Apostila_Geometria_Plana_Completa.pdf

Aula 9 – Geometria plana

1. Introducao

No estudo da Geometria Plana o ponto de par-tida sao os elementos primitivos e os postulados(ou axiomas).

Elementos primitivos sao objetos que fazemparte de nossa intuicao como pontos, retas, pla-nos.

Postulados sao enunciados envolvendo os ele-mentos primitivos que aceitamos como verdadei-ros, sem discussao em virtude de suas evidencias.

Usaremos as letras minusculas r, s, t, . . . pararepresentar retas, letras maiusculas A, B, C . . .para representar pontos e a letra grega α pararepresentar o plano. Na Figura 1, no plano α,estao representados pontos pertencentes a umareta r e pontos fora de r.

AB

C r

D

Figura 1: O plano, reta e pontos

Para produzir a Figura 1 usamos um dos pos-tulados basicos da Geometria: “Dois pontos doplano definem uma e uma unica reta.”

NOTACAO: Dados dois pontos A e C do planorepresentamos por

←→AC a unica reta que passa

por estes pontos.

2. Segmento de reta

Dois pontos A e B de um plano definem umsegmento de reta cuja notacao e AB. O seg-mento AB e o conjunto de todos os pontos dareta

←→AB que estao entre A e B.

A BP

AB

Figura 2: P e um ponto do segmento AB

2.1. Medida de um segmento

Para medir segmentos tomamos um segmentocomo unidade e a partir daı, podemos medirqualquer outro segmento. Veja na Figura 3, asmedidas dos segmentos AB e CD, usando umsegmento unitario.

A B AB = 2

C D

1

CD = 1 + 2 = 53 3

Figura 3: Medidas de segmentos

Nota Importante: Neste texto usamos a no-tacao CD tanto para representar o segmento dereta cujos extremos sao os pontos C e D, quantopara representar a medida do segmento. Veja aFigura 3.

2.2. Congruencia de segmentos

Dois segmentos de reta AB e CD sao con-gruentes se possuem a mesma medida. Anotacao rigorosa para representar congruencia eAB ≡ CD. No entanto, comumente escrevemossimplesmente AB = CD.

NOTAS

1) Se um ponto C pertence a um segmentoAB, em termos de medidas resulta que,

A B AC+CB=ABC

Figura 4: Aditividade da medida

2) Escolhendo uma reta r e dois pontos O eA, de modo que OA = 1, podemos fazeruma correspondencia entre pontos da retar e o conjunto dos numeros reais R. Vejaa Figura 5. A todo ponto de r corresponde

7

um numero real e a todo numero real cor-responde um ponto da reta r. Acompanheatraves de dois exemplos como associar aospontos da reta numeros reais. Por exem-plo, sobre o ponto B assimilamos o numeroreal π porque a medida do segmento OB eigual a π. Sobre o ponto C associamos onumero −2, porque a medida do segmentoOC e igual a 2. Isto e, para pontos da retasituados a esquerda do ponto O (origem),associamos numeros reais negativos e parapontos situados a direita de O, associamosnumeros reais positivos. Note que tem com-primento 1 qualquer segmento em cujos ex-tremos estao marcados dois inteiros conse-cutivos.

A

1

0

0-2 -1 2 2 3 �

BC

Figura 5: A reta e os numeros reais

3. Semi-retas

Um ponto A sobre uma reta r define duassemi-retas com origem comum neste ponto. Es-colha agora dois novos pontos B e C sobre areta, sendo um ponto em cada semi-reta. Veja aFigura 6. As semi-retas entao podem ser deto-nadas por

−→AC e

−−→AB, respectivamente.

AB Cr

Figura 6: Semi-retas com origem comum

NOTA: Como conjuntos−→AC ∪ −−→

AB = r e−→AC ∩−−→

AB = {A}. Observe tambem que o ponto A per-tence ao segmento BC. Esta ultima propriedadee importante. Observe as seguintes proprieda-des:

1) se dois pontos B e C distintos de A estaoem semi-retas distintas entao o segmentoBC definido por estes dois pontos contem oponto A. Em sımbolos, A ∈ BC.

2) se dois pontos B e D distintos de A estaona mesma semi-reta entao o segmento BDdefinido por estes dois pontos nao contem oponto A. Em sımbolos, A /∈ BD.

4. Semi-planos

Uma reta r contida no plano α divide o planoem dois semi-planos α1 e α2 (α1 e α2 sao os“lados do plano definidos por r”). Veja a Fi-gura 7.

A

B C

Pr

��

��

Figura 7: Semi-planos

Podemos fazer tres importantes afirmacoes:

1) Como conjuntos: α1∪α2 = α e α1∩α2 = r.

2) Se dois pontos A e B estao fora da reta e si-tuados em semi-planos distintos entao o seg-mento AB definido pelos pontos interceptar (veja a Figura 7 onde AB ∩ r = {P})

3) Se dois pontos B e C fora de r estao nomesmo semi-plano entao o segmento defi-nido nao intercepta r (exemplo BC ∩r = ∅,Figura 7).

5. Angulos

Angulo e o conjunto do plano formado porduas semi-retas de mesma origem. Veja a Fi-gura 8.

A

BO

Figura 8: Angulo de vertice O

O ponto O e o vertice do angulo e as semi-retas

−→OA e

−−→OB os lados do angulo. Usamos

a notacao AOB para representar o angulo. Asvezes e comum tambem o uso de letras gregasα, β, . . . para representar angulos.

5.1. Interior do angulo AOB

E o conjunto do plano obtido pelaintersecao de dois semi-planos: o pri-meiro sendo o semi-plano definido pela reta

←→OA

8

e que contem o ponto B e o segundo sendo osemi-plano definido pela reta

←→OB e que contem

o ponto A.

A

B

O Interior doângulo

Figura 9: Interior de um angulo

5.2. Angulos Adjacentes

Sao angulos que possuem um lado comum eeste lado comum esta no interior do angulo for-mado pelos dois outros lados. Na figura 10,AOB = α, BOC = β, EOF = γ e EOG = θ.

0� B

A

C

�0

E

G

F

�

�

são ângulos adjacentes

e� �

não são ângulos adjacentes

e� �

Figura 10: Angulos adjacentes e nao adjacentes

5.3. Medida e congruencia de angulos

Todo angulo tem uma medida em graus quee um numero compreendido entre 0 e 180. Oangulo formado por duas semi-retas coincidentesmede zero grau e o angulo formado por duassemi-retas opostas mede 180◦. O angulo de 180◦

e dito angulo raso e o angulo de 0◦ e dito angulonulo.

5.4. Congruencia de angulos

Dois angulos α e β sao congruentes se possuema mesma medida. Usamos a notacao α ≡ β ousimplesmente, α = β.

5.5. Perpendicularismo e distancia

Duas retas r e t concorrentes sao perpendicu-lares se os angulos formados pela intersecao saotodos iguais. Nesta situacao, os angulos medem90◦. Veja a Figura 11.

s r

Figura 11: Retas perpendiculares

A distancia de um ponto P a uma reta r edada pelo comprimento do segmento PE ondeE e um ponto de r e as retas r e

←→PE sao per-

pendiculares. Veja a Figura 12.

Er

P

Figura 12: Distancia de ponto a reta

Portanto, PE e a distancia de P a r.

5.6. Bissetriz de um angulo

E a semi-reta que divide um angulo em doisangulos adjacentes congruentes.

0 �

A

B

C

�

bissetriz OC

Figura 13: Bissetriz

NOTA: Se um ponto P esta sobre a bissetriz deum angulo, P equidista dos lados do angulo. Ocontrario (ou recıproca) tambem e verdadeiro:se um ponto equidista dos lados de um angulo oponto pertence a bissetriz. Este resultado seramelhor compreendido quando estudarmos con-gruencia de triangulos.

�

A

B

P

�

PA = PB

Figura 14: Bissetriz e equidistancia

5.7. Mediatriz de um segmento

A mediatriz do segmento AB e a reta perpen-dicular a reta

←→AB passando pelo ponto medio

do segmento AB. O ponto medio M de ABe o ponto tal que AM = MB. Veja a Figura15, onde um ponto P e representado sobre amediatriz.

9

A B

P

M

mediatriz dosegmento AB

M é ponto médio de AB

Figura 15: Mediatriz do segmento

NOTA: Se P e um ponto qualquer da media-triz entao PA = PB (a distancia de P ate A eate B coincidem). A recıproca e tambem ver-dadeira: se um ponto e equidistante de A e Bentao o ponto pertence a mediatriz. Estes resul-tados serao melhor compreendidos no estudo decongruencia de triangulos.

5.8. Angulos agudo, reto e obtuso

Segundo suas medidas um angulo e classifi-cado como:

angulo agudo se sua medida e menor que 90◦;angulo reto se sua medida e 90◦;angulo obtuso se sua medida e maior que 900.

��

�

agudo: < 90� 0 reto: = 90� 0 obtuso: > 90� 0

Figura 16: Classificacao de angulos

5.9. Angulos opostos pelo vertice

Sao aqueles angulos cujos lados sao definidospor semi-retas opostas duas a duas. Veja a Fi-gura 17.

�

� ��

� �e são opostos pelo vértice

� �e são opostos pelo vértice

��

��

�� 0

0

Figura 17: Propriedade do angulo oposto

Propriedades importantes

I) Angulos opostos pelo vertice sao congruen-tes.

II) A soma de angulos consecutivos que se po-dem formar do mesmo lado de uma reta comum mesmo vertice e 180◦.

a + b + c + d = 180◦

dbca

0

Figura 18: Angulos somando 180◦

III) A soma de angulos consecutivos que se podeformar ao redor de um ponto e 360◦.

a + b + c + d = 360◦

d bc

a

Figura 19: Angulos somando 360◦

5.10. Angulos complementares

Sao dois angulos cuja soma das medidas e90◦. Dizemos que um dos angulos e comple-mento do outro. Note que nao e exigido que osangulos sejam adjacentes. A Figura 20 mostraangulos complemantares adjacentes. Temos queα+ θ = 90◦ e o complemento de θ = 90− θ = α.

�

�

Figura 20: Angulos complementares adjacentes

10

5.11. Angulos suplementares

Sao dois angulos cuja soma das medidas e180◦. Cada um deles e o suplemento do outro.Note que a definicao nao exige que os angulossejam adjacentes. Na Figura 21 esta represen-tado angulos suplementares adjacentes. Temosque α + θ = 180◦.

��

Figura 21: Angulos suplemantares

Exercıcios

1. Se (x + 10)◦ e (3x − 10)◦ sao medidas dedois angulos complementares, calcule suasmedidas.

2. Pelo vertice O de um angulo AOB de 100◦

traca-se uma semi-reta s com origem novertice do angulo e no interior do angulo.Considere as bissetrizes r e t dos anguloscujos lados sao, respectivamente, formadospor

−→AO e s e por

−−→OB e s. Calcule o angulo

cujos lados sao s e t.

Respostas – Aula 9

1. 22, 5◦

2. 50◦

11

Aula 10 – Congruencia e semelhanca de triangulos

1. Introducao

Um triangulo �ABC e definido por tres pon-tos nao alinhados A, B e C do plano. Otriangulo �ABC e a uniao dos segmentos AB,AC e BC. Os angulos A = BAC, B = ABC eC = ACB sao os angulos internos do triangulo.Veja a Figura 1.

A

B

C

Figura 1: AB, AC e BC sao os lados do triangulo

2. Classificacao

2.1. Quanto aos lados, os triangulos saoclassificados como:

equilatero se possuem os tres lados congru-entes;

isosceles: se possuem dois lados congruentes;

escaleno: se possuem os tres lados diferentes.

A A A

BB

BC

C C

�

Equilátero Isósceles Escaleno

��

�

Figura 2: Classificacao de triangulos

NOTA: Os pequenos tracos cortando os lados queaparecem na Figura 2, servem para identificarlados de mesmo comprimento.

2.2. Quanto aos angulos, os triangulos saoclassificados como:

retangulos quando possuem um angulo reto;acutangulos quando possuem os tres angulos

agudos;obtusangulos quando posseum um angulo

obtuso.Na Figura 3 estao representados, respectiva-

mente, triangulos retangulo, acutangulo e ob-tusangulo.

A B

C

D E

F

S T

R

a b

q

g

Hipotenusa

Cateto

Catetoa, b, q:agudos g:obtuso

Figura 3: Classificacao de triangulos

Na Figura 3, aproveitamos para identificarnum triangulo retangulo (desenho mais a es-querda) a hipotenusa como o lado oposto aoangulo reto e aos outros dois lados reservamosa denominacao de catetos.

3. Desigualdades importantes

Vamos admitir como verdadeiras tres impor-tantes propriedades elementares dos triangulos.Um pouco mais a frente na disciplina deGeometria Basica do curso de graduacao em Ma-tematica ou Fısica voce tera ocasiao de trabalharprovas para estes resultados.

Propriedade 1. O maior lado de um trianguloopoe-se sempre ao maior angulo;

Propriedade 2. O maior angulo de umtriangulo opoe-se sempre ao maior lado;

A B

C

ab

A B

Figura 4: Lados e angulos num triangulo

13

Na Figura 4 temos que

(I) Se a > b ⇒ A > B

(II) Se A > B ⇒ a > b

Propriedade 3. Desigualdade triangular: Emtodo triangulo cada lado fixado e menor que asoma dos outros dois lados. Veja estas relacoesexplicitadas a esquerda da Figura 5.

a < b + cb < a + cc < a + b

A

B Ca

bc

Figura 5: Comparacao de lados de um triangulo

Para um lado fixado do triangulo, por exem-plo, o lado cuja medida e a, as relacoes entre oslados de um triangulo identificadas na Proprie-dade 3 podem ser resumidas como:

a < b + c e |b − c| < a .

Veja porque. As desigualdades triangularesimplicam que,

b < a + c ⇔ b − c < ac < a + b ⇔ c − b < a

⇔ |b − c| < a

Em resumo, se dois lados de um triangulo saob e c, a medida do terceiro lado x deve ser talque,

|b − c| < x < b + c

NOTA: Esta ultima desigualdade e uma equacaode compatibilidade para que 3 segmentos pos-sam ser lados de um triangulo. Por exemplo, tressegmentos a, b e c cujas medidas sao a = 6 cm,b = 3 cm e c = 2 cm nao podem ser lados de umtriangulo. De fato, nao vale a desigualdade

|b − a| < c < a + b

4. Retas paralelas e retas concor-rentes

Duas retas r e s do plano sao paralelas se naopossuem nenhum ponto em comum.

r ∩ s = ø.

Duas retas r e s sao concorrentes se sua in-tersecao e exatamente um ponto P .

r ∩ s = {P}.

5. Retas paralelas cortadas portransversal

Quando duas retas paralelas r e s sao cortadaspor uma transversal t, damos nomes particula-res aos pares de angulos formados. Na Figura 6,identificamos como alternos e internos os paresde angulos (c, e) e (d, f), como alternos externosos pares de angulos (a, g) e (b, h) e como corres-pondentes os pares (a, e), (d, h), (b, f) e c, g).

abc d

efg h

r

s

Figura 6: Angulos alternos e correspondentes

As duas proximas propriedades que enuncia-mos serao tratadas com rigor na disciplina deGeometria Basica. Eis os resultados:

Propriedade 1. Angulos correspondentes saocongruentes.Propriedade 2. Angulos alternos sao congru-entes.

6. Teorema 1 (Teorema de Tales)

“A soma dos angulos internos de um trianguloe igual a 180o.”

Prova: Considere o �ABC, a reta s que contemBC, a reta r paralela a s passando por A e osangulos indicados na figura.

r

s

A

B C

cB

A��

Figura 7: Teorema de Tales

Como r||s, usando que angulos alternos saoiguais, temos que B = β e C = θ. Como β +A + θ = 180o, encontramos que

A + B + C = 180o

14

7. Angulos externos de umtriangulo �ABC

Sao angulos cujos vertices coincidem com osvertices do triangulo. Cada vertice do trianguloda origem a dois angulos externos congruentes.Por exemplo, os angulos externos do �ABCcom origem em A sao os angulos formados por−−→AB e

−→AE (

−→AE e semi-reta oposta a

−→AC) e por−→

AC e−→AF (

−→AF semi-reta oposta a

−−→AB). Estes

angulos sao indicados, respectivamente, por β eα, na Figura 8.

De modo semelhante se define os outrosangulos externos. Veja a Figura 8.

B

C

F

E

A�

�

Figura 8: Angulos externos

Note que α = β (opostos pelo vertice). De-vido a esta igualdade, denominamos simples-mente por e

Ao angulo externo ao vertice A.

Note que α+CAB = α+A = 180o ⇒ eA+A =

180o. Como A+ B + C = 180o, a diferenca entreas duas ultimas igualdades mostra que

eA − (B + C) = 0 ⇒ eA = B + C

Do mesmo modo vale que

eB

= A + C e eC

= A + B.

As ultimas igualdades provam a seguinte pro-posicao:Proposicao 1: A medida de um angulo externo eigual a soma dos angulos internos nao adjacen-tes.

Tambem podemos provar outra proposicao:Proposicao 2: A soma dos angulos externos deum triangulo e 360o.Prova: Considere um triangulo �ABC, ondee

A, e

Be e

Csao medidas dos angulos externos

aos vertices A, B e C, respectivamente. Entao

eA

= B + C, eB

= A + C, eC

= B + C .

Portanto,

eA

+ eB

+ eC

= 2(A + B + C) = 360o.

8. Congruencia

Antes de definir congruencia de triangulos, va-mos revisar congruencia de segmentos e angulos.

8.1. Segmentos

Dois segmentos AB e CD do plano sao con-gruentes se possuem a mesma medida (mesmocomprimento).

8.2. Angulos

Dois angulos AOB e CDE sao congruentes sepossuırem a mesma medida (mesma abertura).

8.3. Triangulos

Dois triangulos sao ditos congruentes, se forpossıvel estabelecer uma correspondencia entreseus vertices de tal modo que os pares de ladoscorrespondentes sejam congruentes, e os paresde angulos correspondentes sejam congruentes.Por exemplo, na congruencia representada naFigura 9, a correspondencia entre os vertices eA ↔ A′, B ↔ B′ e C ↔ C′.

a

A

b

B c C

a

A

b

B c C

Figura 9: Triangulos congruentes

Portanto, a congruencia garante que

AB = A′B′ A = A′

BC = B′C′ B = B′

AC = A′C′ C = C′

Usamos a notacao �ABC ≡ �A′B′C′ ou anotacao simplificada �ABC = �A′B′C′ pararepresentar que os triangulos sao congruentes.

Da definicao anterior, observamos que paraverificarmos a congruencia de dois triangulos ne-cessitamos verificar tres igualdades relativas aangulos e tres igualdades relativas a lados. Noentanto para garantir congruencia de triangulosbasta termos apenas 3 igualdades bem especifi-cadas. Sao os casos de congruencia:

15

1o Caso: LAL (lado, angulo, lado)

A

B C

D

E F

Figura 10: Congruencia de triangulos - Caso LAL

SeAB = DE (L)

B = E (A)BC = EF (L)

⇒ �ABC = �DEF

2o Caso: ALA (angulo, lado, angulo)

A

B C

D

E F

Figura 11: Congruencia de triangulos - Caso ALA

SeB = E (A)

BC = EF (L)C = F (A)

⇒ �ABC = �DEF

3o Caso: LLL (lado, lado, lado)

A

B C

D

E F

Figura 12: Congruencia de triangulos - Caso LLL

SeAB = DE (L)BC = EF (L)AC = DF (L)

⇒ �ABC = �DEF

4o Caso: LAAo (lado, angulo, angulo oposto)

A

B C

D

E F

Figura 13: Congruencia de triangulos - Caso LAAo

SeBC = EF (L)

B = E (A)A = D (Ao)

⇒ �ABC = �DEF

OBSERVACOES

1) O caso LAAo e consequencia do caso ALA,pois se dois angulos sao congruentes, o ter-ceiro tambem sera (note que a soma dosangulos e 180o).

2) Usando que a soma dos angulos de umtriangulo e 180o e que a2 = b2 + c2 emum triangulo retangulo, temos dois casosparticulares de congruencia de triangulosretangulos:

I) Mesma hipotenusa e um dos angulos agudosiguais.

a

�

a

�

Figura 14:

II) Mesma hipotenusa e um dos catetos iguais.

a ab b

Figura 15:

3) O Teorema de Pitagoras a2 = b2 + c2 seratratado mais tarde.

4) Mais tarde no estudo da disciplina Geome-tria Basica, voce vera que o primeiro casode congruencia LAL e admitido como umpostulado. Os outros casos de congruenciasao consequencia do caso LAL e de outrosresultados.

9. Pontos Notaveis de um Triangulo

9.1. Ortocentro

O ortocentro H de um triangulo e o pontode encontro das tres retas suportes das alturasrelativas aos lados do triangulo.

16

Sua posicao varia de acordo com o triangulo.Veja, na Figura 16, as posicoes do ortocentro Hem triangulos �ABC genericos:

A

B

C

H

B

CH=A

Acutângulo Retângulo Obtusângulo

H é interior H coincide como vértice do ângulo

H é exterior

B

A

C

H

Figura 16: Ortocentro de um triangulo

9.2. Incentro

O incentro de um triangulo e o ponto I de en-contro das 3 bissetrizes internas de um triangulo.O ponto I e o centro de um cırculo inscrito notriangulo. Isto porque as bissetrizes sao equidis-tantes dos lados.

B

A C

I

r r

r

Incentro

B

A C

M N

P

��

� �

��

x

Figura 17: Incentro de um triangulo

9.3. Circuncentro

O circuncentro de um triangulo e o ponto Cde encontro das tres mediatrizes dos lados deum triangulo. O ponto C e o centro do cırculoque circunscreve o triangulo; uma vez que todoponto da mediatriz de um lado de um trianguloequidista dos vertices deste lado.

A

B CO

M 1M 2

M 3

A

B CO

A

B CO

R

RR

Circuncentro

Figura 18: Circuncentro de um triangulo

Lembramos que mediatriz de um segmentoAB, por exemplo, e a reta que passa pelo pontomedio de AB e e perpendicular a este segmento.

9.4. Baricentro

O baricentro G de um triangulo �ABC e oponto de encontro das medianas. Lembramosque mediana e o segmento que une um verticeao ponto medio do lado oposto.

B

A C

GF

D

E

Baricentro

Figura 19: Baricentro de um triangulo

Nota: E um fato excepcional que as medianas deum triangulo se encontrem num unico ponto G.Outro fato importante e que as medianas ficamdivididas por G numa proporcao de 2 para 1.Veja a Figura e as conclusoes

GF =23GA, GD =

23GB e GE =

23GC.

Estes fatos serao provados mais tarde em Geo-metria Basica (disciplina da graduacao).

10. Base Media de um Triangulo

Base media de um triangulo e todo segmentode reta que liga dois pontos medios dos lados deum triangulo. E possıvel provar que toda basemedia e paralela a um dos lados e mede a metadedo lado.

A

B C

GF

D

E

Figura 20: Base media

Examine a Figura 20. Sendo E, F e D pon-tos medios dos lados AC, AB e BC respectiva-mente, temos que:

• EF ‖ BC ⇒ EF =BC

2

• ED ‖ AB ⇒ ED =AB

2

• FD ‖ AC ⇒ FD =AC

2

17

Exercıcios

1. (PUC-98) Considere o triangulo ABC emque BC = 1. Seja D o ponto medio de AC,e E o ponto medio de AB. O comprimentode DE vale:

(a)13

(b)√

24

(c)√

22

(d)12

(e)14

2. No triangulo ABC, o angulo A mede 110o.Qual e a medida do angulo agudo formadopelas retas que fornecem as alturas relativasaos vertices B e C?

(a) 60o (b) 80o (c) 70o

(d) 75o (e) 65o

3. (UNIFICADO - 98) Na figura abaixo, ospontos A, B e C representam as posicoes detres casas construıdas numa area plana deum condomınio. Um posto policial estaralocalizado num ponto P situado a mesmadistancia das tres casas. Em Geometria, oponto P e conhecido com o nome de:

(a) Baricentro

(b) Ortocentro

(c) Circuncentro

(d) Incentro

(e) Ex-incentro

A B

C

4. Na figura abaixo, Q e o ponto medio de AB.QP e paralelo a BC. Sendo AC = 30 cm.Determine PQ e PO.

Dado: BC = 20 cm.

A

C

B

P

Q

O

5. Da figura sabe-se que PB = PR e QC =QR. Prove que α = A

A

CB

P Q

R

�

6. Da figura, sabe-se que : r ‖ s, AM = AP eBM = BQ. Calcule x.

A M B

P

r s

Q

x

7. Na figura, tem-se AB = AC e AD = BD =BC. Calcule x.

A

B C

D

x

8. No triangulo ABC da figura abaixo, B =60o e C = 20o. O valor do angulo HASformado pela altura AH e a bissetriz AS ?

A

CH

x

S20

0600

B

9. Num triangulo isosceles ABC de base AB,

o angulo B e igual a23

do angulo S, for-mado pelas mediatrizes QS e PS. Calculeos angulos desse triangulo.

A B

C

S Q

P

18

10. Na figura, determine a medida de α, β e γ.

A B

C

D

F

D

E

�

�

1300

�

11. (FUVEST) Na figura abaixo, AB = AC.O e o ponto de encontro das bissetrizes dotriangulo ABC, e o angulo BOC e o triplodo angulo A. Entao a medida de A e:

(a) 18o

(b) 12o

(c) 24o

(d) 36o

(e) 15o

A

B

C

O

12. (PUC-SP) Na figura abaixo a = 100o e b =110o. Quanto mede o angulo x?

(a) 30o

(b) 50o

(c) 80o

(d) 100o

(e) 220o

a b

x

13. (FUVEST) Na figura AB = BD = CD.Entao:

(a) y = 3x

(b) y = 2x

(c) x + y = 180o

(d) x = y

(e) 3x = 2y

Dy

CA Bx

14. Calcule o menor angulo formado pelas bis-setrizes internas BI e CI do triangulo ABCda figura.

A

B C

I800

15. Calcule o menor angulo formado pelas bis-setrizes externas BE e CE do trianguloABC da figura.

A

B C80

0

E

16. Em um triangulo ABC, a altura tracadado vertice A forma com a bissetriz de Aum angulo de 19o. O angulo formado pelasbissetrizes internas de B e C mede 131o.Calcule os angulos do triangulo.

17. Na figura, BE e bissetriz interna e CE bis-setriz externa do triangulo ABC.

Prove que α =A

2

A

B C

E

�

18. O triangulo ACD da figura e isosceles debase AD. Sendo 12o a medida do anguloBAD e 20o a medida do angulo ABC, cal-cule a medida do angulo ACD.

A B

C

D

19

19. O triangulo ABC e isosceles, com AB =AC. Nele esta inscrito um triangulo DEF ,equilatero. Designando angulo BFD por a,o angulo ADE por b, e o angulo FEC porc, temos:

(a) b =a + c

2

(b) b =a − c

2

(c) a =b − c

2

(d) c =a + b

2

(e) a =b + c

2

A

B C

D Eb

c

aF

20. (UFRJ - 2000 2a Fase) Na figura a seguir,cada um dos sete quadros contem a medidade um angulo expresso em graus. Em quais-quer tres quadros consecutivos temos os tresangulos internos de um triangulo.

100◦

x

65◦

Determine o valor de x.

21. Na figura abaixo ache a soma dos angulosassinalados.

c d

ab f

g

22. Sendo r e s retas paralelas, calcule x nasfiguras

a)

x+x

1500

3

b)

x

450

1500

c)X

5x+300

d)

250

1050

2x

23. Na figura abaixo, exprimir o angulo x emfuncao dos angulos a, b e c.

b

xa

c

20

24. Determine o valor de x, sendo r//s.

r

s

400

1120

x

25. Calcule o valor de x e y, sendo r//s.

700

4x3x

yr

s

26. calcule x e y indicados na figura a seguir.

550300

x 400y

B

A CE

27. A figura mostra um triangulo ABC,isosceles de base BC. Sendo BD bissetrizde ABC e CD bissetriz de ACB, calcule ovalor de x.

A

800

D

xB C

28. Num triangulo ABC, o angulo formado pe-las bissetrizes dos angulos B e C, oposto aBC, e o quıntuplo do angulo A. Determinea medida do angulo A.

29. Na figura, calcular a soma S = a+b+c+d+e

a

b

cd

e

30. As bissetrizes de dois angulos adjacentesformam um angulo de 80◦. Calcule essesdois angulos, sabendo que a medida de umdeles e igual a 3/5 do outro.

31. Com os segmentos 8 cm, 9 cm e 18 pode-seconstruir um triangulo? Por que?

32. Dois lados AB e BC de um triangulo ABCmedem respectivamente 8 cm e 21 cm.Quanto podera medir o treceiro lado, sa-bendo que e multiplo de 6?

33. Determine o intervalo de variacao de x sa-bendo que os lados do triangulo sao expres-sos por x + 10, 2x + 4 e 20 − 2x.

34. Demonstre que o perımetro do trianguloMNP e menor que o perımetro do trianguloABC na figura abaixo.

P

A

M

NB C

35. Calcule a medida dos angulos a, b e c dasfiguras:

r s

1000

450

c

s

ba

tr

200

800

c

ba

r

s

t

r s t

a) b)

36. Encontre a medida dos angulos α, x e y nasfiguras abaixo.

300

700

a

200

r s

t A

1050 y

B

s

350

r

xr s

r

s

a) b)

37. Determine o valor do angulo a.

3a

a

400

A

21


1. d2. c3. c4. PQ = 10 cm PO = 5 cm5. Demonstracao6. x = 90o

7. x = 36o

8. 20o

9. 36o, 72o, 72o

10. 40o, 50o, 40o

11. d12. a13. a14. 50o

15. 50o

16. 82o, 68o, 30o

17. Demonstracao18. 116o

19. e

20. 15◦

21. 360◦

22. a) x = 22, 5◦

b) x = 75◦

c) x = 25◦

d) x = 50◦

23. x = c − a − b

24. x = 72◦

25. x = 10◦ e y = 150◦

26. x = 70◦ e y = 125◦

27. x = 130◦

28. 20◦

29. S = 180◦

30. 60◦ e 100◦

31. Nao, pois 18 > 9 + 8

32. 18 ou 24

33. 65 < x < 26

3

34. Demonstracao

35. a) a = 80◦, b = 45◦, c = 55◦

b) a = 20◦, b = 60◦, c = 60◦

36. α = 60◦, x = 105◦, y = 40◦

37. a = 25◦

22

Aula 11 – Semelhanca de triangulos

Nosso objetivo nesta Aula e estudar seme-lhanca de triangulos. A ferramenta fundamentalneste estudo e o celebre Teorema de Tales querelaciona o comprimento dos segmentos deter-minados sobre retas transversais a feixe de retasparalelas.

3.1. Feixe de paralelas

Vamos enunciar diretamente o Teorema deTales e em seguida explicar seu significado.

Teorema de Tales: “Um feixe de paralelasdetermina sobre duas retas transversais segmen-tos com medidas respectivas proporcionais”.

ma

bc

np

q

r

rstu

Figura 1: Feixe de paralelas e transversais

Vamos as explicacoes. Na Figura 1, as retasr, s, t e u pertencem a um feixe de paralelas.Temos que r ‖ s ‖ t ‖ u. O Teorema de Talesgarante que,

a

p=

b

q=

c

r=

a + b

p + q=

a + b + c

p + q + r.

Como consequencia e possıvel escrever outrasigualdades, como:

a

b=

p

q,

b

c=

q

r, etc . . .

Neste texto nao faremos uma demonstracaodo Teorema de Tales. O objetivo e fazeraplicacoes. Uma prova do teorema sera apre-sentada na disciplina Geometria Basica.

Vamos a uma primeira aplicacao imediata doTeorema de Tales.

Propriedade 1: Num triangulo �ABC se o seg-mento MN e paralelo a AB entao

C r

M N

A B

t

s

CM

AM=

CN

NB=

AC

BC

r ‖ s ‖ t

Figura 2: Triangulos e Teorema de Tales

Justificativa: Na Figura 2, a reta r e paralelaa s e t. Portanto r ‖ s ‖ t e e possıvel aplicar oTeorema de Tales com as retas transversais

←→AC

e←→BC.

3.2. Teorema da bissetriz interna

A bissetriz interna de um angulo de umtriangulo determina sobre o lado oposto segmen-tos proporcionais aos dois outros lados. Isto e,no �ABC apresentado na Figura 3 , onde ASe bissetriz, encontramos que

A

c

B

b

CSn m

AB

n=

AC

m

Figura 3: Propriedade metrica da bissetriz

Demonstracao: A partir da Figura 3, traceCD ‖ AS, onde D esta no prolongamento deAB. Veja a Figura 4.

D

�

�

� �

A

n m

B S C

Figura 4: Teorema da bissetriz

23

Entao ACD = CAS = α (angulos alternosinternos) e ADC = BAS = α (angulos corres-pondentes). Entao �ADC e isosceles com baseCD. Portanto, AD = AC.

No �BDC, tomando DC como base e SAcomo base paralela e usando o Teorema de Talesencontramos que

AB

BS=

AD

SC⇒ AB

n=

AC

m,

que e a propriedade enunciada.

Semelhanca

O estudo de semelhanca e muito importanteem Geometria. Mas o que sao figuras semelhan-tes de modo geral?

Duas figuras F1 e F2 do plano sao semelhantesse possuem a mesma forma (apesar de, em geral,serem de tamanhos diferentes).

Duas figuras semelhantes podem ser entendi-das como sendo uma ampliacao da outra. Porexemplo, quando olhamos em um microscopioou binoculo, a figura observada e uma ampliacaoda figura original. Portanto, a figura observadae semelhante a figura original.

Apesar de que semelhanca e uma nocaoaplicavel a quaisquer figuras do plano, vamos nosfixar no estudo de semelhancas de triangulos.

3.3. Semelhanca de triangulos

Dois triangulos sao semelhantes se for possıvelestabelecer uma correspondencia biunıvova en-tre seus vertices de modo que correspondamangulos iguais e lados proporcionais. Isto e, ostriangulos �ABC e os �EFG sao semelhantesse

A = E

B = F

C = G

eAB

EF=

AC

EG=

BC

FG= k ,

onde k e constante de semelhanca ou de pro-porcionalidade. Usamos a notacao �ABC ∼�EFG, para expressar a semelhanca. Veja naFigura 5, triangulos semelhantes.

A

B C

E

F G

Figura 5: Triangulos semelhantes

Se a constante de semelhanca e unitaria, k = 1os triangulos sao congruentes. Portanto,

“A congruencia e um caso especial de seme-lhanca”.

3.4. Outra aplicacao do Teorema de Tales

“Toda reta paralela a um lado de um trianguloque intercepta os outros lados, determina umtriangulo semelhante ao primeiro.”

Acompanhe na Figura 6, a justificativa dapropriedade enunciada. Entre os triangulos�ABC e �AMN , temos em comum o anguloA. Tambem MN ‖ BC e C = β. Entao o Teo-rema de Tales implica que

AM

AB=

AN

AC=

MN

BC.

Portanto, �ABC ∼ �AMN , como enunciado.

A

B

CMN

��

Figura 6: Bases paralelas

Logo �ABC ∼ �AMN .

3.5. Casos de semelhanca de triangulos

Destacaremos tres casos basicos de seme-lhanca de triangulos. Estes resultados podemser provados usando o Teorema de Tales e oque ja conhecemos de congruencia de triangulos.No entanto, optamos deixar estas provas para adisciplina de Geometria Basica. Daremos maisatencao as aplicacoes e resolucoes de problemas.

1o Caso (Caso AA)Se dois triangulos possuem dois angulos res-

pectivamente congruentes entao os triangulossao semelhantes. Veja a Figura 7 e o esquemaem seguida.

A

B C

A

B C

Figura 7: Caso de semelhanca AA

Se

{B = B ′

A = A ′ ⇒ �ABC ∼ �A ′B ′C ′ .

24

2o Caso (Caso LAL de semelhanca)Suponha que em dois triangulos e possıvel es-

colher dois lados, em cada um dos triangulos, demodo que colocados em correspondencia tenhama mesma proporcao e, alem disso, os angulos en-tre os lados definam angulos congruentes. Nestasituacao, os triangulos sao semelhantes. Veja aFigura 8 e as conclusoes em seguida.

A

B C

D

E F

Figura 8: Caso de semelhanca LAL

Se

B = EAB

ED=

BC

EF

⇒ �ABC ∼ �DEF.

Exemplo: Na Figura 9 estao representadostriangulos semelhantes como consequencia docaso LAL. Faca o quociente entre os lados res-pectivos para se convencer.

A

B C

D

E F

12 1640

0

6 840

0


3o Caso (Caso LLL de semelhanca)Se em dois triangulos existe uma corres-

pondencia entre seus lados, de modo que as me-didas tenham a mesma proporcionalidade entaoos triangulos sao semelhantes. Veja a Figura 10e as conclusoes a seguir.

A

B C

D

E F

Figura 10: Caso de semelhanca LLL

SeAB

DE=

BC

EF=

AC

DF⇒ �ABC ∼

�DEF .

Exemplo: Na Figura 11, os triangulos represen-tados sao semelhantes. Faca o quociente entreos lados para se convencer.

5152

7 215

923


Os tres casos expostos de semelhanca detriangulos implicam as seguintes propriedades:

a) Dois triangulos semelhantes a um terceiro,sao semelhantes entre si.

b) Dois triangulos retangulos que possuem umangulo agudo congruente sao semelhantes.

c) Dois triangulos isosceles que possuem oangulo oposto a base congruentes, sao se-melhantes.

d) Dois triangulos isosceles que possuem osangulos das bases congruentes, sao seme-lhantes.

e) Dois triangulos retangulos isosceles sao se-melhantes.

f) Dois triangulos retangulos que tem os ca-tetos respectivamente proporcionais sao se-melhantes.

g) Dois triangulos equilateros sao sempre se-melhantes.

25

Exercıcios

1. (UNESP - 98 - 1a Fase) Na figura, otriangulo ABD e reto em B, e AC e a bis-setriz de BAD. Se AB = 2.BC, fazendoBC = b e CD = d, entao:

a) d = b

b) d =(

52

)b

c) d =(

53

)b

d) d =(

65

)b

e) d =(

54

)b

A

B C Db d

2b

x=2d

2. Tres terrenos tem frente para a rua “A” epara a rua “B”, como na figura. As divi-sas laterais sao perpendiculares a rua “A”.Qual a medida de frente para a rua “B” decada lote, sabendo que a frente total paraessa rua e 135 m?

3. (UNI-RIO - 97 - 1a Fase)

Rua A

Rua B

No desenho acima apresentado, as frentespara a rua A dos quarteiroes I e II medem,respectivamente, 250 m e 200 m, e a frentedo quarteirao I para a rua B mede 40 cm amais do que a frente do quarteirao II paraa mesma rua. Sendo assim, pode-se afir-mar que a medida, em metros, da frente domenor dos dois quarteiroes para a rua B e:

a) 160 b) 180 c) 200d) 220 e) 240

4. Um triangulo tem lados medindo 4 cm, 5cm e 7 cm. Um segundo triangulo, seme-lhante ao primeiro, tem perımetro 128 cm.Determine as medidas dos lados do segundotriangulo.

5. Um triangulo isosceles tem lados medindo10 cm, 10 cm e 12 cm. A altura relativaao maior lado mede 8 cm. Ache o raio docırculo inscrito.

6. (UNICAMP - 94 - 2a Fase) Uma rampade inclinacao constante, como a que daacesso ao Palacio do Planalto em Brasılia,tem 4 metros de altura na sua parte maisalta. Uma pessoa, tendo comecado a subı-la, nota que apos caminhar 12,3 metros so-bre a rampa esta a 1,5 metros de altura emrelacao ao solo.

(a) Faca uma figura ilustrativa da situacaodescrita.

(b) Calcule quantos metros a pessoa aindadeve caminhar para atingir o pontomais alto da rampa.

7. Num eclipse do sol, o disco lunar cobre exa-tamente o disco solar, o que comprova queo angulo sob o qual vemos o sol e o mesmosob o qual vemos a lua. Considere que oraio da lua e de 1738 km e que a distanciada lua ao sol e 400 vezes da Terra a lua,calcule o raio do sol.

8. O perımetro de um triangulo ABC e 100cm. Sabendo que a bissetriz do angulo in-terno A divide o lado oposto BC em doissegmentos de 13,5 cm e 22,5 cm, determineas medidas dos lados desse triangulo.

9. (FUVEST - 82) A sombra de um postevertical, projetado pelo sol sobre um chaoplano, mede 12 m. Nesse mesmo instantea sombra de um bastao vertical de 1 m dealtura mede 0,6 m. A altura do posto e:

a) 6 m

b) 7,2 m

c) 12 m

d) 20 m

e) 72 m

26

10. (U.C.MG - 82) A medida, em metros, dosegmento AD da figura ao lado e de:

a) 4

b) 5

c) 6

d) 8

e) 10D

AB

C

4cm

2cm

3cm

11. (CESGRANRIO - 79) O losango ADEFesta inscrito no triangulo ABC, como mos-tra a figura. Se AB = 12 m, BC = 8 m eAC = 6 m, o lado � do losango mede:

a) 5 m

b) 3 m

c) 2 m

d) 4 m

e) 8 m

A

B

CD

EF

12. Na figura abaixo, consideremos os quadra-dos de lados x, 6 e 9. Determine o perımetrodo quadrado de lado x.

9 6 X

13. Determine a medida do lado AB de figuraabaixo, onde AEDF e um quadrado de ladoigual a 3.

4

R

A BF

E D

C

14. Considere a figura abaixo, onde os pontosB, D e A sao alinhados. Calcule a medidax.

B

4D

x

A

C10

�

�

15. Calcule a medida do lado MN do retanguloinscrito no triangulo ABC da figura, sa-bendo que MN = 2MQ.

A

9 M N

B C

18Q P

16. Calcule a medida x na figura construıdaabaixo:

A

B C

� �3

85

X

17. (CESGRANRIO - 79) O losango esta ins-crito no triangulo ABC como mostra a fi-gura. Se AB = 12 m, BC = 8 m e AC = 6m, calcule a medida � do lado do losango.

B

D

A

CE

F�

�

�

27

18. (MACK - 74) No paralelogramo ABCDda figura abaixo, calcule a medida do seg-mento x.

A 24 B

10

CFD

E X20


1. c

2. 60 m, 45 m, 30 m

3. a

4. 32 cm, 40 cm, 56 cm

5. R = 3

6. a)12,3m

1,5m4m

b) 20,5 m

7. 696938 km

8. 36 cm, 24 cm e 40 cm

9. d

10. c

11. d

12. 16

13. 12

14. x = 21

15.92

16. 12,6

17. � = 4 cm

18.253

28

Aula 12 – O cırculo

Nesta aula estudaremos uma das mais impor-tantes curvas do plano: o cırculo.

Para comecar precisamos de algumas de-finicoes.

Definicoes

Cırculo. O conjunto de todos os pontos doplano que estao a uma distancia fixa de umponto fixo e chamado de cırculo. O ponto fixoe chamado centro e a distancia fixa chamadade raio do cırculo. Veja estes elementos naFigura 1.

C

R

Figura 1: Cırculo de centro C e raio R.

Cordas de um cırculo: Todo segmentoque une dois pontos distintos de um cırculo euma corda. Uma corda que contem o centrodo cırculo e chamado diametro. O diametrotem comprimento maximo entre as cordas. Vejaexemplos de cordas na Figura 2, onde ED e umdiametro.

C

A

B

D

E

Figura 2: Cordas AB e DE.

Comprimento de um cırculo: Um cırculode raio R tem comprimento C, dado por

C = 2πR ,

onde π e o numero irracional, π = 3, 141516...

Arco de circunferencia: Dados dois pontosA e B num cırculo Γ, ficam definidos dois arcos:

os arcos�

AXB e�

AY B. Veja a Figura 3.

OY�

B

A

X

Figura 3: Arcos do cırculo Γ

Medida de angulos

Vamos definir uma nova unidade para medirangulos. Ja conhecemos o grau (o angulo retomede 90o), agora vamos introduzir o radiano(sımbolo rd). Vamos usar a Figura 3. O anguloAOB tem por medida 1 rd se o comprimento do

arco�

AXB for igual ao raio do cırculo Γ. Isto e

comprimento de�

AXB= R.

Podemos tambem definir a “medida angular

do arco�

AXB” como a medida do angulo central.No caso da Figura 3,

angulo�

AXB= α .

Propriedades do arco:

(1) Se comprimento�

AXB= R, entao o angulo�

AXB= 1rd.

(2) A medida angular de um cırculo e 360o.

A propriedade (2) provoca uma pergunta:Qual e a medida angular de um cırculo ex-

pressa em radianos?Veja a resposta. Note que o comprimento do

cırculo e 2πR (R e raio do cırculo). Com isto,forcando um pouco a linguagem podemos imagi-nar que com 2π arcos cada um com comprimentoigual ao raio R podemos cobrir o cırculo. Logoa medida angular do cırculo e 2π rd.

29

Conclusao:

360o = 2π rd e 1rd =(360

π

)o

Exemplo: Quantos radianos mede um anguloreto?

Se x e a medida do angulo reto, entao,

2π rd −→ 360o

x −→ 90o

Logo, 360x = 2π × 90 e x =π

2rd.

Reta Tangente: E toda reta que intercepta ocırculo em apenas um ponto. Neste ponto a retae perpendicular ao segmento que une o pontode contato ao centro do cırculo. Veja a reta rtangente ao cırculo representado na Figura 4.Neste caso, P e o ponto de tangencia, ou decontato.

Reta secante: E toda reta que corta o cırculoem dois pontos. Veja a reta t secante ao cırculona Figura 4.

P

rO

t

P e o ponto de tangenciar e a reta tangentet e a reta secante

Figura 4: Retas tangente e secante

Posicao relativa: Dois cırculos Γ e Γ′ saodisjuntos quando nao tem ponto em comum;tangentes quando possuem um ponto comum;secantes quando possuem dois pontos em co-mum; concentricos quando tem o mesmo centro.

Figura 5: Posicao relativa de cırculos

NOTA IMPORTANTE:Se dois cırculos sao tangentes entao os centros

e o ponto de tangencia estao numa mesma reta.Esta reta e perpendicular a reta tangente comum

aos dois cırculos. Neste caso a distancia entre oscentros e a soma dos raios R e r dos cırculos.Veja a Figura 6.

PO

O

OO′ = R + r

Figura 6: Cırculos tangentes

Algumas Relacoes Metricas

I. Propriedade da tangente:

Considere um ponto P no exterior de umcırculo e as duas retas tangentes ao cırculo pas-sando por P . Se A e B sao os pontos de contatocom o cırculo e O e o centro do cırculo, entao

i) PA = PB

ii)−−→PO e bissetriz de APB.

P

A

B

O

R

R

��

Figura 7: Tangentes ao cırculo por um ponto

Justificativa: Examine a Figura 7 que ilustraa situacao. Temos que os triangulos �OAP e�OBP sao retangulos. Como nestes triangulosa hipotenusa e um cateto possuem medidasiguais, entao o outro cateto tambem coincide emmedida. Logo, temos a congruencia

�OAP ≡ �OBP (caso LLL) ,

a qual implica as propriedades (i) e (ii).

30

II. Quadrilateros circunscritos

Considere um quadrilatero ABCD circuns-crito a um cırculo. Nestas condicoes AB+CD =AD + BC.

A

B

C

D

H

F

G

E

AB + CD = AD + BC

Figura 8: Quadrilatero circunscrito

Justificativa. Na Figura 8 que representa asituacao temos E, F, G e H como pontos detangencias dos lados do quadrilatero circuns-crito. Agora usando as propriedades deduzidasno item I, anterior e percorrendo o quadrilaterono sentido ABCD, a partir do ponto H , escre-vemos

HA = AE, BE = BF, CG = CF, DG = DH.

Entao,

AB + CD = AE + EB + CG + DG =

= AH + BF + CF + DH = AD + BC ,

que e a propriedade enunciada.

III. Potencia de um ponto

Considere um ponto P que esta fora de umcırculo Γ e uma reta r contendo P e secante aocırculo. Temos tres situacoes relativas a conside-rar, segundo o ponto P esteja dentro ou fora docırculo. Veja a Figura 9 ilustrando a situacao.

P A

B

T

r

s

A

B

P

r

Figura 9: Potencia de um ponto

Definimos a potencia de P em relacao a Γcomo

pot(P ) = PA.PB ou pot(P ) = PT 2.

E um fato surpreendente que a potencia de-pende so da posicao do ponto em relacao aocırculo e nao da posicao da reta que passa peloponto. Isto e, quaisquer que sejam A e B, valea propriedade

PA · PB = PT 2 .

Nao faremos a justificativa desta propriedade,ela sera apresentada na disciplina de GeometriaBasica.

Angulo Inscrito: Temos duas posicoes ge-rais para angulos inscritos em cırculos. Em qual-quer situacao o vertice do angulo e um ponto docırculo. As duas posicoes depende dos lados dosangulos e sao descritas em I) e II) abaixo:

I) Os lados dos angulos sao duas cordas docırculo.

A

B

C

O� �

Figura 10: Angulo inscrito

Neste caso A e o vertice do angulo inscrito,BAC = α e o angulo inscrito e BOC = β e o an-gulo central correspondente. Veja a Figura 10.

II) Os lados do angulo sao uma corda do cırculoe uma semi-reta tangente.

D

E

F

O

��


Neste caso D e o vertice do angulo, DEF = αe o angulo inscrito e β o angulo central corres-pondente (cuidado com o sentido descrito na fi-gura para o angulo central). Veja a Figura 11.

31

Resultado Importante:“Todo angulo inscrito tem por medida a me-

tade do angulo central correspondente.” Isto e :β = 2α

Vamos mostrar como este resultado pode serverificado em um caso bem particular. Veja aFigura 12.

DO

B

A�

�

�

�

C


Queremos mostrar que BAC =12BOC.

Trace o diametro AD. Os triangulos �OABe �OAC sao isosceles (OA = OB = OC =raio do cırculo). Entao usando que a medida doangulo externo e a soma da medida dos angulosinternos nao adjacentes, concluımos que

�OAB ⇒ BOD = α + α = 2α

�OAC ⇒ DOC = β + β = 2β

Entao

BOC = BOD + DOC = 2(α + β) = 2A .

Ou seja,

A =12BOC .

Em outras posicoes diferentes para o anguloinscrito poderıamos chegar ao mesmo resultadoenunciado. No entanto vamos deixar a provageral deste resultado para a disciplina deGeometria Basica.

Consequencias importantes:

1. Se um triangulo esta inscrito num cırculo eum dos lados e o diametro, entao o trianguloe retangulo e o diametro a hipotenusa. Vejaa Figura 13

De fato, temos

A =12BOC =

12· 180◦ = 90◦ .

R O R

A

B C

Figura 13: Triangulo retangulo inscrito

2. Um quadrilatero inscritıvel num cırculopossui angulos opostos complementares.Veja a Figura 14, ilustrando a situacao.

A

B

C

D

A

B

C

D

Figura 14: Quadrilatero inscrito

De fato, veja por exemplo que

A =12

�DCB e C =

12

�DAB .

Como�

DCB +�

DAB= 360◦, entao A+ C =180◦. Do mesmo modo se comprova que

B + D = 180◦ .

3. Se duas cordas se cortam no interior docırculo, veja a Figura 15, entao

β =

�AXD +

�AY D

2.

A

B

C

D

y x�

Figura 15: Cordas secantes

Vamos verificar este resultado. Tracando osegmento BD vem que

β = θ + α (angulo externo)

θ =

�CD

2, α =

�AB

2.

Assim, β =

�AB

2+

�CD

2.

32

A

B

C

D

�

� �

Figura 16: Cordas secantes

4. Angulos de vertice exterior ao cırculo cujoslados encontram o cırculo.

Temos as seguintes possibilidades:

a)

b)

c)

Figura 17: Angulos exteriores

Nas Figuras m e n representam medidas dosarcos de cırculos correspondentes.

Em qualquer dos casos

α =m − n

2

Justificativa. Vamos justificar o caso (b), os ou-tros sao similares. Redesenhando a Figura 17.be acrescentando linhas e pontos auxiliares, en-contramos a Figura 18.

n �

x

y

m

E

C

A

B

Figura 18: Angulo exterior

Note que EBC = y e angulo inscrito. Logo,

y =m

2.

Tambem, BCA = x e angulo inscrito e entao,

x =n

2

Por outro lado, como y e angulo externo ao�ABC, encontramos que

y = x + α .

Juntando as igualdades, concluımos que,

α = x − y =m − n

2,

que e expressa a propriedade procurada.

Exercıcios

1. (UNIFICADO 97)

AO

CB

D

Na figura acima, AB = 8 cm, BC = 10cm, AD = 4 cm e o ponto O e o centroda circunferencia. O perımetro do trianguloAOC mede em cm:

(a) 36 (b) 45 (c) 48(d) 50 (e) 54

2. (RURAL) O raio de um cırculo mede 6 m.Por um ponto P , distante 10 m do centro,traca-se uma tangente. O comprimento datangente entre P e o ponto de contato e:

(a) 14 m (b) 6 m (c) 8 m(d) 10 m (e) 12 m

33

3. Na figura, o arco�AB e o triplo do arco

�BC

e t e reta tangente. Determine, em graus, amedida do angulo α.

�

B

O

A

t

C P

4. Na figura BJ = raio. Calcule α, parax = 20o.

5. Na figura ABCDE e um pentagono regular.Calcule o angulo α.

�

A

B

CD

E

6. (UFRJ - 99 - Especıfica) Na figura, otriangulo ACE e equilatero e ABCD e umquadrado de lado 2 cm. Calcule a distanciaBE.

A B

CD

E

7. (FUVEST 2001) Um lenhador empilhou 3troncos de madeira num caminhao de lar-gura 2,5 m, conforme a figura abaixo. Cadatronco e um cilindro reto, cujo raio da basemede 0,5 m. Calcule a altura h em metros.

2,5

h

8. As retas representadas sao tangentes aocırculo. Se AB = 12 cm, AC = 14 cm eBC = 18 cm, calcule as medida de AR eBS.

C

A

R

SB

T

9. Na figura ABCD e um quadrado de lado 20cm e M e medio de CD. Ache a medida deAN , sabendo que AM = 10

√5.

N

A

B C

D

M

10. A menor distancia de um ponto a uma cir-cunferencia e 6 cm, e o segmento da tan-gente a circunferencia e 10 cm. O raio dacircunferencia, em cm, mede:

OP

20

12

(a) 5 (b)163

(c)92

(d)285

(e)174

34

11. Nas figuras seguintes, encontre a medida x.

a)3 2

5x

b)3

5

9

x

c) 5x

1

x+4

d)8

2

x


1. e

2. c

3. 45o

4. α = 60o

5. 72o

6. (√

6 −√2) cm

7. (1 +√

74

) cm

8. AR = 8 cm, BS = 4 cm

9. 2√

5

10. b

11. a)152

; b)115

; c) 1; d) 2√

5.

35

Aula 13 – Relacoes metricas num

triangulo retangulo

O objetivo desta Aula e aplicar os resulta-dos que obtivemos no estudo de semelhanca detriangulos, para estabelecer relacoes metricasnum triangulo retangulo. Em particular, po-demos provar o famoso Teorema de Pitagoras.Para iniciar vamos recordar os elementos princi-pais de um triangulo retangulo.

I. Relacoes metricas num trianguloretangulo

5.1. Elementos

O que caracteriza um triangulo retangulo�ABC e a existencia de um angulo reto. NaFigura 1 apresentamos um triangulo retangulo�ABC, onde A = 90◦. Em seguida listamosseus elementos principais.

A

B CH

m n

cbh

a

Figura 1: Triangulo retangulo

a = hipotenusab e c = catetosm = projecao ortogonal do cateto b sobre a

hipotenusan = projecao ortogonal do cateto c sobre a

hipotenusah = altura relativa a hipotenusa

5.2. Relacoes metricas

a) a2 = b2 + c2 (Teorema de Pitagoras)b) bc = ahc) b2 = and) c2 = ame) h2 = mnf) a = m + nAs relacoes anteriores sao todas provadas

usando semelhanca de triangulos que apare-cem na Figura 1. Vamos provar a penultimah2 = mn como exemplo. Acompanhe os argu-mentos.

Afirmamos que �ABH ∼ �CAH . Veja por-que. Temos que{

CAH + C = 900

B + C = 900⇒ B = CAH

Como os dois triangulos possuem um anguloreto, e ainda a congruencia de dois outrosangulos, como tirado acima, entao dois anguloscorrespondentes sao congruentes. Portanto, pelocaso de semelhanca AA, temos que os triangulossao semelhantes. Assim,

AB

CA=

AH

CH=

BH

AH⇒ c

b=

h

n=

m

h

As duas ultimas igualdades resultam,

h2 = mn ,

que e a propriedade (e).

5.3. Aplicacoes imediatas do Teorema dePitagoras

a) Relacao entre os comprimentos do lado l e daaltura h de um triangulo equilatero.

Num triangulo equilatero como o representadona Figura 2, vale

h =l√

32

.

37

h�

�

2

Figura 2: Triangulo equilatero

Prova. Examine na Figura 2 o triangulo re-tangulo sombreado. Usando o Teorema dePitagoras encontramos que,

h2 +( l

2

)2

= l2 ⇒ h2 = l2 +l2

4⇒

⇒ h2 =3l2

4⇒ h =

l√

32

b) Medida da diagonal do quadrado.Num quadrado as medidas l do lado e d da

diagonal satisfazem

d = l√

2 .

�

�

d

Figura 3: Quadrado

Prova. Examine na Figura 3 o triangulo re-tangulo sombreado. Usando o Teorema dePitagoras encontramos que,

d2 = l2 + l2 ⇒ d2 = 2l2 ⇒ d = l√

2

c) Apotema do hexagono regular.Num hexagono regular inscrito num cırculo de

raio R as medidas l do lado e a do apotemasatisfazem

a6 =l√

32

.

Justificativa. Examine na Figura 4 o trianguloretangulo sombreado. Usando o Teorema dePitagoras encontramos que,

R2 = a26 +

( l

2

)2

⇒ l2 = a26 +

l2

4⇒

⇒ a26 =

3l2

4⇒ a6 =

l√

32

,

que e a igualdade desejada.

Figura 4: Apotema do hexagono

II. Relacoes trigonometricas numtriangulo retangulo.

Num triangulo retangulo �ABC, onde A =90◦, b = AC, c = AB e a = BC, valem as se-guintes igualdades:

b = a sen B, c = a cos C, b = a cos C, c = a sen B .

Figura 5: Triangulo retangulo

Por que valem estas formulas? Vamos verifi-car as duas primeiras formulas.

Convido-o a recordar a definicao de seno e co-seno no cırculo trigonometrico unitario e relaci-onar com o triangulo retangulo �ABC. Veja aFigura 5, onde o cırculo representado tem raiode medida 1. Isto e, OE = 1.

OB

E

F A

C

Figura 6: Seno de um angulo

Desenhamos o �ABC numa posicao ade-quada, onde B coincide com o centro O docırculo. Por definicao,

sen B = EF, cos B = BF e EB = 1 ,

38

onde EF e um segmento ortogonal a AB. Por-tanto, EF ‖ AC.

Com estes dados podemos concluir que ostriangulos �ABC e �FBE sao semelhantes.Entao,

AB

BF=

AC

EF=

BC

EB⇒ b

sen B=

a

1e

c

cos B=

a

1.

Portanto, b = a sen B , como querıamos provar.As outras formulas se verificam de maneira

muito parecida.

III. Relacoes metricas num trian-gulo qualquer

a) Lei dos senosNum triangulo �ABC, arbitrario e inscrito

num cırculo de raio R, vale as seguintes igualda-des:

a

sen A=

b

sen B=

c

sen C= 2R ,

onde a = BC, b = AC, c = AB e R e o raio docırculo que circunscreve o triangulo.

O

B

b

A

C

a

cM

Figura 7: Lei dos senos

Veja a Figura 7 e vamos tentar encontrar asrazoes para a validade da lei dos senos. Esco-lhendo o lado AB, arbitrariamente, note que aperpendicular pelo ponto medio M de AB, passapelo centro O do cırculo e o angulo AOB e umangulo central correspondente ao angulo inscritoC. Entao

C =12AOB ⇒ C = AOM .

Aplicando os resultados sobre relacoes trigo-nometricas no triangulo retangulo AOM encon-tramos que,

AM = OA · senAOM ⇒ c

2= R · sen C ⇒

⇒ c = 2R sen C ⇒ c

sen C= 2R .

Do mesmo modo, escolhendo o lado AC ouo lado BC e trabalhando de modo inteiramentesimilar verificarıamos as outras formulas.

Nota. No que foi feito acima demos uma justifi-cativa de porque vale a formula denominada leidos senos. No entanto, ainda e insuficiente. Porexemplo, usamos nos nossos argumentos que ocentro do cırculo e interior ao triangulo. Istonem sempre acontece num triangulo arbitrario.Na disciplina Geometria Basica voltaremos aoassunto e faremos uma prova completa da leidos senos.b) Lei dos cossenos

Num triangulo qualquer ABC, onde a = BC,b = AC e c = AB, valem as seguintes igualda-des:

a2 = b2 + c2 − 2bc cosA ,b2 = a2 + c2 − 2ac cosB ,c2 = a2 + b2 − 2ab cosC .

A

B C

b

a

cn

H m

Figura 8: Lei dos cossenos

Vamos verificar como funciona a demons-tracao destas formulas. Veja a Figura 8, ondeesta representado um triangulo �ABC e a al-tura n do triangulo em relacao ao lado BC.Considere os triangulos retangulos �AHB e�AHC. Podemos escrever usando o Teoremade Pitagoras que,{

b2 = n2 + (m + a)2

c2 = n2 + m2 ⇒

⇒{

b2 = n2 + m2 + a2 + 2amc2 = n2 + m2

⇒ b2 = c2 + a2 + 2am (∗)No triangulo retangulo �AHB, encontramosm = c · cos(ABH) ⇒ m = c · cos(ABH) == c · cos(1800 − B) .

Como cosα = − cos(1800 − α), para qualquerangulo α, achamos que

m = −c cos B .

Este resultado, junto a equacao (∗), mostraque

b2 = c2 + a2 − 2ac cos B .

As outras formulas sao demonstradas de ma-neira inteiramente analoga.

39

Consequencia da lei dos senos e dos cos-senos

Num triangulo generico �ABC, usando a leidos senos pode-se provar que:(i) Ao maior lado de um triangulo opoe-se omaior angulo.

Enquanto que usando a lei dos cossenos pode-mos mostrar queii)a2 < b2+c2: Triangulo acutangulo (cosA > 0)

a2 = b2 + c2: Triangulo retangulo (cosA = 0)a2 < b2 + c2: Triangulo obtusangulo (cos < 0)

Exercıcios

1. (UFRJ - 2001) Os ponteiros de um relogiocircular medem, do centro as extremidades,2 m, o dos minutos, e 1 m, o das horas.Determine a distancia entre as extremida-des dos ponteiros quando o relogio marca 4horas.

2. (UNIFICADO 93) Os lados de um triangulosao 3, 4 e 6. Calcule o valor do cosseno domaior angulo interno desse triangulo.

3. (UERJ 93 - 1a Fase) O triangulo ABC estainscrito em um cırculo de raio R. Se cosA =35, o comprimento do lado BC e:

a)2R

5b)

3R

5c)

4R

6d)

6R

5e)

8R

5

4. (UFRJ 95) A grande sensacao da ultimaExpo-Arte foi a escultura “O.I.T.O” de 12metros de altura, composta por duas circun-ferencias, que reproduzimos abaixo, com ex-clusividade.

12m

Para poder passar por um corredor de ape-nas 9 metros de altura e chegar ao centrodo Salao Principal, ela teve de ser inclinada.A escultura atravessou o corredor tangenci-ando o chao e o teto, como mostra a figuraa seguir.

9m

�

R R

r

Determine o angulo de inclinacao θ indicadona figura.

5. (UniRio - 99) Numa circunferencia de 16cm de diametro, uma corda AB e projetadaortogonalmente sobre o diametro BC. Sa-bendo que a referida projecao mede 4 cm, amedida de AB, em cm, e igual a:a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 14

6. (UniRio) Dado um triangulo retangulo cu-jos lados medem 2 cm. Construımos umsegundo triangulo retangulo onde um doscatetos esta apoiado na hipotenusa do pri-meiro e o outro cateto mede 2 cm. Cons-truımos um terceiro triangulo com um doscatetos medindo 2 cm e o outro apoiadona hipotenusa do segundo triangulo. Secontinuarmos a construir triangulos sempreda mesma forma, a hipotenusa do decimoquinto triangulo medira:a) 15 cm b) 15

√2 cm c) 14 cm

d) 8 cm e) 8√

2 cm

7. Na figura sao dados: b = 12 e c = 9.

C B

A

b c

m n

h

a

Calcular: a, h, m e n.

8. Calcular o perımetro de um trianguloisosceles de 8 m de base e 3 de altura.

9. Na figura abaixo, sao dados: AB = 15 cm;CD = 3 cm; DA = DB.Calcule o raio do cırculo.

40

O

A B

C

10. Calcule ”x” na figura abaixo:

A

B C x D8

126

11. Se os lados de um triangulo retangulo estaoem progressao geometrica, calcule a razaodesta progressao.

12. A hipotenusa de um triangulo retangulomede 10 e a altura a ela relativa mede 3.O menor cateto desse triangulo mede:

a) 2√

5 b) 2√

2 c) 3√

2

d)√

10 e) 5√

2

13. Calcular o lado do quadrado inscrito notriangulo retangulo ABC da figura sendodado os catetos: AB = 12 cm e AC = 5cm.

C Q P B

A

NM

14. Os cırculos da figura tem raios 3 cm e 2 cme sao tangentes entre si aos lados do qua-drado. Ache o lado do quadrado.

a) 5 cm b)32(2 +

√2) cm c) 4(2 +

√2) cm

d) 5(2 +√

2) cm e)52(2 +

√2) cm

15. Os semi-cırculos de diametro AO, OB e ABtem centro sobre a reta AB. O cırculo decentro O′ lhes e tangente. Se AB = 12,ache r.

a) 1 cm b) 2 cm c) 3 cm d) 4 cm e) 5 cm

16. (FGV 92 - 2a Fase) As quatro circun-ferencias da figura sao tangentes duas aduas tangentes a reta r. Sabendo-se queos raios das duas menores medem 1 cm e√

5 cm, determine o raio da maior.

17. (PUC 95 - Especıfica) Sejam C1, C2 eC3 tres cırculos de mesmo raio R ecujos centros O1, O2 e O3 estao sobresobre uma mesma reta. Alem disso,C1, e tangente a C2 e C2 e tan-gente a C3. Considere a reta D quepassa por A e e tangente ao cırculo C3 (verfigura). Expresse o comprimento da cordaBC, determinada por D em C2, em funcaode R.

A

B

C

O1

O2 O

3

D

41

18. No triangulo retangulo da figura, AJ e bis-setriz do angulo A e mede

√2. Sabendo

que um dos catetos mede 3, calcule a hipo-tenusa.

A B

C

D

19. O perımetro de um triangulo retangulo e12 e a altura relativa a hipotenusa mede2. Calcule a medida da hipotenusa dotriangulo.

20. Na figura abaixo tem-se dois cırculos exte-riores cujos raios medem respectivamente 7e 2. Calcule o comprimento do segmentoAB da tangente externa comum aos doiscırculos.

13

O O

AB

x

21. Na figura abaixo, x e a medida do segmentoAB da tangente interna comum aos doiscırculos. Calcule a medida de x.

O

O

A

B

x

8

4

22. (UFF 94 - 1a Fase) Na figura a seguir, otriangulo QRS e equilatero e esta inscritono quadrado MNPQ, de lado L. Calcule amedida do lado do triangulo.

P Q

R

N S M

23. Na figura, os cırculos maiores tem raio de8 cm e 2 cm. Calcule a medida do cırculomenor.

8 2

24. (CESGRANRIO - 77) No triangulo ABCDde lados AB = 4 e BC = 3, o segmento DMe perpendicular a diagonal AC. Calcule acomprimento do segmento AM .

D

A

M

B

C

25. (CESCEM - 73) Calcule o valor de x nafigura:

A

BC300 100

xD

300

42

26. (FUVEST - 77) A secao transversal de ummaco de cigarros e um retangulo que aco-moda exatamente os cigarros como na fi-gura.

Se o raio dos cigarros e “r”, as dimensoesdo retangulo sao:

a) 14r e 2r(1 +√

3) b) 7r e 3r

c) 14r e 6r d) 14r e 3r

e) (2 + 3√

3) e 2r√

3


1.√

17 m

2. −1124

3. e

4. θ = 30◦

5. b

6. d

7. a = 15; m = 9,6; h = 6; n = 5,4

8. 18 m

9.878

10.114

11.

√1 +

√5

2

12. d

13.780220

14. e

15. b

16. 5√

5 cm

17.8R

5

18. 3√

52

19.367

20. x = 12

21. x = 16

22. (√

6 −√2)L

23.89

24.95

25. x = 50

26. a

43

Aula 14 – Polıgonos

1. Introducao

Uma linha poligonal e uma sequencia finitade segmentos de reta encadeados continuamenteque se cruzam apenas nos extremos. Alem disso,os pontos de cruzamento pertencem a exata-mente dois segmentos. Uma linha poligonal efechada quando todas as extremidades dos seg-mentos pertencem a cruzamentos. Uma linhapoligonal fechada e um polıgono. Finalmente,os segmentos sao denominados lados da poligo-nal ou do polıgono.

Veja na Figura 1 exemplos de linhas poligo-nais, onde apenas uma e polıgono.

Polígono Não é polígonoNão é polígono

Figura 1: Linhas poligonais

2. Polıgono convexo

E o polıgono que tem a seguinte propriedade:“qualquer reta do plano que nao contem nenhumlado do polıgono intercepta o polıgono em nomaximo 2 pontos”. Na Figura 2 o polıgono aesquerda e convexo e o da direita e nao convexo.

A

B

C

DE t

rs

A

BC

D

E

s

r

Figura 2: Polıgonos convexos e nao convexos

Na Figura 3 apresentamos os principais ele-mentos de um polıgono convexo. Sao eles:

ai, bi, ci . . . sao os angulos internos,ae, be, ce . . . sao os angulos externos

A, B, C, D . . . sao os vertices eAB, BC, CD . . . sao os lados

Veja que em um polıgono de n lados temos nvertices, n angulos internos e n angulos externos.

A

B

C

D

ai

bi

ci

di

ae

be

ce

de

Figura 3: Elementos de um polıgono

Uma diagonal de um polıgono convexo e qual-quer segmento de reta que une dois vertices naoconsecutivos. Veja no polıgono da Figura 4 to-das as diagonais representadas.

A

B

CD

E

Figura 4: Diagonais de um polıgono

De acordo com o numero n de lados, ospolıgonos convexos recebem nomes especiais.Veja a seguir as correspondencias:

n = 3 ... triangulo ............... 3 ladosn = 4 ... quadrilatero ........... 4 ladosn = 5 ... pentagono .............. 5 ladosn = 6 ... hexagono ............... 6 ladosn = 7 ... heptagono ............. 7 ladosn = 8 ... octogono ............... 8 ladosn = 9 ... eneagono ............... 9 ladosn = 10 ... decagono ............... 10 ladosn = 11 ... undecagono ........... 11 ladosn = 12 ... dodecagono ........... 12 ladosn = 15 ... pentadecagono ...... 15 ladosn = 20 ... icosagono .............. 20 lados

45

3. Soma dos angulos internos de umpolıgono convexo

Proposicao 1. A soma Si dos angulos internos deum polıgono convexo, de n lados e dada por

Si = 180◦(n − 2) .

Demonstracao:

A

B

C

D

E

F

ai

bi

ci

di

ei

fi

Figura 5: Soma dos angulos internos

De um vertice qualquer tracemos todas as di-agonais que tem esse vertice como extremo. Opolıgono fica dividido em (n − 2) triangulos.Como a soma dos angulos de cada triangulo e180◦, entao, Si = 1800(n − 2).

4. Soma dos angulos externos deum polıgono convexo

A soma Se das medidas dos angulos externosde um polıgono convexo e sempre 360◦.

Demonstracao: Observe um polıgono convexocomo na Figura 6, onde estao indicados angulosinternos e externos. Note que

A B

C

DE

ai bi cidi

ae

be

ce

F

de

Figura 6: Angulos num polıgono

ai + ae = 180◦

bi + be = 180◦

ci + ce = 180◦

di + de = 180◦

..................

...................

Somando as expressoes, encontraremos que:Si + Se = 180◦n.Como Si = 180◦(n − 2), temos que Se = 2 ×

180◦ = 360◦

OBS.: Se o polıgono e regular entao os angulosexternos tem a mesma medida. Portanto, temmedida

ae =360◦

n.

5. Numero de diagonais de um po-lıgono convexo

Proposicao 3. O numero de diagonais d de umpolıgono convexo de n lados e

d =n(n − 3)

2.

Prova: Vamos examinar um caso particular deum polıgono de 5 lados, para aprender. Esteexemplo particular vai indicar como se conseguea formula geral para o numero de diagonais d.Veja a Figura 7.

Figura 7: Diagonais de um polıgono

Na Figura 7 a esquerda temos duas diagonaissaindo do vertice A. O numero de vertices en = 5. Temos n − 3 = 5 − 3 = 2 diagonaissaindo do ponto A. Agora olhando na Figura7, a direita, vemos que saem de cada um dosvertices tambem exatamente n−3 = 2 diagonais.Logo o total de diagonais que saem de todos osvertices e n(n − 3) = 5 × 2 = 10 diagonais. Noentanto, estas diagonais sao contadas em dobro.Logo,

d =n(n − 3)

2=

5 × 22

= 5

e o numero total de diagonais.Agora vamos tratar do caso geral. Considere

um polıgono de n lados (e, portanto, n vertices).Ao tracar as diagonais a partir de um verticefixado, por exemplo, o vertice A, teremos umtotal de n − 3 diagonais.

A

BC

Figura 8: Diagonais a partir de um vertice

46

Veja que na Figura 8, partem do vertice Adiagonais para todos os outros vertices, menospara os vertices B e C (que sao consecutivos a A)e para o proprio vertice A. Temos entao (n− 3)diagonais partindo de A.

Como temos n vertices contaremos destemodo n(n− 3) diagonais. Mas, observe que poreste processo, cada diagonal esta sendo contadaduas vezes. Logo, o numero total d de diagonaise:

d =n(n − 3)

2.

6. Polıgonos regulares

Um polıgono e regular quando a medidade todos os lados sao iguais (equilatero) e amedida de todos os angulos internos iguais(equiangulo). Observe na Figura 9, algunsexemplos de polıgonos regulares.

TriânguloEquilátero

QuadradoHexágono

regular

Figura 9: Polıgonos regulares

Num polıgono regular todos os angulos tem amesma medida. A proposicao a seguir especificaeste valor.

Proposicao 2. Se um polıgono e regular, cada umde seus angulos internos e dado por:

ai =180◦(n − 2)

n.

Prova. Note que a soma Si de todos os angulosinternos e Si = 180◦(n−2). Alem disso, temos nangulos todos iguais. Portanto, a medida ai decada angulo e dado pela formula da proposicao.

Propriedades

(i) Todo polıgono regular e inscritıvel emuma circunferencia. Isto e, os vertices de umpolıgono regular pertencem todos a uma mesmacircunferencia. Veja a Figura 10, representandorespectivamente um triangulo equilatero e umhexagono regular inscritos. O centro da circun-ferencia e chamado centro do polıgono.

A

B C

R

RR O

R R

R

RR

RR

R o

A

B

C

D

E

F

G

H

Figura 10: Inscricao e circunscricao de polıgonos

R e o raio do cırculo circunscrito ao polıgono

(ii) Um polıgono regular de n lados pode serdividido em n triangulos isosceles com verticeno centro do polıgono e cujos lados congruentessao raios do cırculo circunscrito ao polıgono.Examine esta propriedade na Figura 10.

(iii) Todo polıgono regular e circunscritıvel auma circunferencia. Nesta situacao, todos os la-dos do polıgono regular sao tangentes a circun-ferencia. Veja a Figura 11.

Figura 11: Polıgonos circunscritos

Elementos notaveis de um triangulo

(i) O centro de um polıgono regular e o cen-tro comum das circunferencias inscrita e cir-cunscrita.

(ii) Apotema de um polıgono regular e adistancia do centro do polıgono regular aum dos lados. Esta distancia e igual aocomprimento do segmento que une o cen-tro ao ponto medio de um lado. Tambem,essa distancia equivale ao raio do cırculoinscrito.

apótema

Ponto médiode BC

Figura 12: Apotema

47

7. Relacao entre o lado e o raio deum polıgono regular

Nesta secao pretendemos estabelecer relacoesentre os comprimentos do lado, o apotema e oraio de importantes polıgonos regulares. Parafixar notacao, vamos indicar por ln a medida dolado do polıgono regular de n lados e por an

a medida do apotema do polıgono regular de nlados e por R o raio da cirunferencia circunscritaao polıgono.

Triangulo equilatero (n = 3)

Vamos obter o lado (l3) e o apotema (a3) dotriangulo equilatero, em funcao do raio R docırculo circunscrito.

h = 32ABC

Figura 13: Triangulo inscrito

Observe na Figura 13 que AM e a altura h dotriangulo equilatero �ABC. Como o �ABM eretangulo e M e o ponto medio de BC, podemosaplicar o Teorema de Pitagoras para concluir que

h2 +(

l32

)2

= l2 ⇒ h =l√

32

.

Por outro lado, observe mais uma vez a Figura13 e conclua que o encontro das alturas ocorreno ponto O, centro da circunferencia. De fato,as alturas tambem sao medianas e todas temo mesmo comprimento. Como o encontro das

medianas de um triangulo ocorre a23

do verticeentao OA = OB = OC e este e o motivo porqueO e o centro da circunferencia. Portanto,

OA = R =23h =

23

l3√

32

⇒ l3 = R√

3

OM = a3 =12OA ⇒ a3 =

R

2

Quadrado (n = 4)

Na Figura 14 o triangulo ADB e retangulo(A = 90◦). Aplicando o Teorema de Pitagoras,encontramos que

d = l42 + t4

2 = l4√

2,

onde d e o comprimento da diagonal.

Figura 14: Quadrado inscrito

Note ainda da Figura 14 que d = 2R. Por-tanto,

l4√

2 = 2R ⇒ l4 = R√

2

Observe, ainda, que

a4 =l42

⇒ a4 =R√

22

Hexagono regular (n = 6)

Observe na Figura 15 que o hexagono regu-lar pode ser dividido em 6 triangulos equilateroscongruentes, onde o apotema a6 e a altura co-mum destes triangulos.

6

Figura 15: Hexagono regular inscrito

Veja porque isto acontece. No �AOB, temosque

AOB =360◦

6= 60◦; OA = OB = R.

Entao

A = B = 60◦ ⇒ O = A = B = 60◦.

Portanto o triangulo �AOB e equilatero. Istopermite concluir que,

l6 = R e a6 =R√

32

.

48

Resumo

No quadro representado na Figura 16 apre-sentamos o lado e o apotema do triangulo, qua-drado e hexagono regular em funcao do raio Rda circunferencia circunscrita.

n = 3 n = 4 n = 6Lado (l) R

√3 R

√2 R

Apotema (a)R

2R√

22

R√

32

Figura 16: Relacoes de medidas nos polıgonos regulares

8. Quadrilateros.

Todo polıgono que possue 4 lados e denomi-nado um quadrilatero. Na Figura 17, apresen-tamos a esquerda um quadrilatero convexo e adireita um quadrilatero nao convexo.

Figura 17: Quadrilateros

Em nosso estudo, vamos nos concentrar nosquadrilateros convexos.

Propriedades dos quadrilateros convexos(i) Possuem sempre 2 diagonais;(ii) A soma dos angulos internos vale 360◦;(iii) A soma dos angulos externos vale 360◦

Veja porque valem as propriedades. Se d e onumero de diagonais, como temos quatro lados,entao

d =n(n − 3)

2; n = 4 ⇒ d =

4(4 − 3)2

= 2;

Si = 180◦(n−2); n = 4 ⇒ Si = 180◦(4−2) =360◦;

Se = 360◦.

9. Quadrilateros especiais

Paralelogramo

Um paralelogramo e um quadrilatero onde oslados opostos sao paralelos.

Veja a Figura 18, onde usamos o fato queAB ‖ DC e AD ‖ BC, para identificar igualda-des entre angulos. Note a partir disto a seguinte

congruencia de triangulos: �BDA ≡ �DBC.Isto implica que DC = BA e DA = BC, justifi-cando a Figura 18.

A B

CD

O

b

aa

b

� �

��

�

�

�

Figura 18: Paralelogramo

Vamos resumir as importantes propriedadesque surgem examinando a Figura 18.Propriedades:

1) Os angulos opostos sao iguais2) Os angulos consecutivos sao suplementares.3) Os lados opostos tem o mesmo comprimento.4) As diagonais se cortam ao meio.

Dentre as propriedades acima a quarta mereceuma justificativa. Examine de novo a Figura 18.A congruencia de triangulos, �DOC ≡ �BOAe �DAO ≡ BCO, garante a quarta proprie-dade.

Losango

O losango e um paralelogramo que possui to-dos os lados iguais (equilatero).

Na Figura 19 esta representado um losangoABCD, onde o comprimento do lado e a. Isto e,

AB = BC = CD = DA = a.

A

B

C

D

a a

a a

Figura 19: Losango

Propriedade: As diagonais de um losango saoperpendiculares entre si.

A

B

C

D o

Figura 20: Diagonais do losango

49

Veja, em seguida, como se justifica esta pro-priedade. Recorde que a mediatriz de um seg-mento e a reta perpendicular ao segmento quepassa pelo ponto medio do segmento. Um pontopertence a mediatriz se e somente se e equidis-tante dos extremos do segmento. Entao, vejaque,

AB = AD ⇒ A pertence a mediatriz de BD

CB = CD ⇒ C pertence a mediatriz de BD

Logo, AC e a mediatriz de BD ⇒ AC ⊥ BD

Retangulo

E o paralelogramo que possui todos os angulosinternos iguais (equiangulo). Como a soma dosangulos internos de todo paralelogramo e 360◦

encontramos que

A = B = C = D = 90◦.

A B

C D

Figura 21: Retangulo

Propriedade: As diagonais de um retangulo tema mesma medida.

A B

C D

Figura 22: Diagonais do retangulo

Veja como se justifica esta propriedade. NaFigura 22 os triangulos �ABC e �BAC saocongruentes (caso LAL). Portanto,

AB = BAAD = BC

e A = B = 90◦.

Logo, BD = AC.

Quadrado

E o paralelogramo que possui todos os ladosiguais (mesma medida) e todos os angulos iguais(mesma medida).

A B

CD

AB = BC = CD = DA

A = B = C = D = 90◦

Figura 23: Quadrado

NOTA: Todo quadrado e um losango e e tambemum retangulo.

Trapezio

E um quadrilatero convexo que possui dois la-dos opostos paralelos e os outros dois lados naoparalelos. Os lados paralelos sao denominadosbases. Como estes lados tem comprimentos dife-rentes, temos uma base menor e uma base maior.Veja a Figura.

Base menor

Base maior

Figura 24: Trapezio e bases

Classificacao dos trapezios

Trapezio retangulo

E o trapezio que apresenta dois angulos retos(um dos lados nao paralelos e perpendicular asbases). Veja a Figura 25.

A B

CD

A = D = 90◦

Figura 25: Trapezio retangulo

50

Trapezio isosceles

E todo trapezio onde os lados nao paralelossao congruentes.

A B

CD

AD = BC

Figura 26: Trapezio isosceles

Propriedades:Num trapezio isosceles ABCD, onde AD =

BC, (veja a Figura 26), valem as seguintes pro-priedades:

1a) Os lados nao paralelos formam com amesma base angulos congruentes.

A = B e C = D

2a) As diagonais sao congruentes.

AC = BD

Trapezio escaleno

Um trapezio e dito escaleno, quando os ladosnao paralelos nao sao congruentes.

A B

CD

Figura 27: Trapezio escaleno

Observacao: Em particular, um trapezio retan-gulo e tambem escaleno.

Observacoes gerais sobre um trapezioABCD

Considere um trapezio ABCD, como na Fi-gura 28, onde M e N sao pontos medios doslados nao paralelos AD e BC, respectivamente.Considere ainda notacao introduzida a direitada Figura 28.

A B

CD

M NP Q

H

AB = base maior = BDC = base menor = bMN = base media = bm(DM = MA, CN = NB)PQ = mediana de Euler == mE

Figura 28: Trapezio generico

Nesta situacao, podemos concluir que

bm =B + b

2, mE =

B − b

2.

Demonstracao: Como MN ‖ AB ‖ DC, temosas implicacoes:

�ADC ⇒ MP =b

2,

�CAB ⇒ PN =B

2,

�BCD ⇒ QN =b

2.

Isto permite concluir que

bm = MN = MP + PN =B + b

2.

Finalmente, temos que:

MP + QN =b

2+

b

2⇒ mE = PQ =

B − b

2.

Diagrama de Veen

E instrutivo recordar, atraves de um diagramade Veen, a relacao de inclusao dos conjuntos es-peciais de quadrilateros introduzidos. Para istodenote por:

U o conjunto dos quadrilateros convexos,P o conjunto dos paralelogramos,T o conjunto dos trapezios,R o conjunto dos retangulos,L o conjunto dos losangos,Q o conjunto dos quadrados.Em primeiro lugar observe que o conjunto T

dos trapezios e um subconjunto do conjunto Udos quadrilateros convexos. Isto e, T ⊂ U . Paraos demais conjuntos, valem P ⊂ T , R ⊂ P ,L ⊂ P e Q ⊂ (R ∩ L).

Estas propriedades podem ser representadasnum unico diagrama de Veen.

Q

TP

R L

U

Figura 29: Diagrama de Veen

51

Exercıcios

1. Qual o numero de diagonais que se podetracar a partir de um vertice de umicosagono?

2. Determine o numero de lados de umpolıgono que tem 44 diagonais.

3. Calcule o numero de diagonais de umpolıgono regular cujo angulo interno e o tri-plo do angulo externo.

4. Calcule a medida do angulo interno de umpolıgono regular que tem 54 diagonais.

5. A medida do angulo interno de um polıgonoregular e 140◦. Sabendo que o lado dessepolıgono mede 3 cm, quanto mede o seuperımetro?

6. Determine o numero de lados de umpolıgono cujo numero de diagonais excedede 25 o numero de lados.

7. A diferenca entre os numeros de lados dedois polıgonos e 3. O total de diagonaisdesses polıgonos e 9. Um desses polıgonose:

a) eneagono b) pentagono c) quadrilaterod) octogono e) triangulo

8. Num polıgono regular os vertices A, B e Csao consecutivos. Suponha que a diagonalAC forma com o lado BC um angulo de 30◦.Calcular o numero de lados e de diagonaisdo polıgono.

9. Num polıgono regular A, B e C sao verticesconsecutivos. Determinar o numero de la-dos do polıgono sabendo que as bissetrizesde AP e CP dos angulos A e C formam um

angulo que vale29

do seu angulo interno.

10. As mediatrizes de dois lados consecutivosAB e BC de um polıgono regular formamum angulo de 24◦. Veja a Figura 30. De-termine o numero de lados desses polıgono.

D

C

A B

240

Figura 30: Polıgono regular

11. Quando variamos o numero de lados de umpolıgono convexo permanece constante:

a) o perımetro;b) a soma dos angulos internos;c) a soma dos angulos externos;d) o numero de diagonais;e) nada podemos afirmar.

12. Na Figura esta representado um polıgonoregular. Os prolongamentos dos lados ABe CD formam um angulo reto. Determinaro numero de diagonais do polıgono.

D

C

A

B

13. Duas bissetrizes internas de dois angulosconsecutivos de um polıgono regular de nlados formam um angulo dado por:

a)180◦

nb)

360◦

nc)

180◦(n − 2)n

d)90◦(n − 2)

ne)

90◦

n

14. Qual a diferenca entre o numero de diago-nais de um polıgono de (k − 1) lados e deum outro polıgono de (k − 2) lados.

15. (CESGRANRIO) Na figura ABCDE e umpolıgono regular. Determine a medida doangulo CAD.

16. (UFF -97 - 1a Fase) A razao entre o ladodo quadrado inscrito e o lado do quadradocircunscrito de raio R e:

a)13

b)12

c)√

33

d)√

22

e)√

2

52

17. (UERJ - 96 -1a Fase) Na figura abaixo,AB e AC sao, respectivamente, lados dotriangulo equilatero e do quadrado inscritosna circunsferencia de raio r. Com centro emA, tracam-se os arcos de circunferencia BB′

e CC′, que interceptam a reta t em B′ e C′.

A medida que esta mais proxima do com-primento do segmento B′C′ e:

a) o perımetro do quadrado de lado AC.

b) o comprimento da semicircunferencia deraio r.

c) o dobro do diametro da circunferencia deraio.

d) o semiperımetro do triangulo equilaterode AB.

18. (UFF - 92 - 2a Fase) Um senhor aposentado,que possui um jardim circular cercado dearame, deseja modificar-lhe a forma de es-trela, devera ser obtido marcando-se 8 pon-tos no contorno original, de modo a formarum octogono regular. A partir dele, seraconstruıda a estrela, com todos os 16 ladosiguais, conforme a figura a seguir:

O

A1

A2 A3

A4

A5

A6

A7A8

A9

A10A11

A12

A13

A14

A15 A16

Nao dispondo de recursos para comprarmais arame, este senhor quer saber se oarame originalmente usado e suficiente paracercar o novo jardim.

Diga se isto e possıvel, justificando a suaresposta.

19. (UFF-97 - 1a Fase) A figura abaixo, repre-senta duas circunferencia C e C′ de mesmoraio r.

M

C CN

Se MN e o lado comum de hexagonos regu-lares inscritos em C e C′, entao o perımetroda regiao sombreada e:

a)10πr

3b)

πr

3c)

2πr

3d) 4πr e) 2πr

20. (UFF - 92 - 1a Fase) A figura abaixo re-presenta uma circunferencia de centro O ediametro PQ = 4

√3 cm.

M

N

P QJO

Se MN e o lado do hexagono regular ins-crito na circunferencia eMN e perpendicu-lar a PQ, a medida do segmento PM , emcm e:

a) 2√

3(2 +√

3) b) 2√

3(2 −√3)

c)√√

3(12 −√3) d)

√√3(12 +

√3)

e)√

2(√

3 + 12)

21. No trapezio ABCD da figura tem-se, AD =DC = CB e AC = AB. Determine a me-dida do angulo B

A B

CD

22. Do trapezio ABCD da figura sabe-se queA = B = 60◦; AB = 10 cm. AC ⊥ BC.Calcule o perımetro do trapezio.

A B

CD

53

23. Do trapezio ABCD sabe-se que: A = B =600; AD = 10 cm; CD = 8 cm. Calcule abase media do trapezio.

24. ABCDE e um pentagono regular e ABMNe um quadrado. Determine a medida dosangulos CBM e DBN .

A B

C

D

E N M

25. Na figura, determine o valor de α, sabendoque ABCD e um quadrado e ABP e umtriangulo equilatero.

P

D C

A B

�

26. As diagonais de um trapezio retangulo me-dem respectivamente 9 cm e 12 cm. Calculeo perımetro do quadrilatero convexo cujosvertices sao os pontos medios dos lados dotrapezio.

27. Calcule o valor de x no trapezio abaixo.

2

x

14

2�

�

28. Na figura abaixo, ABC e um trianguloisosceles de base BC e ACDE um qua-drado. Calcule a medida do angulo x.

A

B

C D

E

x

29. (UNIRIO 93 - 1a Fase) Q, T, P, L, R e Ddenotam, respectivamente o conjunto dosquadrilateros, dos trapezios, dos paralelo-gramos, dos losangos, dos retangulos e dosquadrados. De acordo com a relacao de in-clusao entre esses conjuntos, a alternativaverdadeira e:

a) D ⊂ R ⊂ L ⊂ Pb) D ⊂ L ⊂ P ⊂ Qc) Q ⊂ P ⊂ L ⊂ Dd) T ⊂ P ⊂ Q ⊂ R ⊂ De) Q ⊂ T ⊂ P ⊂ L ⊂ R ⊂ C

30. (UNICAMP - 90 - 2a Fase) Mostre queem qualquer quadrilatero convexo o quoci-ente do perımetro pela soma das diagonaise maior que 1 e menor que 2.

31. (CESGRANRIO) Assinale a alternativaque contem a propriedade diferenciadorado quadrado em relacao aos demais qua-drilateros.

a) Todos os angulos sao retos.b) Os lados sao todos iguais.c) As diagonais sao iguais e perpendicularesentre si.d) As diagonais se cortam ao meio.e) Os lados opostos sao paralelos e iguais.

32. (UNESP 91) Seja ABCD um retangulocujo lados tem as seguintes medidas: AB =CD = 6 cm e AC = BD = 1, 2 cm. SeM e o ponto medio de AB, entao o raioda circunferencia determinada pelos pontosC, M e D medem:

a)] 4,35 cm b) 5,35 cm c) 3,35 cmd) 5,34 cm e) 4,45 cm

33. (IBMEC 95) Uma folha de papel retangularABCD tem AD = 1 m. Dobrando-se afolha no segmento AM , os pontos A, B e Dficam colineares, como se verifica abaixo:

54

Se os retangulos ABCD e MCDB sao se-melhantes, a medida do lado CD, em me-tros, e igual a:

a)√

52

b)√

5 − 12

c)√

22

d)12

e)√

2 − 12

34. (UFF - 96 - 1a Fase) Sendo Q um qua-drilatero, pode-se afirmar que:

a) Q e um retangulo e um losango.b) Q e um retangulo ou um losango.c) Se Q e um losango entao Q e um qua-drado.d) Se Q e um quadrado entao Q e umretangulo.e) Se Q e um retangulo entao Q e um qua-drado.

35. (UNICAMP - 88 - 2a Fase) Sejam L e l ocomprimento e a altura, respectivamente,de um retangulo que possui a seguinte pro-priedade: eliminando-se desse retangulo umquadrado de lado igual a largura l, resultaum novo retangulo semelhante ao primeiro.

Demonstre que a razaol

Le o numero σ =√

5 − 12

chamado “Razao Aurea”.

36. (UNIFICADO) O perımetro do trapezioretangulo da figura e:

a) 17 m

b) 18 m

c) 20 m

d) 21 m

e) 22 m

3m

4m

6m

55


1. 17

2. 11

3. 20

4. 150◦

5. 27 cm

6. n = 10

7. (e)

8. 6 lados e 9 diagonais.

9. 20 lados

10. 15

11. (c)

12. 8

13. 6

14. k = 3

15. 12 ou 30

16. (d)

17. (b)

18. demonstracao

19. (a)

20. (a)

21. 72◦

22. 25 cm

23. 13 cm

24. 18◦e27◦

25. α = 150◦

26. 21 cm

27. x = 10

28. x = 45◦

29. (b)

30. demonstracao

31. (c)

32. (a)

33. (b)

34. (d)

35. demonstracao

36. (b)

56

Aula 15 – Areas

1. Introducao

Para muitos subconjuntos do plano, e possıvelcalcular a area. Exemplo sao os interiores depolıgonos, de cırculos, elipses, etc... Apresenta-mos, na Figura 1, alguns objetos para os quaise possıvel medir a area.

Figura 1: Figuras no plano

Mas, como calcular a area?Vamos comecar fazendo uma comparacao en-

tre comprimento e area. Para medir com-primento de segmentos usamos um segmentounitario padrao (a unidade de comprimento). Amedida de um segmento sera dada pelo numerode vezes que a unidade e partes de unidade ca-bem no segmento.

Por exemplo, escolhendo AB como segmentounitario, acompanhe pela Figura 2, a medida dosegmento CD. Veja que em CD cabem 3 vezeso segmento AB, consecutivamente e ainda maisa quinta parte deste segmento.

A C

1

B D

Figura 2: Medidas de segmentos

Portanto, a medida do segmento e,

CD = 3 +15

=165

Neste momento, precisamos fazer um co-mentario. Uma vez escolhido um segmento ABcomo unidade, existem segmentos que nao po-dem ser medidos do modo como estipulamos.Considere, por exemplo, um quadrado ABCDonde um dos lados e o segmento unitario AB.

Portanto o quadrado tem todos os lados me-dindo 1. No entanto, a diagonal AD nao podeser medida pelo processo que estamos traba-lhando. Nesta situacao, o segmento AD e ditoincomensuravel com o segmento AB. E precisodesenvolver outras tecnicas como a expansao de-cimal, o que leva a teoria de somas com infini-tos numeros de parcelas, para se conferir umamedida ao segmento AD, diagonal. Veja a Fi-gura 3.

1

1A

B D

C

2

Figura 3: Segmentos incomensuraveis

Para medir areas de figuras planas escolhemosum quadrado como unidade de area (os lados doquadrado medem 1). A area de uma figura edada pelo numero de vezes que o quadrado uni-dade e partes dele cabem na figura. Abaixo apre-sentamos, na Figura 4, um quadrado de lado ABrepresentando a unidade e seu uso para medir aarea de um retangulo.

1 1 1

4

1/3 1/3 1121

A B

Figura 4:

Nesta situacao encontramos que

Area (retangulo) = 2 +23

+14

+112

= 3

Os mesmos comentarios que fizemos sobrea existencia de segmentos incomensuraveis saopertinentes no calculo de areas. Isto e, o pro-cesso de medir areas como introduzido nao eexato. Vamos deixar para aprofundar o assuntona disciplina Geometria Basica.

57

Os princıpios ou postulados que orientam ateoria sobre area de figuras planas sao:

(I) Duas figuras planas congruentes possuem amesma area.

(II) Se uma figura A e obtida pela uniao dis-junta de duas figuras B e C, entao area(A)= area(B) + area(C).

Notas

(1) Estamos trabalhando apenas com figuraspara as quais e possıvel medir a area.

(2) Falamos sobre congruencia de figuras.Grosseiramente, duas figuras congruentessao aquelas que podem ser superpostas umasobre a outra com coincidencia total. Dei-xamos o aprofundamento da questao para adisciplina de Geometria Basica.

2. Formulas principais

Em seguida vamos representar, ilustrar as fi-guras geometricas estudadas ate agora e ao ladoescrever a formula que permite o calculo da area.Em alguns casos, faremos breve justificativa. Atonica, no entanto, e deixar para aprofundarmais o assunto na disciplina Geometria Basica.Por enquanto, o foco principal que desejamos eo operacional, a resolucao de problemas.

2.1 Quadrado

�

�

��S = l2

2.2 Retangulo

b

h S = b · h

2.3 Paralelogramo

b

h

A

B C

D

a

�

Spar = b.hSpar = a b sen θ

Justificativa: Para a figura particular repre-sentada, notamos a seguinte congruencia detriangulos:

bA

B C

D

a

�

FE

�ABE ≡ �CDF , os quais possuem a mesmaarea. A congruencia implica que AE = DF eentao EF = b.

Spar = area(�ABE) + area(EBCD) == area(�CDF ) + area(EBCD) == area(EBCF ) = EFh = bh.

Por outro lado, no triangulo retangulo�BEA, temos que

BE = a sen θ ⇒ Spar = a b sen θ.

Nota: A justificativa do calculo da area apresen-tada partiu de uma construcao feita sobre o pa-ralelogramo. Na argumentacao, foi crucial queo pe da perpendicular tracada de B a reta su-porte do lado AD caısse no interior do segmentoAD. Veja a Figura anterior e o ponto E, pe daperpendicular. Mas, para certos paralelogramosisto nao ocorre. Como justificar em todas assituacoes a formula da area do paralelogramo?Pedimos mais uma vez que voce aguarde pararesolver esta questao no ambito da disciplinaGeometria Basica.

2.4 Triangulos

h

b

h

b

Stri =b.h

2

Justificativa: Tome um triangulo �ABC qual-quer e construa paralelas como indicado, na fi-gura abaixo. Isto e, EC ‖ AB.

A

B C

E

h

b

Stri =12

area(AEBC) =12

b · hPudemos escrever a fomula acima justificadapela congruencia �ABC ≡ �CEA.

58

2.5 Outras expressoes para area do trian-gulo

i) a, b (lados) e α (angulo entre os lados a e b)

a

b�

S =ab senα

2

ii) triangulo equilatero

�

� �

S =l2√

34

iii) a, b e c (medida dos lados do triangulo) e p osemi-perımetro

a

bcS =

√p(p − a)(p − b)(p − c),

onde: p =a + b + c

2.

Nota: p e dito semi-perımetro.

iv) a, b, c medida dos lados e r (raio do cırculoinscrito)

RS = p · r

v) a, b, c medida dos lados e R (raio do cırculocircunscrito)

Ra

bcS =

abc

4R

2.6 Losango

D

d

Slos =dD

2

2.7 Trapezio

B

b

hStrap =

(b + B)h2

2.8 Cırculo

r Sc = πr2

2.9 Coroa circular

OR r S = πR2 − πr2

2.10 Setor circular

r

r

�

360o ...... πr2

α ...... Ssetor

Ssetor =πr2.α

360o

2.11 Segmento circular

r

r

� Sseg = Ssetor − Stri

59

Exercıcios

1. (UFRJ - 2001 - Nao Especıfica) As cincocircunferencias da figura sao tais que a in-terior tagencia as outras quatro e cada umadas exteriores tambem tangencia duas dasdemais exteriores.

Sabendo que as circunferenca exteriorestem todas raio 1, calcule a area da regiaosombreada situada entre as cinco circun-ferncias.

2. (UNICAMP - 2002) Seis cırculos, todos deraio 1 cm, sao dispostos no plano conformemostram as figuras a seguir.

A B

C

M N

Q P

(a) Calcule a area do triangulo ABC.(b) Calcule a area do paralelogramo

MNPQ e compare-a com a area dotriangulo ABC.

3. (FUVEST - 2001 - 1a Fase) Na figuraabaixo, a reta r e paralela ao segmento AC,sendo E o ponto de interseccao de r com areta determinada por D e C. Se as areas dostriangulos ACE e ADC sao 4 e 10, respec-tivamente, e a area do quadrilatero ABEDe 21, entao a area do triangulo BCE e:

a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10

4. (UFRJ - 2002) A figura abaixo mostra duascircunferencias que se tangenciam interior-mente. A circunferencia maior tem centroem O. A menor tem raio r = 5 cm e etangente a OA e a OB. Sabendo-se que oangulo AOB mede 60o, calcule a medida doraio R da circunferencia maior.

r

RO

A B

5. (FUVEST - 2001) Um lenhador empilhou 3troncos de madeira num caminhao de lar-gura 2,5 m, conforme a figura abaixo. Cadatronco e um cilindro reto, cujo raio da nasemede 0,5 m. Logo, a altura h, em metros,e:

h

2,5

a)1 +

√7

2b)

1 +√

73

c)1 +

√7

4

d) 1 +√

73

e) 1 +√

74

6. (FUVEST 2000) Na figura seguinte, estaorepresentados um quadrado de lado 4, umade suas diagonais e uma semicircunferenciade raio 2. Entao a area da regiao hachuradae:

7. (Fuvest - 2000) Um trapezio retangular tembases 5 e 2 e altura 4. O perımetro dessetrapezio e:

a) 13 b) 14 c) 15 d) 16 e) 17

60

8. (UFRJ - 2001) O retangulo esta inscrito noretangulo WXY Z, como mostra a figura.Sabendo que AB = 2 e AD = 1, determineo angulo θ para que a area de WXY Z sejaa maior possıvel.

A

X

B

YC

Z

D

W�

9. (FUVEST - 2000) Na figura abaixo,ABCDE e um pentagono regular. A me-dida, em graus, do angulo α e:

a) 32o

b) 34o

c) 36o

d) 38o

e) 40o

A

B

C D

E�

10. (FEI - 93) Na figura abaixo, ABC e umtriangulo equilatero com area de 16 cm2.M, N e P sao pontos medios dos lados destetriangulo. A area, em cm2, do quadrilateroAMPN e:

A

B CP

M N

a) 4 b) 6 c) 8 d) 10 e) 12

11. (UNICAMP - 91) Na planta de um edifıcioem construcao, cuja escala e 1:50 as di-mensoes de uma sala retangular sao 10 cm e8 cm. Calcule a area real da sala projetada.

12. (UNESP - 92) O angulo central AOB refe-rente ao cırculo da figura mede 60o e

−−→OX

e sua bissetriz. Se M e o ponto medio doraio OC e OC =

√5 cm, calcular a area da

figura hachurada.

O M

A

B

C X

13. (UERJ - 91) Na figura abaixo, os trescırculos tem raio 1 e sao tangentes dois adois. Calcule a area delimitada pelos arcosAB, BC, CA.

A

BC

14. (UFRJ - 88) A figura abaixo mostra doisarcos de circunferencia de centro O, raios Re 2R, e tres angulos iguais.

Calcule a razao entre as areas das regioeshachurada e nao hachurada.

O R R

15. (PUC - 93) Dois lados de um triangulo me-dem, respectivamente, 5 cm e 6 cm. O valormaximo que pode ter a area desse trianguloe de:

a) 11 cm2 b) 15 cm2 c) 20 cm2

d) 25 cm2 e) 30 cm2

61

16. (UNI-RIO - 94) Na figura abaixo, ABCD eum retangulo.

A

B C

D

E

F

a) Qual a medida do segmento EF ?

b) Qual a area do triangulo AED ?

17. (UFRJ - 92 - Nao Especıfica)

4cm

13cm450

2 2cm

Para o trapezio representado na figuraacima, calcule:

a) a altura; b) a area.

18. (UNICAMP - 98) Os lados de um triangulomedem 5, 12 e 13 cm.

a) Calcule a area desse triangulo.

b) Encontre o raio da circunferencia inscritanesse triangulo.

19. (FUVEST - 98) Dois angulos internos deum polıgono convexo medem 130o cada ume os demais angulos internos medem 128o

cada um. O numero de lados do polıgono e:

a) 6 b) 7 c) 13 d) 16 e) 17

20. (FUVEST - 98) As retas t e s sao paralelas.A medida do angulo x, em graus, e

a) 30 b) 40 c) 50 d) 60 e) 70

X

t

s

1400

1200

21. (UNI-RIO - 94) A area da regiao hachurada,na figura abaixo, onde ABCD e um qua-drado e o raio de cada circunferencia mede5 cm, e igual a:

A

B

D

C

a)25(4 − π)

2cm2 b) 25(π − 2) cm2

c) 25(4 − π) cm2 d)25(π − 2)

2cm2

e)5(4 − π)

4cm2

22. (UERJ - 94) Observe a figura abaixo(ABCD), que sugere um quadrado de ladoa, onde M e N sao, respectivamente, ospontos medios dos segmentos CD e AD, eF a intersecao dos segmentos AM e BN .

Utilizando esses dados, resolva os itens ae b y

xA

N

CD

B

a

M

a) Demonstre que o angulo AFN e reto.

b) Calcule a area do triangulo AFN emfuncao de a.

23. (UFF - 93) Os raios (em cm) dos trescırculos concentricos da figura sao numerosnaturais e consecutivos.

Sabendo que as areas assinaladas sao iguais,pode-se afirmar que a soma dos tres raios e:

a) 6 cm b) 9 cm c) 12 cmd) 15 cm e) 18 cm

62

24. (UFF - 89) Cortando-se pedacos quadradosiguais nos vertices de uma cartolina retan-gular de 80 cm de comprimento por 60 cmde largura, obtem-se uma figura em formade cruz. Se a area da cruz for a terca parteda area retangular original o tamanho dolado de cada quadrado e igual a:

a) 5√

2 cm b) 10√

2 cm c) 15√

2 cmd) 20

√2 cm e) 25

√2 cm

25. (UNIFICADO - 86) Seja√

3 a medida dolado do octogono regular da figura. Entao,a area da regiao hachurada e:

a) 3(√

3 − 1)

b) 4(√

3 − 1)

c) 3(1 +√

2)

d) 2(1 +√

3)

e) 2(√

2 +√

3)

26. (UNIFICADO - 94)

O polıgono acima, em forma de estrela, temtodos os lados iguais a 1 cm e todos osangulos iguais a 60o ou 240o. Sua area e:

a) 3 cm2 b) 3√

3 cm2 c) 6 cm2

d) 6√

3 cm2 e) 9 cm2

27. (PUC - 96) Duplicando-se a raio de umcırculo.

a) A area e o comprimento ficam ambos du-plicados;

b) A area fica duplicada e o comprimentofica quadruplicado;

c) O comprimento fica multiplicado por 2π;

d) A area fica multiplicada por 4π;

e) A area fica quadruplicada e o compri-mento fica duplicado.

28. (FUVEST - 2000) Na figura, ABC e umtriangulo retangulo de catetos AB = 4 eAC = 5. O segmento DE e paralelo a AB,F e um ponto de AB e o segmento CFintercepta DE no ponto G, com CG = 4e GF = 2. Assim a area do trianguloCDE e:

a)163

b)356

c)398

d)409

e)709

A F B

D EG

C

29. A figura abaixo e um quadrado e AB =4. Calcule a area, interior ao semi-cırculo,indicada.

A B

30. (UNIFICADO - 88) Se as duas diagonais deum losango medem, respectivamente, 6 cme 8 cm entao a area do losango e:a) 18 cm2 b) 24 cm2 c) 30 cm2

d) 36 cm2 e) 48 cm2

31. (UFF - 95) A circunferencia representadaabaixo tem raio 2cm e os diametros AB eCD, perpendiculares. Como centro em C e

raio CA foi tracado o arco�AB.

A B

C

DDetermine a area da regiao assinalada.

32. (UNIFICADO 87) De uma placa circular deraio 3, recorta-se um triangulo retangulo demaior area possıvel. A area do restante daplaca vale:a) 9π − 9 b) 6π − 9 c) 9π − 10d) 9π − 12 e) 6π − 6

63


1. A = 4 − 4π + 2√

2π

2. a) (7√

3 + 12) cm2

b) AMNPQ =20

√3

3+ 12 <

< AABC = (7√

3 + 12)

3. b

4. 15 cm

5. e

6. b

7. d

8. θ = 45o

9. c

10. c

11. 20 m2

12. S =512

(2π − 3)

13. S −√3 − π

2

14.57

15. b

16. a) 2,8 cm, b) 8,64 cm2

17. a) 2 cm b) 17 cm

18. a) 30 cm2 b) 2 cm

19. b

20. e

21. a

22. a) Demonstracao b)a2

20u.a.

23. c

24. d

25. c

26. b

27. e

28. d

29. 4π + 2

30. b

31. S = (2π − 4) cm2

32. a

64

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