Apostila_Teoria Das Estruturas Parte1_Final

TEORIA DAS

ESTRUTURAS I

Parte 1

Notas de Aula – CIV208

Ricardo Azoubel da Mota Silveira

Colaboração: A ndréa R egina D ias da Silva

B runo Palhares

Departamento de Engenharia Civil

Escola de Minas

Universidade Federal de Ouro Preto

2008

SUMÁRIO

1. Introdução

1.1. Engenharia Estrutural .................................................................................... 1

1.2. Projetos de Engenharia ................................................................................ 16

1.3. Análise Estrutural ......................................................................................... 16

1.4. Importância: Teoria das Estruturas ............................................................... 17

2. Fundamentos

2.1. Sistema de Referência: Cartesiano .............................................................. 18

2.2. Momento de uma Força/Regra da Mão Direita ............................................. 18

2.3. Equações de Equilíbrio ................................................................................ 19

2.4. Transmissão de Forças ................................................................................ 19

2.5. Idealização: Modelos ................................................................................... 20

2.6. Princípio da Superposição ........................................................................... 20

2.7. Tipos de Esforços (Forças) Atuantes ........................................................... 20

2.8. Tipos de Apoio ............................ ............................................................... 21

2.9. Reações de Apoio ........................... ........................................................... 21

2.10. Esforços (Forças) Seccionais ....................................................................... 22

2.11. Convenção Clássica de Sinais ..................................................................... 22

2.12. Classificação das Estruturas de Barras ........................................................ 23

2.13. Vigas ............................................................................................................ 24

2.13.1. Vigas Isostáticas .......................................................................................... 25

2.13.2. Vigas Gerber ................................................................................................ 26

3. Sistemas Estruturais

3.1. Tipos de Apoio ............................ ............................................................... 27

3.2. Vigas e Pórticos (Quadros) .......................................................................... 27

3.3. Arcos ........................................................................................................... 31

3.4. Treliças ........................................................................................................ 38

3.5. Grelhas ........................................................................................................ 44

4. Pórticos (Quadros) Isostáticos

4.1. Introdução .................................................................................................... 49

4.2. Pórticos Biapoiados ..................................................................................... 52

4.3. Pórticos Engastados-Livres .......................................................................... 52

4.4. Pórticos Triarticulados .................................................................................. 53

4.5. Pórticos Biapoiados com Articulação e Tirante (Escora) .............................. 53

4.6. Pórticos Compostos ..................................................................................... 54

4.7. Estabilidade ................................................................................................. 59

4.8. Grau de Indeterminação .............................................................................. 61

4.9. Barras Inclinadas ......................................................................................... 63

4.10. Pórticos com Barras Curvas (Arcos) ............................................................ 68

4.11. Arcos Triarticulados ..................................................................................... 68

4.12. Pórticos Espaciais ........................................................................................ 76

Referências Bibliográficas ................................................................................. 79

1. INTRODUÇÃO1. INTRODUÇÃO

Teoria das Estruturas I 1

• Passarelas

1.1. ENGENHARIA ESTRUTURAL

INTERFACE COM DIVERSAS DISCIPLINAS

a) Exemplos de projetos que envolvem Engenharia Estrutural

• Concepção

• Projeto

• Construção do sistema estrutural

INTRODUÇÃO

Teoria das Estruturas I

(Av. Nossa Senhora do Carmo, BH)

2

INTRODUÇÃO


INTRODUÇÃO

Termoelétrica de Cogeração Cemig – V&M Tubes do Brasil


• Termoelétricas

INTRODUÇÃO


• Parque de Exposições

INTRODUÇÃO


• Pontes

INTRODUÇÃO



INTRODUÇÃO

• Galpões

INTRODUÇÃO


• Edifícios Residenciais

INTRODUÇÃO


• Edifícios Comerciais

• Escolas

INTRODUÇÃO


• Barragens

• Estruturas Offshore

INTRODUÇÃO


• Estruturas Offshore

• Veículos

INTRODUÇÃO

Catedral Metropolitana - DFOscar Niemeyer


Millenium Dome GreenwichTensoestrutura

13

• Outros

INTRODUÇÃO


Pavilhão de Exposições em Leipzig

14

INTRODUÇÃO


Terminal Marítimo de Ponta da Madeira – CVRD

15

INTRODUÇÃO


• Concepção

• Projeto preliminar

� Importante participação do engenheiro estrutural.

� Definição da construção propriamente dita (aço, concreto, madeira, bambu,

alvenaria, tenso-estruturas, etc).

• Seleção

� Escolha da alternativa com melhor relação custo/benefício.

� Papel importante do eng. calculista.

• Projeto Final

� Análise estrutural precisa.

� Detalhamento completo com desenhos e especificações.

• Construção

� Fabricação e transporte quando necessário.

1.2. PROJETOS DE ENGENHARIA

� Em conjunto com o cliente, arquitetos, planejadores e outros.

� Época de grandes transtornos.

Processo pelo qual o Engenheiro Estrutural determina a resposta da estrutura a

partir de determinadas ações ou cargas.

1.3. ANÁLISE ESTRUTURAL

INTRODUÇÃO


Conceitos Fundamentais

Disciplinas Eletivas

1.4. IMPORTÂNCIA: TEORIA DAS ESTRUTURAS I

• Matriciais: A partir da utilização e evolução dos computadores. Por exemplo,

Método dos Elementos Finitos (MEF), Método das Diferenças Finitas (MDF) e

Método dos Elementos de Contorno (MEC).

• Clássicos: Surgiram da necessidade da época, com certo avanço tecnológico

(Método de Cross).

Métodos de AnáliseMétodos de Análise

Serão apresentados os métodos matriciais com as suas respectivas formas de

programação.

Serão obtidos através dos métodos clássicos aplicados a problemas de pequeno

porte que deverão ser resolvidos manualmente.

2. FUNDAMENTOS2. FUNDAMENTOS


2.1. SISTEMA DE REFERÊNCIA: CARTESIANO

2.2. MOMENTO DE UMA FORÇA / REGRA DA MÃO DIREITA

FUNDAMENTOS

a. No plano

∑ XF = 0

∑ YF = 0

b. No espaço

∑ ∑ ∑X Y ZF = 0, F = 0, F = 0

∑ ∑ ∑X Y ZM = 0, M = 0, M = 0

∑ AM = 0

Estrutura

coluna

viga

laje

Fundações


2.3. EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO

2.4. TRANSMISSÃO DE FORÇAS

externos

seccionais ou solicitantes internos

ativos

reativos

permanentes

acidentaisestáticos

dinâmicos


FUNDAMENTOS

2.5. IDEALIZAÇÃO: MODELOS

2.6. PRINCÍPIO DA SUPERPOSIÇÃO

2.7. TIPOS DE ESFORÇOS (FORÇAS) ATUANTES

+=

P PF F

Representação unifilar

Eixo geométrico

Seção Transversal

R RR R

pp

Representação adotada nesta

apostilageométrico deformado

Tangente ao eixo

Barra deformada

R R

p

RRepresentações Denominações Reações Deslocamentos Livres

Articulado móvel ou apoio de

rolete (no espaço

bidimensional)

Vertical Horizontal e rotação

Articulado fixo (no espaço

bidimensional)Horizontal e vertical Rotação

Engaste ou fixo (no espaço

bidimensional)

Horizontal, vertical e

momentoNenhum

Engaste no espaço

tridimensional

Forças e momentos

segundo três eixos

ortogonais

Nenhum

Articulado esférico fixoForças segundo três

eixos ortogonaisRotações

Articulado esférico móvel Vertical Horizontais e rotações

Luva ou com guia de

deslizamentoVertical e momento Horizontal

PatimHorizontal e

momentoVertical


Denominações Reações

Articulado móvel (no plano XY)

Articulado fixo (no plano XY)

Engaste (no plano XY)

Engaste no espaço tridimensional

Articulado esférico fixo

Articulado esférico móvel

Luva

Patim

FUNDAMENTOS

2.8. TIPOS DE APOIO

2.9. REAÇÕES DE APOIO

• Esforço ou força normal N

• Esforço ou força cortante V

• Momento fletor M

• Momento de torção T

a) Deformações

Esforço normal Esforço cortante Momento fletor Momento de torção

Esforço normal

Momento fletor

Esforço cortante

Momento de torção


FUNDAMENTOS

Seção transversal

2.10. ESFORÇOS (FORÇAS) SECCIONAIS

2.11. CONVENÇÃO CLÁSSICA DE SINAIS

• Viga

• Pórtico (plano e espacial)

• Grelha

• Treliça (plana e espacial)

• Mista com arcos, escoras, tirantes e/ou cabos

(a) Viga biapoiada (b) Viga em balanço (c) Pórtico plano

(d) Pórtico espacial (e) Grelha

(f) Treliça plana (g) Treliça espacial


FUNDAMENTOS

2.12. CLASSIFICAÇÃO DAS ESTRUTURAS DE BARRAS

Em arco inferior

Em arco superior

(h) Mista com arcos, escoras, tirantes e/ou cabos

Em arco superior


FUNDAMENTOS

2.13. VIGAS

(a) Biapoiada (b) Em balanço

(c) Biengastada (d) Contínua de 2 vãos

P

P

p

p

pp

(e) Biapoiada com 1 balanço (f) Contínua de 2 vãos e 2 balanços

(g) Biapoiada com 2 balanços (h) Contínua de 3 vãos

P P

P

p

pp

p

a) Diagramas


FUNDAMENTOS

2.13.1. VIGAS ISOSTÁTICAS

(a) Biapoiada

P

(b) Em balanço

p

(c) Biapoiada com 1 balanço (d) Biapoiada com 2 balanços

p Pp

DMF DMF

DMF


FUNDAMENTOS

2.13.2. VIGAS GERBER

3. SISTEMAS ESTRUTURAIS 3. SISTEMAS ESTRUTURAIS

EM BARRASEM BARRAS

Articulado móvel

(apoio do 1o gênero)

Articulado fixo

(apoio do 2o gênero)

Engaste


3.1. TIPOS DE APOIOS

3.2. VIGAS E PÓRTICOS (QUADROS)

SISTEMAS ESTRUTURAIS EM BARRAS




3.3. ARCOS



3.4. TRELIÇAS



3.5. GRELHAS

(a) A grid derived from a three-way pattern (b) A grid derived from a four-way pattern(a) A grid derived from a three-way pattern (b) A grid derived from a four-way pattern

(c) Removal of dotted lines gives rise

to the pattern of the grid above

(d) Removal of dotted lines gives rise

to the pattern of the grid above



Open or grid type paving units which allows grass to grow up

through the regularly spaced openings

4. PÓRTICOS (QUADROS) 4. PÓRTICOS (QUADROS) ISOSTÁTICOSISOSTÁTICOS

São estruturas reticuladas formadas por várias barras situadas num único

plano, com carregamento atuante no mesmo plano do sistema estrutural.

• Os nós entre as barras são LIGAÇÕES RÍGIDAS ou ROTULADAS.

• Esforços solicitantes numa dada seção: MOMENTO FLETOR (M),

ESFORÇO CORTANTE (V) e ESFORÇO NORMAL (N).

• Pórticos simples ou compostos.

• Barras retilíneas ou curvas (arcos).

Observações


a) Definição a) Definição

b) Exemplos

Pórticos com barras retilíneas

4.1. INTRODUÇÃO

(a) Biapoiado (b) Triarticulado (c) Atirantado, biapoiado e

P P Pp

(a) Biapoiado (b) Triarticulado (c) Atirantado, biapoiado e articulação interna

(d) Em balanço (e) De múltiplos vãos (f) De múltiplis andares

P

P

P

P

P

Pp

p

PÓRTICOS (QUADROS) ISOSTÁTICOS


Pórticos com barras curvas

Pórticos compostos

(a) Biapoiado (b) Biengastado com articulação

pp

(a) Biapoiado

(c) Triarticulado

(b) Biengastado com articulação

(d) Atirantado

pp


1. Momento Fletor (DMF)


2. Esforços Cortantes (DEC) e Esforços Normais (DEN)

51

Pórticos espaciais

c) Diagramas de esforços solicitantes

Obtenção imediata dos diagramas a partir do conhecimento das reações de

apoio.

Obter os momentos fletores atuantes nos nós das barras e, em seguida, ligá-los

por uma linha reta tracejada. A partir dessa linha reta, penduram-se os

diagramas de vigas biapoiadas referentes aos carregamentos que atuam sobre

cada uma das barras que constituem o quadro.


Exemplo: Pede-se as reações e os diagramas (DMF, DEC e DEN).



4.2. PÓRTICOS BIAPOIADOS

4.3. PÓRTICOS ENGASTADOS-LIVRES

C D E

H

F

A

G

H

B

DE F

A

C

B




N

N

Escor

a

N

N

Tirante

53

a) Escoras e tirantes

4.4. PÓRTICOS TRIARTICULADOS

4.5. PÓRTICOS BIAPOIADOS COM ARTICULAÇÃO E TIRANTE (OU ESCORA)

Definição: Uma barra biapoiada sem carregamento aplicado diretamente sobre

ela que funciona como uma ligação do primeiro gênero, na qual surgem apenas

forças na direção do seu eixo (esforço normal).

Quando a barra está COMPRIMIDA, diz-se que é uma ESCORA. Quando estáQuando a barra está COMPRIMIDA, diz-se que é uma ESCORA. Quando está

TRACIONADA, diz-se que é um TIRANTE.


b) Exemplo: Pede-se as reações e os diagramas (DMF, DEC e DEN)

a) Definição: São estruturas formadas através de associações de quadros simples.

Quadro Composto


Quadros Simples

54

4.6. PÓRTICOS COMPOSTOS

CD

E F

A

CD

B



b) Solução

1. Decompor o quadro composto original em quadros simples.

2. Verificar quais os quadros com e sem estabilidade própria.

3. Resolver primeiro os quadros simples sem estabilidade própria para o

carregamento atuante sobre eles.carregamento atuante sobre eles.

4. Resolver em seguida os quadros simples com estabilidade própria para o

carregamento atuante sobre eles, acrescidos das forças transmitidas pelas

rótulas.

Quadro Composto

Quadros Simples

Exemplos:



Quadro Composto

Quadros Simples

Quadro Composto

Quadros Simples


c) Exemplo

Quadro Composto


: Pede-se as reações e os diagramas (DMF, DEC e DEN).

Quadro Composto

Quadros Simples


4.7. ESTABILIDADE

Está relacionado com as restrições impostas à estrutura (vigas, quadros,

pórticos, etc), ou se a estrutura é geometricamente instável ou estável.

Restrições Parciais

Restrições Inadequadas


r = número de incógnitas (reações e forças)

n = número de partes do sistema estrutural

As reações são concorrentes (as linhas de ação das reações se interceptam

um ponto em comum) ou são paralelas.

Situações

59

a) Conceito Básico

<r 3n

≥r 3n

Restrição Parcial

Restrição Inadequada

Restrição Inadequada



1. Restrições Parciais:

2. Restrições Inadequadas:

<r 3n

≥r 3n


(c)

(a)

(b)

(d)

(e)

1. Estrutura Estaticamente Determinada


2. Estrutura Estaticamente Indeterminada

r = número de incógnitas (reações e forças)

n = número de partes do sistema estrutural

61

f) Aplicação

4.8. GRAU DE INDETERMINAÇÃO

a) Conceito Básico

=r 3n

>r 3n

Todas as forças (reações e esforços internos) podem ser avaliadas através das

equações de equilíbrio da mecânica clássica.

As estruturas (vigas, quadros, pórticos, etc) têm mais forças incógnitas do que

equações de equilíbrio da mecânica clássica.

Classifique cada uma das estruturas a seguir como estável ou instável. As

estruturas são submetidas a carregamentos externos conhecidos e que podem

atuar em qualquer lugar.



b) Aplicação

Classifique cada uma das vigas a seguir como estaticamente determinada ou

estaticamente indeterminada. Se estaticamente indeterminada avalie o grau de

indeterminação. As vigas são submetidas a carregamentos externos conhecidos e

que podem atuar em qualquer lugar.

(e)

(a) (b)

(c)

(d)

(f) (g)

(h) (i)


a) CASO A: Força distribuída em uma barra inclinada


4.9. BARRAS INCLINADAS

(j) (k)(j) (k)

(l)

1 x y

1p p= �

� ��

1pp xy2 =Definição de p1 e p2:

Definição de p3 e p4: 3 1 2p p sen p cos= α + α

4 1 2p p cos p sen= − α + α

2

2x

y2

2

y

x3 ppp�

�

�

�+=

2

yx

y2

yx

x4 ppp�

��

�

��+−=

e

�

� xcos =α

�

� ysen =α

�sen =α


b) CASO B: Força distribuída transversal em uma barra inclinada

c) Exemplo 1: Pórtico plano biapoiado com uma barra inclinada.


(i) Reações

∴ AR = 55,625 kN

∴ BR = 74,375 kN

64

cos 3 / 5 0,6α = =

sen 4 / 5 0,8α = =

�

� xcos =α

�

� ysen =α

�sen =α

�

� y

331 psenpp =α=Definição de p1 e p2:�

� x332 pcospp =α=

y

1x pp�

�=

x

2y pp�

�=

3

y

y

3

y

1x pppp ===

�

�

�

�

�

�

3

x

x3

x

2y pppp ===

�

�

�

�

�

�

Definição de p3 e p4:

e

B AM 0 R 8 30(1,5 5) 20 5 2,5 0= ∴ ⋅ − + − ⋅ ⋅ = ∴∑

Y A BF 0 R R 30 20 5 0= ∴ + − − ⋅ = ∴∑


(ii) Esforços solicitantes

• Momento Fletor

• Esforço Cortantes e Normais


DMF (kNm)

DMF

Viga auxiliar

DMF

� Seção A:

� Seção Cd:

A AV R cos 55,625 0,6 33,375 kN= α = ⋅ =

A AN R sen 55,625 0,8 44,5 kN= − α = − ⋅ = −

C' AV V 30cos 33,375 30 0,6 15,375 kN= − α = − ⋅ =

N N 30sen 44,5 30 0,8 20,5 kN= + α = − − ⋅ = −

cos 3 / 5 0,6α = =

sen 4 / 5 0,8α = =

� Seção Dd:

� Seção B:

D AV R 30 55,625 30 25,625 kN= − = − =

DN 0=

B D BV V 20 5 25,625 100 74,375 kN R= − ⋅ = − = − = −

BN 0=

DEC (kN)

DEN (kN)

C' AN N 30sen 44,5 30 0,8 20,5 kN= + α = − − ⋅ = −



d) Exemplo 2: Barra biapoiada inclinada sob força vertical uniformemente distribuída

na horizontal.

e) Exemplo 3: Barra biapoiada inclinada sob força horizontal uniformemente distribuída

na vertical.

DMF DEC DEN

Viga auxiliar

DMF DEC DEN



DMF DEC DEN

f) Exemplo 4: Barra biapoiada inclinada sob força horizontal uniformemente distribuída

ao longo do comprimento da barra.

g) Exemplo 5: Barra biapoiada inclinada sob força vertical uniformemente distribuída

ao longo do comprimento da barra

DMF DEC DEN



4.10. PÓRTICOS COM BARRAS CURVAS (ARCOS)

4.11. ARCOS TRIARTICULADOS

Exemplo: Pede-se as reações e os diagramas de esforços (DMF, DEC e DEN).

P

s

A Bθ

R


Arco: X,Y, A, B, VA, VB, MS, NS, VS

Viga: x, y, a, b, Va, Vb, Ms, Ns, Vs

Notação


a) Estudo

b) Viga biapoiada de substituição

1. Arcos triarticulados com carregamentos atuantes em todas as direções: princípios

gerais da Estática já utilizados.

2. Arcos triarticulados com carregamentos verticais: Viga biapoiada de substituição.


= ⇒ α − α = ∴ = =∑ ' ' ' ' 'X A B A BF 0 H cos H cos 0 H H H

Y A B ii

F 0 V V P 0

= ⇒ + − =

∑ ∑

( ) ( ) = ⇒ + − + − = ∴ ∑ ∑M 0 V l l P l l x 0

(1)

(2)

( ) ( )

( )

( )

= ⇒ + − + − = ∴

+ − =

+

∑ ∑

∑

B A 1 2 i 1 2 ii

i 1 2 ii

A1 2

M 0 V l l P l l x 0

P l l xV

l l(3)

Substituindo (3) em (1):

( )

( )

i 1 2 ii

B i A B ii i 1 2

P l l xV P V V P

l l

+ − = − ∴ = −

+

∑∑ ∑ (4)

( )( )

e

A 1 i 1 i' ' i

A 1 i 1 iGi

V l P l xM 0 V l H cos f P l x 0 H

f cos

− − = ⇒ − α − − = ∴ = α

∑∑ ∑ (5)

y a b ii

F 0 V V P 0

= ⇒ + − =

∑ ∑ (6)

(7)


( ) ( )

( )

( )

b a 1 2 i 1 2 ii

i 1 2 ii

a1 2

M 0 V l l P l l x 0

P l l xV

l l

= ⇒ + − + − = ∴

+ − =

+

∑ ∑

∑



(8)

( )g a 1 i 1 ii

M V l P l x = − − ∑ (9)

Momento fletor no ponto g:

( )

( )

i 1 2 ii

b i a b ii i 1 2

P l l xV P V V P

l l

+ − = − ∴ = −

+

∑∑ ∑

70

c) Equações de equilíbrio

Arco

Viga de substituição


Comparações: Arco x Viga de Substituição

Equações (3) e (7): VA = Va

Equações (4) e (8): VB = Vb

Equações (5) e (9): =g'

MH

f cosα

(10)

(11)

(12)

Conclusão


Simplificando as expressões (14) e (15), tem-se:

71

d) Esforços solicitantes numa seção genérica S

Arco

As reações do arco triarticulado podem ser obtidas analisando-se apenas

a viga de substituição.

( ) 'S A i i

i

M V x P x x H cos y= − − − α∑

' 'S A i

i

V V cos P cos H cos sen Hsen cos= ϕ − ϕ − α ϕ + α ϕ∑

' 'S A iN V sen P sen H cos cos Hsen sen= − ϕ + ϕ − α ϕ − α ϕ∑

(13)

(14)

(15)

( ) 'S A i i

i

M V x P x x H cos y= − − − α∑

( )'S A i

i

V V P cos H sen

= − ϕ − ϕ − α

∑

( )'S A i

i

N V P sen H cos

= − − ϕ − ϕ − α

∑

(16)

(17)

(18)


Análise dos esforços VA e H’:

( )s a i ii

M V x P x x= − −∑

s a ii

V V P= − ∑

sN 0=

Comparações: Arco x Viga de Substituição

(19)

(20)

(21)


Observação: essas expressões permanecem válidas se ocorrerem também

cargas verticais distribuídas.

72

Viga

VA

Seção S

N

V

ϕ

ϕ

ϕ VA

N = - V sen ϕ

V = V cos ϕ

A

A

H’

H’ cos αααα:

Seção S

H' cos α

ϕNN V

ϕ N = - H' cos α cos ϕ

V = - H' cos α sen ϕ

H’ sen αααα:

H' sen α

N

V

ϕ N = - H' sen α sen ϕ

V = H' sen α cos ϕϕ

ϕ

H’

Seção S

= − 'S sM M H cos yαααα

( )= − −'S sV V cos H senϕ ϕ αϕ ϕ αϕ ϕ αϕ ϕ α

( )− − −'S sN = V sen H cosϕ ϕ αϕ ϕ αϕ ϕ αϕ ϕ α

(22)

(23)

(24)


Solução: Na expressão (22), fazendo-se MS = 0, chega-se a:

= ssss''''MMMMyyyy H cosH cosH cosH cosαααα(25)

Demonstração que VS = 0

Derivando-se (25):

E levando-se em conta que:

(26)


(27)

Chega-se, após a substiuição de (27) em (23), a:

73

e) Linha de Pressões: determinação e definição

Problema: Qual a forma de um triarticulado AGB tal que, para um dado

carregamento, todas as seções tenham MF nulo (MS = 0). Isto é,

adotando-se a notação empregada, obter a ordenada y para cada

seção S tal que MS = 0. São dados l1, l2, f e α.

'S sM M H cos y 0= − α =

s

s' '

dMVdy dx

dx H cos H cos

= =

α α

** dy dY dy dy

y Y y tg tg= − ∴ = − ∴ = ϕ − α∴* dy dY dy dyy Y y tg tg

dx dx dx dx= − ∴ = − ∴ = ϕ − α∴

( ) 'ss'

Vdytg tg V tg tg H cos

dx H cos= ϕ − α = ∴ = ϕ − α α

α

( ) ( )' 'SV tg tg H cos cos H sen= ϕ − α α ϕ − ϕ − α ∴

(28)( ) ( )' 'SV H sen H sen 0= ϕ − α − ϕ − α =


Inclinação da tangente ao eixo do arco

triarticulado na seção S (ver figura ou Eq. 27):

(29)

triarticulado na seção S (ver figura ou Eq. 27):

Conclusão: quando um arco triarticulado AGB, para um dado carregamento, está

submetido apenas a esforços normais, dizemos que sua forma é a da linha de

pressões desse carregamento.

(30)

Observações Finais:


2. Arcos triarticulados com concavidade voltada para baixo e carregamento de cima

para baixo: ESFORÇOS NORMAIS sempre de

3. Arcos triarticulados com concavidade voltada para cima e carregamento de cima

para baixo: ESFORÇOS NORMAIS sempre de TRAÇÃO (caso dos CABOS

74

1. No caso da reta AB ser horizontal:

COMPRESSÃO.

).

( ) ( )= + +2 2' '

S sN V H sen Hcosα αα αα αα α

+=

's

'

V H sentg

Hcos

ααααϕϕϕϕ

αααα

Avaliação de NS

g'M

Hf

=

s'

My

H=

sVtgϕ =

(32)

(31)

(33)'

tgH

ϕ =

2 '2S sN V H= +

(33)

(34)



4. Linha de pressões: forma ideal para um arco triarticulado (forma mais econômica de

trabalho estrutural).

5. Linha de pressões para carregamento uniforme: PARÁBOLA do 2º GRAU.

6. Construtores da antiguidade: notável intuição estática (venceram grandes vãos com

arcos e abóbadas de alvenaria de pedra).

7. Arcos triarticulados: encontrados em várias construções.

Arcos biengastados (hiperestáticos): mais utilizados na prática.

f) Aplicação

Deseja-se construir uma estrutura cujo eixo coincida com a linha de pressões do

carregamento indicado na figura a seguir. Pede-se:

a. A linha de pressões.

b. Os esforços normais máximo e mínimo atuantes.

c. A inclinação da tangente ao eixo da estrutura na seção de abscissa x = 2,5 m.


Viga de substituição…??

Viga de substituiçãoArco triarticulado

Calcule as reações e os esforços internos do pórtico espacial mostrado abaixo:


Solução

4.12. PÓRTICOS ESPACIAIS

a) Aplicação


Solução 1: Reações

Forças

Momentos

Solução 2: Esforços Internos

Elemento 3, Nó 3 ao Nó 4 Elemento 2, Nó 2 ao Nó 3


x

y

z

F 0

F 0

F 0

=

=

=

∑∑∑

x

y

z

M 0

M 0

M 0

=

=

=

∑∑∑


Elemento 1, Nó 1 ao Nó 2


REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

Süssekind, J.C., Curso de Análise Estrutural, Vol. 1, 12ª edição, Editora Globo, Porto

Alegre, 1994.

Soriano, H.L. Estática das Estruturas, 1ª Edição, Editora Ciência Moderna, 2007.

Hibbeler, R.C., Structural Analysis, 7ª edição, Prentice Hall, 2008.

Gonçalves, P.B, Conceitos Básicos de Análise Estrutural, Notas de aula, Departamento

de Engenharia Civil, PUC-Rio, Rio de Janeiro, 2003.


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