Aula Zero - Álgebra Linear
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Matrizes eSistemasLineares
Aula Zero - Algebra Linear
Professor: Juliano de Bem Francisco
Departamento de MatematicaUniversidade Federal de Santa Catarina
agosto de 2011
Matrizes eSistemasLineares
Outline
Matrizes
Sistemas Lineares
Matrizes eSistemasLineares
Capıtulo 1Matrizes
Capıtulo 2SistemasLineares
Part I
Capıtulo 1 - Matrizes
Matrizes eSistemasLineares
Capıtulo 1Matrizes
Capıtulo 2SistemasLineares
Definicao:
Consideremos o conjunto de 5 alunos que fizeram 4 avaliacoes.Para representar esses dados de maneira organizada, podemosfazer uso de uma tabela:
Ana 4,5 6,2 7,0 5,5
Beatriz 7,2 6,8 8,0 10,0
Carlos 8,0 7,5 5,9 7,2
Daniela 9,2 8,5 7,0 8,0
Edson 6,8 7,2 6,8 7,5
O tratamento por linhas, por colunas, por elementos fazemdesses objetos matematicos instrumentos valiosos naorganizacao e manipulacao de dados.
Matrizes eSistemasLineares
Capıtulo 1Matrizes
Capıtulo 2SistemasLineares
Definicao:
Uma matriz e um arranjo de numeros, sımbolos, letras, etc,dispostos em linhas e colunas.
Se uma matriz possui m linhas e n colunas diremos que amatriz tem ordem m × n.
Exemplos:
A =
0 −2 1 43 −1 0 02 5 −1 2
B =
(2 −1√3 5
)
A matriz A e de ordem 3× 4 e a matriz B e de ordem 2× 2.
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Capıtulo 1Matrizes
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Definicao:
Uma matriz A de ordem m × n e representada por:
A =
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n...
.... . .
...am1 am2 · · · amn
m×n
Abreviadamente podemos escrever, A = [aij ]m×n, com1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n e i , j ∈ N.
Na matriz A do exemplo anterior tem-se que a14 = 4 ea22 = −1.
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Tipos de Matrizes
Matriz Nula e aquela em que todos os seus elementos saonulos.
Exemplo:
O =
(0 0 00 0 0
)O =
(0 00 0
)
Matriz Linha e aquela que possui uma unica linha (m = 1).
Exemplo:A =
(2−1 1 3
√2)
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Tipos de Matrizes
Matriz Coluna e aquela que possui apenas uma coluna(n = 1).
Exemplos:
A =
10−1
B =
(5−4
)
Um vetor no plano ou no espaco pode ser considerado comouma matriz coluna. Usaremos essa forma ao representar asolucao de um sistema de equacoes.
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Tipos de Matrizes
Matriz Quadrada e aquela cujo numero de linhas e igual aonumero de colunas (m = n).
Exemplo:
A =
2 1 00 −1 −2
2 π√
3
Matriz Identidade e uma matriz quadrada cujos elementosaij = 0 se i 6= j e aij = 1 se i = j .
Exemplo:
A =
1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1
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Tipos de Matrizes
Matriz Triangular Superior e uma matriz quadrada de ordemn cujos elementos aij sao nulos quando i > j , isto e:
A =
a11 a12 · · · a1n
0 a22 · · · a2n...
.... . .
...0 0 · · · ann
Matriz Triangular Inferior e uma matriz quadrada de ordemn cujos elementos aij sao nulos quando i < j , isto e:
A =
a11 0 · · · 0a21 a22 · · · 0
......
. . ....
an1 an2 · · · ann
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Tipos de Matrizes
Matriz Simetrica e uma matriz quadrada de ordem n, em queaij = aji , ∀ 1 ≤ i , j ≤ n.
Exemplo:
A =
4 3 −13 2 0−1 0 5
Matriz Anti-Simetrica e uma matriz quadrada de ordem n,em que aij = −aji , ∀ 1 ≤ i , j ≤ n.
Exemplo:
A =
0 3 0
√2
−3 0 −1 10 1 0 −2
−√
2 −1 2 0
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Tipos de Matrizes
Matriz Elementar Uma matriz e denominada elementar se forobtida por meio de uma unica mudanca na matriz identidade.Essa mudanca pode ser de um dos seguintes tipos:
1) A troca de uma linha (ou coluna) por outra linha (oucoluna);
2) A multiplicacao de uma linha (ou coluna) por um valorα ∈ R;
3) A soma de uma linha (ou coluna), multiplicada pelo valorα ∈ R, com outra linha (ou coluna).
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Tipos de Matrizes
Exemplos:
a) A matriz elementar de ordem 2 obtida ao trocarmos a linha1 pela linha 2 da matriz identidade de ordem 2 e dada por:
E1 =
(0 11 0
)
b) A matriz elementar de ordem 3 obtida ao multiplicar a linha3 por -3 e somar com a linha 2 da matriz identidade (de ordem3) e dada por:
E2 =
1 0 00 1 00 1 −3
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Igualdade de Matrizes
Definicao
Duas matrizes A = [aij ]m×n e B = [bij ]m×n sao iguais quandoaij = bij , ∀ i , j .
Exemplo:
A =
(9 1 log 12 22 5
)e B =
(9 sen (π/2) 02 4 5
)sao iguais.
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Operacoes com Matrizes - Adicao
Definicao
Sejam A = [aij ]m×n e B = [bij ]m×n, a matriz A somada com a matrizB, resulta numa matriz C = [cij ]m×n, cujos elementos sao:cij = aij + bij , ∀ i , j . Denotamos por: C = A + B = [aij + bij ]m×n.
Exemplo:
1 −14 02 5
+
0 4−2 51 0
=
1 32 53 5
.
Propriedades:
(a) Comutatividade: A + B = B + A.
(b) Associatividade: (A + B) + C = A + (B + C ).
(c) Elemento Neutro da Adicao: A + 0 = 0 + A = A, onde0 denota a matriz nula.
(d) Elemento Simetrico: A + (−A) = 0.
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Produto de uma matriz por um escalar
Definicao
Seja k um numero qualquer. Para multiplicar k por uma matrizA de ordem m × n, basta multiplicar cada entrada aij de A pork. Assim, a matriz resultante B sera tambem m × n e seuselementos serao bij = k aij .
Exemplo: −2
2 10 11 −3 00 −2 3
=
−4 −20 −2−2 6 00 4 −6
.
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Produto de uma matriz por um escalar
Propriedades:
(a) Associativa: k1(k2A) = (k1k2)A.
(b) Distributiva a direita em relacao as matrizes:k(A + B) = kA + kB.
(c) Distributiva a esquerda em relacao aos escalares:(k1 + k2)A = k1A + k2B.
(d) Elemento Neutro: 1.A = A.
(e) 0.A = 0.
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Matriz transposta
Definicao
Dada uma matriz A = [aij ]m× n, podemos obter uma outramatriz A′ = [bij ]n×m, cujas linhas sao as colunas de A, isto e,bij = aji . A′ e denominada a transposta de A.
Exemplo: Seja A =
(3 −2 51 7 0
).
A transposta de A e a matriz A′ =
3 1−2 75 0
.
Propriedades:
(a) (A′)′ = A.
(b) (A + B)′ = A′ + B ′.
(c) A e simetrica se, e somente se, A = A′.
(d) (kA)′ = kA′, k e um escalar qualquer.
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Produto de Matrizes
Definicao
Sejam, A = [aij ]m×n e B = [brs ]n×p, entao, seu produto A.B ea matriz m × p dada por: C = [cuv ]m×p. Os elementos da
matriz produto cuv sao dados por: cuv =n∑
k=1
auk bkv .
Propriedades:
(a) AI = IA = A, onde I e a matriz identidade.
(b) Associativa: (AB)C = A(BC ).
(c) Distributiva: A(B + C ) = AB + AC .
(d) (A + B)C = AC + BC .
(e) k(AB) = (kA)B = A(kB).
(f) (AB)′ = B ′ A′.
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Traco de uma Matriz
Dada A = [aij ]n, o traco de A, denotado por Tr (A), e o numerodado pela soma dos elementos da diagonal principal. Isto e:
Tr (A) =n∑
i=1
aii .
Propriedades:
(a) Tr (A + B) = Tr (A) + Tr (B);
(b) Tr (αA) = αTr (A);
(c) Tr (A′) = Tr (A);
(d) Tr (AB) = Tr (BA).
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Determinantes
Cofator de uma Matriz: O cofator Aij do elemento naposicao (i , j) de uma matriz A e dado pelo valor dodeterminante Mij , vezes o valor (−1)i+j . Isto e:
Aij = (−1)i+j det(Mij)
onde Mij e a matriz obtida eliminando a i-esima linha e aj-esima coluna da matriz A.
Definicao
Seja A uma matriz de ordem n, o calculo do determinante damatriz referido a linha k e dado por:
|A| = ak1Ak1 + ak2Ak2 + ...+ aknAkn.
Similarmente e possıvel fazer o desenvolvimento por colunas.
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Propriedades do Determinante
Considere A e B matrizes quadradas. Entao, valem aspropriedades dos determinantes.
Propriedades:
(a) Se A possui uma linha (ou colunas) de zeros,entao, det (A) = 0;
(b) Se A possui duas linhas (ou colunas) iguais,entao, det (A) = 0;
(c) Se B e obtida de A multiplicando-se uma linha(ou coluna) por um escalar α, entao,det (B) = α det (A);
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Propriedades do Determinante
Propriedades:
(d) Se B e obtida por troca das posicoes relativas deduas linhas (ou colunas) da matriz A, entao,det (B) = −det(A);
(e) Se B e obtida de A, substituindo-se a linha i (oucoluna) por ela somada a um multiplo escalar deoutra linha j (ou coluna) (j 6= i) entao,det (B) = det (A);
(f) det (A) = det (A′);
(g) det (AB) = det (A) det(B).
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Matriz Adjunta
Dada A = [aij ]n, a matriz adjunta de A e dada por
Adj (A) = (Cof (A))′,
onde Cof (A) e a matriz cujos elementos sao os cofatores Aij
da matriz A, ou seja, e a matriz onde cada elemento aij e igualao cofator Aij da matriz A.
Teorema
Se A e uma matriz de ordem n,
Adj (A) · A = A · Adj (A) = det (A) · In.
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Matriz inversa
Definicao
Uma matriz e dita singular se o seu determinante e nulo. Casocontrario, dizemos que a matriz e nao singular.
Definicao
Dada uma matriz A, quadrada, de ordem n, se existir umamatriz A−1, de mesma ordem, tal que A.A−1 = A−1.A = In,entao dizemos que A e inversıvel e que A−1 e matriz inversade A.
Propriedades:
Se A e inversıvel, entao, A e nao singular.
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Matriz inversa
Se det (A) 6= 0 entao
A−1 =adj (A)
det (A)·
Propriedades:
Se A e B sao inversıveis, entao:
(a) (AB)−1 = B−1A−1.
(b) (A−1)−1 = A.
(c) (A′)−1 = (A−1)′.
(d) det (A−1) =1
det (A)·
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Operacoes Elementares
Operacoes elementares sao realizadas na matriz com o objetivode inverte-la, reduzi-la ou simplesmente coloca-la num formatoespecificado previamente. Elas podem ser de tres tipos:
1) A troca de uma linha (ou coluna) por outra linha (oucoluna);
2) A multiplicacao de uma linha (ou coluna) por um valorα ∈ R, com α 6= 0;
3) A soma de uma linha (ou coluna) multiplicada pelo valorα ∈ R (α 6= 0) numa outra linha (ou coluna).
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Forma Escada de uma Matriz
Dizemos que uma matriz A = (aij)m×n esta na sua formaescada quando:
a) se o primeiro elemento nao nulo da linha i ocorre na colunaki , entao aij = 0 para todo i > ki . Em outras palavras, oselementos da coluna ki que estao abaixo do primeiro elementonao nulo da linha i sao todos iguais a zero;
b) Toda linha nula ocorre abaixo de todas as linhas nao nulas;
c) Se as linhas 1, ..., r sao linhas nao nulas, e se o primeiroelemento nao nulo da linha i ocorre na coluna ki , entao,k1 < k2 < ... < kr .
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Forma Escada de uma Matriz
Exemplos:
A1 =
(0 1 00 0 0
)
A2 =
0 1 5 0 30 0 0 1 20 0 0 0 0
A3 =
1 −1 00 1 00 0 1
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Part II
Capıtulo 2 - Sistemas Lineares
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Sistemas de Equacoes Lineares
Definicao
Um sistema da formaa11x1 + a12x2 + . . .+ a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + . . .+ a2nxn = b2
...
am1x1 + am2x2 + . . .+ amnxn = bm
(1)
e chamado de sistema de equacoes lineares de ordem m × n.
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Forma Matricial de um Sistema Linear
O sistema de equacoes (1) pode ser escrito na forma matricial:a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
......
......
am1 am2 · · · amn
x1
x2
...xn
=
b1
b2
...bm
,
ou ainda,AX = B, (2)
com
X =
x1
x2
...xn
, A =
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
......
......
am1 am2 · · · amn
e B =
b1
b2
...bm
.
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Exemplo
Exemplos:
x1 + 2x2 = 1
2x1 + x2 = 0
x1 − x2 = −1
Forma matricial:
X =
[x1
x2
], A =
1 22 11 −1
e B =
10−1
.
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Interpretacao Geometrica
Considere o seguinte sistema:{a11x + a12y = b1
a21x + a22y = b2
Geometricamente temos as seguintes possibilidades:
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Combinacao Linear de Vetores
O sistema: {x + 2y = 5
3x + y = 5
pode ser escrito da forma
x
(13
)+ y
(21
)=
(55
)
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Posto e Nulidade de uma Matriz
Definicao
Dada uma matriz A de ordem m × n, o posto da matriz, p(A),e dado pela ordem da maior submatriz nao singular da matrizdada.
Exemplo:
A =
1 22 41 2
3×2
, temos que p(A) = 1
Definicao
Dada uma matriz A de ordem m × n, a nulidade da matriz,nul(A), e dada pela diferenca entre o numero de colunas e oseu posto (nul(A) = n − p(A)).
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Posto e Nulidade de uma Matriz
Definicao
As linhas linearmente independentes (L.I.) de uma matriz Asao as linhas nao nulas de sua forma escada.
Exemplo: Seja A tal que sua forma escada e
A =
1 ∗ ∗ ∗ ∗0 0 2 ∗ ∗0 0 0 0 −10 0 0 0 0
4×5
numeros de linhas L.I. de A??
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Propriedades:
(a) Se A e m × n, entao p(A) = (num. de linhas L.I.)
(b) p(A) ≤ min{m, n}
Conclusao: Achar p(A) basta achar o posto de sua formaescada!
Assim, se A e tal que sua forma escada e
A =
1 ∗ ∗ ∗ ∗0 0 −3 ∗ ∗0 0 0 0 20 0 0 0 0
Entao, posto de A e 3 e sua nulidade e 2.
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Mais exemplos:
A =
2 ∗ ∗ ∗ ∗0 0 0 3 ∗0 0 0 0 00 0 0 0 0
4×5
p(A) =?? nul(A) = ??
A =
2 ∗ ∗ ∗ ∗0 0 3 ∗ ∗0 0 0 1 10 0 0 0 −2
4×5
p(A) =?? nul(A) = ??
Exercıcio
Encontre o posto e nulidade de A =
1 2 −1 02 −1 1 11 −3 2 10 −5 3 1
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Matrizes Equivalentes e Sistemas Equivalentes
Definicao
Duas matrizes A e A sao ditas matrizes equivalentes se umadelas e obtida ao fazermos operacoes elementares na outra.
Exemplo:
A =
1 2 1 40 0 2 1−1 −2 −1 −4
e equivalente a
A =
1 2 1 40 0 1 1/20 0 0 0
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Propriedade. Matrizes equivalentes possuem o mesmo posto.
Definicao
Dado um sistema AX = B, com A m × n, definimos a matrizaumentada/ampliada do sistema por Au = [A : B] (de ordemm × (n + 1))
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Definicao
Dois sistemas, AX = B e AX = B, sao ditos equivalentes se asmatrizes aumentadas dos mesmos, Au = [A : B] eAu = [A : B], sao matrizes equivalentes.
Exemplo: Os sistemasx + 2y + z − t = 1
2z − 2t = 2
−x − 2y − z + 2t = −1
e
x + 2y + z − t = 1
z − t = 1
t = 0
sao equivalentes.
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Propriedades:
Sistemas equivalentes possuem o mesmo conjunto solucao.
Ideia para resolver sistemas lineares: Aplicar operacoeselementares em [A : B] e obter [A : B] na forma escada, eentao resolver AX = B (mais simples)
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Caracterizacao dos Sistemas Lineares
Seja o sistema linear de m equacoes com n incognitas
da forma: AX = B. O sistema linear pode ser:
a) Possıvel, se possui solucao. Neste caso, p(Au) = p(A).
Determinado: quando a solucao e unica. Neste caso,p(A) = n;
Indeterminado: quando ha infinitas solucoes. Neste caso,p(A) < n.
b) Impossıvel, se nao possui solucao (p(Au) > p(A)).
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Exemplo:Considere o sistema AX = B onde
A =
1 ∗ ∗ ∗ ∗0 0 1 ∗ ∗0 0 0 0 10 0 0 0 0
4×5
, B =
∗∗∗z
4×1
Qual valor de z para que o sistema seja possıvel? eimpossıvel? Pode ser determinado?
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Graus de Liberdade
Definicao
Considere um sistema indeterminado AX = B, com A m × n.O numero de graus de liberdade do sistema eg = n − p(A) > 0 (que e o numero de variaveis livres).
Exemplo:
A =
1 2 −1 3 00 0 1 2 −10 0 0 0 10 0 0 0 0
,B =
−1010
e X =
x1
x2
x3
x4
x5
entao, g =?? e as variaveis livres sao ??
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Metodo de Gauss
O Metodo de Gauss para sistemas lineares: escolhervariaveis livres e, a partir delas, encontramos as outras variaveisusando o sistema equivalente na forma escada.
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Exemplo
Encontre o grau de liberdade, as variaveis livres e oconjunto de solucoes para o sistema, indicando o posto e anulidade da matriz do sistema :
x + 2y − 3z − 2s + 4t = 1
2x + 5y − 8z − s + 6t = 4
x + 4y − 7z + 5s + 2t = 8
Escreva as solucoes como combinacao linear de vetores.
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Sistemas Homogeneos
Definicao
Quando B = 0 dizemos que o sistema e homogeneo. Nestecaso, AX = 0.Notacao: SLh.
Observacao
Ao aplicar operacoes elementares no sistema aumentado [A : 0]a ultima coluna vai ser sempre 0, ou seja, teremos [A : 0].
Propriedades:
Em um sistema AX = B, a solucao geral e X = Xp + Xh, ondeXp e uma solucao particular do sistema e Xh e a solucao geraldo sistema homogeneo Ax = 0.
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Exemplo
Encontre o conjunto de solucoes para o sistema homogeneo:x + 2y − 3z − 2s + 4t = 0
2x + 5y − 8z − s + 6t = 0
x + 4y − 7z + 5s + 2t = 0