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FUNDAÇÃO EDUCACIONAL UNIFICADA CAMPOGRANDENSE (FEUC) FACULDADES INTEGRADAS CAMPO-GRANDENSES (FIC)

COORDENAÇÃO DE MATEMÁTICA Estrada da Caroba, 685, Campo-Grande/RJ - Tel: 3408-8450 Sites: www.feuc.br, www.sites.google.com/site/FEUCmat

A P O S T I L A

D I D Á T I C A DA

M A T E M Á T I C A

Professor Alzir Fourny Marinhos

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TRANSPOSIÇÃO DIDÁTICA

A necessidade de se ensinar o conhecimento leva à necessidade de modificá-lo. Essa modificação chamamos de transposição didática.

A transposição didática é o estudo das transformações por que passam os conteúdos de matemática.

A transposição didática ocorre permanentemente, por exemplo, quando: - o conteúdo é selecionado ou recortado de acordo com que o professor

considera relevante para constituir as competências (um conjunto de conhecimentos que envolve o saber e habilidades que envolve o saber fazer) na proposta pedagógica;

- alguns aspectos ou temas são mais enfatizados, reforçados ou diminuídos;

- o conhecimento é dividido para facilitar a compreensão e depois o professor volta a estabelecer relação entre aquilo que foi dividido;

- distribui-se o conteúdo no tempo para organizar uma seqüência, um ordenamento;

- determina-se uma forma de organizar e apresentar os conteúdos, como por meio de textos, gráficos, entre outros.

Fazer a transposição didática implica no que é preciso desenvolver e isto

deverá estar contemplado no plano de educação continuada da escola, da região ou do sistema de ensino:

- saber fazer recortes na sua área de especialidade de acordo com um julgamento sobre relevância, pertinência, significância para o desenvolvimento das competências que vão garantir a inserção do aluno no mundo moderno; - saber selecionar quais aspectos daquele conhecimento são relevantes; - saber relacionar o conhecimento em questão com os de outras áreas; - saber como contextualizar esse conhecimento; - dominar estratégias de ensino eficazes para organizar situações de aprendizagem que efetivamente promovam no aluno as competências que se quer desenvolver.

O fenômeno da transposição didática põe em evidência o fato que a disciplina escolar não é o conhecimento científico, mas uma parte dele modificada.

O conhecimento surge dentro de um campo científico, porém, para que

possa ser ensinável, precisa passar por transformações que o vão ―moldando‖, tornando-o assimilável por parte dos alunos. Assim, o saber passa por, pelo menos, três tipos distintos de transposição até se constituir em conteúdo alcançado pelos alunos: o saber científico, o saber a ensinar e o saber ensinado.

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O SABER CIENTÍFICO

O saber científico é aquele produzido pelos cientistas. O saber científico não pode ser ensinado como é em seu estado

nascente, isto é, em linguagem científica, mas tem de ser publicado em linguagem acessível e por pessoas que não são os seus criadores. Nesse momento, ele começa a passar por algumas transformações, a sofrer a transposição didática, para que possa ser elaborado de forma didática e se constituir em saber a ensinar.

O saber científico torna-se público através de publicações em revistas

especializadas e após, mais tarde, de livros didáticos, que nas escolas os professores utilizam como auxílio a sua prática pedagógica.

O saber científico é validado por parâmetros internos da ciência e é

apresentado ao meio científico através da publicação em forma de artigos, teses, relatórios ou livros.

O SABER A ENSINAR

O saber a ensinar é o que é estabelecido para ser ensinado nas Instituições escolares.

O saber a ensinar é encontrado na forma de livros didáticos, cartilhas,

softwares e outros materiais de apoio ao professor.

O SABER ENSINADO

O saber ensinado é o resultado do planejamento da aula e do ato pedagógico.

O saber ensinado não é só aquilo que foi planejado no momento de

preparar o plano de aula; na verdade, é o resultado final, desde a sua elaboração no planejamento da aula, na definição do conteúdo, na metodologia aplicada pelo professor para transmitir ou trabalhar esse conteúdo específico de ensino até o resultado final obtido.

O saber ensinado está ligado diretamente ao programa de ensino. Isso

leva a pensar na importância de se estar atento ao que se apresenta ao aluno no início como programa de ensino, pois muitos se esquecem do plano logo em seguida e só lembram quando se encerra o ano letivo. Torna-se interessante também lembrar a importância da interação e do diálogo entre professor e aluno, pois essa troca entre os pares leva ao desenvolvimento, além de levar o professor a refletir sobre o método utilizado e o que os alunos aprenderam.

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ALGUNS ELEMENTOS DA TRANSPOSIÇÃO DIDÁTICA

A TEXTUALIZAÇÃO DO SABER

A textualização do saber é um processo de preparação prévia por que passa o conteúdo a ser ensinado na escola, e sua realização ocorre sob o controle de certas regras que visam a estruturação de uma forma didática:

- divisão da teoria em várias áreas e bem delimitadas. - separação do saber de qualquer contexto pessoal. - estabelecimento de uma programação de aprendizagem progressiva e

racional. - a definição explícita do que deverá ser ensinado. Na textualização do saber devemos destacar duas variáveis

fundamentais : o tempo didático e o tempo de aprendizagem. O tempo didático é aquele marcado nos programas escolares e nos

livros didáticos em cumprimento a uma exigência legal. O tempo de aprendizagem é aquele que está mais vinculado com

rupturas e conflitos do conhecimento, exigindo uma permanente reorganização de informações, e que caracteriza toda a complexidade no ato de aprender. È o tempo necessário para o aluno superar os bloqueios e atingir uma nova posição de equilíbrio. Trata-se de um tempo que não é seqüencial e nem pode ser linear na medida em que é sempre necessário retomar uma concepção para poder transformá-la. Cada sujeito tem o seu próprio tempo de aprendizagem.

AS NOÇÕES PARAMATEMÁTICAS

As noções paramatemáticas são idéias que se caracterizam como

ferramentas auxiliares à atividade matemática. As noções paramatemáticas não são ensinadas de forma explícita e

também são excluídas de uma avaliação direta. Elas são concebidas como idéias possíveis de serem aprendidas no transcorrer da própria aprendizagem. São sempre necessárias ao ensino como à aprendizagem matemática.

As noções de equações, sistemas, definição, demonstrações, fatoração,

variáveis são exemplos de noções paramatemáticas. Sempre se pede ao aluno para resolver uma equação ou demonstrar um

teorema, mas quase nunca se pergunta o que é uma equação, uma demonstração ou uma definição matemática.

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AS NOÇÕES PROTOMATEMÁTICAS As noções protomatemáticas formam uma categoria que não se refere

diretamente às noções matemáticas em si, mas são exigidas de forma implícita no estudo escolar. São competências que antecedem o próprio conhecimento matemático, tais como habilidade de raciocínio, percepção de modelos, identificação e formulação de questões.

EXEMPLOS DE TRANSPOSIÇÃO DIDÁTICA

A TRANSPOSIÇÃO DIDÁTICA DO ESTUDO DE FUNÇÕES.

É importante destacar a ação do Ministério da Educação do Brasil em desenvolver um trabalho em prol da qualidade da educação escolar. Esse trabalho, que contou com a experiência e estudos de diversos educadores brasileiros, foi analisado e debatido por professores de diferentes graus de ensino, por especialistas da educação e de outras áreas, além de instituições governamentais e não-governamentais, resultando num projeto que visa uma revisão nos currículos que orientam o trabalho realizado pelos professores no Brasil e propôs um novo currículo que tenha vínculo com os diversos contextos de vida dos alunos e não mais apenas um acúmulo de informações. Assim foi entregue ao Sistema Educacional Brasileiro Os Parâmetros Curriculares Nacionais, (PCNs ), para servirem como mais uma ferramenta de apoio ao educador no momento do planejamento de suas aulas.

Os PCNs ressaltam a importância do ensino da matemática para que o

aluno possa estruturar o pensamento e o raciocínio dedutivo e considera sua compreensão uma ferramenta que serve para a vida cotidiana e para muitas tarefas específicas em quase todas as atividades humanas. Especificamente no estudo de funções, que é o alvo de nossa análise, os PCNs destacam que o seu ensino isolado como vem ocorrendo não permite a exploração do seu caráter integrador. Segundo os PCNs, a compreensão do conceito de funções é de extrema importância para a interpretação e construção de gráficos do comportamento de certos fenômenos, do cotidiano e de áreas específicas do conhecimento, como a Física, Geografia ou Economia, por exemplo. Deve-se, conforme orientam, estar atento também para a sua relação com outros temas da matemática. Os PCNs enumeram uma série de relações entre funções e outros tópicos da matemática, a título de exemplificação, conforme transcrito abaixo:

―...Uma parte importante da Trigonometria diz respeito às funções

trigonométricas e seus gráficos. As seqüências, em especial progressões aritméticas e progressões geométricas, nada mais são que particulares funções. As propriedades de retas e parábolas estudadas em Geometria Analítica são propriedades dos gráficos das funções correspondentes. Aspectos do estudo de polinômios e equações algébricas podem ser incluídos no estudo de funções polinomiais, enriquecendo o enfoque algébrico que é feito tradicionalmente.‖ (PCNs E.M., p.255)

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Tais conexões entre os temas devem ser observadas e exploradas pelo professor no momento do planejamento para que o ensino se torne mais dinâmico e significativo. É também importante que não seja esquecido o aspecto da contextualização, que possibilitará ao aluno uma visão ampla e científica da realidade. Logo, de acordo com os PCNs, o ensino de Matemática deve propiciar ao aluno um nível de compreensão que o permita trabalhar com o conceito de função na resoluções de situações–problemas tanto em Matemática como em outras disciplinas.

Sendo a Transposição Didática um conjunto de ações que visam

favorecer o desenvolvimento de uma atividade didática que contribua efetivamente para um aprendizado significativo, a elaboração dos PCNs pode ser considerada uma dessas ações de valiosa contribuição.

Em edições recentes de livros, encontramos aplicações ilustradas, dando um visual mais moderno, estimulando o aluno ao conhecimento e trabalhando alguns conceitos matemáticos, como preliminares ao estudo de funções. Desses, alguns se preocupam em apresentar resolução de problemas envolvendo situações do cotidiano, problemas relacionando outras disciplinas ou mesmo fatos de interesse científico onde possa ser demonstrado a utilização desse tópico matemático.

O estudo de funções deve iniciar atendendo às recomendações dos

PCNs, utilizando as idéias intuitivas como: lei, associação, regra, correspondência, para desenvolver a noção de função, para depois se retomar o estudo de funções de maneira mais formal, com a finalidade de se demonstrar como se estrutura a argumentação nessa Ciência, através de linguagem precisa e dedução lógica.

O conceito de função, apesar de ser um dos do mais importantes na

área da Matemática, como pode ser notado, é relativamente simples e formaliza o que ao longo da história foi sendo observado pelo homem, nas relações existentes na natureza e, principalmente, nas relações de grandezas existentes em suas atividades científicas.

A medida em que o homem evolui, suas necessidades e atividades vão

se tornando cada vez mais complexas. O homem avança em busca de explicações e soluções e com isso o conhecimento da humanidade evolui. Com a somatória de conhecimentos, muitos desses, agregados ao saber científico, ou apenas em informações que vão enriquecendo o conhecimento na esfera individual, o homem foi tendo condições de criar, perceber relações já existentes e formalizá-las.

As diversas relações ou o que, desde Leibniz, conhece-se como

funções, também foram, no decorrer dos estudos matemáticos, classificadas e nomeadas. Exemplificando, pode-se citar função constante, função linear, função quadrática, função modular, função exponencial, função logarítmica, função trigonométrica, entre outras. Muitas dessas funções têm uma relação estreita com outros tópicos da matemática e como orientam os PNCs, devem ser exploradas em benefício do aprendizado.

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A análise e interpretação de gráficos é um conceito muito importante nos diversos ramos das Ciências, portanto, é de grande valor que o professor atente para o fato de que o ensino desse tema não deve restringir-se à mera resolução de uma série de exercícios repetitivos que favorecem a resolução mais pelo adestramento do que pela motivação da resolução de problemas reais, relacionados com o cotidiano do aluno ou com outros temas matemáticos e científicos.

Encontrar aplicações significativas para esse tópico da matemática deve

ser uma preocupação constante. Além disso, é importante que o aluno ao estudar funções se familiarize com suas aplicações em outras áreas científicas, para sentir-se motivado a reconhecer o valor desse conceito. O ensino de funções deve propiciar ao aluno a possibilidade de uma compreensão ampla que possa ser utilizada em benefício de outras disciplinas.

Acreditamos ser propício que a noção intuitiva de função seja

desenvolvida desde as primeiras séries do ensino fundamental, através de jogos, construção e interpretação de gráficos e tabelas simples, com o intuito de que o aluno comece a visualizar as operações em questão e perceber relações a partir de problemas concretos e interessantes, o mais próximos possível de seu universo.

EXERCÍCIOS

ATIVIDADE 1 AAAA

Com as contas de luz de sua casa em mãos, analise os gastos dos últimos cinco meses que constam na fatura.

Para entender melhor, suponha que os últimos 5 meses sejam: janeiro, fevereiro, março, abril e maio. Complete o quadro a seguir:

MÊS CONSUMO(KWH) VALOR MENSAL (R$)

JANEIRO

FEVEREIRO

MARÇO

ABRIL

MAIO

Observando o quadro, responda: a) Como está o consumo de energia elétrica em sua casa? É possível economizar? b) Qual o preço do kwh? O que significa esse valor?

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c) Compare a sua conta de luz com a de seus colegas. Existe diferença entre a conta de sua casa e a de seus colegas? d) Escreva a expressão matemática que a companhia de luz utiliza para calcular o valor mensal, em reais, de cada residência em função do consumo (kwh).

ATIVIDADE 2

Suponhamos que, por uma torneira, passem 10 litros de água por minuto. Baseado nessa informação, complete o quadro, considerando que o tempo 0 (zero) equivale ao momento de abertura da torneira.

Tempo minuto

0 1 2 3 4 5 6 10 15 20 30

Volume litro

Com base nas informações do quadro , responda:

a) O que ocorre com o volume de água que passa pela torneira a medida que o tempo aumenta? As duas grandezas envolvidas, volume e tempo, são proporcionais? Direta ou inversamente? Por quê? b) Nesta situação, a relação entre as grandezas volume e tempo definem uma função? Se definir função, que função é essa?

A TRANSPOSIÇÃO DIDÁTICA NA RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DO PRIMEIRO GRAU

A resolução de equações era o tema principal da obra Hisab al- jabr w’ al muqabalah de al-Khowarizmi (825 dC), que representa o marco inicial de nossa álgebra. Como as equações desempenham um papel tão importante na Matemática, se faz necessário um grande empenho no seu aprendizado. Inicialmente vamos focar duas questões: - O que é uma raiz de uma equação? - Como se deve proceder para se achar uma raiz incógnita?

O que é uma raiz de uma equação? A variável de uma equação está associada a um domínio numérico

adequado. A seguir identifica-se um subconjunto especial do domínio, consistindo em todos aqueles valores, e somente aqueles, que tornam verdadeira a equação ao se fazer a substituição e a subseqüente avaliação. Esse conjunto é conhecido como conjunto-verdade ou conjunto-solução ou raiz da equação.

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A definição de raiz indica o conhecimento básico de que um aluno necessita para dar início a um estudo significativo da resolução de equações.

Como achar a raiz de uma equação? Seqüência evolutiva: a) Método de gerar e avaliar. Dada uma equação básica, nossos alunos seriam orientados a pensar

em seu conceito de números e a gerar diferentes valores para serem testados. Gerar números mentalmente fazendo os testes na equação e, por

tentativa-e- erro ir operando até encontrar a raiz.

b) O método de esconder. O método de esconder se insere num esquema mais amplo e vem

depois do método de gerar e avaliar. Consiste em achar a incógnita pensando sobre o que a equação diz. Por exemplo: 16 – (14 – x) = 8 16 menos que número dá 8? Busca-se a resposta 8. Então (14 – x) vale 8. 14 menos que número dá 8? Busca-se a resposta 6. Então a raiz da equação é 6.

c) O método de desfazer. O método de desfazer baseia-se nas noções de inversos operacionais.

Pode ser substituído pelo método de esconder, à medida que a complexidade da equação aumenta.

Como exemplo:

310

5)32(7 x

Ao dividirmos um número por 10 estamos perguntando quantas vezes o número 10 está ―dentro‖ desse número? A resposta dada na equação é 3. Logo temos 3 vezes 10 sendo o número.

Sabemos que o número é 30. Então temos 7(2x-3) – 5 = 30. Se a – b = c, pela operação inversa, temos a como c acrescido de b. Então na equação o valor de 7(2x -3) vale 30 + 5. Logo 7(2x-3) = 35. Se a.b = c, pela operação inversa, temos a = c/b. Daí 2x - 3 ser 35/7, isto é, 2x - 3 = 5. Se 2x - 3 = 5, pela operação inversa, temos 2x sendo a soma de 5 e 3. Então 2x = 8. Se 2x = 8, pela operação inversa, temo x=8/2 = 4.

c) O método do equilíbrio ou das equações equivalentes. Consiste em formar novas equações, chamadas equivalentes, que têm

as mesmas raízes. Como estamos na busca do número escondido x devemos, como

estratégia, fazermos com que o primeiro membro seja formado por uma

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expressão em x e o segundo membro por uma expressão apenas numérica. Isso vai facilitar o processo da formação das equações equivalentes, até encontrarmos a equação equivalente x = raiz.

Como exemplo: 3( x + 1) – 8 = x + 1 Ao somarmos 8 aos dois membros temos a equação equivalente 3(x+1) – 8 + 8 = x + 1 + 8 ou 3 ( x+1) = x + 9. Ao subtrairmos x nos dois membros teremos a equação equivalente 3 ( x + 1) – x = x + 9 – x ou 3 ( x + 1 ) – x = 9. Podemos desenvolver: 3x + 3 – x = 9 e 2x + 3 = 9. Ao subtrairmos 3 aos dois membros temos a equação equivalente 2x + 3 - 3 = 9 – 3 ou 2x = 6. Ao dividirmos os dois membros por 2 teremos a equação equivalente 2x/2 = 6/2 ou x = 3 ( a raiz da equação).

EXERCÍCIOS:

1- Fazer o método de gerar e avaliar, como uma transposição didática, nas resoluções das equações: a) 28 – 2x = 6. b) 3x + 4 = -12

c) 634

2x

2- Fazer o método de esconder, como uma transposição didática, nas

resoluções das equações: a) 15 + ( 10 – x ) = 22

b) 65

)4(3 x

c) 15 + ( 10 – x ) = 22 d) 15 – (10 – x) = 8 3- Fazer o método de desfazer, como uma transposição didática, nas resoluções das equações:

a) 23

2)42(4 x

b) 53

3)63(2 x

4 - Siga o roteiro para fazer a transposição didática das questões abaixo. Roteiro:

a) Descreva a programação da apresentação dos conteúdos. b) Distribua o conteúdo no tempo para organizar uma seqüência, um

ordenamento. c) Desenvolva o conteúdo de acordo com um julgamento sobre a

significância para desenvolvimento das competências que se quer desenvolver.

d) Contextualizar o conhecimento.

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e) Desenvolver estratégias de ensino eficazes para organizar situações de aprendizagem que efetivamente promovam no aluno as competências que se quer desenvolver. 4.1- Desenvolver a transposição didática no estudo de funções no

Ensino Fundamental: definição de função; definição de domínio; definição de contradomínio; definição de imagem; definição de conjunto imagem.

4.2- Desenvolver a transposição didática no estudo de frações no Ensino

Fundamental: definição de fração; frações equivalentes; fração própria; fração imprópria.

4.3 Desenvolver a transposição didática no estudo do máximo divisor

comum, no Ensino Fundamental. 4.4- Desenvolver a transposição didática no estudo do mínimo múltiplo

comum, no Ensino Fundamental. 4.5- Desenvolver a transposição didática no estudo da adição com

frações, no Ensino Fundamental. 4.6- Desenvolver a transposição didática no estudo da multiplicação e

divisão com frações, no Ensino Fundamental, 4.7- Desenvolver a transposição didática no estudo das regras de sinais

nas operações aritméticas, no Ensino Fundamental. 4.8- Desenvolver a transposição didática no estudo do conjunto dos

números irracionais, no Ensino Fundamental. 4.9- Desenvolver a transposição didática no estudo do sen, cos, tg, cotg,

sec, cossec dos arcos em graus: 00, 900, 1800, 2700 e 3600, no Ensino Médio. .

CONTRATO DIDÁTICO

A relação professor – aluno está subordinada a muitas regras e convenções que funcionam como se fossem cláusulas de um contrato. Essas regras, porém, quase nunca são explícitas, mas se revelam principalmente quando se dá a transgressão das mesmas. O conjunto das cláusulas que estabelecem as bases das relações entre os professores e alunos mantêm com o saber, constitui o chamado contrato didático.

Chama-se contrato didático o conjunto de comportamentos do professor

que são esperados pelos alunos e o conjunto de comportamentos do aluno que são esperados pelo professor.

O contrato didático depende da estratégia de ensino adotada,

adaptando-se a diversos contextos, tais como: as escolhas pedagógicas, o tipo de trabalho solicitado aos alunos, os objetivos do curso, as condições de avaliação, etc.

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A prática pedagógica mais comum em matemática parece ser aquela em

que o professor: - cumpre seu contrato dando aulas expositivas e passando exercícios

para os alunos; - em suas aulas seleciona partes do conteúdo que o aluno possa

aprender e propõe problemas cujos enunciados contenham os dados necessários e tão-somente esses, cuja combinação racional, aliadas aos elementos da aula, permite encontrar a solução do problema.

O aluno, por seu lado cumpre o contrato se ele bem ou mal compreende

a aula dada e consegue resolver, corretamente ou não, os exercícios. Se isso não acontecer, o professor deverá ajudá-lo, dirigindo o seu trabalho através de indicações que esclareçam suas dúvidas ou de pequenas questões elementares que conduzam o resultado.

Há casos extremos em que o professor se refugia na segurança dos

algoritmos prontos, fraciona a atividade matemática em etapas pelas quais passa mecanicamente, esvaziando o seu significado. Sua atuação se resume em apresentar uma definição, dar alguns exemplos e solicitar exercícios idênticos aos dos exemplos dados. Aos alunos cabe memorizar as regras para repeti-las nas provas repletas de questões rotineiras que permitem a reprodução do professor.

Na estratégia de ensino em que o aluno trabalha individualmente ou em

duplas, seguindo as orientações contidas em seqüências didáticas organizadas pelo professor, e a institucionalização do saber se dá através de sessões coletivas, o contrato didático é totalmente diferente. O professor se apóia nas produções pessoais ou coletivas dos alunos (resultado de atividades propostas através de um problema) para fazer progredir o aprendizado de toda a classe.

Em muitos casos é necessário que haja a ruptura e a renegociação do

contrato didático. O caso em que o professor pretende introduzir um conceito novo por meio não de uma aula expositiva (definição , propriedades, exemplos, lista de exercícios), mas de atividades em que os alunos, partindo de uma situação –problema, resolvem o problema trabalhando individualmente ou em dupla e, no final, e no final o professor faz com toda a classe o fechamento, visando a institucionalização do conceito que se pretende construir.

EFEITOS DO CONTRATO DIDÁTICO

Grande parte das dificuldades dos alunos é causada pelos efeitos do

contrato didático mal- colocado ou mal entendido. Desejando que os alunos obtenham bons resultados, o professor tende

a facilitar-lhes a tarefa de variadas maneiras como, por exemplo, fornecendo abundantes explicações, ensinando pequenos truques, algoritmos e técnicas de memorização ou mesmo indicando pequenos passos nos problemas. As vezes as explicações excessivas podem impedir a compreensão.

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EXERCÍCIOS

1 - No ensino da representação de reta a partir de uma equação dada na forma geral, no sistema cartesiano ortogonal, fazer um contrato didático.

2- No ensino dos algoritmos da adição e subtração usando o ábaco,

fazer um contrato didático. 3. No ensino da resolução de sistema com duas equações e duas

incógnitas, fazer um contrato didático. Sugestão: - O trabalho deve ser realizado individualmente; - É permitida a consulta de todo material (anotações, livros,

calculadoras, etc); - Não haverá consulta ao professor; - Após a realização do exercício de forma individual serão formadas

duplas; - A dupla deve discutir sobre os seus resultados. Estão iguais? Estão

diferentes? Se diferentes, houve erros? Se houve erros, detectá-los. Se houver dúvidas, saná-las com os seus materiais;

- Anotar todas as conclusões ou dúvidas surgidas da discussão; - Não é permitida a comunicação com alunos que não pertençam a

própria dupla; - Não é permitido o empréstimo de qualquer material alheio á dupla; - A produção da dupla deve ser apresentada á turma; - Haverá uma discussão, em cada apresentação, com todos os alunos,

podendo haver a intervenção do professor promovendo o aprendizado. .

REGISTROS DE REPRESENTAÇÃO

Em matemática toda a comunicação se estabelece com base em representações.

Os objetos matemáticos a serem estudados são conceitos,

propriedades, estruturas, relações que podem expressar diferentes situações, portanto para o seu ensino precisamos levar em consideração as diferentes formas de representação de um mesmo objeto matemático.

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A matemática trabalha com objetos abstratos, ou seja, os objetos não são diretamente acessíveis à percepção, necessitando para a sua apreensão o uso de uma representação. Neste caso as representações através de símbolos, códigos, tabelas, gráficos, algoritmos, desenhos são bastante significativas, pois permitem a comunicação entre os sujeitos e as atividades cognitivas do pensamento, permitindo registros de representação diferentes de um mesmo objeto matemático. Por exemplo, a função pode ser representada através da expressão algébrica, tabelas e/ou gráficos que são diferentes registros de representação.

A ÁLGEBRA E OS REGISTROS DE REPRESENTAÇÃO

Consideramos que a Álgebra está presente no ensino desde as séries

iniciais, porém é importante que os alunos tenham um aprendizado significativo dos conceitos algébricos. Para o aluno construir um significado concreto para as expressões algébricas é necessário haver uma fundamentação teórica rica em significados desde o início do aprendizado. Ao tratarmos do ensino de álgebra, precisamos considerar os diferentes registros de representação, no sentido de contribuir com o aprendizado significativo, produzindo a construção de conceitos algébricos pelos alunos.

REGISTROS DE REPRESENTAÇÕES ALGÉBRICAS: - Registro Funcional – expressa relações e variáveis; Como exemplo, uma função afim y = 2x + 2. - Registro de Equações – as letras entendidas como incógnitas; Como exemplo, as soluções da equação y = 2x + 2. - Registro da aritmética generalizada – Letras como generalizações de modelos matemáticos. Como exemplo, a operação da adição é comutativa. Isto pode ser representado como a + b = b + a ( a ordem das parcela não altera a soma). - Registro Língua Materna – situações apresentadas a partir da língua natural.

Sugere situações-problema através da língua portuguesa – quando é solicitado, por exemplo, que ―Escreva uma equação observando a figura retangular de perímetro 48 metros em que um dos lados não conhecemos e os outros são informados na figura”. É necessário que se faça um tratamento deste registro, lendo e compreendendo o registro de representação a partir do entendimento de perímetro, de região retangular, demonstrando o entendimento conceitual a partir da língua natural.

- Registro Figural – propriedades das figuras geométricas e utilização de gráficos.

É composto de figuras geométricas ou gráficos, que representa um objeto matemático.

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EXERCÍCIOS

1 - Fazer o registro de representação figural para: a) o estudo do sinal da função f(x) = x – 2. b) o estudo do sinal da função f(x) = x2 – 3x + 2 c) a resolução da inequação x - 2 > 0 d) a resolução da inequação ( x - 1) x ( - x + 2 ) > 0.

2 - Desenvolver uma atividade em que haja os registros de representações: -Registro da língua materna. -Registro figural. -Registro de equações.

SITUAÇÕES DIDÁTICAS

A teoria das situações didáticas analisa as diferentes formas de apresentação do conteúdo matemático ao aluno.

O significado do saber matemático escolar para o aluno é fortemente

influenciado pela forma didática com que o conteúdo lhe é apresentado. O envolvimento do aluno dependerá da estruturação das diferentes atividades de aprendizagem através de uma situação didática.

Através das situações didáticas realizam-se as transposições didáticas. As situações didáticas devem efetuar não a simples comunicação de um

conhecimento, mas a devolução de um problema. A devolução é a transferência de responsabilidade, uma atividade na qual o professor, além de comunicar o enunciado, procure agir de tal forma que o aluno aceite o desafio de resolvê-lo como se o problema fosse seu, e não somente porque o professor quer. Se o aluno toma para si a convicção de sua necessidade de resolução do problema, ou seja, se ele aceita participar desse desafio intelectual e se ele consegue sucesso nesse seu empreendimento, então inicia-se o processo de aprendizagem.

Uma situação a-didática se caracteriza essencialmente pelo fato de representar determinados momentos do processo de aprendizagem nos quais o aluno trabalha de forma independente, não sofrendo nenhum tipo de controle direto por parte do professor.

As situações a-didáticas representam os momentos mais importantes da

aprendizagem, pois o sucesso do aluno nas mesmas significa que ele, por seu próprio mérito, conseguiu sintetizar um conhecimento. Observamos que a escolha do problema pelo professor é uma parte importante de uma situação mais ampla, planejadas com fins pedagógicos, na qual pode ocorrer uma ou mais situações a-didáticas.

Toda atividade pedagógica deve ser planejada pelo professor no sentido

de direcionar o aluno para o principal que é a situação a-didática.

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Poderão ser utilizados recursos didáticos variados, por exemplo: problematização matemática a partir da exploração de material concreto de manipulação ou de situações -problema contextualizadas; desafios matemáticos com o uso de programas computacionais; desenvolvimento de atividades baseadas em seqüências didáticas previamente elaboradas pelo professor; enfim há um grande número de problemas e opções que possibilita um aumento considerável de situações a-didáticas.

O que impulsiona o processo de ensino–aprendizagem matemática são

as atividades envolvendo a resolução de problema. O trabalho pedagógico tem início exatamente com a escolha com a escolha de um problema que deve ser compatível com o nível de conhecimento do aluno.

CATEGORIAS DE SITUAÇÕES

1- Situações de ações.

Um determinado contexto de aprendizagem é uma situação de ação

quando o aluno, que se encontra ativamente empenhado na busca de solução de um problema, realiza determinadas ações mais imediatas, que resultam de uma operação mais operacional.

Numa situação de ação há sempre o predomínio quase que exclusivo do

aspecto experimental do conhecimento. Este é o caso, por exemplo, quando na solução de um problema de construção geométrica o aluno se contenta exclusivamente através da realização de um desenho utilizando régua e compasso. Ele realiza uma ação mais experimental sem no entanto se preocupar com a explicação de um resultado que esclareça ou justifique a validade de sua resposta.

2- Situações de formulação

Numa situação de formulação o aluno utiliza, na solução do problema

estudado, alguns esquemas teóricos mostrando um evidente trabalho com informações teóricas de uma forma bem mais elaborada, podendo ainda utilizar uma linguagem mais apropriada para viabilizar esse uso da teoria.

3- Situações de validação

As situações de validação é aquela em que o aluno já utiliza

mecanismos de prova e em que o saber é usado com essa finalidade. Elas podem servir para contestar, validar ou rejeitar proposições. O trabalho do aluno não se refere somente às informações em torno do conhecimento (situação de formulação) mas sim a certas afirmações, elaborações, declarações a propósito deste conhecimento.

A noção de prova está associada a uma determinada situação particular

quando uma dada explicação é reconhecida e aceita por certo grupo de pessoas num momento particular.

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As demonstrações são determinados tipos de provas aceitas pela comunidade matemática. A estrutura da uma demonstração se constitui numa seqüência de deduções lógicas formais através de regras bem definidas, apoiando-se em proposições verdadeiras, que permitem concluir a verdade de uma dada proposição. Na origem dessas deduções estão algumas proposições cuja validade é admitida como evidente por si mesma. È necessário destacar que a atividade de validação é indissociável da de formulação.

EXEMPLOS DE SITUAÇÕES DIDÁTICAS

1- SITUAÇÃO DIDÁTICA NO ESTUDO DA TRIGONOMETRIA.

A) CONSTRUIR UMA TÁBUA TRIGONOMÉTRICA COM OS VALORES DO SENO, COSSENO E TANGENTE DOS ÂNGULOS ABAIXO ( COM DUAS DECIMAIS). APRESENTAR TODO O PROCESSO DA CONSTRUÇÃO. ÂNGULOS: 250; 300; 450; 600; 800

B) CONSTRUIR UM TEODOLITO PARA ENSINO DE TRIGONOMETRIA.

O teodolito é um instrumento muito usado na engenharia para medir ângulos e distâncias.

Apresentaremos abaixo um exemplo: Você pode construir um teodolito, para medir ângulos, fixando um extremo de um fio no centro de um transferidor e o outro extremo em um peso.

Para entender como se usa esse aparelho, imagine que você alinhe a base do transferidor com o topo de um prédio e que o fio estacione sobre a marca 60º da escala. Desse modo, você pode concluir que seu raio visual forme 60º com a vertical e 30º com a horizontal

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Você pode concluir que o ângulo com a horizontal é 30º porque os ângulos agudos em um triângulo retângulo são complementares.

C) COM O USO DO TEODOLITO CONSTRUÍDO, DAS RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS NUM TRIÂNGULO RETÂNGULO E DE UMA TÁBUA TRIGONOMÉTRICA, CALCULE A ALTURA APROXIMADA DO PRÉDIO FRONTAL DA FEUC.

2- SITUAÇÕES DIDÁTICAS ENVOLVENDO A CONTEXTUALIZAÇÃO.

O crescimento exponencial é característico de certos fenômenos naturais. No entanto, de modo geral não se apresenta na forma ax, mas sim modificado por constantes características do fenômeno, como em f(x) = C . akx. Dê três aplicações da função exponencial: Uma aplicação sobre bactérias. Uma aplicação sobre radioatividade. Uma aplicação sobre juros compostos. 3- SITUAÇÃO DIDÁTICA ENVOLVENDO A INTERDISCIPLINARIDADE.

OBESIDADE - CÁLCULO DO ÍNDICE DE MASSA CORPORAL.

A palavra ―indivíduo‖ é definida como ―a pessoa humana, considerada em suas características particulares‖. Isso significa que, apesar da raça em comum, possuímos, sem exceção, diferenças físicas e biológicas. Assim, o termo ―gêmeos idênticos‖ não pode ser considerado literalmente e o correto seria ―gêmeos quase idênticos‖.

Mas o que influencia cada pessoa a ser como é? Um conjunto bastante

amplo de fatores pode explicar as características individuais: Genética: trata-se do verdadeiro ―documento de identidade‖ do ser humano; Metabolismo: abrange o funcionamento de todos os órgãos e seus componentes, desde uma única célula ao corpo humano por inteiro; Meio ambiente: inclui aspectos como a cultura, educação, relações interpessoais, etc.; Estilo de vida: hábitos alimentares, atividade física, tabagismo, alcoolismo, entre outros.

A obesidade está relacionada com um ou vários desses fatores. Define-se obesidade como uma doença caracterizada pelo excesso de gordura

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corporal, que ocasiona prejuízos à saúde do indivíduo. A obesidade coincide com um aumento de peso mas nem todo aumento de peso está relacionado à obesidade, a exemplo de muitos atletas, que são ―pesados‖ devido à massa muscular e não pela gordura corporal.

Existem diversas maneiras de se classificar e diagnosticar a obesidade,

no entanto, uma das mais utilizadas atualmente baseia-se na gravidade do excesso de peso, o que se faz através do cálculo do Índice de Massa Corporal (IMC), utilizando-se a seguinte fórmula: IMC = Peso atual (kg) / altura2 (m2 )

O uso do IMC resulta ser prático e simples. A aplicação do IMC não é indicada para crianças em função das rápidas alterações corporais decorrentes do crescimento.

A classificação a seguir, demonstra os diferentes graus de obesidade em indivíduos com idade igual ou superior a 18 anos: Grau de obesidade - Valor do IMC (kg/m2) – 0 Menor ou igual a 24.9 I 25 a 29.9 II 30 a 39,9 III 40 ou mais

Quanto maior for o IMC de um indivíduo, maior sua chance de morrer

precocemente e de desenvolver doenças do tipo diabetes, hipertensão arterial e doenças cardiovasculares. Mas isso não significa dizer que quanto mais magro melhor pois o índice de mortalidade também aumenta em indivíduos com IMC muito baixo, especialmente por causa de doenças infecciosas e dos pulmões. O ideal é manter-se na faixa de normalidade.

Classificação médica para pessoas maiores de 18 anos:

desnutrição: IMC = <18,5kg/m2; peso adequado: IMC = 18,5-24,9kg/m2; sobrepeso: IMC = 25-29,9kg/m2; obesidade: IMC = ≥30,0kg/m2.

Classificação médica para para pessoas de 10 a 18 anos. Baixo peso Sobrepeso

Meninos Meninas Meninos Meninas Idade (anos) 10 - 10,9 15 15 20 21 11 - 11,9 15 15 20 22 12 - 12,9 16 16 21 23 13 - 13,9 16 17 22 23 14 - 14,9 16 17 22 24 15 - 15,9 17 18 23 25 16 - 16,9 18 18 23 25 17 - 17,9 18 18 23 25

O número de crianças e adultos obesos é cada vez maior, seja em países pobres ou ricos, ou nos que se caracterizam por uma população magra,

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como é o caso do Japão. A Organização Mundial de Saúde passou a considerar a obesidade como um problema de saúde pública tão preocupante quanto a desnutrição.

No Brasil, estima-se que a obesidade infantil atinja 20% das crianças e

cerca de 32% da população adulta apresenta algum grau de excesso de peso. A obesidade é um problema sério em todas as regiões do país, mas a situação é ainda mais crítica no Sul. Nos Estados Unidos, 34% dos homens e 55% das mulheres adultos são obesos. Causas

São quatro os fatores que ajudam o indivíduo a engordar: ou ele come muito ou tem gasto calórico diminuído ou acumula gorduras mais facilmente ou têm mais dificuldade de queimá-las.

Todas essas condições ocorrem não apenas por mecanismos orgânicos mas também devido a fatores genéticos.

O gasto calórico significa a queima de energia que uma pessoa

apresenta durante as 24 horas do dia e isso inclui o gasto calórico com a atividade física.

A capacidade de transformar calorias em gorduras varia de indivíduo

para indivíduo e isso explica por que dois indivíduos com mesmo peso e altura, que comam os mesmos alimentos, podem acumular gordura com menor ou maior eficiência e este último é que tenderá a ser gordo.

Uma outra causa é a presença de doenças de origem hormonal. Contudo, são causas raras de obesidade, inferior a 10% dos casos. O hipotireoidismo é um exemplo.

Pessoas sedentárias, isto é, que não praticam atividade física,

apresentam um gasto calórico reduzido e podem ter mais dificuldade de queimar a gordura e mais facilidade para armazená-la.

Nas últimas décadas, o brasileiro de um modo geral, substituiu

atividades como esportes e caminhadas pela televisão, considerada principal opção de lazer das diferentes camadas da população.

A modernização dos processos produtivos também foi responsável pela

redução da atividade física. Assim, a forma de trabalhar e de viver de grande parte dos brasileiros requer cada vez menos energia.

Como visto anteriormente, a obesidade não apresenta uma única causa.

No entanto, a mais simples de ser compreendida e também a mais divulgada é a que se deve a um maior consumo de alimentos (calorias) em relação a um menor gasto de energia.

Exemplos de maus hábitos alimentares que ajudam a engordar:

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Não ter horários fixos para comer, ou seja, ―beliscar‖ a toda hora, a pessoa perde o controle da quantidade que comeu e come muito sem nem perceber; Exagerar no consumo de alimentos gordurosos como frituras, manteiga, óleos, doces cremosos, chocolates, etc.; Fazer ―dietas da moda‖, responsáveis pelo efeito ioiô, isto é, o ―emagrece-e-engorda‖ dos que fazem esses tipos de dieta; Ficar longos períodos em jejum, o que aumenta a fome e o apetite, favorecendo o consumo de maior quantidade de alimentos; Fazer poucas refeições durante o dia e em grandes volumes, podendo aumentar o volume do estômago e também a quantidade de alimentos que a pessoa consegue ingerir. Outros fatores relacionados à obesidade

Dados de uma pesquisa sobre a obesidade na população adulta brasileira realizada em 1989 associaram alguns possíveis fatores que explicariam os altos índices de obesidade no país. São eles: Dieta desequilibrada onde predominam alimentos muito calóricos e de fácil acesso à população mais carente (cereais, óleo, açúcar); Redução do tamanho da família, aumentando a disponibilidade de alimentos no domicílio Melhora da infra-estrutura básica, aumentando a expectativa de vida da população e provavelmente, por conseqüência, o peso da mesma já que o percentual de gordura aumenta com a idade; Estrutura demográfica: maior concentração de pessoas na área urbana, proporcionando menor gasto energético, acesso a variados tipos de alimentos (principalmente industrializados) e também maior expectativa de vida. Conseqüências

Diversas doenças e condições clínicas estão associadas à obesidade. Alguns exemplos são: Apnéia do sono; Acidente vascular cerebral, conhecido popularmente como derrame cerebral; Fertilidade reduzida em homens e mulheres; Hipertensão arterial ou ―pressão alta‖; Diabetes Dislipidemias; Doenças cardiovasculares; Cálculo biliar; Aterosclerose; Vários tipos de câncer como o de mama, útero, próstata e intestino; Doenças pulmonares; Problemas ortopédicos; Gota.

São bastante variados os prejuízos que o excesso de peso pode causar ao indivíduo e envolvem desde distúrbios não fatais, embora comprometam seriamente a qualidade de vida, até o risco de morte prematura. Os dados

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existentes são alarmantes: estima-se que mais de 80 mil mortes ocorridas no país poderiam ter sido evitadas se tais indivíduos não fossem obesos.

Tratamento

O objetivo atual do tratamento da obesidade consiste em se alcançar um peso saudável e não mais o peso ideal. Mas o que seria o peso saudável? Aqueles das modelos e bailarinas extremamente magras ou dos artistas de televisão? Com certeza não. O peso saudável é aquele que se está no ―tamanho‖ adequado para desempenhar as atividades (internas e externas) do organismo, nem para mais, nem para menos. Trata-se de um peso onde as complicações associadas à obesidade são nulas ou mínimas.

Um corpo bonito ou magro não é sinônimo de saudável. É necessário

analisar cada caso separadamente pois as necessidades variam de acordo com o indivíduo e por isso não é coerente querer ter o corpo igual ao de uma outra pessoa; o peso saudável, então, é aquele adequado para o seu caso e o de mais ninguém. Um nutricionista e/ou médico são os profissionais de saúde que podem avaliar a adequação do peso dos indivíduos.

O tratamento da obesidade varia de acordo com a gravidade da doença,

tornando-se necessária, em casos específicos, a associação de medicamentos ou até mesmo intervenções cirúrgicas. No entanto, existem recomendações gerais que são adequadas para a grande maioria dos obesos: educação (ou reeducação) alimentar, atividade física e a participação familiar e comunitária nesse processo. Esses temas serão abordados a seguir.

A educação (ou reeducação) alimentar

É preciso que a pessoa entenda e aprenda (ou reaprenda) o significado e a importância de se comer bem (e não bastante!), isto é, mudar os maus hábitos alimentares e adquirir os bons.

Trata-se de um novo estilo de vida, de ampliar conceitos, mudar

costumes... o que não é nada fácil, ainda que possível. E é acreditando nessa possibilidade que se deve dar muita importância e ênfase à educação alimentar.

O aprendizado pode e deve ocorrer em qualquer lugar, mas a escola é

um espaço privilegiado para o estudo da alimentação e da nutrição como ciência, arte, técnica e história. A escola deve atuar como um laboratório em permanente atividade de busca, de inquietação, de interrogações sobre o homem e as suas condições de vida, pois é nesse mesmo local que se revelam as dificuldades que existem fora dele e onde estas podem ser solucionadas.

Orientações nutricionais

Algumas orientações nutricionais com o objetivo de educação alimentar e prevenção da obesidade são:

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Seja realista: faça pequenas mudanças no modo como você se alimenta e no seu nível de atividade física. Não comece com grandes alterações, vá passo a passo. Após o primeiro pequeno sucesso estabeleça um novo objetivo e prossiga; Seja aventureiro: saia da mesmice! Experimente alimentos e preparações que você não conhece, especialmente as que são à base de frutas e verduras. Aquele alimento que você nunca experimentou: tente, ele pode ser gostoso e irá contribuir para melhorar o seu consumo de nutrientes; Seja flexível: não fique pensando se você cumpriu ou não os seus objetivos em apenas uma refeição. O ideal é que se tenha um plano diário, mas caso você exagere em uma refeição, coma menos na próxima; Seja sensível: aprecie todos os tipos de alimentos e preparações; Prefira uma dieta pobre em gordura e em colesterol e rica em frutas e verduras; Modere as quantidades de açúcares, sal e sódio; Beba, no mínimo, 8 copos de água por dia entre as refeições; Estabeleça horários fixos para se alimentar; Fracione a alimentação em 5 ou 6 refeições (café da manhã, lanche, almoço, lanche da tarde, jantar e ceia), reduzindo a quantidade consumida em cada uma delas; Prepare o prato com toda a quantidade de alimentos a ser consumida para que se tenha o controle da quantidade a ser ingerida; Prefira ambientes agradáveis para realizar as refeições e evite assistir televisão enquanto come; Ao iniciar o almoço ou jantar, coma primeiro os vegetais crus e folhosos, como o alface e a rúcula, pois eles promovem uma sensação de saciedade mais rápida. Isso fará com que sua fome diminua e irá comer os outros alimentos em menor quantidade; SEJA ATIVO! Incorpore a atividade física no seu dia-a-dia. Ande até a padaria, desça um ponto antes da sua casa e escola. Vale tudo!

É importante deixar claro que essas são apenas algumas orientações gerais. A obesidade, como referido anteriormente, é uma doença, e como tal deve ser orientada e tratada pelo profissional adequado, que neste caso é o nutricionista ou médico. O professor deve orientar o aluno ou o responsável por este a dirigir-se a um serviço de saúde para receber informações mais específicas. Participação da escola e da família

O processo de educação alimentar deve contar com a participação de toda a família, especialmente quando se trata de mudar os hábitos das crianças pois elas se espelham nos adultos, o que torna de igual importância o exemplo dos professores e educadores.

EXERCICIOS:

1- Calcule o índice de massa corporal de quatro colegas da classe de aula. 2- Calcule o grau de obesidade conforme o IMC calculado. 3- Dê a classificação médica conforme o IMC.

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4- SITUAÇÃO DIDÁTICA NAS OPERAÇÕES ARITMÉTICAS

1) Mostre, usando o ábaco, como fazer a adição de: a) 1 2 4 + 2 3 2 b) 6 7 5 + 1 3 7 c) 2 0 8 + 2 0 2

2) Mostre, usando o ábaco, como fazer a subtração: a) 4 3 5 – 2 1 2 b) 3 4 2 - 1 6 5

c) 4 0 0 – 1 9 9

5 - SITUAÇÕES DIDÁTICAS NO ESTUDO DE FRAÇÕES

FRAÇÕES PRÓPRIAS

FAÇA A REPRESENTAÇÃO DA FRAÇÃO 3

2.

COMO PARTE DO TODO COMO DIVISÃO DO TODO EM PARTES DIVIDIR DOIS INTEIROS PARA TRÊS PESSOAS. QUANDO TEM CADA PESSOA? QUAL A REPRESENTAÇÃO FRACIONÁRIA DA DIVISÃO DE 3 INTEIROS PARA 5?

FRAÇÕES IMPRÓPRIAS

FAÇA A REPRESENTAÇÃO DA FRAÇÃO 2

5.

COMO PARTE DO TODO. Esssssss

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COMO DIVISÃO DO TODO EM PARTES DIVIDIR POR DUAS PESSOAS. QUANTO TEM CADA PESSOA?

FRAÇÕES APARENTES

COMO PARTE DO TODO E COMO DIVISÃO DO TODO EM PARTES. OS PROCEDIMENTOS SÃO OS MESMOS DO QUE FIZEMOS ANTERIORMENTE.

FAÇA OS PROCEDIMENTOS PARA A REPRESENTAÇÃO DE 2

4COMO

PARTE DO TODO E COMO DIVISÃO DO TODO EM PARTES.

FRAÇÕES EQUIVALENTES

REPRESENTAR COMO PARTE DO TODO AS FRAÇÕES 3

2 E

6

4.

2/3 4/6 REPRESENTAM A MESMA PORÇÃO? SÃO FRAÇÕES EQUIVALENTES?

REPRESENTAR COMO PARTE DO TODO AS FRAÇÕES 2

3 E

4

6.

2

3

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4

6

REPRESENTAM A MESMA PORÇÃO? SÃO FRAÇÕES EQUIVALENTES? ADIÇÃO DE FRAÇÕES COM DENOMINADORES IGUAIS.

FAZER A ADIÇÃO DE 5

3 +

5

1 PELA REPRESENTAÇÃO COMO PARTE DO

TODO.

ADIÇÃO DE FRAÇÕES COM DENOMINADORES DIFERENTES.

FAZER A ADIÇÃO 3

2

2

1 PELA REPRESENTAÇÃO COMO PARTE DO

TODO. HÁ NECESSIDADE DE FAZER COM QUE AS FRAÇÕES TENHAM OS MESMOS DENOMINADORES? ISSO FACILITA A VISUALIZAÇÃO DA ADIÇÃO DAS PARTES DO TODO?

FAZER A SUBTRAÇÃO DE 3

1

2

3 PELA REPRESENTAÇÃO COMO PARTE

DO TODO.

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MULTIPLICAÇÃO DE FRAÇÕES.

REPRESENTAR 2

1 DE

3

2 DO TODO.

QUAL A FRAÇÃO QUE INDICA 2

1 X

3

2 .

REPRESENTAR 2

1 X

2

3.

QUAL A FRAÇÃO QUE INDICA 2

1 X

2

3?

DIVISÃO DE FRAÇÕES.

2

1 DIVIDIDO POR

3

2 . QUANTAS VEZES

3

2 ESTÁ DENTRO DE

2

1NO

TODO?

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6- SITUAÇÕES DIDÁTICAS USANDO O COMPUTADOR

UTILIZAÇÃO DO WINPLOT PARA CONSTRUÇÃO DE SITUAÇÕES DIDÁTICAS.

O Winplot desenha gráficos em duas ou três dimensões. Mostraremos os gráficos em duas dimensões.

Ao iniciar o programa selecione no menu principal a opção de gráficos

em duas dimensões ―2-dim” ou pressione a tecla F2 do teclado.

Tela inicial do Winplot

A principal função do Winplot é traçar gráficos de funções e efetuar

algumas operações sobre elas. Também é possível inserir pontos e traços. É possível plotar a maioria das funções elementares (veja as funções

disponíveis no final deste texto). Para que o Winplot desenhe os gráficos é necessário observar a sintaxe correta ao inserir os dados da função. Gráficos de funções

a) Função explícita Clicando em ―Equação” no menu principal e em seguida na opção “Explícita” será mostrada a janela onde será inserida a fórmula da função desejada.

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Nesta caixa de texto insere-se a fórmula da função. Indique nesta caixa de texto o intervalo do domínio da função a ser

plotada e marque a opção ―travar intervalo‖. Ao pressionar o botão “Ok”, o winplot desenha o gráfico solicitado.

O gráfico é exibido de forma bem simplificada. Alguns detalhes podem

ser adicionados ao editá-lo e ao modificar algumas opções de visualização do gráfico. Para editá-lo é necessário acessar o ―inventário de funções‖. Isto pode

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ser feito através do atalho no teclado: Ctrl + i. Para acessar as opções de visualização do gráfico, deve clicar-se em ”Ver” na barra de menu. Existem várias opções. A janela de inventário

Ao acessar a janela de inventário o usuário tem as seguintes opções: 1. Editar: Nesta opção é possível modificar a fórmula da função, determinar um novo intervalo a ser plotado, alterar a cor e espessura do traço. 2. Apagar: Elimina uma equação selecionada (e todas que dependem dela) do inventário. Não existe uma opção ―voltar‖ para esta operação. 3. Dupl: Duplica a função selecionada. Útil para não ter que escrever uma função similar a uma que já esteja no inventário. 4. Copiar: Copia a fórmula da equação para a área de transferência do sistema. 5. Derivar: O programa gera o gráfico da derivada da função. 6. Nome: Útil quando se trabalha com muitas funções. 7. Mostrar gráfico: Ao clicar uma vez, oculta o gráfico. Para exibi-lo clique outra vez. 8. Mostrar equação: Exibe a sentença da função no gráfico. 9. Família: Converte a equação em uma família de curvas (ou pontos). Para que funcione, o exemplo deve ser definido por uma equação que tem um parâmetro extra. Indique o parâmetro extra na caixa "parâmetro", coloque o intervalo dos nas caixas "min" e "max" e indique quantas curvas devem estar na família na caixa "passo". Clique em "definir" para completar o processo e ver o gráfico. 10. Tabela: Exibe uma tabela com valores da função dentro do intervalo plotado. Janela de inventário de funções. Opções de visualização Veremos como melhorar a apresentação de um gráfico a partir de pequenas modificações. No item “Ver”, temos a opção ―grade‖ que pode ser acessada pelo atalho “Crtl G” do teclado. Faça as modificações segundo a figura abaixo:

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No inventário de funções, clique nos botões “Mostrar equa” e “tabela”.

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Anexo

Extraído do arquivo de ajuda do Winplot com adaptações e correções. Tradução do Profª Adelmo Ribeiro de Jesus, Universidade Estadual da Bahia.

O interpretador de funções deste programa foi projetado para

reconhecer a maioria das funções elementares, tais como:

Pi = 3,14159, ln, log, exp, sin, cos, tan, csc, sec, cot, sinh, cosh, tanh, coth, arcsin, arccos, arctan, arccot, argsinh, argcosh, argtahn, argcoth, floor, ceil, int [ int(-2.3) = -2.0 ], sqr = sqrt = raiz quadrada, abs(x) = |x| , e , assim como as funções não tão elementares: root(n,x) = raiz enésima de x, pow(n,x) = enésima potência de x, iter(n,f(x)) = n-iterado de f(x), abs(x,y) = sqrt(x*x+y*y), abs(x,y,z) = sqrt(x*x+y*y+z*z), arg(x,y) = ângulo polar [ -pi < ângulo <= pi ], max(a,b,..) e min(a,b,..) , mod(x,y) = x - |y|*floor(x/|y|) ,

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sgn(x) = x/abs(x), frac(x) = x-int(x) hvs(x) = função Heaviside (1+sgn(x))/2, erf(x) = a função erro padrão, binom(n,r) = n!/r!/(n-r)!, sum(b,f(n,x)) = soma de f(n,x) para n=1 à n=b, prod(b,f(n,x)) = produto de f(n,x) para n=1 à n=b, rnd(x) = valor aleatório entre -x e x, lg(b,x) = ln(x)/ln(b).

SITUAÇÕES DIDÁTICAS COM O USO DO WINPLOT.

1- O ESTUDO DE FUNÇÕES COM O SUPORTE DO SOFTWARE

WINPLOT.

1- Num mesmo par de eixos, desenhe os gráficos de f(x) = x, f(x) = x+1, f(x) = x + 2; f(x) = x - 4. Tire conclusões. 2- Num mesmo par de eixos, desenhe os gráficos de f(x) = (1/10)x, f(x) =(1/5) x, f(x) = x, f(x) = 4x, f(x) =10x. Tire conclusões. 3 - Num mesmo par de eixos, desenhe os gráficos f(x) = (1/5)x2, f(x) = (1/2) x 2, f(x) = x2 , f(x) = 2 x2, f(x) = 4 x2. Tire conclusões.

4- Num mesmo par de eixos, desenhe os gráficos f(x) = x2, f(x) = x2+ 1, f(x) = x2 + 3, f(x) = x2

- 2, f(x) = x2 - 5. Tire conclusões.

2 - ABORDAGEM GEOMÉTRICA NAS RESOLUÇÕES DAS INEQUAÇÕES

COM O SUPORTE DO SOFTWARE WINPLOT. 1- Represente, no sistema cartesiano ortogonal, o gráfico da função y = - x+1. Determine o valor da abscissa do ponto que está sobre o eixo x observando que este ponto tem ordenada zero. Como representar, algebricamente, o problema e sua resolução? 2- Determine, observando o gráfico do primeiro exercício, os valores das abscissas (x) de todos os pontos do gráfico que estão abaixo ou sobre o eixo x? Observe que esses pontos têm a ordenada (y) negativa ou nula. Como representar, algebricamente, o problema e sua resolução? 4 - Determine, observando o gráfico do primeiro exercício, os valores das abscissas (x) de todos os pontos do gráfico que estão acima do eixo x? Observe que esses pontos têm a ordenada (y) positiva.

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Como representar, algebricamente, o problema e sua resolução? 5 - Resolva a inequação - 2x – 4 0 através da representação geométrica.

6 - Represente o gráfico da função y = x+2. 4- Verifique os valores de x (abscissas dos pontos do gráfico) que têm y (ordenadas dos pontos do gráfico) positivos; negativos; nulos. (Você está fazendo o estudo do sinal da função y = x+2).

5- Represente o gráfico da função y = -2x-2. Verifique os valores de x (abscissas dos pontos do gráfico) que têm y (ordenadas dos pontos do gráfico) positivos; negativos; nulos. (Você está fazendo o estudo do sinal da função y = -2x- 2). 6- Como resolver, geometricamente, a inequação (x+3) < 0? 7- Como resolver, geometricamente, a inequação (-2x - 4) 0 ?

3- ABORDAGEM GEOMÉTRICA NAS RESOLUÇÕES DAS INEQUAÇÕES PRODUTO E QUOCIENTE COM O SUPORTE DO SOFTWARE WINPLOT.

1- Represente, no mesmo sistema cartesiano ortogonal, os gráficos das funções y = x + 2 e y = - 2x – 2. Verifique, para cada gráfico, os valores de x (abscissas dos pontos do gráfico) que têm y (ordenadas dos pontos do gráfico) positivos; negativos; nulos.

2 - Verifique os valores de x que têm y positivos, negativos, nulos numa nova

função obtida pelo quociente entre as funções dadas, isto é, 22

2

x

xy ,

fazendo o gráfico no mesmo sistema em que representou as funções y = x + 2 e y = - 2x – 2. Para isso, faça, no mesmo sistema, a representação do

gráfico da função 22

2

x

xy e observe os valores de x dos pontos desse

gráfico que tem y positivos; negativos; nulos.

3 - Você é capaz de resolver a inequação 22

2

x

xy somente com as

representações dos gráficos das funções y = x + 2 e y = - 2x – 2? 4 - Resolva, geometricamente, as inequações: (4x – 4) x ( x + 3) > 0 ( x+3) x ( 2x + 4) < 0

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4- USO DO WINPLOT NA GEOMETRIA ANALÍTICA. 1- Representar os pontos ( 1, 2 ) ; ( - 2, 3 ); ( 1, - 3 ); ( - 4, - 3 ) em cores

diferentes. 2- Refletir o ponto ( - 2, 3 ) em relação ao eixo x, em relação ao eixo y e em relação à reta y = x. Observe os pontos e tire conclusões. 3- Representar o gráfico da equação 2x + 3y + 4 = 0. Representar o gráfico da equação y = (- 2/3)x – (4/3). Observe os dois gráficos e tire conclusões. 4- Representar os gráficos das equações y = 2x – 2 e y = - 3x + 5. Determine o ponto de intersecção entre os gráficos. 5 - Representar os gráficos das equações y = 3x – 1 , y = 3x + 4, y =3x +2. Tire conclusões em relação aos gráficos e as equações dadas. 6 - Representar os gráficos das equações y = ½ x + 2 e y = - 2x - 3 . Tire conclusões em relação aos gráficos e as equações dadas. 7-Representar os gráficos das equações 2y – 3x + 1 = 0 e 4y – 6x + 2 = 0. Tire conclusões em relação aos gráficos e as equações dadas.

8-Representar os gráficos das equações x2 + y 2 = 4 e 144

22 yx. Observe

os gráficos e tire conclusões.

9- Representar o gráfico da equação e . 194

22 yx. Observe o gráfico e tire

conclusões. 10- Representar o gráfico da equação ( x – 2)2 + ( y + 3)2 =16. Observe o gráfico e tire conclusões. 11- Representar o gráfico de ( x - 2)2 + ( y + 3 )2 = 1. Observe o gráfico e tire conclusões. 16 9

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5- ABORDAGEM GEOMÉTRICA NAS RESOLUÇÕES DE SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES COM O SUPORTE DO SOFTWARE WINPLOT.

Equações lineares a1x1 + a2x2 + a3x3 + . . . anxn = b a1, a2, a3 . . . an são coeficientes numéricos. x1, x2, x3, xn são incógnitas de grau um. b é o termo independente ( número). Exemplos: a)_3x + 2y = 1 (Mostrar no Winplot). b) 2x + y + z = 1 (Mostrar no Winplot). x 2 + y = 2 não é linear. (Mostrar no Winplot). x1/2 + y = 1 não é linear. ( Mostrar no Winplot) Soluções de uma equação linear a) Soluções da equação linear 3x + 2y = 1. 2y = 1 – 3 x

y = 2

31 x

Soluções: ( 1, -1 ); ( 0, ½ ) , etc. (Mostrar, no winplot, que esses pontos são pontos do gráfico 3x + 2y = 1). Verificar, graficamente, se x = 3,4 e y = - 4,6 é solução. ( Ver no winplot) b) Soluções da equação linear 2x + y + z = 1. z = 1 – 2x – y. Soluções: x = 1, y = 2, z = -3 ; x = 2, y = -1, z = -2; etc (Mostrar, no winplot, que esses pontos são pontos do gráfico 2x + y + z = 1). Onde o plano intercepta os eixos? Estes pontos são, também, soluções do sistema. ( Mostrar no winplot ) Verificar, geometricamente, se x = 1.4; y = 2,3 e z = - 4,1 é solução da equação 2x + y + z = 1. ( Ver no winplot) . Solução da equação linear 2x = 4. x = 2 Equação Linear Homogênea. Termo independente é zero. Exemplos: 3x + 2y = 0 x = 0, y = 0 é uma solução. Solução trivial (Mostrar no winplot a solução trivial). x – 2y + z = 0. x = 0, y = 0, z = 0 é uma solução. Solução trivial. (Mostrar no winplot a solução trivial).

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7- SITUAÇÕES DIDÁTICAS ATRAVÉS DAS RESOLUÇÕES DE PROBLEMAS.

Resolução de problemas é um caminho para o ensino de Matemática

que vem sendo discutido ao longo dos últimos anos. A História da Matemática mostra que ela foi construída como resposta a

perguntas provenientes de diferentes origens e contextos, motivadas por problemas de ordem prática (divisão de terras, cálculo de créditos), por problemas vinculados a outras ciências (Física, Astronomia), bem como por problemas relacionados a investigações internas à própria Matemática.

Todavia, tradicionalmente, os problemas não têm desempenhado seu

verdadeiro papel no ensino, pois, na melhor das hipóteses, são utilizados apenas como forma de aplicação de conhecimentos adquiridos anteriormente pelos alunos. A prática mais freqüente consiste em ensinar um conceito, procedimento ou técnica e depois apresentar um problema para avaliar se os alunos são capazes de empregar o que lhes foi ensinado.

Para a grande maioria dos alunos, resolver um problema significa fazer

cálculos com os números do enunciado ou aplicar algo que aprenderam nas aulas. Desse modo, o que o professor explora na atividade matemática não é mais a atividade, ela mesma, mas seus resultados, definições, técnicas e demonstrações.

Por exemplo: Resolver a equação do Segundo Grau x2 - 3x + 2 = 0 Ache o vértice da parábola representada pela função f(x) = x2 - 3x + 2 Conseqüentemente, o saber matemático não se apresenta ao aluno

como um sistema de conceitos, que lhe permite resolver um conjunto de problemas, mas como um interminável discurso simbólico, abstrato e incompreensível. Nesse caso, a concepção de ensino e aprendizagem subjacente é a de que o aluno aprende por reprodução/imitação.

Vejamos as seguintes situações: Um jardim retangular tem 6 m de largura por 8m de comprimento. Seu

proprietário diminuirá o jardim, que passará a ter a metade da área inicial. Em volta do jardim será construída uma calçada de largura x. Qual é a largura x?

O senhor Alzir dispõe de 100 m de tela para construir uma cerca em um

terreno retangular com 600 m2 de área. Quais são as dimensões dessa cerca? Para uma partida de futebol de praia, devo demarcar uma região

retangular utilizando uma corda de 100 m. Qual a área máxima desse campo de futebol. Quais são as dimensões do campo de futebol?

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Ao colocar o foco na resolução de problemas, o que se defende é uma proposta que poderia ser resumida nos seguintes princípios:

• o ponto de partida da atividade matemática não é a definição, mas o problema. No processo de ensino e aprendizagem, conceitos, idéias e métodos matemáticos devem ser abordados mediante a exploração de problemas, ou seja, de situações em que os alunos precisem desenvolver algum tipo de estratégia para resolvê-las; • o problema certamente não é um exercício em que o aluno aplica, de forma quase mecânica, uma fórmula ou um processo operatório. Só há problema se o aluno for levado a interpretar o enunciado da questão que lhe é posta e a estruturar a situação que lhe é apresentada; • aproximações sucessivas ao conceito são construídas para resolver um certo tipo de problema; num outro momento, o aluno utiliza o que aprendeu para resolver outros, o que exige transferências, retificações, rupturas, segundo um processo análogo ao que se pode observar na história da Matemática; • o aluno não constrói um conceito em resposta a um problema, mas constrói um campo de conceitos que tomam sentido num campo de problemas. Um conceito matemático se constrói articulado com outros conceitos, por meio de uma série de retificações e generalizações; • a resolução de problemas não é uma atividade para ser desenvolvida em paralelo ou como aplicação da aprendizagem, mas uma orientação para a aprendizagem, pois proporciona o contexto em que se pode apreender conceitos, procedimentos e atitudes matemáticas.

Considerados esses princípios, convém precisar algumas características das situações que podem ser entendidas como problemas.

Um problema matemático é uma situação que demanda a realização de

uma seqüência de ações ou operações para obter um resultado. Ou seja, a solução não está disponível de início, no entanto é possível construí-la. Em muitos casos, os problemas usualmente apresentados aos alunos não constituem verdadeiros problemas, porque, via de regra, não existe um real desafio nem a necessidade de verificação para validar o processo de solução.

O que é problema para um aluno pode não ser para outro, em função do

seu nível de desenvolvimento intelectual e dos conhecimentos de que dispõe. Resolver um problema pressupõe que o aluno:

• elabore um ou vários procedimentos de resolução (como, por exemplo, realizar simulações, fazer tentativas, formular hipóteses); • compare seus resultados com os de outros alunos; • valide seus procedimentos.

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Resolver um problema não se resume em compreender o que foi proposto e em dar respostas aplicando procedimentos adequados. Aprender a dar uma resposta correta, que tenha sentido, pode ser suficiente para que ela seja aceita e até seja convincente, mas não é garantia de apropriação do conhecimento envolvido. Além disso, é necessário desenvolver habilidades que permitam pôr à prova os resultados, testar seus efeitos, comparar diferentes caminhos, para obter a solução. Nessa forma de trabalho, o valor da resposta correta cede lugar ao valor do processo de resolução.

O fato de o aluno ser estimulado a questionar sua própria resposta, a

questionar o problema, a transformar um dado problema numa fonte de novos problemas, evidencia uma concepção de ensino e aprendizagem não pela mera reprodução de conhecimentos, mas pela via da ação refletida que constrói conhecimentos.

OBJETIVOS DA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS

- Fazer o aluno pensar produtivamente. Situações problemas que envolvam, que desafiem e motivem a resolução. -Desenvolver o raciocínio do aluno. Desenvolver no aluno a habilidade de elaborar um raciocínio lógico e fazer uso inteligente e eficaz dos recursos disponíveis, para que ele possa propor boas soluções às questões que surgem em seu dia-a-dia, na escola ou fora dela. - Ensinar o aluno a enfrentar situações novas. Ensinar apenas conceitos e algoritmos não é um bom caminho. Preparar o aluno para lidar com situação – problema. -Dar oportunidade de se envolver com as aplicações da Matemática. Logo nos primeiros contatos com a Matemática, os alunos começam a detestá-la ou tornam-se indiferentes a ela. Pouco envolvimento dos alunos com aplicações. Dar oportunidade de usar a matemática no dia-a-dia. -Tornar as aulas de Matemática mais interessantes e desafiadoras. Buscar a solução de um problema é desafiador. - Equipar o aluno com estratégias para resolver problemas. Estratégias que se aplicam a um grande número de situações. -Dar uma boa base matemática as pessoas. Formar cidadão matematicamente alfabetizados, que saibam como resolver problemas do seu dia-a-dia.

OS VÁRIOS TIPOS DE PROBLEMAS.

Exercícios de reconhecimento. Seu objetivo é fazer com que o aluno reconheça, identifique ou lembre de um conceito, uma definição, uma propriedade.

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Ex: Dados os números 2, 5, 10, 103, 156 e 207, quais são pares? Exercícios de algoritmos. Ex. Calcule o valor [(3 x 4) + 2] : 7 Problemas – padrão. Envolve a aplicação direta de um ou mais algoritmos e não exige qualquer estratégia. Ex. Numa classe há 17 meninos e 22 meninas. Quantos alunos há na classe. Problemas heurísticos. São problemas cuja solução envolve operações que não estão contidas no enunciado. Ex. Numa reunião de equipe há seis alunos. Se cada um trocar um aperto de mão com todos os outros, quantos apertos de mão teremos ao todo? Problemas de aplicação. Para fazer seu relatório, um diretor de escola precisa saber qual é o gasto mensal que ele tem com a merenda escolar. Vamos ajudá-lo a fazer os cálculos? Problemas recreativos( Jogos Matemáticos)

COMO SE RESOLVE UM PROBLEMA - Compreender um problema. O que se pede no problema? Quais são os dados e as condições do problema? È possível fazer uma representação? È possível estimar a resposta? - Elaborar um plano. Você já resolveu um problema como este antes? Você se lembra de um problema que pode ajudá-lo a resolver este? È possível resolver o problema por partes? È possível criar um modelo para resolver o problema? - Executar o plano E preciso executar um plano elaborado (mesmo que seja mental). - Fazer o retrospecto ou verificação. Analisamos a solução obtida e fazemos a verificação do resultado.

Como exemplo de problemas, apresentamos a seguinte situação

envolvendo uma equação do 2º grau: Duzentas e quarenta figurinhas devem ser repartidas por um grupo de meninos, mas na hora de reparti-las 5 meninos não apareceram para pegar as suas figurinhas. Por causa disso, cada menino recebeu 8 figurinhas a mais. Quantos meninos receberam figurinhas?

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Para resolver este problema será necessário que o aluno traduza o

enunciado para a linguagem matemática apropriada5

2408

240

xx, realizando

manipulações algébricas para chegar à expressão 8x2 – 40x – 1200 = 0 (ou x2 – 5x – 150 = 0). Após estes passos, o aluno poderá utilizar algum procedimento padronizado para a resolução, como por exemplo, a aplicação da fórmula de Bhaskara.

Como exemplo de um exercício, poderíamos propor ao aluno que

resolvesse a seguinte equação do 2º grau: 8x2 – 40x – 1200 = 0. Neste caso solicita-se ao aluno a aplicação imediata, por exemplo, da fórmula de Bhaskara, não requerendo do mesmo outras habilidades matemáticas.

Destacamos que a proposição de problemas deve estar vinculada aos

objetivos didáticos, à realidade escolar e à extra-escolar do aluno. Trata-se, portanto, de trabalhá-los em sala de aula através do desejo dos alunos de resolvê-los, pois sabemos que muito da Matemática é mesmo resolução de problemas. Deste modo, professores e alunos desenvolvem o gosto pela Matemática se os problemas desafiarem a curiosidade, estimularem a pesquisa e motivarem a busca por novas estratégias que serão utilizadas e se todo esse conhecimento permitir desenvolver capacidades, tais como o pensar, raciocinar, questionar, criar estratégias e compartilhar idéias para encontrar uma solução ao problema. Por isso, no contexto de educação matemática, professores e pesquisadores do assunto atribuem cada vez mais uma maior relevância a esta metodologia.

Os Parâmetros Curriculares Nacionais (1998), ―enfatizam que o fato de o

aluno ser estimulado a questionar sua própria resposta, a questionar o problema, a transformar um dado problema numa fonte de novos problemas, a formular problemas a partir de determinadas informações, a analisar problemas abertos — que admitem diferentes respostas em função de certas condições — evidencia uma concepção de ensino e aprendizagem não pela mera reprodução de conhecimentos, mas pela via da ação refletida que constrói conhecimentos‖.

Para que o aluno possa construir o conhecimento será necessário que,

diante do enunciado de um problema, ele conheça cada expressão verbal utilizada. Em seguida deverá ser capaz de traduzir cada dado apresentado verbalmente em dados concretos do mundo em que ela vive. Por último precisará entender as relações lógicas constantes do problema para então relacionar os dados entre si e realizar as operações necessárias à solução. Tudo isto supõe o desenvolvimento de certas capacidades do aluno as quais poderão ou não estar presentes.

Um outro fator importante, que deve estar dentro do leque de preocupações de um professor durante a resolução de problemas, é se o aluno possui ou não pré-requisitos para execução do problema proposto. Assim, devemos propor situações que os estudantes tenham condições de resolver. Caso contrário, poderemos estar nutrindo sentimentos de aversão à matemática.

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O professor deve levar seu aluno a superar os procedimentos

padronizados, próprios de uma didática desvinculada de situações reais, é possível consolidar essa nova relação do aluno com o conhecimento adquirido na resolução de problemas.

Devemos propor aos estudantes várias estratégias de resolução de

problemas, mostrando-lhes que não existe uma única estratégia, ideal e infalível. Cada problema exige uma determinada estratégia. A resolução de problemas não deve se constituir em experiências repetitivas, através da aplicação dos mesmos problemas (com outros números) resolvidos pelas mesmas estratégias. O interessante é resolver diferentes problemas com uma mesma estratégia e aplicar diferentes estratégias para resolver um mesmo problema.

Em sala de aula o professor pode trabalhar com as tentativas e os erros

dos alunos, observando o caminho usado para chegar à solução do problema. Essa observação servirá para compreender o raciocínio dos educandos e preparar as discurssões em torno da resolução desses problemas, com o intuito de conceber processos de resolução diferentes dos já aprendidos.

O aluno inexperiente em relação ao processo de resolver problemas,

invariavelmente se apressa em busca das soluções antes de ocupar-se com definir a situação que precisa ser resolvida. Até mesmo pessoas experientes, quando sujeitas a pressão social, submetem-se a esta exigência de fazer as coisas às pressas. Quando agem assim, muitas soluções são encontradas, mas não necessariamente para o problema que se tem à mão.

O professor que deseja desenvolver nos alunos o espírito solucionador e

a capacidade de resolver problemas deve incutir em suas mentes algum interesse por problemas e proporcionar-lhes muitas oportunidades de imitar e de praticar. Além disso, quando o professor resolve um problema em aula, deve dramatizar um pouco as suas idéias e fazer a si próprio as mesmas indagações que utiliza para ajudar os alunos. Por meio desta orientação, o estudante acabará por descobrir o uso correto das indagações e sugestões e, ao fazê-lo, adquirirá algo mais importante do que o simples conhecimento de um fato matemático qualquer.

Todo professor quando começa a trabalhar com resolução de problemas

que exijam habilidades matemáticas deve ter objetivos concretos que favoreçam seus alunos na produção de determinadas transformações, isto é, que estes adquiram certos conhecimentos e capacidades. O ensino, os métodos didáticos empregados, devem estar em função destes objetivos.

O professor não deve dar respostas a perguntas como: este problema é uma equação do primeiro ou do segundo grau? É um problema que envolve soma, subtração, multiplicação ou divisão? A resposta é 9? Pois, do contrário, o problema já estará resolvido e o aluno não pensará mais nele, passando a executar as contas rápida e automaticamente. Algumas possíveis respostas a essas perguntas são: vamos pensar juntos, pense um pouco mais, é realmente o que o problema está pedindo para fazer, discuta isso um pouco com seu

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colega, mostre ao seu colega o que você fez e peça para que ele também lhe conte como planeja resolver o problema. Com essas respostas do professor os alunos continuam envolvidos com o problema e pouco a pouco vão perguntando menos e tornando-se independentes.

Enquanto os alunos trabalham, o professor percorre as carteiras

ajudando, encorajando, dando idéias, pequenas ―dicas‖ (sem contar como se chega à solução), deixando claro quais são os objetivos, os dados do problema, as condições etc.

Depois que a maioria dos alunos solucionou o problema, o professor

pede que alguns façam a resolução no quadro-negro (um de cada vez) explicando o que fizeram e como fizeram, e por que a sua estratégia funcionou. O professor pode também, ele mesmo, ir registrando no quadro as sugestões dos alunos. É comum aparecerem maneiras diferentes de resolver o mesmo problema, inclusive algumas erradas, e é interessante que todas sejam discutidas e analisadas, pois isso incentiva os alunos a sempre tentarem vários métodos.

Deve-se observar que um problema não está necessariamente resolvido

quando o aluno encontrou a resposta certa. Para estar necessariamente resolvido, o aluno precisa saber o que e como fez, e por que sua ação foi apropriada. E isso deve ser parte integrante da resolução do problema, na etapa de revisão da solução.

EXEMPLOS DE SITUAÇÕES DIDÁTICAS PELA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS

1- Alexandre pensou em um número e verificou que o quadrado desse número é igual ao triplo do mesmo número. Em que número Alexandre pensou? - Represente a situação com uma equação. - Resolva a equação obtida e encontre o número em que Alexandre pensou. 2- Duas torneiras enchem um tanque em 6 horas. Sozinha, uma delas gasta 5 horas a mais que a outra. Determine o tempo que uma delas leva para encher esse tanque isoladamente. 3- Num jantar de confraternização, seria distribuído, em partes iguais, um prêmio de R$ 24.000,00 entre os convidados. Como faltaram 5 pessoas, cada um dos presentes recebeu um acréscimo de R$ 400,00 no seu prêmio. Quantas pessoas estiveram presentes nesse jantar? 4- Um número de dois algarismos é tal que, trocando-se a ordem dos seus algarismos, obtém-se um número que o excede de 27 unidades. Determine esse número, sabendo que o produto dos valores absolutos dos algarismos é 18.

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8- SITUAÇÕES DIDÁTICAS ATRAVÉS DOS JOGOS MATEMÁTICOS

Quando uma criança brinca, demonstra prazer em aprender e tem oportunidade de lidar com suas pulsões em busca da satisfação de seus desejos. Ao vencer as frustrações aprende a agir estrategicamente diante das forças que operam no ambiente e reafirma sua capacidade de enfrentar os desafios com segurança e confiança. A curiosidade que a move para participar da brincadeira é, em certo sentido, a mesma que move os cientistas em suas pesquisas. Assim, seria desejável conseguir conciliar a alegria da brincadeira com a aprendizagem escolar.

Pode-se dizer, com base nas características que definem os jogos de

regra, o aspecto afetivo manifesta-se na liberdade da sua prática, prática essa inserida num sistema que a define por meio de regras, o que é , no entanto, aceito espontaneamente. Impõem-se um desafio, uma tarefa, uma dúvida, entretanto é o próprio sujeito quem impõe a si mesmo resolvê-los. Assim, jogar é estar interessado. Não pode ser uma imposição. É um desejo. O sujeito quer participar do desafio, da tarefa. Perder ou ganhar no jogo é mais importante para ele mesmo do que como membro de um grupo. Isto porque é o próprio jogador que se lança desafios, desejando provar seu poder e sua força mais para si mesmo que para os outros.

Num contexto de jogo, a participação ativa do sujeito sobre o seu saber

é valorizado por pelo menos dois motivos. Um deles deve-se ao fato de oferecer uma oportunidade para os estudantes estabelecerem uma relação positiva com a aquisição de conhecimento, pois conhecer passa a ser percebido como real possibilidade. Alunos com dificuldades de aprendizagem vão gradativamente modificando a imagem negativa (seja porque é assustadora, aborrecida ou frustrante) do ato de conhecer, tendo uma experiência em que aprender é uma atividade interessante e desafiadora. Por meio de atividades com jogos, os alunos vão adquirindo autoconfiança, são incentivados a questionar e corrigir suas ações, analisar e comparar pontos de vista, organizar e cuidar dos materiais utilizados. Outro motivo que justifica valorizar a participação do sujeito na construção do seu próprio saber é a possibilidade de desenvolver seu raciocínio. Os jogos são instrumentos para exercitar e estimular um agir-pensar com lógica e critério, condições para jogar bem e ter um bom desempenho.

Particularmente, a participação em jogos de grupo permite conquista

cognitiva, emocional, moral e social para o estudante, uma vez que poderão agir como produtores de seu conhecimento, tomando decisões e resolvendo problemas, o que consiste um estímulo para o desenvolvimento da competência matemática e a formação de verdadeiros cidadãos. Por vezes surgem as competições. A competição não é boa nem má. Ela caracteriza uma situação onde duas pessoas desejam a mesma coisa ou dela necessitam ao mesmo tempo. Esses fatos também ocorrem na vida. O ponto principal é a forma de se reagir diante dela.

O jogo e a competição estão intimamente ligados, e o jogo social não

pode existir ou não tem graça sem esta competitividade. É fato, absolutamente

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lógico, de que na ausência de um vencido, não pode haver um vencedor, assim na impossibilidade de eliminar o caráter competitivo do jogo, o melhor é procurar utilizá-lo no sentido de valorizar as relações, acentuando a colaboração entre os participantes do grupo. O professor não dando tanta importância somente ao ganhador e encarando a competição de forma natural, minimiza o caráter competitivo, embora isso não impeça que as crianças se empenhem ao máximo em ganhar o jogo, já que é esse o seu objetivo. Ao jogar, as emoções vão se equilibrando, transformando a derrota em algo provisório e a vitória em algo a ser partilhado.

A ABORDAGEM DO JOGO NA PERSPECTIVA DA RESOLUÇÃO DE

SITUAÇÕES-PROBLEMAS

Para um trabalho sistemático com jogos é necessário que os mesmos sejam escolhidos e trabalhados com o intuito de fazer o aluno ultrapassar a fase da mera tentativa e erro, ou de jogar pela diversão apenas. Por isso, é essencial a escolha de uma metodologia de trabalho que permita a exploração do potencial dos jogos no desenvolvimento de todas as habilidades (raciocínio lógico e intuitivo), o que pode ser feito por meio da metodologia de resolução de problemas. Neste método, cada hipótese/estratégia formulada, ou seja, cada jogada, desencadeia uma série de questionamentos como: Essa é a única jogada possível? Se houver outra alternativa, qual escolher e porque escolher esta ou aquela? Terminado o problema ou a jogada, quais os erros e porque foram cometidos? Ainda é possível resolver o problema ou vencer o jogo, se forem mudados os dados ou as regras?

Assim, as situações-problema permeiam todo o trabalho, na medida em

que o aluno é desafiado a observar e analisar aspectos considerados importantes pelo professor.

Em geral, situações-problema têm as seguintes características:

a) são elaboradas a partir de momentos significativos do próprio jogo;

b) apresentam um obstáculo, ou seja, representam alguma situação de impasse ou decisão sobre qual a melhor ação a ser realizada;

c) favorecem o domínio cada vez maior da estrutura do jogo;

d) têm como objetivo principal promover análise e questionamentos sobre a ação de jogar, tornando menos relevante o fator sorte e as jogadas por ensaio e erro. As situações-problema podem ocorrer por meio de uma intervenção oral

com questionamentos ou pedidos de justificativas de uma jogada que está acontecendo; uma remontagem de um momento do jogo; ou ainda, uma situação gráfica. No trabalho com os alunos, é interessante propor, sempre que possível, e adequado à idade, diferentes possibilidades de análise, apresentando novos obstáculos a serem superados.

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O PAPEL DO PROFESSOR NO USO DOS JOGOS

O uso de jogos para o ensino, representa, em sua essência, uma mudança de postura do professor em relação ao o que é ensinar matemática, ou seja, o papel do professor muda de comunicador de conhecimento para o de observador, organizador, consultor, mediador, interventor, controlador e incentivador da aprendizagem, do processo de construção do saber pelo aluno, e só irá interferir, quando isso se faz necessário, através de questiomamentos, por exemplo, que levem os alunos a mudanças de hipóteses, presentando situações que forcem a reflexão ou para a socialização das descobertas dos grupos, mas nunca para dar a resposta certa. O professor lança questões desafiadoras e ajuda os alunos a se apoiarem, uns nos outros, para atravessar as dificuldades. leva os alunos a pensar, espera que eles pensem, dá tempo para isso, acompanha suas explorações e resolve, quando necessário, problemas secundários.

Um aspecto importante para incrementar as discussões sobre

estratégias é o registro das jogadas, tanto as eficientes como as frustradas. Tendo em mãos a história dos lances experimentados, torna-se mais fácil a análise do jogo.

É claro que, quando usamos o jogo na sala de aula, o barulho é

inevitável, pois só através de discussões é possível chegar-se a resultados convincentes. É preciso encarar esse barulho de uma forma construtiva; sem ele, dificilmente, há clima ou motivação para o jogo. É importante o hábito do trabalho em grupo, uma vez que o barulho diminui se os alunos estiverem acostumados a se organizar em equipes.

Por meio do diálogo, com trocas de componentes das equipes e,

principalmente, enfatizando a importância das opiniões contrárias para descobertas de estratégias vencedoras, conseguimos resultados positivos. Vale ressaltar que o sucesso não é imediato e o professor deve ter paciência para colher os frutos desse trabalho.

Um cuidado metodológico que o professor deve considerar antes de

levar os jogos para a sala de aula, é o de estudar previamente cada jogo, o que só é possível jogando. Através da exploração e análise de suas próprias jogadas e da reflexão sobre seus erros e acertos é que o professor terá condições de colocar questões que irão auxiliar seus alunos e ter noção das dificuldades que irão encontrar.

O educador continua indispensável, é ele quem cria as situações e arma

os dispositivos iniciais capazes de suscitar problemas úteis aos alunos, e organiza contra-exemplos que levem à reflexão e obriguem ao controle das soluções demasiado apressadas. Assim, o professor é fundamental em sala de aula, é ele quem dá o ―tom‖ do desafio proposto e deve ser o líder da situação, saber gerenciar o que acontece, tornando o meio o mais favorável possível, desencadeando reflexões e descobertas. É o professor que tem influência decisiva sobre o desenvolvimento do aluno e suas atitudes vão interferir fortemente na relação que ele irá estabelecer com o conhecimento.

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Classificação dos jogos :

jogos estratégicos, onde são trabalhadas as habilidades que compõem o raciocínio lógico. Com eles, os alunos lêem as regras e buscam caminhos para atingirem o objetivo final, utilizando estratégias para isso;

jogos de treinamento, os quais são utilizados quando o professor percebe que alguns alunos precisam de reforço num determinado conteúdo e quer substituir as cansativas listas de exercícios.

jogos geométricos, que têm como objetivo desenvolver a habilidade de observação e o pensamento lógico. Com eles conseguimos trabalhar a geometria.

Os jogos estão em correspondência direta com o pensamento matemático. Em ambos temos regras, instruções, operações, definições, deduções, desenvolvimento, utilização de normas e novos conhecimentos (resultados).

O trabalho com jogos matemáticos em sala de aula nos traz alguns benefícios:

conseguimos detectar os alunos que estão com dificuldades reais;

o aluno demonstra para seus colegas e professores se o assunto foi bem assimilado;

existe uma competição entre os jogadores e os adversários, pois almejam vencer e por isso aperfeiçoam-se e ultrapassam seus limites;

durante o desenrolar de um jogo, observamos que o aluno se torna mais crítico, alerta e confiante, expressando o que pensa, elaborando perguntas e tirando conclusões sem necessidade da interferência ou aprovação do professor;

não existe o medo de errar, pois o erro é considerado um degrau necessário para se chegar a uma resposta correta;

o aluno se empolga com o clima de uma aula diferente, o que faz com que aprenda sem perceber.

Mas devemos, também, ter alguns cuidados ao escolher os jogos a serem aplicados:

não tornar o jogo algo obrigatório;

escolher jogos em que o fator sorte não interfira nas jogadas, permitindo que vença aquele que descobrir as melhores estratégias;

utilizar atividades que envolvam dois ou mais alunos, para oportunizar a interação social;

estabelecer regras, que podem ou não ser modificadas no decorrer de uma rodada;

trabalhar a frustração pela derrota na criança, no sentido de minimizá-la;

estudar o jogo antes de aplicá-lo (o que só é possível, jogando).

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EXEMPLO DE UMA SITUAÇÃO DIDÁTICA ATRAVÉS DO JOGO DE

ADVINHAÇÃO.

Podemos adivinhar a idade de uma pessoa pedindo-lhe que realize os

seguintes cálculos:

1º Escrever um número de dois algarismos.

2º Multiplicar o número escrito por dois.

3º Somar cinco unidades ao produto obtido.

4º Multiplicar esta soma por cinqüenta

5º Somar ao produto o número 1757.

6º Subtrair o ano do nascimento.

O resultado que se obtém é um número de quatro algarismos abcd. Os dois algarismos da direita, que correspondem às dezenas e às unidades, indicam a idade da pessoa e, os dois algarismos da esquerda, que correspondem às centenas e aos milhares, indicam o número que a pessoa havia pensado.

A explicação matemática em que essa atividade se baseia é a seguinte:

1º Suponhamos que o número pensado seja ab cuja a expressão polinomial é 10a + b

2º O produto deste número por dois é:

(10a + b) x 2 = 20a + b

3º Somando cinco unidades ao produto, temo:

20a + b + 5

4º Multiplicando a soma anterior por cinqüenta, encontramos:

(20a + 2b + 5) x 50 = 1000a + 100b + 250

5º Acrescentando 1757 ao produto temos (1757 + 250 = 2007).

O acréscimo do número 1757 não se faz por acaso, mas porque 1757 mais 250, que resulta da operação anterior, é igual a 2007, número que indica o ano atual. Devemos tomar cuidado ao acrescentar esse último valor, tomando por base que estamos no ano 2007.

6º Ao resultado anterior, subtrai-se o ano de nascimento da pessoas que está fazendo os cálculos. Se N é o ano de nascimento, então o número obtido será:

1000a + 100b + 2007 - N

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Nota-se que, ao subtrair do ano atual o ano do nascimento, obtém-se a idade

da pessoa que realiza o jogo. Expressemos por o resultado da operação (2007 - N).

( 2007 – N) = cd

cd = 10c + d

Então, o resultado final é:

1000a + 100b + 10c + d

Esse resultado é a expressão polinomial do número de quatro algarismos abcd, onde os dois algarismos da direita ''cd'', que correspondem às dezenas e unidades, expressam a idade da pessoa que realizou os cálculos, os algarismos da esquerda ''ab'', que correspondem aos milhares a às centenas, nos indicam o número que a pessoa havia pensado.

Vamos ver um exemplo:

1º O número pensado é 57.

2º O produto deste número por dois é: 57 x 2 = 114

3º Somando cinco unidades: 114 + 5 = 119

4º Multiplicando a soma obtida por 50: 119 x 50 = 5950

5º Somando o número 1757 (pois estamos no ano de 2007): 5950 + 1757 = 7707

6º Subtraindo o ano de nascimento, suponhamos que a pessoa que realizou os cálculos nasceu no ano de 1947, portanto, tem 53 anos ou vai completar 53 anos.

7707 - 1947 = 5760

O resultado final (5760) é um número de quatro algarismos. Os dois algarismos da direita (60) nos indica a idade da pessoa (ou quantos anos ela completará no corrente ano) e os dois algarismos da esquerda (57) nos indicam o número de dois algarismos que a pessoa havia pensado.

É interessante para o professor, nessa atividade de adivinhação de números desenvolver o exercício no quadro de giz de forma coletiva analisando com os alunos as propriedades que aplicou, levando-os a descobrir o ''truque matemático'' utilizado. Também deve pedir aos alunos que criem outros jogos utilizando as propriedades analisadas.

9- SITUAÇÕES DIDÁTICAS ATRAVÉS DA HISTÓRIA DA MATEMÁTICA

A História da Matemática pode ser um potente auxiliar no processo de ensino e aprendizagem, com a finalidade de manifestar de forma peculiar as idéias matemáticas, situar temporalmente e espacialmente as grandes idéias e problemas, junto com suas motivações e precedentes históricos e ainda

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enxergar os problemas do passado, bem como encontrar soluções para problemas abertos.

A História da Matemática é considerada um tema importante na formação do aluno. Ela proporciona ao estudante a noção exata dessa ciência em construção, com erros e acertos e sem verdades universais, contrariando a idéia positivista de uma ciência universal e com verdades absolutas. A História da Matemática tem este grande valor, de poder contextualizar o saber, mostrar que seus conceitos são frutos de uma época histórica, dentro de um contexto social e político.

Se estabelecermos um laço entre o aluno, a época e o personagem relacionado com os conceitos estudados, se conhecerem as motivações e dúvidas que tiveram os sábios da época, então ele poderá compreender como foi descoberto e justificado um problema, um corpo de conceitos, etc.

Essa visão da Matemática faz com que ela seja vista pelo estudante como um saber significativo, que foi e é construído pelo homem para responder suas dúvidas na leitura do mundo, permitindo ao aluno apropriar-se desse saber, o que lhe propiciará uma melhor leitura do contexto global.

A história da Matemática, como situação didática, visa atingir os seguintes objetivos:

mostrar que o processo do descobrimento matemático é algo vivo e em desenvolvimento;

estabelecer distinções entre uma prova, uma argumentação e uma demonstração dos conceitos matemáticos, bem como saber dosá-las de maneira equilibrada no currículo escolar;

destacar a importância da aplicação de ―provas‖ para os alunos, porém provas que contribuam ao conhecimento e não somente para testar ―decorebas‖.

O professor que ensina a Matemática desligada de sua parte histórica, comete verdadeiro atentado contra a ciência e contra a cultura em geral. É nesse sentido que tem crescido cada vez mais o interesse pela História da Matemática em relação ao ensino, não somente como uma ferramenta didática, mas também como campo de investigação.

Um certo conhecimento de História da Matemática, deveria ser parte indispensável da bagagem de conhecimentos de qualquer matemático em geral e do professor de todos os níveis. Isso, não somente com a intenção de utilizá-la como um instrumento em seu ensino, mas principalmente por que a História pode proporcionar uma visão verdadeiramente humana da Matemática, o que é difícil de se imaginar, pois a imagem que os alunos possuem dessa disciplina está totalmente desvinculada da realidade .

Uma visão mais profunda da História permite ao professor evoluir em seu trabalho educativo, pois lhe possibilita visualizar melhor o futuro, ou seja, de enxergar antes o que pode acontecer, as dúvidas que podem surgir. Além

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disso, permite que ele descubra as dificuldades do passado, comprovando os caminhos da invenção, com a percepção da ambigüidade e confusões iniciais.

O valor do conhecimento histórico não consiste em ter uma bateria de histórias e anedotas curiosas para entreter os alunos, a história pode e deve ser utilizada, para entender e fazer compreender uma idéia mais difícil e complexa de modo mais adequado.

A utilização da História da Matemática no contexto didático não deve se restringir à sua utilização como elemento de motivação ao desenvolvimento do conteúdo, pois sua amplitude extrapola o campo da motivação.

Baseados nesses princípios, justificamos a utilização da História como um recurso metodológico capaz de auxiliar no processo de construção do conhecimento

EXEMPLOS DE SITUAÇÕES DIDÁTICAS PELA HISTÓRIA DA MATEMÁTICA

ATIVIDADE 1

Associar a História da Matemática à metodologia resolução de problemas é um forte aliado para desenvolver, no estudante, a capacidade de lidar com situações novas de forma criativa e independente.

Com o objetivo de que a Teoria dos Números ganhe espaço nos currículos escolares do Ensino Básico apresentaremos três aplicações de sua utilização.

a) Máximo Divisor Comum entre dois números (mdc)

O universo de Euclides era geométrico. Ele descreveu em um dos volumes dos Elementos o conhecido Algoritmo de Euclides, ou algoritmo das divisões sucessivas, para determinação do máximo divisor comum (mdc) entre números inteiros.

Esse algoritmo pode ser sintetizado no seguinte dispositivo:

A seguir, apresentaremos uma aplicação geométrica desse dispositivo,

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através do exemplo do cálculo do mdc entre os números inteiros 6 e 9.

Começamos construindo um retângulo com lados medindo 9u.c. e 6u.c. e traçamos quadrados, tantos quanto possíveis, medindo 6u.c. cada lado, contidos no retângulo inicial.

Obtemos um quadrado de lado 6u.c. e um retângulo de lados 3u.c. e 6u.c., isto é:

Como o resto não é zero, repetimos o processo para 6 e 3, agora construíndo um retângulo de lados 6u.c. e 3u.c.

Obtemos dois quadrados com lados 3u.c., ou seja, 6 = 3.2 + 0. Como o resto é 0, então o mdc(6,3) = 3, logo o mdc(6,9) = 3. Podemos comparar o processo da obtenção geométrica do mdc com o processo aritmético.

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Pelo algoritmo de Euclides temos: 9 = 6.1+3 e 6 = 3.2 + 0, logo o mdc (9,6) é 3.

ATIVIDADE 2 A multiplicação e a divisão dos egípcios (3000 aC) eram efetuadas por uma sucessão de duplicações. Como exemplo de multiplicação achemos o produto de 12 por 27. A multiplicação é efetuada duplicando 12 até que a soma das duplicações exceda 27.

Escolhemos, na coluna da esquerda, números que somados dêem 27: 1+2+8+16=27 Somamos, na coluna da direita, os valores correspondentes e também os somamos: 12+24+96+192=324 Este número é o resultado da multiplicação: 12x27=324

-Justifique, através de propriedades matemáticas, a veracidade do procedimento Egípcio para o produto de números.

-Utilize o método da duplicação dos egípcios para multiplicar 424 por 137. - Faça isso também para 137 por 424. Tire conclusões.

Para efetuar a divisão de 184 por 8 procedemos assim,

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Dobramos sucessivamente o divisor 8 até que a soma de duplicações exceda o dividendo 184. Escolhemos, na coluna da direita, números que somados dêem 184: 128+32+16+8=184 Tomamos, na coluna da esquerda, os valores correspondentes e somando-os, temos: 1+2+4+16=23 Este é o resultado da divisão: 184/8=23

-Justifique, através de propriedades matemáticas, a veracidade do procedimento Egípcio para a divisão de números. - Utilize o método da duplicação dos egípcios para dividir 1043 por 28.

ATIVIDADE 4

1- A Geometria Experimental já existia antes de 500 aC. No Egito, em torno de 3000 aC, já existia a Geometria Experimental. Para calcular, por exemplo, a distância de um barco até a costa, recorria-se a um curioso artifício. Dois observadores se postavam de maneira que um deles pudesse ver o barco sob um ângulo de 90º com relação à linha da costa e o outro sob um ângulo de 45º. Bastava medir a distância entre os dois observadores para conhecer a distância do barco até a costa.

Em torno de 500 aC um matemático grego ( que dá origem à Geometria Dedutiva) prova uma proposição que nos garante essa afirmativa. Quem foi esse Matemático? Que proposição é essa?

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ATIVIDADE 5

No auge da Geometria Dedutiva surge Pitágoras (Grego-em torno de 400aC), com o seu Teorema que deu-se o nome de Teorema de Pitágoras. Faça uma prova do Teorema de Pitágoras.

ATIVIDADE 6

Os sacerdotes encarregados de arrecadar os impostos sobre a terra provavelmente começaram a calcular a extensão dos campos por meio de um simples golpe de vista. Depois, ao observar trabalhadores pavimentando, com mosaicos quadrados, uma superfície retangular, notaram que para conhecer o total de mosaicos bastava contar os de uma fileira e repetir esse número tantas vezes quantas fileiras houvesse. Nessa experiência, surge uma fórmula de área? Mostre, em desenhos, como surgiu a fórmula da área de um retângulo e área de um triângulo.

ATIVIDADE 7

Euclides, nos Elementos, faz a prova da irracionalidade de 2 . Faça a prova

de Euclides da irracionalidade de 2 .

ATIVIDADE 8

Coloque em ordem, numa seqüência histórica de surgimento: números negativos, números naturais, números fracionários, números irracionais.

ATIVIDADE 9

Embora reconhecendo como fórmula de Bhaskara a fórmula que resolve uma equação do segundo grau, você acha que Bhaskara sabia resolver as equações com essa fórmula? Com que álgebra Bhaskara resolvia suas equações?

Faça uma demonstração da fórmula de Bhaskara.

ATIVIDADE 10

Hoje sabemos resolver, na álgebra simbólica, ( a + b ) 2 como o quadrado do primeiro, mais o dobro do primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo. Como Euclides mostrou, de forma geométrica, nos Elementos, este produto notável (Euclides não conhecia a álgebra simbólica).

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ATIVIDADE 11

Os números negativos aparecem pela primeira vez na China, antes de Cristo. Usavam barras vermelhas para representar positivos e barras pretas para representar negativos.

Os Hindus ensaiaram a soma e subtração com positivos e negativos

através do matemático Brahmagupta ( 590 dC). A aceitação e o entendimento pleno dos números negativos foi um

processo longo. Basta ver algumas designações que receberam: - Stifel ( 1486-1567) os chamava de números absurdos; - Cardano ( 1501-1576) de números fictícios; - Descartes ( 1596- 1650) chamava de falsas a raízes negativas de uma

equação; -Viete ( 1540-1603) rejeitava os negativos ; A partir do século XVIII, os números negativos aparecem naturalmente

em trabalhos científicos, embora ainda houvesse alguns questionamentos ; - D’ Alembert ( 1717-1783): ―Dizer que as quantidades negativas estão

abaixo do nada é afirmar uma coisa que não se pode conceber‖ ; - Lazare Carnot ( 1753-1823): ― A quantidade negativa -3 seria menor

que +2; contudo sabe-se que (-3)2>(+2)2, o que confronta com todas as idéias

claras que se poderiam formar sobre quantidade‖.

Existe uma linha de estudo que afirma que o sinal + surge da palavra latina et, depois t e depois + e que o sinal – surge da palavra latina minus, depois m e depois -.

1) Até o século XVIII, havia modelos para entender as regras de sinais. Havia

o modelo de crédito (ganho) e débito (perda) para se entender as regras de sinais da adição e subtração. Como você pode explicar para seus alunos essas regras através desse modelo?

2) As regras de sinais do produto foram de grande complexidade. Até o século XVIII essas regras eram apresentadas de uma forma intuitiva, através de modelos. Veja um exemplo: Entendia-se que (+2)x (+3) = (+3)+(+3) = +6 e (+2)x(-3) ou (-3)x(+2) = (-3) + (-3) = - 6. Daí (+)x(+) = (+) ; (+)x(-) = (-); (-)x(+)=(-).

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A regra (-)x(-)=(+) podia ser percebida na seqüência: (+4)x(-5) = -20 (+3)x(-5)=-15 (+2)x(-5)=-10 (+1)x(-5)=-5 (0)x(-5)=0 (-1)x(-5)= (-2)x(-5)= (-3)x(-5)= Veja que -20 + 5 = -15; -15 + 5 = -10; -10 + 5= -5; -5 + 5= 0. Para verificar o valor de (-1) x ( -5) devemos somar a zero o valor +5 obtendo +5; Para verificar o valor de (-2) x ( -5) devemos somar a cinco o valor +5 obtendo +10, e assim por diante. Construir um modelo, conforme acima, para o produto (- 3) x ( - 4). .

3) Você é capaz de construir um modelo para justificar que -10 é menor que +2?

4) Simon Stevin, 1634, expõe uma demonstração geométrica para a regra de

sinais. Entende que um número sem sinal é positivo. 3 9 2 5

(12 – 9) x ( 7 – 5) = 84 – 63 – 60 + (-9) x (-5) = 6 ( A área do retângulo 2 por 3) = - 39 + (-9) x (-5) = 6 Logo (-9) x (-5) = + 45 para que -39 + 45 dê 6. Crie um outro modelo, baseado na demonstração geométrica de Stevin.

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OBSTÁCULOS DIDÁTICOS

Os obstáculos didáticos são conhecimentos que se encontram relativamente estabilizados no plano intelectual e que podem dificultar a evolução da aprendizagem do saber escolar. No que se refere ao estudo dos obstáculos didáticos, permanece o interesse de estabelecer os limites do paralelismo possível entre o plano histórico do desenvolvimento de um conceito e a aprendizagem escolar deste conceito. Se a didática se dispõe a estudar o aspecto evolutivo da formação de conceitos, é conveniente admitir a flexibilização de que os obstáculos não dizem respeito somente às dificuldades históricas e externas ao plano da aprendizagem. É preciso estar atento às diferentes fontes de dificuldades na aprendizagem escolar.

O interesse em estudar a noção de obstáculo decorre do fato da mesma

permitir identificar as fontes de diversos fatores que levam a aprendizagem a uma situação de inércia e de obstrução.

EXEMPLOS DE OBSTÁCULOS DIDÁTICOS Exemplo 1- No estudo da aritmética, está relacionado ao caso da

aprendizagem do produto de dois números inteiros positivos que é sempre maior do que cada fator. Esse conhecimento pode ser um obstáculo à aprendizagem das propriedades do produto de dois números decimais, para os quais tal proposição nem sempre é verdadeira, como é o caso do produto de 0,1 x 0,01 que é menor do que cada fator.

Exemplo 2 - Um exemplo de obstáculo didático, ainda relacionado às

operações com números racionais, pode ser encontrado no caso da divisão de um número inteiro positivo por um número racional menor do que um, cujo resultado é um número maior do que o dividendo. Nesse caso, o aspecto inerente à estrutura lógica da matemática entra em conflito direto com o conhecimento que o aluno traz de sua vivência não escolar. No cotidiano não refletido, normalmente se conclui, intuitivamente, que o resultado da divisão é sempre menor do que o dividendo, contrariando o caso da divisão de frações acima mencionada. Exemplo 3 - Um outro exemplo de obstáculo didático está relacionado à aprendizagem da geometria espacial, quando faz intervir a utilização de uma representação por meio de uma perspectiva. A realização ou leitura desse desenho não é uma atividade evidente. Um cubo representado em perspectiva paralela, normalmente, aparece com a face superior representada por um paralelogramo não quadrado, onde os ângulos não são retos, quando medidos sobre a superfície do papel, mas, por outro lado, representam os ângulos retos da face superior do cubo. Se o aluno fixar sua leitura nas particulares do desenho em si, ele pode ter dificuldades em compreender as propriedades geométricas do sólido representado.

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Exemplo 4 - Dificuldade em fazer comparações entre frações, pois estando acostumados com a relação 3 > 2, terão de compreender uma

desigualdade que lhes parece contraditória, ou seja, 3

1 <

2

1. Nesse caso, o

conhecimento das propriedades dos números naturais seria um obstáculo, pois a lógica utilizada nos naturais, não seria condizente com a das frações.

Exemplo 5 - Dificuldade de aceitar que ao multiplicar 10 por 2

1o

resultado obtido será menor do que 10, pois estão também acostumados a esperar que quando multiplicado um natural por outro natural (sendo este diferente de 0 ou 1) a expectativa é de encontrar um número maior que ambos.

Exemplo 6 – Os obstáculos didáticos envolvendo demonstrações de geometria. Os tipos de problemas, observados em livros didáticos, em geral, não propõem questões envolvendo demonstração. A passagem da geometria empírica para a geometria de dedução é um obstáculo para a demonstração.

Muitos professores deixaram de incentivar os alunos a fazerem

quaisquer demonstrações, justificando que não dá tempo nem de ensinar Geometria quanto menos para demonstrar teoremas. A aprendizagem da demonstração tem ocorrido muitas vezes por analogia. O professor propõe um modelo submetido à observação e o aluno é levado a imitar o método de resolução, numa situação simular. E os alunos têm dificuldades em mobilizar os saberes.

Exemplo 7 - A aquisição do conceito do número racional de diferentes maneiras.

A aquisição de um dado conceito matemático pressupõe o seu reconhecimento em diversas situações e em diversos contextos. Com o conceito do número racional isso se torna bem mais evidente, pois podemos dizer que para construir esse importante conceito matemático, torna-se necessário explorá-lo em várias situações e em diferentes contextos.

No que se refere a representação fracionária, dos números racionais, os PCN evidenciam que o contato dos alunos com essa representação é pouco freqüente em seu contexto diário, pois limita-se a metades, terços, quartos, na maioria das vezes pela via da linguagem oral do que das representações. Os PCN sugerem ainda que, a prática mais comum para explorar o conceito de fração é a que recorre as situações que está implícita a relação parte-todo. Nesse caso, a fração indica a relação que existe entre o número de partes e o total de partes. Outro significado das frações é a do quociente, baseia-se na divisão (a : b = a/b; b 0). Para o aluno essa situação se diferencia da interpretação anterior (parte-todo), pois dividir ―um chocolate em 3 partes e comer duas dessas partes é uma situação diferente daquela em que é preciso dividir 2 chocolates para três pessoas‖ (PCN, 1997, p.103).

Os PCN sugerem ainda uma terceira situação diferente das duas anteriores ―é aquela em que a fração é usada como uma espécie de índice

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comparativo entre duas quantidades e uma grandeza, ou seja, quando é interpretada como razão‖ (PCN, 1997, p.104)

Resumidamente os PCN sugerem que no segundo ciclo do Ensino Fundamental sejam trabalhados três significados: parte-todo, razão e quociente, e somente no terceiro ciclo do Ensino Fundamental seja introduzido o significado de operador multiplicativo.

A título de ilustração, apresentaremos sucintamente cinco significados.

Fração com o significado Número

A idéia envolvida nesse significado é o da notação a/b, expressando um número na reta numérica, ou ainda sua representação na notação decimal. Exemplo: Represente 1/5 na reta numérica.

Fração com o significado Parte-Todo

A idéia presente nesse significado é a partição de um dado objeto em n partes, isto é, um todo dividido em partes iguais e que cada parte poderá ser representada como 1/n, e que o procedimento da dupla contagem dá conta de se chegar a uma resposta correta. Exemplo: Uma barra de chocolate foi dividida em 4 partes iguais. João meu 3 dessa partes. Que fração representa o que João comeu?

Fração com o significado Quociente

Esse significado está presente em situações associadas a idéia de partição, o quociente representa o tamanho de cada grupo quando se conhece o número de grupos a ser formado. Exemplo: Duas pizzas foram divididas igualmente para 3 pessoas. Quanto recebeu cada uma?

Fração com o significado Medida

Está presente nesse significado a idéia de dividirmos uma unidade em partes iguais (sub unidades), e verificarmos quantas dessas partes caberão naquele que se quer medir. Exemplo: Um tambor pode conter 11 litros de leite. Quantas canecas de 2 litros serão necessárias para encher esse tambor?

Fração com o significado Operador Multiplicativo

Esse significado está associado o papel de transformação, isto é, uma ação que se deve imprimir sobre um número, transformando o seu valor nesse processo. Exemplo: Pedro tinha uma coleção de 30 soldadinhos de chumbo e deu a seu amigo 2/3 dessa coleção. Com quantos soldadinhos de chumbo Pedro ficou?

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EXERCÍCIOS SOBRE OBSTÁCULOS DIDÁTICOS

1- A ordem das operações aritméticas é um obstáculo didático. Ao fazerem 4 + 3x2, fazem 7x2. Somam 4 e 7 para depois multiplicar por 2. Procure, na máquina de calcular, fazer (4 + 3) x 2 =, clicando os símbolos e algarismos. Agora fazer 4 + 3x2 = . Comparar os resultados. São iguais ou diferentes? O que faz serem diferentes? Tirar conclusões. Estabelecer o procedimento para desenvolver as operações corretamente. 2- As operações (- 2)2 e - 2 2 são desenvolvidas da mesma forma dando o resultado 4. Procure, na máquina de calcular, fazer (- 2)2 e - 2 2 , clicando os símbolos e algarismos. Comparar os resultados. São iguais ou diferentes? O que faz serem diferentes? Tirar conclusões. Estabelecer o procedimento para desenvolver as operações corretamente. 3 – A introdução das variáveis em situações algébricas é um obstáculo didático. Através do problema, criar um modelo para descrever uma lei . Uma loja de departamentos aumenta em 35% os preços para a venda no varejo. Complete a seguinte tabela. Preço no atacado Preço no varejo R$20,00 20 + 20 x 0,35 = 27 R$50,00 50 + 50 x 0,35 = 67,50 R$70,00 70 + 70x 0,35 = 94,50 P ------------------ Usando a lei encontrada determine o preço no varejo, sabendo que o preço no atacado é R$25,00. 4 – Formule dez obstáculos didáticos. ( Estes obstáculos didáticos podem ser considerados seus obstáculos).