Apostila de Conjuntos (6 páginas, 36 questões)

1 . CONCEITO É qualquer coleção de objetos, pessoas,

números, etc.

Exemplos: Uma sala de aula é um conjunto de alunos;

Um bairro é um conjunto de casas;

O universo é um conjunto de estrelas, pla-

netas, etc.

2 . ELEMENTOS DE UM CONJUNTO São objetos que formam esse conjunto.

3 . REPRESENTAÇÃO DE CONJUNTOS Os conjuntos são representados por

letras maiúsculas e quando os elementos são

letras, essas são letras minúsculas.

3.1 Por chaves:

Exemplos: 1ª) Conjunto A dos dias da semana:

A = {domingo, segunda, terça, quarta, quinta,

sexta, Sábado}.

2ª) Conjunto B dos números pares:

B = {0, 2, 4, 6, ...}

Observação: o conjunto A é finito (tem nº

limitado de elementos) e o conjunto B é infini-

to (tem nº ilimitado de elementos).

3.2 Por diagrama (Venn):

Exemplo: Conjunto C das vogais:

C

a

e

io

u

Observação: não se repre-

senta conjuntos

infinitos em dia-

gramas.

3.3 Por propriedade:

Exemplos:

1ª) A = {x/ x é vogal}

2ª) B = {x/ x é um número natural menor que 6}

4 . SÍMBOLO DE PERTINÊNCIA Entre elementos e conjunto utiliza-se os

símbolos (pertence) ou (não pertence).

Exemplo: Seja A = {1, 3, 5, 6}, segue que,

1 A, 2 A, 3 A, 4 A, 5 A, 6 A.

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

1) Escreva o conjunto expresso pela proprie-

dade:

a) A = {x/ x é um número natural menor do

que 8}

b) B = {x / x é ímpar}

c) C = {x/ x é um número múltiplo de 5 e me-

nor do que 31}

d) D = {x/ x é letra da palavra “conjunto”}

5 . IGUALDADE DE CONJUNTOS Dois conjuntos são iguais quando pos-

suem os mesmos elementos.

Exemplo: Conjunto A das letras da palavra arte.

A = {a, r, t, e}

Conjunto B das letras da palavra reta.

B = {r, e, t, a}

Logo A = B.

6 . CONJUNTO UNITÁRIO É o conjunto que possui um único ele-

mento.

Exemplo:

A = {x/ x é dia da semana que começa com a

letra D}

A = {domingo}

7 . CONJUNTO VAZIO É o conjunto que não possui elementos.

O conjunto vazio é representado por { } ou .

Exemplo:

B = {x/ x é mês do ano com 25 dias}

B =

Observação: é diferente de { }, pois { }

é um conjunto unitário que tem como único

elemento o conjunto vazio.


2) Classifique o conjunto como unitário ou

vazio:

a) A = {x / x é um número natural menor do

que 1}

b) B = {x / x é maior do que 10 e menor

do que 11}

c) C = {x/ x é número par maior do que 3 e

menor do que 5}

d) D = {x/ x é número primo maior do que 7

e menor do que 11}

e) E = {x / x + 7 = 4}

f) F = {x / x < 0}

g) G = {x / 5x = 60}

h) H = {x/ x é uma figura plana de três lados}

8 . SUBCONJUNTOS Quando todos os elementos de um con-

junto A qualquer pertencem a um outro con-

junto B, diz-se, então, que A é um subcon-

PROF. GILBERTO SANTOS JR

CONJUNTOS

E. E. E. F. M. MIN.

ALCIDES CARNEIRO

Turma:

Aluno:

2

2

5

9

6

1

A

8

4

7

3

junto de B ou A está “dentro” de B ou A está

contido em B, simbolicamente A B.

E ainda, por A está “dentro” de B, B

contém A, simbolicamente B A.

Observações:

Todo conjunto de A é subconjunto dele pró-

prio, ou seja, A A;

O conjunto vazio, por convenção, é subcon-

junto de qualquer conjunto, ou seja, A.

Exemplos:

1ª) A = {1, 3, 7} é subconjunto de B = {1, 2,

3, 4, 5, 6, 7, 8}, pois cada elemento que per-

tence a A também pertence a B, A B.

2ª) Consideramos P o conjunto dos números

naturais pares e o conjunto dos números

naturais, temos:

P = {0, 2, 4, 6, 8, 10, ...} e

= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ...}

Neste caso P , pois todos os ele-

mentos de P pertencem a .


3) Dados os conjuntos A = {1, 2}, B = {1, 2,

3, 4, 5}, C = {3, 4, 5} e D = {0, 1, 2, 3, 4,

5}, classifique como verdadeiro(V) ou falso(F):

a) A B

e) C A i) A

b) C A

f) A D j) D A

c) B D

g) B C l) B

d) D B h) B B m) C D

4) Considerando que:

A é o conjunto dos números naturais ímpa-

res menores do que 10;

B é o conjunto dos dez primeiros números

naturais;

C é o conjunto dos números primos meno-

res do que 9; use os símbolos ou e re-

lacione esses conjuntos na ordem dada:

a) A ..... B b) C ..... A c) C ..... B d) A ..... C

9 . UNIÃO DE CONJUNTOS Dado os conjunto A e B, define-se como união dos conjuntos A e B ao conjunto represen-

tado por A B, formado por todos os elementos pertencentes a A ou B. Simbolicamente,

A B = {x/ x A e x B}

Exemplo: Sejam os conjuntos A = {1, 2, 3, 4} e

B = {3, 4, 5, 6}, A B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Em diagramas,

1 53

A B

2 64


5) Sendo A = {0, 1, 2, 3}, B = {0, 2, 3, 5}, C

= {x/ x é número par menor que 10} e

D = {x/ x é número ímpar compreendido entre

4 e 10}, determine:

a) A B =

b) A C =

c) B C =

d) C D =

e) (A B) C =

6) Considere os diagramas a seguir:

Determine:

a) A B =

b) A C =

c) B C =

d) A B C =

10 . INTERSECÇÃO DE CONJUNTOS Dados os conjuntos A e B, define-se

como intersecção dos conjuntos A e B ao con-

junto representado por A B, formado por

elementos pertencentes a A e B, ao mesmo

tempo, isto é, elementos comuns, que se repe-

tem em A e B. Simbolicamente,

A B = {x/ x A e x B}

Observação: Quando A B = , os conjun-

tos A e B são chamados disjuntos.


B = {3, 4, 5, 6}, A B = {3, 4}.

Em diagramas,

1 53

A B

2 64


7) Sendo A = {0, 1, 2, 3, 4}, B = {0, 1, 2},

C = {x/ x é par menor que 10} e D = {x/ x é

ímpar compreendido entre 0 e 6}, determine:

a) A B =

b) A C =

c) B C =

d) (A B) C =

e) (A C) D =

3

3

5

2

6

1

X

4

7

8) Dados os conjuntos A = {x/ x é natural

ímpar menor que 10}, B = {x/ x é par entre 3

e 11} e C = {x/ x é natural menor do que 5},

determine:

a) A B =

b) A C =

c) A C =

d) A B =

e) (A B) C =

f) (A C) B =

9) Considere os diagramas:

Determine:

a) X Y =

b) X Z =

c) Y Z =

d) X Y Z =

EXERCÍCIO DE VESTIBULAR

10)(UEPA-2009) A Teoria dos Conjuntos nos

ajuda a interpretar situações como o comparti-

lhamento de arquivos de música entre apare-

lhos móveis. Os arquivos do FolkMusic, um

software de aparelhos

móveis, representam

conjuntos e as músicas

são elementos desses

conjuntos. O diagrama

abaixo representa uma

situação de comparti-

lhamento de músicas

entre arquivos do

FolkMusic. Com base

no diagrama, é correto afirmar que:

(a) O arquivo A, o arquivo B e o arquivo C

possuem músicas em comum.

(b) O arquivo A, o arquivo B, o arquivo C e o

arquivo D possuem músicas em comum.

(c) O arquivo B e o arquivo D possuem músi-

cas em comum.

(d) O arquivo C só possui músicas em comum

com o arquivo B.

(e) O arquivo C só possui músicas em comum

com o arquivo A.

11 . DIFERENÇA DE CONJUNTOS Dados os conjuntos A e B, define-se

como diferença entre A e B (nesta ordem) ao

conjunto representado por A - B, formado por

todos os elementos pertencentes a A, mas que

não pertencem a B. Ou seja, A – B é um con-

junto formado por elementos que pertencem

somente a A. Simbolicamente,

A – B = {x/ x A e x B}


B = {3, 4, 5, 6}, A - B = {1, 2}.

Em diagramas,

1 53

A B

2 64


11) Dados A = {0, 1, 2, 3,}, B = {1, 2, 3} e

C = {2, 3, 4, 5}, determine:

a) A – B =

b) A – C =

c) B – C =

d) (A B) – C =

e) (A – C) (B – C) =

f) A - =

12) Dados os conjuntos A = {a, b, c, d, e, f, g},

B = {b, d, g, h, i} e C = {e, f, m, n}, determine:

a) A – B =

b) A – C =

c) B – C =

d) B – A =

13) Considere os diagramas:

9

7

84

E F

5

13

Escreva os seguintes conjuntos:

a) E =

b) F =

c) E F =

d) E F =

e) E – F =

f) F – E =

EXERCÍCIO DE VESTIBULAR

14)(UFPI) Considerando os conjuntos A, B

e C na figura ao lado, a região hachurada

representa:

(a) B – (A – C)

(b) B (A – C)

(c) B (A C)

(d) B (A C)

(e) B – (A C)

4

12 . PROBLEMAS QUE ENVOLVEM CONJUNTOS

15) Numa escola de 630 alunos, 350 deles

estudam inglês, 210 estudam espanhol e 90

deles estudam as duas matérias (inglês e es-

panhol). Pergunta-se:

a) Quantos alunos estudam somente inglês?

b) Quantos alunos estudam somente espanhol?

c) Quantos alunos estudam inglês ou espanhol?

d) Quantos alunos estudam inglês e espanhol?

e) Quantos alunos não estudam nenhuma das

duas matérias?

16) Numa pesquisa sobre preferência em re-

lação a dois jornais, foram consultadas 470

pessoas e o resultado foi o seguinte: 250 lêem

o jornal A, 180 lêem o jornal B e 60 lêem os

jornais A e B. Pergunta-se:

a) Quantas pessoas lêem apenas o jornal A?

b) Quantas pessoas lêem apenas o jornal B?

c) Quantas pessoas lêem jornais?

d) Quantas pessoas não lêem jornais?

17) Uma prova com duas questões foi dada a

uma classe de 40 alunos. Dez alunos acerta-

ram as duas questões, 25 acertaram a primei-

ra questão e 20 acertaram a segunda questão.

Quantos alunos erraram as duas questões?

18) Na porta de um ginásio esportivo foi feita

uma pesquisa com 100 pessoas, sobre o gosto

de dois esportes. As respostas foram: 60 pes-

soas gostam de vôlei, 50 pessoas gostam de

basquete e 20 gostam de vôlei e basquete.

Faça o que se pede:

a) O esboço em diagramas.

b) Quantas pessoas gostam somente de vôlei?

c) Quantas pessoas gostam somente de bas-

quete?

d) Quantas pessoas gostam de vôlei e bas-

quete?

e) Quantas pessoas gostam de vôlei ou bas-

quete?

f) Quantas pessoas responderam que não gos-

tam desses esportes?

19) Um professor de Português sugeriu em

uma classe a leitura dos livros Helena, de Ma-

chado de Assis, e Iracema de José de Alencar.

Vinte alunos leram Helena, 15 leram só Ira-

cema, 10 leram os dois livros e 15 não leram

nenhum deles.

a) Quantos alunos leram Iracema?

b) Quantos alunos leram só Helena?

c) Qual o número de alunos dessa classe?

20) Numa pesquisa feita com 1000 famílias

para se verificar a audiência dos programas de

televisão, os seguintes resultados foram en-

contrados: 510 famílias assistem ao programa

A, 305 assistem ao programa B e 386 assis-

tem ao programa C, sabe-se ainda que 180

famílias assistem aos programas A e B, 60

assistem aos programas B e C, 25 assistem a

A e C, e 10 famílias assistem aos três progra-

mas.

a) Quantas famílias assistem somente ao pro-

grama A?

b) Quantas famílias não assistem a nenhum

desses programas?

c) Quantas famílias não assistem nem ao pro-

grama A nem ao programa B?

21) Na porta de um supermercado foi realiza-

da uma enquete, com 100 pessoas, sobre três

produtos. As respostas foram: 10 pessoas

compram somente produto A, 30 pessoas

compram somente produto B, 15 compram

somente produto C, 8 pessoas compram A e

B, 5 compram A e C, 6 compram B e C, e 4

compram os três produtos.

a) Quantas pessoas compram pelo menos um

dos três produtos?

b) Quantas pessoas não compram nenhum

desses três produtos?

c) Quantas pessoas compram os produtos A e

B e não compram C?

d) Quantas pessoas compram o produto A?

e) Quantas pessoas compram o produto B?

f) Quantas pessoas compram os produtos A ou B?

22) Em uma pesquisa realizada com 50 pes-

soas para saber que esporte elas apreciavam

entre futebol, basquete e vôlei, o resultado foi

o seguinte: 23 gostam de futebol, 18 de bas-

quete e 14 de vôlei; 10 gostam de futebol e

basquete; 9 gostam de futebol e vôlei; 8 gos-

tam de basquete e vôlei e 5 gostam das três

modalidades.

a) Quantas pessoas gostam somente de futebol?

b) Quantas pessoas não gostam de nenhum

desses esportes?

c) Quantas gostam só de basquete?

d) Quantas gostam apenas de vôlei?

e) E quantas não gostam nem de basquete

nem de vôlei?

f) Quantas pessoas gostam só de futebol ou só

de basquete ou de ambos?

EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES

23)(PRISE-2006) Uma pesquisa realizada

com 50 famílias sobre o consumo de dois tipos

de peixes, A e B apresentou os seguintes resul-

tados: 25 famílias consomem o peixe A, 15

famílias consomem o peixe B, e 5 famílias

5

consomem os dois tipos de peixes. O número

de famílias que não consomem nenhum tipo de

peixe é:

(a) 5 (b) 10 (c) 15 (d) 35 (e) 45

24)(Unifenas-MG) O tipo sanguíneo de uma

pessoa é classificado segundo a presença, no

sangue, dos antígenos A e B. Podemos ter:

Tipo A: pessoas que têm só o antígeno A.

Tipo B: pessoas que têm só o antígeno B.

Tipo AB: pessoas que têm A e B.

Tipo O: pessoas que não têm A nem B.

Em 55 amostras do sangue, observamos que

20 apresentam o antígeno A, 12 apresentam B

e 7 apresentam ambos os antígenos. O número

de amostras de sangue tipo O é:

(a) 516 (b) 25 (c) 30 (d) 7

25)(UEPA-2007, Modificada) Os carros po-

dem ser adquiridos dentre três alternativas em

termo de combustíveis. Podem ser movidos a

gasolina, a álcool ou aos dois combustí-

veis(flex). Desta forma, foi verificado que no

pátio de uma concessionária de veículos há:

120 automóveis que podem ser movidos a ga-

solina; 112 que podem ser movidos a álcool e

93 que podem ser movidos com os dois com-

bustíveis(flex). O número de carros existente

no pátio dessa concessionária é:

(a) 325 (b) 232 (c) 213 (d) 205 (e) 139

26)(UEPA–2005) "Cabelo e o vestuário são

itens que se destacam no rol de preocupações

das adolescentes que costumam frequentar as

baladas belenenses", é o que aponta a pesquisa

realizada com 650 meninas, na faixa etária

entre 15 e 19 anos. Destas 205 comparecem a

esse tipo de festa se adquirem um traje inédi-

to; 382 se fazem presentes após uma boa es-

cova no cabeleireiro; 102 aparecem nos locais

onde acontecem as baladas com traje inédito e

depois de uma escova no cabeleireiro. Pergun-

ta-se: quantas são as adolescentes consultadas

que não se preocupam em ir ao cabeleireiro

fazer escova, nem em vestir uma roupa inédi-

ta?

(a) 39 (b) 63 (c) 102 (d) 165 (e) 177

27)(UEPA) Um município do interior foi

acometido de um surto de dengue e cólera.

De um grupo de 560 pessoas consultadas

verificou-se que 330 haviam contraído cóle-

ra, 210 contraído dengue e 100 nenhuma

das duas doenças. Quantas pessoas contraí-

ram as duas doenças?

(a) 80 (b) 130 (c) 250 (d) 460 (e) 20

28)(UEPA-2011) Imagine que, após uma

reunião sobre o tema “degradação do meio

ambiente”, da qual participaram 20

empresários do setor supermercadista da

região metropolitana de Belém, todos tenham

tomado suas decisões sobre as ações que

iriam adotar. Se 8 deles decidiram pelo

incentivo ao uso das sacolas retornáveis, 9

decidiram pela adoção da coleta seletiva e 3

disseram que iriam aderir às duas iniciativas

propostas, o número de empresários que

decidiu não adotar nenhuma das iniciativas

foi de:

(a) 1 (b) 3 (c) 6 (d) 11 (e) 13

29)(UEPA-2011) Em uma determinada

cidade, os moradores de 30% das

residências existentes possuem carro, 15%

possuem moto e 8% possuem carro e moto.

Em nenhuma das residências há mais de um

veículo da mesma espécie e em 630

residências não existe nenhum desses

veículos. O consumo médio diário de um

carro nessa cidade é de 4 litros e o de uma

moto, 2 litros. Sabe-se que, para cada litro

de gasolina consumida por um veículo, é

lançado na atmosfera aproximadamente 3kg

de dióxido de carbono (CO2). Em um

determinado dia, nessa cidade, todos os

veículos foram utilizados. A emissão de CO2

na atmosfera, resultante do consumo desses

veículos nesse dia foi de:

(a) 1 500 kg (c) 3 000 kg (e) 6 780 kg

(b) 2 260 kg (d) 4 500 kg

30)(UNAMA-2004/1) Em 2000, quase a

metade dos municípios brasileiros não dispu-

nha de sistema de coleta de esgoto, fato que

favorece a propagação de parasitoses, sendo

mais frequentes as causadas por Ascaris lum-

bricóides (lombriga) e Enterobius vermicula-

res (tuxina). Numa comunidade de 560 habi-

tantes, onde o saneamento básico é precário

e a população não recebe orientações sobre

como se prevenir, constatou-se, após exame

em todos os habitantes, que 308 apresenta-

vam ovos de lombriga; 280 apresentavam

ovos de tuxina e 20% dos habitantes não

apresentavam infestação por estes vermes. O

número de habitantes desta comunidade que

estavam infestados pelos dois vermes é:

(a) 112 (b) 140 (c) 160 (d) 168

31)(PROSEL-2006) A Câmara dos Deputa-

dos reuniu-se extraordinariamente para decidir

sobre a instalação de duas comissões Parla-

mentares de inquéritos CPI: A do FUTEBOL e

a do CAIXA 2. Dos 320 Deputados presentes,

190 votaram a favor da CPI do FUTEBOL;

200 pela instalação da CPI do CAIXA 2; 90

votaram a favor da CPI da duas comissões e X

deputados foram contrários à instalação das

6

CPIs. O número X de deputados que votaram

contra a instalação das CPIs é:

(a) 160 (b) 90 (c) 70 (d) 50 (e) 20

32)(CEFET-PR) Num colégio de segundo

grau com 2000 alunos, foi realizada uma

pesquisa sobre o gosto dos alunos pelas dis-

ciplinas de Física e Matemática. Os resultados

da pesquisa se encontram na tabela a seguir:

Número de alunos

Gostam de Matemática 1000 Gostam de Física 800

Não gostam de Matemática nem de Física

500

O número de alunos que gostam de Mate-

mática e Física simultaneamente é:

(a) 700 (b) 500 (c) 300 (d) 200 (e) 100

EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES

EXTRAS

33)(PRISE-2004) Na tentativa de elevar os

índices de audiência de seus programas, uma

emissora de rádio decidiu realizar uma pesqui-

sa para conhecer a preferência musical dos

moradores de diferentes bairros de Belém.

“PAGODE”, “AXÉ” e “BREGA” foram as opções

musicais mais citadas pelos 1000 entrevista-

dos, conforme indicam os dados tabelados a

seguir:

Quantidade de en-

trevistados Opção Musical

290 Preferem Pagode

375 Preferem Axé

425 Preferem Brega

160 Preferem Pagode e Axé

120 Preferem Pagode e Brega

145 Preferem Axé e Brega

65 Preferem Pagode, Axé e

Brega.

Sem esquecer a existência daqueles que mani-

festaram outras opções musicais, quantos são

aos que não preferem nem “BREGA” e “AXÉ”?

(a) 75 (b) 130 (c) 260

(d) 265 (e) 345

34)(PRISE-2001) Durante o Círio de Nossa

Senhora de Nazaré de 2001, em Belém, con-

sultamos 1500 fiéis acerca dos motivos que os

levaram a acompanhar aquela procissão de fé.

“SAÚDE”, “CASA PRÓPRIA” e “PAZ MUNDIAL”

foram as razões apresentadas por aqueles que

responderam a nossa pergunta. Destes, 860

oravam por SAÙDE; 850 agradeciam a CASA

PRÓPRIA; 800 clamavam pela PAZ MUNDIAL;

350 rogavam por SAÚDE e CASA PRÓPRIA;

400 pediam SAÚDE e PAZ MUNDIAL; 500 que-

riam CASA PRÓPRIA e PAZ MUNDIAL, e 150

rezavam por SAÚDE, CASA PRÓPRIA e pela

PAZ MUNDIAL. Diante destes resultados, quan-

tos fiéis consultados não responderam a nossa

pergunta?

(a) 80 fiéis (b) 90 fiéis (c) 100 fiéis

(d) 110 fiéis (e) 120 fiéis

35)(PSS-2008) Feita uma pesquisa entre

100 alunos, do Ensino Médio, acerca das disc i-

plinas português, geografia e história, consta-

tou-se que 65 gostam de português, 60 gos-

tam de geografia, 50 gostam de história, 35

gostam de português e geografia, 30 gostam

de geografia e história, 20 gostam de história e

português e 10 gostam dessas três disciplinas.

O número de alunos que NÃO gosta de ne-

nhuma dessas disciplinas é:

(A) 0 (B) 5 (C) 10 (D) 15 (E) 20

36)(PSS-2004) Ao final de sua aula, o pro-

fessor realizou uma enquête sobre os acertos

nas três questões anteriores com seus 100

alunos. Pelas respostas recebidas verificou: 44

alunos acertaram a 1ª questão; 26 acertaram

a 2ª questão; 37 acertaram a 3ª questão; 10

acertaram a 1ª e a 2ª; 8 acertaram a 1ª e a

3ª; 9 acertaram a 2ª e a 3ª e 5 acertaram as

três questões. NÃO acertaram nenhuma ques-

tão:

(A) 20 alunos (B) 22 alunos (C) 10 alunos

(D) 12 alunos (E) 15 alunos

“Você constrói a sua vitória.”

“A perseverança alimenta a esperança.”

Gostou da Apostila? Você a en-

contra no Blog:

http://professorgilbertosantos.blogspot.com.br/

Link! Dê uma olhada. Deixe a sua opinião, su-

gestão. É importante para o nosso trabalho.

Um grande abraço!



Apostila de Conjuntos (6 páginas, 36 questões)

Documents

Transcript of Apostila de Conjuntos (6 páginas, 36 questões)