APOSTILA GEOMETRIA ANALITICA

5/17/2018 APOSTILA GEOMETRIA ANALITICA - slidepdf.com

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MAT EIU AL D E PA ST A

P!t'ita: 7..3_ Lctrs: __ ..__~N° Fl~ _:j-,6

pruL_~ f~k1-/1_I~~ __: '_----.---.

Texio N":_.----Obs.:_~ -



CAPiTULO!

o ESPA(,O VETORIALRz

1.0 conjunto R2

Representarnos par lR.?a .conjunto de todos as pares ordenados de numeros

reais, au seja:

yy

]Rl = {(x, y) I x E lR eyE 1R}

Par exemplo, sao elementos de IR 2 os pares (3,4), (- 2, 7), (; , 0) ,

(-..;2, -V2), (~ ,-1) ,(0, 2y'3), etc.

Cada__lemento do__R 2 podeser associado a urn ponto de um plano no qual

fixamos um - sistema de coordenadas conforme indicamos a seguir.

Yp

--------·lI

I

I

I

II

II

B < p - _ _

1

1

F 1

A------<?E 1

I1

I)

: 01I

0-------C

III

I

II

-----0

n

-x

xA= (4,3) B= (-2,2)

O={3,-3) E=(O,2)

c= (-4,-2)F= (-3,0)= Ixp• Yp)

2. Igualdade e operaeoes com pares -ordenados

a) Igualdade

D izem os qu e os pares ordenados (x ., yd e (Xl, Yl) sao igu ais se, e so rnente

se , Xl = Xl e Yl =Yl'

exemplo 1

(a, b) = (-2, 3) = = = = > a = -2 e b=3

exemplo 2

-, = = >_ { x + 1= °(x + 1, y - I),§: (0, 1) ==> X = - 1 e Y ;:; 2

y - 1 = 1

b) Adiriio

Charnamos soma dos pares (xi, Yl) e (Xl, Yl) ao par (x, + Xl, Yl +Yi) e

indicamos: --

1exemplo 3

(3,1)+ (2, -4) ~ (3+ 2, 1 - 4) = (5, -3)



c) MultiplicQfiio por numero real

. Chamamos produto do numero real k pelo par (x, y) ao par (kx, ky) e

indicamos:

exemplo 4

9(5, - 3) = (9· 5, 9· (-3») = (45, -27)

d) Propr iedade:

Sejam A = (x., yd, B = (x:!. yz) e C = ( X 3 , . Ya) tres elementos quaisquer

do r n ? e sejam ke m dois numeros reais quaisquer, Podemos constatar as seguintes

propriedades das operaeoes com pares ordenados:

H) associativa: (A + B) + C = A + (B + C)

2~) comutativa: A + - B =B+- A

3~) elemento neutro da adicao: e 0 par 0 = (0, 0). Ternes:

A+O=A

4!!) oposto de A: e 0 par -A = (-Xl' -Yl)' Temos:

A + (-A) =0

A soma A + (-B) indica-se por A-B.

5!!) k(A + B) = kA + kB

6~) (k + rn)A = kA + rnA

7if) k(mA) = (km)A

84}) 1· A = A

. e xemplo 5 . "".. '.

Dados A= (3,7), B= (-:-2, l)e C= (4,4) temosA + B -'- 2C= (3, 7)+ .

+ (-2,1) -2(4,4) = (3 -2- 8;7+(- 8)=(-7, 0),

NOTA: Por serern verdadeiras estas oito-propriedades; a conjunto'R? com as

operacoes definidas e chamado lim espayo vetorial.real. Adiante veremos que os

elementos do1R2podem set associados aosvetores de urn piano.

EXERC1C lOS

·1.. Dar as coordenadas dos pontes indi-

cadosna figura. .

y

CA

I G la

H1 F

.. ' .' 0 1 x·

I

D E .

.'.



2. Entre os pontosA (4,0), B (- 3,1), C (0, -7), D ( i - ,0) , E(O, -J3) e F (0,0).

a) quais estdo no eixo das abscissas (eixo dos x)?

bf quais estiio no eixo das ordenadas (eixo dos y)?

~ 3. Dizemos qlle urn ponto P (x, y) esta .

no 19 quadrante quando x > 0 e y;;. 0

no 29 quadrante quando x ... 0 e y;" 0

no 39 quadrante quando x 0 ; ; ; 0 e y 0 ; ; ; 0

no 49 quadrante quando x;;' 0 e y';: 0

Dar 0 quadrante onde esta 0 ponto P em cada case:

a) P(-7,2) b)P(-./2,-5) C ) p ( - + , - i )

e j r ( ' 7 , ~i~ . j T )) P{- -./2, .J5- 2)

~ 4. Sa xy < 0 em quais quadrantes pode estar. situado 0 ponte P (x,y)?

.~ 5. Em cada caso calcular x e y d~ modo que seja verdadeira a igualdade:

r a) (x,Y) "" (3, 0) b) (x,I) = (-2, y)

c) (2x, y + 3) = (la, 10) d) (x + y, x - y) = (5, 1)

6. Dados A= (3,.2) eB-=CT, 5), -calcnlar,

a) A + B b) 5A c) .-2B

~ 7.. Dados A ::::(- 3, -I} e B:::: .(4, 0), calcular

a)5A+4B .b)7B-3A c)3{2A)-B

\ 8. Dados A = (- 1,4), B = (- 3, - 2) e C = (0,5), calcular

a) A + B + C b) 2A+ B - C )(. 3A - 2B.+ C

. d} 2A+ 3B

d) 5 (3B - 2A)

..,..,4(A+2B)-3(C-B)

9. Dados A = = (3,7), B = (- 1, 2) e C = (11,4), determinar os numeros x e y que tornarn

verdadeira a igualdadc x A + YB :::: C.

Resolu~o

xA + yB = C =:>(3, 7) +y(~l, 2) "'{11,4)

. (3x, 7x) + (-y, 2y) = = (11,4)

(3x = Y, 7x +ly);'" (11,4) .

C D@

lX - y = 11

7x+ 2y =4

De ill vern y;'" 3x- 11; que sJibstiiuimos em (]):

7x + 2 (3x -11) =4 ~ 7~ + 6~,:""22=4 ==> 13x::: 26 ===;:- x = = 2

.:Y= 3x - 11= 3(2)-11 = - 5. .,"

10. Calcular X . ~ 'i para queseju·verdadeiraa igualdade x (1, 0) + Y(0, n=(4, tv.

ll . Determinar .x e y emcada equacao •

.1!- )(x,O) + 3 (1, y) = (D,O)

b)·3{7,2} - 2(x, si= (6,0)

c) x{3,-1) 4 - y(7,S).= (4,.6). . . . .. ". ~.

12. Calcular x ~ y na equacao X(1,-2}+Y(-2,O}=2(x,y)-3(~,,..x) .. ·

3



19) 0 cornprimento (au modulo): !AD! = !Ee!

29) a direcao: estao em retas paralelas

39) a sentido

3. Vetores no plano

a) Introducdo

No paralelogramo ABeD (figura) os segmentos orientados AD e Be apre-

sentarn em comum:

D c

A

--+ --+ --+Por isto, dizernos ~ AD e BC representam um mesmo vetor v: AD e 0

vetor v aplicado em A e Be e 0 vetor v aplieado em B.

Urn numero real nao negative (denorninado rn6dulo),urna direcao e urn

senti do sao os tres elementos que caraeterizam 0 que denominarnos vetor, ente

que e represent ado geo rnetric arnente atrav es de segmentos orientados.

b) Vetores no plano cartesiano

Na figura indicarnos tres seg-

mentos orientados, AB, CD e OP,

representantes de urn mesmo vetor

u .

B

---~~AI -3 I, ,, ,, ,

-3

Para eada urn destes segmen-

tos, a proje9ao na direcao (orien-

tada) do eixo x tern rnedida alge-

brica - 3, enquanto que a projecao

na direcao (orientada) do eixo y tern medida algebrica 2. 0 mesmo ocorre coni

qualquer outro segrnento orientado que represente 0 vetor u, istc e, que tenha 0

mesmo modulo, dire9ao e sentido dos segmentos dados. Podemos assim associar

o vetor u ao par (-3,2) do IR?,eserevendo u = (-3,2).Em geral, todo vetor v do plano cartesiano pode ser associado a urn par

ordenado (a, b) do ]R2. Escrevernos

V"" (a,b)

quando a e b sao,nesta ordem, asmedidas algebricas das projecoes de v nas

d~fev6es (orientadas) dos eixos xe y . Dizernos que v e 0 vetor de componentes(ou coordenadas) a e b.

y y

--~..'

v . ~. b

III1I

a

p

o x o a x o x



V

B

y. -------------_ . . . .

v

V I A

0 xI XlX

X2-Xl> 0 e Vz -YI:> 0

VI

A

onde B - A Ii a diferenca entre os pares ordenados associados aos pontes B e A.

v

Y2B

o

exem plo 6

A=(l,-l)}

B=(5,1)

__..=>v = AB= B - A= (5 - 1,1 -(-1») = (4,2)

d) A.r operacoescom vetores

adirao

Dados dois vetores u e v,i soma u + v corresponde a soma dos pares orde-

nados associados a u e v.

.y k>O···Y

y

mpltiplicarao por numero real

Dado urn nurnero real k e urn vetor v, ao produto kv corresponde 0 produto

de k pelo par ordenado associado a v.

5



- . _ - ... .2AB +5BC - CA=2(B - A ) +5(C - B ) - (A7-C) =

= 2B ~ 2A + 5C c- 5B - A + C = -3A - 3B + 6C =

=-3(11, -r- 7) - 3(0,3) + 6(-1, I) = (- 39,18)

exemplo 7

Dados A = (11, -7), B = = (0, 3) e C = (-1,1) vamos calcular 0 vetor- - - .2AB + SBC - CA. Temos:

A S = B - A=(0,3) - (11,-7) =, (-11, 10)

B e = C - B = (~1, 1) - (0,3) =(-1, -2) ..

c A =A - C= (11,-7) ~ (-1,1) = (12,-8)

logo 2 A B + S B C -cA =2(-11,10) + 5(-1, -2) - (12,"":8) = (-39,18).

o calculo tambern pode ser efetuado como segue:

EXERCIClOS

13. Dar 0 par ordenado associado ao vetor v nos cases:

a)y

c)

-~------V 1

_ , . 1

I . I! . 1

yb)

y

x x x

d) yf)

v . e) .

. .

.

1.-- . :'

I I·

··G'·1

. 1

,--C_-~--_-'C-. , 1

1 :I ,

14. Determlnaras componentes (coordenadasjao vetor A l i · nos cases, . . . . .

a) A = = (2;1) eB ~(4, 6). ., .

b)A=(7,5) eB:.=(l,i)

d) A = (1,0) eB·~ (0,3)

f)·A "" (2; 5)·e B '"=(2,2)

h) A""(O,O) e B=;:(x,Y)

c).A =(-2, O)eB = = (3, -'-I)

e) A= (4,3) e B = (4,5)'. .' ,'.

g) A = (3, -1) eB = (10, -1). .'. .- : ~' " - '. '

f15. Dados A : . . : : (..,.2, 3),B = (2,0), C = (0,--5) e D =(-4, - 2), verificar que os.vetores

A B .e D C sao 19u!lls eque osvet~res A D ~ C D sao o p o s t o s , Osporitos A , B , C eD ~aoos. _ .

vertices de quequadrilatero? _ .

'_", : , " . : ' , ';...... ' , _ " ... : .. : . . . . . . . " .: - ... ,~

16.. Dados A=.· (2, 1), B = (5, - 1) e C·= (~4, O};-calcuiaro vetor 'soma dos vetores AB eA C . - . . . . . . .

. -

\ r t - J 17. DadosA = (O,l), B =. (-3, 1), C = (4,4)f) .D = (5,"""2), calcular os seguintes veto~es

. a) A i i + 2ED . ... b)3AC-2DB· .



21. Determinar ~s coordenadas do ponto medio M do segmento de extremidades A ;; [x ; y ,)

e B = = (x., y.).. .

r ) : 19. Dados A :0; (3, 7) e B== (n, 19), determiner 0 ponto C tal que ;t: ==! B .

r . . _ i f J 20. -Os vetores u = (3,4), v= (2a, 7) e w = = (I, 3b) satisfazem a equacao 2u - v + 3w =0,)ronde 0 indica 0 velar milo - .Calcular a e b..

4. Aplicacoes:pontomedio e baricentro

Resolu~ao

I

II

Y ----~ ....---I

I

I II IYl .J__ -'-'_I. __ .__ B

. tilI : l

, :

Sendo M 0 pan to media de AB, as

..vetores A M e M B possuem comprimentos:

iguais, mesma dire~ao e.mesmo sentido,

Logo A M = M B . Ternes entao:

M~A=B-M

2M = = A + B

au seja:

o x M = (xl' Y.) + (x" y,) =.. 2 .

(x,·+x,. Y, + Y 1 )

= -2-'---r-

22. Dar a ponto media do segmento de extrernidades A = P,7) e B = = 01, - 1).

Resolucao

M :0; A .~ B = (3: 7) + ? 1, -1) = e; 11 ,7; 1),;(7, 3).23. Daro ponto media do segmento ABnos casas:

a) A=(2,l) e B=(6,9) b) A==(-1,-4) e B=(7;-1)

c) A = = (3, 0) e B = (- 3, 0) .(. 1 )d} A=2'''' I.e B:: {5,-I}

e}A = (~2 1 ' .~ ) e .B = = (12;- !)

24. Dcterminar ospontos medias dosIados do~triingplo de vertices.A(-ll, 1), BFl,?) eC~-~ .....

. .

25. Obter as pontos que dividem 0 segmento de extremidades A(2, 4) e B(14, 13) em tres.partes iguais, : . . ... .

Resolucao

B

Devemos obter os pontos C e D·taisque.. .' 1 ···2·

X C = 1 " A B e A D ; ; TAB,

Ternos:

.. -;-ot . 1 - - - - > , .AI,;"""TAB==> C .;_.A=

·lB+2A=3(B~ A)~ c = = - - ; '-3-

logo:

. C= (14,13) + 2'(2,4) -'-......... 3· -

_ 04, 13)+ (4,8) .... ...

.~ 3· ·=(6,7)

" . . .

D:: C .f . B= (6,7) +(14;13) _ (1 .. .7·

Notando que D e o ponte medic de CB'p~demos obter Dcomosegue ...



··2 . .. 2 . ....- 0, 10).

c

26. Obter os pontes que dividern em tIeS partes iguais 0 segmento de extrernidades A(- 3,2)

e B(12, -7).

27. Obter os pontes que dividem em cinco partes iguais 0 segmento de extremidades A (1, 0) eB(-9,S). .

28. Entre os pontes que dividern Q segmento AB, A (7, - 1) e B (- 5,5), em seis partes

iguais, determinar aquele que esta mais proximo de A .

.,j

rf 29. Prolonga-se 0 segrnento AB, A (L, 2) e B (5, 4), no sentldo de A para B, ate 0 ponto P

> :I tal que 0 comprimento de AP e 0 triplo de AB. Deterrninar 0 ponto P.

30. 0egmento AB e prolongado, no sentido de A para B,ate urn ponto e tal que 0 cornpri-menta de Be e 0 quintuplo de AB. Dados A{3, -1) e B(4, - 3), obter C .

A

31. 0 ponto simetrico do ponto A, rcla-

tivamente ao ponte B , e 0 ponto C

tal que B e 0 ponto media de AC.

Dados A (3, in e B(5, 8), obter C.

32. Dais vertices de urn paralelograrno sao A(3,5) e B(5,3). Sendo M(l,-I) 0 ponto

media das diagonals, obter os outros vertices.

33. Os pont os A (3,0) e e (0, 7) ~ao extremidades de uma diagonal de urn paralelograrno.

Dado. tambem 0 vertice B(4,4), obter.cvertice D do paralelograrno.

34. Determinar as coordenadas do baricentro do tridngulo ABC, dados A [xl' y ,), B (Xl' r-) e

c (x" y,). '

Resolu,<ao

o baricentro G e 0 ponto de interseccao

das medianas do triangulo. G divide cada

mediana na razao de 2 para 1, no sen-

tido do vertice para a ponto media do

lado oposto. Sendo M 0ponto .medic

de 'BC temos: '

A G '" 2 a M = = = = : : . G - A '" 2 (M - G)

3G=A+2M

. ( B + C )G=A+2 -2-,

, ,

A

logo:

, (xl' y1) + (Xl' yJ + (Xl', y,)G= 3

35. Usando a fomlUla encontrada no exercfcio anterior, obter 0 baricentro do triangulo ABC

nos cases:

it) A{O, 0), B(9, 0), C{O, 6)

b) A(3.2), B(7, 7), C{5, -3)

c)A( -1; ~2), B(0; - 4), e (1,6)

d) A(a + 1, a -1), B(-I, l);C(1-a, 1 + a)

,~~36. Numjrianguto de baricen~o G ( 0 , t),dOiS d~s vertices sao Ah,n e B

Obter '0 outre vertice.

( - , 2 , ; ) .

37. Num triangulo de bariccntro G (6,2), dais dos Ladas 'tern pontes medics M (7,4) e

,N C , ; ) : Obter os verticesdotriangulo~ 8



CAPiTULO!!

PRODUTO INTERNO NO R 2

1. Produto escalar de dois vetores

Chamamos produto escalar (ou produto interne usual) de dois vetores

U = (Xl> Yl) e v = (X'l' Y2 ) do lR ? ao num ero real XIX'l + YIYl' Indicamos este

numero pelo simbolo u . v, cuja leitura e "u escalar v". '

Adiante veremos a interpretacao geornetrica deste produto.

'exempio i

Sendo u = (5,3), v = (2,4) e w = (- 6,1) temos:

U·V =5 • 2 + 3 • 4= 22

v· w = 2 (- 6) + 4 • 1 = - 8

U'u =5·5+3·3=34

o prod uta escalar goza das seguintes propriedades:

H) u • u ;;;.0 e u· U = 0 u = 0

2 , ! - ) U· v = v· u

3lJ.) u • (v + w) =u.v + u • w

4lJ.) u • (kv) = k (u- v)

lo t u E 1R.'l, V V EIR2, lo t wE JR 'l e V kE1R. .

exemplo 2

Dados u = (1,2), v = (5, 3) eW=(-3,4) temos:

u.(v+w)= (l~2). (2,7) = 1-2 + 2·7 =16

'u~v +u· Vi =(1~5+ 2.3) + (1· (-3) + 2,4) =11+5 = 16.. .~ .

2. MOduIode umvetor "'\~wA &.~)

Dado o.vetoru ={x, y) do lR2, podemos rnostrar que oseu modulo (compri-

menta) e dado por . .

p

Om6dulo pode-ser expresso usarido 0produto escal~r.De'fato, noternosque

'l.l'U.~ (x,:y), (x, y)= x ., x,+)'.y = X'l+y2 ~ (iul)2

,lin I=:../u ,u l



NOTA: 0 m odulo de u e tam be rn c h am a do norma de u e indicado por lu i ou lIulL

exernplo 3

u = (-6, 8) =::::;> lui = J(- 6y~+ 82 = J36 + 64 = ...;loO = 10

v e to r u nita rio

Umvetor que .p ossu i m o du lo igual ale chamado vet o r unitario,

l · v . t . u n i tiriO <= - -- -- -;;.J ~ I .~ 1 I

Dado urn vetor nao nulo v, 0 vetor ~'= 1 : 1 e urn vetor unitario de mesmaI·

direcao e sentido de v, denominado versor de v. ~ ( f o . ; . J y .

l?~

exemplo 4

o versor de v = (3,4) e 0vetor .

v' = :!_= (3,4). = (3,4) = (2 4,\. lvl ~32 + 41 5 5' 5;

Notemos que e urn vetor unitario:

} ( 3 ) 2 ( 4 ) 2 j9 .16 ' ! 2 5 .Iv'l = . '5 + 5 " = 2 5 + 25= J 2s =.VI= 1.

EXERc laos

t 1. Dados 1 1 = (4,9), v = (2, -1) e w = = (5,10), calcular

a)u. v

~w.u .. '

>t . .u,(v+w)·

b) v , w

d) v ; V .

·"O"

2. Provar que u . ( v + w) = u • v +u , w

(considere u=(a, b), v = (c, d) e w =(x,y) e faca as contas),

3. Dados u::::; (6, -2),v = (-3,4) e w : : : : ; (l,5) calcular

a) u .(v + w)b) (u- v) •w

c) (u + v) • (u -v) d) (4u). V

e) 4 (u • v)

4. Dados u = (,..., 0), v = (I, -2}, w ,,;,(- 3, ., 3) .e z = (0,0), calcular

a) u. v + v· w + w • z b) (u + v) • (2vi. _; z)

5. Calcular 0 modulo dos seguintes vetores:

a) u = (4, 3)

c) w= (-5,0)

e) q =(-3,-3)

b) v:::: ; (- 2,1)

d)p = (7,-1)

f 6.

a)

7.

8.

a)

Dados u= (1, - n, v = (- 3, 4) e w = (- 2,0), calcular

lui . b) Ivl . , i ' U . + V ' Y IV-WI,lI5WI'

A igualdade Iu + vl= lul+ Ivl cverdadeira para VUE IR.~ e V v.ElR'?

Dados U ~ (3, 7)e y= (1, -4),ca.lculai:

lu-e vl b) .l3u - 2vl c) Iu+2vl

10



9. Dados u = (6, - 8) e v =(- 4, - 3), calcular lui + Ivl+ 2 (u • v).

10. Entre os vetores seguintes, quais sio unitarios?

a) (t· Dd) (1, n

b) ( + , - i)

e) (~ , i)

c) (- 1, 0)

u. Calcular os valores de a para os quais 0 vetor u = (; , a) e unitano.

12. Dado u = (a, - 2), calcular os valores de a para que se tenha lui = 3.

13. Dados u = (a + 1, 2) e v = ( - 3, a), calcular 0 valor de a para que se tenha u • v =0.~ .. .

~ 14. Calcular os valores de m para que se tenha (u + v) . (u - v) = O. Dados u = (m, 1) e

v = (2,-1). .

J '~ 15. Dados u = (2, - 1) e v = e x , 0), calcular x de modo que se tenha 2~ • (u + v) ~·-2.·

. 16.. Determinar 0 versor de y nos cases

a) v = (10,0)

d) v=(..j3,-l)

b) v = (0, -6)

e) v = (5, 5)

c) v = (4, 3)

f) v = (2,3)

17. Dados u=-(- 12, -:-5) e v-=-(9, - 12), determinar os vetores

a) ~ + ::!_.. lui Ivl ( u . V )) -- v

v.vb} (u . v)v + (v , u)u

18. Provar que:

a) se u=(x,y) e kEIR,entiio Ikul= lkl lul,

b) se u::: (x, Y,) e v= (x, Y,), entao (IU + vi)' = (lui)' +. (lvl)' + 2(u • v).

y

I

III

II

!.

3. Distincia entre dois pontos

Y 2

A distancia d entre dois pon-

. tos A = ( X l > yd eB = (X 2 ' Y 2 ) e:0 comprimento (modulo) do vetor--+AB. A

YiComo

--+AB=B-A-

exemplo 5

A distancia entre A(1, 3)e B(S, 6) e

d = = V(S _1)2+(6_3)2 =.)42 + 32 = V16+9= 55 = s.

EXERctclOS

J!

I.I'I

II

JI.IIIIJ!

I

IJ X

..

B

19. Calcular a distancia entre A eBnos cases:

a) A = (0,4) e B = (l2, 9) ..A\[A =(-1, ~-5}e B = (0, ~6).

c) A= (4, - l)e B ""(2,3) )1A = (3, I) e B= (7,1)

d c Y 20_ Calcular operimetro do triingulode vertices A (3, - 1), B (6,3) e C(7, 2)_

21. Para que valor de x 0ponto A (x, 2) e equidistante d o s pontes B (1, Ole C (- 1, I)?



A

isto e:

/x

L~.;----P--:_- --- ---B i C

J (1 - X)2 + (0 - 2)' = J c- 1 - X)' + (1 - 2)'

Elcvando ao quadrado ambos as mernbros vern:

1 - 2x + x, + 4 = 1 + 2x + x, + 1

. _ 3

portanto - 4x = - 3 e, entao, x = "4 '

22. Calcular a valor de ydc modo que a ponte (l,y) seja equidistante dos pontos (1,0) e

(0, 2).

23. Dcterrninar urn ponto P que pcrtcnca ao eixo lias x e seja equidistante dos pontes

A(-I,1) e B(5,7).

24. Obter no eixo dos y urn ponto equidistante dos pontes (- 2,0) e (4,2).

25. Calcular a distancia entre a ponto A(l, 1) e 0 ponto simetrico de B(5, 2) em relacao ao

eixo dos x.

26. Os pontos A (1, 1) e B (6, 4) sao ex tremidades de urn Iado de urn quadrado. Qual c a

area dcste quadrado?

4. Paralelismo e ortogonalidade

a) Condiciio de paralelismo de dais vetores

Quando dois vetores u e v do m . .2 sao paralelos, suas representacoes georne-

tricas pm segmentos orientados, a partir da origem 0, ficarn sobre uma mesma

reta.

y

v

- - / ~ , r . o ~ - - - - - - - - - - - - - - ~ - - - - x

/

Neste caso, se v nao e nulo, podemos concluir que u e urn "multiple" de v,

.' . , lu iou seja, u = kv onde k = ± T V T .

Assirn, dado urn vetor nao nulo v , todo vetor u paraleloa v e urn "multiple"de v, isto e ,

onde k e urn nurnero real.

Sendo u = (Xl, Y I) e v = (Xl> y.J temos

u= kv

XlSe Xl • Y 2 '* 0, decorre que k = '_

X2e k ;:: Y l logoyi ~

12



exemplo 6

" Dados v = (3,5), sao paralelos a v as seguintes vetores:"

Ul = (6,10); porque (6, 10)= 2(3,5), logo u, =2v.

U2 = = (15, 25); porque (15, 25) = 5(3, 5), logo U2 = 5".

U3 = = (-9,-15); porque (-9, -IS):=:: -3(3,5), logo U3 = -3v.

U4 = = ( 1 , ; ) ; porque 0 , ; ) = ; (j, 5),10go U4 = ~v.

, "

exemplo 7

Os v eto res u ::= (8; 16) e v =(io, 20) sao paralelos, pois 180= ~~.

exemplo 8

Os vetores u ::= (10, 12) e v = (25, 40) nao sao paralelos, pais "~~. ' * ~ ~ .

b) Condiciio de ortogonalidade [perpendicularidade] de dais vetores

Dois vetores naonulos u e v

saoortogomiis-quando_ podem ser

representados pore segmentos orien-tados perpendiculares, Neste caso,

temos:

u

Se u = (Xl' Yl) e v =(Xl, Y2), entao, u + v =(Xl + X2, Y. +Y2),

[u + vi = V(XI + Xl)2 + (Yl + Y2)2, lui = .j(Xl)2 + (Yl)2 e

lvl= .j(X2)2 + (Y2)2

De

C Ddecorre que:

(x, + Xl)2 + (Yl + Yl)2'= (Xl)2 +(Yl)2 + (X2)2 +(Y2)2.

ou seja,

(Xl)2 + (Xl)'l +2X,Xl + (Yl)i+(Yl)2+ 2YlYl =(Xl? +(YlF ++ (Xl)2 + (Yl)2

"::,"

Como XIXl +Yl Yl = = U • v, temos que a condicso de ortcgonalidadee:

exem plo "9

Para os vetores u = = (3, 5) e v = = (i0,-:-6) , temos:

\1. v ::= 3 ·10 +"5·(-6}=0;

logo u. e V sao ortogonais,

13xemplo 10" ".

Para os vetores u:;:;(7,-:2)e v=(~4,-15), temos:. .."

'. u . v = 7(-4)+(- 2)(715)=2 ' * ' 0;logo u e V nac saoortogonai~.



Observacoes:

1~) 0 vetor nulo e considerado paralelo e tarnbem ortogonal a qualquer outro '

vetor. Observemos que se z "'" (0, 0) e v "" (a, b), entao, Z "" O v ez •v "" O .

2<!) A condicao de paralelismo de dois vetores pode ser expressa a partir de urn

determinante de ordem 2, cujas linhas sao formadas pelas coordenadas d~svetores.

Sendo .u = (Xl, Yl) e v "" (X2' yz) a condicao de paralelismo e:

~~ l0

all seja: XI Y2 - X2Y 1= O .

3!l) A condicao de ortogonalidade tarnbem pode ser deduzida a partir de C Dcomo segue:

(u+v)·(u+v)=

=u·u+vov ¢===> u· u+ u 0 v + yoU + v. v ""

""UoU+v,v <==="> 2(u ~v)=0 ¢==o;>u· V =o .

EXERcfclOS

( '11) 27. Dado 0 veto! v = = (4,6), dlzer quais entre os vetores seguintes sao paralelos a v:

a) (8,12) b) (12, 18)

c) (-4,-6) d) (- 20, - 30)

e) (2,3) f) (t,;)

g)

0, !)h) ( -1, - ; )

i) (- 8,12) j) (0,0)

28. Verificar se u e v sao paralelos em cada caso:

/ J u = (4,2) e v = = (12,6) b) u = (-6; -12) e v =(1,2)

' 0 1 u ~ (6,9) e v =(12, 15) d) u=(B, 14) e v = (12,21) '.

¢ u==(-3,4) e. v=(4,-3) f) u={2,O} e v=(-6,O}

~ . ~. .'J 19. Verificar se u e v sao ortogonais nos cases

a) u = = (3, 2) e v = (- 4, 6) ..

b) .U = (-1, - 3) e y= (3, .; 1)

c) U=={5,4) e v::;;(-2,3)I :

!i) u ==(7, 0) e v = = (0, 2)

. 4 u = (-1, 1) e v = (8,0)

n u::o (a, b) e v ==(b,-a)

30. D~OS u "" (2,5) e v = (5,2), verificar se' os vetores u /v e u - v sao ortogonais,

31. Dados u=' (3, 1) ~ v .0= (2, 2), verificar se os vetores u. + ve u .: v sao ortogonais,

32. Para que valor de.m os vetoresu =:(1, m) e V= (- 2,2) sa o ortogonais?

33. Calcular a' para que se tenha u ortogonal a v nos cases:

a) u = (a,""- 3) e y;: (2, 4)

t .> \ 4 . , . ( \ \ ~ ~ ~ . \ ( ' ' ; ; \ ,~ .~ ~ \ i I , } , . ' .



36. Obter y de modo que os pontes A (3, y), B (0, 4) e C(4, 6) sejarn vertices de urn triangulo

retangulo em A.

BResolu~o

Os vetores 'A n e A C devem ser

ortogonais Temos:

A B " '" B - A '" (0 - 3, 4 - y) "'"=(-3, 4- y)

At '" C - A '" (4 - 3, 6 - y) =

'" (1, 6 - y)

c

A

A B lAC ===: : : ; : : . A B . A C " =0 ~ (- 3). 1 + (4 - y)(6 - y):; 0 ====;>

=? - 3+ 24 - 4y - 6y + y' = 0 ~ y' - lOy + 21 ""0 =:::::;>

10± .J(-lO)' -4 .1.21~ y = 2 • 1 . =:::::;> y "'"7 ou y = 3.

. 37. Obter x para que 0 tr iangulo ABC seja triangulo retfingulo em B. Dados A (5, 4); B e x , 2)eC(4,-2).

38. Calculary pard que 0 quadrilatero de verticesA(O, 0), R(S, 1), C(7, 3) e D(3,y)possua

as diagonals AC e DD perpendiculares.

39. Calcular x de modo que a quadrilatero de vertices A (0, 0), B (- 2, 5), C (1, 11) e D (x, - 1)

possua os lados AB e CD paralelos.

40. Vcrificar que os pontes A (- 3, - 1), B (2, - 4), C (7, - 1) e D (2, 2) sao os vertices de

urn quadrilatero que apresenta os lades opostos paralelos e as diagonais perpendiculares,

41. 0 trllingulo de vertices A(6, -4), B(1l, 2) e C(l, 1)e triangulo retangulo?

5, Angulo de dois vetores

Neste item vamos mostrar que 0produto escalar de dais vetores esta relacio-

nado com 0 angulo formado por des. Lernbremos que 0 angulo e entre dois

vetores nao nulos u e v varia desde 0° ate 1800:

o 'u

e = 0°

u e y paralelos, de mesmo

sentido

u

ey

e~' 90°u ev ortogonais

v

e~ ~ _ _ t : \ L ' ~ '_v~

o

e = 1800

u ev paralelos. de sentidos opostos

15



Aplicando a lei dos cossenos ao triangulo ABC indicado na figura, temos:

(JU-VI)2 =(!uI)2 +(lvI)2-

- 21ullvl cos (J , isto e :

(u - v ) , (u - v ) = u ' u +v ' v-c

A

- 21ujjv] cos (J • isto

e :u • u - 2(u . v) + v' v =u . u +

+ V· v - 2 1 u l l v l cos B , o u seja:

- 2(u • v) =-:2 [ullv] cos 8

B

Logo, 0 produto escalar de dols vetores u eve 0 produto 'dos seus modules

pelo cosseno do angulo formado par eles,

Observemos que:

19) u,' v > 0 cos e > a

o produto escalar e positivo quando 0 angulo e agudo (au nulo)

29)u.v<O cos8<O 90°<8<180°

O produto escalar e negativo quando 0 angulo e obtuso (au raso)

39) u . v = 0 cos B = 0 8 = 90°

o produto escalare nulo quando 0 angulo e reto.

Para determinar 0 angulo e , sendo dados u ,;" (Xl> Y1) e v = (X 2. Y 2),

, partimos da formula

exemplo 11

Determinemcs 0 anguloentre u = (1,3) e v =(-2,4):

10 V 2= ~--='--~- - --

~VW 2

, .:.y'T e ; : ; 45°. 'Como 0°< 8 < 180° e cos f =Temos que

EXERCICIOS

42,. Determinar 0angul0 entre u ev nos casos:

a) u = (1,2) e v 0=(-1,3)

b) u r= (3,0) e v = (1,..[3)'

c) u = (0 , 2)e v = ( - - c I, - 1)

43; Obteroanguio entre uev noscasos:

a) i.l= (1,-2) ev=(10,5)

b) u = = (4, 3) e ,v ~ (8,6) "

c)u = (3,-1) , ev =(~3,l).

44. Dados U := (4, 3) ~ v = (2,...: 1), determinar 0 lingulo entre os vetores u + v e u - v~

45. D~dosu = (1, I), v = ( 1 , O)e w:= (O~I), ohter oangulo entre osVetonis u - we w ~ v •. " ."

46.~ad~ o. triangulo de' vertices A (0,2): B c . J 3 , 5) e C (0, 6), calcular a medida do angulo

interne-A.

16



. , - - , . , . ,-.,- .. , .. -- '_"

Resolu~ao

Notemos que 0 angulo interno A do

trianguloABC e 0 angulo 8 entre os ve-

teres A Ir e X C .Ternes:

A B = B- A"" (.. /3- 0,5 - 2)=

. = (.,f'J: 3)

A C = C - A.= (O - O . 6 - 2) = C O , 4)'

, A l i .X Ccos IJ = --> -;-;t

, IABIIA\.:{

".J3.0+3-4 12 =.J3;/12.4 2

.'Logo, IJ = A = 300•47. Ca1cular~ medidas dos tres iinguIos internes do triangulo ABC. Dados A (1,2), B (2, 0)

e C{O,-1).

48. Dados A (1,0), B (4, 1) e C(4, y), calcule yde modo que se tenha BAC : = 60°.

49. Seja v urn vetor ·unWirio. Mestre que a" proje~aode urn vet or u ria diregao de 'v e 0vetor p = (u • v)v.

Resolu~

. Como p e urn vetor de dire~[o igual a.de v, ternos que p = kv.

Para calcular k vamos usar a ortogona-

Iidade dos vetores u - p e v:

u- P J.v==;' (u- p) .' v= 0 ==::>

-~ (u - kv) . v=0 ==>

==::> u • v - k (v •v) = O.

Sendo v unitario (lVI= 1) tern os v • v = 1 e, entao, k = u . v,Logo, P = (u • v)v.

.. . ,

50. Calcular a ploje«ao de u na dire~ao dev nos casos

a) u = = (10.5)' ev = ( ~ ,~ )

b)u=(:"'3,2) e v=(l,3)

Resolugio

a) VerifiquCIrul~se v ~'unicirio:

' : ' . " j ' ( 3 ) ~ . '(4 ) · 2 · · · · · j · . 9· 16Ivl = ", ~ + -, =' -. + - = . . . r r = 15 ," ,. 5' , 25 .. 25 .' .

• . _ ·c ' " _ • " • " c

Como vi: unitirioaprojegaoi: p =(u.' vjv, Temos:

" 3 : · " . 4U·V = 10.'S +,5 '3= 10

p~(u·.Y)r= l O ( f , ~ ) =(6,8)'

b) 1,,1=Jp+3' =.JlQ ==>cvnio e unitarlo,

'Neste caw, de~e~i,namosiniciaimenteo versor de v:

. ,·v .. (l,h " ' ( . 1 " ," ~ " ) " .v = 1 v T = V I? =.,'.ffi"fa. :

A proje~ao pedida e p';'. (u ;v')v'. Temos:

. " . ,r .' ,,' ..3 ". ' 3 .'u.v =(-3) ;rtn, . + 2 .. f'j'fl'= ' . r : i - t \

'.. ',,10 vIO' y 10

P =(u . V } V , = i r o ( ) w · J r o ) = (1 3 0';0) .17



. 51. Determinar a proje;;ao de u na dire~o de v nos casos:

. . ( 1 . , [ 3 )a) u = = (5.2) e v::= "2' -2-

'. b) u = (0, < 1 - ) e v = = (1, 1)

c) u::={-7,2) e v=(3,O)

d) u ::=(4, ~ 2) e v = (4, 8)

52. .Se pea praj~~1ia de u = = (0,2) sobre v = = (1, -1), determine a vetor u - p.

53. Calcular 0 modulo da projeyao de u = = (2, 6) sobre v = (t,~).

. 54. Mostre que se v e unitario, entao; 0 produto escalar u . v e , em valor absolute, 0modulo

da proje~ao de u sobre v. .

55. Mestre quese v e urn vetor nao nulo, entia. a projelJ'ao de urn vetor u sobre v e urnvetor de modulo igual a lu L!cos81, onde 8 e 0 angulo entre u e v.

6. Area de urn triangulo e alinhamento de his pontos

a) Area de urn ~ngulo

Consideremos dois vetores nao pariUeios,u = (a, b) e v =(c, d), aplicados

num ponto A. Seja B a extremidade de u e C a extremidade de v. Vamos caIcular

a area S do triangulo ABC.

Sendo e 0 angulo entre u e v, e h a

altura relativa ao lado AB, temos:

s = ~ I U l h } 1. ====!> S=-2lullvlsen8

h =lvlsen8 .

Como 00 < e < 180

0

e cos 8 =u • v

= lu llyl • temosA B

. V e l l l l ) 2 e l v l ? ~ e l l • y)2'

[u l lv]en 8 =

Logo:

....•.1.JOul)2(1vI)2 - : - e u .y)'l

S= lJuIIY I_ . lullyl

s= '.~(luI12(lvl)2 _ (UV)2

. S ~ _ ! _ _ V (a2, + b2)(C2 + < 1 2 ) . _ (ac + bd)?2 '.. '., .', .

"l' . ..... .

S =- J a2c2 + a2d2 + b1c2 + b2d2 - a2c 2_ 2abcd -r- b1d22 . . . .. - ..

·s ='_l':.ja2d2-2abcd+ b2cl. '.. , 2 ""." :'.

'1 ....•. ,.. . J' .'.

S=, l e a d - bC)2 = = -lad -t- bel. 2 .... ·2 '.

Fazendo 6= 1 : . : 1 = o a d - bccondufmos que: 18



exempla 12

Dados A(3, 1), B(7, 5) e C(2,4) calculemos a area do triangulo ABC:

c

B

--+u = AB = B - A = = (4, 4)

---+v = = AC = C - A =(- 1, 3 )

I4 4 1 . .

/ : , . = = -13 =12-(-4)=16

1 1S =2 I / : " I = 2 1 1 6 1 = 8

A

b) Alinhamento de tres pontos

Dados tr es pontos, A (x 1, YI)' B (X2 , Y2 ) e C(X3 ' Y3 ) , seja /:,.0 determinante- - - - + - - - - +cujas linhas s~o formadas pelas componentes dos vetores AB e AC:

---+

Aft = B - A =-(Xl -xI> Y1.~ __ I)} . . 1 X2·- x,---+ ====>-ti=AC = C - A = (x, - X" Y3 - YI) . Xl - Xl

Se A, B e C sao os vertices de urn triangulo, entao, a area desse triangulo e

. ; I / : " I e, portanto, b. : / = O. Assirn, se /:,.= 0 podemos_ concluir que A, Be C nao

sao vertices de urnmesmo triangulo e, portanto.tsao pontos colineares ...

y

-:--+-------- xo

_ Por.outro lado,.' observernos que as pontos A, B e C sao coline ares se, e. _. ---+ ...

sornentese, os.vetores AB e AC-Je rn amesma--di!:e¢o-(sao~paralelos). Assim:

- - - -, B e C sao coline ares 3 k E JR 1 AC =kAB

:X3-XI =k(X2 -xI)e Y3-, YI =k(Y2 -yr) -¢==::::::>

<= == *" /:,. [ X 2 - XI -.Yl ·-YI. I 0. . = = k(Xi ~ XI) k(Y2 ~ YI) =

logo

exemplo13

Dados A(-l, ...,..1),B(1, 3) e C(4,9) temos:

~ ... ::. .. . ..

.... = B.~.A.·.=...2,.4L} ~ L =[.2· .1

4..0..[= .0

AC = C - A =5, 10) -: 5. ..

logo, A; Bee sao colineares,19



EXERCICIOS

56. Ern cada caso, verificar se os pontos A, B e C sao colineares au se definern urn triangulo.

Se definirern trlangulo, dar a sua area. .

a) A = (3,11), B·::: (4, 13), C = (6,18)

b) A = (0,-1), B = (2,5), C = (-1,-4)

c) A = (-:2,1), B = (1, -10), C = (-4,7)d) A = (6,5), B = (-4, O),e :::: (0,2)

57. Para que valor de x os pontes A (2, 5), B (7, 15) e C (x, 38) sao colineares?

58. Para que valores de x os pontes A(1,O), B(8,3) e C(x,6) definern urn triangulo de

area igual a 67

59. Para que valores de y os pontos A (- 1, 1), B (3, y) e C (4, 0) definem urn triangulo de

area igual a 0,5?

60. Dados A = (1,0) e B = (4,0), determinar urn ponto C no eixo dos y de tal modo que

o triangulo ABC tenha area igual a 5. .

61. Dados A ::: (2, 3) e B ::: (4, 1) determinar 0 ponto onde a reta AB corta a eixo dos x,

62. Calcular a area do paralelograrno de lades definidos pelos vetores u '" (5; 3) e v ::::(2,4),

Resoluyao

D cNoternos que a area do paralelograrno eduas vezes a area do trlangulo que tern

dois lades definidos por u e v:u

SABCO= 2 ( t 1 f l . 1 ) = 1 f l . 1 }

f l . = I : : I=14 ~

====::;:> SABCD = 14

63. Calcular a area do paralelogramo delados definidos pelos vetores u = (4, -1) e

v = ( - 2, - 3).

A u B

64. Calcular a area de cada quadnlateroJndicado.

a) y c ..4

3

2 AC

1

x

0

65. Dados f l . 1 = 1 : : f ~ s, = I c: a d : b I pede-sea) ca1cular III e lI,.

b) justificar a igualdade I l l , I = I L l . d atraves de areas de p~alelogramos.



20

CAP iTULO III

ESTUDO DA RETA NO 1(1

1. Equaelo da reta

Denominamos equacao de uma reta [10 IR? a toda equacao nas incognitas

x e y qu e e satisfeita pelos pontos P(~, y) que pertencem a .reta e so por eles.

a) Equacdo geral da reta

Dada uma reta r do plano cartesiano, vamos supor que r passe pelos pontes

A(xt, Yl) e B (X 2, Y 2), A 0 / = B, e considerernos urn ponto generico P(x, y).

Ternes:

. A P = P - A = (x.- Xl, Y - Y I)-+

AB = B - A = (X2 - Xl. Y2 - Yl)

Y-Yl IYz - Yl

x

o

o ponto P pertence a reta r se, e somente se, A, B e P sao colineares,

isto e:

PEr

Desenvolvendo 0 determinante encontramos

I ax +by + c ~ 0 I

Esta e quac ;; ao e denominada equadio geral da reta.

exemplo 1

Vamos obter a equayao da reta que passa pelos pontes A(1,4) e B(2, 2):

Y - Y l \ =0 ==> \ X - l Y - 4 \ =0 ===>Yz - Yl 2 - 1 2 - 4

Y-4!=O -->-2(x-l)-1(y-4)=O==?

-2

x-I

===-->1

~ -2x-y+6=O ~ 2x +y -6 =0

b) Condicdo para urn ponto pertencer a utna reta

Dada uma reta rde equacao ax + by+ c = 0 e urn ponto P(xo, Yo) , a

cOI1ui~ao para P pertencer are

G(xo) + b(yo)+c =0 Iou seja, o par (Xo, Yo) deve satisfazer a equayao de r.

21



exemplo 2

Dada a reta r de equacao 2x + Y - 6 = = 0 e os pontos P C 5, -4) e Q( - 2, 8)

temos:

2(xp) +(yp) - 6 = 2(5) + (-4) - 6 = 0, logo PEr

2(xQ) + (YQ) - 6 = 2( - 2) + (8) - 6 = - 2 * 0, logo Q f f . r.

c) Anulamento dos coeficientes da equaciio

Consideremos novamente a reta r que passa pelos pontes A (Xl. YI) e

B(X2, Y2), A * B. Conforme vimos a equacao geral de r e

ax + by + c = 0

onde a = Y2 - y" b = XI ~ Xl e c = X1YI - XIY1'

Observemos que:

19) a * 0 ou b * 0porque a = b = o=> (Yl = Y l e Xl =Xl) =c::!> B= A

29) Caso a = 0 (e b * " 0). a reta e para/e/a ao eixo dos x

porque a = 0 Y 2 = Y I <===> r II eixo x

39) Caso b ::: ° (e a = 1 = 0). a reta e paralela ao eixo dos y

porque b -:::o ¢::===='> r I I eixo y

49) Caso c = 0, a reta passa pela origem

porque 0 ponto (0, 0) satisfaz a equacao se, e somente se, a(O) + b (0) + c = = 0,

isto e, c = d . . .

y y

Yl c B

B

V I ~-- - - -.,..---- A

x-0· · I I - - - + - - - - - - !

l= XlXl ..

exemplo 3A reta de equacao

..y- 2 = 0

e paralela ao eixo .dos x.E a reta cujos pontos apre-

sentarnordenada (y)igual a 2.

y

x

(0,2) (1,2) 12,2) (3,2)

o

exemplo 4

A Teta de' equacao

X -t- 3=0

y

(3,1)

13,2)



exemplo 5

A reta de equacao

2 x -3y= 0

y

(3,2)

passa pela origem do sistema carte-

siano pois 2(0) - 3(0) = O.

Ela tambem passa pelo ponto(3,2), pois 2(3) - 3(2) = O. x

d) a grilfico da equadio (IX + by + c = 0

o grafico de toda equaeao da forma ax + by + c = 0, onde a*'O ou b 1 = 0,

no plano cartesiano, e uma reta

De fato, vamos considerar duas solucoesda equacao:

-c

para x = 0: a(O) + by + c = 0 ~ y =~b

-a-cpara x =1: a(1) +by + c =0 ~ y = ---

b

(estamos supondo que b 1 = O. Caso b = 0 as solucoes da equacao seriam todos as

pares (x, y) onde x = - : ' e 0 grafico seria uma reta paralela ao eixo dos y )

Sejam A = (0, -b C ) e B = (1, - \- C ) 'e determinemos a equacao

da reta AB:

1-0

x - o y- ( - b C)~a;c - ( - b C )

Y - Y 1 1 =0Yl -Yl

=0 ====>

I.

by+c

b

-a

b

x. -aby+c

=0~ .l)x- -b- =0=:::::>

====> ax + by + c = °. logo, todasolucao (x, y) da equacao dada e formada pelas coordenadas de urn

. ponto da reta AB, e todo ponto desta reta e soluc;:ao da equacao dada

exempla .6

Ogcifico da equacao 2x + y - 4 = 0 no plano cartesiano e uma reta. Para

obter pontes desta retabasta atribuir valores arbitrarios a uma das incognitas e

.:calcular a outra na equac;:ao: .

. para. x = 0 .temos:

2(O} + y -4= O;logoy= 4.

..para y= 0 temos : . ..

2x + (0) ·.~4===O, logo x = 2.

xAreta passapelospontos (0,4)e(2,0). ...

23



EXERClclOS

1. Obter a equ~ao da reta que passa por A (3,1) e B(5,2).

2. Qbter a "equa95o da reta AB nos casas:

a) A ;:; (1,2) e B "" (7,6)

b) A ;:; (-1,2) e B =: (3,0)

3. Dados A (1, 2), B(4, 0), c (0, - 2) e D (;, ;), determiner as equacoes das retas AB,

Be e CD. " ~

4. Obter a eq!la.9ao da reta que passa por A(p, -p) e B(-p, - 2p), p = f. O .

5. Provar que para todos os valores reais de k e t os pontos A(1, 2}, B ( 1 + k, 2 ~ k) eC (1 - t, 2 + t) sao colineares. Determiner a equayao da reta que os contem,

6. .Vcrificar que os pontes A {2, 3}, B(5, 11) e C (10,25) sao vertices de urn mesmo triangulo

e detenninar as cquacoes das retas .suporte dos lades deste triangulo,

7. Dados ACO, 0), B (3,7) e C (5, -1), determinar a equ~ao da reta que passa por A e pelo

ponto medic do segmento BC.

8. Determiner as equal,;oes das retas I,

S, t e u indicadas no grafico, 5

- - ~ - - - r - - - + - - - i - - ~ r - - - t - - 7 ~ ~ X

t

9. Quais entre as pontes A (2, 3), B (3, 2), C ( - 6, 8) e D (18, - 8) estao na reta

r: 2x + 3y - 12 ;:; 01

10. Calcular k Para que 0 ponto p e l . k) pertenca a leta r: 3x - 4 y + 1 = O.

11. Calculark para que a reta r: 2x + ky + k = = 0 passe pelo ponto P(- 3, 2).

12. Para que valor de k a reta r: 5x - 3y + k;: 0 passa pelo bancentro do triangulo de

vertices A(-5,-5), B(1,5) I: C(19,0)~

13. Representar: graficamente as equacdes

a) 3x+2y-6;:Ob) x-3y;:O

c) 2x - 4 '" 0 ' d) y + 3=0

14. Dada a equacao rn'x + my + (2 - m) =: 0, mE IR,

a) para que valores dern ela representa uma reta?

b) para que valor de m ela reprcsenta reta passando pela origem do sistema cartesiano?

15. Quais s a O . as equa~6es das bissetrizes dos quadrantes?

16. Obter lim ponte A na reta r: x - y = 0 e equidistante dos pontosB (1, 0) e C (5,2).

,"~.

Resolueao

A E r :> XA - YA ;: 0 ==2>-

~ YA=xA

logo. A:= (x, x).

Determinamos x impondo a condiciio

dAB:::: dAC:

"J(l- x)' + (0 - x)'= J(5 -x)' + (2- x)'

1 - 2x+ x' + x' =: 25 .; lOx + x' + 4 - 4x + XlB

x

v r ,

A

I

I

I

/I

II

III(

: 7 ( 7 7 )2x"" 28, portauto x=<T e A= 3'3

24



17. Obter urn ponte A na reta r: 2x - y = 0 e equidistante dos pontes B (0, 1) e C (6,3).

18. Obter um ponte P na reta r: y = 3x e equidistante dos pontes A (4,0) e B (0,2).

19. Obter urn ponto Ana reta I: Y " " x tal que 0 ponto medic do segmento AB, B = (2,4),

pertenca it reta s: 2x - y - 4 = = o .

20. Obter um ponto A na reta r: Y ;0 x e urn ponto B na reta s: y :: 4x tais que 0 ponte

media do segmento AB seja M ::::;(I, 2).

2. Posicoes relativas e Interseccoes de retas

a) Vetor normal a uma reta

Consideremos a reta r do plano cartesiano, de equacao ax + by + c ::::O.

y

x

n

Oscoeflcientes de x e de y .

sao, nestaordem, as cornponentesde .urn vetornczmal (ortegenal) areta r, isto e : .

AB

)o

De fato, se A(x1, Y1) e B (Xl, Y 2 ) sao dais pontos quaisquer da reta r temos--+

que AB = (X1 . __:Xl> Y 2 - yd e:

A E r ===> ax, + bY l + c = 0 C D

@E r ===.> aXl + bY2 + C = 0

o - C D ==>- aX2 -ax! +bYl-bYl +¢-¢=O ==?...;.

=::>{x2-xl) + b (Y 2 - Yi) = 0 ===> n; A B := 0

....-..+

.. logo n e A B sao ortogonais,

exemplo 7

Urn vetor normal a reta 2x ~ 5y + 4 =0 en:: (2, -5).

b ) Posifoes relativas de dues retas

Duas retas re s do plano cartesiano podem ser concorrentes OU paralelas:

o x.

concorrerues

r X 5

paralelas distintas

rll sparalelas coincidentes

, Dadas asequacoes de res, r: ax + by + c = 0 e s: a'x + b'y + c'= 0,

podernos reconhecer a posi~ao das .retas a partir doscoeficientes das equacoes.

Como 1 1 = = (a, b) e n' = = (a', b') sao vetores normals a r e as, nesta ordem,

temos que

25



abc _NOTA: Quando -;' = = b' = = C' as retas sao paralelas coincidentes e quando

--;-= bb,.*- ~as [etas sao paralelas distintas.a . c

exemplo 8 .

Dadas r: 2x + 5y + 4 = 0 e s: 4x - lay - 3 = ° temos:

n = (2,5)

n' =(4,-10)

exemplo 9

Dadas r: 2x. - 3y + 1 = 0 e s: 6x -9y +4-= 0 temos:

n :::::2, -3)

n' :::: :(6,-9)

2 -3 1Como 6" = _ 9 = F A ' res sao paralelas distintas.

n II n' ==;> r II s

exemplo 10

Dadas r: 2x +3 y +4 = 0 e s: 4x + 6y + 8 :;;;0 temos:

n = (2,3)

n' = (4, 6)n / I n' :::::==;:> r / I s

C2 3 4 _. id t

omo 4" =6=8' res sao comet en es.

c) Ponto de intersecdio y

U r n ponte d e in te rs ec ca o P(xp,

yp) de duas retas,

r: ~x + by + c=0 e

s: a'x + b'y +c'= 0,

satisfaz a s equaeoes de ambas as

retas e, entao, e s olU9 ao d o sistemao )(

. { a x + by+ c = = 0

S: . a'x +b'y+c' = 0 .

. Reciprocam.ente,toda solus;ao (x, y) do sistema Se ponto de interseccao d a s

du as r et as .

exemp/o 11

Dadas . r : 2x + y + 1 = 0 e s: x - 2y - 7= 0 ternos:

. . xz·:. { . 2 x+ y +.....1 = . 0. -- - - '- . . ;. . 4x +2y +2::- : as : . . . . . +x--:2y - 7 = 0 _.-~~ x - 2y - 7 :::::0

5 )( ~ 5 = 0 ~ xr= 1

26



Substituindo x na Hl equacao vern:

2(1) + Y+ 1 = 0 ===::;. y:::-3

Logo, res sao concorrentes no ponto 1 > = (1, -3).

d) 0 sistema das equaoiies de duas retas

Considerando que

19) duas retas concorrentes apresentam urn unico ponto de interseccao;

29) duas retas paralelas coincidentes apresentam infinitos pontos comuns;

39) duas retas paralelas distintas nao apresentam ponto comum.

A partir dos itens b) e c) p()demos tirar as seguintes conclusces sobre 0

sistema

{

ax + by + c = 0s· .. a'x + b'y + c' =0

formado peJas equacoes de duas retas res:

10) ~ = 1 = ~.. a' b'

S admite uma unica solucao

(Se sistemapessfvel edetermmadc)

abc20) - --_. --:-;- b' - ,

a c

/

S admiteInfinitas solucoes

(S e sistema possfvel e indeterrninado)

39) ~a

= b o F . . 5 : _ .b' c'

o¢: :==*" S nao admite solucao

(8 e sistema impossivel)

exemplo 12

{2 x + 3 y --' 1 = 0

8' ..' 6x - 9y - 3 = 0

1...J._3_ < a _J_ b S'd' d6 'f'" -9 ==>-;; -r- b"~ eetermma o.

Dado temos:

A unica solucao de 8 e ( ; , .0) , que e obtida resolvendo o sistema. 0 ponto

( ; , 0) e a ponto de interseccao das retas 2x + 3y - 1 = 0 e 6x .c .. .9 y - 3 = O.

exemplo 13

{2 x + 3y + 4 = O .

Dado S: temos:4x +6y + 8 = 0

2 3 4 abe4 6 8 ===? - ; > = b' =c' ~ S e indeterminado.

As infinitas solucoes de S sao as coordenadas dos pontes da reta 2x + 3y + 4 = O.

exemplo 14

{2X + 5y +4= 0

s: 4x + lOy _ 1 =0

2 5· 4 a'b c4' =10 ;/; - 1 ~ -;;- = b' ;/;C'~ S e impossivel.

Dado Lemos:

27



EXERctCIOS

21. Classificar em verdadeiro (V) ou falso"(F):

a} Urn vetor normal it reta 3x.+ y -- 1 := 0 e n = (3, Ii

b) Urn vetor normal a reta 2x - 5y + 3 = = 0 e u r= (2, 5)

c) U rn v etor normal it 'reta x+y+l==O e v "" (2, 2)

d) Urn vetor normal a reta 4x - 1 = 0 e VI = = (1,0)

e) Urn vetor paralelo 1 1 leta 2x + 5y - 3 = 0 e v = = (5, - 2)

f) Urn vetor paralelo it reta 3x - y + 1 :;: 0

ev ;: (l, 3)

22. Dar a posi~ao relativa de res nos cases:

a) r: 5x - 2y - 1 = 0 e s: 2x - 4y + 7 = = 0

b) r: 3x + y + 1 = 0 e s: 6x + 2y + 3 :: 0

3c) I: 8x - 4y + 6 ::: a e s: 2x - y +"2 = = a

d) r: Sx + 2y = 0 e s: lOx - 4y ::: a

23. Determiner os valores de k para os quais as retas r: kx + y + 2 ::: 0 e s: 3x - 6y - 2 = = 0 sioconcorrentes,

24."De1enninar a.interseccac das retas X + 3y :;::4 e 2x + 5y := 7.

25. Determiner o ponto de interscc'tao-das-retas r e snos "casos:

a) r: 3x + 4y - 11 = 0 e s: 4x - 2y - 14 = = 0

xb) r: 2 " + y ::;; 1 e s: y :;: 3x - 1

c) r: 3x - 2y :;:: 7 e s: 4x + Sy = = - 6

26. Dados A (1, 1), B (3, -1), C (4, 2) e D (3, 1), achar as equacoes das retas AB e CD e,

depots, obter 0 ponto de interseccao destas retas,

27. Dados A{3,0), B{5, 0), C(0,5) cD(-I, 2), deterrninar 0 ponto de interseccao das

diagonais AC e BD do quadrilatero ABCD.

v

28. Determinar ascoordenadas do ponte

P indlcado na figura.

x

29. DadosA{O,O), BOO, a} , C(6,4) e D(2,4), pede-so

a) determinar a ponto de interseccao P das retas AD e Be

b) determiner os pontes medias Me N dos segmentos AB e CD, respectivarnente

c) provar que M, N e P sao colineares

30. Deterrninar as vertices do triangulo cujos lados estao nas retas x - 2y ::= 0, 2)( ~ y=:O ex + Y - 6 = = O .

31. Calcular 0 penrnetro e a area do triangulo cujos Iados e51110 nas retas x - y = = 0,

x - 3y =' 0 e y - 2:= o .

32. Considere 0 triangulo cujos Iados estao nas retas 2x - 3y ;: 0, x + y -5 = ° ex + 6y::=

= = o.

a) Determinar os "vertices do triangulo

b) Determinar os valores de y para os quais 0ponto P (3, y) estd no interior do triiinguio.

33. Mosti:ar que as retas 3x - 2y - 8 = 0, x + 2y - 8 =: 0 e 5)( - 6y - 8 = = a sao con COI-

rentes num mesmo ponte P.

Resolucao

Notemos que r: 3x ..;_2y - 8 = 0, s: x + 2y - 8 =0 e t: 5x - 6y -:-.8 = = 0 sao con-correntes duas a duas; pois as vetores normals sa o n ee (3, - 2), n' = (1,2) e n" = = (5, - 6}.

P a ra m o s u a r que saoconcorrentes num mesrno ponto devernos mostrar que existe urn

unicopar (x, y ) quesatisfaz a s t:resequa~iies, i s t o e , q u e 0 s i s t e m a

28



5

{

3X - 2y - 8 = = OQ)

x + 2y - 8 = = 0 C Y5x -;: 6y - 8 = = 0 Q )

apresente uma unica solucao. Temos:

. . {3_X-2Y=8 0·C D e @~ ... ==9 4x = 16===?x = = 4

x + 2y == 8

em <y : 4 + 2 y = = 8 ====;0. Y = = 2

logo, 0 par (4, 2) e 0 unico que satisfaz simuitaneamente a s equacoes (i) e Q). Mostrernos

que ele satisfaz tanlbem aequa~iio ®:

para x=4 e y=2 temos 5x-6y-8==S(4)-6(2)-B=Q.

Portanto, 0 ponto (4, 2) esta nas. tres retas.

34. Verificar se as retas 3x + y - 4 = 0, 2x - 3y + 23. = 0 e 5x - y + 12 = ° slio concor-rentes msm.mesmoponto.

35. Verificar se as retas2x + 3y - 5 = 0, 3x + 2y - 5 = ° e x + y - 5 = 0 sao concor-

rentes num mesmo ponto,

3. Paralelismo e perpendicu1aridade

a) Condifiio de paralelismo e de perpendicularidade de duas retas

Conforme vimos, dadas as retas r: ax + by + c=0 e s: a'x + b'y + c'= 0,

os vetores n = (a, b) e n' = (a', b') sao, nesta ordern, vetores normals are

a s, Usamos esse fato para obter a condicao de paralelismo de duas retas:

Podemos tambem obter a condiltao de perpendicularidade de duas retas:

y

5

x

rlls~ nUn' rl =- '> n1's

exemplo 15

Dadas r: 2x + 5y -3 = 0 e s:lOx + 25y + 29 = 0 temos:

n = (2, 5)

n' = (10,25)

·_l_=2· ===?r II s10 25 29



exemplo 16

Dadas r: 2 x + 5y - 3 = 0 e s: lOx - 4y - 1 = ° temos:

n = (2,5) } = = = = > n . n ' = 2(10) + 5(-4) ~ 0 ==> r 1n' =(10, -4)

b) Obtenciio de uma reta paralela a uma reta dada

Dada uma reta r de equat;ao ax + by + c = 0, toda reta paralela a r admite

urna equaeao da forma

onde k E IR.

De fato, como n = (a, b) e urn vetor normal it reta r, ele tarnbem e vetornorm al a qualquer reta paralela a reta r. -

exemplo 17

Toda reta paralela a leta r: 3x

+2 y

+1 =0 admite uma equacao da forma

3 x + 2 y + k =O.

Vamos obter a reta sparalela are que passa pelo ponto- P(4, n o

Determinamos k impondo que

P satisfaea a equacao;

Logo, a equacao de S e

,p E S <===> 3(4) + 2(1)+ k =0-¢"!=~>

~~ k=-14

3x + 2 y -'- 14 =O.

'c ) Obtenriio de uma reta perpendicular a uma reta dada.

Dada uma reta r de equacao ax + by + c = 0, toda reta perpendicular a r

admite uma equacao da forma

onde k E R.

De fato, os vetores n = (a, b) e n' = (- b, a) sao o r togona is pois n . n' =

= a(-b) +ba =O.Como n e urn vetor normal a I, °vetor n' e urn vetor normala qualquer reta perpendicular a r.

exemplo 18

Toda reta perpendicular it reta r: 3x + 2y + 1 = 0 admite uma equacao da

forma3y -2x + k = O.

Vamos obter a reta s perpendicular are que passa pelo ponto P(4, 1).

Determinamos k impondo que P satisfaca a equacao: ..

PE s 3(1) - 2(4) +k=o<:====*"

k=5

Logo, a equacao de s e sp

ou seja, 30y - 2x + 5= 0,



EXERClclOS

36. Associar a cada item (1 a X) urna das afirmayOes (A a C).

A) I e s sao paralelas.

B) res sao perpendieu1ares.

C) r e 8 s a o concorrentes, mas MO perpendiculares,

I.r;3x+4y=0, s:lSx+20y-l=O

II.·r:8x - 4y - 3 "" 0, s: 2x - y + 1 ""0

III. r:3x+2y'--1=O, s:4x-6y-3=O

IV; r: 5x+ y = 0, s: x - 5y + 2:= 0

V . r: x + y + 1 = 0, s: X - Y - 1 = 0

VI. r: 3x - 4y = 0, a: 4x :- 3y - 1 =0

VII. r: 7x + y = 0, s: x - 7y = 0

VUI. r;4x + 3y - 1", 0, s: 2x +5:= aIX. r: 2 J I : + 3 = 0, 5: 3y - 7 = 0

X. r: 3x - 2

=0, S: 4x + 5

=0

37~ Determinar 0 valor de.k.para queasretas r: kx + 2y + 3 :::.0 es: 3Xc- y - k =0 sejam

paralelas.

38. Determinar os valores de k que tomam as zetas r: 2x - ky + 1 ::::0 e s: 8x + ky - 1 :::;0perpendiculares,

39. Obter a equa¢oda leta paralelaji reta r: 2x+ 3y + 1 = = 0 e que passa pelo' ponto

P(5, -2).

40. ConduziI por P a leta paralela a r, nos casas:

.alP = = (1,1) e r: 3x.- 4y + 2 := 0

.b) P = (O,2) e r: 7x + y = = 0

e)P= (-3,-5) e r: x - 2y - 4 = 0

41. Q u a t e a equayao da reta paralela a I; 7x + 15y - 11 ::: 0 e que passa pe1a origem do

sistema cartesiano? .

42. Umareta r e paralela a reta x+2y = Oe passa pelo ponto P(-4, 8). Determinar os

pontos de intersecao de r com os eixos coordenados,

43.· Obtera equa~ da.reta.perpendtcular a . leta. r: 2x + .Sy - 1 ::::ue que passa pelo ponto

P (1, 1).

4 4 . Conduzir por P a reta perpendiculara I, nos cases:

a} p.::: (0,7) e r: 3x - y + 2 := 0

b) P "" (-.i, 3) e r: x + 2y = = 0

e} P=0

(0, 0) e I:x- Y ~. 1 ;: 0

45. Determinar a pIoje¢o ortogonal do ponto P(2,3) sobre a re ta r: x + .yf- 1 = = O.

Resolu,<oo. . .

.Obtemos a reta s, que passa porP

.e e perpendicular a r :

. s: x - Y + k = 0

PE 5~ (·2)- (:3) + k,:: 0 ==*"

.====;> k,::J

r1, .

,..s

logo, s: x ~ y + 1 = = O .

A projei;iio. or togonal de P 5Ob[~ r e 0 ponte de intelse¥ao de! e s:

p ; . { x + y + 1 = 0 ~ 2x + 2 = = 0 ==*.x"" _ 1

x - y + l = = O

ria l~ equ~ao: (-:- 1) + yt 1.'"' 0 ..- - : > . y = = 0

{ 1 m

31



46. Determinar a projeiiao ortogonal do ponto P (7, 2) sobre a reta r : x - y + 1 '" 0.

47. Determiner 0 p e da perpendicular baixada de P (1, 6) a r : 3x + 4y - 2"" 0.

48. Dadas as retas r: 3x - y:; 0, s: 2x + y=:O e 0 ponto H(3, 4), conduzir por H a reta t,

perpendicular a r, e determiner 0 ponto onde t intercepta s.

49. Determinar 0 ponto simetrico do ponto P (2, 3) em [ela~ao a [eta r: x + y + 1 :;; 0.

tPResolu~ : f

Os .dados sao os mesmos do

exercfcio 53, onde determinamos P' = =

:= (-I, 0).

Como P' e ponto media do seg-

menta PQ temos:

r

P'::::;P~Q ===>P+Q::;:2P' ~Q==2P'-P ===>Q=2(-1,O)-(2,3):;:

::: (- 2,0) - (2,.3):;: (- 4, - 3).

50. Determinar 0 ponto simetrico do ponte P (0,4) em relaltao a [eta r: 2x + y = O.

51. Dados P (0,0) e r : x + y -'- 5.=: .0, ·determinar 0ponte med.io do segmento cujas extre-

midades sao 0 ponto Pea sua .proje~ao ortogonal sobre r,

52. Num tridngulo retiingulo ABC a hipotenusatem extremidades B:;: (2,1) e C= (6,8),

e 0 cateto que passa por B e paralelo ii reta 31'. + 4y + 5 = = O. Deterrninar 0 venice A.

53. Num triangulo retingulo ABC, a vertice do angulo reto e A =: (7, 7), a hipotenusa esta

na [eta 4x - 3y '" 0 ~ um cateto e paralelo a reta x + y + 1 ::;: 0. Calcular a medida da

hipotenusa..

54. Dois lados de um paralelogramo estao ern I:x - 2y = 0 e s: 2x - y :;:: 0 e urn dos

vertices e 0 ponto A (10, Hi). Determinar as outros vertices.

55 . Calcular as medidas dos angulos formados pelas retas r: 2x + y + 1 :; 0 e s: 3x - y -1 :;::G.

Resolur;io

Notemos que se res formam osangulos de medidas (j e 180

0

- 8, 0

mesmo ocorre com as direcoes normals

a r e a s. Assim, vamos determiner 0

angulo entre os vetores n := .; (2,1) e

n' :;:: (3, - 1) que sao vetores normals a

rea s:

n .v n' 2(3)+1(-1)

cos 8 := Inlln't "" .J2'+Tl . J 3 ' + (_i)'

Concluimos que res formam angulos de 45" e 135°.

56. Calcular as medidas dos angulos forrnados por res nos casos:

a) r : 2x - 2y - 1 :=.; 0

b) r : x + y _c 1 =:. 0

c) r: 5x - 3 =: 0

s:y+4~O

s: x + 3y + 3:; 0

s: X +.,f3y + 3 =0 0

57. A distfincia entre urn ponte P e urna re ta rea distancia entre Pea sua projecao ortogonal

P' scbre r. Danos P =: (7, - 3) e r: 8x + 6y + 17 :;::O,ca1cular a distancia entre' Per.

4. Ponto e reta: distincia

Distiincia

A distancia entre urn ponto P e uma reta r e , por definicao, a distanciaentre Pe a sua projeqao ortogonal P' sobre r:

~d = IP'PI

32



19) tomemos urn ponte A (Xb Y l) em r:

AE r ===> ax, + by! + c = 0 C D2 9) notemos que P ; P e a p ro je ~ao d e A P n a d ir e, !; ao d e n =(a , b); p ortanto sen do 8

o angulo entre A P e n temos; . >

d = I P ' P I = ( A P l l c o s 8 ! = I A P I 1 ~ . n 1 '= · 1 M i - nIAPllnl !n]

Dados P(xo, Yo) e

r :- ax + by .+ c ::::;0,

podernos calcular d da segUinte mao

neira: A p'

---+

39) como AP = P - A = ( x o - X l > Y o - Y I ) en = (a, b), decorre que

d = I A . " P . n I : : : : I (xo - Xl) a + (yo - Yl) b I =I ax~ + bYa - ax! - bY l 1

[n] . J a 2+b2 .Ja2+b2

De C D temos c = - ax! - by1e, portanto,

exemplo 19

A distancia entre P(7, -3) e r: 8x + 6y + 17 = 0 e:

d = ! 8(7) + 6(-3) + 1 7 1 : : 156-18 + 1 7 ! = 1 E . \ = 55V S 2 + 62 J l O O 10 10 = 5,5

EXERCiCIOS

S8. Calcular a distfincia entre P(-7, -4) c r; 4x + 3y - 20:: 0,

59. Calcnlar a distancia entre P e -r nos casas

a) P ::; (2; 4) e I;Sx - 6y + 13 ::;:0

b) P=(3,-1) e r:2x+y=O

c) P "" (- 3, 0) e I:3x + Zy = = 1

d) P :;; (6, 5)e_ r: 3x -""4y - 2

60. Calcular a distancia daorigem do sistema cartesiano a reta de eq uay ao ;;_ +~;:: 1.- -

61. Calcular a distancia entre 0 ponte A (1;2) e a reta que passa pOI B (-1, -1) e C(5,7).

62.Calcular a altura; relativa ao vertice A, do triangulo de vertices A(l, 1), B (-1,~3) e_

crz, -7).

63. Dado 0 IIiangulo de lados contidos nas retas or; x + y "" 6,5: x - y =2 e t: 3x + Sy ;:: 30,

calcular as suas tres alturas.

64. Calcular a hea .de urn quadrado que temum vertice no ponte P(7, -5) e umladc na

reta r: 2x + y + 1= O. -

65. Cal~lar 0 lado de urn quadrado que tern urn vertice no ponto PCO,5) e lima diag;nai na

reta r: x - "y ;: o . 3366. Calcular a distancia entre as retas r: x+2y + 3 = 0 e s : x + 2y + 13 =-0.



Como res sao paralelas, a distancia entre res e a distancia entre urn ponto P,

PEr, e a reta s.

Em r: x + 2y + 3 = 0, para y "" °temos

x + 2 (O ) + 3 = 0; logo x = - 3 .

Assirn, P =(- 3, 0) E r Temos:

_ _ I ( - 3) + 2(0) + 131 " ,,_ !_ Q __ " " 20dr,s-dp,s- ..)1'+2' .J5

s

67. Calcular a dismncia entre as retas r: 3x: + 4y - 12 = 0 e s: 3x + 4y + 18 = O.

68. Calcular a distilncia entre as retas r: 3x + y - 1 = 0 ..e s: 6x + 2y - 3 = O.

~~, Deterrninar os pontos da reta s: y "" 2x que distam 3 unidades da reta r: 3x - 4y = O.

Resolucao

PE s = = = = > Yp = 2xp ~

===> P =(x, 2x)

13 (x) - 4 (2x) 1 _ 3dP,r = 3 ~ J(3)'+ (-4)' - =>

~1-5xl=15 =>x=±3

p s

logo, P =.(3, 6) ou P = (- 3, - 6).

70. Detemtinar as pontos da reta s: y = x + 1 que distam uma unidade da reta .

r: x + y -1 =O.

71..Detenninar os pontes do eixo do s x que 'sao equidistantes das retas r: 3x + 4y + 6 = 0

e s: 4x + 3y + 1 = 0.

t dovei dos y q ' ue e equidistante do ponto .,A (2, 52) e da reta2. Determinar a . pan 0 . elxo •

r: 2 y + 1 = = o.

5. Bquacao reduzida e inclinatj:ao

a) Equacio reduzida

Consideremos uma reta r: ax + by + c = 0, onde b 1 = - O. Notemos que:

. . a . Cax + by+C =0 ==:;:. by = -ax - c =:;'>Y= -"i)x -b-

. -a ~cFazendo-se T=m e -b- =q obtemos aequacao

que e . denorninada equacao reduzida da reta.

exemplo 20

Dada a reta r: 3x + 2y ;_ 6 = o vamos obter a sua equatj:ao reduzida:

3x+2y - 6 = 0 ==*' 2y= -3x + 6 ===>y =_lx + 3. . . . 2

b) Os coeficientes na equilftlo reduzida

Na eqtia9aoreduzida, y = rnx + q, os coeficientes rn e q sao denominados,respectivamente,coefidenteangular e coeficiente linearda reta r. As suas inter-pretay5es geometricas sao asseguintes: .

coeficiente angular 34



coeficiente linear

q e a ordenada do ponto onde r corta 0 eixo dos y.

q Q P

y

o 1 x

CC= ~ agudo

m=tgCC>O

CC=s(r=O

m=tgcc=O

a: = i'r obtu50m=tg(t<O

De fato, considerando- a- equ~aoy =mx + q_ temos que:

19) para x :;:; 0, y = mCO) + q = q.

Logo, a reta r corta 0 eixo dos y no ponto Q = (0, q).

29) para x = 1, y =mCl) + q = m + q

Logo, 0 ponto P = (1, In + q) pertence a f.

Se m > 0, entso m + q> q, e temos 0 caso da figura C D , onde, no trianguloPQR , tg a: = = m .

Se m = 0, entao m + q = q, e temos 0 caso da figura 0.Se m < 0, entao m + q < q, e temos a caso da figura ®, onde, no trianguloPQR , tg(rr - a) = -m; logo, tg C t = =m,

exemplo 21

A reta de equayao reduzida

y = X + 3 tern coeficiente angular

m= 1 e coeficiente linear q :::; 3.

Logo, ela formaarrgnlo de 45° com

o .eixo x e intercepta 0 eixo y no

ponto (0, 3).

y

x

c) Paralel ismo e perpendicularidade

Considerernos duas retas res de equacoes reduzidas y =mx + q e

y = m'x +s'. nesta ordem,

As retas res sao paralelas se, e sornente se, suas inclinacoes em relacao ao

eixo x sao iguais, Logo, podemos concluir que:

y s

Observemos ainda que:

x

r: y "" mx + q ==?-mx + y - q = 0

s: y =: m 'x + q' ::::::=:> -m'x + y - q'= = 0

o

35



r 1 / S $ = = = = = > n 1 / n' m=m'

Logo:

A condicao de perpendicularidade e:

r Ls <;===:;:.n1n' <==:;=:;>n·n'=O<==:;:.(-m)(-m')+l=O

portanto

exemplo 22

Dadas r: Y = 3x + 4 e s: y = 3x - 7 ternos:

(m, ;;;;;3 e ms= 3) ==!> mr::;;;; In s ==:::> s I I r

exemplo 23

3Dadas r: y = 2 " x + S

2 1e s: Y = - 3" x + 2 " temos:

.3 2.)(mr =l'e ffis::':; - 3 ::=:!> m, . In s =- 1 = = = = > 5 1

d) Celculo do coeficiente angular a partir de dais pontes

Consideremos uma reta r,de equacao reduzida y ;;;;mx. + q, e vamos supor

que A (Xl, Yl) e B (X 2 , Y2 ) sao dois pontos de r. Ternos:,

A E r ~ Yl =mx, + q C DB E r ===.> Y2 = = rnx, + q Q)

@ - C D ==> Y2 - Yl =m X ; -mxl +~- l

logo

exemplo 24 .

Vamos calcular 0 coeficiente angular dareta que passa pelos pontes A (2, 3)

e B(S, 9):

m = = Y2 - YI = 9- 3 = = _f =2.~ - x, 5- 2' 3

e) Obtenriio de uma reta passando num ponto P(xo, Yo) dado

y y y



19 caso: a reta e paralela ao eixo dos x.

Neste caso, urn ponto Q(x, y) esta na reta se, e somente se, y =Yo. A equacao

da reta e , portanto:

29 caso: a reta e paralela ao eixo dos y.

Neste caso, a equacao da reta e

39 caso: a reta niio e paralela a nenhum dos eixos.

Neste caso, sendo m 0 coeflciente angular da reta, urn ponto Q = (x, Y)

pertence i reta se, e sornente se,

y - Y o

x ,- X o=m

A equacao da reta e, portanto:

exemplo 25

Dado a ponto P(4, 3) temos:

19) a equacao da leta r, que passa

por Pee paralela ao eixo dos

x, e

y

t

3

s

Y = 3

29) a equacao da reta s, que passa

por Pee paralela ao eixo dos

y, e

x=4

39) a equacao da reta t, que passa par P e tern inclinacao de 45°, e

y-3=1(x-4)

Na forma reduzida, esta equacao fica Y= x - 1, enquanto que na forma geral

e x - Y - 1 = O. '

EXERciclOS

73. Colocar na forma reduzida e dar 0 coeficicnte angular:

a) 2x + y - 3 = 0 b) 4x + 2y + 5 = 0 c) 3x -y + 1 = 0

d) a. - 4y - 3 = 0 e) 3x - 9 y = 1 f)x y2" +5'= 1

g) 8x = 2y - 9 h) 2y + 3 = 0 i) Y - 1 = 0

74. Dar 0 angulo de inclinacao, em relacao ao cixo des x, das seguintes retas

'a) y = x + I b) y =..j3x - 1" c) y = -x + 2

75. Represcntar graficarnente .cada reta, indicando 0 angulo-ce inclinacfio e 0 ponto onde

corta 0 eixo dos y:

a) I: y = x + 2 , s: y= x + 3 , t: Y = x -'- 2 , u: y = x

b) r: y '" - x + 3, s: y = - x, t: y = - x - 3

37



76. Associar cada item (1 a V) a uma das afirmacdes (A a C).

A) res sao paralelas,

B) res sao perpeadiculares.

C) res sao concorrentes, mas nao perpendiculares,

I. r: y := 2x 1- S e s: y := 2x - 3

x . 1II. r:y := - 3x + e s: y "" "3 + "2

.. xIII. r: y := " " 2 - J e s: y =:; - 2x.t 5

3x 2 2x 3IV. r: y =: - T+ 3' e s: y ~ - "3 - 2

v. r: y = = X + 100 e s: y "" 100 - x

2 + a - a - 277. Calcular 0 valor de a que torna as retas y =.-2~- x + 1 e y = 3x - --2paralelas.

. -a a+

78. Calcular 0 valor de k que torna as retas y = ~ + k' e y = = 2k:lx - 1 perpendiculares.

79. Determinar 0 coeficiente angular da [eta que passa pelos pontes A e B nos cases:

II) A =n, 2) e B =: (5, 10)

c) A := (- 1, 2) e. B= (3, 10)

b) A =(-.1.1"'1) e B:= (4,6)

d) A=c{3,--Ue._B. =: (- 2, 4)

80. Determinar 0 valor de k que torna a reta kx + 2y + 3 ::= 0 paralela a [eta que passa

par A(4, 3) e B (6,13).

81. Determinar 0 valor de x para 0 qual a [eta que passa par A(1, 1) e B(x + 1, 2x) terninclina"ao de 60· em rela,.ao ao eixo des x, .

82. Dar a equ~ao geral da leta que passa POI P e tem coeficiente angular m nos casas:

a) P = = (2,3) e in::: - ~ ..

c) P = (3, - 1) e m >3

b) P := (~5, - 5) e m:= - 1

1d) p:= (-1,0) e m =0 '2

83, Determinar a equacdo da {eta que passa por PC2, 5) etem inclina~o Ct nos cases

a) ill =: 45· b) a;: 1350

84, Determinar a equ~ao da reta que passa par P(S, 0) ee paralela a reta y = = 3x + 1.. .

BS~ .Determiner a.equacaodu.reta.que passa por P {2, -1}e e perpendicular a retay = - 2 x + 7. . .

. .

86. Conduzir pOI P (6, 3) as seguintesretaa:

a) r , paralela a reta y =: Sx

b) .s, paralela a · bissetriz .do, 19· e 3~ quadrantes

c) t, paralela ao eixo des x

d) U, perpendicular a reta y = = lOx

87. Determinar a equal(ao d~ reta suporte da altura relativa aovertice A do triangulo ABC.

Dados A (5, 5), sa, 0) e C (6,1), .

Resolu~ao

o problema pede a reta h, que .

passa par A e e perpendicular a reta a c ,Temos: .... .

c

portanto mh = - 5

.. . ;

38



88. Deterrninar a cquaciio da reta suporte da altura relativa ao vertice B do triiingulo ABC.

Dados: A(l,O), B(5,2) e C{3,6).

89. Deterrninar a ortocentro (ponto de intersecfio das alturas) do triangulo de vertices

A(1,2), B(2,G) e C(4,4).

90. Determinar a equacjio da mediatriz do segmento de extremidades A(3, 2) e B(0,1).

91. Determinar 0 ponto de encontro das mediatrizes (circuncentro) do triangulo de vertices

A(8, 0), B{0,4) e C(-l, 3).

92. Dais lados de urn triangulo estao nas retas y := X e y = 6x, e a ortocentro e H (3, 4).Determinar as vertices do' triangulo.

93. Determinar os outros vertices de urn trifingulo sendo dados 0 vertice A (1,1) e as equacoes

das retas suporte de duas alturas, r: y :: 3 - xes: y :: 3x.

94. Conduzir pelo ponto P (2, 4) duas retas perpendiculares entre SI e que interceptum a

eixo dos x em dais pontes que dis tam entre si 10 unidades.

6. Formas da equayao da reta

a) Equllfiio geral: ax + by+ c = 0

b) Equariio reduzida: y = mx + q

c) Equafiio segmentdria

Vamos determinar a equacao da reta que intercepta os eixos coordenados

nos pontos P (p, 0) e Q (0, q), distintos:

y

l x-p y-o! =0O-p q-O.

q(x-p)+ py=0x

qx+ py -pq =0 a

Transpondo 0 terrno constante para 0 segundo membro:

qx + p y = pq

e dividindo par pq, obtemos a equacao

que e denominadaequa~aosegmentaria da reta.

y



d) Equac iie s p ar ame tr ic as

Consideremos a reta r que passa pelo ponto P(x o, Y o) e tern a direcao do

vetor nao nulo v = (a, b). Urn ponto Q(x, y) pertence a r se, e somente se,--+ --+

o vetor PQ e urn .multiplo de v, isto e , existe t E 1R tal que PQ = = tv. Temos:

--+PQ::: tv

Temos.entao

{

X,- Xo=at

y ~ Yo ;=bt

(x ~ Xo , y- Yo) =tfa, b) <====:> ex - Xo, Y - Yo);= (at, bt )

y

x

.>:(x, yl .obternos a par de equayOes V _ . - : : : :

Plxo, Yo)

l~it'~~~~~~que denominamos equacoes parametricas de r.

Noternos que para cad a valor real atribuido a t obtemos as coordenadas

(x, y) de urn ponto da reta.

o

exemplo 27

A reta que passa por P(2, - 3) e tern a direcao do vetor v =(5, 4) possui

as seguintes equacoes pararnetricas:v

{

X = 2 + 5t, (t E IR)

Y = -3 + 4t

----------- (12,51

I

III

Vamos obter alguns pontos

desta reta:

{

X == 2 + 5 (1) = 7= * " =;. (7,1) E reta

y = -3 + 4 (1) = I

::::;:.{x ,=2 +5 (2) = 12 ~ (12,5) Ereta

y = - 3 + 4 (2) = 5

{

X = 2+ 5(-1) ::::: 3t =- 1 ::::;:. " _ ' . =:> (- 3, ~ 7) E reta

y - -3 + 4(-1) = ~7

t = 1

t = = 2

EXERdaos

95. Dar a equaeao segmentaria d e cada reta

a)b)

y

3.

G !.

o

c) d)v y'

o x

~2"··

o x

40



96. Dar as equacoes parametricas da reta que passa por P e tern a direcao do vetor v nos

cases:

a) P"" (1,2) e v = (7,6)

c) P=(O,-l) e v=(2,4}

b) P=(-1,4) e v==(3,3)

d) P = (1,1) e v =(5, - 3)

97. Determinar a equacfio geral da reta de equayoes parametricas x = 2 + 3t e y "" 5 - 4t,

t E IR. .

Resolu~o

19 modo: Tomamos dais pan tos da reta:

- . { x = 2 + .3(0)= 2.t= 0 ~ . ==> P(2,5)

y = 5 - 4 (0) = = 5

. . { x == 2 + 3 (1) == 5t == 1 ==- ==*' Q(5,1)

y==5. -4(1)==1

e obternos a equacao geral:

Ix - 2

5 - 2

Y - 5 1 . - _ 0 ====> -4(x - 2 ) - 3(y - 5) = 0 ~

1 - 5~ - 4x - 3y + 23 ==0 -=::::;> 4x + 3y - 23 ==0

29 modo: Obtemos diretamente a equacao geral el irninando 1 nasequacoes parametricas:

{

X = = 2 + 31 X @,. 4x-= 8-'+ 12tX Q) .

y == 5 - 4 t --=--;..) 3y == 15 - 12t

4x + 3y = = 23 ~ 4x + 3y - 23 = O.

98. Determinar a equ.ayao gaul das seguintes retas:

{

X = 3 + t { x = 2...+ 2tIt) (t ER) - b)

y = 1 - t y = 3 - t

{

X = 1 + 31

c) y = -1 + 21 (t E IR)

(t E IR)

99. Determiner a equ~o reduzida das seguintes zetas

b) {.

x = = 3- 2t.a) ~ +L = 1-2 7 y = = 4 + 5t

100. Dete:rminar a ponto d~ interseyio das retas

. { X : : : 3 + 21r: . (1E JR ) e

y-=s ~ t.

(t E J R . )

: { X = 5 - 7ks " .

.y=4+ 5 k(k ER)

101. Calcular a distancia entr~'o pontoP(1,l} e a reta r: { X =3t (t E JR .)

Y = 4t

102. Dada a reta r Indieada no grmco,obter a equacao

a) da reta simetrica dercmrelacao ao

eixo X

b) da reta simetrica de r em rela~oao

eixoy

c) da reta simetrica d e rem .r~illyao. aorigem

- .

l03~ Detennin~ a equaya~'lia .reta que passa p~rP (3,2) e tern direyiio i:to~mal~o-vetorn '" (5,-4). . '. .

Resolm,;ao

.Se n = (5, -A}e.urn vetor normal a reta, ~nt[o, esta feci admite.ina fo~agenii, a

.equa~ao· .

5x:..:c:4y. . j : . c = = 0" . ,.

onde 0 vaior de cedeterminado pelo ponte P:

p ""(3,2)Eleta~ 5(3) -4(2) c"" 0 ~c ==>'-7

41



p "" +

cAPirULOIV

A C IRCUNFERENCIA NO R 2

1. Equaf30 da circunferencia

a) Equaciio reduzida

De maneira geral, em Geometria Analitica Plana denominamos equaeao de

uma curva a toda equacao em x e y cujas solucoes (x, y) sao as coordenadas dos

pontos da curva.

No caso de uma circunferencia de centro C (Xo , Yo ) e raio r, dados, temos:

o

p (x, y) E curva <===> dCp = r <===>

~ ctl:p= r2v

Usando a formula da distancia.

e~tre<dais pontos, obtemos

1 ' : ' , , < g : ~ I S ~ ' ) t ~ ~ : ' : ( ~ ~ " ~ * : 9 ) ; . ; ~ ~ " : i ~ ~ , 1que e denominada equacao redu-

zida da circunferencia.

exemplo 1

A equacao reduzida da circunferencia de centro C (3 , -1) e raio r = 2 IS

(x - 3 )2 + (y _(_1»2=2

2

, ou seja, (x - 3i + (y + 1 )2=4.

exemplo 2

A equacso (x +4)2 + (y - 7)2 = 2 5 IS a da circunferencia d e c entr o

C(-4, 7) e raio r=5~

exemplo 3

Dada a circunferencia (x - 5) 2 + (y - 1) 2 = 100 e as pontos A (- 3,7) e

B (12 , - 2 ) temos:

(XA - 5) 2 +(YA - 1) 2 = (-3 - 5) 2 + (7 ,: " '" 1)"2= (-8? + 62 = .

= 100 ==;>A Ecurva

(XB - 5) 2 + (YB - II (12 - 5)? + (- 2 - 1) 2 = 72 + (- 3 )2 =

= 58 ' * lOO~ B f F curva

b) Equac iio g era l

Vamos partir da equacao reduzida:

(x - XO)2 +(y _ YO)2=:r2

x2_ 2xox + X : . + y2 -2yoY + y~ - [2 =0

x 2 + y2 ._ 2Xox ., 2 yoY + ( X 5 + Y 5 - r2 ) = 0

Pondo- 2 xo = it, - 2yo = b e x; + Y 5 - r2

= c, obtemos a equacao

[ . ~ ~ ~ ; + y ~ + · a x + ' · b Y + ~ · s ' , o . : I .

que e denominada equacao geral da circunferencia.

Observemos que: . .

42



-axO=2

-bYo=::-y-

y~ = - ( - 8 ) = 4 } '..... 2 .

-12yo=~=-6

C= (4,-6)

exemplo 4

Vamos obter a equacso geral da circunferencia de centro C(2, 3) e raio 1.

P ar tim o s d a eq ua ca o reduzida:

(x - 2? + (y -'- 3)" = 1 ==> x2 - 4x +4+ y2 - 6y + 9 - 1= 0

==:>x2 + y2 _ 4x - 6y + 12=0

exempio 5

Vamos 0bter 0 centro e.0 raio da -circunferencia de~e-qua¢b

x2 + y2 _ 8x + 12y + 3 = O.

19 modo: Ternos a = -8, b = 12 e c = 3.

29 modo: Colocando a equac;ao dada na forma reduzida.

Xl + y2 -8x + 12y + 3 = 0 ===> (x2 - 8x) +<l + 12y) = - 3=====:> (x2 - 8x+ 16}+ (y2 + 12y + 36) = -3 + 16 + 36 .-:> .'

===>. (x - 4 )2 + (y+ 6) 2 = 49

logo, C=4, ,.--6) e r=V49 = 7

c) 0 grafico da equ[Jfao x2 + y2 + ax +by+ c'= 0

Dada a equac;ao x2 + y2 + ax + by + c = 0, onde a,b ec saonumeros

re ais , fa r;:amos:

+ - b _2 2 2

Xo =2 Yo. =2 e r = Xo + Yo - c .-

. -

C0111 isto, a equacao dada eequivalente- .

(x - XO)2 + (y .._.y~)2 = r _

e podemos tirar as seguintes conclusoes;. - 2' '2- '" . -'. _. '. - _-.- -. _. • -....

HI)sexo+yo - c >0, en tao, a eq ua ca cre pre sen ta a circ un fe re ncia de centra

{xo, yo)e -raio \fxg +yo2 . . : . : _ c. Neste caso, as solu~6es (x, y)da equac;aos~o.

ascoordenadasdos pontes da curva .... - .. '. _

. 2 2 ·· .. ·.· . : -- .- . - ;2~)se Xo + Y o -:-C . = O,entao, a equacao.fica

(x . . . c X O ) 2 +(y ,- yo)2 = 0

e a {mica solucao e x =xo e y = yo. Neste' caso, dizemos que a e~ uayao ','.. representao ponte (x o, Yo) . . ' . - . . .

'. "



3~) se x5 + Y 5 - c < 0, 'entao, a equacao nao admite solucao, Neste caso,

dizemos que ela representa 0 conjunto vazio,

exemplo 6

Sobre a equacao (x - 1)2 + (y - 2? = c podemos afirmar que:

19) se c > 0, entao, ela representa a circunferencia de centro (1, 1) e raio r =: Vc

2Q) sec = 0, entao, ela representa 0 ponto ( 1, 2 )

39) se c < . 0, entao, ela representa 0conjunto vazio,

exemplo 7

Dada a equacao x2 + y2 + 4x + 6y + c = ° temos:

-a -4 -b-6Xo =2:=;2=- 2, Yo = "2= '2 - 3,

r" =x; + y ; - c= 13 - c

19) se 13 - c > 0, istoe, c< 13, ela representa circunferencia de centro (- 2, - 3)

e raio r = v i 13 - c. .

2 9) se 13 - c ~ 0, isto e, c = 13, ela representa 0 ponte (- 2, - 3).

39) se 13 - c < 0, isto e ; c > 13, ela representa oconjunto varia.

Estas conclusoes podem ser tiradas colocando-se a equacao dadana forma

reduzida,

EXERClclOS

1. Dar a equ:u;:ao reduzida da circunferencia de centro C e raio I nos .casos; .

a) C ~ (3, 5) e r = = 2·

c) c = = (0, 2) e r = 5

b)C= (-2,-1) e I.= 1

d) C '7 (0,0) eI = = fi

2. Escrever na forma geral a equacao da circunferericia de centro C e raio r nos cases:

a) C = (1 , ~ 2 ) e r = 4 b) C= (2, 0) . e .r = 1

3. Dar 0 centro e 0 raio das cireunferencias

a) (x - 2)' + (y - W = 4

c) x' + y' =1

b) (x+ 1)' + (y + 5)2 = 9 ..

. d) x, + (y - 4)' ::::5

4. .Dar 0 centro e 0 raio das circunferenclas

a) x, + y' - 4x -6y. - 12 = = 0

c) x, + y" - 12x + 16y = 0

e) x, + y~ - 3y :::: 0

. b)x' + y' + Bx + 2y + 11 = 0

d) x' +y2 ~ lOx + 24 = = 0

f) x' + y~ .~4 ==0

S. Determinar o centro e 0 raio da circunferencia d~ equ~ao 4x' + 4y2 + 8x-4y .. . : . : . 3 =0.

ResotufJao

. .

Comecamos dividindo a .equayao pOI. 4 para coloca-la na forma geral: .

l·22· 3 0x +y·+·x-Y-T==

Ternes; -a .-2 ... }.x o =·2""-2-=-1

~ .. c= (.-1 ,;)...... .. ., b ., (- 1) 1 . .. \YO~2=-2~=2 -.

r : = , vx; + y ; ~ C : : : : } - l ? : t - { ;r~·-!}= ..1. 44



6. Determinar a centro e a raia das circunferencias

a) 9x,' + 9 y2 - 6x + 12y - 11 "" 0

b) 2X2 + 2y~ + 5x + 6y + 7 = 0

7. Calcular p de modo que a circunferencla x, + y2 - 2px + ipy + p' ~ 0 tenha raio iguala2 .

8. Calcular Q! e jJ de modo que as circunferencias

.• x' + y' - 4ax + Sy - 1 = 0 e x' + y2 + 8x - (jJ - 4)y ;;: 0

sejam concentricas (uta e, tenham centres coincidentes).

9. Determinar quais entre as pontes A (5, 3), B (1. - 5), C (- 3,4) e D n . 0) pertencem acircunferencia de eq~ao x' + y2 - 2x - 24 = O.

10.· Determiner as valores de k para as quais a ponto A(k, 2) pertence a circunfcrencia

x + y2.= 9.

11. Quais as pontos da circunferencia X' + (y - 1)2 = 4 que tern abscissa 11

12. Quais sao as pontes onde a circunferencia x' + y' - 4x - 5y + 3 = 0 intercepta 0eixo dos x1

13. Mostrarque existe urn Unico pori to do plano cartesiano quesatisfaz a equa~ao

X' + y' - 2x - 2y + 2 = o.

14. Associar cada eq~ao (1 a V) a' uma das op~oes (A a C),

1. x' +·yl = 1

II. x· + y2 = 0 .

III. x' + y' + 1 ;; 0

IV. x2 + yl - 2x + 1 = 0

V. x? + y' - 2x - 1= 0

A) circunferencla

B) ponto

C) conjunto vazio

15. Indicar as condicces sabre m e p para que a equa~ao 2x' + my' + 4x + Sy + p = 0

represente uma circunferencia •

.2. A circunferencia definida por tres pont os .

Para obter a equacao de uma circunferencia que satisfaz a deterrninadas con-

d ic ;: 5e s, p odemos p ens ar em descobrir antes ° centro C ( xo. Y o) e 0 raio r (se nao

fotem dados), a partir dos quais formamos aequacao (x -XoY1. + (y - Yo? =r2 .

Caso nem ° centro e nem a raio .sejam conhecidos, temos tres incognitas a

determinar: Xo . Yo e r. Procuramos entao determinar tais incognitas a partir das

condicoes a Clue a circunferencia deve satisfazer,

exemplo 8

.Vamos deterrninar a equacao da circunferencia de centro C(2, 0) e que passa

pelo ponte P(4. 1).

Comecamos obtendoo raio.:

i= c l e p = J(4 ~2)Z+{1 - 0)2=

=..;5:

A'equacao da c i r c U n f e re nc t a e 45



exemplo 9

Vamos determinar a equacao da circunferencia que passa pelos pontos

M (2,0) e N(4, - 2), e tern centro na reta s: y = 2x.

o centro C (xo. Yo) equidista

de MeN; logo:

dCM =:; deN ~

V(2 - xoyl + (0 - Y O ) 2 =

= .J(4 - XO)2 +(-2 - Yorl ===?

4 -AXe + x~+ y J : : : :16 - 8xo +

+ ~ + 4 + 4yo + Y 5 ~

4Xo - 4yo = = 16

Xo-Yo=4 C D

Como C(xo, Yo) pertence a s: y ==2x, temos: Yo = 2xo 0De (De @ decorre: Xo = -4 e Yo = - 8.

Assirn, 0 centro e C:::: (-4, -8) e'p~demos obter 0raio:

r = deM = . . / (2 + - 4 )2 + (0 + B Y : = 10

A equacao da circunfereneia e

(x + 4 )2 + (y + 8) 2 = 100

NOTA: o centro e o ponto de interseccao darnediatriz do segrnento MN com a

reta s.

A equacao C D , Xo - Yo=4,

exprime 0 fato de. que C pertence a'. mediatriz (reta formada por pontos

equidistantes deM eN).

exempioLO

Vamos deterrninar a equacao da circunferencia quepassa pelos pontes

M (3, - l),N (a, 8) .e P (0, a).

Como 0 centroC (xo, Yo ) equidista de M, N e P ternos:

"dCM=dCN =>,-~~--~--~~

===>../(3 ~XO)2 +(_;_1-:-yo)2

=V'(O - xof+ (8- Y O ) 2 ->

. ... '.' 2 ". '. ·'2

9 -6:<0 +xo+ 1+ 2yo + Y o =' 2 • . .> 2 ..... .'

: :: : Xo +64 -16yo + Yo ' .' ~

:;_6xo +18yo= 54 "

. '. .' -Xo+ 3yo=9 C D . '

dCN = dcp~J(O .-:Xo)'2+ (8 -: Yo)2=J(O - : , " : xoj2+ (O-YO)22'· ", '2 2.' '2 ., .

Xc i +64-'16yo + Y o =Xo + Yo'.

64 ... ,. 1 6y o = 0

. Y o=AQ)

46



De C D e C D decorre: Y o = 4 e Xo = 3.

Assim, 0 centro e C = (3 ,4 ). A ch ernos 0 raio:

I = dcp = J (0 - 3 )2 + (0 - 4 )2 = 5.

A equacao da circunferencia e

(x - 3 )2 + (y - 4 )2 ::;: 25.

N este ex ernp lo , deterrnin am os a equ acao de u m a circu nferenc ia da qu al eram

conh ecidos tres pontes. L ernbrem os que tres pontos nao colineares M , N e P

sempre determinarn um a circunferencia, c u jo c en tr o e a interseccao das mediatrizes

do s segmentos MN, NP e PM ,

Outro metoda p ara ob ter a equ acao, neste ex em plo.ve 0 s eg u in te : s u pomos

qu e a equ acao e x2 + y2 + ax + by + c = 0 e im pomos qu e M, N e P satisfaeam

a equacao:

M(3, - 1) E curva 32+ (- 1)2 + a . 3+ b(- 1)+ c = 0=>===-:;:._ 3a - b + c =~10 · C D

N (0, 8) E curva 02 + 82 + a • 0 + b . 8 + c =0 ~

=>8b+c=-64 @. .

P.(O , 0) E cu rva 02 + 02 + a • 0 + b . 0 + c = 0 ~

c=O@

De C D , (1 ) e ® decorre: c = 0, b =-8 e a=-6

Logo, a equacao ex2+y2 -6x - By ~ O.

As equacoes' encontradas por urn ou por outro metoda sao equivalentes:

EXERciClOS. . .; .

16. Determi~ar.~ equa~o da circunferencia de centroC(S, 2)e quepassa pelo ponto P (5, 5).

17. Determiner a equacao de cada eircunferencia:

a) by. y c)

4

2 x

1S. Detcrminar a equacao de uma circunferencia de raio igual a 3, tangente aos eixos coorde-

nados e. contida no .29 quadrante,

19. Dar as equacoes das circunfere~ci:isde raio I.e tangentes aoseixosccordenados.

20. Deterrninar a equacao da dIc~ferencia de centro C (2, -l) etarig~nte a retat:4~ '+ 3y - 2 = 0 . - . . . . .

Resohi~o

47



o raio e igual it distancia do centro areta tangente:

r;o:d =14(2)+3(-L)-2j:::lC,t ~ 5

A equaqao da circunferencia e

9(x - 2)' + (y + 1)' ;0 -

. 25

21. D~telminar a equacao da circunferencia de centro C(- 3, - 3) e tangente it reta

t: 12x - 5y - 5 = O.

22. Detenninar a equacao da circunferencia de centro na origem da sistema cartesiano e

tangente it leta x + y = S.

23. Determinar a equacao da circunferencia de centro C(3,4) e tangente exteriormente 11

circunferenciade equacao x' + yl = 1.

24. Determinar a equa ..ao da circunferencia que possui urn diametro de extremidades A(?, 10)

e B (1,2).

25. Determinar a equa¢io. .da circunferencia que passa pelos pcntos A (2, 0) e B (4, - 2) e

tern centro na reta y ~ 2x.

26. Determinar a equayao da circunferencia que passa pelos pontos A (-1,0) e B0,0) e

tern raio r = . . ; r o :

27. Determinar a equayaa da circunferencia quepassa pelos pontes P ( - 2, 0), Q (0, 2) e

R(4.0}.

2B . Determinar a equacao da circunferencia que passa pelos pontos.A(7, 10), B(-9,2) e

C(9, -4).

29. Determinar a circunferencia circunscrita ao triangulo de vertices (O, 0), (4, 0) e (0,6).

30. Deterrninar a circunferencia que passa pelo ponto P (4,9), e tangente it reta. t: y + 1 "" °e tern 0centro no eixo dos v - .

3. Posi~ijes relatives e interseccoes

a)Reta e circunferencia

Uma reta t euma circW1fere~cia r do planocartesiano podem apresentar as

seguintes posicoes relativas:

Secantes Tangantes

d< r e tn r= {P,o}. . .

E){teriores .

d>r e tnr=¢

Dada a equacac de t, ax +by+ c =0, 0 centro eo raio de "{,C(xo, Yo)

e r, podemos estabelecer a posicao relativa calculandoa distsncia d entre 0 centroe a reta: .

· · _ 1 axo +byo + c 1 .d -. V a 2 + b2 .

48



Outra maneira de verificar a posicao relatlva entre uma reta e uma circun-ferencia e descobrir 0 numero de pontos de intersecao, Cada ponto de intersecao

satisfaz a s equacoes de t e de'Y e, entao, e solucao do sistema forrnado por elas:

{

ax + by + c = 0

S (x _ XO)l + (y _ YO)l = ['2

Resolvendo 0 sistema S podernos encontrar duas, uma au nenhuma solucao

conforme a reta e a circunferencia tenham dois, urn au nenhum ponte cornurn,

respectivamente. Assim;

_'s- ' i~Ir i · i -~~~b. i~ i jes·~~".- te' " . y ~ a o '~tes;-~[;t,

. _ ; - ' . : , · _ . , ' S s · , · _ : " : • •: - : .i , n a, ' -~ , . _' - .~ , : ·_ ~ , .- . ~ .- . _ ,· , - ._ , . ·· , . _: t .: ! ,- e . ". , ;' _ m i '- . - • • ~ : ' , ' _ l , · _ s : ~ , : _ o " : _ - - ~ " l•. ' U - - ' I . • _ ·- r - . , · . - ' . - . , " ~ ·· - ; ; : . t e 1..oi~"~iei'i"\i-< ..•_ . : - o ' ' . , ' . ' . . . ~ ' . ' , . , .""t .. · ' C ' _ t ' e ' + _ ~ ? ~ ~ i ~ i ~ ~ ~ ' ; _

exemplo 11

Consideremos a reta t: X+ y - 4 = 0 e a circunferencia "!: x2 + y2 = 16 e

verifiquernos a posicao relativa entre t er.

19 modo:

centro e raio de"!: .C (0. 0) e r "" 4

. _ . ' I (0) + (0) ..:.4 1 4'distancia entre C e t: d = ..; '2 2 ' ,= ,,,,= 2..[2

,1,+ 1 , y2 '

Como 2..;2 < 4 temos d < r e concluimosque t e r .sao secantes,

29 modo:

Vamos resolver 0 sistema das equacoes de te v:

{

X+Y-4=0S 'Xl + / = = 16

De C D obtemos y=4 - x , que substitu irnos em Q):

x2+ (4-,-:,xf =.Hi =o=:!>2Xl ~ ax =0 ==::!> X = 0 ou x = 4

Para x = 0 ternos y = 4 - x=4 -0 = 4, enquanto que para x =4 temos

y = 4 - 4 = O. . .. .

Logo, S apresenta duassolucoesrf O i -l} e (4,0).Conclufmos quet .e "(SaO secantes e que os pontes de interseccao sao os

pontos de coordenadas (0, 4) e (4. oj. 49



b) Duos c ir cun/erencias

Duas circunferencias "11 e "1 1 do plano cartesiano pcdern apresentar as

seguintes posi~es relativas:

"1 1

(II) TANGENTES EXTERIORMENTE

11)

!II EXTERIORES

12

d > It +'1 e "11 n12 = r p d = rl + '2 e "11 n "1a = {p}

(III) SECANTES (IV) UMA NO INTERIOR DA OUTRA

p

fl

C ------1 ....~---

d

(V) TANGENTES INTERIORMENTE (VII CONC~NTRICAS

. Quando rl ;: fZ . "11 e "12 sao coincidentes.

Observamos que a posi~a0fi~a determiIlada pela comparaeao da distancia d

entre os centros com·~ soma ou difererica dos raios, Notamos ainda que 11 e 12podem apresentar infinitos, dais, urn ou nenhum ponto de interseccao conforme

sejam,respectivamente, coincidentes, secantes, tangerites (exteriormente ou inte-

riormentej ou de interseccao vazia (exteriores OU u m a no interior da outra),

exempla 12.

Vamosverificar a posicao relativa dascircunferencias

11:(X -l)z+.(y _-2)2 ,~Se

''/2: ex - 3i + (y ~ 3)2=io.

centro e raio de'}"l: CI = (1, 2 ) .. e II= . . ; s 5ernos:



d = VS } ==> d < rl + r2r1 + Ii.=V S + V T O .

==*' i1 e i2 sa o

secantes

P ara determ inar as p ontos de interseccao devem os resolver 0 sistema

{

(x -I ? - _ :

{y -2 )2

=.

5 ' .2 ( )2 ,htoe,(x - 3) + Y> : 3 = 10

{

X2 + y2 - 2 x - 4y = 0

x2 + y2 _ 6x - 6y = - 8 C Doa que podemos fazercomo segue: -

C D - < ]) 4 x + 2y = 8 ~ 2 x + y =4 =>Y = 4 - 2 x Q )

o e C D =-==:;:.. x2 + (4 __:2X )2 - 2 x - 4 (4 - 2 x )_= 0 =>

==~ Sx'l - lOx=0 ==> x = 0 au x =2

Em Q ), parax= 0 ternosy =4 - 2(0) =4, e para x=2 ternos y =4 - 2 ( 2 ) = O .

Logcr,osponios.de in te rse cc ao d e ')'1 e i2 sao (0, 4 )e (2 , 0).

EXERClclOS

31. Verificar a posj~iio relativa de t e 'Ynos' casos:

a) t: x + y + ·1 = 0 e'Y: x~ + yl ::::2

b) t: x + y+ 2 ",; 0 e -y : x' + y' = 2

c) t: x +y + 3= ,0 e or: Xl + y~ = 2 '

32. Verificar a posi!f3o relativa de t e 'Y nos casos:

a) oy: x' + y' = 20 e t: 2)( + y -'- 10 :::: 0

b) 'Y : Xl + y' = 25 e t: 2x +.y '- 10 ;:; 0 ,

c) 1: x' + y2 = 19 c :' t: 2x + y -r- 10,= 0. ., . :.

33. Veriflear a posicao relativa entre a reta)x+4y'+ 15 =0 e a circunferencia

x, + y' -4x - lOy- 35 = 0 ,

34. Determiner, se.existir, os pontes de inteISe~~.da reta coma~~erencia. nos cases:

a) {2X-Y .= 0 b ) '{2 .X ...+Y .:.:cs;:;oC) {X+Y-l.O=O

x'+y'=5 . x'+y',=5 ,x'+Y'=25

35. Calcular 0 cornprimento da corda que a reta x '+y - 3 = 0 determina na circunferencia

(x + 2)'+(y - 1)2 =10.

Resolu~o

19 modo

{

X +Y'.c ,,3 =0- ~

, (x » 2)'+ (y -I)' ::::10

~(x= 1, y=2)ou(x=:_ 1,y=4)

Determinamos as interseccoes da leta

com acircunferencia:

51



2? modo Determinarnos a centro e 0 raio da clr-

eunferencia:

c ""{-2,1) e r = ..;'TO

Calculamos a distancia entre 0 centro e

a reta:

d ;;: I ( - 2) + (1) - 3 1 = 2J2~

Calcularnos Q no triangulo hachurado na

figura:

Ql :;:; rl - dl ;:; 10 - 8 :;:;2 ===;:> Q = ..ff

o comprimento da corda e 211;portanto, 2.jI

36. Determinar a comprirnento da corda definida pelo eixo dos x na circunferencia .

Xl + y1 _ 5x + 4y + 4 = O.

37. Determinar a comprimento da corda que a reta x + y - 2 = 0 deterrnina na circunferencia

de centro (1,0) e raio 2.

38.·Calcular 0 comprimento da corda da circunferencia x'

+yl

media e M (4,4).

2x = = 168, cujo ponto

39- Determinaro ponte medio.da ..corda que a reta x + y + 4 = 0 define na circunferencia

x' + - r - 2x - 4y- 100=- O.

40. Dada a reta y :;:;x + k e a circunferencia x, + y' = 9, deterrninar k nos casas

a) a reta e a circunferencia sao tangentes

b) a reta e a circunferencia sao seeantes

41. Para que valores de k a reta x = k intercepta a clrcunferencia x' + y' -·2x :;:; 0 em

dois pontes distintos? .

42.- Para que v~lores de k a reta y';::o kx e tangente a circunferdncia x, + v ' - 2 0y + 36 :;:;O ?

43_ Obter uma reta paralela a s:x + y + 1= 0 e tangente Ii circunferencia x' + yl - 2x

- 2 y +1 :;:; o.

Resoluedo

.Sendo t a reta pedida, t r s, ela admite

uma equa\iw da forma

x + y +.k.= O .

o valor de kfica determinadn.hrrpcndo-

-se a condicjio de tangdncia:

dC, t : : : : r

Ternos:

X' + y' - 2x _2y + 1:;:; 0 ::=::=::;::. C := (1,1) e r.> 1

d = r ===!:> I (1) + (1) +k l = 1 ===> k = ~ 2 ± .j2C,t . ~

logo, t: x + y - 2 + - / 2 =0 ou x +y ~ 2 -'- .J2:;:;

44. Determinar uma reta paralela a s: 3x + 4y = 0 e tangente a circunferencia x' + y' = 25.

. 45. Determinar as retas paralelasa reta x - y '- 1 ::;;.0 e tangentes Ii circunferencia

x· + y' .:..4x -4y - 1= o.

46. Obter uma reta perpendicular a reta x - y - 1 = 0 e tangents it circunferencia

x· + (y .; 1)2:; 1.

47. Determinar as retas tangentes a circunferencia x~ + y' + 8x + 6y = De paralelas ao 52



49. Detennin~ os pontes de interseccao das circunferencias 1', e 1', nos cases:

{

1'I: x' + y2c+ 2x + 2y = 2 {'YI: x' + y' - 2x - 8y + 7 = °a) b)

1',: x' + y2 = 2 'Y2: x, + y2 .: 4x- 6y + 9= 0

50. Determinar a intersec~ao da circunferencia de centro (0, 1) e raio 1 com a de centro

(3,5) e raio 4.

51. As circunfcrencias de equacfies x' + y2 + 2x - 4y =0 e x' + y2 - X - y=:O cortam-se

nos pontes A e B. Obter a equa~ao da reta AB. C

52. Verificar a posi~iio relativa de 1'1

{

1'I:Xl+y2=1

a)

1',: (x - 3)2 + y' = 4

CAPITULO I

1. A12. 31. BI4, 21. C(~4 . 31, 0(- 2, - 3). E(3. - 31,

F(3. 01;GIO,2), HI-3, 0).110, -21

2. 01 A, 0, F bl c. E, F3 , alc2 '? b ) 4< ;> cl s' ? dl 2 < ;> .1 I'?

16. al (1,01 bl (0. -1) cl 11. ~ I5' 5

dl ( ' 1 " 3 -_1_).) (.f2 Y2 I2' 2 2' 2

I) ( 2 ...{lJ 3.j13 I13 • 13

.) ~ bJ 242

al 6.1=l!,z "'ad-bc C

. ---lo,,~ ~

bl Sendo OA = I.. b), 00 '" ic, dl • OC = (e + . , cd + bl,c 0 paraloLogramodeflnldc por ate a D tarn~ ~gUll a do paralelograma ·deft.nido par C i t e

CC.

4.

5.

17."-21 -77

oj (6!f' 6"5 1

"46 64cc i (25'251

.1 13 b) ..f210 +..f2

~ o4'?

~X=~y30 ~x=-~y=1

d x '" 5, y =7 dl x =J, Y '" 2

al 110, 71 bl (15. 10) cl (-14, - 10) dl 127,191

• 1 II, - 51 b) (37, 3) c) (- 22. - 61 dl (90. 1DI

aJ [-4,7) bl (-5, 1) c) (3,21) dll-:)7,-21f

x .. 4, y =7

0) x = - 3, y =0 bl x = ~ C , Y = 3 cf x = = - I,

,=1 C

12. XC =< V" 0

.) \4,:))

d] (3,-2)

.1 (2,5)

dl [-1,3)

9) (7. 0)

6.'9.20.

7,

s .

22. ~

23. (6, 01

24. (0•.4)

25. 5

26. 34

27. a, b, C, d, e, g, h e j

2B. .) su n b) slrn

0) nao fJ sirn

10.

11.

13. bl 1-4,2)

eJ (-4.:))

b) (-6, - 3)

0) [0,2)

hi lx, yJ

0) IS , I)

fl[-4,-2)

d 15,-11

fI(O. -31

14.

1S. paral.logramo

16. 1- 3, -:)1I"?~ .1 1-1,~121 b) (28,31.

d] (0,01

18. 18 , ·10)

19.. 15,10)

20. ca= t

2~, al .im

el nao30. sirn

.bl slm

fl . 'm3t.nao

bl J.3

C b] 3

c) (- 10,151

33. .a J 6

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CAPITULO II

61.

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53



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CAP(TULO lit

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54

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01 CIa,tIe r = t fJ CIO, 01 e r '" 2

6. al CI~,-%Ior=~ bl CI-t,-tler=f

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9. A e B 10. ±V511. 11,1±.;J J 12.!l, 01 e !J,O)

14. LA 11.9 IILC IV,S V,A

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e} Ix-2)Z +ly-212 =4

18. I" + 3J' + Iv - 3)2 =9

19. [x ± r)2 + Iv ± rJ' =l

CAPiTULO IV

21. Ix + JI' + Iv +·3)2= 4

22 ,,2 + V' = 25• 2

23. lx - 312 + Iv - 4J

2 = 16

24. (x - 4J2 + Iy- 612.= 25

25. Ix + 4)' + I~ + 6)2 =100

26. ,,2 + Iv ± 3) = 10

'1.7. Ix =,j2 + Iy + 1}2 =10

2a. Ix -1)2 + Iy -2J2 = 100

29. 1r.-2)2.+ly-3J2 =13

3 0 . x2 + Iy - 2 : )2 .. S ; ~

31. al ...cantes h) tangent es

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33. exterior.'34. .1 II, 21 • 1- I, - 21

~. 3 R,

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49. oj 11,-1). I-I, 11 bl 12, II • 14,31

3 950. 15 " "5 ) 51." - Y = 0

52. al tanqentes exterlcrmsnte b) secentes

~~~..• ~ORILLO

. Professor UNISUAM

Mat. 1023

55

APOSTILA GEOMETRIA ANALITICA

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