Apostila de Eletromagnetismo - Versão 2013

UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLNDIA FACULDADE DE ENGENHARIA ELTRICA

Eletromagnetismo

Alex Reis

Ivan Nunes Santos

Uberlndia

2013

Universidade Federal de Uberlndia

Faculdade de Engenharia Eltrica

Eletromagnetismo

Prof. Ivan Nunes Santos

2

SUMRIO GERAL

Captulo Contedo Pgina

1 Anlise Vetorial 03

2 Lei de Coulomb e Intensidade de Campo Eltrico 20

3 Densidade de Fluxo Eltrico, Lei de Gauss e Divergncia 35

4 Energia Potencial e Potencial Eltrico 51

5 Condutores, Dieltricos e Capacitncia 71

6 Equaes de Poisson e de Laplace 96

7 Campo Magntico Estacionrio 107

8 Foras Magnticas, Materiais e Indutncia 132

9 Campos Variantes no Tempo e Equaes de Maxwell 157



Eletromagnetismo


3

1 ANLISE VETORIAL

1.1 Escalares e Vetores

O termo escalar se refere a uma grandeza cujo valor pode ser representado por um nico

nmero real (positivo ou negativo). Exemplo de grandezas escalares: temperatura, tempo, massa,

densidade, volume, tenso (voltagem), etc.

Uma grandeza vetorial tem magnitude, direo e sentido no espao. Exemplo de grandezas

vetoriais: fora, velocidade, acelerao, etc.

Um campo tambm pode ser definido como escalar ou vetorial. Um exemplo de campo

escalar a temperatura em uma tigela de sopa, por outro lado, temos que o campo gravitacional e o

magntico so exemplos de campo vetorial.

1.2 lgebra Vetorial

A lgebra vetorial possui seu conjunto prprio de regras, do qual destacaremos algumas.

A adio vetorial segue a regra do paralelogramo, conforme figura abaixo.

A adio vetorial obedece propriedade comutativa, ou seja, A B B A+ = +r rr r

. A adio

tambm obedece propriedade associativa, ou seja, ( ) ( )A B C A B C+ + = + +r r r rr r . A regra para a subtrao de vetores decorre facilmente da regra para a adio, pois sempre

podemos expressa A Br r

como ( )A B+ r r ; o sinal, ou sentido, do segundo vetor invertido, e este vetor somado ao primeiro pela regra da adio vetorial.

Vetores podem ser multiplicados por escalares. O mdulo do vetor se modifica, mas sua

direo e sentido no, quando o escalar positivo, embora ele inverta de sentido quando

multiplicado por um escalar negativo. A multiplicao de um vetor por um escalar tambm obedece

s propriedades associativa e distributiva da lgebra, levado a



Eletromagnetismo


4

( )( ) ( ) ( )r s A B r A B s A BrA rB sA sB

+ + = + + +

= + + +

r r rr r r

r rr r

A diviso de um vetor por um escalar meramente a multiplicao do vetor pelo inverso do

escalar.

A multiplicao de um vetor por outro vetor ser discutida mais adiante ainda neste captulo.

1.3 Sistema de Coordenadas Cartesianas

Para podermos descrever rigorosamente um vetor, alguns comprimentos, direes, ngulos,

projees ou componentes especficos devem ser dados. H trs mtodos simples de faz-lo, os

quais sero esmiuados neste captulo. O mais simples destes o sistema de coordenadas

cartesianas ou retangulares. Neste sistema estabelecem-se trs eixos coordenados que formam

ngulos retos entre si, denominados de eixos x, y e z.

Na figura abaixo (a) tem-se um sistema de coordenadas cartesianas do tipo triedro direito,

em que se usando a mo direita, ento o polegar, o indicador e o dedo mdio podem ser

identificados, respectivamente, como os eixos x , y e z . Nesta mesma figura podemos identificar os planos 0x = , 0y = e 0z = .

Tomando-se os ponto ( )1,2,3P e ( )2, 2,1Q como exemplo, poderemos identific-los no sistema de coordenadas cartesianas conforme figura (b) a seguir. P est, portanto, localizado no ponto comum da interseo dos planos 1x = , 2y = e 3z = , enquanto que o ponto Q est localizado na interseo dos planos 2x = , 2y = e 1z = .



Eletromagnetismo


5

Podemos, conforme a figura (c) acima, deslocar um ponto ( ), ,P x y z levemente para um ponto ( )' , ,P x dx y dy z dz+ + + adicionando-se diferenciais de comprimento. O dois pontos P e

'P formam 6 planos, conforme j falado, os quais definem um paraleleppedo retngulo cujo o diferencial de volume dv dx dy dz= ; as superfcies possuem reas diferenciais dS de dx dy , dydz e dz dx . E finalmente, a distncia dL de P a 'P a diagonal do paraleleppedo e possui um

comprimento de ( ) ( ) ( )2 2 2dx dy dz+ + .

1.4 Componentes Vetoriais e Vetores Unitrios

Para descrever um vetor no sistema de coordenadas cartesianas, consideremos primeiro um

vetor rr

partindo da origem at um ponto P qualquer. Se as componentes vetoriais de rr so xr , yr e zr

, ento r x y z= + +r r r r , conforme mostrado na figura (a) abaixo.

Observao importante: na figura a seguir, extrada do livro de Eletromagnetismo de Jr. W.

H. Hayt e J. A. Buck, a notao de vetor dada por meio da letra em negrito, enquanto que em nosso

curso usaremos a seta sobre a letra para designao de vetor.



Eletromagnetismo


6

Contudo, o uso das componentes vetoriais da forma que foram apresentadas no

comumente empregado. A figura (b) acima apresenta os vetores unitrios fundamentais xa , ya e za

representativos dos eixos cartesianos x, y e z, respectivamente. Considerando um vetor Prr

apontando da origem ao ponto ( )1,2,3P , o mesmo pode ser escrito tendo por base os vetores unitrios dos eixos cartesianos: 2 3P x y zr a a a= + +

r. Considerando-se um vetor Qr

r apontando da

origem ao ponto ( )2, 2,1Q , tem-se 2 2Q x y zr a a a= +r . Um vetor PQRr de origem no ponto ( )1,2,3P e apontando para ( )2, 2,1Q seria:

( ) ( ) ( ) 2 1 2 2 1 3 4 2

PQ Q P x y z

x y z

R r r a a a

a a a

= = + +

=

r r r

Os vetores em questo podem ser vistos na figura (c) anterior.

Ento, qualquer vetor Br

, pode ser escrito como x x y y z zB B a B a B a= + +r

. E o mdulo de Br

,

escrito como Br

, ou simplesmente B , dado por



Eletromagnetismo


7

2 2 2x y zB B B B= + +

r

Cada um dos trs sistemas de coordenadas a serem discutidos tem seus trs vetores

unitrios fundamentais e mutuamente independentes que so usados para analisar qualquer vetor

em suas componentes vetoriais. Contudo, os vetores unitrios no so limitados a esta aplicao,

todo vetor tem seu vetor unitrio que facilmente encontrado dividindo o vetor por seu mdulo.

Ento o vetor unitrio de Br

2 2 2B

x y z

B Ba

B B B B= =

+ +

r r

r

A notao empregada para todo vetor unitrio neste curso ser o acento circunflexo sobre a

letra do vetor, j no livro usa-se a letra a para identificar o mesmo.

Exemplo 01: Especifique o vetor unitrio, em coordenadas cartesianas, dirigido da origem ao ponto

( )2, 2, 1P . Exemplo 02:

Dados os pontos ( )1,2,1M , ( )3, 3,0N e ( )2, 3, 4P , determine: a) MNR

r;

b) MN MPR R+r r

;

c) Mrr

;

d) MPa ;

e) 2 3P Nr r+r r

.

1.5 Introduo aos Campos

Um campo (escalar ou vetorial) pode ser definido matematicamente como funo de um

vetor que liga uma origem arbitrria a um ponto genrico no espao. Note que o conceito de campo

invariavelmente est relacionado a uma regio.

Em geral para o campo vetorial, o mdulo e a direo da funo iro variar medida que nos

movemos atravs da regio, e o valor da funo vetorial deve ser determinado utilizando-se os

valores das coordenadas do ponto em questo. Como consideramos apenas o sistema de

coordenadas cartesianas, devemos esperar que o vetor seja funo das variveis x, y e z.



Eletromagnetismo


8

Se, novamente, representarmos o vetor posio por rr

, ento o campo vetorial Gr

pode ser

expresso, em notao funcional, como ( )G rr r ; o campo escalar T escrito como ( )T rr havendo variao apenas do mdulo da funo.

Pode-se citar como exemplos de campo escalar o campo da temperatura de um lquido no

interior de um prato de sopa em funo do vetor posio, ou ainda, o campo potencial eltrico de

uma carga pontual. Por outro lado, so exemplos de campo vetorial a velocidade da corrente de gua

de um rio em funo do vetor posio, o campo eltrico de uma esfera carregada e o campo

magntico de um fio conduzindo corrente contnua.

Exemplo 03:

Um campo vetorial Sr

expresso em coordenadas cartesianas como

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2125

1 2 11 2 1 x y z

S x a y a z ax y z

= + + + + + +

r.

a) Calcule Sr

no ponto ( )2,4,3P ; b) Determine o vetor unitrio que fornece a direo de S

r em P ;

c) Especifique a superfcie ( ), ,f x y z na qual 1S =r .

1.6 Produto Escalar

Dados dois vetores Ar

e Br

, o produto escalar, ou produto interno, definido como o

produto entre o mdulo de Ar

, o mdulo de Br

e o cosseno do menor ngulo entre eles. Assim,

cos ABA B A B =r rr r

O ponto aparece entre os dois vetores e deve ser forte para dar mais nfase, l-se Aescalar B. O produto escalar tem como resultado um escalar, como o prprio nome indica, e obedece propriedade comutativa, pois o sinal do ngulo no afeta o termo cosseno.

A B B A = r rr r

A determinao do ngulo entre dois vetores no espao tridimensional muitas vezes um

trabalho que se prefere evitar. Por essa razo, a definio de produto escalar normalmente no

usada em sua forma bsica. Um resultado mais til obtido considerando-se dois vetores cujas

componentes cartesianas so dadas por x x y y z zA A a A a A a= + +r

e x x y y z zB B a B a B a= + +r

. O

produto escalar tambm obedece propriedade distributiva, portanto, A Br r

fornece uma soma de

nove termos escalares, cada um envolvendo o produto escalar de dois vetores unitrios. Ento,



Eletromagnetismo


9

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

x x x x x y x y x z x z

y x y x y y y y y z y z

z x z x z y z y z z z z

A B A B a a A B a a A B a a

A B a a A B a a A B a a


= + +

+ + +

+ + +

r r

como o ngulo entre dois vetores unitrios diferentes no sistema de coordenadas cartesianas 90,

temos

0x y y x x z z x y z z ya a a a a a a a a a a a = = = = = =

Os trs termos restantes envolvem o produto escalar de um vetor unitrio por ele mesmo, o

que igual unidade, finalmente obtendo-se

x x y y z zA B A B A B A B = + +r r

que uma expresso que no envolve ngulos.

O produto escalar de um vetor por ele mesmo o quadrado de seu mdulo, ou

2 2A A A A = =r r r

e o produto escalar de qualquer vetor unitrio por ele mesmo igual unidade, ou seja, 1A Aa a = .

Uma das aplicaes mais importantes do produto escalar o clculo da componente de um

vetor dada uma certa direo. Podemos obter a componente (escalar) de Br

na direo especificada

pelo vetor unitrio ar

como

cos cosBa BaB a B a B = =r r rr r

Neste caso usado o termo projeo. Assim, B ar r

projeo de Br

na direo ar

, conforme

pode ser observado na figura a seguir.

Para obtermos a componente vetorial de Br

na direo de ar

, multiplicamos a componente

(escalar) por ar

, como ilustrado na figura que se segue, ficando ( )B a ar r r .



Eletromagnetismo


10

Exemplo 04:

Considere um campo vetorial 2,5 3x y zG ya xa a= +r

e o ponto ( )4,5,2Q . Deseja-se encontrar: a) O vetor G

r no ponto Q ;

b) A componente escalar de Gr

no ponto Q na direo de ( )13 2 2N x y za a a a= + ; c) A componente vetorial de G

r no ponto Q na direo de Na ;

d) O ngulo Ga entre ( )QG rr r e Na . Exemplo 05:

Os trs vrtices de um tringulo esto localizados em ( )6, 1,2A , ( )2,3, 4B e ( )3,1,5C . Determine:

a) ABRr

;

b) ACRr

;

c) O ngulo BAC no vtice A ; d) A projeo de ABR

r em ACR

r;

e) O vetor projeo de ABRr

em ACRr

.

1.7 Produto Vetorial

Dados dois vetores Ar

e Br

, definiremos agora o produto vetorial, ou produto cruzado, de Ar

e Br

, escrito com uma cruz entre os dois vetores, como A Br r

, e lido A vetorial B.

O produto vetorial A Br r

um vetor; o mdulo de A Br r

igual ao produto dos mdulos de

Ar

, Br

e o seno do menor ngulo entre Ar

e Br

; a direo de A Br r

perpendicular ao plano que

contm Ar

e Br

e est ao longo de duas possveis perpendiculares, todavia escolhe-se aquela que

est no sentido do avano de um parafuso direito medida que Ar

girado para Br

, conforme figura

a seguir.



Eletromagnetismo


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Na forma de equao, podemos escrever

N ABA B a A B sen =r rr r

Outra forma de determinar o sentido do vetor Na por meio da regra da mo direita. O

produto vetorial no comutativo, j que ( )A B B A = r rr r . Se a definio de produto vetorial aplicada aos vetores unitrios xa e ya , encontramos

x y za a a = , onde cada vetor possui mdulo unitrio, os dois vetores so perpendiculares e a

rotao de xa para ya indica a direo positiva de z pela definio do sistema de coordenadas do

tipo triedro direito. De maneira semelhante, y z xa a a = e z x ya a a = .

O clculo do produto vetorial por meio de sua definio exige mais trabalho do que o clculo

do produto escalar, porm este trabalho pode ser evitado usando-se as componentes cartesianas

para os dois vetores Ar

e Br

e expandindo-se o produto vetorial como a soma de nove produtos

vetoriais, cada um envolvendo dois vetores unitrios.

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

x x x x x y x y x z x z

y x y x y y y y y z y z

z x z x z y z y z z z z

A B A B a a A B a a A B a a



= + +

+ + +

+ + +

r r

J vimos que x y za a a = , y z xa a a = e z x ya a a = . Os trs termos remanescentes so

iguais a zero, pois o produto vetorial de qualquer vetor por ele mesmo igual a zero, j que o seno

do ngulo envolvido nulo. Estes resultados podem ser combinados para se obter



Eletromagnetismo


12

( ) ( ) ( ) y z z y x z x x z y x y y x zA B A B A B a A B A B a A B A B a = + + r r que, escrita como um determinante, numa forma mais fcil de ser lembrada fica

x y z

x y z

x y z

a a a

A B A A AB B B

=r r

Usando-se o clculo do produto vetorial por meio desta matriz no h necessidade da

aplicao de qualquer regra adicional para se encontrar o vetor normal, uma vez que o mesmo j

ser determinado pela resoluo desta.

Exemplo 06:

Os trs vrtices de um tringulo esto localizados em ( )6, 1,2A , ( )2,3, 4B e ( )3,1,5C . Determine:

a) AB ACR Rr r

;

b) A rea do tringulo; c) O vetor unitrio perpenticular ao plano no qual o tringulo est localizado.

1.8 Sistema de Coordenadas Cilndricas Circulares

O sistema de coordenadas cartesianas , em geral, o preferido dos estudantes, contudo

existem vrios problemas onde a simetria pede um tratamento mais adequado para sua resoluo.

O sistema de coordenadas cilndricas (com o objetivo de facilitar, no usaremos o termo

circulares, apesar de existirem outros tipos de sistemas de coordenadas cilndricas) uma verso

tridimensional das coordenadas polares da geometria analtica. No sistema de coordenadas polares

bidimensional, um ponto localizado em um plano dando-se a sua distncia da origem e o ngulo entre a linha do ponto origem e uma linha radial arbitrria, tomada como 0 = . Um sistema de coordenadas tridimensionais cilndricas circulares obtido especificando-se a distncia z do ponto a

um plano arbitrrio 0z = , perpendicular reta 0 = .

No sistema de coordenadas cilndricas no mais consideraremos os trs eixos como nas

coordenada cartesianas, todavia o ponto continua sendo definido pela interseo de trs superfcies

mutuamente perpendiculares. Estas superfcies so: uma cilndrica circular ( = constante), uma plana ( =constante) e uma outra tambm plana ( z = constante), conforme pode ser visto na figura (a) abaixo.



Eletromagnetismo


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Os vetores unitrios apontam na direo crescente dos valores das coordenadas e so

perpendiculares superfcie na qual esta coordenada constante, sendo os trs vetores

especificados como: a , a e za . A figura (b) anterior mostra estes trs vetores.

Os vetores unitrios so novamente mutuamente perpendiculares, pois cada um normal a

uma das trs superfcies mutuamente perpendiculares, definindo-se, um sistema de coordenadas

cilndricas do tipo triedro direito, no qual za a a = ou um sistema no qual o polegar, o indicador

e o dedo mdio da mo direita apontam, respectivamente, na direo crescente de , e z . Um elemento diferencial de volume em coordenadas cilndricas pode ser obtido

aumentando-se , e z de incrementos diferenciais d , d e dz . Os dois cilindros de raios e d + , os dois planos radiais nos ngulos e d + e os dois planos horizontais nas

elevaes z e z dz+ limitam um pequeno volume, como mostrado na figura (c) anterior. Note que d e dz tm dimenses de comprimento, mas d no tem; d o comprimento. O volume aproximado da figura ser dado por d d dz , pois a forma do elemento de volume, por ser muito pequeno, aproxima-se de um paraleleppedo.

As variveis dos sistemas de coordenadas retangular e cilndrico so facilmente relacionadas

umas com as outras. Temos que



Eletromagnetismo


14

cosx

y senz z

=

=

=

Do outro ponto de vista, podemos expressar as variveis cilndricas em temos de x , y e z

( )2 2 0arctan

x yyx

z z

= +

=

=

O valor adequado do ngulo determinado por inspeo dos sinais de x e y , para encontrar o quadrante do ngulo.

Dado o vetor cartesiano

x x y y z zA A a A a A a= + +

r

desejamos encontrar o mesmo vetor, porm em coordenadas cilndricas, do tipo

z zA A a A a A a = + +

r

Para determinar qualquer componente de um vetor em uma direo desejada basta fazer o

produto escalar entre o vetor e o vetor unitrio na direo desejada. Assim,

z z

A A a

A A a

A A a

=

=

=

r

r

r

desenvolvendo-se as equaes, tem-se

x x y y

x x y y

z z

A A a a A a aA A a a A a aA A

= +

= +

=

Analisando-se a figura abaixo, podemos identificar o ngulo entre x

a e a como sendo , e assim, cosxa a = ; j o ngulo entre ya e a como sendo 90 e assim, ya a sen = . Os produtos escalares entre os vetores unitrios esto resumidos na tabela abaixo.



Eletromagnetismo


15

Produtos escalares entre os vetores unitrios dos sistemas de coordenadas retangular e cilndrico

a a za

xa cos sen 0

ya sen cos 0

za 0 0 1

A transformao de campos vetoriais de coordenadas cartesianas para cilndricas ou vice-

versa efetuada usando-se as equaes de transformao de escalares, mostradas anteriormente, e

os produtos escalares entre os vetores unitrios dados na tabela

Exemplo 07:

Transforme o vetor (ou campo vetorial) x y zB ya xa za= +r

para coordenadas cilndricas.

Exemplo 08: Pede-se:

a) D as coordenadas cartesianas do ponto ( 4,4; 115; 2)C z = = = ; b) D as coordenadas clndricas do ponto ( 3,1; 2,6; 3)D x y z= = = ; c) Determine a distncia entre C e D .

Exemplo 09: Pede-se:

a) Expresse o campo vetorial 2 2

x yxa yaDx y

+=

+

r em coordenadas cilndricas e variveis

cilndricas;

b) Calcule Dr

no ponto ( )2; 0,2 ; 5z pi= = = .



Eletromagnetismo


16

Exemplo 10: Tranforme para coordenadas cilndricas:

a) O vetor

10 8 6x y zF a a a= +r

no ponto ( )10, 8,6P ; b) O campo vetorial

( ) ( ) 2 4x yG x y a y x a= + r ;

c) Determine as componentes cartesianas do vetor 20 10 3 zH a a a = +r

em

( )5, 2, 1P x y z= = = .

1.9 Sistema de Coordenadas Esfricas

A figura (a) abaixo mostra o sistema de coordenadas esfricas sobre os trs eixos cartesianos.

Inicialmente, definimos a distncia da origem a qualquer ponto como r . A superfcie r = constante

uma esfera.

A segunda coordenada o ngulo entre o eixo z e a linha desenhada da origem ao ponto em questo. A superfcie = constante um cone.



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A terceira coordenada o ngulo , exatamente o mesmo ngulo das coordenadas cilndricas. Ele o ngulo entre o eixo x e a projeo no plano 0z = da linha desenhada da origem ao ponto. A superfcie =constante um plano que passa pelo eixo z .

Podemos novamente considerar qualquer ponto como a interseo de trs superfcies

mutuamente perpendiculares uma esfera, um cone e um plano cada uma orientada na maneira

descrita anteriormente e mostrada na figura (b) acima.

Os trs vetores unitrios so r

a , a e a . Os mesmos encontram-se mutuamente

perpendiculares e definem um sistema de coordenadas esfricas do tipo triedro direito, em que

ra a a = . Pela regra da mo direita o polegar, o indicador e o dedo mdio indicam,

respectivamente, r , e , conforme pode ser visualizado na figura (c) acima. Note que a componente , diferentemente do que foi verificado nas coordenadas cilndricas, o 3 termo e no o 2.

Um elemento diferencial de volume pode ser construdo em coordenadas esfricas

aumentando-se r , e por dr , d e d , como mostra a figura (d) anterior. A distncia entre as duas superfcies de raios r e r dr+ dr ; a distncia entre os cones com ngulos de gerao e

d + r d e a distncia entre os dois planos radiais de ngulos e d + calculado como sendo r sen d . O volume aproximado do elemento ser 2r sen dr d d .

A transformao de escalares do sistema de coordenadas esfricas para cartesianas pode ser

feita usando-se

cos

cos

x r sen

y r sen senz r

=

=

=

A transformao no sentido inverso realizada com a ajuda de

( )( )

2 2 2

2 2 2

0

arccos 0 180

arctan

r x y z rz

x y zyx

= + +

= + +

=

A transformao dos vetores requer a determinao dos produtos vetoriais entre os vetores

unitrios das coordenadas cartesianas e esfricas. Os produtos so obtidos de maneira anloga ao

exposto para as coordenadas cilndricas. Os mesmos podem ser observados na tabela a seguir.



Eletromagnetismo


18

Produtos escalares entre os vetores unitrios dos sistemas de coordenadas retangular e esfrico

r

a a a

xa sen cos cos cos sen

ya sen sen cos sen cos

za cos sen 0

Pode-se, tambm, transformar os escalares do sistema de coordenadas esfricas para

cilndricas, para tanto, deve-se usar

cos

r sen

z r

=

=

=

A transformao no sentido inverso ser

( )( )

2 2 0

arccos 0 180

r z r

z

= +

=

=

J a transformao dos vetores requer novamente a determinao dos produtos vetoriais

entre os vetores unitrios das coordenadas cilndricas e esfricas. Estes podem ser observados na

tabela a seguir.

Produtos escalares entre os vetores unitrios dos sistemas de coordenadas cilndrico e esfrico

r

a a a

a sen cos 0 a 0 0 1

za cos sen 0

Exemplo 11:

Converta o campo vetorial x

xzG ay

=

r (variveis e componentes) para coordenadas esfricas.



Eletromagnetismo


19

Exemplo 12:

Dados dois pontos, ( )3,2,1A e ( )5,20 , 70B , determine: a) As coordenadas esfricas de A ; b) As coordenadas cartesianas de B ; c) A distncia entre A e .B

Exemplo 13: Transforme os seguintes vetores para suas coordenadas esfricas nos pontos dados:

a) 10 xa em ( )3,2,4P ; b) 10 ya em ( )5,30,4Q ; c) 10 za em ( )4,110 ,120M .

Exemplo 14: Transforme os seguintes vetores para suas coordenads esfricas nos pontos dados:

a) 15a em ( )1, 3,5P ; b) 15a em ( )2, 10 , 3Q ; c) 15 za em ( )3,45 ,60M .



Eletromagnetismo


20

2 LEI DE COULOMB E INTENSIDADE DE CAMPO ELTRICO

2.1 Lei de Coulomb

Lei de Coulomb: a fora eltrica aplicada por um corpo carregado em outro, depende

diretamente do produto das intensidades das duas cargas e inversamente do quadrado de suas

distncias, ou ainda,

1 22

Q QF kR

= [N]

Onde k chamada de constante de Coulomb. Esta equao aplicada para objetos carregados cujo tamanho muito menor que a distncia entre estes, ou seja, somente para cargas

pontuais.

A constante k dada por

0

14

kpi

=

onde 0 chamada de constante eltrica ou constante de permissividade do ar, sendo seu valor, no

SI (Sistema Internacional), igual a

12 2 20 8,85418781762 10 /C N m

=

9 2 28,99 10 /k N m C=

A lei de Coulomb agora

1 22

04Q QF

Rpi=

Para podermos representa o vetor fora da lei de Coulomb, precisamos saber se a fora que

atua sobre as cargas de repulso ou atrao. Pois, como sabido, cargas de mesmos sinais se

repelem e cargas de sinais contrrios se atraem.



Eletromagnetismo


21

Na figura acima, temos o vetor 1rr

localizando 1Q enquanto 2rr

localiza 2Q . Ento o vetor

12 2 1R r r= r r r

representa o segmento de reta orientado de 1Q para 2Q , como mostrado. O vetor 2Fr

a fora em 2Q e mostrado para o caso em que 1Q e 2Q possuem o mesmo sinal. A forma vetorial da lei de Coulomb

1 22 122

0 12

4Q QF a

Rpi=

r

onde 12a = vetor unitrio na direo de 12Rr

. Esta equao pode ser considerada uma equao

genrica, uma vez que a mesma pode ser aplicadas a qualquer tipo interao (atrao ou repulso).

Exemplo 01:

Seja uma carga pontual 41 3.10Q C= localizada em ( )1,2,3M e outra 42 10Q C= em ( )2,0,5N ambas no vcuo. Encontrar a fora exercida por 1Q em 2Q .

Exemplo 02:

Uma carga 20AQ C= est localizada em ( )6,4,7A e uma carga 50BQ C= est em ( )5,8, 2B no espao livre. Se as distncias so dadas em metros, determine o vetor fora exercida

em AQ por BQ .

2.2 Intensidade de Campo Eltrico

Se considerarmos uma carga fixa numa posio 1Q , e lentamente movermos uma segunda carga, chamada de carga de teste tQ , em torno da primeira, notaremos que existe por toda parte uma fora nesta segunda carga; em outras palavras, esta segunda carga est mostrando a existncia

de um campo de fora. A fora sobre ela dada por



Eletromagnetismo


22

112

0 1

4t

t tt

Q QF aRpi

=

r

A intensidade de campo eltrico definida pela razo da fora observada nesta carga teste

tFr

pela unidade da carga teste tQ . Usando a letra maiscula E para a intensidade do campo eltrico, temos

112

0 1

4t

tt t

F QE aQ Rpi= =r

r

A intensidade do campo eltrico deve ser medida em unidades de Newton por Coulomb, ou

ainda, volts por metro conforme ser visto posteriormente. Dispensando-se os ndices, podemos

reescrever a equao anterior como

20

4 RQE a

Rpi=

r

Relembrando que R a magnitude do vetor Rr

, segmento de reta orientado do ponto no

qual a carga pontual Q est localizada ao ponto no qual Er desejado, e que Ra um vetor unitrio na direo de R

r.

Se localizarmos Q no centro do sistema de coordenadas esfricas, o vetor unitrio Ra ento se torna o vetor unitrio radial

ra , e R r . Assim,

20

4 rQE a

rpi=

r

J se escrevermos esta expresso em coordenadas cartesianas para a carga na origem, temos

x y zR r xa ya za= = + +

r r e

2 2 2

x y zR

xa ya zaa

x y z

+ +=

+ +; portanto,

( )2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 20 4 x y zQ x y zE a a a

x y z x y z x y z x y zpi

= + + + + + + + + + +

r

Ento, pode-se notar que o sistema de coordenadas esfricas, devido simetria do problema

em questo, o mais adequado.

Se considerarmos a carga deslocada da origem do sistema, o campo no mais possuir

simetria esfrica, e teremos que usar coordenadas cartesianas. Para uma carga Q localizada no



Eletromagnetismo


23

ponto ' ' ' 'x y zr x a y a z a= + +r

, como mostrada na figura abaixo, encontramos o campo num ponto

genrico x y zr xa ya za= + +

r, expressando R

r como 'r r

r r, e ento

( ) 20

'

'4 'Q r rE r

r rr rpi

=

r rr r

r rr r

( ) ( ) 30

'

4 'Q r r

E rr rpi

=

r rr r

r r

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 3/22 2 20

' ' '

4 ' ' '

x y zQ x x a y y a z z aE rx x y y z zpi

+ + =

+ +

r r

Para o caso em que se pretende encontrar a intensidade de campo eltrico proveniente de

vrias cargas pontuais, basta somar vetorialmente o campo devido a cada uma destas cargas, ou

seja,

( ) 1 21 22 2 20 1 0 2 0

4 4 4n

n

n

QQ QE r a a ar r r r r rpi pi pi

= + + +

r rLr r r r r r

A figura a seguir apresenta um exemplo da soma vetorial da intensidade de campo eltrico

total em um ponto P devido a duas cargas pontuais 1Q e 2Q .



Eletromagnetismo


24

Exemplo 03:

Determinar o campo eltrico em ( )1,1,1P causado por quatro cargas idnticas de 3nC localizadas em ( )1 1,1,0P , ( )2 1,1,0P , ( )3 1, 1,0P e ( )4 1, 1,0P , conforme mostrado na figura abaixo.

Exemplo 04:

Uma carga de 3 C est localizada em ( )25, 30,15A (em cm ) e uma segunda carga de 0,5 C est em ( )10,8,12B cm . Determine o campo eltrico Er :

a) Na origem;

b) Em ( )15,20,50P cm . Exemplo 05:

Uma carga pontual de 100 nC est localizada em ( )1,1,3A no espao livre. Pede-se: a) Encontre o lugar dos pontos ( ), ,P x y z em que 500 /xE V m= ; b) Determine 1y se ( )12, ,3A y pertencer a este lugar.



Eletromagnetismo


25

2.3 Campo Devido a uma Distribuio Volumtrica Contnua de

Cargas

Caso tenhamos uma distribuio de carga ao longo de um volume qualquer, podemos

representar a densidade volumtrica de carga por v , tendo a unidade de Coulomb por metro cbico (C/m3).

Uma pequena quantidade de carga Q em um pequeno volume v

vQ v =

A carga total dentro de um volume finito obtida pela integrao atravs deste volume,

v

vol

Q dv=

Normalmente apenas um sinal de integrao indicado, mas o diferencial dv significa integrao atravs de um volume, portanto, uma integrao tripla.

Exemplo 06:

Determine a carga total contida no feixe de eltrons de 2 cm de comprimento da figura abaixo.



Eletromagnetismo


26

Exemplo 07: Calcule a carga total dentro de cada um dos volumes indicados:

a) 1 , , 2x y z e 3 3 31

vx y z

= ;

b) 0,1;0 ;2 4o z pi e ( )2 2sen 0,6v z = ; c) Universo e

2

2

r

v

e

r

= .

2.4 Campo de uma Linha de Cargas

Caso tenhamos uma distribuio de cargas ao longo de uma linha qualquer, podemos

representar a densidade linear de carga por L , tendo a unidade de Coulomb por metro (C/m).

Consideremos uma linha reta de cargas ao longo do eixo z no sistema de coordenadas

cilndricas (devido simetria existente) de a , como mostra a figura a seguir. Desejamos a

intensidade do campo eltrico Er

em todo e qualquer ponto resultante desta linha de cargas de

densidade uniforme L .

Escolhemos um ponto ( )0, ,0P y no eixo y no qual determinaremos o campo. Aplicando-se a equao da intensidade de campo de cargas pontuais para determinar o campo incremental em P devido carga incremental 'LdQ dz= , temos

( )3

0

'

4 'Q r r

Er rpi

=

r rr

r r (para carga pontual)



Eletromagnetismo


27

( )3

0

' '

4 'L dz r rdE

r r

pi

=

r rr

r r (para carga incremental numa linha de cargas)

onde

' '

y

z

r ya a

r z a

= ==

r

r

e

' ' zr r a z a = r r

Portanto,

( )( )3/22 20

' '

4 'L zdz a z adE

z

pi

=

+

r

Pode-se observar, por meio da figura, que a componente zEr

ser nula devido a simetria,

restando to somente Er

, ento

( )3/22 20'

4 'L dzdE

z

pi

=

+

e

( )3/22 20'

4 'L dzE

z

pi

=

+

Integrando a expresso, temos

2 2 20

1 '4 '

L zEz

pi

= +

e

02LE

pi

=



Eletromagnetismo


28

ou, de forma vetorial:

0

2LE a

pi

=

r

Esta a resposta desejada, mas h muitas outras maneiras de obt-la.

Devemos tambm examinar o fato de que nem todas as linhas de carga esto localizadas ao

longo do eixo z . Como exemplo, consideremos uma linha de cargas infinita paralela ao eixo z em

6x = , 8y = , como mostrada na figura abaixo. Desejamos determinar Er

em um ponto genrico

( ), ,P x y z .

Na equao da intensidade de campo encontrada para a linha de carga infinita, substitui-se

pela distncia radial entre a linha de cargas e o ponto P , ( ) ( )2 26 8R x y= + e consideramos a como sendo Ra . Assim,

( ) ( )2 20

2 6 8L

RE ax y

pi

=

+

r

onde

( ) ( )( ) ( )2 2

6 8

6 8x y

R

x a y aa

x y

+ =

+

Portanto,



Eletromagnetismo


29

( ) ( )( ) ( )2 20

6 82 6 8

x yLx a y a

Ex y

pi

+ =

+

r

Nota-se, novamente, que o campo no uma funo de z . De forma genrica, pode-se

escrever:

0

2L

RE aR

pi=

r

Exemplo 08:

Uma linha de cargas uniforme de 16 /nC m est localizada ao longo da linha definida por 2y = , 5z = . Determine o campo eltrico em ( )1,2,3P .

Exemplo 09:

Duas linhas de cargas uniformes e infinitas de 5 /nC m esto situadas ao longo dos eixos x e y no espao livre. Determine o campo eltricos em:

a) ( )0,0,4AP ; b) ( )0,3,4BP .

2.5 Campo de uma Lmina de Cargas

Outra configurao bsica a lmina infinita de cargas tendo uma densidade uniforme S dada em 2/C m . Esta densidade conhecida como densidade superficial de cargas.

Coloquemos uma lmina de cargas no plano yz , conforme figura a seguir.



Eletromagnetismo


30

Utilizaremos o campo de uma linha de cargas, para tanto, dividiremos a lmina infinita em

faixas de larguras diferenciais, cada faixa equivaler a uma linha de cargas, de acordo com a figura

anterior. A densidade linear de carga de cada faixa 'L S dy = . Aplicando-se a equao da intensidade de campo de linha de cargas, temos

0

2L

RE aR

pi=

r

(para linha de cargas)

0

'

2S

RdydE a

Rpi

=

r

(para linha de cargas incremental numa lmina infinita de cargas)

sendo

' '

x

y

r xa

r y a=

=

r

r

' 'x yR r r xa y a= = r r r

2 2'R R x y= = +

r

2 2

'

'

x yR

xa y aRa

R x y

= =

+

r

r

Portanto,

( )( )2 20

' '

2 'S x ydy xa y adE

x y

pi

=

+

r

Analisando-se a simetria, tem-se que a componente yEr

ser nula, restando to somente a

componente xEr

, ento

( )2 20'

2 'S

x

x dydEx y

pi

=

+

e

( )2 20'

2 'S

x

x dyEx y

pi

=

+



Eletromagnetismo


31

Integrando pela tabela de integrais, temos

0

'

2S

x

yE arctgx

pi

=

e

02S

xE

=

Se o ponto P tivesse sido escolhido no semi-eixo x negativo, ento

02S

xE

=

pois o campo est sempre dirigido para fora, no caso de uma superfcie positivamente carregada.

Esta dificuldade no sinal usualmente contornada especificando-se um vetor unitrio Na , o qual

normal lmina e direcionado para fora da mesma. Ento,

0

2S

NE a

=

r

Se uma segunda lmina de cargas, tendo uma densidade de carga negativa S , estivesse localizada no plano x a= , poderamos determinar o campo total adicionando as contribuies de

cada lmina. Na regio x a> ,

0 0

02 2

S Sx xE E E a a

+

= + = =r r r r r

e para 0x < ,

( ) ( )0 0

02 2

S Sx xE E E a a

+

= + = =r r r r r

e quando 0 x a< < ,

( )0 0 02 2

S S Sx x xE E E a a a

+

= + = =r r r r r r

Este um resultado importante na prtica, pois o campo entre as placas paralelas de um

capacitor separadas por ar, contanto que as dimenses lineares das placas sejam bem menores que a

sua separao e tambm que estejamos considerando um ponto bem distante das bordas.



Eletromagnetismo


32

Exemplo 10: Trs lminas de cargas infinitas e uniformes esto localizadas no espao livre como se segue:

23 /nC m em 4z = ; 26 /nC m em 1z = e 28 /nC m em 4z = . Determine o campo eltrico resultante nos pontos:

a) ( )2,5, 5AP ; b) ( )4,2, 3BP ; c) ( )1, 5,2CP ; d) ( )2,4,5DP .

2.6 Linhas de Fora e Esboo de Campos

As linhas de fora so linhas imaginrias em cada ponto do espao sob influncia de um

campo eltrico. Elas so empregadas no sentido de visualizar melhor a atuao do campo eltrico.

Por conveno, so propriedades destas linhas:

As linhas de fora comeam nas cargas positivas e terminam nas cargas negativas.

A tangente linha de fora passando por qualquer ponto no espao fornece a

direo do campo eltrico naquele ponto.

A intensidade do campo eltrico em qualquer ponto proporcional ao nmero de

linhas por unidade de rea transversal perpendicular s mesmas.

Contudo, se tentssemos esboar o campo de uma carga pontual, a variao do campo para

dentro e para fora da pgina poderia essencialmente causar dificuldades, por esta razo, o esboo

habitualmente limitado a campos bidimensionais, conforme exemplos abaixo.



Eletromagnetismo


33

No caso de um campo bidimensional, vamos arbitrariamente considerar 0zE = . As linhas de fora esto assim confinadas aos planos nos quais z constante. Na figura abaixo, linhas de fora

so mostradas, e as componentes xE e yE so indicadas em um ponto genrico.

As equaes das linhas de fora podem ser obtidas por meio da evidente constatao que

y

x

E dyE dx

=

Como ilustrao deste mtodo considere o campo de uma linha de cargas uniforme com

distribuio linear 02L pi= ,

1E a

=

r

Em coordenadas cartesianas,

2 2 2 2 x yx yE a a

x y x y= +

+ +

r



Eletromagnetismo


34

Assim, formamos a equao diferencial

y

x

Edy ydx E x

= = ou dy dxy x

=

Portanto,

ln lny x C= + ou ln ln lny x C= +

ou ainda,

y Cx=

Se desejssemos encontrar a equao de uma linha de fora em particular, meramente

substituiramos as coordenadas deste ponto em nossa equao e calcularamos C.

Exemplo 11:

Determine a equao da linha de fora que passa pelo ponto ( )1,4, 2P no campo eltrico: a)

2

28 4

x y

x xE a ay y

= +r

;

b) ( )5 2 5 1x x yE e y x a xa = + + r

.



Eletromagnetismo


35

3 DENSIDADE DE FLUXO ELTRICO, LEI DE GAUSS E

DIVERGNCIA

3.1 Densidade de Fluxo Eltrico

A figura a seguir ilustra um experimento de Faraday em que se tm duas esferas condutoras

concntricas separadas entre si por um material dieltrico. A esfera interna previamente carregada

com carga Q+ , posteriormente, coloca-se a esfera externa descarregada e conecta-a momentaneamente a terra. Com isto Faraday observou que a esfera externa, que a princpio estava

descarregada, ficava carregada com carga igual em magnitude carga da esfera interna e que isto

era verdade independente do material dieltrico que separava as duas esferas.

Ele concluiu que da esfera interna para a externa havia um certo tipo de deslocamento que

era independente do meio, e agora nos referimos a este deslocamento ou fluxo como fluxo

eltrico. O mesmo ser representado por (psi) e dado, conforme experimento, por

Q =

O fluxo eltrico ento medido em Coulomb. Podemos observar, por meio da figura

anterior, que as trajetrias do fluxo eltrico se estendem da esfera interna para a externa e so

indicadas por linhas de fora simetricamente distribudas, desenhadas de uma esfera a outra.

A densidade de fluxo eltrico a razo entre o fluxo eltrico e a rea da superfcie que o

mesmo cruza. Trata-se de uma grandeza vetorial e representada pela letra Dr

. A direo de Dr

em

um ponto a direo das linhas de fluxo naquele ponto, e sua magnitude dada pelo nmero de

linhas de fluxo que cruzam a superfcie normal a elas dividido pela rea da superfcie. A unidade de

Dr

, naturalmente, Coulomb por metro quadrado (algumas vezes descrita como linhas por metro

quadrado, pois cada linha est relacionada quantidade de carga).



Eletromagnetismo


36

Novamente, nos referindo figura anterior, a densidade de fluxo eltrico est na direo

radial e tem um valor de

2 4 rr aQD aapi=

=

r (esfera interna)

2 4 rr bQD abpi=

=

r (esfera externa)

e para a distncia radial r , onde a r b ,

2 4 rQD a

rpi=

r

Se substitussemos a esfera interna por uma carga pontual carregada com a mesma carga Q, a densidade de fluxo eltrico no ponto distando r metros desta carga pontual ainda dada pela

equao anterior.

Como a intensidade de campo eltrico radial de uma carga pontual no espao livre

20

4 rQE a

rpi=

r

podemos escrever que, no espao livre,

0D E=r r

Embora esta expresso seja aplicvel somente ao vcuo, ela no se restringe somente ao

campo de uma carga pontual, a mesma verdadeira para qualquer configurao no espao livre, seja

ela uma distribuio volumtrica, superficial ou linear.

Exemplo 01:

Encontrar a densidade de fluxo eltrico Dr

na regio ao redor de uma linha de cargas uniforme de

8 /nC m situada sobre o eixo z no espao livre.

Exemplo 02:

Calcule a densidade de fluxo eltrico Dr

em coordenadas retangulares no ponto ( )2, 3,6P produzido por:

a) uma carga pontual 55Q mC= em ( )2,3, 6M ; b) uma linha de cargas uniforme de 20 /L mC m = no eixo x ; c) uma densidade superficial de carga de 2120 /S C m = no plano 5z = .



Eletromagnetismo


37

3.2 Lei de Gauss

Imaginemos uma distribuio de carga, conforme mostrada na figura abaixo, como uma

nuvem de cargas pontuais, envolvidas por uma superfcie fechada com uma forma qualquer. Se a

carga total Q+ Coulomb, ento Q Coulomb de fluxo eltrico iro atravessar a superfcie, o vetor densidade de fluxo eltrico D

r ter algum valor SD

r, onde o ndice S meramente nos lembra que D

r

deve ser calculado na superfcie, e SDr

ir em geral variar em magnitude e direo de um ponto da

superfcie para outro.

Especificando o elemento incremental da superfcie, tal como ilustrado na figura anterior,

como sendo o vetor Sr

normal superfcie e apontando para fora da mesma, podemos ento

escrever que o incremento de fluxo eltrico ( ) neste elemento incremental de superfcie ser:

S normal SD S D S = = rr

O fluxo total que atravessa a superfcie fechada obtido adicionando-se as contribuies

diferenciais que atravessam cada elemento de superfcie Sr

,

SSD dS =

rr

(superfcie fechada)

Esta integral resultante uma integral de superfcie fechado, ou seja, uma integral dupla da

superfcie total. Tal superfcie freqentemente chamada de superfcie gaussiana. Temos, ento, a

formulao matemtica de Gauss, que afirma

carga envolvidaSS D dS Q = = =rr

A carga envolvida pode ser um conjunto de vrias cargas pontuais, ou uma linha de cargas,

ou uma superfcie de cargas, ou ainda, uma distribuio volumtrica de cargas. Como a equao da

distribuio volumtrica uma generalizao das outras expresses, podemos escrever a Lei de

Gauss em termos desta



Eletromagnetismo


38

S vS volD dS dv =

rr

uma afirmativa matemtica significando simplesmente que o fluxo eltrico total atravs de qualquer

superfcie fechada igual carga envolvida.

Para ilustrar a aplicao da lei de Gauss, vamos conferir os resultados do experimento de

Faraday colocando uma carga pontual Q na origem do sistema de coordenadas esfricas e escolhendo uma superfcie fechada como uma esfera de raio r . Temos ento

( )0 0 20

22 2 2

4

44 4 4

S rS S S

rS S

QD dS E dS a dSr

Q Q Qa dS dS r Q

r r r

pi

pipi pi pi

= =

= = = =

r r rr r

r

e obtm um resultado que mostra que Q Coulomb de fluxo eltrico est atravessando a superfcie, como deveria ser, j que a carga envolvida de Q Coulomb. A figura abaixo ilustra o fato de que os vetores SD

r e dS

r, neste exemplo, esto sempre na mesma direo

J a integral de rea da superfcie fechada esfrica

2 2 2

0 04esferaS r sen d d r

pi pi pi

= =

= =

= =

contudo, por ser a rea de uma superfcie esfrica uma equao conhecida, no h necessidade de

se calcular a mesma em todos os exemplos que esta aparecer.

Vale ressaltar que para o clculo do fluxo eltrico em uma superfcie aberta pode-se usar

SSD dS =

rr (superfcie aberta)



Eletromagnetismo


39

Exemplo 03:

Dada uma carga pontual de 60 C localizada na origem, determine o fluxo eltrico total que passa atravs:

a) da poro de uma esfera de 26r cm= limitada por 0 /2 pi< < e 0 /2 pi< < ; b) da superfcie fechada definida por 26 cm = e 26z cm= ; c) do plano 26z cm= .

Exemplo 04:

Dada a densidade de fluxo eltrico 2 20,3 /

rD r a nC m=r

no espao livre, determine:

a) o campo eltrico Er

no ponto ( )2,25 ,90P . b) a carga total dentro da esfera 3r = . c) o fluxo eltrico total que deixa a esfera 4r = .

Exemplo 05:

Calcule o fluxo eltrico total que deixa uma superfcie cbica formada pelos seis planos , , 5x y z = se a distribuio de carga :

a) duas cargas pontuais, uma de 0,1 C em ( )1, 2,3 e outra de 17 C em ( )1,2, 2 ; b) uma linha de cargas uniforme de /C mpi em 2x = e 3y = ; c) uma superfcie de cargas uniforme de 20,1 /C m no plano 3y x= .

3.3 Aplicaes da Lei de Gauss: Algumas Distribuies Simtricas

de Cargas

A soluo da equao de Gauss fcil se formos capazes de escolher uma superfcie fechada

que satisfaa duas condies:

1. SDr

deve ser normal ou tangente superfcie fechada em qualquer ponto, de modo que

SD dSrr

se torna SD dS ou zero, respectivamente.

2. Na parte da superfcie fechada para a qual SD dSrr

no zero, SD dever ser constante.

Isto nos permite substituir o produto escalar pelo produto dos escalares SD e dS e depois levar SD para fora da integral. A integral remanescente , ento, sobre aquela poro da superfcie

fechada em que SDr

cruza normalmente, o que simplesmente a rea desta superfcie.

Vamos considerar uma carga pontual Q na origem de um sistema de coordenadas esfricas e decidir por uma superfcie fechada adequada que ir satisfazer os dois requisitos listados acima. A

superfcie em questo obviamente uma superfcie esfrica, centrada na origem e de raio r



Eletromagnetismo


40

qualquer. SDr

normal superfcie em qualquer ponto; SD possui o mesmo valor em todos os pontos na superfcie.

Temos, ento,

2 2

0 0

24

S SS esfera

S Sesfera

S

Q D dS D dS

D dS D r sen d d

r D

pi pi

pi

= =

= =

= =

= =

=

rr

e assim 24SQD

rpi=

Como r pode ter qualquer valor e como SDr

est dirigido radialmente para fora,

2 4 rQD a

rpi=

r 2

0

4 rQE a

rpi=

r

que concorda com os resultados advindos da lei de Coulomb.

Como um segundo exemplo, consideremos uma distribuio uniforme e linear de carga

situada no eixo z se estendendo de a + .

Neste exemplo em questo, a superfcie cilndrica a nica superfcie em que Dr

normal

em qualquer ponto e pode ser fechada por superfcies planas normais ao eixo z . A figura abaixo

mostra um cilindro circular reto fechado de raio se estendendo de 0z = at z L= .



Eletromagnetismo


41

Aplicando-se a lei de Gauss

2

0 00 0 2

S S S S SS cilindro lateral topo base

z L

S S Slateral z

Q D dS D dS D dS D dS D dS

D dS D d dz D L pi

pi= =

= =

= = = + +

= + + = =

r r r r rr r r r r

e obtemos 2S

QDLpi

=

Em termos da densidade de carga: 2 2

L LS

LDL

pi pi

= = . Resultando nos vetores,

2LD a

pi

=

r

0

2LE a

pi

=

r

Em conformidade com o resultado obtido anteriormente pela lei de Coulomb.

Um terceiro exemplo o problema de um cabo coaxial. Suponhamos que temos dois

condutores cilndricos coaxiais, o interno de raio a e o externo de raio b , cada um de extenso infinita, como mostra a figura a seguir. Consideremos uma distribuio de carga S na superfcie externa do condutor interno. As cargas dos dois cilindros so iguais em mdulos e opostas em sinais.

Um cilindro circular reto de comprimento L e raio , onde a b< < , necessariamente escolhido como a superfcie gaussiana, e rapidamente temos

2SQ D Lpi=

e obtemos 2S

QDLpi

=



Eletromagnetismo


42

Em termos da densidade de carga: 2

2S S

SaL aDL

pi pi

= = . Passando para densidade linear,

mais comumente usada para cabos coaxiais, temos que LQ L= , ento, 2 2L L

SLDL

pi pi

= = . Em

termos vetoriais,tem-se

2LD a

pi

=

r

0

2LE a

pi

=

r

e a soluo possui uma forma idntica quela da linha infinita de cargas.

Caso usssemos um cilindro de raio b > para a superfcie gaussiana, a carga total envolvida seria ento zero, j que o resultado da soma das cargas dos dois cilindros nulo. Um

resultado idntico seria obtido para a < , pois a carga do cilindro interno s existir na superfcie do mesmo, conforme veremos em breve para o caso de materiais condutores.

Exemplo 06:

Considere um cabo coaxial de 50 cm de comprimento com raio interno de 1 mm e raio externo de 4 mm , o espao entre os condutores preenchido por ar. A carga total no condutor interno 30 nC . Calcule a densidade de carga em cada condutor e, usando a lei de Gauss, a densidade de fluxo eltrico e o campo eltrico, em toda regio.

Exemplo 07:

Uma carga pontual de 0,25 C est localizada na origem, e duas densidades superficiais de carga uniformes esto localizadas como segue: uma de 22 /mC m em 1r cm= e outra de 20,6 /mC m em 1,8r cm= . Calcule o vetor densidade de fluxo eltrico em:

a) 0,5r cm= ; b) 1,5r cm= ; c) 2,5r cm= ; d) Que densidade superficial de carga uniforme deve ser estabelecida em 3r cm= para

causar um densidade de fluxo de carga nula em 3,5r cm= ?

3.4 Aplicaes da Lei de Gauss: Elemento Diferencial de Volume

Agora aplicaremos os mtodos da lei de Gauss para um tipo de problema ligeiramente

diferente um que no possui qualquer simetria. Para se contornar a problemtica da ausncia de

simetria, que imprescindvel para aplicao da lei de Gauss, ser necessrio escolher uma superfcie

fechada muito pequena em que Dr

seja praticamente constante sobre ela e, que uma pequena



Eletromagnetismo


43

variao de Dr

possa ser adequadamente representada pelos dois primeiros termos da expanso de

Dr

em srie de Taylor.

Consideremos um ponto P qualquer, mostrado na figura seguinte, localizado pelo sistema de coordenadas cartesianas. O valor de D

r neste ponto pode ser expresso em componentes

cartesianos, 0 0 0 0 x x y y z zD D a D a D a= + +r

.

Escolhemos como nossa superfcie fechada uma pequena caixa retangular, centrada em P , tendo lados de comprimentos x , y e z , e apliquemos a lei de Gauss,

SS frente atrs esquerda direita topo baseD dS Q = + + + + + =

rr

onde, dividimos a integral sobre a superfcie fechada em seis integrais, uma para cada face.

Consideremos a primeira destas integrais detalhadamente,

,

frente frentefrente

frente x

x frente

D S

D y z a

D y z

=

= =

rr

r

onde devemos aproximar somente o valor de xD nesta face frontal. A face frontal est a uma distncia de / 2x de P , e assim

, 0

0

taxa de variao de com 2

2

x frente x x

xx

xD D D x

DxDx

= +

= +

Temos, agora



Eletromagnetismo


44

0 2x

xfrenteDxD y zx

= +

Consideremos agora a integral sobre a superfcie posterior,

( ),

atrs atrsatrs

atrs x

x atrs

D S

D y z aD y z

=

= =

rr

r

e, fazendo-se novamente uma aproximao,

, 0 2x

x atrs xDxD Dx

=

resultando em 0 2x

xatrs

DxD y zx

= +

Se combinarmos estas duas integrais, temos

x

frente atrsD

x y zx

+ =

Usando-se exatamente este mesmo procedimento, encontramos que

y

direita esquerda

Dx y z

y

+ =

z

topo base

Dx y z

z

+ =

Sendo x y z v = , podemos escrever:

yx zSS

DD DD dS Q vx y z

= = + + rr

A expresso uma aproximao que se torna melhor medida que v se torna menor.

Exemplo 08:

Determine um valor aproximado para a carga total contida em um volume incremental de 9 310 m localizado na origem, se ( ) ( ) 2 sen cos 2 /x xx y zD e y a e y a za C m = +r . Exemplo 09:



Eletromagnetismo


45

No espao livre, 4 2 4 2 3 2 8 4 16 /x y zD xyz a x z a x yz a pC m= + +r

. Determinar:

a) o fluxo eltrico total que atravessa a superfcie retangular 2z = , 0 2x< < , 1 3y< < na direo za ;

b) o campo eltrico em ( )2, 1,3P ; c) um valor aproximado para a carga total contida em uma esfera incremental localizada em

( )2, 1,3P e tendo um volume de 12 310 m .

3.5 Divergncia

No subitem anterior, encontramos que

yx zSS

DD DD dS Q vx y z

= = + + rr

Obteremos agora a relao exata desta equao, permitindo que o elemento de volume v tenda a zero. Escreveremos esta equao como

Syx SzD dSDD D Q

x y z v v

+ + = =

rr

Pode-se, assim, fazer um limite tal qual

0 0lim limSyx Szv v

D dSDD D Qx y z v v

+ + = =

rr

sendo que este ltimo termo representa a densidade volumtrica de carga v , portanto

0lim Syx Sz vv

D dSDD Dx y z v

+ + = =

rr

Por enquanto, trabalhemos unicamente com a primeira igualdade da expresso, ou seja,

0lim Syx Szv

D dSDD Dx y z v

+ + =

rr

pois a equao que relaciona a densidade volumtrica ser tratada na prxima seo.



Eletromagnetismo


46

A expresso anterior envolve a densidade de fluxo eltrico Dr

, porm a mesma poderia ser

representativa de qualquer outro campo vetorial genericamente representado pela letra Ar

(velocidade, acelerao, fora, etc.). Podendo-se reescrev-la como

0limyx Szv

A dSAA Ax y z v

+ + =

r r

Esta operao apareceu tantas vezes em investigaes fsicas passadas que recebeu um

nome descritivo, divergncia. A divergncia de Ar

definida como

0Divergncia de div lim S

v

A dSA A

v

= =

r r

r r

e usualmente abreviada por div Ar

. Este vetor Ar

membro da famlia dos vetores densidade de

fluxo. A seguinte interpretao fsica vlida:

A divergncia do vetor densidade de fluxo Ar

a descarga de fluxo em uma pequena

superfcie fechada por unidade de volume medida que o volume tende a zero.

Por exemplo, consideremos a divergncia da velocidade da gua em uma banheira aps

termos aberto o dreno. O fluxo lquido de gua atravs de qualquer superfcie fechada situada

inteiramente dentro da gua deve ser igual a zero, pois a gua essencialmente incompressvel e,

conseqentemente, a gua que entra e sai de diferentes regies da superfcie fechada deve ser igual.

Portanto a divergncia desta velocidade zero.

Entretanto, se considerarmos agora a velocidade do ar em um pneu que acabou de ser

furado por um prego, percebemos que o ar se expande medida que a presso cai e que,

conseqentemente, h um fluxo lquido em qualquer superfcie fechada situada dentro do pneu. A

divergncia desta velocidade , portanto, maior que zero. J na operao de enchimento do pneu, o

fluxo lquido em qualquer superfcie fechada situada dentro do mesmo ter de sentido oposto ao do

procedimento anterior.

Uma divergncia positiva de qualquer grandeza vetorial indica uma fonte desta grandeza

vetorial naquele ponto. De forma semelhante, uma divergncia negativa indica um sorvedouro

(sumidouro). Como a divergncia da velocidade da gua acima zero, no existe fonte nem

sorvedouro.

A divergncia para o nosso caso especfico da densidade de fluxo eltrico ser

div yx zDD DD

x y z

= + + r



Eletromagnetismo


47

Esta expresso est representada em coordenadas cartesianas. Caso desejssemos escrev-

la em coordenadas cilndricas ou esfricas, as mesmas ficariam como se segue.

( )1 1div zD DD Dz

= + +

r

coordenadas cilndricas

( ) ( )221 1 1div r DD r D sen Dr r r sen r sen

= + +

r

coordenadas esfricas

A divergncia uma operao que resulta em um escalar, ou seja, a divergncia meramente

nos diz quanto fluxo est deixando um pequeno volume em termos de por unidade de volume,

nenhuma direo est associada a ela.

Exemplo 10:

Determine a divergncia div Dr

em um ponto situado na origem se o vetor densidade de fluxo

( ) ( ) 2 sen cos 2 /x xx y zD e y a e y a za C m = +r . Exemplo 11:

Determinar o valor numrico para div Dr

no ponto especificado para cada um dos seguintes itens

abaixo:

a) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 /x y zD xyz y a x z xy a x ya C m= +r em ( )2,3, 1P ; b) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 sen sen 2 2 sen /zD z a z a z a C m = +r em ( )2,110 , 1P ; c) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 sen cos cos cos sen /rD r a r a r a C m = + r em ( )1,5;30;50P .

3.6 Primeira Equao de Maxwell (Eletrosttica)

As expresses desenvolvidas para a divergncia so as seguintes

0div lim SS

v

D dSD

v

=

rr

r

div yx zDD DD

x y z

= + +

r

div vD =r

A primeira equao a definio da divergncia; a segunda o resultado da aplicao da

definio a um elemento diferencial de volume em coordenadas cartesianas, e a terceira



Eletromagnetismo


48

meramente escrita usando-se de desenvolvimento matemtico. Esta ltima equao um resultado

do seguinte desenvolvimento

( ) Lei de GaussSS D dS Q =rr

SSD dS Q

v v

=

rr

0 0lim limSSv v

D dS Qv v

==

rr

div vD =r

Esta a primeira das quatro equaes de Maxwell. Ela estabelece que o fluxo eltrico por

unidade de volume que deixa uma unidade de volume infinitesimal exatamente igual sua

densidade volumtrica de carga. A primeira equao de Maxwell tambm descrita como a forma

diferencial da lei de Gauss. De modo recproco, a lei de Gauss reconhecida como a forma integral

da primeira equao de Maxwell.

A operao divergncia no limitada densidade de fluxo eltrico; ela pode ser aplicada a

qualquer campo vetorial.

Exemplo 12: Determine uma expresso para a densidade volumtrica de carga associada com cada campo densidade de fluxo eltrico a seguir:

a) 2 2

22

4 2 2 /

x y zxy x x yD a a a C mz z z

= + +r

;

b) ( ) ( ) ( ) 2 sen cos sen /zD z a z a a C m = + +r ; c) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 sen sen cos sen cos /rD a a a C m = + +r .

3.7 O Operador Vetorial r

(Nabla) e o Teorema da Divergncia

Definimos o operador nabla r

como sendo um operador vetorial, representado pela

expresso:

x y za a a

x y z = + +

r

Consideremos o produto escalar dos vetores r

e Dr

,



Eletromagnetismo


49

( ) x y z x x y y z zD a a a D a D a D ax y z

= + + + + r r

yx zDD DD

x y z = + +

r r

Isto reconhecido como a divergncia de Dr

, de forma que temos

div yx zDD DD D

x y z

= = + +

r r r

O uso de Dr r

muito mais comum que o de div Dr

. A partir de agora, usaremos a notao

Dr r

para indicar a operao de divergncia.

O operador r

no possui uma forma especfica em outros sistemas de coordenadas. Se

considerarmos Dr

em coordenadas cilndricas ou esfricas, ento Dr r

ainda indica a divergncia de

Dr

, conforme as expresses j definidas anteriormente, porm no temos uma frmula para r

em

si nestes sistemas de coordenadas.

Iremos agora desenvolver o teorema da divergncia. Este teorema se aplica a qualquer

campo vetorial para o qual existe a derivada parcial apropriada. Partindo da lei de Gauss,

SD dS Q =

rr

e considerando

vvol

Q dv=

e ento substituindo v por sua igualdade,

vD =r r

temos vS vol volD dS Q dv Ddv = = =

rr r r

A primeira e a ltima expresso constituem o teorema da divergncia,

S volD dS Ddv =

rr r r

que pode ser escrito como se segue:



Eletromagnetismo


50

A integral da componente normal de qualquer campo vetorial sobre uma superfcie

fechada igual integral da divergncia deste campo vetorial atravs do volume limitado

por esta superfcie fechada.

Novamente, enfatizamos que o teorema da divergncia verdadeiro para qualquer campo

vetorial. Sua vantagem advm do fato de que ele relaciona uma tripla integrao atravs de algum

volume com uma dupla integrao sobre a superfcie daquele volume.

O teorema da divergncia se torna bvio fisicamente se considerarmos o volume, tal qual

apresentado na figura acima, dividido em inmeros pequenos compartimentos de tamanho

diferencial. A considerao de uma dessas clulas mostra que o fluxo que diverge desta clula entra,

ou converge, para as clulas adjacentes, a menos que estas contenham uma poro de superfcie

externa. Em resumo, a divergncia da densidade de fluxo atravs de um volume leva, ento, ao

mesmo resultado que o determinado pelo fluxo lquido que atravessa a superfcie fechada.

Exemplo 13:

Calcule ambos os lados do teorema da divergncia para o campo 2 2 2 /x yD xya x a C m= +r

e a a

regio fechada de um paraleleppedo formado pelos planos 0 1x e= , 0 2y e= e 0 3z e= .

Exemplo 14:

Dado o campo ( ) ( ) 21 12 2 6 sen 1,5 cos /D a a C m = +r calcule ambos os lados do teorema da divergncia para a regio limitada por 2 = , 0 e pi= e 0 5z e= .



Eletromagnetismo


51

4 ENERGIA POTENCIAL E POTENCIAL ELTRICO

4.1 Trabalho Empregado no Movimento de uma Carga no Interior

de um Campo Eltrico

Se tentarmos movimentar uma carga de teste contra o campo eltrico, deveremos exercer

uma fora de igual mdulo e sentido contrrio quela exercida pela fora proveniente do campo, e

isto requer dispndio de energia ou trabalho. J se tentarmos movimentar a carga na direo do

campo, nosso dispndio de energia torna-se- negativo; no realizaremos trabalho, o campo que

realizar.

A fora aplicada carga Q devido a existncia de um campo eltrico Er

EF QE=r r

A componente desta fora numa direo dLr

qualquer

EL E L LF F a QE a= = r r

onde La o vetor unitrio da direo de dLr

.

A fora que deve ser aplicada por um agente externo para deslocar a carga de mdulo igual

e sentido oposto, ou seja,

aplicada LF QE a=

r

J o dispndio de energia ser dado pelo produto da fora aplicada pela distncia de

deslocamento. Pode-se ento escrever que o trabalho diferencial realizado por um agente externo

deslocando Q ao longo da direo La

( ) L LdW QE a dL QE a dL QE dL= = = r r r r onde substitumos La dL pela expresso mais simples dL

r.

O trabalho necessrio para deslocar a carga de uma distncia finita deve ser determinado

pela integrao

final

inicialW Q E dL=

r r



Eletromagnetismo


52

onde o caminho deve ser especificado antes que a integral seja calculada. Considera-se, para tanto,

que a carga est parada nas posies inicial e final.

Exemplo 01:

Dado o campo eltrico ( ) ( )2 221 8 4 4 /x y zE xyza za x ya V mz= + r

, determine a quantidade

diferencial de trabalho realizado ao deslocarmos uma carga de 6nC de uma distncia de 2 m , partindo de ( )2, 2,3P e caminhando na direo:

a) 6 3 2

7 7 7L x y za a a a= + + ;

b) 6 3 2

7 7 7L x y za a a a= .

4.2 Integral de Linha

A expresso da integral para o trabalho um exemplo de integral de linha, a qual, sempre

assume a forma da integral ao longo de um caminho prescrito do produto escalar entre o campo

vetorial e o vetor comprimento diferencial. Sem a utilizao da anlise vetorial, deveramos escrever

finalLinicial

W Q E dL=

onde LE = componente de Er

ao longo de dLr

.

O procedimento da integral de linha est indicado na figura abaixo, onde foi escolhido um

caminho a partir da posio inicial B at a posio final A e selecionado um campo eltrico uniforme. O caminho est dividido em seis segmentos.



Eletromagnetismo


53

O trabalho envolvido no deslocamento da carga Q de B para A , ento, aproximadamente

( )1 1 2 2 6 6L L LW Q E L E L E L= + + + K ou, usando notao vetorial,

( )1 1 2 2 6 6W Q E L E L E L= + + + r r r r r rK e, como admitimos um campo uniforme

( )1 2 6W QE L L L= + + + r r r rK A soma dos segmentos dos vetores pode ser realizada pela regra do paralelogramo,

resultando justamente em um vetor dirigido do ponto inicial para o ponto final, BALr

. Portanto,

( ) uniformeBAW QE L E= r r r Para este caso especial de uma intensidade de campo eltrico uniforme, devemos notar que

o trabalho envolvido no deslocamento da carga depende somente de Q, Er e BALr

. Ele no depende

do caminho escolhido para deslocar a carga, ou seja, pode-se ir de B para A em uma linha reta ou por um caminho tortuoso que a resposta ser a mesma.

Note que a expresso de dLr

utiliza dos vetores de comprimentos diferenciais, os quais

encontram-se destacado a seguir.

(coordenadas cartesianas)

(coordenadas cilndricas)

(coordenadas esfricas)

x y z

z

r

dL dxa dya dza

dL d a d a dza

dL dra rd a r sen d a

= + +

= + +

= + +

r

r

r

Para ilustrar o clculo da integral de linha, investigaremos os diversos caminhos que devemos

considerar prximos a uma linha infinita de cargas, conforme figura a seguir.



Eletromagnetismo


54

O campo j foi obtido anteriormente e inteiramente na direo radial,

0

2LE E a a

pi

= =

r

Deslocando-se uma carga positiva em torno de um caminho circular de raio 1 , conforme figura (a), tem-se 1 dL d a =

r, o trabalho ser:

2

100 1

2

00

2

0

2

final

inicial

L

L

W Q E dL

Q a d a

Q d a a

pi

pi

pi pi

=

=

= =

r r

Considerando-se agora um deslocamento da carga de a = para b = ao longo do caminho radial, de acordo com figura (b) acima. Aqui, dL d a=

r e

0

0

0

2

2

ln2

b

a

b

a

L

L

bL

a

W Q a d a

dQ

Q

pi pi

pi

=

=

=

Como b maior do que a , percebe-se que o trabalho realizado negativo, indicando que a fonte externa, que est deslocando a carga, recebe energia. J se o deslocamento fosse de b para

a , teramos,

0

ln2

bL

a

QW pi

=

Neste caso o trabalho positivo, o que significa que a fonte externa (ou agente externo)

que est fornecendo energia.

Exemplo 02:

Dado o campo eltrico no-uniforme 2x y zE ya xa a= + +r

, determine o trabalho realizado para

levar uma carga de 2C de ( )1,0,1B at ( )0,8;0,6;1A ao longo do arco mais curto do crculo 2 2 1x y+ = e 1z = .



Eletromagnetismo


55

Exemplo 03:

Calcule o trabalho ralizado ao deslocarmos uma carga de 4C de ( )1,0,0B at ( )0,2,0A ao lonho do caminho 2 2 , 0y x z= = no campo:

a) 5 /xE a V m=r

;

b) 5 /xE xa V m=r

;

c) 5 5 /x yE xa ya V m= +r

.

Exemplo 04:

(exemplo de campo no-conservativo) Considerando ( )5 /xE xa V m=r , calcule o trabalho necessrio para deslocar uma carga de 3C de ( )1,3,5B at ( )2,0,3A ao longo dos segmentos de linhas retas unindo:

a) ( )1,3,5B a ( )2,3,5 a ( )2,0,5 a ( )2,0,3A ; b) ( )1,3,5B a ( )1,3,3 a ( )1,0,3 a ( )2,0,3A .

4.3 Definio de Diferena de Potencial e Potencial Eltrico

Define-se a diferena de potencial V como o trabalho realizado (por um agente externo) ao

deslocar uma unidade de carga positiva ( )1Q = de um ponto a outro em um campo eltrico, Diferena de Potencial

final

inicialV E dL= =

r r

A diferena de potencia ABV significa a diferena de potencial entre os pontos A e B , e o trabalho realizado ao deslocarmos uma unidade de carga de B at A. Assim,

( ) VAAB BV E dL= r r

onde a unidade de medida volts que freqentemente abreviado por V, trata-se, conforme

observado, de uma grandeza escalar.

No exemplo da linha de carga da ltima seo, encontramos que o trabalho realizado ao

levarmos a carga Q de b para a

0

ln2

bL

a

QW pi

=

Assim, a diferena de potencial entre os pontos b e a



Eletromagnetismo


56

0

ln2

bLab

a

WV Q

pi = =

J para o caso de uma carga pontual Q, a diferena de potencial entre os pontos A e B nas distncias radiais Ar

r e Brr

da mesma, escolhendo-se a origem em Q, ser

20

4r r rQE E a a

rpi= =

r

e rdL dr a=r

temos

20 0

1 14 4

A

B

A r

AB B rA B

Q QV E dL drr r rpi pi

= = =

r r

Se B Ar r> , a diferena de potencial ABV positiva, indicando que a energia despendida pelo agente externo ao trazer a carga positiva de Br para Ar . Isto concorda com o modelo fsico que

mostra que duas cargas iguais se repelem.

Muitas vezes conveniente falarmos em potencial, ou potencial absoluto, de um ponto em

vez de diferena de potencial entre dois pontos, mas isto significa somente que concordamos em

medir toda diferena de potencial em relao a um ponto referencial especfico, o qual consideramos

ter potencial igual a zero.

O ponto de referncia de zero mais universal para medidas fsicas ou experimentais de

potencia a terra, entendida como sendo o potencial da regio da superfcie da Terra. Outro

ponto de referncia amplamente utilizado o infinito. Este normalmente aparece em problemas

tericos. Mais uma considerao de referencial pode ser feita para o caso de um cabo coaxial, no

qual o condutor externo escolhido como o zero de referncia para o potencial. Nota-se, portanto,

que o ponto de referncia de zero pode assumir inmeras denominaes distintas dependendo da

aplicao especfica em que est sendo usado.

Se o potencial num ponto A AV e num ponto B BV , ento

AB A BV V V=

onde necessariamente concordamos que AV e BV devem possuir o mesmo ponto de zero de referncia. Observa-se que esta notao de ABV diferente da empregada na anlise vetorial onde

AB B Ar r r= r r r

.



Eletromagnetismo


57

Exemplo 05:

Um campo eltrico expresso por ( )2 6 6 4 /x y zE x a ya a V m= + +r . Determine: a) MNV se ( )2,6, 1M e ( )3, 3,2N ; b) MV se 0V = em ( )4, 2, 35Q ; c) NV se 2V = em ( )1,2, 4P .

4.4 Campo Potencial de uma Carga Pontual

Na seo anterior, encontramos uma expresso para a diferena de potencial entre dois

pontos localizados em Ar r= e Br r= , imersos no campo de uma carga pontual Q localizada na origem.

0

1 14AB A BA B

QV V Vr rpi

= =

Considerou-se que os dois pontos pertenciam mesma linha radial. Agora, consideraremos

dois pontos A e B com deslocamentos tambm nas coordenadas e , conforme figura abaixo.

O comprimento diferencial do caminho dLr

possui as componentes r , e , e o campo eltrico possui somente a componente radial. Tomando, ento, o produto escalar, temos apenas

20 0

1 14 4

A A

B B

A r r

AB rB r rA B

Q QV E dL E dr drr r rpi pi

= = = =

r r

Obtemos a mesma resposta e conclumos, portanto, que a diferena de potencial entre dois

pontos em um campo de uma carga pontual depende somente da distncia de cada ponto carga e

no do caminho particular usado para deslocar uma unidade de carga de um ponto para outro.

Agora, se considerarmos 0V = no infinito, o potencial em Ar torna-se



Eletromagnetismo


58

04A

A

QVrpi

=

ou, como no h motivo para identificar este ponto com o ndice A,

04QV

rpi=

Podemos tambm definir uma superfcie equipotencial como sendo uma superfcie

composta por todos aqueles pontos que possuem o mesmo valor de potencial. Nenhum trabalho

est envolvido no deslocamento de uma unidade de carga sobre uma superfcie equipotencial, pois,

por definio, no h diferena de potencial entre dois pontos quaisquer desta superfcie.

Observao: pode-se escrever, genericamente, que o trabalho para se movimentar uma

carga de um ponto inicia B at um ponto final A

abW QV=

Exemplo 06:

Uma carga pontual de 15nC est localizada na origem do espao livre. Calcule 1V em ( )1 2,3, 1P se:

a) 0V = em ( )6,5,4 ; b) 0V = no infinito; c) 5V V= em ( )2,0,4 .

4.5 Campo Potencial de um Sistema de Cargas e Propriedade

Conservativa dos Campos Potenciais

O potencial de uma carga pontual simples, identificada por 1Q e localizada em 1rr

, envolve

somente a distncia da carga ao ponto rr

onde se procura estabelecer o valor do potencial. Para um

zero de referncia no infinito, temos

( ) 10 14QV r

r rpi=

rr r

O potencial devido a duas cargas, 1Q em 1rr

e 2Q em 2rr

, funo somente das distncias de

cada uma das cargas ao ponto do campo, ou ainda,

( ) 1 20 1 0 24 4Q QV r

r r r rpi pi= +

rr r r r



Eletromagnetismo


59

Continuando a adicionar cargas, encontramos que o potencial devido a n cargas pontuais

( ) 1 20 1 0 2 04 4 4

n

n

QQ QV rr r r r r rpi pi pi

= + + +

rKr r r r r r

Se agora cada carga pontual for representada como um pequeno elemento com uma

distribuio volumtrica contnua de carga igual a v v , ento

( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 20 1 0 2 04 4 4

v v v n n

n

r v r v r vV r

r r r r r r

pi pi pi

= + + +

r r rr

Kr r r r r r

Fazendo o nmero de elementos tornar infinito, podemos obter a expresso do potencial por

meio da integral:

( ) ( )0

' '

4 'v

vol

r dvV r

r r

pi

=

r

rr r

Esta expresso vlida para uma distribuio volumtrica de cargas. Para o caso de uma

distribuio linear ou superficial de cargas, tem-se, respectivamente,

( ) ( )0

' '

4 'L r dLV r

r r

pi

=

r

rr r

( ) ( )0

' '

4 'S

S

r dSV r

r r

pi

=

r

rr r

Com estas trs ltimas equaes pode-se calcular o potencial de qualquer distribuio de

cargas. Para ilustrar o uso de uma destas integrais vamos determinar V no eixo z para uma linha de cargas uniforme L na forma de um anel com a = localizado no plano 0z = , como mostra a figura a seguir.



Eletromagnetismo


60

Temos, para tal exemplo:

' 'dL d a d = = ; zr z a=r ; 'r a a=r

Ento,

2 2'r r a z = +

r r

e

2

2 2 2 200 0

'

4 2L La d aV

a z a z

pi pi

= =

+ +

Para um zero de referncia no infinito, podemos concluir que:

1. O potencial devido a uma nica carga pontual o trabalho realizado no

deslocamento de uma unidade de carga positiva do infinito ao ponto no qual

desejamos conhecer o potencial, sendo o trabalho independente do caminho

escolhido entre estes dois pontos.

2. O campo potencial na presena de um certo nmero de cargas pontuais a soma

dos campos potenciais individuais originados de cada carga.

3. O potencial devido a um certo nmero de cargas pontuais ou a quaisquer

distribuies contnuas de cargas pode ser encontrado ao deslocarmos uma unidade

de carga do infinito ao ponto em questo ao longo de qualquer caminho escolhido.

Reconhecendo-se, portanto, que nenhum trabalho realizado no deslocamento de uma

unidade de carga ao longo de qualquer caminho fechado, tem-se

0E dL =r r



Eletromagnetismo


61

Lembrando-se que a diferena de potencial dada por: A

AB BV E dL=

r r.

A integral para um caminho fechado representada por um pequeno crculo sobre o smbolo

de integral. Este smbolo o mesmo usado para designar a superfcie fechada da lei de Gauss e, aqui,

chamada integral de linha fechada.

A equao em questo somente verdadeira para campos estticos, ou seja, onde Er

no

varia com o tempo.

Qualquer campo que satisfaa uma equao da forma apresentada (isto , onde a integral de

linha fechada do campo seja zero), dito um campo conservativo. O nome surge do fato de que

nenhum trabalho realizado (ou que a energia conservada) em torno do caminho fechado. Um

exemplo de campo conservativo o campo gravitacional, pois qualquer energia gasta na

moviment

Apostila de Eletromagnetismo - Versão 2013

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