UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLNDIA FACULDADE DE ENGENHARIA ELTRICA
Eletromagnetismo
Alex Reis
Ivan Nunes Santos
Uberlndia
2013
Universidade Federal de Uberlndia
Faculdade de Engenharia Eltrica
Eletromagnetismo
Prof. Ivan Nunes Santos
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SUMRIO GERAL
Captulo Contedo Pgina
1 Anlise Vetorial 03
2 Lei de Coulomb e Intensidade de Campo Eltrico 20
3 Densidade de Fluxo Eltrico, Lei de Gauss e Divergncia 35
4 Energia Potencial e Potencial Eltrico 51
5 Condutores, Dieltricos e Capacitncia 71
6 Equaes de Poisson e de Laplace 96
7 Campo Magntico Estacionrio 107
8 Foras Magnticas, Materiais e Indutncia 132
9 Campos Variantes no Tempo e Equaes de Maxwell 157
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1 ANLISE VETORIAL
1.1 Escalares e Vetores
O termo escalar se refere a uma grandeza cujo valor pode ser representado por um nico
nmero real (positivo ou negativo). Exemplo de grandezas escalares: temperatura, tempo, massa,
densidade, volume, tenso (voltagem), etc.
Uma grandeza vetorial tem magnitude, direo e sentido no espao. Exemplo de grandezas
vetoriais: fora, velocidade, acelerao, etc.
Um campo tambm pode ser definido como escalar ou vetorial. Um exemplo de campo
escalar a temperatura em uma tigela de sopa, por outro lado, temos que o campo gravitacional e o
magntico so exemplos de campo vetorial.
1.2 lgebra Vetorial
A lgebra vetorial possui seu conjunto prprio de regras, do qual destacaremos algumas.
A adio vetorial segue a regra do paralelogramo, conforme figura abaixo.
A adio vetorial obedece propriedade comutativa, ou seja, A B B A+ = +r rr r
. A adio
tambm obedece propriedade associativa, ou seja, ( ) ( )A B C A B C+ + = + +r r r rr r . A regra para a subtrao de vetores decorre facilmente da regra para a adio, pois sempre
podemos expressa A Br r
como ( )A B+ r r ; o sinal, ou sentido, do segundo vetor invertido, e este vetor somado ao primeiro pela regra da adio vetorial.
Vetores podem ser multiplicados por escalares. O mdulo do vetor se modifica, mas sua
direo e sentido no, quando o escalar positivo, embora ele inverta de sentido quando
multiplicado por um escalar negativo. A multiplicao de um vetor por um escalar tambm obedece
s propriedades associativa e distributiva da lgebra, levado a
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( )( ) ( ) ( )r s A B r A B s A BrA rB sA sB
+ + = + + +
= + + +
r r rr r r
r rr r
A diviso de um vetor por um escalar meramente a multiplicao do vetor pelo inverso do
escalar.
A multiplicao de um vetor por outro vetor ser discutida mais adiante ainda neste captulo.
1.3 Sistema de Coordenadas Cartesianas
Para podermos descrever rigorosamente um vetor, alguns comprimentos, direes, ngulos,
projees ou componentes especficos devem ser dados. H trs mtodos simples de faz-lo, os
quais sero esmiuados neste captulo. O mais simples destes o sistema de coordenadas
cartesianas ou retangulares. Neste sistema estabelecem-se trs eixos coordenados que formam
ngulos retos entre si, denominados de eixos x, y e z.
Na figura abaixo (a) tem-se um sistema de coordenadas cartesianas do tipo triedro direito,
em que se usando a mo direita, ento o polegar, o indicador e o dedo mdio podem ser
identificados, respectivamente, como os eixos x , y e z . Nesta mesma figura podemos identificar os planos 0x = , 0y = e 0z = .
Tomando-se os ponto ( )1,2,3P e ( )2, 2,1Q como exemplo, poderemos identific-los no sistema de coordenadas cartesianas conforme figura (b) a seguir. P est, portanto, localizado no ponto comum da interseo dos planos 1x = , 2y = e 3z = , enquanto que o ponto Q est localizado na interseo dos planos 2x = , 2y = e 1z = .
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Podemos, conforme a figura (c) acima, deslocar um ponto ( ), ,P x y z levemente para um ponto ( )' , ,P x dx y dy z dz+ + + adicionando-se diferenciais de comprimento. O dois pontos P e
'P formam 6 planos, conforme j falado, os quais definem um paraleleppedo retngulo cujo o diferencial de volume dv dx dy dz= ; as superfcies possuem reas diferenciais dS de dx dy , dydz e dz dx . E finalmente, a distncia dL de P a 'P a diagonal do paraleleppedo e possui um
comprimento de ( ) ( ) ( )2 2 2dx dy dz+ + .
1.4 Componentes Vetoriais e Vetores Unitrios
Para descrever um vetor no sistema de coordenadas cartesianas, consideremos primeiro um
vetor rr
partindo da origem at um ponto P qualquer. Se as componentes vetoriais de rr so xr , yr e zr
, ento r x y z= + +r r r r , conforme mostrado na figura (a) abaixo.
Observao importante: na figura a seguir, extrada do livro de Eletromagnetismo de Jr. W.
H. Hayt e J. A. Buck, a notao de vetor dada por meio da letra em negrito, enquanto que em nosso
curso usaremos a seta sobre a letra para designao de vetor.
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Contudo, o uso das componentes vetoriais da forma que foram apresentadas no
comumente empregado. A figura (b) acima apresenta os vetores unitrios fundamentais xa , ya e za
representativos dos eixos cartesianos x, y e z, respectivamente. Considerando um vetor Prr
apontando da origem ao ponto ( )1,2,3P , o mesmo pode ser escrito tendo por base os vetores unitrios dos eixos cartesianos: 2 3P x y zr a a a= + +
r. Considerando-se um vetor Qr
r apontando da
origem ao ponto ( )2, 2,1Q , tem-se 2 2Q x y zr a a a= +r . Um vetor PQRr de origem no ponto ( )1,2,3P e apontando para ( )2, 2,1Q seria:
( ) ( ) ( ) 2 1 2 2 1 3 4 2
PQ Q P x y z
x y z
R r r a a a
a a a
= = + +
=
r r r
Os vetores em questo podem ser vistos na figura (c) anterior.
Ento, qualquer vetor Br
, pode ser escrito como x x y y z zB B a B a B a= + +r
. E o mdulo de Br
,
escrito como Br
, ou simplesmente B , dado por
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2 2 2x y zB B B B= + +
r
Cada um dos trs sistemas de coordenadas a serem discutidos tem seus trs vetores
unitrios fundamentais e mutuamente independentes que so usados para analisar qualquer vetor
em suas componentes vetoriais. Contudo, os vetores unitrios no so limitados a esta aplicao,
todo vetor tem seu vetor unitrio que facilmente encontrado dividindo o vetor por seu mdulo.
Ento o vetor unitrio de Br
2 2 2B
x y z
B Ba
B B B B= =
+ +
r r
r
A notao empregada para todo vetor unitrio neste curso ser o acento circunflexo sobre a
letra do vetor, j no livro usa-se a letra a para identificar o mesmo.
Exemplo 01: Especifique o vetor unitrio, em coordenadas cartesianas, dirigido da origem ao ponto
( )2, 2, 1P . Exemplo 02:
Dados os pontos ( )1,2,1M , ( )3, 3,0N e ( )2, 3, 4P , determine: a) MNR
r;
b) MN MPR R+r r
;
c) Mrr
;
d) MPa ;
e) 2 3P Nr r+r r
.
1.5 Introduo aos Campos
Um campo (escalar ou vetorial) pode ser definido matematicamente como funo de um
vetor que liga uma origem arbitrria a um ponto genrico no espao. Note que o conceito de campo
invariavelmente est relacionado a uma regio.
Em geral para o campo vetorial, o mdulo e a direo da funo iro variar medida que nos
movemos atravs da regio, e o valor da funo vetorial deve ser determinado utilizando-se os
valores das coordenadas do ponto em questo. Como consideramos apenas o sistema de
coordenadas cartesianas, devemos esperar que o vetor seja funo das variveis x, y e z.
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Se, novamente, representarmos o vetor posio por rr
, ento o campo vetorial Gr
pode ser
expresso, em notao funcional, como ( )G rr r ; o campo escalar T escrito como ( )T rr havendo variao apenas do mdulo da funo.
Pode-se citar como exemplos de campo escalar o campo da temperatura de um lquido no
interior de um prato de sopa em funo do vetor posio, ou ainda, o campo potencial eltrico de
uma carga pontual. Por outro lado, so exemplos de campo vetorial a velocidade da corrente de gua
de um rio em funo do vetor posio, o campo eltrico de uma esfera carregada e o campo
magntico de um fio conduzindo corrente contnua.
Exemplo 03:
Um campo vetorial Sr
expresso em coordenadas cartesianas como
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2125
1 2 11 2 1 x y z
S x a y a z ax y z
= + + + + + +
r.
a) Calcule Sr
no ponto ( )2,4,3P ; b) Determine o vetor unitrio que fornece a direo de S
r em P ;
c) Especifique a superfcie ( ), ,f x y z na qual 1S =r .
1.6 Produto Escalar
Dados dois vetores Ar
e Br
, o produto escalar, ou produto interno, definido como o
produto entre o mdulo de Ar
, o mdulo de Br
e o cosseno do menor ngulo entre eles. Assim,
cos ABA B A B =r rr r
O ponto aparece entre os dois vetores e deve ser forte para dar mais nfase, l-se Aescalar B. O produto escalar tem como resultado um escalar, como o prprio nome indica, e obedece propriedade comutativa, pois o sinal do ngulo no afeta o termo cosseno.
A B B A = r rr r
A determinao do ngulo entre dois vetores no espao tridimensional muitas vezes um
trabalho que se prefere evitar. Por essa razo, a definio de produto escalar normalmente no
usada em sua forma bsica. Um resultado mais til obtido considerando-se dois vetores cujas
componentes cartesianas so dadas por x x y y z zA A a A a A a= + +r
e x x y y z zB B a B a B a= + +r
. O
produto escalar tambm obedece propriedade distributiva, portanto, A Br r
fornece uma soma de
nove termos escalares, cada um envolvendo o produto escalar de dois vetores unitrios. Ento,
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( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
x x x x x y x y x z x z
y x y x y y y y y z y z
z x z x z y z y z z z z
A B A B a a A B a a A B a a
A B a a A B a a A B a a
A B a a A B a a A B a a
= + +
+ + +
+ + +
r r
como o ngulo entre dois vetores unitrios diferentes no sistema de coordenadas cartesianas 90,
temos
0x y y x x z z x y z z ya a a a a a a a a a a a = = = = = =
Os trs termos restantes envolvem o produto escalar de um vetor unitrio por ele mesmo, o
que igual unidade, finalmente obtendo-se
x x y y z zA B A B A B A B = + +r r
que uma expresso que no envolve ngulos.
O produto escalar de um vetor por ele mesmo o quadrado de seu mdulo, ou
2 2A A A A = =r r r
e o produto escalar de qualquer vetor unitrio por ele mesmo igual unidade, ou seja, 1A Aa a = .
Uma das aplicaes mais importantes do produto escalar o clculo da componente de um
vetor dada uma certa direo. Podemos obter a componente (escalar) de Br
na direo especificada
pelo vetor unitrio ar
como
cos cosBa BaB a B a B = =r r rr r
Neste caso usado o termo projeo. Assim, B ar r
projeo de Br
na direo ar
, conforme
pode ser observado na figura a seguir.
Para obtermos a componente vetorial de Br
na direo de ar
, multiplicamos a componente
(escalar) por ar
, como ilustrado na figura que se segue, ficando ( )B a ar r r .
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Exemplo 04:
Considere um campo vetorial 2,5 3x y zG ya xa a= +r
e o ponto ( )4,5,2Q . Deseja-se encontrar: a) O vetor G
r no ponto Q ;
b) A componente escalar de Gr
no ponto Q na direo de ( )13 2 2N x y za a a a= + ; c) A componente vetorial de G
r no ponto Q na direo de Na ;
d) O ngulo Ga entre ( )QG rr r e Na . Exemplo 05:
Os trs vrtices de um tringulo esto localizados em ( )6, 1,2A , ( )2,3, 4B e ( )3,1,5C . Determine:
a) ABRr
;
b) ACRr
;
c) O ngulo BAC no vtice A ; d) A projeo de ABR
r em ACR
r;
e) O vetor projeo de ABRr
em ACRr
.
1.7 Produto Vetorial
Dados dois vetores Ar
e Br
, definiremos agora o produto vetorial, ou produto cruzado, de Ar
e Br
, escrito com uma cruz entre os dois vetores, como A Br r
, e lido A vetorial B.
O produto vetorial A Br r
um vetor; o mdulo de A Br r
igual ao produto dos mdulos de
Ar
, Br
e o seno do menor ngulo entre Ar
e Br
; a direo de A Br r
perpendicular ao plano que
contm Ar
e Br
e est ao longo de duas possveis perpendiculares, todavia escolhe-se aquela que
est no sentido do avano de um parafuso direito medida que Ar
girado para Br
, conforme figura
a seguir.
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Na forma de equao, podemos escrever
N ABA B a A B sen =r rr r
Outra forma de determinar o sentido do vetor Na por meio da regra da mo direita. O
produto vetorial no comutativo, j que ( )A B B A = r rr r . Se a definio de produto vetorial aplicada aos vetores unitrios xa e ya , encontramos
x y za a a = , onde cada vetor possui mdulo unitrio, os dois vetores so perpendiculares e a
rotao de xa para ya indica a direo positiva de z pela definio do sistema de coordenadas do
tipo triedro direito. De maneira semelhante, y z xa a a = e z x ya a a = .
O clculo do produto vetorial por meio de sua definio exige mais trabalho do que o clculo
do produto escalar, porm este trabalho pode ser evitado usando-se as componentes cartesianas
para os dois vetores Ar
e Br
e expandindo-se o produto vetorial como a soma de nove produtos
vetoriais, cada um envolvendo dois vetores unitrios.
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
x x x x x y x y x z x z
y x y x y y y y y z y z
z x z x z y z y z z z z
A B A B a a A B a a A B a a
A B a a A B a a A B a a
A B a a A B a a A B a a
= + +
+ + +
+ + +
r r
J vimos que x y za a a = , y z xa a a = e z x ya a a = . Os trs termos remanescentes so
iguais a zero, pois o produto vetorial de qualquer vetor por ele mesmo igual a zero, j que o seno
do ngulo envolvido nulo. Estes resultados podem ser combinados para se obter
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( ) ( ) ( ) y z z y x z x x z y x y y x zA B A B A B a A B A B a A B A B a = + + r r que, escrita como um determinante, numa forma mais fcil de ser lembrada fica
x y z
x y z
x y z
a a a
A B A A AB B B
=r r
Usando-se o clculo do produto vetorial por meio desta matriz no h necessidade da
aplicao de qualquer regra adicional para se encontrar o vetor normal, uma vez que o mesmo j
ser determinado pela resoluo desta.
Exemplo 06:
Os trs vrtices de um tringulo esto localizados em ( )6, 1,2A , ( )2,3, 4B e ( )3,1,5C . Determine:
a) AB ACR Rr r
;
b) A rea do tringulo; c) O vetor unitrio perpenticular ao plano no qual o tringulo est localizado.
1.8 Sistema de Coordenadas Cilndricas Circulares
O sistema de coordenadas cartesianas , em geral, o preferido dos estudantes, contudo
existem vrios problemas onde a simetria pede um tratamento mais adequado para sua resoluo.
O sistema de coordenadas cilndricas (com o objetivo de facilitar, no usaremos o termo
circulares, apesar de existirem outros tipos de sistemas de coordenadas cilndricas) uma verso
tridimensional das coordenadas polares da geometria analtica. No sistema de coordenadas polares
bidimensional, um ponto localizado em um plano dando-se a sua distncia da origem e o ngulo entre a linha do ponto origem e uma linha radial arbitrria, tomada como 0 = . Um sistema de coordenadas tridimensionais cilndricas circulares obtido especificando-se a distncia z do ponto a
um plano arbitrrio 0z = , perpendicular reta 0 = .
No sistema de coordenadas cilndricas no mais consideraremos os trs eixos como nas
coordenada cartesianas, todavia o ponto continua sendo definido pela interseo de trs superfcies
mutuamente perpendiculares. Estas superfcies so: uma cilndrica circular ( = constante), uma plana ( =constante) e uma outra tambm plana ( z = constante), conforme pode ser visto na figura (a) abaixo.
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Os vetores unitrios apontam na direo crescente dos valores das coordenadas e so
perpendiculares superfcie na qual esta coordenada constante, sendo os trs vetores
especificados como: a , a e za . A figura (b) anterior mostra estes trs vetores.
Os vetores unitrios so novamente mutuamente perpendiculares, pois cada um normal a
uma das trs superfcies mutuamente perpendiculares, definindo-se, um sistema de coordenadas
cilndricas do tipo triedro direito, no qual za a a = ou um sistema no qual o polegar, o indicador
e o dedo mdio da mo direita apontam, respectivamente, na direo crescente de , e z . Um elemento diferencial de volume em coordenadas cilndricas pode ser obtido
aumentando-se , e z de incrementos diferenciais d , d e dz . Os dois cilindros de raios e d + , os dois planos radiais nos ngulos e d + e os dois planos horizontais nas
elevaes z e z dz+ limitam um pequeno volume, como mostrado na figura (c) anterior. Note que d e dz tm dimenses de comprimento, mas d no tem; d o comprimento. O volume aproximado da figura ser dado por d d dz , pois a forma do elemento de volume, por ser muito pequeno, aproxima-se de um paraleleppedo.
As variveis dos sistemas de coordenadas retangular e cilndrico so facilmente relacionadas
umas com as outras. Temos que
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cosx
y senz z
=
=
=
Do outro ponto de vista, podemos expressar as variveis cilndricas em temos de x , y e z
( )2 2 0arctan
x yyx
z z
= +
=
=
O valor adequado do ngulo determinado por inspeo dos sinais de x e y , para encontrar o quadrante do ngulo.
Dado o vetor cartesiano
x x y y z zA A a A a A a= + +
r
desejamos encontrar o mesmo vetor, porm em coordenadas cilndricas, do tipo
z zA A a A a A a = + +
r
Para determinar qualquer componente de um vetor em uma direo desejada basta fazer o
produto escalar entre o vetor e o vetor unitrio na direo desejada. Assim,
z z
A A a
A A a
A A a
=
=
=
r
r
r
desenvolvendo-se as equaes, tem-se
x x y y
x x y y
z z
A A a a A a aA A a a A a aA A
= +
= +
=
Analisando-se a figura abaixo, podemos identificar o ngulo entre x
a e a como sendo , e assim, cosxa a = ; j o ngulo entre ya e a como sendo 90 e assim, ya a sen = . Os produtos escalares entre os vetores unitrios esto resumidos na tabela abaixo.
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Produtos escalares entre os vetores unitrios dos sistemas de coordenadas retangular e cilndrico
a a za
xa cos sen 0
ya sen cos 0
za 0 0 1
A transformao de campos vetoriais de coordenadas cartesianas para cilndricas ou vice-
versa efetuada usando-se as equaes de transformao de escalares, mostradas anteriormente, e
os produtos escalares entre os vetores unitrios dados na tabela
Exemplo 07:
Transforme o vetor (ou campo vetorial) x y zB ya xa za= +r
para coordenadas cilndricas.
Exemplo 08: Pede-se:
a) D as coordenadas cartesianas do ponto ( 4,4; 115; 2)C z = = = ; b) D as coordenadas clndricas do ponto ( 3,1; 2,6; 3)D x y z= = = ; c) Determine a distncia entre C e D .
Exemplo 09: Pede-se:
a) Expresse o campo vetorial 2 2
x yxa yaDx y
+=
+
r em coordenadas cilndricas e variveis
cilndricas;
b) Calcule Dr
no ponto ( )2; 0,2 ; 5z pi= = = .
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Exemplo 10: Tranforme para coordenadas cilndricas:
a) O vetor
10 8 6x y zF a a a= +r
no ponto ( )10, 8,6P ; b) O campo vetorial
( ) ( ) 2 4x yG x y a y x a= + r ;
c) Determine as componentes cartesianas do vetor 20 10 3 zH a a a = +r
em
( )5, 2, 1P x y z= = = .
1.9 Sistema de Coordenadas Esfricas
A figura (a) abaixo mostra o sistema de coordenadas esfricas sobre os trs eixos cartesianos.
Inicialmente, definimos a distncia da origem a qualquer ponto como r . A superfcie r = constante
uma esfera.
A segunda coordenada o ngulo entre o eixo z e a linha desenhada da origem ao ponto em questo. A superfcie = constante um cone.
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A terceira coordenada o ngulo , exatamente o mesmo ngulo das coordenadas cilndricas. Ele o ngulo entre o eixo x e a projeo no plano 0z = da linha desenhada da origem ao ponto. A superfcie =constante um plano que passa pelo eixo z .
Podemos novamente considerar qualquer ponto como a interseo de trs superfcies
mutuamente perpendiculares uma esfera, um cone e um plano cada uma orientada na maneira
descrita anteriormente e mostrada na figura (b) acima.
Os trs vetores unitrios so r
a , a e a . Os mesmos encontram-se mutuamente
perpendiculares e definem um sistema de coordenadas esfricas do tipo triedro direito, em que
ra a a = . Pela regra da mo direita o polegar, o indicador e o dedo mdio indicam,
respectivamente, r , e , conforme pode ser visualizado na figura (c) acima. Note que a componente , diferentemente do que foi verificado nas coordenadas cilndricas, o 3 termo e no o 2.
Um elemento diferencial de volume pode ser construdo em coordenadas esfricas
aumentando-se r , e por dr , d e d , como mostra a figura (d) anterior. A distncia entre as duas superfcies de raios r e r dr+ dr ; a distncia entre os cones com ngulos de gerao e
d + r d e a distncia entre os dois planos radiais de ngulos e d + calculado como sendo r sen d . O volume aproximado do elemento ser 2r sen dr d d .
A transformao de escalares do sistema de coordenadas esfricas para cartesianas pode ser
feita usando-se
cos
cos
x r sen
y r sen senz r
=
=
=
A transformao no sentido inverso realizada com a ajuda de
( )( )
2 2 2
2 2 2
0
arccos 0 180
arctan
r x y z rz
x y zyx
= + +
= + +
=
A transformao dos vetores requer a determinao dos produtos vetoriais entre os vetores
unitrios das coordenadas cartesianas e esfricas. Os produtos so obtidos de maneira anloga ao
exposto para as coordenadas cilndricas. Os mesmos podem ser observados na tabela a seguir.
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Produtos escalares entre os vetores unitrios dos sistemas de coordenadas retangular e esfrico
r
a a a
xa sen cos cos cos sen
ya sen sen cos sen cos
za cos sen 0
Pode-se, tambm, transformar os escalares do sistema de coordenadas esfricas para
cilndricas, para tanto, deve-se usar
cos
r sen
z r
=
=
=
A transformao no sentido inverso ser
( )( )
2 2 0
arccos 0 180
r z r
z
= +
=
=
J a transformao dos vetores requer novamente a determinao dos produtos vetoriais
entre os vetores unitrios das coordenadas cilndricas e esfricas. Estes podem ser observados na
tabela a seguir.
Produtos escalares entre os vetores unitrios dos sistemas de coordenadas cilndrico e esfrico
r
a a a
a sen cos 0 a 0 0 1
za cos sen 0
Exemplo 11:
Converta o campo vetorial x
xzG ay
=
r (variveis e componentes) para coordenadas esfricas.
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Exemplo 12:
Dados dois pontos, ( )3,2,1A e ( )5,20 , 70B , determine: a) As coordenadas esfricas de A ; b) As coordenadas cartesianas de B ; c) A distncia entre A e .B
Exemplo 13: Transforme os seguintes vetores para suas coordenadas esfricas nos pontos dados:
a) 10 xa em ( )3,2,4P ; b) 10 ya em ( )5,30,4Q ; c) 10 za em ( )4,110 ,120M .
Exemplo 14: Transforme os seguintes vetores para suas coordenads esfricas nos pontos dados:
a) 15a em ( )1, 3,5P ; b) 15a em ( )2, 10 , 3Q ; c) 15 za em ( )3,45 ,60M .
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2 LEI DE COULOMB E INTENSIDADE DE CAMPO ELTRICO
2.1 Lei de Coulomb
Lei de Coulomb: a fora eltrica aplicada por um corpo carregado em outro, depende
diretamente do produto das intensidades das duas cargas e inversamente do quadrado de suas
distncias, ou ainda,
1 22
Q QF kR
= [N]
Onde k chamada de constante de Coulomb. Esta equao aplicada para objetos carregados cujo tamanho muito menor que a distncia entre estes, ou seja, somente para cargas
pontuais.
A constante k dada por
0
14
kpi
=
onde 0 chamada de constante eltrica ou constante de permissividade do ar, sendo seu valor, no
SI (Sistema Internacional), igual a
12 2 20 8,85418781762 10 /C N m
=
9 2 28,99 10 /k N m C=
A lei de Coulomb agora
1 22
04Q QF
Rpi=
Para podermos representa o vetor fora da lei de Coulomb, precisamos saber se a fora que
atua sobre as cargas de repulso ou atrao. Pois, como sabido, cargas de mesmos sinais se
repelem e cargas de sinais contrrios se atraem.
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Na figura acima, temos o vetor 1rr
localizando 1Q enquanto 2rr
localiza 2Q . Ento o vetor
12 2 1R r r= r r r
representa o segmento de reta orientado de 1Q para 2Q , como mostrado. O vetor 2Fr
a fora em 2Q e mostrado para o caso em que 1Q e 2Q possuem o mesmo sinal. A forma vetorial da lei de Coulomb
1 22 122
0 12
4Q QF a
Rpi=
r
onde 12a = vetor unitrio na direo de 12Rr
. Esta equao pode ser considerada uma equao
genrica, uma vez que a mesma pode ser aplicadas a qualquer tipo interao (atrao ou repulso).
Exemplo 01:
Seja uma carga pontual 41 3.10Q C= localizada em ( )1,2,3M e outra 42 10Q C= em ( )2,0,5N ambas no vcuo. Encontrar a fora exercida por 1Q em 2Q .
Exemplo 02:
Uma carga 20AQ C= est localizada em ( )6,4,7A e uma carga 50BQ C= est em ( )5,8, 2B no espao livre. Se as distncias so dadas em metros, determine o vetor fora exercida
em AQ por BQ .
2.2 Intensidade de Campo Eltrico
Se considerarmos uma carga fixa numa posio 1Q , e lentamente movermos uma segunda carga, chamada de carga de teste tQ , em torno da primeira, notaremos que existe por toda parte uma fora nesta segunda carga; em outras palavras, esta segunda carga est mostrando a existncia
de um campo de fora. A fora sobre ela dada por
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22
112
0 1
4t
t tt
Q QF aRpi
=
r
A intensidade de campo eltrico definida pela razo da fora observada nesta carga teste
tFr
pela unidade da carga teste tQ . Usando a letra maiscula E para a intensidade do campo eltrico, temos
112
0 1
4t
tt t
F QE aQ Rpi= =r
r
A intensidade do campo eltrico deve ser medida em unidades de Newton por Coulomb, ou
ainda, volts por metro conforme ser visto posteriormente. Dispensando-se os ndices, podemos
reescrever a equao anterior como
20
4 RQE a
Rpi=
r
Relembrando que R a magnitude do vetor Rr
, segmento de reta orientado do ponto no
qual a carga pontual Q est localizada ao ponto no qual Er desejado, e que Ra um vetor unitrio na direo de R
r.
Se localizarmos Q no centro do sistema de coordenadas esfricas, o vetor unitrio Ra ento se torna o vetor unitrio radial
ra , e R r . Assim,
20
4 rQE a
rpi=
r
J se escrevermos esta expresso em coordenadas cartesianas para a carga na origem, temos
x y zR r xa ya za= = + +
r r e
2 2 2
x y zR
xa ya zaa
x y z
+ +=
+ +; portanto,
( )2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 20 4 x y zQ x y zE a a a
x y z x y z x y z x y zpi
= + + + + + + + + + +
r
Ento, pode-se notar que o sistema de coordenadas esfricas, devido simetria do problema
em questo, o mais adequado.
Se considerarmos a carga deslocada da origem do sistema, o campo no mais possuir
simetria esfrica, e teremos que usar coordenadas cartesianas. Para uma carga Q localizada no
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ponto ' ' ' 'x y zr x a y a z a= + +r
, como mostrada na figura abaixo, encontramos o campo num ponto
genrico x y zr xa ya za= + +
r, expressando R
r como 'r r
r r, e ento
( ) 20
'
'4 'Q r rE r
r rr rpi
=
r rr r
r rr r
( ) ( ) 30
'
4 'Q r r
E rr rpi
=
r rr r
r r
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 3/22 2 20
' ' '
4 ' ' '
x y zQ x x a y y a z z aE rx x y y z zpi
+ + =
+ +
r r
Para o caso em que se pretende encontrar a intensidade de campo eltrico proveniente de
vrias cargas pontuais, basta somar vetorialmente o campo devido a cada uma destas cargas, ou
seja,
( ) 1 21 22 2 20 1 0 2 0
4 4 4n
n
n
QQ QE r a a ar r r r r rpi pi pi
= + + +
r rLr r r r r r
A figura a seguir apresenta um exemplo da soma vetorial da intensidade de campo eltrico
total em um ponto P devido a duas cargas pontuais 1Q e 2Q .
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Exemplo 03:
Determinar o campo eltrico em ( )1,1,1P causado por quatro cargas idnticas de 3nC localizadas em ( )1 1,1,0P , ( )2 1,1,0P , ( )3 1, 1,0P e ( )4 1, 1,0P , conforme mostrado na figura abaixo.
Exemplo 04:
Uma carga de 3 C est localizada em ( )25, 30,15A (em cm ) e uma segunda carga de 0,5 C est em ( )10,8,12B cm . Determine o campo eltrico Er :
a) Na origem;
b) Em ( )15,20,50P cm . Exemplo 05:
Uma carga pontual de 100 nC est localizada em ( )1,1,3A no espao livre. Pede-se: a) Encontre o lugar dos pontos ( ), ,P x y z em que 500 /xE V m= ; b) Determine 1y se ( )12, ,3A y pertencer a este lugar.
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2.3 Campo Devido a uma Distribuio Volumtrica Contnua de
Cargas
Caso tenhamos uma distribuio de carga ao longo de um volume qualquer, podemos
representar a densidade volumtrica de carga por v , tendo a unidade de Coulomb por metro cbico (C/m3).
Uma pequena quantidade de carga Q em um pequeno volume v
vQ v =
A carga total dentro de um volume finito obtida pela integrao atravs deste volume,
v
vol
Q dv=
Normalmente apenas um sinal de integrao indicado, mas o diferencial dv significa integrao atravs de um volume, portanto, uma integrao tripla.
Exemplo 06:
Determine a carga total contida no feixe de eltrons de 2 cm de comprimento da figura abaixo.
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Exemplo 07: Calcule a carga total dentro de cada um dos volumes indicados:
a) 1 , , 2x y z e 3 3 31
vx y z
= ;
b) 0,1;0 ;2 4o z pi e ( )2 2sen 0,6v z = ; c) Universo e
2
2
r
v
e
r
= .
2.4 Campo de uma Linha de Cargas
Caso tenhamos uma distribuio de cargas ao longo de uma linha qualquer, podemos
representar a densidade linear de carga por L , tendo a unidade de Coulomb por metro (C/m).
Consideremos uma linha reta de cargas ao longo do eixo z no sistema de coordenadas
cilndricas (devido simetria existente) de a , como mostra a figura a seguir. Desejamos a
intensidade do campo eltrico Er
em todo e qualquer ponto resultante desta linha de cargas de
densidade uniforme L .
Escolhemos um ponto ( )0, ,0P y no eixo y no qual determinaremos o campo. Aplicando-se a equao da intensidade de campo de cargas pontuais para determinar o campo incremental em P devido carga incremental 'LdQ dz= , temos
( )3
0
'
4 'Q r r
Er rpi
=
r rr
r r (para carga pontual)
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( )3
0
' '
4 'L dz r rdE
r r
pi
=
r rr
r r (para carga incremental numa linha de cargas)
onde
' '
y
z
r ya a
r z a
= ==
r
r
e
' ' zr r a z a = r r
Portanto,
( )( )3/22 20
' '
4 'L zdz a z adE
z
pi
=
+
r
Pode-se observar, por meio da figura, que a componente zEr
ser nula devido a simetria,
restando to somente Er
, ento
( )3/22 20'
4 'L dzdE
z
pi
=
+
e
( )3/22 20'
4 'L dzE
z
pi
=
+
Integrando a expresso, temos
2 2 20
1 '4 '
L zEz
pi
= +
e
02LE
pi
=
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ou, de forma vetorial:
0
2LE a
pi
=
r
Esta a resposta desejada, mas h muitas outras maneiras de obt-la.
Devemos tambm examinar o fato de que nem todas as linhas de carga esto localizadas ao
longo do eixo z . Como exemplo, consideremos uma linha de cargas infinita paralela ao eixo z em
6x = , 8y = , como mostrada na figura abaixo. Desejamos determinar Er
em um ponto genrico
( ), ,P x y z .
Na equao da intensidade de campo encontrada para a linha de carga infinita, substitui-se
pela distncia radial entre a linha de cargas e o ponto P , ( ) ( )2 26 8R x y= + e consideramos a como sendo Ra . Assim,
( ) ( )2 20
2 6 8L
RE ax y
pi
=
+
r
onde
( ) ( )( ) ( )2 2
6 8
6 8x y
R
x a y aa
x y
+ =
+
Portanto,
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( ) ( )( ) ( )2 20
6 82 6 8
x yLx a y a
Ex y
pi
+ =
+
r
Nota-se, novamente, que o campo no uma funo de z . De forma genrica, pode-se
escrever:
0
2L
RE aR
pi=
r
Exemplo 08:
Uma linha de cargas uniforme de 16 /nC m est localizada ao longo da linha definida por 2y = , 5z = . Determine o campo eltrico em ( )1,2,3P .
Exemplo 09:
Duas linhas de cargas uniformes e infinitas de 5 /nC m esto situadas ao longo dos eixos x e y no espao livre. Determine o campo eltricos em:
a) ( )0,0,4AP ; b) ( )0,3,4BP .
2.5 Campo de uma Lmina de Cargas
Outra configurao bsica a lmina infinita de cargas tendo uma densidade uniforme S dada em 2/C m . Esta densidade conhecida como densidade superficial de cargas.
Coloquemos uma lmina de cargas no plano yz , conforme figura a seguir.
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Utilizaremos o campo de uma linha de cargas, para tanto, dividiremos a lmina infinita em
faixas de larguras diferenciais, cada faixa equivaler a uma linha de cargas, de acordo com a figura
anterior. A densidade linear de carga de cada faixa 'L S dy = . Aplicando-se a equao da intensidade de campo de linha de cargas, temos
0
2L
RE aR
pi=
r
(para linha de cargas)
0
'
2S
RdydE a
Rpi
=
r
(para linha de cargas incremental numa lmina infinita de cargas)
sendo
' '
x
y
r xa
r y a=
=
r
r
' 'x yR r r xa y a= = r r r
2 2'R R x y= = +
r
2 2
'
'
x yR
xa y aRa
R x y
= =
+
r
r
Portanto,
( )( )2 20
' '
2 'S x ydy xa y adE
x y
pi
=
+
r
Analisando-se a simetria, tem-se que a componente yEr
ser nula, restando to somente a
componente xEr
, ento
( )2 20'
2 'S
x
x dydEx y
pi
=
+
e
( )2 20'
2 'S
x
x dyEx y
pi
=
+
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Integrando pela tabela de integrais, temos
0
'
2S
x
yE arctgx
pi
=
e
02S
xE
=
Se o ponto P tivesse sido escolhido no semi-eixo x negativo, ento
02S
xE
=
pois o campo est sempre dirigido para fora, no caso de uma superfcie positivamente carregada.
Esta dificuldade no sinal usualmente contornada especificando-se um vetor unitrio Na , o qual
normal lmina e direcionado para fora da mesma. Ento,
0
2S
NE a
=
r
Se uma segunda lmina de cargas, tendo uma densidade de carga negativa S , estivesse localizada no plano x a= , poderamos determinar o campo total adicionando as contribuies de
cada lmina. Na regio x a> ,
0 0
02 2
S Sx xE E E a a
+
= + = =r r r r r
e para 0x < ,
( ) ( )0 0
02 2
S Sx xE E E a a
+
= + = =r r r r r
e quando 0 x a< < ,
( )0 0 02 2
S S Sx x xE E E a a a
+
= + = =r r r r r r
Este um resultado importante na prtica, pois o campo entre as placas paralelas de um
capacitor separadas por ar, contanto que as dimenses lineares das placas sejam bem menores que a
sua separao e tambm que estejamos considerando um ponto bem distante das bordas.
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Exemplo 10: Trs lminas de cargas infinitas e uniformes esto localizadas no espao livre como se segue:
23 /nC m em 4z = ; 26 /nC m em 1z = e 28 /nC m em 4z = . Determine o campo eltrico resultante nos pontos:
a) ( )2,5, 5AP ; b) ( )4,2, 3BP ; c) ( )1, 5,2CP ; d) ( )2,4,5DP .
2.6 Linhas de Fora e Esboo de Campos
As linhas de fora so linhas imaginrias em cada ponto do espao sob influncia de um
campo eltrico. Elas so empregadas no sentido de visualizar melhor a atuao do campo eltrico.
Por conveno, so propriedades destas linhas:
As linhas de fora comeam nas cargas positivas e terminam nas cargas negativas.
A tangente linha de fora passando por qualquer ponto no espao fornece a
direo do campo eltrico naquele ponto.
A intensidade do campo eltrico em qualquer ponto proporcional ao nmero de
linhas por unidade de rea transversal perpendicular s mesmas.
Contudo, se tentssemos esboar o campo de uma carga pontual, a variao do campo para
dentro e para fora da pgina poderia essencialmente causar dificuldades, por esta razo, o esboo
habitualmente limitado a campos bidimensionais, conforme exemplos abaixo.
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No caso de um campo bidimensional, vamos arbitrariamente considerar 0zE = . As linhas de fora esto assim confinadas aos planos nos quais z constante. Na figura abaixo, linhas de fora
so mostradas, e as componentes xE e yE so indicadas em um ponto genrico.
As equaes das linhas de fora podem ser obtidas por meio da evidente constatao que
y
x
E dyE dx
=
Como ilustrao deste mtodo considere o campo de uma linha de cargas uniforme com
distribuio linear 02L pi= ,
1E a
=
r
Em coordenadas cartesianas,
2 2 2 2 x yx yE a a
x y x y= +
+ +
r
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Assim, formamos a equao diferencial
y
x
Edy ydx E x
= = ou dy dxy x
=
Portanto,
ln lny x C= + ou ln ln lny x C= +
ou ainda,
y Cx=
Se desejssemos encontrar a equao de uma linha de fora em particular, meramente
substituiramos as coordenadas deste ponto em nossa equao e calcularamos C.
Exemplo 11:
Determine a equao da linha de fora que passa pelo ponto ( )1,4, 2P no campo eltrico: a)
2
28 4
x y
x xE a ay y
= +r
;
b) ( )5 2 5 1x x yE e y x a xa = + + r
.
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3 DENSIDADE DE FLUXO ELTRICO, LEI DE GAUSS E
DIVERGNCIA
3.1 Densidade de Fluxo Eltrico
A figura a seguir ilustra um experimento de Faraday em que se tm duas esferas condutoras
concntricas separadas entre si por um material dieltrico. A esfera interna previamente carregada
com carga Q+ , posteriormente, coloca-se a esfera externa descarregada e conecta-a momentaneamente a terra. Com isto Faraday observou que a esfera externa, que a princpio estava
descarregada, ficava carregada com carga igual em magnitude carga da esfera interna e que isto
era verdade independente do material dieltrico que separava as duas esferas.
Ele concluiu que da esfera interna para a externa havia um certo tipo de deslocamento que
era independente do meio, e agora nos referimos a este deslocamento ou fluxo como fluxo
eltrico. O mesmo ser representado por (psi) e dado, conforme experimento, por
Q =
O fluxo eltrico ento medido em Coulomb. Podemos observar, por meio da figura
anterior, que as trajetrias do fluxo eltrico se estendem da esfera interna para a externa e so
indicadas por linhas de fora simetricamente distribudas, desenhadas de uma esfera a outra.
A densidade de fluxo eltrico a razo entre o fluxo eltrico e a rea da superfcie que o
mesmo cruza. Trata-se de uma grandeza vetorial e representada pela letra Dr
. A direo de Dr
em
um ponto a direo das linhas de fluxo naquele ponto, e sua magnitude dada pelo nmero de
linhas de fluxo que cruzam a superfcie normal a elas dividido pela rea da superfcie. A unidade de
Dr
, naturalmente, Coulomb por metro quadrado (algumas vezes descrita como linhas por metro
quadrado, pois cada linha est relacionada quantidade de carga).
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Novamente, nos referindo figura anterior, a densidade de fluxo eltrico est na direo
radial e tem um valor de
2 4 rr aQD aapi=
=
r (esfera interna)
2 4 rr bQD abpi=
=
r (esfera externa)
e para a distncia radial r , onde a r b ,
2 4 rQD a
rpi=
r
Se substitussemos a esfera interna por uma carga pontual carregada com a mesma carga Q, a densidade de fluxo eltrico no ponto distando r metros desta carga pontual ainda dada pela
equao anterior.
Como a intensidade de campo eltrico radial de uma carga pontual no espao livre
20
4 rQE a
rpi=
r
podemos escrever que, no espao livre,
0D E=r r
Embora esta expresso seja aplicvel somente ao vcuo, ela no se restringe somente ao
campo de uma carga pontual, a mesma verdadeira para qualquer configurao no espao livre, seja
ela uma distribuio volumtrica, superficial ou linear.
Exemplo 01:
Encontrar a densidade de fluxo eltrico Dr
na regio ao redor de uma linha de cargas uniforme de
8 /nC m situada sobre o eixo z no espao livre.
Exemplo 02:
Calcule a densidade de fluxo eltrico Dr
em coordenadas retangulares no ponto ( )2, 3,6P produzido por:
a) uma carga pontual 55Q mC= em ( )2,3, 6M ; b) uma linha de cargas uniforme de 20 /L mC m = no eixo x ; c) uma densidade superficial de carga de 2120 /S C m = no plano 5z = .
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3.2 Lei de Gauss
Imaginemos uma distribuio de carga, conforme mostrada na figura abaixo, como uma
nuvem de cargas pontuais, envolvidas por uma superfcie fechada com uma forma qualquer. Se a
carga total Q+ Coulomb, ento Q Coulomb de fluxo eltrico iro atravessar a superfcie, o vetor densidade de fluxo eltrico D
r ter algum valor SD
r, onde o ndice S meramente nos lembra que D
r
deve ser calculado na superfcie, e SDr
ir em geral variar em magnitude e direo de um ponto da
superfcie para outro.
Especificando o elemento incremental da superfcie, tal como ilustrado na figura anterior,
como sendo o vetor Sr
normal superfcie e apontando para fora da mesma, podemos ento
escrever que o incremento de fluxo eltrico ( ) neste elemento incremental de superfcie ser:
S normal SD S D S = = rr
O fluxo total que atravessa a superfcie fechada obtido adicionando-se as contribuies
diferenciais que atravessam cada elemento de superfcie Sr
,
SSD dS =
rr
(superfcie fechada)
Esta integral resultante uma integral de superfcie fechado, ou seja, uma integral dupla da
superfcie total. Tal superfcie freqentemente chamada de superfcie gaussiana. Temos, ento, a
formulao matemtica de Gauss, que afirma
carga envolvidaSS D dS Q = = =rr
A carga envolvida pode ser um conjunto de vrias cargas pontuais, ou uma linha de cargas,
ou uma superfcie de cargas, ou ainda, uma distribuio volumtrica de cargas. Como a equao da
distribuio volumtrica uma generalizao das outras expresses, podemos escrever a Lei de
Gauss em termos desta
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S vS volD dS dv =
rr
uma afirmativa matemtica significando simplesmente que o fluxo eltrico total atravs de qualquer
superfcie fechada igual carga envolvida.
Para ilustrar a aplicao da lei de Gauss, vamos conferir os resultados do experimento de
Faraday colocando uma carga pontual Q na origem do sistema de coordenadas esfricas e escolhendo uma superfcie fechada como uma esfera de raio r . Temos ento
( )0 0 20
22 2 2
4
44 4 4
S rS S S
rS S
QD dS E dS a dSr
Q Q Qa dS dS r Q
r r r
pi
pipi pi pi
= =
= = = =
r r rr r
r
e obtm um resultado que mostra que Q Coulomb de fluxo eltrico est atravessando a superfcie, como deveria ser, j que a carga envolvida de Q Coulomb. A figura abaixo ilustra o fato de que os vetores SD
r e dS
r, neste exemplo, esto sempre na mesma direo
J a integral de rea da superfcie fechada esfrica
2 2 2
0 04esferaS r sen d d r
pi pi pi
= =
= =
= =
contudo, por ser a rea de uma superfcie esfrica uma equao conhecida, no h necessidade de
se calcular a mesma em todos os exemplos que esta aparecer.
Vale ressaltar que para o clculo do fluxo eltrico em uma superfcie aberta pode-se usar
SSD dS =
rr (superfcie aberta)
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Exemplo 03:
Dada uma carga pontual de 60 C localizada na origem, determine o fluxo eltrico total que passa atravs:
a) da poro de uma esfera de 26r cm= limitada por 0 /2 pi< < e 0 /2 pi< < ; b) da superfcie fechada definida por 26 cm = e 26z cm= ; c) do plano 26z cm= .
Exemplo 04:
Dada a densidade de fluxo eltrico 2 20,3 /
rD r a nC m=r
no espao livre, determine:
a) o campo eltrico Er
no ponto ( )2,25 ,90P . b) a carga total dentro da esfera 3r = . c) o fluxo eltrico total que deixa a esfera 4r = .
Exemplo 05:
Calcule o fluxo eltrico total que deixa uma superfcie cbica formada pelos seis planos , , 5x y z = se a distribuio de carga :
a) duas cargas pontuais, uma de 0,1 C em ( )1, 2,3 e outra de 17 C em ( )1,2, 2 ; b) uma linha de cargas uniforme de /C mpi em 2x = e 3y = ; c) uma superfcie de cargas uniforme de 20,1 /C m no plano 3y x= .
3.3 Aplicaes da Lei de Gauss: Algumas Distribuies Simtricas
de Cargas
A soluo da equao de Gauss fcil se formos capazes de escolher uma superfcie fechada
que satisfaa duas condies:
1. SDr
deve ser normal ou tangente superfcie fechada em qualquer ponto, de modo que
SD dSrr
se torna SD dS ou zero, respectivamente.
2. Na parte da superfcie fechada para a qual SD dSrr
no zero, SD dever ser constante.
Isto nos permite substituir o produto escalar pelo produto dos escalares SD e dS e depois levar SD para fora da integral. A integral remanescente , ento, sobre aquela poro da superfcie
fechada em que SDr
cruza normalmente, o que simplesmente a rea desta superfcie.
Vamos considerar uma carga pontual Q na origem de um sistema de coordenadas esfricas e decidir por uma superfcie fechada adequada que ir satisfazer os dois requisitos listados acima. A
superfcie em questo obviamente uma superfcie esfrica, centrada na origem e de raio r
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qualquer. SDr
normal superfcie em qualquer ponto; SD possui o mesmo valor em todos os pontos na superfcie.
Temos, ento,
2 2
0 0
24
S SS esfera
S Sesfera
S
Q D dS D dS
D dS D r sen d d
r D
pi pi
pi
= =
= =
= =
= =
=
rr
e assim 24SQD
rpi=
Como r pode ter qualquer valor e como SDr
est dirigido radialmente para fora,
2 4 rQD a
rpi=
r 2
0
4 rQE a
rpi=
r
que concorda com os resultados advindos da lei de Coulomb.
Como um segundo exemplo, consideremos uma distribuio uniforme e linear de carga
situada no eixo z se estendendo de a + .
Neste exemplo em questo, a superfcie cilndrica a nica superfcie em que Dr
normal
em qualquer ponto e pode ser fechada por superfcies planas normais ao eixo z . A figura abaixo
mostra um cilindro circular reto fechado de raio se estendendo de 0z = at z L= .
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Aplicando-se a lei de Gauss
2
0 00 0 2
S S S S SS cilindro lateral topo base
z L
S S Slateral z
Q D dS D dS D dS D dS D dS
D dS D d dz D L pi
pi= =
= =
= = = + +
= + + = =
r r r r rr r r r r
e obtemos 2S
QDLpi
=
Em termos da densidade de carga: 2 2
L LS
LDL
pi pi
= = . Resultando nos vetores,
2LD a
pi
=
r
0
2LE a
pi
=
r
Em conformidade com o resultado obtido anteriormente pela lei de Coulomb.
Um terceiro exemplo o problema de um cabo coaxial. Suponhamos que temos dois
condutores cilndricos coaxiais, o interno de raio a e o externo de raio b , cada um de extenso infinita, como mostra a figura a seguir. Consideremos uma distribuio de carga S na superfcie externa do condutor interno. As cargas dos dois cilindros so iguais em mdulos e opostas em sinais.
Um cilindro circular reto de comprimento L e raio , onde a b< < , necessariamente escolhido como a superfcie gaussiana, e rapidamente temos
2SQ D Lpi=
e obtemos 2S
QDLpi
=
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Em termos da densidade de carga: 2
2S S
SaL aDL
pi pi
= = . Passando para densidade linear,
mais comumente usada para cabos coaxiais, temos que LQ L= , ento, 2 2L L
SLDL
pi pi
= = . Em
termos vetoriais,tem-se
2LD a
pi
=
r
0
2LE a
pi
=
r
e a soluo possui uma forma idntica quela da linha infinita de cargas.
Caso usssemos um cilindro de raio b > para a superfcie gaussiana, a carga total envolvida seria ento zero, j que o resultado da soma das cargas dos dois cilindros nulo. Um
resultado idntico seria obtido para a < , pois a carga do cilindro interno s existir na superfcie do mesmo, conforme veremos em breve para o caso de materiais condutores.
Exemplo 06:
Considere um cabo coaxial de 50 cm de comprimento com raio interno de 1 mm e raio externo de 4 mm , o espao entre os condutores preenchido por ar. A carga total no condutor interno 30 nC . Calcule a densidade de carga em cada condutor e, usando a lei de Gauss, a densidade de fluxo eltrico e o campo eltrico, em toda regio.
Exemplo 07:
Uma carga pontual de 0,25 C est localizada na origem, e duas densidades superficiais de carga uniformes esto localizadas como segue: uma de 22 /mC m em 1r cm= e outra de 20,6 /mC m em 1,8r cm= . Calcule o vetor densidade de fluxo eltrico em:
a) 0,5r cm= ; b) 1,5r cm= ; c) 2,5r cm= ; d) Que densidade superficial de carga uniforme deve ser estabelecida em 3r cm= para
causar um densidade de fluxo de carga nula em 3,5r cm= ?
3.4 Aplicaes da Lei de Gauss: Elemento Diferencial de Volume
Agora aplicaremos os mtodos da lei de Gauss para um tipo de problema ligeiramente
diferente um que no possui qualquer simetria. Para se contornar a problemtica da ausncia de
simetria, que imprescindvel para aplicao da lei de Gauss, ser necessrio escolher uma superfcie
fechada muito pequena em que Dr
seja praticamente constante sobre ela e, que uma pequena
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variao de Dr
possa ser adequadamente representada pelos dois primeiros termos da expanso de
Dr
em srie de Taylor.
Consideremos um ponto P qualquer, mostrado na figura seguinte, localizado pelo sistema de coordenadas cartesianas. O valor de D
r neste ponto pode ser expresso em componentes
cartesianos, 0 0 0 0 x x y y z zD D a D a D a= + +r
.
Escolhemos como nossa superfcie fechada uma pequena caixa retangular, centrada em P , tendo lados de comprimentos x , y e z , e apliquemos a lei de Gauss,
SS frente atrs esquerda direita topo baseD dS Q = + + + + + =
rr
onde, dividimos a integral sobre a superfcie fechada em seis integrais, uma para cada face.
Consideremos a primeira destas integrais detalhadamente,
,
frente frentefrente
frente x
x frente
D S
D y z a
D y z
=
= =
rr
r
onde devemos aproximar somente o valor de xD nesta face frontal. A face frontal est a uma distncia de / 2x de P , e assim
, 0
0
taxa de variao de com 2
2
x frente x x
xx
xD D D x
DxDx
= +
= +
Temos, agora
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0 2x
xfrenteDxD y zx
= +
Consideremos agora a integral sobre a superfcie posterior,
( ),
atrs atrsatrs
atrs x
x atrs
D S
D y z aD y z
=
= =
rr
r
e, fazendo-se novamente uma aproximao,
, 0 2x
x atrs xDxD Dx
=
resultando em 0 2x
xatrs
DxD y zx
= +
Se combinarmos estas duas integrais, temos
x
frente atrsD
x y zx
+ =
Usando-se exatamente este mesmo procedimento, encontramos que
y
direita esquerda
Dx y z
y
+ =
z
topo base
Dx y z
z
+ =
Sendo x y z v = , podemos escrever:
yx zSS
DD DD dS Q vx y z
= = + + rr
A expresso uma aproximao que se torna melhor medida que v se torna menor.
Exemplo 08:
Determine um valor aproximado para a carga total contida em um volume incremental de 9 310 m localizado na origem, se ( ) ( ) 2 sen cos 2 /x xx y zD e y a e y a za C m = +r . Exemplo 09:
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No espao livre, 4 2 4 2 3 2 8 4 16 /x y zD xyz a x z a x yz a pC m= + +r
. Determinar:
a) o fluxo eltrico total que atravessa a superfcie retangular 2z = , 0 2x< < , 1 3y< < na direo za ;
b) o campo eltrico em ( )2, 1,3P ; c) um valor aproximado para a carga total contida em uma esfera incremental localizada em
( )2, 1,3P e tendo um volume de 12 310 m .
3.5 Divergncia
No subitem anterior, encontramos que
yx zSS
DD DD dS Q vx y z
= = + + rr
Obteremos agora a relao exata desta equao, permitindo que o elemento de volume v tenda a zero. Escreveremos esta equao como
Syx SzD dSDD D Q
x y z v v
+ + = =
rr
Pode-se, assim, fazer um limite tal qual
0 0lim limSyx Szv v
D dSDD D Qx y z v v
+ + = =
rr
sendo que este ltimo termo representa a densidade volumtrica de carga v , portanto
0lim Syx Sz vv
D dSDD Dx y z v
+ + = =
rr
Por enquanto, trabalhemos unicamente com a primeira igualdade da expresso, ou seja,
0lim Syx Szv
D dSDD Dx y z v
+ + =
rr
pois a equao que relaciona a densidade volumtrica ser tratada na prxima seo.
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A expresso anterior envolve a densidade de fluxo eltrico Dr
, porm a mesma poderia ser
representativa de qualquer outro campo vetorial genericamente representado pela letra Ar
(velocidade, acelerao, fora, etc.). Podendo-se reescrev-la como
0limyx Szv
A dSAA Ax y z v
+ + =
r r
Esta operao apareceu tantas vezes em investigaes fsicas passadas que recebeu um
nome descritivo, divergncia. A divergncia de Ar
definida como
0Divergncia de div lim S
v
A dSA A
v
= =
r r
r r
e usualmente abreviada por div Ar
. Este vetor Ar
membro da famlia dos vetores densidade de
fluxo. A seguinte interpretao fsica vlida:
A divergncia do vetor densidade de fluxo Ar
a descarga de fluxo em uma pequena
superfcie fechada por unidade de volume medida que o volume tende a zero.
Por exemplo, consideremos a divergncia da velocidade da gua em uma banheira aps
termos aberto o dreno. O fluxo lquido de gua atravs de qualquer superfcie fechada situada
inteiramente dentro da gua deve ser igual a zero, pois a gua essencialmente incompressvel e,
conseqentemente, a gua que entra e sai de diferentes regies da superfcie fechada deve ser igual.
Portanto a divergncia desta velocidade zero.
Entretanto, se considerarmos agora a velocidade do ar em um pneu que acabou de ser
furado por um prego, percebemos que o ar se expande medida que a presso cai e que,
conseqentemente, h um fluxo lquido em qualquer superfcie fechada situada dentro do pneu. A
divergncia desta velocidade , portanto, maior que zero. J na operao de enchimento do pneu, o
fluxo lquido em qualquer superfcie fechada situada dentro do mesmo ter de sentido oposto ao do
procedimento anterior.
Uma divergncia positiva de qualquer grandeza vetorial indica uma fonte desta grandeza
vetorial naquele ponto. De forma semelhante, uma divergncia negativa indica um sorvedouro
(sumidouro). Como a divergncia da velocidade da gua acima zero, no existe fonte nem
sorvedouro.
A divergncia para o nosso caso especfico da densidade de fluxo eltrico ser
div yx zDD DD
x y z
= + + r
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Esta expresso est representada em coordenadas cartesianas. Caso desejssemos escrev-
la em coordenadas cilndricas ou esfricas, as mesmas ficariam como se segue.
( )1 1div zD DD Dz
= + +
r
coordenadas cilndricas
( ) ( )221 1 1div r DD r D sen Dr r r sen r sen
= + +
r
coordenadas esfricas
A divergncia uma operao que resulta em um escalar, ou seja, a divergncia meramente
nos diz quanto fluxo est deixando um pequeno volume em termos de por unidade de volume,
nenhuma direo est associada a ela.
Exemplo 10:
Determine a divergncia div Dr
em um ponto situado na origem se o vetor densidade de fluxo
( ) ( ) 2 sen cos 2 /x xx y zD e y a e y a za C m = +r . Exemplo 11:
Determinar o valor numrico para div Dr
no ponto especificado para cada um dos seguintes itens
abaixo:
a) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 /x y zD xyz y a x z xy a x ya C m= +r em ( )2,3, 1P ; b) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 sen sen 2 2 sen /zD z a z a z a C m = +r em ( )2,110 , 1P ; c) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 sen cos cos cos sen /rD r a r a r a C m = + r em ( )1,5;30;50P .
3.6 Primeira Equao de Maxwell (Eletrosttica)
As expresses desenvolvidas para a divergncia so as seguintes
0div lim SS
v
D dSD
v
=
rr
r
div yx zDD DD
x y z
= + +
r
div vD =r
A primeira equao a definio da divergncia; a segunda o resultado da aplicao da
definio a um elemento diferencial de volume em coordenadas cartesianas, e a terceira
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meramente escrita usando-se de desenvolvimento matemtico. Esta ltima equao um resultado
do seguinte desenvolvimento
( ) Lei de GaussSS D dS Q =rr
SSD dS Q
v v
=
rr
0 0lim limSSv v
D dS Qv v
==
rr
div vD =r
Esta a primeira das quatro equaes de Maxwell. Ela estabelece que o fluxo eltrico por
unidade de volume que deixa uma unidade de volume infinitesimal exatamente igual sua
densidade volumtrica de carga. A primeira equao de Maxwell tambm descrita como a forma
diferencial da lei de Gauss. De modo recproco, a lei de Gauss reconhecida como a forma integral
da primeira equao de Maxwell.
A operao divergncia no limitada densidade de fluxo eltrico; ela pode ser aplicada a
qualquer campo vetorial.
Exemplo 12: Determine uma expresso para a densidade volumtrica de carga associada com cada campo densidade de fluxo eltrico a seguir:
a) 2 2
22
4 2 2 /
x y zxy x x yD a a a C mz z z
= + +r
;
b) ( ) ( ) ( ) 2 sen cos sen /zD z a z a a C m = + +r ; c) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 sen sen cos sen cos /rD a a a C m = + +r .
3.7 O Operador Vetorial r
(Nabla) e o Teorema da Divergncia
Definimos o operador nabla r
como sendo um operador vetorial, representado pela
expresso:
x y za a a
x y z = + +
r
Consideremos o produto escalar dos vetores r
e Dr
,
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( ) x y z x x y y z zD a a a D a D a D ax y z
= + + + + r r
yx zDD DD
x y z = + +
r r
Isto reconhecido como a divergncia de Dr
, de forma que temos
div yx zDD DD D
x y z
= = + +
r r r
O uso de Dr r
muito mais comum que o de div Dr
. A partir de agora, usaremos a notao
Dr r
para indicar a operao de divergncia.
O operador r
no possui uma forma especfica em outros sistemas de coordenadas. Se
considerarmos Dr
em coordenadas cilndricas ou esfricas, ento Dr r
ainda indica a divergncia de
Dr
, conforme as expresses j definidas anteriormente, porm no temos uma frmula para r
em
si nestes sistemas de coordenadas.
Iremos agora desenvolver o teorema da divergncia. Este teorema se aplica a qualquer
campo vetorial para o qual existe a derivada parcial apropriada. Partindo da lei de Gauss,
SD dS Q =
rr
e considerando
vvol
Q dv=
e ento substituindo v por sua igualdade,
vD =r r
temos vS vol volD dS Q dv Ddv = = =
rr r r
A primeira e a ltima expresso constituem o teorema da divergncia,
S volD dS Ddv =
rr r r
que pode ser escrito como se segue:
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A integral da componente normal de qualquer campo vetorial sobre uma superfcie
fechada igual integral da divergncia deste campo vetorial atravs do volume limitado
por esta superfcie fechada.
Novamente, enfatizamos que o teorema da divergncia verdadeiro para qualquer campo
vetorial. Sua vantagem advm do fato de que ele relaciona uma tripla integrao atravs de algum
volume com uma dupla integrao sobre a superfcie daquele volume.
O teorema da divergncia se torna bvio fisicamente se considerarmos o volume, tal qual
apresentado na figura acima, dividido em inmeros pequenos compartimentos de tamanho
diferencial. A considerao de uma dessas clulas mostra que o fluxo que diverge desta clula entra,
ou converge, para as clulas adjacentes, a menos que estas contenham uma poro de superfcie
externa. Em resumo, a divergncia da densidade de fluxo atravs de um volume leva, ento, ao
mesmo resultado que o determinado pelo fluxo lquido que atravessa a superfcie fechada.
Exemplo 13:
Calcule ambos os lados do teorema da divergncia para o campo 2 2 2 /x yD xya x a C m= +r
e a a
regio fechada de um paraleleppedo formado pelos planos 0 1x e= , 0 2y e= e 0 3z e= .
Exemplo 14:
Dado o campo ( ) ( ) 21 12 2 6 sen 1,5 cos /D a a C m = +r calcule ambos os lados do teorema da divergncia para a regio limitada por 2 = , 0 e pi= e 0 5z e= .
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4 ENERGIA POTENCIAL E POTENCIAL ELTRICO
4.1 Trabalho Empregado no Movimento de uma Carga no Interior
de um Campo Eltrico
Se tentarmos movimentar uma carga de teste contra o campo eltrico, deveremos exercer
uma fora de igual mdulo e sentido contrrio quela exercida pela fora proveniente do campo, e
isto requer dispndio de energia ou trabalho. J se tentarmos movimentar a carga na direo do
campo, nosso dispndio de energia torna-se- negativo; no realizaremos trabalho, o campo que
realizar.
A fora aplicada carga Q devido a existncia de um campo eltrico Er
EF QE=r r
A componente desta fora numa direo dLr
qualquer
EL E L LF F a QE a= = r r
onde La o vetor unitrio da direo de dLr
.
A fora que deve ser aplicada por um agente externo para deslocar a carga de mdulo igual
e sentido oposto, ou seja,
aplicada LF QE a=
r
J o dispndio de energia ser dado pelo produto da fora aplicada pela distncia de
deslocamento. Pode-se ento escrever que o trabalho diferencial realizado por um agente externo
deslocando Q ao longo da direo La
( ) L LdW QE a dL QE a dL QE dL= = = r r r r onde substitumos La dL pela expresso mais simples dL
r.
O trabalho necessrio para deslocar a carga de uma distncia finita deve ser determinado
pela integrao
final
inicialW Q E dL=
r r
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onde o caminho deve ser especificado antes que a integral seja calculada. Considera-se, para tanto,
que a carga est parada nas posies inicial e final.
Exemplo 01:
Dado o campo eltrico ( ) ( )2 221 8 4 4 /x y zE xyza za x ya V mz= + r
, determine a quantidade
diferencial de trabalho realizado ao deslocarmos uma carga de 6nC de uma distncia de 2 m , partindo de ( )2, 2,3P e caminhando na direo:
a) 6 3 2
7 7 7L x y za a a a= + + ;
b) 6 3 2
7 7 7L x y za a a a= .
4.2 Integral de Linha
A expresso da integral para o trabalho um exemplo de integral de linha, a qual, sempre
assume a forma da integral ao longo de um caminho prescrito do produto escalar entre o campo
vetorial e o vetor comprimento diferencial. Sem a utilizao da anlise vetorial, deveramos escrever
finalLinicial
W Q E dL=
onde LE = componente de Er
ao longo de dLr
.
O procedimento da integral de linha est indicado na figura abaixo, onde foi escolhido um
caminho a partir da posio inicial B at a posio final A e selecionado um campo eltrico uniforme. O caminho est dividido em seis segmentos.
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O trabalho envolvido no deslocamento da carga Q de B para A , ento, aproximadamente
( )1 1 2 2 6 6L L LW Q E L E L E L= + + + K ou, usando notao vetorial,
( )1 1 2 2 6 6W Q E L E L E L= + + + r r r r r rK e, como admitimos um campo uniforme
( )1 2 6W QE L L L= + + + r r r rK A soma dos segmentos dos vetores pode ser realizada pela regra do paralelogramo,
resultando justamente em um vetor dirigido do ponto inicial para o ponto final, BALr
. Portanto,
( ) uniformeBAW QE L E= r r r Para este caso especial de uma intensidade de campo eltrico uniforme, devemos notar que
o trabalho envolvido no deslocamento da carga depende somente de Q, Er e BALr
. Ele no depende
do caminho escolhido para deslocar a carga, ou seja, pode-se ir de B para A em uma linha reta ou por um caminho tortuoso que a resposta ser a mesma.
Note que a expresso de dLr
utiliza dos vetores de comprimentos diferenciais, os quais
encontram-se destacado a seguir.
(coordenadas cartesianas)
(coordenadas cilndricas)
(coordenadas esfricas)
x y z
z
r
dL dxa dya dza
dL d a d a dza
dL dra rd a r sen d a
= + +
= + +
= + +
r
r
r
Para ilustrar o clculo da integral de linha, investigaremos os diversos caminhos que devemos
considerar prximos a uma linha infinita de cargas, conforme figura a seguir.
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O campo j foi obtido anteriormente e inteiramente na direo radial,
0
2LE E a a
pi
= =
r
Deslocando-se uma carga positiva em torno de um caminho circular de raio 1 , conforme figura (a), tem-se 1 dL d a =
r, o trabalho ser:
2
100 1
2
00
2
0
2
final
inicial
L
L
W Q E dL
Q a d a
Q d a a
pi
pi
pi pi
=
=
= =
r r
Considerando-se agora um deslocamento da carga de a = para b = ao longo do caminho radial, de acordo com figura (b) acima. Aqui, dL d a=
r e
0
0
0
2
2
ln2
b
a
b
a
L
L
bL
a
W Q a d a
dQ
Q
pi pi
pi
=
=
=
Como b maior do que a , percebe-se que o trabalho realizado negativo, indicando que a fonte externa, que est deslocando a carga, recebe energia. J se o deslocamento fosse de b para
a , teramos,
0
ln2
bL
a
QW pi
=
Neste caso o trabalho positivo, o que significa que a fonte externa (ou agente externo)
que est fornecendo energia.
Exemplo 02:
Dado o campo eltrico no-uniforme 2x y zE ya xa a= + +r
, determine o trabalho realizado para
levar uma carga de 2C de ( )1,0,1B at ( )0,8;0,6;1A ao longo do arco mais curto do crculo 2 2 1x y+ = e 1z = .
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Exemplo 03:
Calcule o trabalho ralizado ao deslocarmos uma carga de 4C de ( )1,0,0B at ( )0,2,0A ao lonho do caminho 2 2 , 0y x z= = no campo:
a) 5 /xE a V m=r
;
b) 5 /xE xa V m=r
;
c) 5 5 /x yE xa ya V m= +r
.
Exemplo 04:
(exemplo de campo no-conservativo) Considerando ( )5 /xE xa V m=r , calcule o trabalho necessrio para deslocar uma carga de 3C de ( )1,3,5B at ( )2,0,3A ao longo dos segmentos de linhas retas unindo:
a) ( )1,3,5B a ( )2,3,5 a ( )2,0,5 a ( )2,0,3A ; b) ( )1,3,5B a ( )1,3,3 a ( )1,0,3 a ( )2,0,3A .
4.3 Definio de Diferena de Potencial e Potencial Eltrico
Define-se a diferena de potencial V como o trabalho realizado (por um agente externo) ao
deslocar uma unidade de carga positiva ( )1Q = de um ponto a outro em um campo eltrico, Diferena de Potencial
final
inicialV E dL= =
r r
A diferena de potencia ABV significa a diferena de potencial entre os pontos A e B , e o trabalho realizado ao deslocarmos uma unidade de carga de B at A. Assim,
( ) VAAB BV E dL= r r
onde a unidade de medida volts que freqentemente abreviado por V, trata-se, conforme
observado, de uma grandeza escalar.
No exemplo da linha de carga da ltima seo, encontramos que o trabalho realizado ao
levarmos a carga Q de b para a
0
ln2
bL
a
QW pi
=
Assim, a diferena de potencial entre os pontos b e a
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0
ln2
bLab
a
WV Q
pi = =
J para o caso de uma carga pontual Q, a diferena de potencial entre os pontos A e B nas distncias radiais Ar
r e Brr
da mesma, escolhendo-se a origem em Q, ser
20
4r r rQE E a a
rpi= =
r
e rdL dr a=r
temos
20 0
1 14 4
A
B
A r
AB B rA B
Q QV E dL drr r rpi pi
= = =
r r
Se B Ar r> , a diferena de potencial ABV positiva, indicando que a energia despendida pelo agente externo ao trazer a carga positiva de Br para Ar . Isto concorda com o modelo fsico que
mostra que duas cargas iguais se repelem.
Muitas vezes conveniente falarmos em potencial, ou potencial absoluto, de um ponto em
vez de diferena de potencial entre dois pontos, mas isto significa somente que concordamos em
medir toda diferena de potencial em relao a um ponto referencial especfico, o qual consideramos
ter potencial igual a zero.
O ponto de referncia de zero mais universal para medidas fsicas ou experimentais de
potencia a terra, entendida como sendo o potencial da regio da superfcie da Terra. Outro
ponto de referncia amplamente utilizado o infinito. Este normalmente aparece em problemas
tericos. Mais uma considerao de referencial pode ser feita para o caso de um cabo coaxial, no
qual o condutor externo escolhido como o zero de referncia para o potencial. Nota-se, portanto,
que o ponto de referncia de zero pode assumir inmeras denominaes distintas dependendo da
aplicao especfica em que est sendo usado.
Se o potencial num ponto A AV e num ponto B BV , ento
AB A BV V V=
onde necessariamente concordamos que AV e BV devem possuir o mesmo ponto de zero de referncia. Observa-se que esta notao de ABV diferente da empregada na anlise vetorial onde
AB B Ar r r= r r r
.
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Exemplo 05:
Um campo eltrico expresso por ( )2 6 6 4 /x y zE x a ya a V m= + +r . Determine: a) MNV se ( )2,6, 1M e ( )3, 3,2N ; b) MV se 0V = em ( )4, 2, 35Q ; c) NV se 2V = em ( )1,2, 4P .
4.4 Campo Potencial de uma Carga Pontual
Na seo anterior, encontramos uma expresso para a diferena de potencial entre dois
pontos localizados em Ar r= e Br r= , imersos no campo de uma carga pontual Q localizada na origem.
0
1 14AB A BA B
QV V Vr rpi
= =
Considerou-se que os dois pontos pertenciam mesma linha radial. Agora, consideraremos
dois pontos A e B com deslocamentos tambm nas coordenadas e , conforme figura abaixo.
O comprimento diferencial do caminho dLr
possui as componentes r , e , e o campo eltrico possui somente a componente radial. Tomando, ento, o produto escalar, temos apenas
20 0
1 14 4
A A
B B
A r r
AB rB r rA B
Q QV E dL E dr drr r rpi pi
= = = =
r r
Obtemos a mesma resposta e conclumos, portanto, que a diferena de potencial entre dois
pontos em um campo de uma carga pontual depende somente da distncia de cada ponto carga e
no do caminho particular usado para deslocar uma unidade de carga de um ponto para outro.
Agora, se considerarmos 0V = no infinito, o potencial em Ar torna-se
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04A
A
QVrpi
=
ou, como no h motivo para identificar este ponto com o ndice A,
04QV
rpi=
Podemos tambm definir uma superfcie equipotencial como sendo uma superfcie
composta por todos aqueles pontos que possuem o mesmo valor de potencial. Nenhum trabalho
est envolvido no deslocamento de uma unidade de carga sobre uma superfcie equipotencial, pois,
por definio, no h diferena de potencial entre dois pontos quaisquer desta superfcie.
Observao: pode-se escrever, genericamente, que o trabalho para se movimentar uma
carga de um ponto inicia B at um ponto final A
abW QV=
Exemplo 06:
Uma carga pontual de 15nC est localizada na origem do espao livre. Calcule 1V em ( )1 2,3, 1P se:
a) 0V = em ( )6,5,4 ; b) 0V = no infinito; c) 5V V= em ( )2,0,4 .
4.5 Campo Potencial de um Sistema de Cargas e Propriedade
Conservativa dos Campos Potenciais
O potencial de uma carga pontual simples, identificada por 1Q e localizada em 1rr
, envolve
somente a distncia da carga ao ponto rr
onde se procura estabelecer o valor do potencial. Para um
zero de referncia no infinito, temos
( ) 10 14QV r
r rpi=
rr r
O potencial devido a duas cargas, 1Q em 1rr
e 2Q em 2rr
, funo somente das distncias de
cada uma das cargas ao ponto do campo, ou ainda,
( ) 1 20 1 0 24 4Q QV r
r r r rpi pi= +
rr r r r
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Continuando a adicionar cargas, encontramos que o potencial devido a n cargas pontuais
( ) 1 20 1 0 2 04 4 4
n
n
QQ QV rr r r r r rpi pi pi
= + + +
rKr r r r r r
Se agora cada carga pontual for representada como um pequeno elemento com uma
distribuio volumtrica contnua de carga igual a v v , ento
( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 20 1 0 2 04 4 4
v v v n n
n
r v r v r vV r
r r r r r r
pi pi pi
= + + +
r r rr
Kr r r r r r
Fazendo o nmero de elementos tornar infinito, podemos obter a expresso do potencial por
meio da integral:
( ) ( )0
' '
4 'v
vol
r dvV r
r r
pi
=
r
rr r
Esta expresso vlida para uma distribuio volumtrica de cargas. Para o caso de uma
distribuio linear ou superficial de cargas, tem-se, respectivamente,
( ) ( )0
' '
4 'L r dLV r
r r
pi
=
r
rr r
( ) ( )0
' '
4 'S
S
r dSV r
r r
pi
=
r
rr r
Com estas trs ltimas equaes pode-se calcular o potencial de qualquer distribuio de
cargas. Para ilustrar o uso de uma destas integrais vamos determinar V no eixo z para uma linha de cargas uniforme L na forma de um anel com a = localizado no plano 0z = , como mostra a figura a seguir.
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Temos, para tal exemplo:
' 'dL d a d = = ; zr z a=r ; 'r a a=r
Ento,
2 2'r r a z = +
r r
e
2
2 2 2 200 0
'
4 2L La d aV
a z a z
pi pi
= =
+ +
Para um zero de referncia no infinito, podemos concluir que:
1. O potencial devido a uma nica carga pontual o trabalho realizado no
deslocamento de uma unidade de carga positiva do infinito ao ponto no qual
desejamos conhecer o potencial, sendo o trabalho independente do caminho
escolhido entre estes dois pontos.
2. O campo potencial na presena de um certo nmero de cargas pontuais a soma
dos campos potenciais individuais originados de cada carga.
3. O potencial devido a um certo nmero de cargas pontuais ou a quaisquer
distribuies contnuas de cargas pode ser encontrado ao deslocarmos uma unidade
de carga do infinito ao ponto em questo ao longo de qualquer caminho escolhido.
Reconhecendo-se, portanto, que nenhum trabalho realizado no deslocamento de uma
unidade de carga ao longo de qualquer caminho fechado, tem-se
0E dL =r r
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Lembrando-se que a diferena de potencial dada por: A
AB BV E dL=
r r.
A integral para um caminho fechado representada por um pequeno crculo sobre o smbolo
de integral. Este smbolo o mesmo usado para designar a superfcie fechada da lei de Gauss e, aqui,
chamada integral de linha fechada.
A equao em questo somente verdadeira para campos estticos, ou seja, onde Er
no
varia com o tempo.
Qualquer campo que satisfaa uma equao da forma apresentada (isto , onde a integral de
linha fechada do campo seja zero), dito um campo conservativo. O nome surge do fato de que
nenhum trabalho realizado (ou que a energia conservada) em torno do caminho fechado. Um
exemplo de campo conservativo o campo gravitacional, pois qualquer energia gasta na
moviment
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