Apostla Calculo Um 2

1

CALCULO DIFERENCIAL E

INTEGRAL I

NOTAS DE AULAS

Universidade de Sao Paulo

Faculdade de Filosofia, Ciencias e Letras de Ribeirao

Preto

Departamento de Computacao e Matematica

Prof. Dr. Jair Silverio dos Santos

Contents

0.0.1 Progressao Geometrica e Juro Composto . . . . . . . . . . . . . . . . 50.0.2 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1 FUNCOES 91.1 Relacao entre conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.1.1 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2 Grafico de Funcao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2.1 Funcoes Lineares e Quadraticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2.2 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2.3 Inequacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2.4 Funcao Modulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.2.5 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.2.6 Polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.2.7 Metodo da Chave para Divisao de Numeros . . . . . . . . . . . . . . 201.2.8 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.2.9 Funcoes Pares e Impares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.2.10 Composicao de Funcoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.2.11 Oferta e Demanda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.2.12 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.2.13 Funcao exponencial e funcao logartmica . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.3 Funcoes Limitadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.3.1 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2 Limite 352.0.2 Propriedades de Limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.0.3 Limites Laterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.0.4 Limites no Infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.0.5 Limites Infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.1 Teorema do Sanduiche e Limites Fundmentais . . . . . . . . . . . . . . . . . 562.1.1 Primeiro Limite Fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562.1.2 Segundo Limite Fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602.1.3 Problema dos Juros Compostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612.1.4 Limites Infinitos no Infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

2.2 Assntotas Verticais e Horizontais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3 CONTINUIDADE 71

3

4 CONTENTS

4 DERIVADAS 734.0.1 Funcao Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754.0.2 Propriedades da Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 764.0.3 Derivada do Produto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 784.0.4 Derivada do Quociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 794.0.5 Derivada da Funcao Seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 794.0.6 Derivada da Funcao Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 804.0.7 Derivada da Funcao Logartmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

4.1 Aplicacoes da Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 864.1.1 Reta Tangente ao Grafico de uma Funcao . . . . . . . . . . . . . . . 884.1.2 Extremos de Funcao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 884.1.3 Valor Crtico e Ponto Crtico de uma Funcao . . . . . . . . . . . . . . 894.1.4 Elasticidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 904.1.5 Classificacao de pontos Crticos de uma funcao . . . . . . . . . . . . . 904.1.6 Derivada da Funcao Composta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 944.1.7 Concavidade do Grafico de uma Funcao . . . . . . . . . . . . . . . . 964.1.8 Teorema do Valor Medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 994.1.9 Regra de LHospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1004.1.10 Diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1034.1.11 Formula de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

5 INTEGRAL 1115.1 Calculo de Areas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

5.1.1 Propridades da Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1175.1.2 Teorema do Valor Medio Para Integrais . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

5.2 Teorema Fundamental do Calculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1195.2.1 Funcao Primitiva e Integral Indefinida . . . . . . . . . . . . . . . . . 1235.2.2 Integral por Substituicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1255.2.3 Integracao por Partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1275.2.4 Fracoes Parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

5.3 Integral Impropria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1315.4 Referencias Bibliograficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

CONTENTS 5

0.0.1 Progressao Geometrica e Juro Composto

A taxa de crescimento i de uma grandeza que passa do valor a (a R) para o valor b (b R)e dada por

i =b aa

.

Veja que a taxa de crescimento de uma grandeza que passa de 4 para 5 e igual a i =5 44

=

0, 25.

Exemplo 1 Suponha que uma populacao aumenta 2% ao ano. Entao, a quantidade deindivduos Pn desta populacao no ano n (n-esimo ano) sera igual a quantidade de indivduosPn1 desta populacao do ano anterior mais o aumento de populacao, que e igual a 2% dePn1, isto e

Pn = Pn1 + (0, 02)Pn1 = (1 + 0, 02)Pn1 = 1, 02Pn1.

Veja que a quantidade de indivduos desta populacao em um determinado ano, digamos n-esimo ano, e proporcional a quantidade de indivduos desta populacao no ano subsequenteou (n 1)-esimo ano e a constante de proporcionalidade e 1, 02. Observe que a taxa decrescimento da grandeza quantidade de indivduos desta populacao e dada por

i =Pn Pn1

Pn1=

1, 02Pn1 Pn1Pn1

= 0, 02.

Exemplo 2 Suponha que uma bomba de succao retira de um vasilhame, em cada intervalode tempo, 3% do material existente neste vasilhame. Entao, a quantidade de material Gnexistente no vasilhame apos n succoes (n-esima succao ) sera igual a quantidade de materialGn1 que estava contida no vasilhame apos a succao anterior, menos o decrecimo de maretialcausado por uma succao, que e igual a 3% de Gn1, isto e

Gn = Gn1 (0, 03)Gn1 = (1 0, 03)Gn1 = 0, 97Gn1.

VALOR PRESENTE

Veja que se um indivduo contrai uma dvida hoje de G0 unidades de moeda e eleresgata em parcelas mensais esta dvida a taxa previamente combinada de 3% ao mes(desconto), entao a dvida deste indivduo apos o perodo de um mes, ou seja, no messeguinte sera G1, que e dado por

G1 = G0 0, 003G0 = 0, 97G0.

6 CONTENTS

A quantidade G1 que resta da dvida ainda nao resgatada e denominada Valor Pre-sente da dvida. Veja que a taxa de desconto e dada por

i =G1 G0

G0= 0, 03.

Se P0 unidades de moeda foi investido, a um ano atras, com taxa de atualizacao docapital de 100r por cento ao ano, ao atualizar quantidade de moeda ao final do primeiroano, teremos o valor dada por

P1 = P (um ano) = P0 + rP0 = (1 + r)P0.

Ao final do segundo ano a quantidade atualizada de moeda ser dada por

P2 = P (dois anos) = P0(1 + r) + rP0(1 + r) = (1 + r)2P0.

Ao final de t anos a quantidade atualizada de moeda ser dada por

P (t) = (1 + r)tP0.

Note que o juro no iesimo perodo (rPi1) compoe o capital do (i 1)esimo (Pi1)e forma a quantidade Pi = (1 + r)Pi1. Observe que em cada perodo e valida a regra

Pi Pi1Pi1

= r.

Se a composicao fosse semestral teramos r2como taxa de juros e ao final de t anos

o capital P0 composto com a taxa semestral de juros seria dado por P (t anos ) =

P (dois t semestres) = (1 +r

2)2tP0. Neste caso os juros so compostos duas vezes ao

ano.

Se os juros compuser o capital m vezes ao ano teramos rm

como taxa de juros e ao

final de t anos o capital P0 composto com a taxar

mde juros seria dado por

P (t anos) = P (mt perodos) = (1 +r

m)mtP0 (ver [1] pp251, [6]). (0.0.1)

Uma pergunta pertinente : Qual quantidade X de unidades moeda teremos que inve-stir no instante atual, para que ao final de t anos tenhamos Y unidades moeda, se os juroscompuserem o capital X m-vezes ao ano, a taxa de juros 100r%? (see [6])

Como vimos acima se o capital X for investido taxa de juros 100r%, e os juros com-puserem o capital m-vezes ao ano, ao final de t anos a o capital atualizado ser dado por

Y = X(1 +r

m)mt. (0.0.2)

Portanto,

CONTENTS 7

X = Y (1 +r

m)mt

e denominado Valor Presente disponvel em um tempo t anos, no futuro e o valor

(1 +r

m)mt

e denominado fator de desconto (ver em Laurence & Blume [9] e Chiang [1]).

Exemplo 3 Um homem investe em uma carteira P0 = 5000, 00u.m. a 4% de juros ao ano.Qual sera o valor atualizado com os juros se quantidade de moeda P0 permanecer aplicada,sem retidadas, por 10 anos? Quanto este homem teria que aplicar a 4% de juros ao anopara que ao final de quatro anos ele tivesse disponvel 1200.00u.m.?

Resolucao Veja que em (0.0.1),r

m= 0.4 e mt = 10. Portanto,

P (10) = (1 + 0, 04)105000 = 7.401, 22u.m.

Para responder a segunda pergunta, veja que em (0.0.2) temos Y = 1.200,r

m= 0.4 e

mt = 10. Entao

X = 1200(1 + 0.04)10 = 810, 677.

Exemplo 4 Ao se tomar hoje, por empestimo, 150, 00u.m. a uma taxa de juros de 12% aomes, qual sera o valor corrigido com juros tres meses depois? Quanto deveria ser investidoa taxa de juros de 12% ao mes para que ao final de cinco meses o valor presente fosse 250, 00u.m.?

Resolucao Veja que P0 = 150, a taxa anual de juros e m12

100= 0, 12m. Entao

r

m= 0, 12 e mt = 3, Como m = 12 teremos r = 1, 44 e t =

1

4= 0.25. Assim, segue de

(0.0.1) que

P (0.25) = (1 + 0, 12)3150 = 210, 74.

Vamos responder a segunda pergunta: veja em (0.0.2) que Y = 250,r

m= 0, 12 e mt = 5.

Entao

X = 250(1 + 0.12)5 = 141, 85

8 CONTENTS

0.0.2 Exerccios

(i) Suponha que a taxa de juros e 7% ao ano. Se for investido 72 unidades de moeda, quale o valor um vez ao ano, atualizado um dois anos depois.

(ii) Suponha que a taxa de juros e 7% ao ano. Se for investido 72 unidades de moeda, quale o valor duas vezes ao ano, atualizado um ano depois (ver [6]).

(iii) Suponha que o capital investido sera atualizado uma vez ao ano. Quanto deve serinvestido hoje taxa de juros e 5% ao ano para se ter atualizado dois anos depois 127unidades de moeda (ver [6]) ?

(iv) Suponha que o capital investido sera atualizado tres vezes ao ano. Quanto deve serinvestido hoje taxa de juros e 5% ao ano para se ter atualizado dois anos depois 127unidades de moeda (ver [6])?

Chapter 1

FUNCOES

1.1 Relacao entre conjuntos

Dados dois conjuntos A e B, chama-se produto cartesiano de A por B ao conjunto

A B = {(x, y) par ordenado tal que x A e y B}.

Note que A = B entao (x, y) = (y, x) se e somente se x = y.

Definicao 1 Chama-se relacao entre dois conjuntos A e B qualquer subconjunto do produtocartesiano de A por B.

Exemplo 5 Se A = {1, 2} e B = {a,1}, R0 = (o conjunto vazio), R1 = {(1, a); (2; a)}e R2 = {(1,1) ; (1, a)} sao relacoes entre A e B.

ResolucaoComo

A B = {(1, a) ; (1,1) ; (2, a) ; (2,1)},

segue da Definicao 1 que uma relacao entre A e B e qualquer um dos subconjuntos de AB.Mas R0, R1 e R2 sao subconjuntos de A B e assim, elas sao relacoes entre A e B.

O conjunto vavio dado por e uma destas relacoes. Aqui, nenhum elemento de A estaassociado a qualquer elemento de B.

Considere a relacao {(1, a); (2; a)} entre A e B. Veja que esta relacao entre A e B econstante, todos elementos de A estao associados a um unico elemento de B.

Tome a relacao {(1,1) ; (1, a)}. Veja que nesta relacao um elemento de A estaassociado dois elementos de B e o outro elemento de A nao tem seu correspondente emB.

9

10 CHAPTER 1. FUNCOES

Definicao 2 Dados dois conjuntos A e B, chama-se funcao de A em B a qualquer relacaoentre A e B que a cada elemento do conjunto A assosia um unico elemento em B. Indica-seesta funcao por f : A B.

Dizemos que f esta definida em A e toma valores em B.

Ao conjunto A denomina-se Domnio de f (Dm(f)).

Ao conjunto B denomina-se Contradomnio de f .

Ao conjunto Im(f) = {y B tais que existe x A que satisfaz f(x) = y}denomina-se a imagem da funcao f .

Nosso principal interesse sao as funcoes definidas e subconjuntos dos numeros reais etomando valores reais; isto e, os conjuntos A e B serao subconjutos do conjunto dos numerosreais.

1.1.1 Exerccios

(i) Considere os conjuntos A = {, a} e B = {, }, calcule o produto cartesiano de Apor B, todas as relacoes possveis e indique aquelas relacoes que sao funcoes.

Dados S = {1, 3, 5} e P = {m,n}. Calcule o produto cartesiano de S por P , todas asrelacoes possveis e indique aquelas relacoes que sao funcoes.

(ii) Considere o conjunto RR que aqui sera denotado por R2. Valha-se da definicao decoordenadas cartesianas e desenhe cada um dos conjuntos abaixo:

a- A1 = {(x, y) R2 tal que x+ 2y = 4, 2 < x 2}.b- A2 = {(x, y) R2 tal que x+ 2y < 4, 2 < x 2, y > 0}.c- A3 = {(x, y) R2 tal que x+ 2y 4, 2 < x 2, y 0}.d- B3 = {(x, y) R2 tal que x y 0, 2 < x 2}.e- B3 = {(x, y) R2 tal que x y 0, 2 < x 2}.

Lembrete Sejam x, y e z numeros reais positivos e m, n numeros inteiros naonegativos. Entao

(i) xmxn = xm+n.

(ii) (xm)n = xmn.

(iii) (xyz)n = xnynzn.

(iv)(xy

)m=

xm

ym.

1.2. GRAFICO DE FUNCAO 11

(v) xm =1

xm.

(vi)xm

xn= xmn.

(vii) xmn = n

xm.

OBSERVACAO: Se x R for nao nulo entao x0 = 1. Seja a R e a = 0, entaox0 = xaa =

xa

xax =0= 1.

1.2 Grafico de Funcao

Definicao 3 Dada f : A B funcao, chama-se Grafico de f ao conjunto G(f) = {(x, y) A B tal que y = f(x)}.

1.2.1 Funcoes Lineares e Quadraticas

(i) Vamos denominar funcao lineares aquelas cujo grafico e uma reta, ou seja f : R Rdadas por f(x) = ax+ b, onde a R. Se a = 0, f e uma funcao constante.

Veja se (x1, f(x1)) e (x2, f(x2)) sao pontos no grafico de f . Ainda,

f(x2) f(x1)x2 x1

= tg() = a > 0, (1.2.1)

que e o coeficiente angular da reta G(f). Se em (1.2.1) a for negativo o grafico de ftem forma


(ii) Se a, b e c sao numeros reais, considere a funcao quadratica f : R R dada por

f(x) = ax2 + bx+ c, a = 0. (1.2.2)

Queremos resolver a equacao f(x) = 0. Como em (1.2.2) a = 0 podemos somar em

ambos os membrosb2

4ae escrevermos

a[x2+2

( b2a

)x+

b2

4a2

]=

b2

4ac, ou seja a

(x+

b

2

)2=

b2 4ac4a

, entao(x+

b

2

)2=

b2 4ac4a2

.

que e equivalente a

(x+

b

2a

b2 4ac2a

)(x+

b

2a+

b2 4ac2a

)= 0

Portanto,

x0 =b+

b2 4ac2a

e x1 =b

b2 4ac2a

(1.2.3)

sao as razes da equacao (1.2.2). Alem disso, em (1.2.3), x0 e x1 serao numeros reaisse e somente se = b2 4ac for um numero real nao negativo, ( 0).

Exemplo 6 Seja f(x) = x2 4x+ 1. Vamos resolver a equacao f(x) = 0.

Resolucao Veja que a = c = 1 e b = 4. Entao = (4)2 4 = 12. Segue de (1.2.3)que as razes de f(x) = 0 sao x0 = 2

3 e x0 = 2 +

3.

Como exemplo tome f : [0, 2] R dada por f(x) = x2.

-oxO

oy

x...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

... f(x)

(x, f(x))

6

Figura 1


1.2.2 Exerccios

(i) Lei de Pareto de Distribuicao de Renda (ver em Laurence & Blume [9]) OEconomista Vilfredo Pareto propoe a seguinte lei de distribuicao de renda: Se N for onumero de indivduos de uma dada populacao A de tamanho m, cuja a renda e igualou superior a x, entao

N(x) =m

xb(1.2.4)

onde b e um parametro da populacao cujo valor poderia ser aproximado por 32. Neste

caso N seria dado por

N(x) =m

x32

(1.2.5)

Um indivduo e considerado milionario se sua renda excede x0 = 106 Unidades deMoeda (u.m.).

Responda as perguntas abaixo: Suponha que em uma populacao de 216.1010indivduos valha a lei de Pareto. Quantos indivduos sao coniderados milionarios?Resp: 2160. Quantos indivduos tem renda superior a 3.660 u.m.? Resp: 216.107.Quantos indivduos tem renda inferior a 3.600 u.m.? Qual e a menor renda das oitentapessoas que tem as rendas mais altas? Resp. 9.106 u.m.

(ii) Suponha que valha a lei de Pareto, que em (1.2.4), b =5

3e m = 16.1012.

Responda as perguntas abaixo: Quantos indivduos tem renda inferior a 8.000u.m.. Resp: 5.106. Quantos indivduos tem renda superior a 125.000 u.m., mas inferiora 106u.m.? Resp: 49.600. Qual e a menor renda das cinquenta pessoas que possuemmaiores rendas? Resp. 8.106 u.m.

(iii) Suponha que valha a lei de Pareto, que em (1.2.4), b =3

2e m = 8.108.

Responda as perguntas abaixo: Quantos indivduos tem renda superior a 1.600u.m.. Quantos indivduos tem renda superior a 1.600 u.m., mas inferior a 3.600u.m.?. Qual e a renda mais baixa das oitocentas pessoas que possuem as rendas mais altas?

a- Se o domnio da funcao f(x) = 5 + 3x for {x R, tais que 1 x 4},determine a imagem de f .

b- Se o domnio da funcao f(x) = 5 3x2 for {x R, tais que 1 x 4},determine a imagem de f .

Os exerccios acima sugerem a ideia de desigualdades.

1.2.3 Inequacoes

Definicao 4 Dada f : A R B R uma funcao. Uma equacao e expressao da formaf(x) = 0, onde x A. Uma inequacao e uma expressao com uma das formas f(x) > 0, ouf(x) 0, ou f(x) < 0, ou f(x) 0, onde x A.


Note que as desigualdades nos informam qual e o sinal da funcao f Se multiplicarmos ambos os membros de uma desigualdade por um numero real posi-

tivo, esta desigualdade matem-se com o mesmo sentido.Veja que 2x x3 > x2 2 e equivalente a (x2 + 1)[2x x3] > (x2 + 1)[x2 2], porque

x2 + 1 e positivo para todo numero real x .

Se multiplicarmos ambos os membros de uma desigualdade por um numero negativoesta desigualdade troca o seu sentido.

Veja que 2x x3 > x2 2 e equivalente a (x2 1)[2x x3] > (x2 1)[x2 2]; somentese x2 1 for positivo ou zero. Se x2 1 for negativo ou seja se x (2; 2) (intrevalo), entao(x2 1)[2x x3] < (x2 1)[x2 2].

1.2.4 Funcao Modulo

Definicao 5 O modulo de um numero real x e dado por

|x| ={

x; se x 0,x; se x < 0.

Temos |x| < m, se e somente se m < x < m. Ainda, |x| m, se e somente sem x m.

Temos |x| > m, se e somente se x < m ou x > m. Analogamente ao caso anterior,|x| m, se e somente se m x ou x m.

Exemplo 7 Se f : R R for dada por f(x) = |x|, o grafico de f esta dado na figuraabaixo:

Observacao 1 Da definicao de modulo de um numero real segue quex2 = |x|.

Exemplo 8 Seja f : R R dada por f(x) = |x2 + 4x 5|.

Veja que o grafico de f esta esbocado na figura acima. Para compreender o grafico acimatemos que resolver as inequacoes gerada pela definicao da funcao modulo, ou seja

f(x) =

{x2 + 4x 5; se x2 + 4x 5 0,(x2 + 4x 5); se x2 + 4x 5 < 0.

Veremos facil que se F1 = {x R ( < x 5 ou 1 x < } e F2 = {x R (5 5.

Resolucao Da definicao 5 vemos que a desigualdade do exemplo (5.1.1) e equivalente a

3x+ 2 > 5 ou 3x+ 2 < 5.

Neste caso, e conveniente resolver cada uma desas desigualdades em separado e depois con-struir o conjunto solucao. Vemos facilmente que se x resolve a primeira inequacao, entao

x > 1. Analogamente, se x resolve a segunda inequacao entao x < 73. Portanto, conjunto

solucao que procuramos e dado por

S = {x R, tal que < x < 73

ou 1 < x < }.

Como encontrar o conjunto dos numeros reias tais que |x 4| > |3x 2| ?


Pela Observacao 1 temos |x 4| =(x 4)2 e |3x 2| =

(3x 2)2. Portanto, a

desigualdade em () e equivalente a(x 4)2 >

(3x 2)2; ou seja (x 4)2 > (3x 2)2.

Alguns calculos nos mostram que nosso problema e equivalente a 2x2 x 3 < 0. Para en-contrar o conjunto solucao para esta ultima desigualdade devemos encontrar o discriminanteda equacao 2x2 x 3 = 0 (ver (1.2.3)) que e dado por = 1 + 24 = 25 e as suas razessao dadas por;

x0 =b

2a=

(1)25

4= 1 e x1 =

b+

2a=

(1) +25

4=

3

2.

Mas, 2x2 x 3 = 2(x x0)(x x1) = (x+ 1)(x 3). Queremos que (x+ 21)(x 3) sejanegativo. Portanto, o conjunto solucao que procuramos e dado por

S = {x R, tal que 1 < x < 32}.

Valha-se das propriedades anteriores, resolva em R as igualdades, desigualdades e de-screva geometricamente o conjunto solucao de cada uma delas:

1.2.5 Exerccios

1 Um fabricante produz canetas ao custo de 10 u.m. (unidades de moeda) por unidade.Estima-se que, se cada caneta for vendida por x u.m., os consumidores compraraoaproximadamente 80x canetas por mes. Expresse o lucro mensal do fabricante comofuncao do preco devenda de cada caneta. Construa o grafico desta funcao e calculeo preco p0 para o qual o lucro mensal e o maior possvel (Veja que o lucro e dado peloproduto do numero de canetas vendidas pelo lucro por caneta).

Duas propriedades esperadas para um mercado qualquer:

A quantidade de produto ofertada aumenta se o preco deste aumentar. Isto nos dizque as variaveis ofertada e preco estao de alguma forma relacionadas.

A quantidade de produto demandada diminui se o preco deste aumentar. Isto nosdiz que as variaveis demandada e preco estao de alguma forma relacionadas

2 Dez relogios de pulso sao vendidos quando o seu preco for 80 u.m.; 20 destes relogiosserao vendidos quando o preco for 60 u.m. Suponha que a demanda por este tipo derelogio seja uma funcao linear do seu preco neste mercado. Qual e a equacao dedemanda para este produto? Faca o grafico desta funcao.

3 Quando o preco for de 50 u.m., cinquenta maquinas fotograficas de um determinadotipo estarao disponveis no mercado; quando o 75 u.m., cem maquinas fotograficasde um determinado tipo estarao disponveis no mesmo mercado (produto em oferta).Suponha que a oferta deste tipo de maquina seja uma funcao linear do seu preco nestemercado. Qual e a equacao de oferta para este produto? Faca o grafico desta funcao.


4 Resolva as equacoes e inequacoes e represente graficamente o conjunto solucao de cadaitem.

(a) x 2 < 18 3x. S = {x R tal que < x < 5};(b) 4 < 2 3x 17. S = {x R tal que 5 x < 2};

(c)3x 1x+ 2

5. S = {x R tal que 112

x < 2};

(d) x2 81. S = {x R tal que 9 x 9};(e) x2 x 0. S = {x R tal que 0 < x < 1};(f) Se f(x) = |5x+ 2|+ 3, resolva f(x) = 0; S = ; Faca o grafico de f(x).

(g) Se f(x) = |2x 1| |4x+ 3|, resolva f(x) = 0: S = {2,13}. Faca o grafico de

f(x).

(h) Se f(x) = |x 5| 1 + 2x, resolva f(x) = 0; S = {4}. Faca o grafico de f(x).

(i)3x+ 82x 3

= 4, S = { 411

, 4};

(j) |2x 1| > |x+ 2|. S = (,13) (3,);

(k) 1 < |x+ 2| < 4. S = {x R tal que 6 < x < 3 ou 1 < x < 2};

(k) |3x+ 7| > 2. S = {x R tal que < x < 3 ou 53< x < };

(l) |x 3| 2. S = {x R tal que 1 x 5}.

5 (a) 4x 6 < 11; (b) 7 2x > 3; (c) |x+ 4| < 7; Resp. {x R; 11 < x < 3};

(d) |3x 4| 2; Resp. {x R; 23 x 2}; (e) |2x 5| > 3;

Resp. {x R, < x < 1 ou 4 < x < };

(f) |x + 4| |2x 6|; Resp R {x R, 23< x < 10}; (g) | 2x + 9| |4x|;

Resp {x R, 92 x 3

2}. (h) 2 4x x2 0; (i) 4x 1

x 1;

(j) x(3x 1) 4; (k) 2x2 x 3x2 1

x; (l) (x+ 1)(2x 3) > 2; (m)2x+ 3

5

< 2;(n)

7 3x2

1; (o) |x 10| < 0, 3; (p) 3x2 + 5x 2 < 0;(q) 2x2 9x+ 7 < 0; (r) 1

x2< 100; (s) 1 < 3 7x

4 6; (t) 3

x 9>

2

x+ 2

(u) (x 1)2(x 2)(x+ 1)3 > 0 (v) (x 1)2(x 2)(x+ 1)3

x(x2 + 1)(x2 1)< 0.

(i) Faca o grafico de f(x) quando:


f(x) = x2 + x + 1; Desenhe no plano cartesiano o conjunto S = {(x, y) R2 tal que 0 f(x) x 1} para 2 < x 2.

f(x) = x2 + x 2; Desenhe no plano cartesiano o conjunto S = {(x, y) R2 tal que 0 f(x) x+ 1} para 3 < x 5.

1.2.6 Polinomios

Definicao 6 Sejam ar, ar1, , a0 numeros reais. Um polinomio e uma funcao q : R Rdada por q(x) = arx

r + ar1xr1 + + a0. Se ar for nao nulo diremos que o grau de q e r

e indicamos por q = r.

Seja q(x) um polinomio. Suponhamos que o grau de q = r. Sabemos que o polinomioq pode ser decomposto em fatores da forma{

x x, x R;x2 + x+ , 2 4 < 0; , , R, (ver(1.2.3)).

o valor x e denominado raiz real de q. Cada fator da forma x2+x+ com a propriedade2 4 < 0 nao tem raiz real.

Suponha que q tenha apenas razes reais. Sejam n N e x0, x1, , xn as razes deq (n r). Ha que se lembrar que cada uma destas razes tem sua multiplicidade. Entaosuponha que s0, s1, , sn N, indica respectivamente as multiplicidades das razes dopolinomio q. Entao s0 + s1 + + sn = q.

Exemplo 12 Seja q(x) = x2 3x+ 2 = (x 1)(x 2).

x0 = 1, s0 = 1,x1 = 2, s1 = 1s0 + s1 = q = 2.

Exemplo 13 Seja q(x) = (x+ 1)2(x 2)3.

x0 = 1, s0 = 2,x1 = 2, s1 = 3s0 + s1 = q = 5.

Suponhamos que q : R R seja dado pela expressao q(x) = arxr + ar1xr1 + + a0com ar = 0 e que todas as suas razes sejam reais. Entao podemos escrever

q(x) = ar(x x0)s0(x x1)s1 (x xn)sn . (1.2.9)

e s0 + s1 + + sn = q = r.Ve-se facilmente que se alguma raiz de q tiver multiplicidade maior que um, algum si

sera nulo, e o fator correspondente x xi nao aparecera na expressao (1.2.9).


1.2.7 Metodo da Chave para Divisao de Numeros

Veja que se p(x) = x 5 e g(x) = x 13 5 13 , podemos realizar a divisao de p(x) por g(x) pelometodo da chave e obtermos resto zero. Considere o esquema abaixo com suas instrucoes:

Note que multiplicacao da primeira parcela do quociente pelo divisor nos da xx 23a 13 .Subtraia x x 235 13 do dividendo.

A multiplicacao da segunda parcela do quociente pelo divisor nos da x 235 13 x 135 23 .Sutraia-a do dividendo.

Amultiplicacao da ultima parcela do dividendo pelo divisor nos da x 135 235. Subtaria-ado dividendo e voce obtera resto ZERO.

x 5 x 13 5 13

x+ x 235 13 x 23 + x 135 13 + 5 23x

235

13 5

x 235 13 + x 135 23

x235

13 5

x 235 13 + 50 + 0

Portanto,

x 5 = (x 13 5 13 )[x 23 + x 135 13 + 5 23 ]

ou seja,

x 5x

13 5 13

x =5= x

23 + x

135

13 + 5

23 .

Com este algortmo podemos escreve

x13 5 13x 5

x =5=

1

x23 + x

135

13 + 5

23

. (1.2.10)

1.2.8 Exerccios

(i) Sejam p(x) e q(x) polinomios dados abaixo. Calcule o resto da divisao de p(x) porq(x) (use o metodo da chave).

p(x) = x3 2x2 + 1 e q(x) = x2 + 1; p(x) = x4 x3 e q(x) = x2 4x+ 2.

(ii) Sejam f(x) e g(x) funcoes dados abaixo. Calcule o resto da divisao de f(x) por g(x)(use o metodo da chave).


f(x) = x 2 e g(x) = 3x 3

2;

f(x) = x 3 e g(x) = 3x 3

3 ,

f(x) = x 5 e g(x) = 4x 4

5;

f(x) = x+ 3 e g(x) = 3x+ 3

3.

f(x) = x a e g(x) = 3x 3

a;

f(x) = x a e g(x) = 3x 3

a ,

f(x) = x b e g(x) = 4x 4

b;

f(x) = x+ b e g(x) = 5x+ 5

b.

Em cada um dos casos acima escreva a fracao analoga a fracao em (1.2.10).

(iii) - Dadas as funcoes abaixo, calcule g(x) =f(x) f(a)

x apara x = a, onde a e um numero

real que esta no domnio da funcao f . Em cada um dos casos acima escreva a fracaoanaloga a fracao em (1.2.10).

f(x) = x2 + 3 , f(x) = x2 x+ 1 ,

f(x) = x 13

f(x) = x 14

f(x) = x 15

f(x) = sin(x) f(x) = cos(x), (compare os cinco primeiros tens com o exerccio anterior).

(iv) Seja a um numero real fixo, calcule g(h) =f(a+ h) f(a)

hpara cada uma das funcoes

abaixo. Em cada um dos casos acima escreva a fracao analoga a fracao em (1.2.10).

f(x) = x2 + 3, f(x) = x2 x+ 1,

f(x) = x 13

f(x) = x 14

f(x) = x 15 , f(x) = sin(x) f(x) = cos(x), (compare os com o exerccio anterior).


1.2.9 Funcoes Pares e Impares

Uma funcao y = f(x) e uma (i) funcao par de x se f(x) = f(x), (ii) funcao mparde x se f(x) = f(x). Verifique se as funcoes abaixo sao pares ou mpares.

(i) f(x) = x2,

(ii) f(x) = x3 + x, (iv) f(x) = x2 + x3,

(iii) f(x) = x3 + x+ 1,

(iv) f(x) = x2 + 1

(v) f(x) = |x|

(vi) f(x) = |x 1|. Esboce os grafico de cada uma das funcoes dos tens (i) e (vi); (vii) e(iii) e compare-os.

1.2.10 Composicao de Funcoes

Definicao 7 Dadas f : A B e g : C D duas funcoes. Se Im(f) Dom(g) entaopodemos definir uma outra funcao h : A D tal que h(x) = g(f(x). A funcao h edenominada composicao de g por f ,. Denotaremos esta composicao por g f .

Note que se h(x) = 3x2 4x+ 7, podemos dizer que h e uma composicao de funcoes.

As funcoes envolvidas sao g(x) = 3x e f(x) = x2 4x+ 7.

(i) Determinar o domnio das seguintes funcoes e escreva a funcao h como composicao deduas outras funcoes:

h(x) = 1x 4

,

h(x) =x2 + 2x 3,

h(x) =

x

x2 + 1,

h(x) = 3

x

x2 + 1,

h(x) = 4

x2 3x+ 5x 4

.

(ii) Calcule, quando for possvel, a composicao de f por g e de g por f nos casos abaixo ede o domnio de f , g, f g e g f


f(s) = s2 + 2s+ 1 e g(x) = 2x2 5; f(s) =

x e g(x) = x2 + 1,

f(s) = |s2 + 3| e g(x) = x2 + 1

x 1.

f(s) = sin(x2 + 1) e g(x) = 3x

(iii) Calcule f(g(x)), g(f(x)), h(f(g(x))), verifique que f g = g f , de o domnio de f , ge h, onde estas funcoes estao dadas abaixo e :

f(x) =x2 + 1

x 1, h(x) =

x, g(x) = x2 3x+ 2.g(x) = 1 x2, h(x) = x2 + 6x 16.

Exemplo 14 Tome A um conjunto qualquer e f : A A dada por f(x) = x.

Note que f(f(x)) = f(x) = x. A inversa de f e ela mesma (uma funcao Nacisista). Estae uma razao muito forte para que f seja nomeada FUNCAO IDENTIDADE.

Definicao 8 Dadas f : A B e g : F G funcoes, Suponhamos que

Im(f) Dm(g) e Im(g) Dm(f)

Segue da Definicao 7 que pode ser definidas as funcoes f g : F B e g f : A G dadaspor

g f(x) = g(f(x)) para todo x A e f g(y) = f(g(y)) para todo y F.

Se

g f(x) = g(f(x)) = x para todo x A e f g(y) = f(g(y)) = y para todo y F,

dizemos que g e a funcao inversa da funcao f .

No caso em que f : A B e satisfaz uma condicao especial, isto e que exista umafuncao g : B A tal que

f(g(y) = y e g(f(x) = x,

dizemos que a func ao g e a Funcao Inversa da funcao f . Denotamos g por f1. O exemplomais simples que ilustra tal situacao e o seguinte:

Exemplo 15 Tome R o conjunto dos numeros reais e f : R R dada por f(x) = ax + b,com a = 0.


Note que g : R R dada por g(y) = 1a(y b) satisfaz f(g(y)) = a

(1a(y b)

)+ b =

[y b] + b = y e g(f(x) = 1a[(ax+ b) b] = x

ExerccioEm cada um dos tens abaixo determine a funcao f1 inversa. Faca os graficos da funcao

e de sua inversa, primeiro no pesmo plano e depois em planos separados.

(i) f(x) = 3x+ 4, (ii) f(x) =1

x a, a R (iii) f(x) = x+ a

x a, a R.

Funcao Injetora Uma funcao f : A B e injetora se para todo x, y A tal quef(x) = f(y), implicar que x = y.

Como exemplo tome f : R R dada por f(x) = ax+ b, com a e b numeros reais, sendoa = 0.Vamos mostrar que f e injetora.

Se x, y R sao tais que f(x) = f(y), entao ax + b = ay + b. Ou seja, ax = ay. Comoa = 0, temos que x = y. Portanto, f e injetora.

Funcao Sobrejetora Uma funcao f : A B e sobrejetora se Im(f) = B.

Funcao Bijetora Uma funcao f : A B e Bijetora se ela for injetora e sobrejetora.

Teorema 1 Uma funcao f : A B e Invertvel se e somente se ela for bijetora.

Exemplo 16 Seja f : Z N dada por

f(n) =

n

2, se n for par,

n 12

1, se n for mpar.

E facil ver que f e uma bijecao.

A quantidade demandada por um produto no mercado onde p e o nvel de preco desteproduto, e uma funcao do preco, isto e, D : [0,) [0,) e dada por D(p).

A quantidade ofertada ao mercado de produto com preco p e uma funcao do preco,isto e, S : [0,) [0,) e dada por S(p).

1.2.11 Oferta e Demanda

Em um mercadode bens, tem-se quantidade ofertada de bens e a quantidade demandadade bens ao nvel de preco p. Entao tem-se D,S : [0,) [0,) forem a funcao demanda(D) ao preco p e a funcao oferta ao preco p, estas funcoes serao lineares se existiremnumeros reais 0, 1, 0, 1 tais que


(a) D(p) = 0 + 1p 0(b) S(p) = 0 + 1p 0.

(1.2.11)

Veja que nao ha oferta nem demanda negativa. Diz-se que um mercado atua em O EQUILIBRIO ECONOMICO se existir um

nvel de preco p0 que faz a funcao a oferta calculada em p0 assumir o mesmo valor que afuncao demanda neste ponto, isto e D(p0) = S(p0). Neste caso diz-se que p0 e nvel depreco de equilbrio para este mercado .

Em linguagem costumeiramente usada em economia, para (1.2.11a) , p e denominadaVariavel Exogena e D Variavel Endogena . Analogamente, para (1.2.11b) , p e denominadaVariavel Exogena e S Variavel Endogena

Duas propriedades esperadas para um mercado qualquer: A quantidade de produto demandada diminui se o preco deste aumentar 1 > 0 em

(1.2.11a). A quantidade de produto ofertada aumenta se o preco deste aumentar, 1 > 0 em

(1.2.11b).Veja em 1.2.11 as curvas de demanda e oferta sao retas. Nao podemos esperar que as

curvas de demanda e ofertas sejam retas. Nos grafico abaixo que as curvas O e D sao curvasde Oferta e Demanda, respectivamente, nao sao retas . Veja a interpretacao Economica da

regioes delimitadas pelas duas curva, uma que contem o segmentoab e a outra contem o

segmentocd (ver [1, 9]).

Na Figura abaixo podemos observar interpretacao das regioes hachuradas. veja as jus-tificativas em [1, 9].


1.2.12 Exerccios

(i) Suponha que em um mercado a quantidade produto tem nvel de preco p. Com estenvel de preco a oferta e dada por S(p) = ap+3 e a demanda e D(p) = bp+17,ondea e b sao constantes positivas.

Encontre nvel de precop0 para que o mercado atue em equilbrio. Encontre os valores de p para que a oferta seja maior que a demanda. Encontre os valores de p para que a oferta seja menor que a demanda.

Calcule D(p0 + 3)D(p0)3

eS(p0 + 3) S(p0)

3. Interprete os numeros que voce

calculou.

Calcule D(p0 + q)D(p0)q

eS(p0 + q) S(p0)

q. Interprete os numeros que voce

calculou.

Defina a funcao E : [0,) R dada por E(p) = D(p) S(p). Qual o nome quevoce dariapara esta funcao ?

Encontre os intervalos onde se encontra valores p para os quais a funcao E epositiva.

Encontre os intervalos onde se encontra valores p para os quais a funcao E enegativa.

Calcule E(p0 + 3) E(p0)3

(ii) Suponha que em um mercado a quantidade produto tem nvel de preco p. Com estenvel de preco a oferta e dada por S(p) = ap2+3 e a demanda e D(p) = bp2+17,ondea e b sao constantes positivas. Encontre o intervalo de definicao para D e S para queestas funcoes representem a Demanda e Oferta de um produto em algum mercado.

Encontre nvel de preco p0 para que o mercado atue em equilbrio. Encontre os valores de p para que a oferta seja maior que a demanda. Encontre os valores de p para que a oferta seja menor que a demanda.

Calcule D(p0 + 3)D(p0)3

eS(p0 + 3) S(p0)

3. Interprete os numeros que voce

calculou.

Calcule D(p0 + q)D(p0)q

eS(p0 + q) S(p0)

q. Interprete os numeros que voce

calculou.

Defina a funcao E : [0,) R dada por E(p) = D(p) S(p). Qual o nome quevoce dariapara esta funcao ?

Encontre os intervalos onde se encontra valores p para os quais a funcao E epositiva.


Encontre os intervalos onde se encontra valores p para os quais a funcao E enegativa.

Calcule E(p0 + 3) E(p0)3

1.2.13 Funcao exponencial e funcao logartmica

Dados um numero real a positivo, chama-se funcao exponencial de a a relacao f : R Rdada por f(x) = ax.

Note que f toma qualquer numero real mas produz apenas numeros reais positivos.

Note que f(x+ y) = f(x)f(y) para todo x R.

Note que f(x y) = f(x)f(y)

para todo x R.

Ainda, f(0) = f(1 + (1)) = f(1)f(1) = a1a1 = aa= 1.

Funcao Logartmica

Definicao 9 Dados a, b R positivos. Se a = 1, chama-se logartmo de b na base a umnumero real y tal que ay = b.

Se g : (0,) R for uma funcao dada g(x) = logax, diremos que g e a Funcao

Logartmica. Ainda Como ja vimos, se f : R (0,), for dada por f(x) = ax, teremos

(i) f(g(y) = aloga y = y.(ii) g(f(x)) = logaa

x = x.

Pela Definicao 8, vemos que a funcao exponencial e a inversa da funcao logartmica.

Propriedades

1 : loga(xy) = log

ax+ loga y.

2 : logaa = 1 e log

a1 = 0.

3: loga(x1) = log

ax.

4 : loga(xy) = y log

ax.

NOTACAO : logab = y ay = b.

A figura abaixo mostra o grafico da funcao esponencial f a funcao logartimica g (uma


inversa da outra) para o caso onde a > 1.

Exemplo 17 Suponha que uma certa quantidade de Moeda, digamos P0, e investida emuma carteira de poupanca a uma taxa de r juros que compoe o capital inicial ao fim deum determinado perodo fixo de tempo, digamos trinta dias. Se nao houver retiradas, Qualquantidade de capital presente apos n > 1 perodos ?

Resolucao Note que ao fim do primeiro perodo o capital P1 e P0 composto com aparcela de juros rP0,o que nos da P1 = P0 + rP0 = P0(1 + r) .

Como nao ha retiradas, ao fim do segundo perodo o capital P2 e composto da seguinteforma P2 = P2 + rP2 = P0(1 + r) + rP0(1 + r) = P0[1 + 2r + r

2] = P0(1 + r)2.

Analogamente, P3 = P2 + rP2 = P0(1 + r)2 + rP0(1 + r)2 = P0(1 + r)3 Portanto, Pn = P0(1 + r)n.Veja que temos a seguinte funcao exponencial: f : N N tal que f(n) = P0(1 + r)n. Se

tomarmos a = 1 + r, teremos f(n) = P0an que e a quantidade de capital presente apos n

perodos.

Lembrete sen (u+ v) = sen u cos v + senu cos v e cos(u+ v) = cosu cos v senusen v

O

A

G

X

B

6

-

Lembrete Se, na circunferencia trigonometrica abaixo, x R for a medida do arcoBX, teremos as coordenadas retangulares do ponto X dadas por (cos(x), sen (x)). Veja que

1.3. FUNCOES LIMITADAS 29

o comprimento do segmento GX e o cos x e o comprimento do segmento AX e o sen x.Entao, como o triangulo OGX e um triangulo retangulo cuja hipotenusa tem comprimentoum, segue do Teorema de Pitagoras que

cos2 x+ sen 2x = 1.

Se permitimrmos que x percorra o conjunto dos numeros reais, teremos as funcoes sen , cos :R [1; 1].Como se sabe

(i) sen (a+ b) = sen a cos b+ sen b cos a, e (ii) cos(a+ b) = cos a cos b sen asen b.(1.2.12)

Se a = b, segue de (1.2.12i) que

sen 2a = 2sen a cos b, (1.2.13)

e de (1.2.12ii) segue que

cos 2a = cos2 a sen 2a. (1.2.14)

Substituindo sen 2a = 1 cos2 a em (1.2.14), teremos

cos2 a =cos 2a+ 1

2. (1.2.15)

Substituindo cos2 a = 1 sen 2a em (1.2.14), teremos

sen 2a =1 cos 2a

2. (1.2.16)

Como cosx e uma funcao par, cos x = cos(x) e sen x e uma funcao mpar,sen x = sen (x). Entao

(i) sen (a b) = sen a cos(b) + sen (b) cos a, sen (a b) = sen a cos b sen b cos a,e

(ii) cos(a b) = cos a cos(b) sen a sen (b), cos(a b) = cos a cos b+ sen a sen b.(1.2.17)

1.3 Funcoes Limitadas

Definicao 10 Dada f : A R B R, dizemos que f e limitada em A se existirem Me N numeros reais tais que M f(x) N para todo x A.

Observacao 2 Se f : A R B R for tal que M < f(x) < N , entao |f(x)| max{|M |, |N |}. Neste caso M e um limitante inferior para f(x) e N a um limitante superiorpara f(x).


Observacao 3 Sejam f, h, g : R R forem dadas por f(x) = 1, h(x) = cos(1x

)e

g(x) = 1, teremos f(x) h(x) g(x) para todo x R. Veja na Figura a seguir o graficoda funcao h.

Como vemos a informacao de limitacao da funcao h nao nos assegura um comportamentosem oscilacoes para o conjunto Imagem da funcao h.

Exemplo 18 Seja f : R R dada por f(x) = x|x|+ 1

. Mostre que M = 1 e limitante

inferior de f e N = 1 e limitante superior de f .

Resolucao Veja que x1 + |x|

= |x|1 + |x|

1, por que na fracao |x|1 + |x|

, o numerador e

menor que o denominador para todo x R. Por definicao de modulo 1 x1 + |x|

1.

Portanto, M = 1 e limitante inferior de f e N = 1 e limitante superior de f . Veja aindaque

f(x) =

x

x+ 1se x 0,

x

x+ 1se x < 0.

Exemplo 19 Seja f : RSn R, onde Sn = {

2+n, com n Z} dada por f(x) = senx

cos x.

Vemos facilmente que f nao e limitada. Veja figura abaixo.

DISTANCIAS

Se f : A R B R e uma funcao, entao tem-se x A e y = f(x) B. Se x0 A efixado, entao f(x0) B e podemos perguntar

Se Dist(x, x0) < 2, entao podemos afirmar que Dis(f(x), f(x0) e menor que 3?

Ha alguma relacao entre Dist(x, x0) e Dis(f(x), f(x0))?

1.3. FUNCOES LIMITADAS 31

Veja que na figura (abaixo) se tomarmos f(x) = x2 para 2 x 2, teremos queDist(x, 0) < 2 e Dist(f(x), 0) < 4. Mas e a relacao entre Dist(x, 2) e Dis(f(x), f(0))? Noteque

Dis(f(x), f(0)) = |f(x) f(0)| = |x2| = |(x 0)(x 0)| =

|(x 0)||(x 0)| = Dist(x, 0) Dist(x, 0) < 22 = 4.

-oxO

oy

4

(x, f(x))

2 2

6

Figura

Veja que na figura se tomarmos f(x) = x2 para 2 x 2, teremos queDist(x, 0) < 1e Dist(f(x), 0) < 4. Mas e a relacao entre Dist(x, 2) e Dis(f(x), f(0))? Note que

Dis(f(x), f(0)) = |f(x) f(0)| = |x2| = |(x 0)(x 0)| =

|(x 0)||(x 0)| = Dist(x, 0) Dist(x, 0) < 12 = 1.


a) Suponha que f : R R, dada por f(x) = 3x4. Seja x R, tal que Dist(x,1) < 2.Vamos encontrar limites superior e inferior para Dist(f(x),7).Resolucao Veja que Dist(f(x),7) = |f(x) (7)| = |3x 4 + 7| = |3x + 3| =|3(x + 1)| = 3Dist(x,1) < 6. Portanto, um limitante inferior para Dist(f(x),7) eM = 6 e um limitante superior para Dist(f(x),7) e N = 6. Veja que ha relacaoentre Dist(x, x0) e Dis(f(x), f(x0)).

b) Suponha que f : R R, dada por f(x) = 3x1. Seja x R, tal que Dist(x,1) < 4.Vamos encontrar limites superior e inferior para Dist(f(x),4).Resolucao Veja que Dist(f(x),4) = |f(x) (4)| = |3x 1 (4)| = |3x+ 3| =|3(x + 1)| = 3Dist(x,1). Assim, Dist(f(x),1) = 3Dist(x,1) < 12. Portanto,um limitante inferior para Dist(f(x),7) e M = 12 e um limitante superior paraDist(f(x),7) e N = 12.

Exemplo 20 Suponha que f : R R e dada por f(x) = (x+ 2)(x 1). Seja x R,tal que Dist(x,1) < 2. Entao como f(x) = (x + 2)(x 1) e se Dist(x,1) < 2,entao |x+ 1| < 2 e assim, 2 < x+ 1 < 2.

Vemos que se somamos um em ambos os membros teremos 1 < x + 2 < 3 e |x +2|max{2, | 1|} = 2 (veja Obeservacao 2).

Em seguida se subtrairmos dois, teremos 3 < x 1 < 0, o que nos da |x 1| 0 tal que Dist(f(x),6) Dist(x, 4).

Exerccio 4 Seja x R encontre limitantes inferior e superior para H(x) = x1 + x2

Exerccio 5 Seja x [7, 9] encontre limitantes inferior e superior para H(x) = xsen (x)


Exerccio 6 Encontre limitantes inferior e superior para (x) = x2x2 se : [4, 10] R (siga os passos do Exemplo 20).

Exerccio 7 Encontre limitantes inferior e superior para (x) = x2x2 se : [4, 5] R(siga os passos do Exemplo 20).

Exerccio 8 Uma companhia de televisao a cabo estima que com x milhares de assinantes,R o faturamento e C os custos mensais (em milhares de unidades de moeda) sao dados por

(a)

{R(x) = 32x 21

10x2,

C(x) = 195 + 12x.(b)

{R(x) = 32x 21

10x2,

C(x) = 275 + 12x.

Encontre os valores de x (numeros de assinantes) para os quais o faturamento e igual aocusto.Resp (a) 11030 ; 84210 Resp (b) 16667; 78571.

Veja que faturamento e custo sao funcoes R,C : [0, 1007

] R. Esboce o grafio da funcaolucro. Determine a funcao lucro. Faca o grafico das funcoes faturamento e custo no mesmo plano cartesiano e determine aregiao de lucro e regiao de perdas. Encontre limitantes inferior e superior para as funcoes, faturamento, custo e lucro.

Chapter 2

Limite

(i) Considere a funcao f(x) = 3x 5 para x R. Seja x0 = 2 e L = 1.Pergunta Quao proximo de x0 = 2 devemos tomar valores x para que a imagemcada um destes valores x pela funcao f que e f(x), esteja a uma distancia menor queum de L = 1 ?

Organizaremos nossa busca em duas etapas.

Primeiro Observemos a segunda parte da pergunta (a imagem de x pela funcao fdada por f(x) deve ficar a uma distancia menor que um de L = 1). Em linguagemMATEMATICA, o que queremos e resolver, para x = x0, a inequacao

Dist(f(x), 2) = |3x 5 1| < 1 = |3(x 2)| < 1, ou seja, Dist(f(x), 2) = 3Dist(x, 2)

para todo x R, e assim, 13< x 2 < 1

3. Entao

5

6< x 0 de L = 1 (siga ospassos do Exemplo 20) ?

(v) Considere a funcao f(x) = 2x2 + x 3 para x R . Seja x0 = 1 e L = 0. siga ospassos do exemplo anterior e responda a seguinte pergunta (siga os passos do Exemplo20).

Pergunta Quao proximo de x0 = 1, devemos tomar x para que a imagem deste xpela funcao f , f(x) fique a uma distancia menor que 1

2de L = 2 (siga os passos do

Exemplo 20).

Pergunta Dado > 0, quao proximo de x0 = 2, devemos tomar x para que aimagem deste x pela funcao f , f(x) fique a uma distancia menor que > 0 de L = 2(siga os passos do Exemplo 20) ?

Ponto de Acumulacao

Dado um subconjunto de numeros reais A (A R), um numero real x0 e ponto deacumulacao de A se qualquer intervalo aberto J contendo x0, tambem contem infinitospontos de A.

Exemplo 23 Seja A = { xn R tal que xn =1

n} e x0 = 0.

Note que, x0 = 0 e ponto de acumulacao de A e x0 nao e elemento de A.

Exemplo 24 Seja A = { x R tal que 1 x 2 }.

Note que, qualquer ponto de A e ponto de acumulacao de A.

37

Exemplo 25 Seja A = { x R tal que 1 < x 2 }.

Note que, qualquer ponto de A e ponto de acumulacao de A. Ainda, x0 = 1 nao eelemento de A, mas tambem e ponto de acumulacao de A.

Definicao 11 Dada f : A R R e x0 um ponto de acumulacao de A, dizemos queo limite de f(x) quando x se aproxima de x0 e um numero real L, se dado (epsilon)numero real positivo ( > 0), existir R positivo ( > 0) tal que se x estiver auma distancia de x0 menor que , a imagem deste x por f que e f(x), estaraa uma distancia de menor que de L.

Em linguagem Matematica, escervemos limxx0

f(x) = L.

Exemplo 26 Considere f : R R, dada por a funcao f(x) = 3x 2, para x R.Mostre que lim

x23x 2 = 4.

Resolucao Vamos seguir os passos dos tnes (a) e (b), anterior ao Exemplo 20 eposteriormente a Definicao 11. Observe que x0 = 2 e L = 4. Dado > 0, vamoscalcular a distancia de f(x) ate 4. Isto e,

Dist(f(x), 4) = |f(x) 4| = |3x 2 4| = |3x 6| = |3(x 2)| = 3|x 2|. (2.0.1)

Veja que Dist(f(x), 4) = 3Dist(x, 2) para todo x R. Ainda, note que, se a distanciade x a 2 for menor que =

3, teremos Dist(x, 2) = |x 2| <

3e a imagem deste x

pela funcao f , que e dada por f(x) estara a uma distancia menor que de L = 4. Vejaas contas abaixo:

Dist(f(x), 4) = |f(x) 4| = 3|x 2| = 3Dist(x, 2) < 3( 3

)= .

Portanto, limx2

3x 2 = 4.

Teorema 2 Dadas f, g : A R R duas funcoes e x0 um ponto de acumulacao deA. Suponhamos que

(i) f(x) = g(x) para todo x em A, que seja diferente de x0.(ii) lim

xx0g(x) = g(x0).

Entao o limite de f(x) quando x se aproxima de x0 tambem e L. Isto e, limxx0

f(x) =

g(x0).

38 CHAPTER 2. LIMITE

Exemplo 27 Tomemos f : R R dada por f(x) = x2 4x 2

. Vamos calcular limx2

x2 4x 2

.

Resolucao

Note que, o numerador e o denominador da fracao envolvida na expresao de f(x) saopolinomios de graus diferentes. Entao ha a possibilidade de realizarmos a divisao deum polinomio pelo outro. Neste caso teremos

f(x) =(x 2)(x+ 2)

x 2x =2= x+ 2.

Tome g : R R, dada por g(x) = x + 2. Note que, g e f satisfazem a hipotese (i)do Teorema 2, ou seja f(x) = g(x) para x = 2. Veja que nao podemos calcular f(2). O limite de g(x) quando x se aproxima de x0 = 2 e 4. Em linguagem Matematicalimx2

x+ 2 = 4. A seguir usaremos a Definicao 11 e provaremos esta ultima afirmacao.

Dado > 0, tome = . Como em (2.0.1) vamos calcular a distancia de g(x) ateL = 4.

|g(x) 4| = |x+ 2 4| = |x 2|.

Veja que, se x estiver a uma distancia menor que de 2 (|x 2| < ), a imagemdeste x pela funcao g que e dada por g(x), estara a uma distancia menor que de 4(|g(x) 4| < ). Entao, a Definicao 11 nos garante que lim

x2g(x) = lim

x2x + 2 = 4.

Agora a segunda hipotese do Teorema 2 esta satisfeita. Portanto, o Teorema 2 nos

asegura que limx

x2 4x 2

= 4 = g(2).

Observacao 4 Dizemos que o limite limxx0

f(x) existe se ele for um numero real.

Exemplo 28 Seja a funcao for dada por

f(x) =

{x2 se x = 2,0 se x = 2.

(2.0.2)

Mostre que limx2

f(x) = 4

Resolucao Seja > 0. Devemos encontrar > 0 tal que se

Dist(x, 2) < , entao Dist(f(x), 4) < .

Vamos calcular a distancia de f(x) a 4.

39

Dist(f(x), 4) = |f(x) 4| = |x2 4| = |(x+ 2)(x 2)| =

|x+ 2||x 2| = |x+ 2|Dist(x, 2)(2.0.3)

Vemos que em (2.0.3) Dist(f(x), 4) e o produto do fator |x+ 2| pela Dist(x, 2), o quefaz entender que o fator |x+ 2| deve ser estudado com detalhes. Queremos saber quale o tamanho do fator |x + 2| quando x estiver perto de 2. Vamos supor que x naose afasta de 2 mais que uma unidade, isto e Dist(x, 2) < 1 (a distancia de x ate 2 emenor que um).

Dist(x, 2) = |x 2| < 1 implica que 1 < x 2 < 1, entao 1 < x < 3,

Somando 2 em ambos os membros da ultima desigualdade teremos 3 < x+2 < 5. Vejaque conseguimos uma limitacao para o fator |x+2| se tomarmos valores x que nao seafastam de 2 mais que uma unidade. Neste caso, se voltarmos em (2.0.3) e veremosque

Dist(f(x), 4) < 5Dist(x, 2), sempre que x

for escohido tal que Dist(x, 2) < 1.(2.0.4)

Agora, dado > 0 tomemos = min{1, 5}. Observe que se Dist(x, 2) < , entao

Dist(x, 2) < 1 e assim, ao tomarmos valores x que nao se afastam de 2 mais queuma unidade, (2.0.4) sera verdadeiro. Mas, Dist(x, 2) < tambem nos faz ver que

Dist(x, 2) 0, tomamos = min{1, 5} e se

Dist(x, 2) < , entao Dist(f(x), 4) < , ou seja limx2

x2 = 4.

Observacao 5 Note que no exemplo 28, limx2

x2 = 4, mas a imagem de x0 = 2 pela

funcao f e zero (f(2) = 0) .


2.0.2 Propriedades de Limite

Teorema 3 Seja f : A R R funcao e x0 ponto de acumulacao de A. Se existir olimite lim

xx0f(x) ele e unico.

Prova Como por hipotese o limite limxx0

f(x) existe, entao existe um numero real L tal

que limxx0

f(x) = L. Suponha (por absurdo) que existe M R tal que limxx0

f(x) = M .

Vamos mostrar que M e igual a L. Ou seja que a diferenca LM e zero. Da Definicao11, segue que dado > 0, existem 1 > 0 e 2 > 0 tal que

|f(x) L| < 2, se |x x0| < 1 e |f(x)M | 0, seja = |m|

. Como antes, vamos calcular

a distancia de f(x) ate o numero real f(x0) = mx0 + n,

|f(x) f(x0)| = |mx+ n (mx0 + n)| = |m(x x0)| = |m||x x0|.

Veja que, se x estiver a uma distancia menor que

|m|de x0, isto e se

|x x0| 0 que satisfaca a definicao 11.

(vi) (i) limx3

x2 9x+ 3

= 6. (ii) limx3

x2 9x 3

= 6. (iii) limx2

7x+ 5 = 17

(vii) (Leithold vol I, Exc 2.5 p 73 / resp. A 65) Encontre o valor do limite e conforme ocaso indique os teoremas usados.

(i) limx2

(x2 + 2x 1) (ii) limx2

x2 52x3 + 6

(iii) limy2

y3 + 8

y + 2(vi) lim

x3

x2 + 5x+ 6

x2 x 12

(v) limr1

8r + 1

r + 3(vi) lim

y3

y2 9

2y2 + 7y + 3(vii) lim

x0

x+ 2

2

x(Racionalize o

numerador) (viii) limh0

h+ 1 1

h(ix) lim

x3

2x3 5x2 2x 34x3 13x2 + 4x 3

Respostas ( 7, 122, 12, 1

7, 3

2, 1

5

30, 1

4

2, 1

3, 11

17).

43

(viii) Suponha que limx0

f(x) = 1, limx0

g(x) = 5, limx1

h(x) = 5, limx1

p(x) = 1 e limx1

r(x) = 2.Especifique as regras (Teoremas) que estao sendo utilizadas para efetuar os calculos doseguinte limete:

(i) limx0

2f(x) g(x)[f(x) + 7]

23

=7

4(ii) lim

x1

5h(x)

p(x)[4 r(x)]=

5

6(iii) lim

x0f(x)g(x) = 5

(iv) limx0

f(x)

[f(x) g(x)] 23(v) lim

x0x2f(x) g(x)[f(x) + 7]

23

(vi) limx1

(x2 1)

5h(x)

p(x)[4 r(x)]= 0

(vii) limh0

h+ 3

3

h(viii) lim

t0

24 tt

(ix) limh 3

2

8t3 274t2 9

(ix) Em cada item abaixo calcule limxa

f(x) f(a)x a

; a R, a = 0.

(i) f(x) = 3x, R.

1

33a2

; (ii) f(x) = 4x, R.

1

44a3

; (iii) f(x) = 5x, R.

1

55a4

;

(iv) f(x) = x2, R. 2a3; (v) f(x) = x3, R. 3a4; (vi) f(x) = |x a|,tome a = 5, a = 2 e a = 6.

(x) a Verifique que se f(x) = x2 + 5x 3, entao limx2

f(x) = f(2)

b Verifique que se g(x) =x2 4x 2

, entao limx2

g(x) = 4; mas que g(2) nao esta definida.

c Dada a funcao f , em cada um dos casos, verifique se limx3

f(x) = f(3)

f(x) =

{x2 9, se x = 34, x = 3.

f(x) =

{x29x+3

, se x = 34, x = 3.

(xi) Uma lata fechada de estanho, de volume fixado V , deve ter a forma de um clindro reto,encontre o volume e a area deste cilindro como funcao apenas de r e depois apenas deh respectivamente.

(xii) Como sabemos o volume e a area de qualquer cone reto sao funcoes do seu raio r eda sua altura h. Um cone reto deve ser inscrito em uma esfera de raio conhecido a0.Enconter a area e o volume deste cone como funcao apenas de r e depois de h

(xiii) Como sabemos a area de um retangulo e uma funcao de seus lados, digamos x e y.Considere apenas os retangulos que tem mesmo permetro p0, e obtenha a area destesretangulos como funcao de apenas um de seus lados.

(xiv) Como sabemos o volume e a area de qualquer cilindro reto sao funcoes do seu raio r eda sua altura h. De a expressao de cada uma destas funcoes. Considere um cilindroreto de raio r e altura h inscrito em uma esfera de raio fixo a. De o volume e a areada deste cilindro em funcao apenas de h e a, e depois em funcao de r e a.


(xv) A equacao ax2 + 2x 1 = 0, com a R uma constante, apresenta duas razes sea > 1, uma positiva e a outra negativa.

r+(a) =1 +

1 + a

ae r(a) =

11 + a

a.

(a) O que acontece a r+(a) quando a 0 ? Quando a 1+ ?(a) O que acontece a r(a) quando a 0 ? Quando a 1+ ?Fundamente suas conclusoes tracando os graficos de r+(a) e r(a) em funcao de a.Descreva o que voce observa.

Teorema 6 Dada f : A R R uma funcao e x0 um ponto de acumulacao de A, suponhaque lim

xx0f(x) = L R. Entao para todo numero inteiro positivo n tem-se lim

xx0[f(x)]n = Ln.

Veja que limx3

x5 = 35.

2.0.3 Limites Laterais

Definicao 12 Dada f : A R R funcao e x0 ponto de acumulacao de A. Suponha exister > 0 tal que o intervalo aberto (x0 r, x0) e subconjunto de A. Dizemos que o limite def(x) quando x se aproxima de x0 pela esquerda de x0 e L, se dado > 0, existir > 0 talque para todo x < x0 e dist(x, x0) < tivermos dist(f(x), L) < .

Notacao limxx0

f(x) = L.

-oxO

oy

(x, f(x))

1

1

1 +

= (

x

...

...

.........

6

Figura 1

Exemplo 33 Seja

f(x) =

{1, se x > 0,

1, se x 0,

45

Note que, x0 = 0 e L = 1, entao dado > 0, o intervalo (0 , 0) e subconjuntodo domnio de f . Note ainda que, se tomarmos = , veremos que, se x (, 0) entaodist(x, 0) < ou seja |x| < , e dist(f(x), 0) = | 1 + 1| = 0 < |x| < .

Definicao 13 Dada f : A R R uma funcao e x0 um ponto de acumulacao de A.Suponha existe r > 0 tal que o intervalo aberto (x0, x0+ r) e subconjunto de A. Dizemos queo limite de f(x) quando x se aproxima de x0 pela direita de x0 e L se dado > 0, existir > 0 tal que para todo x > x0 e dist(x, x0) < tivermos dist(f(x), L) < .

Notacao limxx+0

f(x) = L.

Exemplo 34 Seja f(x) =

{1, se x > 0,

1, se x 0,

-oxO

oy

(x, f(x))

1 +

1

=

f(1) = 1

)x

...

...

...

...

...

6

Figura 2

Note que, x0 = 0 e L = 1. Dado > 0 que o intervalo (0, ) e subconjunto do domnio def . Note ainda que, se tomarmos = , veremos que se x (0, ) = (0, ) entao dist(x, 0) < ,ou seja |x| < , e dis(f(x), 0) = |1 1| = 0 < |x| = x < .

Teorema 7 Dada f : A R R uma funcao e x0 um ponto de acumulacao de A. O limitede f(x) quando x se aproxima de x0 existe se e somente se os limites laterais existirem e foremiguais; ou seja lim

xx0f(x) = L R se e somente se lim

xx0f(x) = L R; lim

xx+0f(x) = M R

e L = M .

Segue do Teorema 7 nos diz que se f for a funcao dada no exemplo 34 entao o limx0

f(x)

nao existe.

Exemplo 35 Seja f : [4; 6] R funcao cujo grafico esta dado abaixo:

Veja que limx1

f(x) = 4 e limx1+

f(x) = 2. Do Teorema 7 segue que limx1

f(x) nao existe.


2.0.4 Limites no Infinito

Definicao 14 Dada f : (a,) R uma funcao. Dizemos que o limite de f(x) quando xse aproxima do infinito e L se dado > 0, existir N R positivo tal que, para cada x > Ntem-se dist(f(x), L) < .

-oxO

b+

b N x

f(x)

oy

(x,

bx2

(x a)2)

y = b

x = a

6

Figura 3

Exemplo 36 Seja f : R {0} R dada por

f(x) =1

xentao temos lim

xf(x) = 0.

Observe que L = 0. Dado > 0, tome N0 N (numero natural) tal que1

N0< . Note

que se x > N0 entao 0 0, tome M0 Z ( inteiro negativo ) tal que1

|M0|< .

Note que se x < M0 entao 0 0 tome M =

1r

1r

> 0. Veja que

M r =

e que se x > M entao xr > M r e assim,

xr M , f(x) < . Portanto, segue da Definicao 14 que limx

xr= 0.

As as outras da prova partes deste Teorema sera omitida. O leitor pode encontra-la emalgum dos livros citados na bibliografia desta disciplina.

Exemplo 38 Seja f : (0,) R funcao cujo grafico aparece esbocado na fugura abaixo.Podemos ver que lim

xf(x) = L.

Veja que dad > 0 existe M > 0 tal que se x > M entao f(x) ( L; + L).

Exemplo 39 Seja f : R {0} R dada por

f(x) =1

x2.

Veja que neste exemplo temos r = 2 e = = 1. Entao pelo Teorema 8, temos

limx

1

x2= 0 e lim

x

1

x2= 0.

Exemplo 40 Dada f(x) =4x 35x+ 5

. Calcule limx

f(x).

Note que4x 35x+ 7

=4 3

x

5 + 7x

para todo x R nao nulo. Ainda, pelo Teorema 8, limx

3

x= 0.

Analogamente, limx

7

x= 0. Portanto, podemos nos valer do Teorema 5(C) para ver que

limx

4x 35x+ 7

= limx

(4 3

x

)(5 + 7

x

) = limx(4 3

x

)limx

(5 +

7

x

) = 45.

49

2.0.5 Limites Infinitos

Definicao 16 Seja f : A R R uma funcao e x0 um ponto de acumulacao de A.Suponhamos que existe r > 0 tal que x (x0 r, x0) A. Dizemos que o limite de f(x)quando x aproxima-se, pela esquerda, de x0 e infinto se dado N0 N existe > 0 tal quepara cada x (x0 , x0) tivermos f(x) > N0.

Notacao limxx0

f(x) = .

-

6

x0

oxO

oy

(x

f(x)

...

...

...

...

...

...

...

...

... N0

(x, f(x))

x0

6

Figura 5

Definicao 17 Seja f : A R R uma funcao e x0 um ponto de acumulacao de A.Suponhamos que existe r > 0 tal que x (x0 r, x0) A. Dizemos que o limite de f(x)quando x aproxima-se, pela esquerda, de x0 e menos infinto se dado N1 N, N1 < 0, existe > 0 tal que para cada x (x0 , x0) tivermos f(x) < N1.

Notacao limxx0

f(x) = .

Teorema 9 Sejam f, g : A R R uma funcao e x0 um ponto de acumulacao de A.Suponha que

limxx0

g(x) = 0 e limxx0

f(x) = R, com > 0 (2.0.10)

(i) Se existir > 0, tal que para todo x (x0, x0), tem-se g(x) > 0, entao limxx0

f(x)

g(x)=

.


(ii) Se existir > 0, tal que para todo x (x0, x0), tem-se g(x) < 0, entao limxx0

f(x)

g(x)=

.

Definicao 18 Seja f : A R R uma funcao e x0 um ponto de acumulacao de A.Suponhamos que existe r > 0 tal que x (x0, x0 + r) A. Dizemos que o limite de f(x)quando x aproxima-se, pela direita, de x0 e menos infinto se dado M1 Z, M1 < 0, existir > 0 tal que para cada x (x0, x0 + ) tivermos f(x) < M.

Notacao limxx+0

f(x) = .

Definicao 19 Seja f : A R R uma funcao e x0 um ponto de acumulacao de A.Suponhamos que existe r > 0 tal que x (x0, x0 + r) A. Dizemos que o limite de f(x)quando x aproxima-se, pela direita, de x0 e infinto se dado M0 N, existir > 0 tal quepara cada x (x0, x0 + ) tivermos f(x) > M0.

Notacao limxx+0

f(x) = .

Teorema 10 Sejam f, g : A R R uma funcao e x0 um ponto de acumulacao de A.Suponha que

limxx+0

g(x) = 0 e limxx+0

f(x) = R, com > 0 (2.0.11)

(i) Se existir > 0, tal que para todo x (x0, x0+), tem-se g(x) > 0, entao limxx+0

f(x)

g(x)=

.

(ii) Se existir > 0, tal que para todo x (x0, x0+), tem-se g(x) < 0, entao limxx+0

f(x)

g(x)=

.

Exemplo 41 Seja h : (5; 5) R dada por h(x) = x2 + 2

x2 4se x = 2 e x = 2. Calcule

limx2

x2 + 2

x2 4e lim

x2+

x2 + 2

x2 4.

Resolucao Veja que o sinal de x2 4 e dado por

-oxO-2 2

+ + + + + + + + + +

51

(i) Defina f(x) = x2 + 2 e f(x) = x2 4. Note que limx2

g(x) = 0 e limx2

f(x) = 6 > 0

(ver (2.0.11)). Ainda, se 0 < < 1 e x (2, 2+ ), g(x) > 0, isto e, a imagem de cadaum destes valores x pela funcao g, que e dado por g(x), e um numero real positivo(ver figura acima)). Entao, podemos nos valer do primeiro item do Teorema 10 para

obtermos limx2+

x2 + 2

(x2 4)= .

(ii) Defina f(x) = x2 + 2 e g(x) = x2 4. Note agora que limx2+

g(x) = 0 e limx2+

f(x) =

6 > 0 (ver (2.0.10)). Ainda, se 0 < < 1 e x (2 , 2), g(x) < 0, isto e, a imagemde cada um destes valores x pela funcao g, que e dado por g(x), e um numero realnegativo (ver figura acima ). Entao, podemos nos valer do primeiro item do Teorema

16 para obtermos limx2

x2 + 2

(x2 4)= .

Teorema 11 Sejam f ; g : A R R funcoes e x0 um ponto de acumulacao de A.Suponhamos que

(i) limxx+0

g(x) = L R e limxx+0

f(x) = .

Entao(i) lim

xx+0g(x)f(x) = se L > 0.

(ii) limxx+0

g(x)f(x) = se L < 0.

Teorema 12 Sejam f ; g : A R R funcao e x0 um ponto de acumulacao de A. Supon-hamos que

(i) limxx0

g(x) = L R e limxx0

f(x) = .

Entao(i) lim

xx0g(x)f(x) = se L > 0.

(ii) limxx0

g(x)f(x) = se L < 0.

Teorema 13 Sejam f ; g : A R R funcoes e x0 um ponto de acumulacao de A.Suponhamos que

(i) limxx0

f(x) = 0.

(ii) Existe M > 0 tal que |g(x)| < M.

Entao, limxx0

g(x)f(x) = 0


Exemplo 42 Seja h : A R R dada por h(x) = x7 sen ( 1x). Calcule lim

x0h(x).

Resolucao Nos podemos usar o Teorema 13 para calcular este limite. Veja que h(x) =f(x)g(x) onde f(x) = x7 e g(x) = sen ( 1

x). Ainda lim

x0f(x) = lim

x0x = 0 e |g(x)| = |sen ( 1

x)|

1. Pelo Teorema 13 limx70

h(x) = limx0

x sen (1

x) = 0.

Exemplo 43 Seja h : A R R dada por h(x) = x2 + 3x+ 4

3x2 + 15x 12. Calcule lim

x4h(x).

Resolucao Vamos denominar por g(x) = x2 + 3x + 4 e f(x) = 3x2 + 15x 12. Vejaque x0 = 4 e raiz de g(x). Entao por divisao de polinomios obtemos g(x) = 3(x 32)(x4)e assim o sinal de g(x) e dado por.

-oxO3

24

+ + + + + + +

Tambem vemos que para calcular o limx4

h(x) teremos que calcular limx4

h(x) e limx4+

h(x).

Vamos calcular prmeiro limx4

h(x). Como limx4

f(x) = limx4

x2 + 3x+ 4 = 32 > 0 e existe

> 0 tal que se 4 < x < 4 tem-se f(x) > 0 (veja figura acima), segue do Teorema 6i

que limx4

f(x) = limx4

x2 + 3x+ 4

3x2 + 15x 12= .

Calcular agora limx4+

h(x). Como limx4

f(x) = limx4

x2 + 3x + 4 = 32 > 0 e existe > 0

tal que se 4 < x < 4 + tem-se f(x) < 0 (veja figura acima), segue do Teorema 6ii que

limx4+

f(x) = limx4+

x2 + 3x+ 4

3x2 + 15x 12= . Podemos afirma que nao existe nenhum dos

limites limx4

f(x), limx4+

f(x) e limx4

f(x).

Exemplo 44 Calcule (a ) limx3+

x2 + x+ 2

x2 2x 3e ( b ) lim

x3

x2 + x+ 2

x2 2x 3.

Note que, limx3

g(x) = limx3

x2 + x + 2 = 14 = L > 0 e limx3

f(x) = limx3

x2 2x 3 = 0.Ainda, f(x) = (x 3)(x+ 1) e o sinal de f(x) aparece na figura abaixo:

-1 3

+ + + + + +)3 + x

(a) Veja na figura que, se > 0 e x (3 ; 3 + ) a imagem de x por f que e dada por f(x),e positiva. Como lim

x3g(x) = lim

x3x2 + x+ 2 = 14 = L > 0, Teorema 6(iii) nos faz concluir

53

limx3+

x2 + x+ 2

x2 2x 3= .

(b) Veja tambem na figura que, se > 0 e x (3 ; 3) a imagem de x por f que e dadapor f(x), e negativa. Como lim

x3g(x) = lim

x3x2 + x+ 2 = 14 = L > 0, a parte Teorema 6(ii)

nos faz concluir

limx3+

x2 + x+ 2

x2 2x 3= .

EXERCICIOS

(i) Calcule os limites, (i) limx4+

x

x 4; (ii) lim

h2+

h+ 2

h2 4; (iii) lim

t2+

t+ 2

t2 4;

(iv) limx0

3 + x2

x(v) lim

x3+

x2 9x 3

; ( Resp. , , , , ).

(vi) limx0

3 + x2

x; (vii) lim

x0

3 + x2

x; (viii) lim

h3

h2

9 h2(ix) lim

x

5x2 + 8x 33x2 + 3

;

R 53. (x) lim

x

5x2 + 8x 33x2 + 3

; R 53. (xi) lim

x

2x2 37x+ 4

; R . (xi)

limx

4x3 + 7x2x2 3x 10

; R .

Encontre os limites a seguir. (i) limh+

2h2 + 1

5h2 2; (ii) lim

x+

x2 + 4

3x3 6; (iii)

limy+

y3 + 4

y + 4; (iv) lim

x

4x3 + 2x2 68x3 + x+ 2

; (v) limx+

x2 + 1 x.

(Resp. 25, 0, 0, 1

2, 1).

(vi) limx

x2 2x+ 57x3 + x+ 1

(vii) limx

x2 + 4

x+ 4(viii) lim

x

3x4 7x2 + 22x4 + 1

.

(ii) Investigue a continuidade das funcoes a seguir, e indique os pontos de descontinuidadeem cada item:

(a) f(x) =

2x+ 1, < x 1;x2 3x 4, 1 < x 2;x+ 1, 2 < x < 5.

(b) g(x) =

x2 + 1, < x < 1;x2 3x 4, 1 x 2;x+ 1, 2 < x < .

(c) f(x) =

2x+ 1, < x 2;log2(x+ 1), 2 < x 2;1

x; x > 2.

(d) g(x) =

2x+2, < x < 0;x2 4x 5, 1 x 2;2x+ 1, 2 < x < .


(e) f(x) =

{1

x

sin(x)

xx = 0;

0, x = 0,(f) g(x) =

x2 16x+ 4

, x = 4;

8, x = 4.Obs : Note que a composicao de funcoes contnuas e uma funcao contnua.

(iii) (a) Calcule limx3

5

x2 3. (b) Calcule lim

x3

5

(x2 3)2.

(c) Calcule limx3

5x

x2 3. (d) Calcule lim

x3

x3 + 3

(x2 3)2.

(e) Calcule limx2

x3 8x2 4

. (f) Calcule limx2

x3 + 8

x2 4.

(iv) Investige a continuidade das funcoes f(x) e g(x) nos pontos x0, x1 e x2 indicados,

quando1

xo x0 = 2, x1 = 1, x2 = 0 para f(x) e x0 = 1, x1 = 2, x2 = 0 para g(x) e

f(x) =

x3 8

x2 4, se x = 2;

3, se x = 2.g(x) =

x2 + 1, se < x < 1;x2 3x 4, se 1 x 2;x+ 1, se 2 < x < .

(v) Calcule cada um dos limites laterais em cada uma das razes do denominador de f ,limx

f(x) e limx

f(x) quando :

(a) f(x) =x+ 5

x 3(b) f(x) =

2x6 + 5

x3 x2 + x+ 3(c) f(x) =

x2 + 5

x2 3(d) f(x) =

x+ 5

x(e) f(x) =

x+ 1

x2 + 3x+ 2(f) f(x) =

4x3 + 2x2 68x3 + x+ 2

.

b - Calcule (i) limx0

sin 10x

sin 7x; (ii) lim

x0

1 cos xx2

; (iii) limh0

sin(x+ h) sin xh

;

(iv) limh0

cos(x+ h) cosxh

(vi) Determine valor de para que a funcao f seja limxx0

f(x) = f(x0).

f(x) =

x3 8

x2 4, se x = 2;

, se x = 2.f(x) =

{sin 10x

sin 7x, se x = 0,

, se x = 0.

(vii) Em cada item abaixo calcule f (x) = limxa

f(x) f(a)x a

; a R, a = 0.

(i) f(x) = 3x, R. f (x) =

1

33a2

; (ii) f(x) = 4x, R. f (x) =

1

44a3

; (iii)

f(x) = 5x, R. f (x) =

1

55a4

; (iv) f(x) = x2, R. f (x) = 2a3; (v) f(x) = x3,

55

R. f (x) = 3a4; (vi) f(x) = |x 5|, tome a = 5, a = 2 e a = 6. Em cada um dostens anteriores, encontre os valores a Dm(f) tais que f (a) = 0, f (a) < 0, f (a) > 0e que f (a) nao exista.

(viii) Resolva as questoes abaixo verifique se a afirmacao e falsa ou verdadeira.

(i) Verifique se limx0

3 sin(x3 + )

2(x2 1)=

3

2, (ii) Verifique se lim

x3

x2 10x 39x2 + 2x 3

= 4,

(iii) Verifique se limx

4x2 10x 39x2 + 2x 3

= 4, (iv) Verifique se limx5

4x2 100x 5

= 40,

(v) Verifique se limx3

x2 + 2x 15x2 + 4x+ 3

= 1, (vi ) Verifique se limx

x2

2sin(

4

x2) = 2.


2.1 Teorema do Sanduiche e Limites Fundmentais

Teorema 14 Dadas f, g, h : A R funcoes e x0 ponto de acumulacao de A.(i) Suponha existe > 0 tal que para cada x (x0 ; x0 + ) tem-se f(x) h(x) g(x).(ii) Suponha que lim

xx0f(x) = L e lim

xx0g(x) = L, onde L e um numero real.

Entao limxx0

h(x) = L.

Exemplo 45 Seja h : A R R funcao dada por h(x) = x sen (1x), e x0 = 0. Calcule

limx0

h(x).

Note que, x x sen (1x) x, enta tome f(x) = x e g(x) = x e teremos f(x) h(x)

g(x) para todo x R. Como limx0x = 0 = limx0 x, o Teorema 14 nos garante quelimx0 sen (

1

x) = 0.

2.1.1 Primeiro Limite Fundamental

Provemos que limx0

senx

x= 1.

Consideremos o arco de circunferencia de raio um AOC na Figura abaixo. Consideretambem o setor circular AOC e os triangulos BOC e AOG cujas as areas sao representasdaspor s, B e G respectivamente.

2.1. TEOREMA DO SANDUICHE E LIMITES FUNDMENTAIS 57

O A

G

C

B

6

-

E facil ver que B s G. Vamos denotar a medida do arco AC por x, e observarque a medida dos segmentos de reta OA, OB, BC, e AG sao um, cosx, sen x e

sen x

cosxrespectivamente. Com estes valores em mentevemos que estas areas satisfazem

1

2(sen x cosx) x

2 1

2

senx

cos xou seja sen x cos x x sen x

cos x.

Invertendo todas as fracoes teremos

1

sen x cos x 1

x cosx

sen x.

Multiplicando todos os membros das inequacoes acima por senx (veja que sen x > 0) teremos

1

cos x sen x

x cos x.

Agora estamos em condicoes de nos valer do Teorema 14 com as funcoes f(x) =1

cos x,

g(x) = cos x e h(x) =senx

x. Como lim

x0+f(x) = lim

x0+

1

cos x= 1 e lim

x0+g(x) = lim

x0+cosx = 1,

o Teorema 14 nos asegura que

limx0+

h(x) = limx0+

sen x

x= 1.


Note que todos os calculos acima podem ser desenvolvidos para x proximo de zero, mas pelaesquerda de zero, o que nos faz ver que

limx0

h(x) = limx0

sen x

x= 1.

Como os limites pela esquerda e pela direita de zero existem e sao iguais, teremos

limx0

sen x

x= 1.

Observacao 6 Veja que a hipotese limxa

f(x) = limxa

g(x) do Teorema 14 nao pode ser suprim-

ida, porque se f, h, g : R R forem dadas por f(x) = 1, h(x) = cos(1x

)e g(x) = 1,

teremos a hipotese f(x) h(x) f(x) do Teorema 14 satisfeita. Como limxa

f(x) = 1,limxa

g(x) = 1 e limxa

f(x) = limxa

g(x), a hipotese limxa

f(x) = limxa

g(x) do Teorema 14 nao esta

satisfeita. Veja na Figura a seguir o grafico da funcao h. E facil ver que a Definicao 11nao vale para o limite lim

x0f(x).

Exemplo 46 Vamos calcular limx0

1 cosx

.

Veja que a fracao dentro do limite pode ser escrita como

1 cosx

=1 cos

x 1 + cos x1 + cos x

=1 cos2 xx[1 + cos x]

=sen x

x sen x 1

[1 + cos x].

Veja que limx0

sen x

x= 1 (limite fundamental), lim

x0senx = 0 e lim

x0

1

1 + cos x= 1. Entao

temos

limx0

1 cosx

= limx0

sen x

x senx 1

[1 + cos x]= 1 0 1 = 0.


Exemplo 47 Seja h : R R dada por h(x) = x2 cos 1x. Calcule lim

xox2 cos

1

x

Resolucao Tome f, g : R R dadas por f(x) = x2 e g(x)x2 e veja que f(x) h(x) g(x) para todo x R (ver figura 2.1.1). Ainda lim

xof(x) = Limxo x2 = lim

xox2 lim

xog(x).

Segue do Teorema 14 que limxo

h(x) = limxo

x2 cos1

x= 0.

Exemplo 48 Seja h : R R dada por h(x) = x2 cos 1x. Calcule lim

xox2 cos

1

x

Resolucao Tome f, g : R R dadas por f(x) = x2 e g(x)x2 e veja que f(x) h(x) g(x) para todo x R (ver figura 2.1.1). Ainda lim

xof(x) = Limxo x2 = lim

xox2 lim

xog(x).

Segue do Teorema 14 que limxo

h(x) = limxo

x2 cos1

x= 0.

Exerccio 9 (i) Calcule (i) limx0

sen 3x

x; (ii) lim

x0

sen x

x; (iii) lim

x0

sen 3x

sen 5x; (iv)

limx0

sen 211x

5x.

(ii) Tome f(x) = cos x e calcule limh0

f(a+ h) f(a)h

(iii) (i) Calcule limx1

senx

x 1. (ii) lim

x0

sen 17x

sen x;

(iv) a - Calcule limx

2x2 x 3x3 2x2 x+ 2

.

b - Seja f : R R dada por f(x) = x 15 . Se a for um numero real fixo nao nulo,

calculef(x) f(a)

x a. Em seguida calcule lim

xa(ax)

15f(x) f(a)

x a.


(v) Calcule os limites abaixo :

(i) limx0

53 + x2

x3; (ii) lim

x1

2x2 x 3x3 2x2 x+ 2

; (use o item (i) exerccio 3).

(vi) Encontre em R o conjunto solucao para as inequacoes abaixo :

(a)2x2 x 3

x3 2x2 x+ 2 0; (b) 3

9 x 2

x+ 2;

(c) Seja f : A R R dada por f(x) =

|2x 1| |x+ 1|. Descreva o conjuntoA.

(vii) a Calcule as assntotas horizontais e verticais de f(x) =x2 4x3 + 8

,

b Como sabemos da definicao de limite que limx2

x2+2x 1 = 7 se dado > 0 existir > 0 tal que, se dist(x; 2) < , entao dist(f(x), 7) < . Dado = 104, encontrealgum > 0 adequado que satisfaca a definicao de limite.

2.1.2 Segundo Limite Fundamental

Primeiramente vamos mostrar que se n for um numero natural maior que dois entao[1 +

1

n

]n 2 se n 2.

Usando o binomio de Newton, vemos facilmente que[1 +

1

n

]n=

ni=0

(n

i

)1ni

( 1n

)i=

(n

0

)1n0

( 1n

)0+

(n

1

)1n1

( 1n

)1+

ni=2

(n

i

)1ni

( 1n

)i,

mas veja que 1n0( 1n

)0= 1 =

(n

1

)1n1

( 1n

)1. Entao 1n0

( 1n

)0+

(n

1

)1n1

( 1n

)1= 1+1 = 2,

ainda note que ni=2

(n

i

)1ni

( 1n

)i> 0,

pois todas as suas parcelas sao positivas. Portanto, se n 2 teremos[1 +

1

n

]n 2.

Proposicao 1 Se e for o numero irracional neperiano cujo valor aproximado e 2, 718281828459...,entao


limt+

[1 +

1

t

]t= e = lim

t

[1 +

1

t

]t.

A prova da Proposicao 1 envolve o conceito de Series de numericas e sera omitida,mas faremos alumas observacoes sobre este assunto. Faca t N, (t assumir apenas numerosNaturais). Neste caso e facil ver que

Vamos provar que

lims0

[1 + s

]1s = e.

(2.1.12)

Fazendo t =1

s, teremos que s + se t 0+, entao

lims0+

[1 + s

]1s = lim

t

[1 +

1

t

]t Prop 1= e.

Ainda teremos que s se t 0, entao

lims0

[1 + s

]1s = lim

t

[1 +

1

t

]t Prop= e.

Como os limites laterais sao iguais, teremos

lims0

[1 + s

]1s = e.

2.1.3 Problema dos Juros Compostos

Suponha que voce investiu um quantidade P0 de capital a uma taxa de juros de 6% aoano. Entao uma conta simples mostra que ao final do primeiro perodo, o Principal P (valoratualizado), sera dado por:


P = P0(1 + 0.06) se o juro for composto anualmente ao capital inicial P0.

P = P0

(1 +

0.06

2

)2se o juro for composto semestralmente ao capital inicial P0.

P = P0

(1 +

0.06

3

)3se o juro for composto quadrimestralmente ao capital inicial P0.

P = P0

(1 +

0.06

4

)4se o juro for composto trimestralmente ao capital inicial P0.

......

......

......

P = P0

(1 +

0.06

12

)12se o juro for composto mensalmente ao capital inicial P0.

(2.1.13)Pode-se ver facilmente que se a taxa anual de juros for um numero real r, 0 < r < 1, e oPrincipal for composto m vezes ao ano (m N), ao final de n anos (n N) sera dado por:

Pn(m) = P0

[(1 +

r

m

)m]n(2.1.14)

Entao, Principal e uma funcao que relaciona o conjunto dos numeros naturais com o conjuntodo numeros reais sob a luz da igualdade (2.1.14). Observe que no sentido acima a acumulacaode capital, em verdade, e uma maneira de dois conjuntos N e R trocarem informacoes deacordo com a expressao (2.1.14).Podemos ver facilmente que[(

1 +r

m

)m]n=

[(1 +

r

m

)rmr]n

=(1 +

r

m

)mr]nr

(2.1.15)

Entao,

limm

Pn(m) = P0 limm

[(1 +

r

m

)m]n= P0 lim

m

[(1 +

r

m

)rmr]n

=

P0 limm

[(1 +

r

m

)mr]nr

= P0

[lim

m

(1 +

r

m

)mr]nr

= P0ern

(2.1.16)

Apos n anos se o Principal for corrigido infinitas vezes a cada ano, teremos

P (n) = P0ern. Substituindo n por t teremos P (t) = P0e

rt. (2.1.17)

Portanto, ao findar um perodo de tempo t a quantidade de capital P0, quando compostainstantaneamente ou continuamente a uma taxa de juros r por cento ao ano, sera dada por

P (t) = P0ert. (2.1.18)

Exemplo 49 Quanto tempo sera necessario para que Q0 = 1, 00 unidades de moeda dobreo valor nominal quando aplicado em uma carteira a taxa de juros 4% ao nao?

Resolucao Segue de (2.1.18) que P (t) = P0e0,04t ou seja queremos saber para qual

valor t0 teremos P (t0) = 2P0. Isto e P0e0,04t0 = 2P0. O valor de t0 deve satisfazer e

0,04t0 = 2.


Calculando o logartmo m neperiano em amos os membros teremos. 0, 04t0 = ln 2. Umcalculo relativamente simples nos mostra que t0 = 17 anos e quatro meses, aproximadamente.

Sabemos da teoria de limite que dadas f, g : [a, b] R tais que f e uma funcao contnuaem g(x0) [a, b] e existe lim

xx0g(x) = L R, enao lim

xx0f(g(x)) = f

(limxx0

g(x))= f(L). Note

que este resultado e util para se calcular o limite abaixo:

limx0

ln[1 + x

]1x = ln

[limx0

(1 + x

)1x]= ln e = 1.

(2.1.19)

Proposicao 2 Seja a R tal que 0 < a = 1, entao

limx0

ax 1x

= ln a.

Prova : Fazendo t = ax 1, teremos ax = t + 1. Calculando Logaritmo Nepariano emambos os membros teremos

ln ax = ln(t+ 1), entao x ln a = ln(t+ 1), portanto x =ln(t+ 1)

ln a.

E facil ver que se x 0 (x = 0) entao t 0 (t = 0), Assim teremos

limx0

ax 1x

= limx0

t

ln(t+ 1)

ln a

= ln a limx0

1

ln(t+ 1)

t

= ln a.limx0

1

limx0

ln(t+ 1)

t

ver(10)= ln a

Exerccios

Use a teoria acima e calcule os limites abaixo:

(a) limx0

ax bx

xa, b R tal que 0 < a, b = 1, (b) lim

n

(1 +

1

n

)n+5.

(c) limx

(1 +

2

x

)x, ( d) lim

x

( xx+ 1

)x, (5) lim

n

(2n+ 32n+ 1

)n.

Outros Exerccios.Calcule

(a) limx0

sin(9x)

x, (b) lim

x0

sin(10x)

sin(9x), (c) lim

x0

1 cosxx2

, (d) (1) limx0

sin3 x2

x3.

EXERCICIOS

(i) Quanto tempo sera necessario ara que Q0 = 1, 00 unidades de moeda dobre o valornominal quando aplicada em uma carteira a uma taxa de juros 5% ao nao? Rep.13, 86 anos.


(ii) Quanto tempo sera necessario ara que Q0 unidades de moeda dobre o valor nominalquando aplicada em uma carteira a taxa de juros 3% ao nao?

(iii) Quanto tempo sera necessario ara que Q0 unidades de moeda dobre o valor nominalquando aplicada em uma carteira a taxa de juros 7% ao nao?

(iv) Qual sera a taxa r de juros ao ano, para que Q0 unidades de moeda aplicada em umacarteira dobre o seu valor nominal em 12 meses? Rep. r = 5.78%.

2.1.4 Limites Infinitos no Infinito

Definicao 20 Dada f : (a,) R, dizemos que f o limite de f quando x aproxima-se doinfinito e infinito se dado M > 0 existe N0 > 0 tal que se

x > N0, entao f(x) > M. Notacao limx

f(x) = .

-oxO

oy

(x...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

... f(x)

M

(x, f(x))

N0

6

Figura 1

Exemplo 50 Seja f : [1,) R dada por f(x) = x2. Mostremos que limx

f(x) = .

Resolucao : Dado um numero realM > 1, tomeN0 =M . Veja que se x > N0 =

M

entao x2 > (N0)2 = M . Isto no diz que f(x) > M .

Definicao 21 Dada f : (, b) R, dizemos que f o limite de f quando x aproxima-sedo menos infinito e infinito se dado M > 0 existe N < 0 tal que se

x < N, entao f(x) > M. Notacao limx

f(x) = .


Definicao 22 Dada f : (a,) R, dizemos que f o limite de f quando x aproxima-se doinfinito e menos infinito se dado M < 0 existe N > 0 tal que se

x > N, entao f(x) < M. Notacao limx

f(x) = .

Definicao 23 Dada f : (, b) R, dizemos que f o limite de f quando x aproxima-sedo menos infinito e menos infinito se dado M < 0 existe N < 0 tal que se

x < N, entao f(x) < M. Notacao limx

f(x) = .

Exemplo 51 Mostre que limx

xn = .

Resolucao Dado M > 0 tome N0 =nM . Veva que se x > N0 entao x

n > Nn0 =( nM)n = M . Portanto f(x) > M .

Exemplo 52 Mostre que limx

xn = se n for par.

Resolucao Dado M < 0 tome N0 = n

|M |. Veja que se x < N0 entao xn < Nn0 =( n

|M |)n = |M |. Mas como M < 0, |M | = M . Assim xn < (M) = M . Portantof(x) < M .

Teorema 15 Sejam f ; g : A R R funcoes. Suponhamos que existe a R tal que ointervalo [a,) A e que

(i) limx

g(x) = L R e limx

f(x) = .

Entao(i) lim

xg(x)f(x) = se L > 0.

(ii) limx

g(x)f(x) = se L < 0.

Teorema 16 Sejam f ; g : A R R funcoes. Suponhamos que existe b R tal que ointervalo (; b] A e que

(i) limx

g(x) = L R e limx

f(x) = .

Entao(i) lim

xg(x)f(x) = se L > 0.

(ii) limx

g(x)f(x) = se L < 0.

Exemplo 53 Seja p : R R um polinomio dado por p(x) = anxn + an1xn1 + a1x + a0com an = 0. Mostre que

{limx

p(x) = se an > 0,limx

p(x) = se an < 0.

{lim

xp(x) = se an > 0 e n par

limx

p(x) = se an > 0 e n mpar.


Resolucao Da definicao de limite segue que limx

an = an. Para provar a primeira parte

vamos usar os Exemplos 51 e 52 e o Teorema 15. Veja que p(x) = xn(an +

an1x

+an2x2

+

+ a1xn1

+a0

xn+1

). Segue do Teorema 8 que

limx

an1x

= 0, limx

an2x2

= 0, . . . limx

a1xn1

= 0, limx

a0xn+1

= 0, (2.1.20)

Entao limx

[an+

an1x

+an2x2

+ + a1xn1

+a0

xn+1

]= an. No Teroema 15 escolha f(x) = x

n

e g(x) = an +an1x

+an2x2

+ + a1xn1

+a0

xn+1. Do Exemplo 52 segue que lim

xxn = .

De (2.1.20) segue que limx

g(x) = 0 = L. Portanto, segue da primeira parte do Teorema 15

que limx

xn(an +

an1x

+an2x2

+ + a1xn1

+a0

xn+1

)= se an > 0 e da segunda parte do

Teoerema 15 segue que limx

xn(an +

an1x

+an2x2

+ + a1xn1

+a0

xn+1

)= se an < 0.

A segunda parte da prova e deixada para o leitor.

2.2 Assntotas Verticais e Horizontais

Definicao 24 Seja a um numero real qualquer. A reta x = a e uma Assntota Verticalao grafico da funcao f : A R R se uma das quatro condicoes abaixo estiver satisfeita.(i) lim

xaf(x) = . (ii) lim

xaf(x) = ; (iii) lim

xa+f(x) = ; (vi) lim

xaf(x) = .

-

6x0

oxO

oy

(x

...

...

...

...

...

...

...

...

... N0

(x, f(x)

Apostla Calculo Um 2

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