Apostila de Escoamento Interno e Externo Viscoso Incompressível

Fundação Universidade Federal de Rondônia

Núcleo de Tecnologia

Departamento de Engenharia Elétrica

Disciplina de Fenômenos dos Transportes

Porto Velho

Fevereiro de 2012

Docente: Prof. Ms. Cicero Hildenberg Lima de Oliveira

Discente: Fábio Hugo Souza Matos

Fenômenos dos Transportes

Capítulo 8 - Escoamento Interno Viscoso, Incompressível

8.8 Solução de Problemas de Escoamento em Tubos

Dada à perda de carga total que foi calculada na seção anterior, os problemas

de escoamento em tubos podem ser solucionados com o uso da equação da energia:

A Eq. 1 é a equação de cálculo para sistemas de tubos. A queda de pressão

numa tubulação é uma função da vazão, variação de elevação e perda de carga total.

Essa perda consiste nas perdas distribuídas devidas ao atrito em trechos de área de

constante e nas perdas localizadas devidas a acessórios, mudanças de área e outras.

A queda de pressão pode ser escrita na forma funcional:

Onde C representa a configuração do sistema. Pode-se reduzir a dependência

dessa queda de pressão uma vez que alguns parâmetros sejam fixados.

As propriedades do fluido são constantes para o escoamento em tubos de fluidos

incompressíveis. A rugosidade, variação de elevação e configuração do sistema

dependem do arranjo dos tubos. Sendo assim reduz-se a queda de pressão para a forma

funcional:

Quatro casos gerais são possíveis, dado as quatro variáveis:

a) L, Q e D conhecidos, Δp desconhecido.

2

2

22

21

2

11

1

22gz

Vpgz

Vph

Tl

Eq.1

,,,,,,,3 CzeDQLp

DQLp ,,4

b) Δp, Q e D conhecidos, L desconhecido.

c) Δp, L e D conhecidos, Q desconhecido.

d) Δp, L e Q conhecidos, D desconhecido.

Os primeiros casos ((a) e (b)) podem ser resolvidos diretamente pela aplicação

das equações da continuidade e da quantidade de movimento e utilizando os dados dos

cálculos de perda de carga. Os outros dois utilizam as mesmas equações e dados, mas

exigem iteração.

Caso a) L, Q, D conhecidos e Δp desconhecido.

Um fator de atrito é obtido ou através do Diagrama de Moody ou de equações

empíricas usando Re ou e/D calculados a partir de dados fornecidos. A perda de carga

total é calculada com as Eq. 2 e Eq. 3. A Eq. 1 é empregada para avaliar a queda de

pressão Δp.

2

2V

D

Lfhl

2

2V

D

Lefh

ml

2

2VKh

ml

Eq.2

Eq.3.b Eq.3.a

Caso b) Δp, Q e D conhecidos, L desconhecido.

A perda de carga total é calculada pela Eq. 1. O fator de atrito é obtido da

mesma forma que no caso (a). O comprimento desconhecido é determinado resolvendo-

se a Eq. 2.

Caso c) Δp, L e D conhecidos, Q desconhecido.

A Eq. 1 é combinada com as equações de definição para a perda de carga, o

resultado é uma expressão para ̅ (ou Q) em termos do fator de atrito, ƒ. Escoamentos

em tubos, em sua maioria, têm número de Reynolds (Re) grandes. Assim, mesmo que Re

não possa ser calculado por não se ter Q, o diagrama de Moody da uma boa estimativa

inicial do fator de atrito.

Com ƒ estimado, uma primeira aproximação para ̅ é obtida. Re é calculado

para esse valor de ̅. Após, um novo ƒ e uma nova aproximação de ̅ é obtida. Como ƒ

tem dependência fraca de Re, mais de duas iterações raramente são requeridas para a

convergência.

Caso d) Δp, L e Q conhecidos, D desconhecido.

Com D desconhecido, nem Re nem a rugosidade relativa podem ser calculados

diretamente, então uma solução iterativa é necessária.

Os cálculos começam admitindo-se um diâmetro estimado. Um ƒ e uma

rugosidade relativa então são calculados com o valor estimado de D. Um fator de atrito

é obtido do Diagrama de Moody. Em seguida, a perda de carga é calculada das Eqs. 2

e 3 e, a Eq. 1 é resolvida para a queda de pressão.

O valor de Δp resultante da tentativa é comparado com o requisito do sistema.

Caso Δp seja grande demais, D deve ser estimado a um valor maior, e caso Δp seja

menor do que o requisitado, D deve ser menor também na próxima iteração.

Para os valores estimados de D utilizam-se diâmetros que são comercialmente

disponíveis.

Exemplo 1

3. Escoamento Proveniente de uma Torre de Água: Vazão em Volume Desconhecida

Um sistema de proteção contra incêndio é suprido a partir de uma torre d’água

por meio de um tubo vertical com 80 pés de altura. O tubo mais longo no sistema tem

600 pés e é feito de ferro fundido com cerca de 20 anos de idade.

O tubo contém uma válvula de gaveta; outras perdas localizadas podem ser

desprezadas. O diâmetro do tubo é 4 pol. Determine a vazão máxima em volume (em

gpm) através desse tubo.

Considerações:

• p1 = p2 = patm

• ̅1 ≈ 0 ; α2 ≈ 1

• Le/D = 8 ; e = 0,00085 pés

Obs: Diâmetro do tudo vertical = Diâmetro horizontal *Simplificar*

2

2V

D

Lfhl

2

2

22

21

2

11

1

22gz

Vpgz

Vph

Tl

DVRe

2

4

DA

A

QV

D

ef Re,

2

2V

D

Lefh

ml

Q = 350 gpm

22

2

2

2

221

V

D

Le

D

Lfh

Vzzg

Tl

18

2

2

221

D

Lf

Vzzg

21

18

2 212

DLf

zzgV

2040.

12.4

80600

pés

pol

pol

péspés

D

L

Para e/D = 0,005, f = 0,03, então:

Para e/D = 0,005, f = 0,031, então:

A convergência é portanto satisfatória. A vazão em volume é

8.8.2 Bombas em Sistemas de Fluido

A maioria dos exemplos de escoamento em tubos tem como força motriz

causadora do movimento do fluido uma diferença de pressão ou elevação. Na prática,

muitas situações ocorrem de a força motriz ser suprida por uma bomba ou por um

ventilador. Essas máquinas aumentam a energia mecânica do fluido.

Uma expressão para o aumento da energia mecânica do fluido pode ser obtida a

partir da aplicação da primeira lei da termodinâmica através da bomba:

gz

Vpgz

VpmWbomba

22

22

bombabomba hm

W

péshzz 8021

spéspés

s

pésV 08,9

18204003,0

1802,322

21

22

spéspés

s

pésV 94,8

182040031,0

1802,322

21

22

5

251050,2

1021,1308,9Re

pés

spés

s

pésDVDV

min6048,7

3

1

494,8

4 3

2

22

22

s

pés

galpés

s

pésDVAVQ

gpmQ 350

Essa energia deve ser incluída como uma entrada de energia. Assim, modifica-

se a Eq.1 para:

8.8.3 Sistemas de Trajetórias Múltiplas

Em muitas situações práticas, como abastecimento d’água e sistemas de

proteção contra incêndios, redes complexas de tubulações devem ser analisadas. As

técnicas desenvolvidas anteriormente para Trajetória Única podem ser usadas na

análise de sistemas de Múltiplas Trajetórias.

O procedimento é análogo ao da resolução de circuitos elétricos de corrente

contínua, porém com elementos não lineares. O sistema de tubos representado abaixo

tem dois nós, A e B, e três ramais.

A vazão total entrando no sistema deve ser distribuída entre os ramais.

Consequentemente, a vazão através de cada ramal é desconhecida. No entanto a queda

pressão para cada ramal é a mesma (pa – pb). Essa informação é suficiente para

permitir uma solução iterativa para a vazão em cada ramal.

A vazão do fluido e a queda de pressão são respectivamente, análogas à

corrente e à tensão num circuito elétrico. Todavia, a relação linear simples entre a

tensão e a corrente pela lei de Ohm não se aplica ao sistema de escoamento fluido.

Em vez disso, a queda de pressão é aproximadamente proporcional ao

quadrado da vazão. Essa não linearidade torna necessária a solução iterativa e os

cálculos resultantes podem ser bastante extensos.

bombal hgzVp

gzVp

hT

2

2

22

21

2

11

1

22

Medição de Vazão

A medição de vazão de fluidos está presente em nosso dia-a-dia. Por exemplo, o

hidrômetro de uma residência, o marcador de uma bomba de combustível nos veículos,

etc.

A escolha correta de um determinado instrumento para medição de vazão depende

de vários fatores. Dentre estes, pode-se destacar:

• Exatidão desejada para a medição;

• Tipo de fluido: líquido ou gás, limpo ou sujo, número de fases, condutividade

elétrica, transparência, etc;

• Condições termodinâmicas: por exemplo, níveis de pressão e temperatura nos

quais o medidor deve atuar;

• Espaço físico disponível;

• Custo, etc.

Os três dispositivos mais utilizados para medir a vazão instantânea em tubos são a

placa de orifício, o bocal e o Venturi. Cada um destes medidores opera sob o mesmo

princípio: uma diminuição na seção transversal do escoamento provoca um aumento na

velocidade que é acompanhada por uma diminuição da pressão. A correlação da

diferença de pressão com a velocidade fornece um meio para medir a vazão

volumétrica.

As aplicações são muitas, indo desde aplicações simples como a medição de

vazão de água em estações de tratamento e residências, até medição de gases

industriais e combustíveis, passando por medições mais complexas.

8.9 Métodos Diretos

Tanques podem ser empregados para determinar vazão de líquidos em

escoamentos permanentes pela medição do volume ou da massa coletada durante um

intervalo de tempo conhecido. Se o intervalo for longo o suficiente para ser medido com

precisão, as vazões também poderão ser determinadas com precisão.

A compressibilidade deve ser considerada nas medições de volume em

escoamentos de gases. As massas específicas dos gases são em geral muito pequenas

para permitirem a medição direta, com precisão, da vazão em massa.

Em aplicações especializadas, particularmente em utilizações a distância ou

com registros de leituras, os medidores de deslocamento positivo podem ser

especificados. Exemplos comuns incluem os medidores residenciais de água e de gás

natural, que são calibrados para a leitura direta em unidades do produto.

8.10 Medidores de Vazão de Restrição para Escoamentos Internos

A maioria dos medidores de restrição para escoamentos internos (exceto o

elemento de escoamento laminar) baseiam-se no princípio da aceleração de uma

corrente fluida através de alguma forma de bocal, como mostrado na Figura abaixo:

A separação do escoamento na borda viva da garganta do bocal provoca a

formação de uma zona de recirculação, como mostrado pelas linhas tracejadas à

jusante do bocal. A corrente principal do escoamento continua a acelerar-se após a

garganta formando uma vena contracta na seção (2) e em seguida, desacelera-se para

preencher o duto.

Na vena contracta, a área de escoamento é um mínimo, as linhas de corrente

são essencialmente retilíneas e a pressão é uniforme através da seção do canal.

A vazão teórica pode ser relacionada com o diferencial de pressão entre as

seções (1) e (2) pela aplicação das equações da continuidade e de Bernoulli. Em

seguida, fatores de correção empíricos podem ser aplicados para se obter a vazão real.

Fig. 1

Considerações:

1. Escoamento permanente

2. Escoamento incompressível

3. Escoamento ao longo de uma linha de corrente

4. Não há atrito

5. Velocidade uniforme nas seções (1) e (2)

6. Não há curvatura nas linhas de corrente nas seções (1) e (2), logo a pressão é

uniforme ao longo dessas seções.

7. z1 = z2

Então, da Equação de Bernoulli,

e da continuidade,

Resolvendo para a velocidade teórica, V2,

a vazão em massa teórica é dada então por:

A Eq. 5 mostra a relação geral entre vazão em massa e queda de pressão para

um medidor de restrição: a vazão em massa é proporcional à raiz quadrada da

diferença de pressão entre as tomadas do medidor. Essa relação limita as vazões que

podem ser medidas com precisão a uma faixa restrita.

Alguns fatores de seleção de um medidor, como custo, precisão, necessidade de

calibração e facilidade de instalação e manutenção, são comparados para medidores

de placa de orifício, de bocal e de Venturi, na Tabela 4.

2

2

1

2

22

1

2

221 122 V

VVVVpp

2

1

2

2

2

12211

A

A

V

VAVAV

2

12

212

1

2

AA

ppV

21

2

12

2 21

ppAA

Amteórico

Eq.5

Eq.4

8.10.1 A Placa de Orifício

A placa de orifício (Figura abaixo) é uma placa fina que pode ser interposta

entre flanges de tubos. Como a sua geometria é simples, é de baixo custo e de fácil

instalação e reposição.

A borda viva do orifício não deve ficar incrustada com depósitos ou matéria em

suspensão. Contudo, material em suspensão pode se acumular no lado da entrada de

um orifício concêntrico num tubo horizontal; um orifício excêntrico pode ser colocado

rente com o fundo do tubo a fim de evitar esse problema.

As principais desvantagens do orifício são a sua capacidade limitada e a

elevada perda de carga permanente devida à expansão não controlada à jusante do

elemento medidor.

8.10.2 O Bocal Medidor de Vazão

Bocais podem ser empregados como elementos medidores tanto em câmaras

pressurizadas quanto em dutos, conforme mostrado na figura abaixo; a seção do bocal

é aproximadamente um quarto de elipse.

Fig. 2

Fig. 3

Para instalação em câmara pressurizada, os bocais podem ser fabricados de

alumínio expandido, fibra de vidro moldada ou outros materiais de baixo custo. Eles

são de fabricação e instalação simples e baratas. Como a pressão na câmara é igual a

p2, a localização da tomada de precisão de jusante não é crítica.

Medidores adequados a uma ampla faixa de vazões podem ser feitos instalando-

se diversos bocais numa câmara de pressão. Para baixas vazões, a maioria deles pode

ser bloqueada. Para vazões maiores, mais bocais podem ser usados.

8.10.3 O Venturi

Os medidores de Venturi, como esquematizados na Tabela 4 são em geral

fundidos e usinados com tolerâncias muito pequenas. Como resultado, os medidores de

Venturi são pesados, volumosos e caros.

A seção do difusor cônico à jusante da garganta dá excelente recuperação de

pressão; por conseguinte, a perda de carga total é baixa. Os medidores de Venturi são

também autolimpantes devido a sua superfície interna lisa.

8.10.4 O Elemento Medidor de Escoamento Laminar

O elemento de escoamento laminar é projetado para produzir um diferencial de

pressão diretamente proporcional à vazão. O elemento de escoamento laminar (LFE)

contém uma seção medidora subdividida em muitas passagens, cada uma pequena o

suficiente em diâmetro de modo a assegurar escoamento laminar completamente

desenvolvido.

Como mostrado na Seção 8.3, a queda de pressão no escoamento laminar em

dutos é diretamente proporcional à vazão. Uma vez que a relação entre a queda de

pressão e a vazão é linear, o elemento de escoamento laminar (LFE) pode ser

empregado com razoável precisão.

A relação entre a queda de pressão e a vazão para o escoamento laminar

também depende da viscosidade, que é uma forte função da temperatura. Portanto, a

temperatura do fluido deve ser conhecida para que seja obtida uma medição precisa

com um LFE.

Um elemento de escoamento laminar custa aproximadamente tanto quanto um

Venturi, porém é muito mais leve e menor. Por isso, o LFE está sendo muito empregado

em aplicações onde tamanho reduzido e faixa estendida são importantes.

8.11 Medidores de Vazão Lineares

Medidores de área variável podem ser empregados para indicar diretamente a

vazão de líquidos e gases. Um exemplo é mostrado na figura 5. Em operação, o

flutuador dentro do tubo cônico transparente é carregado para cima pelo líquido em

escoamento até que a força de arrasto e o peso do flutuador se equilibrem.

Tais medidores (comumente chamados de rotâmetros) estão disponíveis com

calibração de fábrica para diversos fluidos comuns e diversas faixas de vazão.

Um rotor com palhetas, livre para girar, pode ser montado numa seção

cilíndrica de um tubo (figura 6), constituindo um medidor de turbina.

Fig. 5

Fig. 6

Com um projeto adequado, a taxa de rotação do rotor pode ser feita

aproximadamente proporcional à vazão em um volume numa ampla faixa.

A velocidade de rotação da turbina pode ser medida usando-se um transdutor

magnético ou modulado, externo ao medidor. Esse método de medida não requer,

portanto, penetrações ou gaxetas do duto.

Desse modo, os medidores de turbina podem ser empregados com segurança na

medição de vazões de fluidos corrosivos ou tóxicos. O sinal elétrico pode ser mostrado,

registrado ou integrado para fornecer informações completas do escoamento.

O medidor eletromagnético utiliza o princípio da indução magnética. Um campo

magnético é criado transversalmente ao tubo. Quando um fluido condutor passa

através do campo, uma tensão elétrica é gerada a ângulos retos em relação aos vetores

campo e velocidade.

Eletrodos colocados diametralmente opostos são usados para detectar o sinal

da tensão resultante. O sinal da tensão é proporcional à velocidade média axial quando

o perfil é axissimétrico.

Os medidores magnéticos podem ser usados com líquidos que têm condutividade

elétrica acima de 100 microsiemens por metro (1 siemen = ampère por volt). A

velocidade mínima de escoamento deve ser superior a 0,3 m/s, mas não há restrições

quanto ao número de Reynolds.

Os medidores ultrassônicos também respondem à velocidade média numa seção

transversal de um tubo. Dois tipos principais de medidores ultrassônicos são comuns: o

tempo de propagação é medido para líquidos limpos, e o deslocamento da frequência

de reflexão (efeito Doppler) é medido para fluidos transportando particulados.

A velocidade de uma onda acústica aumenta no sentido do fluxo e decresce

quando transmitida contra o fluxo. Para líquidos limpos, uma trajetória acústica

inclinada em relação ao eixo do tubo é usada para inferir a velocidade do escoamento.

Trajetórias múltiplas são usadas para medir a vazão em volume com precisão.

Os medidores ultrassônicos de efeito Doppler dependem da reflexão das ondas

sonoras (na faixa de MHz) em partículas espalhadas no fluido. Quando as partículas se

movem com a velocidade do escoamento, a mudança de frequência é proporcional à

velocidade do fluido; para uma trajetória adequadamente escolhida, o sinal de saída é

proporcional à vazão em volume.

Fenômenos dos Transportes

Capítulo 9 - Escoamento Externo Viscoso, Incompressível

9. Escoamento Externo Viscoso, Incompressível

Escoamentos externos são escoamentos sobre corpos imersos em um fluido sem

fronteiras. Os escoamentos sobre um cilindro (figura 7.a) é um exemplo de escoamento

externo.

Diversos fenômenos que ocorrem no escoamento externo sobre um corpo são

ilustrados no esboço do escoamento viscoso com alto número de Reynolds sobre um

aerofólio (figura 8).

O escoamento de corrente livre divide-se no ponto de estagnação e circunda o

corpo. O fluido em contato com a superfície adquire a velocidade do corpo como

resultado da condição de não deslizamento.

Camadas limites formam-se tanto na superfície superior quanto na superfície

inferior do corpo. (Na figura 8, as espessuras das camadas limites em ambas as

Fig. 7

Fig. 8

superfícies estão exageradamente ampliadas por motivo de clareza.) O escoamento na

camada limite é inicialmente laminar.

A transição para escoamento turbulento ocorre a alguma distância do ponto de

estagnação, dependendo das condições da corrente livre, rugosidade da superfície e

gradiente de pressão. Os pontos de transição estão indicados por “T” na figura.

A camada limite turbulenta a jusante da transição cresce mais rapidamente do

que a camada laminar a montante. Um leve deslocamento das linhas de corrente do

escoamento externo é causado pelo crescimento das camadas limites nas superfícies.

Numa região de pressão crescente (um gradiente adverso de pressão), a

separação do escoamento poderá ocorrer. Os pontos de separação estão indicados por

“S” na figura. O fluido que estava nas camadas limites na superfície do corpo forma a

esteira viscosa atrás dos pontos de separação.

O aerofólio da figura 8 é submetido a uma força resultante das forças de

cisalhamento e de pressão que atuam nas suas superfícies. A componente da força

resultante paralela ao escoamento uniforme a montante, U∞, é chamada de força de

arrasto; a componente da força resultante perpendicular a U∞ é chamada sustentação.

A presença de separação do escoamento impede a determinação analítica de

sustentação e arrasto.

9.1 O Conceito de Camada Limite

O conceito de uma camada limite foi introduzido primeiro por Ludwig Prandtl,

um alemão estudioso de aerodinâmica, em 1904. Prandtl mostrou que muitos

escoamentos viscosos podem ser analisados dividindo-os em duas regiões, uma perto

das fronteiras sólidas, a outra cobrindo o restante do escoamento.

Apenas na delgada região adjacente a uma fronteira sólida (a camada limite), o

efeito da viscosidade é desprezível e o fluido pode ser tratado como invíscido.

O Conceito de camada limite forneceu o ela que faltava entre a teoria e a

prática. Além disso, esse conceito permitiu a resolução de problemas de escoamentos

viscosos.

Problemas os quais seriam impossíveis de resolver pela aplicação das equações

de Navier-Stokes ao campo de escoamento completo. Dessa forma, a introdução do

conceito de camada limite marcou o começo da era moderna da mecânica dos fluidos.

Da mesma forma que um duto, o escoamento em uma camada limite pode ser

laminar ou tubular. Não há valor singular do número de Reynolds no qual ocorre a

transição de regime laminar para turbulento na camada limite.

Entre os fatores que afetam a transição em uma camada limite estão gradiente

de pressão, rugosidade superficial, transferência de calor, forças de campo e

perturbações de corrente livre.

Em muitas situações reais, uma camada limite desenvolve-se sobre uma

superfície longa essencialmente plana. Os exemplos incluem escoamentos sobre casos

de navios, submarinos, asa de aviões e movimentos atmosféricos sobre terreno plano.

Um painel qualitativo do crescimento da camada limite sobre uma placa plana é

mostrado na figura 9. A camada limite é laminar por uma curta distância à jusante da

borda de ataque; a transição ocorre sobre uma região da placa em vez de em uma

linha única transversal à placa.

A região de transição estende-se para jusante até o local onde o escoamento de

camada limite torna-se completamente turbulento.

Para escoamento incompressível sobre uma placa plana lisa (gradiente de

precisão zero), na ausência de transferência de calor, a transição de escoamento

laminar para turbulento na camada limite pode ser retardada para um número de

Reynolds.

9.2 Espessuras de Camada Limite

A camada limite é a região adjacente a uma superfície sólida na qual as forças

viscosas são importantes. A espessura de perturbação ou simplesmente espessura, δ, da

camada limite é usualmente definida como a distância da superfície ao ponto em que a

velocidade é 99% da velocidade de corrente livre.

Fig. 9

Como o perfil de velocidade na camada limite une-se suave e assintoticamente

com a velocidade de corrente livre, a espessura de camada limite, δ, é difícil de medir.

O efeito das forças viscosas na camada limite é retardar o escoamento. A vazão

em massa adjacente a uma superfície sólida é inferior àquela que passaria pela mesma

região na ausência de uma camada limite.

A espessura de deslocamento, δ*, é a distância pela qual a fronteira sólida teria

que ser deslocada num escoamento sem atrito para dar o mesmo déficit de vazão em

massa que existe na camada limite.

A diminuição de fluxo dentro da camada limite também acarreta uma redução

em fluxo de quantidade de movimento (comparado com o escoamento não viscoso)

numa seção.

Na ausência de forças viscosas, seria necessário mover a fronteira sólida para

dentro do escoamento a fim de obter uma deficiência de quantidade de movimento, com

essa distância (a espessura de quantidade de movimento) denotada por θ.

A espessura de quantidade de movimento, θ, é definida como a espessura de

uma camada de fluido, com velocidade U, para a qual o fluxo de quantidade de

movimento é igual ao déficit do fluxo de quantidade de movimento através da camada

limite.

As espessuras de deslocamento e de quantidade de movimento, δ* e θ, são

espessuras integrais porque as suas definições, Eqs. 12 e 13 estão em termos de

integrais através da camada limite.

Como elas são definidas em termos de integrais cujos integrandos desaparecem

na corrente livre, elas são apreciavelmente mais fáceis de avaliar, com precisão, a

partir de dados experimentais do que a espessura de perturbação, δ, da camada limite.

Esse fato, juntamente com os seus significados físicos, é responsável pelo uso

comum dessas espessuras de camada limite.

dyU

u

0

1

Eq.12

dyU

u

U

u

0

1

Eq.13

9.3 Camada Limite Laminar de Placa Plana: Solução Exata

A solução para a camada limite laminar numa placa plana horizontal foi obtida

por H. Blasius, aluno de Prandtl, em 1908. Para escoamento bidimensional,

permanente, incompressível, com gradiente de pressão nulo.

A espessura de camada limite é dada por :

E o coeficiente de tensão de cisalhamento na parede, Cƒ, é dado por :

Esses resultados caracterizam o comportamento da camada limite laminar

sobre uma placa plana.

9.4 A Equação Integral da Quantidade de Movimento

Métodos aproximados podem ser empregados para obter soluções para o

escoamento de camada limite laminar. Os mesmos métodos aproximados podem ser

usados para determinar características do desenvolvimento de camada limite

turbulenta.

Como soluções exatas para camadas limites turbulentas não existem, técnicas

de soluções aproximadas são necessárias nesse caso.

Através de uma análise que possibilita obter, com razoável precisão, a

espessura de uma camada limite laminar ou turbulenta, como uma função da distância

ao longo de um corpo (x), pretende-se desenvolver uma equação que nos capacite a

prever (pelo menos aproximadamente) a maneira pela qual a camada limite cresce

como uma função de x.

Uma relação que pode ser aplicada tanto ao escoamento laminar quanto ao

turbulento; a relação não é restrita aos escoamentos com gradientes de pressão nulos.

x

wf

UC

Re

664,02

21

x

x

xU Re

0,50,5

Eq.14

Eq.15

A partir da equação da continuidade e da equação da quantidade de movimento,

usando as definições de espessura de deslocamento (Eq. 12), *, e espessura de

quantidade de movimento (Eq. 13), , obtém-se:

A Eq. 16 é a equação integral da quantidade de movimento. Essa equação

resultará numa equação diferencial ordinária para a espessura de camada limite,

desde que seja admitida uma força adequada para o perfil de velocidade e que a tensão

de cisalhamento na parede possa ser relacionada com outras variáveis.

Uma vez determinada a espessura de camada limite, as espessuras de

quantidade de movimento e de deslocamento, e a tensão de cisalhamento na parede

podem ser calculadas.

A Eq. 16 foi obtida pela aplicação das equações básicas (continuidade e

quantidade de movimento segundo x) a um volume de controle diferencial.

Verifica-se que a equação fica restrita a escoamento permanente,

incompressível e bidimensional, sem a presença de forças de campo paralelas à

superfície devido às superposições feitas.

Pelo fato de não ter sido feita nenhuma hipótese específica relacionando a

tensão de cisalhamento na parede, τw, com o campo de velocidade, a Eq. 16 é válida

para escoamento de camada limite tanto laminar quanto turbulento.

9.5 Uso da Equação Integral da Quantidade de Movimento para

Escoamento com Gradiente de Pressão Nulo

Para o caso especial do escoamento sobre uma placa plana, U = constante e

dp/dx = 0 (gradiente de pressão nulo).

Definindo:

Eq.16

dx

dUUU

dx

dw

2

dyU

u

U

u

dx

dU

dx

dUw

1

0

22

Eq.17

y ddy

A equação integral da quantidade de movimento para gradiente de pressão zero

é escrita

Resolvendo essa equação para a espessura de camada limite como uma função

de x, a equação integral da quantidade de movimento torna-se:

Que é uma expressão para τw em termos de δ, o que permitirá resolver para

δ(x).

9.5.1 Escoamento Laminar

É definido como o escoamento no qual o fluido se move em camadas, ou

lâminas, ao longo de trajetórias bem definidas, seguem linhas de fluxo contínuas onde

as mesmas não se cruzam, preservando sua característica no meio.

As partículas movem-se de forma ordenada em planos paralelos, mantendo

sempre a mesma posição relativa. Uma camada escorrega sobre a adjacente havendo

somente troca de quantidade de movimento molecular.

Qualquer tendência para instabilidade e turbulência é amortecida por forças

viscosas de cisalhamento que dificultam o movimento relativo entre as camadas

adjacentes do fluido. Este tipo de regime somente se estabelece em velocidades

relativamente baixas e geralmente em fluídos que apresentem grande viscosidade.

Para escoamento laminar sobre uma placa plana:

A Eq. 20 mostra que a razão entre a espessura de camada limite laminar e a

distância ao longo de uma placa plana varia inversamente proporcional com a raiz

quadrada do Re.

dU

u

U

u

dx

dU

dx

dUw

1

1

0

22

Eq.18

dx

dUw

2

Eq.19

x

x

Uxx Re

48,530

Eq.20

Ela tem a mesma forma que a solução exata deduzida das equações diferenciais

completas do movimento por H. Blasius. A Eq. 20 “erra” somente em 10% em

comparação com a Eq. 14 da solução exata.

Uma vez conhecida a espessura de camada de limite, todos os detalhes do

escoamento podem ser determinados. O coeficiente de tensão de cisalhamento na

parede é definido como:

O mesmo para o coeficiente de tensão de cisalhamento. A Eq. 21 “erra”

somente em 10% em comparação com a Eq. 15 da solução exata.

Cada um dos resultados para a espessura de camada limite, δ, e para o

coeficiente de atrito superficial, Cƒ, Eqs. 20 e 21, dependem do número de Reynolds,

Rex, elevado à potência ½.

A espessura de camada limite aumenta segundo x^½, e o coeficiente de atrito

superficial varia de acordo com 1/x^½. Esses resultados caracterizam o comportamento

da camada limite laminar sobre uma placa plana.

Exemplo 2

5. Camada Limite Laminar sobre uma Placa Plana: Solução Aproximada

Considere o escoamento de camada limite laminar, bidimensional, ao longo de

uma placa plana. Admita que o perfil de velocidade na camada limite é senoidal.

Determine: a)δ e b)δ*

Considerações:

• Escoamento permanente e incompressível

• u/U =

η

•

x

wf

UC

Re

730,02

21

Eq.21

ysen

U

u

2

2

Uw

dU

u

U

u

dx

dU

dx

dUw

1

1

0

22

dU

u

1

01

x

xRe

8,4

1

0

221

0

2

2221

2

dsensen

dx

dUdsensen

dx

dUw

000

410

2

4

1

22

1

2cos

2 2

1

0

2

dx

dUsen

dx

dUw

dx

dUw

2137,0

dxU

d

5,11 cx

U

5,11

2

2

U

x

0,23

x

xUxx

Re

80,480,4

1

0

1

0 2cos

2

21

dsen

21

2001

9.5.2 Escoamento Turbulento

Escoamento turbulento é aquele no qual as partículas do fluido apresentam

movimento caótico macroscópico, não se movem ao longo de trajetórias bem definidas,

isto é, possui movimento aleatório. Esse movimento irregular produz uma transferência

de quantidade de movimento entre as regiões de massa líquida do fluido.

A velocidade apresenta componentes transversais ao movimento geral do

conjunto do fluido e em um dado ponto pode mudar em valor e direção. O surgimento

de um escoamento turbulento depende da velocidade do fluido, sua viscosidade, sua

densidade, e o tamanho do obstáculo que ela encontra.

Este escoamento é comum na água, cuja viscosidade é relativamente baixa.

Outro exemplo é a fumaça de um cigarro em sua parte superior quando ela inicia a

trocar significativamente calor com o meio. Este tipo de regime se estabelece em

velocidades relativamente altas.

A complexidade matemática do escoamento turbulento dificulta seu uso com a

equação integral da quantidade de movimento. Ela é aproximada, então um perfil de

velocidade adequado para camadas limites turbulentas sobre placas planas é o de um

expoente de ⅟₇ usado para modelar o perfil de velocidade turbulento.

Para escoamento turbulento sobre uma placa plana:

E o coeficiente de atrito superficial, Cƒ, é dado por:

51

51

Re

382,0382,0

x

x

Ux

u

x

Eq.22

51

Re

0594,02

21

x

wf

UC

Eq.23

x

x

Re

74,1

x

xxx

Re

74,1

Re

80,421

Cada um dos resultados para a espessura de camada limite, δ, e para o

coeficiente de atrito superficial, Cƒ, Eqs. 22 e 23, dependem do número de Reynolds,

Rex, elevado à potência ⅕.

A espessura de camada limite aumenta segundo x^⅕, e o coeficiente de atrito

superficial varia de acordo com 1/x^⅕. Esses resultados caracterizam o

comportamento da camada limite turbulento sobre uma placa plana.

Exemplo 3

6. Camada Limite Turbulenta sobre uma Placa Plana: Solução Aproximada

Uma água escoa a U = 1m/s sobre uma placa com L = 1m no sentido do

escoamento. A camada limite é provocada de modo a se tornar turbulenta na borda de

ataque. Avalie a espessura de perturbação, δ, a espessura de deslocamento, δ*, e a

tensão de cisalhamento na parede τw para x = L. Perfil de velocidade de potência de ⅟

₇.

Considerações:

• x = L

• ν = 1,00 x 10⁻⁶ m²/s para a água em T = 20°C

• u/U = (y/δ)^⅟₇ = η^⅟₇

51

Re

0594,02

21

x

wf

UC

51

Re

382,0

x

x

9.6 Gradientes de Pressão no Escoamento da Camada Limite

O gradiente de pressão é dito ser adverso se a pressão aumenta no sentido de

escoamento (se

> 0). Quando

< 0 (quando a pressão diminui no sentido de

escoamento), o gradiente de pressão é dito ser favorável.

Considere o escoamento através de um canal de seção transversal variável,

mostrado na figura 10. Para simplificar a discussão, considere o escoamento ao longo

da parede retilínea.

mmL 01,3

287,1 mNw

1

0

1

0

1

00

* 78

71

8

7111

LLLL dy

dU

udy

U

u

mmmmL

L 01,38

1,24

8

*

00375,0Re

0594,0

51

x

fC

mkg

sN

s

m

m

kgUC fw

2

2

22

3

2 19992

100375,0

2

1

mmL

L

L 0241,0110

382,0

Re

382,0

51

51

6 mmL 1,24

6

2610

1011Re

m

sm

s

mULL

Se considerarmos as forças atuando sobre uma partícula fluida perto da

fronteira sólida, verificamos que há uma força de cisalhamento resultante, retardadora,

sobre a partícula, não importando qual seja o sinal do gradiente de pressão.

Para

= 0, o resultado é um decréscimo em quantidade de movimento, mas ele

não é suficiente para levar a partícula ao repouso.

Como

< 0 na região 1, a pressão atrás da partícula (ajudando o seu

movimento) é maior do que aquela opondo-se ao movimento; a partícula está

“deslizando para baixo numa colina de pressão”, sem risco de ser trazida à velocidade

zero.

Entretanto, ao tentar o escoamento pela região 3, a partícula encontra um

gradiente de pressão adverso,

> 0, e deve “escalar a colina de pressão”.

A partícula fluida poderia ser levada ao repouso, causando então a deflexão

para longe da fronteira sólida do fluido vizinho; quando isso ocorre, diz-se que o

escoamento separou-se da superfície.

Logo a jusante do ponto de separação, o sentido do escoamento na região

separada é o oposto ao sentido do escoamento principal. O fluido de baixa energia na

região separada é forçado de volta para montante pela pressão a jusante aumentada.

Dessa forma, verificamos que um gradiente de pressão adverso,

> 0, é uma

condição necessária para a separação.

A separação ocorre quando a quantidade de movimento de camadas de fluido

adjacentes perto da superfície é reduzida a zero pela ação combinada de forças

viscosas e de pressão.

A camada turbulenta é mais capaz de resistir à separação num gradiente de

pressão adverso.

Fig. 10

Os gradientes de pressão adversos causam importantes mudanças nos perfis de

velocidade para ambos os escoamentos de camada limite, turbulento e laminar.

Soluções aproximadas para escoamento com gradiente de pressão diferente de

zero podem ser obtidas da equação integral de quantidade de movimento (Eq. 16):

Expandindo o primeiro termo:

ou

A Eq. 24 mostra o “fator de forma” do perfil velocidade, H, onde é H = δ*/θ.

Esse “fator de forma” aumenta num gradiente de pressão adverso.

Referências

[1] Fox, R. W. e McDonald, A. T., Introdução à Mecânica dos Fluidos, 5ª Edição,

Livros Técnicos e Científicos Editora, 2001.

Eq.1

dx

dUU

dx

dUw

22

dx

dU

UH

dx

dC

U

fw

2

22

Eq.24

dx

dUUU

dx

dw

2