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Universidade Federal de Alfenas - Unifal-MG Departamento de Ciências Exatas

Apostila Laboratório de Física I

Prof. Dr. Célio Wisniewski

Alfenas – 2015

1. Noções gerais sobre medidas de grandezas e avaliação de incertezas 2

1.1. Medição (measurement).......................................................................................................................................................... 2

1.2. Mensurando (measurand) ....................................................................................................................................................... 2

1.3. Valor verdadeiro ou valor do mensurando.............................................................................................................................. 2

1.4. Erro (error).............................................................................................................................................................................. 2

1.5. Incerteza (uncertainty) ............................................................................................................................................................ 2

1.5.1. Tipos de Incerteza .............................................................................................................................................................. 3 1.5.2. Limite de operação (LO) e limite de detecção (LD) .......................................................................................................... 7 1.5.3. Incertezas combinadas ....................................................................................................................................................... 5 1.5.4. Incerteza relativa (∆Xr) e Incerteza percentual (∆X%)...................................................................................................... 6

1.6. Acurácia ou exatidão ( accuracy )........................................................................................................................................... 6

1.7. Precisão ( precision)................................................................................................................................................................ 6

1.7.1. Medição de grandezas ........................................................................................................................................................ 7 1.7.2. Tipos de medidas ............................................................................................................................................................... 8

1.8. Algarismos significativos........................................................................................................................................................ 8

1.9. Propagação de incertezas ........................................................................................................................................................ 9

2. Tratamento estatístico e cálculo dos desvios 10

2.1. Peso ou média ponderada...................................................................................................................................................... 11

2.2. Comparação entre duas medidas........................................................................................................................................... 12

2.3. Método Científico (Galileu).................................................................................................................................................. 12

3. Gráficos 13

3.1. Regras para construção de um gráfico .................................................................................................................................. 13

3.2. Critérios para traçar a reta mais provável ............................................................................................................................. 16

4. Método dos Mínimos Quadrados (MMQ) 17

4.1. Qualidade do ajuste............................................................................................................................................................... 21

2

1. Noções gerais sobre medidas de grandezas e avaliação de incertezas

Os trabalhos de laboratório normalmente são realizados com o objetivo de identificar, quantificar e

estabelecer possíveis relações entre duas ou mais grandezas, que intervêm em um fenômeno ou processo.

1.1. Medição (measurement)

A palavra “medição” é a recomendada para o “ato de medir”, conforme dicionário. A palavra “medida”

tem muitos significados no cotidiano, como por exemplo, “medida sócio-educativa” e deve ser evitada.

1.2. Mensurando (measurand)

Mensurando é definido como “a grandeza específica submetida à medição”, tais como volume, área,

tempo, comprimento, temperatura, etc. O mesurando pode ser único ou depender de outras grandezas

correlacionadas. Por exemplo, o volume de um paralelepípedo dependerá da medição do comprimento, da

largura e da altura do objeto.

1.3. Valor verdadeiro ou valor do mensurando

É o valor mais próximo da realidade. Normalmente é o valor da literatura para um determinado

mensurando. Por exemplo, se fizermos a medição da carga do elétron (mensurando), para fins didáticos o valor

verdadeiro será o valor conhecido da literatura. Na maior parte dos experimentos, o valor verdadeiro é

desconhecido e é o objetivo do experimento. Em alguns experimentos o objetivo é justamente melhorar o valor

conhecido da grandeza. Neste caso o que diferencia a medição do valor verdadeiro é a acurácia ou exatidão do

resultado obtido.

1.4. Erro (error)

O erro η é a diferença entre o resultado y da medição e o valor do mensurando yv (valor verdadeiro).

vy yη = −

Se o valor do mensurando é uma quantidade desconhecida, então o erro de medição também é uma

quantidade desconhecida.

1.5. Incerteza (uncertainty)

Incerteza é um conceito qualitativo definido como “parâmetro associado ao resultado de uma medição

que caracteriza a dispersão de valores que pode ser fundamentadamente atribuídos ao mensurando”. Por

3

exemplo, quando fazemos a medição de tempo utilizando um relógio de ponteiros, a medição possuirá uma

incerteza de no mínimo 0,5 segundos, isto é, a metade da menor escala. Por exemplo: 35,0(5) segundos, onde o

número entre parêntesis indica a incerteza associada de 0,5 s à medição de 35,0 s.

Expressões tais como “erro aleatório”, “erro sistemático”, “incerteza aleatória” e “incerteza sistemática”

são tradicionalmente usados em física. Entretanto, esta nomenclatura não é recomendada, exceto para fins

didáticos. A justificativa para isto é o caráter relativo do que seja efeito sistemático ou efeito aleatório. Um

exemplo simples é a incerteza cometida no ajuste de “zero” de um instrumento, que pode ser sistemático

(quando imprecisamente executado ou esquecido) para uma série de medições. Entretanto, se o “zero” é

ajustado para cada medição, a incerteza se torna aleatória. Entretanto, deve sempre ficar claro o caráter relativo

da distinção entre “incerteza aleatória” e “incerteza sistemática”.

1.5.1. Tipos de Incerteza

Incerteza é um conceito qualitativo definido como “parâmetro associado ao resultado de uma medição

que caracteriza a dispersão de valores que pode ser fundamentadamente atribuídos ao mensurando”. Como

pode ser visto, “erro” e “incerteza” são conceitos bastante diferentes. Existem dois tipos básicos de incerteza, a

incerteza do tipo A e do tipo B.

Incerteza tipo A

A incerteza tipo A é a incerteza inerente a qualquer experimento, não controlável, mas que pode ser

minimizada. Pode ser avaliada a partir da análise de uma série de observações, realizada conforme os métodos

da estatística clássica.

A incerteza padrão (μA) pode ser identificada com o desvio padrão experimental que é uma estimativa

não-tendenciosa da medição. No caso mais simples, a medição é repetida n vezes obtendo-se os resultados y1,

y2, ... , yn. A melhor estimativa para o valor do mensurando é a média:

1

1 n

ii

y yn =

= ∑

A estimativa não-tendenciosa para a incerteza tipo A é:

( )2

A1

1

1

n

ii

y yn

µ=

= −−∑

Incerteza tipo B

A incerteza tipo B é a incerteza avaliada por quaisquer outros métodos, que não os métodos estatísticos

clássicos. Em geral, para estimar a incerteza tipo B, os métodos empregados correspondem á estatística

bayesiana.

4

Avaliação da incerteza tipo B

A incerteza padrão tipo B também deve ser dada na forma de desvio padrão. Entretanto, não existe a

estatística convencional para fazer isto, simplesmente porque não existem várias observações: “Se uma

quantidade de entrada X não é determinada por meio de observações repetidas, a incerteza tipo B é avaliada

pelo julgamento científico baseado em toda informação disponível sobre a variabilidade da quantidade de

entrada. O conjunto de informações pode incluir dados de experiências prévias, experiência ou conhecimento

geral do comportamento e propriedades dos materiais e instrumentos relevantes, especificações de fabricantes,

dados fornecidos em certificados de calibração e outros certificados e incertezas atribuídas a dados de

referência obtidos em manuais”. Um dos problemas é que a avaliação da incerteza tipo B é bastante subjetiva,

pois depende, em grande parte, o grau de conhecimento do avaliador sobre o mensurando e a medição.

O procedimento para determinação da incerteza tipo B consiste em admitir, para os valores possíveis de

X, uma distribuição de probabilidades que esteja de acordo com todo conhecimento e informação disponíveis

sobre a “variabilidade” desta quantidade. O termo “variabilidade” se refere a valores possíveis de X, que tem

valor único. A avaliação de incerteza tipo B corresponde ao princípio inicial da estatística bayesiana, que

consiste em admitir uma distribuição de probabilidades a priori para a variável aleatória. A seguir, são

discutidos alguns exemplos.

Distribuição retangular

Como exemplo, uma quantidade de entrada Yi está num intervalo

entre iY a Y Y a− ≤ ≤ + , sendo que isto é tudo o que se sabe sobre a

“variabilidade” de Y. A única alternativa aceitável é admitir que Y pode

estar em qualquer ponto do intervalo com igual probabilidade. Assim, a

melhor estimativa para Y é a média padrão:

( ) ( )2

Y a Y aY Y

+ + −= =

E a incerteza padrão é o desvio padrão da distribuição retangular:

( ) ( ) 258% da área a part i r do valor médio

12 2 3 3

Y a Y a a aσ

+ − −= = = →≈

Por exemplo: ao fazer uma medida com uma régua de um corpo que tem aproximadamente 5 mm, o

valor pode estar entre 4 e 6 (um traço a direita ou a esquerda de 5 mm). O intervalo é 5 1 5 1iY− < < + , o valor da

medida será 5 (valor médio) e a incerteza é

5

10,58

3σ = ≅ (ou ≈ 0,58 m)

Portanto considera-se o valor medido 5,00(0,58)iY = . Esta incerteza estará presente em todas as

medidas.

Distribuição de Laplace-Gauss (normal)

A distribuição de Laplace-Gauss, também chamada de

gaussiana ou normal, é bastante usada para representar a dispersão

de valores possíveis de uma quantidade.

Diferente da distribuição retangular, os limites do intervalo

tendem a infinito, com a probabilidade tendendo a zero. Portanto,

devemos integrar a função de probabilidade F(kσ) de x-kσ até x+kσ, onde k é a quantidade de desvios padrões σ

a partir do valor médio. Na figura, para o intervalo (x-2σ, x+2σ), isto é k = 2 corresponderá a 95,44% de

certeza que a próxima medida está neste intervalo, neste caso se kσ = a, a incerteza é:

2

a a

kσ σ= → = , para uma probabilidade de 95%

Este é a abordagem clássica de que a incerteza entre duas escalas consecutivas (como a régua

milimetrada) é igual à metade da escala. Dependendo do instrumento, isto não é verdade. Os instrumentos

digitais podem apresentar uma incerteza maior, pois além da escala, os equipamentos tem o ajuste de zero e este

ajuste também é uma fonte de incerteza.

Para fins didáticos, adotaremos essa abordagem de que a incerteza é metade da menor escala (95%, de

acordo com a distribuição normal).

1.5.2. Incertezas combinadas

Na maioria das vezes um mensurando possuirá incertezas do tipo A e do tipo B combinadas. A incerteza

será:

A BX X X∆ = ∆ + ∆

Note que as incertezas são sempre em módulo e somadas. Não existe subtração de incertezas!!!

Quando se faz uma única medição, ∆XA = 0.

6

Por exemplo, se forem feitas n medições com uma régua milimetrada, o resultado será

( ) ( 0,5)A AY Y Yσ σ σ= ± + = ± + , onde σA é a incerteza do tipo A (estatística) e 0,5 a incerteza da régua (0,5

mm).

1.5.3. Incerteza relativa (∆∆∆∆Xr) e Incerteza percentual (∆∆∆∆X%)

São números puros, adimensionais, que caracterizam a exatidão do mensurando:

% 100 100r r

X XX X X

X X

∆ ∆∆ = ∆ = = ∆

Exemplo: %

0,5 4,3 0,5 / 0,12 e 12%

4,3r

vv m s v v

v

∆= ± → ∆ = = = ∆ =

Em geral, dependendo da dificuldade de medição, as incertezas aceitáveis do ponto de vista científicos

são aquelas abaixo de 2%.

1.6. Acurácia ou exatidão ( accuracy )

A acurácia (ou exatidão) indica a qualidade do resultado da medição no que se refere á incerteza final,

isto é, quando já se sabe o resultado obtido e qual a incerteza deste resultado.

1.7. Precisão ( precision)

A precisão é uma indicação parcial da qualidade da medição, que se refere apenas a flutuações

aleatórias. Além de boa precisão, é necessário que os efeitos sistemáticos (incertezas constantes em todas as

medições) sejam pequenos para se ter boa acurácia. A palavra “precisão” (precision) é universalmente aceita

com este significado. Por isso, embora exista controvérsia entre os termos “acurácia” e “exatidão”, é

inadmissível traduzir “accuracy” como “precisão” ou usar esta palavra para indicar a qualidade da incerteza

final de um resultado, o que infelizmente tem ocorrido com freqüência em

manuais técnicos e até mesmo em textos científicos.

Um exemplo é um atirador usando um rifle em disparos em um

alvo. No primeiro alvo temos baixa exatidão e baixa precisão, isto é, o

rifle é ruim e há muita dispersão dos tiros. Na segunda figura o rifle é

excelente porém as condições de tiro e do atirador não são boas. No caso

3, o rifle não é muito bom, porém o atirador compensa no tiro. No

último, o atirador é bom e o rifle também.

O mesmo ocorre com um instrumento. Se utilizarmos um

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paquímetro (alta precisão) para medir um bloco irregular, o valor do volume terá baixa exatidão devido

justamente a irregularidade do bloco. Se utilizarmos uma régua para medir um cubo perfeito, teremos baixa

precisão do instrumento, porém exatidão no valor do volume. Agora, utilizando um paquímetro para medir este

cubo teremos alta precisão e excelente exatidão na medida do volume.

1.7.1. Limite de operação (LO) e limite de quantização (LQ)

Além da incerteza do instrumento de medição, temos ainda dois outros limites para o instrumento:

Limite de Quantização (LQ) = é a menor quantidade que pode

ser detectada.

Limite de Operação (LO) são os valores máximos e mínimos

que o equipamento consegue medir dentro de um intervalo linear.

Por exemplo, a balança do laboratório tem as seguintes

especificações:

Pmáximo: 4200 g

Pmínimo: 0,5 g

d: 0,001 g

e: 0,1 g

Isto é, o limite de uso ou operação (LO) da balança é para massas entre 0,5 e 4200 g. O limite de

detecção é de 0,1 g, que neste caso coincide com a incerteza (e) da medição, embora a balança possua 3 dígitos

(d: 0,001 g) após a vírgula e capaz de fornecer 0,001 g no visor.

1.7.2. Medição de grandezas

Medir é comparar com uma unidade padrão. Desta forma ao representar uma grandeza escalar ou

vetorial necessitamos especificar:

1. um símbolo ou nome para a grandeza

2. um número (ou módulo) que especifica a quantidade em termos do padrão;

3. direção e sentido, quando se tratar de uma grandeza vetorial.

4. uma unidade padrão;

Por exemplo, ao se medir a velocidade de um objeto ˆv 10 ι ( / )m s=�

, devemos ter um nome ou símbolo

(velocidade ou v�

), um número (10), uma unidade (m/s) e direção e sentido ( ˆ+ι ).

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O valor numérico em uma medida experimental será sempre um valor aproximado, pois é inevitável a

ocorrência de incertezas, sejam aleatórias, devido ao experimentador, ao instrumento utilizado ou de grandezas

que não podem ser eficientemente controladas durante o experimento. Por exemplo: ao medir a velocidade

precisamos medir o tempo, com um cronômetro acionado por um observador, para percorrer uma distância

medida com um metro, trena ou régua. Teremos imprecisão no acionamento do cronômetro, na medida da

distância, no instrumento utilizado, e em outras grandezas que não podem ser diretamente avaliadas como a

ação das forças de atrito, resistência do ar, etc. Portanto, além da apresentação do valor e padrões, devemos

especificar a confiabilidade ou precisão da medida.

“A apresentação da incerteza não significa necessariamente que o experimentador não foi cuidadoso,

mas que a instrumentação tem uma precisão intrínseca associada e é uma garantia ou margem de segurança

que deve ser respeitada ao se utilizar este número”.

Portanto, deve-se apresentar o valor da grandeza medida na forma:

( )2

ˆv 10,02 0,03 ι / (valor ± incerteza) direção unidade

ˆv (1002 3)x10 ι /

ˆv 10,02(0,03)ι /

ˆv 10,02(3)ι / formato mais compacto, padrão da disciplina

m s

m s

m s

m s

−

= ± →

= ±

=

= →

�

�

�

�

Todas estas formas são adequadas e a escolha depende das normas do editor ou normas padrão (ABNT).

1.7.3. Tipos de medição

• Medida direta: aquela obtida diretamente do visor do equipamento ou observação da escala. Ex.:

comprimento, tempo, massa, temperatura.

• Medida indireta: aquela obtida através de cálculos matemáticos a partir de outras grandezas.

Ex.: velocidade (tempo e distância), volume (comprimento, altura, largura), densidade (massa e

volume), etc.

1.8. Algarismos significativos

São considerados algarismos significativos de uma medição todos aqueles que individualmente tem

algum significado. Não existe uma regra geral para o número de números significativos, mas, em geral adota–

se 2 algarismos significativos, via de regra.

( ) 3 3

3,5 2,4 3,5 2,4

48 13 48 13

02 17 0

) 123, 456 2,345 12 ou 12 ( )

) 0,482 0,123 0, 0, ou 0, ( )

) 1023,145 167,2 1, 0, 10 o 2 13u 1, ( ) 10

a X X X X

b X X X X

c X X X X

= ∆ = → = ± =

= ∆ = → = ± =

= ∆ = → = ± ⋅ = ⋅

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Note que o número principal acompanha a mesma estrutura da incerteza, isto é, no item a, a incerteza

tem 1uma casa decimal e 2 números significativos, logo o valor de X possuirá 1 casa decimal, como a incerteza.

Quanto ao arredondamento, deve se observar as seguintes regras:

“A incerteza (ΔX) deve ser arredondada para cima”

“O valor médio (X) deve ser arredondado para o número mais próximo.”

Existe uma discussão sobre a validade destas regras, porém em nível didático atendem as expectativas.

1.9. Propagação de incertezas

Ao realizar uma medida indireta, devemos levar em conta a incerteza de cada grandeza medida. Esta

incerteza irá se propagar em todos os cálculos matemáticos.

Se uma grandeza indireta Q depender de várias variáveis medidas , , ,...a a b b c c± ∆ ± ∆ ± ∆ , com suas

respectivas incertezas, podemos escrever:

( , , ,...)Q f a a b b c c= ± ∆ ± ∆ ± ∆

Por exemplo, a área de um retângulo de lados a a a e b b b= ± ∆ = ± ∆ é A ab= , qual a incerteza

A∆ associada a medida da área??

Para calcular, consideremos que a incerteza ∆Q associada à grandeza Q pode ser calculado a partir do

cálculo diferencial, isto é, calculando-se a derivada parcial de Q em relação a cada uma das variáveis.

...Q Q Q

dQ da db dca b c

∂ ∂ ∂= + + +

∂ ∂ ∂

Onde , , ,...Q Q Q

a b c

∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂são as derivadas parciais de Q em relação a cada uma das variáveis.

Se as incertezas forem suficientemente pequenas, podemos substituir a derivada de cada variável pelas

respectivas incertezas, isto é,

, , , ,...dQ Q da a db b dc c→ ∆ → ∆ → ∆ → ∆

E como as incertezas sempre se somam, tomamos o módulo de cada termo

...Q Q Q

Q a b ca b c

∂ ∂ ∂∆ = ∆ + ∆ + ∆ +

∂ ∂ ∂

Por exemplo:

10

[ ]

Fazendo a derivada da área em relação a e :

e

Portanto:

A incerteza relativa é:

rel

Área A ab

A A A AdA da db A a b

a b a b

a b

A Ab a A b a a b

a bA ab b a a b

da área

A a bA

A a b

=

∂ ∂ ∂ ∂= + ⇒ ∆ = ∆ + ∆

∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂= = ⇒ ∆ = ∆ + ∆

∂ ∂

= ± ∆ + ∆

∆ ∆ ∆∆ = = +

Se a grandeza Q depender de várias variáveis na forma:

( , , ,...) ...

... ou ...

m n kQ a b c Aa b c

Q a b c a b cm n k Q m n k Q

Q a b c a b c

=

∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ = + + + ∆ = + + +

Exemplo: calcule o volume de uma esfera de raio R = 34,5 ± 0,2

O volume da esfera é

( )

3

2

2

454751,5

3

0,23 3 54751,5 952,5 9,6 10

34,5

547,1 9,6 10

n RV R V AR V n V

R

RV V V

R

V

π π

π π π

π

∆= = → = → ∆ =

∆∆ = = = → ∆ = ⋅

= ⋅

2. Tratamento estatístico e cálculo dos desvios

Em um experimento, do ponto de vista estatístico, todas as medidas tem a mesma importância.

O tratamento estatístico mais comum é a determinação da média aritmética dos dados. Se n medidas são

feitas, então o valor médio de uma grandeza X é:

1

1 n

ii

X Xn =

= ∑ Ex.: 1

(5 3 4) 4, 3 (5,3 4)3

X para valores de x e= + + =

O desvio estatístico (incerteza) associado a cada medida é:

( )iiestX X X∆ = −

No exemplo acima: ( ) { }1; 1; 0 para os valores 5, 3 e 4i

iestX X X∆ = − → −

11

O desvio médio absoluto é:

( )1 1

1 1i

n n

est est ii i

X X X Xn n= =

∆ = ∆ = −∑ ∑

Ex.: 1 2

, 5 4 3 4 4 4 0,673 3

para o exemplo anterior X∆ = − + − + − = ≅

A incerteza é obtida a partir do desvio padrão

( )

( ) ( ) ( )

2

1

2 2 2

1

1

1para o exemplo anterior, 5 4 3 4 4 4 1

3 1

n

A ii

A

X X Xn

X

=

∆ = −−

∆ = − + − + − ≅ −

∑

Note que o valor é menor que o desvio médio absoluto.

Portanto a grandeza X poderia ser representada como X = 4±1 ou X = 4(1)

2.1. Peso ou média ponderada

Em algumas situações, o valor da incerteza associado a medições individuais é diferente para cada

medida, por exemplo, medidas feitas com equipamentos diferentes ou experimentadores. Neste caso utilizamos

a média ponderada com a qual podemos atribuir um grau de importância a cada medida.

A média ponderada e o desvio absoluto de uma grandeza X serão calculados pelas expressões:

( )

( )

( ) ( )

1 1 2 2 12

1 2

1 1

21

2 21 1

... 1 1e ,

...

11 1

n

i in n i

in nn i

i ii i

ni

i in n

i ii i

p Xp X p X p X

X X onde pp p p Xp p

X

Xou X e X

X X

X X X

=

= =

=

= =

+ + += = ∆ = =

+ + + ∆

∆= ∆ =

∆ ∆

= ± ∆

∑

∑ ∑

∑

∑ ∑

Note que o peso pi é inversamente proporcional ao desvio ao quadrado de cada medida, isto é, quanto

mais precisa a medida, maior o peso.

Ex.: suponha que o comprimento de um lápis tenha sido obtido por uma régua milimetrada e por uma

trena centimetrada. A incerteza da régua é 0,5 mm enquanto que a medição com trena é de 0,5 cm = 5 mm. Os

dois valores medidos, portanto, são:

Régua� c = 150,5 ± 0,5 e Trena � c = 150 ± 5 mm (ou 15,0 ± 0,5 cm).

12

Portanto, a média ponderada é:

( ) ( )R 2 2

1 14 0,04

0,5 5

4.150,5 0,04.150150, 495

4 0,04

1 1: 0, 498

4 0,04

0,0033 0,02 : 150,50 0,50

égua Trena

Régua Régua Trena Trena

Régua Trena

Régua Trena

r

p p

p X p XX

p p

A incerteza da medição é Xp p

Como X então X

= = = =

+ += = ≅

+ +

∆ = = ≅+ +

∆ ≅ < = ±

2.2. Comparação entre duas medições ou valores

Quando queremos comparar um resultado experimental X com um valor da literatura L (valor

verdadeiro), devemos calcular o desvio relativo ou percentual, isto é:

% 100r

X L X LD D

L L

− −= =

A concordância entre os dois valores é dado por: %100 100 1X L

C DL

− = − = −

2.3. Método Científico (Galileu??)

O Método Científico, para um sistema com N variáveis, consiste em fixar (N-2) variáveis e determinar o

comportamento das duas variáveis restantes. Por exemplo, se uma grandeza indireta a ser determinada F

depender explicitamente de x, y e z, na forma:

( , , ) L M KF x y z Ax y z A Cte= =

Podemos fixar as variáveis y e z e determinar F em função de X. Faz-se o mesmo para as demais variáveis.

Para linearizar os dados e determinar o valor da potência, podemos calcular o ln da função e obter uma equação

de reta.

ln ln ln onde ln , , ln

L M KF Bx B Ay z Cte

F B L x y ax b y F a L b B

= = =

= + → = + = = =

E assim obter, a partir do gráfico da reta y ax b= + , os valores das potências de cada variável.

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3. Gráficos

A melhor maneira de visualizar o comportamento de uma grandeza e se obter o seu valor é através da

construção de uma gráfico.

“uma figura mostra mais do que palavras”

Para se construir um gráfico devemos primeiro verificar o tipo de gráfico que melhor representa uma

medida. Em geral, um gráfico de linhas é utilizado, mas podemos utilizar colunas, pizza, etc. Além disso,

devemos destacar sempre as medidas e não a figura como um todo. Por exemplo:

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

tempo (s)

ve

loc

ida

de

(m

/s)

Série2

Velocidade do Carrinho x Tempo

0

0.25

0.5

0.75

1

0 5 10 15 20

Tempo (s)

Velo

cid

ad

e (

m/s

)

A figura da direita evidencia a curva. O gráfico é limpo, sem enfeites e sem chamar atenção para

detalhes irrelevantes. O gráfico da esquerda, por outro lado, abusa de cores, peca por usar legenda muito

destacada, linhas de grade que escondem a curva e as escalas do gráfico (valores numéricos) são apresentados

em excesso.

3.1. Regras para construção de um gráfico

Primeiramente devemos escolher os eixos: normalmente colocamos a variável no eixo horizontal

(abscissas) e a grandeza medida no eixo vertical (ordenada), como mostrado na figura acima. A escala do

gráfico deve ser escolhida de forma que os valores colocados em cada eixo tenham poucos algarismos e sejam,

sempre que possível, arredondados.

Por exemplo: dada a tabela abaixo,

Tempo (s) Velocidade (m/s) 0 1,34 1 2,54 2 10,13 3 30,23 4 56,72 5 10,31 6 -2,21 7 -10,54

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O tempo (variável) será colocado no eixo das abscissas. Devemos colocar 4 ou 5 valores nas escalas do

gráfico. Se dividirmos 7 por 4 ou 5 não conseguiremos números redondos, logo procuramos um número maior

que 7 que possa ser dividido por 4 ou 5. Neste caso, o número 8 é o ideal e dividido por 4 é igual a 2.

Já o valor da velocidade varia de -10 a 56,7 , isto é, uma variação de 66,7. Neste caso devemos

arredondar para 80, isto é, -10 a 70. O gráfico então é:

No gráfico acima temos duas constantes importantes:

Degrau: a diferença entre dois valores consecutivos na escala. O degrau da escala y é 20 e da escala x é

2.

Passo: a distância em escala de comprimento. O passo nas duas escalas é de 1,5 cm.

Os dados experimentais devem ser colocados no gráfico com as marcas , ou outros tipos

de marcas. O tamanho da marca pode especificar a incerteza associada àquela medida, como no gráfico

abaixo.

Velocidade x Tempo

0

5

10

15

20

25

0 1 2 3 4 5

Tempo (s)

Velo

cid

ad

e (

m/s

)

15

A barra colocada sobre o ponto experimental indica a incerteza cometida na medição. Note que a

incerteza aumenta, neste caso, com o aumento da velocidade. O último ponto possui valor de velocidade igual a

22 m/s, mas a incerteza associada é de aproximadamente 5 m/s, isto é, v = 22 ± 5 m/s.

No gráfico abaixo é mostrado um outro tipo de escala. A escala logarítmica. Ambos os eixo apresentam

a escalas em múltiplos de 10.

1

10

100

1000

1 10 100 1000 10000 100000

Quando a somente uma escala é logarítmica, dizemos que o gráfico é mono-log, mas se ambas forem

logarítmicas, o gráfico é chamado de di-log. Este tipo de gráfico é útil para demonstrar uma grandeza que

cresce exponencialmente. O equivalente do gráfico acima em escala linear é:

0

40

80

120

160

0 40000 80000 120000

Note que o uso da escala logarítmica tornou a linha de dados uma reta. A colocação do valores se faz

utilizando a seguinte distribuição.

O valor x = 2,3 e y = 7 é mostrado através da bolinha preta. Note que a escala logarítmica não começa

em zero!! Porquê?

16

Todos os dados que cujo gráfico é uma reta, podemos associar uma equação de reta na forma y ax b= + ,

onde a é o coeficiente angular da reta e b o coeficiente linear. O coeficiente linear é obtido fazendo x = 0 no

gráfico (e na equação) e anotando-se o valor de y = b. Já o coeficiente angular é obtido pegando-se a tangente

do triângulo formado entre a abscissa e dois pontos no gráfico.

Toda função que possua variáveis com expoente diferente de zero, podem ser convertidos em uma reta

tomando-se o logaritmo da função. Por exemplo:

ln ln ln

isto é ln , , ln

nQ Cz

y Q n z C ax b

x z a n b C

=

= = + = +

= = =

Desta forma, podemos calcular o valor de n colocando os dados em um gráfico di-log, a partir da reta

obtida.

3.2. Critérios para traçar a reta mais provável

Existem dois métodos principais, o Visual e o Método dos Mínimos Quadrados.

1. Visual: traçamos uma reta que mais se aproxime dos dados experimentais. Neste método, podemos observar

se um ponto está muito fora do comportamento dos demais e podemos desconsiderá-lo ao traçar a reta.

17

4. Método dos Mínimos Quadrados (MMQ)

Na figura abaixo, temos duas curvas, uma representada por pontos (bolinhas) e outra por uma linha

contínua.

As bolinhas são os dados experimentais e a linha é o ajuste de uma curva aos dados experimentais.

Chamamos o dado experimental de iY ,

onde i=1 até N, o número de pontos ou de

medições. A curva ajustada é uma função da

variável medida, isto é, ( )Y Y x= . Mas como

obter essa função a partir dos dados

experimentais?

Para determinar a curva, primeiramente

definimos o tipo de curva. No exemplo da

figura, é uma reta na forma ( )Y x ax b= + . Como temos xi e yi, as coordenadas de cada ponto, temos que

calcular os coeficientes a (coeficiente angular) e b (coeficiente linear). Para obter os coeficientes, utilizamos o

Método dos Mínimos Quadrados (MMQ). Este método consiste em fazer o quadrado da diferença entre o valor

experimental e o valor obtido pela curva ajustada mínimo. Portanto a determinação dos coeficientes da curva

deve ser tal que o quadrado da diferença, ou a incerteza seja mínima.

Portanto, somando todos os quadrados das incertezas

( )( )

2

1

dado experimental

valor calculado pela função ajustada

Ni

i ii i

YY Y x seja mínimo

Y x=

=− → =

∑

Para calcular o valor de máximo ou mínimo devemos derivar esta expressão e igualar a zero.

( )2

1

0, onde é o coeficiente a ser calculado.N

i i iii

Y Y x aa =

∂ − = ∂

∑

Portanto, ao derivar em relação à variável ai e igualar a zero, encontramos o valor de ai para que a diferença

das incertezas ao quadrado seja mínima ou a função que mais se aproxima aos dados experimentais. Para

simplificar, vamos considerar o caso mais simples ou uma reta.

Neste caso ( )i iY x ax b= + . Logo, temos dois valores a serem determinados, a e b. Portanto:

( ) ( )2 2

1 1

N N

i i i ii i

y y x y ax b= =

− = − + ∑ ∑

Esta equação possui duas variáveis, logo temos duas derivadas:

5,5

6

6,5

7

7,5

8

2 3 4 5 6 7 8 9 10

X

Yexp

eri

me

nta

l ,

Yaju

ste

Dados Experimentais

Curva Ajustada

18

( ) ( )2 2

1 1

0 e 0N N

i i i ii i

y ax b y ax ba b= =

∂ ∂− + = − + = ∂ ∂

∑ ∑

Quando derivamos em relação a a, b é uma constante, e em relação a b, a é uma constante.

( )

2formulas: ( ) 2

e

d dpara f x f f f

dx dxd d

ax a x adx dx

=

= =

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2

1

2

1 1

1 1 1

2

1 1 1

0

2 0

2 2 2 0

(1)

N

i ii

N N

i i i i i ii i

N N N

i i i i i i ii i i

N N N

i i i ii i i

a

y ax ba

y ax b y ax b y ax ba a

y ax b x x y x ax b

a x b x x y

=

= =

= = =

= = =

∂− + = ∂

∂ ∂− + = − + − + = ∂ ∂

− + − = − + + =

+ =

∑

∑ ∑

∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑

em relação a

( )

( ) ( ) ( ) ( )

2

1

2

1 1 1

1 1 1 1

1 1

0

0

1 0, 1

(2)

N

i ii

N N N

i i i i i i i ii i i

N N N N

i ii i i i

N N

i ii i

b

y ax bb

y ax b y ax b y ax b y ax bb b

y a x b mas N

a x bN y

=

= = =

= = = =

= =

∂− + = ∂

∂ ∂− + = − + − + = − + = ∂ ∂

− − = =

+ =

∑

∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑

em relação a

2

1 1 1 1 1 1 12 2

2 2

1 1 1 1

1

e

N N N N N N N

i i i i i i i i ii i i i i i i

N N N N

i i i ii i i i

N

i ii

a b

N x y x y x y x y x

a b

N x x N x x

N x y

a

= = = = = = =

= = = =

=

− −

= =

− −

=

∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑ ∑

De (1) e de (2) isolamos e

2

1 1 1 1 1 1

2

2

1 1

e

N N N N N N

i i i i i i ii i i i i i

N N

i ii i

x y x y x y x

b

N x x

= = = = = =

= =

− −

=∆ ∆

∆ = −

∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑

19

Através de tratamentos estatísticos, podemos obter as incetezas. O desvio padrão de cada coeficiente

pode ser escrito como:

( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

2

1

2 2

2 2 2 2

2

2 2 2 2

1

, mas desvio padrão ,1

e, portanto , e

Somando os desvios de todos os pontos temos:

( ) e ( )

N

ii

i

N

j j j

y ya b

a y e b y y yy y N

a ba a b b ou a b

y y

a ba b

y y

σ σ

σ σ σ σ σ σ

σ σ σ σ

=

=

−∂ ∂

∆ = ∆ ∆ = ∆ ∆ = = = =∂ ∂ −

∂ ∂∆ = ∆ = = =

∂ ∂

∂ ∂= = ∂ ∂

∑

∑2

1

2

2

1 1

2

1 1 1 1 1

Como não depende explicitamente de , então é uma constante e:

1 1e

N

j

N N

i i ji i

N N N N N

i i i i i i i ii i i i ij j j j

N x x y

a bN x y x y x y x y

y y y y

=

= =

= = = = =

∆ = −

∂ ∂ ∂ ∂ = − = − ∂ ∆ ∂ ∂ ∆ ∂

∑

∑ ∑

∑ ∑ ∑ ∑ ∑1 1

1

2

1 1 1

22

2

Porém 0 para e 1,

Então pois para as demais derivadas são nulas, e portanto:

1 1e , e:

( )

N N

ii i

i jj j

N

i i jij

N N N

j i i j ii i ij j

x

y i j yy y

x y x i jy

a bNx x x x x

y y

a Nσ

σ

= =

=

= = =

∂ ∂= ≠ =

∂ ∂

∂= ≠

∂

∂ ∂ = − = − ∂ ∆ ∂ ∆

=∆

∑ ∑

∑

∑ ∑ ∑2 22

22

1 1 1 1 1

2

2

1 1 1 1 1

222 2 2

21 1 1

22 2 2

2

e ( ) ,

sabendo que , (1) e 1

( ) 2

( ) 2

j

j

j

N N N N N

j i i j ij i j i i

N N N N N

i j ii j j j i

N N N

j i ij i i

x x b x x x

x x N N x x

a N x Nx x x

a N x N x

σσ

σσ

σσ

= = = = =

= = = = =

= = =

− = − ∆

= = − =

= − + ∆

= −∆

∑ ∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑22

2 22

1 1 1

2 222 2 2

21 1 1 1 1 1 1

222 2

21 1

22

2

( )

( ) 2

( )

( )

j

N N N

i j ij i i

N N N N N N N

i j i i j i ij i j i i i i

N N

ij i

b x x x

x N x b x x x x

a N N x x

a N

a N

σσ

σσ

σσ

σσ

σ

= = =

= = = = = = =

= =

= − ∆

+ = − ∆

= − ∆

=∆

∆ =∆

∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑

2

2

1 1

222 2 2

21 1 1

22 2

21

2

1

( )

( )

j

N N

ij i

N N N

i i ii i i

N

ii

N

ii

x x

b N x x x

b x

b x a

σσ

σσ

σ σ

= =

= = =

=

=

+

= − ∆

=∆

∆ = = ∆∆ ∆

∑ ∑

∑ ∑ ∑

∑

∑

20

( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

2

1

2 2

2 2 2 2

2

2 2 2 2

1

, mas desvio padrão ,1

e, portanto , e

Somando os desvios de todos os pontos temos:

( ) e ( )

N

ii

i

N

j j j

y ya b

a y e b y y yy y N

a ba a b b ou a b

y y

a ba b

y y

σ σ

σ σ σ σ σ σ

σ σ σ σ

=

=

−∂ ∂

∆ = ∆ ∆ = ∆ ∆ = = = =∂ ∂ −

∂ ∂∆ = ∆ = = =

∂ ∂

∂ ∂= = ∂ ∂

∑

∑2

1

2

2

1 1

2

1 1 1 1 1

Como não depende explicitamente de , então é uma constante e:

1 1e

N

j

N N

i i ji i

N N N N N

i i i i i i i ii i i i ij j j j

N x x y

a bN x y x y x y x y

y y y y

=

= =

= = = = =

∆ = −

∂ ∂ ∂ ∂ = − = − ∂ ∆ ∂ ∂ ∆ ∂

∑

∑ ∑

∑ ∑ ∑ ∑ ∑1 1

1

2

1 1 1

22

2

Porém 0 para e 1,

Então pois para as demais derivadas são nulas, e portanto:

1 1e , e:

( )

N N

ii i

i jj j

N

i i jij

N N N

j i i j ii i ij j

x

y i j yy y

x y x i jy

a bNx x x x x

y y

a Nσ

σ

= =

=

= = =

∂ ∂= ≠ =

∂ ∂

∂= ≠

∂

∂ ∂ = − = − ∂ ∆ ∂ ∆

=∆

∑ ∑

∑

∑ ∑ ∑2 22

22

1 1 1 1 1

2

2

1 1 1 1 1

e ( ) ,

sabendo que , (1) e 1j

N N N N N

j i i j ij i j i i

N N N N N

i j ii j j j i

x x b x x x

x x N N x x

σσ

= = = = =

= = = = =

− = − ∆

= = − =

∑ ∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑ ∑ ∑

22 22 2 2 2 2

2 21 1 1 1

222 2 2

21 1 1 1

222 2

21 1

22

2

( ) 2 ( )

( ) 2

( )

( )

j

j

j

N N N N

j i i ij i i i

N N N N

i j ij i j i

N N

ij i

a N x Nx x x b x

a N x N x x N x

a N N x x

a N

a N

σ σσ σ

σσ

σσ

σσ

σ

= = = =

= = = =

= =

= − + = ∆ ∆

= − + ∆

= − ∆

=∆

∆ =∆

∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑

2

1 1

2 222 2 2 2

21 1 1 1 1

222 2 2

21 1 1

22 2

21

2 2

1 1

( ) 2

( )

( )

j

N N

j ij i

N N N N N

i j i i ij i i i i

N N N

i i ii i i

N

ii

N N

i ii i

x x

b x x x x x x

b N x x x

b x

b x a x

σσ

σσ

σσ

σ

= =

= = = = =

= = =

=

= =

−

= − + ∆

= − ∆

=∆

∆ = = ∆∆

∑ ∑

∑ ∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑

∑

∑ ∑

Se a equação de reta passar obrigatoriamente pelo zero (origem), isto é, b=0, então podemos simplificar para:

21

( )

( )

2

1 1

2 2

1 1

e

1

N N

i i i ii i

N N

i ii i

x y ax ya a

x N x

= =

= =

−

= ∆ =

−

∑ ∑

∑ ∑

4.1. Qualidade do ajuste

A qualidade do ajuste é obtida pelo coeficiente de determinação R2:

( )

( )

2

2 1

2 1

1

1,

N

i Ni

iNi

ii

ax b yR onde y é o valor médio y y

Ny y

=

=

=

+ −

= ⇒ =

−

∑∑

∑

Note que o cálculo é feito em torno do valor médio, no numerador em função da equação calculada (axi+b) e no

denominador em função dos dados experimentais yi.

Sabendo que:

( ) ( ) ( )

( )

2 2 2

1 1 1

22 2 2 2

1 1 1 1 1 1

12 2

N N N

i i i ii i i

N N N N N N

i i i i i ii i i i i i

y y y ax b ax b y e

y y y y y Ny y y y yN

= = =

= = = = = =

− = − − + + −

− = − + = − +

∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑

A equação para R2 pode ser escrita:

( )2

2 12

2

1 1

11

N

i ii

N N

i ii i

y ax bR

y yN

=

= =

− −

= −

−

∑

∑ ∑

O ajuste ideal ocorre quando R2 =1. Um bom ajuste R2 > 0,9

Por exemplo, foi feita a medida da força F para esticar uma mola de uma quantidade x. Qual a relação

entre F e x?

medida xi(m) Fi(N) xi Fi xi2

1 0 0 0 0 2 0,02 0,11 0,0022 0,0004 3 0,04 0,19 0,0076 0,0016 4 0,06 0,32 0,0192 0,0036 5 0,08 0,38 0,0304 0,00640

5

1i=∑ 0,2 1

0,0594 0,012

22

Supondo que a relação é uma equação de reta, a função é: ( ) 0i iF x ax com b= = . Note que neste

caso a reta passa obrigatoriamente pelo zero, então:

1

2

1

0,05944,95

0,012

N

i ii

N

ii

x Fa

x

=

=

= = =∑

∑

Portanto, ( ) 4,95F x x=

Comparando com a equação de restauração da mola ( )F x kx= − , verificamos que a mola possui uma constante

elástica k=4,95.

O cálculo pode ser generalizado para qualquer polinômio, utilizando o cálculo matricial, isto é:

( )

onde: é a matriz de coeficientes da equação a serem determinados;

é a matriz da variável e var e a matriaz transposta de ;

é a matriz de valores da variável dependente.

Por exemplo, no caso do ajuste de uma r

T T

Tpontencias da iável

=X X C X Y

C

X X X

Y

( ) ( )

0 0

0 11 11 1

0 12 22 2

0 1

1 1

eta na forma então, 1

1

1, e

1

Desta forma, para determinar

, é a matriz invers

i i i i

N NN N

TT T T

T

y ax b y ax bx x

x yx x

x ya x x

b

x yx x

onde− −

= + = + → =

= = = =

= =

C X Y

C

X YC X Y X X X X

X X

⋮ ⋮ ⋮⋮ ⋮

a de TX X

Por exemplo, se considerarmos os dados da tabela anterior, temos:

� �0

0 1 00,02 1 0,110,04 1, e 0,190,06 1 0,320,08 1 0,38

ii xx

a

b

= = =

C X Y

23

A matriz transposta de é a troca de linha por coluna :

0 0,02 0,04 0,06 0,08

1 1 1 1 1

O produto é

0 1

0,02 10 0,02 0,04 0,06 0,08 0,012 0, 2

0,04 11 1 1 1 1 0, 2 5

0,06 1

0,08 1

A matriz inversa de é :

T

T

T

T

T

=

= ⋅ =

X

X

X X

X X

X X

X( )

( )

1

1

250 10

10 0,6

O produto é:

0

0,110 0,02 0,04 0,06 0,08 0,0594 0,0594 0,0594 0,0594 0,0594

0,191 1 1 1 1 1 1 1 1 1

0,32

0,38

logo, a matriz dos coeficientes é

250 10

1

T

T

T Ta

b

−

−

− =

−

= ⋅ =

− = = =

−

X

X Y

X Y

C

C X X X Y0,0594 0,0594 0,0594 0,0594 0,0594 4,85

0 0,6 1 1 1 1 1 0,006

ou 4,85 0,006y x

⋅ =

= +