1 Função Exponencial. Funções exponenciais desempenham papéis fundamentais na Matemática e nas...

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Função Exponencial


Funções exponenciais desempenham papéis fundamentais na Matemática e nas ciências envolvidas com ela, como: Física, Química, Engenharia, Astronomia, Economia, Biologia, Psicologia e outras.

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Alguns exemplos de aplicações desta função na vida real são:

• o decaimento radioativo;

• a lei de crescimento de uma população;

• a determinação da idade de fósseis;

• o cálculo de juros.

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Chama-se função exponencial de base a à função:

f : IRIR

x b · ax

Comecemos por estudar, por exemplo, a função definida por:

f (x) = 3x


Graficamente, temos: 2,5

2

1,5

1

0,5

-1 1

B

5

Quanto maior é a base da exponencial, mais rápido é o seu

crescimento.

No entanto todas apresentam as seguintes características:


Qualquer função exponencial de base a superior a 1, tem:

• D = IR;

• D’ = IR+;

• não tem zeros;

• f(0) = 1;

• é positiva em IR;

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• é contínua em IR;

• é estritamente crescente;

• é injetiva;

• o gráfico tem uma assíntota horizontal de equação y = 0

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2,5

2

1,5

1

0,5

-1 1 2

B

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Alguns exemplos de aplicações desta função na vida real são:

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Cálculo de juros.

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Uma instituição bancária oferece juros de t% ao ano, contabilizados m vezes por ano (em períodos de igual duração) e adicionados em cada instante ao capital inicial Q. Ao fim de a anos, o valor do montante C é dado por:

Cálculo de juros:

ma

m

tQaC

.

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Um capital de 200000 € é aplicado a juros compostos de 10% ao ano.Calcule o montante após 4 anos.

2928201

10,012000001

1

C

Ao fim de um ano o capital é 292820€

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Lei de crescimento de uma população

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Lei de crescimento de uma população:


N(t)=Noert

onde No é a população presente no instante inicial t = 0 e r é

uma constante que varia com a espécie de população.

Seja N=N(t) o número de indivíduos de uma certa população no instante t.

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Admita que o número de elementos de uma população de aves, t anos após o início de 1970, é dado aproximadamente por:

P(t) = 5,2 x 107 x e ( N- M ) t , t > 0

em que N e M são duas constantes, denominadas, respetivamente, taxa de natalidade e taxa de mortalidade da população.

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No início de 2000, a população era metade da que existia no início de 1970.

Sabendo que a taxa de natalidade é 7,56 determine a taxa de mortalidade.

Apresente o resultado arredondado às centésimas.

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P(0) = 5,2 x 107


2000-1970=30

P(0) = 5,2 x 107 x e ( 7,6- M )x0

P(30) = (5,2 x 107)

0,5 (5,2 x 107) = 5,2 x 107 x e ( 7,56- M )*30 0,5 = e ( 7,56- M)*30

30 (7,56 –M) = ln 0,5 (7,56 –M ) = 300,5 ln

M = 7,56 – 300,5 ln M = 7,58

A taxa de mortalidade é aproximadamente 7,58%

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Decaimento radioativo

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Decaimento radioativo:

Modelo para descrever o modo no qual a radioatividade decai. Se N=N(t) representa o número de átomos da substância radioativa no instante t, No o número de átomos no instante

t=0 e k é uma constante positiva chamada de constante de decaimento, então:

N(t) = No e-k.t

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em que A e B são constantes reais positivas e t é o tempo em

horas, com t 0.

A atividade R, de qualquer substância radioativa, é dada, numa

certa unidade de medida pela expressão: R(t) = A x e -Bt

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= e –B


Sabendo que o valor inicial da atividade de uma certa substância radioativa é 28

unidades e que R(1) = 26, determina os valores de A e B para essa substância:

R(1) = 26 26 = 28 x e –Bx1

28

26

- B = ln 28

26 B = 0,07

O valor de A é 28 e B é 0,07.

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Dosagem de um medicamento

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Função ExponencialDoses terapêuticas iguais de um certo antibiótico são administradas, pela primeira vez, a duas pessoas: a Ana e o Carlos.

Admita que, durante as doze primeiras horas após a tomada simultânea do medicamento pela Ana e pelo Carlos, as concentrações de antibiótico, medidas em miligramas por litro de sangue, são dadas, respetivamente, por

A variável t designa o tempo, medido em horas, que decorre desde o instante em que o medicamento é tomado (t [ 0,12]).

A(t) = 4 t3 e –t

C(t) = 2 t3 e –0,7t

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Função ExponencialNo instante em que as duas pessoas tomam o medicamento, as concentrações são iguais (por serem nulas). Determine quanto tempo depois as concentrações voltam a ser iguais. Apresente o resultado em horas e minutos (minutos arredondados às unidades).

A(t) = 4 t3 e –tC(t) = 2 t3 e –0,7t

A(t) = C(t) 4 t3 e –t = 2 t3 e –0,7t 4 t3 e –t -2 t3 e –0,7t = 0

2 t3 (2e –t - e –0,7t ) = 0 2 t3 e –t = 0 (2 - e 0,3t ) = 0

t = 0 e –t = 0 e 0,3t = 2 0,3 t = ln 2

t = 2, 3 t = 2h 19 min

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