Apost Estatis Series Temp

7/23/2019 Apost Estatis Series Temp

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S R I E : E s t a t s t i c a B s i c a

T e x t o : S R I E S T E M P O R A I S

Prof. Lor Viali, Dr. - [email protected] - http://www.pucrs.br/famat/viali/ 27

SUMRIO

1. INTRODUO ................................................................................................................................................................... 3

1.1.NOTAO E NOMENCLATURA......................................................................................................................................... 3

1.2.COMPONENTES DE UMA SRIE TEMPORAL ...................................................................................................................... 5

1.3.ESTACIONARIDADE......................................................................................................................................................... 6

2. TENDNCIA ....................................................................................................................................................................... 6

2.1.DETERMINAO DA TENDNCIA..................................................................................................................................... 7

2.2.TENDNCIA POLINOMIAL................................................................................................................................................ 7

2.2.1. Tendncia Linear................................................................................................................................................... 8

2.2.2. Tendncia parablica.......................................................................................................................................... 10

2.3.TENDNCIA LINEARIZVEL POR TRANSFORMAO ...................................................................................................... 12

2.3.1. 2.3.1. Tendncia exponencial .............................................................................................................................. 12

2.3.2. Tendncia geomtrica (funo potncia) ............................................................................................................ 14

2.4.COEFICIENTE DE EXPLICAO ...................................................................................................................................... 15

3. VARIAES SAZONAIS................................................................................................................................................ 16

3.1.DETERMINAO DOS NDICES ESTACIONAIS................................................................................................................. 17

4. VARIAES IRREGULARES....................................................................................................................................... 19

5. DEFLAO DE SRIES TEMPORAIS........................................................................................................................ 21

6. EXERCCIOS.................................................................................................................................................................... 22

7. RESPOSTAS DOS EXERCCIOS .................................................................................................................................. 24

8. REFERNCIAS ................................................................................................................................................................ 27


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SRIES TEMPORAIS

1.INTRODUONa Estatstica existem situaes de estudo onde os dados de interesse so obtidos em instantes

sucessivos de tempo, que pode ser, por exemplo, a cada minuto ou hora, a cada dia, a cada ms ou ano,

ou ainda num perodo contnuo de tempo, como acontece num eletrocardiograma.

Estes dados ordenados no tempo so denominados de srie temporal.

Podem ser considerados como exemplos de sries temporais:

(a) Os valores dirios do preo das aes em uma bolsa de valores;(b) Os valores, registrados mensalmente, das temperaturas mximas em Porto Alegre;

(c) As quantidades anuais de chuva que caem numa determinada regio;

(d) O ndice mensal da inflao brasileira;

(e) As alturas da mar no Porto de Rio Grande, medidas atravs de um maregrafo

(maregrafo);

(f) O registro do eletrocardiograma (ECG) de uma pessoa;

(g) O registro do movimento da crosta terrestre, medido atravs de um sismgrafo.

Os exemplos de (a) a (d) mostram sries discretas, enquanto que os de (e) a (g) ilustram sries

contnuas.

As sries discretas so observadas em instantes eqiespaados de tempo, isto , em intervalos

de tempo t = 1, 2, ..., n, enquanto que as sries contnuas so observadas em intervalos de tempo

contnuos

[0, t]. No entanto, as sries contnuas so transformadas em discretas para poderem ser analisadas. Os

valores de uma srie tambm podem ser obtidos por agregao, como, por exemplo, as temperaturas

dirias so somadas e obtido a mdia, ou no caso, de chuvas as precipitaes dirias so somadas

para se obter um valor mensal.

1.1.NOTAO E NOMENCLATURA

Suponha-se que se est interessado em coletar dados sobre a temperatura mdia diria na

cidade de Porto Alegre. Como a cidade muito grande e existem instalados vrios termmetros em

diferentes pontos da capital vai se ter diferentes leituras para a temperatura em uma mesma hora.


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Assim, por exemplo, as 3 horas da tarde pode-se ter um local marcando 20 graus e outro marcando 22

graus. Cada termmetro vai registrar uma curva de temperatura diferente para um mesmo perodo de

24 horas de observao. Cada uma destas curvas denominada de uma trajetriado processo fsico

sendo observado. Oprocesso estocstico o conjunto de todas as trajetrias possveis que se poderia

observar. Cada trajetria obtida, isto , efetivamente observada denominada defuno amostralou

mais comumente de srie temporal. Fazendo uma analogia com os conceitos de populao e amostra

da Estatstica clssica o processo estocstico corresponderia a populao enquanto que cada trajetria

ou srie temporal seria uma amostra da populao.

As trajetrias podem ser representadas por Y1(t), Y2(t), etc. No instante t = 10 se ter o valor

Y1(10) da temperatura na primeira estao e Y2(10) para a segunda estao. Estes so os valores

efetivamente observados e poderiam ser 22C e 19C, por exemplo. A figura 1 mostra um exemplo de

duas trajetrias diferentes de um mesmo fenmeno.

Figura A - Duas trajetrias de um mesmo fenmeno (temperatura do ar).

Percebe-se assim que para um dado ponto no tempo, os vrios termmetros estaro medindo

diferentes temperaturas, isto , fixado um valor no tempo a temperatura uma varivel aleatria.

Assim para t fixo Y(t) uma varivel aleatria e, como tal, ter uma determinada distribuio de

probabilidade. Variando t vai-se ter outras distribuies de probabilidade.

Desta forma um processo estocstico pode ser entendido como:

(i) Um conjunto de possveis trajetrias que poderiam ter sido observadas ou

(ii) Um conjunto de variveis aleatrias, uma para cada instante de tempo t.

Cada valor observado de uma trajetria um dos possveis valores que poderiam ter sido

observados, de acordo com a distribuio de probabilidades da respectiva varivel aleatria.

Y(t)

Y1(t)

Y2(t)

12 24 t


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Na realidade o que chamado de srie temporal, isto , o conjunto de valores que se dispe

para anlise, uma parte de uma trajetria, dentre as muitas que poderiam ter sido observadas.

De um modo geral uma srie temporal Ytpode ser um vetor de ordem rx1, onde t, por seu

lado um vetor de ordem px1. Por exemplo Yt= [Y1(t), Y2(t), Y3(t)], onde as 3 componentes podem

ser a: a altura, a temperatura e a presso de um ponto do litoral brasileiro e t =(tempo, latitude,

longitude). Neste caso, a srie dita multivariada (r = 3) e multidimensional (p = 3). Um outro

exemplo poderia ser o nmero de acidentes que ocorrem em rodovias do Rio Grande do Sul, por dia.

Neste exemplo, r = 1 e p = 2, com t =(dia, rodovia).

1.2.COMPONENTES DE UMA SRIE TEMPORAL

Em geral, pode-se identificar os seguintes padres de comportamento na anlise de sries

temporais utilizando-se um modelo clssico:

Uma tendncia ao longo do tempo,

Um padro sazonal e

Uma componente aleatria (no identificada)

Estes padres dificilmente aparecem isolados, eles, em geral, surgem de forma combinada. A

anlise das sries temporais pode ento ser encarada, simplesmente, como uma tentativa dedecomposio nestas vrias componentes.

O mtodo clssico de anlise de sries temporais consiste em decompor uma srie em cada

uma de suas componentes bsicas e analisar cada uma destas componentes separadamente e ento

recombinar a srie a fim de descrever as variaes observadas na varivel de interesse. O processo de

decomposio envolve a remoo sistemtica de cada componente dos dados, a comear pela

tendncia.

Existem dois modelos utilizados classicamente. O modelo aditivo e o modelo multiplicativo.O modelo aditivo considera a srie temporal como sendo uma soma de suas componentes, enquanto

que o modelo multiplicativo considera a srie como sendo um produto de suas componentes. Se a

tendncia for representada por T, a componente sazonal por S e a irregular por a, ento os dois

modelos podem ser expressos como:

Yt= Tt+ St+ at (modelo aditivo) e

Yt= Tt.St.at (modelo multiplicativo)

para t = 1, 2, ..., n.


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O modelo aditivo adequado quando a componente tendncia St no depende das outras

componentes. Se as Amplitudes sazonais variam com a tendncia, o modelo mais adequado o

multiplicativo.

possvel, ainda, considerar modelos mistos, como por exemplo:

Yt = Tt.St+ at,

ou ento outros mais complicados.

1.3.ESTACIONARIDADE

Uma das hipteses mais comuns sobre uma srie temporal de que ela seja estacionria. Quer

dizer ela se desenvolve aleatoriamente no decorrer do tempo em torno de uma mdia constante,

mostrando uma forma de estabilidade. No entanto, a maioria das sries encontradas, na prtica,

apresentam algum tipo de tendncia. No caso de sries econmicas, isto acontece, em geral, sendo que

a tendncia mais simples aquela em que a srie flutua em torno de uma linha reta, podendo ter uma

inclinao positiva ou negativa.

Uma forma simples de verificar se uma srie apresenta uma tendncia tomar diferenas

sucessivas. Para verificar a linearidade basta tomar a primeira diferena.

Seja Yta srie considerada. Ento, a primeira diferena de Yt definida por: Yt= Yt- Yt-1Se esta srie (da primeira diferena) for estacionria ento a srie original apresenta uma

tendncia linear.

Para verificar se a srie apresenta uma tendncia polinomial de segundo grau (parablica)

pode-se tomar a segunda diferena, definida por:

2Yt = [Yt] = [Yt - Yt-1] = Yt- 2Yt-1+ Yt-2

Se a srie formada pela segunda diferena for estacionria ento a srie original apresenta

uma tendncia parablica.

2.TENDNCIA

O termo tendncia descreve o movimento suave, a longo prazo, dos dados, para cima ou para

baixo. As tendncias podem estar relacionadas com fatos como: o crescimento da populao,

modificaes na preferncia dos consumidores, campanhas governamentais de longo prazo , etc.

Normalmente a tendncia o elemento mais importante em uma srie temporal. Pode serlinear, onde o crescimento constante em cada perodo de tempo, polinomial ou ainda exponencial. Se


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o crescimento da srie exponencial ento os logaritmos dos seus valores seguiro uma tendncia

linear.

A maneira mais simples de isolar a tendncia atravs da regresso, fazendo primeiramente o

ajustamento sazonal, isto , eliminando-se a tendncia sazonal caso ela exista. A tendncia sazonal

uma componente que existe somente para sries medidas em sub-perodos do ano.

Existem dois objetivos bsicos em se isolar a tendncia de uma srie temporal. Uma

identificar a tendncia e us-la para fazer previses. O outro remover a tendncia, de modo a permitir

o estudo das demais componentes da srie.

A tendncia a longo prazo da demanda de vital importncia para o planejamento estratgico

de qualquer empresa. importante saber se a demanda est crescendo, decrescendo ou ento

estacionou. Atravs da anlise da tendncia da demanda que podem ser tomadas decises

importantes como a expanso fsica, o aumento de capital, a construo de uma nova fbrica, etc.

2.1.DETERMINAO DA TENDNCIA

Para estimar a tendncia vamos supor que a componente sazonal no esteja presente e que o

modelo aditivo, isto :

Yt= Tt + at

onde at a componente irregular.

A estimao da tendncia de uma srie temporal feita atravs da regresso entre as variveis

t e Yt.

A varivel ajustada anotada por tY$ , e atravs dela pode-se obter a srie ajustada para a

tendncia ou livre da tendncia, isto :

Zt= Yt- tY$ = ta$ (pois por hiptese o modelo aditivo).

2.2.TENDNCIA POLINOMIAL

Um procedimento muitas vezes usado ajustar uma curva aos valores observados da srie

para estimar T te fazer previses. Tradicionalmente so utilizadas funes exponenciais, logsticas, de

Gompertz, etc. Neste caso, iremos nos limitar a descrever o modelo polinomial, o exponencial e o

geomtrico. O ajuste polinomial apresenta um problema srio, que o de nem sempre fornecer boas

previses, mesmo com um ajuste bastante bom.

Supem-se que: Tt = 0+ 1t + ... + mtm


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onde o grau m do polinmio deve ser bem menor do que o nmero n de valores da srie.

Para estimar os parmetros jutiliza-se o mtodo dos mnimos quadrados, isto , minimiza-se

a funo:

f(0, 1, ..., m) = t mm

t

n

Y tt( ... ) = 0 1

1

2 (equao A)

obtendo-se os estimadores dos mnimos quadrados:

0 1$ $ $, ,.. ., m

De onde, segue, ento que a tendncia estimada ser:

tT$

= 0 1$ $ $...

+ + +

t tmm

2.2.1. TENDNCIA LINEAR

Se m = 1, a equao Tt = 0+ 1t + ... + mtmse reduz a uma tendncia lineare neste caso a

equao dos mnimos quadrados (equao 1) acima fica:

f(0, 1) = ( )2

0 11

tt

n

Y t =

Minimizando em relao aos valores 0e 1(isto , derivando em relao a cada um deles eigualando a zero) obtm-se as duas equaes abaixo, denominadas de equaes normais da reta:

n t

t t

t

n

tt

n

t

n

t

n

t

n

t

Y

t Y

0 11 1

01

12

1 1

$ $

$ $

+ =

+ =

= =

= = =

Resolvendo em funo de0

$ e 1$ segue:

0 1$ $ = Y t, onde Y

n t

t

nY=

=

1

1

e tn

tt

n=

=1

1

e

1$ dado por: 1

1 1 1

2

1 1

2$ =

= = =

= =

n t t

n t

tt

n

t

n

tt

n

t

n

t

n

Y Y

t

=( )

n t t

n t

t tY Y

t

2 2=

12

24 nn

YtYtn tt

Exemplo 1

Na tabela a, esto as vendas de uma empresa nos ltimos 10 anos. Determinar a tendncia alongo prazo das vendas atravs de um polinmio de grau um (reta).


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Tabela A - Vendas da Empresa Lucrocerto S.A. - 1985/94

Anos Vendas (em R$ milhes)

90 20,5091 20,45

92 21,20

91 23,84

92 26,96

93 32,55

94 40,80

95 50,65

96 59,20

97 73,85A figura b mostra um diagrama (por pontos) destas vendas. A representao grfica dos

valores da srie importante, pois fornece uma idia inicial sobre qual deve ser a equao de tendncia

mais adequada.

Figura B- Diagrama das vendas da Empresa Lucrocerto S.A.

Ano

Vendas

73.85

20.45

Yt

101 t

Construindo a tabela b para a elaborao dos clculos tem-se:

Tabela B - Ajustamento de uma equao linear aos valores da tabela a

t Yt tYt t2 tY2

1 20,50 20,50 1 420,2500

2 20,45 40,90 4 418,2025

3 21,20 63,60 9 449,4400

4 23,84 95,36 16 568,3456

5 26,96 134,80 25 726,8416

6 32,55 195,30 36 1059,5025


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7 40,80 285,60 49 1664,6400

8 50,65 405,20 64 2565,4225

9 59,20 532,80 81 3504,6400

10 73,85 738,5 100 5453,8225370 2512,56 385 16831,1072

Desta forma tem-se:

t n

t

n

= =

+

1

1

2

(n ) = 50 e t = 5,50 e 21

1 2 1

6t

t

n n n

= =

+ +(n )( ) = 385. Logo:

tt

n

Y=

0

= 370 e Y = 37 e tt

n

tY=

0

= 2512,56

Da segue que: 0$

= 5,1627 e 1$

= 5,7886

Assim um estimador para a tendncia linear (Tt) : tT$ = 5,16 + 5,79t

A figura c mostra um diagrama da equao linear obtida, juntamente, com os dados originais.

Figura C - Diagrama dos dados e da equao de tendncia linear

0 2 4 6 8 100

20

40

60

80

100

Y t

5.16 .5.79 t

t

2.2.2. TENDNCIA PARABLICA

Se m = 2, a equao Tt = 0 + 1t + ... + mtm se reduz a uma parbola e neste caso a

equao dos mnimos quadrados (equao 1) fica:

f(0, 1, 2) = ( ) =

n

0t

2ttY

2210t

Minimizando em relao aos valores 0, 1 e 2 (isto , derivando em relao a cada um e

igualando a zero) obtm-se as relaes abaixo, denominadas de equaes normais da parbola.

n tt

n

t

n

tt

n

t Y0 11

22

1 0

$ $ $ + + == = =


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01

12

12

3

1 0

$ $ $ t tt

n

t

n

t

n

tt

n

t t Y= = = = + + =

02

11

3

12

4

1

2

0

$ $ $ t t t t Yt

n

t

n

t

n

t

t

n

= = = =

+ + =

As equaes normais formam um sistema linear de 3 equaes a 3 valores desconhecidos e

pode ser resolvidos por um dos vrios mtodos de se resolver um sistema deste tipo, como por

exemplo, o mtodo de Cramer.

Exemplo 2

Ajustar uma tendncia parablica aos valores dos dados contidos na tabela a. A tabela c

contm os clculos necessrios para a obteno das equaes normais.

Tabela C- Vendas da Empresa Lucrocerto S.A. - 1985/94

t Yt tYt t2 t2Yt t

3 t4

1 20,50 20,50 1 20,50 1 1

2 20,45 40,90 4 81,80 8 16

3 21,20 63,60 9 190,80 27 81

4 23,84 95,36 16 381,44 64 256

5 26,96 134,80 25 674,00 125 625

6 32,55 195,30 36 1171,80 216 12967 40,80 285,60 49 1999,20 343 2401

8 50,65 405,20 64 3241,60 512 4096

9 59,20 532,80 81 4795,20 729 6561

10 73,85 738,5 100 7385,00 1000 10000

370 2512,56 385 19941,34 3025 25333

Neste caso tem-se:

10 0$

+ 55 1$

+ 385 2$

= 370

550

$ + 385 1$ + 3025 2$ = 2512,56

3850

$ + 3025 1$ + 25333 2$ = 19941,34

De onde segue que:

0$ = 23,6268,


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1$ = -3,4443, e

2$ = 0,8394

Logo um estimador para a tendncia Tt:

tT$ = 23,63 - 3,44t + 0,84t2

A figura d mostra um diagrama dos dados originais e da equao de tendncia parablica

estimada. Observe que o ajuste praticamente perfeito.

Figura D - Diagrama dos dados e da equao de tendncia parablica

0 2 4 6 8 100

20

40

60

80

100

Yt

23.63 .3.44 t .0.84 t2

t

2.3.TENDNCIA LINEARIZVEL POR TRANSFORMAO

Algumas funes, que a primeira vista no so lineares podem ser linearizadas por alguma

transformao sobre uma ou mesmo sobre as duas variveis (t e Y t). Em geral esta transformao

consiste em trabalhar com os logaritmos de uma ou de ambas as variveis.

2.3.1. 2.3.1. TENDNCIA EXPONENCIAL

A tendncia exponencial pode ser caracterizada por uma equao do tipo:

Tt = t

Aplicando-se logaritmos aos dois lados desta equao vem:

ln(Tt) = ln(t) = ln() + ln().t,

que uma equao do tipo linear.

Desta forma para se estimar e , ajusta-se a ln(Tt) e t uma equao linear com 0=

ln() e 1= ln(). Os valores estimados de e sero: $a = 0$e e $b = 1

$e

Exemplo 3

Ajustar uma tendncia exponencial aos valores dos dados contidos na tabela a.


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A tabela d contm os clculos necessrios para a obteno das equaes normais.

Tabela D - Clculos para a obteno de um ajustamento exponencial

t Yt ln(Yt) tln(Yt) t2 ln2(Yt)1 20,50 3.0204 3,0204 1 9,1230

2 20,45 3,0180 6,0360 4 9,1082

3 21,20 3,0540 9,1620 9 9,3269

4 23,84 3,1714 12,6855 16 10,0576

5 26,96 3,2944 16,4718 25 10,8528

6 32,55 3,4828 20,8967 36 12,1297

7 40,80 3,7087 25,9608 49 13,7543

8 50,65 3,9249 31,3995 64 15,4051

9 59,20 4,0809 36,7283 81 16,653910 73,85 4,3020 43,0204 100 18,5075

370 35,0575 205,3814 385 124,9191

De onde segue que:

1$ =

( )

n t t

n t

t tY Y

t

ln( ln() )

2 2= (10.205,3814 - 55.35,0575) / (10.385 - 552) = 0,1523

0$ = 3,5058 - 5,5.= 2,6681

Os valores estimados de a e b sero: $a = 0$e = 14,4126 e $b = 1$

e = 1,1645.

Logo um estimador para a tendncia exponencial Tt:

tT$ = 14,41.(1,16)t

A figura e mostra a equao de tendncia exponencial bem como os dados originais.

Figura E - Tendncia exponencial e srie temporal.

0 2 4 6 8 100

20

40

60

80

100

Yt

.14.41 1.16t

t


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2.3.2. TENDNCIA GEOMTRICA (FUNO POTNCIA)

A tendncia geomtrica de uma srie temporal pode ser avaliada por uma equao do tipo:

Tt= atb

Aplicando-se logaritmos aos dois lados da expresso acima vem:

ln(Tt) = ln(atb) = ln(a) + b.ln(t)

Neste caso para estimar a e b, ajusta-se aos logaritmos de Yt e aos logaritmos de t uma

equao linear com 0= ln(a) e 1= b. Os valores estimados de a e b sero: $a = 0$

e e $b =1

$

Exemplo 4

Ajustar uma tendncia geomtrica aos valores dos dados contidos na tabela a.A tabela e contm os clculos necessrios para a obteno das equaes normais.

Tabela E - Clculos para a obteno de um ajustamento geomtrico

t Yt ln(t) ln(Yt) ln(t)ln(Yt) ln2(t) ln2(Yt)

1 20,50 0 3.0204 0 0 9,12302 20,45 0,6931 3,0180 2,0919 0,4805 9,10823 21,20 1,0986 3,0540 3,3552 1,2069 9,3269

4 23,84 1,3863 3,1714 4,3965 1,9218 10,05765 26,96 1,6094 3,2944 5,3021 2,5903 10,85286 32,55 1,7918 3,4828 6,2403 3,2104 12,12977 40,80 1,9459 3,7087 7,2168 3,7866 13,75438 50,65 2,0794 3,9249 8,1616 4,3241 15,40519 59,20 2,1972 4,0809 8,9667 4,8278 16,6539

10 73,85 2,3026 4,3020 9,9057 5,3019 18,5075370 15,1043 35,0575 55,6368 27,6503 124,9191

De onde segue que:

1$ =

( )

n t t

n t t

t tY Yln( )ln( ) ln( ) ln( )

( ) ln( )ln

2 2

=

= (10.55,6368 - 15,1043.35,0575) / (10.27,6503 - 15,10432) = 0,5552

0$ = 3,5056 - 1,5104.0,5552 = 2,6672

Ento os estimadores sero:

$a = 0$e = e2,6672= 14,4000 $b =

1

$ = 0,5552

Logo um estimador para a tendncia geomtrica Tt:


15/27




tT$ = 14,40.t0,56

A figura f mostra a equao de tendncia geomtrica, bem como os dados originais.

Figura F - Equao de tendncia geomtrica e dados originais

0 2 4 6 8 100

20

40

60

80

100

Yt

.14.4 t0.56

t

2.4.COEFICIENTE DE EXPLICAO

Um coeficiente que fornece um indicador sobre qual a melhor funo ajustante se uma

polinomial ou uma linearizvel para uma srie temporal dado pelo coeficiente de explicao,que

representado por R2e calculado por:

R2=( )

( )12

2 2

2 2

n t

n

t

Y Yt t

=

( )1 2 2

n t t

n

t t

t t

Y Y

Y Y

se a funo linear ou linearizvel e por

R2=( ) ( )

( )1 2

2 2

2 2

n t t n

n

t t t t

t t

Y Y t Y t Y

Y Y

+

se a funo ajustante parablica.

Este coeficiente expresso em percentagem e informa o quanto a varivel independente t

explica as variaes da varivel dependente Yt. V-se assim que o coeficiente de explicao confirma a

impresso obtida pelos diagramas de que a parbola, neste caso, a melhor funo ajustante.

Exemplo

(a)Para a reta, tem-se:

R2=( )

( )12

2 2

2 2

n t

n

t

Y Yt t

= 5,78862.(10.385 - 552) / (10.16831,1072 - 3702) = 88,04%

(b)Para a parbola, tem-se:


16/27




R2=( ) ( )

( )1 2

2 2

2 2

n t t n

n

t t t t

t t

Y Y t Y t Y

Y Y

+

=

= [-3,44.(10.2512,56 - 55.370) + 0,84(10.19941,34 - 285.370)] / (10.16831,11 - 3702) =

99,88%

(c)Para a exponencial, tem-se:

R2=( )

( ) [ ]12

2 2

2 2

n

n

t t

Y Yt t

ln )ln(= 0,15232.(10.385 - 552) / (10.124,92 - 35,062) = 94,91%

(d)Para a geomtrica, tem-se:

R2 = [ ] [ ]

( ) [ ]12 2 2

2 2

n t t

n t tY Y

ln( ) ln( )

ln )ln(

= 0,55522.(10.27,6503 - 15,10432) / (10.124,9191 -

35,05752) =

= 73,94%

Pode-se concluir, pelos valores obtidos, que a parbola que fornece o melhor ajuste da

tendncia desta srie. Neste caso, se o propsito fosse fazer previses, a parbola seria a escolha a

fazer. No entanto, uma certa precauo necessria, pois a parbola nem sempre fornece as melhores

previses, apesar de ter fornecido o melhor ajustamento.

3.VARIAES SAZONAIS

As variaes sazonais so variaes cclicas de prazos relativamente curtos (um ano ou

menos), em geral relacionadas com a poca (tempo) ou feriados. Por exemplo, existem padres nas

vendas de artigos esportivos, sorvetes, livros didticos, vesturio, automveis, aumento das vendas de

passagens reas no vero, etc.A componente sazonal deve ser identificada e removida para se poder determinar

corretamente a tendncia a longo prazo. Para se determinar e eliminar a componente sazonal pode-se

supor que a srie segue tanto o modelo aditivo,

Yt= Tt+ St+ at ,

quanto o modelo multiplicativo,

Yt= Tt.St.at ,

Um procedimento de ajustamento sazonal consiste em:


17/27




(i) Obter estimativas tS$ de St;

(ii) Calcular a srie sazonalmente ajustada

t

S

Y = Yt - tS$

se o modelo for aditivo, ou

tS

Y = Yt / tS$

se o modelo for multiplicativo.

3.1.DETERMINAO DOS NDICES ESTACIONAIS

Supem-se que a srie temporal avaliada em k sub-perodos do ano. Se por exemplo k =

12, ter-se- uma srie mensal, se k = 2 uma semestral, etc. Um ndice estacional Sk avalia at que o

ponto a srie no sub-perodo est acima ou abaixo dos valores da srie no perodo. Este mtodo

denominado de mtodo das percentagens mdias.

Uma das maneiras de avaliar a estacionalidade de uma srie temporal atravs das mdias

dos sub-perodos. Inicialmente supem-se que a srie constituda de m perodos (anos), onde cada

perodo subdividido em k = sub-perodos (meses, bimestres, semestres, etc.). Tem-se, ento, que n =

k.m. O procedimento executado da seguinte forma:

(i) Determina-se a mdia geral da srie Ynt t

t

n

Y==

1

1

(ii) Determina-se a mdia de cada sub-perodo Ymi j

j

m

Y==

1

1

, onde I = 1, 2, ..., k = nmero de

sub-perodos e m = nmeros de anos da srie.

(iii) Determina-se o ndice estacional para o sub-perodo como sendo o quociente entre a

mdia do sub-perodo ( Y i) e a mdia global da srie ( Y t ), isto ,

Sk=Y

Y

i

t

=

1

1

1

1

m

n

jj

m

tt

n

Y

Y

=

=

Exemplo

Vamos supor que as vendas da Empresa Lucrocerto, apresentadas na tabela a, sejam agora

fornecidas em valores semestrais, conforme tabela f.

Tabela F - Vendas (em R$ milhes) da Empresa Lucrocerto S.A. - 1985/94


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Perodos Semestre 1 Perodo Semestre 2 Total

1 8,45 2 13,05 20,50

3 9,80 4 10,65 20,45

5 9,17 6 12,03 21,207 12,80 8 11,04 23,84

9 13,24 10 13,72 26,96

11 15,97 12 15,58 32,55

13 20,40 14 20,40 40,80

15 25,65 16 25,00 50,65

17 28,30 18 30,90 59,20

19 33,22 20 40,63 73,85

177 193 370

Tem-se ento:

(a) Mdia geral do perodo:

Ynt t

t

n

Y==

1

1

= 370 / 20 = 18,50. (pois so n = k.m = 2.10 = 20 observaes)

(b) Mdia do primeiro semestre:

Ym j

j

m

Y11

1=

= = 177 / 10 = 17,70

(c) Mdia do segundo semestre:

Ym j

j

m

Y21

1=

= = 193 / 10 = 19,30

Pode-se ver ento que os dados possuem estacionalidade, pois a mdia do primeiro semestre

menor do que a mdia do perodo todo. E que, tambm, a mdia do segundo semestre maior do que a

mdia do perodo todo. Se estas 3 mdias fornecessem o mesmo valor, ento, os dados no teriam

estacionalidade.

(d) Os ndices estacionais sero:

Para o primeiro semestre (neste caso, k = 1):

S1=Y

Y

i

t

= 17,70 / 18,50 = 0,9568 = 95,68%

Por este resultado pode-se ver, que as vendas no primeiro semestre esto 4,32% abaixo das

vendas do perodo considerado como um todo. Portanto, para eliminar a estacionalidade necessrio

aumentar as vendas para que elas fiquem na mdia do perodo, ou seja, necessrio dividir cada valor

do primeiro semestre por S1= 0,9568.


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Para o segundo semestre (neste caso, k = 2):

S2=Y

Y

i

t

= 19,30 = 18,50 = 1,0432 = 104,32%

Por este resultado pode-se ver, que as vendas no segundo semestre esto 4,32% acima das

vendas do perodo considerado como um todo. Portanto, para eliminar a estacionalidade necessrio

diminuir as vendas para que elas fiquem na mdia do perodo, isto , necessrio dividir cada valor do

primeiro semestre por S2= 1,0432.

Note-se que S1+ S2= 0,9568 + 1,0432 = 2. De forma geral, tem-se que: ii

k

S=

1

= k = nmero de

sub-perodos. Assim para um perodo de 12 meses, deve-se ter: ii

S

=

1

12= 12.

Aps a diviso das vendas do primeiro semestre por S1e as vendas do segundo semestre por

S2os valores estaro desestacionalizados.

Isto ocorre, claro, se considerarmos o modelo multiplicativo: Yt= Tt.St.at. Ento dividindo

os dois termos desta equao por St, tem-se:

tY$ = Yt / St = (Tt.St.at) / St= Tt.at, que a srie de valores sem estacionalidade.

4.VARIAES IRREGULARESAs variaes irregulares ou aleatrias so todas as demais que no podem ser explicadas pela

tendncia ou pelas variaes sazonais. Removida a tendncia a longo prazo (Tt) e a sazonalidade (St) o

que sobra a componente irregular ou aleatria. A suposio geralmente feita que atseja uma srie

puramente aleatria ou rudo branco. Uma srie dita um rudo branco quando tem mdia zero e

varincia constante, isto , a mesma varincia para cada valor de t.

Exemplo:

Determinar para os valores da tabela a os valores da componente irregular. Supor que a

tendncia da srie linear.

Como os valores da srie so anuais ela no apresenta estacionalidade e como a suposio

de que a tendncia seja linear a componente irregular pode ser obtida fazendo-se:

at= (Yt - tY$ ) = (Yt- 5,16 - 5,79t)

A tabela g mostra os clculos necessrios para a obteno da componente irregular, quando a

tendncia do tipo linear.


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Tabela G - Vendas (em R$ milhes) da Empresa Lucrocerto S.A. - 1985/94

Anos (t) Vendas (Yt) tY$ at = Yt - 5,16 - 5,79t

1 20,50 10,95 9,55

2 20,45 16,74 3,71

3 21,20 22,53 -1,33

4 23,84 28,32 -4,48

5 26,96 34,11 -7,15

6 32,55 39,89 -7,34

7 40,80 45,68 -4,88

8 50,65 51,47 -0,82

9 59,20 57,26 1,94

10 73,85 63,05 10,80

370 370 0

Pode-se verificar quet tY Y$ = = 370, isto , a soma dos valores previstos igual a soma

dos valores da srie temporal. Tambm pode-se verificar quett t

Y Y a( $ ) = = 0. O que mostra a

componente irregular tem mdia igual a zero.

Atravs da componente irregular (ou resduos) do ajustamento da Tendncia pode-se avaliar

se a equao ajustante adequada ou no. Como pode ser visto no exemplo acima os desvios em

relao a equao de tendncia constitu a componente irregular e pode-se ver que a soma destes

desvios zero. Se tomarmos estes desvios ao quadrado e fizermos uma mdia teremos uma medida da

adequao da tendncia aos dados. Quanto menor for esta mdia, melhor ser a equao ajustante.

Extraindo-se a raiz quadrada deste resultado ter-se- o denominado erro padro do ajustamento.

( )

=

= a

YY 2t

2

tt2R n

1

n

A tabela h mostra os clculos para a obteno do erro padro do ajustamento linear.

Tabela H- Vendas (em R$ milhes) da Empresa Lucrocerto S.A. - 1985/94

Anos (t) Vendas (Yt) tY$ at = Yt - 5,16 - 5,79t (Yt - 5,16 - 5,79t)2

1 20,50 10,95 9,55 91,2025

2 20,45 16,74 3,71 13,76413 21,20 22,53 -1,33 1,76894 23,84 28,32 -4,48 20,07045 26,96 34,11 -7,15 51,12256 32,55 39,89 -7,34 53,8756


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7 40,80 45,68 -4,88 23,8144

8 50,65 51,47 -0,82 0,67249 59,20 57,26 1,94 3,7636

10 73,85 63,05 10,80 116,6400370 370 0 365,6944

( )R

t tt

Y Ya

n n2

2

21 =

=

$

= 365,6944 / 10 = 37,6694

( )R

t tY Y

n =

$ 2

= 6,1375 = 6,14

Este resultado sendo um valor absoluto no fornece de imediato uma idia do ajustamento. Omelhor compar-lo com os dados para verificar se ele um valor grande ou pequeno. Para isto

calcula-se o coeficiente de variao.

RR

tY

= = 6,1375 / 37 = 16,59%

5.DEFLAO DE SRIES TEMPORAIS

Sries temporais que envolvem valores em moeda devem ser deflacionadas. Da mesma forma

que uma srie temporal desestacionalizada, ela pode ser deflacionada. Assim dada a srie:

Yt1, Yt2, ..., Ytn

e a srie dos ndices

I1, I2, ..., In

obtm-se a srie deflacionada mediante a diviso dos valores da srie pelos valores dos

ndices.

Assim a srie deflacionada (a valores constantes ou reais) ser:

Yt1/ I1, Yt2/ I2, ..., Ytn/ In

Exemplo:

Se o salrio de uma pessoa em t1 150% do de t0(isto , aumentou 50%), enquanto o ndice

do custo de vida dobrou, no perodo, o salrio real do sujeito em t1, ser apenas de 1,5 : 2 = 0,75 = 75%

do que era em t0.


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6.EXERCCIOS

(01)Classifique as seguintes sries em: discreta, contnua, multivariada ou multidimensional.(01.1)ndices dirios da bolsa de valores de So Paulo (ndice Bovespa).

(01.2)Registro das mars do porto de Tubaro (Santa Catarina), atravs de um margrafo, durante

um perodo de 60 dias.

(01.3)Medida da presso sangnea de um paciente durante uma cirurgia.

(01.4)Nmero de casos mensais de meningite no estado do Rio Grande do Sul.

(01.5) Medidas da intensidade de uma corrente martima da costa brasileira, durante um certo

intervalo de tempo.

(02)Considere a srie temporal (PIB brasileiro, em milhes de cruzeiros) da tabela.

Ano 1964 1965 1966 1967 1978 1969 1970 1971 1972 1973 1974PIB 27614 44073 63746 86171 122430 161900 208300 276807 363167 498307 719519

(02.1)Faa o grfico da srie.

(02.2) Verifique se a srie apresenta uma tendncia linear, atravs do clculo da primeira

diferena.

(03) Considere a srie temporal (Exportaes de suco concentrado de laranja, em U$ 1000000) databela.

Ano 1970 1971 1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980Exp. 15 35 41 64 60 62 101 177 333 432 460

(03.1)A srie apresenta tendncia?

(03.2)Determine e faa o grfico da primeira diferena. Ela estacionria?

(03.3)Determine a srie ln(Yt).

(03.4)Determine e faa o grfico da primeira diferena da srie ln(Yt). Ela estacionria?

(04)Considere a srie do PIB, representada na tabela do exerccio 2.

(04.1)Estime a tendncia da srie, supondo o modelo Tt= 0 1 te

(04.2)Faa a previso do PIB para 1975 e 1976, usando o valor tT$

(05)Repita o exerccio (04) para a srie de exportaes de suco de laranja.

(06)Considerando os valores da tabela abaixo, obter os ndices de estacionalidade.

Jan. Fev. Mar. Abr. Maio Jun. Jul. Ago. Set. Out. Nov. Dez.1985 318 281 278 250 231 216 223 245 269 302 325 347


23/27




1986 342 309 299 268 249 236 242 262 288 321 342 3641987 367 328 320 287 269 251 259 284 309 345 367 3941988 392 349 342 311 290 273 282 305 328 364 389 4171989 420 378 370 334 314 296 305 330 356 396 422 4521990 453 412 398 362 341 322 335 359 392 427 454 4831991 487 440 429 393 370 347 357 388 415 457 491 5161992 529 477 463 423 398 380 389 419 448 493 526 560

(07) A tabela apresenta os valores do salrio mnimo vigente em dezembro na cidade do Rio de

Janeiro, bem como os valores do ndice de Preos ao Consumidor, tambm para o Rio de Janeiro e

para o ms de dezembro, calculados pela Fundao Getlio Vargas. Determinar a srie de salrios

mnimos reais (ou a preos constantes), comparando-o com o de 1975.

Ano 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982

S.M. 532,80 768,00 1106,40 1560,00 2932,80 5788,80 11098,00 23568,00ndice 55,4 80,2 114,8 158,6 279,1 520,1 1043,3 2105,5


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7.RESPOSTAS DOS EXERCCIOS(01)(01.1)Discreta, r = 1, p = 1 (01.2)Contnua, r = 1, p = 1 (01.3)Discreta e multivariada, r = 2,

p = 1

(01.4)Discreta e multidimensional, r = 1, p = 2 t (ms, municpio)

(01.5)Contnua, multivariada e multidimensional r = 3, p = 3 (dia, latitude e longitude)

(02) (02.1)

74737271696867666564 700

200000

400000

600000

800000

(02.2)A srie no apresenta uma tendncia linear, pois a primeira diferena no estacionria.

Pelo grfico pode-se perceber que a tendncia da srie exponencial.

(03)(03.1)Sim

(03.2)

Ano 1970 1971 1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980

PIB - 20 6 23 -4 2 39 76 156 99 28

-4

46

96

146

196

71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

Pelo diagrama pode-se ver que a srie no estacionria.(03.3)

Ano 1970 1971 1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980

PIB 2,7080 3,5553 3,7136 4,1589 4,0943 4,1271 4,6151 5,1761 5,8081 6,0684 6,1312


25/27




0

2

4

6

8

70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

Pelo diagrama pode-se ver que a srie apresenta uma leve tendncia linear crescente.

(03.4)

Ano 1970 1971 1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980

PIB - 0,8473 0,1582 0,4453 -0,0645 0,0328 0,4880 0,5610 0,6320 0,2603 0,0628

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

Srie aparentemente estacionria.

(04)(04.1)Tt= 23 66 0 31, , te

(04.2)Para 75 a estimativa 976316 e para 76 a estimativa 1331133

1 3 5 7 9 11

Yt

.23663.76 e.0.31 t

t

(05.1)Tt= 13 40 0 33, , te

(05.2)Para 81 a estimativa 703 e para 82 a estimativa 978.

1 3 5 7 9 11

Yt

.13.40 e.0.33 t

t


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(06)

Jan. Fev. Mar. Abr. Maio Jun. Jul. Ago. Set. Out. Nov. Dez. Total

Totais 3208 2974 2899 2528 2462 2321 2392 2592 2805 3105 3316 3533 34135

MdiasMensais

401 371,75

362,38

316 307,75

290,12

299 324 350,62

388,12

414,5 441,62

355,57

ndices 0,8867

0,9664

0,9812

1,1252

1,1554

1,2256

1,1892

1,0974

1,0141

0,9161

0,8578

0,8051

(07)

Ano 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982

ndice 100,0 144,8 207,6 286,3 503,8 938,8 1883,2 3800,5SM real 532,80 530,39 533,98 544,88 582,14 616,62 633,39 620,13


27/27



8.REFERNCIAS

[BUS86] BUSSAB, Wilton O, MORETTIN, Pedro A. Estatstica Bsica. 3. ed. So Paulo, Atual,1986.

[DOW89] DOWNING, Douglas, CLARK, Jeff. Statistics The Easy Way. Hauppauge (New York):

Barrons Educational Series, Inc, 1989.

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Behavioral Sciences. Boston: Houghton Mifflin Co., 1988.

[HOF80] HOFFMAN, Rodolfo. Estatstica para Economistas. So Paulo. Livraria Pioneira Editora,

1980.

[MAS90] MASON, Robert D., DOUGLAS, Lind A. Statistical Techniques in Business And

Economics. IRWIN, Boston, 1990.

[MOR86] MORETTIN, Pedro A., TOLOI, Cllia M. Sries Temporais. Coleo Mtodos

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[RES93] Research & Education Association. The Statistics Problem Solver.Piscataway (New Jersey):

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[WON81] WONNACOTT, Thomas, H., WONNACOTT, Ronald J. Estatstica Aplicada Economia

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[WON85] WONNACOTT, Ronald J., WONNACOTT, Thomas. Fundamentos de Estatstica. Rio deJaneiro. Livros Tcnicos e Cientficos Editora S. A., 1985.

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