Apostila de Matematica Basica

MATEMTICA BSICA

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MATEMTICA

[SUMRIO]

Conjuntos Numricos .......................................................................................................................................

- Teoria dos Conjuntos

1

Porcentagem ........................................................................................................................................................ - Nmeros proporcionais, regra de 3 simples e composta - Diviso Proporcional

9

Equao, Sistemas e Problemas de 1 grau ................................................................................................

48

MMC e MDC ..........................................................................................................................................................

51

Funes ................................................................................................................................................................... - Funes de 1 Grau - Funes de 1 Grau (Exerccios), Funes de 2 Grau (Bhaskara) - Funes de 2 Grau (2a. parte), Questes de Funes

56

Sistemas de Medidas .......................................................................................................................................... - Converso de medidas

73

Geometria Plana ..................................................................................................................................................

77

Matrizes ...................................................................................................................................................................

87

Geometria Espacial .............................................................................................................................................

104

PA e PG ...................................................................................................................................................................

115

Juros, Estatstica e Grficos .............................................................................................................................. - Juros simples - Juros Simples: Montante - Juros Compostos - Estatstica e mdias - Mdia Geomtrica - Mdia Harmnica - Grficos

31

Continua

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[SUMRIO]

Continuao

Trigonometria ...................................................................................................................................................... - Trigonometria no Tringulo Retngulo.

131

Anlise Combinatria ........................................................................................................................................ - Anlise Combinatria: Fatorial - Anlise Combinatria: Princpio Fundamental de Contagem - Anlise Combinatria: Arranjos Simples - Anlise Combinatria: Permutao - Anlise Combinatria: Combinao Simples

134

Equaes exponenciais ....................................................................................................................................

143

Funes Exponenciais e Trigonomtricas ....................................................................................................

147

Logaritmos ..............................................................................................................................................................

155

1CONJUNTOS NUMRICOS

Ao agrupamento de elementos comcaractersticas semelhantes damos o nome de conjunto.

Quando estes elementos so nmeros, taisconjuntos so denominados conjuntos numricos.

Neste tpico estudaremos os cinco conjuntosnumricos fundamentais, que so os conjuntosnumricos mais amplamente utilizados.

1. Conjuntos dos Nmeros Naturais (N)

formado por nmeros utilizados na contagem eordenao de elementos.

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ... }

N* = {1; 2, 3, 4, 5, ... } o conjunto dosnmeros naturais no-nulos.

2. Conjunto dos Nmeros Inteiros (Z)

uma expanso do conjunto dos nmerosnaturais.

Z = { ... , - 5, - 4, - 3, - 2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... }

N

Para excluir os nmeros positivos de um conjuntoutilizamos o smbolo - (menos) e para excluir osnegativos, utilizamos o + (mais).

Deste modo:

Z* = { ... , - 5, - 4, - 3, - 2, -1, 1, 2, 3, 4, 5, ... } o conjunto dos nmeros inteiros no-nulos.

Z+ = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... } o conjunto dosnmeros inteiros no-negativos.

Z- = { ... , - 5, - 4, - 3, - 2, -1 , 0} o conjuntodos nmeros inteiros no-positivos.

Z*+ = { 1, 2, 3, 4, 5, ... } o conjunto dos nmerosinteiros positivos.

Z* = { ... , - 5, - 4, - 3, - 2, -1 } o conjunto dosnmeros inteiros negativos.

C O N J U N T O S3. Conjunto dos Nmeros Racionais (Q)

formado pelos nmeros que possuemrepresentao fracionaria com numerador e denominadorinteiros (denominador no-nulo).

Q = { x = | a Q e b Q* }

De modo anlogo ao proposto para o conjuntodos nmeros inteiros, temos Q*, Q+, Q-, Q

*+ e Q

*-.

Os nmeros que apresentam representaofracionria e, portanto so nmeros racionais so:

A) Nmeros Inteiros

Todo nmero inteiro, possui representaofracionaria, veja os exemplos:

Observe os exemplos:

a) -5 = - = - = , portanto -5 Q.

b) 0 = = = , portanto 0 Q.

c) 7 = = = , portanto 7 Q.

B) Fraes prprias, imprprias e nmeros mistos

Observe os exemplos: , , 3 Q

C) Nmeros Decimais Exatos

Nmero decimal exato aquele que apresentaum nmero finito de casas (ordens) decimais. Observeos exemplos:

a) 0,2 = = , portanto 0,2 Q.

b) 1,35 = = , portanto 1,35 Q .

D) Dizimas peridicas simples e compostas.

Dzimas so nmeros decimais que apresentaminfinitas casas (ordens) decimais. So chamadas peridicasquando, aps a vrgula, apresentam repetio de umnmero infinitas vezes. Este nmero chamado perodo.

Observe alguns exemplos:

a) 0,222 ... = , portanto. 0,222 ... Q.

Esta dizima chamada peridica simples, poisimediatamente aps a vrgula percebemos a presenado perodo 2.

ab

51

102

153

01

02

03

71

142

213

210

15

135100

2720

29

35

42

12

Prof. Ms. Nederson Espndola

Matemtica

Matemtica

2

b) 0,3222 ... = , portanto 0,3222 ... Q.

Esta dzima chamada peridica composta, pois apsa vrgula percebemos a presena do nmero 3 (pr-perodo) antes do perodo 2.

4) Conjunto dos nmeros irracionais (R Q) ou II

Nmeros irracionais so as dizimas no-peridicas, isto , so nmeros decimais que apresentaminfinitas casas decimais, porm no possuem perodo.So nmeros que no resultam da diviso entre doisnmeros inteiros.

Os nmeros irracionais mais famosos so:

a) O PI. = 3,1415926535897932384626433832795 ...

b) O nmero de Euler.e = 2,718281828459045235360287471352 ...

Podemos obter nmeros irracionais extraindo razesno-exatas como segue:

c) 2 = 1,4142135623730950488016887242097 ...

d)3

5 = 1,7099759466766969893531088725439 ...

5) Conjunto dos nmeros reais (R)

Chama-se nmero real a qualquer nmero racionalou irracional. Deste modo podemos dizer que o conjuntodos nmeros reais e a unio entre o conjunto dosnmeros racionais e o conjunto dos nmeros irracionais.

R = Q II

De modo anlogo ao proposto para os conjuntosdos nmeros racionais, temos R*, R+, R-, R

*+ e R

*.

6) Conjuntos numricos fundamentais emdiagrama

Abaixo temos a representao dos conjuntosnumricos fundamentais em um diagrama.

Exemplos:

1) Os nmeros que conhecemos foram criados devidos necessidades dos seres humanos. Inicialmente anecessidade de contar e em seguida o surgimentodas operaes foraram o aparecimento de novosnmeros em diferentes lugares e momentoshistricos.

Diversas pessoas foram responsveis por estaevoluo no pensamento humano construindo osconjuntos numricos estudados atualmente. Emrelao aos nmeros que pertencem a estesconjuntos podemos afirmar que:a) Todo nmero racional uma dzima peridica.b) Todo nmero irracional inteiro.c) Toda dzima no-peridica no real.d) Todo nmero real tem infinitas casas (ordens)

decimais.e) Todo nmero natural racional.

2) (Fundao Zoobotnica - FAURGS) Considere osseguintes nmeros:I. 0,010101...II. 0,010010001...III. 0,123412341234

Quais so nmeros racionais?a) apenas Ib) apenas I e IIc) apenas I e IIId) apenas II e IIIe) I, II e III

2990

Matemtica

3

{ }

{ }{ }

3) (UFRGS) Identifique, entre os conjuntos abaixo osubconjunto do conjunto dos nmeros irracionais:

a) , , 3

3 , 2

b) -2, , 2 , 3

c) , 3 , , 7

d) 2 , 3 , 4 , 5

e) -11/4, 21/2, , 21/3

4) (UFRGS) Entre os nmeros seguintes,A) 0,171717 ...B) 0,313113111311113 ...C) 0,424224222422224 ...D) 0,897638976389763 ...E) 3

a) nenhuma racional.b) todas so racionais. c) apenas E racional.d) apenas A, D e E so racionais.e) apenas B e C so racionais.

5) (UFSM) Assinale verdadeiro (V) ou falso (F) em cadauma das afirmaes a seguir:( ) A letra grega representa o nmero racional

que vale 3,14159265. .( ) O conjunto dos nmeros racionais e o conjunto

dos nmeros irracionais so subconjuntos dosnmeros reais e possuem apenas um pontoem comum.

( ) Toda dizima peridica um nmero racional.

A seqncia correta :a) F - V - Vb) V - V - Fc) V - F - Vd) F - F - Ve) F - V - F

13

3

18

315{ }

{ }

Gabarito: 1. E 2. C 3. A 4. D 5. D 6. E 7. A 8. C

06) (UFRGS) A lista completa dos adjetivos natural,inteiro, positivo, negativo, racional, irracional, real

e complexo, que se aplica ao nmero

a) complexo, real, irracional, negativob) complexo, racional, inteiro, positivoc) real, racional, inteiro, negativod) complexo, racional, inteiro, negativo, naturale) complexo, real, racional, inteiro, negativo

07) (UFRGS) Entre os nmeros apresentados nasalternativas, qual o nico que racional?a) 2,333...b) 0,01001000100001...

c)

d) e) razo do comprimento de um crculo e seu raio

08) (UPF) O valor da expresso

a) um nmero inteirob) um nmero naturalc) um nmero racionald) um nmero irracional maior que 1e) no um nmero real

(1 - 25)2

2 2

35

14

+ 0,4

6 +

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4

TEORIA DOS CONJUNTOS

Conjuntos

um agrupamento de objetos bem definidos edistintos de nossa percepo ou de nosso pensamento,os quais se denominam elementos do conjunto (GeorgCantor).

Representao de um conjunto

Os conjuntos so representados por elementos.Os elementos so colocados entre { } ou diagramas.

Ex.: A = { }

Caracterizao de um Conjunto

Por compreenso

Quando enunciamos as propriedades do conjunto.A = [x | x vogal}

Por extenso

Quando mencionamos todos os seus elementos.A = {a, e, i, o, u}

TIPOS DE CONJUNTOS

Conjunto Vazio

Um conjunto, embora seja associado a umacoleo de objetos, as vezes no possui elementos.

Como representar um conjunto vazio, ou seja,um conjunto que no possui elementos?

ou { } Cuidado: {}

B

Conjunto Universo

O conjunto Universo de um estudo aquele aoqual pertencem todos os elementos desse estudo.Graficamente, o Universo ser representado por umretngulo envolvendo os outros conjuntos.

Conjunto Finito

Considere o conjunto A = {a, b, c, d, e, f, g, h}.Contando seus elementos, um a um, conseguimos chegarao fim da contagem. Por isso dizemos que A umconjunto finito.

Exemplos:

Conjunto Infinito

Contando seus elementos, um a um, jamaischegaremos ao fim da contagem.

Exemplos:

Conjunto unitrio

Conjunto unitrio todo conjunto formado porum nico elemento.

Exemplos:

Matemtica

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Igualdade de Conjuntos

Dois conjuntos so iguais quando possuem osmesmos elementos. Por exemplo, se A = {nmeros naturaispares} e B= {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12 ... }, ento A = B.

Se A no igual a B, ento A diferente de B eescrevemos A B

Relao de Pertinncia

A relao de pertinncia utilizada para determinarse um elemento pertence ou no a um determinadoconjunto. Para isso utilizamos os smbolos:

pertence a no pertence a

Exemplo:

Dado o conjunto A = (1, 2, 3, 4, 5} complete oespao com e :

0 ____ A 1 ____ A 3 ____ A 6 ____ A

A relao de pertinncia utilizada somente paracomparao de elemento com conjunto.

Relao de Incluso

A relao de incluso utilizada para verificar se umconjunto est ou no contido em outro, ou seja, se um subconjunto do outro, utilizando para isso os smbolos:

est contido em no est contido em contm no contm

Dizemos que um conjunto A est contido numconjunto B quando todos os elementos de A pertencemtambm a B.

Exemplo:Dados os conjuntosA = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5, 6, 7} eC = (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} podemos dizer que:

a) A B l-se: A no est contido em B

b) A C l-se: A est contido em C

c) B A l-se: B no contm A

d) B C l-se: B est contido em C

e) C B l-se: C contm B

f) C A l-se: C contm A

Quando ocorrer de A B. dizemos que A umsubconjunto de B.

SUBCONJUNTOS

Sendo A = {a, b, c} os conjuntos de A so:

Se colocarmos todos estes subconjuntos entrechaves temos o conjunto das partes do conjunto A, ouseja P(A).

O nmero de subconjuntos dado por

2n

onde n _______________________

Exemplo:

Se um conjunto A tem x elementos, ento oconjunto formado por todos os subconjuntos contidosem A tem:

a) 2x elementosb) x elementosc) x + 1 elementosd) 2x elementose) nenhuma das respostas anteriores correta

Seja A um conjunto de 8 elementos. O nmerototal de subconjuntos de A :

a) 6b) 8c) 100d) 128e) 256

anotaes

Matemtica

6

OPERAES COM CONJUNTOS

Unio ()))

A B = {x | x A x B}

Exemplo:

Dados A = {1, 2, 3} e B = {0, 2, 4}.

Determine: A B =

Hachura a unio entre os conjuntos A e B

a) b)

c)

Interseco: ()

A B = {x | x A x B}

Exemplos:

Dados A = {2, 3, 4} e B = {1, 3, 5}

Determine: A B=

Conhecendo A = {0, 2, 4} e B = {1, 3, 5}

Determine: A B=

A B A B

AB

Hachure a interseco entre os conjuntos A e B

a) b)

c)

Diferena ()

A B ={x | x A x B}

Exemplos:

Dados A = {1, 2, 3, 4} e B = {0, 2, 3, 5}

Determine: A B = B A =

Dados A = {a, b, c, d} e B = {a, c}


Hachure a diferena entre os conjuntos A e B

a) b)

c)

A B A B

AB

A B A B

AB

Matemtica

7

Hachure a diferena entre os conjuntos B e A

a) b)

c)

PROBLEMAS QUE ENVOLVEM CONJUNTOS

Em diversas situaes-problema, a resoluo serfacilitada se representamos os seus dados na forma dediagramas.

Exemplos:

1) Uma editora estuda a possibilidade de relanar aspublicaes Helena, Iracema e A Moreninha. Paraisso, efetuou uma pesquisa de mercado e concluiuque, em cada 1000 pessoas consultadas, 600 leram A Moreninha; 400 leram Helena; 300 1eram Iracema; 200 leram A Moreninha e Helena; 150 leram A Moreninha e Iracema; 100 leram Iracema, e Helena; 20 leram as trs obras.

Calcule:a) O nmero de pessoas que leu apenas uma das

trs obras.b) O nmero de pessoas que no leu nenhuma

das trs obras.c) O nmero de pessoas que leu duas ou mais

obras.

A B A B

AB

2) (UFPE) Objetivando conhecer a preferncia musicaldos seus, ouvintes, certa emissora de radio realizouuma pesquisa, dando como opo trs compositores:M, B e S. Os resultados so:

Votos Opes

27 Gostam de B34 Gostam de M40 Gostam de S16 Gostam de B e M12 Gostam de B e S14 Gostam de M e S6 Gostam de B, M e S4 No gostam de B, M e S

Considerando esses dados, podemos classificarverdadeiras(V) ou falsas(F) as seguintes afirmaes:a) ( ) 42 no gostam de B.b) ( ) 18 gostam de M e no gostam de B.c) ( ) 20gostam exclusivamente de S.d) ( ) 24gostam de exatamente dois dos

compositores.e) ( ) 25 no gostam de M.

3) (UFPA/PRISE) Na tentativa de elevar os ndices deaudincia de seus programas, uma emissora de rdiodecidiu realizar uma pesquisa para conhecer apreferncia musical dos moradores de diferentesbairros de Belm. PAGODE, AX e BREGAforam as opes musicais mais citadas pelos 1000entrevistados, conforme indicam os dados tabeladosa seguir:

Quantidade deOpo MusicalEntrevistados

290 Preferem Pagode375 Preferem Ax425 Preferem Brega160 Preferem Pagode e Ax120 Preferem Pagode e Brega145 Preferem Ax e Brega65 Preferem Pagode, Ax e Brega

Sem esquecer a existncia daqueles quemanifestaram outras opes musicais, quantos soos que no preferem nem Brega nem Ax.a) 75b) 130c) 260d) 265e) 345

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4) (UFSM) Numa prova de vestibular, ao qualconcorreram 20000 candidatos, uma questoapresentava as afirmativas A, B e C, e cada candidatodevia classific-las em verdadeira (V) ou falsa (F).Ao analisar os resultados da prova, observou-se que10200 candidatos assinalaram V na afirmativa A;6100, na afirmativa B; 7720, na afirmativa C.Observou-se ainda que 3600 candidatosassinalaram V nas afirmativas A e B; 1200, nasafirmativas B e C; 500, nas afirmativas A e C; 200,nas afirmativas A, B e C. Quantos candidatosconsideraram falsas as trs afirmativas?a) 360b) 490c) 720d) 810e) 1080

(ANPAD 2009)Instrues: As questes 5 e 6 se referem aos

conjuntos diagramados a seguir. As regies sombreadasrepresentam regies vazias e os conjuntos W, X, Y e Zso todos no vazios.

5) Pode-se afirmar que:a) todo X Yb) todo X Zc) todo X Wd) nenhum X Ye) nenhum X W

6) Pode-se afirmar que:a) algum X Zb) algum X no Yc) algum X Y e nenhum Y Zd) algum X W e nenhum Z We) algum X no W e nenhum Y W

7) (TCU / ESAF) Numa escola de apenas 800 alunos, sabido que 200 deles gostam de pagode; 300 derock e 130 de pagode e de rock. Quantos alunosno gostam nem de pagode nem de rock?a) 430b) 560c) 670d) 730e) 800

GABARITO:

1) a)460 b)130 c)410

2) a)V b)V c)V d)V e)F

3) E

4) E

5) D

6) B

7) A

Defensoria Pblica

Calcule as porcentagens abaixo:

1) 10% de 385 ..........

2) 10% de 75 ..........

3) 10% de 8 ..........

4) 1% de 950 ..........

5) 1% de 23 ..........

6) 20% de 750 ..........

7) 20% de 81 ..........

8) 30% de 420 ..........

9) 40% de 2500 ..........

10) 50% de 38,4 ..........

11) 25% de 48 ..........

12) 5% de 90 ..........

13) 5% de 210 ..........

14) 15% de 42 ..........

15) 11% de 120 ..........

16) 16% de 600 ..........

17) 21 % de 250 ..........

18) 60% de 920 ..........

19) 61% de 1100 ..........

20) 75% de 1200 ..........

rascunho

PORCENTAGEM

Matemtica

9

01. (FCC 2010 DNOCS Agente Administrativo Caderno de Prova E05 tipo 001) Das 96 pessoas queparticiparam de uma festa de confraternizao dosfuncionrios do Departamento Nacional de Obras Contraas Secas, sabe-se que 75% eram do sexo masculino.Se, num dado momento antes do trmino da festa, foiconstatado que a porcentagem dos homens havia sereduzido a 60% do total das pessoas presentes,enquanto que o nmero de mulheres permaneceuinalterado, at o final da festa, ento a quantidade dehomens que haviam se retirado era(A) 36.(B) 38.(C) 40.(D) 42.(E) 44.

02. (FCC 2010 MPE/RS Agente Administrativo Caderno de Prova A01 tipo 001) A empresa X possui60 funcionrios, dos quais 15% so mulheres. Deacordo com uma lei aprovada recentemente, toda empresado ramo onde atua a empresa X dever ter, no mnimo,40% de mulheres entre seus funcionrios. Para que aempresa X se adapte nova lei sem demitir nenhum deseus atuais funcionrios e no contratando novosfuncionrios homens, ela dever admitir um nmero demulheres, no mnimo, igual a(A) 25.(B) 22.(C) 20.(D) 18.(E) 15.

03. (FCC 2010 MPE/RS Agente Administrativo Caderno de Prova A01 tipo 001) Devido a umapromoo, um televisor est sendo vendido com 12%de desconto sobre o preo normal. Cludio, funcionrioda loja, est interessado em comprar o televisor. Sabendoque, como funcionrio da loja, ele tem direito a 25% dedesconto sobre o preo promocional, o desconto queCludio ter sobre o preo normal do televisor, casodecida adquirilo, ser de(A) 37%.(B) 36%.(C) 35%.(D) 34%.(E) 33%.

04. (FCC 2010 Metr/SP Agente de Estao Caderno de Prova 22 tipo 001) Especialistas dizem que,em um carro bicombustvel (lcool e gasolina), o uso de

TESTES

lcool s vantajoso se o quociente do preo por litrode lcool pelo do de gasolina for, no mximo, igual a70%. Se o preo do litro da gasolina R$ 2,60, entoNO vantajoso usar lcool quando o preo por litrode lcool(A) no mximo de R$ 1,70.(B) superior a R$ 1,82.(C) est compreendido entre R$ 1,79 e R$ 1,86.(D) igual a R$ 1,78.(E) menor que R$ 1,80.

05. (FCC 2010 Sergipe Gs AssistenteAdministrativo Caderno de Prova A01 tipo 001) Dototal de novos clientes de uma companhia de gs em2009, sabe-se que: 25% eram residenciais, 55% eramindustriais e os 180 restantes eram comerciais. Nessascondies, com relao aos novos clientes dessacompanhia em 2009, correto afirmar que os(A) industriais eram 1 200.(B) residenciais eram 210.(C) industriais eram 455.(D) residenciais eram 245.(E) industriais eram 495.

06. (FCC 2010 Banco do Brasil Escriturrio Caderno de Prova 01, 02 e 03, tipo 001) As estatsticasda Campanha Nacional de Preveno ao Cncer de Pele,organizada h 11 anos pela Sociedade Brasileira deDermatologia, revelam que o brasileiro no se protegeadequadamente do sol: 70% dos entrevistados afirmaramno usar qualquer tipo de proteo solar, nem mesmoquando vo praia (adaptado de www.sbd.org.br). Seforam entrevistadas 34.430 pessoas, o nmero delasque usam protetor solar (A) 24.101(B) 15.307(C) 13.725(D) 12.483(E) 10.329

07. (FCC 2010 Bahiags Tcnico de ProcessosOrganizacionais Administrativo Caderno de Prova G07tipo 001) A conta de gs de uma empresa calculadapor meio de uma taxa fixa de R$ 35,00 acrescida de R$2,00 por m3 consumido. Num ms um cliente consumiu

Matemtica

10

40 m3 e no ms seguinte consumiu um volume de gs15% maior. O percentual aproximado de aumento naconta desse cliente, do primeiro ms para o seguinte, (A) 8.(B) 10.(C) 12.(D) 14.(E) 15.

08. (FCC 2010 Bahiags Tcnico de ProcessosOrganizacionais Administrativo Caderno de Prova G07tipo 001) Em um certo dia um atleta percorre 12 voltasde uma pista em 30 minutos, sempre com a mesmavelocidade em cada volta. Num outro dia ele aumentasua velocidade em 25%. Em 50 minutos, com esta novavelocidade, o atleta percorrer exatamente:(A) 21 voltas.(B) 23 voltas.(C) 25 voltas.(D) 27 voltas.(E) 30 voltas.

09. (FCC 2010 TRE/AC Tcnico Judicirio reaAdministrativa Caderno de Prova B02 tipo 001)Relativamente ao total de registros de candidaturasprotocolados certo ms por trs Tcnicos Judicirios,sabe-se que: 8/15 foi protocolado por Alcilia, 5/12por Berenice e os demais por Otaclio. Assim sendo, aquantidade protocolada por Otaclio corresponde a queparte do total de registros protocolados nesse ms?(A) 5%.(B) 12,5%.(C) 15%.(D) 17,5%.(E) 20%.

10. (FCC 2010 TRE/AC Tcnico Judicirio reaAdministrativa Caderno de Prova B02 tipo 001) Naltima eleio, ao elaborar o relatrio sobre ocomparecimento dos eleitores inscritos numa SeoEleitoral, o presidente da mesa de trabalhos observouque 40% do total de inscritos haviam votado pela manhe 75% do nmero restante no perodo da tarde.Considerando que foi constatada a ausncia de 27eleitores, o total de inscritos nessa Seo era(A) 108.(B) 125.(C) 150.(D) 172.(E) 180.

11. (FCC 2010 TRT/12 Tcnico Judicirio rea Administrativa Caderno de Prova B02 tipo 001)Um comerciante comprou de um agricultor um lote de15 sacas de arroz, cada qual com 60 kg, e, por pagar vista, obteve um desconto de 20% sobre o preo deoferta. Se, com a venda de todo o arroz desse lote aopreo de R$ 8,50 o quilograma, ele obteve um lucro de

20% sobre a quantia paga ao agricultor, ento o preode oferta era(A) R$ 6.375,00.(B) R$ 7.650,25.(C) R$ 7.968,75.(D) R$ 8.450,50.(E) R$ 8.675,00.

12. (FCC 2010 TRF/4 Tcnico Judicirio reaAdministrativa Caderno de Prova O tipo 001) Dosfuncionrios concursados lotados em certa repartiopblica, sabe-se que a razo entre o nmero de homense o de mulheres, nesta ordem, 1,20. Se 88% dosfuncionrios dessa repartio so concursados, ento,relativamente ao total de funcionrios, a porcentagemde funcionrios concursados do sexo(A) feminino maior que 42%.(B) masculino est compreendida entre 45% e52%.(C) feminino menor que 35%.(D) masculino maior que 50%.(E) masculino excede a dos funcionrios do sexofeminino em 6%.

13. (FCC 2010 TRF/4 Tcnico Judicirio reaAdministrativa Caderno de Prova O tipo 001)Considere que, do custo de produo de determinadoproduto, uma empresa gasta 25% com mo de obra e75% com matriaprima.

Se o gasto com a mo de obra subir 10% e o dematria-prima baixar 6%, o custo do produto(A) baixar de 2%.(B) aumentar de 3,2%.(C) baixar de 1,8%.(D) aumentar de 1,2%.(E) permanecer inalterado.

14. (FCC 2010 TRF/4 Tcnico Judicirio ApoioEspecializado/Contabilidade Caderno de Prova R tipo001)Comparando os registros de entrada e sada depessoas de certa Unidade do Tribunal RegionalFederal,relativos aos meses de janeiro de 2010 edezembro de 2009, observou-se que o nmero devisitantes emjaneiro ultrapassava o de dezembro em40%. Sabendo que, se essa Unidade tivesse recebido

Defensoria Pblica Matemtica

11

350 visitantes amenos em janeiro, ainda assim, o totalde pessoas que l estiveram nesse ms excederia em12% o total de visitantes de dezembro. Nessas condies,o total de visitantes de janeiro foi(A) 1.625.(B) 1.650.(C) 1.700.(D) 1.725.(E) 1.750.

PORCENTAGEM:

01. A02. A03. D04. B05. E06. E

rascunho

Matemtica

12

ab

cd

ab

cd

a + cb + d

Introduo

Esta aula tem uma importncia fundamental noapenas em Matemtica, como tambm em MatemticaFinanceira, Fsica e Qumica. Toda vez que trabalhamoscom comparao de grandezas, estamos utilizando osconceitos bsicos de propores.

Razo

A razo entre dois nmeros o quociente doprimeiro pelo segundo. Desta forma, a razo entre osnmeros a e b, nesta ordem, o quociente.

antecedente consequente (b 0)

A razo lida da seguinte forma:

a est para b

Proporo

Denomina-se proporo a igualdade entre duasou mais razes.

A igualdade =

uma proporo. Os termos a e c so chamados deantecedentes da proporo e os termos b e d soconsequentes. Outra denominao usual e termosextremos e meios, ou seja

meios

extremos

Propriedades da Proporo

As propriedades a seguir so verificadas emqualquer proporo.

1 Propriedade

Em uma proporo, o produto dos meios igualao produto dos extremos, ou seja

= = a . d = bc

2 Propriedade

A proporo se verifica ao se somar os doisantecedentes e os correspondentes consequentes ou seja

= =

3 Propriedade

A proporo se verifica ao se subtrair os doisantecedentes e os correspondentes consequentes ou seja

= =

Observao:

Existem outras propriedades que soconsequncias imediatas.

Exemplo 1:Calcule x nas seguintes propores:

a) =

b) =

ab

ab

ab

cd

=ab

cd

ab

cd

a cb d

812

x3

5 + x8 + x

34

NMEROS PROPORCIONAIS


13

Exemplo 2:

Calcule x e y na proporo = , sabendoque x - y = 30.

Exemplo 3:

A diferena de dois nmeros 15 e a razo entre

eles . Calcule esses nmeros.

01. Calcule o valor de x nas propores:.

a) =

b) =

c) =

d) =

e) =

02. A soma de dois nmeros 21 e a razo entre eles

. Calcule esses nmeros.

03. Dois irmos tm juntos 80 anos. Se a razo entre

essas idades , calcule a idade do irmo maisvelho.

04. Calcular x e y na proporo = sabendo-seque x - y = 15.

05. Calcular x e y na proporo = sabendo-seque x + y = 36

Grandezas Diretamente Proporcionais

Duas ou mais grandezas so classificadas comodiretamente proporcionais quando, aumentando(diminuindo) uma delas, a outra (outras) aumenta(diminui) na mesma proporo.

Grandezas Inversamente Proporcionais

Duas ou mais grandezas so classificadas comoinversamente proporcionais quando, aumentando(diminuindo) uma delas, a outra (outras) diminui(aumentam) na proporo inversa.

xy

43

72

EXERCCIOS

x4

3248

x + 23 - x

41

x - 16

912

5 - xx + 1

62

x - 15

x - 53

52

43

xy

94

x4

y5

Matemtica

14

REGRA DE TRS SIMPLES

A regra de trs simples um processo prticopara resolver problemas que envolvem grandezas diretaou inversamente proporcionais. Esse processo consistenos seguintes passos:

Reunir em uma coluna as grandezas de igual espciee com a mesma unidade de medida.

Analisar as grandezas e classific-Ias como diretaou inversamente proporcionais.

Obter a proporo correspondente e solucion-Ia.

Exemplo 1: Uma roda da 80 voltas em 20 minutos.Quantas voltas dar em 28 minutos?

Exemplo 2: Com 8 eletricistas podemos fazer ainstalao de uma casa em 3 dias. Quantos diaslevaro 6 eletricistas para fazer o mesmo trabalho?

Exemplo 3: Com 6 pedreiros podemos construir umaparede em 8 dias. Quantos dias gastaro 3 pedreirospara fazer a mesma parede?

ExempIo 4: Uma fbrica engarrafa 3000 refrigerantesem 6 horas. Quantas horas levar para engarrafar4000 refrigerantes?

Exemplo 5: Quatro marceneiros fazem um armrioem 18 dias. Em quantos dias 9 marceneiros fariamo mesmo armrio?

1) Uma fotografia tem 10 cm de largura e 15 cm decomprimento. Queremos ampli-Ia de modo que seucomprimento tenha 18 cm. Ento, na foto maior:calcule a largura.

2) Uma mquina, trabalhando durante 40 minutos,produz 200 peas iguais. Quantas peas seroproduzidas (peas iguais) pela mesma mquina em2h 30min?

3) Uma roda com 25 dentes est ligada atravs deengrenagem com outra roda de 20 dentes. Enquantoa segunda roda da 600 voltas, quantas voltas dara primeira?

4) Um livro de 240 pginas possui 30 linhas em cadapgina. Se o mesmo livro fosse reimpresso com osmesmos caracteres, utilizando 40 linhas em cadapgina, quantas pginas teria o novo livro?

REGRA DE TRS

EXERCCIOS


15

REGRADE TRS COMPOSTA

A regra de trs composta um processo prticoutilizado na resoluo de problemas que envolvem maisde duas grandezas; inversa ou diretamente proporcionais.Esse processo consiste nos seguintes passos:

Reunir em colunas as grandezas de igual espcie ecom a mesma unidade.

Analisar as grandezas duas a duas, (em relao que possui a incgnita), afim de verificar se sodiretamente ou inversamente proporcionais.

Obter a proporo correspondente e solucion-la.

Exemplo 1: Uma olaria produz 1470 tijolos em 7dias, trabalhando 3 horas por dia. Quantos tijolosproduzir em 10 dias, trabalhando 8 horas por dia?

Exemplo 2: Numa fbrica. 12 operrios trabalhando8 horas por dia conseguem fazer 864 caixas depapelo. Quantas caixas sero feitas por 5 operriosque trabalhem 10 horas por dia?

Exemplo 3: Uma mquina fabricou 3200 parafusos,trabalhando 12 horas por dia, durante 8 dias.Quantas horas devera trabalhar por dia para fabricar5000 parafusos em 15 dias?

Exemplo 4: Oitenta pedreiros constroem 32 m demuro em 16 dias. Quantos pedreiros seronecessrios para construir 16 m de muro em 64dias?

Exemplo 5: Numa indstria, 18 operrios,trabalhando 7 horas por dia, fazem determinadoservio em 24 dias. Em quantos dias, 12 operrios,trabalhando 9 horas por dia faro o mesmo servio?

01. Um ciclista percorre 150 km em 4 dias, pedalando3 horas por dia. Em quantos dias faria uma viagemde 400 km, pedalando 4 horas por dia?

02. Numa indstria txtil, 8 alfaiates fazem 360camisetas em 3 dias. Quantos alfaiates sonecessrios para que sejam feitas 1080 camisetasem 12 dias?

03. Vinte mquinas, trabalhando 16 horas por dia, levam6 dias para fazer um trabalho. Quantas mquinassero necessrias para executar o mesmo servio,se trabalharem 20 horas por dia, durante 12 dias?

04. Uma casa construda em 12 dias por 40 operrios,que trabalham 9 horas por dia. Em quantos dias 24operrios, trabalhando 5 horas por dia, poderiamconstruir a mesma casa?

EXERCCIOS

Matemtica

16

01. Uma gravura de forma retangular, medindo 20 cm,de largura por 35 cm de comprimento, deve serampliada para 1,2 m de largura. O comprimentocorrespondente ser:a) 0,686 mb) 6,85 me) 2,1 md) 1,35 me) n.d.a.

02. A razo entre dois nmeros 3/8 . Se a soma domaior com o dobro do menor 42, o maior deles :a) 9b) 15c) 24d) 30e) n.d.a

03. A escala da planta de um terreno, na qual ocomprimento de 100 m foi representado por umsegmento de 5 cm :a) 1/200b) 1/1000c) 1/2000d) 1/10000e) n.d.a

04. Para que se verifique a igualdade 9/y = x/8 = 5/20, osvalores de x e y devem ser, respectivamente:a) 2 e 5b) 1/4 e 1/5c) 5 e 35d) 2 e 36e) n.d.a.

05. Um carro consumiu 50 litros de lcool para percorrer600 km . Supondo condies equivalentes, essemesmo carro, para percorrer 840 km, consumir?a) 68 lb) 75 lc) 70 Id) 80 Ie) n.d.a.

06. Uma mquina varredeira limpa uma rea de5100 m em 3 horas de trabalho. Nestas mesmascondies, em quanto tempo limpar uma rea de11900 m ?a) 7 harasb) 9 horase) 5 horasd) 4 horase) n.d.a.

07. O pndulo de um relgio cuco faz uma oscilaocompleta em cada segundo, e a cada oscilao dopndulo o peso desce 0,02 mm. Em 24 horas opeso desce aproximadamente:a) 1,20 mb) 1,44 mc) 1,60 md) 1,73me) n.d.a.

08. Sabe-se que das 520 galinhas de um avirio, 60no foram vacinadas, e 92, vacinadas, morreram.Entre as galinhas vacinadas, a razo do nmero demortas para o nmero de vivas ?a) 1/4b) 1/5c) 4/1d) 4/5e) n.d.a.

09. Dois amigos jogaram na loteria esportiva sendo queo primeiro entrou com R$140,00 e o segundo comR$ 220,00 . Ganharam um prmio deR$ 162.000,00. Como deve ser rateado o prmio?a) R$ 63 000,00 e R$ 99 000,00b) R$ 70 000,00 e R$ 92 000,00c) R$ 50 000,00 e RS 112 000,00d) R$ 54 000,00 e R$108 000,00e) n.d.a.

10. Uma famlia de 6 pessoas consome em 2 dias 3 kgde po. Quantos quilos sero necessria paraaliment-Ia durante 5 dias estando ausentes 2pessoas?a) 3b) 5c) 4d) 6e) n.d.a.

TESTES DE REFORO


17

11. Sabe-se que 4 mquinas, operando 4 horas por dia,durante 4 dias, produzem toneladas de certoproduto. Quantas toneladas do mesmo produtoseriam produzidas por 6 mquinas daquele tipo,operando 6 horas por dia, durante 6 dias?a) 8b) 15c) 10,5d) 13,5e) n.d.a.

12. Para asfaltar 1 km de estrada, 30 homens gastaram12 dias trabalhando 8 horas por dia. Vinte homens,para asfaltar 2 km da mesma estrada, trabalhando12 horas por dia gastaro?a) 6 diasb) 12 diasc) 24 diasd) 28 diase) n.d.a.

13. Admitindo-se que a razo ideal do nmero dehabitantes de uma cidade para cada metro quadradode rea verde fosse de 2 para 5, ento, a populaomxima que deveria ter uma cidade com 400.000 mde rea verde seria de:a) 16.000 habb) 80.000 habc) 160.000 habd) 200.000 habe) n.d.a.

14. Um mapa est desenhado na escala 1:10000000.Cada 2 cm medidos nesse mapa esto representando,na realidade:a) 2000 kmb) 20 kmc) 200 kmd) 2 kme) 0,2 km

15. Uma ponte feita em 120 dias por 16 trabalhadores.Se o nmero de trabalhadores for elevado para 24,o nmero de dias necessrios para a construo damesma ponte ser:a) 180b) 128c) 100d) 80e) 60

rascunho

Matemtica

18

DIVISO EM PARTESDIRETAMENTE PROPORCIONAIS

Dividir um nmero em partes diretamente a doisou mais parcelas que sejam diretamente proporcionaisaos nmeros dados.

Vejamos alguns exemplos:

1. Dividir 100 em partes proporcionais a 2 e 3.

2. Dividir 120 em partes proporcionais a 3 e 5.

3. Divida o nmero 153 em trs partes que sejamproporcionais a 3,5 e 9.

DIVISO PROPORCIONAL

4. Dividir 121 em partes diretamente proporcionais a1, 1/2 e 1/3.

5. Determinar nmeros A e B diretamente proporcionaisa 8 e 3, sabendo-se que a diferena entre eles 60.

01. (PETROBRAS) UM milionrio vivo decidiu repartirsua fortuna entre seus 3 filhos e 2 sobrinhos demodo que a parte de cada filho e a de cada sobrinhofosse diretamente proporcional aos nmeros 5 e 2,respectivamente. A frao de fortuna que coube acada sobrinho foi de:a) 2/7b) 2/9c) 2/13d) 2/15e) 2/19

02. (CONVEST / 2007 / POLCIA MILITAR / PB)SOLDADO) Quais das sucesses abaixo so formadaspor nmeros diretamente proporcionais aos dasucesso 3, 4, 5, 6, 7?a) 7, 6, 5, 4, 3b) 9, 12, 15, 18, 21c) 2, 4, 6, 8, 10d) 1, 3, 5, 7, 9e) 5, 10, 15, 20, 25

QUESTES DE CONCURSOS


19

03. (PUC-SP) Dois amigos jogaram na loteria esportiva,sendo que o primeiro entrou com R$ 140,00 e osegundo com R$ 220,00 Ganharam um prmio deR$ 162.000,00, Como deve ser rateado o prmio?a) R$ 63.000,00 e R$ 99.000,00b) R$ 50.000,00 e R$ 112.000,00c) R$ 70.000,00 e R$ 92.000,00d) R$ 54.000,00 e R$ 108.000 ,00e) R$ 53.000,00 e R$ 109.000,00

04) (U. Mogi/ SP) Numa sociedade, houve um lucro deR$ 800,00. Os capitais dos scios A e B so,respectivamente, R$ 1.500,00 e R$ 900,00. Osscios A e B recebero em reais lucros,respectivamente, de:a) R$ 550,00 e R$ 250,00b) R$ 600,00 e R$ 200,00c) R$ 500,00 e R$ 300,00d) R$ 520,00 e R$ 260,00e) R$ 530,00 e R$ 270,00

05) (B.B) Numa loja de automveis, os vendedoresrecebem comisses proporcionais ao nmero decarros que vendem. Se, em uma semana, o gerentepagou um total de $ 8.280,00 a quatro funcionriosque venderam 3, 6, 7 e 9 carros, respectivamentequanto ganhou o que menos carros vendeu?a) $ 993,60b) $ 808,00c) $ 679,00d) $ 587,10e) $ 507,60

06) (B.B) Certa herana foi dividida de forma diretamenteproporcional as idades dos herdeiros, que tinham35, 32 e 23 anos. Se o mais velho recebeu $525.000,00 quanta coube ao mais novo?a) $ 230,000,00b) $ 245,000,00c) $ 325,000,00d) $ 345,000,00e) $ 350,000,00

07) (PGR) Uma pea de tecido foi dividida em 4 partesproporcionais aos nmeros 10, 12, 16 e 20.Sabendo-se que a pea tinha 232 metros, ocomprimento do menor corte foi de:a) 20 mb) 40 mc) 30 md) 48 me) 64 m

08) (B.B) 165 balas foram distribudas entre 3 irmos,cujas idades somadas totalizavam 33 anos.Sabendo-se que a distribuio foi diretamenteproporcional a idade de cada um, que o mais moorecebeu 40 balas e 0 do meio, 50, calcular suasidades.a) 6, 13 e 14b) 7, 9 e 17c) 3, 12 e 18d) 6, 11 e 16e) 8, 10 e 15

09) (PETROBRAS) Dividindo-se $ 3.800,00 em partesinversamente proporcionais a 1, 3 e 4, a menorparte correspondera a:a) $ 475,00b) $ 520,00c) $ 600,00d) $ 620,00e) $ 644,00

10) (CVM) Uma partida de 15 dzias de canetas deveser repartida por 3 sees, proporcionalmente aonmero de seus funcionrios. Na primeira seo h20 funcionrios, na segunda h 3/4 do nmero defuncionrios da primeira e na terceira 2/3 do nmerode funcionrios da segunda. A sero de maiornmero de funcionrios recebe um total de:a) 80 canetasb) 100 canetasc) 20 canetasd) 60 canetase) 40 canetas

Matemtica

20

DIVISO EM PARTESINVERSAMENTE PROPORCIONAIS

Dividir um nmero em partes inversamente a doisou mais nmeros reparti-lo em parcelas que sejaminversamente proporcionais aos nmeros dados.


01. Dividir 52 em partes inversamente proporcionais a4 e 9.

02. Dividir 84 em partes inversamente proporcionais a3,5 e 6.

03. Dividir 650 em partes inversamente proporcionaisa 2, 3 e 4

04. Encontre o nmero que ao ser dividido em partesinversamente proporcionais a 2, 3 e 10 gera 42como a menor das partes.

05. Determinar nmeros A e B inversamenteproporcionais a 6 e 8, sabendo-se que a diferenaentre eles 10.

01. (TELERJ) Dividindo $ 66.000,00 em partesinversamente proporcionais a 1, 2 e 3, a maior partecorresponder a:a) $ 24.000,00b) $ 33.000,00c) $ 36.000,00d) $ 44.000,00e) $ 60.000,00

02. (TRT) Certa quantia foi dividida entre duas pessoas,em partes inversamente proporcionais a 7 e a 15.Sabendo que a diferena entre as partes e de $160,00, o valor, em reais, da menor parte e de:a) 160,00b) 120,00c) 265,00d) 240,00e) 140,00

03. (CFC) Se os ngulos de um tringulo soinversamente proporcionais aos nmeros 1, 3 e 6,ento a soma das medidas dos dois menores ngulosdesse tringulo em graus, e:a) 120b) 80c) 60d) 40e) 20

04. (CFC) Os nmeros 25, 15 e a so inversamenteproporcionais aos nmeros 6, b e 20. Logo,a) a = bb) a < bc) a > bd) a = b + 2,5e) nda



21

DIVISO EM PARTESDIRETAMENTE E INVERSAMENTEPROPORCIONAIS COMPOSTA

Temos os problemas que solicitam a diviso deum nmero em partes diretamente proporcionais a outrogrupo de nmeros, assim) como aqueles que pedem adiviso em partes inversamente proporcionais, Temostambm os casas onde em uma mesma situao umnmero de ser dividido em partes diretamenteproporcionais a um grupo de nmeros e em partesinversamente proporcionais a um outro grupo denmeros.


1) Decompor o nmero 58 em duas partes A e Bdiretamente proporcionais a 2 e 3, e, inversamenteproporcionais a 5 e 7.

2) Divida o nmero 981 em partes diretamenteproporcionais a 2, 6 e 3 e inversamenteproporcionais a 5, 9 e 4, respectivamente.

3) Divida o nmero 600 em partes diretamenteproporcionais a 12, 4, 2 e 6 e inversamenteproporcionais a 6, 2, 3 e 18, respectivamente .

4) Divida o nmero 579 em partes diretamenteproporcionais a 7, 4 e 8 e inversamenteproporcionais a 2, 3 e 5, respectivamente.

5) Um pai distribuiu R$ 546,00 aos seus 2 filhos empartes diretamente proporcionais a mdia final nadisciplina de matemtica e em partes inversamenteproporcionais ao nmero de faltas em todo o anoletivo. O primeiro filho teve media final 9 e faltou 8vezes, enquanto que o segundo filho teve mdiafinal 8 e faltou 3 vezes. Quantos reais eles ganharamrespectivamente?

6) Obter nmeros A e B diretamente proporcionais a 4e 3 e inversamente proporcionais a 6 e 8, sabendo-se que a diferena entre eles 21.

Matemtica

22

CONJUNTOS NUMRICOS

Ao agrupamento de elementos comcaractersticas semelhantes damos o nome de conjunto.

Quando estes elementos so nmeros, taisconjuntos so denominados conjuntos numricos.

Neste tpico estudaremos os cinco conjuntosnumricos fundamentais, que so os conjuntosnumricos mais amplamente utilizados.

1. Conjuntos dos Nmeros Naturais (N)

formado por nmeros utilizados na contagem eordenao de elementos.

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ... }

N* = {1; 2, 3, 4, 5, ... } o conjunto dosnmeros naturais no-nulos.

2. Conjunto dos Nmeros Inteiros (Z)

uma expanso do conjunto dos nmerosnaturais.

Z = { ... , - 5, - 4, - 3, - 2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... }

N

Para excluir os nmeros positivos de um conjuntoutilizamos o smbolo - (menos) e para excluir osnegativos, utilizamos o + (mais).

Deste modo:

Z* = { ... , - 5, - 4, - 3, - 2, -1, 1, 2, 3, 4, 5, ... } o conjunto dos nmeros inteiros no-nulos.

Z+ = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... } o conjunto dosnmeros inteiros no-negativos.

Z- = { ... , - 5, - 4, - 3, - 2, -1 , 0} o conjuntodos nmeros inteiros no-positivos.

Z*+ = { 1, 2, 3, 4, 5, ... } o conjunto dos nmerosinteiros positivos.

Z* = { ... , - 5, - 4, - 3, - 2, -1 } o conjunto dosnmeros inteiros negativos.

3. Conjunto dos Nmeros Racionais (Q)

formado pelos nmeros que possuemrepresentao fracionaria com numerador e denominadorinteiros (denominador no-nulo).

Q = { x = | a Q e b Q* }

De modo anlogo ao proposto para o conjuntodos nmeros inteiros, temos Q*, Q+, Q-, Q

*+ e Q

*-.

Os nmeros que apresentam representaofracionria e, portanto so nmeros racionais so:

A) Nmeros Inteiros

Todo nmero inteiro, possui representaofracionaria, veja os exemplos:

Observe os exemplos:

a) -5 = - = - = , portanto -5 Q.

b) 0 = = = , portanto 0 Q.

c) 7 = = = , portanto 7 Q.

B) Fraes prprias, imprprias e nmeros mistos

Observe os exemplos: , , 3 Q

C) Nmeros Decimais Exatos

Nmero decimal exato aquele que apresentaum nmero finito de casas (ordens) decimais. Observeos exemplos:

a) 0,2 = = , portanto 0,2 Q.

b) 1,35 = = , portanto 1,35 Q .

D) Dzimas peridicas simples e compostas.

Dzimas so nmeros decimais que apresentaminfinitas casas (ordens) decimais. So chamadas peridicasquando, aps a vrgula, apresentam repetio de umnmero infinitas vezes. Este nmero chamado perodo.

Observe alguns exemplos:

a) 0,222 ... = , portanto. 0,222 ... Q.

Esta dizima chamada peridica simples, poisimediatamente aps a vrgula percebemos a presenado perodo 2.

ab

51

102

153

01

02

03

71

142

213

210

15

135100

2720

29

35

42

12

CONJUNTOS


23

b) 0,3222 ... = , portanto 0,3222 ... Q.

Esta dzima chamada peridica composta, pois apsa vrgula percebemos a presena do nmero 3 (pr-perodo) antes do perodo 2.

4) Conjunto dos nmeros irracionais (R Q) ou II

Nmeros irracionais so as dizimas no-peridicas, isto , so nmeros decimais que apresentaminfinitas casas decimais, porm no possuem perodo.So nmeros que no resultam da diviso entre doisnmeros inteiros.

Os nmeros irracionais mais famosos so:

a) O PI. = 3,1415926535897932384626433832795 ...

b) O nmero de Euler.e = 2,718281828459045235360287471352 ...

Podemos obter nmeros irracionais extraindo razesno-exatas como segue:

c) 2 = 1,4142135623730950488016887242097 ...

d)3

5 = 1,7099759466766969893531088725439 ...

5) Conjunto dos nmeros reais (R)

Chama-se nmero real a qualquer nmero racionalou irracional. Deste modo podemos dizer que o conjuntodos nmeros reais e a unio entre o conjunto dosnmeros racionais e o conjunto dos nmeros irracionais.

R = Q II

De modo anlogo ao proposto para os conjuntosdos nmeros racionais, temos R*, R+, R-, R

*+ e R

*.

6) Conjuntos numricos fundamentais emdiagrama

Abaixo temos a representao dos conjuntosnumricos fundamentais em um diagrama.

1) Os nmeros que conhecemos foram criados devidos necessidades dos seres humanos. Inicialmente anecessidade de contar e em seguida o surgimentodas operaes foraram o aparecimento de novosnmeros em diferentes lugares e momentoshistricos.

Diversas pessoas foram responsveis por estaevoluo no pensamento humano construindo osconjuntos numricos estudados atualmente. Emrelao aos nmeros que pertencem a estesconjuntos podemos afirmar que:a) Todo nmero racional uma dzima peridica.b) Todo nmero irracional inteiro.c) Toda dzima no-peridica no real.d) Todo nmero real tem infinitas casas (ordens)

decimais.e) Todo nmero natural racional.

2) (Fundao Zoobotnica - FAURGS) Considere osseguintes nmeros:I. 0,010101...II. 0,010010001...III. 0,123412341234

Quais so nmeros racionais?a) apenas Ib) apenas I e IIc) apenas I e IIId) apenas II e IIIe) I, II e III

2990

EXERCCIOS 1

Matemtica

24

{ }

{ }{ }

3) (UFRGS) Identifique, entre os conjuntos abaixo osubconjunto do conjunto dos nmeros irracionais:

a) , , 3

3 , 2

b) -2, , 2 , 3

c) , 3 , , 7

d) 2 , 3 , 4 , 5

e) -11/4, 21/2, , 21/3

4) (UFRGS) Entre os nmeros seguintes,A) 0,171717 ...B) 0,313113111311113 ...C) 0,424224222422224 ...D) 0,897638976389763 ...E) 3

a) nenhuma racional.b) todas so racionais. c) apenas E racional.d) apenas A, D e E so racionais.e) apenas B e C so racionais.

5) (UFSM) Assinale verdadeiro (V) ou falso (F) em cadauma das afirmaes a seguir:( ) A letra grega representa o nmero racional

que vale 3,14159265. .( ) O conjunto dos nmeros racionais e o conjunto

dos nmeros irracionais so subconjuntos dosnmeros reais e possuem apenas um pontoem comum.

( ) Toda dizima peridica um nmero racional.

A seqncia correta :a) F - V - Vb) V - V - Fc) V - F - Vd) F - F - Ve) F - V - F

13

3

18

315{ }

{ }

06) (UFRGS) A lista completa dos adjetivos natural,inteiro, positivo, negativo, racional, irracional, real

e complexo, que se aplica ao nmero

a) complexo, real, irracional, negativob) complexo, racional, inteiro, positivoc) real, racional, inteiro, negativod) complexo, racional, inteiro, negativo, naturale) complexo, real, racional, inteiro, negativo

07) (UFRGS) Entre os nmeros apresentados nasalternativas, qual o nico que racional?a) 2,333...b) 0,01001000100001...

c)

d) e) razo do comprimento de um crculo e seu raio

08) (UPF) O valor da expresso

a) um nmero inteirob) um nmero naturalc) um nmero racionald) um nmero irracional maior que 1e) no um nmero real

(1 - 25)2

2 2

35

14

+ 0,4

6 +


25

TEORIA DOS CONJUNTOS

Conjuntos

um agrupamento de objetos bem definidos edistintos de nossa percepo ou de nosso pensamento,os quais se denominam elementos do conjunto (GeorgCantor).

Representao de um conjunto

Os conjuntos so representados por elementos.Os elementos so colocados entre { } ou diagramas.

Ex.: A = { }

Caracterizao de um Conjunto

Por compreenso

Quando enunciamos as propriedades do conjunto.A = [x | x vogal}

Por extenso

Quando mencionamos todos os seus elementos.A = {a, e, i, o, u}

TIPOS DE CONJUNTOS

Conjunto Vazio

Um conjunto, embora seja associado a umacoleo de objetos, as vezes no possui elementos.

Como representar um conjunto vazio, ou seja,um conjunto que no possui elementos?

ou { } Cuidado: {}

B

Conjunto Universo

O conjunto Universo de um estudo aquele aoqual pertencem todos os elementos desse estudo.Graficamente, o Universo ser representado por umretngulo envolvendo os outros conjuntos.

Conjunto Finito

Considere o conjunto A = {a, b, c, d, e, f, g, h}.Contando seus elementos, um a um, conseguimos chegarao fim da contagem. Por isso dizemos que A umconjunto finito.

Exemplos:

Conjunto Infinito

Contando seus elementos, um a um, jamaischegaremos ao fim da contagem.

Exemplos:

Conjunto unitrio

Conjunto unitrio todo conjunto formado porum nico elemento.

Exemplos:

Matemtica

26

Igualdade de Conjuntos

Dois conjuntos so iguais quando possuem osmesmos elementos. Por exemplo, se A = {nmeros naturaispares} e B= {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12 ... }, ento A = B.

Se A no igual a B, ento A diferente de B eescrevemos A B

Relao de Pertinncia

A relao de pertinncia utilizada para determinarse um elemento pertence ou no a um determinadoconjunto. Para isso utilizamos os smbolos:

pertence a no pertence a

Exemplo:

Dado o conjunto A = (1, 2, 3, 4, 5} complete oespao com e :

0 ____ A 1 ____ A 3 ____ A 6 ____ A

A relao de pertinncia utilizada somente paracomparao de elemento com conjunto.

Relao de Incluso

A relao de incluso utilizada para verificar se umconjunto est ou no contido em outro, ou seja, se um subconjunto do outro, utilizando para isso os smbolos:

est contido em no est contido em contm no contm

Dizemos que um conjunto A est contido numconjunto B quando todos os elementos de A pertencemtambm a B.

Exemplo:Dados os conjuntosA = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5, 6, 7} eC = (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} podemos dizer que:

a) A B l-se: A no est contido em B

b) A C l-se: A est contido em C

c) B A l-se: B no contm A

d) B C l-se: B est contido em C

e) C B l-se: C contm B

f) C A l-se: C contm A

Quando ocorrer de A B. dizemos que A umsubconjunto de B.

SUBCONJUNTOS

Sendo A = {a, b, c} os conjuntos de A so:

Se colocarmos todos estes subconjuntos entrechaves temos o conjunto das partes do conjunto A, ouseja P(A).

O nmero de subconjuntos dado por

2n

onde n _______________________

Exemplo:

Se um conjunto A tem x elementos, ento oconjunto formado por todos os subconjuntos contidosem A tem:

a) 2x elementosb) x elementosc) x + 1 elementosd) 2x elementose) nenhuma das respostas anteriores correta

Seja A um conjunto de 8 elementos. O nmerototal de subconjuntos de A :

a) 6b) 8c) 100d) 128e) 256

rascunho


27

OPERAES COM CONJUNTOS

Unio ()))

A B = {x | x A x B}

Exemplo:

Dados A = {1, 2, 3} e B = {0, 2, 4}.

Determine: A B =

Hachura a unio entre os conjuntos A e B

a) b)

c)

Interseco: ()

A B = {x | x A x B}

Exemplos:

Dados A = {2, 3, 4} e B = {1, 3, 5}

Determine: A B=

Conhecendo A = {0, 2, 4} e B = {1, 3, 5}

Determine: A B=

A B A B

AB

Hachure a interseco entre os conjuntos A e B

a) b)

c)

Diferena ()

A B ={x | x A x B}

Exemplos:

Dados A = {1, 2, 3, 4} e B = {0, 2, 3, 5}


Dados A = {a, b, c, d} e B = {a, c}


Hachure a diferena entre os conjuntos A e B

a) b)

c)

A B A B

AB

A B A B

AB

Matemtica

28

Hachure a diferena entre os conjuntos B e A

a) b)

c)

PROBLEMAS QUE ENVOLVEM CONJUNTOS

Em diversas situaes-problema, a resoluo serfacilitada se representamos os seus dados na forma dediagramas.

1) Uma editora estuda a possibilidade de relanar aspublicaes Helena, Iracema e A Moreninha. Paraisso, efetuou uma pesquisa de mercado e concluiuque, em cada 1000 pessoas consultadas, 600 leram A Moreninha; 400 leram Helena; 300 1eram Iracema; 200 leram A Moreninha e Helena; 150 leram A Moreninha e Iracema; 100 leram Iracema, e Helena; 20 leram as trs obras.

Calcule:a) O nmero de pessoas que leu apenas uma das

trs obras.b) O nmero de pessoas que no leu nenhuma

das trs obras.c) O nmero de pessoas que leu duas ou mais

obras.

A B A B

AB

2) (UFPE) Objetivando conhecer a preferncia musicaldos seus, ouvintes, certa emissora de radio realizouuma pesquisa, dando como opo trs compositores:M, B e S. Os resultados so:

Votos Opes

27 Gostam de B34 Gostam de M40 Gostam de S16 Gostam de B e M12 Gostam de B e S14 Gostam de M e S6 Gostam de B, M e S4 No gostam de B, M e S

Considerando esses dados, podemos classificarverdadeiras(V) ou falsas(F) as seguintes afirmaes:a) ( ) 42 no gostam de B.b) ( ) 18 gostam de M e no gostam de B.c) ( ) 20gostam exclusivamente de S.d) ( ) 24gostam de exatamente dois dos

compositores.e) ( ) 25 no gostam de M.

3) (UFPA/PRISE) Na tentativa de elevar os ndices deaudincia de seus programas, uma emissora de rdiodecidiu realizar uma pesquisa para conhecer apreferncia musical dos moradores de diferentesbairros de Belm. PAGODE, AX e BREGAforam as opes musicais mais citadas pelos 1000entrevistados, conforme indicam os dados tabeladosa seguir:

Quantidade deOpo MusicalEntrevistados

290 Preferem Pagode375 Preferem Ax425 Preferem Brega160 Preferem Pagode e Ax120 Preferem Pagode e Brega145 Preferem Ax e Brega65 Preferem Pagode, Ax e Brega

Sem esquecer a existncia daqueles quemanifestaram outras opes musicais, quantos soos que no preferem nem Brega nem Ax.a) 75b) 130c) 260d) 265e) 345

EXERCCIOS 2


29

4) (UFSM) Numa prova de vestibular, ao qualconcorreram 20000 candidatos, uma questoapresentava as afirmativas A, B e C, e cada candidatodevia classific-las em verdadeira (V) ou falsa (F).Ao analisar os resultados da prova, observou-se que10200 candidatos assinalaram V na afirmativa A;6100, na afirmativa B; 7720, na afirmativa C.Observou-se ainda que 3600 candidatosassinalaram V nas afirmativas A e B; 1200, nasafirmativas B e C; 500, nas afirmativas A e C; 200,nas afirmativas A, B e C. Quantos candidatosconsideraram falsas as trs afirmativas?a) 360b) 490c) 720d) 810e) 1080

(ANPAD 2009)Instrues: As questes 5 e 6 se referem aos

conjuntos diagramados a seguir. As regies sombreadasrepresentam regies vazias e os conjuntos W, X, Y e Zso todos no vazios.

5) Pode-se afirmar que:a) todo X Yb) todo X Zc) todo X Wd) nenhum X Ye) nenhum X W

6) Pode-se afirmar que:a) algum X Zb) algum X no Yc) algum X Y e nenhum Y Zd) algum X W e nenhum Z We) algum X no W e nenhum Y W

7) (TCU / ESAF) Numa escola de apenas 800 alunos, sabido que 200 deles gostam de pagode; 300 derock e 130 de pagode e de rock. Quantos alunosno gostam nem de pagode nem de rock?a) 430b) 560c) 670d) 730e) 800

rascunho

Matemtica

30

O juro calculado sempre sobre o capital iniciale seu valor igual em todos os perodos considerados.Assim supondo um capital de R$ 100,0, aplicado ajuro simples de 5% a.m., durante 4 meses, ao jurospodem ser calculados como segue.

no final do 1 ms: cada R$ 100,00 de capitalrender R$ 5,00 de juros, ou 5% de R$ 100,00.




Nota-se que os juros so todos iguais, pois sosempre calculados sobre o mesmo capital inicial. Os jurospodem ser retirados no fim de cada ms ou no final de 4meses que o total ser sempre o mesmo, ou seja, R$20,00.

FRMULA PARA JUROS SIMPLES

J = C . i . n

NOTAO ELEMENTOS

J Juros simplesC Capital, principal ou valor presentei Taxa unitrian Numero de perodos (tempo) que o capital

ficou aplicado.

Observaes importantes:

a) A taxa i e o perodo n devem referir-se mesmaunidade de tempo, isto , se a taxa for anual, otempo dever ser expresso em anos; se for mensal,o tempo dever ser expresso em meses, e assimsucessivamente. Ao iniciar um exerccio, recomenda-se verificar se i e n esto expressos na mesmaunidade de tempo. Caso no estejam, devem serhomogeneizados.

b) Em todas as formulas matemticas utiliza-se a taxade juros na forma unitria (taxa percentual) oucentesimal, dividida por 100).

JUROS SIMPLES

TAXAS

Taxa nominal

a taxa usada na linguagem normal, expressanos contatos ou informada nos exerccios.

A taxa nominal uma taxa de juros simples e serefere a um determinado perodo de capitalizao.

Taxa proporcional

Duas taxas so chamadas proporcionais quandoexiste entre elas a mesma relao verificada para osperodos de tempo a que se referem.

No regime de juros simples, existeproporcionalidade entre as taxas. Quando uma taxa fornecida em uma unidade de tempo diferente daquelasa que se refere o prazo da operao, basta modificarmosa sua unidade de tempo utilizando uma proporo.

Assim duas taxas i1 e i2, referentesrespectivamente aos perodos n1 e n2, so proporcionaisse, tornando-se os perodos a que se referem na mesmaunidade de tempo, for observada a seguinte relao.

Obs: na relao i1 e i2, podem estar tanto unitriacomo sob a forma percentual; porm necessrio queambas estejam sob a mesma forma.

Exemplos:

1) A taxa de 10% a.m proporcional a taxa de_____ a.a.

2) A taxa de 4% a.m proporcional a taxa de_____ a.a.

3) A taxa de 2% a.m proporcional a taxa de_____ a.b.

4) A taxa de 3% a.m proporcional a taxa de_____ a.s.

5) A taxa de 24% a.a proporcional a taxa de_____ a.m.

6) A taxa de 18% a.s. proporcional a taxa de_____ a.m.

7) A taxa de 6% a.m proporcional a taxa de_____ a.d.

=i1i2

n1n2


31

Exemplo de clculos de juros

1) Quais os juros produzidos pelo capital deR$ 5.000,00 aplicados a uma taxa de juros simplesde 10% a.a. durante 6 anos.

2) Quais os juros produzidos por R$ 2.000,00aplicados a juros simples, durante 5 meses a taxa1/2% ao a.m.

3) Quais os juros produzidos pelo capital R$ 1.200,00aplicados a uma taxa de juros simples de 10% aobimestre durante 5 anos?

4) Calcular os juros simples produzidos porR$40.000,00, aplicados taxa de 36% a.a.,durante 125 dias.

5) Um capital de R$ 20.000,00 taxa de 5% a.a.rendem R$ 800,00 de juros. Qual o tempo deaplicao?

6) A que taxa esteve colocado o capital deR$ 12.000,00 para, em 1 ano e 4 meses, renderR$800,00 de juros?

7) Qual o capital que aplicado a juros simples de2% a.m rende R$ 200,00 de juros em 75 dias.

8) Um certo capital aplicado em regime de jurossimples, uma taxa mensal de 5%. Depois de quantotempo este capital estar duplicado?

Matemtica

32

9) Um certo capital aplicado em regime de jurossimples, uma taxa anual de 10%.Depois de quantotempo este capital estar triplicado?

10) A que taxa se deve aplicar certo capital, para no fimde 5 anos, produzir juros iguais a 5/10 de simesmo?

11) Durante quanto tempo uma quantia deve sercolocada a juros simples a 5% a.a. para que osjuros produzidos sejam iguais a 3/5 do capital?

12) A que taxa, determinado capital rende, no fim de 5anos, o dobro de seu valor.

MONTANTE

o capital adicionado aos juros do perodo.

M = C + J ou M = C (1 + in)

Exemplos:

1) A quantia de R$ 3000,00 aplicada a juros simplesde 5% ao ms, durante 5 anos. Calcule o montanteao final de 5 anos.

2) Calcule o montante ao final de dez anos de um capitalR$ 10.000,00 aplicados taxa de juros simplesde 18% ao semestre (18% a.s)

3) Calcular o capital que, taxa de 4% a.a., em 3anos, elevou-se a R$ 2.240,00.

4) Que capital inicial, aplicado taxa de juros simplesde 72% a.a., eleva-se a R$ 131.600,00 em 1 ano,2 meses e 20 dias


3 3

01) (Cesgranrio 2011 Petrobrs Tcnico AmbientalJnior) Maria quer comprar uma bolsa que custaR$ 85,00 vista. Como no tinha essa quantia nomomento e no queria perder a oportunidade, aceitoua oferta da loja de pagar duas prestaes de R$45,00, uma no ato da compra e outra um msdepois. A taxa de juros mensal que a loja estavacobrando nessa operao era de(A) 5,0%(B) 5,9%(C) 7,5%(D) 10,0%(E) 12,5%

02) (FCC 2011 TRT 4 Regio Tcnico Judicirio Administrativo caderno de prova TA tipo 1) Nacompra de um par de sapatos, Lucimara pode optarpor duas formas de pagamento:- vista, por R$ 225,00;- R$ 125,00 no ato da compra mais uma parcela

de R$ 125,00, um ms aps a compra.

Se Lucimara optar por fazer o pagamento parcelado,a taxa mensal de juros simples cobrada nessefinanciamento de(A) 10%(B) 20%(C) 25%(D) 27%(E) 30%

03) (FCC 2011 BB escriturrio prova tipo 1)Um capital foi aplicado a juros simples, taxa anualde 36%. Para que seja possvel resgatar-se oqudruplo da quantia aplicada, esse capital deverficar aplicado por um perodo mnimo de:(A) 7 anos, 6 meses e 8 dias.(B) 8 anos e 4 meses.(C) 8 anos, 10 meses e 3 dias.(D) 11 anos e 8 meses.(E) 11 anos, 1 ms e 10 dias.

04) (Cespe 2011 Correios Agente dos Correios Atendente Comercial Caderno 11 branco) Se, noperodo de 4 meses e no regime de juros simples, aquantia de R$ 2.000,00 aplicada em uma instituiofinanceira produz o montante de R$ 2.720,00,ento a taxa mensal de juros praticada por essainstituio (A) superior a 8%.(B) inferior a 2%.(C) superior a 2% e inferior a 4%.(D) superior a 4% e inferior a 6%.(E) superior a 6% e inferior a 8%.

05) (FMP-RS 2011 TCE-MT Auditor PblicoExterno Prova Matutina) O rendimento de umaaplicao de R$ 1.200,00, a taxa de juros simplesde 3% ao ms, durante 6 meses, (A) R$ 1.432,92.(B) R$ 1.416,00.(C) R$ 232,92.(D) R$ 221,52.(E) R$ 216,00.

06) (CESGRANRIO 2011 TRANSPETRO ContadorJunior Auditoria Interna) Um aplicador realizouum investimento cujo valor de resgate de R$80.000,00. Sabendo-se que a taxa de juros simples de 3,5% ao ms e que faltam 5 meses para oresgate, o valor da aplicao, em reais, foi de:(A) 68.085,10(B) 66.000,00(C) 65.000,00(D) 64.555,12(E) 63.656,98

07) (FCC 2011 BB escriturrio prova tipo 1)Faustino dispe de R$ 22.500,00 e pretende aplicaresta quantia a juros simples, do seguinte modo: 3/5 do total taxa mensal de 2,5% e, na mesmaocasio, o restante taxa de 1,8% ao ms. Supondoque durante 8 meses sucessivos Faustino no faaqualquer retirada, ao trmino desse perodo omontante que ele obter das duas aplicaes serigual, em R$, a(A) 25 548,00.(B) 26 496,00.(C) 26 864,00.(D) 27 586,00.(E) 26 648,00.

08) (FCC 2011 BB escriturrio prova tipo 1)Um capital de R$ 10 500,00 foi aplicado a jurossimples. Sabendo que a taxa de juros contratada foide 42% ao ano, ento, no tendo sido feito qualquerdepsito ou retirada, o montante de R$ 11 725,00estar disponvel a partir de quanto tempo da datade aplicao?(A) 4 meses.(B) 3 meses e 20 dias.(C) 3 meses e 10 dias.(D) 3 meses.(E) 2 meses e 20 dias.


Matemtica

34

09) (FCC 2010 Sergipe Gs AssistenteAdministrativo Caderno de prova A01 tipo 001)Um trabalhador aplicou seu 13o salrio a jurosimples e taxa mensal de 3%; e ao fim do prazode aplicao o montante era de R$ 1.204,60. Se ovalor do 13o salrio era R$ 760,00, o prazo dessaaplicao foi de:(A) 12 meses.(B) 15 meses e meio.(C) 17 meses.(D) 19 meses e meio.(E) 22 meses.

10) (VUNESP - 2010 - FUNDAO CASA - AgenteAdministrativo) Um capital foi aplicado no sistemade juros simples durante 20 meses, e o montanterecebido ao final da aplicao foi igual a 5/4 docapital inicial. A taxa anual de juros simples dessaaplicao foi:(A) 15%(B) 18%(C) 20%(D) 22%(E) 25%

11) (Cesgranrio 2011 Transpetro TcnicoAmbiental Jnior) Certo investidor, que dispunhade R$ 63.000,00, dividiu seu capital em duas partese aplicou-as em dois fundos de investimento. Oprimeiro fundo rendeu 0,6% em um ms, e osegundo, 1,5% no mesmo perodo. Considerando-se que o valor do rendimento (em reais) nesse msfoi o mesmo em ambos os fundos, a parte do capitalaplicada no fundo com rendimentos de 0,6% foi:(A) R$ 18.000,00(B) R$ 27.000,00(C) R$ 36.000,00(D) R$ 45.000,00(E) R$ 54.000,00

rascunho


35

JUROS COMPOSTOS

No regime de juros compostos os juros calculados num perodo sero acrescidos ao capital principal para oclculo dos juros no prximo perodo. Por esta razo diz-se, no caso de regime de capitalizao composta, jurossobre juros.

Recordando:

Nos Juros Simples a taxa sempre aplicada sobre o capital inicial e o rendimento (juros) sempre o mesmoa cada perodo.

J os Juros Compostos a taxa aplicada sempre sobre o ltimo valor: capital + juros que j renderam noperodo que passou.

O que diferencia os dois regimes de capitalizao justamente o perodo: quanto maior for o perodo, maiorser a diferena entre juros simples e compostos. E esta diferena se d no valor final, chamado de Montante (capital+ juros).

Vamos comparar:

Perceba que no Juros Simples, o montante cresceno largo do tempo, de maneira linear conforme umaprogresso aritmtica (PA).

NoJuros Compostos, o montante cresce, ao largodo tempo, de maneira exponencial conforme umaprogresso geomtrica (PG).

Frmula

M = C (1 + i)n

Onde:

M o montante i a taxaC o capital n o perodo

Cuidado

Antes de qualquer aplicao defrmula necessrio primeiro identificarse a taxa e o perodo esto na mesmaunidade de medida (tempo). Se noestiverem, uma delas deve ser transformada. E a taxa iser aplicada na sua forma unitria (dividida por 100,exemplo 30% = 30 / 100 = 0,3)

Nomenclatura:

Os smbolos usados para os parmetros de clculoso os conhecidos universalmente e utilizados nascalculadoras financeiras e planilhas eletrnicas. Osprincipais smbolos so:

Perodo

123456

Juros

10,0010,0010,0010,0010,0010,00

Montante

110,00120,00130,00140,00150,00160,00

Capital

100,00100,00100,00100,00100,00100,00

Capital

100,00100,00100,00100,00100,00100,00

Juros

10,0011,0012,1013,3114,6416,10

Montante

110,00121,00133,10146,41161,05177,16

Juros simples Juros Compostos

SmboloAlternativo Definio

C

M

INT

T

NPV

IRR

[Present Value]Valor presente, Capital Inicial

[Future Value]Valor Futuro, montante

[Interest]Juros

Taxa de JurosTempo, Perodo, Nmero de

Prestaes[Payment]

Pagamento, Prestao

Smbolo

PV

FV

J

i

n

PMT

VPL

TIR

[Net Present Value]Valor Presente Lquido

[Internal Rate of Return]Taxa Interna de Retorno

Matemtica

36

Exemplos resolvidos:

1) Calcule o montante produzido por R$ 10.000,00aplicado em regime de juros compostos de 1% a.m,durante 3 meses.C = 100.000n = 3 mesesi = 1% a.m. ou 0,01

M = C (1 + i)n

M = 100.000 (1 + 0,01)M = 100.000 (1,01)M = 100.000 . 1,030301M = 103.030,10

2) Calcule o capital inicial que no prazo de 4 meses, a2% a juros compostos, produziu o montante R$216.485,44.M = 216.486,44n = 4 mesesi = 2% a.m. ou 0,02

M = C(1 + i)n

216.486,44 = C(1 + 0,02)4

216.486,44 = C . (1,02)4

216.486,44 = C . 1,0824322

C =

C = 200.000,00

3) Determine o valor dos juros compostos pagos porum emprstimo de R$ 2.000,00 contratado a taxaefetiva de 10% a.m. pelo prazo de 5 meses.C = 2000n = 5 mesesi = 10% a.m. ou 0,1 a.m.

M = C(1 + i)n

M = 2000 (1 + 0,1)5

M = 2000 (1,1)5

M =2000 . 1,61051M = 3.221,02

Para encontrar os juros:J = M - CJ = 3.221,02 - 2.000,00J = 221,02

216.486,441,0824322


1) (Cesgranrio 2010 Petrobrs Inspetor deSegurana Interna Jnior) Seja c uma quantiaaplicada a juros compostos de 2,5% ao ms. Omontante M obtido aps t meses expresso por(A) M = c . (0,025)t

(B) M = c . (0,25)t

(C) M = c . (1,025)t

(D) M = c . (1,25)t

(E) M = c . (2,5)t

2) (Cesgranrio 2010 Petrobrs Tcnico deAdministrao e Controle Jnior) O governo federalvai usar recursos do FGTS para financiar projetosna rea de transporte urbano, visando Copa doMundo em 2014. Empresas que pegarememprstimos para projetos de transporte sobre trilhospagaro 5,5% de juros ao ano. Uma empresareceber um emprstimo de x reais, a serem pagosem t anos. O valor total M pago por esse emprstimo calculado pela frmula(A) M = x . (0,055)t

(B) M = x . (0,55)t

(C) M = x . (1,055)t

(D) M = x . (1,55)t

(E) M = x . (5,5)t

3) (Agente Fiscal de Renda/SP-2009) O capital quequadruplica em 2 meses, ao se utilizar decapitalizao composta, deve estar vinculado a umataxa mensal de:(A) 50%(B) 100%(C) 150%(D) 200%(E) 400%

04) Aplicando-se R$ 50.000,00 a taxa de juroscompostos de 2% a.m., quanto receberei de voltaaps um ano de aplicao? Qual o juro obtido nesteperodo?C = 50.000i = 2% a.m. = 0,02 a.m.n = 1 ano = 12 meses

Iremos trabalhar com o perodo em meses, j que ataxa est em mesesM = C (1 + i)n

M = 50000 (1 + 0,02)12

M = 50000 (1,02)12

M = 50000 . 1,2682418M = 63412,09


37

(Cespe 2011 Correios Agente dos Correios Atendente Comercial)

Texto para as questes 4 e 5

Um investidor aplicou R$ 10.000,00, por 2anos, taxa de juros compostos anuais de 10%.

4) Com base no texto, correto afirmar que, ao finaldo perodo de 2 anos, o juro obtido nesseinvestimento foi(A) superior a R$ 1.300,00 e inferior a

R$ 1.600,00.(B) superior a R$ 1.600,00 e inferior a

R$ 1.900,00.(C) superior a R$ 1.900,00 e inferior a

R$ 2.200,00.(D) superior a R$ 2.200,00.(E) inferior a R$ 1.300,00.

5) O investidor obteria o mesmo montante se aplicasseo mesmo capital, por 3 anos, a juros simples anuaisde(A) 7%.(B) 8%.(C) 9%.(D) 5%.(E) 6%.

6) (FCC 2010 Sefaz/SP Tcnico da FazendaEstadual) Elenita dispunha de R$ 3 000,00 e, emuma mesma data, aplicou a metade dessa quantia ajuros simples e o restante a juros compostos, ambas taxa mensal de 8%. Dessa forma, decorridos doismeses da data das aplicaes, os montantes deambas totalizavam(A) R$ 2 031,60.(B) R$ 2 753,40.(C) R$ 3 267,50.(D) R$ 3 489,60.(E) R$ 3 743,40.

7) (FCC 2010 Banco do Brasil Escriturrio ) Umcapital aplicado, durante 8 meses, a uma taxa dejuros simples de 15% ao ano, apresentando ummontante igual a R$ 13.200,00 no final do prazo.Se este mesmo capital tivesse sido aplicado, durante2 anos, a uma taxa de juros compostos de 15% aoano, ento o montante no final deste prazo seriaigual a(A) R$ 17.853,75.(B) R$ 17.192,50.(C) R$ 16.531,25.(D) R$ 15.870,00.(E) R$ 15.606,50.

8) (FCC 2010 MPE/RS Agente Administrativo) Oextrato de uma aplicao financeira capitalizadaanualmente no sistema de juros compostos dadona tabela abaixo.

Data Saldo (R$)

01/01/2008 20.000,0001/01/2009 ?????01/01/2010 28.800,00

No perodo considerado, no houve depsitos nemretiradas. Se as taxas de juros referentes aosperodos de 01/01/2008 a 01/01/2009 e de 01/01/2009 a 01/01/2010 foram iguais, ento o saldoda aplicao, em reais, em 01/01/2009 era de(A) 25.000,00.(B) 24.800,00.(C) 24.400,00.(D) 24.200,00.(E) 24.000,00.

9) (FCC 2012 TRT 6 Regio (PE) AnalistaJudicirio Contabilidade) No tendo recursos parasaldar um emprstimo de R$ 110.000,00 (na datado vencimento), determinada empresa fez um acordoa instituio financeira para pag-lo 90 dias aps ovencimento. Sabendo que a taxa de juros compostoscobrada pelo banco foi de 5% ao ms, o valor pagopela empresa foi, em reais.(A) 115.500,00(B) 115.762,50(C) 121.275,00(D) 126.500,00(E) 127.338,75

10) ( Cesgranrio - CEF 2012 ) O montante gerado poruma instituio financeira, em uma aplicao noregime de juros compostos, R$ 5.000,00, em10 meses, ou R$ 5.202,00, em 1 ano. Se a taxade juros constante, o valor aplicado , em reais,de, aproximadamente,

(A) 4.100(B) 3.950(C) 1.950(D) 3.400(E) 3.100

Matemtica

38

GABARITO

NMEROSPROPORCIONAIS

Exemplos:1. a) x = 2 b) x = 42. x = 120 / y = 903. x = 21 / y = 6

Exerccios:1. a) b) x = 2 c) x = 11/2 d) x = 1/2 e) x = 112. x = 14 / y = 63. x = 48 / y = 324. x = 27 / y = 125. x = 16 / y = 20

PORCENTAGEM

01. A02. A03. D04. B05. E06. E07. B08. C09. A10. E11. C12. B13. A14. E

REGRA DE TRS

Simples

Exemplos:1. 112 voltas2. 4 dias3. 16 dias4. 8 horas5. 8 dias

Exerccios:1. 12 cm2. 750 peas3. 4804. 180 pginas

Composta

Exemplos:1. 5.600 tijolos2. 450 caixas3. 10 h/d4. 10 pedreiros5. 28 dias

Exerccios:1. 8 dias2. 6 alfaiates3. 8 mquinas4. 36 operrios

Testes de Reforo01. C02. C03. C04. D05. C06. A07. D08. A09. A10. B11. D12. C13. C14. C15. D

DIVISOPROPORCIONAL

Partes DiretamenteProporcionais

Exemplos:1. 40 e 602. 45 e 753. 27, 45 e 814. 63, 33, 225. 96 e 36

Questes deConursos01. E02. B03. A04. C05. A06. D07. B08. E09. C10. A

Partes InversamenteProporcionais

Exemplos:1. 36 e 162. 40, 24 e 203. 300, 200, 1504. 3925. 40 e 30

Questes deConursos01. C02. E03. C04. B

Partes Direta eInversamenteProporcionais

Exemplos:1. 28 e 302. 216, 360 e 4053. 240, 240, 80, 404. 315, 120, 1445. 162 e 3846. 84 e 16

CONJUNTOS

Exerccios 11. E2. C3. A4. D5. D6. E7. A8. C

Exerccios 21. a) 460 b)130 c) 4102. a) V b) V c) V d) V e) F3. E4. E5. D6. B7. A

JUROS SIMPLES

Exemplos declculos de juros01. 3.00002. 5003. 3.60004. 6.00005. 9 meses e 18

dias06. 5% a.a.07. 4.00008. 20 meses09. 20 meses10. 10% a.a.11. 12 anos12. 40% a.a.

Montanteexemplos:1. 12.0002. 4.6003. 2.0004. 70.000

Questes deConcursos01. E02. C03. B04. A05. E06. A07. B08. C09. D10. A11. DJUROSCOMPOSTOS

Questes deConcursos1. C2. C3. B4. C5. A6. D7. D8. E9. E10. A


39

As medidas de tendncia central so assimchamadas por serem valores que tendem a se agruparem torno do centro. Por intermdio delas podemoscaracterizar o fenmeno pesquisado e comparar com asdiversas populaes.

As medidas de tendncia central mais utilizadas so:- a mdia aritmtica; - a mediana; - a moda

Mdia aritmtica

MMMdddiiiaaa aaarrriiitttmmmtttiiicccaaa sssiiimmmpppllleeesss

A mdia aritmtica simples a mais comumenteutilizada. calculada pela som ados elementos divididopela quantidade de elementos.

Exemplo:

Em uma sala de aula com 10 alunos, as notas naprimeira avaliao de Matemtica foram as seguintes

x =x1 + x2 + x3 + . . ... + xn

n

Nome do aluno

AbelAltairCarla

CristinaDenise

EdmundoGabriela

LuizaPauloSnia

Nota na avaliao 1

3,05,07,06,09,03,0

10,010,04,05,0

fonte hipottica

x =3 + 5 + 7 +6 + 9 + 3 + 10 + 10 + 4 + 5

10

x = = 6,26210

A partir das informaes acima, vamos calcular amdia aritmtica obtida por essa turma.

Exerccios

1. Encontre a mdia aritmtica simples dos nmerosdados:a) 2, 4, 5, 7b) -3, 1, 8, 4, 5c) 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8d) 4, 6, 8, 10, 12

2. Um comerciante lucrou, durante os trs primeirosmeses do ano, as seguintes quantias:- no 1 ms, R$ 3.000,00- no 2 ms, R$ 2.000,00- no 3 ms, R$ 4.300,00

Qual foi a mdia mensal de lucro nesses trs primeirosmeses do ano?

MEDIDAS DE TENDNCIA CENTRAL

ESTATSTICAProf. Ms. Nederson Espndola

Estatstica descritiva:

A estatstica descritiva trabalha com dados querepresentam a totalidade dos indivduos de umapopulao.

Seus esforos se concentram em descever eresumir o comportamento de uma populao.

A Estatstica um ramo da matemtica que se preocupa com a coleta, a organizao, a anlise e a interpretaode dados, em geral, obtidos de pesquisas e medies. A Estatstica , basicamente, dividida em duas grandes reas:a estatstica descritiva e a estatstica inferencial.

Estatstica inferencial:

Conjunto de tcnicas utilizadas para identificarrelaes entre variveis que representem ou no relaesde causas e efeitos. Faz a anlise e a interpretao dosdados, associados a uma margem de incerteza.

Matemtica

40

3. Qual o nmero que devemos juntar a 8; 3; 5 e 9 demodo que sua mdia seja 8?

4. A mdia aritmtica simples de um conjunto de 10nmeros 45. Se o nmero 18 for retirado doconjunto, qual ser a mdia aritmtica dos nmerosrestantes?

5. Numa classe de 50 alunos, a mdia de matemticaera 6,0. Cinco dos alunos passaram para outra classe,que tinha apenas 20 alunos, cuja a mdia dematemtica era 4,0. Determine as novas mdias dematemtica das duas classes, sabendo que os alunostransferidos tinham as seguintes notas: 6,0; 9,0;4,0; 8,0 e 3,0.

6. Em uma escola h 500 alunos, dos quais 300estudam no perodo da manh e 200 no perodo danoite. Numa prova, a mdia geral da escola foi 5,No entanto, considerando-se somente os alunos damanh a mdia 6. Qual foi a mdia dos alunos doperodo noturno?

Mdia Aritmtica Ponderada

Mdia ponderada um a medida utilizada quandose fazem necessrias diferentes importncias paradeterminados elementos. Nesses casos, o clculo damdia deve levar em conta essa importncia relativa ouo peso relativo.

Para calcularmos a mdia ponderada,multiplicamos cada valor pelo seu peso somamos essesvalores e dividimos pela soma dos pesos. Assim, aexpresso fica:

xp =p1 . x1 + p2 . x2 + p3 . x3 + .

......................... pn + xnp1 + p2 + p3 + . . . .... pn

Exemplo:

1. Em um colgio adota-se o seguinte sistema deavaliao para a composio da nota (mdia) anual. o primeiro trimestre tem o peso 2 o segundo trimestre tem o peso 3 o terceiro trimestre tem o peso 5

Suponha que um aluno tenha obtido mdia 4 noprimeiro, 8 no segundo e 6 no terceiro trimestre.Qual a mdia anual desse aluno?

2. Na situao acima, qual seria a mdia anual de umaluno que obteve mdia 5 nos trs trimestres?

Exerccios

1. Calcule, em cada item, a mdia ponderada.

a) 6, 6 e 10 com pesos 1, 2, e 3 respectivamente.

b) 5, 9 e 6 com pesos 8, 7 e 5 respectivamente

c) 7, 3, 6, 5 e 3 com pesos 1, 2, 3, 2 e 2respectivamente

2. Em um concurso pblico, trs provas foramrealizadas. Um candidato obteve nota 4 na primeiraprova, que tinha peso 3. Obteve nota 9 na segundaprova, que tinha peso 2, e nota 8 na terceira prova,que tinha peso 5. Qual a mdia desse candidato?

3. Quantos litros de vinho do tipo A que custa R$10,00 o litro devem ser misturados a 20 litros dovinho tipo B, que custa R$ 15,00 o litro, e a 5litros de vinho do tipo C, que custa R$ 30,00 olitro, de modo a obtermos uma mistura que custaR$ 12,00 o litro


41

MEDIANA - Md

A mediana de um conjunto de valores, dispostossegundo uma ordem (crescente ou decrescente), o valorsituado de tal forma no conjunto que o separa em doissubconjuntos de mesmo nmero de elementos.

Mtodo prtico para o clculo da Mediana:

Se a srie dada tiver nmero mpar de termos:

O valor mediano ser o termo de ordem dadopela frmula:

Exemplos:

Encontre a mediana das sries

a) {7, 2, 9, 10, 3, 3, 5, 4, 6}

b) {18, 0, 1, 12, 10, 3, 6, 7, 15, 12, 0}

Se a srie dada tiver nmero par de termos:

Ser utilizada a mesma forma da srie com nmerompar de termos, no entanto faremos a mdia aritmticaentre o valor anterior e posterior encontrado.

Exemplo:

Encontre a mediana das sries:

a) {9, 11, 4, 2, 1, 6, 4, 8}

b) {2, 5, 6, 1, 1, 0, 3, 9, 2, 4}

n + 1

2

MODA - Mo

A nada o valor que ocorre com maior frequnciaem uma srie de valores.

A moda facilmente reconhecida: basta de acordocom definio, procurar o valor que mais se repete.

Exemplos:

Na srie {1, 3, 5, 7, 7, 7, 8, 10} a moda _________

Na srie {1, 2, 2, 3, 5, 6, 8} a moda ____________

H sries nas quais no exista valor modal, isto, nas quais nenhum valor aparea mais vezes que outros.

Exemplo:

{2, 3, 4, 5, 8, 9} no apresenta moda. A srie amodal;

Em outros casos, pode haver dois ou mais valoresde concentrao. Dizemos, ento, que a srie tem doisou mais valores modais.

Exemplo:

{1, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 8, 8, 8, 9, 10} apresentaduas modas: 3 e 8. A srie bimodal.

TESTES DE CONCURSOS EVESTIBULARES

1. (FGV - Economia 2010) A mdia aritmtica doselementos do conjunto {17, 8, 30, 21, 7, x} superaem uma unidade a mediana dos elementos desseconjunto. Se x um nmero real tal que8 < x < 21 e x 17, ento a mdia aritmtica doselementos desse conjunto igual aa) 16.b) 17.c) 18.d) 19.e) 20.

2. (PUCCAMP) Sabe-se que os nmeros x e y fazemparte de um conjunto de 100 nmeros, cuja mdiaaritmtica 9,83 . Retirando-se x e y desse conjunto,a mdia aritmtica dos nmeros restantes ser 8,5 .Se 3x - 2y = 125 , ento:a) x = 75b) y = 55c) x = 80d) y = 65e) x = 95

Matemtica

42

3. (ESAF - MRE - Assistente de Chancelaria) Se a mdiaaritimtica dos nmeros 6,8,x e y igual a12, ento a mdia aritimtica, dos nmeros (x+8)e (y-4) sera) 9,5b) 13c) 19d) 20e) 38

4. (FCC - Banco do Brasil - Escriturrio) Os salriosdos 40 empregados de uma empresa, em 31 dedezembro de 2005, estavam distribuidos conformea tabela abaixo:

Neste caso, tem-se que a mdia aritmtica dossalrios dos empregados :a) R$ 1.400,00b) R$ 1.230,00c) R$ 1.150,00d) R$ 1.100,00e) R$ 1.050,00

5. (ESAF - Receita Federal Auditor Fiscal da receitaFederal) Considere a seguinte amostra aleatria dasidades em anos completos dos alunos em um cursopreparatrio.

Com relao a essa amostra, marque a nica opocorreta:

29, 27, 25, 39, 29, 27, 41, 31, 25, 33, 27, 25,25, 23, 27, 27, 32, 26, 24, 36, 32, 26, 28, 24,28, 27, 24, 26, 30, 26, 35, 26, 28, 34, 29, 23,28.

a) A mdia e a mediana das idades so iguais a27.

b) A moda e a mdia das idades so iguais a 27.c) A mediana das idades 27 e a mdia 26,08.d) A mdia das idades 27 e o desvio-padro

1,074.e) A moda e a mediana das idades so iguais a

27.

Salrios(R$)

400,00550,00

1.000,001.400,001.800,00

Nmero defuncionrios

48

10162

6. (FUNIVERSA - Agente de Polcia) Um Grupo de AoEspecial (GAE) da polcia formado por oitomembros que tm mdia de idade de 35 anos. Cadapolicial do grupo substitudo compulsoriamenteaos 45 anos de idade e, antes disso, somente pormotivo de falecimento, incapacidade fsica oumental, pedido de dispensa ou motivo grave quejustifique sua imediata retirada do grupo (porexemplo, desvio de conduta, insubordinao,envolvimento com crimes, ao que exponha oscompanheiros a riscos desnecessrios, quebra desigilo etc.) Um dos membros foi substitudo por umpolicial recm treinado de apenas 20 anos de idade.Com isso, a mdia de idade do grupo caiu em trsanos. Considerando essa situao hipottica, asisnalea alternativa correta.a) O policial que saiu foi substitudo

compulsoriamente.b) Se o policial que saiu no foi substitudo por

motivo de falecimento, incapacidade fsica oumental ou pedido de dispensa, conclui-se quefoi por algum motivo grave.

c) No h dados suficientes para se julgar se asubstituio foi compulsria ou no.

d) O policial que entrou tem mais da metade daidade do policial que saiu.

e) O policial que saiu tem 32 anos de idade

7. (CESPE - Administrador) O custo mdio nacionalpara a construo de habitao com padro deacabamento normal, segundo levantamento realizadoem novembro de 2008, foi de R$ 670,00 por metroquadrado, sendo R$ 400,00/m relativos sdespesas com materiais de construo e R$ 270,00/mcom mo-de-obra. Nessa mesma pesquisa, os custosmdios regionais apontaram para os seguintesvalores por metro quadrado: R$ 700,00 (Sudeste),R$ 660,00 (Sul), R$ 670,00 (Norte), R$ 640,00(Centro-Oeste) e R$ 630,00 (Nordeste).

Sistema Nacional de Pesquisa de Custos e ndices da ConstruoCivil. SINAPI/IBGE, nov./2008 (com adaptaes).

Com base nas informaes apresentadas no texto,assinale a opo correta.a) A mdia aritmtica dos custos mdios regionais

por metro quadrado igual ao custo mdionacional do metro quadrado.

b) O custo mdio por metro quadrado relativo regio Sul corresponde mediana dos custosmdios regionais por metro quadrado.

c) Mais de 65% do custo mdio nacional dometro quadrado relativo s despesas commateriais de construo.

d) O custo mdio por metro quadrado relativo regio Sudeste 10% superior ao custorelativo regio Nordeste.


43

8. (FCC - TRF - Analista Judicirio) Em uma empresa,a quantidade de empregados do sexo masculinosupera em 100 a quantidade de empregados do sexofeminino. A mdia dos salrios dos homens iguala R$ 2.000,00 e a das mulheres R$ 1.800,00. Sea mdia dos salrios de todos os empregados iguala R$ 1.920,00, ento a quantidade de empregadosdo sexo masculino igual aa) 600.b) 500.c) 400.d) 300.e) 200.

9. FCC - Banco do Estado de Sergipe - Banese - TcnicoBancrio) Um levantamento realizado em um setorde uma instituio financeira forneceu as seguintesinformaes com relao aos salrios dos seus 45funcionrios:

Somando os valores da mdi

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