Professor Ccero Jos Uniban 2011 1 CAPTULO I Equaes Diofantinas 1. Um pouco de Histria AteoriadasEquaesDiofantinasoramodateoriadosnmerosqueinvestigaassolues inteiras ou racionais de equaes polinomiais, como, 2x + 4y = 5, y x = 2 ou x + y = z. O nome Equaes Diofantinas uma homenagem a um dos maiores algebristas da Grcia antiga, Diophantus de Alexandria, grego do sculo III D.C., que formulou e resolveu muitas dessas equaes. Diofantefoiumgrandematemticoquesededicouresoluodeproblemas.Suamais importanteobrafoiaAritmtica,umacoleode13livrosnosquaisoautorreuniucercade150 problemas resolvidos atravs de operaes numricas, nas quais demonstra seu alto grau de habilidade e engenho. Tambm chamado de pai da lgebra, devido a sua contribuio na introduo de notaes algbricas, Diofante utilizou abreviaes para a subtrao, a igualdade e a incgnita. Bastante curioso o epitfio de Diofante, matemtico grego da Antiguidade, que viveu 200 anos a.C. Encontramos na Antologia Grega um problema que apresentado sob a forma de epitfio: Eis o tmulo que encerra Diofante, maravilha de contemplar. Com um artifcio aritmtico a pedra ensina a sua idade. Deus concedeu-lhe passar a sexta parte de sua vida na juventude; um duodcimonaadolescncia;umstimoemseguidafoipassadonumcasamentoestril. Decorreram mais cinco anos, depois do que lhe nasceu um filho. Mas este filho desgraado e, no entanto, bem amado! apenas tinha atingido a metade da idade que viveu seu pai, morreu. Quatro anos ainda, mitigando sua prpria dor com o estudo da cincia dos nmeros, passou-os Diofante, antes de chegar ao termo de sua existncia. EmlinguagemalgbricaoepigramadaAntologiaseriatraduzidopelaequao: x x x x + + + 5 + + 4 = x6 12 7 2, na qual x representa o nmero de anos que viveu Diofante. Resolvendo essa equao, achamos x = 84. Trata-se, afinal, de uma equao muito simples do 1 grau com uma incgnita. AobradeDiophantusserviucomofontedeinspiraoparamuitosmatemticosentreeleso matemtico francs Pierre de Fermat (1601-1665). PierredeFermateraumConselheirodaCmaradeRequerimentosdeToulouse,naFranade 1631. Sua responsabilidade estava ligada condenao de pessoas morte na fogueira e por isso no podiatermuitasamizades.Emseutempolivrededicava-seMatemticaeficouconhecidocomoo Professor Ccero Jos Uniban 2011 2 "PrncipedosAmadores"porterdescobertoasleisdaprobabilidade,osfundamentosdoClculo DiferencialantesdeNewtoneLeibniz,desenvolvidoaGeometriaAnalticaantesdeDescartese teoremasdifceiseelegantessobreNmerosInteiros.EntretantoFermatseinteressoupeloassunto aps ter lido a edio de 1621 da obra de Bachet: Arithmetica de Diophantus, obra que consistia do material que restou do trabalho de Diophantus. Fermat deu incio a vrias reas da Teoria dos Nmeros moderna, inclusive Anlise Diofantina, e formulou o problema mais famoso da Teoria dos Nmeros edaMatemticaquedesafiougeraesdematemticos.Essabatalhaduroucercade350anose influencioupraticamentetodaaMatemtica.Fermatsimplesmenteafirmouquepossuauma demonstrao para a seguinte generalizao das Ternas Pitagricas: se n3, a equao x + y = z no admite solues inteiras no-nulas. MasademonstraonocabianamargemdesuacpiadaArithmeticadeDiophantus ondeFermatdeixouregistradaessaafirmao.DescobrirademonstraodeFermattornou-seo desafio mais famoso da Matemtica e ficou conhecido como o ltimo Teorema de Fermat. Parecia tosimples,pormosgrandesmatemticosdosltimosquatrosculosnopuderamresolv-loantes de 1994. Fermat possua um prazer especial em provocar embaraos aos matemticos da sua poca, em particular aos ingleses. Quis o destino que um ingls, Andrew Wiles, fosse o escolhido para colocar um fimataisprovocaes.Amaisterrveldelas,o"ltimoTeoremadeFermat",foidemonstradaem 1994,pelomatemticoinglsAndrewWiles.Umimportantematemtico,professoremCambridge, Inglaterra,chamadoJohnCoates,quefoioorientadordatesededoutoramentodeAndrewWiles, comparou esse fato descoberta de que o tomo divisvel e descoberta da estrutura do DNA. Para AndrewWilesoproblematornou-seumaobsessodesdeseus10anosquandoconheceuolivrode Eric Temple Bell, O ltimo Problema. Wiles achou que tinha que ser ele a resolv-lo. A histria dos detalhes de como a afirmao de Fermat se tornou a mais terrvel provocao magistralmente contada porSimonSinghemseulivroOltimoTeoremadeFermatlanadapelaeditoraRecordaquino Brasil.EsselivrofoiomaisvendidonomundosobreoltimoTeoremadeFermat,poisnarrade maneirabrilhanteepisdiosdivertidos,dramticoseattrgicos,daHistriadaMatemtica,para descrever ao grande pblico a conquista mais famosa da Matemtica. UmadasaplicaesinteressantesdaMatemticanonossocotidianosoasequaes diofantinas.Estasequaes,deprimeirograu,noslevamsdiversassoluesinteirasquepodem resolver tais equaes. Aplicando-se restries a uma soluo geral, de forma parametrizada, podemos obterumaoumaissoluesqueatendamaoquesedeseja.Vejamoscomoresolveroexemploque problema que fizemos durante a aula usando os mtodos de soluo. Professor Ccero Jos Uniban 2011 3 2. Definio de equao diofantina Equaodiofantinalinearumaequaodaformaax+by=cemquea,b,c,sonmeros inteiros.Umasoluodeumaequaodiofantinalinearumpardeinteiros(xo,yo)quesatisfaza equao. Exemplo 1: A equao 3x + 6y = 18 tem como solues os pares (4, 1); (6, 6); (10, 2); etc.Exemplo2:Aequao2x+4y=7notemsoluo,poisoprimeiromembrosersemprepareo segundo membro mpar. 3. Condio de Existncia de Soluo A equao diofantina linear ax + by = c tem soluo se, e somente se, d = mdc (a, b) divide c. 4. Solues da Equao ax + by = c Teorema:Sed=mdc(a,b)dividec(d|c),eseopardeinteiros(x0,y0)ZxZumasoluo particulardaequaodiofantinalinearax+by=c,entotodasasoutrassoluesdestaequaoso dadas pela frmula: x = x0 + bd| | |\ .t e y = y0 ad| | |\ .t, onde t um inteiro arbitrrio. Corolrio:Seomdc(a,b)=1ese(x0,y0)cZxZumasoluoparticulardaequaodiofantina ax+by=c,entotodasasoutrassoluesdestaequaosodadaspelasfrmulas:x=x0+btey = y0 at, onde t um inteiro arbitrrio. Teorema de Bezout Se d = mdc (a,b) ento existem nmeros inteiros x0 e y0 tais queax0 + by0 = d. Vejamos alguns exemplos: Exemplo 1: Determine todas as solues inteiras da equao diofantina 56x + 72y = 40. Resoluo: Omdc(56,72)=8e840,portantoaequao56x+72y=40possuisoluesinteiras.De acordo com o Teorema de Bezout, existe um par ordenado (x0, y0) tal que 56x0 + 72y0 = 8. Usando o algoritmo da diviso temos: 72 = 56 . 1 + 16 72 56 . 1 = 16 56 = 16 . 3 + 8 56 16 . 3 = 8 Professor Ccero Jos Uniban 2011 4 Escrevendo o 8 como combinao linear de 56 e 72 vem: 56 16 . 3 = 8 56 (72 56 . 1) . 3 = 8 56 72 . 3 + 56 . 3 = 8 56 . 4 + 72 . (3) = 8 Como queremos resolver a equao 56x + 72y = 40, multipliquemos a ltima igualdade por 5. 56 . 20 + 72 . (15) = 40 Logo x0 = 20 e y0 = 15 uma soluo particular da equao 56x + 72y = 40. A soluo geral :

72x = 20 +t856y =15 t 8 | | | \ .| | |\ .

x = 20 + 9t,com t Zy =15 7t Observao:Paraencontraroutrassoluesparticulares,bastaatribuirvaloresinteirosparat.Por exemplo: Para t = 1 x = 20 + 9 . (1) = 20 9 = 11 e y = 15 7 . (1) = 15 + 7 = 8 Para t = 1 x = 20 + 9 . 1 = 20 + 9 = 29 ey = 15 7 . 1 = 15 7 = 22 Para t = 2 x = 20 + 9 . 2 = 20 + 18 = 38 ey = 15 7 . 2 = 15 14 = 29

Exemplo 2: Determine todas as solues inteiras da equao diofantina 11x + 30y = 31. Resoluo: Omdc(11,30)=1e131,portantoaequao11x+30y=31possuisoluesinteiras.De acordo com o Teorema de Bezout, existe um par ordenado (xo, yo) tal que 11xo + 30yo = 31. Usando o algoritmo da diviso temos: 30 = 11 . 2 + 8 30 11 . 2 = 8 11 = 8 . 1 + 3 11 8 . 1 = 3 8 = 3 . 2 + 2 8 3 . 2 = 23 = 2 . 1 + 1 3 2 . 1 = 1 Escrevendo o 1 como combinao linear de 11 e 30 vem: 3 2 . 1 = 1 3 (8 3 . 2) . 1 = 1 Professor Ccero Jos Uniban 2011 5 3 8 . 1 + 3 . 2 = 1 3 . 3 8 . 1 = 1 (11 8 . 1) . 3 8 . 1 = 1 11 . 3 8 . 3 8 . 1 = 1 11 . 3 8 . 4 = 1 11 . 3 (30 11 . 2) . 4 = 1 11 . 3 30 . 4 + 11 . 8 = 1 11 . 11 + 30 . (4) = 1 Como queremos resolver a equao 11x + 30y = 31, multipliquemos a ltima igualdade por 31. 11 . 341 + 30 . (124) = 31 Logo xo = 314 e yo = 124 uma soluo particular da equao 11x + 30y = 31. A soluo geral :

30x = 341 +t111y =124 t 1 | | | \ .| | |\ .

x = 341 + 30t,com t Zy =124 11t Exemplo 3: Determine todas as solues inteiras da equao diofantina 2x + 4y = 7. Resoluo: O mdc (2, 4) = 2 e 2 7, portanto a equao 2x + 4y = 7 no possui solues inteiras. Exemplo 4: Fernando recebeu R$ 50,00 para comprar dois tipos de lanches para um piquenique com suescolegas.Depoisdepesquisar,conseguiuopreodeR$4,00porhambrgueredeR$6,00por mini-pizza. De quantas maneiras ele pode comprar o lanche para o piquenique? Resoluo: Pararesolvermoseste problema devemos ter em mente que a soluo precisa envolver nmeros inteiros,poisoFernandonopodecomprarfraodohambrguer,nemfraodamini-pizza., portantotpicodeumaequaodiofantina.Faamosxcomosendoaquantidadedehambrguerey como sendo a quantidade de mini-pizzas. Ento, podemos escrever uma equao do tipo ax + by = c, onde a representa o custo do hamburger e b o custo da mini-pizza temos que: 4x + 6y = 50, ou melhor, ainda 2x + 3y = 25 Professor Ccero Jos Uniban 2011 6 Como o mdc (2, 3) = 1 e 1 divide 25, logo possvel termos solues inteiras. De acordo com o Teorema de Bezout, existe um par ordenado (xo, yo) tal que 2xo + 3yo =25. Usando o algoritmo da diviso temos: 3 = 2 . 1 + 1 Escrevendo o 1 como combinao linear de 2 e 3 vem: 3 2 . 1 = 1 2 . 1 + 3 . 1 = 1 2. (1) + 3 . 1 = 1 Como queremos resolver a equao 2x + 3y = 25, multipliquemos a ltima igualdade por 25. 2 . (25) + 3 . 25 = 25 Logo xo = 25 e yo = 25 uma soluo particular da equao 2x + 3y = 25. A soluo geral :

3x =25 +t12y = 25 t 1 | | | \ .| | |\ .

x =25 + 3t,com t Zy = 25 2t Como x > 0 e y > 0 temos que 25 + 3t > 0 e 25 2t > 0. Resolvendo cada uma delas temos: 3t > 25 2t > 25 t > 8,3 t < 12,5 Os valores inteiros de t que se encontram no intervalo so: 9, 10, 11 e 12. Logo, as solues possveis so: Quando t = 9, temos x = 25 + 27 = 2 e y = 25 18 = 7. Quando t = 10, temos x = 25 + 30 = 5 e y = 25 20 = 5. Quando t = 11, temos x = 25 + 33 = 8 e y = 25 22 = 3. Quando t = 12, temos x = 25 + 36 = 11 e y = 25 24 = 1. Ou seja, o Fernando poderia comprar com os R$ 50,00: 2 hambrguer e 7 mini-pizzas ou 5 hamburgus e 5 mini-pizzas ou 8 hamburgus e 3 mini-pizzas ou 11 hamburgus e 1 mini-pizza Professor Ccero Jos Uniban 2011 7 Exerccios 1)Dadosa=134eb=55,calculed=mdc(a,b)edetermineosvaloresderestaisque 134r + 55s = d. 2) Determinar todos os mltiplos positivos de 11 e de 9 cuja soma seja 270. 3) Resolva as seguintes equaes diofantinas:a) 2x + 3y =9b) 3x + 5y = 47c) 8x + 40y = 20 d) 3x + 4y = 20e) 5x 2y = 2f) 18x 20y = 8g) 24x + 18y = 18 4) Encontre as solues inteiras positivas de: a) 2x + y = 2b) 6x + 15y = 51 5) Encontre as solues inteiras negativas de: a) 2x + y = 2b) 6x + 15y = 51 6) Decomponha o nmero 100 em duas parcelas positivas tais que uma mltiplo de 7 e a outra de 11. (problema do matemtico L. Euler [1707 1783].) 7) Ache todos os inteiros estritamente positivos com a seguinte propriedade: fornecem resto 6 quando divididos por 11 e resto 3 quando divididos por 7. 8) O valor da entrada de um cinema R$ 8,00 e da meia entrada R$ 5,00. Qual o menor nmero de pessoas que pode assistir a uma sesso de maneira que a bilheteria seja de R$ 500,00? 9)UmparquedediversescobraR$1,00aentradadecrianaseR$3,00adeadultos.Paraquea arrecadao de um dia seja R$ 200,00, qual o menor nmero de pessoas, entre adultos e crianas, que poderiam frequentar o parque nesse dia? Quantas crianas? Quantos adultos? 10)Determineomenorinteiropositivoquedeixarestos16e27quandodivididopor39e56, respectivamente. Professor Ccero Jos Uniban 2011 8 CAPTULO II Congruncias Mdulo m 1. Introduo Oconceitodecongruncia,bemcomoanotaoatravsdaqualsetornaumdosinstrumentos maisfortesdateoriadosnmeros,foiintroduzidoporKarlFriedrichGauss(17771855)emsua Disquisitiones Arithmeticae de 1801. MesmonodiaadianemsempreascontasdocomoresultadoaquiloquerezaaAritmtica. Por exemplo, quando que 13 + 18 d 7? Quando estamos falando de horas. Se forem 13 horas ou 1 horadatarde,aoadicionarmos18horasteremos7horasdamanh.Masistonoprivilgiosdas horas,qualquerfenmenocclicovaiproduzirumaAritmticasemelhanteaesta.E esta Aritmtica dos fenmenos cclicos que conhecida como Aritmtica dos Restos ou Congruncia. Consideremos a seguinte situao: se hoje sbado, daqui a 152 dias, que dia da semana ser? E h 152 dias, que dia semana foi? Consideremosaseguintecorrespondnciabiunvocaentreasucessodosdiaseoconjuntodos nmeros inteiros: ao dia de hoje (sbado) associamos o nmero 0, ao dia de amanh o 1, e assim por diante;aodiadeontem(sexta-feira)associamoso1,aodeanteontemo2,etc.Observemoso quadro: SbadoDomingoSegundaTera Quarta Quinta Sexta14 1312111098 7654321 0123456 78910111213 14151617181920 Suaprimeiracolunarepresentasbados:abaixodalinhado0,posterioresahoje;acima, anteriores. A segunda representa domingos, e assim por diante. Notemos que dois inteiros representam o mesmo dia da semana se, e somente se, sua diferena um mltiplo de 7. Mas na primeira coluna esto os nmeros da forma 7k, na segunda os da forma 7k + 1, na terceira os da forma 7k + 3, etc., onde k = 0, 1, 2, . Como 152 = 7 . 21 + 5, ento 152 est na coluna do 5, ou seja, das quintas-feiras. Logo a resposta primeira pergunta quinta-feira. Ecomo152=7.(22)+2,ento152estnacolunado2.Assim,arespostasegunda pergunta segunda-feira. Professor Ccero Jos Uniban 2011 9 Outrocampodeaplicaodateoria o da periodicidade da natureza, o tempo por exemplo. Os nossosrelgiosregistramashorasemmdulo12.Aps12horasvoltamaozero,comeando novamenteacontagemdotempo.Nestecaso, preciso levar em conta que 1 hora so 60 minutos se quisermos estabelecer um sistema completo de resduos. No caso do relgio de ponteiros trabalhamos comcongruncia(mod12),isto,indicamosnorelgioorestodadivisoeuclidiana,dashoras consideradas,por12.Quandofalamos21horas,porexemplo,novemosestenmeromarcadono relgio, o que vemos o resto da diviso de 21 por 12 que igual a 9. Encontramos congruncias em todos os cantos. Como dissemos, os relgios trabalham com mdulos 12 ou 24 para as horas e mdulo 60 para os minutos e segundos. Calendrios usam mdulo 7 para os dias da semana e mdulo 12 para os meses. Vejamos outros exemplos: Exemplo1:Queremosdeterminarohorrioquechegaremosaumcertodestino,sabendoqueessa viagem dura, com paradas e pernoites, 73 horas e que o horrio de partida s 17:00 h. Para isso, basta obter o resto da diviso de 73 + 17 = 90 por 24, j que o dia tem 24 horas: 90 = 24 . 3 + 18. Assim, o horrio de chegada ser s 18:00 horas. Exemplo2:Compreiumcarroevoupag-loem107prestaesmensais.Seestamosem maro, em qual ms terminarei de pag-lo? Aqui a repetio se d de 12 em 12 meses. Considerando a numerao usual dos meses, temos que maro corresponde a 3. Somando 3 a 107, obtemos 110, que corresponde a fevereiro, pois 110 = 9 . 12 + 2. 2. Definio Sejam a, b e m nmeros inteiros, m > 0. Dizemos que a cngruo a b, mdulo m, se m/(a b). Notao: ab (mod. m). Se m no divide a diferena a b, ento diz-se que a incongruente a b mdulo m. Notequedoisnmerosinteirosquaisquersocongruentesmdulo1,enquantodoisnmeros inteiros so congruentes mdulo 2 se ambos so pares ou se ambos so mpares. Em particular a0 (mod m) se e somente se o mdulo m divide a. RESUMO:Sejamumnmerointeiromaiorque zero. Dizemos que dois nmeros inteiros a e b so congruentesmdulomseosrestosda sua diviso euclidiana por m so iguais. Representamos ab (mod m). Professor Ccero Jos Uniban 2011 10 Vejamos dois exemplos: Exemplo 1: 2113 (mod 2), pois os restos da diviso euclidiana de 21 e de 13 por 2 so iguais a 1. Exemplo 2: 154 (mod 11), pois os restos da diviso euclidiana de 15 e de 4 por 11 so iguais a 4. 3. Propriedades importantes Se a, b, m e d so inteiros, m > 0 as seguintes sentenas so verdadeiras: a) aa (mod m). (reflexiva) b) se ab (mod m), ento ba (mod m). (simtrica) c) se ab (mod m) e bd (mod m), ento ac (mod m). (transitiva) Estas propriedades, reflexiva, simtrica e transitiva, respectivamente, tornam a congruncia uma relao de equivalncia. d) se ab (mod m) e 0 _ b < m, ento b resto da diviso euclidiana de a por m. Reciprocamente, se r o resto da diviso de a por m, ento ar (mod m) Se a, b, c e m (m > 0) so inteiros tais que ab (mod m), ento: e) a + cb + c (mod m). f) a cb c (mod m). g) a . cb . c (mod m). Altimapropriedadepodesergeneralizada,porinduo,pararcongruncias:sea1b1 (mod m), a2b2 (mod m), ..., arbr (mod m), ento: a1 . a2 ... arb1 . b2 ... br (mod m) Em particular, se a1 = a2 = ... = ar e b1 = b2 = ... = br, temos que: arbr (mod m) Professor Ccero Jos Uniban 2011 11 Vejamos mais exemplos: Exemplo 3: Calcule o resto da diviso de 2343 por 15.Resoluo: Pela propriedade reflexiva temos que:

201 (mod 15) 212 (mod 15) 224 (mod 15) 238 (mod 15) 24161 (mod 15) (24)85185 (mod 15), logo 23401 (mod 15). Desta forma, 2340 . 2323 (mod 15). Resposta: 23438 (mod 15), isto , o resto da diviso de 2343 por 15 8. Exemplo 4: Determine o resto de 325 por 19. Resoluo: Pela propriedade reflexiva temos que: 301 (mod 19) 313 (mod 19) 329 (mod 19) 339 . 3278 (mod 19) (33)282647 (mod 19), logo 367 (mod 19) (36)2724911 (mod 19), logo 312118 (mod 19) (312)2(8)2647 (mod 19), logo 3247 Desta forma, 324 . 37 . 3 (mod 19), ento, 325212 (mod 19) Resposta: 3252 (mod 19), isto , o resto da diviso de 325 por 19 2. Exemplo 5: Qual o resto da diviso de 245 por 7? Resoluo: Pela propriedade simtrica temos que: 22 (mod 7) 2381 (mod 7) (23)15115 (mod 7) Logo, 2451 (mod 7) Resposta: 2451 (mod 7), isto , o resto da diviso de 245 por 7 1. Professor Ccero Jos Uniban 2011 12 Exemplo 6: Mostre que 10200 1 divisvel por 11. 101 (mod. 11) 102001 (mod. 11) 10200 10 (mod. 11) 11 | (10200 1) Exemplo 7: Calcular 1017 + 2876 (mod 7).Resoluo: Reduzindo as parcelas da soma temos 10172 (mod 7) e 28766 (mod 7) Logo: 1017 + 28762 + 6 = 8 (mod 7): A ttulo de curiosidade, vejamos mais dois exemplos um pouco mais elaborados. Exemplo 8: Ache o algarismo das unidades do nmero 7(7 )7 . 77 (mod 10) 72499 (mod 10) 73633 (mod 10) 74211 (mod 10) Ento, 7r7, 9, 3 ou 1 (mod. 10) conforme, respectivamente, r1, 2, 3 ou 0 (mod 4). Mas 73 (mod 4), 72211 (mod 4), 7373 (mod 4), 74211 (mod 4), ... Ou seja, 7s3 ou 1 (mod 4) conforme s seja mpar ou par. Como 77 mpar, ento 773 (mod 4). Logo 7(7 )7 733 (mod 10). Assim, o algarismo das unidades do nmero dado 3. Exemplo 9: Ache o algarismo das unidades do nmero 9(9 )9 . 99 (mod 10) 92811 (mod 10) 939 (mod 10) 94811 (mod 10) Ento,9r9ou1(mod10)conforme,respectivamente,r1,2,3ou0(mod4).Mas951 (mod 4), 921 (mod 4), 931 (mod 4), 941 (mod 4), ... Ou seja, 9s1 (mod 4) s N.Ento, 9(9 )9 919 (mod 10). Assim, o algarismo das unidades do nmero dado 9. Professor Ccero Jos Uniban 2011 13 Exerccios 11) Ache os restos nas seguintes divises: a) 1110 por 100 b) 310 . 425 + 68 por 5 c) 52 . 4841 + 285 por 3 d) 1169 por 3 e) 2512 por 5 f) 2334 por 23 12) Mostre que 220 1 divisvel por 41. 13) Mostrar que, qualquer que seja o inteiro mpar a, o resto da diviso de a2 por 8 1. 14) Determine todos os inteiros x tais que: a) 0 _ x _ 100 e x5 (mod 8)b) 100 _ x _ 200 e x1 (mod 7) 15) Se 402654 (mod m), determine todos os possveis valores de m. 16) Use as congruncias para verificar que: a) 89 | (244 1) b) 97 | (248 1) c) 23 | (211 1) 17) Determine duas fraes positivas que tenham 13 e 17 para denominadores e cuja soma seja igual a 305221. 18) Determine duas fraes cujos denominadores sejam 12 e 16 e cuja soma seja 1048. 19) Calcule x sabendo que 7x4 (mod 10). 20)UmteatrovendeingressosecobraR$18,00poradultoeR$7,50porcriana.Numanoite, arrecadaR$900,00.Quantosadultosecrianasassistiramaoespetculo,sabendoqueerammais adultos do que criana? 21) Determine os restos da diviso de 250 por 7. 22) Determine os restos da diviso de 398 por 11. 23) Prove que: a) 22n1 (mod 3)b) 24m1 (mod 15)c) 23n1 (mod 7) 24) Verifique se so cngruos (mod 5) os inteiros: a) 18 e 22b) 38 e 29 Professor Ccero Jos Uniban 2011 14 4. Congruncia linear Retomaremosagoraoestudodeequaesdiofantinaslineares,considerandosistemasdetais equaes. Chama-secongruncialineartodaequaodaformaaxb(modm),ondeaebsointeiros quaisqueremuminteiropositivo.Todointeirox0talqueax0b(modm)diz-seumasoluoda congruncia linear. Se x0 uma soluo da congruncia linear axb (mod m), ento todos os inteiros x0 + km, onde k um inteiro arbitrrio, tambm so solues da congruncia linear. 5. Condio de Existncia de Solues Acongruncialinearaxb(modm)temsoluose,esomentese,ddivideb,sendo d = mdc (a, m). Logo ax0 by = my0 ou ax0 my0 = b. 6. Solues da Congruncia axb (mod m) Se d divide b, sendo d = mdc(a, m), ento a congruncia linear axb (mod m) tem precisamente d solues mutuamente incongruentes mdulo m, dada pela frmula: x = x0 +md| | |\ .t, com 0 _ t _ d 1

Se o mdc (a, m) = 1, ento a congruncia linear axb (mod m) tem uma nica soluo. 7. Resoluo de uma congruncia linear Uma equao diofantina linear uma equao da forma ax + by = c em que a, b, c, so nmeros inteiros. A equao diofantina linear ax + by = c tem soluo se, e somente se, d = mdc (a, b) divide c. Umasoluodeumaequaodiofantinalinearumpardeinteirosx0,y0quesatisfazaequao, ento: ax0 + by0 = c

o que implica: ax0b (mod m). Assimsendo,paraobterumasoluoparticulardaequaodiofantinalinear,bastadeterminar umasoluoqualquerx=x0dacongruncialinearaxc(modb),esubstituirestevalorx0dexna equaoax+by=cafimdeencontrarovalorcorrespondentey0dey,isto,talqueax0+by0=c. Professor Ccero Jos Uniban 2011 15 Obviamente, tambm se pode obter uma soluo particular da equao diofantina linear, determinando uma soluo qualquer y = y0 da congruncia linear bxc (mod a). Porexemplo,4soluode2x3(mod5),entotodososelementosde{4+5t/tZ}= {4, 1, 9, 6, ...} so apenas representaes da mesma soluo. Vejamos alguns exemplos: Exemplo 1: Resolva a congruncia linear 2x1 (mod 17).Resoluo: O mdc (2, 17) = 1 e 1 | 1, logo a congruncia possui uma soluo. 2x1 e 12 . 9 (mod 17), ento: 2x2.9 (mod 17) x9 (mod 17) Exemplo 2: Resolva a congruncia linear 3x1 (mod 17).Resoluo: O mdc (3, 17) = 1 e 1 | 1, logo a congruncia possui uma soluo. 3x1 (mod 17) e 13 . 6 (mod 17), ento: 3x3.6 (mod 17) x6 (mod 17) Exemplo 3: Resolva a congruncia 3x6 (mod 18).Resoluo:Omdc(3,18)=3,e3|6,logoacongrunciapossuitrssolues.Dividindopor3a congruncia dada, obtemos: x2 (mod 6) Assim a soluo geral x = 2 + 6t, t = 0, 1 e 2 dando x = 2, x = 8 e x = 14 8. Teorema Chins do Resto O nome dado ao teorema se deve ao fato de que este resultado j era conhecido, na Antiguidade, pelos matemticos chineses. Nosculoum,omatemticochinschamadoSun-Tsuseperguntou?Quenmeroseressede formaquequandodivididopor3,oresto2;quandodivididopor5,oresto3,equando divididopor7,oresto2?Apergunta:Qualasoluoparaoseguintesistemade congruncias? x 2 (mod 3)x 3 (mod 5)x 2 (mod 7) Professor Ccero Jos Uniban 2011 16 Definio: Um sistema de congruncias lineares um sistema da forma abaixo:

1 1 12 2 2r r rA x B(mod m )A x B(mod m ).................................A x B(mod m ) ArxBr(modmr)ondeAi,i=1,2,...,rsointeirossupostamentenonulos.Umasoluodo sistema um inteiro x0 que soluo de cada uma das congruncias que dele fazem partes. Exemplo: 3x1 (mod 5) 2x3 (mod 9).

Teorema 1: Um sistema xa1 (mod m1); xa2 (mod m2) admite soluo se, e somente se, a1 a2 divisvelpord=mdc(m1,m2).Nestecaso,sex0umasoluoparticulardosistemaesem = mmc (m1, m2) ento x = x0 (mod m) sua soluo geral. Teorema 2 (do Resto Chins): Sejam m1, m2, ..., mr nmeros inteiros maiores que zero e tais que mdc (mi,mj)=1,i=j.Faamosm=m1m2...mresejamb1,b2,...,br,respectivamente,soluesdas congruncias lineares jmmy1 (mod mj). Ento o sistema xa1 (mod m1); xa2 (mod m2); ... ; xar (mod mr) admite solues para quaisquer a1, a2, ... , ar c Z e sua soluo geral dada por: 1 1 2 2 r r1 2 rM M Mx = a b+ a b+ ... + a b(mod m)m m m | | | | | |||| \ . \ . \ . Estealgoritmo,utilizadopararesolversistemasdecongrunciaslineares,muitoantigoefoi inventado, independentemente, pelos chineses e pelos gregos, para resolver problemas de astronomia. Oalgoritmochinsdorestotemestenomeporqueumdos primeiros lugares em que apareceu foi no livro Manual de aritmtica do mestre Sun-Tsu, escrito entre 287 d.C. e 473 d.C. Vejamos alguns exemplos: Professor Ccero Jos Uniban 2011 17 Exemplo 4: Resolva o sistema de congruncia linear x1 (mod 2) e x1 (mod 3). Resoluo: Como o mdc (2, 3) = 1 o sistema possui soluo. A soluo geral da 1 x = 1 + 2a. Substituindo este valor na 2, obtemos: 1 + 2a1 (mod 3) 2a0 (mod 3) a0 (mod 3) Logo a = 3b. Substituindo este valor em x = 1 + 2a, temos: x = 1 + 2(3b), dando x = 1 + 6b que soluo geral do sistema, ou x1 (mod 6). Exemplo 5: Resolva o sistema de congruncia linear x5 (mod 12) e x7 (mod 19). Resoluo: Como o mdc (12, 19) = 1 o sistema possui soluo. A soluo geral da 1 x = 5 + 12a. Substituindo este valor na 2, obtemos: 5 + 12a7 (mod 19) 12a2 (mod 19) 6a1 (mod 19) Temos que 16 . 16 (mod 19), ento: 6a6 . 16 (mod 19), ento temos que a16 (mod 19) Logo a = 16 + 19b. Substituindo este valor em x = 5 + 12a, temos: x = 5 + 12(16 + 19b) = 5 + 192 + 228b = 197 + 228b que soluo geral do sistema, ou x197 (mod 228). Professor Ccero Jos Uniban 2011 18 CAPTULO III Nmeros racionais 1. Introduo Antes do estudo de nmeros racionais precisamos retomar alguns conceitos j estudados este ano e introduzir outros novos que nos auxiliaro em nossos estudos desse semestre. 2. Produto Cartesiano Definio1:DadosdoisconjuntosEeFnovazios,chama-seprodutocartesianodeEporFo conjunto formado por todos os pares ordenados (x, y), com x em E e y em F. O conceito de par ordenado tomado como conceito primitivo, postulando-se que (x, y) = (u, v) se, e somente se, x = u e y = v.Notao: E x F = {(x, y) [ x E e y F} 3. Relao Binria Jconhecemosalgumasrelaesentrenmerosinteiros,comomaior,menor,dividee congruente mdulo m. Paraoutroexemplo,consideremosE={0,1,2,3,...}eF={...,3,2,1,}.Ento,uma relao entre elementos de E e F: x + y = 0, em que x representa um elemento de E e y um elemento de F. De situaes como essa, decorre que uma relao um conjunto constitudo de: um conjunto E chamado de partida;um conjunto F chamado de chegada;uma sentena aberta P(x, y), em que x uma varivel em E e y uma varivel em F, sentena essa que, para todo par ordenado (a, b) E X F, a proposio P(a, b) verdadeira ou falsa. Quando P(a, b) verdadeira, dizemos que a est relacionado com b atravs de R e escrevemos aRb. Se P(a, b) falsa, dizemos que a no est relacionado com b atravs de R e escrevemosa Rb . Porexemplo,seRindicaarelaoemqueoconjuntodepartidaeoconjuntodechegadaso iguais a P e a funo proposicional x2 + y = 0, ento: 1R(1), (3)R(9) e 0R0, j0 R1, 1R ( 4) e3 R 6 .Professor Ccero Jos Uniban 2011 19 O conjunto dos elementos a E tais que aRb, para pelo menos um elemento b c F, chamado domnio da relao (D(R)), e o conjunto dos elementos b c F tais que, para pelo menos um elementoa c E, verifica-se aRb, chamado conjunto imagem (Im(R)). Definio 2: Chama-se relao binria de E em F todo subconjunto R de E x F. Logo, (R relao de E em F) se, e somente se, R E x F. De acordo com essa definio, R um conjunto de pares ordenados (a, b) pertencentes a E x F. Vejamos alguns exemplos: Exemplo 1: Se E = {0, 1, 2, 3} e F = {4, 5, 6}, ento: E x F = {(0, 4), (0, 5), (0, 6), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 4), (3, 5), (3, 6)}. Qualquer subconjunto de E x F uma relao de E em F, por exemplo: R1 = {(0, 4), (0, 5), (0, 6)} R2 = {(0, 4), (1, 4), (1, 5), (2, 6)} R3 = {(2, 5), (3, 6)}. Exemplo 2: Se E = F = Z, ento E x F o conjunto formado por todos os pares ordenados de nmeros inteiros. Um exemplo de relao de Z em Z : R = {(x, y) Z x Z[x = y} = {..., (n, n), ..., (2, 2), (1, 1), (0, 0), (1, 1), ..., (n, n), ...} Exemplo 3: Se E = F = R, ento E x F o conjunto formado por todos os pares ordenados de nmeros reais. Um exemplo de relao de R em R : R = {(x, y) R x R[x _ 0 e y _ 0} 4. Inversa de uma relao Definio3:SejaRumarelaodeEemF.Chama-serelaoinversadeR,eindica-seporR1,a seguinte relao de F em E: R1 = {(y, x) F x E[(x, y) R} Exemplo4:DadososconjuntosE={0,1,2,3}eF={4,5,6},sejaarelaoR={(0,4),(0,5), (0, 6)}, ento: R1 = {(4, 0), (5, 0), (6, 0)} Exemplo 5: Sejam os conjuntos E = R, F = R e R{(x, y) R2[ y = 2x}, ento: R1 = {(y, x) R2[y = 2x} = {(x, y) R2 [ x = 2y} Professor Ccero Jos Uniban 2011 20 Exemplo 6: Sejam os conjuntos E = R, F = R e R{(x, y) R2[y = x2}, ento: R1 = {(y, x) R2[ y = x2} = {(x, y) R2[ x = y2} Exerccios 25) Sejam E = {1, 3, 5, 7, 9} e F = {0, 2, 4, 6}.a) Enumere os elementos das seguintes relaes de E em F:R1 = {(x, y)[y = x 1} R2 = {(x, y)[x < y} R3 = {(x, y)[y = 3x} b) Estabelea o domnio e a imagem de cada uma. 26) Seja R a relao sobre o conjunto N* definida pela sentena x + 3y = 10. Pede-se:a) Os elementos de Rb) O domnio de Rc) A imagem de Rd) Os elementos de R1

27)SejamEeFdoisconjuntosfinitoscommenelementos,respectivamente.Qualonmerode elementos de E x F? 5. Relao sobre um conjunto Definio 4: Quando E = F e R uma relao de E em F, dizemos que R uma relao sobre E ou, ainda, R uma relao em E. Veremos algumas propriedades que as relaes em E podem apresentar e, a seguir, estudaremos dois tipos de relaes sobre E: as relaes de equivalncia e as relaes de ordem. Nesteestudoodiagramadeflechaspodesertilquandotrabalhamoscompoucosexemplos. Observe o seguinte exemplo: a relao R = {(a ,a), (a, b) (b, c), (c, a)} sobre E = {a, b, c} Propriedades: Professor Ccero Jos Uniban 2011 21 5.1. Reflexiva Definio 5: Dizemos que R reflexiva quando todo elemento de E se relaciona consigo mesmo. Ou seja, quando, para todo x E, vale xRx.Exemplo: a relao R = {(a, a), (b, b), (a, b) (b, a), (c, c)} sobre E = {a, b, c} reflexiva, pois aRa, bRb e cRc. Note que a relao R = {(a, a), (b, b), (a, b), (b, a), (b, c)} sobre E = {a, b, c} no reflexiva, pois c Rc Diagrama de flechas: Em cada ponto do diagrama deve haver um lao. Exemplo Contraexemplo 5.2. Simtrica Definio 6: Dizemos que R simtrica se vale yRx sempre que vale xRy. Ou seja, se xRy, ento yRx.Exemplo: a relao R = {(a, a), (a, b) (b, a), (c, c)} sobre E = {a, b, c} simtrica, pois aRb e bRa. Note que a relao R = {(a, a), (b, b), (a, b), (b, c)} sobre E = {a, b, c} no simtrica, pois aRb e b Ra . Diagrama de flechas: Toda flecha tem duas pontas. Exemplo Contraexemplo Professor Ccero Jos Uniban 2011 22 5.3. Transitiva Definio7:DizemosqueRtransitivasevalexRzsemprequevalexRyeyRz.Ouseja,sexRye yRz, ento xRz.Exemplo:a relao R = {(a, b), (b, b), (b, c) (a, c), (c, c)} sobre E = {a, b, c} transitiva, pois aRb, bRc e aRc. Note que a relao R = {(a, a), (b, b), (a, b), (b, c)} sobre E = {a, b, c} no transitiva, pois aRb, bRc ea Rc . Diagrama de flechas: Paratodopardeflechasconsecutivasexisteumaterceiraflechacujaorigemaorigemda primeira e a extremidade, a da segunda. Exemplo Contraexemplo 5.4. Antissimtrica Definio 8: Dizemos que R antissimtrica se x = y, sempre que xRy e yRx. Ou seja, se xRy e yRx, ento x = y. importante destacar que se x = y, ento xRy ou yRx. Exemplo: a relao R sobre o conjunto dos nmeros reais dada por xRy se, e somente se, x _ y antissimtrica, pois, sendo x e y nmeros reais quaisquer, se x _ y e y _ x, ento x = y. Note que uma relao R sobre E no antissimtrica se existirem x e y em E tais que x = y e xRy e yRx. Se R = {(a, a), (b, b), (c, c), (b, c), (c, b)} sobre E = {a, b, c} no antissimtrica, pois b = c, bRc e cRb. Diagrama de flechas: No h flechas de duas pontas. Professor Ccero Jos Uniban 2011 23 Exemplo Contraexemplo Exerccios 28) Seja R a relao em E = {1, 2, 3, 4} tal que xRy se, e somente se, x + y mltiplo de 2.a) Quais so os elementos de R?b) Faa o diagrama de flechas para R.c) R reflexiva? R simtrica? R transitiva? R antissimtrica? 29)RumarelaosobreE={a,b,c,d}dadapelo esquema de flechas abaixo. Que propriedade R apresenta? 30) Que propriedade apresenta a relao S dada pelo esquema abaixo? 31) Seja E = {1, 2, 3}. Considerem-se as seguintes relaes em E:a) R1 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)}b) R2 = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 2), (2, 3), (3, 3)}c) R3 = {(1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3)} Que propriedades cada relao acima apresentam? Professor Ccero Jos Uniban 2011 24 6. Relao de Equivalncia Definio9:UmarelaobinriaRnumconjuntoAdiz-seumarelaodeequivalnciaseela reflexiva,simtricaetransitiva.Usandoosmboloparaindicarumarelaodeequivalncia, podemos escrever:

UmarelaobinrianumconjuntoA,diz-seumarelaodeequivalnciase,para quaisquer a, b, c em A, tem-se: (i) aa (reflexiva)(ii) ab implica ba (simtrica)(iii) ab e bc implica ac (transitiva) 7. Relao de Ordem Definio10:UmarelaoRsobreumconjuntoEnovaziochamadarelaodeordemparcial sobreEse,esomentese,Rreflexiva,antissimtricaetransitiva.Ouseja,Rdevecumprir respectivamente as seguintes propriedades: (i) Se x E, ento xRx(ii) Se x, y E, xRy e yRx, ento x = y(iii) Se x, y, z E, xRy e yRz, ento xRz QuandoRumarelaodeordemparcialsobreE,paraexprimirque(a,b)R,usaremosa notao a _ b (R) (a precede b na relao R ou b segue a na relao R). Para exprimir que (a, b) R e a = b usaremos a notao a < b (R) (a precede estritamente b na relao R ou b segue estritamente a na relao R).

Definio11:Umconjuntoparcialmenteordenadoumconjuntosobreoqualsedefiniuumacerta relao de ordem parcial. Definio12:SejaRumarelaodeordemparcialsobreE.Oselementosa,bcEsedizem comparveis mediante R se a _ b ou b _ a. Definio 13: Se dois elementos quaisquer de E forem comparveis mediante R, ento R ser chamada relao de ordem total sobre E. Nesse caso, o conjunto E dito totalmente ordenado por R. Vejamos alguns exemplos: Professor Ccero Jos Uniban 2011 25 Exemplo 1: A relao R3 = {(a, a), (b, b), (c, c), (a, b), (b, c), (a, c)} uma relao de ordem sobre E ={a,b,c},conformesepodenotarnodiagramaabaixo.OconjuntoEtotalmenteordenadoporR, uma vez que no h dois elementos distintos de E que no estejam ligados por uma flecha. Exemplo2:ArelaoRsobreRdefinidaporxRyse,esomentese,x_yumarelaodeordem, denominada ordem habitual, pois: (x), x R x _ x (x, y R), x _ y e y _ x x = y (x, y, z R), x _ y e y _ z x _ z Exemplo 3: A relao R sobre N definida por xRy se, e somente se, x | y uma relao de ordem, pois: (x), x N x | x (x, y N), x | y e y | x x = y (x, y, z N), x | y e y | z x | z OconjuntoNparcialmenteordenadoporessarelao,jquehelementosdeNno comparveis por divisibilidade, por exemplo: 2 e 3. Exerccios 32) Quais das relaes abaixo so relaes de equivalncia:a) R1 = {(a, a), (b, b), (a, b) (b, a), (c, c)}b) R2 = {(a, a), (b, b), (a, b) (b, a), (b, c)}c) R3 = {(a, a), (b, b), (a, b) (b, c), (c, b), (a, c), (c, a)} Professor Ccero Jos Uniban 2011 26 33) Quais dos seguintes itens abaixo representam uma relao de equivalncia? a) relao divide b) semelhana de tringulos c) paralelismo d) perpendicularismo e) relao menor f) congruncia 8. Construo de Q Jsabemosqueseaebsonmerosinteiroscomb=0aequaobx=anemsempretem soluo em Z, isso acontece se e somente se b | a. Por exemplo, a equao 2x = 6 tem soluo x = 3 em Z, mas a equao 5x = 8 no tem soluo em Z. Essa limitao do conjunto dos nmeros inteiros nos leva a construo de um novo conjunto de nmeros em que toda a equao da forma acima tenha soluo. Indicaremos essa soluo por ab, ainda que esse nmero no seja um inteiro. imediato que b . ab = a. IndicaremosporZ*oconjuntodetodososinteirosexcetoonmero0ecomearemospor considerar o conjunto Z X Z* = {(a, b) | a Z, b Z*}, isto , o conjunto de todos os pares ordenados de nmeros inteiros com a segunda componente no nula. Neste conjunto introduzimos uma relao , do seguinte modo: Definio:Dadosdoiselementos(a,b)e(c,d)doconjuntoZXZ*,diremosque(a,b)(c,d)see somente se adbc.Porexemplo:(3,6)(5,10),pois3.10=6.5edamesmaforma,(5,10)(1,2),jque5.2=10 . 1. Proposio: A relao acima uma relao de equivalncia. Demonstrao: Precisamos demonstrar que a nossa relao verifica as trs condies da definio: (i) Para todo par (a, b) Z X Z*, temos que (a, b)(a, b), pois ad = bc (ii) Sejam (a, b), (c, d) pares tais que (a, b)(c, d). Temos, ento, que ad = bc, donde tambm cb = da. Da ltima igualdade e da definio acima, vem que (c, d) = (a, b). (iii) Sejam (a, b), (c, d) e (e, f) pares tais que (a, b)(c, d) e (c, d)(e, f). Ento, temos que ad = bc e cf = de. Multiplicando a primeira igualdade por f e a segunda por b temos: adf = bcf e bcf = bde. Logo adf = bde. Como d = 0, podemos cancelar e obter af = de, o que implica que (a, b)(e, f). (c.q.d.) Professor Ccero Jos Uniban 2011 27 Podemos agora considerar o conjunto quociente (Z X Z*)/, isto , o conjunto de todas as classes de equivalncia. Para representar a classe do par (a, b), utilizaremos o smbolo a/b. Assim: ab = {(x, y) Z X Z* | (x, y)(a, b)} = {(x, y) Z X Z* | xb = ya)} O smbolo ab chama-se uma frao de numerador a e denominador b. Definio: O conjunto dos nmeros racionais definido como o conjunto de todas as fraes ab sendo que a Z e b Z, b = 0, isto : Q = a / a Z, b Ze b 0b ` ) ConhecidooconjuntoQ,passamosadefinirasoperaesdeadioemultiplicaonesse conjunto. a c ad + bc + = b d bdea c ac . = b d bd Assim, temos: 2 3 2 . 5 + 3 . 3 19 + = = 3 5 3 . 5 15e2 3 2 . 3 6 . = = 3 5 3 . 5 15 Em Q os nmeros no tm uma forma nica para serem escritos. Por exemplo, 23 = 69. MASATENO: 23soluodaequao3x=2,ouseja,3. 23=2.Multiplicandoosdois membros desta igualdade por 3, obtemos: 3 . 3 . 23 = 3 . 2, isto , 9 . 23= 6 o que equivale a afirmar que 23 soluo de 9y = 6. Ocorre que a soluo de 9y = 6 69. Assim: Teorema: As operaes acima esto bem definidas em Q, isto , o resultado no depende da particular forma dos operandos. Ao invs de demonstrar, vamos dar um exemplo.

Professor Ccero Jos Uniban 2011 28 Imagine que queremos somar e multiplicar 13 e 35. A soma 1415 e o produto 315. Acontece que, por exemplo, 13 = 412 e 35 = 610. Operando com esses valores obtemos a soma 112120 e o produto 24120, resultados iguais aos obtidos anteriormente. 8.1. Propriedades das operaes em Q Teorema: O conjunto Q, com as operaes + e . acima definidas, possui as seguintes propriedades: a) Propriedade Associativa: Para quaisquer a, b, c em Q tem-se que: (a + b) + c = a + (b + c) e (ab)c = a(bc) b) Propriedade Comutativa: Para quaisquer a, b em Q tem-se que: a + b = b + a eab = ba c) Existncia de elemento neutro: Para todo a Q:existe 0 Q tal que a + 0 = a existe 1 Q tal que a . 1 = a d) Existncia de Inversos: Para cada a Q:existe a Q tal que a + (a) = 0com a = 0, existe a1 Q tal que a . a1 = 1 e) Propriedade Distributiva: Para quaisquer a, b, c Q tem-se que: a (b + c) = ab + ac Exerccios 34) Mostre que: a) 1 515 15 = 3 333 33a) 131 131 13 = 999 999 99 35) Achar os valores do inteiro n para os quais a frao n + 2n 1 represente um inteiro. 36) Determine r Z de maneira que as seguintes fraes ordinrias representem nmeros inteiros: a) 10m2m 1 b) 33m3m 1 Professor Ccero Jos Uniban 2011 29 CAPTULO IV Operaes 1. Leis de Composio Interna Considereaoperaof:NxNNtalquef(x,y)=x+y.Aaplicaoconhecidacomo operao de adio sobre N. Pense agora na aplicao g: R x R R tal que g(x, y) = x . y, que conhecida como operao de multiplicao sobre R.

Definio1:SendoEumconjuntonovazio,todaaplicaof:ExEErecebeonomeoperao sobre E (ou em E) ou lei de composio interna sobre E (ou em E). Em nossas consideraes ma operao f sobre E associa a cada par (x, y) de E x E um elemento de E que ser simbolizado por x*y. Assim, x*y uma forma de indicar f(x, y). Dizemos tambm que E um conjunto munido da operao *. Oelementox*ychamadocompostodexeypelaoperao*.Otermoxeysochamados, respectivamente, primeiro e segundo termos ou termo da direita e termo da esquerda. Outras notaes podero ser usadas para indicar uma operao sobre E. a) Notao aditiva O smbolo da operao (+), a operao chamada adio, o composto x + y chamado soma, e os termos so as parcelas. b) Notao multiplicativa Osmbolodaoperao(.),aoperaochamadamultiplicao,ocompostox.ychamado produto, e os termos so os fatores. c) Outros smbolos utilizados para operaes genricas so: A,,, X, etc. Vejamos alguns exemplos: a) A aplicao f: N* x N* N* tal que f(x, y) = xy operao potenciao sobre N*. b) A aplicao f: Q* x Q* Q* tal que f(x, y) = xy a operao de diviso sobre Q*. c) A aplicao f: Z x Z Z tal que f(x, y) = x y a operao de subtrao sobre Z. Professor Ccero Jos Uniban 2011 30 2. Propriedades das Operaes Seja * uma operao de composio interna em E. 2.1. Propriedade associativa Definio 2: Dizemos que * goza da propriedade associativa se x * (y * z) = (x * y) * z, quaisquer que sejam x, y, z E. Exemplos:a) As adies em N, Z, Q e R so operaes que gozam da propriedade associativa: (x + y) + z = x + (y + z), x, y, z b) As multiplicaes em N, Z, Q e R so operaes associativas: (x . y) . z = x . (y . z), x, y, z Contraexemplos:a) A potenciao em N* no operao associativa, pois: 2 * (3 * 4) = ( )432 = 281 e (2 * 3) * 4 = (23)4 = 212 b) A diviso em R* no operao associativa, pois: 24 * (4 * 2) = 24 : (4 : 2) = 24 : 2 = 12 e (24 * 4) * 2 = (24 : 4) : 2 = 6 : 2 = 3 2.2. Propriedade comutativa Definio3:Dizemosque*gozadapropriedadecomutativasex*y=y*x,quaisquerquesejamx, y E. Exemplos:a) As adies em N, Z, Q e R so operaes que gozam da propriedade comutativa: x + y = y + x, x, y b) As multiplicaes em N, Z, Q e R so operaes associativas: x . y = y . x, x, y Contraexemplos:a) A potenciao em N* no operao comutativa, pois: 23 = 8 e 32 = 9 Professor Ccero Jos Uniban 2011 31 b) A diviso em R* no operao comutativa, pois: 3 : 6 = 12 e 6 : 3 = 2 c) A subtrao em Z no operao comutativa, pois: 3 7 = 4 e7 3 = 4 2.3. Elemento Neutro Definio 4: Se existe e E tal que e * x = x para todo x E, dizemos que e um elemento neutro esquerda para *. Se existe e E tal que x * e = x para todo x E, dizemos que e um elemento neutro direita para *. Se e um elemento neutro direita e esquerda para a operao *, dizemos simplesmente que e um elemento neutro. Exemplos:a) O elemento neutro das adies em N, Z, Q e R o nmero 0, pois: x + 0 = 0 + x = x, x, y b) O elemento neutro das multiplicaes em N, Z, Q e R o nmero 1, pois: x . 1 = 1 . x = x, x, y Contraexemplos:a)AsubtraoemZadmite0comoelementoneutrodireitapoisx0=x,,xZ,masno admite neutro esquerda, pois no existe e (fixo) tal que e x = x, x Z. b)AdivisoemR*admite1comoelementoneutrodireita,poisx:1=x,xR*,masno admite neutro esquerda, pois no existe e (fixo) tal que e : x = x, x R*. Proposio: Se a operao sobre E tem um elemento neutro e, ento ele nico. 2.4. Elementos simetrizveis Definio5:Seja*umaoperaosobreEquetemelementoneutroe.DizemosquexEum elemento simetrizvel para essa operao se existir x E tal que x * x = x * x = e. Professor Ccero Jos Uniban 2011 32 O elemento x chamado simtrico de x para a operao *. Quando a operao a adio, o simtrico de x chamado oposto de x e indicado por x. Quando a operao a multiplicao, o simtrico de x chamado inverso de x e indicado por x1. Exemplos:a) 3 um elemento simetrizvel para a adio em Z, e seu simtrico (ou oposto) 3, pois: (3) + 3 = 3 + (3) = 0 b) 3 um elemento simetrizvel para a multiplicao em Q, e seu simtrico (ou inverso) 13, pois: 13. 3 = 3 . 13 = 1 Proposio: Seja * uma operao sobre E que associativa e tem elemento neutro e. a) Se um elemento x E simetrizvel, ento o simtrico de x nico. b) Se x E simetrizvel, ento seu simtrico x tambm e (x) = x. c) Se x, y E so simetrizveis, ento x * y simetrizvel e (x * y) = y * x. 2.5. Elementos regulares (Lei do Cancelamento) Definio6:Seja*umaoperaosobreE.DizemosqueaEregular(ousimplificvelouque cumpre a lei do cancelamento) esquerda em relao operao * se, para quaisquer x, y E tais que a * x = a * y, vale x = y. Dizemos que a E regular (ou simplificvel ou que cumpre a lei do cancelamento) direita em relao operao * se, para quaisquer x, y E tais que x * a = y * a, vale x = y. SeaEumelementoregulardireitaeaesquerdaemrelaooperao*,dizemos simplesmente que a regular para essa operao. Exemplos:a) 3 regular para a adio em N, pois: 3 + x = 3 + y x = y quaisquer que sejam x, y N. b) 3 regular para a multiplicao em Z, pois: 3 . x = 3 . y x = y quaisquer que sejam x, y Z. Contraexemplo:0 no regular para multiplicao em Z, pois: 0 . 2 = 0 . 3 e 2 = 3 Professor Ccero Jos Uniban 2011 33 2.6. Propriedade distributiva Definio7:Sejam*eAduasoperaessobreE.DizemosqueAdistributivaesquerda relativamente a* se: x A (y * z) = (x A y) * (x A z), quaisquer que sejam x, y, z E. DizemosqueAdistributivadireitarelativamentea*se:(y*z)Ax=(yAx)*(zAx), quaisquer que sejam x, y, z E. QuandoAdistributivadireitaeesquerdade*,dizemossimplesmentequeA distributiva relativamente a *. Exemplos e contraexemplo:a) A multiplicao em Z distributiva em relao adio em Z, pois: x . (y + z) = (x . y) + (x . z), x, y,z Z

b) Em N*, a potenciao distributiva direita em relao multiplicao, pois: (x . y)z = xz . yz, x, y,z N* Entretanto a potenciao em N* no distributiva direita em relao a multiplicao, pois: 23 . 4 = 23 . 24 Exerccios 37) Em cada caso, verifique se a operao * sobre E associativa, comutativa, tem elemento neutro e se tem elemento simetrizvel.a) E = R e x * y = x + y2 b) E = R e x * y = x + y 10 c) E = R+ e x * y = x2 + y2 d) E = R e x * y = 3 33x+ y 38)EmcadacasoabaixoestdefinidaumaoperaosobreZxZ.Verifiqueseela:associativa, comutativa, tem elemento neutro e se tem elemento simetrizvel.a) (a, b) * (c, d) = (ac, 0) b) (a, b) A (c, d) = (a + c, b + d) c) (a, b) x (c, d) = (ac, ad + bc)d) (a, b)(c, d) = (a + c, bd) Professor Ccero Jos Uniban 2011 34 3. Tbua de uma Operao SejaE={a1;a2;:::;an};(comn>1)umconjuntocomnelementos.TodaoperaosobreE uma aplicao f: E x E E que associa a cada par (ai; aj) o elemento ai * aj = aij.

Podemos representar o elemento aij, correspondente ao par (ai, aj), numa tabela de dupla entrada construda como se segue:

1) Marcamos na linha fundamental e na coluna fundamental os elementos do conjunto E. Chamamos de i-sima linha aquela que comea com ai e de j-sima coluna aquela que comea com aj. 2) Dado um elemento ai na coluna fundamental e um elemento aj na linha fundamental, na interseo da linha i com a coluna j; o elemento correspondente aij. Vejamos alguns exemplos: Professor Ccero Jos Uniban 2011 35 Exemplo 1: Tbua da multiplicao em E = {1, 0, 1}. .101 1101 0000 1101 Exemplo 2: Tbua operao * sobre E = {1, 3, 5, 15} tal que x * y = mdc (x, y). .13515 11111 31313 51115 1513515 Exerccios 39) Em cada caso a seguir est definida uma operao sobre E. Faa a tbua da operao.a) E = {1, 2, 3, 6} e x * y = mdc (x, y)b) E = {1, 3, 9, 27} e x * y = mmc (x, y)c) E = {0, 1, 2, 3, 4} e x * y = resto da diviso em Z de x + y por 4 d) E = {0, 1, 2, 3, 4} e x A y = resto da diviso em Z de x . y por 4e) E = {0, 1, 2, 3, 4} e x y = resto da diviso em Z de x + y por 5f) E = {0, 1, 2, 3, 4} e x y = resto da diviso em Z de x . y por 5 40) A partir da tbua da operao A sobre E = {1, 2, 3, 4}, calcule os seguintes compostos: 1234 11111 21234 31342 41423 a) (3 A 4) A 2 b) 3 A (4 A 2) c) [4 A (3 A 3)] A 4 d) (4 A 3) A (3 A 4) e) [(4 A 3) A 3] A 4 41) Consideremos as funes f2(x) : R R e f3 : R* R*, definidas por f2(x) = x e f3(x) = 1x. Sejam as funes f1(x) = f2 o f2 e f4(x) = f2 o f3. Construa uma tbua de composio {f1, f2, f3, f4}. Professor Ccero Jos Uniban 2011 36 CAPTULO V Estruturas Algbricas: Grupos 1. Introduo Definio1:Umsistema matemtico constitudo de um conjunto no vazio G e uma operao (x, y) x * y sobre G chamado grupo se essa operao satisfaz as seguintes condies: a) Se a, b G, ento a * b G (fechamento) b) (a * b) * c = a * (b * c), a, b, c G (associativa) c) e G / a * e = e * a = a, a G (elemento neutro) d) a G, a G / a * a = a * a = e (elemento simtrico) Notao: (G, *) Se,almdisso,aindativermosa*b=b*a,a,bG(comutativa),ogrupochamadode grupo comutativo, aditivo ou abeliano. Ouseja,umgrupoumconjuntonovazioGmunidodeumaoperaofechadaque associativa,admiteelementoneutroeadmiteinversoparacadaumdeseuselementos.Se,alm disso, se a operao for comutativa, dizemos que G grupo abeliano, em homenagem ao matemtico N. Abel (1802-1829). Vejamos um exemplo: Seja G = {2, 4, 6, 8} e consideremos a operao * determinada pela seguinte tbua: *2468 24826 48642 62468 86284 A operao * determinada pela tbua define uma estrutura de grupo comutativo sobre o conjunto G, pois: a) Tem fechamento: Qualquer operao tem como resultado 2, 4, 6 e 8. Professor Ccero Jos Uniban 2011 37 b)Temelementoneutro:A3colunaigualcolunafundamentalea3linhaiguallinha fundamental; portanto, 6 o elemento neutro para operao *. c) comutativa: A tbua simtrica em relao diagonal principal. d)Temelementosimetrizvel:O elemento 6 aparece uma nica vez em cada linha e cada coluna datbuadadae,almdisso,suasposiessosimtricasemrelaodiagonalprincipal;portanto, cadaelementodeGsimetrizvelparaaoperao*.Precisamente,ossimtricosde2,4,6e8so, respectivamente, 8, 4, 6 e 2. Faltaverificarapropriedadeassociativa.Naprticatemosquecalcularecomparartodosos compostos (a * b) * c = a * (b * c), e assim temos que determinar 2n3 compostos de trs termos cada um. Notemos que se um destes elementos igual ao elemento neutro 6, ento a igualdade (a * b) * c = a*(b*c)verdadeira.Portanto,restam54compostos(2.33)compostosde3termoscadaum. Fazendo a verificao para alguns casos, ficar provado que G possui a propriedade associativa.

2. Grupos finitos Um grupo (G, *) em que o conjunto G finito, chama-se grupo finito. Nesse caso, o nmero de elementos de G chamado ordem do grupo (notao o(G)) e a tbua da operao * se denomina tbua do grupo. Exemplo: G = {1, 1} um grupo multiplicativo, sua ordem 2 e sua tbua: .11 1111 11 3. Alguns grupos importantes 3.1. Grupo aditivo dos inteiros, dos racionais e dos reais Formadopeloconjuntodosinteiros(racionaisoureais)eaoperaodeadiousual,gozando das propriedades: associativa, elemento neutro (o zero) e elemento simtrico (o oposto) dos inteiros (racionais ou reais). Tambm goza da propriedade comutativa. Notao: (Z, +), (Q, +), (R, +) Professor Ccero Jos Uniban 2011 38 3.2. Grupo multiplicativo dos racionais e dos reais Formadopeloconjuntodosracionais(reais)nonuloseamultiplicaousual,gozandodas propriedades:associativa,elementoneutro(onmero1)eelementosimtrico(oposto)dos racionais (ou reais). Tambm goza da propriedade comutativa. Notao: (Q*, .), (R*, .) Exerccios 42) Quais dos conjuntos abaixo so grupos em relao operao indicada?a) Z ; adiob) Z+ ; multiplicaoc) A = {x Z / x par}; adiod) B = {x Z / x mpar}; multiplicaoe) C = {2, 1, 0, 1, 2}; adiof) D = {1, 1}; multiplicao 43) Mostre que R dotado da operao * tal que x * y = 3 33x+ y um grupo abeliano. 44) Mostre que R munido da operao A tal que x A y = x + y 3 um grupo comutativo. 45) Verifique se Z x Z grupo em relao a cada uma das seguintes leis de composio:a) (a, b) A (c, d) = (a + c, b + d)b) (a, b) * (c, d) = (a + c, bd) 46) Mostre que cada uma das tbuas abaixo define uma operao que confere ao conjunto G = {e, a, b, c} uma estrutura de grupo. *eabc eeabc aaecb bbcea ccbae 47) Verifique se com a multiplicao usual X = {1, 1, i, i} constitui um grupo abeliano. *eabc eeabc aaecb bbcea ccbea Professor Ccero Jos Uniban 2011 39 4. Semigrupos Definio 2: Dado um conjunto G e a operao *, com a propriedade: a * (b * c) = (a * b) * c, a, b, c G diremos que (G, *) um semigrupo. Por exemplo, (N, +) semigrupo. Alm disso, se * comutativa em G, diremos que (G, *) um semigrupo comutativo. 5. Monoide Definio 3: Dado um conjunto G e a operao *, com as propriedades: a) (a * b) * c = a * (b * c), a, b, c G (associativa) b) e G / a * e = e * a = a, a G (elemento neutro) diremos, nestas condies que G um monoide. Alm disso, se * comutativa em G, diremos que (G, *) um monoide comutativo. Professor Ccero Jos Uniban 2011 40 CAPTULO VI Estruturas Algbricas: Anel 1. Introduo Definio:SejaAumconjuntomunidodeduasoperaes+(adio)e.(multiplicao).Diz-seque estas operaes definem uma estrutura de anel sobre o conjunto A em relao s operaes + e . se, e somente se, so vlidas as seguintes condies: a) + e . so leis de composio interna em A (fechamento) Se a, b A a + b A e a . b A. b) (A, +) grupo comutativo, a, b, c A. . Associativa: (a + b) + c = a + (b + c). Elemento Neutro: a + e = a = e + a . Elemento Simetrizvel: a + a = e = a + a. Comutativa: a + b = b + a c) (A, .) semigrupo (a . b) . c = a . (b . c) (associativa) d) A multiplicao distribuda direita (DD) e esquerda (DE) em relao adio. a, b, c A,a . (b + c) = (a . b) + (a . c) e(a + b) . c = (a . c) + (b . c) Notao: (A, +, .) 2. Observaes a) O anel comutativo se (A, .) semigrupo comutativo.

c) O anel (A, +, .) tem unidade se (A, .) monoide (associativa, elemento neutro). Vejamos alguns exemplos: Exemplo 1: (N, +, .) no anel porque (N, +) no tem elemento simtrico. Exemplo 2: (Z, +, .) anel (anel dos inteiros, comunidade e comutativa). Exemplo 3: (Q, +, .) anel (anel dos racionais, com comutativa e unidade). Exemplo 4: (R, +, .) anel dos reais. Exemplo 5: (C, +, .) anel dos complexos. Exemplo 6: Verifique que (2Z, +, .) anel. Professor Ccero Jos Uniban 2011 41 Respostas dos exerccios CAPTULO I Equaes Diofantinas 1) d = 1, r = 16 e s = 39 2) Quando t = 121, temos x = 9 e y = 19 e os mltiplos so 99 e 171. Quando t = 122, temos x = 18 e y = 8 e os mltiplos so 198 e 72. 3a) x = 9 + 3t e y = 9 2t, t Z b) x = 94 + 5t e y = 47 3t, t Z c) No tem solues inteiras d) x = 20 + 4t e y = 20 3t, t Z e) x = 2 2t e y = 2 5t, t Z f) x = 4 10t e y = 4 9t, t Z g) x = 3 + 3t e y = 3 3t, t Z 4a) No tem solues inteiras positivasb) x = 1 e y = 20 / x = 6 e y = 18 5a) No tem solues inteiras negativasb) No tem solues inteiras negativas 6) 44 e 567) 17, 94, 171, ..., 77x + 17, ... 8) 60 pessoas pagando entrada e 4 pessoas pagando meia entrada 9) 197 crianas e 1 adulto10) 1147 CAPTULO II Congruncias mdulo m 11a) 1b) 4c) 0d) 0e) 1f) 16 12) 22 (mod. 41) 25329 (mod. 41) 21081401 (mod. 41) 2201 (mod. 41) 220 10 (mod. 41) 41 | (220 1) Professor Ccero Jos Uniban 2011 42 13) Os restos possveis da diviso de a por 8 so 1, 3, 5 ou 7. (se, por exemplo, o resto fosse 2, ento a = 8q + 2 = 2(4q + 1) seria par, o que no possvel). Portanto: a1, 3, 5 ou 7 (mod 8). Ento:a2

1, 9, 25 ou 49 (mod 8).Mas 91 (mod 8), 251 (mod 8) e 491 (mod 8). Da: a21, 1, 1 ou 1 (mod 8). 14a) 5, 13, 21, 29, ..., 109b) 104, 111, 118, ..., 198 15) m > 1, m | 252 16a) 22 (mod 89) 210102445 (mod 89) 211901 (mod 89) 2441 (mod 89) 244 10 (mod 89) 89 | (244 1) b) 22 (mod 97) 2712831 (mod 97) 2862 (mod 97) 2912427 (mod 97) 21054 (mod 97) 21110811 (mod 97) 21222 (mod 97) 224484961 (mod 97) 2481 (mod 97) 248 10 (mod. 41) 97 | (248 1) c) 22 (mod 23) 25329 (mod 23) 2108112 (mod 23) 211241 (mod 23) 211 10 (mod. 41) 23 | (211 1) Professor Ccero Jos Uniban 2011 43 17) 813 e 131718) 112 e 21619) x12 (mod 10) 20) Este problema no tem uma nica soluo. As solues possveis so: x = 0 e y = 50 ou x = 12 ey = 45 ou x = 24 e y = 40. 21) 422) 5 23a) 22 (mod 3) 2241 (mod 3) 241 (mod 3) 281 (mod 3) 2161 (mod 3) Generalizando: 22n1 (mod 3) c) 22 (mod 7) 2381 (mod 7) 291 (mod 7) 2271 (mod 7) Generalizando: 23n1 (mod 7) 24a) So cngruosb) No so cngruos CAPTULO III Nmeros racionais 25a) R1 = {(1, 0); (3, 2); (5, 4); (7, 6)} R2 = {(1, 2); (1, 4); (1, 6); (3, 4); (3, 6); (5, 6)} R3 = {(3, 0); (5, 2); (7, 4); (9, 6)} b) R1 : D = {1, 3, 5, 6} e Im = {0, 2, 4, 6} R2 : D = {1, 3} e Im = {2, 4, 6}R3 : D = {3, 5, 7, 9} e Im = {0, 2, 4, 6} b) 22 (mod 15) 24161 (mod 15) 2161 (mod 15) 2641 (mod 15) Generalizando: 24m1 (mod 15) Professor Ccero Jos Uniban 2011 44 26a) R = {(10, 0); (20, 10); (50, 20); (80, 30); ..., (40 30m, 10 + 10m)}, com m N* b) D = {10, 20, 50, 80, ..., 40 30m}, com m N* c) Im = {0, 10, 20, 30, ..., 10 + 10m}, com m N* d) R1 = {(0, 10); (10, 20); (20, 50); (30, 80); ..., (10 + 10m, 40 30m)}, com m N* 27) m . n elementos 28a) R = {(1, 1); (1, 3); (2, 2); (2, 4); (3, 1); (3, 3); (4, 2); (4, 4)} b) c) reflexiva. simtrica. No transitiva. No antissimtrica. 29) reflexiva, simtrica e transitiva30) reflexiva, antissimtrica e transitiva 31a) Reflexiva b) Reflexiva, Antissimtrica e Transitiva c) Reflexiva, Simtrica e Transitiva 32a) Reflexiva e Simtricab) Reflexiva e Antissimtrica c) Reflexiva, Antissimtrica e Transitiva 33a) No simtrica e no transitiva. Logo, no uma relao de equivalncia. b) reflexiva, simtrica e transitiva. Logo, uma relao de equivalncia. c) reflexiva, simtrica e transitiva. Logo, uma relao de equivalncia. d) No reflexiva e no transitiva. Logo, no uma relao de equivalncia. e) No reflexiva, no simtrica. Logo, no uma relao de equivalncia. f) reflexiva, simtrica e transitiva. Logo, uma relao de equivalncia. 34a) 1 515 1 500 + 15 15 (100 + 1) 15 = = = 3 333 3 300 + 33 33 (100 + 1) 33 b) 131 131 131 000 + 131 131 (1000 + 1) 131 = = = 999 999 999 000 + 999 999 (1000 + 1) 999 35) 2, 0, 2, 436a) m = 2, 0, 1 ou 3 b) m = 4 1 2 34 >> Professor Ccero Jos Uniban 2011 45 CAPTULO IV Operaes 37a) No associativa, comutativa, tem elemento neutro e tem elemento simetrizvel. b) associativa, comutativa, tem elemento neutro e tem elemento simetrizvel. c) No associativa, comutativa, tem elemento neutro e tem elemento simetrizvel. d) associativa, comutativa, tem elemento neutro e tem elemento simetrizvel. 38a) associativa, comutativa, tem elemento neutro e tem elemento simetrizvel. b) associativa, comutativa, tem elemento neutro e tem elemento simetrizvel. c) associativa, comutativa, tem elemento neutro e tem elemento simetrizvel. d) associativa, comutativa, tem elemento neutro e tem elemento simetrizvel. 39a) *1236 11111 21212 31133 61236

b) *13927 113927 333927 999927 2727272727 c) *01234 001230 111230 223012 330123 401234 d) Professor Ccero Jos Uniban 2011 46 *01234 000000 101231 202120 303210 400000 e) *01234 001234 112340 223401 334012 441234 f) *01234 000000 101234 202413 303142 404121 40a) 2b) 2c) 2d) 2e) 2 41)*f1 f2 f3 f4 f1xx1/x1/x f2xx1/x1/x f31/x1/xxx f41/x1/xxx Professor Ccero Jos Uniban 2011 47 CAPTULO V Estruturas Algbricas: Grupos 42a) no grupo, pois no tem elemento simtrico b) no grupo, pois no tem elemento simtrico c) grupod) grupoe) no grupo, pois no tem fechamento f) grupo 45a) grupo b) grupo 47) um grupo abeliano Bibliografia AVRIZER,Hamilton[etal].Fundamentosdelgebra.UniversidadeFederaldeMinasGerais.Belo Horizonte: 2004. DOMINGUES, Hygino H. Fundamentos de Aritmtica. So Paulo: Atual, 1991. MILIES, Csar Polcino e COELHO, Snia Pitta. Nmeros: Uma introduo Matemtica. 3. ed. So Paulo: Editora da Universidade de So Paulo, 2001. SANTOS, Jos Plnio de Oliveira. Introduo Teoria dos Nmeros. s.e. Rio de Janeiro: SBM, 1998. Notas de aulas da Universidade do Estado do Par Centro de Cincias Sociais e Educao Notas de aulas do Prof. Dr. Luiz Gonzaga Xavier de Barros (Professor do Programa de Ps-graduao da Uniban) NotasdeaulasdaProf.Dr.SolangeHassanAhmadAliFernandes(ProfessoradoProgramadePs-graduao da Uniban)