conjuntos 3

Lista 00 2- 2012 Teoria dos conjuntos profº Ziul 1

Curso: SEG. DO TRABALHO / TEC. INFORMÀTICA

Disciplina: Matemática Data: / /

Modalidade: Integrado. Turma: 1° Ano

Turno: matutino

Professor: LUIZ J DA SILVA

Estudante: No

NOÇÕES DE CONJUNTOS

1. PRIMEIROS CONCEITOS

1.1 CONCEITOS PRIMITIVOS

O conceito de CONJUNTO é PRIMITIVO, ou seja,

NÃO DEFINIDO. Um cacho de bananas, um cardume

de peixes ou uma porção de livros, são todos exemplos

de conjuntos de coisas.

Convém notar que, em não se adotando uma

definição matemática de CONJUNTO, recaímos no

caso análogo da GEOMETRIA EUCLIDIANA, no qual,

sem darmos uma definição para PONTO, RETA e

PLANO, estamos interessados em saber o que

podemos e o que não podemos fazer com esses entes

geométricos. O mesmo se dá, portanto, aqui na

TEORIA DOS CONJUNTOS.

1.2 NOTAÇÕES

Quanto à notação dos conjuntos estabelecemos

três formas, entre as usuais, de apresentar um

conjunto.

a) Conjunto determinado pela designação de

seus elementos.

É o caso em que o conjunto é dado pela

enumeração de seus elementos. Indicamo-lo

escrevendo os seus elementos entre chaves e

separando-os, dois a dois, por uma vírgula.

Exemplos:

b) Conjunto determinado pela propriedade de

seus elementos.

Conhecida uma propriedade P que caracterize os

elementos de um conjunto A, este fica bem

determinado.

O termo “propriedade P que caracteriza os

elementos de um conjunto A” significa que dado

um elemento x qualquer temos:

x A, se e somente se, x satisfaz P.

x A, se e somente se, x não satisfaz P.

Exemplos:

c) Conjunto determinado pelo diagrama de Venn-

Euler.

O diagrama de Venn-Euler consiste em

representar o conjunto através de um círculo de tal

forma que seus elementos e somente eles estejam

no círculo.

Se A = {a, e, i, o, u}, então

2. CONJUNTO VAZIO

Seja A um conjunto. Se para todo elemento x, x

A, dizemos que A é um conjunto que não possui

elementos. Chamamo-lo CONJUNTO VAZIO e o

indicamos pela letra do alfabeto norueguês.

e a

o i

u

A = x, x A


3. RELAÇÃO DE PERTINÊNCIA

Para indicar o relacionamento entre elemento e

conjunto.

Exemplos:

4. SUBCONJUNTO OU PARTE RELAÇÃO DE

INCLUSÃO

4.1 DEFINIÇÃO

Sejam A e B dois conjuntos. Se todo elemento de

A é também elemento de B, dizemos que A é um

SUBCONJUNTO ou PARTE de B e indicamos por

A B.

Em símbolos:

Por outro lado, A B significa que A NÃO é um

SUBCONJUNTO (PARTE) de B.

Portanto, A B se, e somente se, existe, pelo

menos, um elemento de A que não é elemento de B.

Em símbolos:

Exemplo:

1. {2, 4} {2, 3, 4}

2. {2, 3, 4} {2, 4}

3. {5, 6} {5, 6}

4.2 RELAÇÃO DE INCLUSÃO

A definição de SUBCONJUNTO nos dá um

relacionamento entre dois conjuntos que recebe o

nome de RELAÇÃO DE INCLUSÃO.

A RELAÇÃO DE PERTINÊNCIA () e a Relação

de Inclusão () são conceitualmente muito diferentes.

Enquanto a INCLUSÃO é REFLEXIVA, a

PERTINÊNCIA já não o é, ou seja, A A é sempre

verdadeira e A A é sempre falsa.

Apesar disso, a INCLUSÃO e a PERTINÊNCIA se

interligam segundo o que se segue:

01. Sendo A = {a, {b}, , {1, 2}}, conclui-se que:

(01) a A

(02) {b} A

(04) {a, b} A

(08) A

(16) {1, 2} A

02. Assinale os itens verdadeiros.

(01) {2} {0, 1, 2}

(02) {1, 2} {0, 1, 2}

(04) {{1}, 2} {0, 1, 2}

(08) {{1}, 2} {0, 2, {1}, {2}}

(16) {{1}, 2} {0, {1,2}}

(32) {0, 1, 2}

EXERCÌCIO DE SALA

a) x A {x} A

b) x A {x} A

A B (x) (x A e x B)

A B (x) (x A x B)


5. IGUALDADE DE CONJUNTOS

Sejam A e B dois conjuntos. Dizemos que A é

IGUAL a B e indicamos por A = B se, e somente se, A

é subconjunto de B e B é também subconjunto de A.

Em símbolos:

Segue da definição que dois conjuntos são iguais

se, e somente se, possuem os mesmos elementos.

Por outro lado, A B significa que A é diferente

de B. Portanto, A B se e somente se, A não é

subconjunto de B ou B não é subconjunto de A.

Em símbolos:

6. CONJUNTO DAS PARTES DE UM CONJUNTO

6.1 DEFINIÇÃO

Dado um conjunto A podemos construir um novo

conjunto formado por todos os subconjuntos (partes) de

A. Esse novo conjunto chama-se CONJUNTO DOS

SUBCONJUNTOS (OU DAS PARTES) DE A e é

indicado por IP (A).

Em símbolos:

Assim sendo,

Exemplos:

1. A = {2, 4, 6}

IP(A) = {,{2}, {4},{6}, {2, 4}, {2, 6}, {4, 6}, A}

2. B = {3, 5}

IP(B) = {, {3}, {5}, B}

6.2 TEOREMA

“Se A tem k elementos, então IP(A) tem 2k

elementos”.

6.3 PROPRIEDADES

Seja um conjunto qualquer. Valem as seguintes

propriedades:

01. Sabendo-se que um conjunto A possui 1024

subconjuntos, quantos elementos possui o

conjunto A?

02. Julgue as proposições:

(01) O cardinal do conjunto {5, {5}, {5, 5}} é 2.

(02) O cardinal do conjunto {x; x = (-1)n e

n N} é 2.

(04) Sendo P(M) = {, {1}, {2}, {1, 2}} então M

= {1, 2, }.

(08) Sendo A = {x Z; -2 x < 3}, o número

de subconjuntos de P(A) é 232

.

(16) Se a e b são números reais quaisquer e

M = {a, b, {a}, {b}, {a, b}} então

n(M) = 5 ou n(M) = 2.

A = B A B e B A

A B A B ou B A

IP(A) = {x | x A}

x IP(A) x A

1. A IP(A)

2. IP(A)

3. Se A tem k elementos, então A possui 2k

subconjuntos.

EXERCÍCIO DE SALA


03. Sendo A = {1, 2, {2, 3}, }. Conclui-se que:

(01) {2} P(A)

(02) P(A)

(04) {2, 3} P(A)

(08) {{2, 3}} P(A)

(16) {} P(A)

(32) {2, 3} P(A)

04. Sobre os conjuntos numéricos, pode-se afirmar :

(01) A soma de dois racionais é sempre um

racional

(02) O produto de dois irracionais é sempre

irracional

(04) A soma de um inteiro com fracionário

nunca pode ser inteiro

(08) Se x N e y Z , então x.y Z

(16) Se x Q e y Q’ , então x.y Q’

(32) O quociente de dois racionais sempre é

racional

(64) -0,212223... é um número racional

05. Dados os conjuntos A = { 1, 2, {2}, 3, {3,4}, {a}}

B = { {2, {a}, 4}

C= {1,2}

D = {{3,4}}

E = {a}

Classificar em verdadeiro ou falso as proposições:

a) {2} є A b) 2 є A

c) {{2}} є A d) {3, 4} є A

e) a A f) {a} є A

g) C є A h) E є A

i) D є A j) B A

k) C A l) D A

m) {E} A n) B C

o) {E} B p) E C

q) Φ A Φ Φ

7. OPERAÇÕES ENTRE CONJUNTOS

7.1 REUNIÃO OU UNIÃO

Dados dois conjuntos A e B, chama-se REUNIÃO

(ou UNIÃO) de A e B, e se indica por A B, ao

conjunto formado pelos elemento de A ou de B. Em

símbolos:

Exemplos:

1. {2, 3} {4, 5, 6} = {2, 3, 4, 5, 6}

2. {2, 3, 4} {3, 4, 5} = {2, 3, 4, 5}

3. {2, 3} {1, 2, 3, 4} = {1, 2, 3, 4}

4. {a, b} = {a, b}

7.2 INTERSECÇÃO

Dados dois conjuntos A e B, chama-se

INTERSECÇÃO de A e B, e se indica por A B, ao

conjunto formado pelos elementos de A e de B.

Em símbolos:

A B = {x | x A ou x B}

A B = {x | x A e x B}

B A

A B


Exemplos:

1. {2, 3, 4} {3, 5} = {3}

2. {1, 2, 3} {2, 3, 4} = {2, 3}

3. {2, 3} {1, 2, 3, 4} = {2, 3}

4. {2, 4} {3, 5, 7} =

7.3 SUBTRAÇÃO

Dados dois conjuntos A e B, chama-se

DIFERENÇA entre A e B, e se indica por A B, ao

conjunto pelos elementos que são de A e não

são de B.

Em símbolos:

O conjunto A B é também conhecido por

CONJUNTO COMPLEMENTAR DE B EM RELAÇÃO

a A e, para tal, usa-se a notação CA B. Portanto:

Exemplos:

1. A = {0, 1, 2, 3} e B = {0, 2}

CA B = A B = {1, 3} e CB A = B A =

Observação :

Exemplos:

Seja S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. Então:

1. A = {2, 3, 4} A = {0, 1, 5, 6}

2. B = {3, 4, 5, 6} B = {0, 1, 2}

3. C = C = S

8. NÚMERO DE ELEMENTOS DE UM CONJUNTO

FINITO

Seja A um conjunto com um número finito de

elementos. Indicaremos por n(A) o NÚMERO DE

ELEMENTOS DE A.

Sejam A e B dois conjuntos quaisquer. valem as

seguintes propriedades:

1. B A n(A B) = n(A) n(B)

2. n(A B) = n(A) n(A B)

3. A B = n(A B) = n(A) + n(B)

4. n(A B) = n(A) + n(B) n(A B)

5. n(A) = k n [IP(A)] = 2k

A B = {x | x A e x B}

B A

A B

CA B = A B{x | x A e x B}

X S X = S - X = C XS

B A

A B

S

X

X


01. Com os seguintes conjuntos :

A = { -1, 2, 3}

B = { 0, -1}

C = { 2, 3, 5} e todos no conjunto universo

U = {-1, 0, 2, 3, 4, 5}. Determine

a) (A C) - B

b) A - B

c) ( A B) C

d) A ( B C)

e) (A B) - C

02. Dados os três conjuntos finitos A, B e C,

determinar o número de elementos de

A (B C) , sabendo-se:

a) A B tem 26 elementos.

b) A C tem 10 elementos.

c) A B C tem 7 elementos.

03. Numa escola mista existem 42 meninas, 24

crianças ruivas, 13 meninos não ruivos e 9

meninas ruivas. Pergunta-se:

a) quantas crianças existem na escola?

b) quantas crianças são meninas ou são

ruivas?

04. (UFBA) No colégio A fez-se uma pesquisa entre

os alunos, com duas perguntas apenas: Gosta de

futebol? Gosta de cinema? 75 alunos

responderam sim a primeira pergunta e 86

responderam sem a segunda pergunta, sen do

que 23 responderam sim às duas; 42 alunos

responderam não as duas perguntas. Conclui-se

que o colégio A tem:

05. (UNEB) Em um vestibular 80 alunos acertaram

pelo menos uma questão entre as questões nº 1

e nº 2. sabe-se que 70 deles acertaram a

questão nº 1 e 50 a questão nº 2. O número de

alunos que acertaram ambas as questões é

igual a:

06. (UFBA) Uma pesquisa realizada com um grupo

de pessoas revelou a seguinte preferência pelas

revistas A, B e C.

109 lêem a revista A;

203 lêem a revista B;

162 lêem a revista C;

025 lêem a revista A e B;

041 lêem as revistas B e C;

028 lêem as revistas A e C;

005 lêem as três revistas;

115 não lêem revista.

Das informações conclui-se:

(01) 500 pessoas foram consultadas.

(02) 051 pessoas lêem somente a revista A.

(04) 176 pessoas não lêem as revistas B ou C.

(08) 094 pessoas pelo menos duas revistas.

(16) 223 pessoas lêem as revistas A ou B e

não lêem a revista C.

EXERCÍCIOS DE SALA


9. INTERVALOS NUMERICOS

Chama-se intervalo numérico ao conjunto de todos

os números reais, limitados por dois outros.

Representaremos o conjunto R por um eixo orientado e

temos dois números quaisquer a e b com a < b

INTERVALO FECHADO

( a x b) ou [a,b]

INTERVALO ABERTO

( a < x < b ) ou ]a,b[

INTERVALO FECHADO À ESQUERDA

( a x < b) ou [a,b[

INTERVALO FECHADO À DIREITA

( a < x b) ou ]a,b]

01. (UnB) Dado o conjunto {a, b, c, d, e, f, g} o

número máximo de subconjuntos distintos é:

a) 21

b) 128

c) 64

d) n.d.a.

02. (PUC) Para os conjuntos A = {a} e B = {a, {A}}

podemos afirmar:

a) B A

b) A = B

c) A B

d) a = A

e) {A} B

03. (OSEC) Dados os conjuntos A = {a, b, c},

B = {b, c, d} e C = {a, c, d, e} o conjunto:

(A C) (C B) (A B C) é:

a) {a, b, c, e}

b) {a, c, e}

c) A

d) {b, d, e}

e) {a, b, c, d}

04. (PUC) Sabendo-se que A e B são subconjuntos

de U, A B = {c, d}, A B = {a, b, c, d, e, f} e

U

A

C {e,f , g, h, i}, então:

a) n(A) = 2 e n(B) = 4

b) n(A) = 4 e n(B) = 2

c) n(A) = 3 e n(B) = 3

d) n(A) = 4 e n(B) = 4

e) n(A) = 1 e n(B) = 5

05. (Londrina) Sendo A = {; a; {b}} com

{b} a b , então:

a) {; {b}} A

b) {; {a}} A

c) {{a}; {b}} A

d) {; b} A

e) {a; b} A

06. (Cesgranrio) Sejam M, N e P conjuntos.

Se M N = {1, 2, 3, 5} e M P = {1, 3, 4}, então

M N P é:

a)

b) {1, 2, 3, 5}

c) {1, 3}

d) {1, 2, 3, 4, 5}

e) {1, 3, 4}

EXECÍCIOS DE CASA


07. (Objetivo) o número dos conjuntos X que

satisfazem: {1; 2} X {1, 2, 3, 4} é:

a) 3

b) 4

c) 5

d) 6

e) 7

08. (Londrina) Se A = {1}, B = {0; 1} e E = {0; 1; 2}

então (A B) é o conjunto: EC

a)

b) {0}

c) {1}

d) {0; 2}

e) {1; 2}

09. (PUC-RIO) Um levantamento sócio-econômico

entre os habitantes de uma cidade revelou que,

exatamente:

17% têm casa própria

22% têm automóvel

8% têm casa própria e automóvel

Qual o percentual dos que não tem casa própria

nem automóvel?

10. (UFGO) Numa certa idade são consumidos três

produtos A, B e C, sendo:

A um tipo de desodorante

B um tipo de sabonete

C um tipo de creme dental

Feita uma pesquisa de mercado sobre o consumo

desses produtos foram colhidos os dados da

tabela abaixo:

Produto Nº de Consumidores

A 120

B 180

C 250

A e B 40

A e C 50

B e C 60

A, B e C 30

Nenhum dos três 180

O conjunto das pessoas consultadas constitui

uma amostra. Note-se que os três primeiros

dados da tabela (120, 180 e 250) não

representam os que consomem apenas A ou

apenas B ou apenas C, e sim o número total de

consumidores dos 3 produtos (isolados ou

conjuntamente). Nessas condições, quantas

pessoas foram consultadas?

a) 500

b) 560

c) 610

d) 730

e) 910

11. (PUC) Numa comunidade constituída de 1.800

pessoas há três programas de TV favoritos:

Esporte (E), Novela (N) e Humorismo (H). A

tabela abaixo indica quantas pessoas assistem

a esses programas.

Program

as

E N H E e

N

N e

H

E e

H

E, N e

H

Número

de

Telespe

cta-

dores

40

0

122

0

108

0

22

0

800

180

100


Através desses dados, verifica-se que o número

de pessoas da comunidade que não assistem a

qualquer dos três programas é:

a) 200

b) os dados do problema estão incorretos

c) 900

d) 100

e) n.d.a.

12. (UFBA) Sendo M = p(N) Q’ , tem-se

a) {0, -1, 2 } M

b) {0, 1, 2 } M

c) {{0,1}, 2 } M

d) { 2 } M

e) 0 M

13. (UFBA) O número 3 5 4 3

315

pertence a :

a) Q’+

b) Z

c) N*

d) Z+

e) Q’-

14. (UFBA) O conjunto - solução da equação

(x + 4)2 - 2 = (x - 3)(x + 2) é subconjunto de :

a) N

b) Z

c) Q

d) Q’

e) R*+

15. (UCSAL) Se A = { , 3, {3}, {2,3}}, então :

a) {2,3} A

b) 2 A

c) A

d) 3 A

e) {3} A

16. (UCSAL) Indica-se por n(X) o nº de elementos de

um conjunto X. Se n(A) = 3 , n(B) = 4 e

n(AB) = 2, quantos subconjuntos tem o

conjunto A B ?

a) 36

b) 12

c) 32

d) 18

e) 5

17. (UCSAL) Sejam A e B dois subconjuntos do

universo e sabendo que n(E) = 100, n(A-B) =3x,

n(B) = 5x , n(AB) = x e n[ CE AB

] = x + 19, n(A

- B) é :

a) 9

b) 45

c) 36

d) 27

e) 28


18. (UFB) Se o conjunto A tem 15 elementos e o

conjunto B tem 12 elementos, o nº de elementos

que pertencem a A ou b, sabendo que os que

pertencem a A e B são 5, é :

a) 22

b) 27

c) 32

d) 45

e) 20

19. (UCSAL) Numa sala de aula existem 19 garotas,

20 crianças que usam óculos, 6 rapazes que não

usam óculos e 9 garotas que não usam óculos.

O nº de alunos da sala é :

a) 42

b) 36

c) 35

d) 29

e) 28

20. Sejam 3 conjuntos finitos A,B e C. Determine o

nº de elementos de A(BC) sendo

n(AB) = 20, n (AC) = 10 e n(ABC) = 5.

a) 20

b) 25

c) 15

d) 30

e) 5

Questões de 21 a 22

Num grupo de 99 pessoas, 40 jogam vôlei; 20

jogam vôlei e xadrez; 22 jogam xadrez e tênis;

18 jogam vôlei e tênis; 11 jogam as três

modalidades. O nº de pessoas que jogam xadrez

é igual ao nº de pessoas que jogam tênis.

Pergunta-se :

21. Quantos jogam tênis e não jogam vôlei ?

a) 26

b) 36

c) 46

d) 56

e) 73

22. Quantos jogam xadrez ou tênis e não jogam vôlei

?

a) 19

b) 29

c) 39

d) 49

e) 59

23. Quantos jogam vôlei e não jogam xadrez ?

a) 10

b) 20

c) 30

d) 40

e) 50

24. (UFBA)Na figura, a parte sombreada representa :

C

A B


(01) [ (ABC) -C] (AC)

(02) (AB) - C

(04) A(B-C)

(08) (B-C) (A-C) ( AC)

(16) (A-C) B

25. (UFBA) Considerando-se os conjuntos A

= { xN; x< 4}, B = {xZ ; 2x + 3 = 7} e

C= { xR ; x2 + 5x + 6 = 0} , pode-se concluir :

(01) A B = A

(02) A C = {2,3}

(04) A - B = {0,1,3}

(08) A C = R

(16) (B C) A

(32) CZA = Z-

*

26. (UFBA) Considere os conjuntos :

A = { xZ ; x2 25} ;

B = { xZ ; x = (-1)n . (2n+1) ; 0n3 };

C = { xZ ; x2 + 1 = 0 } , pode-se concluir :

(01) A soma dos elementos de A B = 3

(02) Sendo y o menor elemento de ABD,

então |y| = 7

(04) O maior elemento de CBD é 7

(08) O cardinal do conjunto D é 1

(16) CZB

= Z - B

27. (UFBA) Considerando-se os conjuntos A,B e C

representados abaixo e sabendo-se que :

n (AB) = 24 ; n (A B) = 4 ; n( BC) = 16

n (A-C) = 11 ; n( B-C) = 10

Pode-se afirmar :

(01) n(A-B) = 8

(02) n(ABC) = 1

(04) n( B - (AC)) = 12

(08) n((AB) -C) = 4

(16) n(B - (AB)) = 12

28. (UFBA) Uma pesquisa realizada com um grupo

de pessoas revelou a seguinte preferência pelas

revistas A, B e C.

109 lêem a revista A;

203 lêem a revista B;

162 lêem a revista C;

025 lêem a revista A e B;

041 lêem as revistas B e C;

028 lêem as revistas A e C;

005 lêem as três revistas;

115 não lêem revista.

Das informações conclui-se:

(01) 500 pessoas foram consultadas.

(02) 051 pessoas lêem somente a revista A.

(04) 176 pessoas não lêem as revistas B ou C.

(08) 094 pessoas pelo menos duas revistas.

(16) 223 pessoas lêem as revistas A ou B e

não lêem a revista C.

C

B

A


29. (UFBA) Sendo M = p(N) Q’ , tem-se

a) {0, -1, 2 } M

b) {0, 1, 2 } M

c) {{0,1}, 2 } M

d) { 2 } M

e) 0 M

30. (Ita/2000) Denotemos por n(x) o número de

elementos de um conjunto finito X. sejam A,B e

C conjuntos tais que n( A B) = 8, n( A C) = 9,

n(B C) = 10,n(ABC) = 11e n(ABC) = 2.

Então, n(A) + n(B) + n(C) é igual a:

a) 11

b) 14

c) 15

d) 18

e) 25

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 - B E A D A D B D 69%

1 C A C B C E C D A C

2 D B E B 13 21 19 19 21 C

3 A

TEORIA DOS CONJUNTOS

Símbolos

: pertence : existe

: não pertence : não existe

: está contido : para todo (ou

qualquer que seja)

: não está contido : conjunto vazio

: contém N: conjunto dos

números naturais

: não contém Z : conjunto dos

números inteiros

/ : tal que Q: conjunto dos

números racionais

: implica que Q'= I: conjunto dos

números irracionais

: se, e somente se R: conjunto dos

números reais

GABARITO DOS TESTES DE CASA

conjuntos 3

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