Aproximação de funções Interpolação Polinomial. Teorema de existência e unicidade. Como se...

Aproximação de funções

Interpolação Polinomial. Teorema de existência e unicidade. Como se determina o polinómio interpolador: desvantagens da resolução de sistemas.Método de Lagrange: vantagens e desvantagens.Método de Newton

Análise Numérica - Interpolação Polinomial2

Interpolação

Dada uma tabela {(xi, yi), i=0, , n}: yi = f(xi) e xi xj se i j,

F(xi) = f(xi) i = 0, , n.

x0 x*x1 x2 xn-1 xn...

f(x)

F(x)F(x*)

f(x*)erro

f(x*) ≈F(x*)


Interpolação Polinomial

Se x*x0, xn - interpolação

Se x*x0, xn - extrapolação

Teorema ( de existência e unicidade)

{(xi, yi), i=0, , n}: xi xj i j.

n

i

ii

nnn xaxaxaxaaxPxF

0

2210

1 Pn(x) : Pn(xi) = yi , i=0, , n.


Técnicas para obter Pn(x)

Determinar o polinómio do 1º grau que passa por (1,1) e (2,3) Resolução de um sistema

xaaxP 101

322111

101

101

aaPaaP

21

1

0

aa

xxP 211 é uma recta

31

2111

1

0

aa


Pouco eficiente ...

Pn(xi) = yi , i=0,, n

nnnnn

n

n

y

yy

a

aa

xx

xxxx

1

0

1

0

11

00

1

11

Determina ai com cerca de n3 produtos e divisões

Determinante ≠0 se xi≠ xj

0121 axaxaxaxaxP nnnn

012

21

1 axaxaxaxaxP nn

nn

nnn

nnkn

k

21

1produtos

n produtos

Resolução de sistemas


Resolução de sistemas... alguns mal condicionados

Exemplo: Determine o polinómio de 2º grau que passa pelos pontos de abcissa x0 =100, x1=101 e x2=102.

2

1

0

2

1

0

104021021102011011100001001

yyy

aaa

Condição da matriz 108

22102 xaxaaxP Base = {1,x,x2}


Resolução de sistemascomo melhorar a condição

2222102 xxaxxbbxP

2

1

0

2

1

0

22222

22121

22020

111

yyy

bbb

xxxxxxxxxxxx

Condição da matriz 28

Base = {1,(x-x2) ,(x-x2)2}

2

1

0

2

1

0

001111421

yyy

bbb

Base Método


Propriedades dos polinómios

A soma de dois polinómios de grau n é um polinómio de grau n.

O produto de um polinómio de grau m por um polinómio de grau n é um polinómio de grau m + n.O produto de n polinómios de grau 1 é um

polinómio de grau n, isto é,

Este polinómio tem precisamente n raízes reais 1, 2,, n.

nn xxxaxP 21


Propriedades dos polinómios

Se é raiz de Pn(x) então Pn(x) é divisível

por (x-) e é um polinómio de grau n-1.

Um polinómio de grau n tem no máximo n raízes reais.

Um polinómio que se anula em n pontos tem pelo menos grau n.

x

xPn


Método de Lagrange

k

n

k

n

kii ik

in y

xxxxxP

0 0

=ℓk

(x)

coordenadas= [y0, y1..., yn ]

Base={ℓ0(x),..., ℓn(x)}


Método de Lagrange

nkkkkkk

nkkk xxxxxxxx

xxxxxxxxx

110

110

n

kkk

n

kkk

n

k

n

kii ik

in xLyxy

xxxxxP

000 0

k

nkkkkkk

nkkk y

xxxxxxxxxxxxxxxxxL

110

110

kiki

xik se se

10

xk é um polinómio de grau n

kiy

kixL ik se

se k

0 xLk é um polinómio de grau n

xPn


x0 x1 x2 x3 x4 x5

y0

y3

Método de Lagrange

Lk(xk) = yk e Lk(xi) = 0 se i k

n

kkn xLxP

0

L0(x)

L3(x)


Método de Lagrange:

Exercício 1.

a) Determine f(0.4) por interpolação parabólica

b) Comente os resultados sabendo que:

2294255.05.02055202.03.01586693.02.0

)( iii yxfx

2)sin( xxxf

1586693.0

5.02.03.02.05.03.0

2xxxP

2055202.0

5.03.02.03.05.02.0 xx

2294255.03.05.02.05.0

3.02.0 xx

1586693.0

5.02.03.02.05.04.03.04.04.02P

2055202.0

5.03.02.03.05.04.02.04.0

2294255.03.05.02.05.03.04.02.04.0

707647516.02055202.0705288976.0 02291056.0

? xL0 x1

f(0.4)0.229418342309…

3 c.d.c de f(0.4)


Método de Newton

Pn(x) = Pn-1(x) + P? Polinómio de grau n anula-se em xi i=0,1,...,n-1 P?=an (x - x0)(x – xn-1)

(para a frente)

?

P5-1(x)

P ?P5 (x)


Como determinar an ? Polinómio de grau 0 que passa por (x0, y0)

P0(x) = a0

Polinómio de grau 1 que passa por (x0, y0), (x1, y1)

P1(x) = P0(x) + a1(x - x0) = y0 + a1(x - x0)

P1(x1) = y0 + a1(x1 - x0) = y1

Polinómio de grau 2 que passa por (x0, y0), (x1, y1) (x2, y2)

Pn(xn)=yn

P0(x0) = a0 = y0 P0(x) = y0

01

011 xx

yya

variação

))(()()( 10?20

01

0102 xxxxaxx

xxyyyxP

222 )( yxP 02

0101

1212

2 xxxxyy

xxyy

a

variação da variação

Pn(x) = Pn-1(x) + an (x - x0)(x – xn-1)


1,,0,1

11

ni

xxyyxxf

ii

iiii

Diferença dividida de f

De 1ª ordem

De 2ª ordem

De ordem k

ii xx ,1 1, ii xx

2,,0,,,,,,2

1212121

ni

xxxxxxxxxxxxf

ii

iiiiiiiiii

knixx

xxxxxxxiki

kiikiikiii

,,0,,,,,,, 11

1


Tabela das diferenças divididas

xi yi

x0 y0

x1 y1

x2 y2

x3 y3

x4 y4

⋮ ⋮

f[xi , xi+1] f[xi , xi+1 , xi+2] f[xi , xi+1 , xi+2 , xi+2]

[x0 , x1]

[x1 , x2]

[x2 , x3]

[x3 , x4]

[x0 , x1 , x2]

[x1 , x2 , x3]

[x2 , x3 , x4]

[x0 , x1 , x2 , x3]

[x1 , x2 , x3 , x4]

…

…

Tabela das diferenças divididas Folha InP1 -1.1


x (T) y (C. Ter.) 1ªordem 2ºordem 3ªordem 4ªordem 5ªordem

100 0.00939 9.04 010-5 -6.75 010-8 1.4 510-10 -5.2 510-13 1.8 583310-

15

200 0.01843 7.69 010-5 -2.4 010-8 -6.5 010-11 4.04 1710-13

300 0.02612 7.21 0 10-

5 -4.3 5 10-8 9.6 6710-11

400 0.03333 6.34 010-5 -1.4 5 10-8

500 0.03967 6.05 010-5

600 0.04572

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

exacto aproximado


Lema

A diferença dividida de ordem n+1 de um polinómio de grau n é identicamente nula


Polinómio de Newton

Polinómio de grau 2 que passa por (x0, y0), (x1, y1), (x2, y2)

Polinómio de grau n que passa por (x0, y0), …, (xn, yn)

1002

0101

1212

00101

02 xxxxxxxxyy

xxyy

xxxxyyyxP

1021001002 xxxxx,x,xxxx,xyxP

1010

102100100

nn

n

xxxxx,,x,xxxxxx,x,x

xxx,xyxP


2103210

10210

0100

,,,,,,

xxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxyxPn

xi yi f[xi , xi+1] f[xi , xi+1 , xi+2] f[xi , xi+1 , xi+2 , xi+3] …

x0 y0

[x0 , x1]

x1 y1 [x0 , x1 , x2]

[x1 , x2] [x0 , x1 , x2 , x3]

x2 y2 [x1 , x2 , x3] …

[x2 , x3] [x1 , x2 , x3 , x4]

x3 y3 [x2 , x3 , x4]

[x3 , x4]

x4 y4

⋮ ⋮


Qual o erro?

Se

R x f x P xn n( ) ( ) ( ) x xi

)( ,...,,)()(

1

001 xfxxxxxxxxPxPx

nnnn

n

)( ,,,)( 10 xxxxxR nnn

? )x(x,,x,x)x(R nnnn 101

Polinómio de newtonInP1 - 1.2

P2


3 pontos 300,200,100 210 xxx

= 0.0216(7)

P2(240)=0.00939+9.04(0)10-5(240-100) -6.75(0)10-8(240- 100)(240-200) = 0.00939 + 0.0126(56) -0.000378(0)

+ próximos

300240200240100240400,300,200,1002402 R

4-5-10

1049.0104.9 60401401045.1

0.510-

4

4 c.d.

)7(0216.0240 f Mesmo que f seja “suave” a 4ª c.d. pode não ser correcta


Significado da diferença dividida

Fórmula de Newton

Fórmula de Taylor

nn

nn

nn

xxxxx,,x,xxxxxx,,x

xxxxx,x,xxxx,xyxRxPxf

00100

102100100

1

01

00

20

0000

1

2

nn

nn

xxnfxx

nxf

xxx''fxxx'fxfxf

! !

!

0x,x


Significado da diferença dividida

k)k(

k x,x!k

fx,,x 00

!kxfx,,x

)k(

k

vezes 1

i)i( xfxf 0 Polinómio de Newton

ib,ax,x:b,a

x!n

fxx,,x,x)x(R

i

n)n(

nnn

11

10 1

Polinómio de Taylor

Erro do Polinómio de Newton


Estimativa do erro

Limite superior do erro

Valor aproximado (se f for “suave”)

baCf n ,1

)(max,!1

)( )1(

,11

1 xfMxnMxR n

baxnn

nn

xxxxxn

fxR nnn

n

n 101

)1(,,,

!1)(


Como se pode diminuir o erro?

Aumentando o n (grau do polinómio interpolador)

Escolhendo os pontos da tabela mais próximos de

n

n

n xxxxxxn

fxR

10

)1(

!1)(

x

y (C. Ter.) x (T) 1ªordem 2ºordem 3ªordem

0.02612 300 138 69.6255201 14 0460.896114 -4

053036.292780.03333 400 157 72.8706625 61021.3847759

0.03967 500 165 28.9256198

0.04572 600

Tabela das diferenças divididas Folha InP1 -1.3


( )

( )

( )

( )

( )

( )

P2(0.0387)= 400 + 1.57(73…)105(0.0387-0.03333) +6.(102…)104(0.0387-0.03333)(0.0387- 0.03967)

400 +84.7(0)-0.3(18)484.3(8)

R2(0.0387) 4.(1)106|(0.0387-0.03333)(0.0387-0.03967)(0.0387-0.04572)| 0.15 0.5×100

f-1(0.0387) 484.(4)

(0.0387 exacto)

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