Aula 007

Fundamentos da

Informática

PRONATEC

Programa Nacional de Acesso ao

Ensino Técnico e Emprego

PRONATEC

Programa Nacional de Acesso

ao Ensino Técnico e Emprego

1. Derivação de Expressões Booleanas• Dada uma função Booleana, descrita por sua

tabela verdade, derivar uma expressão Booleana para esta função é encontrar uma equação que a descreva. Logo, a derivação de expressões Booleanas é o problema inverso da avaliação de uma expressão Booleana

• Duas formas de derivação: Soma de Produtos (SdP) ou Produto de Somas (PdS)

• Soma de Produtos (SdP): descrever todas as situações das variáveis de entrada para as quais a função vale 1

• Produto de Somas (PdS): descrever todas as situações das variáveis de entrada para as quais a função vale 0

2. Derivação por Soma de Produtos• Uma função Booleana de n variáveis (n

entradas), tem 2n combinações possíveis de valores de entrada

• Para cada conjunto de valores de entrada a função gera uma saída (0 ou 1). O conjunto de todos os valores de entrada e todos os resultados possíveis chama-se “espaço” da função

• Para cada combinação de entrada deve-se associar um “mintermo” da seguinte forma: se a variável vale 0 deve aparecer negada, se vale 1 deve aparecer normal

3. Tabela de Mintermo no SdP• Por exemplo a tabela abaixo mostra todas as

combinações e resultados de uma função booleana com 2 entradas

• O mintermo é 1 somente para os valores de entrada a que está relacionado, para outros valores será sempre 0

• Para derivarmos a função fazemos um OU entre os mintermos que resultam 1 na função.

A B Mintermo

0 0 A B

0 1 A B

1 0 A B

1 1 A B

4. Exemplo de Derivação SdP• Encontre a função booleana representada pela

seguinte tabela verdade:

• Observando a tabela de mintermos para duas entradas verificamos que a função resulta 1 para: (A.B) e (A.B) sendo assim fazemos um OU (soma lógica) entre eles

• A função é: F = (A.B) + (A.B)

A B Resultado

0 0 1

0 1 0

1 0 0

1 1 1

5. Exercícios para aula• Derive as funções das seguintes tabelas verdade

usando a Soma de Produtos (SdP)

A B F1

0 0 0

0 1 1

1 0 0

1 1 1

A B F2

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 0

A B C F3

0 0 0 1

0 0 1 0

0 1 0 1

0 1 1 0

1 0 0 1

1 0 1 1

1 1 0 0

1 1 1 0

A B C F4

0 0 0 0

0 0 1 0

0 1 0 1

0 1 1 1

1 0 0 0

1 0 1 1

1 1 0 0

1 1 1 1

6. Derivação por Produto de Somas• Uma função Booleana de n variáveis (n entradas),

tem 2n combinações possíveis de valores de entrada

• Para cada conjunto de valores de entrada a função gera uma saída (0 ou 1). O conjunto de todos os valores de entrada e todos os resultados possíveis chama-se “espaço” da função

• Para cada combinação de entrada deve-se associar um “maxtermo” da seguinte forma: se a variável vale 0 deve aparecer negada, se vale 1 deve aparecer normal

7. Tabela de Maxtermo no PdS• Por exemplo a tabela abaixo mostra todas as

combinações e resultados de uma função booleana com 2 entradas

• O maxtermo é 0 somente para os valores de entrada a que está relacionado, para outros valores será sempre 1

• Para derivarmos a função fazemos um E entre os maxtermos que resultam 0 na função.

A B Maxtermo

0 0 A + B

0 1 A + B

1 0 A + B

1 1 A + B

8. Exemplo de Derivação PdS• Encontre a função booleana representada pela

seguinte tabela verdade:

• Observando a tabela de maxtermos para duas entradas verificamos que a função resulta 0 para: (A+B) e (A+B) sendo assim fazemos um E (produto lógico) entre eles

• A função é: F = (A+B) . (A+B)

A B Resultado

0 0 1

0 1 0

1 0 0

1 1 1

9. Exercícios para aula• Derive as funções das seguintes tabelas verdade

usando a Produto de Somas (PdS)

A B F1

0 0 0

0 1 1

1 0 0

1 1 1

A B F2

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 0

A B C F3

0 0 0 1

0 0 1 0

0 1 0 1

0 1 1 0

1 0 0 1

1 0 1 1

1 1 0 0

1 1 1 0

A B C F4

0 0 0 0

0 0 1 0

0 1 0 1

0 1 1 1

1 0 0 0

1 0 1 1

1 1 0 0

1 1 1 1

10. Formas: Canônica e Padrão

• A representação de uma função booleana em soma de produtos ou produto de somas é denominada “Forma Padrão”

• Uma particularidade da forma padrão é quando em todos os termos soma (SdP) ou produtos (PdS) aparecem todas as variáveis de entrada e nesse caso temos a “Forma Canônica” e podem ser apresentadas de modo simplificado para melhorar no entendimento matemático.

11. Representação Canônica

• Associando cada termo soma (SdP) ou produto (PdS) da expressão por seu respectivo decimal, chamando os “mintermos” de “m” e os maxtermos de “M”, com 3 variáveis teríamos:

• A função: A.B.C + A.B.C pode

• ser representada com a soma dos

• mintermos: m7 + m6 = Σ(7,6)

• A função: (A+B+C)(A+B+C) pode

• ser representada com produto dos

• maxitermos: M0 . M1 = П(0,1)

A B C m M

0 0 0 m0 M0

0 0 1 m1 M1

0 1 0 m2 M2

0 1 1 m3 M3

1 0 0 m4 M4

1 0 1 m5 M5

1 1 0 m6 M6

1 1 1 m7 M7

12. Simplificação de Expressões• A forma canônica é melhor entendida por

humanos mas para criação de circuitos precisamos de saber mais detalhes

• A forma padrão é melhor entendida para fabricar circuitos porém ela apresenta muita redundância de operações e muitas das vezes isso implica em desperdício de recursos como transistores, capacitores e resistores

• A simplificação elimina as redundâncias de uma expressão diminuindo os recursos eletrônicos necessários para compor o circuito

• A simplificação funciona eliminando os “literais” que são somas lógicas entre a variável e sua negação: A + A, resultado sempre 1 (ligado)

13. Exemplo de Simplificação

• Sendo a expressão: F = ABC + ABC + ABC + ABC

• A simplificação requer o uso das propriedades das expressões algébricas já vistas antes

• O primeiro passo é identificar os mintermosque se diferenciam por apenas um literal. No exemplo: ABC e ABC possuem os mesmos literais exceto pelo termo C e C. Usando a propriedade distributiva (14) podemos então representar: ABC+ABC = AB(C+C), mas pela propriedade (4) C+C=1, logo ABC+ABC=AB

• Substituindo: F = AB + ABC + ABC

14. Melhor Simplificação = Equação Mínima

• Sendo a expressão: F = ABC + ABC + ABC + ABC

• Pela propriedade 3: A + A = A, podemos dizer que: ABC = ABC + ABC , substituindo temos:

• F = ABC + ABC + ABC + ABC + ABC

• Os termos envolvidos de vermelho possuem literais comuns e poderão ser simplificados usando a propriedade 14 (distributiva), assim:

• ABC+ABC=AB como já vimos antes e

• ABC+ABC=BC pelo mesmo princípio, então

• Então: F = AB + ABC + BC é a equação mínima

15. Forma Mínima e Fatorada

• A forma mínima é quando a expressão não pode mais ser simplificada com redução no número de operações lógicas

• Sendo a equação mínima anterior:

• F = AB + ABC + BC podemos ainda colocar em evidência o termo B e a equação seria:

• F = B.(A+C) + ABC que não é uma forma de mintermos nem maxtermos, logo ela é chamada de forma “fatorada” mesmo assim não resultou em redução de operações