ApresentacaoAula10-AnaliseErrosIntrozidosIntegracaoNumerica

7/25/2019 ApresentacaoAula10-AnaliseErrosIntrozidosIntegracaoNumerica

1/9

Anlise de Redes no Domnio do Tempo Clever Pereira

1

ANLISE DOS ERROS INTRODUZIDOS PELAINTEGRAO NUMRICA NO ATP-EMTP

1. INTRODUO

Uma vez que as equaes diferenciais so resolvidasnumericamente atravs de mtodos de integrao que aproximama rea sob a funo, torna-se importante tomar algumconhecimento sobre os erros que estes mtodos de integraopodem introduzir. Neste texto sero analisados os erros demagnitude e de fase devido aplicao das regras de integraotrapezoidal e Euler Regressivo para a soluo da equaodiferencial de um indutor ideal. A anlise para o capacitor ideal semelhante e pode ser deduzida pelo leitor a partir das expressesobtidas para o indutor ideal.

2. ERROS INTRODUZIDOS PELA REGRA TRAPEZOIDAL

Seja o elemento indutor ideal mostrado na fig. 1 a seguir:

Para este elemento vale a seguinte equao diferencial( )

( ) di t

v t Ldt

= (1)

A soluo desta equao da forma

( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

i tt

t t i t t

v t dt L di t v t dt L di t

= = (2)

+ v(t)

L

Fig. 1 Indutor ideal


2/9


2

Aplicando-se a regra de integrao trapezoidal (TR) vem que

[ ]( ) ( )

( ) ( )2

v t v t t t L i t i t t

+ = (3)

ou seja

[ ]( ) ( ) ( ) ( )2

ti t i t t v t v t t

L

= + (4)

Rearranjando os termos da equao (4), vem que

( ) ( ) ( ) ( )2 2

t ti t i t t v t v t t L L

= + (5)

ou finalmente que

( ) ( ) ( ) ( )2 2

t ti t v t v t t i t t

L L

= + + (6)

A equao (6) da forma

( ) ( ) ( )TR TRi t G v t h t t = + (7)

onde GTRe hTR(t-t)so respectivamente a condutncia equivalenteda indutncia e o termo histrico, obtidos a partir da utilizao domtodo de integrao trapezoidal (TR) e dados por.

2

( ) ( )2

TR

TR

tG

Lt

h v t t i t t L

=

= +

(8)

Aplicando-se a transformada Z na equao (5) vem que

1 1( ) ( ) ( ) ( )2

tI z I z z V z z V z

L

= + (9)


3/9


3

ou seja

( ) ( )1 1( ) 1 ( ) 12

tI z z V z z

L

= + (10)

ou finalmente

1

1

( ) 1 1( )

( ) 2 1 2 1TR

I z t z t zY z

V z L z L z

+ += = =

(11)

A admitncia equivalente exata de um indutor ideal

1( )

LY

j L

= (12)

Comparando-se as equaes (11) e (12) percebe-se que a equao(11), obtida a partir da aplicao da Transformada Z na equao adiferenas (4), por sua vez obtida a partir da aplicao da regra deintegrao trapezoidal na equao diferencial do indutor, pode serobtida diretamente fazendo em (12)

2 11

zjt z

= +

(13)

A equao (13) recebe o nome de Transformao Bilinear e trata-se de uma transformao extensamente utilizada na anlise desistemas discretos. Conclui-se portanto que a TransformaoBil inear equivale aplicao da regra de integrao trapezoidal nasoluo de uma equao diferencial de primeira ordem.

Sabe-se que

j tz e

= (14)

Aplicando (14) em (11) vem que

2 2 2 2

2 2 2 2

1( )

2 1 2

t t t t j j j j

j t

TR t t t t j tj j j j

t e t e e e eY

L e L e e e e

+ + = =

(15)


4/9


4

Chamando

2

12 2 2 2 2 norm

Amo Nyq Nyq

t f t f f f f a f

f f f

t

= = = = = = =

(16)

vem que

( ) ( )

( ) ( )

( )2 2

cos cos

2 cos cos

2cos 1 1 1 1

2 2 2 tan 2tan

2

ja ja ja ja ja ja

TR ja ja ja ja ja ja

t e e e e t e eY

L e e e e L e e

a j sena a j senat

L a j sena a j sena

t a t t

tL j sena j L a j L

+ += = =

+ + = =

+

= = =

(17)

A equao (17) pode ser expressa em relao a L, resultando

1 1 1 12( )2 tan

tan tan2 2

TR

t

t aYt tj L j L j L a

= = =

(18)

A equao (18) expressa a admitncia de um indutor ideal emfuno da freqncia quando se utiliza o mtodo de integraotrapezoidal para resolver a equao diferencial do indutor ideal. Aequao (12), por sua vez, expressa o valor exato desta

admitncia.

Dividindo a equao (18) pela equao (12) vem que

( )( )

11

( ) tan

1 1( ) tan

TRTR

L TR

a

j LY a Lj L a

Y a L

j L j L

= = = = (19)


5/9


5

O erro que se comete em aproximar YLpor YTRpode ser expressopor

( )

1 1

( ) ( ) tan

1 11( ) tanTR L

TRL TR

a

Y Y a Lj L a j L

Y a L

j L

= = = = (20)

As equaes (19) e (20) mostram que a regra de integraotrapezoidal introduz apenas erro de magnitude, no existindo errode ngulo de fase, uma vez que os ngulos de YL(), expressa em(12), e YTR(), expressa em (18), so ambos iguais a /2. Assim

1 1tan

TR M

TR

a La L

= = = (21)

onde M o erro de magnitude introduzido pela regra TR, sendo adado pela equao (16).

3. ERROS INTRODUZIDOS PELA REGRA EULERREGRESSIVO (BE)

Aplicando-se o mtodo de Euler Regressivo (Backward Euler ousimplesmente BE) equao (2) vem que

[ ]( ) ( ) ( )v t t L i t i t t = (22)

ou seja

[ ]( ) ( ) ( )t

v t i t i t t L

=

(23)

Rearranjando os termos da equao (23), vem que

( ) ( ) ( )t

i t i t t v t L

= (24)

ou finalmente que

( ) ( ) ( )t

i t v t i t t L

= + (25)


6/9


6

A equao (25) da forma

( ) ( ) ( )BE BEv t G i t h t t = + (26)

onde GBEe hBE(t-t)so respectivamente a condutncia equivalente

da indutncia e o termo histrico, obtidos a partir da utilizao domtodo de Euler Regressivo (BE) e dados por.

( )

BE

BE

tR

L

h i t t

=

=

(27)

Aplicando-se a transformada Z na equao (24) vem que

1( ) ( ) ( )t

V z I z z I zL

= (28)

ou seja

( )1( ) 1 ( )t

V z z I zL

= (29)

ou finalmente

1

( ) 1( )

( ) 1 1BE

I z t t zY z

V z L z L z

= = =

(30)

Comparando-se as equaes (30) e (12) percebe-se que a equao(30), obtida a partir da aplicao da Transformada Z na equao adiferenas (24), por sua vez obtida a partir da aplicao da mtodode Euler Regressivo na equao diferencial do indutor, pode serobtida diretamente fazendo em (12)

( )11 1 1

1 z

j zt t z

= =

(31)

A equao (31) no recebe nenhum nome especial, ao contrrio daequao (13) anterior. Ela somente mostra um novo tipo de

mapeamento do eixo imaginriojno plano Z.


7/9


7

Substituindo (14) em (30), vem que

2 2

2 2 2 2( ) 1

t tj j

j t

BE t t t t j t j j j j

j a j a j a

j a j a j a j a j a j a

t e t e e

Y L e Le e e e

t e e t e

L e e e e L e e

= = =

= =

(32)

sendo a definido como anteriormente, aqui repetido na equao(33) a seguir

212 2 2 2 2

Norm

Amo Nyq Nyq

t f t f f f f a ff f f

t

= = = = = = =

(33)

Trabalhando a equao (32) vem que

( )( ) ( )

cos( )

cos cos

cos 1 cos

2 2

1 cos

2

BE

a j sen atY

L a jsena a j sena

t a j sena t a j sena

L j sena j L sena

t a j sena

j L sena

+= =

+

+ += = =

+=

(34)

ou finalmente que

( ) ( )1( ) cos ( ) cosBE La a

Y a j sena Y a j senaj L sena sena

= + = + (35)

A equao (35) expressa a admitncia de um indutor ideal emfuno da freqncia, quando se utiliza o mtodo de integraoEuler Regressivo para resolver a equao diferencial do indutorideal. Nota-se nesta equao que ela igual a YL(admitncia exatado indutor) multiplicada por dois termos, onde o primeiro governaas diferenas de magnitude e o segundo governa as diferenas defase em relao YL.


8/9


8

O erro que se comete em aproximar YLpor YBEpode ser expressoento por

( )

( )

( ) cos ( )( ) ( )

( ) ( )

cos 1

L L

BE L

BEL L

aY a j sena Y

Y Y sena

Y Y

aa j sen a

sena

+

= = =

= +

(36)

As equaes (35) e (36) mostram que o erro de fase no mais vaiser nulo, como na regra de integrao trapezoidal, mas dado por

[ ] [ ]arg ( ) arg ( )

2 2

BE LY Y a a

= = =

(37)

A figura 2 a seguir mostra os erros de magnitude para as regrastrapezoidal (TR) e Backward Euler (BE) em funo da freqncianormalizada Nyqf f .

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

Freqncia Normalizada (f / f Nyq)

Magnitude[Y(z)/Y(w)][pu]

TR

BE

Fig. 2 Erros de Magnitude das Regras de Integrao Trapezoidal e Backward Euler

Nota-se nesta figura que, em baixas freqncias, ou seja, atendendo a 0, os erros de magnitude para os dois mtodos tendempara zero, enquanto que, em freqncias prximas freqncia de

Nyquist, ou seja, a tendendo para /2, os erros tornam-se muitograndes, inviabil izando a util izao destes mtodos.


9/9


9

A figura 3 a seguir mostra que a fase da relao ( ) / ( )H z H para aregra de integrao BE linear e -nula para a regra de integraoTR.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

10

20

30

40

50

60

70

80

90

Freqncia Normalizada (f / f Nyq)

Fa

se[Y(z)/Y(w)][graus]

TR

BE

Fig. 3 Erros de Fase das Regras de Integrao Trapezoidal e Backward Euler

ApresentacaoAula10-AnaliseErrosIntrozidosIntegracaoNumerica

Documents

Transcript of ApresentacaoAula10-AnaliseErrosIntrozidosIntegracaoNumerica