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Lógica Matemática e Computacional

Professor Walteno Martins Parreira Júnior Página 17

4 ÁLGEBRA ELEMENTAR

4.1 Monômios e polinômios: valor numérico e operações.

4.1.1 - Introdução:

As expressões algébricas que equacionam os problemas conduzem logicamente à sua solução são denominados polinômios e são formuladas partindo da compreensão do enunciado de cada problema que pretendemos resolver. Pontos Principais:

• Monômio e polinômio.

• Equação polinomial na variável x.

• Valor numérico de um polinômio.

• Operações básicas: adição, subtração, multiplicação e divisão.

4.1.2 - Monômio e polinômio.

Monômio: expressão algébrica definida apenas pela multiplicação entre o coeficiente e a parte literal. Exemplo: 4x³y² , -3x , 2z² , xyz .

Polinômios: expressão algébrica composta por dois ou mais monômios com a existência de operações entre eles. Exemplo: x³-3x²+5x-2 e 3x + 5 .

Polinômio é uma expressão algébrica com todos os termos semelhantes reduzidos. Polinômio é um ou mais monômios separados por operações. 3xy é monômio, mas também considerado polinômio, assim pode-se dividir os polinômios em monômios (apenas um monômio), binômio (dois monômios) e trinômio (três monômios).

Como os monômios, os polinômios também possuem grau e é assim que eles são separados. Para identificar o seu grau, basta observar o grau do maior monômio, esse será o grau do polinômio.

Com os polinômios podemos efetuar todas as operações: adição, subtração, divisão, multiplicação, potenciação.

4.1.3 - Equação polinomial na variável x.

Dada a equação:

p(x) = ao + a1x + a2x² + a3x³ +...+ anxn

onde ao, a1, a2, ..., an são números reais, denominados coeficientes do polinômio. O coeficiente ao é o termo constante. Se os coeficientes são números inteiros, o polinômio é denominado polinômio inteiro em x.

Em um polinômio, o termo de mais alto grau que possui um coeficiente não nulo é chamado termo dominante e o coeficiente deste termo é o coeficiente do termo dominante. O grau de um polinômio p=p(x) não nulo, é o expoente de seu termo dominante, que aqui será denotado por gr(p).

Acerca do grau de um polinômio, existem várias observações importantes:

• Um polinômio nulo não tem grau uma vez que não possui termo dominante. Em estudos mais avançados, define-se o grau de um polinômio nulo mas não o faremos aqui.



• Se o coeficiente do termo dominante de um polinômio for igual a 1, o polinômio será chamado mônico.

• Um polinômio pode ser ordenado segundo as suas potências em ordem crescente ou decrescente.

• Quando existir um ou mais coeficientes nulos, o polinômio será dito incompleto.

• Se o grau de um polinômio incompleto for n, o número de termos deste polinômio será menor do que n+1.

• Um polinômio será completo quando possuir todas as potências consecutivas desde o grau mais alto até o termo constante.

• Se o grau de um polinômio completo for n, o número de termos deste polinômio será exatamente n+1.

Considerando que o grau de dois polinômios são: gr(p)=m e gr(q)=n então

gr(p.q) = gr(p) + gr(q) e gr(p+q)<max{gr(p),gr(q)}

4.1.4 - Valor numérico de um polinômio.

O valor numérico de um polinômio p=p(x) em x=a é obtido pela substituição de x pelo número a, para obter p(a).

Exemplo: O valor numérico de p(x)=2x²+7x-12 para x=3 é dado por:

p(3) = 2×(3)²+7×3-12 = 2×9+21-12 = 18+9 = 27

4.1.5 - Operações básicas: adição, subtração, multiplicação e divisão.

a) Igualdade de polinômios

Os polinômios p e q em P[x], definidos por:

p(x) = ao + a1x + a2x² + a3x³ +...+ anxn

q(x) = bo + b1x + b2x² + b3x³ +...+ bnxn

são iguais se, e somente se, para todo k=0,1,2,3,...,n:

tem-se que ak = bk

Teorema: Uma condição necessária e suficiente para que um polinômio inteiro seja identicamente nulo é que todos os seus coeficientes sejam nulos.

Assim, um polinômio:

p(x) = ao + a1x + a2x² + a3x³ +...+ anxn

será nulo se, e somente se, para todo k=0,1,2,3,...,n:

tem-se que ak = 0

O polinômio nulo é denotado por po=0 em P[x].

O polinômio unidade (identidade para o produto) p1=1 em P[x], é o polinômio:

p(x) = ao + a1x + a2x² + a3x³ + ...+ anxn



tal que ao = 1 e ak = 0, para todo k=1,2,3,...,n.

b) Soma de polinômios

Consideremos p e q polinômios em P[x], definidos por:

p(x) = ao + a1x + a2x² + a3x³ +... + anxn

q(x) = bo + b1x + b2x² + b3x³ +... + bnxn

Definimos a soma de p e q, por:

(p+q)(x) = (ao+bo)+(a1+b1)x+(a2+b2)x²+...+(an+bn)xn

A estrutura matemática (P[x],+) formada pelo conjunto de todos os polinômios com a soma definida acima, possui algumas propriedades:

• Associativa: Quaisquer que sejam p, q, r em P[x], tem-se que: (p + q) + r = p + (q + r)

• Comutativa: Quaisquer que sejam p, q em P[x], tem-se que: p + q = q + p

• Elemento neutro: Existe um polinômio po(x)=0 tal que po + p = p, qualquer que seja p em P[x].

• Elemento oposto: Para cada p em P[x], existe outro polinômio q=-p em P[x] tal que p + q = 0

Com estas propriedades, a estrutura (P[x],+) é denominada um grupo comutativo.

c) Produto de polinômios

Sejam p, q em P[x], dados por:

p(x) = ao + a1x + a2x² + a3x³ +...+ anxn

q(x) = bo + b1x + b2x² + b3x³ +...+ bnxn

Definimos o produto de p e q, como um outro polinômio r em P[x]:

r(x) = p(x)·q(x) = co + c1x + c2x² + c3x³ +...+ cnxn

tal que:

ck = aobk + a1bk-1 + a2 bk-2 + a3bk-3 +...+ ak-1 b1 + akbo

para cada ck (k=1,2,3,...,m+n). Observamos que para cada termo da soma que gera ck, a soma do índice de a com o índice de b sempre fornece o mesmo resultado k.

A estrutura matemática (P[x],·) formada pelo conjunto de todos os polinômios com o produto definido acima, possui várias propriedades:

• Associativa: Quaisquer que sejam p, q, r em P[x], tem-se que: (p · q) · r = p · (q · r)

• Comutativa: Quaisquer que sejam p, q em P[x], tem-se que: p · q = q · p

• Elemento nulo: Existe um polinômio po(x)=0 tal que po · p = po, qualquer que seja p em P[x].

• Elemento Identidade: Existe um polinômio p1(x)=1 tal que p1 · p = p

• qualquer que seja p em P[x]. A unidade polinomial é simplesmente denotada por p1=1. Existe uma propriedade mista ligando a soma e o produto de polinômios

• Distributiva: Quaisquer que sejam p, q, r em P[x], tem-se que: p · (q + r) = p · q + p · r



Com as propriedades relacionadas com a soma e o produto, a estrutura matemática (P[x],+,·) é denominada anel comutativo com identidade.

Exemplo: Efetue a multiplicação (x + 2).(x + 3).

(x + 2).(x + 3) = x.(x + 3) + 2.(x + 3) = x2 + 3x + 2x + 6 = x2 + 5x + 6

d) Algoritmo da divisão de polinômios

Dados os polinômios p e q em P[x], dizemos que q divide p se existe um polinômio g em P[x] tal que p(x) = g(x) q(x)

Se p em P[x] é um polinômio com gr(p)=n e g é um outro polinômio com gr(g)=m<n, então existe um polinômio q em P[x] e um polinômio r em P[x] com gr(r)<gr(g), tal que:

p(x) = q(x) g(x) + r(x)

Um caso particular importante é quando tomamos g(x)=x-c e

p(x) = ao + a1x + a2x² + a3x³ +...+ anxn

Como para todo k=1,2,3,...,n vale a identidade:

xk-ck = (x-c)( xk-1 + cxk-2 + c²xk-3 +...+ ck-2x+ck-1 )

então para p(x) = ao + a1x + a2x² + a3x³ +...+ anxn temos que

p(c) = ao + a1c + a2c² + a3c³ +...+ ancn

e tomando a diferença entre p(x) e p(c), teremos:

p(x)-p(c) = a1(x-c) + a2(x²-c²) + a3(x³-c³) +...+ an(xn-cn)

o que garante que podemos evidenciar g(x)=x-c para obter p(x)- p(c)=(x-c) q(x)

onde q=q(x) é um polinômio de grau n-1. Assim, podemos escrever:

p(x)=(x-c) q(x)+p(c) e é claro que r(x)=p(c) é um polinômio de grau 0.

4.2 Expressões algébricas: produtos notáveis e fatoração.


As operações básicas com polinômios tratam algebricamente as proposições próprias das operações com números. Em especial, a multiplicação de polinômios tem características que permitem converter uma expressão algébrica formada por adição e subtração de monômios em um produto e vice-versa. Observar a expressão algébrica que corresponde ao enunciado de determinado problema nos permite escolher a forma mais conveniente de representá-la, seja por um produto ou pela adição de monômios. Pontos Principais:

• Produtos notáveis.

• Fatoração.

Uma equação algébrica real na variável x é uma relação matemática que envolve apenas um número finito de operações de soma, subtração, produto, divisão e radiciação de termos envolvendo a variável x.

Exemplos



• 2x²+3x+7=0 • 3x²+7x½=2x+3

A função exponencial exp(x)=ex pode ser escrita como um somatório com infinitos termos contendo potências de x: ex = 1 + x +x²/2! + x³/3! + x4/4! + x5/5! +...

assim, a equação x²+7x=ex

não é uma equação algébrica, o que equivale a dizer que esta equação é transcendente.

Quando a equação é da forma: p(x) = 0

onde p é um polinômio real em P[x], ela será chamada equação polinomial.

Quando uma equação possui a variável sob um sinal de radiciação ela é chamada equação irracional.

Exemplo: 2x²+3x+7 =0 e 3x²+7x½=2x+3 são equações algébricas. A primeira é polinomial, mas a segunda não é polinomial. Esta segunda é uma equação irracional.

4.2.2 - Produtos Notáveis

a) Quadrado da Soma de Dois Termos

Definição: O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro, mais duas vezes o produto do primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo.

Exemplo: (x + 3y)2= x2 + 2.x.(3y) + (3y)2 = x2 + 6xy + 9y2

b) Quadrado da Diferença de Dois Termos

Definição: O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro, menos duas vezes o produto do primeiro pelo segundo mais o quadrado do segundo.

Exemplo: (7x – 4)2= (7x)2 – 2.(7x).4 + 42 = 49x2 – 56x + 16

c) Produto da Soma pela Diferença de Dois Termos

Definição: O produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo termo.

Exemplo: (3a + x) . (3a – x)= (3a)2 – (x)2 = 9a2 – x2



4.2.3 - Fatoração

Fatorar um número significa escrevê-lo como uma multiplicação de dois ou mais números. Quando todos os termos de um polinômio têm um fator comum, podemos colocá-lo em evidência. A forma fatorada é o produto do fator comum pelo polinômio que se obtém dividindo-se cada termo do polinômio dado pelo fator comum.

a) Diferença de Quadrados

Considere o polinômio x2 – y2. Nos produtos notáveis, vimos que essa diferença de quadrados é o resultado de (x + y).(x – y). Portanto, x2 – y2 = (x + y).(x – y).

Por isso, toda diferença de dois quadrados pode ser fatorada como acima.

Exemplo: Fatorar x2 – 25. Como 25 = 52, x2 – 25 = x2 – 52 = (x + 5)(x – 5).

b) Trinômio Quadrado Perfeito

O polinômio x2 +2xy + y2 é um trinômio quadrado perfeito. É um trinômio porque tem três monômios; e é um quadrado perfeito porque ele é o quadrado de (x + y), ou seja, é o resultado de (x + y)2. Outro trinômio quadrado perfeito é x2 – 2xy + y2, que é o resultado de

(x – y)2. Assim, temos mais dois polinômios que sabemos fatorar:

x2 + 2xy + y2 = (x + y)2 x2 – 2xy + y2 = (x – y)2.

Exemplo: Fatorar x2 + 12x + 36. Neste caso x2 e 36 são quadrados e suas bases são x e 6 e, além disso, 12x = 2.x.6. Assim, x2 + 12x + 36 = (x + 6)2.

4.3 Equações de primeiro grau.


As equações da forma ax = b, com a, b ε R e a ≠ 0 são chamadas de forma reduzida das equações do 1° grau na incógnita x. Resolver uma equação significa determinar os valores de x que a tornam verdadeira.

Equação é a sentença matemática expressa por uma igualdade na qual exista uma ou mais letras representativas de números desconhecidos dessa sentença. A igualdade é denominada Equação de Primeiro Grau quando a letra que representa o número desconhecido está elevada a um. Normalmente, as equações de primeiro grau correspondem a enunciados de problemas que envolvem grandezas em uma dimensão. Pontos Principais:

• Raiz de uma equação de primeiro grau.

• Solução de uma equação de primeiro em domínio determinado.

4.3.2 - Raiz de uma equação de primeiro grau.

A equação ax+b=0 com a diferente de zero, admite uma única raíz dada por: x = -b/a

4.4 Equações de segundo grau.


Uma equação do 2° grau na variável x é toda equação da forma: ax2 + bx + c = 0, onde a, b e c são os coeficientes da equação, representado por números reais, com a ≠ 0.

Exemplo: Considere a resolução das seguintes equações do 2° grau:



a) x2 – 7x = 0.

x(x – 7) = 0 ⇒ x = 0 ou x – 7 = 0 ⇒ x = 0 ou x = 7. Logo, S = {x ε R| x = 0 ou x = 7}.

b) x2 – 25 = 0.

x2 = 25 ⇒ x = ± 5. Logo, S = {x ε R| x = 5 ou x = -5}.

c) x2 – 10x + 25 = 0.

(x – 5)2 = 0 ⇒ x = 5. Logo, S = {x ε R| x = 5}.

A igualdade é denominada Equação de Segundo Grau quando a letra que representa o número desconhecido na sentença matemática está elevada a dois. Normalmente, as equações de segundo grau correspondem a enunciados de problemas que envolvem grandezas em duas dimensões. Pontos Principais:

• Raiz de uma equação de segundo grau.

• Solução de uma equação de segundo em domínio determinado.

4.4.2 - Raiz de uma equação de segundo grau.

A equação ax²+bx+c=0 com a diferente de zero, admite exatamente duas raízes no conjunto dos números complexos, dadas por:

• x1=(-b+R[b²-4ac] / 2a

• x2=(-b- R[b²-4ac]/ 2a

onde R[z] é a raiz quadrada de z.

4.4.3 - A fórmula de Bhaskara

Na equação do 2° grau, ax2 + bx + c = 0, indica-se b2 – 4ac por ∆.

Quando ∆ < 0, a equação não tem soluções reais.

Quando ∆ ≥ 0, as soluções são obtidas pela fórmula:

4.5 Problemas: equações de primeiro e segundo graus.


Ao interpretar os enunciados de problemas, distinguimos as grandezas nele envolvidas e optamos por representá-lo matematicamente por uma equação observando seu respectivo grau. A quantidade de raízes que uma equação admite está relacionada ao seu grau e determina métodos particulares de solução. Pontos Principais:

• Interpretação de problemas.

• Coerência nas respostas que representam a solução de problemas interpretados por equações de primeiro ou segundo graus.

4.6 Exercícios



4.7.1 – Dada a expressão 9x3y2 + 7x3y2 – 14x3y2 + 2x3y2, pede-se:

a) a forma mais simples de se escrever essa expressão b) o valor numérico da expressão, quando x = –2 e y = –5

4.7.2 - Escreva na forma mais simples:

a) 7a2 – 10a2 + 6a2 b) 29ax – 33ax + ax c) 6bc – 20bc – 2bc + 9bc d) - 1,7xy + xy - 0,3xy + xy

4.7.3 – Calcule o resultados da operação dos polinômios:

a) (x2 + 10) + (x – 8) b) (5 – y) + (7 + y) c) (5x3 – 2x2+ 7) + (3x2 + 2x – 4) d) (2y2 + 3y + 1) + (3y2 – 2y – 11)

4.7.4 – Calcule o resultados da operação dos polinômios:

a) (x + 10).(x – 8) b) (5 – y).(7 + y) c) (5x + 7).(3x2 + 2x – 4) d) (2y + 1).(3y2 – 2y – 11)

4.7.5 – Calcule o resultados do polinômio sabendo que x = 2 e y = 3:

a) p(x) = (x + 10) b) p(y) = (7y2 + y + 3) c) p(x) = (3x2 + 2x – 4) d) p(y) = (3y2 – 2y – 11)

4.7.6 - Desenvolver os produtos indicados:

a) (2x2 + 5)2 b) (3x2 + 4y3)2 c) (5x + 1).(5x – 1) d) (2x2 + 1).(2x2 – 1)

4.7.7 - Desenvolva os itens abaixo usando as regras dos produtos notáveis:

a) (a + b)2 b) (2a + 3)2 c) (3x + 4y)2 d) (a – b)2 e) (2a – 3)2 f) (3x – 4y)2 g) (a + b) (a – b) h) (2a + 3) (2a – 3) i) (4x + 3y) (4x – 3y)

4.7.8 - Fatorar as seguintes expressões:

a) x2 – 4 b) y2 – 36 c) 9x2 – 16 d) 81x2 – 64 e) y2 – 25x2



4.7.9 - No conjunto dos números reais (R), determine o conjunto solução de cada uma das seguintes equações:

a) 4x – 5 + 3x – 2x = 9 – 2x b) 6 – (3x – 3) – [2 – (-4x – 1)] = -(-3x + 2) c) 11(2x – 3) – 4(3x – 2) = 4(-2x +1) + 7

4.7.10 - Uma indústria produziu uma certa quantidade de determinado aparelho eletrônico. Vendeu 50% da produção par uma loja A, 30% para uma loja B e 1000 aparelhos para uma loja C. Tendo vendido toda a produção, quantos aparelhos essa fábrica produziu?

4.7.11 - Seis pessoas foram almoçar e todas pediram o prato do dia. Das seis, apenas quatro pediram sobremesa. Ao todo gastaram R$ 45,00. Sabendo que cada sobremesa custa R$ 2,50 a menos que o prato do dia, qual o preço do prato do dia?

4.7.12 - Resolva as seguintes equações do 2º grau:

a) 2x2 – 1 = 0 b) x2 + x= 0 c) 10x2 – 15x = 0 d) 2x2 – 50 = 0 e) (x – 10)2 = 36 f) (x + 5)2 = 4

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