψ

∂y4= Re

(

∂ψ

∂y

(

∂3ψ

∂x3+

∂3ψ

∂x∂y2

)

−∂ψ

∂x

(

∂3ψ

∂x2∂y+∂3ψ

∂y3

))

, (4)

a qual e dita a formulacao funcao corrente das equacoes de Navier-Stokes.

3.3 Obtencao dos Metodos de Quarta Ordem

Um metodo nao compacto de quarta ordem para as equacoes de Navier-Stokes estacionarias eobtido aproximando todas as derivadas da equacao (4) por diferencas centrais de quarta ordem,o que resulta em uma molecula computacional de 29 pontos. A molecula computacional emostrada na Figura 1.a, tendo os seguintes pontos cardeais

N =−1

6h4−ReDX

8h3, S =

−1

6h4+ReDX

8h3,

L =−1

6h4+ReDY

8h3, O =

−1

6h4−ReDY

8h3,

(5)

em que h, DX e DY , sao respectivamente, o espacamento da malha e aproximacoes de quartaordem para ∂ψ

∂xe ∂ψ∂y

.Quando o metodo nao compacto e aplicado proximo a uma fronteira rıgida, faz-se necessario

uma condicao de fronteira extra para obter a solucao procurada (ver Figura 3).

fronteira rıgidar r r r

r

r r r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

Figura 3: Molecula proxima de uma fronteira solida.

Assume-se que o fluido proximo de fronteiras rıgidas tem a mesma velocidade da parede, ouseja, as velocidades u e v sao nulas. Da aplicacao da condicao de contorno de nao deslizamentotem-se duas condicoes de fronteira para a funcao corrente, ψ = 1 e ∂ψ

∂η= 0 com η = x ou y.

Entretanto, sao requeridas tres condicoes.Para as fronteiras rıgidas horizontais, tem-se que a condicao ∂ψ

∂x= 0 e entao para o ajuste

do metodo e necessario substituı-la na equacao (4), logo

∂4ψ

∂y4= 0, (6)

fornece a condicao de fronteira extra utilizada no metodo nao compacto de quarta ordem para oproblema do canal com uma oclusao local. Condicao similar e obtida para as fronteiras rıgidasverticais.

Apos ilustrar a construcao de um metodo nao compacto de quarta ordem, apresenta-se osprocedimentos para a obtencao de um metodo compacto de quarta ordem para a equacao (4).Observa-se que o metodo compacto sera obtido com as exclusoes dos pontos cardeais. SeguindoWittkopf [9]

587

1. As derivadas parciais de primeira e segunda ordens de (4) sao calculadas em relacao a xe a y. Estas expressoes sao denotadas por NSx, NSxx, NSy e NSyy. Em seguida, paraestas expressoes, todas as derivadas de ordem superior a dois sao aproximadas usandodiferenca central de segunda ordem, e as outras por diferenca central de quarta ordem.Estas aproximacoes sao denotadas por [NSx], [NSxx], [NSy] e [NSyy].

2. Na equacao (4) representada por NS4 todas as derivadas sao aproximadas por diferencascentrais de quarta ordem. Esta aproximacao e representada por [NS4] e resulta numamolecula como ja exibida na Figura 1.b, com os pontos cardeais dados em (5).

A equacao

[NS4] + h2

(

[NSxx] + [NSyy]

6+Re

(

DX[NSy] −DY [NSx]

12

))

= 0, (7)

elimina os pontos cardeais resultando em um metodo compacto 5 × 5 (ver Figura 1.a) para aequacao (4), com precisao O(Re2 h4).

3.4 Geometria e Resolucao do Problema

Considera-se um canal com duas quinas reentrantes, tendo paredes solidas em y = ±1 para

x < m e x > n, y = ±1

2para m < x < n e

1

2≤ |y| ≤ 1 para x = m e x = n, em que m e n sao

inteiros, m < n (ver Figura 4). Devido a simetria na geometria o problema e resolvido apenaspara y ≥ 0 (ver Mancera & Hunt [4] e Pandit et al. [6]).

ψ =3y

2−y3

2ψ =

3y

2−y3

2

ψ = 1

ψ = 1?

� -

ψ = 1

ψ = 0

Figura 4: Canal com uma oclusao.

As condicoes de fronteira para o problema sao dadas por

ψ = 1, ∂ψ∂y

= 0 em y = 1, x ≤ m,x ≥ n, e y = 1

2,m < x < n,

ψ = 1, ∂ψ∂x

= 0 em x = m e x = n, 1

2≤ y ≤ 1,

ψ = 0, ∂2ψ∂y2

= 0 em y = 0,

ψ → 3

2y − 1

2y3, ζ → 3y, quando x→ −∞,

ψ → 3

2y − 1

2y3, ζ → 3y, quando x→ +∞.

(8)

com fluxo de Poiseuille tanto a montante (sentido contrario a corrente), quanto a jusante(seguindo o sentido da corrente).

Conforme verificado na Figura 3 para aplicacao do metodo nao compacto nos pontos inte-riores ao domınio computacional sao necessarios dois pontos fantasmas (fora do domınio com-putacional) para cada fronteira. No intuito de simplificar a quantidade de linhas de pontosfantasmas, considera-se uma molecula computacional deslocada duas unidades de uma fronteirasolida (linha preta), ilustrada na Figura 5.

588

r r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

t

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

Figura 5: Molecula proxima a fronteira solida.

Os procedimentos adotados para implementar a combinacao de metodos de segunda e quartaordem em uma geometria como a exibida na Figura 5 sao dados por

• Aplica-se na primeira linha de pontos internos ao domınio computacional o metodo dediferenca central de segunda ordem (linha ). Por exemplo,

∂ψ

∂x=

1

2h(ψi+1,j − ψi−1,j) + O(h2).

• Aplica-se o metodo de diferenca central de quarta ordem (compacto/nao compacto) nasdemais linhas internas do domınio computacional.

• Para as fronteiras rıgidas (linha solida) tem-se as seguintes condicoes

ψ = 1,∂ψ

∂x= 0 ou

∂ψ

∂y= 0. (9)

• Para o eixo de simetria tem-se como condicao ψ = 0. Verifica-se que para essa condicaoos pontos sao simetricos, entao, ψi,j−1 = ψi,j+1.

• Para o comportamento do fluido tanto na entrada quanto na saıda do canal, assume-se aseguinte condicao

ψ =3

2y −

1

2y3. (10)

• Na linha de pontos fantasmas aplica-se diferencas finitas ascendentes/descendentes dequarta ordem ou diferenca central de segunda ordem (linha ). Por exemplo,

∂ψ

∂y=

1

12h(3ψi,j + 10ψi,j−1 − 18ψi,j−2 + 6ψi,j−3 − ψi,j−4) + O(h4).

4 Resultados Numericos

As simulacoes envolveram dois metodos numericos de quarta ordem (compacto e nao com-pacto) e o metodo de diferenca central de segunda ordem para a formulacao funcao corrente (verequacao (4)). Obteve-se os resultados para duas malhas com diferentes tamanhos, sendo umacom 256 × 64 e a outra com 512 × 128.

Para o problema do canal com um ressalto, tem-se uma malha uniforme, com o comprimentodo canal sendo quatro, e espacamentos hx = hy = 1/ny em ambas as direcoes. A geometriaconsiderada para as simulacoes foi

• antes da oclusao: 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ 1;

• oclusao: 1 ≤ x ≤ 2 e 0 ≤ y ≤ 0.5;

589

• depois da oclusao: 2 ≤ x ≤ 4 e 0 ≤ y ≤ 1.

Nas Tabelas 1 e 2 a, sao apresentados os erros RMS e maximo para os seguintes metodos naformulacao funcao corrente: diferenca central de segunda ordem (SO), metodo nao compacto eaproximacoes de quarta ordem na linha de pontos fantasmas (MNC 4h), metodo nao compactoe aproximacoes de segunda ordem na linha de pontos fantasmas (MNC 2h), metodo compactoe aproximacoes de segunda ordem na linha de pontos fantasmas (MC 2h) e metodo compacto eaproximacoes de quarta ordem na linha de pontos fantasmas (MC 4h).

Erros ψ - Metodos

Re SO MNC 4h MNC 2h MC 2h MC 4h

0 1.15(-4) 2.63(-5) 2.49(-5) 2.48(-5) 2.62(-5)10 1.20(-4) 2.72(-5) 2.57(-5) 2.42(-5) 2.51(-5)50 1.69(-4) 3.25(-5) 3.11(-5) 4.46(-5) 4.58(-5)100 2.06(-4) 3.44(-5) 3.13(-5) 7.03(-5) 7.47(-5)250 2.93(-4) 3.75(-5) 3.08(-5) ** **500 4.28(-4) 5.41(-5) 3.91(-5) ** **

Tabela 1: Erros RMS

Erros ψ - Metodos

Re SO MNC 4h MNC 2h MC 2h MC 4h

0 4.95(-4) 1.08(-4) 1.06(-4) 1.05(-4) 1.08(-4)10 7.14(-4) 1.47(-4) 1.49(-4) 1.51(-4) 1.49(-4)50 1.13(-3) 2.00(-4) 2.06(-4) 2.20(-4) 2.20(-4)100 1.47(-3) 2.17(-4) 2.23(-4) 2.65(-4) 2.66(-4)250 1.84(-3) 2.45(-4) 2.24(-4) ** **500 2.11(-3) 3.63(-4) 3.02(-4) ** **

Tabela 2: Erros maximo

Como pode ser visto nas tabelas, os erros RMS variam de ∼ 10−5 a ∼ 10−4 e os errosmaximo de ∼ 10−4 a ∼ 10−3, respectivamente, para 0 ≤ Re ≤ 500. O sımbolo ** indica queo metodo de Newton nao convergiu para a dada precisao estipulada depois de 10 iteracoes.Tambem e observado que os erros RMS para as combinacoes dos metodos mistos MNC 2h eMC 2h apresentaram erros menores quando comparados com os metodos mistos MNC 4h e MC4h. Nota-se que para todos os erros a ordem de grandeza e a mesma, porem a precisao dealta ordem, que era esperada para os metodos nominados MNC 4h e MC 4h, nao foi obtida.Esse comportamento deve-se as duas quinas reentrantes (no afunilamento e na expansao docanal), aos pontos singulares e ao uso de malha uniforme. O fato e reforcado com os resultadosapresentados por Hunt [2] para o problema do degrau fazendo uso de malha nao uniforme.

Para o problema estudado, verificou-se que os metodos mistos MNC apresentam erros menoresquando comparados com os erros dos metodos mistos compacto MC, e isto pode ser explicadopelo fato que o metodo nao compacto tem erro de truncamento de ordem O(Reh4), enquantoos erros de truncamento para o metodo compacto sao de ordem O(Re2 h4).

Na Figura 6 sao apresentadas as linhas de corrente e para a construcao dessas linhas foirealizado os calculos em uma malha 512× 128. Nas Figuras (6(a))-(6(b)) sao exibidas as linhasde corrente para o metodo MNC 2h, figuras essas semelhantes para os metodos MNC 4h, MNC2h, MC 4h e MC 2h. Para Re = 500, os metodos mistos MC 4h e MC 2h nao convergiram. AFigura 6(c) apresenta linhas de corrente para o metodo MNC 4h.

Nota-se na Figura 6(a) a simetria (antes e apos a oclusao) que so ocorre em Re = 0; naFigura 6(b) tem-se uma pequena recirculacao na oclusao e apos a oclusao a recirculacao e bem

aEm que a notacao p(−q) e equivalente a p × 10−q .

590

acentuada, e na Figura 6(c) ha duas regioes de recirculacao, sendo respectivamente, uma naoclusao e outra mais intensa apos a oclusao.

x

y

0 1 2 3 40

0.2

0.4

0.6

0.8

1

(a) Re = 0

xy

0 1 2 3 40

0.2

0.4

0.6

0.8

1

(b) Re = 250

x

y

0 1 2 3 40

0.2

0.4

0.6

0.8

1

(c) Re = 500

Figura 6: Linhas de corrente.

5 Conclusao

Apresentou-se resultados para o problema do canal com um ressalto utilizando a combinacaode metodos de quarta ordem com os metodos de segunda ordem. Escolheu-se essa combinacaocom o intuito de diminuir as dificuldades computacionais. Conclui-se que essa combinacao alemda facilidade de implementacao do metodo para a geometria considera, ainda produz resultadosmais precisos quando comparados com o metodo de segunda ordem.

Referencias

[1] Gupta, M. M., High accuracy solutions of incompressible Navier-Stokes equations, J. Com-

put. Phys., 93 (1991) 343-359.

[2] Hunt, R., The numerical solution of the laminar flow in a constricted channel at moderatelyhigh Reynolds number using Newton iteration, Int. J. for Numer. Meth Fl., 11 (1990) 247-259.

[3] Mancera, P. F. A. and Hunt, R., Some experiment with high order compact methods usinga computer algebra software - Part I, Appl. Math. Comput., 174 (2006) 775-794.

[4] Mancera, P. F. A. and Hunt, R., Fourth-order method for solving the Navier-Stokes equa-tions in a constricting channel, Int. J. Numer. Meth. Fluids, 25 (1997) 1119-1135.

[5] McKay, C., McKee S., Mottram, N., Mulholland, T. and Wilson, S., Towards a model ofatherosclerosis, University of Strathclyde, Glasgow, Scotland, (2005) 1-29.

[6] Pandit, S. K., Kalita, J. C. and Dalal, D. C., A transient higher order compact schemefor incompressible viscous flows on geometries beyond rectangular, J. Comput. Phys., 126(2007) 1110-1124.

[7] Pandit, S. K., Kalita, J. C. and Dalal, D. C., A fourth-order accurate compact schemefor the solution of steady Navier-Stokes equations on non-uniform grids, Computers and

Fluids, 37 (2008) 121-134.

[8] Spotz, W. F. and Carey, G. F., High-order compact scheme for the steady stream-functionvorticity equations, Int.J. Numer. Meth. Engng., 38 (1995) 3497-3512.

[9] Wittkopf. A. “High order wide and compact schemes for the steady incompressible Navier-Stokes equations”, Master’s thesis, Simon Fraser University, 1994.

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