Derivadas de definição

Derivadas

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Definição de derivada de uma função num ponto

Seja f uma função real, de variável real, e seja a um ponto do seu domínio. Chama-se derivada da função f, no ponto a, e representa-se por f’(a), ao limite (se existir)

x a

f x f alim

x a

Definição de derivada de uma função num ponto

Observação:

Designando x – a por h, a derivada de f, no ponto a, também se pode escrever.

h 0

f a h f alim

h

Resolver o exercício 352

Exercício 352

Usa a definição de derivada de uma função num ponto para calcular:

a) f ’(-1), sendo f(x) = 2 x3 + x + 1

b) g ’(1), sendo g(x) = e2x

c) h ’(0), sendo

d) r ’(2), sendo

e) s’(2), sendo s(x) = lnx

2xh x

x 1

r x 2x

Interpretação geométrica do conceito de derivada de uma função num ponto

Seja f uma função real de variável real, e seja a um ponto do seu domínio.

A derivada da função f, no ponto a, é o declive da recta tangente ao gráfico de f no ponto de coordenadas (a, f(a)).

f’(a) é o declive da recta r


Exercício 358

Seja f(x) = 0,5x2 – x + 1

a) Escreve a equação reduzida da recta secante ao gráfico de f nos pontos de abcissa 0 e 2.

b) Escreve a equação reduzida da recta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa 0.

Interpretação física do conceito de derivada de uma função num ponto

Se, para cada valor de t, f(t) representar o espaço percorrido por um móvel até ao instante t, então a derivada da função f, no ponto a, é a velocidade do móvel no instante a.


Exercício 360

Uma partícula move-se sobre uma recta de acordo com a lei e = 5t2 + 20t, sendo e a distância percorrida em metros ao fim de t segundos.

a) Calcula a velocidade média no intervalo [1,4].

b) Calcula a velocidade no instante t = 3.

Exercício 355

Pretendemos provar que a derivada de uma função par é uma função ímpar (e vice-versa).

Hipótese: f é par isto é

Tese: f´ é ímpar isto é

Demonstração: Calculemos e provemos

que é igual a .

ff x f x ,x D

f x f x

f x

f x

Exercício 355 (cont.)

h 0

f x h f xlim f x

h

h 0 h 0

f x h f xf x h f xf x lim lim

h h

Prove agora que a derivada de uma função ímpar é uma função par, seguindo um processo semelhante ao que acabámos de utilizar

Derivabilidade e continuidade

Se uma função tem derivada finita num ponto, então é contínua nesse ponto.

Hipótese: Existe

Tese: f é contínua em a. Demonstração:

x a

f x f alim

x a

x a x a

x a x a

f x f alim f x f a lim x a

x a

f x f alim lim x a f ' a 0 0

x a


Logo se então

o que significa que f é

contínua em a

O recíproco não é verdadeiro: uma função pode ser contínua num ponto e não existir derivada finita nesse ponto.


x al im f x f a 0

x al im f x f a



Se e o que se pode

dizer sobre a existência de ?

g 0 2 x 0lim g x 2

g 0

Derivadas laterais

Seja f uma função real, de variável real, e seja a um ponto do seu domínio.

Chama-se derivada lateral direita da função f, no ponto a, e representa-se por , ao limite (se existir)

f a

x a

f x f alim

x a

Derivadas laterais

Seja f uma função real, de variável real, e seja a um ponto do seu domínio.

Chama-se derivada lateral esquerda da função f, no ponto a, e representa-se por

, ao limite (se existir) f a

x a

f x f alim

x a

Interpretação geométrica das derivadas laterais

As derivadas laterais da função f, no ponto a, são os declives das semi-tangentes ao gráfico de f, nesse ponto.

é o declive da semi-recta r é o declive da semi-recta s

f a

f a


Como as duas semi-tangentes não estão no prolongamento uma da outra, têm declives diferentes, pelo que

f a f a


A função não tem, portanto, derivada no ponto a.

Dizemos que o ponto de coordenadas (a,f(a)) é um ponto anguloso do gráfico de f.

Resolver os exercícios 362, 367, 368, 369, 372 e 376

Resolver os exercícios 362, 367, 368, 369, 372, 375 e 376

362,

Seja f a função definida por

Justifique que f não é derivável em 0.

xe 1 se x 0f x ln x 1

se x 0x


367.

Prove que a função f definida, em IR, por

é contínua no ponto de

abcissa 2 mas não tem derivada nesse

ponto.

f x x 2


368. Seja f a função definida, em IR, por:

Determina a e b de modo que f seja derivável no ponto de abcissa 2.

2x b se x 2

f xax 3 se x 2


369. Seja f a função representada graficamente

por:

Esboce o gráfico de f´.


372.

Seja f de domínio definida por

Investiga se f é derivável no ponto de abcissa

0 e caracteriza f´(x).

0IR f x x


375. Seja h a função definida por:

Define a função h´ e representa graficamente as funções h e h´.

2x se x 1

h x2x 1 se x 1


376. Seja f a função definida por:

Caracteriza f´e representa graficamente f e f´

2x se x 1

f x 1 se x 1

x se x 1

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